010-variogramas1

8/20/2019 010-Variogramas1

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MI54A EVALUACIÓN DE YACIMIENTOS – UNIVERSIDAD DE CHILEMI54A EVALUACIÓN DE YACIMIENTOS – UNIVERSIDAD DE CHILE

Correlograma, covarianza y variogramaCorrelograma, covarianza y variogramaexperimentalexperimental

CálculoCálculo InterpretaciónInterpretación Mapas variográfcosMapas variográfcos

05 – Variograma05 – Variograma

experimentalexperimental


2/34


3/34


+ues #e correlación+ues #e correlación

#ieri#a#ieri#aOservemos las nues #e correlación #ieri#a para varias

#istancias #e separación $#atos #e leyes #e core en unyacimiento%&


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+ues #e correlación+ues #e correlación

#ieri#a#ieri#a -a #ispersión #e la nue aumenta con la

#istancia #e separación.

/l examen #e las nues #e correlación #ieri#ain#ica cuán seme!antes son #os #atos enunción #e la #istancia ue las separa. /s#ecir, permite apreciar la correlaciónesacial #e $las variales aleatorias uerepresentan% los valores #e la varialeregionaliza#a


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CorrelogramaCorrelograma

experimentalexperimental 1na primera manera #e me#ir la correlación

espacial consiste en calcular el coefciente #ecorrelación #e las nues #e correlación

#ieri#a.

2l reportar el valor #e este coefciente #ecorrelación en unción #e la #istancia #eseparación, se otiene lo ue se #enomina el

correlo!ra"a e#eri"en$al #e los #atos.3eneralmente, se trata #e una unción#ecreciente #e la #istancia4 tien#e a cerocuan#o )sta se vuelve muy gran#e.


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CorrelogramaCorrelograma

experimentalexperimental "efnición matemática&

)(ˆ)(ˆ

)(Ĉ)(ˆ

hh

hh

−+ σσ=ρ

)()()()()(

1)(ˆ

)(

1

hhhuuh

h

h

−+=

−+= ∑ mm z z N

C

N

i

ii

∑=

+ =)(

1

)()(

1)(

h

uh

h

N

i

i z

N m

∑=− +=

)(

1

)(

)(

1)(

h

hu

h

h

N

i

i z

N

m

)()()(

1)(ˆ 2

)(

1

22hu

hh

h

+=

+ −=σ ∑ m z N

N

i

i

)()(

)(

1)(ˆ 2

)(

1

22hhu

h

h

h

−=

− −+=σ

∑ m z

N

N

i

i

con:


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Covarianza experimentalCovarianza experimental

/n lugar #e visualizar el coefciente #e correlación, sepue#e visualizar la co%arian&a en unción #e la #istancia#e separación


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Variograma experimentalVariograma experimental

/l %ario!ra"a e#eri"en$al se otiene al visualizar elmomento #e inercia #e las nues #e correlación #ieri#a$#istancia prome#io a la #iagonal principal% en unción #e la#istancia #e separación&

3eneralmente, se trata #e una unción creciente #e la #istancia4

se anula cuan#o )sta vale cero.

/xiste una relación entre to#as las erramientas variográfcas. /ngeneral, se prefere utilizar el variograma, puesto ue su cálculono ace intervenir los valores #e las me#ias m6$'% y m7$'%.

∑=

+−=γ )(

1

2)]()([)(2

1)(ˆ

h

huuh

h

N

i

ii z z

N


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Ilustración


11/34MI54A EVALUACIÓN DE YACIMIENTOS – UNIVERSIDAD DE CHILEMI54A EVALUACIÓN DE YACIMIENTOS – UNIVERSIDAD DE CHILE


/l variograma muestra caracter8sticasimportantes #e la variale regionaliza#a& el crecimiento in#ica la veloci#a# con la cual se

9#esestructura: la variale en el espacio la #istancia para la cual se estailiza el variogramarepresenta la 9zona #e in;uencia: #e un #ato.




Ilustración #el concepto #e regulari#a# espacial




Ilustración #el concepto #e anisotrop8a



Cálculo #e variogramasCálculo #e variogramas

experimentalesexperimentales "atos >7" o ?7", regular o irregularmente espacia#os"atos >7" o ?7", regular o irregularmente espacia#os

/specifcación #e "irección $regular%&/specifcación #e "irección $regular%&




experimentalesexperimentales /specifcación #e #irección $irregular%&/specifcación #e #irección $irregular%&

L a g 2

L a g 1

L a g 4

L a g 3

L a g T

o l e r a n c

e

Azimuth

tolerance

Bandidth

Azimuth

! a"i# ($orth)

% a"i# (&a#t)

L a g ' i

# t a n c

e



∑ +−=γ

)(

2)]()([)(2

1)(

h

huu

h

h

N

z z

N

Ejemplo: Comienzo con una separación (#4)

Comenzar en un nodo y comparar

su valor con todos los nodos que

caigan dentro del la tolerancia de

separación y tolerancia angular

...


experimentalesexperimentales



∑ +−=γ )(

2)]()([)(2

1)(

h

huuh

h

N

z z N

...

