010-variogramas1
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8/20/2019 010-Variogramas1
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MI54A EVALUACIÓN DE YACIMIENTOS – UNIVERSIDAD DE CHILEMI54A EVALUACIÓN DE YACIMIENTOS – UNIVERSIDAD DE CHILE
Correlograma, covarianza y variogramaCorrelograma, covarianza y variogramaexperimentalexperimental
CálculoCálculo InterpretaciónInterpretación Mapas variográfcosMapas variográfcos
05 – Variograma05 – Variograma
experimentalexperimental
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MI54A EVALUACIÓN DE YACIMIENTOS – UNIVERSIDAD DE CHILEMI54A EVALUACIÓN DE YACIMIENTOS – UNIVERSIDAD DE CHILE
+ues #e correlación+ues #e correlación
#ieri#a#ieri#aOservemos las nues #e correlación #ieri#a para varias
#istancias #e separación $#atos #e leyes #e core en unyacimiento%&
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MI54A EVALUACIÓN DE YACIMIENTOS – UNIVERSIDAD DE CHILEMI54A EVALUACIÓN DE YACIMIENTOS – UNIVERSIDAD DE CHILE
+ues #e correlación+ues #e correlación
#ieri#a#ieri#a -a #ispersión #e la nue aumenta con la
#istancia #e separación.
/l examen #e las nues #e correlación #ieri#ain#ica cuán seme!antes son #os #atos enunción #e la #istancia ue las separa. /s#ecir, permite apreciar la correlaciónesacial #e $las variales aleatorias uerepresentan% los valores #e la varialeregionaliza#a
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MI54A EVALUACIÓN DE YACIMIENTOS – UNIVERSIDAD DE CHILEMI54A EVALUACIÓN DE YACIMIENTOS – UNIVERSIDAD DE CHILE
CorrelogramaCorrelograma
experimentalexperimental 1na primera manera #e me#ir la correlación
espacial consiste en calcular el coefciente #ecorrelación #e las nues #e correlación
#ieri#a.
2l reportar el valor #e este coefciente #ecorrelación en unción #e la #istancia #eseparación, se otiene lo ue se #enomina el
correlo!ra"a e#eri"en$al #e los #atos.3eneralmente, se trata #e una unción#ecreciente #e la #istancia4 tien#e a cerocuan#o )sta se vuelve muy gran#e.
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MI54A EVALUACIÓN DE YACIMIENTOS – UNIVERSIDAD DE CHILEMI54A EVALUACIÓN DE YACIMIENTOS – UNIVERSIDAD DE CHILE
CorrelogramaCorrelograma
experimentalexperimental "efnición matemática&
)(ˆ)(ˆ
)(Ĉ)(ˆ
hh
hh
−+ σσ=ρ
)()()()()(
1)(ˆ
)(
1
hhhuuh
h
h
−+=
−+= ∑ mm z z N
C
N
i
ii
∑=
+ =)(
1
)()(
1)(
h
uh
h
N
i
i z
N m
∑=− +=
)(
1
)(
)(
1)(
h
hu
h
h
N
i
i z
N
m
)()()(
1)(ˆ 2
)(
1
22hu
hh
h
+=
+ −=σ ∑ m z N
N
i
i
)()(
)(
1)(ˆ 2
)(
1
22hhu
h
h
h
−=
− −+=σ
∑ m z
N
N
i
i
con:
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MI54A EVALUACIÓN DE YACIMIENTOS – UNIVERSIDAD DE CHILEMI54A EVALUACIÓN DE YACIMIENTOS – UNIVERSIDAD DE CHILE
Covarianza experimentalCovarianza experimental
/n lugar #e visualizar el coefciente #e correlación, sepue#e visualizar la co%arian&a en unción #e la #istancia#e separación
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MI54A EVALUACIÓN DE YACIMIENTOS – UNIVERSIDAD DE CHILEMI54A EVALUACIÓN DE YACIMIENTOS – UNIVERSIDAD DE CHILE
Variograma experimentalVariograma experimental
/l %ario!ra"a e#eri"en$al se otiene al visualizar elmomento #e inercia #e las nues #e correlación #ieri#a$#istancia prome#io a la #iagonal principal% en unción #e la#istancia #e separación&
3eneralmente, se trata #e una unción creciente #e la #istancia4
se anula cuan#o )sta vale cero.
