dr. r. marklein - eft i - ss 20031 elektromagnetische feldtheorie i (eft i) / electromagnetic field...
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Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003 1
Elektromagnetische Feldtheorie I (EFT I) / Electromagnetic Field Theory I (EFT I)
8th Lecture / 8. Vorlesung
University of KasselDept. Electrical Engineering / Computer Science
(FB 16)Electromagnetic Field Theory
(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71
Office: Room 2113 / 2115D-34121 Kassel
Universität KasselFachbereich Elektrotechnik / Informatik
(FB 16)Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik
(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71Büro: Raum 2113 / 2115
D-34121 Kassel
Dr.-Ing. René Markleinmarklein@uni-kassel.de
http://www.tet.e-technik.uni-kassel.dehttp://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003 2
(2) (1)
(2) (1)e ( )
n× E R E R 0
n D R D R R
e
pec / iel
( ) pec / iel
n× E R 0
n D R R
nMedium (2)
Medium (1)Medium
nTransition Conditions / Übergangsbedingungen Boundary Conditions / Randbedingungen
ws: with sources; sf = source-free / mq = mit Quellen; qf = quellenfrei
pec = perfectly electric conducting / iel = ideal elektrisch leitend
I(nterface)SR B(oundary)SR
( )( )
tan
tan tanE
n×E R E RR e
( )nDn D R R
( ) : (Vector Tangential Component of
Vektorielle Tangentialkomponente vonScalar Tangential Component of
Skalare Tangentialkomponente vo
)
( ) :n
( )
tan
tanE
E R E R
R E R
Scalar Normal Component ofSkalare Normalkomponente vo
( ) : ( )nnD R D R
(2) (1)
(2) (1)e
0
( )tan tan
n n
E E
D D
R R
R R R
e
0 pec / iel
( ) pec / iel
tan
n
E
D
R
R R
e ( ) pec/iel R
ES Fields – Transition and Boundary Conditions / ES Felder – Übergangs- und Randbedingungen
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003 3
nMedium (2)
Medium (1)Medium
nTransition Conditions / Übergangsbedingungen Boundary Conditions / Randbedingungen
ws: with sources; sf = source-free / mq = mit Quellen; qf = quellenfrei
pec = perfectly electric conducting / iel = ideal elektrisch leitend
( ) ( )i i E R R
(2) (1)e e
(2) (1)e e e0
(2) (2) (1) (1) er e r e
0
(1)(2) (1) ere e(2) (2)
r 0 r
const.
( )
( )n
n n
n × R R 0
R R
Rn R R
RR R
e
e e0
0 r e e
ee
0 r
=const.
( )
( )
n
n
n × R 0
R
n R R
RR
( ) ( )( )0 r
( ) ( )0 r e
1,2
i ii
i i
i
D R E R
R
I(nterface)SR B(oundary)SR
(2) (1)
(2) (1)e
0
( )tan tan
n n
E E
D D
R R
R R R
e
0 pec / iel
( ) pec / iel
tan
n
E
D
R
R R
e ( ) pec/iel R
ES Fields – Transition and Boundary Conditions / ES Felder – Übergangs- und Randbedingungen
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003 4
nMedium (2)
Medium (1)Medium
nTransition Conditions / Übergangsbedingungen Boundary Conditions / Randbedingungen
(2) (1)
(2) (1)e e e0
(2) (1)e
(1)(2) (1)re e e(2) (2)
r 0 r
0
const.
( )
1 ( )
tan tan
n n
E E
D D
n n
R R
R R
R R R
R R R
e e0
e
e e0 r
0
const.
