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Introduzione al Metodo agli Elementi FinitiFinite Element Method, FEMFinite Element Analysis, FEAFinite Element, FE
Applicazione all’analisi strutturale
Prof. Ciro SantusDip. di Ingegneria Civile e Industriale (DICI), Università di Pisa
Tel.: 050-2218007email: ciro.santus@ing.unipi.it
http://people.unipi.it/static/ciro.santus/
Metodo agli Elementi Finiti
E’ un metodo per risolvere numericamente equazioni alle derivate parziali, su un dominio complesso.
E’ particolarmente adatto all’implementazione su calcolatore.
Esistono altri metodi alternativi (numerici):- Metodo alle Differenze Finite,- Metodo degli elementi al contorno BEM,tuttavia hanno delle limitazioni rispetto al FEM.
E’ diventato il metodo standard per risolvere problemi strutturali, ma anche termici, fluidodinamici, elettromagnetici ecc.
Evoluzione del metodo a partire dagli anni ’50.Attualmente esistono importanti SW commerciali,es.: ANSYS, ABAQUS
Soluzione approssima "piecewise solution"
x
y ( )( ) ?equazionedifferenziale
y f xf x
x
y
ih1h 2h
Si impongono equazioni di bilancio,si arriva ad un sistema di equazioni (lineare)lecui incognitesono lealtezze ih
Soluzione approssima "piecewise solution"
x
y
ih
1h
2h
Si ottiene la miglioreapprossimazionedella funzione,con una certa discretizzazione
Soluzione approssima "piecewise solution"
x
yMigliore rappresentazione all'aumentare della discretizzazione
Soluzione approssima "piecewise solution"
Elemento,i-esimo
Nodo, j-esimo
Gradi di libertà del singolo nodo:Spostamenti nelle direzioni x,y,z
Geometria “discretizzata”
Possibilità di gestire modelli da poche migliaia di elementi, fino a 106 elementi
Calcolo deformazioni e tensioni, in ogni punto a partire dagli spost. nodali(Funzioni di Forma)
Nodi & Elementi
Spostamentinodali
Funzioni di spostamento sul dominio dell’elemento
Funzioni di forma (Shape Functions)
Vincoli
Forze esterne applicate, su alcuni nodi
Soluzione:Calcolo degli spostamenti nodali:(deformata, prima incognita)
Vincoli e carichi
K u f
Il sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali,si “riduce” ad un sistema (lineare),in cui le incognite sono gli spostamenti nodali.
Numero molto elevato di incognite, comunque finito, ok per calcolatore
La soluzione del modello consiste nella risoluzione di questo sistema.
Tensioni e deformazioni vengono trovate, successivamente,mediante le funzioni di forma.
Soluzione del modello agli Elementi Finiti
Problema reale
Tipo di Elemento
Analisi statica / dinamica: transitoria, armonica
Modalità di applicazione vincoli/carichi
Comportamento unilaterale/bilaterale del contatto
Comportamento del materiale (modelli costitutivi)
etc.
Modello FEM
Elementi Trave (Beam)
Il nodo rappresenta una sezione
Elementi Guscio (Shell)
Il nodo rappresenta uno spessore
Elementi Solidi (Brick)
Il nodo rappresenta un punto solido
Scelta del tipo di elemento
Geometria 2D 3D
Linee Elemento Elemento
Trave 2D Trave 3D
Aree Elemento solido piano Elemento
(plane strain/stress) Guscio (shell)
Volume --- Elem. solido(brick)
ANSYS Wb
Scelta del tipo di elemento
INTRODUZIONE AL CODICE
ANSYS
ANSYS
ANSYS
APDL “Classic”
ANSYS
Workbench
BEGIN Level
PREP7 SOLUTION POST1
ClassicWorkbench
PREP7
• definizione ELEMENT TYPE
• definizione REAL CONSTANTS
• definizione MATERIAL PROPERTIES
• definizione GEOMETRIA MODELLO
• definizione MESH del modello
• applicazione VINCOLI E CARICHI
SOLUTION Soluzione FEM
POST1• PLOT visualizzazione grafica dei risultati
• LIST risultati in forma numerica
ANSYS Classic
Generazione diretta
Specificare direttamente la posizione dei nodi
Definire gli elementi tramite le connessioni fra i nodi
Modellazione solida
Uso di primitive geometriche (rettangoli, cerchi, poligoni, prismi, cilindri, sfere)
Operazioni booleane sulle geometrie (somma, sottrazione, intersezione, ecc.)
