elsd.ssru.ac.thelsd.ssru.ac.th/sopaphan_ve/pluginfile.php/103/course... · web...

แผนการจดการเรยนรท 1

หนวยการเรยนรท 1 หลกการนบเบองตน เรอง หลกการนบเบองตนวชา ค 31102 ชอรายวชา คณตศาสตร 2 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตรชนมธยมศกษาปท 4 ภาคเรยนท 2 ป ก า ร ศ ก ษ า 2561 เ ว ล า 2 ช ว โ ม งผสอน อาจารยโสภาพรรณ เวชากล

ตวชวดชนปตวชวด ค 3.2 ม. 4/1 เขาใจและใชหลกการบวกและการคณ

การเรยง สบเปลยน และการจดหมในการแกปญหาจดประสงคการเรยนร

นกเรยนสามารถเขยนแผนภาพตนไมของความนาจะเปนไดและเขาใจกฎการนบเบองตน

สาระสำาคญ

แผนภาพตนไม คอ วธการในการแกปญหาทางคณตศาสตรทเกยวของกบการหาจำานวนวธการทงหมดทเปนไปไดของเหตการณหนงๆ

หลกการบวก

ในการพจารณาวาการจะนำาวธการในแตละสงทเราทำาไดมาบวกกนหรอมาคณกนนนใหเราพจารณาวางานนนๆ เสรจงาน ตามทโจทยตองการหรอยง

ถางานนนสามารถแบงออกเปน k กรณ โดย

กรณ 1 สามารถทำางานเสรจสนได วธกรณ 2 สามารถทำางานเสรจสนได วธกรณ 3 สามารถทำางานเสรจสนได วธ กรณ k สามารถทำางานเสรจสนได วธ

จำานวนวธการทำางานทงหมด วธ

หลกการคณ

ถาในการทำางานชนหนงสามารถแบงงานเปน k ขนตอนดวย

ขนตอนท 1 สามารถทำางานไดทงหมด วธ

ขนตอนท k สามารถทำางานไดทงหมด วธ

จำานวนวธการทำางานชนหนงดงกลาวทงหมด คอ

วธ

สาระการเรยนร

ดานความร1. สามารถแกโจทยปญหาโดยใชกฎเกณฑเบองตนเกยวกบ

การนบได 2. สามารถแกโจทยปญหาโดยใชแผนภาพตนไมอยางงายได 3. ตระหนกถงความสมเหตสมผลของคำาตอบจากการ

คำานวณและการแกปญหาได ดานทกษะกระบวนการ

1. มทกษะในการแกปญหาและใหเหตผลได2. มการสอสาร สอความหมายทางคณตศาสตร และ

การนำาเสนอ3. มทกษะการใชกฎการนบในการประยกตใชได

ดานคณลกษณะ1. มความรบผดชอบ2. มระเบยบวนย3. ใฝเรยนรและมงในการทำางาน

กจกรรมการเรยนร

กจกรรมนำาเขาสบทเรยน

ครพดถงคำาวาโอกาสหมายถงอะไร โอกาสในการกระทำาสงใดจะมกวธในการกระทำาได

กจกรรมพฒนาผเรยน1. ครนำานกเรยนสนทนาวาใครเคยมปญหาเรองการจดชด

เสอผา จดชดอาหาร จดชดสงของตางๆ และนกเรยนมวธแกไขปญหาอยางไร ครเปดโอกาสใหนกเรยนทเคยมปญหา เลาปญหา วธแกปญหา พรอมใหนกเรยนคนอนรวมสนทนาแสดงความคดเหน

2. ครบอกนกเรยนเกยวกบแผนภาพตนไมวาคออะไร

แผนภาพตนไม คอ วธการในการแกปญหาทางคณตศาสตรทเกยวของกบการหาจำานวนวธการทงหมดทเปนไปไดของเหตการณหนงๆ3. ครแสดงวธแกปญหา หรอหาคำาตอบโดยการแผนภาพตนไมของการจดชดเสอผา ทมเสอ 3 ตว กางเกง 2 ตว โดยนกเรยนควรอานโจทยใหเขาใจวาในปญหานนกำาหนดเงอนไขอะไรบาง การพจารณาเงอนไขของปญหาจะชวยใหสามารถกำาหนดขนตอนในการแกปญหา ซงจะชวยใหสามารถหาคำาตอบไดงายขน

กางเกง เสอเสอตวท 1 ชดท 1

กางเกงท 1 เสอตวท 2 ชดท 2เสอตวท 3 ชดท 3

กางเกง เสอเสอตวท 1 ชดท 4

กางเกงท 2 เสอตวท 2 ชดท 5เสอตวท 3 ชดท 6

4. ครถามนกเรยนใครตอบ 6 วธ และมวธอยางไร พรอมใหนกเรยนอภปรายวธใหคำาตอบ

5. ครสรปเราใชหลกในการคำานวณ 6 วธ ทไดมานเกดจากการกระทำาท 1 (เลอกกางเกง) ทำาได 2 วธ และในแตละวธน สามารถกระทำาอยางท 2 (เลอกเสอ) ได 3 วธ ดงนนไดทงหมด 2 × 3 = 6 วธ เพอความเขาใจตรงกน สรปเปนกฎขอท 1 ไดดงน

กฎการนบ (กฏการคณ)ถาในการทำางานชนหนงสามารถแบงงานเปน k ขนตอนดวย

ขนตอนท k สามารถทำางานไดทงหมด วธ

จำานวนวธการทำางานชนหนงดงกลาวทงหมด คอ

วธ

6. ครยกตวอยางตอไปโดยโจทยกำาหนดใหนกเรยนตองจดชดเสอ 5 ตว กางเกง 3 ตว ถงเทา 5 ค รองเทา 2 ค หมวก 2 ใบ จะจดชดแตงตวใหครบทง 5 อยาง ไดทงหมดกวธ บนกระดาน ใหนกเรยนลองหาคำาตอบโดยเขยนคำาตอบในกระดาษ

