optimización de la regulación de máquinas de jaula de
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UNIVERSIDAD PQUIÉCMCA DE MADRID / 2 |
Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales '%=¡>^
Optimización de la regulación de máquinas de jaula de ardilla basada en
vectores espaciales
TESIS DOCTORAL
Autor
Javier Herrero Fuerte
Ingeniero Industrial
Director
Carlos Mario Vega González
Doctor Ingeniero Industrial
Madrid, 2003
ÍNDICE
Simbología /
1. Planteamiento y composición de la tesis 1
1.1 Introducción 1
1.2 Estructura de la tesis 7
2. Ecuaciones del motor asincrono de jaula de ardilla en
valores por unidad y obtención de los estados de minima
corriente o de máximo par/amperio 11
2.1 Introducción 11
2.2 Obtención de las ecuaciones del motor alimentado
por una fuente de corriente en valores por unidad. 17
2.3 Ecuaciones en régimen permanente. Obtención del
punto de corriente mínima o de máximo
par/amperio. 26
3. Aplicación de la teoría de control óptimo al motor asin
crono de jaula de ardilla 31
3.1 Introducción 31
3.2 Principio del máximo de Pontriaguin 32
3.3 Solución implícita 39
ÍNDICE
3.4 Variable auxiliar x
3.5 Análisis de la ecuación implícita
3.5.1
3.5.2
3.5.3
3.5.4
3.5.5
3.5.6
3.5.7
Clasificación de las trayectorias
Simetrías
Soluciones de la variable auxiliar x
Curva frontera
Regiones de existencia de las variables ¿mR y X
Asíntotas
Puntos de equilibrio
41
43
46
47
47
50
52
57
57
3.6 Curvas par del motor - corriente magnetizante del
rotor 61
3.6.1 Curvas m{iajs) para las trayectorias óptimas del
grupo I 61
3.6.2 Curvas m(i.^ para las trayectorias óptimas del
grupo II 63
3.7 Trayectorias óptimas en función del tiempo de la
corriente magnetizante del rotor, de la velocidad con
par de carga nulo y del par del motor • 65
3.7.1 Trayectorias del grupo I. Ramas cerradas 66
3.7.2 Trayectorias del grupo I. Ramas abiertas 71
3.7.3 Trayectorias de la separatriz C = 0,5 75
3.7.4 Trayectorias del grupo II 78
11
ÍNDICE
3.8 Superficies 7sd = fí/nR, x), kq = fÍJÍnR, x) y JJi =
f(JV„R,x) 87
4. Procesos de aceleración/desaceleración óptimos del ac
cionamiento eléctrico con par de carga nulo 91
4.1 Introducción 91
4.2 Estado de régimen permanente de corriente mínima
con par de carga nulo 92
4.3 Aceleración y desaceleración óptimas en vacío 93
4.4 Incremento de velocidad alcanzado en función de C _ 104
4.5 Comparación de las trayectorias obtenidas con otros
posibles caminos óptimos 107
4.5.1 Posibles caminos óptimos con igual comente
magnetizante del rotor máxima 111
4.5.2 Posibles caminos óptimos con igual tiempo de
proceso 115
4.5.3 Posibles caminos óptimos con igual incremento de
velocidad 120
4.5 Conclusiones 124
5. Procesos de aceleración/desaceleración óptimos del ac
cionamiento eléctrico con par de carga no nulo 127
5.1 Introducción 127
iii
ÍNDICE
5.2 Trayectorias óptimas para la aceleración y
desaceleración en carga 128
5.3 Espacios de estado para diferentes pares de carga 137
5.4 Conclusiones 159
6. Proceso de restablecimiento de la velocidad del motor
frente a un escalón de par de carga 161
6.1 Introducción • 161
6.2 Procesos óptimos de aplicación del par de carga 162
6.3 Trayectorias óptimas para el restablecimiento de la
velocidad con el par de carga /nt > |»tc | 169
6.4 Trayectorias óptimas para el restablecimiento de la
velocidad con el par de carga O < /nt < |mc [ 176
6.5 Trayectorias óptimas para el restablecimiento de la
velocidad con el par de carga /nt < -| nic | ' 183
6.6 Trayectorias óptimas para el restablecimiento de la
velocidad con el par de carga O > JIÍC > -| wic I 187
6.7 Tabulación de las trayectorias óptimas 191
7. Sistema de control 195
7.1 Introducción 195
IV
ÍNDICE
7.2 Modelo del motor asincrono de jaula de ardilla 196
7.3 Motor asincrono de jaula de ardilla alimentado por
una fuente de corriente 197
7.4 Estrategia del sistema de control 199
7.4.1 Estructura del sistema de control para la
aceleración/desaceleración óptima 199
7.4.2 Estructura del sistema de control para la aplicación
de la carga 203
7.4.3 Estructura del sistema de control para el
mantenimiento del régimen permanente de
corriente mínima 205
7.5 Programa simulador del sistema de control óptimo 206
7.5.1 Resolución de las ecuaciones del motor asincrono
de jaula de ardilla 207
7.5.2 Modelo para el inversor de tensión realimentado en
corriente del estator 208
7.5.3 Programa simulador para la aceleración y
desaceleración óptimas 213
7.5.4 Programa simulador para la aplicación de la carga 215
7.5.5 Programa simulador para el mantenimiento del
régimen permanente de corriente mínima 215
7.6 Resultados 215
V
ÍNDICE
7.6.1 Parámetros del conjunto motor - carga 216
7.6.2 Aceleración y desaceleración óptimas _^_______ 219
7.6.2.1 Aceleración en vacío 219
7.6.2.2 Desaceleración en vacío 224
7.6.2.3 Aceleración con par de carga positivo 228
7.6.2.4 Aceleración con par de carga negativo 232
7.6.3 Aplicación de la carga 236
7.6.3.1 Aplicación de la carga. Aumento del par de
carga 236
7.6.3.2 Aplicación de la carga. Disminución del par de
carga 240
7.7 Resumen y conclusiones 244
8. Conclusiones y trabajos futuros 247
8.1 Conclusiones 248
8.2 Sugerencias para futuros trabajos 251
Bibliografía 253
VI
SlMBOLOGlA
Abreviatura Variable Unidades
histr Ancho de banda de la corriente de A
estator
C, Ángulo del fasor de comente de esta- Rad
tor respecto del eje de estator
5 Ángulo del fasor de corriente de esta- Rad
tor respecto del fasor de corriente
magnetizante del rotor
p Ángulo posición fasor corriente mag- Rad
netizante del rotor respecto sistema
de referencia definido en el estator
s Ángulo posición fasor corriente rotor Rad
respecto sistema de referencia defi
nido en el estator
O Coeficiente de dispersión
as Coeficiente de dispersión del estator
<3R Coeficiente de dispersión del rotor
SlMBOLOGÍA
Abreviatura Variable Unidades
Ci
TR
Ts
hR, ks, br
ííelec_BASE
a, .mec_BASE
Coeficiente de dispersión total
Constante de la Hamiltoniana
Constante de la Hamiltoniana
Constante de tiempo del rotor
Constante de tierapo del estator
Corriente de línea del motor
s
A
Corriente eléctrica base para el cam- Rad/s
bio de dimensión a valores por uni
dad
Corriente mecánica base para el Rad/s
cambio de dimensión a valores por
unidad
k
Fasor de corriente de estator
Fasor de corriente del estator
Fasor de corriente de rotor
Fasor de corriente del rotor
p.u.
A
p.u.
A
II
SlMBOLOGlA
Abreviatura Variable Unidades
7mR Fasor de corriente magnetizante del A
rotor que define el sistema de refe
rencia
¿nR Fasor de corriente magnetizante del p.u.
rotor que deñne el sistema de refe
rencia
JmR Fasor de corriente magnetizante del A
rotor que define el sistema de refe
rencia
f/s Fasor de tensión del motor V
fn frecuencia asignada Hz
fo Frecuencia de sincronismio Hz
pi Función auxiliar de la Hamiltoniana
P2 Función auxiliar de la Hamiltoniana
H Función Harailtoniana
Ls Inductancia fase - neutro del estator H
III
SlMBOLOGÍA
Abreviatura Variable Unidades
LR Inductancia fase - neutro del rotor H
L^, Lo Inductancia mutua entre estator y H
rotor
kn Intensidad asignada A
te Módulo del fasor de corriente de es- p.u.
tator
/mR Módulo del fasor de corriente raagne- A
tizante del rotor que define el siste
ma de referencia
4nR Módulo del fasor de corriente magna- p.u.
tizante del rotor que define el siste
ma de referencia
J Momento de inercia del motor Kg-m^
Mn Par asignado N-m
MBASE Par base para el cambio de dimen- N-m
sión a valores por unidad
Me Par de carga N-m
IV
SlMBOLOGÍA
Abreviatura Variable Unidades
me
MMEC
m
P
P'
kd
Usd
ba
Par de carga p.u.
Par mecánico motor Nm
Par motor p.u.
Pares de polos del motor
Pares de polos del motor equivalente
adimensional
Potencia asignada W
Proyección sobre el eje de abcisas A
(sistema de referencia de JmR) del fa-
sor de corriente de estator
Proyección sobre el eje de abcisas del V
fasor de tensión de estator,
Proyección sobre el eje de abscisas A
(sistema de referencia de estator) del
fasor de corriente de estator
V
SlMBOLOGÍA
Abreviatura Variable Unidades
isd Proyección sobre el eje de abscisas p.u.
(sistema de referencia de ¿IR) del fa-
sor de corriente de estator
Ish Proyección sobre el eje de ordenadas A
(sistema de referencia de estator) del
fasor de corriente de estator
/sq Proyección sobre el eje de ordenadas A
(sistema de referencia de ImR) del fa
sor de corriente de estator
kq Proyección sobre el eje de ordenadas p.u.
(sistema de referencia de ¿IR) del fa
sor de corriente de estator
í/sq Proyección sobre el eje de ordenadas V
del fasor de tensión de estator
Xis Reactancia de dispersión del estator Q
XiR Reactancia de dispersión del rotor Q
XR Reactancia de dispersión del rotor Ci
VI
SlMBOLOGfA
Abreviatura Variable Unidades
Xs Reactancia de dispersión del rotor Q
Xm Reactancia m u t u a Q
Xm Reactancia mu tua Q
XR Reactancia por fase de dispersión del Q
rotor
Xs Reactancia por fase propia del esta- Q
tor
i?s Resistencia fase - neutro del estator Q
i?R Resistencia fase - neutro del rotor Q
Us Tensión asignada del motor V
í/sR, t/ss, UsT Tensiones fase-neutro del motor V
X Tiempo p.u.
t Tiempo S
ismax Valor máximo de la corriente de línea A
del conjunto convertidor - motor
VII
SlMBOLOGÍA
Abreviatura Variable Unidades
X
n
Un
Qo
C02
O m R
S ¿elec
COelec
(O
i ¿mee
fio
Variable auxiliar
Velocidad angular de deslizamiento Rad/s
Velocidad angular del fasor de co- Rad/s
rriente magnetizante del rotor
Velocidad angular del rotor
Velocidad asignada
velocidad asignada
Velocidad asignada del motor
Rad/s
r.p.m.
r.p.m
Rad/s
Velocidad de deslizamiento del m.otor p.u.
Velocidad de giro de ¿nR P-U.
Velocidad de giro eléctrica de rotor Rad/s
Velocidad de giro eléctrica de rotor p.u.
Velocidad de giro mecánica de rotor p.u.
Velocidad de giro mecánica de rotor Rad/s
Velocidad de sincronismo rad/s
VIII
SlMBOLOGÍA
Abreviatura Variable Unidades
Cleiec Velocidad eléctrica asignada rad/s
Qiuec Velocidad mecánica asignada rad/s
IX
1. PLANTEAMIENTO
Y COMPOSICIÓN DE LA TESIS
1.1 In t roducc ión
Los accionamientos eléctricos regulados con motores asin
cronos han experimentado un desarrollo considerable debi
do al progreso de la electrónica de potencia y al empleo de
nuevas técnicas de control. La utilización de modernos con
vertidores estáticos y equipos de control basados en micro-
procesador se han mostrado imprescindibles para obtener
accionamientos con prestaciones altas. Actualmente se em
plean satisfactoriamente accionamientos con motores asin
cronos en aquellas aplicaciones que tradicionalmente han
estado reservadas a los accionamientos regulados con mo
tores de corriente continua.
Hoy día se realiza regulación de máquinas asincronas
con técnicas de control vectorial. Inicialmente éstas técnicas
se han limitado a copiar las técnicas de regulación utiliza
das para máquinas de corriente continua, pero, desde pron
to han aparecido otras técnicas de control vectorial, concep-
CAPITULO 1. PLANTEAMIENTO Y COMPOSICIÓN DE LA TESIS
tualmente distintas, que h a n tratado de aprovechar las par
ticularidades de funcionamiento de las máquinas asincro
nas , como son, por ejemplo, sistemas de control directo del
par o sistemas basados en la aplicación de diferentes crite
rios de optimización.
Precisamente, el problema de optimización del funciona
miento de máquinas asincronas constituye el principal te
ma de esta Tesis. Concretaraente, en este trabajo se plantea
el análisis del comportamiento óptimo de u n motor asincro
no de jaula de ardilla, consistente en pasar de u n punto de
velocidad - par a otro en el mínimo tiempo posible sin que
la corriente de estator supere u n valor previamente fijado en
las condiciones de par de carga constante. Dicho análisis se
h a basado en el principio del máximo de Pontriaguin. Al
mismo tiempo se aborda el problema de minimización de
pérdidas eléctricas en el accionamiento, para lo cual se
plantea colocar el motor, al final del régimen transitorio, en
u n punto de funcionamiento próximo al de máximo rendi
miento.
El principio del máximo de Pontriaguin es u n método va-
riacional que obtiene las condiciones necesarias que deben
cumplir las funciones que optimizan u n índice de coste en
CAPÍTULO 1. PLANTEAMIENTO Y COMPOSICIÓN DE LA TESIS
u n sistema de control con entradas acotadas. La aplicación
del principio del máximo a las ecuaciones de estado del mo
tor - definidas mediante su modelo de campo orientado -
obtiene los valores de las variables de entrada al motor que
permiten modificar sus variables de estado en el menor
tiempo posible.
El funcionamiento bajo par de carga constante abarca u n
vasto campo de aplicaciones de los accionamientos eléctri
cos, como son, por ejemplo, ascensores, grúas y otros me-
canisraos de transporte, diferentes miáquinas herramientas,
trenes de laminación etc.
Con la brevedad de los transitorios se consigue u n a ma
yor maniobrabilidad y u n a mayor precisión dinámica del
accionamiento, contribuyendo, especialmente si los transi
torios ocurren frecuentemente, a la mejora de las prestacio
nes del accionamiento.
El ahorro de energía es uno de los retos más urgentes a
resolver hoy día. El ahorro de la energía eléctrica consumi
da por los motores eléctricos, especialmente por los motores
asincronos de jau la de ardilla, que son los más extendidos.
CAPITULO 1. PLANTEAMIENTO Y COMPOSICIÓN DE LA TESIS
h a sido u n a contribución importante a la solución de este
problema.
Uno de los métodos de reducir las pérdidas eléctricas en
accionamientos eléctricos consiste en la medición directa de
la potencia consumida y su minimización en régimen per
manente . En esta tesis se acomete la minimización de las
pérdidas en régimen permanente, proponiéndose si tuar al
motor, al final del régimen transitorio, en el punto de fun
cionamiento en corriente miínima, el cual es fácil de definir
y muy cercano al de máximo rendimiento [12; 38 y 56].
La máxima brevedad de los transitorios permite, además,
u n mayor tiempo de funcionamiento del motor en el régi
men permanente de corriente mínima.
Ha habido varias propuestas dirigidas a combinar el aho
rro de energía con los procesos transitorios rápidos. En [10]
se propone u n sistema de control que, durante el régimen
transitorio, intenta generar el máximo par del motor posible
y, duran te el régim^en permanente, ajusta el flujo del motor
pa ra minimizar las pérdidas en el cobre. Dicho sistema de
control está basado en u n modelo del motor funcionando en
régimen permanente, y por lo tanto, no puede garantizar u n
CAPITULO 1. PLANTEAMIENTO Y COMPOSICIÓN DE LA TESIS
funcionamiento óptimo durante el régimen transitorio. En
[14] se propone u n sistema de control que contiene dos bu
cles independientes entre sí, uno controla el flujo y el otro la
velocidad. Cada bucle tiene u n regulador PI. Para obtener
u n a buena respuesta transitoria se asigna u n valor elevado
a la constante proporcional de los reguladores PI. El funcio
namiento independiente de ambos bucles no puede garanti
zar u n a respuesta óptima en el tiempo. Para minimizar las
pérdidas en régimen permanente también se ac túa sobre el
flujo mediante u n tanteo de búsqueda basado en el algorit
mo de Fibonacci. En [49] se propone u n sistema de control
que tiende, al comienzo del régimen transitorio, a aumenta r
el flujo del motor has ta su valor asignado, lo que puede re
sultar lento, por la necesidad de vencer la constante de
tiempo electromagnética del rotor, y excesivo, teniendo en
cuenta que luego, si el par permanente no es elevado,
habrá que reducir el flujo nuevamente. Para minimizar las
pérdidas en régimen permanente se propone ajustar el flujo
basándose en u n algoritmo de lógica borrosa.
En resumen, el objetivo principal que se pretende en es
tos trabajos, aunque sin conseguirlo, es acabar lo más rá
pido posible el proceso transitorio del par y la velocidad del
CAPITULO 1. PLANTEAMIENTO Y COMPOSICIÓN DE LA TESIS
motor. Una vez establecido el régimen permanente estos
autores buscan reducir las pérdidas adecuando el valor del
flujo.
Finalmente, hay trabajos que se han basado en la Teoría
del Control Óptimo de Pontriaguin para alcanzar la veloci
dad deseada en el menor tiempo posible. En [20] se mantie
ne el flujo constante y actúa sobre la componente de la co
rriente que crea par. Ahora bien, al ser, durante el régimen
transitorio, el flujo constante, modeliza el motor como un
sistema lineal de segundo orden. En [43, 44, 45, 46 y 47] se
trata de aplicar la teoría del control óptimo de Pontriaguin
actuando conjuntamente sobre el flujo y el par.
En ninguno de los citados trabajos se plantea situar al
motor, al final del proceso transitorio, en un punto próximo
al de rendimiento óptimo, por lo que sería necesario un
tiempo adicional para llegar a él que podría durar, si se pre
tende hacerlo sin alterar el par y velocidad, varios segundos
(de 12 a 15 segundos en [49]). Durante todo el tiempo, que
incluye el proceso transitorio de par - velocidad en sí y la
"peregrinación" del motor, durante el régimen permanente,
en busca del punto de máximo rendimiento, se siguen pro
duciendo pérdidas adicionales; de hecho, este es el auténti-
CAPITULO 1. PLANTEAMIENTO Y COMPOSICIÓN DE LA TESIS
co tiempo que dura el proceso transitorio, de modo que el
planteamiento propuesto en los trabajos citados no resuelve
el problema de reducción de pérdidas en régimen perma
nente junto con procesos transitorios rápidos.
El planteamiento que se propone en esta tesis estriba
precisamente en no separar la regulación del par y veloci
dad de las demás variables y conseguir que el tiempo de
traslado de un punto de funcionamiento con máximo ren
dimiento a otro sea, en estas condiciones, el mínimo posi
ble, contando lógicamente con las limitaciones que impone
la corriente máxima admisible por el accionamiento.
En [38] se ha realizado el trabajo propuesto en esta tesis
para pares de carga del tipo cuadrático.
1.2 Estructura de la tesis
La tesis se estructura en varios capítulos. En el capítulo dos
se obtienen, en valores por unidad, las ecuaciones diferen
ciales que definen el comportamiento de un motor asincro
no de jaula de ardilla alimentado con una fuente de corrien
te. También se estudia la condición de corriente mínima. La
obtención de las ecuaciones del motor y sus variables en
7
CAPÍTULO 1. PLANTEAMIENTO Y COMPOSICIÓN DE LA TESIS
valores por unidad nos va a permitir abstraemos de un ac
cionamiento o motor concreto.
En el capítulo tres se aplica la Teoría del Control Óptimo
de Pontriaguin a las ecuaciones de estado del motor, obte
niéndose las condiciones para modificar las variables de
estado en el menor tiempo posible. Se obtiene además, para
el caso de par de carga constante, la solución analítica al
problema de optimización planteado.
En el capítulo cuatro se estudia el comportamiento del
motor en vacío, obteniéndose las condiciones para acelerar
lo o frenarlo, con par de carga nulo, en el menor tiempo po
sible.
En el capítulo cinco se obtiene la forma de acelerar o
desacelerar el motor en el menor tiempo posible y bajo el
par de carga constante.
En el capítulo seis se estudia cómo restablecer la veloci
dad del motor, también de la forma más rápida posible,
frente a un escalón de par de carga.
En el capítulo siete se presenta un sistema de control de
velocidad que, bajo las condiciones estudiadas en los capí-
8
CAPÍTULO 1. PLANTEAMIENTO Y COMPOSICIÓN D E LA TESIS
tulos cuatro a seis, obtiene una respuesta óptima en el
tiempo llevando al motor al punto de corriente mínima.
En el capítulo ocho se presentan las conclusiones y apor
taciones de la tesis y se sugieren posibles líneas de investi
gación que se pueden abrir a partir de este trabajo.
2 . E C U A C I O N E S DEL MOTOR
ASÍNCRONO DE JAULA DE ARDILLA EN
VALORES POR UNIDAD Y OBTENCIÓN
DE LOS ESTADOS DE MlNIMA
CORRIENTE O DE MÁXIMO
PAR/AMPERIO
2.1 Introducción
Un control de velocidad con altas prestaciones tiene que
funcionar satisfactoriamente no sólo en régimen permanen
te, sino también en régimen transitorio. El sistema de con
trol debe apoyarse en un modelo del motor que contemple
su funcionamiento en régimen dinámico.
El modelo que se emplea en esta Tesis tiene en cuenta los
valores instantáneos de las diferentes magnitudes electro
magnéticas y mecánicas que intervienen en el funciona
miento del motor asincrono de jaula de ardilla.
11
CAPITULO 2. ECUACIONES DEL MOTOR ASINCRONO DE JAULA DE ARDILLA EN VALORES POR
UNIDAD Y OBTENCIÓN DE LOS ESTADOS DE MÍNIMA CORRIENTE O DE MÁXIMO PAR/AMPERIO
Para definir dicho modelo nos hemos basado en los faso-
res espaciales. El empleo de éstos permite: una formulación
más compacta de las ecuaciones y su manipulación más
sencilla, realizar gráficos más fáciles de interpretar y, a me
nudo, un desarrollo más lógico y directo de conceptos. Los
fasores espaciales se definen asociándolos a las diferentes
magnitudes electromagnéticas del motor (tensiones,
corrientes, flujos magnéticos, etc).
El modelo matemático del motor asincrono de jaula de
ardilla queda pues definido en las siguientes ecuaciones
diferenciales:
• Ecuación de tensión del estator referida al sistema de
coordenadas del estator:
RsIs^Ls^ + Lofl{kd^)-Us. (2-1)
• Ecuación de tensión del rotor referida al sistema de
coordenadas del rotor:
i?R & + Í R - ^ + io ^ (h e-J ^) = O. (2-2)
12
CAPITULO 2. ECUACIONES DEL MOTOR ASINCRONO DE JAULA DE ARDILLA EN VALORES POR
UNIDAD Y OBTENCIÓN DE LOS ESTADOS DE MÍNIMA CORRIENTE O DE MÁXIMO PAR/AMPERIO
• Ecuación de la dinámica referida al sistema de
coordenadas del estator:
J - j j - = M n , e c - M c = 3LopImUs(jRe/£) J - Me- (2-3)
La definición de las variables utilizadas se encuentra en el
capítulo de simbología.
En un motor asincrono polifásico de jaula de ardilla, sin
neutro de retorno en los devanados, cada fasor espacial se
corresponde de forma unívoca con dos variables indepen
dientes y por lo tanto es bidimensional, colocándose todos
ellos en un plano perpendicular al eje del motor.
