®® Gabriel Cano GGabriel Cano Góómez, 2007/08 mez, 2007/08 Dpto. FDpto. Fíísica Aplicada III (U. Sevilla)sica Aplicada III (U. Sevilla)

Campos ElectromagnCampos ElectromagnééticosticosIngeniero de TelecomunicaciIngeniero de Telecomunicacióónn

Coordenadas curvilCoordenadas curvilííneasneas

I. Fundamentos I. Fundamentos matemmatemááticosticos

2Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) I. n) I. Fundamentos MatemFundamentos Matemááticosticos

®®G

abri

el C

ano

GG

abri

el C

ano

Góó m

ez,

07/0

8m

ez,

07/0

8

O

R3

υ3

υ2υ1

P(x,y,z)

O

DescripciDescripcióón del espacion del espacio

E3

Δ2

Δ1

Δ3Π1

Π2P q1q2

q3r

y

z

xP1

P3

P2

X

Y

Z

r(x,y,z)

{x,y,z}: Coordenadas cartesianas

Π3

P ∈ r ∈ , tal que r = OP

=y=x

=z

r =x+y+z =x υ1+y υ2 +z υ3

y

z

x

3Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) I. n) I. Fundamentos MatemFundamentos Matemááticosticos

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ez,

07/0

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O

Π3

DescripciDescripcióón del espacion del espacio

Δ2

Δ1

Δ3Π1

Π2 P

=z

= ϕ

= ρ

{ρ,ϕ,z}: Coordenadas cilíndricas

E3P ∈ r ∈ , tal que r = OP

rz

xX

Y

Z

υ3υ2υ1

r =x+y+z =ρ cosϕ υ1

P(ρ,ϕ,z)

ρϕ

z

y

q1

q2

q3r(ρ,ϕ,z)

+ρ senϕ υ2+z υ3

O

R3

4Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) I. n) I. Fundamentos MatemFundamentos Matemááticosticos

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O

Π3

DescripciDescripcióón del espacion del espacio

Δ2

Δ1

Δ3Π1

Π2 P

=ϕ

{r,θ,ϕ}: Coordenadas esféricas

=θ

=rO

R3E3P ∈ r ∈ , tal que r = OP

z

x

υ3υ2υ1

yX

Y

Z

q1

q2

q3

r =x+y+z

(r,θ,ϕ)rr

ϕ

θ

=rsenθ cosϕ υ1+rsenθ senϕ υ2+r cosθ υ3

P(r,θ,ϕ)

r sen θ

5Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) I. n) I. Fundamentos MatemFundamentos Matemááticosticos

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Góó m

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07/0

8m

ez,

07/0

8

= x(qq1, q, q22, q, q33) υ1 + y(qq1, q, q22, q, q33) υ2++z(qq1, q, q22, q, q33) υ3

Δr

¿¿QuQuéé son?son?{q1, q2, q3}: terna de números reales (qi ∈ R)

•valores de parámetros geométricos:

RequisitosRequisitosdescripción continua del espacio:

•funciones continuas y derivablesdescripción de todo entorno de P:

• [∂r/∂qi]P deben ser linealmenteindependientes (no coplanarios)

x= x(qq1, q, q22, q, q33); y=y(qq1, q, q22, q, q33);z=z(qq1, q, q22, q, q33)

Coordenadas curvilCoordenadas curvilííneas. Propiedades (I)neas. Propiedades (I)

r=r (qq1, q, q22, q, q33)

O

P ∈E3 OP=r ∈ R3

υ3

υ2υ1

XY

Z

r(q1,q2,q3)

P

P'

r(q'1,q'2,q'3 )

Δr 1 2 31 2 3

q q qq q q

∂ ∂ ∂= Δ + Δ + Δ

∂ ∂ ∂r r r

1 2 3

0q q q

∂ ∂ ∂≠

∂ ∂ ∂r r r ( )i i iq q q′ = + Δ

6Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) I. n) I. Fundamentos MatemFundamentos Matemááticosticos

