introduction to game theory
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Mathematics
Introduction to Game Theory
Author:Julian Schrittwieser
Advisor:Dr. August Mistlbacher
Februar 12th, 2010
Preface
While I originally concerned myself with game theory out of personal interest, my math-
ematics professor gave me the idea to write a paper on it. I noticed quickly that in order
to master a topic, you need to be able to teach others about it.
My paper should also be used in class, wherefore I included practical examples and their
solutions for every item. Its mainly targeted at high school students, either as supplement
to normal lessons or as base for extracurricular activities. For especially interested pupils
(or teachers) I’ve included a list of further litratur in the appendix.
I’d like to especially thank my professor in mathematics, Dr. August Mistlbacher, with-
out whom this paper wouldn’t have been possible and who always supported me in both
mathematical and other aspects.
Melk, February 12th, 2010 Julian Schrittwieser
ii
Contents
1. Introduction 11.1. What is Game Theory? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Relevancy in other sciences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3. The prisoner’s dilemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4. Concepts and notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4.1. Basic assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4.2. Set of players N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4.3. Strategy space S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4.4. Utility function ui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4.5. Game Γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4.6. Auxiliary definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4.7. Normal form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4.8. Possibilities for analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4.9. Analysis of the prisoner’s dilemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2. Dominant and dominated strategies 82.1. Dominant strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2. Dominated strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3. Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4. Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4.1. Simples Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4.2. Zeitungskrieg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4.3. Medianwahlermodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3. Nash-Gleichgewicht 113.1. Reine Strategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2. Losungsalgorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.3. Gemischte Strategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3.1. Am Beispiel ”‘Schere-Stein-Papier”’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.3.2. Das Fingerspiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.3.3. Allgemein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.4. Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.4.1. Das Offenbarungsspiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.4.2. Kampf der Geschlechter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.4.3. Chicken-Spiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.4.4. Tennisspiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
iii
Contents
4. Spiele mit stetigem Strategieraum 184.1. Konkurrenz zweier Anbieter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.2. Allgemein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.3. Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.3.1. Projektarbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.3.2. Monopol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5. Evolutorische Spiele 225.1. Grundannahmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225.2. Evolutionare Stabilitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.2.1. Strikt dominierte Strategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.2.2. Nash-Gleichgewichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.3. Dynamische Gleichgewichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.3.1. Replikatorengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.3.2. Marktspiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.4. Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.4.1. Jagdverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.4.2. Falke und Taube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
A. Literatur 27
B. Losungen 28B.1. Erklarung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28B.2. Dominierte und dominante Strategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
B.2.1. Simples Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28B.2.2. Zeitungskrieg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28B.2.3. Medianwahlermodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
B.3. Nash-Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29B.3.1. Das Offenbarungsspiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29B.3.2. Kampf der Geschlechter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30B.3.3. Chicken-Spiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30B.3.4. Tennisspiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
B.4. Spiele mit stetigem Strategieraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32B.4.1. Projektarbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32B.4.2. Monopol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
B.5. Evolutorische Spiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33B.5.1. Jagdverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33B.5.2. Falke und Taube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
C Literaturverzeichnis 35
Introduction to Game Theory iv
1. Introduction
1.1. What is Game Theory?
Game theory is a subtopic of mathematics, which concerns itself with the analysis of
decisions in systems with several actors (in the following called players). The term Game
Theory stems from the origins of this discipline, when one primarily investigated con-
ventional games like Chess or chequers. It was founded in the year 1944 by John von
Neumann and Oskar Morgenstern through their book “Theory of Games and Economic
Behavior” (von Neumann und Morgenstern, 1944).
In the application of game theory to real world situations it’s important to keep in mind
that every model is only as good as it assumptions about reality. Humans don’t always
act rational, different description of the same situation (eg. simultanous or sequential
decisions) and much more can influnece the result.
1.2. Relevancy in other sciences
Game theory is not restricted to mathematics, on the contrary it is used in many other
disciplines as useful tool: In economics, political sciences, sociology, psychology, computer
science and even in biology to describe the process of evolution. (Basieux, 2008, p. 10 ff).
In biology, the focus rests less on the thinking players and more on an evolutionary
force - survival is “success”. Prominent phenomenons, which were explained using game
theory, include the 1:1 gender ratio, the spontaneus emergence of communication between
animals (Harper und Smith, 2003) and biological altruism (Fletcher und Zwick, 2007).
The applications in politics are also interesting - for example, it’s now possible to
explain why political parties tend to move towards a middle ground with their agenda
(Downs, 1957). The largest success has the party which appeals to the average voter, who
lies per definitionem in the middle of the range of voters. Even an explanaition for the
theory of democratical peace (war between democracies is less likely than between non-
democracies) is possible. Just as information about the behavior of countries is easier
1
Chapter 1. Introduction
to obtain in open debates, mistrust tends to be lower, which together tends to make
concessions and compromises more likely (Levy und Razin, 2003).
1.3. The prisoner’s dilemma
One of the most famous examples of game theory is without doubt the so called “prisoner’s
dilemma”, which was first described by Merill Flood and Melvin Dresher in 1950. In this
game, two suspects “play” against each other, without being able to communicate. Each
suspect has two options: He can either remain silent or confess.
Detective Gates shall serve as example. He has arrested two men - Jack and Joe - which
are suspected of drug trafficking. Alas, he can’t directly prove his suspicion, he only has
proof for a small case of shoplifting. His only hope is that one of the suspects will rat out
the other.
In this situation, Jack has two possibilities: He can either confess and incriminate Joe
or he can keep silent. However, Jack’s punishment not only depends on his own decision,
but also on Joe’s. In the following, all possibilities are depicted, with Jack’s decision in
bold.
Silence If Joe remains silent too, detective Gates can only charge them with shoplifting,
so they get away with 2 years in prison. If Joe however should decide to confess,
Jack will have to take the full blame for their crimes - de will be locked away for 10
years.
Confession Should Joe decide not to confess, Jack’s confession is enough to convict Joe
nevertheless. As a reward, Jack is allowed to walk free. If both of them should
confess, their punishment will be split equally, so both will face prison sentence of
5 years.
For the sake of a better overview, the possible outcomes for a given player are summa-
rized in table 1.1.
s21 - Silence s22 - Confessions11 - Silence 2 years jail 10 years jails12 - Confession free 5 years jail
Table 1.1.: Results for a given player
The first column contains the possible “strategies” of the first player, i.e. his possible
decisions. The strategies of the other player are analogously printed in the first row. The
Introduction to Game Theory 2
Chapter 1. Introduction
cells of the table represent the outcomes for player 1, whose strategies are in the first
column.
If we now assume that the players prefer shorter sentences and therefore score them
higher, we can create a new table. In this new table we replace the specific punishment
with its abstrakt representation by means of numbers from 1 to 4 :
4 : Acquittal; 3 : 2 years jail; 2 : 5 years jail; 1 : 10 years jail.
1 represents the worst score and 4 the best one. In the next table, the sentences for
one player in the cells were replaced by a pair of values, one score for each player.
s21 - Silence s22 - Confessions11 - Silence (3,3) (1,4)s12 - Confession (4,1) (2,2)
Table 1.2.: Scores for different outcomes
Now we can look at the possibilities of Jack to reach his goal of minimizing his punish-
ment:
Silence If Joe also keeps silent, Jack reaches his second best result of 3 (2 years in jail).
Should Joe rat him out, this will result in the worst outcome for Jack:: 1 (10 years
of jail)
Confession When Joe keeps silent, Jack can now reach his best result: 4 (Acquittal). If
however Joe also confesses, the second worst result will come to pass - 2.
It’s easy to recognize that Jack is always better of if he confesses - his outcome is
always increased by 1. However, this argument also works for Joe. This leads to a
paradox: Both players will confess, resulting in the second worst possible result. (5 years
in jail) Obviously, it would have been better if the both of them had kept silence - they
would have gotten away with 2 years in jail.
The explanaition for this apparent paradox is simple: Because the decisions between
“silence” and “confession” ultimately take place in private and independent of each other,
it is impossible to enforce any bargain. For each player, it is profitable to deviate from
the bargain, since his result will inrease in every case.
The only possibility to escape this predicament is a superordinate instance, which can
enfore any previously agreed contract. In real life, this role is filled by organisations like
the Mafia.
Introduction to Game Theory 3
Chapter 1. Introduction
1.4. Concepts and notation
While we discussed the prisoner’s dilemma relatively informal, a certain nomenclature
simplifies communication. Additionally, certain methods to find solutions need to be
introduced..
1.4.1. Basic assumptions
To be able to analyse a game, we need to assume that all players act rationally, or, in
other words, that they strive to maximize their utility function. In the example of the
prisoner’s dilemma this would be the wish for a short prison term. It is further important,
that not only the players themselves know that they act rational, but that they also know
that the other players know this, etc. - this is called common knowledge.