/xiste una relación entre to#as las erramientas variográfcas. /ngeneral, se prefere utilizar el variograma, puesto ue su cálculono ace intervenir los valores #e las me#ias m6$'% y m7$'%.
∑=
+−=γ )(
1
2)]()([)(2
1)(ˆ
h
huuh
h
N
i
ii z z
N
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MI54A EVALUACIÓN DE YACIMIENTOS – UNIVERSIDAD DE CHILEMI54A EVALUACIÓN DE YACIMIENTOS – UNIVERSIDAD DE CHILE
Variograma experimentalVariograma experimental
Ilustración
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11/34MI54A EVALUACIÓN DE YACIMIENTOS – UNIVERSIDAD DE CHILEMI54A EVALUACIÓN DE YACIMIENTOS – UNIVERSIDAD DE CHILE
Variograma experimentalVariograma experimental
/l variograma muestra caracter8sticasimportantes #e la variale regionaliza#a& el crecimiento in#ica la veloci#a# con la cual se
9#esestructura: la variale en el espacio la #istancia para la cual se estailiza el variogramarepresenta la 9zona #e in;uencia: #e un #ato.
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12/34MI54A EVALUACIÓN DE YACIMIENTOS – UNIVERSIDAD DE CHILEMI54A EVALUACIÓN DE YACIMIENTOS – UNIVERSIDAD DE CHILE
Variograma experimentalVariograma experimental
Ilustración #el concepto #e regulari#a# espacial
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13/34MI54A EVALUACIÓN DE YACIMIENTOS – UNIVERSIDAD DE CHILEMI54A EVALUACIÓN DE YACIMIENTOS – UNIVERSIDAD DE CHILE
Variograma experimentalVariograma experimental
Ilustración #el concepto #e anisotrop8a
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14/34MI54A EVALUACIÓN DE YACIMIENTOS – UNIVERSIDAD DE CHILEMI54A EVALUACIÓN DE YACIMIENTOS – UNIVERSIDAD DE CHILE
Cálculo #e variogramasCálculo #e variogramas
experimentalesexperimentales "atos >7" o ?7", regular o irregularmente espacia#os"atos >7" o ?7", regular o irregularmente espacia#os
/specifcación #e "irección $regular%&/specifcación #e "irección $regular%&
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15/34MI54A EVALUACIÓN DE YACIMIENTOS – UNIVERSIDAD DE CHILEMI54A EVALUACIÓN DE YACIMIENTOS – UNIVERSIDAD DE CHILE
Cálculo #e variogramasCálculo #e variogramas
experimentalesexperimentales /specifcación #e #irección $irregular%&/specifcación #e #irección $irregular%&
L a g 2
L a g 1
L a g 4
L a g 3
L a g T
o l e r a n c
e
Azimuth
tolerance
Bandidth
Azimuth
! a"i# ($orth)
% a"i# (&a#t)
L a g ' i
# t a n c
e
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16/34MI54A EVALUACIÓN DE YACIMIENTOS – UNIVERSIDAD DE CHILEMI54A EVALUACIÓN DE YACIMIENTOS – UNIVERSIDAD DE CHILE
∑ +−=γ
)(
2)]()([)(2
1)(
h
huu
h
h
N
z z
N
Ejemplo: Comienzo con una separación (#4)
Comenzar en un nodo y comparar
su valor con todos los nodos que
caigan dentro del la tolerancia de
separación y tolerancia angular
...
Cálculo #e variogramasCálculo #e variogramas
experimentalesexperimentales
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17/34MI54A EVALUACIÓN DE YACIMIENTOS – UNIVERSIDAD DE CHILEMI54A EVALUACIÓN DE YACIMIENTOS – UNIVERSIDAD DE CHILE
∑ +−=γ )(
2)]()([)(2
1)(
h
huuh
h
N
z z N
...