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ez,

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8m

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07/0

8

Base natural. Sistema de referencia localBase natural. Sistema de referencia localtres vectores linealmente independientes (no coplanarios) son basebase de R3

base natural y punto P forman sistema localsistema local

Coordenadas ortogonalesCoordenadas ortogonalessu base natural es ortogonal en todo P

•factor de escala:

Coordenadas curvilCoordenadas curvilííneas. Propiedades (II)neas. Propiedades (II)

O

υ3

υ2υ1

XY

Z

r(q1,q2,q3)

[ ]1 2 3

1 2 3; ; ; ; P

Pq q q∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

⎡ ⎤=⎢ ⎥

⎣ ⎦

r r r e e e

1 2 3( , , )ii P

q q qq

′

′ ′ ′∂=

∂r e

1 2 3 1⊥ ⊥ ⊥e e e e

1 2 3( , , ) 1i ih q q q= ≠e

e3

e2e1e'3

e'1

e'2

r(q'1,q'2,q'3)

P'P

v

31 1 2 2 3 3

tal que ;v v v= + + ∀ ∈v e e e v

1 2 3( , , )ii P

q q qq

∂≠ =

∂re

2 00;

i i i

i j

hi j

⎧ = >⎪⇔ ⎨ = ≠⎪⎩

⋅⋅

e ee e

Base fBase fíísicasica:

vectores ortogonales unitarios1 2 3 1 2 3( , , ) ( , , ) i i iq q q q q q h=u e

[ ]1 2 3 tal que; ;P

u u u

1; 0i i i i j= = =⋅ ⋅u u u u u

7Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) I. n) I. Fundamentos MatemFundamentos Matemááticosticos

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ano

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abri

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8m

ez,

07/0

8LLííneas y superficies coordenadas (I)neas y superficies coordenadas (I)Coordenadas curvilíneas {q1,q2,q3}: r(q1,q2,q3)0R3 P(q1,q2,q3)0E3

r(q1=a;q2=b;q3=c)

O

υ3υ2υ1

XY

Z

1

1Pq

∂

∂=

reCoordenadas Coordenadas ortogonalesortogonales

[ ] [ ]i iP PΔ ⊥ Π

P(a,b,c)

LLííneaneacoordenadacoordenada

RectaRectatangentetangente

SuperficieSuperficiecoordenadacoordenada

PlanoPlanotangentetangente

2e 3e

8Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) I. n) I. Fundamentos MatemFundamentos Matemááticosticos

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abri

el C

ano

GG

abri

el C

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Góó m

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07/0

8m

ez,

07/0

8

Coordenadas Coordenadas ortogonalesortogonales

LLííneas y superficies coordenadas (II)neas y superficies coordenadas (II)Coordenadas curvilíneas {q1,q2,q3}: r(q1,q2,q3)0R3 P(q1,q2,q3)0E3

9Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) I. n) I. Fundamentos MatemFundamentos Matemááticosticos

®®G

abri

el C

ano

GG

abri

el C

ano

Góó m

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07/0

8m

ez,

07/0

8

Elemento Elemento de arcode arco

DiferencialDiferencialde caminode camino

Elementos de geometrElementos de geometríía diferencial (I)a diferencial (I)

ddrr

PP d′ = r

{ } 1,2,3i i i iq q dq

=′ = +

ddrr22ddrr11

ddrr33

dsds

ds d d d= = ⋅r r r

10Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) I. n) I. Fundamentos MatemFundamentos Matemááticosticos

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abri

el C

ano

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abri

el C

ano

Góó m

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07/0

8m

ez,

07/0

8

Diferencial Diferencial de de superficiesuperficie

ddrr11ddττ

ddrr33ddrr22

Elementos de geometrElementos de geometríía diferencial (II)a diferencial (II)

1 2 3d d d= ×S r r2 3 1d d d= ×S r r3 1 2d d d= ×S r r

ddSS11Diferencial Diferencial de de volumenvolumen

i id d dτ = ⋅r S