introduction to game theory

Mathematics

Introduction to Game Theory

Author:Julian Schrittwieser

Advisor:Dr. August Mistlbacher

Februar 12th, 2010

Preface

While I originally concerned myself with game theory out of personal interest, my math-

ematics professor gave me the idea to write a paper on it. I noticed quickly that in order

to master a topic, you need to be able to teach others about it.

My paper should also be used in class, wherefore I included practical examples and their

solutions for every item. Its mainly targeted at high school students, either as supplement

to normal lessons or as base for extracurricular activities. For especially interested pupils

(or teachers) I’ve included a list of further litratur in the appendix.

I’d like to especially thank my professor in mathematics, Dr. August Mistlbacher, with-

out whom this paper wouldn’t have been possible and who always supported me in both

mathematical and other aspects.

Melk, February 12th, 2010 Julian Schrittwieser

ii

Contents

1. Introduction 11.1. What is Game Theory? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Relevancy in other sciences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3. The prisoner’s dilemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4. Concepts and notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4.1. Basic assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4.2. Set of players N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4.3. Strategy space S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4.4. Utility function ui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4.5. Game Γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4.6. Auxiliary definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4.7. Normal form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4.8. Possibilities for analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4.9. Analysis of the prisoner’s dilemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2. Dominant and dominated strategies 82.1. Dominant strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2. Dominated strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3. Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4. Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4.1. Simples Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4.2. Zeitungskrieg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4.3. Medianwahlermodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3. Nash-Gleichgewicht 113.1. Reine Strategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2. Losungsalgorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.3. Gemischte Strategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.3.1. Am Beispiel ”‘Schere-Stein-Papier”’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.3.2. Das Fingerspiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.3.3. Allgemein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.4. Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.4.1. Das Offenbarungsspiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.4.2. Kampf der Geschlechter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.4.3. Chicken-Spiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.4.4. Tennisspiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

iii

Contents

4. Spiele mit stetigem Strategieraum 184.1. Konkurrenz zweier Anbieter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.2. Allgemein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.3. Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.3.1. Projektarbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.3.2. Monopol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5. Evolutorische Spiele 225.1. Grundannahmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225.2. Evolutionare Stabilitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.2.1. Strikt dominierte Strategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.2.2. Nash-Gleichgewichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.3. Dynamische Gleichgewichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.3.1. Replikatorengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.3.2. Marktspiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.4. Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.4.1. Jagdverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.4.2. Falke und Taube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

A. Literatur 27

B. Losungen 28B.1. Erklarung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28B.2. Dominierte und dominante Strategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

B.2.1. Simples Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28B.2.2. Zeitungskrieg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28B.2.3. Medianwahlermodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

B.3. Nash-Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29B.3.1. Das Offenbarungsspiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29B.3.2. Kampf der Geschlechter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30B.3.3. Chicken-Spiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30B.3.4. Tennisspiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

B.4. Spiele mit stetigem Strategieraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32B.4.1. Projektarbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32B.4.2. Monopol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

B.5. Evolutorische Spiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33B.5.1. Jagdverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33B.5.2. Falke und Taube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

C Literaturverzeichnis 35

Introduction to Game Theory iv

1. Introduction

1.1. What is Game Theory?

Game theory is a subtopic of mathematics, which concerns itself with the analysis of

decisions in systems with several actors (in the following called players). The term Game

Theory stems from the origins of this discipline, when one primarily investigated con-

ventional games like Chess or chequers. It was founded in the year 1944 by John von

Neumann and Oskar Morgenstern through their book “Theory of Games and Economic

Behavior” (von Neumann und Morgenstern, 1944).

In the application of game theory to real world situations it’s important to keep in mind

that every model is only as good as it assumptions about reality. Humans don’t always

act rational, different description of the same situation (eg. simultanous or sequential

decisions) and much more can influnece the result.

1.2. Relevancy in other sciences

Game theory is not restricted to mathematics, on the contrary it is used in many other

disciplines as useful tool: In economics, political sciences, sociology, psychology, computer

science and even in biology to describe the process of evolution. (Basieux, 2008, p. 10 ff).

In biology, the focus rests less on the thinking players and more on an evolutionary

force - survival is “success”. Prominent phenomenons, which were explained using game

theory, include the 1:1 gender ratio, the spontaneus emergence of communication between

animals (Harper und Smith, 2003) and biological altruism (Fletcher und Zwick, 2007).

The applications in politics are also interesting - for example, it’s now possible to

explain why political parties tend to move towards a middle ground with their agenda

(Downs, 1957). The largest success has the party which appeals to the average voter, who

lies per definitionem in the middle of the range of voters. Even an explanaition for the

theory of democratical peace (war between democracies is less likely than between non-

democracies) is possible. Just as information about the behavior of countries is easier

1

Chapter 1. Introduction

to obtain in open debates, mistrust tends to be lower, which together tends to make

concessions and compromises more likely (Levy und Razin, 2003).

1.3. The prisoner’s dilemma

One of the most famous examples of game theory is without doubt the so called “prisoner’s

dilemma”, which was first described by Merill Flood and Melvin Dresher in 1950. In this

game, two suspects “play” against each other, without being able to communicate. Each

suspect has two options: He can either remain silent or confess.

Detective Gates shall serve as example. He has arrested two men - Jack and Joe - which

are suspected of drug trafficking. Alas, he can’t directly prove his suspicion, he only has

proof for a small case of shoplifting. His only hope is that one of the suspects will rat out

the other.

In this situation, Jack has two possibilities: He can either confess and incriminate Joe

or he can keep silent. However, Jack’s punishment not only depends on his own decision,

but also on Joe’s. In the following, all possibilities are depicted, with Jack’s decision in

bold.

Silence If Joe remains silent too, detective Gates can only charge them with shoplifting,

so they get away with 2 years in prison. If Joe however should decide to confess,

Jack will have to take the full blame for their crimes - de will be locked away for 10

years.

Confession Should Joe decide not to confess, Jack’s confession is enough to convict Joe

nevertheless. As a reward, Jack is allowed to walk free. If both of them should

confess, their punishment will be split equally, so both will face prison sentence of

5 years.

For the sake of a better overview, the possible outcomes for a given player are summa-

rized in table 1.1.

s21 - Silence s22 - Confessions11 - Silence 2 years jail 10 years jails12 - Confession free 5 years jail

Table 1.1.: Results for a given player

The first column contains the possible “strategies” of the first player, i.e. his possible

decisions. The strategies of the other player are analogously printed in the first row. The

Introduction to Game Theory 2


cells of the table represent the outcomes for player 1, whose strategies are in the first

column.

If we now assume that the players prefer shorter sentences and therefore score them

higher, we can create a new table. In this new table we replace the specific punishment

with its abstrakt representation by means of numbers from 1 to 4 :

4 : Acquittal; 3 : 2 years jail; 2 : 5 years jail; 1 : 10 years jail.

1 represents the worst score and 4 the best one. In the next table, the sentences for

one player in the cells were replaced by a pair of values, one score for each player.

s21 - Silence s22 - Confessions11 - Silence (3,3) (1,4)s12 - Confession (4,1) (2,2)

Table 1.2.: Scores for different outcomes

Now we can look at the possibilities of Jack to reach his goal of minimizing his punish-

ment:

Silence If Joe also keeps silent, Jack reaches his second best result of 3 (2 years in jail).

Should Joe rat him out, this will result in the worst outcome for Jack:: 1 (10 years

of jail)

Confession When Joe keeps silent, Jack can now reach his best result: 4 (Acquittal). If

however Joe also confesses, the second worst result will come to pass - 2.

It’s easy to recognize that Jack is always better of if he confesses - his outcome is

always increased by 1. However, this argument also works for Joe. This leads to a

paradox: Both players will confess, resulting in the second worst possible result. (5 years

in jail) Obviously, it would have been better if the both of them had kept silence - they

would have gotten away with 2 years in jail.

The explanaition for this apparent paradox is simple: Because the decisions between

“silence” and “confession” ultimately take place in private and independent of each other,

it is impossible to enforce any bargain. For each player, it is profitable to deviate from

the bargain, since his result will inrease in every case.

The only possibility to escape this predicament is a superordinate instance, which can

enfore any previously agreed contract. In real life, this role is filled by organisations like

the Mafia.



1.4. Concepts and notation

While we discussed the prisoner’s dilemma relatively informal, a certain nomenclature

simplifies communication. Additionally, certain methods to find solutions need to be

introduced..

1.4.1. Basic assumptions

To be able to analyse a game, we need to assume that all players act rationally, or, in

other words, that they strive to maximize their utility function. In the example of the

prisoner’s dilemma this would be the wish for a short prison term. It is further important,

that not only the players themselves know that they act rational, but that they also know

that the other players know this, etc. - this is called common knowledge.

