transport dans les semiconducteurs

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TRANSPORT DANS LES SEMICONDUCTEURSEmmanuel Rosencher

A: Collisions, temps de relaxation et mobilitéB: Equations de Boltzmann C- Éléments de théorie du scattering

- phonons- impuretés

D- Effet HALLE: Electrons chauds

électrons chauds et vitesse de saturationavalanche

F: Les équations des semiconducteursG: Application:

la jonction p/nla relation d’EinsteinLa longueur de diffusionLes différents régime de la diode p/n

2/44

+

+

+

+

++

0v =r

Tkvm232

e21 =r

0v ≠r

Tkvm232

e21 ≈r

sm10v 5therm /≈

Scattering (diffusion) et transport dans les gaz (1)

εr

+

+

+

+

++

3/44

Scattering (diffusion) et transport dans les gaz (2)

Hyphothèse: les électrons prennent de l’énergie au champ électrique et la cède par collision au bout d’un temps τ dit temps de relaxation.

vmqF dtd

errr

=−= ε

vqnJ rr−=

Proportionnalité entre le courant et le champ électrique:

Proportionnalité entre la vitesse de dérive électronique et le champ électrique:

εµ rreqnJ =

εσ eJ =r

Loi d’OhmConductivité électronique e

2

mqn

eτσ =

ee qn µσ =

ετ rrem

qv −=

εµ rrev −=

m/s V/mem

qe

τµ =mobilité m2 /V.s

4/44

Le problème de DRUDE

Libre parcours moyen: τλ v= ετλ r2mqe

=

≈100000≈ 10Libre parcours moyen (nm)*

0.210Distance,entre atome (nm)

SC BTGaz

Origine quantique:les électrons ne sont pas diffusés par le potentiel périodique du cristal

Paul Drude1896

* Silicium dopé à 1012 cm-3 à 4K pour un champ de 100 V/cm (µ ≈ 106 cm V/s)

5/44

Scattering et transport dans les semiconducteurs (1)

[ ] kEEv dtd

kk1

kdtd1

gdtd rrrrr

hh∇∇=∇=

kF dtd r

hr

= Mécanique quantique du solide

Ev k1

g ∇=rr

h Approximation du paquet d’onde

Le paquet d’onde électronique se comporte comme une particule de masse mc. Toute l’interaction entre l’électron et le potentiel périodique complexe du cristal est prise en compte par la masse effective mc → Résolution du problème de Drude

εrFE

E

k

εrr r

cc mq

mF

gdtd v −== E2dk

2d2

1cm

1h

=avec

6/44

Scattering et transport dans les semiconducteurs (2)

εrr qvm gdtd

c −=Le champ électrique provoque un mouvement d’ensemble.Lorsque le champ est coupé, le gaz retourne à l’équilibre avecun temps caractéristique eτ

A l’état stationnaire: ετ rrce

mq

gv −=ce

mq

eτµ =mobilité

εσ eJ =r

Loi d’Ohmc

e2

mqn

eτσ =

ee qn µσ =

sVm108sVcm8000 212e ././ −×==µ

0c m0670m .=Exemple: GaAs ps30e .≈τ

ετrrr qvvm g

mgdt

dc

ec −=+

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TRANSPORT DANS LES SEMICONDUCTEURS

A: Collisions, temps de relaxation et mobilitéB: Equations de Boltzmann*

C- Éléments de théorie du scattering- phonons- impuretés





* Hors programme

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zk

( )zkf

Probabilité pour qu’un paquet électronique soit en r avec le nombre d’onde k à l’instant t: ( )trkf ,, rr

Fonction de distribution

εr

FE

E

k

9/44

Fonction de distribution

dttrkfdttrkf

ttrkf ),,(),,(),,(

rrrrrr −+

∂∂ =Évolution de f:

Probabilité pour qu’un paquet électronique soit en r avec le nombre d’onde k à l’instant t: ( )trkf ,, rr

Les électrons au temps t + dt étaient en rk rr, dtk F

h

rr− dtvr g

rr −et au temps t

( )

−−=+ tdtvrdtkfdttrkf g

q ,,,, rrrrrrh ε

k

rcollisions

( )colltk

qrgt

ffrfvtrkf∂∂

∂∂ +∇−∇−=

rrrrrrrh

ε),,(

( ) fvfrtrkf rgkq

t ∇−∇−=∂∂ rrrrrrr

h ε),,(

10/44

( )colltk

qrgt

ffrfvf∂∂

∂∂ =∇+∇+

rrrrrh

ε

Diffusion Dérive

( ) ( ) ( ) ( )tkrfkkStkrfkkSfkcollt ,,',','

'

rrrrrrrr→∑ −→=∂

∂Terme collisionnel:

