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DigitaltechnikModul 10

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Literatur

[Wakerly, 2000] J.F. Wakerly.Digital Design, Principles and Practices,ISBN 0-13-089896-1, 2000. pp 452-503

[Fricke, 2014] K. Fricke.Digitaltechnik, 7. AuflageISBN-13 978-3834817839, 2014. pp 93-107

[LaMeres, 2017] Brock LaMeresIntroduction to Logic Circuits, 1. AuflageISBN-978-3-319-34194-1, Springer Verlag, 2017. pp 219-229,250-253

[Blieberger, 1996] J. Blieberger et. al.Informatik, 3. AuflageISBN-3-211-8286-5, Springer Verlag, 1996. pp 169-177

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Sequentielle SchaltwerkeGrundlagen

Endlicher Deterministischer Automat (EDA)

Die Automatentheorie liefert die Grundlage fur sequentielleSchaltwerke. Ein endlicher deterministischer Automat Z ist ein7-Tupel

Z=(Σ, S , S0,∆, Γ,F ,Ω)

mit dem Eingabealphabeth Σ , der Zustandsmenge S , dem

Startzustand S0 , der Zustandsubergangsfunktion ∆ mit den ihr

zugeordneten Transitionen, dem Ausgabealphabeth Γ , Endzu-

standsmenge F und der Ausgabefunktion Ω .

Sequentielle Schaltwerke sind die Implementierung EndlicherDeterministischer Automaten als digitales System.

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Sequentielle SchaltwerkeGrundlagen

Eingabealphabeth

Das Eingabealphabeth Σ definiert die Menge an Eingabezeichen,welche ein EDA verarbeitet. Das Eingabealphabeth definiert dieZeichen aus denen ein- oder mehrstellige Eingaben gebildet werden.

In digitalen Systemen mit zweiwertiger Logik Null und Eins ist

das Eingabealphabeth Σ = 0, 1 .

Einstellige und Mehrstellige Eingaben

Einstellige Eingaben auf dem Eingabealphabeth Σ=0, 1 sind

0 , 1 . N-Stellige Eingaben auf dem Eingabealphabeth Σ=0, 1sind bN−1 ... b0 , wobei bi ∈ Σ.

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Sequentielle SchaltwerkeGrundlagen

Ausgabelphabeth

Das Ausgabealphabeth Γ definiert die Menge an Ausgabezeichen,welche ein EDA ausgibt. Das Ausgabephabeth definiert die Zeichenaus denen ein- oder mehrstellige Ausgaben gebildet werden.

In digitalen Systemen mit zweiwertiger Logik Null und Eins ist

das Ausgabealphabeth Γ = 0, 1 .

Einstellige und Mehrstellige Ausgaben

Einstellige Ausgaben auf dem Ausgabealphabeth Γ=0, 1 sind

0 , 1 . M-stellige Ausgaben auf dem Eingabealphabeth Γ=0,1sind bM−1 ... b0 , bi ∈ Γ.

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Sequentielle SchaltwerkeGrundlagen

Eingabe

σ(N − 1 : 0) = bN−1 bN−2 ... b0

σ(i) = bi , 0 ≤ i ≤ N − 1

bi ∈ Σ

Ausgabe

γ(M − 1 : 0) = bM−1 bM−2 ... b0

γ(i) = bi , 0 ≤ i ≤ M − 1

bi ∈ Γ

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Sequentielle SchaltwerkeGrundlagen

Zustandsmenge

Die Zustandsmenge S definiert die Menge an Zustanden si ∈ Sdes sequentiellen Schaltwerks. Der Zustand wird im sequentiellenSchaltwerk in Form von Speicherelementen realisiert, dem so-genannten Zustandsspeicher .

Ein N-Bit Zustandsspeicher auf zweiwertiger Logik reprasentierteinen Zustandsraum mit 2N Zustanden (Permutationen).

Breite des Zustandsspeichers NS

Ein Zustandsautomat mit K Zustanden benotigt einen Zustands-speicher der Breite

NS ≥ dlog2Ke

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Sequentielle SchaltwerkeGrundlagen

End-Zustandsmenge

Die End-Zustandsmenge si ∈ F ⊆ S definiert die Menge an End-Zustanden des sequentiellen Schaltwerks. Ein End-Zustand ist einvom Entwickler definierter Zustand, der eine gultige Ausgabe lie-fert.

Grundsatzlich kann jeder Zustand auch End-Zustand sein.