Additionally, we usually assume that each players knows the rules of the game as well

as the set of all strategies S of all players and their utility functions ui (their possible

decisions and the manner in which they judge different situations) - again, in the con-

text of common knowledge. Games, for which these criteria hold, are called games with

complete information.

1.4.2. Set of players N

In each game we have a finite amount of players, where each player i is part of the set of

players N = {1, . . . , n}. Here, we will only look at game with two players, so the set of

players is limited to N = {1, 2}.

1.4.3. Strategy space S

Each player i has a set of strategies Si at his disposal, from which he ghooses one specific

stratey si. s is a particular game, thus a combination of the strategies chosen by each

player.

In the prisoner’s dilemma, we have two strategies, “Silence” and “Confession”, which

we therefore call s1 and s2.

If we refer to the strategy of a particular player, we combine two digits. The first digit

represents the player and the second digit the strategy. s12 is therefore strategy s2 of

player 1.

The strategy space S is defined as cartesian product of the sets of strategies Si of all

the players: S = S1 × S2 × . . .× Sn



In the concrete case of the prisoner’s dilemma, this means that S = {s11, s12} ×{s21, s22} = {(s11, s21), (s11, s22), (s12, s21), (s12, s22)}. This is the set of all possible combi-

nations of the given strategies.

1.4.4. Utility function ui

The utility, which a given player i can extract from an event, is given by the utility

function ui(s). ui is defined for every strategy si.

ui(si, sj) gives us the utility for player i, if he should play strategy si against strategy

sj. In our previous example, this utility would represent the score the players assigned to

the outcome of the game.. u1(s1, s2) is the utility for player 1 (Jack), if he plays strategy

1 (“Silence”) against strategy 2 of the other player (“Confession”). As we already know,

this will result in a utility of 1.

1.4.5. Game Γ

A particular game with the set of players N , the set of strategies S and the set of utility

functions of all players ui is called Γ = (N,S, u). These three sets contain all information

necessary for the analysis of the game.

1.4.6. Auxiliary definitions

Since it’s helpful for the analysis of a game to focus on the choices of a single player i, we

designate the chosen strategies of all other players by s−i = (s1, . . . , si−1, si+1, . . . , sn), so

that the complete game is given by s = si + s−i.

Because we’ve limited ourselves to two players, s−i represens nothing else than the

strategies of the other player. Therefore, s−1 = s2 and s−2 = s1, where the digit represent

the respective player.

1.4.7. Normal form

Often, we can neatly display games in a table, especially if two players make decisions

indendently.

In the left column are the strategies of the first player (i = 1), in the first row we have

the strategies of the second player (i = 2). In the corresponding cells of the table we find

the results for the given strategies, where the first value is the result resp. the utility for

player 1, and the second for player 2.



s21 - Silence s22 - Confessions11 - Silence (3,3) (1,4)s12 - Confession (4,1) (2,2)

Table 1.3.: Normal form of the prisoner’s dilemma

Let’s look at an arbitrary game, like the one shown in table 1.3. If both player 1 and 2

choose strategy 1, in this case “Silence”, their payoff (the value off their utility function)

will be 3. If player 1 now defects to strategy 2 (“Confession”), he can improve his payoff

to 4, while the payoff for the other player decreases to 1.

1.4.8. Possibilities for analysis

To find the best possible strategie or an equilibrum (certain strategies as reaction to

each other) in a game we have different approaches, which we will discuss in order of

increasing difficulty. Nevertheless, it depends on the game itself which approaches we

choose, since not all of the work all the time. Many times it’s also necessary to combine

several approaches to completely solve a game.

1.4.9. Analysis of the prisoner’s dilemma

Haben wir zuvor das Spiel noch intuitiv gelost, so wollen wir dies nun mathematisch tun,

das heißt unter Anwendung der zuvor eingefuhrten Notation und mit Hilfe von Gleichun-

gen.

Wie in Tabelle 1.3 erkennbar ist, ist der Nutzen der Strategie s2 (”‘Gestandnis”’)

gegenuber jeder Strategie s−i des anderen Spielers großer als der Nutzen der Strategie

s1 (”‘Schweigen”’). Diese Aussage konnen wir nun abstrakter formulieren.

Aus der bereits festgestellten Tatsache, dass die Strategie ”‘Gestandnis”’ (s2) gegen

”‘Schweigen”’ (s1) besser als ”‘Schweigen”’ ist,

ui(s2, s1) = 4 > ui(s1, s1) = 3

sowie aus der Tatsache, dass die Strategie ”‘Gestandnis”’ auch gegen sich selbst effektiver

ist als die Strategie ”‘Schweigen”’

ui(s2, s2) = 2 > ui(s1, s2) = 1



folgt, dass die Strategie ”‘Gestandnis”’ ganz allgemein, dass heißt gegen alle Strategien

des anderen Spielers (s−i), effektiver ist als die Strategie ”‘Schweigen”’:

ui(s2, s−i) > ui(s1, s−i) ∀ s−i ∈ S−i

Die Strategie s2 liefert also gegen jede andere Strategie einen großeren Nutzen als die

Strategie s1. Folglich ist es fur jeden Spieler am Besten, die Strategie s2, ”‘Gestandnis”’,

zu wahlen. Dies gilt, egal was der andere Spieler tut, und wir landen wieder beim bereits

in Abschnitt 1.3 festgestellten Dilemma.


2. Dominant and dominated strategies

2.1. Dominant strategies

Das Gefangenendilemma ist nicht nur ein Paradebeispiel der Spieltheorie, es demonstriert

auch eine dominante Strategie. Dies ist eine Strategie, die immer besser als alle anderen

anwendbaren Strategien eines Spielers ist.

In diesem Zusammenhang sind zwei Definitionen wichtig:

Definition 1. Eine Strategie si heißt strikt dominant, wenn ihr Nutzen gegenuber allen

moglichen Strategien des Gegenspielers großer ist, als die aller anderen Strategien, die

dem Spieler zur Verfugung stehen.

Definition 2. Eine Strategie si heißt schwach dominant, wenn ihr Nutzen nur großer

oder gleich dem anderer Strategien ist.

Folglich war die Strategie ”‘Gestandnis”’ eine strikt dominante Strategie, ein rationaler

Spieler wurde gar keine andere Strategie spielen.

Ist in einem Spiel fur einen (oder mehrere) Spieler eine strikt dominante Strategie

vorhanden, so konnen die anderen Strategien dieses (oder dieser) Spieler(s) ignoriert wer-

den. Es ware schlicht nicht rational diese zu spielen, was die Analyse oft ungemein

erleichtert.

2.2. Dominated strategies

Wie wir eben festgestellt haben, hat eine dominante Strategie immer einen großeren

Nutzen als alle anderen Strategien, die dem Spieler zur Verfugung stehen, dh. sie do-

miniert jede dieser Strategien. Naturlich kann auch das Gegenteil der Fall sein: eine

Strategie, die nie optimal ist.

Definition 3. Eine Strategie si heißt strikt dominiert, falls es eine andere Strategie sj

gibt, die fur alle moglichen Strategien des Gegners einen großeren Nutzen liefert.

8

Chapter 2. Dominant and dominated strategies

ui(si, s−i) < ui(sj, s−i) ∀ s−i (2.1)

Gibt es eine derartige Strategie sj nur fur bestimmte Strategien des Gegners, wahrend

der Nutzen ansonsten gleich groß ist, so nennt man si schwach dominiert:

ui(si, s−i) ≤ ui(sj, s−i) ∀ s−i (2.2)

Strikt dominierte Strategien konnen bei der Analyse eines Spiels ausgenutzt werden,

da sie von einem rationalen Spieler niemals gespielt werden wurden, weil es eine in jedem

Fall bessere Alternative gibt. Daher konnen wir sie einfach “streichen”, das heißt bei der

weiteren Analyse des Spiels ignorieren (Fudenberg und Tirole, 1991, S. 9 ff).

2.3. Beispiel

s21 - D s22 - E s23 - Fs11 - A (3,2) (0,1) (2, 0)s12 - B (2,3) (6,1) (1, 2)s13 - C (1,1) (2,3) (0, 3)

Table 2.1.: Ein Spiel mit strikt dominierter Strategie

Im obigen Spiel ist Spieler 1’s Strategie C strikt dominiert - seine Strategie B liefert

immer einen großeren Nutzen als C, daher streichen wir C. Spieler 2 hat keine dominierte

Strategie, daher konnen wir bei ihm auch nichts streichen.

s21 - D s22 - E s23 - Fs11 - A (3,2) (0,1) (2, 0)s12 - B (2,3) (6,1) (1, 2)

Table 2.2.: Das gleiche Spiel ohne Strategie C

Nun wird Strategie F durch Strategie D strikt dominiert, wir konnen auch sie streichen.