( )
1 ( )
tan
n
E
D
n
R
R
R R
R R
I(nterface)SR B(oundary)SR
(2) (1)
(2) (1)e
0
( )tan tan
n n
E E
D D
R R
R R R
e
0 pec / iel
( ) pec / iel
tan
n
E
D
R
R R
e ( ) pec/iel R
ES Fields – Transition and Boundary Conditions / ES Felder – Übergangs- und Randbedingungen
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003 5
Boundary Conditions / Randbedingungen
e e 0 e 0
e e0 r
Special Case /const. 0 V
Spezialfall
1 ( )n
R
R R
Mediumn
B(oundary)SR
e, , ( )E R D R R
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
e ( ) R
e ( )pec/iel R
Dirichlet Boundary Conditions for Фe / Dirichlet-Randbedingung für Фe
Neumann Boundary Conditions for Фe / Neumann-Randbedingung für Фe
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003 6
e2 2 2 e
0e2 2 2
e
for / Poisson Equation / für Poisson-Gleichung
for / Laplace Equation / fü
( , , )( , , ) 0
( , , )0 ( , , )r Laplace-Gle0 ichung
x y zx y z
x y zx y z x y z
Electrostatic (ES) Fields – Boundary Value Problem (BVP) / Elektrostatische (ES) Felder – Randwertproblem (RWP)
Examples: / Beispiele:
2 2
e2 2 ( , ) 0x yx y
x
y e 10 V
e 0 V e 0 V
e 0 V
Separation of Variables / Separation der Variablen !
x
y
z
e
e
e
( ) 0( ) 0
( ) 0
RR
R
Between the Plates:Vacuum /
Zwischen den Platten:Vakuum
e
n× E 0
e
n× E 0
0
0
Boundary Conditions (BC) / Randbedingungen (RB)
e e 0 0x d
e
00
x
e ( ) 0( )R
E R 0
e ( ) 0( )R
E R 0
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003 7
ES Fields – Electrostatic Field Between Two Parallel PEC Plates / ES Felder – Elektrostatisches Feld zwischen zwei parallelen IEL Platten
Boundary Value Problem (BVP) – Electrostatic Poisson Equation / Randwertproblem (RWP) – Elektrostatische Poisson-Gleichung
e
00
x
x
y
ze
0 0 ( ) 0
co
for /für
for /fürnst.
Rx d
xx d
e
e
e
( ) 0( ) 0
( ) 0
RR
R
e e 0 0x d
Between the Plates:Vacuum /
Zwischen den Platten:Vakuum
e
n× E 0
e
n× E 0
e ( ) 0R
2 2 2
e2 2 2 ( , , ) 0x y zx y z
2
e2d ( ) 0d
xx
0
0
e
e
( ) 0( ) 0RR
... Cartesian Coordinates /
... Kartesische Koordinaten
... Because of the Symmetry / ... wegen der Symmetrie
Between the Plates Laplace Equation: Zwischen den Platten: Laplace-Gleichung
Boundary Conditions (BC) / Randbedingungen (RB)
e
e e 0
0 : 0: 0
xx d
Boundary Conditions (BC) /Randbedingungen (RB)
Partial Differential Equation / Partielle Differentialgleichung
e ( ) 0( )R
E R 0
e ( ) 0( )R
E R 0
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003 8
ES Fields – Electrostatic Field Between Two Parallel PEC Plates / ES Felder – Elektrostatisches Feld zwischen zwei parallelen IEL Platten
e
00
x
x
y
z
e
e
e
( ) 0( ) 0
( ) 0
RR
R
e e 0 0x d
Between the Plates:Vacuum /
Zwischen den Platten:Vakuum
e
n× E 0
e
n× E 0
2
e2d ( ) 0 0d
x x dx
0
0
e
e
( ) 0( ) 0RR
Boundary Condition (BC) / Randbedingung (RB)
Integrating once / Integriere einmal
Integrating twice / Zweifache Integration ergibt
2
e e2d d( ) d ( ) const
ddx x x a
xx
ed ( ) constd
x ax
e ( )x ax b
e ed ( ) =const d ( )d
x a x x ax bx
Boundary Value Problem (BVP) – Electrostatic Poisson Equation / Randwertproblem (RWP) – Elektrostatische Poisson-Gleichung
e ( ) 0( )R
E R 0
e ( ) 0( )R
E R 0
e ( ) 0x ax b x d
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003 9
ES Fields – Electrostatic Field Between Two Parallel PEC Plates / ES Felder – Elektrostatisches Feld zwischen zwei parallelen IEL Platten
e
00
x
x
y
z
e
e
e
( ) 0( ) 0
( ) 0
RR
R
e e 0 0x d
Between the Plates:Vacuum /