Para determinar las coordenadas de estos fasores se em
plea un sistema de referencia que tiene su origen en el eje
del motor y es perpendicular a éste. La elección de un sis
tema de referencia u otro cambia el aspecto de las ecuacio
nes diferenciales del modelo dinámico del motor asincrono
de jaula de ardilla
Definiendo el fasor de corriente magnetizante /mR del rotor
como
LiR = / s + (1 + CTR) de= /^R e/p
13
CAPITULO 2. ECUACIONES DEL MOTOR ASINCRONO DE JAULA DE ARDILLA EN VALORES POR
UNIDAD Y OBTENCIÓN DE LOS ESTADOS DE MÍNIMA CORRIENTE O DE MÁXIMO PAR/AMPERIO
y considerando un sistema de coordenadas ortogonal en el
que el eje de abscisas, o eje d, coincide con el fasor ¿nR y el
eje de ordenadas, o eje q, está adelantado jt/2, las ecuacio
nes (2-1) a (2-3) pasan a ser, en las coordenadas d-q:
• Ecuación de tensión del estator proyectada sobre el eje
d:
Tso ¿^ +Isd-
= - ^ - ( l -a ) ^ (Jsd - /mR) + CT Ts ílniR ^Sq- (2-4)
• Ecuación de tensión del estator proyectada sobre el eje
d 4 át • ^ q
_ - - ' S q ^ j _
Usa = -^-(l-o)Tsn^ImR-oTsnraRhd- (2-5)
• Ecuación de tensión del rotor proyectada sobre el eje
d:
d JmR ^R jj f = -fed - 4iR- (2-6)
14
CAPITULO 2. ECUACIONES DEL MOTOR ASINCRONO DE JAULA DE ARDILLA EN VALORES POR
UNIDAD Y OBTENCIÓN DE LOS ESTADOS DE MÍNIMA CORRIENTE O DE MÁXIMO P A R / A M P E R I O
• Ecuación de tensión de rotor proyectada sobre el eje q:
A f~ ^elec "*• T^ T ^~ í^elec ^ ^ 2 - (2-7) '^ >• •'R -"mR
• Ecuación de la dinámica del motor:
J - ^ J - = M n , e c - M c . (2-8)
El par mecánico del motor es
2 Mnec = 3" P -í« (1-Cf) 4iR -feq = ^ 4iR 4q , (2-9)
y la velocidad del rotor:
d s j , — iiglec ~ P "mee- (-^"^UJ
En la figura 2-1 se muest ra u n a posible posición recíproca
momentánea de los ejes del estator y del rotor y de los faso-
res espaciales de la corriente de estator /s y de la corriente
¿nR. Los ángulos eléctricos del fasor /s respecto de los siste
mas de referencia d-q (definido por ínR) y a-b (definido por
el estator) son 5 y ( respectivamente. Los ángulos eléctricos
15
CAPITULO 2. ECUACIONES DEL MOTOR ASÍNCRONO DE JAULA DE ARDILLA EN VALORES POR
UNIDAD Y OBTENCIÓN DE LOS ESTADOS DE MÍNIMA CORRIENTE O DE MÁXIMO PAR/AMPERIO
8 y p indican, respectivamente, la posición de los ejes del
rotor e 7mR respecto el estator.
Á^ \6
Te
y
^ -mR
r
\ Sq
4d
Eje Estator
Figura 2-1
En el caso de alimentar al motor con una fuente de corrien
te se simplifica notablemente el modelo de éste, quedando
su comportamiento definido con las ecuaciones (2-6) a
(2-10). El número de variables de.estado, que definen el
comportamiento del motor, se reduce a dos, la corriente
magnetizante del rotor /mR T la velocidad de giro del rotor
O. Las ecuaciones de estado, que definen el comporta
miento de /mR y íímeo son la (2-6) y la (2-8) respectivamente.
16
CAPITULO 2. ECUACIONES DEL MOTOR ASÍNCRONO DE JAULA DE ARDILLA EN VALORES POR
UNIDAD Y OBTENCIÓN DE LOS ESTADOS DE MINIMA CORRIENTE O DE MÁXIMO PAR/AMPERIO
2.2 Obtenc ión de l a s ecuac iones del moto r a l imen
tado por u n a fuente de corr iente en valores por
u n i d a d .
En este apartado se obtienen las variables y expresiones
que definen el modelo dinámico del motor asíncrono de jau
la de ardilla en valores por unidad (p.u.), ello perraite:
1. Simplificar las ecuaciones y por lo tanto el análisis de
las mismas.
2. Abstraerse de cualquier accionamiento concreto (mo
tor, convertidor de frecuencia, sistema de transmisión
y mecanismos).
3. Aplicar las conclusiones obtenidas de este modelo a
cualquier accionamiento concreto.
Para obtener las variables en valores por unidad fijamos
para ellas unos valores base que han de ser elegidos del
modo que permita simplificar las ecuaciones, despojándolas
en la medida de lo posible de los parámetros concretos de
un motor o un convertidor y acotando el margen de varia
ción de las variables resultantes.
17
CAPITULO 2 . E C U A C I O N E S D E L MOTOR ASINCRONO D E JAULA D E ARDILLA EN VALORES P O R
UNIDAD y OBTENCIÓN DE LOS ESTADOS DE MÍNIMA CORRIENTE O DE MÁXIMO PAR/AMPERIO
Los valores base que escogemos son respectivamente pa
ra el tiempo y para las corrientes, la constante de tiempo
del rotor TR y la mínima de las corrientes máximas que se
asignan al motor y al convertidor /gmax-
Al dividir una magnitud por su correspondiente valor ba
se, se obtiene dicha magnitud en valores por unidad. Así
por ejemplo, el tiempo y la corriente de estator quedan en
valores por unidad:
^ IP--1 = T^ [s]
y
'^ tP-^-1 = isn^ax [AI
Aprovechando estas expresiones se puede presentar las
ecuaciones de estado (2-6) a (2-10) en valores por unidad.
1. Ecuación de tensión del rotor provectada sobre el eje d
Dividiendo oportunamente los términos de la ecuación (2-6)
p o r Jsmax y T R
18
CAPITULO 2. ECUACIONES DEL MOTOR ASINCRONO DE JAULA DE ARDILLA EN VALORES POR
UNIDAD Y OBTENCIÓN DE LOS ESTADOS DE MlNIMA CORRIENTE O DE MÁXIMO PAR/AMPERIO
1 d JmR JmR hd • + •
-'Smax j ( _ t _ | •'Smax •'Smax
se obtiene en valores por unidad
d ¿mR . d T ~ ^Sd - knR,
donde las variables en minúscula lo son en valores por uni
dad, es decir
_ - mR
•'Smax
^Smax
y
Smax
2. Ecuación de tensión del rotor proyectada sobre el eje q
De la ecuación (2-7) se tiene
19
CAPITULO 2. ECUACIONES DEL MOTOR ASINCRONO DE JAULA DE ARDILLA EN VALORES POR
UNIDAD Y OBTENCIÓN DE LOS ESTADOS DE MÍNIMA CORRIENTE O DE MÁXIMO PAR/AMPERIO
1
TR TR TR
Definiendo la velocidad eléctrica base como
^elec_BASE "" j - >
se obtiene en valores por unidad
ISq _ «>inR - <f>elec + / " «>elec + « 2 ,
donde
1 d p d p ^^^~ neIec_BASE d í " d x
_ 1 d e ®elec o . _ *^elec j _•
Con la definición adoptada de la velocidad eléctrica base,
los ángulos eléctricos, medidos en radianes, son los mismos
que los medidos en valores por unidad.
20
CAPITULO 2. ECUACIONES DEL MOTOR ASINCRONO DE JAULA DE ARDILLA EN VALORES POR
UNIDAD Y OBTENCIÓN DE LOS ESTADOS DE MÍNIMA CORRIENTE O DE MÁXIMO PAR/AMPERIO
3. Ecuación de la mecánica
Si al miembro de la parte izquierda de la ecuación (2-8) se le
multiplica y divide por TR y a toda la ecuación se la multi
plica, teniendo en cuenta (2-9), por 2 y se divide por k í^^^^
se tiene
d D ^ e c 1 JmR ho Me
d -^ÍT -'R "- -'Smax -^max ^ - ^ m a x
^^^^ 2 J 2
Si llamamos par base y velocidad mecánica base
respectivamente a
kf M B A S E = - f ^ (2-12)
^R -^BASE ^R ^ 4 m a x "mec_BASE ~ j ~ 2 J '
tenemos que la ecuación (2-11) queda
dco d i
- 2 ¿mR ¿Sq - ' ^ j
21
CAPITULO 2. ECUACIONES DEL MOTOR ASINCRONO DE JAULA DE ARDILLA EN VALORES POR
UNIDAD Y OBTENCIÓN DE LOS ESTADOS DE MÍNIMA CORRIENTE O DE MÁXIMO PAR/AMPERIO
donde
mee co n •mee BASE
M _k JmR Jsq _
ífeASE -^BASE
-t" '^ -'mK -'sq . . / o 1 0 Í ?^ = T7 = n ü ^ = 2 Z i n R l S q ( 2 - 1 3 )
Me. me Mi BASE
El motivo por el que se elige el par base dado por (2-12) es
obtener u n par del motor máximo 1 p.u. cuando la corriente
de estator es, en régimen permanente, Jsmax.
La relación entre las velocidades eléctrica y mecánica del
rotor en valores por unidad se deduce fácilmente,
i 'elec ~ P '' meo
^elec ^^ec_BASE ^ m e c P ^elec_BASE í^elec_BASE Q elec_BASE !"'mec_BASE
22
CAPITULO 2. ECUACIONES DEL MOTOR ASINCRONO DE JAULA DE ARDILLA EN VALORES POR
UNIDAD Y OBTENCIÓN DE LOS ESTADOS DE MÍNIMA CORRIENTE O DE MÁXIMO P A R / A M P E R I O
«elec = P 2~J ® = P «•
En valores por unidad, el motor equivalente tiene p' pares
de polos.
Con las variables expresadas en valores por unidad, la
figura 2-1 toma el aspecto de la figura 2-2.
Figura 2-2
En esta figura vemos que el fasor de corriente de estator ¿
se descompone, en el sistema de coordenadas del estator,
en ¿sa e ish- Tomando el sistema de referencia definido por el
fasor de corriente magnetizante de rotor ¿nR, las componen
tes de te son isd e ¿sq. La velocidad eléctrica de giro del eje
23
CAPITULO 2. ECUACIONES DEL MOTOR ASINCRONO DE JAULA DE ARDILLA EN VALORES POR
UNIDAD Y OBTENCIÓN DE LOS ESTADOS DE MÍNIMA CORRIENTE O DE MÁXIMO PAR/AMPERIO
del rotor es ©eiec, mientras que la velocidad eléctrica de giro
del eje ¿QR es comR.
En la figura 2-3 se mues t ra el primer cuadrante del sis
tema de coordenadas definido por imR. El valor máximo que
alcanza el fasor de corriente de estator fe es 1 p.u. También
se tiene este mismo valor raáximo para sus componentes ¿sd
e teq y para ¿nR. Asimismo observamos que, t ra tándose de
u n sistema de coordenadas basado en el vector ¿IR, la pro
yección de ¿nR sobre sí mismo n u n c a puede ser negativa. En
caso de ¿IR = O, es el vector ÍS el que se convierte en el vec
tor de referencia pa ra el sistema de coordenadas.
De acuerdo con la expresión del par (2-16), la curva de
par constante en las coordenadas (isd (ímR), feq) es u n a hi
pérbola.
Resumiendo, las ecuaciones del motor alimentado con u n a
fuente de corriente son, en valores por unidad:
d ÍmR - ¿ 7 - = f e d - 4 n R , (2-14)
d <o -^=m-mc, (2-15)
24
CAPITULO 2 . ECUACIONES DEL MOTOR ASINCRONO D E JAULA D E ARDILLA EN VALORES POR
UNIDAD Y OBTENCIÓN DE LOS ESTADOS DE MÍNIMA CORRIENTE O DE MÁXIMO PAR/AMPERIO
^max ^
m = l Ejes(t„B,0
Figura 2-3
m- 2 4nR ÍSq (2-16)
de COelec-
25
CAPITULO 2. ECUACIONES DEL MOTOR ASINCRONO DE JAULA DE ARDILLA EN VALORES POR
UNIDAD Y OBTENCIÓN DE LOS ESTADOS DE MÍNIMA CORRIENTE O DE MÁXIMO PAR/AMPERIO
2.3 Ecuaciones en régimen permanente. Obtención
del pun to de corriente mínima o de máximo
par /amper io .
En este apar tado se obtienen las condiciones en las que el
motor da el máximo par del motor por araperio en régimen
permanente, o lo que es lo mismo, la corriente mínima que
se puede suministrar al motor con u n par dado.
En régim.en perm.anente de giro a velocidad constante las
variables de estado se mantienen constantes, quedando las
ecuaciones de estado (2-14) y (2-15)
- ^ ^ = O : ^ tSd = ImR = Cte
d to „ • ^ = O => 2 imR isq = me = cte.
La expresión general del módulo de ¿
V a ^ 2
26
CAPITULO 2. ECUACIONES DEL MOTOR ASINCRONO DE JAULA DE ARDILLA EN VALORES POR
UNIDAD Y OBTENCIÓN DE LOS ESTADOS DE MÍNIMA CORRIENTE O DE MÁXIMO PAR/AMPERIO
queda en régimen permanente
k = V 4 R + 4q- (2-17)
Presentando ¿sq = a-imR, las ecuaciones (2-17) y (2-16) que
dan respectivamente
¿s = V w + « ' 4 = I w l V l + a ' (2-18)
y
m = 2 a ¿ R . (2-19)
Si se despeja 4HR de la ecuación anterior, tenemos
W = ±A/-f^. (2-20)
Aunque la corriente de estator imR no puede ser negativa, se
ha optado aquí por tener en cuenta también el signo negati
vo de ella.
Si se sustituye imR, según la expresión (2-20), en la ecua
ción (2-18), se tiene
27
CAPITULO 2. ECUACIONES DEL MOTOR ASINCRONO DE JAULA DE ARDILLA EN VALORES POR
UNIDAD Y OBTENCIÓN DE LOS ESTADOS DE MÍNIMA CORRIENTE O DE MÁXIMO PAR/AMPERIO
( m ( l + a^)
2 a
Hallando el valor de a que anula la derivada de is respeto de
a, y comprobando que, con dicho valor de a, la segunda de
rivada es positiva, determinaremos la corriente mínima del
estator para u n par dado.
d is ±m (g - l)
indica que is es mínima para m = cte cuando a = ±1, lo que
significa, según la ecuación (2-20),
y al ser feq = a- imR entonces
Como en régimen permanente m = mcy se tiene
4nR = fed = ± ' Y 2 . (2-21)
28
CAPITULO 2 . ECUACIONES DEL MOTOR ASÍNCRONO D E JAULA D E ARDILLA EN VALORES P O R
UNIDAD Y OBTENCIÓN DE LOS ESTADOS DE MÍNIMA CORRIENTE O DE MÁXIMO P A R / A M P E R I O
¿Sq = ± A / " ^ . (2-22)
En la figura 2-4 se muest ran los puntos de funcionamiento
a corriente mínima en régimen permanente. En los cua
drantes I y III el par es positivo, mientras que en los cua
drantes II y IV el par es negativo según indica la ecuación
del par del motor (2-16).
El ángulo
5 = atan -
en régimen permanente es
8 = atan -;—
Para el punto de corriente mínima se tiene 5 = ^ , ~T^, "T~, "~2~"
29
CAPITULO 2. ECUACIONES DEL MOTOR ASÍNCRONO DE JAULA DE ARDILLA EN VALORES POR
UNIDAD Y O B T E N C I Ó N DE LOS ESTADOS DE MÍNIMA CORRIENTE O DE MÁXIMO P A R / A M P E R I O
rrKO m > 0
m>0 m<0
Figura 2-4
30
3. APLICACIÓN DE LA TEORIA DE
CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR
ASÍNCRONO D E JAULA DE ARDILLA
3.1 In t roducc ión
En el capítulo anterior hemos obtenido las ecuaciones de
estado del motor asincrono de jaula de ardilla en valores
por unidad y hemos definido las condiciones que deben
cumplir las corrientes de estator y magnetizante del rotor
para establecer el régimen de corriente mínima.
En este capítulo vamos a definir un procedimiento para
modificar, en el menor tiempo posible, el estado de funcio
namiento del motor asincrono de jaula de ardilla alimenta
do por una fiaente de corriente. Para ello aplicaremos la
Teoría del Control Óptimo de Pontriaguin a las ecuaciones
de estado del motor.
31
CAPITULO 3 . APUCACIÓN DE LA TEORÍA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASINCRONO DE
JAULA DE ARDILLA.
3 .2 P r i n c i p i o d e l m á x i m o d e P o n t r i a g u i n
El principio del máximo de Pontriaguin da u n a s condiciones
necesarias que deben cum.plir las funciones que optimizan
u n índice de coste en los problemas de control con ent radas
acotadas.
Para aplicar este principio es necesario definir, a partir de
las ecuaciones de estado del motor, u n a función Hamilto-
niana. Al buscar el máximo de la Hamiltoniana se obtienen
las expresiones de las entradas al sistema que permiten op
timizar el índice de coste.
En este capitulo obtendremos, con ayuda de la Teoría del
Control Óptimo de Pontriaguin, las trayectorias que deben
seguir las componentes ted e feq de la variable de ent rada is
para, que las variables de estado, ¿nR y (o, se modifiquen en
tiempo mínimo.
1. Ecuación Hamiltoniana. índice de coste y ecuaciones
auxiliares
El índice de coste Ja optimizar es el tiempo, T -TO, empleado
en modificar las variables de estado, es decir:
32
CAPITULO 3. APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASÍNCRONO DE
JAULA DE ARDILLA
/ = / l dT = Ti-xO, (3-1)
xo
donde x es el instante inicial y x el instante final del proce
so transitorio.
Las ecuaciones de estado del raotor alimentado por u n a
fuente de corriente se han obtenido en el capitulo dos y son:
d ¿mRÍ ) ~~^ = ^Sd(x) - ímR(x) (3-2)
^ ^ = 2 4nR(T) feq(x) - me . (3-3)
De (3-1), (3-2) y (3-3), definimos la Hamiltoniana como
H(Ísd(t), feq(x)) =
= 1 + Pi(x)(isd(-t) - 4TIRW) + P 2 ( T ) { 2 isq(x) 4nR(x) - me) , (3-4)
donde piy pz son funciones auxiliares.
La ecuación Hamiltoniana y las funciones auxiliares
cumplen,
33
CAPITULO 3 . APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASÍNCRONO DE
JAULA DE ARDILLA
(3-5) S^nRÍt) Sx
5CO(T) dx • ^^^^
Teniendo en cuenta la expresión (3-4), las ecuaciones (3-5)
y (3-6) se transforman en
^ =Pl(x)- i^(T) |^2lsq(x)- ;gT-^
dx d(i}(x)
En esta tesis vamos a suponer que el par de carga es cons
tante, por lo que las dos ecuaciones anteriores quedan
^ ^ = Pl(T)-2p2(T)feq(T) (3-7)
34
CAPITULO 3. APLICACIÓN DE LA TEORIA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASINCRONO DE
JAULA DE ARDILLA
- ^ = 0 . (3-8)
De (3-8) s e t i ene
P2(x) = Ci = cte, (3-9)
r e s u l t a n d o (3-7)
dpiix) - ^ = PI(T) - 2 Ci ¿sqW . (3-10)
2. Ex t r emo de la H a m i l t o n í a n a
La ecuac ión de la H a m i l t o n i a n a (3-4) co r r e sponde , en el e s
pacio t r i d imens iona l /í(ted,teq), a u n p l a n o inc l inado (si PI(T:),
P2(x) e ¿mR(x) no s o n n u l a s s i m u l t á n e a m e n t e ) y po r lo t a n t o
no t iene ex t remo (ver figura 3-1).
La corriente de estator is está limitada a un valor máximo
de 1 p.u. cumpliéndose
L(-^) + ÍM)<l. (3-11)
La región k < I representa, en el plano H{isd, teq), un cir
culo de radio unidad con el centro en el origen de coorde-
35
CAPITULO 3. APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASINCRONO DE
JAULA DE ARDILLA
nadas . Dentro de esta región, la Hamiltoniana (3-4) sí tiene
u n máximo que está si tuado en la frontera de dicha región,
cumpliéndose
%d( ) + IqW = 1- (3-12)
H máxina
Figura 3-1
Despejando ^q de la ecuación anterior
= W feq = i - y 1 - «Sd ,
introduciéndolo en (3-4) y teniendo en cuenta (3-9), se tiene
H = 1 + p i %d - P l ímR± 2 Ci 4 n R ^ l " éd " Q n ^ -
36
CAPITULO 3. APLICACIÓN DE LA TEORIA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASINCRONO DE
JAULA DE ARDILLA
El extremo se obtiene derivando H respecto ¿sd e igualando
la derivada a cero,
• I T
P l = ± 2 Ci ZmR I „ .
Vi-ád
Elevando al cuadrado la ecuación anterior
2 2 ^ ^ ^ 2 ^ d
Pl ^ '-^l hnR , 2 > 1 -^Sd
y despejando ¿sd, se tiene
±Pi ¿Sd = / o 0 3 (3 -13 )
V 2 i 2 C\ IrnR
^ - ^ d - / 2 1^2 • (3-14)
37
CAPITULO 3. APLICACIÓN DE LA TEORIA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASÍNCRONO DE
JAULA DE ARDILLA
El extremo será máximo si se exige que la segunda derivada
de H respecto de ísd sea negativa,
d ^ f f - 2 Ci 4nR ^ 7T- = — 3 — < o ,
es decir,
2 Ci 4nR ^ 3 >0-
Sustituyendo la expresión (3-14) de hq en la parte izquierda
de la desigualdad anterior se obtiene que
ijnR debe ser positiva, por tanto las ex
presiones (3-13) y (3-14) quedan
<i = - f T = T = (3-15)
2 Cl ¡mR
^Pi + 4 Cí w
El comportamiento en régimen óptimo del motor está defi
nido por el sistema de ecuaciones diferenciales (3-2), (3-3) y
38
CAPITULO 3. APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASINCRONO DE
JAULA DE ARDILLA
(3-10) junto con la restricción (3-11). Las expresiones de isá
e ¿sq son respectivamente (3-15) y (3-16).
3 . 3 S o l u c i ó n i m p l í c i t a
Puesto que la variable co no está presente en las ecuacio
nes (3-2) y (3-10), éstas se podrán resolver de forma inde
pendiente de la (3-3).
Sustituyendo (3-15) y (3-16) en (3-2) y (3-10), se tiene
dx VP?(X) + 4 el 4R(T) 4nR( ) (3-17)
= J3I(T:)-—r= j = = • (3-18) d T
Multiplicando la ecuación (3-17) por PI(T), la ecuación (3-18)
por imR(x) y sumándolas resulta
d W(t) ,,^dpM. , , Pi(- ) - 4C^ ¿R(t) ^ ^ ^
39
CAPITULO 3 . APLICACIÓN D E LA TEORÍA D E CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASÍNCRONO D E
JAULA DE ARDILLA
Multiplicando la ecuación (3-17) por 4Ci4nR> la ecuación
(3-18) por pi y sumándolas se tiene
^ ^ 7 ^ 4C?4nR(x) + ^^Pi(t) = PI(X) - 4C^ 4R(T) . (3-20)
Sustituyendo el numerador de la parte derecha de la ecua
ción (3-19) por su equivalente de la ecuación (3-20) se ob
tiene
operando a continuación resulta
, , , . , , . , , ^ , , 4C 4nR( ) d4nR(T) + Pi(T) dpi(T) P I ( T : ) d lmR(x) + ImR(x) dj9i(T) = , .
El primer sumando es la diferencial de pvimR, mientras que
el segundo sumando es la diferencial de '\/Í3I(T)+4C^IJJJR(X);
por lo que se tiene
d(4nRW Pi(x)) = d(-^p?(T)+4C;¿R(T)).
40
CAPITULO 3 . APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASINCRONO DE
JAULA DE ARDILLA
Integrando obtenemos la solución implícita
4nR(x) PiW = VAW+4CÍ¿R(T) - K, (3-21)
siendo K la constante de integración.
3.4 Variable auxil iar x
Llam^ando
XW= f ^ (Ci O),
se obtienen nuevas expresiones para las componentes de la
corriente de estator (3-15) y (3-16), para las ecuaciones de
estado (3-2) y (3-3), para la ecuación aiixiliar (3-10), para el
par del motor y para la ecuación implícita (3-21).
Así para la expresión (3-15) de ¿sd se tiene
. - , signo(Ci) X(T) ísd(-c) = / „ ^ = - (3-22)
Para la expresión (3-16) de ¿sq se tiene
41
CAPITULO 3 . APLICACIÓN D E LA TEORÍA D E CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASÍNCRONO D E
JAULA DE ARDILLA
. , . signo(Ci) ^R(T) ÍSq(t) = I „ o =^- (3-23)
Vx ( ) - 4R(-Í)
La e c u a c i ó n at ixi l iar (3-10) q u e d a
dj3i(x) 1 1 .