Außerdem dominiert D auch noch E, so dass wir diese Strategie ebenfalls entfernen:

s21 - Ds11 - A (3,2)s12 - B (2,3)

Table 2.3.: Das gleiche Spiel ohne Strategien C, D und E


Chapter 2. Dominant and dominated strategies

Da Spieler 2 nur mehr eine Strategie (D) zur Verfugung hat, kann er keine Entscheidung

treffen, der Ausgang des Spiels hangt einzig von Spieler 1 ab. Da dieser primar seinen

eigenen Nutzen maximieren will, wird er Strategie A spielen. Dadurch bekommt er einen

Nutzen von 3 und Spieler 2 einen Nutzen von 2. Die Kombination der Strategien A und

D als (A, D) bezeichnet man als Losung des Spiels.

2.4. Beispiele

2.4.1. Simples Beispiel

s21 - E s22 - F s23 - G s24 - Hs11 - A (3,2) (6,1) (2, 0) (3, 0)s12 - B (2,3) (5,4) (10, 2) (2, 0)s13 - C (1,5) (7,3) (0, 3) (2, 11)s14 - D (1,4) (2,3) (1, 3) (2, 0)

Table 2.4.: Spiel mit dominanten und dominierten Strategien

Finde die Losung dieses Spiels mit Hilfe der oben angefuhrten Losungsmethoden.

2.4.2. Zeitungskrieg

Zwei Zeitungen konkurrieren miteinander, ihre Produktionskosten liegen bei 1e und ihr

Preis entweder bei 2e oder bei 3e. Die Kunden kaufen immer die billigste Zeitung, im

Falle eines Gleichstands teilen sie sich zu gleichen Teilen auf. Bei einem Preis von 2e

werden 100.000 Zeitungen verkauft, bei 3e nur mehr 60.000.

a) Stelle die Matrix mit den moglichen Strategien und dem jeweiligen Gewinn auf.

b) Finde die Losung dieses Spiels.

2.4.3. Medianwahlermodell

Bestimme die optimale Positionierung zweier Parteien bei einer Wahl. Es stehen dabei

Positionen von 1 bis 10 zur Verfugung, wobei die Wahler gleichmaßig verteilt sind (2

Wahler pro Position) und immer die Partei wahlen, die ihrer eigenen Position am nachsten

ist. Bei Gleichstand spalten sich die Stimmen 1:1.

a) Wo werden sich die Parteien positionieren um großtmoglichen Erfolg zu haben?

b) Wurde sich das Ergebnis verandern, wenn noch eine dritte Partei zur Wahl antritt?


3. Nash-Gleichgewicht

3.1. Reine Strategien

Bei einem Nash-Gleichgewicht wahlt jeder Spieler i seine optimale Strategie s∗i in Bezug

auf die optimalen Strategien aller anderen Spieler, so dass gilt:

ui(s∗i , s∗−i) > ui(si, s

∗−i) ∀ i; si ∈ Si (3.1)

Daraus folgt, dass sich ein Abweichen vom Gleichgewicht fur keinen Spieler lohnt. Das

Gleichgewicht ist somit stabil. Diese Art von Gleichgewicht wird auch als striktes Nash-

Gleichgewicht bezeichnet, da es nur eine Strategiekombination enthalt.

Definition 4. Eine beste Antwort si hat mindestens den gleichen oder einen großeren

Nutzen als alle anderen verfugbaren Strategien eines Spielers gegen eine bestimmte Strate-

gie s−i.

ri(s−i) = {si ∈ Si|ui(si, s−i) ≥ ui(si, s−i) ∀ si ∈ Si} (3.2)

In einem Nash-Gleichgewicht sind die gespielten Strategien jeweils beste Antwort auf

die Strategien der anderen Spieler, formal ausgedruckt als s∗ ∈ r(s∗). Die Menge dieser

besten Antworten beschreiben wir durch die Abbildung ri(s−i). si ist damit fur Spieler i

die beste Antwort auf die Strategiekombination s−i, also si ∈ ri(s−i).

Da wir fur jede beliebige Strategiekombination s fur jeden Spieler i die besten Antworten

ermitteln konnen, konnen wir auch bestimmen, welche Strategien auch beste Antworten

auf sich selbst sind. Aus diesen besteht das Nash-Gleichgewicht.

Zusatzlich unterscheiden wir zwischen einem strikten Nash-Gleichgewicht, bei dem es

nur eine beste Antwort fur jeden Spieler gibt, und einem schwachen Nash-Gleichgewicht,

bei dem jeder Spieler mehrere, gleich gute, ”‘beste”’ Antworten haben kann.

11

Chapter 3. Nash-Gleichgewicht

3.2. Losungsalgorithmus

Ein Nash-Gleichgewicht fur das Spiel in Tabelle 3.1 lasst sich nun mit einem einfachen

Algorithmus bestimmen, der vor allem fur kleine Spiele mit reinen Strategien geeignet

ist. Dabei markieren wir fur jede Strategie des Gegenspielers die hochste erreichbare

Auszahlung, anschließend machen wir selbiges auch fur den anderen Spieler.

s21 - links s22 - Mitte s23 - rechtss11 - oben (3,2) (0,1) (2, 0)s12 - Mitte (0,3) (6,1) (1, 4)s13 - unten (2,0) (1,2) (3, 5)

Table 3.1.: Ein Spiel mit Nash-Gleichgewicht

i=1: s21 - Strategie s11, ”‘oben”’, liefert mit 3 den großten Nutzen

s22 - hier wird durch s12 6 erreicht und markiert

s23 - in diesem Fall dominiert s13 mit 3

i=2: s11 - Strategie s21, ”‘links”’, liefert mit 2 den großten Nutzen

s12 - s23 (”‘rechts”’) erreicht 4

s13 - wiederum bringt s23 (”‘rechts”’) mit 5 am Meisten

Betrachten wir die in Tabelle 3.1 markierten Ergebnisse, so bemerken wir, dass es in

diesem Beispiel sogar zwei Gleichgewichte gibt: Eines fur (s11, s21) und eines fur (s13, s23).

Welches der beiden Gleichgewichte auftritt hangt dabei vom Spielverlauf ab.

3.3. Gemischte Strategien

Bis jetzt haben wir uns nur mit reinen Strategien beschaftig. Das heißt jeder Spieler

entscheidet im voraus (auf Grund der moglichen Strategien seines Gegners), welche Strate-

gie er wahlen wird, und spielt spater auch genau diese. Nun gibt es aber auch Spiele, in

der eine derartige Vorgehensweise wenig sinnvoll ware, etwa bei ”‘Schere, Stein, Papier”’.

Wie unschwer erkennbar ist, gibt es keine einzelne Strategie, die die anderen dominieren

wurde. Jede Strategie ist in genau 13

der Falle siegreich, in 13

kommt es zu einem Un-

entschieden und im letzten Drittel zu einer Niederlage. Daraus folgt, dass es keine Strate-

gie s∗ gibt, gegen die sich fur keinen Spieler ein Abweichen lohnt.



s21 - Schere s22 - Stein s23 - Papiers11 - Schere (0,0) (-1,1) (1, -1)s12 - Stein (1,-1) (0,0) (-1,1)s13 - Papier (-1,1) (1,-1) (0,0)

Table 3.2.: ”‘Schere, Stein, Papier”’

3.3.1. Am Beispiel ”‘Schere-Stein-Papier”’

Erst wenn wir eine Mischung aus verschiedenen Strategien zulassen ist wieder ein Gle-

ichgewicht moglich. Dazu weist jeder Spieler seinen Strategien bestimmte Wahrschein-

lichkeiten zu, mit denen er sie spielen wird. Beispielsweise konnte ein Torwart zu 20% in

der Mitte stehen bleiben und zu je 40% in eine der beiden Ecken seines Tors springen,

um den Schuss eines Sturmers abzuwehren. Wurde er dagegen immer die selbe Strategie

wahlen, konnte der Sturmer dies ausnutzen und entsprechend auf eine ungedeckte Stelle

zielen.

Definition 5. Eine Mischung von Strategien si mit jeweils einer Wahrscheinlichkeit

pi(si) > 0 nennt man gemischte Strategie pi.

Theorem 1. Eine gemischte Strategie bildet genau dann ein Nash-Gleichgewicht, wenn

sie selbst beste Antwort ist. Dabei mussen auch alle in der gemischten Strategie enthal-

tenen Strategien beste Antworten sein, und außerdem den selben (durch die Wahrschein-

lichkeit gewichteten) Nutzen erbringen.

