rangkaian logika

Rangkaian Logika

DASAR SISTEM MIKROPROSESOR

DAN ANTARMUKA

(TEKNIK DIGITAL)

Oleh:

Agust Isa Martinuse-mail:<aimxx@yahoo.com>

Phone: +62 815 715.6.715

Gerbang Logika

3

Gerbang Logika OR

xy x+y

Simbol Gerbang OR

Truth TableOR

Input Output

x y x + y

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

3

01

01

01

Sinyal Input dan Output

Input Output

4

Gerbang Logika AND

Sinyal Masukan dan Keluaran

Truth TableAND

Masukan Keluaran

x y x . y

1 1 11 0 0

0 1 0

0 0 0

4

xy x.y

01

01

01

Simbol Gerbang AND

Masukan Keluaran

5

Gerbang Logika NOT

Sinyal Masukan dan Keluaran

Truth TableNOT

Input Output

x x’

1 0

0 1

5

x x'

x'x atau

01

01

Simbol Gerbang NOT

x x'

Masukan Keluaran

6

Gerbang Logika XOR

Truth TableXOR

Input Output

x y x y

1 1 0

1 0 1

0 1 10 0 0

xy yx

Sinyal Masukan dan Keluaran

01

01

01

Simbol Gerbang XOR

Masukan Keluaran

Jika banyaknya masukan “1” ganjil,

maka keluarannya “1”.

7

Gerbang Logika NOR

Sinyal Masukan dan Keluaran

Truth TableNOR

Input Output

x y (x + y)’ x + y

1 1 0 1

1 0 0 1

0 1 0 1

0 0 1 0

7

xy

x+y)'( yx

xy (x+y)’

yx )'( yx atau

01

01

01

Simbol Gerbang NOR (not OR)

Masukan Keluaran

8

Gerbang Logika NAND

Truth TableNAND

Input Output

x y (x . y)’ x . y

1 1 0 11 0 1 0

0 1 1 0

0 0 1 0

8

xy

x.y)'.( yx

xy (x.y)’

yx )'( yx atau

01

01

01

Simbol Gerbang NAND (not AND)

Sinyal Masukan dan Keluaran

Masukan Keluaran

9

Gerbang Logika XNOR

Truth TableXNOR

x y (x y)’ x y

1 1 1 01 0 0 1

0 1 0 1

0 0 1 0

9

xy

yx)'( yx

xy )'( yx

yx )'( yx atau

01

01

01

Sinyal Masukan dan Keluaran

Simbol Gerbang XNOR (not XOR)

Masukan Keluaran

Gerbang Logika: Latihan

Tabel Logika Gerbang apakah yang berikut ini?

10

Input Output

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Input Output

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Input Output

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0

Input Output

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0

Input Output

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

Input Output

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Gerbang Logika: Latihan

Tabel Logika Gerbang apakah yang berikut ini?

11

Input Output

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 1

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1

Input Output

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 0

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 1

Input Output

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 1

Rangkaian Logika dan

Ekspresi Boolean

• Fungsi Boolean Rangkaian Logika

• Rangkaian Logika dari Ekspresi Boolean

Ekspresi Boolean dari

Rangkaian Logika

Dapatkan keluaran semua gerbang logika yang terlibat, dimulai dari masukan. Keluaran #1, a‟

Keluaran #2, b’

Keluaran #3, a+b

Keluaran #4, a’+b’

Keluaran #5, (a+b).(a’+b’)

Ekspresi/fungsi Boolean untuk rangkaian tersebut,

f(a,b) = (a+b).(a’+b’).

a b f(a,b)

1 1 0

1 0 1

0 1 1

0 0 0

13

ab

a+b

a'+b’

(a+b).(a’+b’)a'

b'

#1

#3

#4

#5

#2

Ekspresi Boolean dari

Rangkaian Logika

Ekspresi/fungsi Boolean rangkaian tersebut adalah,

f(a,b,c) = a’b’c + a’bc + ab’c’

INPUTOUTPUT

a b c

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 1

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 0

14

a'b'c + a'bc + ab'c'

cba

a'b'c

a'bc

ab'c’

a’ b’

a

c’

Ekspresi Boolean dari

Rangkaian Logika

Ekspresi/fungsi Boolean rangkaian tersebut adalah,

f(a,b,c) = a’b’c . (a’bc) . (a+c’)’ . (b’c’)’

INPUTOUTPUT

a b c

0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

15

(a'b'c) . (a'bc) . (a+c')’ . (b’c')’

cba

a'b'c

a'bc

(a+c')’

a’ b’

a

c’

(b’c')’

Ekspresi Boolean & Truth Table:

Latihan

16

abc

X

a

b

c

Y

a

b

c

Z

zyx

U

zyx

V

Ekspresi Boolean & Truth Table:

Latihan

17

G

E

N

S

E

T

edcba

#6

#5

#4

#3

#2

#1

BEBAN

A

L

A

R

M

edcba

#6

#5

#4

#3

#2

#1

PINTU

18

Sin

ya

l m

asu

ka

n

w

x

y

0

1

0

1

0

1

a) yxwxwyxwf )).(.(),,(

b) w

x

y

Z

19

Sin

ya

l m

asu

ka

n

w

x

y

0

1

0

1

0

1 a) yxwxwyxwf )).(.(),,(

b) w

x

y

Z

Rangkaian Logika dari

Ekspresi Boolean

20

Z = (a . b)‟ (b + c)

Z = f g berarti Z butuh XOR 2-input

f = (a . b)‟ f butuh NAND 2-input

g = b + c g butuh OR 2-input

ab

c

b

b

f

g

Z

a b c f g Z0 0 0 1 0 1

0 0 1 1 1 0

0 1 0 1 1 0

0 1 1 1 1 0

1 0 0 1 0 1

1 0 1 1 1 0

1 1 0 0 1 1

1 1 1 0 1 1)().( cbbaZ

Tabel Kebenaran

Rangkaian Logika dari

Ekspresi Boolean

21

X = (a . b)‟ + (b + a.c).(a‟.b.c)