^ ^ = X M - ísq(x). (3-24)
Si e n l a expres ión an t e r io r s u s t i t u i m o s ^q po r s u expres ión
(3-23), t e n e m o s
í ^ = ,W-2MMa. ,3-251 S% ( ) + ímRÍ )
Las e c u a c i o n e s d e e s t ado , (3-2) y (3-3), q u e d a n respec t iva
m e n t e
d 4BR(T) signo(Ci) x(x) . ímR(T), (3-26) d x V ? W + 4RW
doÍT) signo(Ci) 2 4R(t) dT " , / 2, - , 2 , . - ' ^ ' (3-27)
42
CAPITULO 3 . APLICACIÓN D E LA TEORÍA D E CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASINCRONO D E
JAULA DE ARDILLA
siendo el par mecánico interno del motor
signo(Ci} 2 I^R(T) m(x) = 2 kn^(x) q(T) = ¡ ^ ^ - (3-28}
4 X (^) + ZmR(^)
Dividiendo la ecuación (3-21) entre 2-Ci y operando, tene
mos
" ^ 2 C 7 '
r i — 2 — 1 ¿mRÍT;) xW = signo(Ci) '\jx (T) + Z^R(T) - K ^ ^ ,
signo(Ci)4nR(x) XÍT) =A/%^(X) + 4R(X) - K signo(Ci)
2Ci '
signo(Ci)U(x) XW = Vx'(^) + W(^) - C, (3-29)
d o n d e C = K / ( 2 - | C i | ) .
3.5 Análisis de la ecuac ión implíci ta
En este apartado se presenta un estudio de la ecuación im
plícita (3-29). Esta ecuación representa las trayectorias óp-
43
CAPITULO 3. APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASINCRONO DE
JAULA D E ARDILLA
timas de las variables ¿nR y x en el espacio (¿nR, x)- En la fi
gura 3-2 se representan dichas trayectorias en función del
parámetro C y para Ci positiva.
-2,0
Figura 3-2
En la figura 3-3 se representan estas mismas trayectorias
para Ci negativa.
44
CAPITULO 3. APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASÍNCRONO DE
JAULA DE A R D I L L A
Las trayectorias, óptimas o no, de la variable de estado co
dependen del par de carga me (ver (3-3)), y por consiguiente,
las trayectorias en el espacio de estado (¿nR, (o) también de
penden de me. En cambio, la ecuación (3-29) no depende de
771c- Ello nos permite afrontar el estudio del comportamiento
del motor de forma independiente del valor del par de carga
cuando las variables de estado siguen trayectorias óptimas.
Aunque la corriente magnetizante del rotor ¿nR es siempre
positiva o nula, pues define el sistema de referencia de faso-
45
CAPITULO 3. APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASINCRONO DE
JAULA DE ARDILLA
res espaciales empleado en esta Tesis, se han representado
las trayectorias (únR, x) para ¿QR positiva y negativa, eUo
permite ver el aspecto general de las curvas y entender me
jor su forma.
3.5.1 Clasificación de las trayectorias.
El análisis de las ecuaciones (3-25), (3-26) y (3-29) permite
clasificar las trayectorias óptimas en tres familias o grupos
principales:
• Grupo I: Trayectorias óptimas pertenecientes al in
tervalo O < C < 0,5.
• Grupo II: Trayectorias óptimas dadas por C > 0,5.
• Grupo III: Trayectorias óptimas dadas por C < O.
Las trayectorias para C = O separan los grupos I y III, mien
tras que las trayectorias para C = 0,5 sirven de separatrices
para los grupos I y II. En las figuras 3-4 y 3-5 se represen
tan, en el plano (úaR, %), las regiones definidas por estos
grupos.
46
CAPITULO 3. APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASÍNCRONO DE
J A U L A D E ARDILLA
C^ positiva
Grupo II
Grupo 11
negativa
Figura 3-4 Figura 3-5
3 . 5 . 2 S i m e t r í a s
Las variables ¿nR y x son intercambiables en (3-29), lo que
significa que las curvas ¿nR(x) y x(¿nR) son simétricas respec
to de los ejes % = +¿nR. De modo que los resultados que se
obtienen para x(¿nR) son aplicables a ¿HRÍX)-
3.5.3 Soluciones de la variable auxiliar %.
De la ecuación (3-29) se puede obtener % en función de C,
Ci e imR.
47
CAPITULO 3. APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASINCRONO DE
JAULA DE ARDILLA
signo(Ci)4nR(-c) XM + C = ^Jx%) + W(^)- (3-30)
Elevando al cuadrado
4R(^) X^(^) + 2 signo(Ci) C i^m x(x) + (f = x^{x) + 4R(^),
agrupando términos en %,
( l - ¿ R W ) X^W - 2 signo(Ci) C imR(T) x(t) = C - ¿R(X),
y multiplicando por [ l - ZmRW), resulta
( l - 4 R W ) ' 1%) - ( l - 4 R M ) 2 signo{Ci) C 4nR(x) X(x) =
( l - w W ) ( c ' - w ( x ) ) .
Sumando {signo{Ci) CwW)^ a las partes derecha e iz
quierda de la ecuación anterior se obtiene un cuadrado per
fecto
({1 - 4 R ( ^ ) ) X(-Í) - signo(Ci) C 4nRW)^ =
= cf 4R(T) + (1 - 4 R W ) { C ' - 4R(-f))-
48
CAPITULO 3. APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASÍNCRONO DE
JAULA DE ARDILLA
Tomando la raíz cuadrada
(1 - WW) XÍ-c) - signo(Ci) C 4nR(x) = +^/CR(X) - 4R(T) + &,
y despejando x resulta
, , signo(Ci) C 4nR(T) + ^ / W ( T ) - ¿R(X) + C^ XW = , 2 , , • (3-31)
Esta solución es válida si | feiR| ? 1. En el caso de | ¿nR| = 1,
la ecuación (3-30) queda
signo(Ci) signo(4„R) % + C = A/X^ + 1,
que elevando al cuadrado
X + 2 signo(Ci) signo(4nR) % C + C = x + 1,
y despejando %, obtenemos
l-C" X= signo(Ci) signo(4nR) -2^- (3-32)
Nótese que las expresiones (3-31) y (3-32) son también so
luciones de la ecuación
49
CAPITULO 3. APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASINCRONO DE
JAULA DE ARDILLA
signo(Ci)4nR(^) X( ) = -•\¡1%) + 4R(^ ) - C- (3-33)
La ecuación (3-33) no se corresponde con solución alguna
de las ecuaciones diferenciales (3-2) y (3-10), y por tanto no
se identifica con trayectoria óptima alguna de las variables
de estado del motor.
De los dos posibles valores de (3-31) u n a s veces se verifi
ca (3-29) y otras (3-33). Hay que diferenciar las soluciones
que corresponden a (3-29) y a (3-33).
3.5.4 Curva frontera
De la expresión (3-31) obtenemos dos posibles valores:
, , signo(Ci) C 4nR(-c) + V4R( -C) - W('^) + ^ X+('c)= , 2 , , (3-34)
1 - ímR(^)
signo(Ci) C 4nR(T) - A / 4 R ( T ) - 4R(-^:) + <^ . , ,_ . XÁV - , 2 , , ' (o-o5)
1 - hnd-^)
donde los subíndices + y — de x indican el signo de la raíz.
50
CAPITULO 3. APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASINCRONO DE
JAULA DE ARDILLA
En el plano (imR, %) coexisten %+ y %- en sendas regiones
perfectamente separadas, siendo el lugar geométrico que
separa x+ de %- u n a curva frontera si tuada en el límite entre
dos ramas de %. En esta curva, que llamaremos Xfrontera, se
cumple x+ ^ X- = Xfrontera- Paxa obtener este lugar geométrico
se anula el radicando de la ecuación (3-31), se despeja C y
se sustituye en la misma ecuación, es decir:
.4 2 .4 2 -J2
^ _ .4 2
^ ~ ' ^ R " ^ R '
C = ± ^URA/I - 4R-
Como C es real , e n t o n c e s | ¿nR | < 1, y en e s t a región, s e g ú n
se obse rva en l as figuras 3-2 y 3 - 3 , C es posi t iva luego
C = IUlVl-¿R- (3-36)
La ecuación (3-31) queda
_ SÍgno(Ci) C 4nR ,_ _„ . Xfrontera 2 ' io-o /)
1 " W
51
CAPITULO 3. APLICACIÓN DE LA TEORIA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASINCRONO DE
JAULA DE ARDILLA
y s u s t i t u y e n d o (3-36) e n (3-37) se t iene
SÍgno(Ci) | 4nRl \ / l - tgiR W Zfrontera 2
1-W
2 koR
= signo(Ci) signo(4nR) , ^ V ^ R
donde | 4nR I < 1 •
Esta ecuación representa la curva frontera que separa la
región de x+ de la región de x- (ver figuras 3-8 y 3-9).
3.5.5 Regiones de existencia de las variables 4nR y %
Atendiendo a la clasificación hecha en el apartado 3.5.1 te
nemos los rangos de existencia de nR
1. Para las trayectorias pertenecientes al grupo I, Í^R está
A B
acotada por dos valores, I^R y I^R, verificándose ¿nR ^ -B A A B A ímR. -ímR ^ ¿nR < «mR Y «mR ^ ¿nR. E s t O S d o S V a l o r e S , 1 „ R y
B
ZniR, son las raíces del radicando de (3-31), es decir,
52
CAPITULO 3 . APLICACIÓN D E LA TEORÍA D E CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASINCRONO D E
JAULA DE ARDILLA
tu-\l'-'^ (3-38)
B ^ / I + A / I - 4(f
En estos valores de ¿nR se cumple x+ = X- Las trayecto-A JB
rias óptimas {imR, x) tienen en los puntos Z R y imR tan
gente vertical. Los rangos de existencia de I^R y I^R son
0 < 4 R < 1 / V 2 < W ^ 1 -
Las figura 3-6 muestra, para Ci positiva, una trayec-A B
toria de este tipo (C = 0,45) y los puntos i^^ y I^R.
Las figura 3-7 muestra, para Ci negativa, una trayec-A B
toria de este tipo (C = 0,45) y los puntos i^^ y I^R.
2. Para las trayectorias pertenecientes al grupo II (C >
0,5) icnR existe para Ci > O y para la rama inferior en el
rango de -1 a co y para la rama superior en el rango de
-00 a 1, para Ci < O Í^R existe para la rama superior en
53
CAPITULO 3 . APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASÍNCRONO DE
JAULA DE ARDILLA
el rango de -1 a co y para la rama inferior en el rango
de -co a 1
Cj positiva
Figura 3-6
3. Para las trayectorias pertenecientes al grupo III (C < O)
el rango de existencia de ímR es | w l > 1-
54
CAPITULO 3. APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASINCRONO DE
JAULA DE ARDILLA
Tal y como se h a dicho anteriormente, por simetría de la
ecuación implícita, los intervalos de existencia de la variable
X son análogos a los de la variable Í^R-
aliva
- 2 , 0 - -
Figura 3-7
Analizando las ecuaciones (3-25), (3-26), (3-29) y (3-33) se
obtienen las regiones de existencia de las variable % en fun-
55
CAPITULO 3 . APLICACIÓN DE LÁ TEORIA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASINCRONO DE
JAULA DE ARDILLA
ción de ¿nR y por tanto las soluciones que verifican (3-29) y
no (3-33).
En la región | ÍOIRI > 1 T para Q positiva son valores váli
dos de (3-31) los siguientes valores de x-
• x+ si 4nR < - 1 ,
• X-SÍ4nR> +1-
Análogamente, para C\ negativa son soluciones válidas
• X- si 4nR < - 1 ,
• X+SÍ4nR>+l-
Los otros posibles valores de 4nR y X no son solución de la
ecuación (3-29), sino de la ecuación (3-33) y por tanto se
desechan.
Tal y como se h a visto, en la región | 4nR I < 1 > son válidos
ambos valores de (3-31).
56
CAPITULO 3. APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASÍNCRONO DE
JAULA DE A R D I L L A
3.5.6 As ín to tas
Todas las trayectorias óptimas, excepto las ramas cerradas
del grupo I, convergen asintóticamente en el infinito, siendo
las asíntotas i^^ = ±ly % = ±1.
3.5.7 Puntos de equilibrio
Los puntos de equilibro son aquellos en los que imR y x. ^ o
varían en el tiempo. Éstos se obtienen anulando las ecua
ciones (3-2) y (3-24), es decir
d ímRÍT) d ^ = O ^ isd(x) = 4nR(T) ( 3 - 4 0 )
^ = 0 = » ^ q ( T ) = x ( T ) . (3-41)
Sustituyendo la expresión (3-22), de ¿sd» en (3-40) se obtiene
signo(Ci) x(x)
4 2 2 = ^ R ( ^ ) - ( 3 - 4 2 )
57
CAPITULO 3. APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASINCRONO DE
JAULA DE ARDILLA
Análogamente, sustituyendo la expresión (3-23), de kq, en
(3-41), se obtiene
signo(Ci) 4nR(-c)
A/x ( ) + 4R(^)
Dividiendo las dos ecuaciones anteriores entre si, se tiene
^ = % r ^ ^ R ( ^ ) = ±x(x) (3-44)
y sustituyendo el valor anterior en la ecuación (3-42), o en
la (3-43), obtenemos
±signo(Ci) - j ^ = 4nR. (3-45)
De las expresiones (3-44) y (3-45) se obtienen, para Ci > O y
para Ci < O, cuatro combinaciones diferentes de 4nR y <ie X
para los puntos de equilibrio:
W = ±1 /A/2 ;X = ± 1 / > / 2 . (3-46)
Se verifica un punto de equilibrio cuando los valores de
(3-46) anulan las ecuaciones (3-25) y (3-26), es decir, los
58
CAPITULO 3. APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASÍNCRONO DE
JAULA DE ARDILLA
puntos de equilibrio son ¿mR "^ % ^ ± 1 / v ^ para Ci > O y 4nR ~
-% = ±\/'\¡2 para Q < 0. En ambos casos C = 0,5; C se ha
obtenido susti tuyendo los valores de ¿nR y x en (3-29). Otro
punto de equilibrio es la solución trivial ¿nR = x = O-
En la figura 3-8 se mues t ra para Ci positiva el aspecto de
las trayectorias (¿nR, x)-
Curva Frontera
Curva Frontera
Figura 3-8
59
CAPITULO 3. APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASINCRONO DE
JAULA DE ARDILLA
Las asíntotas son |ímRl = 1 y Ixl "^1- También se m u e s t r a n
las separatrices ( C = O y C = 0,5), la curva frontera, y los
puntos de equilibrio.
En la figuras 3-9 se muestran las mismas trayectorias
para Ci negativa.
Curva Frontera
Curva Frontera
Figura 3-9
60
CAPITULO 3. APLICACIÓN DE LA TEORIA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASÍNCRONO DE
JAULA DE ARDILLA
3.6 Curvas par del motor - corriente magnetizante
del rotor
En este apartado se analizan las trayectorias del par del
motor m{ímR) cuando las variables de estado siguen una tra
yectoria óptima según las ecuaciones (3-25), (3-26), (3-27) y
(3-28).
Las trayectorias que se muestran sólo abarcan el rango O
< U < 1.
3.6.1 Curvas m(¿nR) para las trayectorias óptimas
del grupo I.
En la figura 3-10 se muestran las curvas (4nR, m) para las
trayectorias del grupo I y para Ci positiva. También se
muestra la evolución del par del motor si las variables imR y
X siguen la curva frontera. En la figura 3-11 se muestran
estas mismas trayectorias para Ci negativa
Observamos que hay trayectorias que parten del origen
4nR = O y m = O, son cerradas y terminan en el origen; co
rresponden a las ramas cerradas del grupo I (ver figuras 3-8
61
CAPITULO 3. APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASÍNCRONO DE
JAULA DE ARDILLA
y 3-9). Las trayectorias que terminan en ¿mR = 1 y m = O
corresponden a las ramas abiertas del grupo. También se
muestra la evolución del par cuando 4nR y x siguen la sepa-
ratriz C = 0,5. Las flechas indican el sentido en el que se
recorren las trayectorias para x creciente.
0,2 0,4 0,6 0.8 1 •¿mR
Figura 3-10
62
CAPITULO 3. APLICACIÓN DE LA TEORIA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASINCRONO DE
JAULA DE ARDILLA
Figura 3-11
3.6.2 Curvas m(¿nR) para las trayectorias óptimas
del grupo II.
En la figura 3-12 se mues t ran las curvas (imR, m) para las
trayectorias del grupo II y Ci positiva. También se mues t ra
la evolución del par del motor si ¿nR y x siguen la curva
frontera y la separatriz C = 0,5. Tal y como se h a dicho, fi
jado C y para -1 < ¿nR < 1, cada uno de los dos posibles va
lores de X, x+ y X-? fíj^ u n a trayectoria para el par.
63
CAPITULO 3 . APLICACIÓN DE LA TEORÍA D E CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASINCRONO D E
JAULA DE ARDILLA
Las flechas indican el sentido en que se recorren las tra
yectorias para x creciente.
m 2
1,5
0,5--
n
{c)x±
Curva frontera (C=0,5) \ ^
- ^ - ' ^ ^ l ^ 1 (1.1)£
y///
(0,7)X^ "ló^sbcr
''(i.3)xr' -1
^y^ "^y^
^ ^ > //•^y y4y 4-
\ c . \
H - ^ . o 0,2 0,4 0,6 0,8 1 imR
Figura 3-12
Análogamente, en la figura 3-13 se presenta el aspecto de
las trayectorias óptimas del par del motor m. = f(4nR, Q para
C\ negativa.
64
CAPITULO 3. APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASÍNCRONO DE
JAULA DE ARDILLA
o 0,2 0,4 0,6 0,8 l ' imR
Figura 3-13
3.7 Trayectorias óptimas en función del tiempo de
la corriente magnetizante del rotor, de la velocidad
con par de carga nulo y del par del motor.
En este apartado se muestran las trayectorias óptimas de
las variables de estado y del par del motor, todas en función
del tiempo. Estas trayectorias se obtienen resolviendo las
65
CAPITULO 3. APLICACIÓN DE LA TEORIA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASÍNCRONO DE
JAULA DE ARDILLA
ecuaciones (3-25), (3-26) y (3-27) jun to con la expresión del
par (3-28).
El rango de la comente magnetizante del rotor es O < Í^R
< 1. Las gráficas de la velocidad muestran el incremento de
ésta durante el régimen óptimo y con par de carga nulo.
3.7.1 Trayectorias del grupo I. Ramas cerradas.
Las figuras 3-14, 3-15 y 3-16 mues t ran las trayectorias óp
t imas, correspondientes a las ramas cerradas del grupo I y
con Ci positiva, de la corriente magnetizante del rotor, de la
velocidad del motor con par de carga nulo y del par del mo
tor; todas ellas en función del tiempo. Tarabién se mues t ran
las trayectorias óptimas pa ra C = 0,5.
Los valores iniciales de las variables de estado (en el ins
tante xO) son ijuR = O y Aro" = O. De las expresiones (3-22),
(3-23) y (3-28) se tiene respectivamente isd = 1> feq = O y
m° = 0. Según las expresiones (3-34) y (3-35), la variable %
puede tomar dos valores iniciales diferentes; el valor ade-
66
CAPITULO 3. APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASINCRONO DE
JAULA DE ARDILLA
cuado es el dado por (3-34), pues hace que Í^R vaya a valo
res positivos.
C=0,5
O 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5
Figura 3-14
C=0,5
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5
Figura 3-15
67
CAPITULO 3. APLICACIÓN DE tA TEORÍA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASINCRONO DE
JAULA DE ARDILLA
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5
Figura 3-16
Al final del proceso óptimo se tienen los siguientes valores
(excepto para la trayectoria C = 0,5): 4nR ~ ^, X = -C, m -O,
.1 . .1 „ %d = - l e isq = o .
Las figuras 3-17, 3-18 y 3-19 muestran estas mismas
trayectorias con Ci negativa.
68
CAPITULO 3 . APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASÍNCRONO DE
JAULA DE ARDILLA
C=0,5
69
CAPITULO 3 . APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASÍNCRONO DE
JAULA DE ARDILLA
c n U
0,2-
0,4-
0,6-
0,8-
1,0-
1.2-
1,4-
1,6-
) 0 ,1^
. C=
0 |5 ^ S ü ^ 1
= 0 , 2 ^ ^ ^
C=0,3
Ci<0
1.0 1 1
C=0.4
1.5
C=0,45
2,0 1 i
C=0,5
2,5 1 ^ T
Figura 3-19
Análogamente al caso Ci positiva, para Ci negativa tenemos
los siguientes valores iniciales: ímR ~ 0> o> = 0 , isa =-1?
feq = O y " ^ = O' El valor inicial de % se elige también de for
m a que faiR vaya a valores positivos, es decir, el dado por
(3-35)
o XO = X- = - C .
70
CAPITULO 3 . APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASÍNCRONO DE
JAULA DE ARDILLA
Los valores de las variables al final de este proceso óptimo
(excepto para la trayectoria C = 0,5) son: 4nR ""O? X "= Q
" ^ = O, 4d = 1 e 4q = 0.
En las figuras 3-14 a 3-19 se observa que imR evoluciona
de idéntica forma tanto para Ci positiva como negativa,
mientras que el incremento de velocidad Acó y el par del mo
tor m cambian de signo.
3.7.2 Trayector ias del g rupo I. R a m a s ab ie r t a s
Las figuras 3-20, 3-21 y 3-22 muestran las trayectorias óp
timas, correspondientes a las ramas abiertas del grupo I y
con Ci positiva, de la corriente magnetizante del rotor, del
incremento de velocidad del motor con par de carga nulo y
del par del motor; todas ellas en ñanción del tiempo.
Los valores iniciales de las variables son I^R = 1 y Aoo = 0.
Según (3-32) se tiene
o o i-cf X =X- = 2 C
71
CAPITULO 3 . APLICACIÓN D E LA TEORÍA D E CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASINCRONO D E
JAULA DE ARDILLA
1.5
0,5-
roR
C=0 ,1
-C=0 ,45
C=[0 ,1 0,2 0,3 0,4 0 ,45]
1,0 2,0 3,0
Figura 3-20
4,0
3,0-
2,5-
2,0-
1,5-
1,0-
0,5-
n-
Aoj
c= -[0,1
Ci>0
0,2
H —
0,3 0,4 0,45]
_l
C=0,45
C=0.40
C=0,30
C=0,20
C=0,10
\ T
1—^-1,0 2,0 3,0
Figura 3-21
4,0
72
CAPITULO 3. APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASÍNCRONO DE
JAULA DE ARDILLA
Figura 3-22
Los valores de las variables al final de este régimen óptimo
(excepto para la trayectoria C = 0,5) son: ¿mR = 1> X = °0J
^ = o. fed = 1 e zsq = o.
Las figuras 3-23, 3-24 y 3-25 muestran estas mismas
trayectorias con Ci negativa. Análogamente se tiene ZmR ~ 1
y A©° = O y
0^ o_ 1 - cf 1 - X+ - - 2 C •
73
CAPITULO 3. APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASINCRONO DE
JAULA DE ARDILLA
1,0 2,0 3,0
Figura 3-23
4,0
( n -1
0 . 5 -
1,0-
1,5-
2 , 0 -
2 . 5 -
3 .0 -
) 1,0 2.0
- Ci<0 \ . ,„,^^
- C = [ 0 . 1 0,2 0,3 0,4 0 ,45]
• Au
3.0
C = 0,10
C = 0 , 2 0
C = 0 , 3 0
C = 0,40
C = 0 , 4 5
4,0
T
Figura 3-24
74
CAPITULO 3. APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASINCRONO DE
JAULA DE ARDILLA
Figura 3-25
Los valores de las variables al final de este régimen óptimo
(excepto para la trayectoria C = 0,5) son: 4nR = 1» X = -°°»
" ^ = O. 4d = - l e 4q = O.
3 . 7 . 3 T r a y e c t o r i a s d e l a s e p a r a t r i z C = 0 , 5 .
Las figuras 3-14, 3-15 y 3-16 muestran, respectivamente,
las trayectorias óptimas de las variables ^ R , m y ACÓ para C
= 0,5 y Ci = 1. Se parte de (Z^R; X°) = (O; 0,5) y se llega, en
tiempo infinito, a {^¿R; %^) = (1/^/2; l / v ^ ) - Las figuras 3-17,
3-18 y 3-19 mues t ran esta misma trayectoria para Ci nega-
75
CAPITULO 3 . APLICACIÓN D E LA TEORIA D E CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASINCRONO D E
JAULA DE ARDILLA
tiva, se parte de (£,R; X°) = (0; -0,5) y se llega a ( 4 R ; X^)
(1/V2; - 1 / A / 2 ) .
