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常微分方程式系統之建立(一)
國立台灣大學生物機電系 林達德
631 U7860 生物系統模擬與分析 Lecture 03-2
壹、系統中非穩定狀態之質能平衡
貳、基本物理系統之質能平衡範例
參、不同物理系統間之類比關係
肆、∆X-方法之推導
伍、微分方程式之解析求解法
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2
國立台灣大學生物機電系 林達德
631 U7860 生物系統模擬與分析 Lecture 03-3
壹、系統中非穩定狀態之質能平衡推導方程式之步驟:
1.界定系統,以方塊圖表示系統。
2.以箭號表示流入或流出系統之能量或質量。
3.以質能不滅之原理表示系統質能變化之情形。
其中 C = 系統中之能量或質量
qij = 單位時間流入之能量或質量,j = 1,2,... qoj = 單位時間流出之能量或質量,j = 1,2,...
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631 U7860 生物系統模擬與分析 Lecture 03-4
故 ∑∑j
ojj
ij q - q = dtdC
*系統中濃度變化之情形亦可以類似方法來推導
∑∑j
oojj
iij ][Cq - ][Cq = dt
d(m[C]) = dtdC
其中 m 為能量
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貳、基本物理系統之質能平衡範例
一、水槽之水位範例
v = h A
Rh = qo (水流量與阻力之關係)
由水量之平衡可以推導出:
= Rh - =q - q = q
dtd(hA)
dtdV
ioi
或是
q =
Rh + A i
dtdh
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631 U7860 生物系統模擬與分析 Lecture 03-6
流體系統模式建立範例
對於較小的蓄水池而言,應用
質量平衡原理可以推得下式:
假設由大湖流入蓄水池之水流為層流,則可以利用
Hagen-Poiseulle公式計算進入蓄水池之流量q1:
01222 )( qq
dtdhA
dtzhdA −==
−
)(128 2211
4
1 gzpgzpL
Dq ρρµ
π−−+=
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631 U7860 生物系統模擬與分析 Lecture 03-7
其中D與L分別為導水管之直徑與長度。而入口與出口之壓力則分別為:
因此可得
最後系統模式之微分方程式可以整理如下式:
)( )( 222111 zhgpzhgp −=−= ρρ
)(128 21
4
1 hhLgDq −=
µρπ
01
4
2
42
128128qh
LgDh
LgD
dtdhA −=+
µρπ
µρπ
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631 U7860 生物系統模擬與分析 Lecture 03-8
二、質量-彈簧-緩衝桿模式
含有以上三個元素之機械系統,其微分方程式之推導步驟如下:
1.定義座標系統並決定其正值之方向。
2.個別決定各元素間一點之力平衡。(對該點以定速向正方向移動)
3.合成系統方程式。
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631 U7860 生物系統模擬與分析 Lecture 03-9
例如以下之系統:
故
02
2
+ ky= dtdy
Cmk +
dtydm
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機械系統模式建立範例
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631 U7860 生物系統模擬與分析 Lecture 03-11
應用牛頓第二定律,由節點1之力平衡可以得到:
由節點2之力平衡可以得到:
因此兩個二階運動方程式分別為:
∑ = 11xmF &&
11121 )( xmxxbkx &&&& =−+−
∑ = 22xmF &&
2212 cos)( xmtFxxb &&&& =+−− ω
tFxbxbxmkxxbxbxm
ωcos0
1222
12111
=−+
=+−+&&&&
&&&&
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631 U7860 生物系統模擬與分析 Lecture 03-12
以微分運算子的形式表示:
最後可以合併成為下列之四階微分方程式:
tFbDxxbDDm
bDxxkbDDm
ωcos][0][
122
2
212
1
=−+
=−++
tFkbDDmxbkDkDmbDmmDmm ωcos][])([ 212
22
321
421 ++=++++
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三、電路系統
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對於一個串聯電路而言,輸入電壓為各元件電壓差之和:
對於一個並聯電路而言
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631 U7860 生物系統模擬與分析 Lecture 03-15
四、人口增長削減模式
一個簡易的人口增長削減模式亦可運用質能平衡之觀念來推導。在以下之解說例中,若假設人口之出生與死亡是和人口總數成線性關係,則可以推導一個簡易的人口模式如下:
令 y1 = 60歲以下之人口之總數
y2 = 60歲以上之人口之總數
m = 60歲以下由外地移民來之人口數
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631 U7860 生物系統模擬與分析 Lecture 03-16
對Y1而言,“質量”平衡可得:
對Y2而言,"質量"平衡可得:
請注意,(1)式及(2)式為相互Coupled的微分方程組。
11111 - C y y + m - D = B y
dtdy
2212 y - D = C y
dtdy
(1)
(2)
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五、人體內累積性化學物質動態模式
累積性化學物質,例如鉛,經由飲食進入人體的血液循環系統,化學物質經過血液循環進入組織與骨骼中。同時亦經由排尿與排汗離開人體。這個過程可以由下面的方塊圖表示:
血液 組織
骨骼
x1 x2
x3
D
u
sk12
k21
k23 k32
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631 U7860 生物系統模擬與分析 Lecture 03-18
其中 x1 = 血液中化學物質的濃度
x2 = 組織中化學物質的濃度
x3 = 骨骼中化學物質的濃度
系統的參數包括:
u = 化學物質經由尿液排出之速率
s = 化學物質經由汗液排出之速率
kij = 化學物質在血液、組織、骨骼間傳輸的速率
假設化學物質在血液、組織、骨骼間的傳輸是線性交換的關係,則依質量平衡的原理,可以推導出以下的系統微分方程式:
3322233
22233322211122
22111211
xkxk = dt
dx
sxxkxkxkxk = dt
dx
xkxkuxD = dt
dx
−
−−+−
+−−
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631 U7860 生物系統模擬與分析 Lecture 03-19
參、不同物理系統間之類比關係
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◎ Rate, Quantity, Effort, Flux, Integral causality
“Quantity is the effect, rate is the cause, and the special way in which they are related is termed integral causality.”