X = R + S Ingat prioritas AND & OR

berarti X butuh OR 2-

input

S = T . U

berarti S butuh AND 2-

input

R = (a . b)‟ R butuh NAND 2-input

T = b + a.c T butuh OR 2-input

a.c butuh AND 2-input

U = a‟.b.c U butuh AND 3-input

a’ = NOT a a’ butuh INVERTER

ab

bac

aa’bc

a.c

R

S

T

U

X

a b c X0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

Rangkaian Logika: LatihanB. Buat rangkaian logika dari

Ekspresi Boolean berikut ini:

1. (a + b.c) + (a‟ + b) . c‟

2. (r.p + s‟) . (p + r‟) + s

3. ((x+y)(x‟+z).a.z‟).(a+b)

4. ((a+y.c)+(a‟+b).c‟)(x.y‟)

5. (x.z+y)((r.p+s‟).(z‟+r‟)+s)

6. (a‟+b.c)+(a.b‟+c)+(a.c‟+b)

7. (a‟+b.c).(a.b‟+c)‟.(a.c‟+b)

8. (a‟+b.c)+(a.b‟+c).(a.c‟+b)

9. (a‟+b.c).[(a.b‟+c)+(a.c‟+b)]

22

A. Buat rangkaian logika danTruth Table dari Ekspresi Boolean berikut ini:

1. (x+y) . (x‟+z) + (x.z‟)

2. (a + b . c) . (a‟ + b) . c‟

3. (r . p + s‟) + (p + r‟) . s

4. (a + b) . (a‟ + b‟)

5. (a + b‟) . (a‟ + b)

6. (a . b) + (a‟ . b‟)

7. (a . b‟) + (a‟ + b)

8. (a + b + c)‟

9. a‟.b‟.c‟

10. (a+b+c)‟ . (a+b.c)

11. (r.s‟+t) + r.(s+t)

12. (xy)‟ + x.(y+z)‟

13. (xy) . x‟. (y+z)

Sinyal Masukan dan Keluaran

23

24

Gambarkan Sinyal Keluaran:

Latihan

25

Ekuivalens

Dua rangkaian logika dikatakan ekuivalens secara logika jika memiliki tabel kebenaran logika yang sama.

26

Truth Table

a bRangkaian 1

a’+ b’Rangkaian 2

(a.b)’

0 0 1 1

0 1 1 1

1 0 1 1

1 1 0 0

Rangkaian 1

Rangkaian 2

a’+b’ab

a’

b’

(a.b)’ab

Ekuivalens

Dua rangkaian logika dikatakan ekuivalens secara logika jika memiliki tabel kebenaran logika yang sama.

27

a bRangkaian A

ab’ + a’b

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0Rangkaian A

Rangkaian B

a bRangkaian B

(a+b).(a’+b’)

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

ab

ab'

a'b

ab’ + a’bb'a'

ab

a+b

a'+b’

(a+b).(a’+b’)a'

b'

(a + b) . c ≡ a + (b . c) ?

Dua rangkaian logika dikatakan ekuivalens secara logika jika memiliki tabel kebenaran logika yang sama.

28

Rangkaian 1

Rangkaian 2

a+ba

b

c(a + b) . c

b.c

a

bc

a + (b . c)

Truth Table

a b c a+bRangk 1

(a+b).cb.c

Rangk 2

a+(b.c)

0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0

0 1 0 1 0 0 0

0 1 1 1 1 1 1

1 0 0 1 0 0 1

1 0 1 1 1 0 1

1 1 0 1 0 0 1

1 1 1 1 1 1 1

Prioritas Operasi

a + b . c = a + (b . c) !!!

Operasi variabel dalam tanda kurung dikerjakan terlebih dahulu.

Jika bertemu dengan ekspresi tanpa tanda kurung atau yang setara, maka prioritas operasinya adalah:

1. NOT

2. AND, NAND

3. XOR, XNOR

4. OR, NOR

29

Hukum Aljabar Boolean HUKUM KOMPLEMEN 1

1’ = 0

0’ = 1

HUKUM INVOLUSI

(a’)’ = a

HUKUM KOMPLEMEN 2 a + a’ = 1

a . a’ = 0

HUKUM IDENTITAS

a + 0 = a

a . 1 = a

HUKUM DOMINASI

a + 1 = 1

a . 0 = 0

HUKUM IDEMPOTENSI

a + a = a

a . a = a

HUKUM PENYERAPAN

a + (a . b) = a

a . (a + b) = a

HUKUM KOMUTATIF

a + b = b + a

a . b = b . a

HUKUM ASOSIATIF

(a + b) + c = a + (b + c)

(a . b) . c = a . (b . c)

HUKUM DISTRIBUTIF

a + (b . c) = (a + b) . (a + c)

a . (b + c) = (a . b) + (a . c)

HUKUM DE MORGAN

(a + b)’ = a’ . b’

(a . b)’ = a’ + b’

30

Tabel Hukum De Morgan

31

(x+y)’ = x’.y’

x y (x + y)’ x’. y’

1 1 0 01 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 1

(x.y)’ = x’+y’

x y (x . y)’ x’ + y’

1 1 0 01 0 1 1

0 1 1 1

0 0 1 1

HUKUM DE MORGAN

1. (a + b)’ = a’ . b’

2. (a . b)’ = a’ + b’

Hukum De Morgan

(a + b)’ = a’ . b’ (a . b)’ = a’ + b’

32

(a+b)’ab

a’ . b’ab

a’ . b’ab

a’

b’

(a.b)’ab

a’+b’ab

a’+b’ab

a’

b’

Gambar tsb. juga bisa

digambarkan dengan simbol

Gambar tsb. juga bisa

digambarkan dengan simbol

≡ ≡

Kecukupan

NAND dan NOR

Gerbang-gerbang logika dapat dibentuk (cukup)

dengan gerbang NAND atau NOR.