Zwischen den Platten:Vakuum
e
n× E 0
e
n× E 0
0
0
e
e
( ) 0( ) 0RR
Boundary Condition (BC) / Randbedingung (RB)
e ( )x ax b
e
e e 0
0 : 0: 0
xx d
Boundary Conditions (BC) / Randbedingungen (RB)
e ( 0) ( 0) 0
x a x b
0b
e ( )x ax
e
e0
( ) ( )
x b a x b
e0ad
e0e ( ) 0x x x d
d
Solution for the Electrostatic Potential / Lösung für das elektrostatische Potential
Boundary Value Problem (BVP) – Electrostatic Poisson Equation / Randwertproblem (RWP) – Elektrostatische Poisson-Gleichung
e ( ) 0( )R
E R 0
e ( ) 0( )R
E R 0
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003 10
ES Fields – Electrostatic Field Between Two Parallel PEC Plates / ES Felder – Elektrostatisches Feld zwischen zwei parallelen IEL Platten
e
00
x
x
y
z
e
e
e
( ) 0( ) 0
( ) 0
RR
R
e e 0 0x d
Between the Plates:Vacuum /
Zwischen den Platten:Vakuum
e
n× E 0
e
n× E 0
0
0
e
e
( ) 0( ) 0RR
Boundary Condition (BC) / Randbedingung (RB)
e0
e0
( )0 else / sonst
x x dx d
2
e2d ( ) 0 0d
x x dx
e
e e 0
0 : 0: 0
xx d
Boundary Conditions (BC) / Randbedingungen (RB)
Partial Differential Equation (PDE) / Partielle Differentialgleichung (DGL)
Solution for the Electrostatic Potential / Lösung für das elektrostatische Potential
x
e ( )x
Boundary Value Problem (BVP) – Electrostatic Poisson Equation / Randwertproblem (RWP) – Elektrostatische Poisson-Gleichung
e ( ) 0( )R
E R 0
e ( ) 0( )R
E R 0
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003 11
ES Fields – Electrostatic Field Between Two Parallel PEC Plates / ES Felder – Elektrostatisches Feld zwischen zwei parallelen IEL Platten
e
00
x
x
y
z
e
e
e
( ) 0( ) 0
( ) 0
RR
R
e e 0 0x d
Between the Plates:Vacuum /
Zwischen den Platten:Vakuum
e
n× E 0
e
n× E 0
0
0
e
e
( ) 0( ) 0RR
Boundary Condition (BC) / Randbedingung (RB)
e0
e0
( )0 else / sonst
x x dx d
Electrostatic Potential / Elektrostatisches Potential
e
e
e0
e0
( ) ( )d( ) ( ) d
d0
d0 else / sonst
0
0 else / sonst
E R R
E e
e
e
x
x
x
x x xx
x x dx d
x dd
The Electrostatic Potential and Electrostatic Field Strenth are Discontinuous at the Plates /
Das elektrostatisches Potential und die elektrostatische Feldstärke sind unstetig an den Platten
e ( ) 0( )R
E R 0
e ( ) 0( )R
E R 0
Boundary Value Problem (BVP) – Electrostatic Poisson Equation / Randwertproblem (RWP) – Elektrostatische Poisson-Gleichung
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003 12
ES Fields – Electrostatic Field Between Two Parallel PEC Plates / ES Felder – Elektrostatisches Feld zwischen zwei parallelen IEL Platten
e0 0( )
0 else / sonst
eE x x d
x d
Representation of the Electrostatic Field Strenth using the Unit Step Functions: /
Darstellung der elektrostatischen Feldstärke durch Einheitssprungfunktionen:
x
( )xE x
e0( ) u( ) u( ) E exx x x d xd
1 0u( )
0 0x
xx
x
u( )x
x
u( )x
x
u( )x d
x d
x d
1
x
u( ) u( )x x d
x d
Boundary Value Problem (BVP) – Electrostatic Poisson Equation / Randwertproblem (RWP) – Elektrostatische Poisson-Gleichung
Step Functions / Einheitssprungfunktionen
1
1
1
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003 13
ES Fields – Electrostatic Field Between Two Parallel PEC Plates / ES Felder – Elektrostatisches Feld zwischen zwei parallelen IEL Platten
Boundary Value Problem (BVP) – Electrostatic Poisson Equation / Randwertproblem (RWP) – Elektrostatische Poisson-Gleichung
e0
e0
( ) ( )
e0
e
0
d d( ) u( ) u( )d d
d du( ) u( )d d
( ) ( )
( )
x
x x d
E x x x dx d x
x x dd x x
x x ddx
0 e