Proof. Ware dies nicht der Fall, konnte die Strategie, die einen niedrigeren Nutzen aufweist,

weggelassen werden, um somit die gemischte Strategie zu verbessern. Dabei wurde allerd-

ings eine neue gemischte Strategie entstehen, die besser ware als die alte. Folglich kann

diese keine beste Antwort sein. Dadurch entsteht ein Widerspruch.

Im Falle von Schere-Stein-Papier wissen wir wegen Satz 1, dass jede der Strategien

eine beste Antwort sein muss. Damit dies moglich ist, muss der Nutzen ui jeder dieser

Strategien gleich sein.

Angenommen Spieler 2 weist ”‘Schere”’ eine Wahrscheinlichkeit von q, ”‘Stein”’ eine

Wahrscheinlichkeit von p und ”‘Papier”’ folglich 1 − q − p zu, konnen wir den zu er-

wartenden Nutzen berechnen. Der bei den jeweiligen Strategien resultierende Nutzen ist

in eckige Klammern gefasst, um ihn von den Wahrscheinlichkeiten zu unterscheiden.

Spieler 1 spielt ”‘Schere”’: u1(s11) = [0] · q + [−1] · p + [1] · (1− q − p)

Spieler 1 spielt ”‘Stein”’: u1(s12) = [1] · q + [0] · p + [−1] · (1− q − p)



Spieler 1 spielt ”‘Papier”’: u1(s13) = [−1] · q + [1] · p + [0] · (1− q − p)

Da der Nutzen fur alle 3 Strategien gleich sein muss folgt daraus:

1− q − 2 · p = −1 + 2 · q + p = −q + p (3.3)

1− q − 2 · p = −q + p |+ q

1− 2 · p = p |+ 2 · p

1 = 3 · p | : 3

p =1

3

q = p =1

3

Die Wahrscheinlichkeiten fur ”‘Schere”’ und ”‘Stein”’ sind also jeweils 13. Folglich bleibt

auch fur ”‘Papier”’ nur mehr diese Wahrscheinlichkeit ubrig. Die gemischte Strategie pi

ist also (13, 13, 13). Diese Strategie ist die optimale Wahl fur jeden der beiden Spieler, eine

Abweichung von ihr bringt keine Verbesserung.

Damit ist allerdings noch nicht gezeigt, dass es nur dieses eine Nash-Gleichgewicht gibt.

Gabe es allerdings noch ein weiteres Gleichgewicht, z. B. eine Mischung aus ”‘Schere”’

und ”‘Stein”’ von Spieler 2, dann ware Spieler 1’s Nutzen von ”‘Stein”’ strikt großer als

von ”‘Schere”’. Spieler 1 wurde ”‘Schere”’ also nicht mehr spielen. Dann ware aber Spieler

2’s Nutzen von ”‘Papier”’ strikt großer als von ”‘Stein”’, folglich durfte er ”‘Stein”’ nicht

mehr spielen. Dann spielt er aber eine reine Strategie, namlich ”‘Schere”’. Wie wir bereits

oben sahen, gibt es kein Gleichgewicht fur reine Strategien.

3.3.2. Das Fingerspiel

Gleichgewichte mit gemischten Strategien sind naturlich auch in asymmetrischen Spielen

vorhanden. Betrachten wir dazu zwei Schuler, die sich mit einem einfachen Spiel die Zeit

vertreiben: Auf ein Signal hin zeigen beide jeweils einen oder zwei Finger. Ein Spieler

gewinnt bei einer geraden Anzahl an Fingern, der andere bei ungerader Anzahl. Der Sieger

erhalt die Anzahl gezeigter Finger als Punkte gutgeschrieben, der Verlierer abgezogen:

Spieler 1 zeigt mit Wahrscheinlichkeit p einen Finger, mit W. 1−p zwei Finger. Gleiches

gilt fur Spieler 2 und q. Damit konnen wir nun fur jeden Spieler den erwarteten Nutzen



s21 - 1 s22 - 2s11 - 1 (2,-2) (-3,3)s12 - 2 (-3,3) (4,-4)

Table 3.3.: Fingerspiel, Spieler 1 gewinnt bei gerader Fingerzahl

bestimmen:

u1 = p · u11 + (1− p) · u12

u1 = p · ([2]q + [−3](1− q)) + (1− p) · ([−3]q + [4](1− q)) = 12pq − 7p− 7q + 4

u2 = q · ([−2]p + [3](1− p)) + (1− q) · ([3]p + [−4](1− p)) = −12pq + 7p + 7q − 4

Wir sehen, dass u1 und u2 aquivalent sind. Da jeder Spieler naturlich den großten Nutzen

erhalten will, bestimmen wir das Maximum dieser Funktionen. Dazu bilden wir die par-

tiellen Ableitungen nach p und q. Im Maximum mussen diese Null sein:

∂u1

∂p= 12q − 7 = 0

∂u2

∂q= −12p + 7 = 0

Fur beide Spieler ist es somit optimal mit einer Wahrscheinlichkeit von 712

einen Finger

und zu 512

zwei Finger zu zeigen. Der Spieler, der bei gerader Fingerzahl gewinnt, hat

einen erwarteten Nutzen von − 112

. Der andere Spieler dagegen kann im Durchschnitt 112

erreichen und hat daher einen Vorteil - langfristig gesehen wird er immer mehr Punkte

erreichen.

3.3.3. Allgemein

Nehmen wir an, es gibt ein Gleichgewicht, in dem Spieler 2 einige seiner Strategien mischt.

Dann mussen alle diese Strategien den selben erwarteten Nutzen liefern. Nun konnen wir

dieses Gleichungssystem fur die Wahrscheinlichkeiten losen, die Spieler 1 seinen Strategien

zuweist. Ist das Spiel nicht symmetrisch, wiederholen wir den Vorgang mit vertauschten

Rollen.

Die erhaltene Losung muss dabei die Strategien enthalten, die wir anfangs angenommen

haben. Außerdem mussen die Losungen wirklich Wahrscheinlichkeiten (0 < x < 1) sein

und es darf keine profitablen Abweichungen vom Gleichgewicht geben.



Bei asymmetrischen Spielen bestimmen wir die erwarteten Nutzen der Spieler 1 und 2.

Diese enthalten die Wahrscheinlichkeiten p und q, mit der die beiden Spieler ihre Strategie

s1 wahlen. Durch Nullsetzen der partiellen Ableitungen findet man in diesem Fall die

Maxima der Nutzenfunktionen. Davon sind nur jene Maxima Nash-Gleichgewichte, bei

denen sich fur keinen Spieler eine Abweichung lohnt.

3.4. Beispiele

3.4.1. Das Offenbarungsspiel

Ein Mensch und ein Alien spielen gegeneinander, wobei das Alien entscheiden kann ob

es sich offenbart oder nicht, und der Mensch, ob er glaubt, dass der andere ein Alien ist

oder nicht. Fur das Alien ist es dabei immer besser, der Mensch glaubt, dass es ein Alien

sei, als wenn er dies nicht tun wurde. Gleichzeitig fuhrt eine Offenbarung immer zu einer

Verschlechterung. Fur den Menschen ist es am Besten, dem Alien zu glauben, falls es sich

offenbart, gefolgt von Glauben, dass es kein Alien sei, falls es sich nicht offenbart. Am

schlechtesten ist ein Unglauben im Falle einer Offenbarung des Aliens.

a) Bringe das Spiel in die Matrixform.

b) Suche das Nash-Gleichgewicht.

c) Kann das Spiel auch mit den Methoden aus Abschnitt 2 gelost werden? Lose es.

3.4.2. Kampf der Geschlechter

Anna und Michael haben es verabsaumt, sich bei ihrem letzten Date auszumachen, wo

sie sich das nachste Mal treffen. Anna wurde gern ins Kino gehen, wahrend Michael

ein Rugby-Spiel besuchen mochte. Beide mussen sich fur eine der beiden Alternativen

entscheiden. Am Liebsten (Nutzen 3 ) wurden sie jeweils mit ihrem Partner ihre eigene

Lieblingsaktivitat ausuben, doch auch die Lieblingsaktivitat ihre Partners ist ihnen lieber

(2 ) als sich zu verfehlen und alleine im Kino bzw. beim Rugby-Spiel zu sein (1 ). Am

schlimmsten fanden sie, alleine die Lieblingsaktivitat des Partners zu besuchen (0 ).

a) Bringe das Spiel in die Matrixform.

b) Wie sieht eine Losung dieses Spiels aus?

c) Welches Problem gibt es bei dieser Losung?

d) Bestimme eine Losung mit gemischten Strategien.