34

NOT Menggunakan NAND

34

NOT

x x’a

b

NOT dari NAND

x a b (a . b)’

1 1 1 01 0 1 Tidak terjadi

0 1 1 Tidak terjadi

0 0 0 1

x x’ x x'≡ekivalens

AND Menggunakan NAND

35

ab

a.b(a.b)’

ab ba.

ab ba.

Involusi

Saling meniadakan

ab a.b

ab

a.b(a.b)’

≡

OR Menggunakan NAND

36

a

ba + b

a’

b’

ab ba

De Morgan

ab a+b≡

)'(''. baba

a

ba + b

a’

b’

ab (a’.b’)’

ab

ab ba

ab ba

De Morgan ''.)'( baba

37

NOT Menggunakan NOR

37

NOT

x x’a

b

NOT dari NOR

x a b (a + b)’

1 1 1 01 0 1 Tidak terjadi

0 1 1 Tidak terjadi

0 0 0 1

x x’ x x'≡ekivalens

OR Menggunakan NOR

38

ab

a.+b(a+b)’

ab ba

ab ba

Involusi

Saling meniadakan

ab a+b

ab

a+b(a+b)’

≡

AND Menggunakan NOR

39

a

ba . b

a’

b’

ab ba.

De Morgan

ab a.b≡

)'.('' baba

a

ba . b

a’

b’

ab (a’+b’)’

ab

ab ba.

ab ba.

De Morgan '')'.( baba

Kecukupan NAND dan NOR:

Latihan

40

Buat rangkaian logika dan

Truth Table dari Ekspresi

Boolean berikut ini:

1. (x+y) . (x‟+z) + (x.z‟)

2. (a + b . c) . (a‟ + b) . c‟

3. (r . p + s‟) + (p + r‟) . s

4. (a + b) . (a‟ + b‟)

5. (a + b‟) . (a‟ + b)

6. (a . b) + (a‟ . b‟)

7. (a . b‟) + (a‟ + b)

8. (a + b + c)‟

9. a‟.b‟.c‟

Buatlah soal-soal di samping ini hanya menggunakan gerbang-gerbang logika:

A. NAND 2-input.

B. NOR 2-input.

K-Map

Karnaugh Map (K-Map) Karnaugh Map atau Peta Karnaugh

Penyerderhanaan term-term ekspresi/fungsi Boolean menggunakan tabel/grafis.

Berupa tabel (dua/tiga dimensi) Jumlah Variabel

Fungsi Boolean dengan maksimal 6 variabel (masih nyaman dipandang mata dan dibayangkan).

Maksimal 2 variabel per Baris,

Maksimal 2 variabel per Kolom.

Term Biasanya untuk menyederhanakan minterm.

Minterm, term-term dengan output „1‟.

Label Kolom dan Baris Variabel-variabel input.

Disusun secara Kode Gray.

Isi Sel Sesuai output pada tabel input-output logika (truth table).

42

Prinsip Penyederhanaan K-Map

Tetangga Sel Tetangga suatu sel adalah sel-sel yang bersebelahan secara kolom atau baris atau

kedalaman (pada 3-dimensi). Sel-sel diagonal, bukan tetangganya.

Setiap sel yang bertetangga, hanya berbeda (Hamming distance) satu literal (bit).

Setiap sel memiliki maksimum 6 tetangga.

Pengelompokkan SelKelompokan sel yang bertetangga sebanyak 2n.(n = 0, 1, 2, ...), maka akan mengeliminasi sebanyak n–literal.

1 sel (tanpa tetangga yang sama outputnya) Tidak mengeliminasi literal apapun.

2 sel Mengeliminasi 1 literal.

4 sel Mengeliminasi 2 literal

8 sel Mengeliminasi 3 literal

16 sel Mengeliminasi 4 literal

32 sel Mengeliminasi 5 literal

43

K-Map 2-variabel

c c’ C

b c‟ C

0 1

b’ b‟ 0b’c’

m(0)

b’C

m(1)

B B 1Bc’

m(2)

BC

m(3)

44

K-Map

C c‟ c‟

B 0 1

b‟ 0 1 1

B 1

Truth Table(Tabel Input-Output)

InputOutput

b c

0 0 1 m(0)

0 1 1 m(1)

1 0 0 M(2)

1 1 0 M(3)

Output

ditulis

di sini.

Input

disusun

secara Gray

K-Map: contoh 2-variabel

45

A a’ a

B 0 1

b’ 0 1 1

b 1 0 0

= b’b‟a‟ + b‟a

b‟(a‟ + a)

b‟ . (1)

X x’ x

Y 0 1

y’ 0 0 1

y 1 1 1

= x

y‟x + yx

(y‟ + y).x

(1) . x

= y

Truth Table

InputOutput

x y

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Truth Table

InputOutput

b a

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 0

x + y

K-Map 3-variabelc’ C

cd d’ D d’

b c‟d‟ c‟D CD Cd‟

00 01 11 10

b’ b‟ 0b’c’d’

m(0)

b’c’D

m(1)

b’CD

m(3)

b’Cd’

m(2)

B B 1Bc’d’

m(4)

Bc’D

m(5)

BCD

m(7)

BCd’

m(6)

46

Tabel Input-Output

(Truth Table)

b c d Z0 0 0 1 m(0)

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 0

1 0 0 1 m(4)

1 0 1 0

1 1 0 1 m(6)

1 1 1 1 m(7)

CD c’d’ c’D CD Cd’

B 00 01 11 10

b‟ 0 1

B 1 1 1 1

Gra

y C

od

e

K-Map: contoh 3-variabelB’C’ B’C BC BC’

