anti-dielectric breakdown model as a model for erosion phenomena yup kim, sooyeon yoon

Anti-dielectric Breakdown Model as a Model for Erosion Phenomena

Yup Kim, Sooyeon YoonKyungHee University

Disorder System Research Group

KyungHee Univ.

Abstract

Laplacian field 에 의해 결정되는 확률에 의존하여 침식되는 물질 표면 구조의 동역학적 축척 보편성에 관하여 연구하였다 .

물질의 표면을 y=h(x, t) 로 나타내면 Laplacian field (x, y, t) 는 y > h(x,

t)

에서 2(x, y, t) = 0 를 만족하고 , y < h(x, t) 에서 (x, y, t) = 0

이다 .

여기서 표면에 있는 입자가 제거될 확률은 로 주어진다 .

여기서는 model 의 표면의 동역학적 축척 보편성이 에 따라 어떻 게 달라지는가를 보였다 . = 1 일 때에는 diffusion limited

annihilation 에서와 같이 동역학적 지수가 z = 1 임을 알 수 있다 .

1 이면 표면에 거칠기가 나타나지 않고 , 0 에서는 KPZ

방 정식을 만족하는 anti-Eden model 로 crossover 가 일어남을 보였다 .

hx thx

thxthxP

, |),,(|

|),,(|),,(

Disorder System Research Group

KyungHee Univ.

Introduction

Dielectric Breakdown Model (Niemeyer & Potronero, 1986)

Related Phenomena

Electrolytic polishing

Mullins-Sekerka instability

Saffman-Taylor’s experiment result (1958)

Scaling Relations

Surface Width

zL

tfLthhW ~])]([[ 2/12

z

z

LtL

LtttLW

~),( /z

Disorder System Research Group

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Eden Model (Jullien & Botet, 1985)

Kardar-Parisi-Zhang(KPZ) Universality Class

Anti-Eden Model

),()(2

),( 22 thht

thx

x

)(zL

tfLW

2

3,

3

1,

2

1 z

numberbondtotal

siteeachpernumberbondP

Annihilation Probability

h

Eden Model

Open bond

Anti-Eden Model

-h

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Linear Langevin equation for surface growth

(x, t) is stochastic noise with zero mean

Diffusion Limited Erosion Model (Krug & Meakin, 1991)

qq

q q

h

t

h z

by Fourier Transformation of surface height h(x)

)/(2 LtfW

)]}/4exp(1ln[)/{ln(2

2 LtaLD

W

),()( 2 tht

h m x

)()(),(),( ttDtt d xxxx

1z

Disorder System Research Group

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Model Anti-dielectric Breakdown Model

Boundary Condition Substrate 의 boundary condition 을 (x, yb, t) = 1 이라 하고 , 이 substrate 로부터 멀리 떨어진 지점에서의 boundary condition 을 (x, yb, t) = 0 으로 정한다 .

Laplace Equation

2 = 0

위의 boundary condition 에 따라 이 공간 내의 Laplace equation 을 relaxation method 를 이용하여 푼다 .

Relaxation method

( : over-relaxation parameter )

)(

,

)(

1,

)(

,1

)(

1,

)(

,1

)(

,

)1(

,4

1 k

ji

k

ji

k

ji

k

ji

k

ji

k

ji

k

ji

Probability

Laplace equation 에 의해 결정된 potential value 로 substrate 의 각 site 마다 erosion 이 일어날 확률을 다음과 같이 구한다 .

Erosion

Random number 를 발생시켜 erosion probability 와 비교하여 선택된 site 를 제거한다 .

Disorder System Research Group

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hx thx

thxthxP

, |),,(|

|),,(|),,(

yb

(x,h)

(x, yb, t) = 1

2 =0

(x, yb, t) = 0

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Result = 0 (Anti-Eden Model)

= 0.49, = 0.33, z = 1.49 (KPZ exponents)

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= 0.01

= 0.48, = 0.33, z = 1.45 (KPZ)

)(zL

tfLW

= 0.1

= 0. 30, = 0.18, z = 1.67 Crossover regime(EW or KPZ?)

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Disorder System Research Group

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= 1

비교 Diffusion Limited Annihilation (Pb= 0.25)

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= 2

= 0.5

z = 1 로 collapse 됨 . (DLD)

DLD

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Summary & Discussion 0 = 0.49, = 0.33, z = 1.49

Anti-DBM 은 0 에서 KPZ equation 을 만족하는 anti-Eden model 로 crossover 가 일어난다 .

가 아주 작아지지 않으면 KPZ behavior 가 나타나지

않는다 . ( 0.01) 0.3 < 1

crossover regime

EW or KPZ universality class 로 예상 .

0.5 2 Diffusion Limited Erosion 과 같은 linear growth equatuion 을 만족한다 .

Dynamic exponent, z=1

> 2 (?)

이면 smooth phase 를 갖는다 . 즉 , roughening 이 일어나지 않는다 .