Startzustand

Ein ausgezeichneter Zustand S0 ist Startzustand . Ein Resetsignal

RES schaltet das sequentielle Schaltwerk uber die Resetbeding-

ung in den Startzustand. Das Resetsignal RES kann auch durch

eine eindeutige Resetbedingung definiert werden.

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Sequentielle SchaltwerkeGrundlagen

Zustandsubergangsfunktion

Die Zustandsubergangsfunktion δ definiert den Zustandsubergangdes EDA und bildet den Folgezustand uber die Verknupfung vonaktuellem Zustand und Eingabe.

∆ : S × Σ→ S

St+1(NS − 1 : 0) = ∆(St(NS − 1 : 0), σ(N − 1 : 0))

Fur jedes Signal im Zustandsvektor St+1(NS − 1 : 0) gibt es im

sequentiellen Schaltwerk eine boole’sche Funktion, welche den ak-

tuellen Zustandsvektor St(NS − 1 : 0) und den Eingabevektor

σ(N − 1 : 0) uber boole’sche Funktionen vernkupft. Das Reset-

signal RES kann Bestandteil von σ sein.

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Sequentielle SchaltwerkeGrundlagen

Ausgabefunktion

Die Ausgabefunktion Ω definiert die Ausgabe γ des EDA und bil-det die Ausgabe uber die Verknupfung von aktuellem Zustand (und

Eingabe) entsprechend der Architektur

Ω : S × Σ→ Γ MEALY Architektur

Ω : S → Γ MOORE Architektur

Ω : ID(S) → Γ SIMPLE MOORE Architektur

wobei ID(S) die Identitatsfunktion des aktuellen Zustands S ist.

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Sequentielle SchaltwerkeGrundlagen

MEALY Architektur

Die MEALY Architektur bildet die Ausgabe γ uber die Verknupf-

ung von aktuellem Zustand St(NS − 1 : 0) und Eingabe

σ(N − 1 : 0)

∆ : S × Σ→ S

St+1(NS − 1 : 0) = ∆(St(NS − 1 : 0), σ(N − 1 : 0))

Ω : S × Σ→ Γ

γ(M − 1 : 0) = Ω(St(NS − 1 : 0), σ(N − 1 : 0))

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Sequentielle SchaltwerkeGrundlagen

MOORE Architektur

Die MOORE Architektur bildet die Ausgabe γ uber die Verknupf-

ung des aktuellen Zustands St(NS − 1 : 0) (Zustandsdekoder)

∆ : S × Σ→ S

St+1(NS − 1 : 0) = ∆(St(NS − 1 : 0), σ(N − 1 : 0))

Ω : S → Γ

γ(M − 1 : 0) = Ω(St(NS − 1 : 0))

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Sequentielle SchaltwerkeGrundlagen

SIMPLE MOORE Architektur

Die SIMPLE MOORE Architektur bildet die Ausgabe γ uber die

Identitatsabbildung des aktuellen Zustands St(NS − 1 : 0) auf die

Ausgabe

∆ : S × Σ→ S

St+1(NS − 1 : 0) = ∆(St(NS − 1 : 0), σ(N − 1 : 0))

Ω : ID(S)→ Γ

γ(M − 1 : 0) = ID(St(NS − 1 : 0))

Aufgrund der Identitatsfunktion ID(S) ist keine zusatzliche Logik

notig, um die Ausgabe zu berechnen. Die SIMPLE MOOREArchitektur ist minimal im Aufwand fur die Ausgabefunktion.

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Sequentielle SchaltwerkeGrundlagen

Synchroner Reset

Ein synchroner Reset wirkt nur in die Zustandsubergangsfunk-

tion ∆ aber nicht in die Ausgabefunktion Ω .

St+1(NS − 1 : 0) = ∆(St(NS − 1 : 0),RES , σ(N − 1 : 0))

γ(M − 1 : 0) = Ω(St(NS − 1 : 0), , σ(N − 1 : 0)︸ ︷︷ ︸falls MEALY

)

Ω IST NICHT Funktion von RES .

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Asynchroner Reset

Ein asynchroner Reset wirkt auch in die Ausgabefunktion Ω .

St+1(NS − 1 : 0) = ∆(St(NS − 1 : 0),RES , σ(N − 1 : 0))

γ(M − 1 : 0) = Ω(St(NS − 1 : 0),RES , σ(N − 1 : 0)︸ ︷︷ ︸falls MEALY

)

Ω IST Funktion von RES .

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Sequentielle SchaltwerkeGrundlagen

Zustandsgraph

EDAs werden als Zustandsgraphen dargestellt. Entsprechend derDefinition des 7-Tupels werden fur die Bestandteile grafische Re-prasentationen gewahlt, um die Funktion des Automaten einfachbeschreiben und erfassen zu konnen.

