solucionario de calculo diferencial e integral - granville
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8/20/2019 Solucionario de Calculo Diferencial e Integral - Granville
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Solucionario de Calculo Integral
SOLUCIONARIO DE
CALCULO DIFERENCIAL
E INTEGRAL - GRANVILLEProblea!" Pagina #$%
Veri&icar la! !iguiente! Integracione!'
(" ∫ ) * d) + )
, c
v = x El diferencial esta completo, se procede a integrar.
dv = dx
n = 4
∫x 4 dx = x4 + 1 = x
5 + c
4+1 5
#" ∫ d) +
)#
∫x -2.dx
v = x El diferencial esta completo, se procede a integrar.
dv= dx
n = -2
∫ x -2 dx = x-2
+
1 = x
-1 = - x-1 = - 1 + c
-2+1 -1 x
$"∫
)#.$
d)
x2/3+1 = x5/3 = 3 x
5/3 + c
2/3 + 1 5/3 5
*" ∫d)
√)
∫x -1/2.dx = x-1/2 + 1 = x
1/2 = 2x1/2 = 2√x + c
- 1/2 +1 1/2
(
-
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Solucionario de Calculo Integral
," ∫ d) +$
)
∫ dx + ∫x-1/3 dx = x
-1/3+1 = x2/3
= 3x2/3 + c
x 1/3
-1/3+1 2/3
2
%" ∫$a/# d/
3a ∫y2 dy = = 3a y2+1 = 3 ay
3 = ay3 + c
2+1 3 .
0" ∫# dt
t#
2∫t -2. dt = 2 t-2+1 = 2t
-1 = - 2.t-1 = - 2 + c
-2+1 - 1
1" ∫ √a) " d)
∫ax!1/2. dx v = ax "alta a! para completar,
dv = a.dx el diferencial. n = 1/2 .
1 ∫ax!1/2. a .dx = 1 ax!1/2+1 = ax!
3/2 = 2ax!3/2 =
a a 1/2+1 3/2a! 3a
2ax!2/2 ax!1/2 = 2. a .x ax!1/2 = 2 x ax !
1/2 = 2 x √ax + c3 a 3 a 3 3
2" ∫ d) +
√#)
∫ dx = ∫2x!-1/2 =
2x!1/2
v = 2x "alta 2! para completar el diferencial.
dv = 2 dx #e aplica$ ∫vn dv = v
n+1 + c .
#
-
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Solucionario de Calculo Integral
n = -1/2 n+1
1 . ∫2x!-1/2.2dx = 1 2x!-1/2+1 = 2x!
1/2= 2x!
1/2 = 2x!1/2 =
2 2 -1/2+1 21/2! 2/2 1
2x!1/2 + c
∫3t!1/3 dt
v = 3t "alta 3! para completar el diferencial.
dv = 3 dt #e aplica$ ∫
vn
dv = vn+1
+ c .n = 1/3 n+1
1 ∫3t!1/3.3dt = 1 3t!1/3+1 = 3t!
4/3= 3t!
4/3 + c
3 3 1/3 + 1 34/3! 4
((" ∫3)$.# - #)#.$ , √) - $4 d)
∫
x3/2
dx - 2∫
x2/3
dx + 5∫√x dx - ∫dx
∫x3/2dx - 2 ∫x2/3 dx + 5 ∫x!1/2 dx - ∫dx
x3/2+1 - 2 x 2/3+1 + 5 x!1/2+1 - x + c
3/2+1 2/3+1 1/2+1
x5/2 - 2 x 5/3 + 5 x!3/2 - x + c
5/2 5/3 3/2
2x5/2 - %x5/3 + 1&x!3/2 - x + c
5 5 3
(#" ∫ *)# - #√) d) )
∫ 4x2 - 2√x dx = ∫ 4x - 2x1/2 dx =
x x x2/2
$
∫ dt.t33 .1&
-
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Solucionario de Calculo Integral
∫4x - 2x 1/2.x -2/2! dx = ∫4x - 2x-1/2! dx
∫4x dx - ∫2x -1/2 dx = 4∫x dx - 2∫x-1/2 dx
4 x1+1 - 2 x -1/2+1 = 4 . x2 - 2 . x1/2 = 2x
2 - 4x1/2 = 1+1 -1/2+1 2 1/2
2x2 - 4 √x + c
($" ∫3 )# - # 4 d)
# )#
∫ x2 dx - ∫ 2 dx = 1 ∫ x2 dx - 2 ∫x -2 dx =
2 x2 2
1 x2+1 - 2 x -2+1 = x3 - 2.x -1 = x
3 + 2 + c
2 2+1 -2+1 23! -1 % x
(*" ∫ √)3$) - #4 d)
∫ 3x. √x - 2. √x! dx = ∫3x.x1/2 - 2x1/2! dx = ∫3x 3/2 - 2x1/2! dx .
∫3x3/2 dx - ∫2x1/2 dx = 3∫x3/2 dx - 2∫x1/2 dx =
3 x3/2+1 - 2 x1/2+1 = 3 x3/2+1 - 2 x1/2+1 =
3/2+1 1/2+1 3/2+1 1/2+1
3x5/2 - 2x 3/2 = %x5/2 - 4x 3/2 + c
5/2 3/2 5 3(," ∫ )$ - %) , d) + )
$ - %) , ln ) c
) $
∫ x3 - %x + 5 dx = ∫ x2 - % + 5 dx = ∫x
2 dx - % ∫dx + 5 ∫dx
x x x x x
x2+1 - %x! + 5ln x! = x3 - %x + 5 ln x + c
2+1 3
*
-
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Solucionario de Calculo Integral
(%" ∫ √a b) d) + #3a b)4$.# c$b
∫
a + 'x!
1/2
dx .
v = a + 'x! "alta '! para completar el diferencial.
dv = ' dx ∫vn dv = v
n+1 + c
n = 1/2 n+1
1 . ∫a + 'x!1/2. 'dx = 1 a + 'x!1/2+1 = a + 'x!
3/2 = a + 'x!3/2 =
' ' 1/2+1 '3/2! 3' .
22a + 'x!3/2 + c
3'
(0" ∫ d/
√a - b/
∫ dy = ∫a - 'y!-1/2 dy =
a - 'y!
1/2
v = a - 'y! "alta -'! para completar el diferencial.
dv = - ' dy ∫vn dv = v
n+1 + c
n = - 1/2 n+1
- 1 ∫a - 'y!-1/2. - '! dy
'
- 1 a - 'y!-1/2+1 = - a - 'y!1/2 = - a - 'y!
1/2 = -2 a - 'y!1/2 + c
' -1/2+1 '1/2! '/2 '
(1" ∫3a bt4# dt + 3a bt4$ c
$
v = a + 't! "alta '!, para completar el diferencial, se aplica$
dv = ' dt ∫vn dv = v
n+1 + c .
,
-
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Solucionario de Calculo Integral
n = 2 n+1
1 ∫a + 't!2.' dt = a + 't!2+1 = a + 't!
3 + c
' '2+1! 3'
(2" ∫ ) 3# )#4# d) + 3# )# 4$
%
∫2 + x2!2. x dx
v = 2 + x2! "alta 2!, se aplica$ ∫ v n = v n+1/n+1 + c .
dv = 2x dx 1 ∫2 + x2!2. 2x dx = 1 2 + x2 !2+1 = 2 + x2 !3 = 2 + x2 !3 + c
n = 2 2 2 2+1 23! %
#5" ∫ / 3a - b/#4 d/ + - 3a - b/# 4# c
*b
∫a - 'y2! " y dy
v = a - 'y2! "alta -2'!,para completar el diferencial.
dv = -2'y dy #e aplica$ ∫ v n = v n+1/n+1 + c .
n = 1
∫a - 'y2! . y dy = -1 a - 'y2 !1+1 = - a - 'y!
2 = - a - 'y2 ! + c
2' 1+1 2'2! 4'
#(" ∫ t √#t# $ dt + 3#t # $4$.# c%
∫2t2 + 3!1/2. t dt
v = 2t2
+ 3! "alta 4! para completar el diferencial.dv = 4t dt . #e aplica$ ∫v
n dv = vn+1 + c .
n = 1/2 n+1
1 ∫2t2 + 3!1/2. 4t dt = 1 2t2 +3! 1/2+1 = 2t
2 +3! 3/2 = 2t2 +3! 3/2 =
4 4 1/2+1 43/2! 12/2
2t 2 +3! 1/2 + c
%
%
-
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Solucionario de Calculo Integral
##" ∫ ) 3#) (4# d) + )* *) $ )# c
$ #
(rimero sol)cionamos el prod)cto nota'le$
2x + 1!2 = 4x2 + 4x + 1
∫x 4x2 + 4x + 1! = ∫4x3 + 4x2 + x! dx
∫4x3 dx + ∫4x2 dx + ∫x dx = 4∫x3 dx + 4∫x2 dx + ∫x dx
4 x3+1 + 4 x2+1 + x1+1 = 4x4 + 4x 3 + x2 =
3+1 2+1 1+1 4 3 2
x4 + 4x 3 + x2 + c
3 2
#$"∫
*)# d) "
√)$ 1
∫
3x3
+ *!-1/2
. 4x2
dx
v = x3 + *! "alta 3! para completar el diferencial.
dv = 3x2 dx #e aplica$ ∫vn dv = v
n+1 + c
n = -1/2 n+1El 4 sale f)era de la integral por)e no nos va a servir en dv
4 ∫ x3 + *!-1/2 . 3x2 dx = 4 x3 + *!-1/2+1 = 4x
3 + *!1/2 =3 3 -1/2+1 31/2!
4x 3 + *!1/2 = 24x3 + *!1/2 = *x
3 + *!1/2 = *√x3 + *! + c3/2 3 3 3
#*" ∫ %6 d6
3, - $6#4#
∫5 - 32!-2.% d
0
-
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Solucionario de Calculo Integral
v = 5 - 32! 0 la integral original para )e se integre
dv = - % solo le falta el signo negativo.
n = -2
-∫
5 - 32
!-2
. -! % d
-5 - 32 !-2+1 = -5 - 32 !-1 = 5 - 3
2!-1 = 1 + c
-2+1 -1 5 - 32!
#," ∫3√a - √)4# d)
#ol)cionando el prod)cto nota'le$ √a - √x!2 = a - 2√a.√x + x
∫
√a!2 - 2√a .√x + √x!2 dx = ∫a - 2√a .√x + x ! dx
∫a dx - ∫2√a .√x + ∫x dx = a ∫dx - 2√a ∫ √x dx + ∫x dx
a ∫dx - 2a1/2 ∫ x1/2 dx + ∫x dx = a. x - 2a
1/2 .x1/2+1 + x1+1 =1/2+1 1+1
ax - 2a1/2 x3/2 + x2 = ax - 4 x
2/2 a1/2 x1/2 + x2 =3/2 2 3 2
ax - 4x√a . √x + x 2 = ax - 4x√ax + x2 + c3 2 3 2
#%" ∫3√a - √)4# d) √)
v = √a - √x! "alta -1/2! para completar el diferencial.dv = - 1 dx . #e aplica$ ∫v
n dv = vn+1 + c
2√x n+1
n = 2
∫√a - √x!2. 1 .dx = - 2 ∫√a - √x!2 1 dx √x 2√x
-2 √a - √x!2+1 = -2 √a - √x!3 + c2+1 3
1
( )∫ − dx.xax.22
-
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Solucionario de Calculo Integral
∫√x√a!2 - 2√a.√x + √x!2 dx = ∫√xa - 2√a.√x + x! dx
∫a√x - 2√a.√x.√x + x.√x!dx = ∫ax1/2 - 21/2.√x!2 + x2/2.x1/2dx
∫
ax
1/2
- 2a
1/2
x + x
3/2
dx = a∫
x
1/2
dx - 2a
1/2
∫
x dx +∫
x
3/2
dx =
a x1/2+1 - 2a1/2 x1+1 + x3/2+1 = a.x3/2 - 2a1/2 .x2 + x5/2 =
1/2+1 1+1 3/2+1 3/2 2 5/2
2a .x3/2 - a1/2.x2 + 2x 5/2 = 2ax3/2 - x2√a + 2x5/2 + c
3 5 3 5
#1" ∫ t$ dt
√a* t*
∫
a4 + t4!-1/2.t3 dt . v = a4 + t4! "alta 4! para completar el
dv = 4t3 dt diferencial, se aplica$
n = -1/2 ∫vn dv = v
n+1/n+1 + c
1 ∫a4 + t4!-1/2.4!t3 dt = 1 a4 + t4 !-1/2+1 = a
4 + t4 !1/2 =
4 4 -1/2+1 41/2!
a4 + t4 !1/2 = 2a4 + t4 !1/2 = a
4 + t4 !1/2 = √a4 + t4! + c4/2 4 2
#2" ∫ d/ "
3a b/4$
∫a + 'y!-3 dy
v = a + 'y! "alta '! para completar el diferencial.
dv = ' dy #e aplica$ #e aplica$ ∫vn dv = v
n+1 + c
n = - 3 n+1
1 ∫a + 'y!-3.'!dy
'
1 a + 'y!-3+1 = a + 'y!-2 = a + 'y!