BC 00 01 11 10

A

A‟ 0 1

A 1 1 1 1

47

a b c Z0 0 0 1 m(0)

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 0

1 0 0 1 m(4)

1 0 1 0

1 1 0 1 m(6)

1 1 1 1 m(7) B‟C‟

AB

B’C’ B’C BC BC’

BC 00 01 11 10

A

A‟ 0 1

A 1 1 1

B‟C‟ AC‟

a b c Z0 0 0 1 m(0)

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 0

1 0 0 1 m(4)

1 0 1 0

1 1 0 1 m(6)

1 1 1 0

K-Map: contoh 3-variabelBC

B‟C‟ B‟C BC BC‟

A 00 01 11 10

A‟ 0 1 1

A 1 1 1

48

a b c Z0 0 0 1 m(0)

0 0 1 1 m(1)

0 1 0 0

0 1 1 0

1 0 0 1 m(4)

1 0 1 1 m(5)

1 1 0 0

1 1 1 0 B’

B’C’ B’C BC BC’

BC 00 01 11 10

A

A‟ 0 1 1

A 1 1 1

C‟

a b c Z0 0 0 1 m(0)

0 0 1 0

0 1 0 1 m(2)

0 1 1 0

1 0 0 1 m(4)

1 0 1 0

1 1 0 1 m(6)

1 1 1 0

K-Map: contoh 3-variabelBC

B‟C‟ B‟C BC BC‟

A 00 01 11 10

A‟ 0 1 1 1 1

A 1

49

a b c Z0 0 0 1 m(0)

0 0 1 1 m(1)

0 1 0 1 m(2)

0 1 1 1 m(3)

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 0

A’

B’C’ B’C BC BC’

BC 00 01 11 10

A

A‟ 0

A 1 1 1 1 1 A

a b c Z0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 0

1 0 0 1 m(4)

1 0 1 1 m(5)

1 1 0 1 m(6)

1 1 1 1 m(7)

K-Map 3-variabel: latihan

3 B’C’ B’C BC BC’

BC 00 01 11 10

A

A‟ 0 1 1

A 1 1 1 1 1

50

4 B’C’ B’C BC BC’

BC 00 01 11 10

A

A‟ 0 1 1

A 1 1 1 1 1

1 B’C’ B’C BC BC’

BC 00 01 11 10

A

A‟ 0 1 1

A 1 1 1

2 B’C’ B’C BC BC’

BC 00 01 11 10

A

A‟ 0 1 1

A 1 1 1

K-Map 4-variabel

c’ C

d’ D d’

cd c‟d‟ c‟D CD Cd‟

ab 00 01 11 10

a’

b’ a‟b‟ 00a’b’c’d’

m(0)

a’b’c’D

m(1)

a’b’CD

m(3)

a’b’Cd’

m(2)

B

a‟B 01a’Bc’d’

m(4)

a’Bc’D

m(5)

a’BCD

m(7)

a’BCd’

m(6)

AB 11ADc’d’

m(12)

ABc’D

m(13)

ABCD

m(15)

ABCd’

m(14)

Ab’ Ab‟ 10

Ab’c’d’

m(8)

Ab’c’D

m(9)

Ab’CD

m(11)

Ab’Cd’

m(10)

51

c’ C

cd d’ D d’

ab c‟d‟ c‟D CD Cd‟

00 01 11 10

a’b’ a‟b‟ 00 1 1 1 1

Ba‟B 01 1 1 1 1

AAB 11

b’ Ab‟ 10

52

c’ C

cd d’ D d’

ab c‟d‟ c‟D CD Cd‟

00 01 11 10

a’b’ a‟b‟ 00 1 1

Ba‟B 01 1 1

AAB 11 1 1

b’ Ab‟ 10 1 1

c’ C

cd d’ D d’

ab c‟d‟ c‟D CD Cd‟

00 01 11 10

a’b’ a‟b‟ 00 1 1 1 1

Ba‟B 01

AAB 11

b’ Ab‟ 10 1 1 1 1

53

c’ C

cd d’ D d’

ab c‟d‟ c‟D CD Cd‟

00 01 11 10

a’b’ a‟b‟ 00 1 1

Ba‟B 01 1 1

AAB 11 1 1

b’ Ab‟ 10 1 1

c’ C

cd d’ D d’

ab c‟d‟ c‟D CD Cd‟

00 01 11 10

a’b’ a‟b‟ 00 1

Ba‟B 01 1 1 1

AAB 11 1 1 1

b’ Ab‟ 10 1

54

c’ C

cd d’ D d’

ab c‟d‟ c‟D CD Cd‟

00 01 11 10

a’b’ a‟b‟ 00

Ba‟B 01 1

AAB 11 1

b’ Ab‟ 10 1

acd‟ + bcd‟

Sudah tidak diperlukan lagi...

c’ C

cd d’ D d’

ab c‟d‟ c‟D CD Cd‟

00 01 11 10

a’b’ a‟b‟ 00 1

Ba‟B 01 1 1

AAB 11 1 1

b’ Ab‟ 10 1

55

c’ C

cd d’ D d’

ab c‟d‟ c‟D CD Cd‟

00 01 11 10

a’b’ a‟b‟ 00

Ba‟B 01 1

AAB 11 1

b’ Ab‟ 10 1

acd‟ + bcd‟bd‟ + a‟c‟d‟ + acd‟

Yang ini...