Additionally, we usually assume that each players knows the rules of the game as well
as the set of all strategies S of all players and their utility functions ui (their possible
decisions and the manner in which they judge different situations) - again, in the con-
text of common knowledge. Games, for which these criteria hold, are called games with
complete information.
1.4.2. Set of players N
In each game we have a finite amount of players, where each player i is part of the set of
players N = {1, . . . , n}. Here, we will only look at game with two players, so the set of
players is limited to N = {1, 2}.
1.4.3. Strategy space S
Each player i has a set of strategies Si at his disposal, from which he ghooses one specific
stratey si. s is a particular game, thus a combination of the strategies chosen by each
player.
In the prisoner’s dilemma, we have two strategies, “Silence” and “Confession”, which
we therefore call s1 and s2.
If we refer to the strategy of a particular player, we combine two digits. The first digit
represents the player and the second digit the strategy. s12 is therefore strategy s2 of
player 1.
The strategy space S is defined as cartesian product of the sets of strategies Si of all
the players: S = S1 × S2 × . . .× Sn
Introduction to Game Theory 4
Chapter 1. Introduction
In the concrete case of the prisoner’s dilemma, this means that S = {s11, s12} ×{s21, s22} = {(s11, s21), (s11, s22), (s12, s21), (s12, s22)}. This is the set of all possible combi-
nations of the given strategies.
1.4.4. Utility function ui
The utility, which a given player i can extract from an event, is given by the utility
function ui(s). ui is defined for every strategy si.
ui(si, sj) gives us the utility for player i, if he should play strategy si against strategy
sj. In our previous example, this utility would represent the score the players assigned to
the outcome of the game.. u1(s1, s2) is the utility for player 1 (Jack), if he plays strategy
1 (“Silence”) against strategy 2 of the other player (“Confession”). As we already know,
this will result in a utility of 1.
1.4.5. Game Γ
A particular game with the set of players N , the set of strategies S and the set of utility
functions of all players ui is called Γ = (N,S, u). These three sets contain all information
necessary for the analysis of the game.
1.4.6. Auxiliary definitions
Since it’s helpful for the analysis of a game to focus on the choices of a single player i, we
designate the chosen strategies of all other players by s−i = (s1, . . . , si−1, si+1, . . . , sn), so
that the complete game is given by s = si + s−i.
Because we’ve limited ourselves to two players, s−i represens nothing else than the
strategies of the other player. Therefore, s−1 = s2 and s−2 = s1, where the digit represent
the respective player.
1.4.7. Normal form
Often, we can neatly display games in a table, especially if two players make decisions
indendently.
In the left column are the strategies of the first player (i = 1), in the first row we have
the strategies of the second player (i = 2). In the corresponding cells of the table we find
the results for the given strategies, where the first value is the result resp. the utility for
player 1, and the second for player 2.
Introduction to Game Theory 5
Chapter 1. Introduction
s21 - Silence s22 - Confessions11 - Silence (3,3) (1,4)s12 - Confession (4,1) (2,2)
Table 1.3.: Normal form of the prisoner’s dilemma
Let’s look at an arbitrary game, like the one shown in table 1.3. If both player 1 and 2
choose strategy 1, in this case “Silence”, their payoff (the value off their utility function)
will be 3. If player 1 now defects to strategy 2 (“Confession”), he can improve his payoff
to 4, while the payoff for the other player decreases to 1.
1.4.8. Possibilities for analysis
To find the best possible strategie or an equilibrum (certain strategies as reaction to
each other) in a game we have different approaches, which we will discuss in order of
increasing difficulty. Nevertheless, it depends on the game itself which approaches we
choose, since not all of the work all the time. Many times it’s also necessary to combine
several approaches to completely solve a game.
1.4.9. Analysis of the prisoner’s dilemma
Haben wir zuvor das Spiel noch intuitiv gelost, so wollen wir dies nun mathematisch tun,
das heißt unter Anwendung der zuvor eingefuhrten Notation und mit Hilfe von Gleichun-
gen.
Wie in Tabelle 1.3 erkennbar ist, ist der Nutzen der Strategie s2 (”‘Gestandnis”’)
gegenuber jeder Strategie s−i des anderen Spielers großer als der Nutzen der Strategie
s1 (”‘Schweigen”’). Diese Aussage konnen wir nun abstrakter formulieren.
Aus der bereits festgestellten Tatsache, dass die Strategie ”‘Gestandnis”’ (s2) gegen
”‘Schweigen”’ (s1) besser als ”‘Schweigen”’ ist,
ui(s2, s1) = 4 > ui(s1, s1) = 3
sowie aus der Tatsache, dass die Strategie ”‘Gestandnis”’ auch gegen sich selbst effektiver
ist als die Strategie ”‘Schweigen”’
ui(s2, s2) = 2 > ui(s1, s2) = 1
Introduction to Game Theory 6
Chapter 1. Introduction
folgt, dass die Strategie ”‘Gestandnis”’ ganz allgemein, dass heißt gegen alle Strategien
des anderen Spielers (s−i), effektiver ist als die Strategie ”‘Schweigen”’:
ui(s2, s−i) > ui(s1, s−i) ∀ s−i ∈ S−i
Die Strategie s2 liefert also gegen jede andere Strategie einen großeren Nutzen als die
Strategie s1. Folglich ist es fur jeden Spieler am Besten, die Strategie s2, ”‘Gestandnis”’,
zu wahlen. Dies gilt, egal was der andere Spieler tut, und wir landen wieder beim bereits
in Abschnitt 1.3 festgestellten Dilemma.
Introduction to Game Theory 7
2. Dominant and dominated strategies
2.1. Dominant strategies
Das Gefangenendilemma ist nicht nur ein Paradebeispiel der Spieltheorie, es demonstriert
auch eine dominante Strategie. Dies ist eine Strategie, die immer besser als alle anderen
anwendbaren Strategien eines Spielers ist.
In diesem Zusammenhang sind zwei Definitionen wichtig:
Definition 1. Eine Strategie si heißt strikt dominant, wenn ihr Nutzen gegenuber allen
moglichen Strategien des Gegenspielers großer ist, als die aller anderen Strategien, die
dem Spieler zur Verfugung stehen.
Definition 2. Eine Strategie si heißt schwach dominant, wenn ihr Nutzen nur großer
oder gleich dem anderer Strategien ist.
Folglich war die Strategie ”‘Gestandnis”’ eine strikt dominante Strategie, ein rationaler
Spieler wurde gar keine andere Strategie spielen.
Ist in einem Spiel fur einen (oder mehrere) Spieler eine strikt dominante Strategie
vorhanden, so konnen die anderen Strategien dieses (oder dieser) Spieler(s) ignoriert wer-
den. Es ware schlicht nicht rational diese zu spielen, was die Analyse oft ungemein
erleichtert.
2.2. Dominated strategies
Wie wir eben festgestellt haben, hat eine dominante Strategie immer einen großeren
Nutzen als alle anderen Strategien, die dem Spieler zur Verfugung stehen, dh. sie do-
miniert jede dieser Strategien. Naturlich kann auch das Gegenteil der Fall sein: eine
Strategie, die nie optimal ist.
Definition 3. Eine Strategie si heißt strikt dominiert, falls es eine andere Strategie sj
gibt, die fur alle moglichen Strategien des Gegners einen großeren Nutzen liefert.
8
Chapter 2. Dominant and dominated strategies
ui(si, s−i) < ui(sj, s−i) ∀ s−i (2.1)
Gibt es eine derartige Strategie sj nur fur bestimmte Strategien des Gegners, wahrend
der Nutzen ansonsten gleich groß ist, so nennt man si schwach dominiert:
ui(si, s−i) ≤ ui(sj, s−i) ∀ s−i (2.2)
Strikt dominierte Strategien konnen bei der Analyse eines Spiels ausgenutzt werden,
da sie von einem rationalen Spieler niemals gespielt werden wurden, weil es eine in jedem
Fall bessere Alternative gibt. Daher konnen wir sie einfach “streichen”, das heißt bei der
weiteren Analyse des Spiels ignorieren (Fudenberg und Tirole, 1991, S. 9 ff).
2.3. Beispiel
s21 - D s22 - E s23 - Fs11 - A (3,2) (0,1) (2, 0)s12 - B (2,3) (6,1) (1, 2)s13 - C (1,1) (2,3) (0, 3)
Table 2.1.: Ein Spiel mit strikt dominierter Strategie
Im obigen Spiel ist Spieler 1’s Strategie C strikt dominiert - seine Strategie B liefert
immer einen großeren Nutzen als C, daher streichen wir C. Spieler 2 hat keine dominierte
Strategie, daher konnen wir bei ihm auch nichts streichen.
s21 - D s22 - E s23 - Fs11 - A (3,2) (0,1) (2, 0)s12 - B (2,3) (6,1) (1, 2)
Table 2.2.: Das gleiche Spiel ohne Strategie C
Nun wird Strategie F durch Strategie D strikt dominiert, wir konnen auch sie streichen.