Transitionquantique

Transitionquantique

Équation de Boltzmann: une des équations fondamentales de la Physique

( ) ( )( )3

3

2kdtkrftrn

π

rrrr∫= ,,,Densité de porteurs

( ) ( ) ( )( )3

3

2kd

g tkrfkvqtrjπ

rrrrr∫= ,,,Courant particulaire

( ) ( ) ( ) ( )( )32

k3dtrn

1 tkrfkEtrEπ

rr

rrrr∫= ,,, ,Énergie

L. Boltzmann1890

11/44

Approximation du temps de relaxation

( ) ( )( )( )kE

trkeqftrkf

collt f rrrvr

τ

,,,, −∂∂ −≈

Le fonction de distribution revient à l’équilibre avec un temps caractéristique. Une des relations les plus mystérieuses de la Physique: propriété d’émergence. Il n’existe aucun démonstration de cette relation qui conduit à l’irréversibilité temporelle, à la dissipation,…

( ) ( ) ( ) eqkq

eqrgEeqff

kq

rg frfvfrfv ∇+∇≈−=∇+∇− rrrrrrrrrr

hh εε τ

Boltzmann +état stationnaire+ développement d’ordre 1

( ) ( )

∇+∇−= eqk

qeqrgeq ffkvEff

rrrrh ετ

( ) ( ) [ ]eqEeqrgeq fqfkvEff ∂∂+∇−= ετ rrr

( ) eqEgeqEkeqk fkvfEf ∂∂

∂∂ =∇=∇ rh

r

12/44

Courants de diffusion et de conduction

( ) ( ) ( )( )3

3

2kd

g tkrfkvqtrjπ

rrrrr∫= ,,,

( ) ( ) [ ]eqEeqrgeq fqfkvEff ∂∂+∇−= ετ rrr

kTEeq ef /−∝ ( ) kkv

cmgrr h=et

( ) εµ rr nqnDqtrj r +∇−=,

qkTD µ=

nDqj rdiff ∇−=rr

εµ rrqnjdiff =

Courant de diffusion:

Courant de conduction:

conddiff jjjrrr

+=

Relation d’Einstein

( ) ( ) ( )( )3

3

2kd

keqEeqr

2g fqfkvqtrj

πε

rrrr∫ +∇−= ∂

∂,

13/44

Signes des courants de diffusion et de conduction

Loi de Fick:

Courants de diffusion

nDenej reee ∇+=rrr

εµ

pDepej rttt ∇−=rrr

εµ

tetot jjjrrr

+=

Courants de conductionx

Den

sité

nD ree ∇−=ϕ nDeej reeed ∇+=−= ϕ,électrons

e−

pD rtt ∇−=ϕ pDeej rtttd ∇−=+= ϕ,trouse+

εr

électrons ( )εµegecond nevnej −−=−=e−

trous ( )εµegecond nevnej ++=+=e+

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A: Collisions, temps de relaxation et mobilitéB: Equations de BoltzmannC- Éléments de théorie du scattering






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Scattering par les phonons

Vibrations dues à la température

2325c Tm

1e //∝µ

µ300 K

cm2/V.smc

800000.014InSb

80000.067GaAs

14500.3Si

Mobilités de Si en fonction de T

Nd <1012 cm-3

Nd <1013 cm-3

Nd = 1.7 1016 cm-3

Nd = 1.7 1017 cm-3

BC

BV

compression extension

16/44

Scattering par les impuretés

+

Relations de Rutherford: Plus l’énergie et faible plus la déviation est importante

23m

1dop

e TN

121

c

//∝µ

Influence de la température

( ) ( ) ( )( )'''' / kEkEkekkkS2

Lrre2 D2

rrrrrrh

−=→ − δπ

Règle d’Or de Fermi et potentiel de Yukawa

17/44








18/44

+-

Courant électriqueChamp électrique

x

y

Effet Hall (1)

*mBq

c =ω

Fréquence cyclotron

( )2cx

gx

11

mqv

τω

τε +

=*

( )2c

cx

gy

1mqv

τω

τωτε +

−=*

E.H. Hall1879

( ) gm

ggdtd vBvqvm rrrrr

τε ** −×+=

Force de Lorentz

m* = masse effective (+mc, -mv)

( )( )

gzm

gzdtd

gym

zgxygydtd

gxm

zgyxgxdtd

vvm

vBvqvm

vBvqvm

τ

τ

τε

ε

*

*

*

*

*

*

−=

−+−=

−+=

0mmTB11

c 1081/*

)(.=ω

Fréquences optiques

B

A l’état stationnaire:

0y =ε

19/44

Effet Hall (2)