3.4.3. Chicken-Spiel

Zwei Autofahrer rasen auf einer geraden Straße aufeinander zu, Derjenige der zuerst

ausweicht verliert. Weichen beide aus, so passiert nichts. Weicht keiner aus, so kommt es

zu einem Crash, was schlimmer als ein einseitiges Ausweichen bewertet wird.

a) Stelle eine Matrix des Spiels auf.

b) Finde die Nash-Gleichgewichte.

c) Lose das Spiel mit gemischten Strategien fur die Nutzen 0 (beide weichen aus), -1

(nur ich weiche aus), +1 (nur der andere weicht aus) und -5 (keiner weicht aus).

3.4.4. Tennisspiel

Bei einem Tennisturnier treffen die Kontrahenten Boris und Steffi aufeinander. Boris ist

an der Reihe den Ball zu spielen, dabei kann er entweder leicht nach links oder nach

rechts zielen, und Steffi so auf ihrer Vor- oder Ruckhand erwischen. Steffi kann eben-

falls nach links oder rechts ausweichen, um den Ball besser zu treffen. Auf Grund der

unterschiedlichen Fahigkeiten der beiden mit ihren beiden Handen, ergibt sich folgendes

Spiel:

s21 - links s22 - rechtss11 - links (0.5, 0.5) (0.7, 0.3)s12 - rechts (0.8, 0.2) (0.3, 0.7)

Table 3.4.: Tennisspiel - Boris ist Spieler 1, Steffi Spieler 2

Die Nutzen geben dabei jeweils ihre Wahrscheinlichkeit an, einen Punkt zu erzielen.

a) Wie sollten Boris und Steffi spielen?

b) Was passiert, wenn Steffi ihre Ruckhand trainiert, so dass sich ihre Chancen damit

verbessern:

s21 - links s22 - rechtss11 - links (0.4, 0.6) (0.7, 0.3)s12 - rechts (0.8, 0.2) (0.3, 0.7)

Table 3.5.: Tennisspiel mit Steffis verbesserter Ruckhand


4. Spiele mit stetigem Strategieraum

4.1. Konkurrenz zweier Anbieter

Gerade bei okonomischen Fragestellungen gibt es oft nicht nur einige wenige Strategien,

sondern eine kontinuierliche Menge, etwa den Preis eines Produkts.

Als Beispiel soll hier ein Dyopol von zwei Landwirten dienen. Sie konkurrieren beim

Verkauf einer Getreidemenge x, deren Herstellungskosten abhangig von ihrer Große sind

(je großer die Menge, desto unwirtlichere Flachen mussen genutzt werden): Ki(x) = x2i

Der erzielte Preis ist von der gesamten angebotenen Menge abhangig: p(x) = 100 − x.

Die Landwirte kennen die Produktion ihres Gegenspielers nicht, wollen aber ihren Gewinn

ui(xi, x−i) = p(xi+x−i) · xi −K(xi) maximieren.

Die Gewinnfunktion mit den konkreten Werten sieht daher folgendermaßen aus:

ui = (100− (xi + x−i)) · xi − x2i

ui = (100− x1 − x−i) · xi − x2i

ui = (100− x−i) · xi − 2x2i

Wir bestimmen das Maximum der Gewinnfunktion:

u′i = 100− x−i − 4 · xi = 0

u′′i = −4 < 0→ Maximum!

xi = 25− x−i4

Selbiges gilt naturlich auch fur den anderen Landwirt:

x−i = 25− xi

4

18

Chapter 4. Spiele mit stetigem Strategieraum

Wir konnen sogenannte ”‘Reaktionsfunktionen”’ aufstellen, welche angeben wie die Spieler

auf bestimmte Produktionswerte ihrer Gegner reagieren (Genau genommen geben sie an,

welcher Produktionswert x den maximalen Gewinn liefert). Das Nash-Gleichgewicht ist

der Schnittpunkt dieser Funktionen.

xi = 100− 4 · x−i

100− 4 · x−i = 25− x−i4

x−i = 20 = xi

Figure 4.1.: Die Reaktionen der Landwirte auf ihren Gegenspieler

In diesem Fall ist eine Produktionsmenge x von 20 optimal, jede Abweichung davon

hatte einen verringerten Gewinn zur Folge. Wie aus den Abbildungen 4.1 und 4.2 erken-

ntlich wird, stimmen genau im Punkt (20|20) die Maxima uberein. Halt nun einer der

beiden Landwirte das Nashgleichgewicht ein, ergibt sich fur den anderen folgende Nutzen-

funktion:

ui = (100− (xi + 20)) · xi − x2i = 80 · xi − 2 · x2

i (4.1)



Wie in Abbildung 4.2 sichtbar, ist es fur den Spieler selbst offensichtlich ebenfalls op-

timal, das Gleichgewicht zu spielen, wie es ja auch sein muss.

Figure 4.2.: ui falls der Gegenspieler das Nash-Gleichgewicht spielt

4.2. Allgemein

Das Ziel des Spielers ist immer die Maximierung seiner Gewinnfunktion. Folglich ist

der erste Schritt zur Losung die Bestimmung ihres Maximums. Da die Gewinnfunktion

normalerweise sowohl von der Strategie si des Spielers, als auch der Strategie s−i seines

Gegners abhangt, differenziert man zuerst nach si und druckt dann si aus der Gleichung

aus. Ist das Spiel symmetrisch, so kann man in der resultierenden Gleichung einfach s−i

durch si ersetzen und sie losen. Andernfalls muss man die Gewinnfunktion fur den anderen

Spieler entsprechend nach s−i ableiten, wiederum si ausdrucken und die resultierende

Gleichung mit der vorigen (von Spieler i) gleichsetzen. Nun kann ebenfalls fur si gelost

werden.



4.3. Beispiele

4.3.1. Projektarbeit

Zwei faule Schuler sollen gemeinsam an einem Projekt arbeiten, wurden aber gerne die Ar-

beit auf den jeweils anderen abwalzen. Sie wissen, dass ihre Bewertung von ihrer gemein-

samen Leistung abhangt, und auch, dass keiner alleine alles machen wird. Ihre Kosten,

also die eigene Bewertung ihres Arbeitsaufwandes, hangen dabei von der investierten Zeit

t ab: Ki(t) = 2√t + 2.

Ihr Gewinn (Benotung) liegt bei√ti + t−i. Ihr eigentlicher Nutzen resultiert somit als

ui(ti, t−i) =√ti + t−i −K(ti) =

√ti + t−i − 2

√ti + 2.

a) Stelle die Reaktionsfunktionen auf.

b) Bestimme das Nash-Gleichgewicht und interpretiere das Ergebnis.

c) Zeichne die Funktionen und das Gleichgewicht.

4.3.2. Monopol

Das Unternehmen M besitzt ein Monopol auf den Markt mit Stereoanlagen, und dank

seiner seit langem etablierten Fertigung produziert es zu niedrigen Kosten: K(xm) = 3xm

Der Konkurrent und Neuzugang K versucht ebenfalls in diesen Markt einzusteigen.

Da er aber erst Maschinen kaufen und Erfahrungen sammeln muss, sind seine Kosten

geringfugig hoher: K(xk) = 100 + 4xk

Die Kunden sind bereit einen Preis p(x) = 200− x2

zu zahlen. Das ergibt einen Gewinn

von ui(xi, x−i) = p(xi,x−i) · xi −K(xi) fur die Unternehmen.

a) Wie reagiert jedes Unternehmen optimal?

b) Welches Gleichgewicht wird sich ergeben? Interpretiere es.

c) Stelle die Funktionen und das Gleichgewicht graphisch dar.


5. Evolutorische Spiele

Wie bereits zu Beginn erwahnt, hat die Spieltheorie auch in der Biologie eine wichtige

Rolle inne, und zwar in der Evolution. Evolutionare Ablaufe lassen sich mit Hilfe der

Spieltheorie darstellen und auch fur die wichtigsten Konzepte gibt es Aquivalenzen (Polak,

2008, Vorlesungen 11 und 12).

Im Bereich der Evolution wird der Nutzen ui(si) einer Strategie oft auch als Fitness

bezeichnet. Hier wird der je nach Kontext besser passende Begriff verwendet.

5.1. Grundannahmen

• Es gibt eine sehr große Population von Individuen, von denen jedes fest auf eine

Strategie “verdrahtet” ist, d. h. seine Gene bestimmen, welche Strategie es spielt.

• Wir betrachten nur symmetrische 2-Spieler Spiele, d. h. ein Gen vs. eine Mutation.

• Die “Spieler” werden zufallig zu Paaren zusammengefasst.

• Wir betrachten jeweils nur den durchschnittlichen Nutzen dieser Paarungen.