Außerdem dominiert D auch noch E, so dass wir diese Strategie ebenfalls entfernen:
s21 - Ds11 - A (3,2)s12 - B (2,3)
Table 2.3.: Das gleiche Spiel ohne Strategien C, D und E
Introduction to Game Theory 9
Chapter 2. Dominant and dominated strategies
Da Spieler 2 nur mehr eine Strategie (D) zur Verfugung hat, kann er keine Entscheidung
treffen, der Ausgang des Spiels hangt einzig von Spieler 1 ab. Da dieser primar seinen
eigenen Nutzen maximieren will, wird er Strategie A spielen. Dadurch bekommt er einen
Nutzen von 3 und Spieler 2 einen Nutzen von 2. Die Kombination der Strategien A und
D als (A, D) bezeichnet man als Losung des Spiels.
2.4. Beispiele
2.4.1. Simples Beispiel
s21 - E s22 - F s23 - G s24 - Hs11 - A (3,2) (6,1) (2, 0) (3, 0)s12 - B (2,3) (5,4) (10, 2) (2, 0)s13 - C (1,5) (7,3) (0, 3) (2, 11)s14 - D (1,4) (2,3) (1, 3) (2, 0)
Table 2.4.: Spiel mit dominanten und dominierten Strategien
Finde die Losung dieses Spiels mit Hilfe der oben angefuhrten Losungsmethoden.
2.4.2. Zeitungskrieg
Zwei Zeitungen konkurrieren miteinander, ihre Produktionskosten liegen bei 1e und ihr
Preis entweder bei 2e oder bei 3e. Die Kunden kaufen immer die billigste Zeitung, im
Falle eines Gleichstands teilen sie sich zu gleichen Teilen auf. Bei einem Preis von 2e
werden 100.000 Zeitungen verkauft, bei 3e nur mehr 60.000.
a) Stelle die Matrix mit den moglichen Strategien und dem jeweiligen Gewinn auf.
b) Finde die Losung dieses Spiels.
2.4.3. Medianwahlermodell
Bestimme die optimale Positionierung zweier Parteien bei einer Wahl. Es stehen dabei
Positionen von 1 bis 10 zur Verfugung, wobei die Wahler gleichmaßig verteilt sind (2
Wahler pro Position) und immer die Partei wahlen, die ihrer eigenen Position am nachsten
ist. Bei Gleichstand spalten sich die Stimmen 1:1.
a) Wo werden sich die Parteien positionieren um großtmoglichen Erfolg zu haben?
b) Wurde sich das Ergebnis verandern, wenn noch eine dritte Partei zur Wahl antritt?
Introduction to Game Theory 10
3. Nash-Gleichgewicht
3.1. Reine Strategien
Bei einem Nash-Gleichgewicht wahlt jeder Spieler i seine optimale Strategie s∗i in Bezug
auf die optimalen Strategien aller anderen Spieler, so dass gilt:
ui(s∗i , s∗−i) > ui(si, s
∗−i) ∀ i; si ∈ Si (3.1)
Daraus folgt, dass sich ein Abweichen vom Gleichgewicht fur keinen Spieler lohnt. Das
Gleichgewicht ist somit stabil. Diese Art von Gleichgewicht wird auch als striktes Nash-
Gleichgewicht bezeichnet, da es nur eine Strategiekombination enthalt.
Definition 4. Eine beste Antwort si hat mindestens den gleichen oder einen großeren
Nutzen als alle anderen verfugbaren Strategien eines Spielers gegen eine bestimmte Strate-
gie s−i.
ri(s−i) = {si ∈ Si|ui(si, s−i) ≥ ui(si, s−i) ∀ si ∈ Si} (3.2)
In einem Nash-Gleichgewicht sind die gespielten Strategien jeweils beste Antwort auf
die Strategien der anderen Spieler, formal ausgedruckt als s∗ ∈ r(s∗). Die Menge dieser
besten Antworten beschreiben wir durch die Abbildung ri(s−i). si ist damit fur Spieler i
die beste Antwort auf die Strategiekombination s−i, also si ∈ ri(s−i).
Da wir fur jede beliebige Strategiekombination s fur jeden Spieler i die besten Antworten
ermitteln konnen, konnen wir auch bestimmen, welche Strategien auch beste Antworten
auf sich selbst sind. Aus diesen besteht das Nash-Gleichgewicht.
Zusatzlich unterscheiden wir zwischen einem strikten Nash-Gleichgewicht, bei dem es
nur eine beste Antwort fur jeden Spieler gibt, und einem schwachen Nash-Gleichgewicht,
bei dem jeder Spieler mehrere, gleich gute, ”‘beste”’ Antworten haben kann.
11
Chapter 3. Nash-Gleichgewicht
3.2. Losungsalgorithmus
Ein Nash-Gleichgewicht fur das Spiel in Tabelle 3.1 lasst sich nun mit einem einfachen
Algorithmus bestimmen, der vor allem fur kleine Spiele mit reinen Strategien geeignet
ist. Dabei markieren wir fur jede Strategie des Gegenspielers die hochste erreichbare
Auszahlung, anschließend machen wir selbiges auch fur den anderen Spieler.
s21 - links s22 - Mitte s23 - rechtss11 - oben (3,2) (0,1) (2, 0)s12 - Mitte (0,3) (6,1) (1, 4)s13 - unten (2,0) (1,2) (3, 5)
Table 3.1.: Ein Spiel mit Nash-Gleichgewicht
i=1: s21 - Strategie s11, ”‘oben”’, liefert mit 3 den großten Nutzen
s22 - hier wird durch s12 6 erreicht und markiert
s23 - in diesem Fall dominiert s13 mit 3
i=2: s11 - Strategie s21, ”‘links”’, liefert mit 2 den großten Nutzen
s12 - s23 (”‘rechts”’) erreicht 4
s13 - wiederum bringt s23 (”‘rechts”’) mit 5 am Meisten
Betrachten wir die in Tabelle 3.1 markierten Ergebnisse, so bemerken wir, dass es in
diesem Beispiel sogar zwei Gleichgewichte gibt: Eines fur (s11, s21) und eines fur (s13, s23).
Welches der beiden Gleichgewichte auftritt hangt dabei vom Spielverlauf ab.
3.3. Gemischte Strategien
Bis jetzt haben wir uns nur mit reinen Strategien beschaftig. Das heißt jeder Spieler
entscheidet im voraus (auf Grund der moglichen Strategien seines Gegners), welche Strate-
gie er wahlen wird, und spielt spater auch genau diese. Nun gibt es aber auch Spiele, in
der eine derartige Vorgehensweise wenig sinnvoll ware, etwa bei ”‘Schere, Stein, Papier”’.
Wie unschwer erkennbar ist, gibt es keine einzelne Strategie, die die anderen dominieren
wurde. Jede Strategie ist in genau 13
der Falle siegreich, in 13
kommt es zu einem Un-
entschieden und im letzten Drittel zu einer Niederlage. Daraus folgt, dass es keine Strate-
gie s∗ gibt, gegen die sich fur keinen Spieler ein Abweichen lohnt.
Introduction to Game Theory 12
Chapter 3. Nash-Gleichgewicht
s21 - Schere s22 - Stein s23 - Papiers11 - Schere (0,0) (-1,1) (1, -1)s12 - Stein (1,-1) (0,0) (-1,1)s13 - Papier (-1,1) (1,-1) (0,0)
Table 3.2.: ”‘Schere, Stein, Papier”’
3.3.1. Am Beispiel ”‘Schere-Stein-Papier”’
Erst wenn wir eine Mischung aus verschiedenen Strategien zulassen ist wieder ein Gle-
ichgewicht moglich. Dazu weist jeder Spieler seinen Strategien bestimmte Wahrschein-
lichkeiten zu, mit denen er sie spielen wird. Beispielsweise konnte ein Torwart zu 20% in
der Mitte stehen bleiben und zu je 40% in eine der beiden Ecken seines Tors springen,
um den Schuss eines Sturmers abzuwehren. Wurde er dagegen immer die selbe Strategie
wahlen, konnte der Sturmer dies ausnutzen und entsprechend auf eine ungedeckte Stelle
zielen.
Definition 5. Eine Mischung von Strategien si mit jeweils einer Wahrscheinlichkeit
pi(si) > 0 nennt man gemischte Strategie pi.
Theorem 1. Eine gemischte Strategie bildet genau dann ein Nash-Gleichgewicht, wenn
sie selbst beste Antwort ist. Dabei mussen auch alle in der gemischten Strategie enthal-
tenen Strategien beste Antworten sein, und außerdem den selben (durch die Wahrschein-
lichkeit gewichteten) Nutzen erbringen.
Proof. Ware dies nicht der Fall, konnte die Strategie, die einen niedrigeren Nutzen aufweist,
weggelassen werden, um somit die gemischte Strategie zu verbessern. Dabei wurde allerd-
ings eine neue gemischte Strategie entstehen, die besser ware als die alte. Folglich kann
diese keine beste Antwort sein. Dadurch entsteht ein Widerspruch.
