anti-dielectric breakdown model as a model for erosion phenomena yup kim, sooyeon yoon
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Anti-dielectric Breakdown Model as a Model for Erosion Phenomena Yup Kim, Sooyeon Yoon KyungHee University. Disorder System Research Group. Abstract Laplacian field 에 의해 결정되는 확률에 의존하여 침식되는 물질 표면 구조의 동역학적 축척 보편성에 관하여 연구하였다 . 물질의 - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Anti-dielectric Breakdown Model as a Model for Erosion Phenomena
Yup Kim, Sooyeon YoonKyungHee University
Disorder System Research Group
KyungHee Univ.
Abstract
Laplacian field 에 의해 결정되는 확률에 의존하여 침식되는 물질 표면 구조의 동역학적 축척 보편성에 관하여 연구하였다 .
물질의 표면을 y=h(x, t) 로 나타내면 Laplacian field (x, y, t) 는 y > h(x,
t)
에서 2(x, y, t) = 0 를 만족하고 , y < h(x, t) 에서 (x, y, t) = 0
이다 .
여기서 표면에 있는 입자가 제거될 확률은 로 주어진다 .
여기서는 model 의 표면의 동역학적 축척 보편성이 에 따라 어떻 게 달라지는가를 보였다 . = 1 일 때에는 diffusion limited
annihilation 에서와 같이 동역학적 지수가 z = 1 임을 알 수 있다 .
1 이면 표면에 거칠기가 나타나지 않고 , 0 에서는 KPZ
방 정식을 만족하는 anti-Eden model 로 crossover 가 일어남을 보였다 .
hx thx
thxthxP
, |),,(|
|),,(|),,(
Disorder System Research Group
KyungHee Univ.
Introduction
Dielectric Breakdown Model (Niemeyer & Potronero, 1986)
Related Phenomena
Electrolytic polishing
Mullins-Sekerka instability
Saffman-Taylor’s experiment result (1958)
Scaling Relations
Surface Width
zL
tfLthhW ~])]([[ 2/12
z
z
LtL
LtttLW
~),( /z
Disorder System Research Group
KyungHee Univ.
Eden Model (Jullien & Botet, 1985)
Kardar-Parisi-Zhang(KPZ) Universality Class
Anti-Eden Model
),()(2
),( 22 thht
thx
x
)(zL
tfLW
2
3,
3
1,
2
1 z
numberbondtotal
siteeachpernumberbondP
Annihilation Probability
h
Eden Model
Open bond
Anti-Eden Model
-h
Disorder System Research Group
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Linear Langevin equation for surface growth
(x, t) is stochastic noise with zero mean
Diffusion Limited Erosion Model (Krug & Meakin, 1991)
q q
h
t
h z
by Fourier Transformation of surface height h(x)
)/(2 LtfW
)]}/4exp(1ln[)/{ln(2
2 LtaLD
W
),()( 2 tht
h m x
)()(),(),( ttDtt d xxxx
1z
Disorder System Research Group
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Model Anti-dielectric Breakdown Model
Boundary Condition Substrate 의 boundary condition 을 (x, yb, t) = 1 이라 하고 , 이 substrate 로부터 멀리 떨어진 지점에서의 boundary condition 을 (x, yb, t) = 0 으로 정한다 .
Laplace Equation
2 = 0
위의 boundary condition 에 따라 이 공간 내의 Laplace equation 을 relaxation method 를 이용하여 푼다 .
Relaxation method
( : over-relaxation parameter )
)(
,
)(
1,
)(
,1
)(
1,
)(
,1
)(
,
)1(
,4
1 k
ji
k
ji
k
ji
k
ji
k
ji
k
ji
k
ji
Probability
Laplace equation 에 의해 결정된 potential value 로 substrate 의 각 site 마다 erosion 이 일어날 확률을 다음과 같이 구한다 .
Erosion
Random number 를 발생시켜 erosion probability 와 비교하여 선택된 site 를 제거한다 .
Disorder System Research Group
KyungHee Univ.
hx thx
thxthxP
, |),,(|
|),,(|),,(
yb
(x,h)
(x, yb, t) = 1
2 =0
(x, yb, t) = 0
Disorder System Research Group
KyungHee Univ.
Result = 0 (Anti-Eden Model)
= 0.49, = 0.33, z = 1.49 (KPZ exponents)
Disorder System Research Group
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= 0.01
= 0.48, = 0.33, z = 1.45 (KPZ)
)(zL
tfLW
= 0.1
= 0. 30, = 0.18, z = 1.67 Crossover regime(EW or KPZ?)
Disorder System Research Group
KyungHee Univ.
Disorder System Research Group
KyungHee Univ.
= 1
비교 Diffusion Limited Annihilation (Pb= 0.25)
Disorder System Research Group
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= 2
= 0.5
z = 1 로 collapse 됨 . (DLD)
DLD
Disorder System Research Group
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Summary & Discussion 0 = 0.49, = 0.33, z = 1.49
Anti-DBM 은 0 에서 KPZ equation 을 만족하는 anti-Eden model 로 crossover 가 일어난다 .
가 아주 작아지지 않으면 KPZ behavior 가 나타나지
않는다 . ( 0.01) 0.3 < 1
crossover regime
EW or KPZ universality class 로 예상 .
0.5 2 Diffusion Limited Erosion 과 같은 linear growth equatuion 을 만족한다 .
Dynamic exponent, z=1
> 2 (?)
이면 smooth phase 를 갖는다 . 즉 , roughening 이 일어나지 않는다 .