e
0
d ( ) ( )d
( )d ( )d
x
x
E x xx
xE x
x
e
e
( ) ( )d ( ) ( )d
D R R
xD x xx
u ( )
d u( ) ( )d
x
x xx
01 0( ) 0
0
( )
u ( ) ( )d u( ) ( ) u( ) ( )d
u( ) ( ) u( ) ( ) ( )d
( ) ( )
( ) ( ) (0)
(0)
u ( ) ( )d (0)
u ( ) ( )
f
x
x f x x x f x x f x x
f f f x x
f f x
f f f
f
x f x x f
x x
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003 14
ES Fields – Electrostatic Field Between Two Parallel PEC Plates / ES Felder – Elektrostatisches Feld zwischen zwei parallelen IEL Platten
Boundary Value Problem (BVP) – Electrostatic Poisson Equation / Randwertproblem (RWP) – Elektrostatische Poisson-Gleichung
x
e0e 0
e0 e0
e0
( ) ( ) ( )
( ) ( )
x x x dd
x x d
x d
e ( )x
e0
e0
Electric Surface Charge Density / Elektrische Flächenladungsdichte
e0 ( )x e0 ( )x d
e
00
x
x
y
z
e
e
e
( ) 0( ) 0
( ) 0
RR
R
e e 0 0x d
Between the Plates:Vacuum /
Zwischen den Platten:Vakuum
e
n× E 0
e
n× E 0
0
0
e
e
( ) 0( ) 0RR
Boundary Condition (BC) / Randbedingung (RB)
e ( ) 0( )R
E R 0
e ( ) 0( )R
E R 0
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003 15
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
Point Charge(s): Monopole, Dipole, and Quadrupole … / Punktladung(en): Mono-, Di- und Quadrupol ... (2)
Application: Numerical Solution of Unbounded Static Problems / Anwendung: Numerische Lösung von unbegrenzten statischen Problemen
ee
0
( )( )
R
R
Problem: Parallel Plate Capacitor in an Unbounded Region / Problem: Paralleler Plattenkondensator in einem unbegrenzten Gebiet
e+ e
Electrostatic Surface Charges / Elektrostatische Flächenladungen
Parallel Plates / Parallele Platten
Numerical Solution: We need to Specify Boundary Conditions at the Boundaries of the Simulation Area which is always
bounded. / Numerische Lösung: Wir müssen für die Ränder des
numerischen Simulationsgebietes, welches immer begrenzt ist, Randbedingungen spezifizieren.
e+ e
Outline of the Problem / Entwurf des Problems
Boundary Condition (BC) ? /
Randbedingung (RB) ?
Open Boundary Condition (OBC) ? /
Offene Rand- bedingung (ORB) ?
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003 16
Point Charge(s): Monopole, Dipole, and Quadrupole / Punktladung(en): Mono-, Di- und Quadrupol
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
e e( ) ( )Q R R Rz
y
x
Monopole / Monopol
One Point Charge /Eine Punktladung
e e e( ) ( ) ( )Q Q R R R R Rz
y
x
Dipole / Dipol
Two Point Charges /Zwei Punktladungen
4( )( )
e e1
( ) ( )ii
iQ
R R Rz
y
x
Quadrupole / Quadrupol
Four Point Charges /Vier Punktladungen
eQ
d
d
eQ
eQ
d
eQ
eQ
eQ
eQ(1) (2)(1) (2)
e e e e
(3) (4)(3) (4)e e e e
, , 2 2 2 2
,
with / mit
, 2 2 2 2
y z y z
y z y z
d d d dQ Q Q Q
d d d dQ Q Q Q
R e e R e e
R e e R e e
w
it
h /
2 2
mit
z zd d
R e R e
with / mit
R 0
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003 17
Point Charge(s): Monopole, Dipole, and Quadrupole … / Punktladung(en): Mono-, Di- und Quadrupol ...
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
Arbitrary Point Charge / Beliebige Punktsladungsverteilungen
z
y
x
e ( ) R
3e e
0
1 1( ) ( )4 | |
d
R
R R RR R
Expansion of in a Taylor Series for yields :
Entwicklung von in eine Taylor-Reihe für ergi
bt1
| |
R 0
R R
3 51 1 1 1 1 3
2| | Higher Order Terms / Terme höherer Ordnung:
R R R
R R R R R R R I RR R
HOT
HOT
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003 18
Point Charge(s): Monopole, Dipole, and Quadrupole … / Punktladung(en): Mono-, Di- und Quadrupol ...