-2 = - 1 + c
' -3+1 '-2! -2' 2'a + 'y!2
2
-
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Solucionario de Calculo Integral
$5" ∫ ) d) "
3a b)#4$
∫
a + 'x
2
!
-3
.x dx
v = a + 'x2! "alta 2'! para completar el diferencial.
dv = 2'x.dx #e aplica$ #e aplica$ ∫vn dv = v
n+1 + c
n+1
1 ∫a + 'x2!-3.2'!x dx
2'
1 a + 'x2
!-3+1
= a + 'x2
!-2
= 1 + c2' - 3 + 1 2'! - 2! 4'a + 'x2!2
$(" ∫ t# dt
3a bt$4#
∫a + 't3!2.t2 dt
v = a+'t3! "alta 3'! para completar el diferencial.
dv = 3't2
dt #e aplica$∫
vn
dv = vn+1
+ cn = 2 n+1
1 ∫a+'t3!-2.3'!t2 dt = a+'t3 !-2+1 = a+'t
3 !-1 =3' 3'-2+1! 3'-1!
a+'t3 !-1 = - 1 + c
-3' 3'a + 't3!
$#" ∫63a b6$4# d6
esarrollando el prod)cto nota'le$ a + '3!2 , o'tenemos ,
∫ a2 + 2a'3 + '2%! d
∫ a2 + 2a'4 + '2! d
(5
-
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Solucionario de Calculo Integral
a2 ∫ d + 2a' ∫4 d + '2 ∫ d
a2 1+1 + 2a' 4+1 + '2 +1 = a2 2 + 2a'5 + '2 * + c
1+1 4+1 +1 2 5 *
$$" ∫)n-(√ab)n d)
∫ a + 'xn!1/2. xn-1 dx
v = a + 'xn! "alta n'! para completar el diferencial.
dv = n'xn-1 dx #e aplica$ ∫vn dv = v
n+1 + c
n = 1/2 n+1
1 ∫ a + 'xn!1/2. n'! xn-1 dx
n'
a + 'xn !1/2+1 = a + 'xn !3/2 = 2a + 'x
n !3/2 + c
1/2+1 3/2 3
$*" ∫3#) $4 d)
√)# $)
∫
x2 + 3x!-1/2. 2x + 3! dx
v = x2 + 3x! El diferencial esta completo, se procede a integrar.
dv = 2x + 3 #e aplica$ ∫vn dv = v
n+1 + c
n = -1/2 n+1
∫x2 + 3x!-1/2. 2x + 3! dx
x2 + 3x!-1/2+1 = x2 + 3x!1/2 = 2x
2 + 3x!1/2 = 2 √x2 + 3x + c- 1/2 + 1 1/2
$," ∫3)# (4 d)
√)$ $)
∫x3 + 3x!-1/2. x2 + 1! dx
((
-
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Solucionario de Calculo Integral
v = x3 + 3x! "alta 3! para completar el
dv = 3x2 + 3 dx = 3x
2 + 1! dx diferencial.
n = -1/2
1 ∫x3 + 3x!-1/2.3!x2 + 1! dx = x3 + 3x!-1/2+1 = x
3 + 3x!1/2 =3 3-1/2+1! 31/2!
x3 + 3x!1/2 = 2x3 + 3x!1/2 = 2√ x3 + 3x! + c
3/2 3 3
$%" ∫3# ln )4 d)
)
∫2 + ln x!. 1 dx
x
v = 2 + ln x! "alta 1/x para completar el diferencial.
dv = 1 dx #e aplica$ ∫vn dv = v
n+1 + c
x n+1
n = 1
∫2 + ln x!. 1 dx = 2 + ln x!1+1
= 2 + ln x!2 + c
x 1+1 2
$0" ∫!en#) co! ) d)
∫senx!2 . cos x dx . v = senx! El diferencial esta
dv = cos x dx completo,se procede
n = 2 a integrar.
∫
senx!2 cos x dx = senx!2+1 = senx!3 + c
2+1 3
$1" ∫!en a) co! a) d)
v = sen ax "alta a! para completar el
dv = cos ax!a! dx = a cos ax dx diferencial.#e aplica$
n = 1 ∫vn dv = vn
+1 + c
(#
-
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Solucionario de Calculo Integral
n+1
1 ∫sen ax! . a!cos ax dx = sen ax!1+1
= sen ax!2
= sen2 ax + c
a a1+1! 2a 2a
$2" ∫!en #) co!##) d)
∫cos 2x!2. sen 2x dx
v = cos2x! "alta -2! para completar el diferencialdv = - sen 2x!2! dx = - 2sen 2x #e aplica$ ∫ v
n dv = v n+1 + c
n = 2 n+1
- 1 ∫cos2x!2.-2!sen 2x dx = - cos2x!2+1 = - cos2x!
3 =2 22+1! 23!
- cos3 2x + c
%
*5" ∫tg ) !ec# ) d)
# #
v = tg x/2 falta 1/2! para completar el diferencial.
dv = 1 sec 2 x .2 2
n = 1
2 tg x 61+1 2 tg x 62
2∫tg x 1 . sec2 x dx = 2 = 2 =2 2 2 1+1 2
tg 2 x = tg 2 x 6 + c2 2
*(" ∫ co! a) d)
√b !en a)
∫' + sen ax!-1/2 . cos ax dx
($
-
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Solucionario de Calculo Integral
v = ' + sen ax! "alta a! para completar el
dv = cos ax.a dx = a cos ax dx diferencial$ #e aplica$
n = - 1/2 ∫vn dv = v
n+1 + c
n+1
1∫
' + sen ax!
-1/2
.a! cos ax dx = ' + sen ax!
-1/2+1
= a a-1/2+1!
' + sen ax!1/2 = ' + sen ax!1/2
= 2' + sen ax!1/2
=
a1/2! a/2 a
2√ ' + sen ax + ca
*#" ∫ !ec ) # d)
( tg )
∫ sec 2 x dx
1 + tg2x!
∫1 + tg x!-2. #ec2x dx
v = 1 + tg x! El diferencial esta completo, se procede a
dv = sec2x dx integrar.
n = -2
1 + tg x!-2+1 = 1 + tg x!-1 = 1 + c
-2+1 - 1 1 + tg x!
*$" ∫ d) "
# $)
v = 2 + 3x "alta 3! para completar el diferencial.
dv = 3 dx #e aplica$ ∫ dv = ln v + c
v
1 ∫ 3! dx = 1 ln 2 + 3x! + c
3 2 + 3x 3
(*
-
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15/177
Solucionario de Calculo Integral
**" ∫ )# d) "
# )$
v = 2 + x3 "alta 3! para completar el diferencial.
dv = 3x2 dx #e aplica$ ∫ dv = ln v + c
v
1 ∫ 3! x2 dx = 1 ln 2 + x3! = ln 2 + x
3 ! + c
3 2 + x3 3 3
*," ∫ t dt "
a bt#
v = a + 't2
"alta 2'! para completar el diferencial.dv = 2't #e aplica $ ∫ dv = ln v + c .
v
1 ∫ 2'! t dt = 1 . lna + 't2! = lna + 't
2 ! + c
2' a + 't2! 2' 2'
*%" ∫ 3#) $4 d)
)
#
$)
v = x2 + x El diferencial esta completo, se procede a integrar "
dv = 2x + 3!
∫ 2x + 3! dx = ln x2 + 3x! + c
x2 + 3x
*0" ∫ 3/ #4 d/
/# */
v = y2 + 4y "alta 2! para completar el
dv = 2y + 4 dy = 2y + 2! dy diferencial .#e aplica$
∫ dv = ln v + c
v
1 ∫2!y + 2! dy = 1 .ln y2 + 4y! = ln y
2 + 4y! + c
2 y2
+ 4y! 2 2
(,
-
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Solucionario de Calculo Integral
*1" ∫ eθ dθ "
a beθ
v = a + 'eθ "alta '! para completar el diferencial.
dv = 'e
θ
dθ #e aplica$
∫
dv/v = ln v + c
1 ∫ eθ '! dθ . ' a + 'eθ
ln a + 'eθ ! + c '
*2" ∫ !en ) d)
( - co! )
v = 1 - cos x El diferencial esta completo.
dv = - -sen x ! dx = sen x dx . #e procede a integrar.
⇒ ln 1 - cos x! + c
,5" ∫!ec # / d/ "
a btg /
v = a + 'tg y . "alta '!, para completar el diferencial
dv = ' sec2y dy
1 ∫ '! sec2 y dy = 1 . lna + 'tg y! = lna + 'tg y! + c
' a + 'tg y ' '
,(" ∫3 #) $4 d)
) #
Efect)amos la divisi7n$ 2x + 3 x + 2
-2x - 4 2
- 1
El res)ltado es$
2 + - 1 = 2 - 1 . #)stit)yendo en la integral .
(%
-
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Solucionario de Calculo Integral
x + 2 x + 2
∫7 2 - 1 6 dx = 2 ∫ dx - ∫ dx = 2x - lnx + 2! + cx + 2 x + 2
,#" ∫ )# # d)
) (
Efect)amos la divisi7n$ x2 + 2 x + 1
- x2 - x x - 1
- x
+ x + 2
+ 2
El res)ltado es$
x - 1! + 3 . #)stit)yendo en la 8ntegral.
x + 1
∫7 x - 1 + 3 6 dx x + 1
∫x dx - ∫dx + 3 ∫ dx .
x + 1
x1+1 - x + 3 ln x + 1! = x2 - x + 3 ln x + 1! + c
1+1 2
,$" ∫ 3) *4 d)
#) $
Efect)amos la divisi7n$ x + 4 2x + 3
- x - 3/2 1/2 . - x + 5/2 .
5 .
El res)ltado es$ 1 + 2 . #)stit)yendo en la 8ntegral.
2 2x + 3
(0
-
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Solucionario de Calculo Integral
∫ 1 + 5/2 dx
2 2x + 3
∫
1 dx + 5 . 1∫
2!dx . v = 2x + 3 2 2 2 2x + 3 dv = 2 dx
1 ∫ dx + 5 ∫ 2! dx = 1 x + 5 ln 2x + 3! =2 4 2x + 3 2 4
x + 5 ln 2x + 3! + c
2 4
,*" ∫
e2s d! " e2s (
v = e2s + 1 El diferencial esta incompleto, falta 2!dv = 2e2s . y se le opone 1/2.
1 ∫ 2! e2s ds = 1 . lne2s + 1! = ln e2s + 1! + c2 e2s + 1 2 2
,," ∫ a e θ b dθ aeθ - b
Efect)amos la divisi7n$
' + aeθ - ' + a e θ El res)ltado es $- ' + a e θ - 1 - 1 + 2a e θ .
+ 2aeθ
- ' + aeθ
(ara la 2da integral$
v = - ' + aeθ
dv = aeθdθ
∫ -1 + 2 a e θ dθ = - ∫ dθ + 2 ∫ a e θ dθ =
- ' + aeθ - ' + aeθ
(1
-
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Solucionario de Calculo Integral
- θ + 2 ln - ' + aeθ! = 2 ln aeθ - ' ! - θ + c
,%" ∫ #) d) "
∫% - 5x2!-1/3.2x dx
v = % - 5x2!
dv = - 1&x dx El diferencial esta incompleto, falta - 5 !
n = -1/3 .
- 1 ∫% - 5x2 !-1/3 -5!2x dx = - 1 . % - 5x2 !-1/3+1 = -% - 5x
2 !2/3 =
5 5 -1/3+1 52/3!