cd C‟d‟ C‟d cd Cd‟

ab 00 01 11 10

A‟b‟ 00 1 1 1

A‟b 01 1 1 1 1

Ab 11

Ab‟ 10

56

tu

rs 00 01 11 10

00 1 1 1 1

01 1 1 1

11

10

A‟b

A‟cA‟d

a‟b + a‟c + a‟d

c’ C

cd d’ D d’

ab c‟d‟ c‟D CD Cd‟

00 01 11 10

a’b’ a‟b‟ 00 1 1

Ba‟B 01 1 1

AAB 11 1 1

b’ Ab‟ 10 1 1

57

c’ C

cd d’ D d’

ab c‟d‟ c‟D CD Cd‟

00 01 11 10

a’b’ a‟b‟ 00 1 1

Ba‟B 01

AAB 11

b’ Ab‟ 10 1 1

b‟c‟+ bd‟

58

c’ C C’

cd d’ D d’ d’

ab c‟D CD Cd‟ c‟d‟

00 01 11 10 00

a’b’ 00 1 1 1

Ba‟B 01

AAB 11

b’ Ab‟ 10 1 1 1

a’ a‟b‟ 00 1 1 1

b‟d‟

cd

ab 00 01 11 10

00 1 1

01 1 1

11 1 1

10 1 1

59

tu

rs 00 01 11 10

00 1 1

01

11

10 1 1

cd

ab 00 01 11 10

00 1 1

01 1 1 1

11 1 1 1

10 1 1

60

tu

rs 00 01 11 10

00 1 1

01 1 1

11 1 1

10 1 1

K-Map: contoh 5-variabel

E=0 c’ C

cd d’ D d’

ab c‟d‟ c‟D CD Cd‟

00 01 11 10

a’b’ a‟b‟ 00 1 1

Ba‟B 01

AAB 11

b’ Ab‟ 10 1 1

61

E=1 c’ C

cd d’ D d’

ab c‟d‟ c‟D CD Cd‟

00 01 11 10

a’b’ a‟b‟ 00 1 1

Ba‟B 01

AAB 11

b’ Ab‟ 10 1 1

E=1E=0

K-Map: contoh 5-variabel

E=0 c’ C

cd d’ D d’

ab c‟d‟ c‟D CD Cd‟

00 01 11 10

a’b’ a‟b‟ 00 1 1

Ba‟B 01

AAB 11

b’ Ab‟ 10 1 1

62

E=0 c‟D CD Cd‟ c‟d‟

00 01 11 10 00

00 1 1 1

a‟B 01

AB 11

Ab‟ 10 1 1 1

E=0 00 01 11 10 00

00 1 1 1

01

11

10 1 1 1

00 1 1 1

K-Map: contoh 5-variabel

63

E=0 c’d’ c’D CD Cd’ c’d’

00 01 11 10 00

00 1 1 1

a‟B 01

AB 11

Ab‟ 10 1 1 1

a‟b‟ 00 1 1 1

b‟d‟e‟

E=1 c’d’ c’D CD Cd’ c’d’

00 01 11 10 00

00 1 1 1

a‟B 01

AB 11

Ab‟ 10 1 1 1

a‟b‟ 00 1 1 1

b‟d‟e

b‟d‟e‟ + b‟d‟e

b‟d‟ (e‟ + e)

b‟d‟ (1)

b’d’

b’d’ E=1E=0

64

65

Menyederhanakan SOP: Latihan

Sederhanakanlah fungsi-fungsi SOP yang berikut ini.

1. f(a,b,c) = m(0,1,6)

2. f(x,y,z) = m(2,5,7)

3. f(r,s,t,u) = m(0,1,2,14,15)

4. f(v,w,x,y) = m(0,2,6,7,15)

5. f(r,s,t,u) = m(5,7,13,15)

6. f(k,l,m,n) = m(4,6,7,14,15)

7. f(f,g,h,i,j) = m(15,23,27,29,30,31)

66

Merancang Rangkaian

Logika Kombinatorial

Mendapatkan Fungsi

Boolean dari Tabel

• ekspresi Boolean

• minterm dan MAXTERM

• literal

• SOP dan POS

Mendapatkan Fungsi Boolean

Tabel AND dan OR

Kita tinjau ulang kedua tabel logika AND dan OR, kemudian kita coba mendapatkan persamaan fungsi Boolean untuk masing-masing tabel tersebut. Bagaimana kita mendapatkan yang berikut ini? AND, f(x, y) = x.y

OR, f(x,y) = x+y

69

Truth TableAND

x y f(x, y)

1 1 11 0 0

0 1 0

0 0 0

Truth TableOR

x y f(x, y)

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

70

Mendapatkan Ekspresi Boolean

Untuk mendapatkan Ekspresi Boolean dari suatu baris TabelKebenaran Logika ada dua hal yang perlu diperhatikan.

1. Term (perkalian atau penjumlahan). Baris dengan Keluaran “1”:

Bentuk perkalian (product term atau minterm) dari Ekspresi Boolean.

Baris dengan Keluaran “0”: Bentuk penjumlahan (sum term atau MAXTERM) dari Ekspresi

Boolean.

2. Literal (variabel masukan). Negasikan/Komplemen untuk masukan-masukan yang

berbeda dari keluarannya.

71

Product Term dan Sum Term

Product Term (minterm) Baris dengan Keluaran “1” dalam Tabel Bentuk Perkalian

AND

Contoh: a.b x‟.y.z

Sum Term (MAXTERM) Baris dengan Keluaran “0” dalam Tabel Bentuk Penjumlahan

OR

Contoh: r+s u+v‟+w

Literal (variabel masukan)

72

Negasikan/Komplemen untuk masukan-masukan yang berbeda dari keluarannya.

MasukanKeluaran

x y Term

1 0 0 x’+y

Pada tabel dengan baris baris Keluaran “0” [Term mengambil bentuk “Penjumlahan”.]

Masukan x=1, berbeda dari Keluarannya “0” sehingga literalnya x’ (komplemen).

Masukan y=0, sama dengan Keluarannya “0” sehingga literalnya y.

Jadi term untuk baris tersebut adalah x’+y.

MasukanKeluaran

x y Term

1 0 1 x.y’

Pada tabel dengan baris baris Keluaran “1” [Term mengambil bentuk “Perkalian”.]