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
3e e
0
3e3 5
0
3e2 3
0
1 1( ) ( ) d4 | |
1 1 1 1 1 3 ( ) d4 2
1 1 1 1 1 3 ( ) d4 2
R R R
R R R
R
R
R
R R RR R
R R R R R R R I R R R
R R R R R R R I R R R
HOT
HOT
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003 19
Point Charge(s): Monopole, Dipole, and Quadrupole … / Punktladung(en): Mono-, Di- und Quadrupol ...
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
1
3 3
3
3
3
3
R
R R :I
R R R R R I R R R : R R R R R I R
R R : R R R R R R
R R : R R R R
R R : R R R R : I
R R : R R I
3e e2 3
0
1 1 1 1 1( ) 3 ( ) d4 2R R R
R
R R R R R R R R I R R R HOT
3e e2 3
0
1 1 1 1 1( ) 3 ( ) d4 2R R R
R
R R R R R : R R I R R HOT
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003 20
Point Charge(s): Monopole, Dipole, and Quadrupole … / Punktladung(en): Mono-, Di- und Quadrupol ...
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
e
e
3e e
0
3e2 3
0
3e
0
3e2
1 1( ) ( ) d4 | |
1 1 1 1 1 3 ( ) d4 2
1 1 ( ) d4
1 ( ) d
Q
R R R
R
R
R
R
R
R
p
R R RR R
R R R R : R R I R R
R R
R R R R
HOT
e
3e3
1 1 ( ) d 32 R
R
q
R R R R : R R I
HOT
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003 21
Point Charge(s): Monopole, Dipole, and Quadrupole … / Punktladung(en): Mono-, Di- und Quadrupol ...
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
e
e
e
3e e
0
3e2
3e3
1 1( ) ( ) d4
1 ( ) d
1 1 ( ) d 32
Q
R
R
R
R
R
p
R
q
R R R
R R R R
R R R R : R R I
HOT
e e 2 3e e0
1 1 1 1 1ˆ ˆ ˆ( ) 34 2
Higher Order Terms / Terme höherer Ordnung :
QR R R
R p R q : RR I HOT
HOT
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003 22
Point Charge(s): Monopole, Dipole, and Quadrupole … / Punktladung(en): Mono-, Di- und Quadrupol ...
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
Arbitrary Point Charge / Beliebige Punktsladungsverteilungen
z
y
x
e ( ) R
3e e ( ) dQ
R
R RMonopole Moment / Monopolmoment
Dipole Moment / Dipolmoment
Quadrupole Moment / Quadrupolmoment
3ee( ) d
R
p R R R
3ee( ) d
R
q R R R R
3e e
0
1 1( ) ( )d4 | |
R
R R RR R
Expansion of in a Taylor Series for yields :
Entwicklung von in eine Taylor-Reihe für ergi
bt1
| |
R 0
R R
e e 2 3e e0
1 1 1 1 1ˆ ˆ ˆ( ) 34 2
Higher Order Terms / Terme höherer Ordnung :
QR R R
R p R q : RR I HOT
HOT
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003 23
Point Charge(s): Monopole, Dipole, and Quadrupole / Punktladung(en): Mono-, Di- und Quadrupol
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
e e e0, , Q p 0 q 0
z
y
x
Monopole Moment / Monopolmoment
One Point Charge /Eine Punktladung
z
y
x
Dipole Moment / Dipolmoment
Two Point Charges /Zwei Punktladungen
z
y
x
Quadrupole Moment/ Quadrupolmoment
Four Point Charges /Vier Punktladungen
eQ
d
d
eQ
eQ
d
eQ
eQ
eQ
eQ
e e e0, , Q p 0 q 0
e e e0, , Q p 0 q 0
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003 24
Electrostatic Dipole / Elektrostatischer Dipol
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
e e e
e e
( ) ( ) ( )
( ) ( )2 2z z
Q Qd dQ Q
R R R R R
R e R e
z
y
x
d
eQ
eQ
with 2
2
z
z
d
d
R e
R e
R
R
ee
0
1 1( )4Q
RR R R R
Electrostatic Dipole Moment / Elektrische Dipolmoment
zdd e
Distance Vector / Abstandsvektor2 2z z zd d d d R R e e e
3 3e e ee
3 3e e e e e e