Ansys genera automaticamente i nodi e gli elementi
CREAZIONE DEL MODELLO
ANSYS Classic
modellazione solida
Nodi edelementi
Geometria
Mesh
ANSYS Classic
CREAZIONE DEL MODELLO
25mmD
4mmb
2mms
F
Rigidezza = ?Stato di tensione = ?
Esempio: Modellazione solida con ANSYS Classic
Anello elastico (plane stress)
Introduzione di un tipo di elemento
Elemento solido piano es. Plane 182
Definizione elementi
Definizione keyoptions
es.: plane stress
plane strain
axisymmetric
Definizione elementi
spessore, sezione, mom. inerzia, ecc.
Eventuale spessoreplane stress with thickness
Definizione elementi
Materiale:
Elastico Lineare Isotropo Omogeneo
Moduli di Young e Poisson
Definizione proprietà di materiale
Modellazione solida,
anello elastico, plane stress
X
Y
Z
Definizione “Mesh”
Preprocessor Global-SizeMeshing-Size Cntrls
Dimensioneelemento
N° suddivisionidei lati
Free Meshing (elementi misti triangolari e quadrilateri)
Mapped Meshing (solo elementi quadrilateri)È necessario rispettare opportune condizioni
Meshing Clear: per cancellare elementi e nodi(non si può cancellare una geometria se contiene elementi)
“Mesh”: nodi ed elementi
‘Infittimento della Mesh’
X
Y
Z X
Y
Z
Condizioni di vincolo e di carico
Si possono applicare:
1) alle entità del modello solido
(vengono trasferiti automaticamente ai nodi)
2) ai nodi o agli elementi del modello
Loads-Apply Structural-Displacement
on Keypoints
Loads-Apply Structural-Pressures
on lines (surfaces)
X
Y
Z
Condizioni di vincolo (1/2)
Condizioni di vincolo (2/2)
Spostamento imposto su tutti i gradi di libertà = incastro.
X
Y
Z
Condizioni di carico: pressione sulla linea
16 NF p b s
Alternativamente si può dare come input la forza F
Condizioni di carico: pressione sulla linea uniforme
2MPap
Condizione di vincolo: incastro
Condizioni di carico: pressione
U
PRES-NORM2
X
Y
Z
Solution
Calcola la soluzione
Postprocessing
Rappresentazione deformata
Listato numerico dei risultati
Plot grafico dei risultati
(tensioni eqv., tensioni principali, ecc.)