Masukan x=1, sama dengan Keluarannya “1” sehingga literalnya x.

Masukan y=0, berbeda dari Keluarannya “1” sehingga literalnya y’ (komplemen).

Jadi term untuk baris tersebut adalah x.y’.

73

Mendapatkan Fungsi Boolean:

SOP dan POS

Dua Cara (Pilih Satu untuk Satu Tabel):

SOP (Sum Of Product-term) Menjumlahkan semua minterm

m(minterms)

Contoh: f(a,b,c) = a‟b‟c + a‟bc‟ + ab‟c‟

f(a,b,c) = m(1,2,4)

POS (Product Of Sum-term) Mengalikan semua MAXTERM

M(MAXTERMs)

Contoh: f(a,b,c) = (a+b+c).(a+b‟+c‟).(a‟+b+c‟).(a‟+b‟+c).(a‟+b‟+c‟)

f(a,b,c) = M(0,3,5,6,7)

Fungsi Boolean AND dari Tabel

SOP (Sum Of Product-term) Menjumlahkan semua minterm

m(minterms)

Fungsi dari tabel: f(x,y) = x.y

POS (Product Of Sum-term) Mengalikan semua MAXTERM

M(MAXTERMs)

Fungsi dari tabel: f(x,y) = (x’+y).(x+y’).(x+y)

74

Truth TableAND

x y f(x, y) Term

1 1 1 x.y minterm, m(3)

1 0 0 x’+y MAXTERM, M(2) x=1 berbeda dari keluarannya “0”

0 1 0 x+y’ MAXTERM, M(1) y=1 berbeda dari keluarannya “0”

0 0 0 x+y MAXTERM, M(0)

Tabel tersebut mempunyai persamaan yang saling ekivalens:

SOP, f(x,y) = x.y

atau

POS, f(x,y) = (x’+y).(x+y’).(x+y)

Ekivalensi SOP dan POS

Kedua tabel, fungsi SOP dan POS memberikan hasil yang sama. Kedua fungsi “ekivalens”.

Pilih satu, SOP atau POS, untuk satu masalah. Dari persamaan: Pilih fungsi dengan ‘term’ yang paling sedikit.

Contoh: Pilih fungsi f(x,y) = x.y, terdiri dari satu term, x.y, dibandingkan

Fungsi f(x,y) = (x’+y).(x+y’).(x+y), terdiri dari tiga term, yaitu (x’+y), (x+y’), dan (x+y).

Dari tabel: Pilih baris-baris dengan ‘keluaran’ yang paling sedikit.

Contoh: Pilih baris dengan “keluaran 1”, hanya satu baris, dibandingkan

Baris dengan “keluaran 0”, ada tiga baris.

75

POSf(x,y) = (x’+y).(x+y’).(x+y)

x y x’+y x+y’ x+y (x’+y).(x+y’).(x+y)

1 1 1 1 1 1

1 0 0 1 1 0

0 1 1 0 1 0

0 0 1 1 0 0

SOPf(x,y) = x.y

x y x.y

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

Fungsi Boolean OR dari Tabel

SOP (Sum Of Product-term) Menjumlahkan semua minterm

m(minterms)

Fungsi dari tabel: f(x,y) = x.y + x.y’ + x’.y

POS (Product Of Sum-term) Mengalikan semua MAXTERM

M(MAXTERMs)

Fungsi dari tabel: f(x,y) = x+y

76

Truth TableOR

x y f(x, y) Term

1 1 1 x.y minterm, m(3)

1 0 1 x.y’ minterm, m(2) y=0 berbeda dari keluarannya “1”

0 1 1 x’.y minterm, m(1) x=0 berbeda dari keluarannya “1”

0 0 0 x+y MAXTERM, M(0)

Tabel tersebut mempunyai persamaan yang saling ekivalens:

SOP, f(x,y) = x.y + x.y’ + x’y

atau

POS, f(x,y) = x+y

Merancang Rangkaian

Langkah-Langkah:

1. Buat Tabel Logika dari permasalahan

2. [Sederhanakan, K-Map, bila mungkin]

3. Dapatkan Term-Term. Minterm atau MAXTERM

4. Dapatkan Fungsi Boolean, SOP atau POS

5. Implementasi Fungsi Boolean tersebut.

78

Merancang Rangkaian

Jumlah SakelarYang Tersambung

Sakelar Rangkaian/Lampua b c

0 0 0 0 0 Padam

1 0 0 1 1 Menyala

1 0 1 0 1 Menyala

2 0 1 1 0 Padam

1 1 0 0 1 Menyala

2 1 0 1 0 Padam

2 1 1 0 0 Padam

3 1 1 1 0 Padam

Contoh:

Merancang Rangkaian.

• Rangkaian lampu dengan

tiga sakelar.

• Lampu menyala jika tepat

hanya satu sakelar ON.

Keterangan/Asumsi:0: terputus/OFF/Padam1: tersambung/ON/Menyala

79

Ekspresi Boolean Baris TabelINPUT OUTPUT

TermSakelar Rangkaian/

LampuEkspresiBooleana b c

0 0 0 0 0 a+b+c MAXTERM

1 0 0 1 1 Menyala a’b’c minterm

2 0 1 0 1 Menyala a’bc’ minterm

3 0 1 1 0 a+b’+c’ MAXTERM

4 1 0 0 1 Menyala ab’c’ minterm

5 1 0 1 0 a’+b+c’ MAXTERM

6 1 1 0 0 a’+b’+c MAXTERM

7 1 1 1 0 a’+b’+c’ MAXTERM

• Term• Term 0, 3, 5, 6, dan 7 mengambil bentuk MAXTERM karena keluarannya “0”, sedangkan

term 1, 2, dan 4 adalah minterm.