Ir al siguiente nodo
Cálculo #e variogramasCálculo #e variogramas
experimentalesexperimentales
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18/34MI54A EVALUACIÓN DE YACIMIENTOS – UNIVERSIDAD DE CHILEMI54A EVALUACIÓN DE YACIMIENTOS – UNIVERSIDAD DE CHILE
Aora repetir para todos los nodos
! repetir para todas las separaciones
...
in correlaci*n
+aria,ilidad
&n aumento
+ a r i o g r a m a γ ( h )
'i#tancia de #e-araci*n (h)
Cálculo #e variogramasCálculo #e variogramas
experimentalesexperimentales
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19/34MI54A EVALUACIÓN DE YACIMIENTOS – UNIVERSIDAD DE CHILEMI54A EVALUACIÓN DE YACIMIENTOS – UNIVERSIDAD DE CHILE
Opciones #e cálculoOpciones #e cálculo
#el variograma#el variograma
@arámetros a #efnir para calcular un variograma experimental& aci"($
θ
& #irección en la ue se calcula el variograma me#i#a en un& #irección en la ue se calcula el variograma me#i#a en unplano orizontal respecto al norte, en el senti#o #e los punteros #el relo!plano orizontal respecto al norte, en el senti#o #e los punteros #el relo!
$olerancia an!(lar en el aci"($ θ
θ& ángulo #entro #el ue seángulo #entro #el ue seconsi#eran váli#os los #atos para el cálculo #e la #ierencia cua#ráticaconsi#eran váli#os los #atos para el cálculo #e la #ierencia cua#rática
anc'o )e *an)a 'ori&on$al ''HH& an#a #entro #e la cual se& an#a #entro #e la cual seconsi#eran váli#os los #atos para el cálculo #el variograma4 se mi#econsi#eran váli#os los #atos para el cálculo #el variograma4 se mi#eperpen#icular a la #irección #el acimutperpen#icular a la #irección #el acimut
)is$ancias $mAltiplos #e una #istancia elemental B paso o lag% a lasa lasue se calculan los puntos #el variograma experimentalue se calculan los puntos #el variograma experimental
$olerancia en el aso & tolerancia en la separación, #e manera ue& tolerancia en la separación, #e manera uelos #atos pue#an encontrarse a una #istancia mayor o menor al pasolos #atos pue#an encontrarse a una #istancia mayor o menor al paso
n+"ero )e asos
Paso 0 Paso 1 Paso 2 Paso 3 Paso 4
∆p
θ
∆hH
N
E
θ
-
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20/34MI54A EVALUACIÓN DE YACIMIENTOS – UNIVERSIDAD DE CHILEMI54A EVALUACIÓN DE YACIMIENTOS – UNIVERSIDAD DE CHILE
Opciones #e cálculoOpciones #e cálculo
#el variograma#el variograma
InclinaciónInclinación ϕ& #irección, me#i#a en el plano vertical #el acimut, en la ue se& #irección, me#i#a en el plano vertical #el acimut, en la ue secalcula el variograma.calcula el variograma. Inclinación #e 0Inclinación #e 0 #irección orizontal#irección orizontal Inclinación positivaInclinación positiva 9acia arria:9acia arria: Inclinación negativaInclinación negativa 9acia aa!o:9acia aa!o:
Tolerancia an!(lar en la inclinaciónTolerancia an!(lar en la inclinación ϕϕ& ángulo #entro #el cual se& ángulo #entro #el cual seconsi#eran váli#os #os #atos para el cálculo #e la #ierencia cua#rática, en elconsi#eran váli#os #os #atos para el cálculo #e la #ierencia cua#rática, en elmismo plano vertical en ue se #efnió la inclinaciónmismo plano vertical en ue se #efnió la inclinación
Anc'o )e *an)a en la inclinaciónAnc'o )e *an)a en la inclinación ''VV& #imensión vertical #e la an#a& #imensión vertical #e la an#a#entro #e la cual se consi#eran los #atos váli#os para calcular el variograma#entro #e la cual se consi#eran los #atos váli#os para calcular el variograma