- 3% - 5x2 !2/3 + c
1&
,0" ∫3)$ $)#4 d)
∫x3 dx + 3∫x2 dx
x3+1 + 3.x2+1 = x4 + 3x 3 = x
4 + x3 = c
3+1 2+1 4 3 4
,1" ∫ )# - * " d)
)*
esarrollando$ x2 - 4 = x2 - 4 = 1 - 4
x4 x4 x4 x2 x4
#)stit)yendo en la integral .∫7 1 - 4 8 dx = ∫ 1 dx - 4 ∫ dx = ∫x -2 dx - 4∫x -4 dx
x2 x4 x2 x4
x-2+1 - 4.x -4+1 = x-1 - 4x -3 = - 1 + 4 + c
-2+1 -4+1 -1 -3 x 3x3
(2
$#
,)-3% !
dx.x5
x5 5
5.59 ∫ +
-
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Solucionario de Calculo Integral
1 ∫ √5x dx + 5 ∫ dx = 1 ∫5x!1/2 dx + 5 ∫5x!-1/2 dx. 5 √5x 5
v = 5x v = 5x :ompletando el diferencial a
dv = 5 dx dv = 5 dx am'as integrales.
n = 1/2 n = - 1/2
1 . 1 ∫5x!1/2.5!dx + 5. 1 ∫ 5x!-1/2 5!dx =5 5! 5
1 . 5x!1/2+1 + 5x!-1/2+1 =25 1/2 + 1 - 1/2+1
5x!3/2 + 5x!-1/2+1 = 25x!3/2 + 25x!1/2 =
253/2! 1/2 55!3! 1
2 5 x! 5x!1/2 + 25x!1/2 =2x5x!1/2 + 25x!1/2 =
5 5!3! 15
25x!1/2 x + 1 = 2√5.x x + 15 + c15 15
∫ dt = 1 ∫ dt = 1 . ∫ dt = 1 . ∫t-3/2 dt = t
-3/2+1 . t.t1/2.21/2 21/2 t1+1/2 √2 t3/2 √2 √2- 3/2 + 1!
t -1/2 = t-1/2
= - 2 = - 2 = - 2 + c
√2-1/2! - √2 √2.t1/2 √2. √t √2t
#5
.c5
'y3 5
y '3 35
y ' 132
y '
13/2
y
'.dyy 'dy.y 'dy.y. '
'y .%&
3 5353135311323
132
332332
332
3
3 2
+==
=
+
=
+===+
+
∫ ∫ ∫
∫
∫ t2t
dt .%1
dx..%2 ∫ $ $)-#
-
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Solucionario de Calculo Integral
∫2 - 3x!1/3. dx
v = 2 - 3x! El diferencial esta incompleto, falta - 3 !
dv = - 3 dx #e aplica$ ∫vn = v
n+1 + c
n = 1/3 n+1
- 1 ! ∫2 - 3x!1/3 - 3!. dx = - 2 - 3x!1/3+1
= - 2 - 3x!4/3
=
3 31/3+1! 34/3!
-2 - 3x!4/3 = - 3 2 - 3x!4/3
= - 2 - 3x!4/3 + c
12/3 12 4
%$" ∫ !en #θ dθ
√co! #θ
∫cos 2θ!-1/2.sen 2θ dθ
v = cos 2θ! "alta -2! para completar el diferencial.dv = - 2 sen 2θ dθ #e aplica$ ∫vn = vn+1 + cn = - 1/2 n+1
- 1 ! ∫cos 2θ!-1/2.-2!sen 2θ dθ 2
- 1 !.cos 2θ!-1/2+1 = - cos 2θ!1/2 = - cos 2θ!1/2 = - √cos 2θ + c 2 -1/2+1 21/2! 1
%*" ∫
e)
d) " √ex - , v = ex - 5! El diferencial esta completo,∫ex - 5!-1/2 . ex dx . dv = ex dx se procede a integrar.
n = - 1/2
∫ex - 5!-1/2.ex dx = ex - 5! -1/2+1 = ex - 5! 1/2 = 2ex - 5!1/2 + c-(.#( (.#
%," ∫
# d)
#(
-
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Solucionario de Calculo Integral
√$ #)
∫3 + 2x!-1/2. 2 dx
v = 3 + 2x! El diferencial esta completo,dv = 2 dx se procede a integrar.
n = - 1/2
∫3 + 2x!-1/2. 2dx = 3 + 2x!-1/2+1
= 3 + 2x!1/2 = 23 + 2x!
1/2 =
-1/2+1 1/2
2 √3 + 2x! + c
%%" ∫ $ d) +
# $)
v = 2 + 3x El diferencial esta completo, se )sa la f7rm)la$
dv = 3 dx ∫ dv = ln v + c
v
∫ 3 dx = ln 2 + 3x! + c
2 + 3x%0" ∫ ) d) "
√( - #)#
∫1 - 2x2!-1/2. x dx
v = 1 - 2x2! El diferencial esta incompleto,
dv = - 4x dx falta - 4! y se le opone -1/4! .
n = - 1/2
- 1 !∫
1 - 2x2!-1/2. - 4! x dx = - 1 . 1 - 2x2 !-1/2+1
4 4 -1/2+1
- 1 - 2x2 !1/2 = - 1 - 2x2 !1/2 + c
41/2! 2
%1" ∫ t dt "
$t# *
v = 3t2 + 4 El diferencial esta incompleto, falta %!
##
-
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Solucionario de Calculo Integral
dv = %t dt y se le opone 1/%!
1 ! ∫ %!t dt = 1 .ln3t2 + 4! = ln3t
2 + 4! + c
% 3t2 + 4 % %
∫ y2!3 - 3 y2!2. 1 + 3 y2!. 1 2 - 1 3 . dy
y2 y2 y2
∫ y% - 3. y2 . y2 + 3. y2 - 1 dy = ∫ y
% - 3 y2 + 3 - 1 dy
y2 y2 . y2 y% y2 y%
y%+1 - 3 . y2+1 + 3∫
y-2 dy -∫
y - % dy =%+1 2+1
y - 3y3 + 3.y-2+1 - y-%+1 = 3 - 1 - 5
y - y3 - 3.y -1 + y -5 = y - y 3 - 3 + 1 + c
5 y 5y5
0(" ∫ !en aθ dθ
co! aθ
#eg;n tiliamos la integral$
#$
( )( )
∫
∫ ∫
∫
−
+−=
+−
−
dy.y1y &.
dx.x
12xdx.x1
x1.x2x
x1x .%9
3
2
2
2
22
2
2
-
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Solucionario de Calculo Integral
dv = a dθ ∫ tg v dv = - ln cos v = ln sec v + c
1 ! ∫ tg aθ. a!dθ = - ln cos aθ! = ln sec aθ! + c a a a
0#" ∫ c!c # φ dφ "
√3#cot φ $4
∫2cot φ + 3!-1/2 . csc2φ dφ .
v = 2cot φ + 3! "alta -2! para completar el diferencial.dv = - 2 csc
2φ dφ #e aplica$ ∫9 n d9 + 9 n( c
n+1-1 ∫2cot φ + 3!-1/2.-2!csc2φ.dφ = 1 . 2cot φ + 3! -1/2+1 =2 2 -1/2+1
- 1 .2cot φ + 3! 1/2 = - 2cot φ + 3! 1/2 = - 2cot φ + 3! 1/2 = 2 1/2 21/2! 1
- 2cot φ + 3!1/2 = - √2cot φ + 3! + c
0$" ∫ 3#) ,4 d)
)# ,) %
v = x2 + 5x +% El diferencial esta completo,
dv = 2x + 5! . dx aplicamos la f7rm)la$ ∫ dv/v = ln v + c
∫ 2x + 5! dx = ln 2x + 5! + c
x2 + 5x + %
0*" ∫ 3#) 04 d)
) $ ividimos$
2x + x + 3 El res)ltado es$ 2 + 1 .
- 2x - % 2 x + 3
+ 1
#*
-
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Solucionario de Calculo Integral
∫ 2 + 1 dx
x + 3
2 ∫ dx + ∫ dx = 2 x + ln x + 3! + c
x + 3
0," ∫ 3)# #4 d)
) # ividimos$
x2 + 2 x + 2
- x2 - 2x x - 2 El res)ltado es$
- 2x + 2 x - 2 + % . + 2x + 4 x + 2
+ %
∫7x - 2 + % 6 dx = ∫x dx - 2 ∫dx + % ∫ dx = x + 2 x + 2
x2 - 2x + % ln x + 2! + c
2
0%" ∫
3)$
$)4 d))# (
ividimos$ El res)ltado de la divisi7n es$
x3 + 3x x2 + 1 x + 2x .
- x3 - x x x2 + 1
+ 2x
v = x2 + 1 El diferencial esta completo
dv = 2x dx se procede a integrar.
∫ x dx + ∫ 2x dx = x1+1 + ln x2 + 1! = x
2 + ln x2 + 1! + c
x2 + 1 1+1 2
00" ∫ 3*) $4 d) "
∛( $) #)#
#,
-
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Solucionario de Calculo Integral
∫1 + 3x + 2x2!-1/3.4x + 3! dx
v = 1 + 3x + 2x2! El diferencial esta completo, se
dv = 3 + 4x dx = 4x + 3 dx procede a integrar.
n = - 1/3
∫1 + 3x + 2x2!-1/3 . 4x + 3! dx = 1 + 3x + 2x2 !-1/3+1 .
- 1/3 + 1
1 + 3x + 2x2 !2/3 = 3 1 + 3x + 2x2 !2/3 + c
2/3 2
01" ∫ 3et #4 dt et #t
v = et + 2t El diferencial esta completo.dv = et + 2! dt #e aplica$ ∫ dv/v = ln v + c
∫ et + 2! dt = ln et + 2t! + cet + 2t
02" ∫ 3e) !en )4 d)√e) - co! )
∫ ex - cos x!-1/2.ex + sen x! dx
v = ex - cos x! El diferencial esta
dv = ex
- -sen x! dx = ex
+ sen x! dx completo, se procede an = - 1/2 integrar.
ex - cos x!-1/2+1 = ex - cos x!1/2 = 2ex - cos x!1/2 + c-1/2+1 1/2
15" ∫ !ec #θ tg # θ dθ
$ !ec #θ - #
#%
-
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Solucionario de Calculo Integral
v = 3 sec 2θ - 2 "alta %! para completar eldv = 3sec 2θ . tg 2θ.2 dθ = diferencial y se le opone 1/%!.dv =% sec 2θ . tg 2θ dθ #e aplica$ ∫ dv/v = ln v + c
1 !∫
% !sec 2θ tg 2 θ dθ = 1 . ln 3 sec 2θ - 2! =% 3 sec 2θ - 2 %
ln 3 sec 2θ - 2! + c%
1(" ∫ !ec # #t dt "
√, $tg #t
∫
5 + 3tg 2t!-1/2.sec22t dt
v = 5 + 3tg 2t! "alta %!para completar el diferencial .
dv = 3sec22t!2! dt #e aplica$ ∫9 n d9 + 9
n( c
dv = % sec22t dt n+1
n = - 1/2
1 ! ∫5 + 3tg 2t!-1/2.%!sec22t dt
%
1 ! . 5 + 3tg 2t!-1/2+1 = 5 + 3tg 2t!1/2 = 5 + 3tg 2t!
1/2 + c
% -1/2+1 %1/2! 3
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
#0
-
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Solucionario de Calculo Integral
Problea!" Pagina #*(
Veri&icar la! Siguiente! Integracione!'
(" ∫ % e$) d) + # e$) c "
% ∫e3x dx .
v = 3x "alta el 3! para completar el diferencial,
dv = 3 dx l)ego se procede a integrar. #e aplica$ ∫ev dv = ev + c .
% 1 ! ∫e3x.3! dx = 2 e3x + c .3 .
#" ∫e).n d) + ne).n c "
v = x/n "alta 1/n completar en el diferencial,
dv = 1/n l)ego se procede a integrar. #e aplica$ ∫ev dv = ev + c .
n! ∫ex/n .1/n! dx = n.ex/n + c .
$" ∫ d) + - ( c "
e) e)
#1
-
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Solucionario de Calculo Integral
∫e-x. dx ? v = - x ? dv = - dx
(ara completar el diferencial, le falta el signo -!.
-!∫e
-x
.-! dx = - e
-x
= - 1 + c .ex
*" ∫(5 ) d) + (5) c "
ln (5
v = x El diferencial esta completo, se )sa la f7rm)la$
dv = dx ∫ av dv = a
v + c .
ln a
∫1& x dx = 1&x + c .
ln 1&
," ∫an/ d/ + an/ c "
n ln a
v = ny "alta n! para completar el diferencial.dv = n.dy #e aplica$ ∫ a
v dv = av + c .
ln a
1/n! ∫any.n! dy = . 1 . any
= any + c .
n ln a n ln a
%" ∫e√ ) d) + #e√) c "
√)
∫ e√x . 1 . 1 . dx =√x 2
v = √x "alta 1/2! para completar el diferencial,dv = 1 . dx l)ego se procede a integrar.
2√x #e aplica$ ∫ev dv = ev + c .
#2
-
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Solucionario de Calculo Integral
∫ e√x . 1 . 1 . dx = 2! ∫ e√x. 1 .dx = 2e√x + c . √x 2 2√x
0" ∫3e).a e-).a4 d) + a 3e).a - e-).a4 c " v = x/a v = - x/a
∫ex/a dx + ∫e-x/a dx . dv = 1/a dx dv = - 1/a dx
>na ve completado los diferenciales, se integra.
a! ∫ex/a.1/a! dx + - a! ∫e-x/a.- 1/a! dx
a.ex/a - a.e-x/a = a ex/a - e-x/a! + c .
1" ∫3e).a - e-).a4# d)
esarrollando el prod)cto nota'le$ ex/a - e-x/a!2 $
ex/a - e-x/a!2 = ex/a!2 - 2ex/a!e-x/a! + e-x/a!2 .
e2x/a - 2e+x/a -x/a + e-2x/a = e2x/a - 2e0 + e-2x/a .
e2x/a - 21! + e-2x/a = e2x/a - 2 + e-2x/a .
#)stit)yendo $ e2x/a - 2 + e-2x/a en la integral .
∫e2x/a - 2 + e-2x/a dx = ∫e2x/a dx - 2 ∫ dx + ∫e-2x/a dx .