Las figuras 3-26, 3-27 y 3-28 muest ran, para Ci positiva
y para la r ama de la separatriz que va desde (I^R; X°) =
{ l / \ 2 ; I/V2) has ta (i^ji; %!) = (O; -0,5), análogas trayecto
rias.
Ci>0 i . C=0,5 ímR
0,5
_l 1-
Figura 3-26
Figura 3-27
76
CAPITULO 3. APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASINCRONO DE
JAULA DE ARDILLA
-co -« r
Figura 3-28
En las figuras 3-29, 3-30 y 3-31 se muest ran dichas trayec
torias para Ci negativa.
0,5
Ci<0 C=0,5
^mR
H h
Figura 3-29
77
CAPITULO 3. APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASINCRONO DE
JAULA DE ARDILLA
Figura 3-30
- co - * T
Figura 3-31
3.7.4 Trayectorias del grupo 11.
Las figuras 3-32, 3-33 y 3-34 muestran las trayectorias óp
timas, correspondientes a las ramas del grupo II para Ci
78
CAPITULO 3. APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASÍNCRONO DE
JAULA DE A R D I L L A
positiva, de la corriente magnetizante del rotor, del par del
motor y del incremento de velocidad con par de carga nulo;
todas ellas en función del tiempo.
Los valores iniciales de las variables de estado son i^^i ~ O
y Aco° = O. Según las expresiones (3-22), (3-23) y (3-28) se
tiene ig^ = 1, Zgq = O y m° = 0. Según (3-36) se tiene
o o „
i
0,8-
0,7-
0,6-
0,5-
0,4-
0,3-
0,2-
0,1-
n-
/C= Q
1
= [0, >0
— h
C=l ,5 . « ^ ^ ^ ^
^ ^ C=0,6
3 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5]
\ 1 1 1 \ h ^ O 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,
Figura 3-32
79
CAPITULO 3. APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASINCRONO DE
JAULA DE ARDILLA
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
C=Í0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5] Ci >0
O 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6
Figura 3-33
0,6--A« C=[0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5]
Ct >0
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6
F i g u r a 3 -34
80
CAPITULO 3. APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASINCRONO DE
JAULA DE ARDILLA
Las figuras 3-35, 3-36 y 3-37 mues t ran estas mismas
trayectorias pero para Ci negativa. En este caso tenemos los
siguientes valores iniciales: I¡J,R = O, Acó = O, Zsd = 1, sq = O Y
m° = O. Según (3-35) se tiene i = X- = -C
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
^mR C=[0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5] Ci <0
C=l,5
O 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1
Figura 3-35
Se observa en las figuras 3-32 a 3-37 que 4nR evoluciona de
la misma forma tanto para Ci positiva como para Ci negati
va, mientras que el incremento de velocidad Acó y el par del
miotor m cambian de signo.
81
CAPITULO 3. APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASINCRONO DE
JAULA DE ARDILLA
O 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6
-0,7--C=[0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1.3 1,4 1,5]
Figura 3-36
0 -
- 0 , 1 -
- 0 , 2 -
- 0 , 3 -
- 0 . 4 -
- 0 , 5 -
- 0 , 6 -
- 0 , 7 -
- a c= C=[0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5]
Figura 3-37
82
CAPITULO 3 . APLICACIÓN D E LA TEORÍA D E CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASÍNCRONO D E
JAULA DE ARDILLA
Las figuras 3-38, 3-39 y 3-40 muestran respectivamente el
aspecto de las trayectorias óptimas de la corriente magneti
zante del rotor, del par del motor y del incremento de velo
cidad con par de carga nulo; todas ellas en función del
tiempo. Estas trayectorias óptimas corresponden a las ra
mas del grupo II para Ci positiva e 4IR decreciente.
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
O O 0,1 0,2 0.3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
Figura 3-38
Los valores iniciales de las variables de estado son Z R =
1/^/2 y A© = O. De la ecuación (3-35) se tiene
n
""%5~- .
_. \
--
--
C=[0,6
a >o
C = l , 5
H 1
0,7
—H-
0,8
h
0,9
C=
1,0
0,6
H - ^
1,1 1,3 1,3 1,4
f —
1,5]
T 1 >
83
CAPITULO 3. APLICACIÓN DE LA TEORIA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASÍNCRONO DE
JAULA DE ARDILIA
0^ o _ l•C•l/^/2-^/(l/^/2)'^-(l/^/2)^+C^ '^ '^ 1 - {\¡^f
= yj2-C - 2-Vc^ - 1/4.
C=[0,6 0.7 0,8 0,9 1.0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5]
O 0,1 0.2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
Figura 3-39
84
CAPITULO 3. APLICACIÓN DE LA TEORIA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASÍNCRONO DE
JAULA DE ARDILLA
'^'^ C=[0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1.5] C, >0
O 0,1 0,2 0.3 0,4 0,5 0.6 0.7 0,8 0.9
Figura 3-40
Las figuras 3-41, 3-42 y 3-43 mues t ran estas mismas tra
yectorias, pero para Ci negativa. Los valores iniciales de las
variables de estado, de las componentes de la corriente de
estator y del par del motor son los mismos que para Ci po
sitiva. De la ecuación (3-34) se tiene
X ° = xl = V2-C + 2-\¡Cf- 1/4.
85
CAPITULO 3 . APLICACIÓN DE LA TEORIA D E CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASINCRONO D E
JAULA DE ARDILLA
0 ,8 -
0 ,7 -
0 .6-
0 ,5 -
0 , 4 -
0 , 3 -
0 , 2 -
0 , 1 -
n-
C=[0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5] Ci <0
^ ^ ^ Í X \ ^ \ . C=0,6
C=l,5 ^ ^ X \ \
1 1 1— 1 1 ^ ^ ^ > -F:== 1-^ O 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 O,'
Figura 3-41
o 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 .0,6 0,7 0,8 0,9
C=[0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5]
Figura 3-42
86
CAPITULO 3. APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASINCRONO DE
JAULA DE ARDILLA
o 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
-0,1
-0,2--
-0,4
-0,4
-0,5-1-
-0,6
-0,7-F
Ci <0
C=[0,6 0,7 0,8 0,9 1.0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5]
Figura 3-43
Sirven las mismas observaciones que las comentadas al fi
nal del apartado 3.7.1.
3 . 8 S u p e r f i c i e s 4d = f(4nR, x). feq = f (W, X)Y rn= f ( w ,
X)
En este apartado se presentan las superficies ÍSA = f(4nR> j),
¿sq = f(4nR, X) y "T- = f(4nR, X)J con C\ positiva, quc mues t ran la
dependencia recíproca de las variables.
87
CAPITULO 3. APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASINCRONO DE
JAULA DE A R D I L L A
-1 O
Figura 3-44
- 0 , 5 - 1 0
Figura 3-45
88
CAPITULO 3 . APLICACIÓN D E LATEORIA D E CONTROL ÓPTIMO AL MOTOR ASÍNCRONO D E
JAULA DE ARDILLA
89
4 . P R O C E S O S DE
ACELERACIÓN / DESACELERACIÓN
ÓPTIMOS DEL ACCIONAMIENTO
ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NULO
4.1 Introducción
En el capítulo anterior hemos obtenido, con ayuda de la
Teoría del Control Óptimo de Pontriaguin, las trayectorias
que deben seguir las variables de estado para modificar su
valor en tierapo mínimo.
En este capítulo se obtiene un procedimiento para que el
motor acelere, o desacelere, en tiempo mínimo, desde un
estado inicial de régimen permanente de corriente mínima,
hasta uno final también permanente y de corriente mínima.
El par de carga se mantendrá nulo durante todo el proceso.
Durante estos procesos las variables de estado deberán
seguir la trayectoria óptima adecuada.
91
CAPITULO 4. PROCESOS DE ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NULO
4 . 2 E s t a d o d e r é g i m e n p e r m a n e n t e d e c o r r i e n t e
m í n i m a c o n p a r d e c a r g a n u l o
Decimos que el régimen permanente es de corriente mínima
cuando la corriente magnetizante del rotor y las componen
tes de la corriente de estator valen, según (2-21) y (2-22):
= 4nR=AJ" ¿Sd= 4nR=A/~0~ (''•-I)
/1 mol isq = signo(mc) \ ¡ ^ ~ • " " ^
Se h a tenido en cuenta, además, que imR es siempre positiva
o nula.
En el caso de par de carga nulo se tiene
^d = feq = 4nR = O, (4-3)
es decir, en ausencia de par de carga se obtiene el régimen
permanente de corriente mínima con u n a corriente de esta
tor nula.
92
CAPITULO 4. PROCESOS DE ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NULO
4.3 Aceleración y desaceleración óptimas en vacío
Definimos como régimen transitorio óptimo a aquél que tie
ne lugar cuando las variables de estado siguen una trayec
toria óptima.
De la expresión (3-27), y teniendo en cuenta me = O, te
nemos
d(o(x) . 2 ¿R(T)
El motor acelera cuando Ci es positiva y desacelera cuando
Ci es negativa 1. De (3-28) vemos que la constante Q y el
par del motor m tienen el mismo signo.
1 Se ha considerado, una vez fijado © > O para uno de los sentidos de
giro, la aceleración deo/dx positiva cuando és ta contribuya al aumento
de la velocidad en sentido positivo y la desaceleración en el caso contra
rio.
93
CAPÍTULO 4. PROCESOS DE ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NULO
A continuación deduciremos la familia de trayectorias
óptimas con las que se obtiene aceleración y desaceleración
óptima en vacío.
Por u n lado observamos que los valores de ¿mR en x° y x
son ijnR = itjiR ^ 0 > y poi* otro, observamos en las figuras 3-8
y 3-9 que las únicas trayectorias en las que imR "= 4nR " son
las ramas cerradas del grupo I. El resto de las familias no
sirven para realizar estos procesos, pues las ramas abiertas
del grupo I y el grupo III no contienen el valor ^IR = O, mien
tras que las trayectorias del grupo II contienen el valor imR =
O en u n único punto .
La trayectoria óptima de x comienza con el valor x' y ter
mina Gon el valor x^- X° se obtiene de la expresión (3-31),
esta es
2 Emplearemos los superíndices O y 1 en las variables para indicar el
valor de éstas en los instantes inicial y final del proceso transitorio res
pectivamente.
94
CAPITULO 4. PROCESOS DE ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NULO
signo(Ci) imRC± - \ / 4 R - ¿ R + C^ X = ^ 2" • (4-5)
Sustituyendo I^R == O en la expresión anterior tenemos
X° = ±'V? = ±|C1.
La constante C es siempre positiva cuando Í^R es nu la (ver
figuras 3-6 y 3-7), por lo que la expresión anterior queda
X° = ±C. (4-6)
Debido a que ¿HR > O se debe elegir, para Ci positiva, x* ~ C
y para Ci negativa, x° = -C, resultando de forma general
X° = signo(Ci) C. (4-7)
Aceleración óptima en vacio
En la figura 4-1 se presenta el espacio de estado para la
aceleración óptima en vacío (Ci positiva y las ramas cerra
das del grupo I de trayectorias óptimas).
95
CAPÍTULO 4. PROCESOS DE ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NULO
Este espacio de estado se h a obtenido combinando las
ecuaciones (2-14), (2-15) y (3-24) junto con las expresiones
(3-22) y (3-23). Obseivamos que con diferentes trayectorias
óptimas se alcanzan diferentes incrementos de velocidades,
y además que éstas son mayores según lo sea C.
J
2-
1,5-
1-
0,5-
n-
Aco = cj —cj°
C=0,45
C=0,4
C=0,35 ^~~^
C=0,3 """"""""-^^ _ £ s 5 ^ 2 5 "" ~ - \ )
1
C=0.5
1 0,2 0,4
Figura 4-1
0.6 "mR
En la figura 4-2 se mues t ran las curvas del par del motor
m, en función de ¿nR, cuando se efectúa u n a aceleración óp
t ima en vacío. Estas curvas se h a n obtenido al sust i tuir (3-
96
CAPÍTULO 4. PROCESOS DE ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NULO
29) en (3-28). El sentido de recorrido de las curvas está in
dicado con flechas.
1,2-
0,8-
0.6-
0,4-
0,2-
n-
m
C= =0,1
c=
C = 0 , 4 /
C=0,3 / / /
=0,2 /// / y*
i 1 1
C=0,5 / ^
1 1 H
1
\^ l - i -
O 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 O,.
Figura 4-2
Observamos en la figura que, fijado ¿nR en cualquiera de
estas trayectorias, el par del motor en la rama ascendente
de ¿nR es menor que en la raraa descendente. Esto es debido
a que ¿nR es una corriente "lenta", pues su comportamiento
está regido por la ecuación (2-14). Podemos decir que ¿nR
"sigue" a isd, es decir, si ¿nR está creciendo, es porque ¿d es
tá siendo mayor que ¿nR, y si ¿HR está decreciendo, es porque
97
CAPÍTULO 4. PROCESOS DE ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NULO
isd está siendo menor que ¿nR. En la rama en la que ¿nR dis
minuye, isd será menor que en la rama en la que aumenta .
Como I isql = ^j^-^d) resul ta que isq, será mayor en la r ama
descendente de ¿QR que en la r a m a ascendente, y según (3-
27), el par también lo será.
En las figuras 4-3 y 4-4 se presenta u n ejemplo de acele
ración óptima en vacío. En la figura 4-3 se mues t ra la evo
lución de la variable auxiliar %, del par del motor m y del
incremento de velocidad Ao, todas en función de ¿nR, cuan
do las variables de estado recorren la trayectoria óptima
dada por Ci positiva y C = 0,45.
Acó y X se h a n obtenido combinando las ecuaciones (2-
14), (2-15) y (3-24) jun to con las expresiones (3-22) y (3-23),
mientras que el par del miotor se h a obtenido de las expre
sión (3-28).
La figura 4-4 mues t ra la evolución, en función del tiem
po, de todas las variables mencionadas.
98
CAPITULO 4 . P R O C E S O S D E ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NULO
- 0 , 5 -
Au = cj — oP
Figura 4-3
Desaceleración óptima en vacío
La desaceleración óptima en vacío es u n caso simétrico de
la aceleración, la única diferencia con ésta es el signo de Ci.
En la figura 4-5 se presenta el espacio de estado para la
desaceleración óptima en vacío (Ci negativa y ramas cerra
das del grupo I de trayectorias óptiraas). Este espacio de
99
CAPÍTULO 4. PROCESOS DE ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NULO
estado se ha obtenido combinando las ecuaciones (2-14),
(2-15) y (3-24) junto con las expresiones (3-22) y (3-23).
-0 ,5- -
Figura 4-4
Observamos que con diferentes trayectorias óptimas se
consiguen diferentes velocidades finales, y además que és
tas son mayores en valor absoluto según lo sea C.
100
CAPÍTULO 4. PROCESOS DE ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NULO
Figura 4-5
En la figura 4-6 se muestran las curvas del par del motor
m, en función de ¿mR, cuando las variables de estado reco
rren, para Ci negativa, las ramas cerradas del grupo I de
trayectorias óptimas. Estas curvas se han obtenido al susti
tuir (3-29) en (3-28). El sentido de recorrido de las variables
está indicado con flechas.
Se observa que para una misma trayectoria m(ímR) el par
es menor en valor absoluto para una misma corriente 4nR
cuando esta crece que cuando decrece.
101
CAPÍTULO 4. PROCESOS DE ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NULO
O 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0 -
0,2-
0,4-
0,6-
0,8-
1,2-
c=
•
^ - 1
0,1 \ ; ^ ^ > \
c=o,2 y^
C=0,3
-1 1
C=0,4 \^
—1 1
\ C=0,5
^
Figura 4-6
En las figuras 4-7 y 4-8 se presenta u n ejemplo de desace
leración óptima en vacío. En la figura 4-7 se mues t ra la evo
lución de la variable auxiliar %, del par del motor m y del
incremento de la velocidad Acó, todas en función de ¿nR,
cuando las variables de estado recorren la trayectoria ópti
ma dada por Ci negativa y C = 0,45. Acó y x se h a n obtenido
combinando las ecuaciones (2-14), (2-15) y (3-24) jun to con
las expresiones (3-22) y (3-23), mientras que el par del mo
tor se h a obtenido de las expresión (3-28).
102
CAPÍTULO 4. PROCESOS DE ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NULO
La figura 4-8 mues t ra la evolución de las mismas varia
bles en función del tiempo.
es-
Figura 4-7
Finalmente observamos que las figuras 4-5 a 4-8 son simé
tricas a las figuras 4-1 a 4-4.
1 0 3
CAPITULO 4. PROCESOS DE ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NULO
0,5--
- 1 , 5
-0 ,5
- 1 - -
Figura 4-8
4.4 Incremento de velocidad alcanzado en función
deC
Para poder efectuar una aceleración/desaceleración óptima
en vacío que permita alcanzar la nueva velocidad deseada,
hay que fijar previamente el signo de Ci y el valor de C. Se
puede obtener C por interpolación de valores tabulados. La
tabla 4-1 muestra, para cada valor de C, el incremento de
104
CAPÍTULO 4. PROCESOS DE ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NULO
velocidad alcanzado en valor absoluto | co - ©o | y el tiempo
empleado x^ - x^.
0,0100
0,0250
0,0500
0,0750
0,1000
0,1250
0,1500
0,1750
0,2000
0,2250
0,2500
0,2750
I col - coo I
0,00031422
0,00196580
0,00789104
0,01786064
0,03202091
0,05058737
0,07385674
0,10222496
0,13621337
0,17650736
0,22401429
0,27995263
Tabla
T1 -XO
4-1
0,03141985
0,07860127
0,15757347
0,23729813
0,31818173
0,40066586
0,48524530
0,57249392
0,66308757
0,75785181
0,85781590
0,96430707
c 0,3000
0,3250
0,3500
0,3750
0,4000
0,4250
0,4500
0,4750
0,4900
0,4990
0,4999
1 ©1 - 0)0 1
0,34599429
0,42450289
0,51895675
0,63476048
0,78097141
0,97455151
1,25350351
1,73874647
2,38604352
4,01595965
5,64467788
xi -x°
1,07909428
1,20462583
1,34445557
1,50405031
1,69251988
1,92686523
2,24511128
2,76817079
3,43742207
5,08022327
6,71021636
En las figuras 4-9 y 4-10 se muestran, dibujados con círcu
los y unidos con rectas, los valores |Aco| y Ax de la tabla
anterior.
105
CAPÍTULO 4. PROCESOS DE ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NULO
Icji-w^i
Figura 4-9
Una vez determinada la trayectoria óptima adecuada, hay
que obligar a las variables de estado a que la recorran. Para
ello se actúa sobre las entradas fea e isq según (3-22) y (3-
23). Estas expresiones dependen de Ci, ¿nR y x» Por lo que
106
CAPITULO 4. PROCESOS DE ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NULO
también se debe resolver la ecuación diferencial auxiliar (3-
24).
0,1 0,2 0,3 0,4
Figura 4-10
0,5
4.5 Comparación de las trayectorias obtenidas con
otros posibles caminos óptimos
La Teoría del Control Óptimo de Pontriaguin aplicada a las
ecuaciones de estado del motor de inducción nos ha facili
to?
CAPÍTULO 4 . P R O C E S O S D E ACELEÍÍACIÓN/DESACELERA.CIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NULO
tado las trayectorias óptimas para las variables de estado y
la forma de recorrerlas.
Puesto que las trayectorias aportadas por la aplicación de
la Teoría del Control Óptimo de Pontriaguin no son necesa
riamente las óptimas, cabe preguntarse si existen otros ca
minos alternativos que mejoren el tiempo de respuesta.
La variable aixxiliar x es una variable que no tiene signifi
cado físico alguno. Esta "no existencia física de x" nos per
mite intentar buscar posibles caminos alternativos que res
tablezcan ¿nR a su valor inicial nulo y modifiquen la veloci
dad del motor en un tiempo más corto que el del proceso
óptimo.
Buscaremos estos caminos alternativos "acortando" las
trayectorias óptimas, es decir, "saltando" de un punto a otro
de una misma trayectoria mediante el cambio instantáneo
de X y conservando foíR y ca en el instante de salto.
A los caminos óptimos descritos en los apartados anterio
res, en los que x no varía bruscamente, les llamaremos ca
minos óptimos "continuos en x"- A partir de un camino óp
timo "continuo en x" generaremos una serie de caminos al-
1G8
CAPITULO 4 . P R O C E S O S DE ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NULO
ternativos en los que % "salta", y compararemos entre ellos
los tiempos de respuesta, velocidad final alcanzada, aspecto
de las trayectorias etc.
En u n a trayectoria "continua en %" hay tres valores ca
racterísticos que emplearemos para la generación de los po
sibles caminos "alternativos":
1. Valor máximo alcanzado por la corriente magnetizante
del rotor O fanRmax.
2. Tiempo empleado en el proceso t i - xO.
3. Incremento de velocidad alcanzado | coi-(o° | .
Identificando el camino "continuo en x" por CQ, elegimos va
lores de C > Cb (valores de C menores que Co nunca alcan
zarán la velocidad final obtenida con Co y por tanto se des
echan), y para cada C creamos tres tipos de posibles cami
nos óptimos "alternativos" en los que salta x- Estos son:
1. Las variables de estado siguen u n a trayectoria óptima,
según C, has ta que ¿nR alcanza el valor ¿nRmax, en ese
instante % "salta" y se termina el proceso cuando ¿nR
vuelve a ser nula.
109
CAPÍTULO 4 . P R O C E S O S D E ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NULO
2. Las variables de estado siguen una trayectoria óptima,
según C, hasta un instante x^ en el que % "salta". Se
termina el proceso cuando ¿nR vuelve a ser nula. El ins
tante x^ es tal que el tiempo de duración del régimen
transitorio es el mismo que para Cb.
3. Las variables de estado siguen una trayectoria óptima,
según C, hasta un instante x^ en el que % "salta". Se
termina el proceso cuando ¿nR vuelve a ser nula. El ins
tante T es tal que la velocidad final alcanzada es la
misma que la del proceso CQ.
Las comparaciones planteadas, según estos caminos
"alternativos", se limitan a varios casos concretos y no
pueden servir como prueba concluyente de que las
trayectorias óptimas realmente lo sean. No obstante, si
dicha comprobación resulta positiva, nos afianza en la
seguridad de que realmente lo son.
A continuación se muestran estas comparaciones con Co
= 0,3 y sólo para el proceso de aceleración, pues el proceso
de desaceleración es completamente simétrico.
IIG
CAPÍTULO 4. PROCESOS DE ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NULO
4.5.1 Posibles caminos óptimos con igual corriente
magnetizante del rotor máxima
Este criterio consiste en que todos los procesos "alternati
vos" alcancen la misma corriente magnetizante del rotor
máxima que la del proceso "continuo".
En la figura 4-11 se muest ran, en el espacio (¿nR, x) los
caminos obtenidos con Co = 0,3 y con C = {0,5; 0,7; 0,9; 1,0;
1,1; 1,3; 1,5; 1,7; 1,9; 2,1}. Estas curvas se han obtenido
combinando las ecuaciones (2-14) y (3-24) jun to con las ex
presiones (3-22) y (3-23) y con las condiciones iniciales y de
contorno adecuadas.
El espacio de estado (Aoo, únu) para estos procesos se pre
senta en la figura 4-12. Este espacio de estado se h a obte
nido combinando las ecuaciones (2-14), (2-15) y (3-24) jun to
con las expresiones (3-22) y (3-23) y con las condiciones
iniciales y de contomo adecuadas.
Se observa que en los procesos "alternativos" el motor
nunca llega a la velocidad alcanzada en el proceso "conti
nuo".
111
CAPÍTULO 4. PROCESOS DE ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NULO
C= 0,3; 0,5; 0.7; 0,9; 1,0; 1,1; 1.3; 1,5; 1,7; 1,9; 2,1
C=2,l
0,1 0,2 0,3
Figura 4-11
0,4
En las figuras 4-13 y 4-14 se presentan estas mismas cur
vas, pero en función del tiempo.
Se observa que, aunque el proceso "continuo" tarda más
tiempo en completarse, la velocidad alcanzada por el motor,
en los tiempos que duran los procesos "alternativos", es
siempre mayor.
112
CAPÍTULO 4. PROCESOS DE ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NULO
0,30
0,30
O,as
eso
0,15--
0,10
0,05--
O 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35
Figura 4-12
En la figura 4-15 se presenta la evolución del par del mo
tor en función del tiempo. El par se h a obtenido combinan
do las ecuaciones (2-14) y (3-24) jun to con las expresiones
(3-22), (3-23) y (3-28) y con las condiciones iniciales y de
contomo adecuadas .