Im Falle von Schere-Stein-Papier wissen wir wegen Satz 1, dass jede der Strategien
eine beste Antwort sein muss. Damit dies moglich ist, muss der Nutzen ui jeder dieser
Strategien gleich sein.
Angenommen Spieler 2 weist ”‘Schere”’ eine Wahrscheinlichkeit von q, ”‘Stein”’ eine
Wahrscheinlichkeit von p und ”‘Papier”’ folglich 1 − q − p zu, konnen wir den zu er-
wartenden Nutzen berechnen. Der bei den jeweiligen Strategien resultierende Nutzen ist
in eckige Klammern gefasst, um ihn von den Wahrscheinlichkeiten zu unterscheiden.
Spieler 1 spielt ”‘Schere”’: u1(s11) = [0] · q + [−1] · p + [1] · (1− q − p)
Spieler 1 spielt ”‘Stein”’: u1(s12) = [1] · q + [0] · p + [−1] · (1− q − p)
Introduction to Game Theory 13
Chapter 3. Nash-Gleichgewicht
Spieler 1 spielt ”‘Papier”’: u1(s13) = [−1] · q + [1] · p + [0] · (1− q − p)
Da der Nutzen fur alle 3 Strategien gleich sein muss folgt daraus:
1− q − 2 · p = −1 + 2 · q + p = −q + p (3.3)
1− q − 2 · p = −q + p |+ q
1− 2 · p = p |+ 2 · p
1 = 3 · p | : 3
p =1
3
q = p =1
3
Die Wahrscheinlichkeiten fur ”‘Schere”’ und ”‘Stein”’ sind also jeweils 13. Folglich bleibt
auch fur ”‘Papier”’ nur mehr diese Wahrscheinlichkeit ubrig. Die gemischte Strategie pi
ist also (13, 13, 13). Diese Strategie ist die optimale Wahl fur jeden der beiden Spieler, eine
Abweichung von ihr bringt keine Verbesserung.
Damit ist allerdings noch nicht gezeigt, dass es nur dieses eine Nash-Gleichgewicht gibt.
Gabe es allerdings noch ein weiteres Gleichgewicht, z. B. eine Mischung aus ”‘Schere”’
und ”‘Stein”’ von Spieler 2, dann ware Spieler 1’s Nutzen von ”‘Stein”’ strikt großer als
von ”‘Schere”’. Spieler 1 wurde ”‘Schere”’ also nicht mehr spielen. Dann ware aber Spieler
2’s Nutzen von ”‘Papier”’ strikt großer als von ”‘Stein”’, folglich durfte er ”‘Stein”’ nicht
mehr spielen. Dann spielt er aber eine reine Strategie, namlich ”‘Schere”’. Wie wir bereits
oben sahen, gibt es kein Gleichgewicht fur reine Strategien.
3.3.2. Das Fingerspiel
Gleichgewichte mit gemischten Strategien sind naturlich auch in asymmetrischen Spielen
vorhanden. Betrachten wir dazu zwei Schuler, die sich mit einem einfachen Spiel die Zeit
vertreiben: Auf ein Signal hin zeigen beide jeweils einen oder zwei Finger. Ein Spieler
gewinnt bei einer geraden Anzahl an Fingern, der andere bei ungerader Anzahl. Der Sieger
erhalt die Anzahl gezeigter Finger als Punkte gutgeschrieben, der Verlierer abgezogen:
Spieler 1 zeigt mit Wahrscheinlichkeit p einen Finger, mit W. 1−p zwei Finger. Gleiches
gilt fur Spieler 2 und q. Damit konnen wir nun fur jeden Spieler den erwarteten Nutzen
Introduction to Game Theory 14
Chapter 3. Nash-Gleichgewicht
s21 - 1 s22 - 2s11 - 1 (2,-2) (-3,3)s12 - 2 (-3,3) (4,-4)
Table 3.3.: Fingerspiel, Spieler 1 gewinnt bei gerader Fingerzahl
bestimmen:
u1 = p · u11 + (1− p) · u12
u1 = p · ([2]q + [−3](1− q)) + (1− p) · ([−3]q + [4](1− q)) = 12pq − 7p− 7q + 4
u2 = q · ([−2]p + [3](1− p)) + (1− q) · ([3]p + [−4](1− p)) = −12pq + 7p + 7q − 4
Wir sehen, dass u1 und u2 aquivalent sind. Da jeder Spieler naturlich den großten Nutzen
erhalten will, bestimmen wir das Maximum dieser Funktionen. Dazu bilden wir die par-
tiellen Ableitungen nach p und q. Im Maximum mussen diese Null sein:
∂u1
∂p= 12q − 7 = 0
∂u2
∂q= −12p + 7 = 0
Fur beide Spieler ist es somit optimal mit einer Wahrscheinlichkeit von 712
einen Finger
und zu 512
zwei Finger zu zeigen. Der Spieler, der bei gerader Fingerzahl gewinnt, hat
einen erwarteten Nutzen von − 112
. Der andere Spieler dagegen kann im Durchschnitt 112
erreichen und hat daher einen Vorteil - langfristig gesehen wird er immer mehr Punkte
erreichen.
3.3.3. Allgemein
Nehmen wir an, es gibt ein Gleichgewicht, in dem Spieler 2 einige seiner Strategien mischt.
Dann mussen alle diese Strategien den selben erwarteten Nutzen liefern. Nun konnen wir
dieses Gleichungssystem fur die Wahrscheinlichkeiten losen, die Spieler 1 seinen Strategien
zuweist. Ist das Spiel nicht symmetrisch, wiederholen wir den Vorgang mit vertauschten
Rollen.
Die erhaltene Losung muss dabei die Strategien enthalten, die wir anfangs angenommen
haben. Außerdem mussen die Losungen wirklich Wahrscheinlichkeiten (0 < x < 1) sein
und es darf keine profitablen Abweichungen vom Gleichgewicht geben.
Introduction to Game Theory 15
Chapter 3. Nash-Gleichgewicht
Bei asymmetrischen Spielen bestimmen wir die erwarteten Nutzen der Spieler 1 und 2.
Diese enthalten die Wahrscheinlichkeiten p und q, mit der die beiden Spieler ihre Strategie
s1 wahlen. Durch Nullsetzen der partiellen Ableitungen findet man in diesem Fall die
Maxima der Nutzenfunktionen. Davon sind nur jene Maxima Nash-Gleichgewichte, bei
denen sich fur keinen Spieler eine Abweichung lohnt.
3.4. Beispiele
3.4.1. Das Offenbarungsspiel
Ein Mensch und ein Alien spielen gegeneinander, wobei das Alien entscheiden kann ob
es sich offenbart oder nicht, und der Mensch, ob er glaubt, dass der andere ein Alien ist
oder nicht. Fur das Alien ist es dabei immer besser, der Mensch glaubt, dass es ein Alien
sei, als wenn er dies nicht tun wurde. Gleichzeitig fuhrt eine Offenbarung immer zu einer
Verschlechterung. Fur den Menschen ist es am Besten, dem Alien zu glauben, falls es sich
offenbart, gefolgt von Glauben, dass es kein Alien sei, falls es sich nicht offenbart. Am
schlechtesten ist ein Unglauben im Falle einer Offenbarung des Aliens.
a) Bringe das Spiel in die Matrixform.
b) Suche das Nash-Gleichgewicht.
c) Kann das Spiel auch mit den Methoden aus Abschnitt 2 gelost werden? Lose es.
3.4.2. Kampf der Geschlechter
Anna und Michael haben es verabsaumt, sich bei ihrem letzten Date auszumachen, wo
sie sich das nachste Mal treffen. Anna wurde gern ins Kino gehen, wahrend Michael
ein Rugby-Spiel besuchen mochte. Beide mussen sich fur eine der beiden Alternativen
entscheiden. Am Liebsten (Nutzen 3 ) wurden sie jeweils mit ihrem Partner ihre eigene
Lieblingsaktivitat ausuben, doch auch die Lieblingsaktivitat ihre Partners ist ihnen lieber
(2 ) als sich zu verfehlen und alleine im Kino bzw. beim Rugby-Spiel zu sein (1 ). Am
schlimmsten fanden sie, alleine die Lieblingsaktivitat des Partners zu besuchen (0 ).
a) Bringe das Spiel in die Matrixform.
b) Wie sieht eine Losung dieses Spiels aus?
c) Welches Problem gibt es bei dieser Losung?
d) Bestimme eine Losung mit gemischten Strategien.