7. ครแสดงวธแกปญหา หรอหาคำาตอบโดยการแผนภาพตนไมของการจดชดเสอผาทมเสอ 5 ตว กางเกง 3 ตว ถงเทา 5 ค รองเทา 2 ค หมวก 2 ใบ จะจดชดแตงตวใหครบทง 5 อยาง ไดทงหมดกวธโดยนกเรยนควรอานโจทยใหเขาใจวาในปญหานนกำาหนดเงอนไขอะไรบาง การพจารณาเงอนไขของปญหาจะชวยใหสามารถกำาหนดขนตอนในการแกปญหา ซงจะชวยใหสามารถหาคำาตอบไดงายขน

วธทำา แตงตว 1 ชด ตองใสกางเกง เสอ ถงเทา รองเทา และหมวก

โดย ทำางานอยางแรก เลอกเสอได 3 วธทำางานอยางทสอง เลอกกางเกงได 5 วธทำางานอยางทสาม เลอกถงรองเทาได 2 วธทำางานอยางทส เลอกรองเทาได 2 วธทำางานอยางทหา เลอกหมวกได 2 วธดงนนจะเลอกแตงชดไดทงหมด 3 5 2 22 = 120

วธ

8. ครสรปเราใชหลกในการคำานวณ 120 วธ ทไดมานเกดจากการกระทำาท 1 (เลอกเสอ) ทำาได 3 วธ และในแตละวธน สามารถกระทำาอยางท 2 (เลอกกางเกง) ได 5 วธ และในแตละวธน สามารถกระทำาอยางท 3 (เลอกถงรองเทา) ได 2 วธ และในแตละวธน สามารถกระทำาอยางท 4 (เลอกรองเทา) ได 2 วธ และในแตละวธน สามารถกระทำาอยางท 4 (เลอกหมวก) ได 2 วธ ดงนน ไดทงหมด 3 × 5 × 2 × 2 × 2 = 120 วธ เพอความเขาใจตรงกน

9. ครยกตวอยางเพมเตมเพอใหนกเรยนไดฝกฝนและทำาความเขาใจมากขน

ตวอยาง ฟวเจอรผโอบออมอาร ตองการแจกแอปเป ลอย 4 ลก ตองการมอบใหเพอนรก 10 คน จะมวธการแจกกวธเมอ 1) ไมมเงอนไข

วธทำา ฟวเจอรตองการแจกแอปเป ล 4 ลกใหเพอนสบคนโดยทำางานอยางแรก เลอกได 10 วธโดยทำางานอยางสอง เลอกได 10 วธ

โดยทำางานอยางสาม เลอกได 10 วธโดยทำางานอยางทส เลอกได 10 วธ

ดงนนฟวเจอรจะเลอกแจกแอปเป ลใหเพอนไดทงหมด 10x10x10x10 = 10000 วธ

2) ไมใหซำาคนวธทำา โดยทำางานอยางแรก เลอกได 10 วธ

โดยทำางานอยางสอง เลอกได 9 วธโดยทำางานอยางสาม เลอกได 8 วธโดยทำางานอยางทส เลอกได 7 วธ

ดงนนฟวเจอรจะเลอกแจกแอปเป ลใหเพอนไดทงหมด 10 x 9 x 8 x 7 วธ

ตวอยาง ในงานเลยงงานแตงงานงานหนง ในจำานวนผรวมงานครงนม พลอย แอนท แปงและหยก ไดนำารมตดตวมาดวยและไดนำารมมาวางไวในทๆจดเตรยมไว ซงมเฉพาะรมของคนทง 4 นเทานน เมองานเลก จงหาวธทงหมดทคนทง 4 คน หยบรมทวางไวแบบไมเจาะจง

วธทำา วธในการททง 4 คน จะหยบรม 1 คนโดยไมเจาะจง แบงเปนออกเปน 4 ขนตอนดงนโดย งานขนแรก พลอยหยบรม 1 คนจากรม 4 คน จะเลอกไดทงหมด 4 วธ

งานขนทสอง แอนทหยบรม 1 คนจากรมทเหลอ 3 คน จะเลอกไดทงหมด 3 วธ

งานขนทสาม แปงหยบรม 1 คนจากรมทเหลอ 2 คน จะเลอกไดทงหมด 2 วธ

งานขนทส หยกหยบรม 1 คน จากรมทเหลอ 1 คน จะเลอกไดทงหมด 1 วธ

ดงนนจะมวธการหยบรม ทงหมด 4x3x2x1 = 24 วธ

10.นกเรยนบนทกอภปรายและสรปองคความรจากตวอยางทผานมาพรอมคำาอธบายเพมเตม

11.ครอธบายเพมเตมถงกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ยงมกฎการบวก ใน การทำางานอยางหนงมวธการทำางานได k แบบ แตละแบบงานเสรจโดยไมตอเนองกบแบบอน

12.ครยกตวอยางการใชกฎการบวก (Addition principle) และเนนใหนกเรยนควรอานโจทยใหเขาใจวาในปญหานนกำาหนดเงอนไขอะไรบางการพจารณาเงอนไขของปญหาจะ ชวยใหสามารถกำาหนดขนตอนในการแกปญหา ซงจะชวยใหสามารถหาคำาตอบไดงายขน

ตวอยาง ตองการจำานวนค 4 หลก โดยเลอกจากตวเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4, 5 โดยเลขในแต ละหลกใชเลขโดดไมซำากน จะไดจำานวนคทงหมดกจำานวน

วธทำา เนองจาก 4 หลก ในหลกพน เปน 0 ไมไดและในหลกหนวยจะตองเปนเลข 0, 2, 4 จงจะเปนจำานวนคทตองการดงนน กรณท 1 เลขคหลกหนวยเปนเลข 0

เลอกตวเลขหลกหนวย 1 วธเลอกตวเลขหลกสบ 5 วธเลอกตวเลขหลกรอย 4 วธเลอกตวเลขหลกพน 3 วธ

จำานวนคจะได 1 5 4 3 = 60 จำานวนกรณท 2 เลขคทหลกหนวยไมเปนเลข 0

เลอกตวเลขหลกหนวย 2 วธเลอกตวเลขหลกพน 4 วธเลอกตวเลขหลกรอย 4 วธเลอกตวเลขหลกสบ 3 วธ

จำานวนคจะได 2 4 4 4 = 96 จำานวน

ดงนน จะไดจำานวนค 4 หลก จากเลอกตวเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4, 5 โดยเลขในแตละหลกไมซำากนไดทงหมด 60 + 96 = 156 จำานวน