:ompletando el diferencial, antes de integrar $
v = 2x/a v = -2x/a
dv = 2/a dx dv = - 2/a dx
#e aplica en am'as integrales$ ∫ev dv = ev + c .
a/2! ∫e2x/a.2/a! dx - 2 ∫ dx + - a/2! ∫e-2x/a.- 2/a! dx .
$5
-
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Solucionario de Calculo Integral
a .e2x/a - 2x - a .e-2x/a = a .e2x/a - e-2x/a - 2x + c .2 2 2
2" ∫) e )# d) + ( "e)# c " #
v = x2 :omo el diferencial esta completo,
dv = 2x dx se procede a integrar.
∫ x ex2 dx = 1 .ex2 + c . 2
(5" ∫e !en ) co! ) d) + e !en ) c "
v = sen x El diferencial esta completo,
dv = cos x dx se procede a integrar.
∫esen x. cos x dx = esen x + c .
((" ∫etg θ !ec #θ dθ "
v = tg θ El diferencial esta completo,dv = sec
2θ dθ se procede a integrar.
∫e tg θ. sec2θ dθ = e tg θ + c .
(#" ∫√et dt + #√et c"
∫
3et
4(.#
dt +∫e
t.#
" dt v = t/2 "alta 1/2! en el diferencial, dv = 1/2 l)ego se procede a integrar.
#e aplica$ ∫ev dv = ev + c .
3#4 ∫et.#"3(.#4 dt + #et.# c "
($" ∫a) e) d)
$(
-
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Solucionario de Calculo Integral
:-5
v = ax ex "alta 1 + ln a! para completar
dv = ax.ex + ex. ax.ln a dx el diferencial, l)ego se procede
dv = ax.ex1 + ln a dx a integrar.
1 . ∫ax ex. 1 + ln a! dx = ax ex + c . 1 + ln a 1 + ln a
$#
-
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Solucionario de Calculo Integral
(*" ∫ a#) d) + a#) c "
# ln a
v = 2x "alta 2! para completar el diferencial.
dv = 2 dx #e aplica$ ∫ a9 d9 + a
9 c "
ln a
1 ! ∫ a2x.2! dx = . 1 . a2x = a
2x + c .
2 2 ln a 2 ln a
(," ∫3e,) a,)4 d) + " ( e,) a,) c " , ln a
∫e5x. dx + ∫a5x. dx
:ompletando los diferenciales de am'as integrales.
v = 5x v = 5x
dv = 5 dx dv = 5 dx
#e aplica$ ∫ev dv = ev + c .
1/5! ∫e5x.5! dx + 1/5! ∫a5x.5! dx
. 1 .e5x + . 1 . a5x = 1 e5x + a5x + c .5 5 ln a 5 ln a
$$
-
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Solucionario de Calculo Integral
(%" ∫ ,ea) d)
v = ax "alta a! para completar el diferencial,
dv = a dx l)ego se procede a integrar.
#e aplica$ ∫ev dv = ev + c .
5 1 ∫eax.a! dx = 5eax + c . a a
(0" ∫ $ d)
e)
3 ∫e -x. dx
v = - x "alta el signo - ! , para completar el diferencial,
dv = - dx l)ego se procede a integrar.
#e aplica$ ∫ev dv = ev + c .
3 - !∫e
-x
. - ! dx = -3.e
-x
= - 3 + c . e x
(1" ∫ * dt +
√et
∫et!-1/2 dt = 4 - 2! ∫e- t /2. - 1/2! dt =
- * e- t/2 = - * + c .
et /2
(2" ∫ ca) d)
#)ponemos )e $ @c@ de la integral dada es la constante @a@ de
la form)la.
v = ax "alta a! para completar el diferencial,
dv = a dx l)ego se procede a integrar.
$*
-
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Solucionario de Calculo Integral
Empleando la f7rm)la$ ∫ av. dv = av + c
ln a
1/a!∫
c
ax
.a! dx = . 1 . c
ax
+ c . a ln c
#5" ∫ d) "
*#)
∫ 4-2x. dx
v = - 2x "alta - 2! , para completar el diferencial,
dv = - 2 dx l)ego se procede a integrar.
>tiliamos la f7rm)la$ ∫av. dv = av + c
ln a
- 1/2! ∫ 4-2x. - 2! dx = .- 1 . 4-2x = - 1 + c .
2 ln 4 2 . ln 4 . 42x
#(" ∫
)# e)$ d)
Ardenando$ ∫ex3. x2 dx
v = x3 "alta 3! para completar el diferencial,
dv = 3x2 dx l)ego se procede a integrar.
#e aplica$ ∫ev. dv = ev + c .
1/3! ∫ ex3 .3! x2 dx = . 1 .ex3 = ex
3 + c
3 3
##" ∫3e) *4 d) e)
∫
ex
dx + 4∫
dx = ∫
dx + 4-!∫e
-x
.-! dx = x - 4e -x
= x - 4 + c .
$,
-
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Solucionario de Calculo Integral
ex ex ex
#$" ∫ e) d) e) - #
v = ex - 2 El diferencial esta completo,dv = ex dx aplicamos $ ∫ dv = ln v + c .
v
⇒ ln ex - 2! + c .
#*" ∫) 3e)# #4 d)
∫ex2 + 2! . x dx
∫ex2 . x dx + 2 ∫x dx
v = x2 "alta 2! en la 1ra integral, para completar
dv = 2x dx el diferencial , el 2do integral esta completo.
#e aplica$ ∫ev dv = ev + c , en la 1ra integral .
1/2! ∫e)# .2! x dx + 2 ∫x dx = . 1 . e )# + 2 . x1+1 =
2 1+1
e) # + 2 . x2 = e)# + x2 + c.
2 2 2
#," ∫
3e√ ) - $ 4 d)√)
∫e√x. 1 . dx - 3 ∫ dx .√x √x
v = √x "alta 1/2! para completar el diferencial,dv = . 1 . 1 . dx de la 1
ra integral.
$%
-
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Solucionario de Calculo Integral
2 √x #e aplica$ ∫ev dv = ev + c .
2! ∫e√x . 1 . 1 . dx - 3 ∫ x -1/2 dx = 2e√x - 3.x -1/2+1 = 2 √x -1/2+1
2e√x - 3.x1/2 = 2e√x - %x1/2 = 2e√x - % √x + c . 1/2
#%" ∫ t #t#
dt
∫ 2 t#
. t dt
v = t2 "alta 2! para completar el diferencial,
dv = 2t dt l)ego se procede a integrar. #e aplica$ ∫ av. dv = a
v + c
ln a
1/2! ∫ 2 t#
.2! t dt = . 1 . 2t # = 2
t # + c .
2 ln 2 2 ln 2
#0" ∫
a dθ
b$θ
a ∫ '-3θ. dθ
v = - 3θ "alta - 3! para completar el diferencial.dv = - 3dθ #e aplica$ ∫av dv = av/ ln a + c .
a- 1/3!∫
'-3θ. - 3! dθ = - a . '-3 θ = - a + c. 3 ln ' 3 ln '! '3θ
#1" ∫ % ) e - )# d)
escomponiendo el % en 2 factores y ordenando$
3∫e- x2.2x dx
$0
-
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Solucionario de Calculo Integral
v = - x2 "alta el signo - ! para completar el diferencial.
dv = - 2x dx #e aplica$ ∫ev dv = ev + c .
3-! ∫e- x2.-!2x dx = - 3e- x2 = - 3 + c .
e x2 #2" ∫ 3e#)4# d)
∫ e4 x dx
v = 4x "alta el 4 para completar el diferencial.
dv = 4 dx . #e aplica$ ∫ev dv = ev + c .
1/4! ∫ e4 x.4! dx = . 1 .e4 x = e 4 x + c . 4 4
$5" ∫ )# d)
e)$
∫ e - )$
. x2 dx
v = = - x3 "alta - 3! para completar el diferencial.
dv = - 3x2 dx #e aplica$ ∫ev dv = ev + c .
- 1 ∫ e - x3 . - 3! x2 dx = - 1 . e
- x3 = - 1 + c .
3 3 3 e x3
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
$1
-
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Solucionario de Calculo Integral
Problea!" Pagina! #** / #*,
Veri&icar la! !iguiente! Integracione!'
(" ∫ co! ) d) + ( !en ) c "
9 + ) "alta m! para completar el diferencial.
dv = m dx #e aplica$ ∫cos v dv = sen v + c .
1 ! ∫ cos mx .m! dx = 1 sen mx + c .
m m
#" ∫tg b) d) + ( ln !ec b) c "
b
v = 'x "alta '! para completar el diferencial.
dv = ' dx #e aplica$
∫tg x dx = - ln cos v! + c = ln sec v! + c .
1 ! ∫ tg 'x .'! dx = 1 ln sec 'x + c . ' '
$" ∫!ec a) d) + ( ln 3!ec a) tg a)4 c "
a
v = ax "alta a! para completar el diferencial.
dv = a dx >samos la f7rm)la$
∫sec v dv = lnsec v + tg v! + c.
1 !∫
sec ax .a! dx = 1 ln sec ax + tg ax! + c .
$2
-
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Solucionario de Calculo Integral
a a
*" ∫c!c 9 d9 + ln tg ( 9 c "
#
ln csc v - cot v! = ln 1 - cos v = ln 1 - cos v =
sen v sen v sen v
ln tg 1 v + c .
2
(or trigonometra $
csc v = 1 ? cot v = cos v ? tg v = 1 - cos v .
sen v sen v 2 sen v
⇒ Esta demostrado $ ∫csc v dv = ln tg 1 v + c .2
," ∫!ec $t tg $t dt + ( !ec $t c "
$
v = 3t "alta 3! para completar el diferencial. #e aplica$
dv = 3 dt∫
sec v tg v dv = sec v + c .
1/3! ∫ sec 3t . tg 3t 3! dt = 1 sec 3t + c .
3
. 1 . sec 3t + c .
3
%" ∫
c!c a/ cot a/ d/ + - ( c!c a/ c
a
v = ay "alta a! para completar el diferencial. #e aplica$
dv = a dy ∫csc v cot v dv = - csc v + c
1/a! ∫csc ay . cot ay. a! dy .
*5
-
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Solucionario de Calculo Integral
. 1 . - csc ay = - 1 csc ay + c .
a a
0" ∫c!c# $) d) + - ( cot $) c "
$v = 3x :ompletando el diferencial con 3! .
dv = 3 dx #e aplica$ ∫csc2 v dv = - cot v + c .
1/3! ∫csc2 3x . 3! dx = 1 - cot 3x = - 1 cot 3x + c . + c .
3 3
1" ∫cot ) d)
#
v = 1 x "alta 1/2! para completar el diferencial.
2 #e aplica$
∫cot v dv = ln sen v! + c .
dv = 1 dx
2
2!∫
cot x 1 ! dx = 2 ln sen x ! + c . 2 2 2
2" ∫) !ec# )$ + ( " tg )$ c "
$
Ardenando$ ∫sec x3!2 . x dx = ∫sec2 x3 . x dx
v = x3
"alta 3! para completar el diferencial.dv = 3x
2 dx #e aplica$ ∫sec2 v . dv = tg v + c .
1 . ∫sec x3!2 .3! x dx = 3
1 . tg x3 + c .
3
(5" ∫
d) "
*(
-
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Solucionario de Calculo Integral
!en#)
(or
-
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Solucionario de Calculo Integral
(ero$ tg2φ = sec2φ - 1 , s)stit)yendo en la integral.∫sec2φ - 2 sec φ tg φ + sec2φ - 1 ! dφ =
∫2sec 2φ - 2 sec φ tg φ - 1 ! dφ =
∫2sec2φ dφ - 2 ∫sec φ tg φ dφ - ∫dφ =
# ∫sec2φ dφ - 2 ∫sec φ tg φ dφ - ∫dφ =
En la 1ra integral aplicamos$ ∫sec2 v dv = tg v + c .
En la 2da integral aplicamos$ ∫sec v tg v dv = sec v + c .
2 tg φ - 2sec φ - φ = 2tg φ - sec φ! - φ + c .
(*" ∫ d) + - cot ) c!c ) c "
( co! )
Cacionaliando$ 1 . 1 + cos x
1 . 1 - cos x = 1 - cos x .
1 + cos x 1 - cos x 1 - cos2x
(ero$ 1 - cos2 x = sen2 x .
∫ 1 - cos x . dx . 0plicando artificios aritmDticos, Em$
sen2x
0plicando artificios aritmDticos, Em$
* - % = * - % ⇒ 1 - cos x = 1 - cos x .2 2 2 sen2 x sen2 x sen2 x
∫ 1 - cos x dx = ∫ dx - ∫ cos x dx =sen2x sen
2x sen2x sen2x
*$
-
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Solucionario de Calculo Integral
∫csc2 x dx - ∫sen x!-2. cos x dx =
v = sen x En la 1ra aplicamos$ ∫csc2 v dv = - cot v + c .
dv = cos x dx El diferencial de la 2da integral, esta completo.