• Literal• Contoh Term 3 (MAXTERM): masukan a sama dengan keluarannya “0” sedangkan b dan

c berbeda sehingga ekspresi boolean untuk term tersebut adalah a+b’+c’.

• Contoh Term 1 (minterm): masukan a dan b berbeda dengan keluarannya “1” sedangkan

c sama sehingga ekspresi booleannya adalah a’b’c.

80

SOP dan POS:

Fungsi Boolean dari Tabel

Dua Cara (Pilih Satu untuk Satu Tabel):

SOP (Sum Of Product-term) Menjumlahkan semua minterm

m(minterms)

Contoh: f(a,b,c) = a‟b‟c + a‟bc‟ + ab‟c‟

f(a,b,c) = m(1,2,4)

POS (Product Of Sum-term) Mengalikan semua MAXTERM

M(MAXTERMs)

Contoh: f(a,b,c) = (a+b+c).(a+b‟+c‟).(a‟+b+c‟).(a‟+b‟+c).(a‟+b‟+c‟)

f(a,b,c) = M(0,3,5,6,7)

81

Fungsi Boolean dari Tabel

INPUT OUTPUT

Desimal(Term)

Sakelar Rangkaian/Lampu

EkspresiBooleana b c

0 0 0 0 0 a+b+c MAXTERM M(0)

1 0 0 1 1 Menyala a’b’c minterm m(1)

2 0 1 0 1 Menyala a’bc’ minterm m(2)

3 0 1 1 0 a+b’+c’ MAXTERM M(3)

4 1 0 0 1 Menyala ab’c’ minterm m(4)

5 1 0 1 0 a’+b+c’ MAXTERM M(5)

6 1 1 0 0 a’+b’+c MAXTERM M(6)

7 1 1 1 0 a’+b’+c’ MAXTERM M(7)

SOP: f(a,b,c) = m(1,2,4) = a’b’c + a’bc’ + ab’c’

POS: f(a,b,c) = M(0,3,5,6,7) = (a+b+c).(a+b’+c’).(a’+b+c’).(a’+b’+c).(a’+b’+c’)

Implementasi Rangkaian:

Rangkaian Sakelar dari Tabel

82

SOP: f(a,b,c) = a’b’c + a’bc’ + ab’c’

a' b' c

a' b c'

a b' c'

POS: f(a,b,c) = (a+b+c).(a+b’+c’).(a’+b+c’).(a’+b’+c).(a’+b’+c’)

a'

c

a'

b

c'

a

b'

c

a

bb'

c'

a'

b'

c'

Implementasi Rangkaian:

Rangkaian Logika dari Tabel

83

SOP: f(a,b,c) = a’b’c + a’bc’ + ab’c’

a'b'c + a'bc' + ab'c'

cba

a'b'c

a'bc’

ab'c’

Rangkaian logika tersebut diimplementasi dari SOP karena pada tabel yang

dibuat ternyata fungsi ini yang mempunyai keluaran yang sedikit.

84

Pemilihan SOP atau POS

Kedua fungsi, dari SOP atau POS,

akan memberikan fungsi rangkaian

logika yang sama.

Kedua rangkaian ekuivalens.

SOP atau POS?

Pilih keluaran yang paling sedikit.

Contoh 1:

Merancang Rangkaian Logika

85

ab

ab'

a'b

ab’ + a’bb'a'

SOP: f(a,b) = ab’ + a’b

b a f(a,b)EkspresiBoolean

1 1 0 a’ + b’1 0 1 a b’0 1 1 a’ b0 0 0 a + b

ab

a+b

a'+b’

(a+b).(a’+b’)a'

b'POS: f(a,b) = (a’+b’).(a+b)

CONTOH: Ada suatu rangkaian logika

dengan dua masukan (sakelar).

Rangkaian tersebut akan

mengeluarkan logika 1 jika kedua

masukannya saling berbeda, yaitu

seperti ditunjukkan oleh tabel di

samping berikut ini:

Catatan: Kedua rangkaian (SOP dan POS) tersebut ekuivalens, juga

ekuivalens dengan gerbang XOR (lihat gerbang XOR dan Tabelnya).

86

XOR

XOR

x y x y

1 1 0

1 0 1

0 1 1

0 0 0

xy yx

b a f(a,b)EkspresiBoolean

1 1 0 a’ + b’1 0 1 a b’0 1 1 a’ b0 0 0 a + b

SOP: f(a,b) = ab’ + a’b

POS: f(a,b) = (a+b).(a’+b’)

x y=

xy’ + x’y=

(x+y).(x’+y’)

Contoh 2:

Merancang Rangkaian Logika

Desimal(term)

Jumlah Pintuyang Terbuka

Pintu Alarm EkspresiBooleana b c d e

31 [11111B] 0 1 1 1 1 1 0 a’+b’+c’+d’+e’

30 [11110B] 1 1 1 1 1 0 0 a’+b’+c’+d’+’

29 [11101B] 1 1 1 1 0 1 0 a’+b’+c’+d+e’

27 [11011B] 1 1 1 0 1 1 0 a’+b’+c+d’+e’

23 [10111B] 1 1 0 1 1 1 0 a’+b+c’+d’+e’

15 [01111B] 1 0 1 1 1 1 0 a+b’+c’+d’+e’

> 1 Else 1

87

Contoh: Suatu ruangan beralarm memiliki 5-pintu. Alarm tersebut akan

berbunyi jika pintu yang terbuka lebih dari 1-pintu. Misalkan kita

gunakan 0 (false) untuk pintu terbuka dan alarm padam, dan 1 (true)

untuk pintu tertutup dan alarm berbunyi.

Permasalahan tersebut ditunjukkan pada tabel berikut.

• Else• Dengan 5 masukan, maka banyaknya term ada 25=32.