13. ครยกตวอยางกฎการบวกเพมเตมตวอยาง มสลาก 6 ใบมความหมาย 1-6 กำากบไว ใหสมหยบ

สลาก 2 ครงๆละใบ ถาครงแรกไดเลขคใหใสสลากใบนนกลบคนกอนหยบครงทสอง แตถาครงแรกไดเลขค กหยบครงทสองไดโดยไมตองใสสลากกลบคน1) วธทหยบไดทงหมดมคาเทาใด

วธทำา วธการหยบฉลาก สองครงครงละ 1 ใบจากฉลาก 6 ใบ โดยแบงเปน 2 กรณ ดงน

กรณท 1 วธการหยบฉลากไดเลขค ทำางานโดย งานขนท 1 หยบครงแรกไดเลขค จากเลขค 3 ใบ

ทำาได 3 วธงานขนท 2 หยบครงทสอง จากทงหมด 6 ใบ

ทำาได 6 วธงานในกรณท 1 สามารถทำาได 3x6 = 18 วธกรณท 2 วธการหยบฉลากไดเลขค ทำางานโดย

งานขนท 1 หยบครงแรกไดเลขค จากเลขค 3 ใบ ทำาได 3 วธ

งานขนท 2 หยบครงทสองได จากทงหมด 5 ใบ ทำาได 5 วธ

งานในกรณท 1 สามารถทำาได 3x5 = 15 วธดงนน ผลบวกของงานทง 2 กรณ คอ 18 + 15 = 33 วธ

2) วธทหยบไดครงทสองเปนเลขคมคาเทาใดวธทำา วธการหยบสองครงโดยใหครงทสองไดเลขค ทำาไดโดย

แบงออกเปน 2 กรณ

กรณท 1 ครงแรกและครงทสองไดเลขคทง 2 ครงงานขนท 1 หยบครงแรกไดเลขค จากเลขคทง 3

ใบ สามารถทำาได 3 วธงานขนท 2 หยบครงแรกไดเลขค จากเลขคทง 3

ใบ สามารถทำาได 3 วธเพราะฉะนน งานในกรณท 1 คอ 3 x 3 = 9 วธกรณท 2 ครงแรกไดเลขคและครงทสองไดเลขค

งานขนท 1 หยบครงแรกไดเลขค จากเลขคทง 3 ใบ สามารถทำาได 3 วธ

งานขนท 2 หยบครงแรกไดเลขค จากเลขคทง 3 ใบ สามารถทำาได 3 วธ

เพราะฉะนน งานในกรณท 2 คอ 3 x 3 = 9 วธดงนน ผลบวกของงานทง 2 กรณ คอ 9 + 9 = 1814.นกเรยนรวมกนอภปรายและสรปองคความรจากกจกรรม

11 เขยนแผนภาพตนไม โดยครอธบายซำาถงกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ กฎการบวก (Addition principle) ในการทำางานอยางหนงมวธการทำางานได k แบบ แตละแบบงานเสรจโดยไมตอเนองกบแบบอน

15. ครใหนกเรยนทำาแบบฝกหดทเหลอดวยตนเองแลวสงในคาบ โดยครคอยกำากบดแล

กจกรรมรวบยอด16. ครและนกเรยนรวมกนสรปประเดนเกยวกบการหาเขาใจ

โจทยปญหาของความนาจะเปน17. ครใหนกเรยนทกคนทำา worksheet 1 ในเอกสาร

ประกอบการเปนการบาน และกำาหนดวนสง

สอ/อปกรณ/แหลงการเรยนร1. หนงสอเรยนรายวชาคณตศาสตรพนฐาน เลม 1 ชน

มธยมศกษาปท 4 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตร ตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2560 จดทำาโดย สสวท.

2. แบบฝกหดวชาคณตศาสตร2

การวดและประเมนผล

เปาหมาย หลกฐาน เครองมอวด เกณฑการประเมน

สาระสำาคญ- หลกการนบเบองตน

- สมด-แบบฝกหดวชาคณตศาสตร2(worksheet)-แบบฝกหดในหนงสอเรยน

- สมด-แบบฝกหดวชาคณตศาสตร2 (worksheet) -แบบฝกหดในหนงสอเรยน

- ตรวจสอบความถกตอง และความเขาใจ- ความถกตองของแบบฝกหดไมตำากวา 70%

ตวชวด

- ตวชวด ค 3.2 ม. 4/เขาใจและใชหลกการบวกและการคณ การเรยง สบเปลยน และการจดหมในการแกปญหา

คณลกษณะอนพงประสงค

- ใฝเรยนรและมงมนในการทำางาน- ตรงตอเวลา

- การเขาเรยน- การสงงาน- บนทกหลงการสอน

- การเขาเรยน- การมสวนรวมกนในชนเรยน

- เขาเรยนตรงตอเวลา- มความกระตอรอรนในการเรยน

สมรรถนะ- การแกปญหา

- สมด - สมด - ตรวจสอบความถกตอง

- การใหเหตผล- ความสามารถในการสอสาร การสอความ

- แบบฝกหดในเอกสารประกอบการเรยน (worksheet2) - แบบฝกหดในหนงสอเรยน

- แบบฝกหดในเอกสารประกอบการเรยน(worksheet2) - แบบฝกหดในหนงสอเรยน

และความเขาใจ- ความถกตองของแบบฝกหดไมตำากวา 70%

บนทกหลงสอน

1. ผลการสอน................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

2. ปญหาและอปสรรค

.................................................................................

.............................................................................3. ขอเสนอ

แนะ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

ลงชอ.............................................................ผสอน

(อาจารยโสภาพรรณ เวชากล)

ความเหนของหวหนากลมสาระการเรยนร

.................................................................................

.............................................................................

ลงชอ....................................................................... ( อาจารยนำาผง

ชเลศ )

หวหนากลมสาระการเรยนรคณตศาสตร

ความเหนของรองผอำานวยการโรงเรยนฝายวชาการ

.................................................................................

.............................................................................

ลงชอ ..............................................