Introduction to Game Theory 16
Chapter 3. Nash-Gleichgewicht
3.4.3. Chicken-Spiel
Zwei Autofahrer rasen auf einer geraden Straße aufeinander zu, Derjenige der zuerst
ausweicht verliert. Weichen beide aus, so passiert nichts. Weicht keiner aus, so kommt es
zu einem Crash, was schlimmer als ein einseitiges Ausweichen bewertet wird.
a) Stelle eine Matrix des Spiels auf.
b) Finde die Nash-Gleichgewichte.
c) Lose das Spiel mit gemischten Strategien fur die Nutzen 0 (beide weichen aus), -1
(nur ich weiche aus), +1 (nur der andere weicht aus) und -5 (keiner weicht aus).
3.4.4. Tennisspiel
Bei einem Tennisturnier treffen die Kontrahenten Boris und Steffi aufeinander. Boris ist
an der Reihe den Ball zu spielen, dabei kann er entweder leicht nach links oder nach
rechts zielen, und Steffi so auf ihrer Vor- oder Ruckhand erwischen. Steffi kann eben-
falls nach links oder rechts ausweichen, um den Ball besser zu treffen. Auf Grund der
unterschiedlichen Fahigkeiten der beiden mit ihren beiden Handen, ergibt sich folgendes
Spiel:
s21 - links s22 - rechtss11 - links (0.5, 0.5) (0.7, 0.3)s12 - rechts (0.8, 0.2) (0.3, 0.7)
Table 3.4.: Tennisspiel - Boris ist Spieler 1, Steffi Spieler 2
Die Nutzen geben dabei jeweils ihre Wahrscheinlichkeit an, einen Punkt zu erzielen.
a) Wie sollten Boris und Steffi spielen?
b) Was passiert, wenn Steffi ihre Ruckhand trainiert, so dass sich ihre Chancen damit
verbessern:
s21 - links s22 - rechtss11 - links (0.4, 0.6) (0.7, 0.3)s12 - rechts (0.8, 0.2) (0.3, 0.7)
Table 3.5.: Tennisspiel mit Steffis verbesserter Ruckhand
Introduction to Game Theory 17
4. Spiele mit stetigem Strategieraum
4.1. Konkurrenz zweier Anbieter
Gerade bei okonomischen Fragestellungen gibt es oft nicht nur einige wenige Strategien,
sondern eine kontinuierliche Menge, etwa den Preis eines Produkts.
Als Beispiel soll hier ein Dyopol von zwei Landwirten dienen. Sie konkurrieren beim
Verkauf einer Getreidemenge x, deren Herstellungskosten abhangig von ihrer Große sind
(je großer die Menge, desto unwirtlichere Flachen mussen genutzt werden): Ki(x) = x2i
Der erzielte Preis ist von der gesamten angebotenen Menge abhangig: p(x) = 100 − x.
Die Landwirte kennen die Produktion ihres Gegenspielers nicht, wollen aber ihren Gewinn
ui(xi, x−i) = p(xi+x−i) · xi −K(xi) maximieren.
Die Gewinnfunktion mit den konkreten Werten sieht daher folgendermaßen aus:
ui = (100− (xi + x−i)) · xi − x2i
ui = (100− x1 − x−i) · xi − x2i
ui = (100− x−i) · xi − 2x2i
Wir bestimmen das Maximum der Gewinnfunktion:
u′i = 100− x−i − 4 · xi = 0
u′′i = −4 < 0→ Maximum!
xi = 25− x−i4
Selbiges gilt naturlich auch fur den anderen Landwirt:
x−i = 25− xi
4
18
Chapter 4. Spiele mit stetigem Strategieraum
Wir konnen sogenannte ”‘Reaktionsfunktionen”’ aufstellen, welche angeben wie die Spieler
auf bestimmte Produktionswerte ihrer Gegner reagieren (Genau genommen geben sie an,
welcher Produktionswert x den maximalen Gewinn liefert). Das Nash-Gleichgewicht ist
der Schnittpunkt dieser Funktionen.
xi = 100− 4 · x−i
100− 4 · x−i = 25− x−i4
x−i = 20 = xi
Figure 4.1.: Die Reaktionen der Landwirte auf ihren Gegenspieler
In diesem Fall ist eine Produktionsmenge x von 20 optimal, jede Abweichung davon
hatte einen verringerten Gewinn zur Folge. Wie aus den Abbildungen 4.1 und 4.2 erken-
ntlich wird, stimmen genau im Punkt (20|20) die Maxima uberein. Halt nun einer der
beiden Landwirte das Nashgleichgewicht ein, ergibt sich fur den anderen folgende Nutzen-
funktion:
ui = (100− (xi + 20)) · xi − x2i = 80 · xi − 2 · x2
i (4.1)
Introduction to Game Theory 19
Chapter 4. Spiele mit stetigem Strategieraum
Wie in Abbildung 4.2 sichtbar, ist es fur den Spieler selbst offensichtlich ebenfalls op-
timal, das Gleichgewicht zu spielen, wie es ja auch sein muss.
Figure 4.2.: ui falls der Gegenspieler das Nash-Gleichgewicht spielt
4.2. Allgemein
Das Ziel des Spielers ist immer die Maximierung seiner Gewinnfunktion. Folglich ist
der erste Schritt zur Losung die Bestimmung ihres Maximums. Da die Gewinnfunktion
normalerweise sowohl von der Strategie si des Spielers, als auch der Strategie s−i seines
Gegners abhangt, differenziert man zuerst nach si und druckt dann si aus der Gleichung
aus. Ist das Spiel symmetrisch, so kann man in der resultierenden Gleichung einfach s−i
durch si ersetzen und sie losen. Andernfalls muss man die Gewinnfunktion fur den anderen
Spieler entsprechend nach s−i ableiten, wiederum si ausdrucken und die resultierende
Gleichung mit der vorigen (von Spieler i) gleichsetzen. Nun kann ebenfalls fur si gelost
werden.
Introduction to Game Theory 20
Chapter 4. Spiele mit stetigem Strategieraum
4.3. Beispiele
4.3.1. Projektarbeit
Zwei faule Schuler sollen gemeinsam an einem Projekt arbeiten, wurden aber gerne die Ar-
beit auf den jeweils anderen abwalzen. Sie wissen, dass ihre Bewertung von ihrer gemein-
samen Leistung abhangt, und auch, dass keiner alleine alles machen wird. Ihre Kosten,
also die eigene Bewertung ihres Arbeitsaufwandes, hangen dabei von der investierten Zeit
t ab: Ki(t) = 2√t + 2.
Ihr Gewinn (Benotung) liegt bei√ti + t−i. Ihr eigentlicher Nutzen resultiert somit als
ui(ti, t−i) =√ti + t−i −K(ti) =
√ti + t−i − 2
√ti + 2.
a) Stelle die Reaktionsfunktionen auf.
b) Bestimme das Nash-Gleichgewicht und interpretiere das Ergebnis.
c) Zeichne die Funktionen und das Gleichgewicht.
4.3.2. Monopol
Das Unternehmen M besitzt ein Monopol auf den Markt mit Stereoanlagen, und dank
seiner seit langem etablierten Fertigung produziert es zu niedrigen Kosten: K(xm) = 3xm
Der Konkurrent und Neuzugang K versucht ebenfalls in diesen Markt einzusteigen.
Da er aber erst Maschinen kaufen und Erfahrungen sammeln muss, sind seine Kosten
geringfugig hoher: K(xk) = 100 + 4xk
Die Kunden sind bereit einen Preis p(x) = 200− x2
zu zahlen. Das ergibt einen Gewinn
von ui(xi, x−i) = p(xi,x−i) · xi −K(xi) fur die Unternehmen.
a) Wie reagiert jedes Unternehmen optimal?
b) Welches Gleichgewicht wird sich ergeben? Interpretiere es.
c) Stelle die Funktionen und das Gleichgewicht graphisch dar.
Introduction to Game Theory 21
5. Evolutorische Spiele
Wie bereits zu Beginn erwahnt, hat die Spieltheorie auch in der Biologie eine wichtige
Rolle inne, und zwar in der Evolution. Evolutionare Ablaufe lassen sich mit Hilfe der
Spieltheorie darstellen und auch fur die wichtigsten Konzepte gibt es Aquivalenzen (Polak,
2008, Vorlesungen 11 und 12).
Im Bereich der Evolution wird der Nutzen ui(si) einer Strategie oft auch als Fitness
bezeichnet. Hier wird der je nach Kontext besser passende Begriff verwendet.
5.1. Grundannahmen
• Es gibt eine sehr große Population von Individuen, von denen jedes fest auf eine
Strategie “verdrahtet” ist, d. h. seine Gene bestimmen, welche Strategie es spielt.
• Wir betrachten nur symmetrische 2-Spieler Spiele, d. h. ein Gen vs. eine Mutation.
• Die “Spieler” werden zufallig zu Paaren zusammengefasst.
• Wir betrachten jeweils nur den durchschnittlichen Nutzen dieser Paarungen.
• Wir nehmen weiters an, dass Strategien, deren durchschnittlicher Nutzen großer als
der anderer ist, relativ zu diesen wachsen. Dies sagt nichts uber das Wachstum der
Population als Ganzes aus!