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
d Q Q d
Q d Q d Q Q Q Q
R R
R R
R R
p R R R R R R R R R
R R R R R R R R R R R R d
Electrostatic Volume Charge Density / Elektrostatische Raumladungsdichte
Electrostatic Potential / Elektrostatisches Potential
e3 3
0( )
4Q
R R R RE R
R R R R
Electrostatic Field Strength / Elektrostatische Feldstärke
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003 25
Electrostatic Dipole / Elektrostatischer Dipol
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
z
y
x
d
eQ
eQ
R
R
zdd e
3ee
3e e
3 3e e
e e
e
( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2z z
d
Q Q d
Q d Q d
Q Q
d dQ
R
R
R R
R R R R
q R R R R
R R R R R R R
R R R R R R R R R R
R R R R
e e
e
2 2z z
z z z z
d d
Q d d
0
e e
e e e e
0
Electrostatic Dipole Moment / Elektrostatisches Dipolmoment
ee
e eˆ
Q
p
p d
p e
eˆ
e ep Q Q
d R R
p d R Rwith / mit
Electrostatic Quadrupole Moment / Elektrostatisches Quadrupolmoment
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003 26
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) FelderPoint Charge(s): Monopole, Dipole, and Quadrupole … /
Punktladung(en): Mono-, Di- und Quadrupol ... (2)
Application: Numerical Solution of Unbounded Static Problems / Anwendung: Numerische Lösung von unbegrenzten statischen Problemen
ee
0
( )( )
R
R
e e
With Dirichlet Boundary Condition / Mit Dirichlet Randbedingung With Open Boundary Condition (OBC) / Mit offener Randbedingung (ORB)
e e+ e( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )R y z x x y z x x
x
y
z
e0e+
e
( , )0 else / sonst
( , )
y y yy z z z z
y z
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003 27
ES Fields – Method of Images / ES-Felder – Spiegelungsmethode
Medium
nB(oundary)S
e ( ) R
e
e B
( ) pec / iel( ) 0,
( )S
RR R
n× E R 0
z
y
x
eQ
B e: ( ) 0 ( )
S
R Rn× E R 0
B e: ( ) 0 ( )
S
R Rn×E R 0
e
e
known / bekannt!,
Q E unknown / unbekannt!
R
e e( ) ( )Q R R R e e e( ) ( ) ( )Q Q R R R R R
0z
Boundary Value Problem (BVP) – Randwertproblem (RWP)
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003 28
B e: ( ) 0 ( )
S
R Rn×E R 0
Method of Images / SpiegelungsmethodeElectrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
B e: ( ) 0 ( )
S
R Rn× E R 0
ee
0
1 1( )4Q
RR R R R
e
e 0
1 1 0( ) 4
0 0
Qz
z
R R R R R
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003 29
Method of Images / SpiegelungsmethodeElectrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
B e: ( ) 0 ( )
S
R Rn ×E R 0
Medium
nB(oundary)S
e ( ) R
e
e B
( ) pec / iel( ) 0,
( )S
RR R
n× E R 0
z
y
x
eQ
Medium
nB(oundary)S
e ( ) R
e
e B
( ) pec / iel( ) 0,
( )S
RR R
n×E R 0
z
y
x
eQ
eQ
R R
R
Problem: Solution / Lösung:
Image Charge / Spiegelladung
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003 30
ES Fields – Method of Images / ES Felder – Spiegelungsmethode
Medium
nB(oundary)S
e ( ) R
e
e B
( ) pec / iel( ) 0,
( )S
RR R
n×E R 0
z
y
x
eQ
eQ
R
R
Solution by Applying the Method of Images / Lösung durch Anwendung der Spiegelungsmethode
Image Charge / Spiegelladung
e
e 0
1 1 0( ) 4
0 0
Qz
z
R R R R R
e e e( ) ( ) ( )Q Q R R R R R
0 0 with
mit z zz z R e R R e
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003 31
Method of Images / SpiegelungsmethodeElectrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
e
e 0
1 1 0( ) 4
0 0
Qz
z
R R R R R
e e e( ) ( ) ( )Q Q R R R R R 0 0 with
mit z zz z R e R R e
e
e3 3
0
0
e3 3
( ) ( )
04
0 0( ) ( )
04
0 0
Qz
z
Qz
z
E R R
R R R R
R R R R
D R E R
R R R R
R R R R
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003 32
Method of Images / SpiegelungsmethodeElectrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
Medium
nB(oundary)S
e ( )
,x yx y
x y
RR e e
z
eQ
y y –– –– – ––
+
PEC / IEL
Induced Electrostatic Surface Charge Density / Induzierte (influezierte) elektrostatische Flächenladungsdichte (Influenz)
Field Lines of E / Feldlinien von E
Without the Method of Images we have to Solve the Following Integral Equation for the Unknown Induced Electrostatic Surface Charge / Ohne die Spiegelungsmethode muss man die folgende Integralgleichung für
die induzierte (influezierte) elektrostatische Flächenladungsdichte lösen
2e ee
00
( )1( ) 04
z
Qd
R
RR R
R R R R
Unknown / Unbekannt
x
x
e 0f
(or
f r
0ü
) z R
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003 33
Method of Images / SpiegelungsmethodeElectrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
B
knownbekan
( )ntS RD R
Medium
nB(oundary)S
e ( ) R
z
y
x
eQ
–– –– – ––
+
PEC / IEL
Induced Electrostatic Surface Charge Density / Induzierte (influezierte) elektrostatische Flächenladungsdichte (Influenz)
Field Lines of E / Feldlinien von E If D is known from the Method of Images /
Falls D über die Spiegelungsmethode bekannt ist
B
B
e
e3 3
e3 3
0
( ) ( )
04
4
forfür
S
S
z
z
Qz
Q
R
R
R n D R
R R R Rn
R R R R
R R R Re
R R R R
ηe(R) is Defined by the Normal Component of D / ηe(R) ist definiert über die Normalkomponente von D
!
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003 34
Method of Images / SpiegelungsmethodeElectrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
Be
e3 3
0
e 0 03 / 2 3 / 22 22 2 2 2
0 00
e 0 03 / 2 3 / 22 2 2 2 2 2
0 0
e 0
2 2 20
( ) ( )
4
4
4
2
S
z z
z
z
Q
Q z z z z
x y z z x y z z
Q z z
x y z x y z
Q z
x y z
RR n D R
e R R e R R
R R R R
3/ 2
e 03 / 22 2
02Q z
r z
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003 35
Method of Images / SpiegelungsmethodeElectrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
Be
e 03 / 22 2
0
( ) ( )
2
S
Q z
r z
RR n D RTotal Electric Charge at the xy Plane at z=0 /
Gesamtladung auf der xy Ebene bei z=0
2tot e 0e 3 / 22 20 0 0
2e 0
3/ 22 20 002
e 0 3 / 22 20 0
e 0 2 2 00
0e
2
2
1 1
r
r
r
Q zQ r dr d
r z
Q zr dr d
r z
rQ z drr z
Q zzr z
Q
3 / 2 2 22 2
1x dxx ax a
tote eQ Q
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003 36
ES Fields – Method of Images – Applications / ES Felder – Spiegelungsmethode – Anwendungen
Earth / Erde
Singular Point / Singulärer Punkt
Ionosphere / Ionosphäre
Vertical Stream / Vertikalstrom
Dipole Layer / Dipolschicht
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003 37
ES Fields / ES FelderPoisson and Laplace Equation / Poisson- und Laplace-Gleichung (3)
Electrostatic (ES) Fields – Separation of Variables – Example / Elektrostatische (ES) Felder – Separation der Variablen – Beispiel
2 2
e2 2 ( , ) 0x yx y
x
y e 10 V
e 0 V e 0 V
e 0 V
Separation of Variables / Separation der Variablen !
