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常微分方程式系統之建立（一）

國立台灣大學生物機電系 林達德

631 U7860 生物系統模擬與分析 Lecture 03-2

壹、系統中非穩定狀態之質能平衡

貳、基本物理系統之質能平衡範例

參、不同物理系統間之類比關係

肆、∆X-方法之推導

伍、微分方程式之解析求解法

2

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631 U7860 生物系統模擬與分析 Lecture 03-3

壹、系統中非穩定狀態之質能平衡推導方程式之步驟：

　1.界定系統，以方塊圖表示系統。

　2.以箭號表示流入或流出系統之能量或質量。

　3.以質能不滅之原理表示系統質能變化之情形。

其中 C = 系統中之能量或質量

　 　 qij = 單位時間流入之能量或質量，j = 1,2,...　 　 qoj = 單位時間流出之能量或質量，j = 1,2,...

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故 ∑∑j

ojj

ij q - q = dtdC

*系統中濃度變化之情形亦可以類似方法來推導

∑∑j

oojj

iij ][Cq - ][Cq = dt

d(m[C]) = dtdC

其中 m 為能量

3

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貳、基本物理系統之質能平衡範例

一、水槽之水位範例

v = h A

Rh = qo （水流量與阻力之關係）

由水量之平衡可以推導出：

= Rh - =q - q = q

dtd(hA)

dtdV

ioi

或是

q =

Rh + A i

dtdh

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流體系統模式建立範例

對於較小的蓄水池而言，應用

質量平衡原理可以推得下式：

假設由大湖流入蓄水池之水流為層流，則可以利用

Hagen-Poiseulle公式計算進入蓄水池之流量q1：

01222 )( qq

dtdhA

dtzhdA −==

−

)(128 2211

4

1 gzpgzpL

Dq ρρµ

π−−+=

4

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631 U7860 生物系統模擬與分析 Lecture 03-7

其中D與L分別為導水管之直徑與長度。而入口與出口之壓力則分別為：

因此可得

最後系統模式之微分方程式可以整理如下式：

)( )( 222111 zhgpzhgp −=−= ρρ

)(128 21

4

1 hhLgDq −=

µρπ

01

4

2

42

128128qh

LgDh

LgD

dtdhA −=+

µρπ

µρπ

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二、質量-彈簧-緩衝桿模式

含有以上三個元素之機械系統，其微分方程式之推導步驟如下：

1.定義座標系統並決定其正值之方向。

2.個別決定各元素間一點之力平衡。(對該點以定速向正方向移動)

3.合成系統方程式。

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631 U7860 生物系統模擬與分析 Lecture 03-9

例如以下之系統：

故　　

02

2

+ ky= dtdy

Cmk +

dtydm

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機械系統模式建立範例

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631 U7860 生物系統模擬與分析 Lecture 03-11

應用牛頓第二定律，由節點1之力平衡可以得到：

由節點2之力平衡可以得到：

因此兩個二階運動方程式分別為：

∑ = 11xmF &&

11121 )( xmxxbkx &&&& =−+−

∑ = 22xmF &&

2212 cos)( xmtFxxb &&&& =+−− ω

tFxbxbxmkxxbxbxm

ωcos0

1222

12111

=−+

=+−+&&&&

&&&&

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631 U7860 生物系統模擬與分析 Lecture 03-12

以微分運算子的形式表示：

最後可以合併成為下列之四階微分方程式：

tFbDxxbDDm

bDxxkbDDm

ωcos][0][

122

2

212

1

=−+

=−++

tFkbDDmxbkDkDmbDmmDmm ωcos][])([ 212

22

321

421 ++=++++

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三、電路系統

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對於一個串聯電路而言，輸入電壓為各元件電壓差之和：

對於一個並聯電路而言

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四、人口增長削減模式

　 一個簡易的人口增長削減模式亦可運用質能平衡之觀念來推導。在以下之解說例中，若假設人口之出生與死亡是和人口總數成線性關係，則可以推導一個簡易的人口模式如下：

令　y1 = 60歲以下之人口之總數

　　y2 = 60歲以上之人口之總數

　　m = 60歲以下由外地移民來之人口數

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631 U7860 生物系統模擬與分析 Lecture 03-16

對Y1而言，“質量”平衡可得：

對Y2而言，"質量"平衡可得：

請注意，(1)式及(2)式為相互Coupled的微分方程組。

11111 - C y y + m - D = B y

dtdy

2212 y - D = C y

dtdy

(1)

(2)

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五、人體內累積性化學物質動態模式

　 累積性化學物質，例如鉛，經由飲食進入人體的血液循環系統，化學物質經過血液循環進入組織與骨骼中。同時亦經由排尿與排汗離開人體。這個過程可以由下面的方塊圖表示：

血液 組織

骨骼

x1 x2

x3

D

u

sk12

k21

k23 k32

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631 U7860 生物系統模擬與分析 Lecture 03-18

其中 x1 = 血液中化學物質的濃度

x2 = 組織中化學物質的濃度

x3 = 骨骼中化學物質的濃度

系統的參數包括：

u = 化學物質經由尿液排出之速率

s = 化學物質經由汗液排出之速率

kij = 化學物質在血液、組織、骨骼間傳輸的速率

假設化學物質在血液、組織、骨骼間的傳輸是線性交換的關係，則依質量平衡的原理，可以推導出以下的系統微分方程式：

3322233

22233322211122

22111211

xkxk = dt

dx

sxxkxkxkxk = dt

dx

xkxkuxD = dt

dx

−

−−+−

+−−

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參、不同物理系統間之類比關係

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◎ Rate, Quantity, Effort, Flux, Integral causality

“Quantity is the effect, rate is the cause, and the special way in which they are related is termed integral causality.”