• Außerdem behandeln wir nun wiederholte Spiele. Das erlaubt uns dynamisches
Verhalten zu betrachten.
5.2. Evolutionare Stabilitat
Stellen wir uns eine große Population vor, in der jeder die selbe Strategie spielt. Diese
Strategie nennen wir evolutionar stabil, falls Mutationen, die eine andere Strategie spielen,
aussterben.
22
Chapter 5. Evolutorische Spiele
5.2.1. Strikt dominierte Strategien
Aus den Annahmen, die wir zuvor getroffen haben, folgt nun, dass strikt dominierte
Strategien keinesfalls evolutionar stabil sein konnen. Es gibt immer Strategien, die einen
großeren Nutzen als sie haben. Ein bereits bekanntes Beispiel soll zur Verdeutlichung
dienen:
s21 - Kooperation s22 - Nicht-Kooperations11 - Kooperation (3,3) (1,4)s12 - Nicht-Kooperation (4,1) (2,2)
Table 5.1.: Das Gefangenendilemma als evolutionares Spiel
Nehmen wir an, dass zu Beginn die gesamte Population aus kooperierenden Individuen
besteht. Nun tritt eine Mutation mit dem Anteil ε auf, die nicht kooperiert. Da die
Paarungen zufallig sind, hat jedes kooperierende Individuum eine Chance von 1 − ε auf
ein anderes kooperierendes zu treffen, und ε auf ein nicht kooperierendes. Der durch-
schnittliche Nutzen fur die kooperierenden Individuen ist damit
(1− ε)[3] + ε[1]
wahrend die nicht kooperierende Mutation einen Nutzen von
(1− ε)[4] + ε[2]
aufweist. Offensichtlich schneidet die nicht kooperierende Mutation besser als die ur-
sprungliche Population ab. Sie wird daher nicht aussterben. Folglich ist Kooperation
keine evolutionar stabile Strategie.
Nehmen wir nun umgekehrt an, die Population bestunde zum Großteil aus nicht kooperieren-
den Individuen. Diese hatten einen durchschnittlichen Nutzen von
(1− ε)[2] + ε[4]
wahrend die kooperierende Mutation nur einen Nutzen von
(1− ε)[1] + ε[3]
aufweist. Die kooperierende Mutation hat einen geringeren Nutzen, sie wird langfristig
gesehen aussterben. Damit ist eine nicht kooperierende Population evolutionar stabil.
Introduction to Game Theory 23
Chapter 5. Evolutorische Spiele
5.2.2. Nash-Gleichgewichte
Wie wir im vorigen Abschnitt belegt haben, ist eine Strategie nur dann evolutionar stabil,
wenn ihr Nutzen großer ist als der anderer Strategien. Dies gilt aber, wie wir in Kapitel
3 gezeigt haben, ebenso fur Nash-Gleichgewichte. Folglich ist jede evolutionar stabile
Strategie auch ein Nash-Gleichgewicht.
Da eine Strategie aber nur dann evolutionar stabil ist, wenn auftretende “Mutationen”
aussterben, muss sie strikt dominant sein. Somit gilt der Umkehrschluss, dass jedes Nash-
Gleichgewicht evolutionar stabil ist, nicht. Nur strikte Nash-Gleichgewichte, in denen
alle Alternativen einen geringeren Nutzen aufweisen, sind auch immer evolutionar stabil.
5.3. Dynamische Gleichgewichte
5.3.1. Replikatorengleichung
Wie wir bereits gesehen haben, entwickeln sich die Verhaltnisse der Strategien entsprechend
ihrer Nutzen. Der Vektor x(t) = (x1(t), . . . , xn(t)) enthalt die Aufteilung der Population
in die n verschiedenen Strategien zum jeweiligen Zeitpunkt t. Dieser ist so normiert, dass
gilt:n∑
i=1
xi(t) = 1 (5.1)
Die Entwicklung der Strategien wird in der Replikatorengleichung festgehalten:
xi(t)
xi(t)= ui(x(t))− u(x(t)) fur t ≥ 0 (5.2)
Auf der linken Seite der Gleichung ist xi(t) der Anteil der von uns betrachteten Strategie.
xi(t) gibt die Anderungsrate dieses Anteils zum Zeitpunkt t an. Gemeinsam beschreiben
sie die relative Anderung dieser Strategie.
Rechts ist ui(x(t)) der Nutzen der von uns betrachteten Strategie i in einem Spiel mit
durch x(t) angegebener Aufteilung auf verschiedene Strategien. u(x(t)) gibt den durch-
schnittlichen Nutzen aller Strategien in diesem Spiel an. Ist diese Differenz dieser Funktio-
nen positiv, das heißt der Nutzen der betrachteten Strategie großer als der Durchschnitt,
wachst der Anteil dieser Strategie.
Definition 6. Wird ein Spiel durch ein Differentialgleichungssystem x = f ′(x) beschrieben,
so sind die Fixpunkte f ′(x) = 0 die (dynamischen) Gleichgewichte dieses Spiels.
Introduction to Game Theory 24
Chapter 5. Evolutorische Spiele
Die so bestimmten Gleichgewichte sind jedoch nicht notwendigerweise strikte Gle-
ichgewichte, eine Abweichung kann profitabel sein.
5.3.2. Marktspiel
Auf einem fiktiven Markt treffen Kaufer und Verkaufer aufeinander. Jeder Kaufer hat
zwei Strategien: den Preis mit anderen Handlern vergleichen oder den Preis des Handlers
akzeptieren. Die Handler besitzen ebenfalls zwei Strategien: einen uberhohten Preis anset-
zen oder in Erwartung eines prufenden Kaufers den Preis wahrheitsgemaß ausschreiben.
Zusatzlich konnen die Spieler diese Strategien mischen, so dass die Menge aller Strate-
gien aus Paaren (p, q) besteht, mit 0 ≤ p ≤ 1 und 0 ≤ q ≤ 1. p ist die Wahrscheinlichkeit,
dass ein Kaufer vergleicht, q die mit der ein Handler einen ehrlichen Preis ansetzt.
Beim Aufeinandertreffen kommt es zu folgenden Ergebnissen:
s21 - ehrlicher Preis s22 - uberhohter Preiss11 - vergleichen (3, 2) (2, 1)s12 - akzeptieren (4, 3) (1, 4)
Table 5.2.: Marktspiel - feilschende Kaufer und wuchernde Handler
Wahlt der Kaufer ”‘vergleichen”’ (p = 1), so ergibt sich sein Nutzen als u1 = 3q+2(1−q) = 2 + q. Akzeptiert er dagegen den Preis des Handlers einfach (p = 0) hat er einen
Nutzen von u1 = 4q + 1(1− q) = 1 + 3q.
Fur den Nutzen des Verkaufers folgen u2 = 2p + 3(1 − p) = 3 − p fur q = 1 und
u2 = 1p + 4(1− p) = 4− 3p fur q = 0.
Der durchschnittliche Nutzen der Kaufer betragt damit
u1 = p(2 + q) + (1− p)(1 + 3q) = 1 + p− 2pq + 3q
und der der Verkaufer
u2 = q(3− p) + (1− q)(4− 3p) = 4− q + 2pq − 3p
Nun konnen wir die Replikatorengleichung anwenden: p ist der Anteil der von uns betra-
chteten Strategie, namlich dass die Kaufer vergleichen. Folglich gibt 2 + q den Nutzen
dieser Strategie an, wahrend der durchschnittliche Nutzen fur alle Kaufer gleich1 + p −2pq + 3q ist. Damit erhalten wir folgendes Wachstum:
p
p= (2 + q)− (1 + p− 2pq + 3q) = (1− p)(1− 2q) (5.3)
Introduction to Game Theory 25
Chapter 5. Evolutorische Spiele
Fur die Verkaufer konnen wir analog verfahren:
q
q= (3− p)− (4− q + 2pq − 3p) = (1− q)(2p− 1) (5.4)
Die Fixpunkte (Nullstellen) dieses Gleichungssystems, und damit auch gleichzeitig die
dynamischen Gleichgewichte, sind (12, 12), (0, 0), (1, 0), (0, 1) und (1, 1). Bis auf (1
2, 12)
sind alle diese Gleichgewichte nur Randgleichgewichtspunkte. Sie sind nur deshalb Gle-
ichgewichte, weil nur jeweils eine Strategie existiert, es also zu keiner Veranderung kom-
men kann. Im Falle einer Mutation (dh. ein Spieler schert aus und spiele eine andere
Strategie) konvergieren diese Gleichgewichte aber immer gegen den Punkt (12, 12). In einer
naturlichen Population wurde nur diese Verteilung auftreten, die anderen Gleichgewichte
(mit homogenen Populationen) wurden durch Mutationen zerstort.