113
CAPITULO 4. PROCESOS DE ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NULO
0,35-
0,30-
0,25-
0,20-
0,15-
0,10-
0,05-
0-
i mR
1
/ / ,V\C=0,5
\V^C'=0.'í'
1 |_J^A—
\Q,=0,3
—í 1 — ^
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
Figura 4-13
1,2 T
0.4 0,6 0,8
Figura 4-14
114
CAPÍTULO 4. PROCESOS DE ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NULO
Cb = 0,3
0,2 0.4 0,6 0.8 1,0
Figura 4-15
1,2 T
Se observa que en los caminos alternativos hay un salto
brusco del par del motor en T^.
4.5.2 Posibles c a m i n o s óp t imos con igual t iempo
de proceso
Este criterio consiste en que todos los procesos "alternati
vos" tarden el mismo tiempo que el proceso "continuo".
115
CAPÍTULO 4. PROCESOS DE ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NULO
En la figura 4-16 se muestran, en el espacio (imR, %), los
caminos obtenidos con Cb = 0,3 y con C= {0,5; 0,7; 0,9; 1,1;
1,3; 1,5; 1,7; 1,9; 2,1}. Estas curvas se han obtenido com
binando las ecuaciones (2-14) y (3-24) junto con las expre
siones (3-22) y (3-23) y con las condiciones iniciales y de
contorno adecuadas.
5
4
3
2-^
C=0,3; 0,5; 0,7; 0,9; 1,1; 1,3; 1,5; 1,7; 1,9; 2,1
-f- H- -+- -+- -+-O 0,05 0.10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,5
Figura 4-16
El espacio de estado (Acó, ¿ÜR) para estos procesos se presen
ta en la figura 4-17. Este espacio de estado se ha obtenido
116
CAPITULO 4. PROCESOS DE ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NULO
combinando las ecuaciones (2-14), (2-15) y (3-24) junto con
las expresiones (3-22) y (3-23) y con las condiciones inicia
les y de contorno adecuadas.
Se observa que en. el proceso "continuo" el motor alcanza
u n a mayor velocidad y u n menor valor de ¿nRmax que en los
procesos "alternativos".
En las figuras 4-18 y 4-19 se presentan estas mismas
curvas en función del tiempo.
117
CAPÍTULO 4. PROCESOS DE ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NULO
0,2 0,4 0,6 0,1
Figura 4-18
1,2
Se observa que la velocidad alcanzada por el motor en el
proceso "continuo" es sierapre mayor.
En la figura 4-20 se presenta la evolución del par del mo
tor en función del tiempo. El par se ha obtenido combinan
do las ecuaciones (2-14) y (3-23) junto con las expresiones
(3-22), (3-23) y (3-28) y con las condiciones iniciales y de
contorno adecuadas.
118
CAPITULO 4. PROCESOS DE ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NULO
0,4 0,6
Figura 4-19
Figura 4-20
119
CAPITULO 4. PROCESOS DE ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NULO
Se observa que en los caminos "alternativos" hay u n salto
brusco del par del motor en x^.
4 . 5 . 3 P o s i b l e s c a m i n o s ó p t i m o s c o n i g u a l i n c r e
m e n t o d e v e l o c i d a d
Este criterio consiste en que todos los procesos "alternati
vos" alcancen el mismo incremento de velocidad que el ob
tenido en el proceso "continuo".
En la figura 4-21 se muest ran, en el espacio (¿nR, x)» 1°^
caminos obtenidos con Co = 0,3 y con C = {0,5; 0,7; 0,9; 1,1;
1,3; 1,5; 1,7; 1,9; 2,1}. Estas curvas se h a n obtenido com
binando las ecuaciones (2-14) y (3-24) jun to con las expre
siones (3-22) y (3-23) y con las condiciones iniciales y de
contorno adecuadas .
El espacio de estado (Aro, ¿nR) para estos procesos se pre
senta en la figura 4-22. Este espacio de estado se h a obte
nido combinando las ecuaciones (2-14), (2-15) y (3-24) jun to
con las expresiones (3-22) y (3-23) y con las condiciones
iniciales y de contomo adecuadas .
120
CAPÍTULO 4 . P R O C E S O S D E ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NULO
C=0,3 ; 0,5; 0,7; 0,9; 1,1; 1,3; 1,5; 1,7; 1,9; 2,1
O 0.1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
Figura 4-21
o 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
Figura 4-22
121
CAPÍTULO 4 . P R O C E S O S DE ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NULO
Se observa que en el proceso "continuo" el motor alcanza un
menor valor de ímRinax que en los procesos "alternativos".
En las figuras 4-23 y 4-24 se presentan estas mismas
curvas en función del tiempo.
0,5 1.0 1,5 2,0
Figura 4-23
Se observa que en los caminos "alternativos" hay un salto
brusco del par del motor en -r .
122
CAPITULO 4. PROCESOS DE ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NULO
Figura 4-24
1,2 0.9 1.3 1,7 2,1
1,1 1.5 1,9
0,5 1,0 1,5 2,0
Figura 4-25
123
CAPÍTULO 4. PROCESOS DE ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NULO
4.6 Conclusiones
En este capítulo hemos presentado u n procedimiento para
acelerar/desacelerar u n motor de inducción en vacío.
Para obtener estos procesos nos hemos apoyado en la
Teoría del Control Óptimo de Pontriaguin, que nos da las
trayectorias de las variables de estado que requieren el me
nor tiempo posible para concluir el proceso transitorio.
En estos procesos, el motor va desde régimen permanen
te de corriente mínima has ta régimen permanente de co
rriente mínima. Durante el régimen transitorio óptimo el
motor se alimenta con corriente limitada.
De todas la trayectorias óptimas posibles, solamente nos
sirven aquellas en las que la corriente magnetizante del ro
tor restablece su valor inicial nulo (pues me = O), es decir,
las ramas cerradas del grupo I de trayectorias óptimas.
Hemos deducido también que la aceleración y desacelera
ción óptimas en vacío son dos procesos completamente si
métricos debidos a diferentes signos de Q .
124
CAPÍTULO 4. PROCESOS DE ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NULO
Finalmente nos hemos preguntado si estos procesos son
los que realmente minimizan el tiempo de recorrido de las
variables de estado, pues el principio del máximo de Pon-
triaguin da las condiciones necesarias, pero no suficientes,
de u n a s funciones, con u n a s entradas acotadas, que opti
mizan u n índice de coste.
Para ello hemos buscado unos procesos "alternativos"
también basados en trayectorias óptimas (condición necesa
ria de Pontriaguin).
Se han generado procesos "alternativos" según tres crite
rios. En los procesos "alternativos", según el primero y se
gundo criterios, el motor alcanza u n a velocidad final menor
que en el proceso "continuo". Los procesos "alternativos"
generados con el tercer criterio tienen u n tiempo de res
puesta mucho mayor que el proceso "continuo". Además, en
todos los posibles caminos "alternativos" hay u n salto brus
co del par en el instante T^.
La comparación efectuada entre los procesos óptimos
"continuos" y los "alternativos", y resuelta en todos los ca
sos a favor de los óptimos "continuos", no permite llegar a
las conclusiones definitivas acerca del carácter óptimo de
125
CAPÍTULO 4. PROCESOS DE ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NULO
los procesos "continuos", pero nos permite afirmar con más
seguridad que éstos son realmente óptimos.
126
5. P R O C E S O S DE
A C E L E R A C I Ó N / DESACELERACIÓN
ÓPTIMOS DEL ACCIONAMIENTO
ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA
NO NULO
5.1 In t roducción
En el capítulo anterior se han desarrollado unos procesos
para obtener aceleración y desaceleración óptimas en vacío.
En esos procesos el motor, que inicialmente se encuentra
girando en régimen permanente con corriente nula, acelera
o desacelera hasta alcanzar en tiempo mínimo la velocidad
deseada, pasando a continuación instantáneamente al ré
gimen permanente con corriente nula. La corriente de esta
tor siempre está limitada.
En este capítulo se desarrollan los procesos en los que el
motor, sometido a un par de carga constante y no nulo,
acelera o desacelera desde un estado inicial de régimen
127
CAPITULO 5. PROCESOS DE ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NO NULO
permanente de corriente mínima, hasta un estado final,
también de régimen permanente de corriente mínima. El
tiempo que transcurre entre ambos estados - régimen tran
sitorio - es mínimo. A este tipo de procesos los llamaremos
aceleración/desaceleración óptima en carga. La corriente de
estator también está limitada.
5.2 Trayectorias óptimas para la aceleración y des
aceleración en carga
Al seguir las variables de estado trayectorias óptimas, el
tiempo de duración del régimen transitorio óptimo será mí
nimo.
La trayectoria óptima adecuada para este tipo de proce
sos comienza y termina con el mismo valor de la corriente
magnetizante del rotor. Estos dos valores sólo dependen de
me y son, según (2-21),
JO _ .1 _ ^ / ^ R ^ R \ /
\Tnc\ -T^- (5-1)
En las figuras 3-7 y 3-8 se observa que las únicas trayecto
rias que pueden cumplir (5-1) son las mismas ramas cerra-
128
CAPITULO 5 . P R O C E S O S D E ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NO NULO
das del grupo I de trayectorias óptimas que se utilizan para
los procesos óptiraos en vacío, pues éstas son las únicas en
las que, al final del régimen transitorio óptimo, la corriente
magnetizante del rotor puede recuperar su valor inicial. En
los instantes inicial y final tenemos i^^ = 4nR > 0.
En la figura 5-1 se muestra , en trazo grueso, el recorrido
de ¿nR y X por u n a de las ramas cerradas x(¿nR) del grupo I
de trayectorias óptimas siendo Ci positiva. Este recorrido
corresponde al régimen transitorio óptimo.
%iRmax
Figura 5-1
129
CAPITULO 5 . P R O C E S O S D E ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NO NULO
El recorrido comienza en el punto A(in,R,x°) y termina en el
punto B(itnR> X )- La trayectoria, a la que dicho recorrido per
tenece, se obtiene resolviendo el sistema formado por las
ecuaciones (2-14) y (3-24) junto con las expresiones (3-22) y
(3-23).
El valor inicial %o, necesario para si tuar las corrientes hd
e feq al inicio del régimen transitorio óptimo y para resolver
las ecuaciones (2-14), (2-15) y (3-24), se obtiene a partir de
la expresión (3-31), ésta es
signo(Ci) 4nR C ± " \ / W - W + <^ X = 2 • (5-2)
1" W
Sustituyendo 4nR por mR en la expresión anterior se tiene
n sígno(Ci) W C±-\ / (w)^ - (W) ^ + ^ /O = r r : , , J O , 2 • > (5-3)
1- ( W
donde observamos que, fijados C, Z^R y el signo de Ci, se
obtienen dos valores de %", uno está dado con la raíz positi
va y el otro por la raíz negativa. En el caso de Ci positiva se
130
CAPITULO 5. P R O C E S O S D E ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NO NULO
debe elegir para %^ el valor dado con la raíz positiva pues la
trayectoria óptima lleva a valores de 4nR mayores que 1 , , lo
que permite alcanzar i^^ = I^^Í- Por ^^ misma razón, en el
caso de Ci negativa se debe elegir el valor dado con la raíz
negativa, resultando en general
XO = signo(Ci) ^ -^—^ . (5-4)
La trayectoria óptima, a la que pertenece el recorrido entre
A y B (ver figura 5-1), forma parte de una familia de trayec
torias óptimas que, tal y como se ha dicho, permiten alcan
zar el valor final Í^R = imR- Esta familia está definida por la
constante C que obedece a la condición Gnin < C < Gnax. El
límite inferior Gnin se corresponde con una trayectoria que
degenera en un punto A = B, mientras que el límite superior
Cmax se corresponde con la trayectoria de la separatriz C =
0,5.
Gnin se obtiene anulando el radicando de (5-3), es decir
131
CAPITULO 5. PROCESOS DE ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NO NULO
Despejando Cmin se tiene
Qnin = ^ / ( W ) ^ ( 1 - ( ¿ R ) ^ ) -
Expresando i^^ mediante me según (5-1), se tiene
^^.^i^rrmy^iHúMi, „.,, En la figura 5-2 se muestra la expresión (5-5). En el eje de
abscisas se sitúa el valor absoluto del par de carga, mien
tras que en el eje de ordenadas se sitúa Gnin. Se observa
que a mayores | me | el rango de C de las trayectorias ópti
mas, que permiten realizar un proceso de aceleración o
desaceleración óptima, disminuye.
Hasta ahora hemos visto que las ramas cerradas del gru
po I de trayectorias óptimas permiten restablecer la corrien
te magnetizante del rotor a su valor inicial. A continuación
vamos a deducir qué condiciones se deben cumplir, ade
más, para obtener aceleración o desaceleración óptimas.
Si sustituimos en la ecuación de estado (2-15) las expre
siones (3-28) y (5-1), que indican respectivamente los valo-
132
CAPITULO 5 . P R O C E S O S DE ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NO NULO
res del par motor en régimen transitorio óptimo y del par de
carga en función de ij^^, tenemos
O 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
Figura 5-2
dco(T) signo(Ci) 2 i^^(x) , , ,o ,2 " S T " " —< o o ' - 2 signo(mc) (w)
V x ' w + 4R(-^) (5-6)
Todas las r amas cerradas del grupo I de trayectorias ópti-
2 2
raas están dentro de la región i^^ + % < 1 (ver figuras 3-7,
3-8 y 5-1). Por otro lado, en la figura 5-1 observamos que,
133
CAPITULO 5 . P R O C E S O S D É ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NO NULO
durante el régimen transitorio óptimo, se cumple 4nR ^ imR-
Es decir, siempre se verifica
^ m R ^ . , 0 .2
4 2 a ^ ( W ) - (5-7)
X (t) + ímR(^)
Teniendo en cuenta (5-7) en (5-6) vemos que Ci tiene que
ser positiva para que el motor acelere, y negativa para que
desacelere. Este resultado es independiente del signo del
par de carga.
Finalmente observamos en (5-7) que, durante el régimen
transitorio óptimo, el par raotor siempre supera en valor
absoluto al par de carga, es decir | m| > | me | .
Resumiendo, obtenemos aceleración óptima en carga
cuando Ci es positiva y cuando las variables de estado si
guen u n a de las r amas cerradas del grupo I de trayectorias
óptimas que verifican CWi < C < Cmax, y obtenemos la des
aceleración óptima con los mismos valores de C pero con Ci
negativa.
A diferencia de lo que ocurre con la aceleración y
desaceleración óptimas en vacío, que son procesos
completamente sim.étricos donde u n a misma C lleva al
CAPITULO 5. PROCESOS DE ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NO NULO
simétricos donde u n a misma C lleva al mismo incremento
de velocidad en valor absoluto, en la aceleración y desacele
ración óptimas en carga se llega a diferentes incrementos de
velocidades en valor absoluto dependiendo de los signos de
me y Ci. Cuando me y Ci tienen signos diferentes se obtiene
u n incremento de velocidad en valor absoluto mayor que
cuando éstos tienen signos iguales, ya que tanto el par mo
tor como el de carga ac túan en el primer caso en el mismo
sentido (ver ecuación (5-5)).
En la figura 5-3 se presenta u n ejemplo de aceleración
óptima mostrándose la variación en función del tiempo de
distintas variables del motor. Se tiene (Ci >0), me = 0,3 y C
= 0,45.
Inicialmente el motor está girando en régimen permanen
te de corriente mínima has ta el instante -c , donde comienza
el régimen transitorio óptimo. El instante x^, final del régi
men transitorio óptimo, ocurre cuando se alcanza la nueva
velocidad deseada y simultáneamente se restablece la co
rriente magnetizante del rotor. En x se restablece instantá
neamente el régimen permanente de corriente mínima.
135
CAPITULO 5. PROCESOS DE ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NO NULO
C=0,45 Ci positiva •mc=0,3 p.u
1,0-
0.9-
0,8-
0,7-
0,6
0,5
0,4
0.3-
0,2
0,1
O
-0,1-
-0,2
-0.3
Figura 5-3
Las curvas correspondientes al régimen transitorio ópti
mo se h a n obtenido resolviendo el sistema formado por las
dos ecuaciones de estado (2-14) y (2-15) junto con la ecua
ción a\xxiliar (3-24). Las expresiones de fea, teq y m son (3-
22), (3-23) y (2-16) respectivamente.
Los valores iniciales son I^R = ^\Tnc\¡2 = 0,3873 p.u., x°
= 0,5272 p.u. - ver expresión (5-4) - y Aro = o p.u.
136
CAPITULO 5. PROCESOS DE ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NO NULO
El incremento de velocidad alcanzado es Acó = co co' ,0 =
0,6409 p.u., y el tiempo de proceso es AT = x - x = 1^2834
p.u.
Para llevar al motor a la nueva velocidad deseada, se de
be elegir previamente la trayectoria adecuada a través del
signo de Ci y de C. Una forma de obtener C en función de la
velocidad deseada co es con u n a función tabulada.
5 .3 E s p a c i o s d e e s t a d o p a r a d i f e r e n t e s p a r e s d e
c a r g a
En este apartado se mues t ran gráficas del espacio de esta
do, velocidad alcanzada y tiempo del proceso, tanto para la
aceleración como para la desaceleración, para diferentes
pares de carga. El par de carga me va desde 0,1 p.u. a 0,9
p.u. en incrementos de 0,1 p.u.
Según (5-5), los valores de Gnin según me son:
me
Qnin
0,1
0,2179
0,2
0,3000
0,3
0,3571
0,4
0,4000
0,5
0,4330
0,6
0,4583
0,7
0,4770
0,8
0,4899
0,9
0,4975
137
CAPITULO 5. PROCESOS DE ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓÍPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NO NULO
En las figuras 5-4 a 5-12 se presentan los espacios de esta
do para estos procesos de aceleración óptima (Gnin < C <
Gnax). El espacio de estado se obtiene combinando las ecua
ciones (2-14), (2-15) y (3-24) junto con las expresiones (3-
22) y (3-23).
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
Figura 5-4
138
CAPITULO 5. PROCESOS DE ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NO NULO
1,8
1,6
1,4--
1,2-
1,0
0,8--
0,6
0,4-f
0,2
O
Acj
me =0,2
Ci >0 Aceleración
C=0,45
C=0,5 ,
O 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 O
Figura 5-5
1,5-
1,0--
0,5
mc=0,3
C\ >0 Aceleración
C=0,465
C=0,5
O 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 O
Figura 5-6
139
CAPITULO 5. PROCESOS DE ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NO NULO
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0.2
O
Acj
m e =0,4 C-[ >0 Aceleración
C=0,48
C=0,46
C=0,44 . ^
C=0,42 \ ^
1 \ 1 1 ' ^
C=0,5
1 h - P-
O 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
Figura 5-7
2,0-
1,5-
1,0--
Ac j
me =0,5
Ci >0 Aceleración
C=0,5
O 0,1 0,2 0.3 0,4 0,5 0,6 0,7 0.8
Figura 5-8
140
CAPITULO 5 . P R O C E S O S DE ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NO NULO
1,5-
1,0
0 , 5 -
A c j
me =0,6 Ci >0 Aceleración
C=0,50
C=0,49-
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 O
Figura 5-9
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
O
Aw
me =0,7 C-i >0 Aceleración
C=0,495
C=0,490 C=0,485 C=0,480 >
\ 1 1 1 i e
C=0 5
X 1 í)^ ."¿mR
H "• O 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,¡
Figura 5-10
141
CAPITULO 5. PROCESOS DE ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NO NULO
1,0-
0,8-
0,6
0,4
0,2
Aoj C = 0 , 5
C = 0 , 4 9 9
me =0,8 Cj >0 Aceleración
C=0,490
^ m R
O 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,
Figura 5-11
0,5-
0,4-
0,3-
0,2-
0,1
O
Acj
mc=0,9 C¡ >0 Aceleración
C=0,5
C=0,4995,^ C=O,499O0 C=0,4980il
-4- ¡4 h ,^mR
O 0,1 0,2 0 ,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
Figura 5-12
En la figuras 5-13 a 5-21 se presentan los espacios de esta
do para los procesos de desaceleración óptima.
142
CAPITULO 5 . P R O C E S O S D E ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NO NULO
O 0,1 0,2 0 ,3 0 ,4 0,5 0,6 0 ,7
-3,0--
m c = 0 , l Ci <0 Desaceleración
C=0,5
Acj
Figura 5-13
o 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
-3 ,0 - -
mc=0,2 C] <0 Desace le rac ión
C=0,5
hu
Figura 5-14
143
CAPITULO 5. PROCESOS DE ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NO NULO
O O
-0,5
-1,0--
-1.5
- 2 , 0 -
-2,5--
-3,0
-3,5
-4,0
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 _l q —
Ac j
^mR
C=0.465
mc=0,3 Ci <0 Desaceleración
C=0,5
Figura 5-15
O 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 O
C=0,5
Figura 5-16
144
CAPITULO 5. PROCESOS DE ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NO NULO
O 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 O
-0,5
-1,0
- 1 , 5 -
-2 ,0--
-2 ,5
-3,0
-3 ,5
-4 ,0--
C=0,44
C=0,46
C=0,48
me = 0 , 5
C\ <0 Desaceleración
ImR
C=0,5
Aw
F i g u r a 5 - 1 7
O
-0,5
-1,0--
- 1 , 5 -
- 2 , 0 -
-2,5
-3,0--
-3 ,5- -
-4,0
-4,5-f
-5,0
0,1 0,3 0,3 0,4 0 , 5 ^ 0 , 6 0,7 0 .
C=0,49
me =0,6 Ci <0 Desace le rac ión
^mR
C=0,50 Au
Figura 5-18
145
CAPITULO 5 . P R O C E S O S D E ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NO NULO
O O 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
-0 ,5- -
-1,0
-1,5
-2,0--
- 2 , 5 -
-3,0
-3,5-t-
-4,0 '
[ 1 1 ^mR
C=0,480
C=0,485
C=0,490
C= 0,495 m e =0,7
Ci <0 Desace le rac ión
Aw C=0,5
O
Figura 5-19
o 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 O,.
- 1 -
- 2 - -
- 3 - -
-4
- 5
-6
- 7 -
C=0,49 ^mR
C=0,4990
m e =0 .8
Cx <0 D e s a c e l e r a c i ó n
C=0,4999
Acó C=0,5
Figura 5-20
146
CAPITULO 5. PROCESOS DE ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NO NULO
O
-0,5-
-1,0-
-1,5
-2,0-
-2,5-
-3,0-
-3,5-
-4,0-
O 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,£
^mR
C=0,498
me =0,9 C] <0 Desaceleración
C=0,4990
C=0,4995 C=0,5
Aw
Figura 5-21
En la figuras 5-22 y 5-23 se mues t ra el incremento de velo
cidad alcanzado en función de C para la aceleración y de la
desaceleración óptimas.
147
CAPITULO 5. PROCESOS DE ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NO NULO
0,50-
0,45-
0,40-
0,35-
0,30-
0,25-
OPO-
C
y V / / ^TTlc'-
(/ / ^ • " ^ c =0,S
/ / \ m c = 0 , 4
/ \ m c = 0 , 3
^ m c = 0 , 2
•^mc=0, l
—1 1 ¥
mc-
=0,6
= 0,7
C i > 0
Aceleración
m c = [ 0 , l .. 0,9]
_l 1 1_ 1 -1 1 ^ O 0,5 0,10 0,15 0,20 0.25 0,30 0,35 0,40 0,45
Figura 5-22
- M \
Ci<0
Desaceleración
m c = [ 0 , l .. 0,9]
1 \
m e =0,7 — ^ ^ ^ 5 m e = 0 , 6 — " ^ ^
H
TTlc =0,5 ~Y
m e =0,4
m e = 0 , 3 —
me = 0 , 8 -
m e = 0 , l
—1 1
1 C
\"
+ 0,50
0,45
0,40
0,35
0,30
0,25
0,20 -14 - 1 2 - 1 0 - 8
Figura 5-23
1 4 8
CAPITULO 5. PROCESOS DE ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NO NULO
Estas gráficas se han obtenido resolviendo las ecuaciones
(2-14), (2-15) y (3-24) junto con las expresiones (3-22) y (3-
23).
En la figura 5-24 se presenta la duración del proceso en
ñinción de C, tanto para la aceleración como para la
desaceleración. Estas gráficas se han obtenido resolviendo
las ecuaciones (2-15) y (3-24) junto con las expresiones (3-
22) y (3-23).