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631 U7860 生物系統模擬與分析 Lecture 03-22
肆、∆X-方法之推導
當我們對於一個系統內某一特定位置之特性
有興趣進行分析時,常用的方法是∆X-方法。需用到這∆X-方法來進行分析之問題簡單舉幾例如下:
1.導熱體剖面溫度分佈之分析。
2.水溶液中溶質之擴散。
3.穀類乾燥機內穀類濕度之分析。
4.熱交換器內溫度之分佈。
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631 U7860 生物系統模擬與分析 Lecture 03-23
◎推導之步驟:
目前暫時只考慮穩定狀態(Steady State)之分析,亦即溫度、濃度、密度、壓力等之分佈與時間無關。推導函數φ(x)與位置關係之步驟如下:
1.定義座標系,起始點與正值之方向。
2.畫小方盒圖(敘述於後)。
3.對小方盒運用質量、能量或力之平衡原理。
4.運用泰勒展開式
5.處理式子,除以∆X並令∆X→0dxdx + (x) )( φφφ ∆≅∆+ xx
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631 U7860 生物系統模擬與分析 Lecture 03-24
以圓筒槽內水壓為例:
令φ為圓筒槽內壓力函數
A = 槽之截面積。
x = 由水平面至水面下之深度。
γ = 流體之密度。
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631 U7860 生物系統模擬與分析 Lecture 03-25
現在應用力平衡之原理:
應用邊界條件φ(x) = 0,則
= dxd
x + (x) = dxdx + (x)
xA + (x)A = x) +(xA
γφ
γφφφ
γφφ
⇒
∆∆
∆∆
x = )( γφ x
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631 U7860 生物系統模擬與分析 Lecture 03-26
伍、微分方程式之解析求解法
基本式
例如:
0 = )dtdx x, ,(tf
x =x + x + tx
cos(u) = y(u) + dy(u)
5t = 3x(t) + dt
dx(t) + )(
2
2
2
2
2
2
2
2
∂λ∂
∂∂
∂∂
∂∂
vu
du
dttxd
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631 U7860 生物系統模擬與分析 Lecture 03-27
Ordinary differential equation vs. partial differential equationOrder of a differential equationVariable coefficient and constant coefficient differential equation
Linear and nonlinear differential equation
0 = 2y + dtdy4 + d8
sin(3t) 15 = xt + dtdxt +
2
2
22
23
dty
dtxdt
0 = 2y + )dt
yd8(
10 = x +
22
2
3
dtdxx
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631 U7860 生物系統模擬與分析 Lecture 03-28
一、Homogeneous equation之求解
(1) First-order equation:
y = C1 ept
(2) Second-order equation:
(3) Higher-order equation:
ing)(underdamp cos(bt)]c + sin(bt)[c e = y 0 < 4k - q :3 case
damping) (critical e tc + ec = y 0 = 4k - q :2 case
ng)(overdampi ec + ec = y 0 > 4k - q :1 case
0)= k + qp + p ( 2
4k-q q- =
2 1at2
t p 2
tp1
2
t p2
tp1
2
22
2 1
2 1
±p
tpn
tp3
tp2
tp1
n321 e c + ... + e c + e c + e c = y
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631 U7860 生物系統模擬與分析 Lecture 03-29
二、Nonhomogeneous equation之求解:
三、其他方法:
(1) Power series: -Legendre polynomial -Bessel's equation
(2) Laplace transform
pc
2
2
y + y = y
f(x) = ky + dtdyg +
dtyd
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631 U7860 生物系統模擬與分析 Lecture 03-30
四、微分方程組之合併
【例】:
10x = 2z + dtdz7 +
dtzd3
10x = ) 2 + 7p + 3p ( z 2 + p
10x = 2y = ) 1 + 3p (
2 + p5x = y 5x, = ) 2 + p y(
2y) = z + z(3 2y = z + dtdz3
5x) = 2y + y ( 5x = 2y +
2
2
2
⇒
⇒
′
′
z
dtdy
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631 U7860 生物系統模擬與分析 Lecture 03-31
【例】人口增長削減模式之微分方程組合併
m C=B)-C+(DD+dtdyB)-C+D+(D+
dtyd
m C=B))-C+(DD+B)p-C+D+(D+(p ym C=B))-C+(D+)(pD+(p y
B)- C + D ( + pm C =
yC = ) D + p ( yB)- C + (D + p
m = y
m = ) B)- (D + p ( y
[2] yD- yC = dtdy
[1] yC- yD- m + yB = dtdy
122
212
22
12212
2
122
1
122
11
11
2 212
11111
⇒
∴