Grafici dell’andamento dei risultati su path definiti sul modello
Postprocessing: Plot results - Nodal Solution
Componenti di spostamento
Componenti di tensione
Postprocessing: Spostamento secondo Y
MNMX
X
Y
Z
-.045165
-.014785.015595
.045975.076356
.106736.137116
.167496.197876
.228256
MN
MX X
Y
Z
Postprocessing: Tensione eq. von Mises
.385453
10.993821.6022
32.210642.819
53.427464.0358
74.644185.2525
95.8609
Postprocessing: sigma_Y
MN MX X
Y
Z
-77.3366
-57.7594-38.1822
-18.605.972269
20.549540.1267
59.70479.2812
98.8584
I
Th.travi curve:77.6 MPa
E
Th.travi curve:97.8MPa
Calcolo flessione, trave a forte curvatura (anello seeger)
D_I, mm D_E, mm Spessore radiale, mm25 33 4
D_m, mm p, MPa Spessore assiale29 2 2
F, NM_f, Nmm 16
464A, mm^2 r_I, mm r_E, mm
W, mm^3 8 12.5 16.55.33 r_G, mm r_N, mm e, mm
14.5 14.41 0.092sigma_0, MPa c_I, mm c_E, mm
87 1.91 2.09
sigma_I,B, MPa 95.77
sigma_E,B, MPa sigma_t, MPa -79.58 2
sigma_I, MPa sigma_E, MPa -77.6 97.8
-77.337
-59.717
-42.097
-24.477
-6.857
10.763
28.383
46.003
63.623
81.243
98.858
0.4
.81.2
1.62
2.42.8
3.23.6
4
DIST
Postprocessing: sigma_Y, utilizzo del ‘path’
I
Th.travi curve:77.6 MPa E
Th.travi curve:97.8MPa
ANALISI DI CONVERGENZA
Tensione Max
5.35
5.4
5.45
5.5
5.55
5.6
5.65
0 10 20 30 40 50 60N° Nodi
FEMValore teorico
MP
a
Elementi “strutturali”
Trave a doppio T - appoggiata agli estremi
Trave a doppio T - Modello con elementi trave
Costanti reali da inserire: Area, Momento d’inerzia, Altezza, Larghezza
i j
ETABLE, NX1, SMISC,1
ETABLE, TY1, SMISC,2
ETABLE, TZ1, SMISC,3
ETABLE, MX1, SMISC,4
ETABLE, MY1, SMISC,5
ETABLE, MZ1, SMISC,6
ETABLE, NX2, SMISC,7
ETABLE, TY2, SMISC,8
ETABLE, TZ2, SMISC,9
ETABLE, MX2, SMISC,10
ETABLE, MY2, SMISC,11
ETABLE, MZ2, SMISC,12
XZ
Y
Element Table (beam, shell)
ETABLE, MZ1, SMISC, 6 ! Memorizza il momento nel nodo I dell’elemento
ETABLE, MZ2, SMISC, 12 ! Memorizza il momento nel nodo J dell’elemento
PLLS,MZ1,MZ2 ! Visualizza l’andamento del momento flettente
Trave ad doppio T - Modello con elementi trave
Trave a doppio T – Modello con elementi Guscio (Shell 63 – Shell 93)
Costanti reali: Spessore
Trave a doppio T – Modello con elementi Guscio (Shell 63 – Shell 93)
Trave a doppio T – Modello con elementi Guscio (Shell 63 – Shell 93)
Tipi di elemento
Tipi di elemento
Tipi di elemento
Tipi di elemento
ANSYS Workbench
Workbench, soluzione integrata CAD - FEM:
- Possibilità di importare modelli 3D da tutti i CAD:
Pro/E, OneSpace, SolidWorks, CATIA, Unigraphics
- Applicazioni vincoli/carichi semplificata (alcune limitazioni)
- Integrazione con altri moduli di calcolo (AUTODYN, CFX) …
Atomatica identificazione delle interfacce di contatto
Modellazione semplice/veloce – alcune limitazioni
ANSYS Workbench
Corpi diversi
Superficie di interfaccia
ANSYS Workbench – Versione attuale 16.2
Tipi di analisiStatica strutturale:
- La struttura deve essere equilibrata(schema di vincolo iso- o più frequentemente iper- statica).
- In caso di soluzione labile =>errore modello ‘unconstrained’.
- Può tollerare modello labile ma carico non applicato secondo la direzione di labilità.
- Analisi non lineari:- non linearità di contatto,- non linearità di materiale.
- Utilizzo di elementi strutturali: es. elemeneti Shell.
- Utilizzo delle simmetrie per semplificare il modello.
- Input: materiali, geometria, vincoli e carichi.
- Output: spostamenti, tensioni, forze, momenti di reazione.