• Wir nehmen weiters an, dass Strategien, deren durchschnittlicher Nutzen großer als

der anderer ist, relativ zu diesen wachsen. Dies sagt nichts uber das Wachstum der

Population als Ganzes aus!

• Außerdem behandeln wir nun wiederholte Spiele. Das erlaubt uns dynamisches

Verhalten zu betrachten.

5.2. Evolutionare Stabilitat

Stellen wir uns eine große Population vor, in der jeder die selbe Strategie spielt. Diese

Strategie nennen wir evolutionar stabil, falls Mutationen, die eine andere Strategie spielen,

aussterben.

22

Chapter 5. Evolutorische Spiele

5.2.1. Strikt dominierte Strategien

Aus den Annahmen, die wir zuvor getroffen haben, folgt nun, dass strikt dominierte

Strategien keinesfalls evolutionar stabil sein konnen. Es gibt immer Strategien, die einen

großeren Nutzen als sie haben. Ein bereits bekanntes Beispiel soll zur Verdeutlichung

dienen:

s21 - Kooperation s22 - Nicht-Kooperations11 - Kooperation (3,3) (1,4)s12 - Nicht-Kooperation (4,1) (2,2)

Table 5.1.: Das Gefangenendilemma als evolutionares Spiel

Nehmen wir an, dass zu Beginn die gesamte Population aus kooperierenden Individuen

besteht. Nun tritt eine Mutation mit dem Anteil ε auf, die nicht kooperiert. Da die

Paarungen zufallig sind, hat jedes kooperierende Individuum eine Chance von 1 − ε auf

ein anderes kooperierendes zu treffen, und ε auf ein nicht kooperierendes. Der durch-

schnittliche Nutzen fur die kooperierenden Individuen ist damit

(1− ε)[3] + ε[1]

wahrend die nicht kooperierende Mutation einen Nutzen von

(1− ε)[4] + ε[2]

aufweist. Offensichtlich schneidet die nicht kooperierende Mutation besser als die ur-

sprungliche Population ab. Sie wird daher nicht aussterben. Folglich ist Kooperation

keine evolutionar stabile Strategie.

Nehmen wir nun umgekehrt an, die Population bestunde zum Großteil aus nicht kooperieren-

den Individuen. Diese hatten einen durchschnittlichen Nutzen von

(1− ε)[2] + ε[4]

wahrend die kooperierende Mutation nur einen Nutzen von

(1− ε)[1] + ε[3]

aufweist. Die kooperierende Mutation hat einen geringeren Nutzen, sie wird langfristig

gesehen aussterben. Damit ist eine nicht kooperierende Population evolutionar stabil.



5.2.2. Nash-Gleichgewichte

Wie wir im vorigen Abschnitt belegt haben, ist eine Strategie nur dann evolutionar stabil,

wenn ihr Nutzen großer ist als der anderer Strategien. Dies gilt aber, wie wir in Kapitel

3 gezeigt haben, ebenso fur Nash-Gleichgewichte. Folglich ist jede evolutionar stabile

Strategie auch ein Nash-Gleichgewicht.

Da eine Strategie aber nur dann evolutionar stabil ist, wenn auftretende “Mutationen”

aussterben, muss sie strikt dominant sein. Somit gilt der Umkehrschluss, dass jedes Nash-

Gleichgewicht evolutionar stabil ist, nicht. Nur strikte Nash-Gleichgewichte, in denen

alle Alternativen einen geringeren Nutzen aufweisen, sind auch immer evolutionar stabil.

5.3. Dynamische Gleichgewichte

5.3.1. Replikatorengleichung

Wie wir bereits gesehen haben, entwickeln sich die Verhaltnisse der Strategien entsprechend

ihrer Nutzen. Der Vektor x(t) = (x1(t), . . . , xn(t)) enthalt die Aufteilung der Population

in die n verschiedenen Strategien zum jeweiligen Zeitpunkt t. Dieser ist so normiert, dass

gilt:n∑

i=1

xi(t) = 1 (5.1)

Die Entwicklung der Strategien wird in der Replikatorengleichung festgehalten:

xi(t)

xi(t)= ui(x(t))− u(x(t)) fur t ≥ 0 (5.2)

Auf der linken Seite der Gleichung ist xi(t) der Anteil der von uns betrachteten Strategie.

xi(t) gibt die Anderungsrate dieses Anteils zum Zeitpunkt t an. Gemeinsam beschreiben

sie die relative Anderung dieser Strategie.

Rechts ist ui(x(t)) der Nutzen der von uns betrachteten Strategie i in einem Spiel mit

durch x(t) angegebener Aufteilung auf verschiedene Strategien. u(x(t)) gibt den durch-

schnittlichen Nutzen aller Strategien in diesem Spiel an. Ist diese Differenz dieser Funktio-

nen positiv, das heißt der Nutzen der betrachteten Strategie großer als der Durchschnitt,

wachst der Anteil dieser Strategie.

Definition 6. Wird ein Spiel durch ein Differentialgleichungssystem x = f ′(x) beschrieben,

so sind die Fixpunkte f ′(x) = 0 die (dynamischen) Gleichgewichte dieses Spiels.



Die so bestimmten Gleichgewichte sind jedoch nicht notwendigerweise strikte Gle-

ichgewichte, eine Abweichung kann profitabel sein.

5.3.2. Marktspiel

Auf einem fiktiven Markt treffen Kaufer und Verkaufer aufeinander. Jeder Kaufer hat

zwei Strategien: den Preis mit anderen Handlern vergleichen oder den Preis des Handlers

akzeptieren. Die Handler besitzen ebenfalls zwei Strategien: einen uberhohten Preis anset-

zen oder in Erwartung eines prufenden Kaufers den Preis wahrheitsgemaß ausschreiben.

Zusatzlich konnen die Spieler diese Strategien mischen, so dass die Menge aller Strate-

gien aus Paaren (p, q) besteht, mit 0 ≤ p ≤ 1 und 0 ≤ q ≤ 1. p ist die Wahrscheinlichkeit,

dass ein Kaufer vergleicht, q die mit der ein Handler einen ehrlichen Preis ansetzt.

Beim Aufeinandertreffen kommt es zu folgenden Ergebnissen:

s21 - ehrlicher Preis s22 - uberhohter Preiss11 - vergleichen (3, 2) (2, 1)s12 - akzeptieren (4, 3) (1, 4)

Table 5.2.: Marktspiel - feilschende Kaufer und wuchernde Handler

Wahlt der Kaufer ”‘vergleichen”’ (p = 1), so ergibt sich sein Nutzen als u1 = 3q+2(1−q) = 2 + q. Akzeptiert er dagegen den Preis des Handlers einfach (p = 0) hat er einen

Nutzen von u1 = 4q + 1(1− q) = 1 + 3q.

Fur den Nutzen des Verkaufers folgen u2 = 2p + 3(1 − p) = 3 − p fur q = 1 und

u2 = 1p + 4(1− p) = 4− 3p fur q = 0.

Der durchschnittliche Nutzen der Kaufer betragt damit

u1 = p(2 + q) + (1− p)(1 + 3q) = 1 + p− 2pq + 3q

und der der Verkaufer

u2 = q(3− p) + (1− q)(4− 3p) = 4− q + 2pq − 3p

Nun konnen wir die Replikatorengleichung anwenden: p ist der Anteil der von uns betra-

chteten Strategie, namlich dass die Kaufer vergleichen. Folglich gibt 2 + q den Nutzen

dieser Strategie an, wahrend der durchschnittliche Nutzen fur alle Kaufer gleich1 + p −2pq + 3q ist. Damit erhalten wir folgendes Wachstum:

p

p= (2 + q)− (1 + p− 2pq + 3q) = (1− p)(1− 2q) (5.3)



Fur die Verkaufer konnen wir analog verfahren:

q

q= (3− p)− (4− q + 2pq − 3p) = (1− q)(2p− 1) (5.4)

Die Fixpunkte (Nullstellen) dieses Gleichungssystems, und damit auch gleichzeitig die

dynamischen Gleichgewichte, sind (12, 12), (0, 0), (1, 0), (0, 1) und (1, 1). Bis auf (1

2, 12)

sind alle diese Gleichgewichte nur Randgleichgewichtspunkte. Sie sind nur deshalb Gle-

ichgewichte, weil nur jeweils eine Strategie existiert, es also zu keiner Veranderung kom-

men kann. Im Falle einer Mutation (dh. ein Spieler schert aus und spiele eine andere

Strategie) konvergieren diese Gleichgewichte aber immer gegen den Punkt (12, 12). In einer

naturlichen Population wurde nur diese Verteilung auftreten, die anderen Gleichgewichte

(mit homogenen Populationen) wurden durch Mutationen zerstort.