• Else menyatakan/mewakili term atau kemungkinan permutasi masukan selebihnya (dalam

tabel di atas ada 26 term sisanya dengan keluaran „1‟ yang tidak dicantumkan).

Contoh 2:

Implementasi Contoh 2

88

A

L

A

R

M

edcba

#6

#5

#4

#3

#2

#1

PINTU

Rangkaian Logika, POS: f(a,b,c,d,e) = M(15,23,27,29,30,31)

#1 = M(31)

#2 = M(30)

#3 = M(29)

#4 = M(27)

#5 = M(23)

#6 = M(15)

Contoh 3: Lampu Tangga

89

CONTOH: Suatu tangga yang

menghubungkan dua lantai dilengkapi

dengan satu lampu yang dikendalikan oleh

sakelar biner masing-masing satu di ujung

bawah dan satu di ujung atas tangga.

Lampu tersebut dapat dihidup-matikan dari

sakelar ujung manapun pada tangga

tersebut.

Permasalahan tersebut dapat diselesaikan

menggunakan rangkaian XOR seperti pada

Contoh 1 atau bisa juga menggunakan

rangkaian XNOR. Dengan rangkaian XOR

maupun XNOR, keluaran rangkaian (lampu)

dapat dibalik (toggle) dari manapun dari

kedua sakelar pengendalinya (input).

b a f(a,b)EkspresiBoolean

1 1 0 a’ + b’1 0 1 a b’0 1 1 a’ b0 0 0 a + b

b a f(a,b)EkspresiBoolean

1 1 1 a . b1 0 0 a’ + b0 1 0 a + b’0 0 1 a‘ . b’

Table Kebenaran XOR

Table Kebenaran XNOR

90

XNOR

xy yx

b a f(a,b)EkspresiBoolean

1 1 1 a . b1 0 0 a + b’0 1 0 a’ + b0 0 1 a’ . b’

SOP: f(a,b) = ab + a’b’

POS: f(a,b) = (a+b’).(a’+b)

(x y)’=

xy + x’y’=

(x+y’).(x’+y)

XNOR

x y (x y)’ x y

1 1 1 0

1 0 0 1

0 1 0 1

0 0 1 0

91

Ekspresi Bolean: Latihan

TermINPUT OUTPUT

x y Q R S T U V W

0 0 0 0 0 0 1 0 1 0

1 0 1 1 0 1 0 1 0 0

2 1 0 1 0 1 0 0 1 1

3 1 1 1 1 0 1 0 0 1

TermINPUT OUTPUT

a b c W X Y

0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 1 0 1 1

2 0 1 0 0 1 0

3 0 1 1 1 0 1

4 1 0 0 0 1 1

5 1 0 1 1 0 1

6 1 1 0 1 0 1

7 1 1 1 0 1 1

Buatlah ekspresi boolean untuk masing-masing

keluaran pada tabel-tabel berikut ini.

92

Merancang Rangkaian: Latihan

(A)

Term

INPUT OUTPUT

p q r Z

3 0 1 1 0

5 1 0 1 0

6 1 1 0 0

Else 1

Rancanglah rangkaian logika kombinatorial

berdasarkan masing-masing truth table berikut ini.

(B)

Term

INPUT OUTPUT

a b c Y

1 0 0 1 1

2 0 1 0 1

4 1 0 0 1

Else 0

93

Merancang Rangkaian: Latihan

Buatlah Tabel dan rancanglah rangkaian logika

kombinatorial berdasarkan fungsi-fungsi yang

berikut ini.

1. f(a,b,c) = m(0,1,6)

2. F(x,y,z) = M(0,2,5,7)

3. f(r,s,t,u,v) = m(0,6,8,16)

4. F(j,k,l,m,n) = M(0,1,2,4,31)

5. f(j,k,l,m,n) = m(0,1,2,4,8,16,31)

Merancang Rangkaian: Latihan

Di suatu pabrik ada 5 (lima) beban listrik, yaitu 25 KVA, 45 KVA, 55

KVA, 35 KVA, dan 15 KVA, yang masing-masing mempunyai

karakteristik biner, ADA atau TIDAK (0 KVA). Beban-beban tersebut

dicatu oleh 3 (tiga) Genset (generator set) dengan kapasitas masing-

masing G1 = 50 KVA, G2 = 50 KVA, dan G3 = 100 KVA. Buatlah

rangkaian logika kombinatorial untuk melaksanakan kebijakan

penyalaan Genset-Genset tersebut yang ditunjukkan pada tabel

berikut ini.

94

BebanGenset

G1 G2 G3

Beban 50 KVA ON OFF OFF

50 KVA ≤ Beban <100 KVA ON ON OFF

100 KVA ≤ Beban <150 KVA OFF ON ON

150 KVA ≤ Beban ON ON ON

Merancang Rangkaian: Latihan

95

1. Ada suatu aula berbentuk segi tiga dengan satu pintu setiap sisinya dan di dalamnya memiliki satu lampu. Pada masing-masing pintu tersebut terdapat sakelar dua posisi (biner) untuk menyalakan atau memadamkan lampu di dalam aula. Lampu tersebut dapat dinyalakan atau dipadamkan dari sakelar pada pintu manapun (dinyalakan dari pintu 1 tidak harus dipadamkan dari pintu 1, dst.). Rancanglah rangkaian logika untuk mengendalikan lampu di dalam aula tersebut.

2. Rancanglah seperti soal no 1 di atas, tetapi aula dengan bentuk segi lima dengan 5 pintu dan masing-masing sakelar biner.

3. Rancanglah rangkaian untuk mengubah kode grey menjadi biner dan sebaliknya:

a) Masukan 4-bit grey menjadi keluaran 4-bit biner.

b) Masukan 4-bit biner menjadi keluaran 4-bit grey.

S E K I A N

Oleh:

Agust Isa Martinus

e-Mail: aimxx@yahoo.com

Phone: +62 - 815 - 715.6.715