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肆、∆X-方法之推導

　　當我們對於一個系統內某一特定位置之特性

有興趣進行分析時，常用的方法是∆X-方法。需用到這∆X-方法來進行分析之問題簡單舉幾例如下：

1.導熱體剖面溫度分佈之分析。

2.水溶液中溶質之擴散。

3.穀類乾燥機內穀類濕度之分析。

4.熱交換器內溫度之分佈。

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631 U7860 生物系統模擬與分析 Lecture 03-23

◎推導之步驟：

　　目前暫時只考慮穩定狀態(Steady State)之分析，亦即溫度、濃度、密度、壓力等之分佈與時間無關。推導函數φ(x)與位置關係之步驟如下：

1.定義座標系，起始點與正值之方向。

2.畫小方盒圖(敘述於後)。

3.對小方盒運用質量、能量或力之平衡原理。

4.運用泰勒展開式

5.處理式子，除以∆X並令∆X→0dxdx + (x) )( φφφ ∆≅∆+ xx

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631 U7860 生物系統模擬與分析 Lecture 03-24

以圓筒槽內水壓為例：

令φ為圓筒槽內壓力函數

　A = 槽之截面積。

　x = 由水平面至水面下之深度。

　γ = 流體之密度。

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631 U7860 生物系統模擬與分析 Lecture 03-25

現在應用力平衡之原理：

應用邊界條件φ(x) = 0，則

= dxd

x + (x) = dxdx + (x)

xA + (x)A = x) +(xA

γφ

γφφφ

γφφ

⇒

∆∆

∆∆

x = )( γφ x

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伍、微分方程式之解析求解法

基本式

例如：

0 = )dtdx x, ,(tf

x =x + x + tx

cos(u) = y(u) + dy(u)

5t = 3x(t) + dt

dx(t) + )(

2

2

2

2

2

2

2

2

∂λ∂

∂∂

∂∂

∂∂

vu

du

dttxd

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631 U7860 生物系統模擬與分析 Lecture 03-27

Ordinary differential equation vs. partial differential equationOrder of a differential equationVariable coefficient and constant coefficient differential equation

Linear and nonlinear differential equation

0 = 2y + dtdy4 + d8

sin(3t) 15 = xt + dtdxt +

2

2

22

23

dty

dtxdt

0 = 2y + )dt

yd8(

10 = x +

22

2

3

dtdxx

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631 U7860 生物系統模擬與分析 Lecture 03-28

一、Homogeneous equation之求解

　(1) First-order equation:

y = C1 ept

(2) Second-order equation:

　(3) Higher-order equation:

ing)(underdamp cos(bt)]c + sin(bt)[c e = y 0 < 4k - q :3 case

damping) (critical e tc + ec = y 0 = 4k - q :2 case

ng)(overdampi ec + ec = y 0 > 4k - q :1 case

0)= k + qp + p ( 2

4k-q q- =

2 1at2

t p 2

tp1

2

t p2

tp1

2

22

2 1

2 1

±p

tpn

tp3

tp2

tp1

n321 e c + ... + e c + e c + e c = y

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631 U7860 生物系統模擬與分析 Lecture 03-29

二、Nonhomogeneous equation之求解:

三、其他方法：

　　(1) Power series:　　　　-Legendre polynomial　　　　-Bessel's equation

　　(2) Laplace transform

pc

2

2

y + y = y

f(x) = ky + dtdyg +

dtyd

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631 U7860 生物系統模擬與分析 Lecture 03-30

四、微分方程組之合併

【例】：

10x = 2z + dtdz7 +

dtzd3

10x = ) 2 + 7p + 3p ( z 2 + p

10x = 2y = ) 1 + 3p (

2 + p5x = y 5x, = ) 2 + p y(

2y) = z + z(3 2y = z + dtdz3

5x) = 2y + y ( 5x = 2y +

2

2

2

⇒

⇒

′

′

z

dtdy

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631 U7860 生物系統模擬與分析 Lecture 03-31

【例】人口增長削減模式之微分方程組合併

m C=B)-C+(DD+dtdyB)-C+D+(D+

dtyd

m C=B))-C+(DD+B)p-C+D+(D+(p ym C=B))-C+(D+)(pD+(p y

B)- C + D ( + pm C =

yC = ) D + p ( yB)- C + (D + p

m = y

m = ) B)- (D + p ( y

[2] yD- yC = dtdy

[1] yC- yD- m + yB = dtdy

122

212

22

12212

2

122

1

122

11

11

2 212

11111

⇒

∴