∫csc2x dx - ∫sen x!-2. cos x dx = - cot x - sen x!-2+1
=
- 2 + 1
(or
-
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Solucionario de Calculo Integral
(%" ∫ !en ! d! + - ln 3( co! !4 c "
( co! !
v = 1 + cos s "alta el signo -! , para completar el diferencial
dv = - sen s ds 0plicamos la f7rm)la $ ∫ dv = ln v + c .
v
-! ∫ sen s -!ds = - ln 1 + cos s! + c .
1 + cos s
(0" ∫ !ec # ) d) +
( tg )
v = 1 + tg x El diferencial esta completo,
dv = sec2 x dx se procede a integrar.
∫sec 2 x dx = ln1 + tg x ! + c . 1 + tg x
(1" ∫) co! )# d) + ( !en )# c "
#
∫cos x2 . x dx =
v = x2 "alta 2! para completar el diferencial.
dv = 2x dx #e aplica$ ∫cos v dv = sen v + c .
2! ∫cos x2 .2!x dx = 1 sen x2 + c .
2
(2" ∫3) !en #)4 d) + (.# 3)# - co! #)4 c "
∫x dx + ∫sen 2x dx =
v = 2x ? dv = = 2 dx
∫x dx + 1 ∫sen 2x .2! dx = x1+1 + 1 - cos 2x =
2 1+1 2
*,
-
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Solucionario de Calculo Integral
x2 - cos 2x = 1 x
2 - cos 2x + c .
2 2 2
#5" ∫ !en ) d) + # √* - co! ) c " √* - co! )
∫ sen x dx = 2 √4 - cos x + c . 4 - cos x!1/2
∫4 - cos x !-1/2. sen x dx =
v = 4 - cos x ! El diferencial esta completo,
dv = -- sen x! dx = sen x dx se procede a integrar.
∫4 - cos x !-1/2. sen x dx = 4 - cos x !- 1/2 + 1
=
- 1/2 + 1
4 - cos x !1/2 = 24 - cos x !1/2 = 2 √4 - cos x + c .
1/2
#(" ∫
3( co! )4 d) + ln 3) !en )4 c "
) !en )
v = x + sen x El diferencial esta completo, 0plicamos$
dv = 1 + cos x! dx ∫ dv = ln v + c . v
∫1 + cos x! dx = ln x + sen x! + c .
x + sen x
##" ∫ !ec #θ dθ "
√( #tg θ
∫ sec 2θ dθ . 1 + 2tg θ!1/2
*%
-
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Solucionario de Calculo Integral
∫1 + 2tg θ!-1/2. sec2θ dθ .
v = 1 + 2tg θ! "alta 2! para completar el diferencial.dv = 2 sec
2θ dθ
1/2! ∫1 + 2tg θ!-1/2.2! sec2θ dθ .
. 1 1 + 2tg θ!-1/2+1 = 1 + 2tg θ!1/2 = 1 + 2tg θ!1/2 = 2 -1/2+ 1 21/2! 1
√1 + 2tg θ! + c .
#$" ∫
!en #) d) $
v = 2x . "alta 2/3! para completar el diferencial.
3 #e aplica $ ∫sen v dv = - cos v + c .
dv = 2/3 dx
3 ! ∫ sen 2x 2 ! dx = 3 - cos 2x = - 3 cos 2x + c
2 3 3 2 3 2 3
#*" ∫ co! 3b a)4 d)
v = ' + ax! "alta a! para completar el diferencial.
dv = a dx #e aplica $ ∫cos v dv = sen v + c .
. 1 . ∫ cos ' + ax!. a! dx = 1 . sen' + ax! = sen' + ax! + c .
a a a
#," ∫ c!c# 3a - b)4 d) + ∫;c!c 3a - b)4
-
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Solucionario de Calculo Integral
' '
cot a - 'x! + c .
'
#%" ∫
!ecθ
tgθ
dθ
# #
v = θ/2 . "alta 1/2! para completar el diferencial, dv = 1/2 . d θ ∫ sec v tg v dv = sec v + c .
2 ! ∫sec θ tg θ 1/2!dθ = 2 sec θ + c .2 2 2
#0" ∫c!c a φ cot a φ d φ
b b
v = a φ "alta a/'! para completar el diferencial, ' #e aplica$ ∫csc v cot v dv = - csc v + c .
dv = a . d φ '
' ∫csc a φ cot a φ . a ! d φ = . ' .- csc a φ = a ' ' ' a '
- ' csc a φ + c. a '
#1" ∫ e) cot e) d)
v = ex El diferencial esta completo,dv = ex dx se procede a integrar.
∫ cot ex . ex dx = ln sen ex! + c .
#2" ∫!ec# # a) d) +
v = 2ax "alta 2a! para completar el diferencial.
*1
-
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Solucionario de Calculo Integral
dv = 2a dx
1/2a! ∫sec2 2ax.2a! dx = . 1 .tg 2ax = tg 2a + c . 2a 2a
$5" ∫ tg ) d)
$
v = x/3 . "alta 1/3! para completar el diferencial.
dv = 1/3 dx #e aplica$ ∫tg v dv = - ln cos v + c = ln sec v + c .
dv = 1 dx l)ego se procede a integrar.
3
3! ∫ tg x 1/3! dx = 3 - ln cos x = 3 ln sec x + c . 3 3 3
$(" ∫ dt "
tg ,t
∫cot 5t dt .
v = 5t "alta 5! para completar el diferencial
dv = 5 dt l)ego se procede a integrar.
1/5! ∫cot 5t dt = 1 ln sen 5t = ln 5t + c . 5 5
$#" ∫ dθ "
!en#
*θ
(or trigonometria$ 1/sen24θ = csc24θ .∫ dθ = ∫ csc24θ dθ.
sen24θ
v = 4θ "alta 4! para completar el diferencial,dv = 4 dθ l)ego se procede a integrar.
*2
-
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Solucionario de Calculo Integral
∫ csc24θ dθ = 1 - cot 4θ = - cot 4θ + c . 4 4
$$" ∫
d/ " cot 0/
∫tg y dy =
v = y "alta 4! para completar el diferencial,
dv = dy l)ego se procede a integrar.
#e aplica$ ∫tg v dv = - ln cos v + c = ln sec v + c .
1/! ∫tg y .! dy = 1 - ln cos y = - ln cos y =
1 ln cos y + c .
$*" ∫ !en √) d)
√)
v = √x "alta 1 para completar el diferencial,dv = 1 . dx 2
2√x l)ego se procede a integrar.
2 2! ∫ sen √x dx . 1 . 1 . dx = 2 - cos √x ! = - 2 cos √x + c . 2 √x
$," ∫ dt "
!en# $t
∫csc2 3t dt
v = 3t "alta 3! para completar el diferencial.
dv = 3 dt #e aplica$ ∫csc2 v dv = - cot v + c .
,5
-
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Solucionario de Calculo Integral
1/3! ∫csc23t .3! dt = 1 - cot 3t ! = - cot 3t + c . 3 3
$%" ∫ dφ "
co! *φ
(or
-
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Solucionario de Calculo Integral
1/2! ∫sec 2θ .2!dθ - 2! ∫csc θ . 1 .!dθ . 2 2
1 ln sec 2θ + tg 2θ ! - 2 ln csc θ - cot θ + c .
2 2 2
$2" ∫ 3tg φ !ec φ4# dφ
∫tg2φ + 2 tg φ sec φ + sec2φ dφ
(or
-
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Solucionario de Calculo Integral
*#" ∫3 !ec t - (4# dt "
∫ sec2 t - 2 sec t + 1! dt .
∫sec2 t dt - 2 ∫sec t dt + ∫ dt .
tg t - 2 ln sec t + tg t! + t + c .
*$" ∫ 3( - c!c /4# d/ "
∫1 - 2 . 1 . csc y + csc2 y! dy = ∫1 - 2 csc y + csc2 y! dy .
∫ dy - 2∫csc y dy + ∫csc2 y dy .
y - 2ln csc y - cot y! - cot y + c .
**" ∫ d) "
( - co! )
Cacionaliando$ 1.
1 - cos x!
1 1 + cos x = 1 + cos x = 1 + cos x = 1 - cos x 1 + cos x 12 - cos2 x sen2 x
1 + cos x = csc2 x + cos x .
sen2 x sen2 x sen2 x
∫ csc2 x + ∫ cosx dx = ∫ csc2 x + ∫sen x! -2 . cosx dx =
sen2 x
- cot x + sen x!-2+1 = - cot x + sen x!-1 = - cot x - sen x!
-1 =-2+1 -1
- cot x - 1 = - cot x - csc x = - cot x + csc x! + c .
sen x
,$
-
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Solucionario de Calculo Integral
*," ∫ d) "
( - !en )
Cacionaliando$
1 1 + sen x = 1 + sen x = 1 + sen x . 1 - sen x 1 + sen x 1 - sen2 x cos2 x
∫ 1 + sen x dx = ∫ 1 dx + ∫ sen x dx . cos2 x cos2 x cos2 x
∫sec2 x dx + ∫ cos x!-2 . sen x dx = tg x - cos x!-2+1 =
- 2 + 1
tg x - cos x!-1 = tg x + 1 = tg x + sec x + c . -1 cos x
*%" ∫ !en #) d) "
$ co! #)
v = 3 + cos 2x "alta -2! para completar el diferencial,
dv = - 2 sen 2x dx se aplica$ ∫ dv = ln v + c .
v
-1 ! ∫ -2! sen 2x dx = - 1 ln 3 + cos 2x! + c .
2 3 + cos 2x 2
*0" ∫
co! t dt " √a b !en t
∫ cos t dt = ∫a + ' sen t!-1/2 .cos t dt =
a + ' sen t!1/2
v = a + ' sen t! "alta '! para completar el diferencial,
dv = ' cos t dt #e aplica$ ∫vn dv = v
n+1 + c .
n + 1
,*
-
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Solucionario de Calculo Integral
1 .∫a + ' sen t!-1/2.'!cos t dt = a + ' sen t!-1/2+1 = a + ' sen t!
1/2 =
' '!-1/2 + 1! 1/2 '!
a + ' sen t!1/2
1 = 2 a + ' sen t!1/2 = 2 √a + ' sen t! + c . ' ' '
2
*1" ∫ c!c θ cot θ dθ
, - * c!c θ
v = 5 - 4 csc θ "alta - 4! para completar el diferencial, dv = - 4 csc θ cot θ dθ #e aplica$ ∫ dv = ln v + c .
v
- 1 ! ∫ - 4! .csc θ cot θ dθ 4 5 - 4 csc θ
- 1 ln 5 - 4 csc θ! + c .
4
*2" ∫ c!c # ) d) "
√$ - cot )
∫ csc 2 x dx = ∫3 - cot x!-1/2. csc2 x dx
3 - cot x!1/2
v = 3 - cot x El diferencial esta completo.dv = csc
2x dx #e aplica$ ∫vn dv = vn+1 + c .
n+1
3 - cot x!-1/2+1 = 3 - cot x!1/2 = 23 - cot x!
1/2 =-1/2 + 1 1/2
2 √3 - cot x! + c .
,,
-
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Solucionario de Calculo Integral
,5" ∫ √, #tg ) d) co!# )
∫ √5 + 2tg x . 1 . dx = ∫ √5 + 2tg x . sec2 x dx
cos2
x
∫ 5 + 2tg x!1/2 . sec2 x dx .
v = 5 + 2tg x! "alta 2! para completar el diferencial,
dv = 2 sec2x dx #e aplica$ ∫vn dv = v
n+1 + c .
n+1
1 !∫
5 + 2tg x!1/2
.2! sec2
x dx = . 1 . 5 + 2tg x!1/2+1
= 2 2 1/2 + 1
5 + 2tg x!3/2 = 5 + 2tg x!3/2 = √5 + 2tg x!3 =
23/2! 3 3
√5 + 2tg x!2 .5 + 2tg x! = 5 + 2tg x! √5 + 2tg x! + c .3 3
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Problea!" Pagina #*1 / #*2
Veri&icar la! !iguiente! Integracione!'
(" ∫ d) "
)# 2
∫ dx .
x2 + 32
v = x El diferencial esta completo, se aplica$
,%
-
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Solucionario de Calculo Integral
dv = dx ∫ dv = 1 arc tg v + c .
a = 3 v2 + a2 a a
∫ dx = 1 .arc tg x + c .
x2 + 32 3 3
#" ∫ d) "
)# - *
∫ dx .
x2 - 22
v = x El diferencial esta completo, se aplica$dv = dx ∫ dv = 1 . ln v - a + c .
a = 2 v2 - a2 2a v + a
∫ dx = 1 . ln x - 2 = 1 ln x - 2 + c .
x2 - 22 22! x + 2 4 x + 2
$" ∫ d/ "
√#, - /#
v = y El diferencial esta completo. #e aplica$
dv = dy ∫ dv = arc sen v + c .
a = 5 √a2 - v2 a∫ dy = arc sen y + c .
√52 - y2 5
*" ∫
d! " √!# - (%
∫ ds .