5.4. Beispiele

5.4.1. Jagdverhalten

Es treten bei Lowen zwei verschiedene Verhaltensweisen wahrend der Jagd auf: Entweder

alle Lowen sturzen sich gemeinsam auf das große Gnu, was fette Beute verspricht, oder

jeder schnappt sich den nachsten Hasen, was aber das Gnu entkommen lasst.

s21 - Hase s22 - Gnus11 - Hase (1, 1) (2, 0)s12 - Gnu (0, 2) (3, 3)

Betrachte Populationen die sich a) nur aus Hasenjagern, b) nur aus Gnujagern, c) aus

einem 1:1 , d) einem 3:2 und e) einem 2:3 Mix der beiden Strategien zusammensetzen.

Sind diese jeweils stabil? Wenn nicht, welche Strategie wird sich durchsetzen?

5.4.2. Falke und Taube

Aggressive Falken und friedliche Tauben treffen in ihrem Lebensraum aufeinander. Hier

die von Osborne und Rubinstein (1994) vorgeschlagenen Auszahlungen:

s21 - Falke s22 - Taubes11 - Falke (1−c

2, 1−c

2) (1, 0)

s12 - Taube (0, 1) (12, 1

2)

Bestimme die Gleichgewichte fur a) c > 1 und b) c < 1.

c) Sind die Gleichgewichte aus a) und b) evolutionar stabil? Begrunde dies.


A. Literatur

Fur interessierte Schuler sehr zu empfehlen sind die Bucher ”‘Die Welt als Spiel”’ (Basieux,

2008) und ”‘Spieltheorie fur Einsteiger”’ (Dixit und Nalebuff, 1997). Diese leiten langsam

in das Thema ein und erschließen es eher intuitiv. Auf hoherem Niveau angesiedelt, und

vor allem mit starkerem Augenmerk auf Mathematik, ist ”‘Einfuhrung in die Spieltheo-

rie”’ (Holler und Illing, 2009). ”‘Game Theory - Analysis of Conflict”’ (Myerson, 1997)

und ”‘Game Theory”’ (Fudenberg und Tirole, 1991) dienen oft als Begleitbucher fur Uni-

vorlesungen und sollten selbst den anspruchsvollsten Schuler zufriedenstellen, allerdings

setzen sie solide Englischkentnisse voraus.

Eine sehr ausfuhrliche Betrachtung des Gefangenendilemmas ist in ”‘Spieltheorie fur

Einsteiger”’ (Dixit und Nalebuff, 1997) zu finden, wo auch verschiedenste Moglichkeiten,

wie ein Entkommen aus dem Dilemma gelingen kann, erlautert werden.

Eine detaillierte Abhandlung evolutorischer Spiele ist in Stanford Encyclopedia of Phi-

losophy (2009) zu finden, wobei das Hauptaugenmerk auf dynamischen Modellen liegt.

Fur den Unterricht eher weniger geeignet, wirft sie doch interessante Fragen auf. Im

weiteren widmet sie sich auch der Verbindung von Spieltheorie und Informatik, wobei es

durchaus moglich ware die entsprechenden Algorithmen im Unterricht zu implementieren.

Auch die Vortrage von Polak (2008) sind sehr zu empfehlen, moglicherweise fur ein

facherubergreifendes Projekt zwischen Mathematik und Englisch. Freundlicherweise von

der University of Yale online frei zur Verfugung gestellt, handelt es sich dabei um die

mitgefilmten Vorlesungen eines ganzen Semesters Spieltheorie. Insgesamt 24 mal je 75

Minuten, sind auch die Tafelnotizen, Handouts und Prufungen inkludiert. Dabei ist es

problemlos moglich einzelne Kapitel herauszugreifen.

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B. Losungen

B.1. Erklarung

Aus Platzgrunden enthalten die hier anfgefuhrten Losungen nicht immer den Losungsweg,

wo es zu Unklarheiten kommen kann ist dieser aber aufgefuhrt. Die Nummerierung der

Losungen entspricht den Kapitelnummern, außerdem sind sie in der selben Reihenfolge

wie im Text angeordnet.

B.2. Dominierte und dominante Strategien

B.2.1. Simples Beispiel

Die Strategie s23 wird strikt von der Strategie s21 dominiert und deshalb gestrichen. Nun

wird s12 von s11 strikt dominiert und ebenfalls gestrichen. Jetzt wird s22 von s21 strikt

dominiert und kann gestrichen werden. s11 ist nun fur Spieler 1 die strikt dominante

Strategie. Im verbleibenden Spiel ist s21 fur Spieler 2 strikt dominant.

Losung: (s11|s21) = (A|E)

B.2.2. Zeitungskrieg

a)

s21 - 2e s22 - 3es11 - 2e (50.000e, 50.000e) (100.000e, 0e)s12 - 3e (0e, 100.000e) (60.000e, 60.000e)

Table B.1.: Krieg zwischen zwei Zeitungen

b) Strategie s11 (2e Verkaufspreis) ist fur Spieler 1 strikt dominant, s21 fur Spieler 2,

folglich ist (s11|s21) die Losung dieses Spiels.

28

Appendix B. Losungen

B.2.3. Medianwahlermodell

a) Zur Analyse dieses Spiels ist es wichtig an den Randern zu beginnen, das heißt bei

Position 1 bzw. 10. Diese werden namlich durch ihren jeweils inneren Nachbarn strikt

dominiert:

u(s1, s1) = 50% < u(s2, s1) = 90%

u(s1, s2) = 10% < u(s2, s2) = 50%

u(s1, s3) = 15% < u(s2, s3) = 20%

u(s1, s4) = 20% < u(s2, s4) = 25%

u(s1, s5) = 25% < u(s2, s5) = 30%

...

Wobei si naturlich fur die Position i steht. Da die außersten Positionen strikt dominiert

werden konnen wir sie ”‘streichen”’, es ware sinnlos fur beide Parteien, eine derart extreme

Position zu belegen. Wiederholen wir dies oft genug so gelangen wir schließlich zu den

zentralen Positionen. Diese belegen die Parteien schließlich, in unserem Fall 5 und 6.

Dabei ist es egal, welche der beiden Positionen die Parteien jeweils wahlen, sie erhalten

jeweils 50% der Stimmen.

b) Bei mehr als zwei Parteien sieht die Situation anders aus. Eine dritte Partei konnte

von der Mitte abweichen und sich auf 4 positionieren - sie erhielte mindestens 40% der

Stimmen und wurde die Wahl gewinnen.

B.3. Nash-Gleichgewicht

B.3.1. Das Offenbarungsspiel

a)

s21 - Glauben s22 - Nicht-Glaubens11 - Offenbarung (3, 4) (1, 1)s12 - Geheimhaltung (4, 2) (2, 3)

Table B.2.: Das Offenbarungsspiel

b) Das Spiel enthalt ein striktes Nash-Gleichgewicht: Geheimhaltung auf Seiten des

Aliens und Nicht-Glauben auf Seiten des Menschen: (s12|s22)



c) Ja, Geheimhaltung durch das Alien (s12) ist eine strikt dominante Strategie. Unter

Berucksichtigung dieser Tatsache (das Alien wird sich nie offenbaren) ist fur den Menschen

Nicht-Glauben die optimale Strategie.

B.3.2. Kampf der Geschlechter

a)

s21 - Kino s22 - Rugbys11 - Kino (3, 2) (1, 1)s12 - Rugby (0, 0) (2, 3)

Table B.3.: Kampf der Geschlechter - Anna ist Spieler 1, Michael Spieler 2

b) Das Spiel enthalt zwei strikte Nash-Gleichgewichte - jeweils eins fur gleiche Strate-

giewahl: (s11|s21) und (s12|s22).c) Das Nash-Gleichgewicht funktioniert nur dann, wenn der eine Spieler die Entschei-

dung des anderen mitbekommt, ansonsten konnen die Spieler nur zufallig entscheiden.

d) Anna geht mit Wahrscheinlichkeit p ins Kino, Michael mit Wahrsch. q. Damit ergibt

sich:

u1 = p · ([3]q + [1](1− q)) + (1− p) · ([0]q + [2](1− q)) = 4pq − p− 2q + 2

u2 = q · ([2]p + [0](1− p)) + (1− q) · ([1]p + [3](1− p)) = 4pq − 2p− 3q + 3

∂u1

∂p= 4q − 1 = 0

∂u1

∂q= 4p− 2 = 0

∂u2

∂q= 4p− 3 = 0

∂u2

∂p= 4q − 2 = 0

Somit existieren Maxima fur q = 14

und q = 12

sowie p = 34

und p = 12. Davon ist aber

nur die Kombination aus q = 14

und p = 34

ein Nash-Gleichgewicht, da sich nur hier eine

Abweichung nicht lohnt. In den anderen Fallen kann sich jeweils einer der beiden Spieler

durch einseitige Veranderung seiner Strategiemischung verbessern.