7+
6
í ' - í "
Tiempo de régimen t rans i tor io
mc=[0,l .. 0,9]
0,05 0,1 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50
Figura 5-24
149
C A P I T U L O 5 . P R O C E S O S DE ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN Ó P T I M O S DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NO NULO
Las siguientes tablas muestran, para Wc = [0,1; •••; 0,9], el
tiempo de duración del proceso y el incremento de velocidad
alcanzado para distintos valores de C.
Tabla 5-1
me = 0 ,1
c
0,217945 0,218000
0,225000
0,250000 0,275000
0,300000
0,325000
0,350000
0,375000
0,400000
0,425000
0,450000 0,475000
0,490000
0,499000
T;1-XO
0,000000 0,011163
0,129627
0,300995 0,436225
0,567730
0,704327
0,852021
1,017475
1,210460
1,448376
1,769505 2,294931
2,965406
4,608881
CO 1-0)0
Aceleración 0,000000 0,003750
0,044162
0,108078 0,165505
0,227978
0,299725
0,384708
0,488207
0,618615
0,791346
1,040705 1,475592
2,057022
3,523257
(o^-aP Desaceleración
0,000000 -0,005983
-0,070088
-0,168277 -0,252750
-0,341524
-0,440591
-0,555112
-0,691702
-0,860707
-1,081021
-1,394606 -1,934578
-2,650103
-4,445034
150
CAPITULO 5 . P R O C E S O S D E ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NO NULO
Tabla 5-2
mc = 0,2
c 0,300000 0,320000 0,340000
0,360000
0,380000
0,400000
0,420000
0,440000
0,460000
0,480000 0,490000
0,499000
0,499900
T^-TO
0,000000 0,309581 0,470293
0,620531
0,775445
0,944671
1,139304
1,377417
1,697646
2,221200 2,728619
4,373798
6,004019
0)1-0)0
Aceleración
0,000000
0,128187 0,202036
0,277152
0,360838
0,459053
0,579834
0,737178
0,961722
1,350278
1,741553
3,044785
4,347687
©1-0)° Desaceleración
0,000000
-0,252019 -0,390153
-0,525364
-0,671016
-0,836922 -1,035556
-1,288144
-1,640781
-2,238758 -2,833001
-4,794304
-6,749295
151
CAPITULO 5 . P R O C E S O S D E ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NO NULO
Tabla 5-3
mc = 0,3
c 0,357071
0,360000
0,370000
0,380000
0,390000
0,400000
0,410000 0,420000
0,430000
0,440000
0,450000
0,460000
0,470000
0,480000
0,490000
0,499000
xi-to
0,000000
0,143396
0,313812
0,435936
0,545931
0,652829 0,761241
0,874626
0,996405
1,130725
1,283432
1,463858
1,689104
1,997154
2,508605
4,157036
(d^-Gp Aceleración 0,000000
0,059669
0,132781
0,187703
0,239390
0,291769
0,347065 0,407170
0,474166
0,550754
0,640888
0,751004
0,893006
1,093431
1,436665
2,577620
(Ú^-GP
Desaceleración 0,000000
-0,145707
-0,321068
-0,449265
-0,566948
-0,683467
-0,803810
-0,931946
-1,072009
-1,229189
-1,410947
-1,629319
-1,906468
-2,291723
-2,941828
-5,071841
152
CAPITULO 5. PROCESOS DE ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NO NULO
Tabla 5-4
ntc = 0,4
c 0,400000
0,410000
0,420000 0,430000
0,440000
0,450000
0,460000 0,470000
0,480000
0,490000
0,499000
xi-xO
0,000000
0,350884
0,524237 0,681411
0,840030
1,010753
1,205197 1,441724
1,759079
2,278354
3,932841
coi-coO Aceleración 0,000000
0,142789
0,217278 0,287998
0,362561
0,446244
0,545462 0,670914
0,845649
1,142195
2,121873
co^-afi Desaceleración
0,000000
-0,423496
-0,636667 -0,833127
-1,034585
-1,254846
-1,509619
-1,824293
-2,252912
-2,964878
-5,268145
153
CAPITULO 5. PROCESOS DE ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NO NULO
Tabla 5-5
nic = 0 ,5
c 0,433013
0,440000
0,445000
0,450000
0,455000
0,460000
0,465000 0,470000 0,475000
0,480000
0,485000
0,490000
0,495000
0,499900
x^-x°
0,000000
0,377281
0,513026
0,635604
0,754840
0,876143
1,003863 1,142678 1,298741
1,481578
1,708405
2,017249
2,528636
5,315691
oji-coO
Aceleración 0,000000
0,139921
0,192165
0,240577
0,288868
0,339212
0,393500 0,453896
0,523362
0,606580
0,712102
0,858899
1,107202
2,493695
a>i-co°
Desaceleración 0,000000
-0,517202
-0,705190
-0,876182 -1,043708
-1,215356
-1,397363 -1,596574
-1,822102
-2,088158
-2,420507
-2,876148
-3,635838
-7,809386
154
CAPITULO 5. PROCESOS DE ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NO NULO
Tabla 5-6
me = 0,6
c
0,458258 0,459000
0,460000
0,463000
0,466000
0,469000
0,472000
0,475000
0,478000
0,481000
0,484000
0,487000 0,490000
0,493000
0,496000
0,499000
xi- o
0,000000 0,157063
0,243092
0,414034
0,547266 0,668442
0,786163
0,905368
1,030043 1,164387
1,313773
1,486213 1,695528
1,970047
2,386898
3,387522
00^-0)°
Aceleración 0,000000 0,049791
0,077229
0,132409
0,176233 0,216824
0,256966
0,298332
0,342346 0,390582
0,445117
0,509106 0,588042 0,693227
0,855491
1,251396
©1-0)°
Desaceleración 0,000000 -0,238267
-0,368940
-0,629250
-0,832952 -1,018954
-1,200362
-1,384774
-1,578398 -1,787847
-2,021644
-2,292562 -2,622676 -3,057284
-3,719768
-5,316423
155
CAPITULO 5. PROCESOS DE ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NO NULO
Tabla 5-7
me = 0,7
c
0,476970 0,477000
0,480000
0,481500
0,483000 0,484500
0,486000
0,487500 0,489000 0,490500
0,492000
0,493500 0,495000 0,496500
0,498000
0,499500
T1-XO
0,000000 0,044604
0,469445
0,591113
0,703710 0,813298
0,923620
1,037731 1,158717 1,290280
1,437487
1,608171 1,816006 2,089220
2,504843
3,504174
(O^-GP
Aceleración 0,000000 0,011328
0,120200
0,152013 0,181794 0,211109
0,240951
0,272162 0,305616 0,342391
0,383982
0,432720 0,492692 0,572356
0,694812
0,992442
0)1-0)0
Desaceleración 0,000000 -0,073774
-0,777423
-0,979571 -1,166987 -1,349726
-1,534020
-1,724985 -1,927820 -2,148783
-2,396463
-2,684158 -3,035101 -3,497264
-4,201592
-5,898285
156
CAPITULO 5. PROCESOS DE ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NO NULO
Tabla 5-8
me = 0,8
c
0,489898
0,492000
0,495000
0,497000
0,499000
0,499500
0,499900
0,499950
0,499990
0,499995
0,499999
Tl-tO
0,000000
0,637509
1,165548
1,612956
2,459362
2,965093
4,115240
4,606868
5,746113
6,236394
7,374559
CD1-G)°
Aceleración 0,000000 0,115576
0,214337
0,300293
0,466464
0,566879
0,796336
0,894590
1,122383
1,220432
1,448059
oo^-coO
Desaceleración -0,000000 -1,135591
-2,079213
-2,881023
-4,401443
-5,311028
-7,380720
-8,265580
-10,316163
-11,198662
-13,247354
157
CAPITULO 5. PROCESOS DE ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NO NULO
Tabla 5-9
mc = 0,9
c
0,497494 0,498000
0,499000
0,499500
0,499900
0,499950
0,499990
0,499995 0,499999
T1-TO
0,000000 0,654194
1,409382
1,983791
3,178514
3,675223
4,818465
5,309245
6,447801
(o^-(ifi
Aceleración 0,000000 0,062374
0,135651
0,192257
0,311129
0,360728
0,474996
0,524067
0,637916
(O^-GP
Desaceleración -0,000000 -1,239924
-2,672539
-3,763081
-6,032458
-6,976129
-9,148232
-10,080708 -12,243957
158
CAPITULO 5 . P R O C E S O S DE ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS D E L
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NO NULO
5.4 C o n c l u s i o n e s
En este capítulo hemos presentado los procesos de acelera
ción y desaceleración óptimas de u n motor asincrono de
jaula de ardilla con u n par de carga constante.
En estos procesos el motor gira desde u n régimen per
manente de corriente miniraa has ta u n régimen permanente
de corriente mínima. Durante el régimen transitorio óptimo,
el motor se alimenta con u n a corriente liraitada a u n valor
prefijado.
Para obtener las trayectorias óptimas de las variables del
motor nos hemos basado en la Teoría del Control Óptimo de
Pontriaguin. Las únicas trayectorias óptimas validas perte
necen a las ramas cerradas del grupo I.
Para obtener aceleración es suficiente que la constante Q
tenga el signo positivo, y para obtener desaceleración Ci
debe ser negativa.
Con un mismo par de carga y una misma constante C, se
obtienen diferentes incrementos de velocidad, en valor ab-
159
CAPITULO 5 . P R O C E S O S DE ACELERACIÓN/DESACELERACIÓN ÓPTIMOS DEL
ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO CON PAR DE CARGA NO NULO
soluto, en la aceleración y en la desaceleración, siendo éste
mayor cuando el par motor y el par de carga tienen signos
contrarios. Es decir, la aceleración y la desaceleración óp
t imas en carga no son procesos simétricos.
160
6. PROCESO DE RESTABLECIMIENTO
DE LA VELOCIDAD DEL MOTOR
FRENTE A UN ESCALÓN DE
PAR DECARGA
6.1 In t roducción
En los dos capítulos anteriores se han estudiado los proce
sos óptimos de aceleración/desaceleración de un motor
asincrono de jaula de ardilla con un par de carga constante.
Durante estos procesos óptimos las variables de estado re
corren trayectorias óptimas.
El objeto del presente capítulo es el estudio de los proce
sos óptimos que restablecerán en el menor tiempo posible el
estado de régimen permanente de corriente mínima cuando
se aplica, o retira, al motor un par de carga constante en
forma de escalón. Para ello, nos basaremos también en la
Teoría del Control Óptimo de Pontriaguin, obligando a las
variables de estado a recorrer las trayectorias óptimas ade-
161
CAPITULO 6. PROCESO DE RESTABLECIMIENTO DE LA VELOCIDAD DEL MOTOR FRENTE A
UN ESCALÓN DE PAR DE CARGA
cuadas. Los procesos obtenidos en este capítulo los llama
remos óptimos de aplicación de la carga.
Lo primero que haremos en este capítulo es definir con
detalle los procesos óptimos de aplicación de la carga, se
guidamente estudiaremos los distintos casos de aplicación
de la carga que aparecen y finalmente obtendremos las fa
milias de trayectorias óptimas que los resuelven.
6.2 Procesos óptimos de aplicación del par de car
ga
En este tipo de procesos el motor está inicialinente girando
en régimen permanente de corriente mínima con u n par de
carga constante nulo o no nulo. Al aparecer el nuevo par de
carga comienza el régimen transitorio, las variables de esta
do viajan entonces por la trayectoria óptima oportuna has t a
que, simultáneamente, se restablece la velocidad y se al
canza la nueva corriente magnetizante del rotor correspon
diente al régimen de corriente mínima con el nuevo par de
carga.
162
CAPITULO 5 . P R O C E S O D E RESTABLECIMIENTO D E LA VELOCIDAD D E L MOTOR FRENTE A
UN ESCALÓN DE PAR DE CARGA
La figura 6-1 mues t ra la evolución del par del motor y del
incremento de velocidad en u n posible proceso de este tipo.
Régimen perm.
Régimen transitorio
Régimen perm.
1
1
m. ='m°~
' ' • 1 .
'^ . . . ^ J J ^
p-1 1
1 ^" ^ ' - * - ^ ' •
m-m^
T
T
Figura 6-1
Observamos en dicha figura que el proceso transitorio óp-
tirao tiene lugar entre los instantes T^ y T^. Antes del instan
te T , y después del instante -u , el motor se encuentra gi
rando en regímenes pennanentes de corriente mínima.
De la ecuación de la mecánica (2-15) se deduce que, al
restablecerse la velocidad, el área neta entre las curvas par
del motor y par de carga (área sombreada en la figura 6-1)
es nula. Por otro lado, de la expresión (3-28), que da el valor
163
CAPITULO 6. PROCESO DE RESTABLECIMIENTO DE LA VELOCIDAD DEL MOTOR FRENTE A
UN ESCALÓN DE PAR DE CARGA
del par del motor durante el régimen transitorio, se deduce
que el signo del par del motor no varía. Es decir, durante el
régimen transitorio óptimo, y por consiguiente durante todo
el proceso óptimo de aplicación de la carga, m y me tienen el
mismo signo e invariable. La expresión (3-28) se reproduce
a continuación,
2
m = 2 s i g n o ( C i ) - r = = . • (6-1)
De la ecuación (2-21), que nos da la corriente magnetizante
del rotor en función del par de carga en régimen permanen
te de corriente mínima, tenemos i,
(6-2)
1 Los signos "+" ó "-" que acompañan, en su caso, a los superíndices "O"
y " 1" indican que los valores de las variables marcadas por dichos índi
ces corresponden al ins tante inmediatamente anterior ("-") o inmedia
tamente posterior ("+") al cambio de las variables en los ins tantes "O" o
«1»
164
CAPITULO 6. PROCESO DE RESTABLECIMIENTO DE LA VELOCIDAD DEL MOTOR FRENTE A
UN ESCALÓN DE PAR DE CARGA
1 / ?"C
u=\rV-- (6-3)
En las expresiones (6-2) y (6-3) observamos que, si el esca
lón de par de carga cumple | me | > i ^ c I, entonces 4nR > mR
; mientras que si | me | < | m^ \, entonces 4TIR < mR- Al final
del régimen transitorio óptimo la corriente magnetizante del
rotor habrá aumentado o disminuido según lo haya hecho
el valor absoluto del par de carga.
Entonces, sabiendo que m y me tienen el mismo signo
invariable durante el régimen transitorio óptimo y que, al
restablecerse la velocidad, el área neta que forman las cur
vas par del motor y par de carga es nula, podemos adelan
tar en la figura 6-2 el aspecto que adquiere la corriente
magnetizante del rotor y el par del motor durante el régimen
transitorio óptimo de aplicación de la carga.
165
CAPITULO 6. PROCESO DE RESTABLECIMIENTO DE LA VELOCIDAD DEL MOTOR FRENTE A
UN ESCALÓN DE PAR DE CARGA
.>
"
|m°i
7
P^ 1 1
" K1< Kl ' ' m ü ^ '•inR
a)
,
T
T
F i g u r a €
.
K l
, _ ^
? ? ^ w - -« í^ 1 " ^
7
5-2
K1>H '
b)
T
T
I
En dicha figura se muestran los dos casos posibles. En el
caso "a" el par de carga ha aumentado en valor absoluto.
Durante el régimen transitorio óptimo la corriente magneti
zante del rotor también habrá aumentado. El valor absoluto
del par del motor tendrá el aspecto que se indica en la figu
ra. En el caso "b" el par de carga habrá disminuido en valor
absoluto. Durante el régimen transitorio óptimo ¿mR también
habrá disminuido. El par del motor tendrá el aspecto indi
cado.
166
CAPITULO 6. PROCESO DE RESTABLECIMIENTO DE LA VELOCIDAD DEL MOTOR FRENTE A
UN ESCALÓN DE PAR DE CARGA
Durante los regímenes permanentes el par del motor y el
par de carga son iguales, es decir m(x) = m^ (si x < 1;°) y m(x)
= me (si T > xi). Finalraente observamos en el caso "a" que
I m.o+1 < I me I < I nn}- \ y en el caso "b" que | mP* | > | me | >
I mi-1.
Atendiendo al signo de me durante el régimen transitorio
óptimo y teniendo en cuenta que el signo de m¿ no influye
en dicho régimen, podemos clasificar los procesos óptimos
de aplicación de la carga en cuatro tipos:
1 I o - 1
1. me > I me I
Zona ubicación
7r&-
1--
Figura 6-3
o-, 2. O < me < I me I
1 6 7
CAPITULO 6. PROCESO DE RESTABLECIMIENTO DE LA VELOCIDAD DEL MOTOR FRENTE A
UN ESCALÓN DE PAR DE CARGA
Zona ubicacióní
•nVir ,
-rrir
3. me < - |me I
Figura 6-4
Zona
ubicación
,
1-
mg--
- m g - .
- 1 -
.
-771^
T O
T
" " '•u
Figura 6-5
0-4. -1 me I < me < O
168
CAPITULO 5. P R O C E S O D E RESTABLECIMIENTO D E LA VELOCIDAD D E L MOTOR FRENTE A
UN ESCALÓN DE PAR DE CARGA
Z o n a / ^ ubicación/
m o - .
—
mP- J "x 1
- - - 1 -
- - • ^ c
TO
T
m^.
Figura 6-6
Los casos uno y tres son análogos, al igual que los dos y
cuatro, pues sólo se diferencian en el signo del par de carga
me.
6.3 Trayectorias óptimas para el restablecimiento
de la velocidad con el par de carga me > \mc\
Al ser me > \mc\ tenemos Í^R > ZmRj Y como me es positivo,
Ci también lo es.
De las expresiones (6-1) y (5-3) tenemos
|mi-| = 2 (ímR)
•\¡iÍn/ + (xV
169
CAPITULO 6. PROCESO DE RESTABLECIMIENTO DE LA VELOCIDAD DEL MOTOR FRENTE A
UN ESCALÓN DE PAR DE CARGA
l"^l = 2 ( 4 R ) •
Al ser I m}- \ > | me | (ver figura 6-2), entonces
En la figura 6-7 se muestra, en el plano {imR, %), la región
donde se encuentran las trayectorias óptimas que resuelven
este tipo de procesos. Dicha región está limitada por:
1. O < ¿nR ^ ' \ / l /2 , pues, por la condición de corriente
míniraa, se tiene 4nR ^^[max{\mc\)/2 .
3. Rama correspondiente a la trayectoria dada por C -
0,5 y X = X-, p u e s i„,R < i„R.
Dentro de esta región, cada pareja (| me I, ^c) fija una úni
ca trayectoria óptima que resuelve un proceso óptimo de
aplicación de la carga.
170
CAPITULO 6. PROCESO DE RESTABLECIMIENTO DE LA VELOCIDAD DEL MOTOR FRENTE A
UN ESCALÓN DE PAR DE CARGA
Fijado el par de carga me (y por tanto Í^RIJ Y para todo | rriQ |
tal que O < | m^ \ < me, el conjunto de trayectorias óptimas,
que resuelven u n proceso^ óptimo de aplicación de la carga,
está acotado entre las trayectorias pertenecientes a ciertas
constantes C mínima y máxima, Gnm y Cmax respectivamen
te.
Gnin es el valor en el que se cumple | ruc | = me, es decir,
W ~ 4nR- Trayectorias con valores menores de C no alcan-
171
CAPITULO 6. PROCESO DE RESTABLECIMIENTO DE LA VELOCIDAD DEL MOTOR FRENTE A
UN ESCALÓN DE PAR DE CARGA
zan 4nR (ver figura 6-8). Gnín se obtiene anulando el radi
cando de la expresión (3-31),
1 4 J 2 2 ( W ) " ( W ) ••" Qnin ~ O»
Al ser 4nR = VT"^cT72 , tenemos
dn O V - ~ Cmm-^Ml-{l-mcf (6-4)
Gnax es el valor de C cuya trayectoria óptima de imR alcanza
el valor 4nR en la circ-unferencia «mR + x^ = 1 •
1 2 1 2
Sustituyendo (¿mR) + (x ) = 1 en la ecuación (3-29) y te
niendo en cuenta que 4nR > 0>%^ > Oy C i > 0> tenemos
'mR ' X 1 ~ í-max>
Qnax= 1 - ^ 1 - ( 4 R ) - (¿R)"^ .
Al ser 4nR = VI me I / 2 , tenemos
172
CAPITULO 6. PROCESO DE RESTABLECIMIENTO DE LA VELOCIDAD DEL MOTOR FRENTE A
UN ESCALÓN DE PAR DE CARGA
Qnax= 1 - ^ V^ " (^ " ^ ^ " 1 - *^ii (6-5)
Si O < me < 1 entonces, O < Gnin < 0,5 y 0,5 < Gnax 1.
En la figura 6-8 se muestran, en el plano (¿nR, x)> las tra
yectorias Gnin y Cmax para un valor de ¿n,R < 1 /^J2 .
Figura 6-8
En la figura 6-9 se muestra la relación entre el par de carga
me y los límites Gnin y Cmax según las expresiones (6-4) y
(6-5).
1 7 3
CAPITULO 6. PROCESO DE RESTABLECIMIENTO DE LA VELOCIDAD DEL MOTOR FRENTE A
UN ESCALÓN DE PAR DE CARGA
, 1,0-
0,8-
0,6-
0,4-
0,2-
n-
l ^ c
Curva de
- 1 —
1
^min 1
1
\ Curva de
\ /
Y
1 — 1 — 1 —
^máx
>^_ c o 0,2 0,4 0,5 0.6 0,8 1,0
Figura 6-9
Para finalizar, en la figura 6-10 se presenta un ejemplo de
restablecimiento de la velocidad frente a un escalón del par
de carga con me = ±0,1; me = 0,3. Se tiene I R = 0,2236; ¿ R
= 0,3873, xi - TO = 0,288594, C = 0,475346 y Ci positiva.
174
CAPITULO 6. PROCESO DE RESTABLECIMIENTO DE LA VELOCIDAD DEL MOTOR FRENTE A
UN ESCALÓN DE PAR DE CARGA
,05 ,10 ,15 ,20 ,25
•I 1 h
T - I — -
Figura 6-10
175
CAPITULO 6 . P R O C E S O DE RESTABLECIMIENTO D E LA VELOCIDAD D E L MOTOR FRENTE A
UN ESCALÓN DE PAR DE CARGA
6.4 Trayec tor ias ó p t i m a s p a r a el res tab lec imiento
de l a velocidad c o n el p a r de ca rga O < me < 1 me |
Al ser me < 1 HTc I tenemos Í^R < imR y como me es positivo,
Ci también lo es.
De la expresiones (6-1) y (6-3) teneimos
l i o ^"^^
-X/ÍÍR)^ + (%')'
|mc| = 2 ( 4 / .
Al ser I mi-1 < |mc| (ver figura 6-2), entonces
( ¿ R ) ' + ( X ' ) ' > 1 .
En la figura 6-11 se muestra, en el plano {imR, %), la re
gión donde se encuentran las trayectorias óptimas que re
suelven este tipo de procesos. Dicha región está limitada
por:
176
CAPITULO 6. PROCESO DE RESTABLECIMIENTO DE LA VELOCIDAD DEL MOTOR FRENTE A
UN ESCALÓN DE PAR DE CARGA
1. o < imR < ^jí/2 , pues , por la condición de corriente
mínima, se tiene 4R ^ A/maxí | rr^ | )/2
2. (Lnf-^(xf^í-
ÍmR=l/\Í2
Figura 6-11
Dentro de es ta región, cada pareja (| m^ \, me) fija u n a úni
ca trayectoria óptima que resuelve u n proceso óptimo de
aplicación de la carga.
177
CAPITULO 6. PROCESO DE RESTABLECIMIENTO DE LA VELOCIDAD DEL MOTOR FRENTE A
UN ESCALÓN DE PAR DE CARGA
Fijado el par de carga me (y por tanto i^^, y para todo
I me I tal que O < me < | me |, el conjunto de trayectorias
óptimas, que resuelven un proceso óptimo de aplicación de
la carga, está acotado entre las trayectorias pertenecientes
a ciertas constantes C mínima y máxima, Qnin y Qaax res
pectivamente.
Gnin es aquel valor cuya trayectoria cumple simultánea-jQ 2 1 2 1 2
mente I^R = Í^R y (Í^R) + (%) = 1 (ver figura 6-14). Se la
llama así porque valores menores de C no alcanzan 4nR- Gnin
se obtiene de la expresión (3-29), siendo 4nR positiva, x^ ne
gativa y Ci positiva,
.1 1 = 1 r
Al ser ítnR = V I m c | / 2 , tenemos
Qnin = 1 + hyjí-i^-mcf . (6-6)
178
CAPITULO 6 . P R O C E S O D E RESTABLECIMIENTO D E LA VELOCIDAD D E L M O T O R FRENTE A
UN ESCALÓN DE PAR DE CARGA
Análogamente llamamos Gnax al valor correspondiente a la
trayectoria donde el par de carga inicial es ¡TUQ] = 1, o lo
que es lo mismo por la condición de corriente mínima, I^R =
1/A/2 . El mínimo valor posible de Cmax es 1,5 y corresponde
al valor inicial ( w , x») = {1/A/2 , -1 /^2 ).