√s2 - 42
v = s El diferencial esta completo.
dv = ds #e aplica$ ∫ dv = ln v + √v2 - a2 + c .
a = 4 √v2 - a2
,0
-
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Solucionario de Calculo Integral
∫ ds = ln s + √s2 - 1% + c . √s2 - 42
," ∫
d) " 2)# - *
v = 3x "alta 3! para completar el diferencial
∫ dv . dv = 3 dx #e aplica$ ∫ dv = 1 . ln v - a + c .
3x!2 - 22 a = 2 v2 - a2 2a v + a
1 ! ∫ 3! dx = 1 1 ln 3x - 2 = 1 .ln 3x - 2 + c .
3 3x!2
- 22
3 22! 3x + 2 12 3x + 2
%" ∫ d) "
√(% - 2)#
∫ dx .
√42 - 3x!2
v = 3x "alta 3! para completar el diferencial.dv = 3 dx #e aplica$ ∫ dv = arc sen v + c . a = 4 √a2 - v2 a
1 ! ∫ 3! dx = 1 .arc sen 3x + c .
3 √42 - 3x!2 3 4
0" ∫ d) "
2)# - (
∫ dx .
3x!2 - 12
v = 3x "alta 3! para completar el diferencial. #e aplica$
dv = 3 dx ∫ dv = 1 . ln v - a . a = 1 v
2 - a2 2a v + a
,1
-
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Solucionario de Calculo Integral
∫ dx = 1 . 1 . ln 3x - 1 = 1 ln 3x - 1 + c .
3x!2 - 12 3 12! 3x + 1 % 3x + 1
1" ∫
dt " * - 2t#
∫ dt .
22 - 3t!2
v = 3t "alta 3! para completar el diferencial.
dv = 3 dt ∫ dv = 1 .ln v - a + c .
a = 2 v2
- a2
2a v + a
1 ! ∫ 3! dt = 1 . 1 . ln 2 + 3t = 1 .ln 2 + 3t + c .
3 22 - 3t!2 3 22! 2 - 3t 12 2 - 3t
2" ∫ e) d) ( e #)
∫
ex dx . 12 + e x!2 v = e x El diferencial esta completo.
dv = e x dx #e aplica$ ∫ dv = 1 arc tg v + c .a = 1 a
2 + v2 a a
∫ ex dx = 1 .arc tg e x = arc tg e x + c . 12 + e x!2 1 1
(5" ∫ co! θ dθ
* - !en#
θ
∫ cos θ dθ .22 - sen θ!2
v = sen θ El diferencial esta completo, se procede a integrar.dv = cos θ dθ ∫ dv = 1 . ln a + v + c .a = 2 a
2 - v2 2a a - v
,2
-
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Solucionario de Calculo Integral
∫ cos θ dθ = 1 ln 2 + sen θ = 1 ln 2 + sen θ + c .22 - sen θ!2 22! 2 - sen θ 4 2 - sen θ
((" ∫
b d) "a#)# - c#
∫ ' dx .
ax!2 - c2
v = ax "alta a! para completar el diferencial.
dv = a dx ∫ dv = 1 ln v - a + c .
a = c v2
- a2
2a v + a
1 !'!∫ a! dx = ' . 1 . ln ax - c = ' . ln ax - c + c .
a ax!2 - c2 a 2c! ax + c 2ac ax + c
(#" ∫ ,) d) "
√( - )*
∫ 5x dx .
√12 - x2!2
v = x2 "alta 2! para completar el diferencial. #e aplica$
dv = 2x dx ∫ dv = arc sen v + c .
a = 1 √a2 - v2 a
5!∫
2!x dx = 5 .arc sen x = 5 arc sen x + c 2 √12 - x2!2 2 1 2
($" ∫ a) d) "
)* b*
∫ ax dx .
x2!2 + '2!2
%5
-
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Solucionario de Calculo Integral
v = x2 "alta 2! para completar el diferencial. #e aplica$
dv = 2x dx ∫ dv = 1 arc tg v + c .
a = '2 v2 + a2 a a
a ! ∫ 2! ax dx = a . 1 . arc tg x2 = a arc tg x
2 + c
2 x2!2 + '2!2 2 '2 '2 2'2 '2
(*" ∫ dt "
3t - #4# 2
∫ dt =
t - 2!2
+ 32
v = t - 2 El diferencial esta completo, se aplica$
dv = dt ∫ dv = 1 . arc tg v + c .
a = 3 v2 + a2 a a
1 . arc tg t - 2 + c .
3 3
(," ∫ d/ "
√( a#/#
v = ay "alta a! para completar el diferencial, se aplica$
dv = a dy ∫ dv = ln v + √a2 + v2 + c . a = 1 √a2 + v2
1∫
a! dy = 1 .∫
a! dy = 1 ln ay + √1 + a2
y2
+ c . a √1 + ay!2 a √ay!2 + 12 a
(%" ∫ du "
√* - 3u $4#
∫ d) .
√22 - ) + 3!2
%(
-
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Solucionario de Calculo Integral
v = ) + 3 El diferencial esta completo, se procede a integrar.
dv = d) #e aplica$ ∫ dv = arc sen v + c .
a = 2 √a2 - v2 a
∫
d) = arc sen ) + 3 + c . √22 - ) + 3!2 2
(0" ∫ d) "
√2 - (%)#
∫ dx .
√32 - 4x!2
v = 9 - 1%x2 "alta 4! para completar el diferencial, se aplica$
dv = 4 dx ∫ dx = arc sen v + c .
a = 3 √a2 - v2 a
1 ! ∫ 4!dx = 1 . arc sen 4x + c .
4 √32 - 4x!2 4 3
(1" ∫
d/ " √2/# *
∫ dy .
√3y!2 + 22
v = 3y "alta 3!para completar el diferencial.
dv = 3 dy #e aplica$∫
dv = ln v + √v2 + a2 + c. a = 2 √v2 + a2
1 ! ∫ 3! dy = 1 . ln 3y + √3y!2 + 22 =3 √3y!2 + 22 3
ln 3y + √9y2 + 4 + c3
%#
-
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Solucionario de Calculo Integral
(2" ∫ dt "
*t# #,
∫ dt .
2t!2
+ 52
v = 2t "alta 2! para completar el diferencial, se aplica$
dv = 2 dt ∫ dv = ln v + √v2 + a2 + c.a = 5 √v2 + a2
1 ! ∫ 2!dt = 1 . arc tg 2t + c .
2 2t!2 + 52 5 5
#5" ∫ d) "
#,)# - *
∫ dx .
5x!2 - 22
v = 5x "alta 5! para completar el diferencial, se aplica$
dv = 5 dx∫
dv = 1 ln v - a . + c . a = 2 v
2 - a2 2a v + a
1 ! ∫ 5! dx = 1 1 ln 5x - 2 = 1 ln 5x - 2 + c
5 5x!2 - 22 5 22! 5x + 2 2& 5x + 2
#(" ∫ 0 d) .
$ 0)#
∫
dx . √3!2 + √.x!2
v = √. x "alta ! para completar el diferencial, se aplica$dv = √ dx ∫ dv = 1 arc tg v + c .a = √3 a2 + v2 a a
1 ! ∫ √ dx = 1 1 arc tg √.x =
%$
-
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Solucionario de Calculo Integral
√ √3!2 + √.x!2 √ √3 √3
1 arc tg √.x + c .√21 √3
√21 . arc tg √. √3.x = √21 arc tg √21. x + c .√21.√21 √3. √3 21 3
##" ∫ $ d/ "
2/# - (%
∫ 3 dy .
3y!
2
- 4
2
v = 3y El diferencial esta completo, se procede a integrar.
dv = 3 dy #e aplica$ ∫ dv = 1 . ln v - a
a = 4 v2 - a2 2a v + a
∫ 3 dy = 1 . ln 3y - 4 = 1 ln 3y - 4 = ln 3y - 41/* + c .
3y!
2
- 4
2
24! 3y + 4 * 3y + 4 3y + 4
#$" ∫ d! .
√*!# ,
∫ ds .
√2s!2 + √5!2
v = 2s "alta 2! para conmpletar el diferencial, se aplica$
dv = 2 ds ∫ dv = ln v + √v2 + a2 + c .a = √5 √v2 + a2
1 ! ∫ 2!ds = 1 ln 2s + √4s2 + 5!6 + c .2 √2s!2 + √5!2 2
%*
-
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Solucionario de Calculo Integral
#*" ∫ t dt "
√t* - *
∫ t dt .
√t2
!2
- 2!2
v = t2 "alta 2! para completar el diferencial, se aplica$
dv = 2t dt ∫ dv = ln v + √v2 - a2 + c .a = 2 √v2 - a2
1 !∫
2!t dt = 1 ln t2
+ √t4
- 4!6 + c . 2 √t2!2 - 2!2 2
#," ∫ ) d) "
√,)# $
∫5x2 + 3!-1/2. x dx .
v = 5x2
+ 3 "alta 1&! para completar el diferencial, se aplica$dv = 1&x dx ∫ v
n dv = vn+1 + c .
n = -1/2
1 . ∫ 5x2 + 3!-1/2.1&! x dx = 1 . 5x2 + 3!-1/2+1 =
1& 1& -1/2+1
5x 2 + 3!1/2 = √5x2 + 3 + c .
1&1/2! 5
#%" ∫ #е) d) " √( - е#)
∫ 2еx dx . √12 - еx!2
%,
-
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Solucionario de Calculo Integral
v = еx El diferencial esta completo, se procede a integrar.dv = еx dx #e aplica$ ∫ dv = arc sen v + c .a = 1 √a2 - v2 a
2∫
еx
dx = 2 arc sen еx
= 2 arc sen еx
+ c .√12 - еx!2 1
#0" ∫ %t dt "
1 - $t#
v = * - 3t2 "alta el signo -! para completar el diferencial,
dv = - %t dt se )sa la f7rm)la$∫
dv = ln v + c . v
-!∫ -! %t dt = - ln * - 3t2! + c .
* - 3t2
#1" ∫ !en θ "
√* co!#θ
∫ sen θ dθ . √22 + cos θ!2
v = cos θ "alta el signo -! para
dv = - sen θ dθ completar el diferencial.a = 2
#e aplica$∫
dv = ln v + √a2 + v2 + c .√a2 + v2
3-4 ∫ -!sen θ dθ = - ln cos θ + √4 + cos2θ + c . √22 + cos θ!2
#2" ∫ d) "
#
3) n4
#
%%
-
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Solucionario de Calculo Integral
v = x + n El diferencial esta completo, se procede a integrar.
dv = dx #e aplica$ ∫ dv = 1 . arc tg v + c .
a2 + v2 a a
∫ dx = 1 . arc tg x + n + c
m2 + x + n!2 m m
$5" ∫ du "
* - 3#u - (4#
∫ d) .
22
- 2) - 1!2
v = 2) - 1 "alta el 2! para completar el diferencial, se aplica$
dv = 2 d) ∫ dv = 1 . ln a + v + c .
a = 2 a2 - v2 2a a - v
1 ! ∫ 2! d) = 1 . 1 . ln 2 + 2) - 1! =
2 22 - 2) - 1!2 2 2.2 2 - 2) - 1!
1 . ln 2 + 2) - 1 = 1 . ln 1 + 2) + c .
* 2 - 2) + 1 * 3 - 2)
$(" ∫ 0)# d) .
, - )%
Faciendo c)adrado perfecto al 5 ,y l)ego le extraemos la rai
c)adrada y lo elevamos al c)adrado$
∫ x2 dx .
√5!2 - x3!%
v = x3 "alta 3! para completar el diferencial, el ! se
dv = 3x2 dx coloca f)era de la integral. #e aplica$
a = √5 ∫ dv = 1 . ln a + v + c .
a
2
- v
2
2a a - v
%0
-
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Solucionario de Calculo Integral
. 1 ! ∫ 3!x2 dx = . 1 . ln √5 + x 3 = . ln √5 + x 3 + c3 √5!2 - x3!% 3 2.√5 √5 - x3 %√5 √5 - x3
. √5 . ln √5 + x 3 = . √5 . ln √5 + x 3 =% √5. √5 √5 - x3 % . 5 √5 - x3
. √5 . ln √5 + x 3 + c . 3& √5 - x3
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫Problea!" Pagina #,5 = #,( / #,#"
Veri&icar la! !iguiente! Integracione!'
(" ∫ d) "
)# *) $
Factori6ar el denoinador / >acerlo trinoio cuadrado ?er&ecto'
(rimero dividimos para 2! al coeficiente del 2do tDrmino , y
l)ego al res)ltado lo elevamos al c)adrado. 4/2 = 2 ? 22 = 4 .
G)ego$ s)mamos y restamos @4@ a $ x2 + 4x + 3.
x2 + 4x + 4 - 4 + 3 = x2 + 4x + 4 - 1 .
x2 + 4x + 4, es )n trinomio c)adrado perfecto$ x + 2!2.