....................... ( อาจารย ดร.สดารตน

ศรมา )

รองผอำานวยการฝายวชาการ

หนวยการเรยนรท 1 หลกการนบเบองตน เรอง การเรยงสบเปลยนวชา ค 31102 ชอรายวชา คณตศาสตร 2 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตรชนมธยมศกษาปท 4 ภาคเรยนท 2 ป ก า ร ศ ก ษ า 2561 เ ว ล า 2 ช ว โ ม งผสอน อาจารยโสภาพรรณ เวชากล

ตวชวดชนป

ตวชวด ค 3.2 ม. 4/1 เขาใจและใชหลกการบวกและการคณ การเรยง สบเปลยน และการจดหมในการแกปญหา

จดประสงคการเรยนร

นกเรยนสามารถใชและแกปญหาเกยวกบแฟคทอเรยลไดสาระสำาคญ

แฟคทอเรยล คอ ถา n เปนจำานวนเตมบวกแลวผลคณของจำานวนเตมบวกตงแต 1 ถง n สามารถเขยนแทนดวย

หรอ เราเรยก วา แฟคทอเรยลสาระการเรยนร

ดานความร1. นกเรยนสามารถแกโจทยปญหาโดยใชกฎเกณฑเบอง

ตนเกยวกบการนบได2. นกเรยนสามารถใชและแกปญหาเกยวกบแฟคทอเร

ยลได

3. ตระหนกถงความสมเหตสมผลของคำาตอบจากการคำานวณและการแกปญหาได

ดานทกษะกระบวนการ1. มทกษะในการแกปญหาและใหเหตผลได2. มการสอสาร สอความหมายทางคณตศาสตร และ

การนำาเสนอ3. มทกษะในการแฟคทอเรยลในการประยกตใชได

ครแนะนำาใหนกเรยนไดรจกถงสญลกษณของความนาจะเปนและบอกความหมายของแฟคทอเรยล คอ ถา n เปนจำานวนเตมบวกแลวผลคณของจำานวนเตมบวกตงแต 1 ถง n สามารถเขยนแทนดวย

หรอ เราเรยก วา แฟคทอเรยล

กจกรรมพฒนาผเรยน1. ครยกตวอยางการเขยนแฟคทอเรยล เพอใหนกเรยนเขาใจ

ชดเจนขนโดย

= = = = = = = =

= = = =

2. ครยกตวอยางทนำาแฟคทอเรยลไปใชในการหาเขยนแฟคทอเรยลในรปของตวเลข

ตวอยาง จงหาคาตอไปน

วธทำา = = =

วธทำา =

= 3. ครยกตวอยางการเขยนจำานวนใหอยในรปของแฟคทอเรยล

ตวอยาง จงเขยนผลคณตอไปนใหอยในรปแฟคทอเรยล

วธทำา =

= 4. ครลองใหนกเรยนลองทำาขอทเหลอเพอใหนกเรยนไดเกดการเรยนรดวยตนเอง

5. ครยกตวอยางการใชแฟคทอเรยลในลกษณะทซบซอนมากขนโดยการแกสมการแฟคทอเรยล

ตวอยาง จงหาคา n จากสมการตอไปน

วธทำา = =

ดงนน = =

วธทำา =

ดงนน = =

6. นกเรยนรวมกนอภปรายและสรปองคความรจากการใชแฟคทอเรยล

8. ครใหนกเรยนทำากจกรรมกลมรวมกนโดยใชโปรแกรม Kahoot! เพอใหนกเรยนไดทบทวนเนอหาและความรทเรยนไปในคาบกอนหนาอกดวย

โจทยปญหาของความนาจะเปน10. ครใหนกเรยนทกคนทำา worksheet 2 ในเอกสาร

ประกอบการเรยนลงสมดพรอมกำาหนดวนสง

สาระสำาคญ- การเรยงสบเปลยน

ตวชวด

- ตวชวด ค 3.2 ม. 4/1 เขาใจและใชหลกการบวกและการคณ การเรยง สบเปลยน และการจดหมในการแกปญหา

- แบบฝกหดในเอกสารประกอบการเรยน (worksheet) - แบบฝกหดในหนงสอเรยน

- แบบฝกหดในเอกสารประกอบการเรยน(worksheet) - แบบฝกหดในหนงสอเรยน

1. ผลการสอน................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................

.............................................................................3. ขอเสนอ

แนะ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

ลงชอ.............................................................ผสอน

.................................................................................

.............................................................................

ชเลศ )

.................................................................................

.............................................................................

ลงชอ ..............................................

....................... ( อาจารย ดร.สดารตน

ศรมา )

หนวยการเรยนรท 1 หลกการนบเบองตน เรอง การเรยงสบเปลยนเชงเสนวชา ค 31102 ชอรายวชา คณตศาสตร 2 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตรชนมธยมศกษาปท 4 ภาคเรยนท 2 ป ก า ร ศ ก ษ า 2561 เ ว ล า 2 ช ว โ ม งผสอน อาจารยโสภาพรรณ เวชากล

การเรยง สบเปลยน และการจดหมในการแกปญหา

จดประสงคการเรยนรนกเรยนสามารถเขาใจวธการเรยงสบเปลยนเชงเสนได

(Permutation)สาระสำาคญ

วธเรยงสบเปลยนแบบเชงเสน หมายถง การจดเรยงสงของโดยมลกษณะเปนแถว โดยสามารถกำาหนดตำาแหนงหวแถวและทายแถวได

วธเรยงสบเปลยนแบบเชงเสนของสงของทแตกตางกนทงหมดจำานวนวธเรยงสบเปลยนแบบเชงเสนของสงของทแตกตางกนทงหมด สงเทากบ วธสาระการเรยนร

การนบได

2. สามารถแกโจทยปญหาโดยใชแผนภาพตนไมอยางงายได 3. ตระหนกถงความสมเหตสมผลของคำาตอบจากการ

ครพดการเรยงสบเปลยนคออะไร ลองถามนกเรยนถงในเหตการณทพบไดในชวตประจำาวน

กจกรรมพฒนาผเรยน

1. ครบอกความหมายถงวธการเรยงสบเปลยนวาเปนวธการทนำาสงของจำานวนหนงมาจดเรยง โดยทการจดเรยงดงกลาวใหคำานงถงตำาแหนงของสงของแตละสงเปนสำาคญ โดยเราจะศกษาวธเรยงสบเปลยนใน 2 ลกษณะ คอ 1) วธเรยงสบเปลยนเชงเสน 2) วธเรยงสบเปลยนแบบวงกลม