N+"ero )e ares ",ni"oN+"ero )e ares ",ni"o& se pue#e consi#erar ue un punto #el& se pue#e consi#erar ue un punto #elvariograma es váli#o si su cálculo se izo con un nAmero #e pares superior avariograma es váli#o si su cálculo se izo con un nAmero #e pares superior aeste parámetroeste parámetro
Desla&a"ien$o inicialDesla&a"ien$o inicial& es la #istancia inicial ue se consi#era #es#e el& es la #istancia inicial ue se consi#era #es#e elpunto para iniciar la Asue#a #e los #emás #atospunto para iniciar la Asue#a #e los #emás #atos
-on)era)ores )e )esa!r(a"ien$o-on)era)ores )e )esa!r(a"ien$o& muy poco usa#o en los sotDares& muy poco usa#o en los sotDares
Paso 0 Paso 1 Paso 2 Paso 3 Paso 4
∆p
θ
∆hH
N
E
θ
-
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21/34MI54A EVALUACIÓN DE YACIMIENTOS – UNIVERSIDAD DE CHILEMI54A EVALUACIÓN DE YACIMIENTOS – UNIVERSIDAD DE CHILE
Opciones #e cálculoOpciones #e cálculo
#el variograma#el variograma Direcciones . n+"ero )e )ireccionesDirecciones . n+"ero )e )irecciones
Calcular los variogramas verticales en una corri#a y losCalcular los variogramas verticales en una corri#a y losvariogramas orizontales en otra $#istinto paso%variogramas orizontales en otra $#istinto paso%
2 menu#o escoger tres #irecciones orizontales&2 menu#o escoger tres #irecciones orizontales&
omni#ireccional, #irección #e mayor continui#a# yomni#ireccional, #irección #e mayor continui#a# yperpen#icular a )staperpen#icular a )sta N+"ero )e asos . )is$ancia )e searaciónN+"ero )e asos . )is$ancia )e searación
-a #istancia #e separación coinci#e con el espaciamiento #e-a #istancia #e separación coinci#e con el espaciamiento #elos #atoslos #atos
/l variograma experimental es confale asta una #istancia/l variograma experimental es confale asta una #istanciaigual a la mita# #el tama=o #el campoigual a la mita# #el tama=o #el campo esco!a el nAmero #eesco!a el nAmero #e
separaciones consecuentemente $#a#o el paso%separaciones consecuentemente $#a#o el paso% Tio )e %ario!ra"as a calc(larTio )e %ario!ra"as a calc(lar
Eay un alto gra#o #e ;exiili#a# #isponile.
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22/34MI54A EVALUACIÓN DE YACIMIENTOS – UNIVERSIDAD DE CHILEMI54A EVALUACIÓN DE YACIMIENTOS – UNIVERSIDAD DE CHILE
Hransormación #e #atos Hransormación #e #atos
-a mayor8a #e las leyes #e metales preciosos tienen-a mayor8a #e las leyes #e metales preciosos tienen#istriuciones #e #atos altamente sesga#as ue generan#istriuciones #e #atos altamente sesga#as ue generanprolemas en el cálculo #el variograma4 los valores extremosprolemas en el cálculo #el variograma4 los valores extremostienen un impacto signifcativo en el variograma.tienen un impacto signifcativo en el variograma.
1na transormaci1na transormacióón comAn es tomar losn comAn es tomar los lo!ari$"oslo!ari$"os&&y B logy B log00 $ z %$ z %
/ectuar to#os los análisis esta#8sticos con los #atos/ectuar to#os los análisis esta#8sticos con los #atostransorma#os y transormar #e vuelta al fnaltransorma#os y transormar #e vuelta al fnal →→ lalatransormación #e vuelta es #elica#atransormación #e vuelta es #elica#a
Varias t)cnicas geoesta#8sticas reuieren ue los #atos seVarias t)cnicas geoesta#8sticas reuieren ue los #atos setransormen a unatransormen a una )is$ri*(ción nor"al o /a(ssiana)is$ri*(ción nor"al o /a(ssiana..