+-

B

+ + +

- - -

yHallV ε=

Si jy =0, il se construit une tension qui contrecarrele mouvement des charges

( )( ) gy

mzgxy

gxm

zgyx

vBvq

vBvq

τ

τε

ε*

*

=+−

=+ xxmq

gxv εµετ ==*

xqnzB

zgxy jBv −=−=ε

Tension de Hall

xx nqj εµ=

nq1

BjHallzx

yR −==ε

1- La mesure de εy en fonction de jx permet de connaître n

2- La mesure de εx en fonction de jx permet de connaître µ

3- La mesure du signe de RHall permet de connaître le typede charge

20/44

Effet Hall quantique

Klaus von Klitzing(Nobel 1985)

21/44








22/44

Électrons chauds

cstzFqcm22k2

=+− h

BC

E

x

BV

εµe

( )εεαµ 2e −

gv

ε

Si

( )zkf

zk

Régime ohmique

Non ohmique

23/44

Vitesse de saturation

op2

gc21 vm Ω=h

0c m0670m .=

meV36op =Ωh

Pour GaAs

scm102v 7g /≈

opΩh

kr

ΩhPhonons

opE Ω=∆ h

opE Ω=∆ h µm10L .=

ps1≈τ !!!!Temps de transit

24/44

Transfert de vallée et résistance différentielle négative

vite

sse

champs ε

εµ11gv =

εµ22gv =

1cm

1c1

mq

1τµ =

2cm

2c2

mq

2τµ =

GaAs, InP, ZnSe,…

aV

R( ) VVVIR a −= co

uran

t

tension

courant pic

courant vallée

V

25/44

- +

Diodes Gunnde

nsité

x

V0

EL1

EL1

EH1

EH1

EL2

EL2

EH2

EL1E0

E0

vite

sse

E

x

cham

p

- +

scm710cm310

vL

/

−≈=τ GHz100f >

G M Dunn (a) and M J Kearney

Applications:- radar anticollision- radar militaire- imagerie millimétrique

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MODELE PHYSIQUE DE L’AVALANCHE:Modèle de l’électron chanceux (W. Shockley)

Énergie

x

opΩh Émission d’un phonon optique

opλ

iE

iλ

électron chanceux Ionisation par impact

Ei énergie nécessaire pour une ionisation par impact

gi E51E .≈

ελ

qE

ii≈

λi libre parcours moyen avant ionisation par impact

Processus poissonnien: opieprobaλλ /−

=

ε = 40 V/µm

α ≈ 10 µm-1

nombre de paires é-t créées dans une ZCE

e α W = e10 !!!105 10610-1

100

101

102

103

104

105

106

α n (cm

-1)

Electric field (V/cm)

λop = 10 nm

Ei = 1.8 eV

Eop = 36 meV

Si

opqiE

opeqF

iλεα

−

Ω≈h

Coefficient d’ionizationpar impact (cm-1)

27/44








28/44

nnne1

t RGjn −=∇−∂∂ rr

.

pppe1

t RGjp −=∇+∂∂ rr

.

nDeFnej nnn ∇+=rrr

µ

pDeFpej ppp ∇−=rrr

µ

( )r0

reFεε

ρ=∇rr

.

( )( )

kTrq

enrn 0

rr

φ+=

( )( )

kTrq

eprp 0

rr

φ−=

Frr

−=∇φ

Équations de continuité nG

nϕ∇r

condj

difj

Poisson

Potentiel

0nkTq

en0

φ+

EF

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la jonction p/nla relation d’EinsteinLa longueur de diffusionLes différents régime de la diode p/nmasse effective de conduction

30/44

Potentiel interne (1)

diffusion

Réponse: Jusqu’à ce que le potentiel chimique soit constant !

cE cE

vE vE

FnEFpE

dopé n dopé p

Russel Ohl1940

n

pn

dopé n

dens

ité

2in npn =

np

p

dopé p

dens

ité

2ip nnp =

Question: Jusqu’où?

++

+

++

+

31/44

Potentiel interne (2)

cE

vE

FnEcE

vEFpE

« Il se construit spontanément une barrière de potentiel interne dont l’amplitude contrecarreexactement la diffusion d’où aussi le terme de potentiel de diffusion, en d’autres termes, telle que le niveau de Fermi soit constant dans la structure »

)EE()EE(EV vFpFncg −−−−=∆

−

−=

Av

Dc

NN

NN

g lnkTlnkTEV∆

−=AD

vcNNNN

g lnkTEV∆

V∆

32/44

Principe du calcul

( )sc0

xqdxd F

εερ=

Gauss

F

( )xEdxd −=φ

Électrostatiqueφ

( )xρ

Hypothèse de la zone dépeuplée(thermodynamique)

ρ

AN−

DN

( ) ( )xqExE cc φ−=

Courbure de bande

nd− pd

The

rmod

ynam

ique

(Fer

mi)( )

kTrq

ceNφ

=

33/44

Potentiel auto-induit et relation d’Einstein

On suppose l’équilibre thermodynamique ( ) kTq

enxn 0

φ+=

εφ nnnDqj kTeD2q

dxd

kTeD2q

dxd

eed −===,

εµ

−= ekT

qetot Dnqj

Or aucun courant ne circule (on ne peut extraire de l’énergie)!