Ir al siguiente nodo





Aora repetir para todos los nodos

! repetir para todas las separaciones

...

in correlaci*n

+aria,ilidad

&n aumento

+ a r i o g r a m a γ ( h )

'i#tancia de #e-araci*n (h)





Opciones #e cálculoOpciones #e cálculo

#el variograma#el variograma

@arámetros a #efnir para calcular un variograma experimental& aci"($

θ

& #irección en la ue se calcula el variograma me#i#a en un& #irección en la ue se calcula el variograma me#i#a en unplano orizontal respecto al norte, en el senti#o #e los punteros #el relo!plano orizontal respecto al norte, en el senti#o #e los punteros #el relo!

$olerancia an!(lar en el aci"($ θ

θ& ángulo #entro #el ue seángulo #entro #el ue seconsi#eran váli#os los #atos para el cálculo #e la #ierencia cua#ráticaconsi#eran váli#os los #atos para el cálculo #e la #ierencia cua#rática

anc'o )e *an)a 'ori&on$al ''HH& an#a #entro #e la cual se& an#a #entro #e la cual seconsi#eran váli#os los #atos para el cálculo #el variograma4 se mi#econsi#eran váli#os los #atos para el cálculo #el variograma4 se mi#eperpen#icular a la #irección #el acimutperpen#icular a la #irección #el acimut

)is$ancias $mAltiplos #e una #istancia elemental B paso o lag% a lasa lasue se calculan los puntos #el variograma experimentalue se calculan los puntos #el variograma experimental

$olerancia en el aso & tolerancia en la separación, #e manera ue& tolerancia en la separación, #e manera uelos #atos pue#an encontrarse a una #istancia mayor o menor al pasolos #atos pue#an encontrarse a una #istancia mayor o menor al paso

n+"ero )e asos

Paso 0 Paso 1 Paso 2 Paso 3 Paso 4

∆p

θ

∆hH

N

E

θ




#el variograma#el variograma

InclinaciónInclinación ϕ& #irección, me#i#a en el plano vertical #el acimut, en la ue se& #irección, me#i#a en el plano vertical #el acimut, en la ue secalcula el variograma.calcula el variograma. Inclinación #e 0Inclinación #e 0 #irección orizontal#irección orizontal Inclinación positivaInclinación positiva 9acia arria:9acia arria: Inclinación negativaInclinación negativa 9acia aa!o:9acia aa!o:

Tolerancia an!(lar en la inclinaciónTolerancia an!(lar en la inclinación ϕϕ& ángulo #entro #el cual se& ángulo #entro #el cual seconsi#eran váli#os #os #atos para el cálculo #e la #ierencia cua#rática, en elconsi#eran váli#os #os #atos para el cálculo #e la #ierencia cua#rática, en elmismo plano vertical en ue se #efnió la inclinaciónmismo plano vertical en ue se #efnió la inclinación

Anc'o )e *an)a en la inclinaciónAnc'o )e *an)a en la inclinación ''VV& #imensión vertical #e la an#a& #imensión vertical #e la an#a#entro #e la cual se consi#eran los #atos váli#os para calcular el variograma#entro #e la cual se consi#eran los #atos váli#os para calcular el variograma

N+"ero )e ares ",ni"oN+"ero )e ares ",ni"o& se pue#e consi#erar ue un punto #el& se pue#e consi#erar ue un punto #elvariograma es váli#o si su cálculo se izo con un nAmero #e pares superior avariograma es váli#o si su cálculo se izo con un nAmero #e pares superior aeste parámetroeste parámetro

Desla&a"ien$o inicialDesla&a"ien$o inicial& es la #istancia inicial ue se consi#era #es#e el& es la #istancia inicial ue se consi#era #es#e elpunto para iniciar la Asue#a #e los #emás #atospunto para iniciar la Asue#a #e los #emás #atos

-on)era)ores )e )esa!r(a"ien$o-on)era)ores )e )esa!r(a"ien$o& muy poco usa#o en los sotDares& muy poco usa#o en los sotDares

Paso 0 Paso 1 Paso 2 Paso 3 Paso 4

∆p

θ

∆hH

N

E

θ




#el variograma#el variograma Direcciones . n+"ero )e )ireccionesDirecciones . n+"ero )e )irecciones

Calcular los variogramas verticales en una corri#a y losCalcular los variogramas verticales en una corri#a y losvariogramas orizontales en otra $#istinto paso%variogramas orizontales en otra $#istinto paso%

2 menu#o escoger tres #irecciones orizontales&2 menu#o escoger tres #irecciones orizontales&

omni#ireccional, #irección #e mayor continui#a# yomni#ireccional, #irección #e mayor continui#a# yperpen#icular a )staperpen#icular a )sta N+"ero )e asos . )is$ancia )e searaciónN+"ero )e asos . )is$ancia )e searación

-a #istancia #e separación coinci#e con el espaciamiento #e-a #istancia #e separación coinci#e con el espaciamiento #elos #atoslos #atos

/l variograma experimental es confale asta una #istancia/l variograma experimental es confale asta una #istanciaigual a la mita# #el tama=o #el campoigual a la mita# #el tama=o #el campo esco!a el nAmero #eesco!a el nAmero #e

separaciones consecuentemente $#a#o el paso%separaciones consecuentemente $#a#o el paso% Tio )e %ario!ra"as a calc(larTio )e %ario!ra"as a calc(lar

Eay un alto gra#o #e ;exiili#a# #isponile.