Cmax se obtiene por métodos numéricos. Para cada valor
¿mR, o lo que es lo mismo, me, hay una trayectoria Gnax. En
la figura 6-12 se muestra la dependencia de me respecto de
trnax-
1 m,
Figura 6-12
179
CAPITULO 6. PROCESO DE RESTABLECIMIENTO DE LA VELOCIDAD DEL MOTOR FRENTE A
UN ESCALÓN DE PAR DE CARGA
Es interesante observar en la figura 6-13 el aspecto casi
rectilíneo de la función inversa de la gráfica anterior.
10 15 20 25 30 35 40 45
Figura 6-13
En la figura 6-14 se muestran, en el plano (4nR, %), las tra
yectorias Gnin y Cmax para un valor 4nR-
18G
CAPITULO 6. P R O C E S O D E RESTABLECIMIENTO D E LA VELOCIDAD DEL MOTOR FRENTE A
UN ESCALÓN DE PAR DE CARGA
-2,0-L
Figura 6-14
En la figura 6-15 se presenta u n ejemplo de restablecimien
to de la velocidad frente a u n escalón del par de carga con
rr^ = ±0,8; me = 0,2. Se tiene 4 R = 0,6325; 4 R = 0,3162, x^
- xo = 0,218539, C = 3,404098 y Ci positiva.
181
CAPITULO 6. PROCESO DE RESTABLECIMIENTO DE LA VELOCIDAD DEL MOTOR FRENTE A
UN ESCALÓN DE PAR DE CARGA
1
0 , 9 -
m°--0 , 7 -0 , 6 -
0 , 5 -0 , 4 -
0 , 3 -
m¿ -0 , 1 - - 1
,
0 ,5 -
0 ,4 -
"-mR-
0,01-, 0 0 5 -
0 -
,
1
, 1 ' t - 1
T°
- ^
^^^-^^. . ,__^mR
Aw=aj-w°
.05 .10
a)
m^
ÍT
1 1 ' '^.
L5 ,20 T 1
0,4-0 , 3 -
m¿ -0 , 1 -
- 0 , 1 -
- 0 , 2 -
- 0 , 3 -
- 0 , 4 -
- 0 , 5 -
- 0 , 6 -
-0,7-
1 ,
'faR-
0 , 5 -
0 , 4 -
'mR-
0 , 0 1 -
, 0 0 5 -
0 -
i 1
1 • 1
- 1
u
, 1 ' 1 - 1
T°
• ^
^^-^. . .^^'taR
Aw=w-ü°
,05 ,10
b)
m j .
iT
1 1 l'^.
15 ,20 T 1
Figura 6-15
182
CAPITULO 6. PROCESO DE RESTABLECIMIENTO DE LA VELOCIDAD DEL MOTOR FRENTE A
UN ESCALÓN DE PAR DE CARGA
6.5 Trayectorias óptimas para el restablecimiento
de la velocidad con el par de carga TTÍC < - | m¿ |
Al ser I me | > | TUQ | tenemos 4nR ^ mR J como me es negati
vo, Ci también lo es.
De la misma forma que la indicada en el apartado 6.3, se
cumple (^R) + ix^] < 1.
En la figura 6-16 se muestra, en el plano {imR, x)? ^^ región
donde se encuentran las trayectorias óptimas que resuelven
este tipo de procesos. Dicha región está limitada por:
1. O < imR A/1 /2 , pues, por la condición de corriente
mínima, se tiene ij^^ < •\/max(|77Tc|)/2
2. (4R)' + (x f ^ 1 -
3. Rama correspondiente a la trayectoria dada por C
0,5 y X = X+, pues £ R < ¿ R .
183
CAPITULO 6. PROCESO DE RESTABLECIMIENTO DE LA VELOCIDAD DEL MOTOR FRENTE A
UN ESCALÓN DE PAR DE CARGA
Figura 6-16
Dentro de esta región, cada pareja (| m^ |, me) fija una úni
ca trayectoria óptima que resuelve un proceso óptimo de
aplicación de la carga.
Fijado el par de carga me (y por tanto 4QR), y para todo
I rrjc I tal que me < -1 me |, el conjunto de trayectorias ópti
mas, que resuelven un proceso óptimo de aplicación de la
carga, está acotado entre las trayectorias pertenecientes a
184
CAPITULO 6. PROCESO DE RESTABLECIMIENTO DE LA VELOCIDAD DEL MOTOR FRENTE A
UN ESCALÓN DE PAR DE CARGA
ciertas constantes C mínima y máxima, Gnm y Gnax
respectivamente.
Gnin y Gnax se obtienen de forma idéntica a la indicada en
el apartado 6.3.
En la figura 6-17 se muestran, en el plano (¿mR, %), las
trayectorias Cmin y Gmax para u n valor 4nR < 1 / v2 •
^ áín.
0,5
-0,5
Figura 6-17
En la figura 6-18 se presenta u n ejemplo de restablecimien
to de la velocidad frente a u n escalón del par de carga con
1 8 5
CAPITULO 6. PROCESO DE RESTABLECIMIENTO DE LA VELOCIDAD DEL MOTOR FRENTE A
UN ESCALÓN DE PAR DE CARGA
rr^ = ±0,1; me = -0 ,3 . Se tiene ¿ R = 0,2236; 4 R = 0,3873, x
TO = 0,288594, C = 0,475346 y d negativa.
O ,05 ,10 ,15 ,20 ,25 ,30 ,05 ,10 ,15 ,20 ,25 ,30
Figura 6-18
186
CAPITULO 6. P R O C E S O D E RESTABLECIMIENTO D E LA VELOCIDAD D E L MOTOR FRENTE A
UN ESCALÓN DE PAR DE CARGA
6.6 Trayectorias óptimas para el restablecimiento
de la velocidad con el par de carga O > /ric > -1 me |
Al ser I me I < | me | tenemos ¿mR < W» Y como me es negati
vo, Ci también lo es.
De la misma forma que la indicada en el apartado 6.4, se
cumple (4R) + (x ) > 1.
En la ñgura 6-19 se muestra, en el plano (4nR, %], la re
gión donde se encuentran las trayectorias óptimas que re
suelven este tipo de procesos. Dicha región está limitada
por:
, pues, por la condición de corriente míni
ma, se tiene 4nR ^ "s/maxd mc|)/2 .
Dentro de esta región, cada pareja (| m¿ | , me) Aja u n a úni
ca trayectoria óptima que resuelve u n proceso óptimo de
aplicación de la carga.
187
CAPITULO 6 . P R O C E S O D E RESTABLECIMIENTO D E LA VELOCIDAD DEL MOTOR FRENTE A
UN ESCALÓN DE PAR DE CARGA
'¿n,R=l/\I^
Figura 6-19
Fijado el par de carga me (y por tanto i^, y para todo ] rUc |
tal que O > me > -1 "TC |, el conjunto de trayectorias óptimas,
que resuelven un proceso óptimo de aplicación de la carga,
está acotado entre las trayectorias pertenecientes a ciertas
constantes C mínima y máxima, Gnin y Gnax respectivamen
te.
Gnin y Cmax sc obtienen de forma idéntica a la indicada en
el apartado 6.4.
188
CAPITULO 6. P R O C E S O D E RESTABLECIMIENTO D E LA VELOCIDAD D E L MOTOR FRENTE A
UN ESCALÓN DE PAR DE CARGA
En la figura 6-20 se muestran, en el plano [imR, %), las
trayectorias Cmin y Gnax para un valor 4nR-
Figura 6-20
En la figura 6-21 se presenta un ejemplo de restablecimien
to de la velocidad firente a un escalón del par de carga con
189
CAPITULO 6 . P R O C E S O D E RESTABLECIMIENTO D E LA VELOCIDAD D E L MOTOR FRENTE A
UN ESCALÓN DE PAR DE CARGA
n^ = ±0,8; me = -0,2. Se tiene w = 0,6325; w = 0,3162, xi
- TO = 0,218539, C = 3,404098 y Ci negativa.
Figura 6-21
190
CAPITULO 6. P R O C E S O D E RESTABLECIMIENTO D E LA VELOCIDAD DEL MOTOR FRENTE A
UN ESCALÓN DE PAR DE CARGA
6.7 Tabulación de las trayectorias óptimas
Para poder llevar a cabo u n proceso óptimo de aplicación de
la carga, es necesario conocer previamente la trayectoria
óptiraa adecuada. Una forma de obtener la mejor trayecto
ria es por interpolación del parámetro C. En la tabla 6-1 se
mues t ran los valores de C y tiempo de duración del proceso
según diferentes combinaciones de TTIQ y me. La columna de
la izquierda indica el valor del par de carga inicial m^. La
fila superior indica el valor del par de carga me. En la inter
sección de las filas con las columnas hay dos valores, el va
lor si tuado en la parte superior corresponde al valor de C
que resuelve el proceso óptimo entre TTIQ y me, mientras que
el valor situado en la parte inferior es el tiempo del proceso
transitorio óptimo. Los pares de carga van de 0,1 en 0,1
unidades. Por ejemplo, para u n par de carga inicial m¿ =
0,1 , y u n par de carga final me = 0,5, la trayectoria óptima
es C = 0,443501 y el tiempo del estado transitorio es x - x°
= 0,718048.
191
CAPITULO 6 . P R O C E S O D E RESTABLECIMIENTO D E LA VELOCIDAD DEL MOTOR FRENTE A
UN ESCALÓN DE PAR DE CARGA
En el caso particular de par de carga me = O se pueden
obtener las trayectorias óptimas de forma analítica. Hacien
do ^q = O e isd = -1 se obliga a que 4nR llegue a cero en tiem
po mínimo. El p£ir del motor se mantiene nulo y, por consi
guiente, no hay variación de velocidad. La solución analítica
de la ecuación (2-14) queda, pa ra este caso,
W = ( l + ímR) exp(-t)- 1, (6-7)
siendo x< = O y ¿ R = ^ | mj' | / 2 .
La evolución de 4nR en el tiempo, de acuerdo con (6-7), se
presenta en la figura 6-22.
1,0-
1 / ^ -
0,4-
0 , 2 -
- 0 . 2 -
-0 ,4-
- V E
- i ^ - 1
0 ,2 r ,6 ,8
T
1,0
Figura 6-22
192
CAPITULO 6. PROCESO DE RESTABLECIMIENTO DE LA VELOCIDAD DEL MOTOR FRENTE A
UN ESCALÓN DE PAR DE CARGA
El instante x , correspondiente a imR "= 0> se obtiene de la
expresión (6-7), es decir, -ci = InfímR + 1).
193
Tabla 6-1
mc-^ 0-
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
0,00
Ver texto
0,201803
Ver texto
0,274770
Ver texto
0,327358
Ver texto
0,369640
Ver texto
0,405465
Ver texto
0,436785
Ver texto
0,464745
Ver texto
0,490085
Ver texto
0,513315
Ver texto
0,534800
0,10
0,321046
0,276543
1,861526
0,073965
2,484597
0,126836
3,101882
0,169205
3,718524
0,205044
4,336836
0,236347
4,958005
0,264277
5,582677
0,289581
6,211211
0,312772
6,843785
0,334219
0,20
0,338477
0,462295
0.552967
0,140584
1,660304
0,054238
2,012907
0,097307
2,361952
0,133541
2,709478
0,165078
3,056629
0,193149
3,404098
0,218539
3,752328
0.241778
4,101569
0,263249
0,30
0,366111
0,674426
0,475346
0,288594
0,565164
0,128616
1,615371
0,044371
1,869593
0,081411
2,121773
0,113477
2,372628
0,141911
2,622902
0,167553
2,873026
0,190974
3,123298
0,212575
0,40
0,400128
0,939499
0,446040
0,470472
0,500805
0,278503
0,553185
0,130190
1,605653
0,038247
1,806816
0,071140
2,007482
0,100157
2,207200
0,126227
2,406371
0,149966
2,605281
0,171810
0,50
0,435950
1,288795
0,443501
0,718048
0,471204
0,476301
0,504437
0,294626
0,537234
0,140547
1,604127
0,034024
1,773599
0,063858
1,941948
0,090535
2,109546
0,114737
2,276635
0,136939
0,60
0,457808
1,778744
0,458336
1,082298
0.465448
0,768758
0,481392
0,531181
0,501700
0,334694
0,522577
0,161331
1,606259
0,030911
1,753143
0,058393
1,899106
0,083213
2,044451
0,105899
0,70
0,489822
2,542406
0,480146
1,663473
0,477020
1,250547
0,479061
0 ,923883
0 ,486523
0,650062
0,498122
0,413166
0,510978
0,200171
1,608046
0,028518
1,738267
0,054132
1,867719
0,077442
0,80
0,498966
4,001079
0,496132
2,752543
0,493483
2,168728
0,491046
1,694928
0,489897
1,277484
0,491434
0,912094
0,496232
0,581887
0,503142
0,282110
1,607999
0,026623
1,725401
0,050721
0,90
0,499999
8,351720
0,499972
5,897412
0,499891
4,773492
0,499685
3,874994
0,499258
3,093121
0,498540
2,383824
0,497715
1,724700
0,497643
1,107598
0,499484
0,535148
1,605356
0,025091
1,00
0,5
00
0,5
00
0,5
00
0,5
00
0,5
00
0,5
00
0,5
00
0,5
oo
0,5
00
0,5
co
7. SISTEMA DE CONTROL
7.1 Introducción
En los capítulos anteriores se han desarrollado dos proce
sos que permiten modificar de forma óptima el estado de
funcionamiento del motor: en uno de ellos el accionamiento
acelera y desacelera, en el menor tierapo posible, desde u n
estado de régimen permanente de corriente mínima has ta
otro estado de régiraen permanente de corriente mínima; en
el otro proceso el accionamiento restablece, también en el
menor tiempo posible, la velocidad y el estado de régimen
permanente de corriente mínima frente a u n a variación del
par de carga.
En ambos procesos las variables de estado del motor si
guen u n a s trayectorias óptimas prefijadas. Estas trayecto
rias se obtienen con ayuda de la Teoría del Control Óptimo
de Pontriaguin (ver capítulo 3).
En el presente capítulo se propone u n sistema de control
de velocidad de accionamientos que realiza los dos procesos
óptimos mencionados anteriormente y mantiene el motor
girando en régimen permanente de corriente mínima.
195
CAPITULO 7. SISTEMA DE CONTROL
7.2 Modelo del motor asincrono de jaula de ardilla
El sistema de control que se propone controla el raotor tan
to en el régiraen transitorio como en el régimen permanente .
Para ello, h a sido necesario emplear u n modelo matemático
del motor que contemple el funcionamiento del motor en
ambos regímenes. Dicho modelo se basa en la teoría del
campo orientado y se obtiene a partir de las ecuaciones
electromagnéticas y mecánicas del motor:
• Ecuaciones del estator
dJgd {/gd Tg Ts o - ^ + Isd = ^ ^ - (1-Cr) -jT (7sd - ImRl + « ^S í^mR -feq, (7-1)
dJsq USQ l's^ ¿ ¿ "*" - Sq = O - (1-cy) Ts í2niR JmR " c? ^S ^mR kd- (7-2)
• Ecuaciones del rotor
^R ¿¿ - ^ d - ínR> (7-3)
d p /sq ¿ f = ^elec "*" TRI R^ ^ ' "^ + f22- (7-4)
• Ecuación de la velocidad
196
CAPITULO 7. SISTEMA DE CONTROL
dí l r j^r-M-^o> (7-5)
siendo
M=3Ls( l - a ) /mR/sq ,
^^mec P ^^eleo
7 . 3 M o t o r a s i n c r o n o d e j a u l a d e a r d i l l a a l i m e n t a d o
p o r u n a f u e n t e d e c o r r i e n t e
Si se alimenta u n motor asincrono de jaula de ardilla con
u n a fuente de corriente, es posible realizar el sistema de
control sin tener en cuenta las ecuaciones del estator (7-1) y
(7-2); ello simplifica notablemente el diseño de dicho siste
ma.
Como fuente de corriente se propone u n inversor de ten
sión trifásico realimentado por las corrientes del estator. En
la figura 7-1 se presenta u n esquema del inversor.
197
CAPITULO 7. SISTEMA DE CONTROL
Figura 7-1
El inversor está formado por un puente de semiconductores
que supondremos ideales. Para funcionar como fuente de
corriente trifásica, el inversor de tensión hace conmutar los
transistores de forma que la diferencia entre la corriente de
cada fase y la correspondiente de referencia esté dentro de
la zona de histéresis fijada por sendos comparadores.
198
CAPÍTULO 7. SISTEMA DE CONTROL
7.4 Es t ra teg ia del s i s t e m a de control
El sistema de control de velocidad, que se presenta, emplea
diferentes estrategias dependiendo de la acción de control
que se vaya a realizar, así tenemos una estrategia de control
para la aceleración y desaceleración óptimas, otra para la
aplicación de la carga y otra para mantener el régimen per
manente de corriente mínima.
Para cada estrategia, el sistema de control adopta una
estructura diferente.
7.4.1 Estructura del sistema de control para la
ace le rac ión / desace le rac ión óp t ima
El sistema de control realiza los procesos de acelera
ción/desaceleración óptima que se han visto en los capítu
los cuatro y cinco. El sistema de control identifica las tra
yectorias óptimas conforme a las condiciones iniciales y fi
nales del accionamiento, genera dichas trayectorias y ga
rantiza el seguimiento de las mismas por las correspondien
tes variables reales del motor. En la figura 7-2 se presenta
el diagrama de bloques del sistema de control.
199
CAPITULO 7. SISTEMA DE CONTROL
Figura 7-2
200
CAPITULO 7. SISTEMA DE CONTROL
• Cálculo de Cy Ci.
El bloque Interpaf, que se muestra en la figura 7-2, se en-rcf rcf
carga de calcular C y Ci. Las entradas son me, COQ Y < I •
Interpaf emplea las tablas mostradas en los capítulos 4 y 5
y, por interpolación lineal, obtiene C y Ci.
• Valores iniciales de x e Í^R
Suponiendo que el motor se encuentra inicialmente traba
jando en régimen de corriente mínima, tenemos según (5-1)
y (5-4):
•o ^ / "Te , „ , ,
o 1/0 \ 4 /O \ 2 2
lO = signo(Ci) ^ ;.o ^2 ' (7-7) 1 - (kaR)
• Resolución de la ecuación diferencial auxiliar
Para que las variables de estado sigan una trayectoria óp
tima, es necesario resolver en tiempo real la ecuación dife
rencial (3-24)
201
CAPÍTULO 7 . SISTEMA DE C O N T R O L
fí=X-ísc (7-8)
• Obtención de 1Q¿ e isq
Durante el régimen transitorio óptimo las corrientes ^^ e /gq
adquieren los valores dados por las fórmulas (3-22) y (3-23);
por ello, las corrientes de referencia igd e 4q toman dichos
valores, estos son:
xef isd = signo(Ci) i ^- 2
reí . , , mR Igq = Slgno(Ci) i ^ ^
• Final del régimen transitorio óptimo
Cuando la diferencia entre la velocidad deseada y la veloci
dad del motor es menor que un cierto valor, el sistema de
control cambia de estrategia, pasando a mantener el régi
men permanente de corriente mínima (ver apartado 7.4.3).
202
CAPÍTULO 7. SISTEMA DE CONTROL
7.4.2 Estructura del sistema de control para la
aplicación de la carga
El sistema de control realiza los procesos de aplicación de la
carga que se han estudiado en el capítulo seis.
El sistema de control identifica las trayectorias óptimas
conforme a los pares de carga inicial y final, las genera y
garantiza el seguimiento de las mismas por las correspon
dientes variables reales del motor. En la figura 7-3 se pre
senta el diagrama de bloques del sistema de control pro
puesto.
Todos los bloques son idénticos a los de la figura 7-2, ex
cepto el bloque Interpac. Las entradas a dicho bloque son m^
y me. Interpaf emplea las tablas m^ostradas en el capítulo 6
y, por interpolación lineal, obtiene C y Q .
203
CAPITULO 7. SISTEMA DE CONTROL
..f ^ t j
s Qn
N £
+ X
X
o o b£i Ü3
+
Figura 7-3
204
CAPITULO 7 . S ISTEMA D E CONTROL
7.4.3 Estructura del sistema de control para el
mantenimiento del régimen permanente de corrien
te mínima
Una posible estrategia que asegura el régimen permanente
de corriente mínima es isd = | ¿sq I • El siguiente esquema de
control de velocidad asegura ¿sd = \hq\ ^ igualar las co
rrientes de referencia, es decir 4d = I 4q I •
Coordenadas del e s ta to r
Conversión a-— b
Var. Var. p.u., dim.
Figura 7-4
205
CAPÍTULO 7. SISTEMA DE CONTROL
7.5 P rog rama s i m u l a d o r del s i s t e m a de cont ro l óp
t imo
El control de velocidad propuesto ha sido comprobado con
un programa simulador.
El programa simulador incluye: los sistemas de control
propuestos en el apartado 7.4, el m.odelo del motor presen
tado en el apartado 7.2 y el sistema de alimentación pro
puesto en el apartado 7.3.
El sistema de control realiza la acelera
ción/desaceleración óptima, la reacción óptimia a la aplica
ción de la carga y el mantenimiento del régiraen permanen
te de corriente mínima.
El motor es alimentado por un inversor de tensión trifási
co realim^entado por la corriente del motor (ver apartado
7.3).
El paso de integración, empleado por el programa simu
lador en la resolución de los sistemas inversor y motor, es
lo suficientemente pequeño para considerar que éstos son
sistemas continuos. Por otro lado, el simulador trata el sis
tema de control como un sistem.a discreto, es decir, tiene un
206
CAPITULO 7. SISTEMA DE CONTROL
cierto tiempo de respuesta. De esta forma se simula el com
portamiento real de un accionamiento controlado por este
sistema de control.
El programa simulador considera que los parámetros
electromagnéticos del motor son constantes (resistencias,
inductancias, etc.), así por ejemplo, no se tiene en cuenta
las derivas de la constante de tiempo del rotor Tr con la
temperatura.
El programa simulador considera que el mom.ento de
inercia del conjunto motor - carga es constante.
7.5.1 Resolución de las ecuac iones del motor as in
crono de j a u l a de ardi l la
El simulador calcula los estados del motor resolviendo las
ecuaciones diferenciales (7-1) a (7-5). Para ello emplea el
algoritmo Runge - Kutta con un paso de integración lo sufi
cientemente pequeño que permita considerar el motor
simulado como un sistema continuo.
Las ecuaciones del motor (7-1) a (7-5) se presentan de la
forma y' = f(x, y, t) es decir:
207
CAPÍTULO 7. SISTEMA DE CONTROL
~ ¿ ¡ " = Y^ (" Sd + Rg - (1-Cf) 'p^ (kd - -fmR) +<y Ts Q^R kqí
d%a__I_,, , í ^ ¿17 = " ^ (-4q "*• " R ^ - (l-'^') ^S í^mR ínR " Cf Ts HjnR ká)
d4iR i ,-. d i "TR^^sd-
áE „ ^ , .
• ITOR)
/se, P '"'mee -TU r
^R -ind i - Í R imR
d i = -J I 3 P -t« (I-CJ) IniR -feq - Me
Las variables de entrada a este sistema de ecuaciones son
Usd,UsqyMc.
7,5.2 Modelo para el inversor de tensión realimen-
tado en corriente del estator
Tal y como se h a dicho, el inversor está formado por u n a
serie de transistores conectados según se indica en la figura
7-2 y que funcionan en corte y conducción. Los transistores
se consideran ideales, es decir, u n a s llaves de paso de co
rriente abiertas o cerradas.
208
CAPITULO 7. SISTEMA DE CONTROL
La ley de conmutación de los transistores es de forma
que la diferencia entre la corriente de fase y la corriente de
referencia esté dentro de u n a zona de histéresis, es decir,
•ceí histr ^ ^ ^ feí ^ histr
Para ello, se compara la corriente de cada fase con la co
rriente de referencia correspondiente. Si la diferencia su
pera la mitad del valor de histéresis, entonces se provoca
u n cambio de estado en los transistores que controlan esa
fase.
jref
Así por ejemplo, cuando ÍSR - histr/2 > ISR, el transistor Ti
pasa al estado de conducción (ver figuras 7-5 y 7-6) y el T4
al estado de circuito abierto, mientras que si j -ef
ISR + histr/2 < ISR, T4 conduce y Tj corta la corriente.