5.4. Beispiele
5.4.1. Jagdverhalten
Es treten bei Lowen zwei verschiedene Verhaltensweisen wahrend der Jagd auf: Entweder
alle Lowen sturzen sich gemeinsam auf das große Gnu, was fette Beute verspricht, oder
jeder schnappt sich den nachsten Hasen, was aber das Gnu entkommen lasst.
s21 - Hase s22 - Gnus11 - Hase (1, 1) (2, 0)s12 - Gnu (0, 2) (3, 3)
Betrachte Populationen die sich a) nur aus Hasenjagern, b) nur aus Gnujagern, c) aus
einem 1:1 , d) einem 3:2 und e) einem 2:3 Mix der beiden Strategien zusammensetzen.
Sind diese jeweils stabil? Wenn nicht, welche Strategie wird sich durchsetzen?
5.4.2. Falke und Taube
Aggressive Falken und friedliche Tauben treffen in ihrem Lebensraum aufeinander. Hier
die von Osborne und Rubinstein (1994) vorgeschlagenen Auszahlungen:
s21 - Falke s22 - Taubes11 - Falke (1−c
2, 1−c
2) (1, 0)
s12 - Taube (0, 1) (12, 1
2)
Bestimme die Gleichgewichte fur a) c > 1 und b) c < 1.
c) Sind die Gleichgewichte aus a) und b) evolutionar stabil? Begrunde dies.
Introduction to Game Theory 26
A. Literatur
Fur interessierte Schuler sehr zu empfehlen sind die Bucher ”‘Die Welt als Spiel”’ (Basieux,
2008) und ”‘Spieltheorie fur Einsteiger”’ (Dixit und Nalebuff, 1997). Diese leiten langsam
in das Thema ein und erschließen es eher intuitiv. Auf hoherem Niveau angesiedelt, und
vor allem mit starkerem Augenmerk auf Mathematik, ist ”‘Einfuhrung in die Spieltheo-
rie”’ (Holler und Illing, 2009). ”‘Game Theory - Analysis of Conflict”’ (Myerson, 1997)
und ”‘Game Theory”’ (Fudenberg und Tirole, 1991) dienen oft als Begleitbucher fur Uni-
vorlesungen und sollten selbst den anspruchsvollsten Schuler zufriedenstellen, allerdings
setzen sie solide Englischkentnisse voraus.
Eine sehr ausfuhrliche Betrachtung des Gefangenendilemmas ist in ”‘Spieltheorie fur
Einsteiger”’ (Dixit und Nalebuff, 1997) zu finden, wo auch verschiedenste Moglichkeiten,
wie ein Entkommen aus dem Dilemma gelingen kann, erlautert werden.
Eine detaillierte Abhandlung evolutorischer Spiele ist in Stanford Encyclopedia of Phi-
losophy (2009) zu finden, wobei das Hauptaugenmerk auf dynamischen Modellen liegt.
Fur den Unterricht eher weniger geeignet, wirft sie doch interessante Fragen auf. Im
weiteren widmet sie sich auch der Verbindung von Spieltheorie und Informatik, wobei es
durchaus moglich ware die entsprechenden Algorithmen im Unterricht zu implementieren.
Auch die Vortrage von Polak (2008) sind sehr zu empfehlen, moglicherweise fur ein
facherubergreifendes Projekt zwischen Mathematik und Englisch. Freundlicherweise von
der University of Yale online frei zur Verfugung gestellt, handelt es sich dabei um die
mitgefilmten Vorlesungen eines ganzen Semesters Spieltheorie. Insgesamt 24 mal je 75
Minuten, sind auch die Tafelnotizen, Handouts und Prufungen inkludiert. Dabei ist es
problemlos moglich einzelne Kapitel herauszugreifen.
27
B. Losungen
B.1. Erklarung
Aus Platzgrunden enthalten die hier anfgefuhrten Losungen nicht immer den Losungsweg,
wo es zu Unklarheiten kommen kann ist dieser aber aufgefuhrt. Die Nummerierung der
Losungen entspricht den Kapitelnummern, außerdem sind sie in der selben Reihenfolge
wie im Text angeordnet.
B.2. Dominierte und dominante Strategien
B.2.1. Simples Beispiel
Die Strategie s23 wird strikt von der Strategie s21 dominiert und deshalb gestrichen. Nun
wird s12 von s11 strikt dominiert und ebenfalls gestrichen. Jetzt wird s22 von s21 strikt
dominiert und kann gestrichen werden. s11 ist nun fur Spieler 1 die strikt dominante
Strategie. Im verbleibenden Spiel ist s21 fur Spieler 2 strikt dominant.
Losung: (s11|s21) = (A|E)
B.2.2. Zeitungskrieg
a)
s21 - 2e s22 - 3es11 - 2e (50.000e, 50.000e) (100.000e, 0e)s12 - 3e (0e, 100.000e) (60.000e, 60.000e)
Table B.1.: Krieg zwischen zwei Zeitungen
b) Strategie s11 (2e Verkaufspreis) ist fur Spieler 1 strikt dominant, s21 fur Spieler 2,
folglich ist (s11|s21) die Losung dieses Spiels.
28
Appendix B. Losungen
B.2.3. Medianwahlermodell
a) Zur Analyse dieses Spiels ist es wichtig an den Randern zu beginnen, das heißt bei
Position 1 bzw. 10. Diese werden namlich durch ihren jeweils inneren Nachbarn strikt
dominiert:
u(s1, s1) = 50% < u(s2, s1) = 90%
u(s1, s2) = 10% < u(s2, s2) = 50%
u(s1, s3) = 15% < u(s2, s3) = 20%
u(s1, s4) = 20% < u(s2, s4) = 25%
u(s1, s5) = 25% < u(s2, s5) = 30%
...
Wobei si naturlich fur die Position i steht. Da die außersten Positionen strikt dominiert
werden konnen wir sie ”‘streichen”’, es ware sinnlos fur beide Parteien, eine derart extreme
Position zu belegen. Wiederholen wir dies oft genug so gelangen wir schließlich zu den
zentralen Positionen. Diese belegen die Parteien schließlich, in unserem Fall 5 und 6.
Dabei ist es egal, welche der beiden Positionen die Parteien jeweils wahlen, sie erhalten
jeweils 50% der Stimmen.
b) Bei mehr als zwei Parteien sieht die Situation anders aus. Eine dritte Partei konnte
von der Mitte abweichen und sich auf 4 positionieren - sie erhielte mindestens 40% der
Stimmen und wurde die Wahl gewinnen.
B.3. Nash-Gleichgewicht
B.3.1. Das Offenbarungsspiel
a)
s21 - Glauben s22 - Nicht-Glaubens11 - Offenbarung (3, 4) (1, 1)s12 - Geheimhaltung (4, 2) (2, 3)
Table B.2.: Das Offenbarungsspiel
b) Das Spiel enthalt ein striktes Nash-Gleichgewicht: Geheimhaltung auf Seiten des
Aliens und Nicht-Glauben auf Seiten des Menschen: (s12|s22)
Introduction to Game Theory 29
Appendix B. Losungen
c) Ja, Geheimhaltung durch das Alien (s12) ist eine strikt dominante Strategie. Unter
Berucksichtigung dieser Tatsache (das Alien wird sich nie offenbaren) ist fur den Menschen
Nicht-Glauben die optimale Strategie.
B.3.2. Kampf der Geschlechter
a)
s21 - Kino s22 - Rugbys11 - Kino (3, 2) (1, 1)s12 - Rugby (0, 0) (2, 3)
Table B.3.: Kampf der Geschlechter - Anna ist Spieler 1, Michael Spieler 2
b) Das Spiel enthalt zwei strikte Nash-Gleichgewichte - jeweils eins fur gleiche Strate-
giewahl: (s11|s21) und (s12|s22).c) Das Nash-Gleichgewicht funktioniert nur dann, wenn der eine Spieler die Entschei-
dung des anderen mitbekommt, ansonsten konnen die Spieler nur zufallig entscheiden.
d) Anna geht mit Wahrscheinlichkeit p ins Kino, Michael mit Wahrsch. q. Damit ergibt
sich:
u1 = p · ([3]q + [1](1− q)) + (1− p) · ([0]q + [2](1− q)) = 4pq − p− 2q + 2
u2 = q · ([2]p + [0](1− p)) + (1− q) · ([1]p + [3](1− p)) = 4pq − 2p− 3q + 3
∂u1
∂p= 4q − 1 = 0
∂u1
∂q= 4p− 2 = 0
∂u2
∂q= 4p− 3 = 0
∂u2
∂p= 4q − 2 = 0
Somit existieren Maxima fur q = 14
und q = 12
sowie p = 34
und p = 12. Davon ist aber
nur die Kombination aus q = 14
und p = 34
ein Nash-Gleichgewicht, da sich nur hier eine
Abweichung nicht lohnt. In den anderen Fallen kann sich jeweils einer der beiden Spieler
durch einseitige Veranderung seiner Strategiemischung verbessern.