Zustand (MEALY) Zustand (MOORE)

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Startzustand (MEALY) Startzustand (MOORE)

Endzustand (MEALY) Endzustand (MOORE)

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Sequentielle SchaltwerkeGrundlagen

Transition (MEALY) Transition (MOORE)

Bei der MEALY Architektur wird die Ausgabe der Breite M, γm ,der Transition zugeordnet. Damit ist es moglich, da ein Folgezu-stand unterschiedliche Ausgaben liefert.

Im Gegensatz zur MOORE Architektur ist die Ausgabe bei derMEALY Architektur nicht direkt an den Zustand geknupft.

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Beispiel 1 (MOORE) Beispiel 2 (MOORE)

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Zustandsubergangstabelle

In der Zustandsubergangstabelle wird fur jede Transition eine Zeileeingetragen. Auf der linken Seite der Tabelle stehen die Zustands-namen und Eingabesignale, auf der rechten Seite die Namen derFolgezustande.

Zustandsubergangstabelle fur ”gerade Anzahl Einsen”

RES σ(N − 1 : 0) St(NS − 1 : 0) St+1(NS − 1 : 0)

1 X X S100 0 S10 S010 1 S10 S000 0 S00 S000 1 S00 S010 0 S01 S010 1 S01 S00

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Sequentielle SchaltwerkeGrundlagen

Zustands-Kodierungstabelle

In der Zustandskodierungstabelle werden die Zustandskodierungeneingetragen. Wird der Zustandsspeicher mit diesen Werten be-schrieben, dann befindet sich das sequentielle Schaltwerk in demZustand mit der entsprechenden Kodierung. Die Zustandskodier-ung ist nicht eindeutig und hat Einfluß auf die boole’sche Schalt-funktion.

Zustands-Kodierungstabelle fur ”gerade Anzahl Einsen”

Zustandsname S(1 : 0)

S10 10

S00 00

S01 01

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Wahrheitstabelle fur ∆

In der Wahrheitstabelle werden die Zustandsnamen durch dieZustandskodierungen in der Zustandsubergangstabelle ersetzt.

Wahrheitstabelle fur ∆ ”gerade Anzahl Einsen”

RES σ St(1 : 0) St+1(1 : 0)

1 X X 100 0 10 010 1 10 000 0 00 000 1 00 010 0 01 010 1 01 00

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Sequentielle SchaltwerkeGrundlagen

Wahrheitstabelle fur Ω

In der Wahrheitstabelle fur die Ausgabe werden dieZustandskodierungen links und die Ausgaben rechts notiert. Beider MEALY Architektur wird auf der linken Seite der Tabellezusatzlich die Eingabe notiert.

Wahrheitstabelle fur Ω ”gerade Anzahl Einsen”

St(1 : 0) EVEN

10 0

00 0

01 1

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Zustandsubergangsfunktion ∆ fur ”gerade Anzahl Einsen”

St+1(1) = RES

St+1(0) = (St(1) ∧ St(0) ∧ σ ∧ RES) ∨

(St(1) ∧ St(0) ∧ σ ∧ RES) ∨

(St(1) ∧ St(0) ∧ σ ∧ RES)

Ausgabefunktion Ω fur ”gerade Anzahl Einsen”

EVEN = St(0)

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Blockdiagramm der MEALY Architektur

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Blockdiagramm der MOORE Architektur

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Blockdiagramm der SIMPLE MOORE Architektur

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Aquivalenz

Jeder Automat in MEALY Architektur hat eine aquivalenteReprasentation als MOORE Architektur und umgekehrt.

Beweis

Algorithmus zur Transformation von MEALY nach MOORE undMOORE nach MEALY.

Transformation MOORE nach MEALY

Fur jeden Zustand im MOORE Automat, schreibe die Ausgabe anjede Transition die IN den Zustand fuhrt (trivial).

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MOORE nach MEALY Algorithmus

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Transformation MEALY nach MOORE

Falls es Transitionen in einen Zustand gibt, die unterschiedlicheAusgaben fordern, dann fuhre fur diesen Zustand soviele neue Unt-er-Zustande ein, wie unterschiedliche Ausgaben gefordert werden.Sonst notiere die Ausgabe in den Zustand.