2. ครบอกความหมายการเรยงสบเปลยนแบบเชงเสนวามลกษณะอยางไรคอ

วธเรยงสบเปลยนแบบเชงเสน หมายถง การจดเรยงสงของโดยมลกษณะเปนแถว โดยสามารถกำาหนดตำาแหนงหวแถวและทายแถวได จำานวนวธเรยงสบเปลยนแบบเชงเสนของสงของทแตกตางกนทงหมด สงเทากบ วธ

3. ครยกตวอยางการเรยงสบเปลยนแบบเชงเสน เพอสรางความเขาใจใหกบนกเรยน

ตวอยาง เดกชาย 3 คน ยนลงเลอยทเกาอ 3 ตว จะมกวธทจะจดเดกเขานงประจำาเกาอไดกวธ

วธทำา การเรยงสบเปลยนแบบเชงเสนของสงของทแตกตางกนทงหมดคอ

ตวอยาง มชาย 4 คน หญง 3 คน นงบนมานง 7 ตว ซงวางเรยงเปนแถวยาว จะมวธนงของคนทง 7 คนไดกวธ1) ไมมเงอนไขเพมเตม

ตอบ การเรยงสบเปลยนคน 7 คน ในลกษณะการเรยงสบเปลยนเชงเสนได 2) ชายและหญงนงสลบทกนทละคน

ตอบ การเรยงสบเปลยนเชงเสน ผชาย 4 คน และหญง 3 คน เปนการเรยงสบเปลยนแบบชายอยหนาเพราะจำานวนผชายมากกวา

การเรยงสบเปลยนเชงเสนของผชายได การเรยงสบเปลยนเชงเสนของผชายได

ดงนน การเรยงสบเปลยนแบบเชงเสน

ตวอยาง ถานำาเลขโดด 1,2,3 และ 4 มาจดเรยงเปนจำานวนทม 4 หลกโดยแตละหลกไมซำากน จะจดไดทงหมดกวธ

ตอบ การเรยงสบเปลยนแบบเชงเสนโดยเรยงสบเปลยนเชงเสน 4 หลก

การเรยงสบเปลยนแบบเชงเสน

4. ครแนะนำาการจดสงของทตองการตดกน โดยมหลกการดงน

ขนท 1 มดสงของทตองการอยดวยกนใหถอเปนของ 1 สงแลวนำาไปรวมกบสงของอนๆแลวนำาไปจดเรยง

ขนท 2 ทำาการจดเรยงภายในสงของทมดไว (ทตดกน) ตวอยาง สามภรรยาคหนง พรอมดวยลก 4 คนมายนเรยงแถวยาวเพอถายรป จะมวธจดใหยนทงหมดกวธเพอ

1) ไมมเงอนไข

วธทำา สามภรรยาและลก 4 คน รวม 6 คนการเรยงสบเปลยนของคน 6 คน ในลกษณะการเรยงสบเปลยนเชงเสนได วธ2) พอและแมยนตดกน

วธทำา พอและแมตองการตดกน นำาพอและแมมาจบมดรวมกนแลวนบเปน 1

พอ แม ลก 1 ลก 2 ลก 3 ลก 4

ดงนน การเรยงสบเปลยนเชงเสนกบสงของ 5 ชน จะได วธ

สลบเปลยนในมดของพอและแมได วธ

ดงนน พอและแมยนตดกน วธ

3) พอและแมยนรมทง 2 ดาน

พอ ลก 1 ลก 2 ลก 3 ลก 4 แม

สบเปลยนเชงเสนของลกทง 4 คนได วธ

พอกบแมตองยนรมทงสองดาน สลบพอและแมได 2 วธ

ดงนน วธทพอและแมยนรมทง 2 ดาน จะได วธ

ตวอยาง มนกเรยนชาย 3 คนและมนกเรยนหญง 2 คน รวมกบคร 1 คน ยนถายรปหมเปนแถวตรง 1 แถว จงหาจำานวนวธในการยนถายรป เมอ

1) ไมมเงอนไขเพมเตม

วธทำา นกเรยนชาย 3 คนและมนกเรยนหญง 2 คน รวมกบคร 1 คน รวมเปน 6 คน

การเรยงสบเปลยนของคน 6 คน ในลกษณะการเรยงสบเปลยนเชงเสนได วธ

2) ครยนอยรมแถว

____ น 1 น 2 น 3 น 4 น 5 _____

สบเปลยนเชงเสนของนกเรยนทง 5 คนได วธ

ครตองยนรม ครจะยนขางหนาหรอขางหลงกไดทงนนได 2 วธ

3) นกเรยนหญงยนตดกนวธทำา ผหญงตองการตดกนใหมดแลวนบเปน 1 ชนญ 1 ญ 2 ช 1 ช 2 ช 3 ครสบเปลยนเชงเสนของนกเรยนทง 5 คนได วธสบเปลยนในมดของผหญงทตองการตดกนได วธ

5. ครใหนกเรยนทำาตวอยาง 29 และ ตวอยาง 30 เองเพอวดความเขาใจการเรยงสบเปลยนแบบเชงเสน โดยครคอยกำากบดแล

6. ครแนะนำาการหางานของการจดสงของทไมตองการยนตดกน มหลกการเรยงดงน

ขนท 1 ใหเกบสงของทไมตองการตดกนไวกอนแลวนำาทเหลอมาจดเรยง

ขนท 2 หาตำาแหนงใหกบสงของทไมตองการตดกนลง แลวทำาการจดเรยงสงของ

ตวอยาง มผชาย 5 คน และผหญง 4 คน มายนเรยงแถวยาว จะมวธการยนทงหมดกวธเมอ

1) ไมมผชาย 2 คนใดใดยนตดกน

วธทำา ผชายไมตองการยนตดกนใหนำามาคดทหลง โดยใสผหญงกอน

___ญ 1____ ญ 2____ ญ 3____ ญ 4____

สบเปลยนเชงเสนของผหญงทง 4 คนได วธ

โดยผชายมาคดทหลง โดยคดผชายมาเรยงสบเปลยนเชงเสน 5 คน ได วธ

ดงนน ไมมผชาย 2 คนใดใดยนตดกน คอ

2) ไมมผหญง 2 คนใดใดยนตดกนวธทำา ผหญงไมตองการยนตดกนใหนำามาคดทหลง โดยใสผชายกอน

___ช 1____ ช 2____ ช 3____ ช 4____ ช 5____

สบเปลยนเชงเสนของผชายทง 5 คนได วธ

โดยผหญงมาคดทหลง โดยคดผหญงมาเรยงสบเปลยนเชงเสนโดยมท 6 ทคน 4 คน

ดงนนจะไดจำานวนวธ

ดงนน ไมมผหญง 2 คนใดใดยนตดกน คอ

ตวอยาง สามภรรยาคหนงมบตรชาย 2 คน และบตรสาว 3 คน ถาใหทงหมดมายนเรยงแถวยาวจะมวธการยนกวธเมอ 1) บตรชายยนตดกน และบตรสาวยนแยกกนหมดวธทำา ผหญงยนแยกกนจบผหญงออกมากอน

