i. fundamentos matemáticoslaplace.us.es/campos/teoria/grupo1/t1/1_coordenadas_curvilineas.pdf ·...
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®® Gabriel Cano GGabriel Cano Góómez, 2007/08 mez, 2007/08 Dpto. FDpto. Fíísica Aplicada III (U. Sevilla)sica Aplicada III (U. Sevilla)
Campos ElectromagnCampos ElectromagnééticosticosIngeniero de TelecomunicaciIngeniero de Telecomunicacióónn
Coordenadas curvilCoordenadas curvilííneasneas
I. Fundamentos I. Fundamentos matemmatemááticosticos
2Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) I. n) I. Fundamentos MatemFundamentos Matemááticosticos
®®G
abri
el C
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GG
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Góó m
ez,
07/0
8m
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07/0
8
O
R3
υ3
υ2υ1
P(x,y,z)
O
DescripciDescripcióón del espacion del espacio
E3
Δ2
Δ1
Δ3Π1
Π2P q1q2
q3r
y
z
xP1
P3
P2
X
Y
Z
r(x,y,z)
{x,y,z}: Coordenadas cartesianas
Π3
P ∈ r ∈ , tal que r = OP
=y=x
=z
r =x+y+z =x υ1+y υ2 +z υ3
y
z
x
3Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) I. n) I. Fundamentos MatemFundamentos Matemááticosticos
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O
Π3
DescripciDescripcióón del espacion del espacio
Δ2
Δ1
Δ3Π1
Π2 P
=z
= ϕ
= ρ
{ρ,ϕ,z}: Coordenadas cilíndricas
E3P ∈ r ∈ , tal que r = OP
rz
xX
Y
Z
υ3υ2υ1
r =x+y+z =ρ cosϕ υ1
P(ρ,ϕ,z)
ρϕ
z
y
q1
q2
q3r(ρ,ϕ,z)
+ρ senϕ υ2+z υ3
O
R3
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O
Π3
DescripciDescripcióón del espacion del espacio
Δ2
Δ1
Δ3Π1
Π2 P
=ϕ
{r,θ,ϕ}: Coordenadas esféricas
=θ
=rO
R3E3P ∈ r ∈ , tal que r = OP
z
x
υ3υ2υ1
yX
Y
Z
q1
q2
q3
r =x+y+z
(r,θ,ϕ)rr
ϕ
θ
=rsenθ cosϕ υ1+rsenθ senϕ υ2+r cosθ υ3
P(r,θ,ϕ)
r sen θ
5Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) I. n) I. Fundamentos MatemFundamentos Matemááticosticos
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= x(qq1, q, q22, q, q33) υ1 + y(qq1, q, q22, q, q33) υ2++z(qq1, q, q22, q, q33) υ3
Δr
¿¿QuQuéé son?son?{q1, q2, q3}: terna de números reales (qi ∈ R)
•valores de parámetros geométricos:
RequisitosRequisitosdescripción continua del espacio:
•funciones continuas y derivablesdescripción de todo entorno de P:
• [∂r/∂qi]P deben ser linealmenteindependientes (no coplanarios)
x= x(qq1, q, q22, q, q33); y=y(qq1, q, q22, q, q33);z=z(qq1, q, q22, q, q33)
Coordenadas curvilCoordenadas curvilííneas. Propiedades (I)neas. Propiedades (I)
r=r (qq1, q, q22, q, q33)
O
P ∈E3 OP=r ∈ R3
υ3
υ2υ1
XY
Z
r(q1,q2,q3)
P
P'
r(q'1,q'2,q'3 )
Δr 1 2 31 2 3
q q qq q q
∂ ∂ ∂= Δ + Δ + Δ
∂ ∂ ∂r r r
1 2 3
0q q q
∂ ∂ ∂≠
∂ ∂ ∂r r r ( )i i iq q q′ = + Δ
6Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) I. n) I. Fundamentos MatemFundamentos Matemááticosticos
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Base natural. Sistema de referencia localBase natural. Sistema de referencia localtres vectores linealmente independientes (no coplanarios) son basebase de R3
base natural y punto P forman sistema localsistema local
Coordenadas ortogonalesCoordenadas ortogonalessu base natural es ortogonal en todo P
•factor de escala:
Coordenadas curvilCoordenadas curvilííneas. Propiedades (II)neas. Propiedades (II)
O
υ3
υ2υ1
XY
Z
r(q1,q2,q3)
[ ]1 2 3
1 2 3; ; ; ; P
Pq q q∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
⎡ ⎤=⎢ ⎥
⎣ ⎦
r r r e e e
1 2 3( , , )ii P
q q qq
′
′ ′ ′∂=
∂r e
1 2 3 1⊥ ⊥ ⊥e e e e
1 2 3( , , ) 1i ih q q q= ≠e
e3
e2e1e'3
e'1
e'2
r(q'1,q'2,q'3)
P'P
v
31 1 2 2 3 3
tal que ;v v v= + + ∀ ∈v e e e v
1 2 3( , , )ii P
q q qq
∂≠ =
∂re
2 00;
i i i
i j
hi j
⎧ = >⎪⇔ ⎨ = ≠⎪⎩
⋅⋅
e ee e
Base fBase fíísicasica:
vectores ortogonales unitarios1 2 3 1 2 3( , , ) ( , , ) i i iq q q q q q h=u e
[ ]1 2 3 tal que; ;P
u u u
1; 0i i i i j= = =⋅ ⋅u u u u u
7Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) I. n) I. Fundamentos MatemFundamentos Matemááticosticos
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8LLííneas y superficies coordenadas (I)neas y superficies coordenadas (I)Coordenadas curvilíneas {q1,q2,q3}: r(q1,q2,q3)0R3 P(q1,q2,q3)0E3
r(q1=a;q2=b;q3=c)
O
υ3υ2υ1
XY
Z
1
1Pq
∂
∂=
reCoordenadas Coordenadas ortogonalesortogonales
[ ] [ ]i iP PΔ ⊥ Π
P(a,b,c)
LLííneaneacoordenadacoordenada
RectaRectatangentetangente
SuperficieSuperficiecoordenadacoordenada
PlanoPlanotangentetangente
2e 3e
8Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) I. n) I. Fundamentos MatemFundamentos Matemááticosticos
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Coordenadas Coordenadas ortogonalesortogonales
LLííneas y superficies coordenadas (II)neas y superficies coordenadas (II)Coordenadas curvilíneas {q1,q2,q3}: r(q1,q2,q3)0R3 P(q1,q2,q3)0E3
9Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) I. n) I. Fundamentos MatemFundamentos Matemááticosticos
®®G
abri
el C
ano
GG
abri
el C
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Elemento Elemento de arcode arco
DiferencialDiferencialde caminode camino
Elementos de geometrElementos de geometríía diferencial (I)a diferencial (I)
ddrr
PP d′ = r
{ } 1,2,3i i i iq q dq
=′ = +
ddrr22ddrr11
ddrr33
dsds
ds d d d= = ⋅r r r
10Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) I. n) I. Fundamentos MatemFundamentos Matemááticosticos
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Diferencial Diferencial de de superficiesuperficie
ddrr11ddττ
ddrr33ddrr22
Elementos de geometrElementos de geometríía diferencial (II)a diferencial (II)
1 2 3d d d= ×S r r2 3 1d d d= ×S r r3 1 2d d d= ×S r r
ddSS11Diferencial Diferencial de de volumenvolumen
i id d dτ = ⋅r S
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