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003 38
2 2 2
e2 2 2 ( , , ) 0x y zx y z
ES Fields / ES FelderPoisson and Laplace Equation / Poisson- und Laplace-Gleichung (3)
Electrostatic (ES) Fields – Separation of Variables / Elektrostatische (ES) Felder – Separation der Variablen
Laplace Equation / Laplace-Gleichung
2 2
e2 2 ( , ) 0x yx y
3-D / 3D
2-D / 2D
2 2
e e2 2( , ) ( , ) 0x y x yx y
Elliptic Partial Differential Equation / Elliptische partielle Differentialgleichunge ( , , ) 0x y z
Laplace Equation in Cartesian Coordinates / Laplace-Gleichung in Kartesischen Koordinaten
Function of Three Variables / Funktion von drei Variablen
Function of Two Variables / Funktion von zwei Variablen
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003 39
ES Fields / ES FelderPoisson and Laplace Equation / Poisson- und Laplace-Gleichung (3)
Electrostatic (ES) Fields – Separation of Variables / Elektrostatische (ES) Felder – Separation der Variablen
Laplace Equation / Laplace-Gleichung
2 2
e e2 2( , ) ( , ) 0x y x yx y
/
e ( , ) ( ) ( )x y X x Y y
Solution Strategy: Reduce the Partial Differential Equation (PDE) to an Ordinary Differential Equation (ODE) and Find a Solution
of the PDE by Solving the ODE
Lösungsstrategie: Reduziere die partielle Differentialgleichung (PDG) auf eine gewöhnliche (ordinäre) Differentialgleichung (GDG) und finde eine Lösung der PDG durch Lösung der GDG
Ansatz of Separation / Separationsansatz
Function of 2 Variables: x and y /Funktion von 2 Variablen: x und y
Function of x only /Nur eine Funktion von x
Function of y only /Nur eine Funktion von y
Product of 2 Functions /Produkt aus 2 Funktionen
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003 40
ES Fields / ES FelderPoisson and Laplace Equation / Poisson- und Laplace-Gleichung (3)
Electrostatic (ES) Fields – Separation of Variables / Elektrostatische (ES) Felder – Separation der Variablen
Laplace Equation / Laplace-Gleichung
2 2
e e2 2( , ) ( , ) 0x y x yx y
e ( , ) ( ) ( )x y X x Y y Ansatz of Separation / Separationsansatz
2 2 2 2
e e2 2 2 2
2 2
2 2
( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )
d d( ) ( ) ( ) ( )d d
x y x y X x Y y X x Y yx y x y
Y y X x X x Y yx y
Inserted in the Above Laplace Equation Yields / Eingesetzt in die obere Laplace-Gleichung ergibt
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003 41
ES Fields / ES FelderPoisson and Laplace Equation / Poisson- und Laplace-Gleichung (3)
Electrostatic (ES) Fields – Separation of Variables / Elektrostatische (ES) Felder – Separation der Variablen
2 2 2 2
e e2 2 2 2d d( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )d d
x y x y Y y X x X x Y yx y x y
2 2 2 2
2 2 2 21 d d 1 d 1 d( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
( ) ( ) ( ) ( )d d d dY y X x X x Y y X x Y y
X x Y y X x Y yx y x y
2 2
2 2
2 2
2 22 2
2 2
Function of Function ofFunktion von Funktion v
/ / o
n
0
1 d 1 d( ) ( ) 0( ) ( )d d
1 d 1 d( ) ( )( ) ( )d d
x yx y
X x Y yX x Y yx y
X x Y yX x Y yx y
2 2 0 Separation Condition / Separationsbedingung
1( ) ( )X x Y y
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003 42
ES Fields / ES FelderPoisson and Laplace Equation / Poisson- und Laplace-Gleichung (3)
Electrostatic (ES) Fields – Separation of Variables / Elektrostatische (ES) Felder – Separation der Variablen
2 2 2k
Separation Condition / Separationsbedingung
We Obtain Two ODE / Wir erhalten zwei GDG
22
2
22
2
d ( ) ( )dd ( ) ( )d
X x k X xx
Y y k Y yy
With / Mit
2 2 0
Solutions of these Equations are / Lösungen dieser Gleichungen sind
or /( ) cos( ) sin( )
oderor /
( ) cosh( ) sinh( )oder
X x kx kx
Y y ky ky
For k = 0 these Solutions Degenerate to / Für k = 0 diese Lösungen degenerieren zu
or /( ) const.
oderor /
( ) const.oder
X x x
Y y y
22
2
22
2
d ( ) ( )dd ( ) ( )d
X x X xx
Y y Y yy
Dr. R. Marklein - EFT I - SS 2003 43
End of 8th Lecture /Ende der 8. Vorlesung
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