-
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Solucionario de Calculo Integral
∫ dx = ∫ dx .
x2 + 4x + 3 x + 2 !2 - 12
v = x + 2 !
dv = dx El diferencial esta completo.
a = 1
∫ dx = 1 . ln x + 2 - 1 = ( ln ) ( c .
x + 2 !2 - 12 2.1 x + 2 + 1 # ) $
Nota.-
-
8/20/2019 Solucionario de Calculo Diferencial e Integral - Granville
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Solucionario de Calculo Integral
x2 - *x + 1% - 1% + 25 = x2 - *x + 1% + 9 = x - 4!
2 + 326
∫ 3 dx .
x - 4!2 + 326
v = x - 4 El diferencial esta completo, se aplica$ dv = dx ∫ dv = 1 arc tg v + c .
a = 3 v2 + a2 a a
3!∫ 3 dx = 3 . 1 . arc tg x - 4 = arc tg ) - * c .
x - 4!2 + 326 3 3 $
*" ∫ d) "
√$) - )#
- #
3x - x2 - 2 = - x2 + 3x - 2 = - x
2 - 3x + 2! ? 3 ? 3 2 = 9 . 2 2 4
- x2 - 3x + 2! = - x2 - 3x + 9 - 9 + 2! = - x - 3 !
2 - 9 + * 6 = 4 4 2 4 4
= - x - 3 !2 - 1 = - x - 3 !
2 - 1 2 = 12 - x - 3 !2
2 4 2 2 2 2
∫ dx .
√ I 2 - x - 3/2 2
v = x - 3/2 Esta completo el diferencial. #e aplica$
dv = dx ∫ dv = arc sen v + c .
a = 1/2 √a2 - v2 a
2x - 3
= arc sen x - 3/2 = arc sen 2 = arc !en 3#) - $4 c "
I I
," ∫ d9 "
9# - %9 ,
v2 - %v + 5 ? % = 3 ? 32 = 9
05
-
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Solucionario de Calculo Integral
2
v2 - %v + 5 = v2 - %v + 9 - 9 + 5 = v - 3!
2 - 4 = v - 3!2 - 22 =
#)stit)yendo este valor en la integral$
∫
dv "
v - 3!2 - 22
v = v - 3 El diferencial esta completo, se emplea la f7rm)la$
dv = dv ∫ dv = 1 . ln v - a + c .
a = 2 v2 - a2 2a v + a
∫ dv = 1 . ln v - 3 - 2 = ( " ln 9 - , c .
v - 3!2 - 22 2.2 v - 3 + 2 * 9 - (
%" ∫ d) "
#)# - #) (
2x2 - 2x + 1 = 2x2 - x + 1 ! ? 1 ? 1 2 = 1 .
2 2 2 4
2x2 - x + 1 - 1 + 1 ! = 2 x - 1 !2 - 1 + 1 = 2x - 1 !
2 - 1 + 2
4 4 2 2 4 2 2 4 4
2x - 1 !2 + 1 = 2x - 1 !2 + 12
2 4 2 22
El factor 2! por estar en el denominador, sale f)era de laintegral como 1/2 .
∫
dx = 1 .∫
dx = 2x - 1 !2 + 12 2 x - 1 !2 + 12
2 22 2 22
v = x - 1/2 El diferencial esta completo. #e aplica$
dv = dx ∫ dv = 1 arc tg v + c .
a = 1/2 v2 + a2 a a
x - 1 .
1 . 1 ∫ dx = 1 . 2 .arc tg 2 =
0(
-
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Solucionario de Calculo Integral
2 1 x - 1 !2 + 12 2 1 .
2 2 22 2
2x - 1
2 arc tg 2 = arc tg 3#) - (4 c "
2 1 . 2
0" ∫ d) "
√(, #) - )#
15 + 2x - x2 = - x2 + 2x + 15 = - x
2 - 2x - 15 ! ? 2 = 1 ? 12
= 1 2
x2 - 2x + 1 - 1 - 15 ! = - x - 1!2 - 1% = - x - 1!2 - 42 6 =
42 - x - 1!26. #e reemplaa este valor en la integral.
∫ dx = ∫ dx =
√15 + 2x - x2 √42 - x - 1!2
v = x - 1 El diferencial esta completo,se )sa la f7rm)la$
dv = dx∫
dv = arc sen v + c .a = 4 √a2 - v2 a
arc !en ) - ( c "
*
1" ∫ d) "
)# #)
x2 + 2x ? 2/2 = 1 ? 12 = 1 . #e s)ma y resta 1 a$ x
2 + 2x .
x2 + 2x = x2 + 2x + 1 - 1 = x + 1!
2 - 16 = x + 1!2 - 126 .
∫ dx .
x + 1!2 - 12
v = x + 1 El diferencial esta completo. #e )sa la f7rm)la$
0#
-
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Solucionario de Calculo Integral
dv = dx ∫ dv = 1 ln v - a + c .
a = 1 v2 - a2 2a v + a
∫ dx = 1 ln x + 1 - 1 = ( ln ) c "
x + 1!
2
- 1
2
2.1 x + 1 + 1 # ) #
2" ∫ d) "
*) - )#
4x - x2 = - x2 + 4x = - x
2 - 4x!
4 = 2 ? 22 = 4
2
= - x2 - 4x + 4 - 4! = = - x - 2!2 - 4 = - x - 2!2 - 22 =
22 - x - 2!2
∫ dx .
22 - x - 2!2
v = x - 2 El diferencial esta completo,se )sa la f7rm)la$
dv = dx∫
dv = 1 . ln a + v + c .
a = 2 a2 - v2 2a a - v
1 ln 2 + x - 2 = 1 ln x = ( ln ) c .
2.2 2 - x - 2! 4 2 - x + 2 * * - )
(5" ∫ d) "
√#) - )#
2x - x2 = - x2 + 2x = - x
2 - 2x ! ? 2 = 1 ? 12 = 1
2
-x2 - 2x + 1 - 1! = -x - 1!2 - 1 = -x - 1!
2 - 12 = 12 - x -1!2
∫ dx .
√12 - x -1!2
0$
-
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Solucionario de Calculo Integral
v = x - 1 Esta completo el diferencial, se )sa la f7rm)la$
dv = dx ∫ dv = arc sen v + c .
a = 1 √a2 - v2 a
arc sen x - 1 = arc !en 3) - (4 c " 1
((" ∫ d! .
√#a! !#
2as + s2 = s2 + 2as . 2a = a ? a
2 = a2
2
s2 + 2as + a2 - a2 = s + a!2 - a2 = s + a!
2 - a2
∫ ds .
√s + a!2 - a2
v = s + a El diferencial esta completo, se aplica$
dv = ds ∫ dv = ln v + √v2 - a2!6 + c .
a = a √v2
- a
2
ln ;3! a4 √73! a4# - a#8 < c "
(#" ∫ d/ "
/# $/ (
y2 + 3y + 1 . 3 ? 32 = 9 .
2 2 4
y2 + 3y + 9 - 9 + 1 = y + 3 !2 - 9 + 4 = y + 3 !
2 - 5
4 4 2 4 4 2 4
y + 3 !2 - √5 2 = y + 3 !2 - √5 22 √4 2 2
∫ dy . v = y + 3/2 El diferencial esta
0*
-
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Solucionario de Calculo Integral
y + 3/2 !2 - √5/2!2 dv = dy completo, se aplica ' a = √5/2 ∫ dv = 1 ln v - a + c
v2 - a2 2a v + a
y + 3 - √5 2y + 3 - √5.
. 1 . ln 2 2 = 1 ln 2 =2.√5 y + 3 + √5 √5 2y + 3 + √5 .
2 2 2 2 .
( ln #/ $ - √, c " √, #/ $ √,
($" ∫ d/ "
( ) )#
1 + x + x2 = x2 + x + 1 . 1 ? 1 2 = 1 .
2 2 4
= x2 + x + 1 - 1 + 1 = x + ½!2 - 1 + 4 =
4 4 4 4
x + ½!2 + ¾ = x + ½!2 + √¾ !2 = x + ½!2 + √3/2!2.
∫ dy =x + ½!2 + √3/2!2 .
v = x + 1/2 El diferencial esta completo.
dv = dx ∫ dv = 1 arc tg v + c .
a = √3/2 v2 + a2 a a
x + 1 .
∫ dy = 1 arc tg 2 = x + ½!2 + √3/2!2 √3 . √3 .
2 2
2x + 1 . 2 arc tg 2 = # arc tg #) ( c
0,
-
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Solucionario de Calculo Integral
√3 √3 √$ √$ . 2
(*" ∫ d) "
√( ) )#
1 + x + x2 = x2 + x + 1 . 1 ? 1
2 = 1 .
2 2 4
x2 + x + 1 - 1 + 1 = x + I!2 - 1 + 4 = x + I!
2 + J .
4 4 4 4
x + I!2 + √3 2 = x +I!2 + √3 2 = x + I!2 + √3/2!2 √4 2
∫ dx .
√x + I!2 + √3/2!2
v = x + 1/2 Esta completo el diferencial.
dv = dx #e aplica $ ∫ dv = ln v + √v2+a2 + c.a = √3/2 √v2+a2
ln x + ½ + √x + I!2 + √3/2!2 =
ln ;) ½ √3( ) )#4< c "
(," ∫ d) .
*)# *) ,
4x2 + 4x + 5 = 4x2 + x + 5 ! . 1 ? 12 = 1 .
4 2 22 4
4x2 + x + 1 - 1 + 5 ! = 4x2 + x + 1 + 4 ! =
4 4 4 4 4
4x + I!2 + 1 = 4 x + I!2 + 12 .
0%
-
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Solucionario de Calculo Integral
El factor 4! sale como ¼ f)era de la integral
1 ∫ dx .
4 x + 1 !2 + 12.
2
v = x + 1/2 El diferencial esta completo$
dv = dx #e aplica$ ∫ dv = 1 arc tg v + c a = 1 v
2 + a2 a a
1 . 1 arc tg x + ½ = ( arc tg 3#) (4 c " 4 1 1 * #
(%" ∫
d) "
$)# - #) *
2 .3x2 - 2x + 4 = 3x
2 - 2/3x + 4/3!. 3 = 2 = 1 ? 12 = 1 .
2 % 3 3 9
1
3x2 - 2/3x + 1/9 - 1/9 + 4/36 = 3x - 1/3!2 - 1/9 + 12/96 =
3x - 1/3!2 + 11/96 = 3x - 1/3!2 + √11/√9!2 =
3x - 1/3!2 + √11/3!2El factor 3! del denominador, sale como 1/3 f)era de la integral .
∫ dx = 1 ∫ dx .
3x - 1/3!2 + √11/3!2 3 x - 1/3!2 + √11/3!2
v = x - 1/3 El diferencial esta completo, se aplica$
dv = dx ∫ dv = 1 arc tg v + c . a = √11/3 v2 + a2 a a
x - 1 3x - 1 . 1 . 1 . arc tg 3 = 1 arc tg 3 =
3 √11 √11 √11 √11 . .
00
-
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Solucionario de Calculo Integral
3 3 3 .
( " arc tg $) - ( c "
√(( √(( .
(0" ∫
d) "
√# - $) - *)#
2 - 3x - 4x2 = - 4x2 - 3x + 2 = - 4x
2 + J x - 2/4! ,
J = ⅜ ? ⅜!2 = 9/%4 2
- 4x2 + J x + 9/%4 - 9/%4 - 2/4! = - 4x + ⅜!2 - 9/%4 - 32/%46
- 4x + ⅜!2 - 41/%46 = - 4x + ⅜!2 - √41/√%4!26
- 4x + ⅜!2 - √41/*!26 = 4√41/*!2 - x + ⅜!26 =
0l factor 4! se le extrae la rai c)adrada y sale f)era de la integral como I
∫
dx =∫
dx = √4√41/*!2 - x + ⅜!26 √4 . √√41/*!2 - x + ⅜!26∫ dx = 1 ∫ dx =
2a√√41/*!2 - x + ⅜!26 2 √√41/*!2 - x + ⅜!26
v = x + ⅜ El diferencial esta completo, se procede a integrar. dv = dx #e aplica $ ∫ dv = arc sen v + c .
a = √41/* √a2 - v2 a
*x + 3 .
. 1 arc sen x + ⅜ = 1 arc sen * + c . 2 √41/* 2 √41 .
*
( arc !en 1) $ c .
# √*(
01
-
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Solucionario de Calculo Integral
(1" ∫ d) "
)# #) (5
x2 + 2x + 1& , 2/2 = 1 ? 12 = 1
x2 + 2x + 1 - 1 + 1& = x + 1!2 - 1 + 1& = x + 1!
2 + 9 =
x + 1!2 + 32 . #)stit)yendo este valor en la integral.
∫ dx .
x + 1!2 + 32
v = x + 1 El diferencial esta completo. #e aplica$
dv = dx ∫ dv = 1 arc tg v + c .
a = 3 v2 + a2 a a
∫ dx = ( arc tg ) ( c .
x + 1!2 + 32 $ $
(2" ∫ d) "
)
#
#) - $
x2 + 2x - 3 . 2/2 = 1? 12 = 1
x2 + 2x - 3 = x2 + 2x + 1 - 1 - 3 = x + 1!