___ ช 1 ช 2 ___ พอ____แม____สบเปลยนเชงเสนของคน 4 คนได วธสบเปลยนผชายในมดได วธโดยผหญงมาคดทหลง โดยคดผหญงมาเรยงสบเปลยนเชงเสนโดยมท 4 ทคน 3 คน

2) บตรสาวยนตดกน แตบตรชายยนแยกกนหมด

วธทำา ผชายยนแยกกนจบผชายออกมากอน

___ ญ 1 ญ 2 ญ 3 ___ พอ____แม____สบเปลยนเชงเสนของคน 3 คนได วธ

สบเปลยนผหญงในมดได วธโดยผชายมาคดทหลง โดยคดผชายมาเรยงสบเปลยนเชงเสนโดยมท 4 ทคน 2 คน

7. นกเรยนรวมกนอภปรายและสรปองคความรจากการเรยงสบเปลยนเชงเสน

โจทยปญหาของความนาจะเปนเกยวกบการเรยงสบเปลยนเชงวงกลม

10. ครใหนกเรยนทำาการบาน worksheet 3 เรองการเรยงสบเปลยนเชงเสนพรอมกำาหนดวนสง

สาระสำาคญ- การเรยงสบเปลยนเชงเสน

ตวชวด

1. ผลการสอน................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................

.............................................................................3. ขอเสนอ

แนะ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

ลงชอ.............................................................ผสอน

.................................................................................

.............................................................................

ชเลศ )

.................................................................................

.............................................................................

ลงชอ ..............................................

....................... ( อาจารย ดร.สดารตน

ศรมา )

หนวยการเรยนรท 1 หลกการนบเบองตน เรอง การเรยงสบเปลยนเชงเสน(ตอ)วชา ค 31102 ชอรายวชา คณตศาสตร 2 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตรชนมธยมศกษาปท 4 ภาคเรยนท 2 ป ก า ร ศ ก ษ า 2561 เ ว ล า 2 ช ว โ ม งผสอน อาจารยโสภาพรรณ เวชากล

จดประสงคการเรยนรนกเรยนสามารถเขาใจวธการเรยงสบเปลยนเชงเสนและ

เชงวงกลมได (Permutation)

ทฤษฎบท ในการจดสงของ n สง ทแตกตางกนทงหมด โดยจดครงละ สง

จะจดไดทงหมด วธ อาจใชสญลกษณ หรอ แทนจำานวนวธในการจดเรยงลำาดบสงของ n สงทแตกตางกนทงหมด

โดยจดครงละ สง ดงน =

2. สามารถแกโจทยปญหาโดยใชแผนภาพตนไมอยางงายได 3. ตระหนกถงความสมเหตสมผลของคำาตอบจากการ

ครทบทวนการกฎการเรยงสบเปลยนและกฎการนบและกฎตางๆของการนบเบองตน

1. ครแนะนำาทฤษฎบทในการหาการเรยงสบเปลยนโดยใชสตร

2. ครยกตวอยางการใชสตรในการหาโดยใชสตร

ตวอยาง จงหาคา จากขอตอไปน

วธทำา =

ดงนน จากการเทยบสมประสทธ จะไดวา

3. หลงจากทนกเรยนใชสตรในการหาการเรยงสบเปลยนไดแลว จงนำาสตรมาลองใชกบโจทยปญหาในชวตประจำาวน

ตวอยาง การเลอกตงสมาชกเพอดำารงตำาแหนงสโมสรรวม 3 ตำาแหนงคอ ประธาน รองประธานและเลขานการ ในการสมครครงนมผสมครเขารบเลอกตงตำาแหนง 10 คน จงหาจำานวนวธทผสมครเหลานจะไดรบเลอกตง

วธทำา จำานวนในการเลอกตงสมาชก

ดงนน จะไดวา =

= = = วธ

ตวอยาง ตองการสรางจำานวนทม 4 หลก จากเลขโดด 1,2,3,…,9 โดยทแตละหลกไมซำากน จะสรางไดทงหมดกจำานวน เมอ

วธทำา ตองการสรางเลข 4 หลก โดยเลอกจากเลข 9 ตว จะไดวา

= = จำานวน

2) หลกหนวยและหลกรอยเทานนเปนเลขค

จากเลขทกำาหนดมาให จะไดวา มเลขค 4 ตว คอ 2,4,6,8 และ มเลขค 5 ตว คอ 1,3,5,7,9

วธในการเลอกจำานวนคใหเปนหลกพนและหลกสบ จะได =

วธในการเลอกจำานวนคใหเปนหลกหนวยและหลกรอย จะได =

วธในการเลอกเลขมาสราง 4 หลกโดยทหลกหนวยและหลกรอยเทานนเปนเลขค

คอ

3) แตละหลกสลบเลขคและเลขค

จากขอ 2) ทผานมาจะไดวา หลกเลขคนนสลบกบหลกเลขคอย คอ ค ค ค ค คอ วธ

ดงนน จะไดวาโดยสลบใหเลขคอยหลกพนและหลกสบ คอ วธ

จะไดวา วธในการเลอกเลขมาสราง 4 หลกโดยทแตละหลกสลบเลขคและเลขค

คอ จำานวน

ตวอยาง ตองการสรางคำาทประกอบไปดวยตวอกษร 4 ตว ไมซำากน โดยเลอกมาจากคำาวา ENTRANCE จะสรางไดทงหมดกคำา โดยคำาทสรางขนมาไมจำาเปนตองมความหมายกได เมอ