Les deux courants s’annulent mutuellement

eqTk

eD µ=

80000

8000

1450

µ300 Kcm2/V.s

D300 Kcm2/s

mc

20700.014InSb

2070.067GaAs

370.3Si

« Il se construit spontanément une barrière de potentiel interne dont l’amplitude contrecarreexactement la diffusion d’où aussi le terme de potentiel de diffusion, en d’autres termes, telle que le niveau de Fermi soit constant dans la structure »

xDen

sité

éle

ctro

niqu

e

0n ( )xn

FE

Éne

rgie

pot

entie

lle

( ) kTxqe /φ

pote

ntie

l

εµ nqj eecond +=,

34/44

La longueur de diffusion

nnnq1

tRGjn −=∇−∂

∂ rr. ( ) sn n0nquetelG =

n0nn

nR τ−=

τ0nn

nxq1 j −

∂∂ −=

nDqj xnn ∂∂=

0nDn

02

2 nn

xn =+ −

∂∂

τ

nnDn DL τ=DnLxs0 ennn /−=−

sn

0n

durée de vie des porteurs minoritaires

0t =∂∂ état stationnaire

35/44

SILICIUM

36/44

Jonction p/n en direct:Injection de porteurs minoritaires

0Va =

DN

kTVDA

2i0p eNNnn // ∆−==

x

dens

ité

0Va >

DN

V∆

Va

kTaqV

kTV

D eeN∆−

kTaqV

0p en=

kTaqV

0p en

( )

+≈ − 1eenxn DnLxkT

aVq

0p/

kTaVq

DnL0pnnDq

0xdxd

n enDqI ≈≈=

kTaVq

s eII ≈

DnL0pnnDq

sI =

0x =

37/44

Jonction p/n en inverse:Courant de saturation ou de fuite0Va =

DN

A2

i0p N/nn =

desn

ité

x

0Va <

Va

DN

0x =0n ≈

( )dnL/x0p e1nn −−≈

Dn

0pnL

nDq

0xdxd

n nDqI ≈≈=

sII ≈

DnL0pnnDq

sI =

Courant de saturation

38/44

Caractéristique courant-tension

0Va <

0Va =

Tension inverse

−= 1eII kT

aVq

s

W. Shockley

cN

W

0Va >

Tension directe

cN

W

0pn

I

AV

39/44

Auger ImpuretésRecombinaison radiative

Durée de vie des porteurs minoritaires

msrad ≈τ Dépend de la puretédu matériau

msnsradnon →≈τ

nsrad ≈τ

GaAs, InP Si, Ge

nsradnon ≈τ

HgCdTe, InSb,..

n1

sIτ

∝Courant de fuite:

40/44

Détecteur photovoltaïque

++

++zone de charge d’espace zone de diffusion

np++

n

p++ SiO2

métal semi-transparent

V

I

phJ

A

0 w

phV

V

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Exemple 1: Cellule solaire en silicium

Ensoleillement maximal : 1000 W/m2

Rendement quantique : 15 %

0 1 2 3 4 5eV

0

1×107

2×107

3×107

4×107

Wêm 2.µm

Spectre solaire

Rendement de conversiondans Si

Courant maximal : 150 W/m2

42/44

Exemple 2: les détecteurs infrarouge Hgx Cd1-x Te

3 – 5 µmsoit

0.25 - 0.40 eV

8 – 12 µmsoit

0.10 - 0.15 eV

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

Tran

smis

sion

12108642Longueur d'onde (µm)

Transparence sur 5 km

43/44

Détection infrarouge et température de fonctionnement

photonI

n

0pD

nDqsI

τ=

I

AV

photonI

Is

kTgEn e

/∝τ

kT2gEs eI

/−∝

Caméra infrarouge avec son cryogénérateur miniature Température (K)Fl

ux th

erm

ique

d’é

lect

ron

HgCdTeλ =5µm

300200100

Flux du corps noir

120 K

44/44Niveau de carburant

Image d’un avion furtif en infrarouge

Mauvaise vascularisation d’une main

Imageurs infrarouges

transport dans les semiconducteurs

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