2 - 4 = x + 1!2 - 22
∫ dx .
x + 1!2 - 22
v = x + 1 El diferencial esta completo, se aplica$
dv = dx ∫ dv = 1 ln v - a + c .
a = 2 v2 - a2 2a v + a
1 ln x + 1 - 2 = ( ln ) - ( c .
2 . 2 x + 1 + 2 * ) $
#5" ∫ d/ "
$ - #/ - /#
02
-
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Solucionario de Calculo Integral
3 - 2y - y2 = - y2 - 2y + 3 = - y
2 + 2y - 3 ! .
2/2 = 1 ? 12 = 1
- y2 + 2y + 1 - 1 - 3! = - y + 1!2 - 1 - 36 =-y
+ 1!2 - 46
- y + 1!2 - 22 6 = 22 - y + 1 !2. #)stit)yendo en la integral.
∫ dy .
22 - y + 1 !2
El diferencial esta completo, se aplica$
v = y + 1 ∫ dv = 1 ln a + v + c .
dv = dy a2 - v2 2a a - v
a = 2
1 ln 2 + y + 1 = 1 ln 3 + y = ( ln $ / c "
22! 2 - y + 1! 4 2 - y - 1 * ( - /
#(" ∫ $ du "
√, - *u - u#
5 - 4) - )2 = - )2 - 4) + 5 = - )
2 + 4) - 5! .
4/2 = 2 ? 22 = 4
- )2 + 4) + 4 - 4 - 5! = - ) + 2 !2 - 4 - 5 = - )
+ 2 !2 - 9
- ) + 2 !2 - 32 = 32 - ) + 2 !2 .#e reemplaa en la integral.
∫ 3 d) .
√32 - ) + 2 !2
v = ) + 2 El diferencial esta completo, se aplica$
dv = d) ∫ dv = arc sen v + c .
a = 3 √a2 - v2 a
15
-
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Solucionario de Calculo Integral
∫ 3 d) = 3 ∫ d) = $ arc !en u # c "
√32 - ) + 2 !2 √32 - ) + 2 !2 $
##" ∫
, d) " √)# #) ,
x2 + 2x + 5 . 2/2 = 1? 12 = 1
x2 + 2x + 1 - 1 + 5 = x + 1!2 - 1 + 5 = x + 1!
2 + 4 .
x + 1!2 + 22 . #)stit)yendo este res)ltado en la integral.
∫ 5 dx .
√x + 1!2 + 22 v = x + 1 El diferencial esta completo, se aplica$
dv = dx ∫ dv = ln v + √v2 + a2! + c .a = 2 √v2 + a2
ln x + 1 + √x + 1!2 + 22 = ln ;) ( √3)# #) ,4< c "
#$" ∫ d) "
√)# *) $
x2 + 4x + 3 . 4/2 = 2 ? 22 = 4
x2 + 4x + 4 - 4 + 3 = x + 2!2 - 4 + 3 = x + 2!
2 - 1 .
x + 2!
2
- 1
2
. Este res)ltado se reemplaa en la integral. ∫ dx . v = x + 2 El diferencial esta completo, se aplica$
√x + 2!2 - 12 dv = dx ∫ dv = ln v + √v2 - a2 6 + c . a = 1 √v2 - a2
ln ; ) # √73) #4# - (#8 < c "
#*" ∫ d) "
1(
-
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Solucionario de Calculo Integral
√)# #)
x2 + 2x . 2/2 = 1 ? 12 = 1
x2 + 2x + 1 - 1 = x + 1!2 - 1 = x + 1!
2 - 12.#)stit)yendo este valor en la integral
∫ dx . √x + 1!2 - 12
v = x + 1 El diferencial esta completo, se aplica$
dv = dx ∫ dv = ln v + √v2 - a2! 6 + c .a = 1 √v2 - a2
ln ;) ( √73) (4# - (#8 < c "
#," ∫ dt "
√$t - #t#
3t - 2t2 = - 2t2 + 3t = -2t
2 - 3/2.t! .
3/2 = ¾ ? ¾!2 = 9/1% 2
-2t2 - 3/2.t + 9/1% - 9/1%! = -2t - ¾!2 - 9/1%!6 =
29/1% - t - ¾!26 = 23/4!2 - t - ¾!26 .
∫ dt = ∫ dt = √2¾!2 - t - ¾!26 √2!.√ ¾!2 - t - ¾!26
1 ∫ dt "
√2 √¾!2 - t - ¾!26
v = t - ¾ El diferencial esta completo, se aplica$ dv = dt ∫ dv = arc sen v + c .
a = ¾ √a2 - v2 a
1#
-
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Solucionario de Calculo Integral
4t - 3!
1 arc sen t - ¾ = 1 arc sen 4 = 1 arc sen 4t - 3 + c . √2 ¾ √2 3 √2 3 4
#%" ∫ d) "
)# - *) ,
x2 - 4x + 5 . 4/2 = 2 ? 22 = 4
x2 - 4x + 5 = x2 - 4x + 4 - 4 + 5 = x - 2!
2 - 4 + 5 =
x - 2!2 + 12 .#)stit)yendo este valor en la integral. ∫ dx . x - 2!2 + 1
v = x - 2 El diferencial esta completo, se aplica$
dv = dx ∫ dv = 1 arc tg v + c .
a = 1 v2 + a2 a a
1 arc tg x - 2 = arc tg 3) - #4 c "
1 1
#0" ∫ d) "
# #) - )#
2 + 2x - x2 = - x2 + 2x + 2 = - x
2 - 2x - 2! .
2/2 = 1 ? 12 = 1
-x2 - 2x - 2! = -x2 - 2x + 1 - 1 - 2! = -x - 1!
2 - 1 - 26 =
-x - 1!2 - 36 = -x - 1!2 - √3!26 = √3!2 - x - 1!2 .
∫ dx .
√3!2 - x - 1!2
v = x - 1 El diferencial esta completo, se aplica$
dv = dx ∫ dv = 1 ln a + v + c .
a = √3 a2 - v2 2a a - v
1$
-
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Solucionario de Calculo Integral
1 ln √3 + x - 1 = ( ln √$ ) - ( c " 2√3 √3 - x - 1! #√$ √$ - ) (
#1" ∫ dr "
r# - #r - $
r 2 - 2r - 3 . 2 = 1 ? 12 = 1
2r 2 - 2r - 3 = r
2 - 2r + 1 - 1 - 3 = r - 1!2 - 1 - 3 = r - 1!
2 - 4 = r - 1!2 - 22
#)stit)yendo este valor en la integral. ∫ dr .
r - 1!2 - 22
v = r - 1 El diferencial esta completo, se aplica$
dv = dr∫
dv = 1 ln v - a + c .
a = 2 v2 - a2 2a v + a
1 . ln r - 1 - 2 = ( ln r - $ c "
2 . 2 r - 1 + 2 * r (
#2" ∫ * d) "
√)# - *) ($
x2 - 4x + 13 . 4/2 = 2 ? 22 = 4
x2 - 4x + 13 = x2 - 4x + 4 - 4 + 13 = x + 2 !
2 - 4 + 13 =
x + 2 !2 + 9 = x + 2 !2 + 32. Ceemplaando en la integral.
∫ 4 dx .
√x + 2 !2 + 3# v = x + 2 El diferencial esta completo, se aplica$
dv = dx ∫ dv = ln v + √v2 + a2 6 + c .a = 3 √v2 + a2
ln ;) # √73) # 4# $#8< c "
$5" ∫ d6 "
1*
-
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Solucionario de Calculo Integral
√$ #6 - 6#
3 + 2 - 2 = - 2 + 2 + 3 = -
2 - 2 - 3! . 2/2 = 1 ? 12 = 1
-2 - 2 - 3! = -2 - 2 + 1 - 1 - 3! = - - 1!
2 - 1 - 36 =
- - 1!2 - 46 = - - 1!2 - 226 = 2
2 - - 1!2
∫ d .
√22 - - 1!2
v = - 1 El diferencial esta completo, se aplica$
dv = d ∫ dv = arc sen v + c .
a = 2 √a2 - v2 a
arc !en 6 - ( c "
#
$(" ∫ d9 "
√9# - 19 (,
v2 - *v + 15 . */2 = 4 ? 42 = 1%
v2 - *v + 1% - 1% + 15 = v - 4!2 - 1% + 15 = v - 4!
2 - 1 =
v - 4!2 - 12 . Ceemplaando este valor en la integral.
∫ dv .
√v - 4!2 - 12
v = v - 4 Esta completo el diferencial, se aplica$ dv = dv ∫ dv = ln v + √v2 - a2 ! + c . a = 1 √v2 - a2
ln ;9 - * √739 - *4# - (#8< c "
$#" ∫ ) d) "
)* - )# - (
1,
-
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Solucionario de Calculo Integral
x4 - x2 - 1 = x2!2 - x2 - 1 . 1/2 ? 1/2!2 = 1 .
4
x2!2 - x2 - 1 = x2!2 - x2 + K - K - 1 = x
2 - I!2 - K - 1 =x2 - I!2 - 5/4 = x
2 - I!2 - √5/√4!2 = x2 - I!2 - √5/2!2 =
x2 - I!2 - √5/2!2 .reemplaando este valor en la integral.
∫ x dx .
x2 - I!2 - √5/2!2
v = x2 - I "alta 2! para completar
dv = 2x dx #e aplica$
a = √5 ∫ dv = 1 ln v - a + c . 2 v2 - a2 2a v + a
1 ∫ 2! x dx .
2 x2 - I!2 - √5/2!2
x2 - 1 - √5 2x 2 - 1 - √5 . 1 . 1 . ln 2 2 = 1 . ln 2 =2 2 . √5 x2 - 1 + √5 2√5 2x 2 - 1 + √5 .
2 2 2 2 .
1 . √5 . ln 2x2 - 1 - √5 = √, " ln #)# - ( - √, + c . 2√5.√5 2x2 - 1 + √5 (5 #)# - ( √,
$$" ∫ dt "
√( - t - #t#
1 - t - 2t2 = - 2t2 - t + 1 = -2t
2 + ½ t - ½! .
½ = ¼ ; ¼ !2= 1/1%2
-2t2 + ½ t - ½! =-2t2 + ½ t + 1/1% - 1/1% - ½! =
1%
-
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Solucionario de Calculo Integral
-2t + ¼!2 - 1/1% - ½6=-2t + ¼!2 -1/1% - */1%6=
-2t + ¼!2 - 9/1%6 = -2t + ¼!2 - √9/√1%!26
2-1!t + ¼!2 - ¾!26 = 2 ¾!2 - t + ¼!26 .
∫ dt = ∫ dt = 1 ∫ dt .
√2 ¾!2 - t + ¼!26 √2 √ ¾!2 - t + ¼!26 √2 √ ¾!2 - t +¼!26
v = t + ¼ El diferencial esta completo, se aplica$dv = dt ∫ dv = arc sen v + c .
a = ¾ √a2 - v2 a
4t + 1 . 1 arc sen t + ¼ = 1. √2 arc sen 4 = √ # arc !en *t ( c "
√2 ¾ √2.√2 3 # $ 4 .
$*" ∫ d) "
$)# *) (
3x2 + 4x + 1 = 3x2 + 4/3x + 1/3!. 4/3 = 4/% = 2/3 ? 2/3!
2 = 4/92
3x2 + 4/3x + 4/9 - 4/9 + 1/3! = 3x + 2/3!2 - 4/9 + 1/3! =
3x + 2/3!2 - 4/9 + 3/9! = = 3x + 2/3!2 - 1/9 =
3x + 2/3!
2
- √1/√9!2
= 3x + 2/3!
2
- 1/3!
2
.
∫ dx = ∫ dx = 1 ∫ dx =
3x2 + 4x + 1 3x + 2/3!2 - 1/3!2 3 x + 2/3!2 - 1/3!2
v = x + 2/3 El diferencial esta completo, se aplica$
dv = dx ∫ dv = 1 . ln v - a + c .
a = 1/3 v2
- a2
2a v + a
10
-
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Solucionario de Calculo Integral
3x + 1 . 1 . 1 . ln x + 2/3 - 1/3 = 1 ln x + 1/3 = 1 ln 3 =
3 2. 1 x + 2/3 + 1/3 % x + 3/3 2 3x + 3 . 3 3 3 .
1 ln 3x + 1 = ln $) ((.# c "
2 3x + 3 $) $
$," ∫ d@ "
#@# #@ (
2L2 + 2L + 1 = 2L2 + L + ½! . 1/2 ? 1/2!2 = 1 .
4
2L2 + L + ¼ - ¼ + ½! = 2L + ½!2 - ¼ + ½ =
2L + ½!2 - ¼ + 2/4 = = 2L + ½!2 + ¼6 =2L + ½!2 + √¼!2 6 =
2L + ½!2 + ½ !26 .Ceemplaando en la integral.
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