วธทำา จาก ENTRANCE พยญชนะคอ N,T,R,C สระ A,E มพยญชนะทงหมด 6 ตว

จะไดวา = คำา

2) อกษรตวแรกเปนสระ และอกษรตวสดทายเปนพยญชนะ

วธทำา สระ ____ ____ พยญชนะ

โดยตำาแหนงแรกจะมสระ 2 ตว และตำาแหนงสดทายมพยญชนะ 4 ตว

ตำาแหนงแรก สามารถมโอกาสเปนไปไดคอ 2

ตำาแหนงท2 สามารถมโอกาสเปนไปไดคอ 4

ตำาแหนงตรงกลาง สามารถใสไดคอ = 12

ดงนน โอกาสทเปนไปไดทงหมดคอ 2x4x12 = 96 วธ

4. การจดการสงของใน n สงทไมแตกตางกน (มของซำากน)

= ตวอยาง ตวอกษรในคำาวา SUCCESS จะมวธเรยงสบเปลยนเปนคำาตางๆ ทไมจำาเปนตองมความหมายไดทงหมดกวธ

วธทำาการเรยงสบเปลยนเชงเสนโดยมตวอกษร 7 ตว จะได เนองจากม S สามตว จะได , ม C สองตว ทซำากน

จากกฎการจดสงของทมของซำา = = วธ

ตวอยาง ตวอกษรในคำาวา LOVELYPOO จะมวธเรยงสบเปลยนเปนคำาตางๆ ทงหมดกวธ เมอ1) อกษรทไมซำากนอยตดกน2) อกษรทซำากนในกลมเดยวกนอยตดกน

วธทำา 1) สรางคำาใหมทมการเรยงอกษร 9 คำา โดยม L สองตว, ม o สามตว โดยอกษาทไมซำาอยตดกน V E Y P L L O O O Oโดยมอย 6 ตวตำาแหนง โดยสลบในมด

และม L สองตว 2 ตว, O สามตว จะได

2) อกษรทซำากนในกลมเดยวกนอยตดกน LL OOO V E Y Pโดยมอกษรอย 6 ตำาแหนง จะได โดยมตวอกษร L สองตว จะได โดยมตวอกษร O สามตว

ดงนน จะไดวา = = วธ

ตวอยาง มตวเลข 7 ตว ดงน 1,1,2,2,2,3,4 ถานำาตวเลขทกตวมาจดเรยงเปนจำานวนทม 7 หลก จะสรางไดกวธ เมอ

1) ไมมเงอนไข

วธทำา มตวเลขทงหมด 7 ตวอกษร นำามาจดเรยงเชงเสน

โดยจากการจดเรยงสงของซำาจะไดวา

โดยในตวอกษรจะมเลขสอง ซำากน 3 ตว คอ และ ตวอกษรจะม

เลขหนง ซำากน 2 ตวคอ ดงนน จะจดเรยงได

2) มคามากกวา 2 ลาน

วธทำา กรณท 1 หลกลานเปนเลข 2 2 __ __ __ __ __ __ ในตำาแหนงแรก บงคบใหเปน 2 จะได 1 วธ

อก 6 ตำาแหนงทเหลอ นนคอ = และในการเรยงจดของสงของซำาจะมเลขสอง ซำากน 2 ตว คอ และ ตวอกษรจะมเลขหนง

ซำากน 2 ตวคอ ดงนนจะจดเรยงได = วธ

กรณท 2 หลกลานเปนเลข 3 __ __ __ __ __ __ __ ในตำาแหนงแรก บงคบใหเปน หรอ จะได 2 วธ

อก 6 ตำาแหนงทเหลอ นนคอ =

และในการเรยงจดของสงของซำาจะมเลขสอง ซำากน 3 ตว คอ และ ตวอกษรจะมเลขหนง

ซำากน 2 ตวคอ ดงนนจะจดเรยงได = วธ

โจทยปญหาของความนาจะเปนเกยวกบการเรยงสบเปลยนเชงเสน

6. ครใหนกเรยนทำาการบาน worksheet 3 เรองการเรยงสบเปลยนเชงเสนพรอมกำาหนดวนสงสอ/อปกรณ/แหลงการเรยนร

1. หนงสอเรยนรายวชาคณตศาสตรพนฐาน เลม 1 ชนมธยมศกษาปท 4 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตร ตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2560 จดทำาโดย สสวท.

สาระสำาคญ- การเรยงสบเปลยนเชงเสน

ตวชวด

1. ผลการสอน................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................

.............................................................................3. ขอเสนอ

แนะ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

ลงชอ.............................................................ผสอน

.................................................................................

.............................................................................

ชเลศ )

.................................................................................

.............................................................................

ลงชอ ..............................................

....................... ( อาจารย ดร.สดารตน

ศรมา )

หนวยการเรยนรท 1 หลกการนบเบองตน เรอง การเรยงสบเปลยนเชงวงกลมวชา ค 31102 ชอรายวชา คณตศาสตร 2 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตรชนมธยมศกษาปท 4 ภาคเรยนท 2 ป ก า ร ศ ก ษ า 2561 เ ว ล า 2 ช ว โ ม งผสอน อาจารยโสภาพรรณ เวชากล

จดประสงคการเรยนรนกเรยนสามารถเขาใจวธการเรยงสบเปลยนเชงเสนและเชงวงกลมได (Permutation)

2. สามารถแกโจทยปญหาโดยวธการเรยงสบเปลยนได3. ตระหนกถงความสมเหตสมผลของคำาตอบจากการ

ครลองใหนกเรยนชวยกนนกวาอะไรบางทมลกษณะทเปนวงกลม แลวดลกษณะวาจะมการเรยงประเภทไดกแบบ

1. ครแนะนำานกเรยนถงวธการเรยงสบเปลยนอกหนงแบบคอ วธการเรยงสบเปลยนเชงวงกลม คอ วธเรยงสบเปลยนแบบวงกลมแตกตางไปจากวธเรยงสบเปลยนแบบเชงเสน โดยทการจดเรยงแบบวงกลมจะไมสามารถระบตำาแหนงหวแถวหรอทายแถวได