B.3.3. Chicken-Spiel
a) siehe Tabelle B.4
Introduction to Game Theory 30
Appendix B. Losungen
s21 - Ausweichen s22 - Kollisionskurss11 - Ausweichen (0, 0) (-1, +1)s12 - Kollisionskurs (+1, -1) (-5, -5)
Table B.4.: Das Chicken-Spiel
b) Die Situationen in denen jeweils ein Spieler ausweicht und der andere Kollisionskurs
fahrt sind Nash-Gleichgewichte: (s12|s21) und (s11|s22).c) Sei p die Wahrscheinlichkeit mit der ein Spieler ausweicht, dann gilt:
ui(s1) = 0· −1 · (1− p) = p− 1
ui(s2) = 1· −5 · (1− p) = 6· −5
p− 1 = 6· −5
p =4
5
Mit p = 45
ergibt sich sodann ein erwarteter ”‘Nutzen”’ von −15. Offensichtlich ist das
Resultat im Durschnitt negativ, es ware also besser, das Spiel erst gar nicht zu spielen.
B.3.4. Tennisspiel
a)
Sei p die Wahrscheinlichkeit, mit der Boris nach links spielt, und q die Wahrschein-
lichkeit mit der Steffi nach links ausweicht. Dann gilt:
u1 = p · ([0.5]q + [0.7](1− q)) + (1− p) · ([0.8]q + [0.3](1− q)) = −0.7pq + 0.4p + 0.5q + 0.3
u2 = q · ([0.5]p + [0.2](1− p)) + (1− q) · ([0.3]p + [0.7](1− p)) = 0.7pq − 0.4p− 0.5q + 0.7
∂u1
∂p= −0.7q + 0.4 = 0
∂u2
∂q= 0.7p− 0.5 = 0
q =4
7
p =5
7
Boris sollte mit einer Wahrscheinlichkeit von 47
nach links spielen, wahrend Steffi zu 57
nach links ausweichen sollte. Boris erreicht dabei einen Nutzen von u1 = 4170≈ 58.6%,
Steffi nur u2 = 2970≈ 41.4%
Introduction to Game Theory 31
Appendix B. Losungen
b)
u1 = p · ([0.4]q + [0.7](1− q)) + (1− p) · ([0.8]q + [0.3](1− q)) = −0.8pq + 0.4p + 0.5q + 0.3
u2 = q · ([0.6]p + [0.2](1− p)) + (1− q) · ([0.3]p + [0.7](1− p)) = 0.8pq − 0.4p− 0.5q + 0.7
∂u1
∂p= −0.8q + 0.4 = 0
∂u2
∂q= 0.8p− 0.5 = 0
q =1
2
p =5
8
Die Verbesserung der Ruckhand fuhrt dazu, dass diese (geringfugig) seltener angespielt
wird: Boris spielt nur noch zu 12
nach links, wahrend Steffi nur mehr zu 58
nach links
ausweicht. Das verbessert Steffis Nutzen auf u2 = 920≈ 45%, wahrend Boris sich auf
u1 = 1120≈ 55% verschlechtert.
B.4. Spiele mit stetigem Strategieraum
B.4.1. Projektarbeit
a)
u′i =1
2√ti + t−i
− 1√ti + 2
= 0
ti =2
3− 4
3t−i
t−i =2
3− 4
3ti
b)
ti = −3
4t−i +
1
2
−4
3t−i +
2
3= −3
4t−i +
1
2
t−i = ti =2
7
Wie schon aus den symmetrischen Nutzenfunktionen zu erkennen ist auch die Losung
symmetrisch, beide Schuler arbeiten gleich lange am Referat. Dabei erreichen sie jeweils
einen Nutzen von −6√7
7und eine Benotung von 2
√7
7
c) Aus Platzgrunden nicht dargestellt.
Introduction to Game Theory 32
Appendix B. Losungen
B.4.2. Monopol
a)
u′m = −xm −xk
2+ 197 = 0
xm = 197− xk
2
u′k = −xk −xm
2+ 196 = 0
xk = 196− xm
2
b)
xm = 392− 2xk
197− xk
2= 392− 2xk
xk = 130
xm = 132
Die optimalen Produktionsmengen der Firmen ahneln sich offenbar sehr stark Ihr
Gewinn unterscheidet sich jedoch: Fur den Monopolisten 69 · 132− 132 · 3 = 8712 und fur
den Konkurrenten 69 · 130− (100 + 4 · 130) = 8350.
B.5. Evolutorische Spiele
B.5.1. Jagdverhalten
a) Bei (s11|s21) handelt es sich um striktes Nash-Gleichgewicht, da u1(s11, s21) > u1(s12, s21)
und u2(s21, s11) > u2(s22, s11), daher ist es auch evolutionar stabil.
b) Auch bei (s12|s22) handelt es sich um striktes Nash-Gleichgewicht, da u1(s12, s22) >
u1(s11, s22) und u2(s22, s12) > u2(s21, s12), daher ist es auch evolutionar stabil.
c) Da beide Strategien gleich oft vertreten sind betragt die Wahrscheinlichkeit eines
Zusammentreffens jeweils 50%. Der durchschnittliche Nutzen eines Hasenjagers liegt
damit bei 0.5 · 1 + 0.5 · 2 = 1.5, der eines Gnujagers bei 0.5 · 0 + 0.5 · 3 = 1.5. Es handelt
sich daher auch hier um ein Nash-Gleichgewicht, allerdings nur um ein schwaches, da
Abweichung zu keinem Nachteil fuhrt. Dieser Strategiemix ist damit nicht evolutionar
stabil.
d) Nun erreicht ein Hasenjager einen Nutzen von 0.6 · 1 + 0.4 · 2 = 1.4, wahrend ein
Gnujager sich mit 0.6 · 0 + 0.4 · 3 = 1.2 begnugen muss. Die Hasenjagdstrategie dominiert
damit, die Population wird gegen das Gleichgewicht aus a) konvergieren.
e) Nun ist die Situation entgegengesetzt zu d), ein Gnujager erreicht einen Nutzen von
0.4 ·0+0.6 ·3 = 1.8, wahrend sich ein Hasenjager mit 0.4 ·1+0.6 ·2 = 1.6 begnugen muss.
Entsprechend konvergiert die Strategiemischung hier gegen das Gleichgewicht aus b)
Introduction to Game Theory 33
Appendix B. Losungen
B.5.2. Falke und Taube
a) Fur c großer als 1, ist der Nutzen, wenn beide die Strategie ”‘Falke”’ spielen (s11|s21),fur beide Spieler negativ. Auf die Biologie angewandt bedeutet dies, dass Kampf bestraft
wird. Da auch das Gegenteil, beide spielen ”‘Taube”’, nicht stabil ist (fur jeden lohnt sich
einseitiges Kampfen mit ”‘Falke”’), muss das Gleichgewicht aus gemischten Strategien
bestehen.
Sei p die Wahrscheinlichkeit, mit der Spieler 1 ”‘Falke”’ spielt, und q die Wahrschein-
lichkeit, mit der Spieler 2 ”‘Falke”’ spielt, dann gilt:
u1(p = 1) = q1− c
2+ 1− q u1(p = 0) =
1
2(1− q)
u1 =1
2(−cpq + p− q + 1)
p
p= −1
2(p− 1)(cq − 1)
Da das Spiel symmetrisch ist, konnen wir die selbe Gleichung auch fur Spieler 2 schreiben:
q
q= −1
2(q − 1)(cp− 1)
Daraus folgen die dynamischen Gleichgewichte (1, 1), (0, 1), (1, 0), (0, 0) und (1c, 1c).
Stabil ist davon aber nur (1c, 1c), alle anderen sind wie zuvor Randgleichgewichtspunkte.
Figure B.1.: Anteile der beiden Strategien fur verschiedene Werte von c
Je großer c, d.h. je starker Kampf bestraft wird, desto großer ist auch der Anteil der
Tauben im Vergleich zu Falken. (vgl. Abbildung B.1)
b) Wenn c kleiner als 1 ist, bedeutet dies, dass die Kombination (s11|s21) fur beide einen
positiven Nutzen hat. Hier wird der Kampf offensichtlich nicht bestraft, auch wenn der
Nutzen moglicherweise kleiner als bei wechselseitiger Kooperation ist. Damit ist s11 fur
Spieler 1 strikt dominant, ebenso wie s21 fur Spieler 2. (s11|s21) ist somit das gesuchte
Gleichgewicht, im Prinzip handelt es sich hier um ein Gefangenendilemma.
c) Ja, da es sich bei allen um strikte Nash-Gleichgewichte handelt.
Introduction to Game Theory 34
Bibliography
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[Stanford Encyclopedia of Philosophy 2009] Stanford Encyclopedia of Philos-ophy: Evolutionary Game Theory. 2009. – URL http://plato.stanford.edu/
entries/game-evolutionary. – [Online; accessed 28-August-2009]
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Ich erklare, dass ich diese Fachbereichsarbeit ausschließlich selbst und ohne Gebrauch
unerlaubter Hilfsmittel oder Hilfen verfasst habe.
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