La figura 7-7 mues t ra el diagrama de flujo del algoritmo
que rige la conmutación de los transistores.
Con este tipo de fuente de corriente, la corriente de esta
tor no coincidirá exactamente con la comente de referencia.
209
CAPITULO 7. SISTEMA DE CONTROL
Figura 7-5
1
1
h-^
é
1
A l
1
t'
1
1
1
í^
^j^^rref, histr
/ „ , rref
y _ J ^ r>'ef_ h is t r
1 x=l, 3. 3 t
t'
Figura 7-6
210
CAPITULO 7. SISTEMA DE CONTROL
t^ = í '< las
= mínimo valor t^<tl tres
canza el
en el que corrientes
de í, tal que cualquiera de de esta
valor is^+histr/2 tor al— igp, ígge íg^ desde í ' a í^
Figura 7-7
211
CAPÍTULO 7. SISTEMA DE CONTROL
Dependiendo de los transistores que conducen y teniendo
en cuenta que en todo instante se cumple USR+ Í7SS+ Í ST = 0>
se tiene que las tensiones fase - neutro del motor son:
Transistores
conduciendo
[Ti; Tsi T2]
[T4; n; T2]
[T4; n; Ts]
[T4; Te, Ts]
[TúTe;Ts]
[Tü Te, T2]
[Ti; Ts, Ts]
IT4; Te; T2]
UsR
i-^ -
1-
^ -
h h
0
0
l ss
é-h
1-
^ -
í--H
0
0
Usr
í--i-
i-
ir h í^
0
0
212
CAPÍTULO 7. SISTEMA DE CONTROL
7.5.3 P rog rama s imu lado r p a r a la aceleración y
desace lerac ión óp t imas
El programa simulador ejecuta el control representado por
el diagrama de bloques de la figura 7-2.
El algoritmo de control funciona en bucle. Primero lee las
variables de entrada, después procesa la información y fi
nalmente establece los nuevos valores calculados en las va
riables de salida.
El simulador ejecuta las siguientes tareas durante la ace
leración/desaceleración óptima:
1. Identifica la trayectoria óptima adecuada. Obtiene C y
Ci en función de a)°, © y del par de carga me. Esta ta
rea sólo se efectúa una vez durante un mismo proceso
y se encarga al bloque Interpaf.
2. Obtiene el valor inicial de la variable auxiliar %, dado
por la ecuación (7-7).
3. A partir de aquí se establece un bucle, se calcula el
nuevo valor de la variable % a través de la ecuación di-
213
CAPÍTULO 7. SISTEMA DE CONTROL
ferencial (7-8). Con los valores de x> ^ R y Q se calcula
xef jref
La variable x se calcula en tiempo real a partir de la
ecuación (7-8) resultando
t X = X° + / (x - ¿sqjdt.
o
4. Las corrientes 4d ^ 4q se convierten, con las transfor-
maciones adecuadas, en %R, ^ S ^ %T- Estas son las en
tradas al inversor.
5. Según el valor de las corrientes de referencia 4R> 4 S e j-gf
ZsT y de las de estator ¿SR, iss e ÍST, el inversor seleccio
n a las tensiones de alimentación al motor.
6. Esta situación se mantiene has t a que, o bien cambia
el estado del inversor (al menos u n a de las tres co
rrientes se "sale" de la zona de histéresis), o bien el
sistema de control haya calculado u n nuevo valor de
las corrientes de referencia. En el primer caso se sal ta
al punto 5, en el segundo al punto 3.
214
CAPITULO 7 . SISTEMA D E C O N T R O L
7.5.4 P rograma s imu lador p a r a la apl icación de la
carga
El programa simulador para la aplicación de la carga es
análogo al empleado para la aceleración/desaceleración óp
tima. En este caso ejecuta el control mostrado en el dia
grama de bloques de la figura 7-3.
7.5.5 Programa simulador para el mantenimiento
del régimen permanente de corriente mínima
El programa simulador ejecuta, para este caso, el diagrama
de bloques de la figura 7-4.
El regulador de velocidad es del tipo Pl, siendo las constan
tes proporcional e integral KR y Ki respectivamente.
7.6 Resu l t ados
En este apartado se muestran algunas simulaciones reali
zadas con el simulador del sistema de control.
215
CAPÍTULO 7. SISTEMA DE CONTROL
7.6.1 P a r á m e t r o s del con jun to moto r - ca rga
Us = 380 V Tensión asignada
/an = 11,8 A Intensidad asignada
Pn = 5.500 W Potencia asignada
rin = 1400 r.p.m. Velocidad asignada
fn = 50 Hz Frecuencia de sincronismo
p = 2 Número de pares de po
los
i?s = 0,77 Q Resistencia fase - neutro
del estator
Xis = 2-7ff-Los = 1,425 O Reactancia de dispersión
del estator
i?R = 0,752 Q Resistencia fase - neutro
del rotor
Xir = 2-ii-í-Lar = 1,425 Q Reactancia por fase de
dispersión del rotor
216
CAPITULO 7. SISTEMA DE CONTROL
Xm = 2-K-í-L^ = 1,425 Q Reactancia m u t u a
J = 0,04 Kg-m2 Momento de inercia del
conjunto motor - carga
^mec = 146,6077 r a d / s Velocidad mecánica
asignada
¡Qeiec = P í mec = 293.2153 r a d / s Velocidad eléctrica asig
nada
fío = 2-7f fo = 314,1593 r a d / s Velocidad de sincronis
mo
Mn = Pn/í^mec = 37,5151 N'm Par asignado
Xs = Xis + Xm = 39,1250 Q Reactancia por fase pro
pia del estator
Xr = Xir + Xm = 39,1250 ü Rcactancia por fase pro
pia del rotor -
cfs = Xis / Xm = 0,0378 Coeficiente de dispersión
del estator
c?r = Xii- / Xm = 0,0378 Coeficiente de dispersión
del rotor
217
CAPITULO 7. SISTEMA DE CONTROL
CT = 1 - l / ( l+as) / ( l+ (Jr)= 0,0715 Coeficiente de dispersión
total
Ls = 0,1245 H Inductancia fase - neu
tro del estator
Lr = 0,1245 H Inductancia fase - neu
tro del rotor
Ljn = 0,1245 H Inductancia m u t u a
Tr = Lr/Rj- = 0,1656 s Constante de tiempo del
rotor
Ts = Lg/Rs = 0,1617 s Constante de tiempo del
estator
k = (2/3)-Lni/(l+ CTr) = 0,0771
Tensión equivalente de vacío de la fuente continua del in
versor: 380/^ /3 .
Los transistores que forman el puente se consideran
ideales.
VALORES BASE:
Los valores base elegidos son:
218
CAPÍTULO 7. SISTEMA DE CONTROL
tbase ^ r
4ase = 31,2 A
í mec_base = 155,382 rad/s
7.6.2 Aceleración y desaceleración óptimas
7.6.2.1 Aceleración en vacío
En este caso el motor acelera desde cero hasta las 1000
r.p.m. siendo el par de carga nulo.
Tal y como se ha visto en el capítulo cuatro, hay una úni
ca trayectoria óptima con la que puede realizarse este pro
ceso. Ésta estaría dada por C = 0,495; Q = 1; ij ^ = 0; Í2° =
0 y x ° = 0,495.
Ahora bien, al estar el motor alimentado por un inversor,
las corrientes no seguirán exactamente la trayectoria ópti
ma adecuada, sino que se encontrarán dentro de una zona
de histéresis alrededor de la misma. Por ello, es presumible
que con este valor de C, el motor no alcance la velocidad
deseada y no se restablezca la corriente magnetizante del
rotor. El simulador ha perraitido comprobar que efectiva-
219
CAPÍTULO 7. SISTEMA DE CONTROL
mente no se consigue restablecer completamente la veloci
dad del motor. Para paliar esta circunstancia se elige u n a
trayectoria óptima con u n valor de C algo mayor, resultando
C= 0,499; Q = 1; w = O; QO = o y xo = O, 499.
La relación entre el valor de C teórico y el que obtiene la
respuesta óptima más aproximada depende, entre otros fac
tores, del ancho de la zona de histéresis, del pa r de carga,
del incremento de velocidad deseado y del tiempo de res
puesta del sistema de control. Por ello, en el algoritm:o de
simulación, el coeficiente C obtenido de la tabla se aumenta
ligeramente.
Las figuras 7-8 a 7-13 mues t ran respectivamente la co
rriente magnetizante del rotor, las corrientes de estator igd e
¿sq, las corrientes de estator, ¿sRr %s e isT> la velocidad del
rotor, -el par del motor y la posición del rotor; todas en fun
ción del tiempo.
220
CAPITULO 7. SISTEMA DE CONTROL
20-
15-
10-
5-
n-
^^mRÍA]
/ / /
/ / / /
1
i 1 1 1
\
\ \
\ \
-1 1 \ i—^==H í[s]
H h^ O 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 O,.
Figura 7-8
0,9 1
Figura 7-9
2 2 1
CAPITULO 7. SISTEMA DE CONTROL
'^SRW-isstAJ^STÍAJ
O 0,1 0,8 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Figura 7-10
1000-f^mec[l"-P-I"-]
900
O 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Figura 7-11
222
CAPÍTULO 7. SISTEMA DE CONTROL
O 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 O,
Figura 7-12
, 120-
100-
8 0 -
6 0 -
4 0 -
2 0 -
n-
p[rad]
- 1 ^1 1 1 1
X /
í[s] — 1 1 \ 1 V*-
O 0.1 0,2 0,3 0,4 0,5 0.6 0.7 0.8 0,9 1
Figura 7-13
223
CAPÍTULO 7. SISTEMA DE CONTROL
7.6.2.2 Desaceleración en vacío
En este caso el motor desacelera desde cero hasta -1000
r.p.m. siendo el par de carga nulo.
La trayectoria óptima teórica está dada por C = 0,495; Q
= l ; W = 0;no=:OyxO = 0,495.
De forma análoga a lo comentado en el apartado 7.6.2.1,
es necesario aumentar C para obtener una respuesta ópti
ma adecuada, resultando C = 0,499; Q = 1; i^^ = O; QP = 0
y X« = 0,499.
Las figuras 7-14 a 7-19 muestran respectivamente la co
rriente magnetizante del rotor, las corrientes de estator isd e
^q, las corrientes de estator, ÍQR, iss e ÍST, la velocidad del
rotor, el par del motor y la posición del rotor; todas en fun
ción del tiempo.
224
CAPÍTULO 7. SISTEMA DE CONTROL
20
1 5 -
1 0 -
-¿mRÍA]
H 1 1 1 h H h í [ s ]
o 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Figura 7-14
Figura 7-15
225
CAPITULO 7. SISTEMA DE CONTROL
o 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
F i g u r a 7 - 1 6
O 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Figura 7-17
226
CAPITULO 7. SISTEMA DE CONTROL
O 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 O 0,7 0,8 0,9 1 \~í—I 1 h
Figura 7-18
o 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
•100
- 2 0 -
- 4 0 -
- 6 0
- 8 0
Figura 7-19
227
CAPITULO 7. SISTEMA DB CONTROL
7.6.2.3 Aceleración con par de carga positivo
El proceso de aceleración simulado consiste en acelerar el
motor desde cero has ta las 250 r.p.m. siendo el par de car
ga de 20 N-m.
La trayectoria óptima teórica está dada por C = 0,491; Ci
= 1; 4 R = 16,110; Qo = Q; ^O = o,639.
De forma análoga a lo comentado en el apartado 7.6.2.1,
es necesario aumenta r C para obtener u n a respuesta ópti-
raa adecuada, resultando C = 0,494; Ci = 1; I^R = 16,110;
QO = o y x^ = 0,650.
Las figuras 7-20 a 7-25 mues t ran respectivamente la co
rriente magnetizante del rotor, las corrientes de estator isá e
isq, las corrientes de estator, ¿SR, ¿SS e %rj la velocidad del
rotor, el par del motor y la posición del rotor; todas en fun
ción del tiempo.
228
CAPITULO 7. SISTEMA DE CONTROL
20-
19-
18-
17-
I f i -
^ímRÍA]
. / / / /
• /
• /
/ - / /
/ 1
1 1
\
\ \ \ \ 1
\
\ 1 ^ í [ s ] —1 1—>-
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
Figura 7-20
0,1 0,2 0,3 0,4
Figura 7-21
229
CAPITULO 7. SISTEMA DE CONTROL
0,1 0,2 0,3 0,4
Figura 7-22
0,5 0,6
250-
200-
150-
100-
5 0 -
0-
'^mec[r-P-m.]
-=¿:_ 1 1 1 í[s]
— 1 1 1—*-0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
Figura 7-23
230
CAPITULO 7. SISTEMA DE CONTROL
0.1 0,2 0,3 0,4 0,5 0.6
Figura 7-24
231
CAPITULO 7. SISTEMA DE CONTROL
7.6.2.4 Aceleración con par de carga negativo
En este caso el motor acelera desde cero hasta las 250
r.p.ra. siendo el par de carga de -20 N-m.
La trayectoria óptima teórica está dada por C = 0,455;
Ci = 1; w =16,110; fi» =0 y x^ = 0,465.
La trayectoria óptima aplicada está dada por C = 0,457;
Ci = 1; ¿R = 16,110; no =0 y xo = 0,478.
Las figuras 7-26 a 7-31 muestran respectivamente la co
rriente magnetizante del rotor, las corrientes de estator ¿sd e
¿sq, las corrientes de estator, ¿SR, ¿SS C ÍST, la velocidad del
rotor, el par del motor y la posición del rotor; todas en fun
ción del tiempo.
232
CAPÍTULO 7 . SISTEMA D E CONTROL
O 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14
Figura 7-26
40
30-
30-
10
O
"¿SdÍA] -¿SnÍA]
- i — h
w p l -H h
í[s]
-10- -
-20
-30
-40
MiÉiyiLiki «iili
_l 1_ H h-0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14
Figura 7-27
233
CAPÍTULO 7. SISTEMA DE CONTROL
30
-30
. [A] iss [A] -¿ST [A]
**f»fíf||¡. |i#| V''"1kj|ii|L
wMm H h
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14
Figura 7-28
¡
250-
200-
150-
100-
50-
0-
^mec [r.p.m.]
— 1 1 1 1 —1 1 1 1—-O 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14
Figura 7-29
234
CAPÍTULO 7. SISTEMA DE CONTROL
50
40
30
20
10 +
O
m [N*m]
S |!f«fPÍ*Í + H h
í[s]
-10
-20 +
-30
-40
-50-^
0,03 0,04 0,06 0,08 0,12, ,0,14
¡fRfilfÍ|f
Figura 7-30
fp[rad]
O 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14
Figura 7-31
235
CAPÍTULO 7. SISTEMA DE CONTROL
7 . 6 . 3 A p l i c a c i ó n d e l a c a r g a
7.6.3.1 Aplicación de la carga. Aumento del par de carga
En este caso el motor, que se encuentra girando en régimen
permanente de corriente mínima con u n par de carga de 5
N-ra, recibe u n par de carga de 25 N-m.
La trayectoria óptima está dada por C = 0,473; Ci = 1; Í^R
= 8,055; no =0 y 50 = 0,561.
Las figuras 7-32 a 7-37 mues t ran respectivam.ente la co
rriente magnetizante del rotor, las corrientes de estator ¿sd e
isq, las corrientes de estator, ¿SR, ¿SS e ¿ST, la velocidad del
rotor, el par del motor y la posición del rotor; todas en fun
ción del tiempo.
236
CAPÍTULO 7. SISTEMA DE CONTROL
80--
18
16
14
12
10
';S^w
- /
- / /
1 — 1 — 1 — \ — \
^ _ _ , — — - — ~
í[s] 1 1 \ 1—-
o 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45
Figura 7-32
o 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45
Figura 7-33
237
CAPITULO 7 . S I S T E M A D E C O N T R O L
30-- ÍSR[A] Í S S W is i fA]
O 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0.30 0,35 0,40 0,45
Figura 7-34
o 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45
A'Vec[''-P-m.]
Figura 7-35
238
CAPITULO 7. SISTEMA DE CONTROL
o 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45
Figura 7-36
1,8-
1,6-
1,4-
1,2-
1,0-
0,8-
0,6-
0,4-
0,2-
0-
p[ rad]
1 1 1 1 h í[s]
1 1 1 f—-0.05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0.45
Figura 7-37
239
CAPÍTULO 7. SISTEMA DE CONTROL
7.6.3.2 Aplicación de la carga. Disminución del par de
carga
En este caso el motor, que se encuentra girando en régimen
permanente de corriente mínima con un par de carga de 5
N-m, recibe un par de carga de -25 N-m.
La trayectoria óptim.a está dada por C = 0,473; Q = - 1 ;
¿R = 8,055; OO =0 y x^ = -0,561.
Las figuras 7-38 a 7-43 muestran respectivamente la co
rriente magnetizante del rotor, las corrientes de estator ÍQ¿ e
isq, las corrientes de estator, ¿SR, ¿SS e ÍST, la velocidad del
rotor, el par del motor y la posición del rotor; todas en fun
ción del tiempo.
240
CAPITULO 7 . SISTEMA D E CONTROL
O 0,05 0,10 0,15 0,20 0 ,25 0,30 0,35 0,40 0,45
Figura 7-38
1 40
30
20
10
O
-10
-20
-30
- 4 0 - -
•¿SdÍA] ísq[A]
1 1 i]
í [s] H \ \—I 1 1 1 \ h - »
II 0,05 0,10 0,15 0 ,20 , 0,25 0,30 0,35 0,40 0.45
lipfl llliWiir ip i j I
Figura 7-39
241
CAPÍTULO 7. SISTEMA DE CONTROL
o 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45
Figura 7-40
A^mec [r.p.m.]
-t' K—'=' -+-í[s]
- t ™ 1 — • 0.05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45
Figura 7-41
242
CAPITULO 7. SISTEMA DE CONTROL
o 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45
Figura 7-42
O 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45
Figura 7-43
243
CAPITULO 7. SISTEMA DE CONTROL
En este caso el par del motor y el par de carga están dirigi
dos en el mismo sentido, mientras que en caso del apartado
7.6.3.1 el par de carga se opone al par delmotor. Aquí, al
ayudarse ambos pares, los procesos son mucho mas rápi
dos.
7.7 Resumen y conclusiones
Los ensayos realizados con este simulador confirman la va
lidez de la teoría del control óptimo para el desarrollo de un
sistema de control de velocidad.
Se han realizado simulaciones para la aceleración y des
aceleración óptimas, tanto en vacío como con carga y simu
laciones para la aplicación de la carga. Los resultados de
simulación confirman plenamente los planteamientos teóri
cos previos.
No obstante, debido a que en el sistema simulado el mo
tor está alimentado por un inversor cuyas corrientes están
confinadas dentro de una zona de histéresis alrededor de la
trayectoria, óptima de referencia, las variables de estado no
podrán seguir exactamente la trayectoria óptima adecuada.
Eligiendo una trayectoria óptima con un valor de C algo
244
CAPITULO 7 . SISTEMA D E CONTROL
mayor que el "teórico", se consigue que, al final del régimen
transitorio, la corriente magnetizante del rotor y la veloci
dad hayan alcanzado unos valores cercanos a los deseados.
Se ha observado que, cuanto más estrecha es la banda de
histéresis, las variables de estado se acercan más a la tra
yectoria óptima "teórica".
245
8. CONCLUSIONES Y
TRABAJOS FUTUROS
8.1 Conclusiones
En esta tesis se h a presentado u n a nueva estrategia de con
trol de motores de inducción que combina la mínima dura
ción del régimen transitorio con u n alto rendimiento en ré
gimen permanente. El motor está alimentado con u n a fuen
te de corriente y el par de carga es constante durante el ré
gimen transitorio.
Para realizar procesos transitorios de mínima duración
nos hemos basado en la Teoría del Control Óptimo de Pon-
triaguin. Hemos obtenido las trayectorias del fasor de la co
rriente de estator necesarias pa ra que las variables de esta
do modifiquen s u s valores en el menor tiempo posible. Du
rante el régimen transitorio óptimo, el motor está alimenta
do con u n a corriente de estator cuyo módulo es fijado pre
viamente con la máxima corriente admisible por el accio
namiento.
247
CAPITULO 8.CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS
Para minimizar las pérdidas en régimen permanente si
tuamos al motor, al final del régimen transitorio, en el pun
to de funcionamiento en corriente mínima, el cual es fácil
de establecer y muy cercano al de máximo rendimiento. Tal
y com.o se h a dicho en el capítulo uno , la brevedad de los
transitorios permite, no solamente u n a mayor maniobrabi-
lidad y precisión dinámica, sino también u n mayor tiempo
de funcionamiento del motor en el punto de régimen per
manente de corriente mínima muy próximo al de máximo
rendimiento del motor. Adicionalmente, se h a comprobado
en [38] y [56] que la regulación óptima produce en el ar ran
que menores pérdidas que los métodos tradicionales como
el ar ranque directo, arranque suave, etc.
Se h a obtenido u n modelo matemático del comportamien
to del motor de jaula de ardilla durante el régimen transito
rio óptimo. El sistema formado por las tres ecuaciones de
estado - corriente magnetizante del rotor, velocidad y varia
ble auxiliar - definen dicho modelo. También se h a n obteni
do las expresiones analíticas de las componentes de la co
rriente de estator durante el régimen transitorio óptimo.
Se h a realizado u n análisis exhaustivo del comportstmien-
to del motor durante el régimen transitorio óptimo, obte-
248
CAPITULO 8.CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS
niéndose la expresión analítica de la corriente magnetizante
del rotor y de la variable aioxiliar. Al resultar la corriente
magnetizante del rotor y el par del motor desvinculados del
par de carga y de la velocidad del rotor, es posible trazar las
trayectorias óptimas de las primeras separadamente de es
tas últimas.
Se ha desarrollado el procedimiento que permite acabar
el proceso transitorio óptimo directamente en el punto de
corriente mínima próximo al máximo rendimiento del mo
tor.
Se ha determinado el campo total de trayectorias óptimas
en las coordenadas de variables de estado. Se h a n clasifica
do los grupos de trayectorias dentro del campo de trayecto
rias total. Los grupos obtenidos son, en función de la cons
tante C:
Grupo I: O < C < 0, 5
Grupo II: C > 0,5
Grupo III: C < O.
Las trayectorias del grupo I tienen tres ramas , u n a cerrada
y dos abiertas, todas ellas bivaluadas, mientras que aque-
249
CAPITULO 8.CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS
Has de los grupos 11 y III tienen dos ramas , ambas abiertas y
unívocas. Dependiendo del tipo de proceso transitorio
emplea u n a familia de trayectorias óptimas u otra.
se
Se h a realizado u n estudio de la aceleración y desacelera
ción óptima con par de carga constante. Por primera vez se
han planteado y analizado los procesos óptimos de aplica
ción de la carga. En todos los casos el par de carga puede
ser positivo o negativo, menor o mayor que el precedente.
Se h a comprobado que las trayectorias óptimas obtenidas
por el método de Pontriaguin son las que realmente crean
procesos transitorios de mínima duración.
Se h a n acotado las zonas del campo de trayectorias ópti
mas que ac túan en diferentes procesos transitorios ópti
mos. Demostrándose que u n a sola familia de trayectorias
óptimas resuelve todos los casos de aceleración y desacele
ración óptimas, mientras que son necesarias dos familias
de trayectorias óptimas para solucionar todos los casos de
aplicación óptima de la carga.
Se h a presentado u n sistema de control óptimo que por
u n lado realiza los procesos transitorios óptimos de acelera
ción/desaceleración y de aplicación de la carga por otro
250
CAPITULO 8.CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS
mantiene la velocidad de referencia en régimen permanente
de corriente mínima. En cada transitorio óptimo la trayecto
ria óptima adecuada es elegida directamente de u n a tabla o
por interpolación de los valores de ésta.
8.2 Sugerencias para futuros trabajos
Los escasos trabajos que hay has ta hoy sobre la aplicación
del principio del máximo de Pontriaguin a motores de jaula
de ardilla dejan u n amplio campo para futuros desarrollos e
investigaciones.
Una línea de trabajo muy interesante sería repetir el es
tudio realizado en esta tesis para otros tipos de pares de
carga.
Puede estudiarse el grado de aproximación del compor
tamiento óptimo del motor a los procesos óptimos teóricos
en función del ancho de banda de histéresis de la corriente
de estator.
Desde el punto de vista del principio del máximo, es
interesante estudiar el comportamiento óptimo del motor
con otros criterios de optimización que no sean el mínimo
tiempo de duración del régimen transitorio.
251
CAPITULO 8.CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS
Finalmente, este trabajo podría ampliarse estudiando
cómo obtener mínimo tiempo de respuesta cuando el par de
carga varía durante proceso transitorio.
2 5 2
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