B.3.3. Chicken-Spiel

a) siehe Tabelle B.4



s21 - Ausweichen s22 - Kollisionskurss11 - Ausweichen (0, 0) (-1, +1)s12 - Kollisionskurs (+1, -1) (-5, -5)

Table B.4.: Das Chicken-Spiel

b) Die Situationen in denen jeweils ein Spieler ausweicht und der andere Kollisionskurs

fahrt sind Nash-Gleichgewichte: (s12|s21) und (s11|s22).c) Sei p die Wahrscheinlichkeit mit der ein Spieler ausweicht, dann gilt:

ui(s1) = 0· −1 · (1− p) = p− 1

ui(s2) = 1· −5 · (1− p) = 6· −5

p− 1 = 6· −5

p =4

5

Mit p = 45

ergibt sich sodann ein erwarteter ”‘Nutzen”’ von −15. Offensichtlich ist das

Resultat im Durschnitt negativ, es ware also besser, das Spiel erst gar nicht zu spielen.

B.3.4. Tennisspiel

a)

Sei p die Wahrscheinlichkeit, mit der Boris nach links spielt, und q die Wahrschein-

lichkeit mit der Steffi nach links ausweicht. Dann gilt:

u1 = p · ([0.5]q + [0.7](1− q)) + (1− p) · ([0.8]q + [0.3](1− q)) = −0.7pq + 0.4p + 0.5q + 0.3

u2 = q · ([0.5]p + [0.2](1− p)) + (1− q) · ([0.3]p + [0.7](1− p)) = 0.7pq − 0.4p− 0.5q + 0.7

∂u1

∂p= −0.7q + 0.4 = 0

∂u2

∂q= 0.7p− 0.5 = 0

q =4

7

p =5

7

Boris sollte mit einer Wahrscheinlichkeit von 47

nach links spielen, wahrend Steffi zu 57

nach links ausweichen sollte. Boris erreicht dabei einen Nutzen von u1 = 4170≈ 58.6%,

Steffi nur u2 = 2970≈ 41.4%



b)

u1 = p · ([0.4]q + [0.7](1− q)) + (1− p) · ([0.8]q + [0.3](1− q)) = −0.8pq + 0.4p + 0.5q + 0.3

u2 = q · ([0.6]p + [0.2](1− p)) + (1− q) · ([0.3]p + [0.7](1− p)) = 0.8pq − 0.4p− 0.5q + 0.7

∂u1

∂p= −0.8q + 0.4 = 0

∂u2

∂q= 0.8p− 0.5 = 0

q =1

2

p =5

8

Die Verbesserung der Ruckhand fuhrt dazu, dass diese (geringfugig) seltener angespielt

wird: Boris spielt nur noch zu 12

nach links, wahrend Steffi nur mehr zu 58

nach links

ausweicht. Das verbessert Steffis Nutzen auf u2 = 920≈ 45%, wahrend Boris sich auf

u1 = 1120≈ 55% verschlechtert.

B.4. Spiele mit stetigem Strategieraum

B.4.1. Projektarbeit

a)

u′i =1

2√ti + t−i

− 1√ti + 2

= 0

ti =2

3− 4

3t−i

t−i =2

3− 4

3ti

b)

ti = −3

4t−i +

1

2

−4

3t−i +

2

3= −3

4t−i +

1

2

t−i = ti =2

7

Wie schon aus den symmetrischen Nutzenfunktionen zu erkennen ist auch die Losung

symmetrisch, beide Schuler arbeiten gleich lange am Referat. Dabei erreichen sie jeweils

einen Nutzen von −6√7

7und eine Benotung von 2

√7

7

c) Aus Platzgrunden nicht dargestellt.



B.4.2. Monopol

a)

u′m = −xm −xk

2+ 197 = 0

xm = 197− xk

2

u′k = −xk −xm

2+ 196 = 0

xk = 196− xm

2

b)

xm = 392− 2xk

197− xk

2= 392− 2xk

xk = 130

xm = 132

Die optimalen Produktionsmengen der Firmen ahneln sich offenbar sehr stark Ihr

Gewinn unterscheidet sich jedoch: Fur den Monopolisten 69 · 132− 132 · 3 = 8712 und fur

den Konkurrenten 69 · 130− (100 + 4 · 130) = 8350.

B.5. Evolutorische Spiele

B.5.1. Jagdverhalten

a) Bei (s11|s21) handelt es sich um striktes Nash-Gleichgewicht, da u1(s11, s21) > u1(s12, s21)

und u2(s21, s11) > u2(s22, s11), daher ist es auch evolutionar stabil.

b) Auch bei (s12|s22) handelt es sich um striktes Nash-Gleichgewicht, da u1(s12, s22) >

u1(s11, s22) und u2(s22, s12) > u2(s21, s12), daher ist es auch evolutionar stabil.

c) Da beide Strategien gleich oft vertreten sind betragt die Wahrscheinlichkeit eines

Zusammentreffens jeweils 50%. Der durchschnittliche Nutzen eines Hasenjagers liegt

damit bei 0.5 · 1 + 0.5 · 2 = 1.5, der eines Gnujagers bei 0.5 · 0 + 0.5 · 3 = 1.5. Es handelt

sich daher auch hier um ein Nash-Gleichgewicht, allerdings nur um ein schwaches, da

Abweichung zu keinem Nachteil fuhrt. Dieser Strategiemix ist damit nicht evolutionar

stabil.

d) Nun erreicht ein Hasenjager einen Nutzen von 0.6 · 1 + 0.4 · 2 = 1.4, wahrend ein

Gnujager sich mit 0.6 · 0 + 0.4 · 3 = 1.2 begnugen muss. Die Hasenjagdstrategie dominiert

damit, die Population wird gegen das Gleichgewicht aus a) konvergieren.

e) Nun ist die Situation entgegengesetzt zu d), ein Gnujager erreicht einen Nutzen von

0.4 ·0+0.6 ·3 = 1.8, wahrend sich ein Hasenjager mit 0.4 ·1+0.6 ·2 = 1.6 begnugen muss.

Entsprechend konvergiert die Strategiemischung hier gegen das Gleichgewicht aus b)



B.5.2. Falke und Taube

a) Fur c großer als 1, ist der Nutzen, wenn beide die Strategie ”‘Falke”’ spielen (s11|s21),fur beide Spieler negativ. Auf die Biologie angewandt bedeutet dies, dass Kampf bestraft

wird. Da auch das Gegenteil, beide spielen ”‘Taube”’, nicht stabil ist (fur jeden lohnt sich

einseitiges Kampfen mit ”‘Falke”’), muss das Gleichgewicht aus gemischten Strategien

bestehen.

Sei p die Wahrscheinlichkeit, mit der Spieler 1 ”‘Falke”’ spielt, und q die Wahrschein-

lichkeit, mit der Spieler 2 ”‘Falke”’ spielt, dann gilt:

u1(p = 1) = q1− c

2+ 1− q u1(p = 0) =

1

2(1− q)

u1 =1

2(−cpq + p− q + 1)

p

p= −1

2(p− 1)(cq − 1)

Da das Spiel symmetrisch ist, konnen wir die selbe Gleichung auch fur Spieler 2 schreiben:

q

q= −1

2(q − 1)(cp− 1)

Daraus folgen die dynamischen Gleichgewichte (1, 1), (0, 1), (1, 0), (0, 0) und (1c, 1c).

Stabil ist davon aber nur (1c, 1c), alle anderen sind wie zuvor Randgleichgewichtspunkte.

Figure B.1.: Anteile der beiden Strategien fur verschiedene Werte von c

Je großer c, d.h. je starker Kampf bestraft wird, desto großer ist auch der Anteil der

Tauben im Vergleich zu Falken. (vgl. Abbildung B.1)

b) Wenn c kleiner als 1 ist, bedeutet dies, dass die Kombination (s11|s21) fur beide einen

positiven Nutzen hat. Hier wird der Kampf offensichtlich nicht bestraft, auch wenn der

Nutzen moglicherweise kleiner als bei wechselseitiger Kooperation ist. Damit ist s11 fur

Spieler 1 strikt dominant, ebenso wie s21 fur Spieler 2. (s11|s21) ist somit das gesuchte

Gleichgewicht, im Prinzip handelt es sich hier um ein Gefangenendilemma.

c) Ja, da es sich bei allen um strikte Nash-Gleichgewichte handelt.


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Ich erklare, dass ich diese Fachbereichsarbeit ausschließlich selbst und ohne Gebrauch

unerlaubter Hilfsmittel oder Hilfen verfasst habe.

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