Tipi di analisiAnalisi modale:
- La struttura può essere vincolata, parzialmente vincolata o completamente libera (a seconda delle condizioni di vincolo da riprodurre del sistema.
- Analisi lineare, non sono ammesse non linearità né di contatto né di materiale, in caso di non linearità di contatto, viene congelata la configurazione di contatto iniziale.
- Utilizzo di elementi strutturali: es. elemeneti Shell.
- Utilizzo delle simmetrie per semplificare il modello, ma si introducono dei limiti sui modi possibili visualizzabili.
- Input: materiali, geometria, vincoli (no carichi).
- Output:- Lista della frequenze proprie (o naturali), si può
scegliere se mostrare le prime o quelle all’interno di un intervallo di frequenze;
- Modo di oscillazione associato a ciascuna frequenza propria;
- Lo stato di tensione e la distribuzione degli spostamenti è definita a meno di uno scalare.
Tipi di analisiRisposta armonica:
- La struttura può essere vincolata, parzialmente vincolata o completamente libera (a seconda delle condizioni di vincolo da riprodurre del sistema
- Analisi lineare, non sono ammesse non linearità né di contatto né di materiale, in caso di non linearità di contatto, viene congelata la configurazione di contatto iniziale
- Utilizzo di elementi strutturali: es. elemeneti Shell
- Utilizzo delle simmetrie per semplificare il modello, ma solo se i carichi hanno le stesse simmetrie della geometria.
- Input: materiali, geometria, vincoli, carichi ma soltanto di natura armonica (frequenza ampiezza e fase)
- Output:- risposta armonica alla frequenza di eccitazione
dei carichi applicati (spostamenti, tensioni, reazioni vincolari)
Tipi di analisiTransitorio dinamico (solutore implicito):
- La struttura può essere vincolata, parzialmente vincolata o completamente libera (a seconda delle condizioni di vincolo da riprodurre del sistema.
- Analisi non lineare (es. di contatto o di materiale)
- Utilizzo di elementi strutturali: es. elemeneti Shell
- Utilizzo delle simmetrie per semplificare il modello.
- Input: materiali, geometria, vincoli, carichi (legge oraria), spesso anche velocità iniziali.
- Output:- evoluzione del transitorio sia spostamenti, sia
tensioni e reazioni vincolari.
Implicito: transitori lenti (tempi dell’ordine di 1 secondo o molto maggiore).
Tipi di analisiTransitorio dinamico (solutore esplicito):
- La struttura può essere vincolata, parzialmente vincolata o completamente libera (a seconda delle condizioni di vincolo da riprodurre del sistema.
- Analisi non lineare (es. di contatto o di materiale)
- Utilizzo di elementi strutturali: es. elemeneti Shell
- Utilizzo delle simmetrie per semplificare il modello.
- Input: materiali, geometria, vincoli, carichi (legge oraria), spesso anche velocità iniziali.
- Output:- evoluzione del transitorio sia spostamenti, sia
tensioni e reazioni vincolari.
Esplicito: transitori molto veloci (tempi inferiori o molto inferiori a 1 secondo).
Tipicamente urti e analisi di crash.
Tipi di analisiAltre tipi di analisi:
- Buckling (instabilità).- Fluidodinamica.- Termico (transiente / a regime).
Analisi consecutive (one way coupling)Es.: (1) analisi termica, (2) analisi deformativa tensionale.
Analisi accoppiate (two way coupling)Es.: accoppiamento fluido struttura.
Analisi Euleriana: volume di controllo, prima incognita sono le velocità.
Tutte le altre analisi meccaniche (anche problema termo-meccanico) sono Lagrangiane:viene seguita la particella materiale, prima incognità gli spostamenti (anche nelle analisi dinamiche, es. di transitorio).
Analisi con fenomeni fisici accoppiatiEs. one way coupling: (1) analisi termica, (2) analisi tensionale
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