271 2013 lecture 18 last time: laplace transformoe/leon/ese271s13/lecture18.pdfese 271 / spring 2013...

ESE 271 / Spring 2013 / Lecture 18

Last time: Laplace Transform

Function in time‐domain

Function in s‐domain

One sided Laplace transform of V(t)

Exists ifallowed

not allowed

is piecewise continuous

is of exponential order exists

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Laplace Transform of voltage step

time‐domains‐domain

i ll d “ l ” fHere is so called “pole” of 

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Why do we care about Laplace Transform?h l l d ff l !Because it helps to solve differential equations !

Example – finding response of RC‐integrator

Perform Laplace transformation

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Answer in s‐domain:

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What we should do to apply Laplace transform technique:

1. Find the Laplace transforms of an important functions and build a table for future reference.

2. Develop technique to go from s‐domain back to time‐domain.

3. Develop circuit analysis techniques in s‐domain.3. Develop circuit analysis techniques in s domain.

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Laplace transform of

when

when

PoleRegion of convergence ofPole convergence of 

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Laplace transform of

Poles

Observe:

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Region of convergence:

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Laplace transform of sine wave voltage.

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Laplace transform of

Poles:

Region of convergence:

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Laplace transform of time‐shifted waveform

hifshift

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Example 1.

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Example 2.

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Frequency shift.

What happens with                   when                                                  ?

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Example.

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Laplace transform of damped cosine.

Recall that:

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Time and frequency scaling.

and now

Change variable

f

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Time compression factor

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Example.

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Delta function.

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Generalized function

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Singularity functions.

Unit step function (Heaviside function) 

Unit impulse function (‐function) 

Unit ramp function

And all higher orders of integration and differentiation

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Sifting property of ‐functions.

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Laplace transforms of singularity functions.

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Example.

KVL:

Perform Laplace transform to solve integral differential equationPerform Laplace transform to solve integral‐differential equation 

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Example ‐ cont.

KVL:

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Example ‐ cont.

KVL:

Damped sine

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Pair of complex poles.

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Circuits in s‐domain.

Laplace transform

Laplace transform

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Resistor in s‐domain.

time‐domain

s‐domain

Impedance in s‐domain

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Capacitor in s‐domain.

time‐domain

Initial condition

s‐domain

Impedance in

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Impedance in s‐domain

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Inductor in s‐domain.

time‐domain

Initial acondition

s‐domain

Impedance in 

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s‐domain

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Example.Find equivalent Impedance in s domainFind equivalent Impedance in s‐domain

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Admittance in s‐domain.

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Example.Thevenin/Norton equivalents in s domainThevenin/Norton equivalents in s‐domain

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