/l mo#elo #e unción aleatoria 3aussiana es Anico en/l mo#elo #e unción aleatoria 3aussiana es Anico engeoesta#8stica por su extrema simplici#a# anal8tica y por ser lageoesta#8stica por su extrema simplici#a# anal8tica y por ser la#istriución l8mite en mucos teoremas anal8ticos conoci#os#istriución l8mite en mucos teoremas anal8ticos conoci#oscomo 9teoremas #el l8mite central:como 9teoremas #el l8mite central:
-a transormación acia cualuier #istriución $y #e vuelta% se-a transormación acia cualuier #istriución $y #e vuelta% selleva a cao ácilmente usan#o la transormación #e cuantileslleva a cao ácilmente usan#o la transormación #e cuantiles
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23/34MI54A EVALUACIÓN DE YACIMIENTOS – UNIVERSIDAD DE CHILEMI54A EVALUACIÓN DE YACIMIENTOS – UNIVERSIDAD DE CHILE
/!emplo #e cálculo/!emplo #e cálculo• ∑
=α
α⋅=
)h(n
1
cola )x(z)h(n
1m
Media de los primerosvalores en los pares.
• ∑=α
α +⋅=
)h(n
1
cabeza )hx(z)h(n
1m
Media de los segundosvalores en los pares.
• ( )∑=α
α −⋅
−
=)h(n
1
2
cola
2
cola m)x(z
1)h(n
1s
arianza de los primeros
valores en los pares.
• ( )∑=α
α −+⋅
−=
)h(n
1
2
cabeza
2
cabeza m)hx(z1)h(n
1s
arianza de lossegundos valores en los
pares.
• ( ) ( )∑=α
αα −+⋅−⋅
−=
)h(n
1
cabezacola m)hx(zm)x(z1)h(n
1)h(!
!ovarianza en"re los primeros # segundos
valores separados a $nadis"ancia h.
Covarianza
• colacabeza ss
)h(!)h(r
⋅
=
!oe%icien"e decorrelaci&n en"re los primeros # segundos
valores.Correlograma
• ( )∑=α
αα +−⋅
⋅=γ
)h(n
1
2)hx(z)x(z
)h(n2
1)h(
"ariograma
de m$es"ras separadas
a $na dis"ancia h.
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24/34MI54A EVALUACIÓN DE YACIMIENTOS – UNIVERSIDAD DE CHILEMI54A EVALUACIÓN DE YACIMIENTOS – UNIVERSIDAD DE CHILE
/!emplo #e cálculo/!emplo #e cálculo
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25/34MI54A EVALUACIÓN DE YACIMIENTOS – UNIVERSIDAD DE CHILEMI54A EVALUACIÓN DE YACIMIENTOS – UNIVERSIDAD DE CHILE
/!emplo #e cálculo/!emplo #e cálculo"ariograma de muestras de zinc
2'
'1*
1+'*
0'00
arianza
,11'344
0'00
2'00
4'00'00
'00
10'00
12'00
14'00
1'00
1'00
0 1 2 3 4
#istancia (m)
( )
Covarianza de muestras de zinc
11'344
*'1-
4'300
.1'*33
.4'000
.2'000
0'000
2'000
4'000
'000
'000
10'000
12'000
0 1 2 3 4
#istancia (m)
C ( )
Correlograma de muestras de zinc
1'00
0'*+
0'32
.0'11.0'20
0'00
0'20
0'40
0'0
0'0
1'00
1'20
0 1 2 3 4
#istancia (m)
r ( )
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Interpretación #eInterpretación #e
variogramas experimentalesvariogramas experimentales
A(sencia )e "ese$aA(sencia )e "ese$a @ue#e #eerse a la escala #e traa!o $#istancias #e cálculo K alcance%.@ue#e #eerse a la escala #e traa!o $#istancias #e cálculo K alcance%. @ue#e #eerse a la presencia #e ten#encias@ue#e #eerse a la presencia #e ten#encias 00 consi#erar una #erivaconsi#erar una #eriva
expl8cita en el mo#elo #e unción aleatoria*expl8cita en el mo#elo #e unción aleatoria* @ue#e interpretarse como unción aleatoria #e varianza infnita@ue#e interpretarse como unción aleatoria #e varianza infnita
+ariograma
'i#tancia
+arianza de lo# dato#
orizontal
+ e r t i
c a l
'ato# con tendencia