2. เมอนกเรยนสามารถเขาใจการสบเปลยนแบบวงกลมแลว เชน การจดคนนงรอบโตะกลม การรอยพวงมาลยเปนวงกลม ครจะ

บอกถงประเภทของการเรยงสบเปลยนเชงวงกลมวามกแบบและมลกษณะแตกตางกนอยางไร

3. โดยวธเรยงสบเปลยนแบบวงกลม สามารถแยกออกไดเปน 2 ประเภท

1) วธเรยงสบเปลยนแบบวงกลมแบบพลกไมได เชน การจดคนยนเปนวงกลม จดคนนงรอบโตะกลม

จำานวนวธเรยงสบเปลยนแบบวงกลมแบบพลกไมได คอ วธ

2) วธเรยงสบเปลยนแบบวงกลมแบบพลกได ไดแก การรอยพวงมาลยแบบวงกลม

ถามสงของทแตกตางกน n สง จำานวนวธเรยงสบเปลยน

แบบวงกลมทพลกไดเทากบ วธ

4. ครยกตวอยางการเรยงสบเปลยนเชงวงกลมเพอใหนกเรยนไดเขาใจในการใชทมากขน

ตวอยาง จงหาจำานวนวธการนงของคน 5 คน รอบโตะกลมซงม 5 ทนง

วธทำา การเรยงสบเปลยนเชงวงกลม โดยมจำานวนทงหมด 5 จำานวน

จะไดทงหมด

ตวอยาง มเกยคง 2 คน และเกยควน 4 คน มายนเรยงกนเปนวงกลม จะยนไดกวธ เมอ

1) ไมมเงอนไขใดเพมเตม

วธทำา การเรยงสบเปลยนเชงวงกลม โดยมจำานวนทงหมด 6 จำานวน

จะไดทงหมด

2) เกยคง 2 คน ยนตดกนเสมอ

วธทำา โดยจากกฎการยนตดกน จะไดวา K1 K2

จะมการเรยงสบเปลยนเชงวงกลมคอ Q1 Q2 และการสลบทในมดจะได Q3 Q4

เพราะฉะนน จะมการเรยงสบเปลยนเชงวงกลม วธ

3) เกยคง 2 คน ยนแยกจากกนเสมอ

วธทำา โดยจากกฎการยนไมตดกน จะไดวา นำาเกยคงออกมากอน (คดทหลง)

Q1 จะมการเรยงสบเปลยนเชงวงกลมคอ

Q2 Q3 จากนนจะเหลอตำาแหนงวางใหเกยคงสามารถใส

ไดคอ

Q4 เพราะฉะนน จะมการเรยงสบเปลยนเชงวงกลม

= วธ

4) เกยคง 2 คน ยนตรงขามกนเสมอ

วธทำา โดยจากกฎการยนไมตดกน จะไดวา นำาเกยคงออกมากอน (คดทหลง)

Q1 K1 จะมการเรยงสบเปลยนเชงวงกลมคอ

Q2 Q3 จากนนจะจดตำาแหนงใหเกยคงยนตรงขามกนเสมอสามารถใสไดคอ

K2 Q4 เพราะฉะนน จะมการเรยงสบเปลยนเชงวงกลม

= วธ

ตวอยาง มคน 8 คน ในจำานวนนม Boy Nong และ Pat รวมอยดวย ถาใหทงหมดนงรอบโตะกลมตวหนง จะมวธนงกวธ เมอ1) Boy Nong และ Pat นงตดกนเสมอวธทำา B N P โดยมการจำานวนคนทงหมด 8 คน และจากกฎการตดกน จะทำาการมดรวมกน

มการเรยงสบเปลยนเชงวงกลม สามารถสลบในมด B N P ไดกบ

เพราะฉะนน จะมการเรยงสบเปลยนเชงวงกลม

5. ครยกตวอยางการเรยงสบเปลยนเชงวงกลมอกแบบ คอแบบพลกได

ตวอยาง นองพลอยรองพวงมาลยเปนวงกลมดวยดอกไม 9 ดอก แตละดอกแตกตางกน โดยทดอกไมมสขาว 2 ดอก สแดง 3 ดอกทเหลอมสไมซำากน อยากทราบวา จะไดพวงมาลยทแตกตางกนกวธ เมอไมมเงอนไขใดเพมเตมวธทำา เนองจากการเรยงสบเปลยนเชงวงกลมแบบพลกได จะได

เทากบ =

ตวอยาง มดอกไม 8 ดอกทแตกตาง มสขาว 4 ดอก สชมพ 4 ดอก นำามารอยพวงมาลยไดกวธ ทแตกตาง เมอมเงอนไขดงน1) ไมมเงอนไขเพมเตม

วธทำา จากการเรยงสบเปลยนเชงวงกลมแบบพลกไดและมสอยตดกน

จะไดเทากบ = 2) ใหสขาวสลบทกบสชมพวธทำา เนองจากตองสลบทกนระหวางสชมพและสขาว ดงนนจงนำาออกมา 1 สเพอคดทหลง

จะไดวา นำาสขาวมาเรยงสบเปลยนเชงวงกลมแบบพลกไดจะได และนำาสชมพไปจดเรยงใสโดยหามตดกบสขาว โดยมทอย 4 ทนำาสชมพ 4 ดอกไปจดเรยงจะได

เพราะฉะนน จะมการเรยงสบเปลยนเชงวงกลมแบบพลกได = วธ

3) ใหสขาวอยตดกนและสชมพอยตดกนวธทำา จากกฎการตดกนจะไดวา นำามามดรวมกน

ดงนนจะนำาสขาวมามดรวมกนและสชมพมามดรวมกน = วธ

7. นกเรยนรวมกนอภปรายและสรปองคความรจากการเรยงสบเปลยนเชงเสนและการสบเปลยนเชงวงกลมวามลกษณะทแตกตางกนอยางไร

กจกรรมรวบยอด 9. ครและนกเรยนรวมกนสรปประเดนเกยวกบการหาเขาใจ

โจทยปญหาของความนาจะเปนเกยวกบการเรยงสบเปลยนเชงวงกลม

10. ครใหนกเรยนทำาการบาน worksheet 3 เรองการเรยงสบเปลยนเชงวงกลมพรอมกำาหนดวนสง

สาระสำาคญ- การเรยงสบเปลยนเชงวงกลม