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Transformation MEALY nach MOORE (Unterzustande)

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Transformation MEALY nach MOORE (Unterzustande)

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Flankendetektor als MEALY Architektur

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MEALY ”Flankendetektor”

Zustandsubergangstabelle

St σ RES St+1

INIT 0 0 ZEROINIT 1 0 ONEZERO 1 0 ONEZERO 0 0 ZEROONE 1 0 ONEONE 0 0 ZEROX X 1 INIT

Zustandskodierungstabelle

Name St(1 : 0)

INIT 10

ONE 01

ZERO 00

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MEALY ”Flankendetektor”

Wahrheitstabelle fur ∆

St(1 : 0) σ RES St+1(1 : 0)

10 0 0 0010 1 0 0100 1 0 0100 0 0 0001 1 0 0101 0 0 00X X 1 10

Wahrheitstabelle fur Ω

St σ RES EDGE

10 0 0 010 1 0 000 1 0 100 0 0 001 1 0 001 0 0 1X X 1 0

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Zustandsubergangsfunktion ∆ MEALY ”Flankendetektor”

St+1(1) = RES

St+1(0) = (RES ∧ St(1) ∧ St(0) ∧ σ) ∨

(RES ∧ St(1) ∧ St(0) ∧ σ) ∨

(RES ∧ St(1) ∧ St(0) ∧ σ)

Ausgabefunktion Ω MEALY ”Flankendetektor”

mit synchronem RES .

EDGE = (St(1) ∧ St(0) ∧ σ) ∨

(St(1) ∧ St(0) ∧ σ) ∨

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Ausgabefunktion Ω MEALY ”Flankendetektor”

mit asynchronem RES .

EDGE = (RES ∧ St(1) ∧ St(0) ∧ σ) ∨

(RES ∧ St(1) ∧ St(0) ∧ σ) ∨

Eindeutigkeit und Effizienz der Darstellung

Die Frage nach der Eindeutigkeit der Darstellung ist leicht zu be-antworten. Da die Zustandskodierung underschiedlich sein kann,kann auch die Darstellung von 4 und Ω unterschiedlich sein.

Uber die Zustandskodierung kann die Effizienz der Darstellung si-gnifikant beeinflusst werden.

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Flankendetektor als transformierte MOORE Architektur

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MOORE ”Flankendetektor”

Zustandsubergangstabelle

St σ RES St+1

INIT 0 0 ZEROINIT 1 0 ONEZERO 1 0 ZERO ′

ZERO 0 0 ZEROZERO ′ 0 0 ONE ′

ZERO ′ 1 0 ONEONE 1 0 ONEONE 0 0 ONE ′

ONE ′ 0 0 ZEROONE ′ 1 0 ZERO ′

X X 1 INIT

Zustandskodierungstabelle

Name St(2 : 0)

INIT 100

ONE 010

ZERO 000

ONE’ 011

ZERO’ 001

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MOORE ”Flankendetektor”

Wahrheitstabelle fur ∆

St(2 :0) σ RES St+1(2 :0)

100 0 0 000100 1 0 010000 1 0 001000 0 0 000001 0 0 011001 1 0 010010 1 0 010010 0 0 011011 0 0 000011 1 0 001X X 1 100

Wahrheitstabelle fur Ω

St(2 :0) RES EDGE

100 0 0100 0 0000 0 0000 0 0001 0 1001 0 1010 0 0010 0 0011 0 1011 0 1X 1 0

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Sequentielle SchaltwerkeGrundlagen

Zustandsubergangsfunktion ∆ MOORE ”Flankendetektor”

St+1(2) = RES

St+1(1) = (RES ∧ St(2) ∧ St(1) ∧ St(0) ∧ σ) ∨

(RES ∧ St(2) ∧ St(1) ∧ St(0) ∧ σ) ∨

(RES ∧ St(2) ∧ St(1) ∧ St(0) ∧ σ) ∨

(RES ∧ St(2) ∧ St(1) ∧ St(0) ∧ σ) ∨

(RES ∧ St(2) ∧ St(1) ∧ St(0) ∧ σ)

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Sequentielle SchaltwerkeGrundlagen

Zustandsubergangsfunktion ∆ MOORE ”Flankendetektor”

St+1(0) = (RES ∧ St(2) ∧ St(1) ∧ St(0) ∧ σ) ∨

(RES ∧ St(2) ∧ St(1) ∧ St(0) ∧ σ) ∨

(RES ∧ St(2) ∧ St(1) ∧ St(0) ∧ σ) ∨

(RES ∧ St(2) ∧ St(1) ∧ St(0) ∧ σ)

Ausgabefunktion Ω MOORE ”Flankendetektor”

EDGE = St(0) ∧ RES Asynchroner Reset

EDGE = St(0) Synchroner Reset