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29/34MI54A EVALUACIÓN DE YACIMIENTOS – UNIVERSIDAD DE CHILEMI54A EVALUACIÓN DE YACIMIENTOS – UNIVERSIDAD DE CHILE
Interpretación #eInterpretación #e
variogramas experimentalesvariogramas experimentales
1l(c$(aciones1l(c$(aciones 2umentan cuan#o aumenta la #istancia #e separación2umentan cuan#o aumenta la #istancia #e separación /l variograma experimental no es confale L interpretale para #istancias/l variograma experimental no es confale L interpretale para #istancias
muy gran#es con respecto al #iámetro #el #ominio muestrea#omuy gran#es con respecto al #iámetro #el #ominio muestrea#o Jegla emp8rica& calcular el variograma experimental para #istancias menoresJegla emp8rica& calcular el variograma experimental para #istancias menores
a la mita# #e este #iámetroa la mita# #e este #iámetro
+ariograma
'i#tancia
me#eta
-
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MI54A EVALUACIÓN DE YACIMIENTOS – UNIVERSIDAD DE CHILEMI54A EVALUACIÓN DE YACIMIENTOS – UNIVERSIDAD DE CHILE
Interpretación #eInterpretación #e
variogramas experimentalesvariogramas experimentales
Ciclici)a)Ciclici)a) @ue#e estar vincula#a a la perio#ici#a# geológica@ue#e estar vincula#a a la perio#ici#a# geológica @ue#e #eerse a inormación limita#a@ue#e #eerse a inormación limita#a LL mala elección #e parámetrosmala elección #e parámetros
#e cálculo#e cálculo @reocuparse #el eecto pepita y una estimación razonale #el alcance@reocuparse #el eecto pepita y una estimación razonale #el alcance
+ariograma
'i#tancia
me#eta
orizontal
+ e r
t i c a l
'ato# Cclico#
-
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MI54A EVALUACIÓN DE YACIMIENTOS – UNIVERSIDAD DE CHILEMI54A EVALUACIÓN DE YACIMIENTOS – UNIVERSIDAD DE CHILE
Interpretación #eInterpretación #e
variogramas experimentalesvariogramas experimentales
Aniso$ro,a !eo"2$ricaAniso$ro,a !eo"2$rica& alcances #ierentes en #irecciones #ierentes& alcances #ierentes en #irecciones #ierentes/xplica#o por&/xplica#o por& "irección #e ;u!o preerencial #e los ;ui#os mineralizantes"irección #e ;u!o preerencial #e los ;ui#os mineralizantes "epositación en #irecciones preerenciales $gra#iente en temperatura, pE,%"epositación en #irecciones preerenciales $gra#iente en temperatura, pE,%
Muy comAn en la vertical y comAn en la orizontalMuy comAn en la vertical y comAn en la orizontal
orizontal
+ e
r t i c a l
&3em-lo con ani#otro-a geom4trica
'i#tancia
.e#eta+ariograma +ertical
+ariograma orizontal
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MI54A EVALUACIÓN DE YACIMIENTOS – UNIVERSIDAD DE CHILEMI54A EVALUACIÓN DE YACIMIENTOS – UNIVERSIDAD DE CHILE
Mapas variográfcosMapas variográfcos
Consiste en calcular y visualizar el variogramaexperimental en to#as las #irecciones #elespacio, a!o la orma #e un mapa #e color.
"e este mo#o, se pue#e #istinguir si existeaniso$ro,a $geom)trica, zonal, u otra% ycalcular el variograma a lo largo #e las
#irecciones principales #e anisotrop8a
-
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Mapas variográfcosMapas variográfcos
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