Hransormación #e #atos Hransormación #e #atos

-a mayor8a #e las leyes #e metales preciosos tienen-a mayor8a #e las leyes #e metales preciosos tienen#istriuciones #e #atos altamente sesga#as ue generan#istriuciones #e #atos altamente sesga#as ue generanprolemas en el cálculo #el variograma4 los valores extremosprolemas en el cálculo #el variograma4 los valores extremostienen un impacto signifcativo en el variograma.tienen un impacto signifcativo en el variograma.

1na transormaci1na transormacióón comAn es tomar losn comAn es tomar los lo!ari$"oslo!ari$"os&&y B logy B log00 $ z %$ z %

/ectuar to#os los análisis esta#8sticos con los #atos/ectuar to#os los análisis esta#8sticos con los #atostransorma#os y transormar #e vuelta al fnaltransorma#os y transormar #e vuelta al fnal →→ lalatransormación #e vuelta es #elica#atransormación #e vuelta es #elica#a

Varias t)cnicas geoesta#8sticas reuieren ue los #atos seVarias t)cnicas geoesta#8sticas reuieren ue los #atos setransormen a unatransormen a una )is$ri*(ción nor"al o /a(ssiana)is$ri*(ción nor"al o /a(ssiana..

/l mo#elo #e unción aleatoria 3aussiana es Anico en/l mo#elo #e unción aleatoria 3aussiana es Anico engeoesta#8stica por su extrema simplici#a# anal8tica y por ser lageoesta#8stica por su extrema simplici#a# anal8tica y por ser la#istriución l8mite en mucos teoremas anal8ticos conoci#os#istriución l8mite en mucos teoremas anal8ticos conoci#oscomo 9teoremas #el l8mite central:como 9teoremas #el l8mite central:

-a transormación acia cualuier #istriución $y #e vuelta% se-a transormación acia cualuier #istriución $y #e vuelta% selleva a cao ácilmente usan#o la transormación #e cuantileslleva a cao ácilmente usan#o la transormación #e cuantiles



/!emplo #e cálculo/!emplo #e cálculo• ∑

=α

α⋅=

)h(n

1

cola )x(z)h(n

1m

Media de los primerosvalores en los pares.

• ∑=α

α +⋅=

)h(n

1

cabeza )hx(z)h(n

1m

Media de los segundosvalores en los pares.

• ( )∑=α

α −⋅

−

=)h(n

1

2

cola

2

cola m)x(z

1)h(n

1s

arianza de los primeros

valores en los pares.

• ( )∑=α

α −+⋅

−=

)h(n

1

2

cabeza

2

cabeza m)hx(z1)h(n

1s

arianza de lossegundos valores en los

pares.

• ( ) ( )∑=α

αα −+⋅−⋅

−=

)h(n

1

cabezacola m)hx(zm)x(z1)h(n

1)h(!

!ovarianza en"re los primeros # segundos

valores separados a $nadis"ancia h.

Covarianza

• colacabeza ss

)h(!)h(r

⋅

=

!oe%icien"e decorrelaci&n en"re los primeros # segundos

valores.Correlograma

• ( )∑=α

αα +−⋅

⋅=γ

)h(n

1

2)hx(z)x(z

)h(n2

1)h(

"ariograma

de m$es"ras separadas

a $na dis"ancia h.



/!emplo #e cálculo/!emplo #e cálculo



/!emplo #e cálculo/!emplo #e cálculo"ariograma de muestras de zinc

2'

'1*

1+'*

0'00

arianza

,11'344

0'00

2'00

4'00'00

'00

10'00

12'00

14'00

1'00

1'00

0 1 2 3 4

#istancia (m)

( )

Covarianza de muestras de zinc

11'344

*'1-

4'300

.1'*33

.4'000

.2'000

0'000

2'000

4'000

'000

'000

10'000

12'000

0 1 2 3 4

#istancia (m)

C ( )

Correlograma de muestras de zinc

1'00

0'*+

0'32

.0'11.0'20

0'00

0'20

0'40

0'0

0'0

1'00

1'20

0 1 2 3 4

#istancia (m)

r ( )


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Interpretación #eInterpretación #e

variogramas experimentalesvariogramas experimentales

A(sencia )e "ese$aA(sencia )e "ese$a @ue#e #eerse a la escala #e traa!o $#istancias #e cálculo K alcance%.@ue#e #eerse a la escala #e traa!o $#istancias #e cálculo K alcance%. @ue#e #eerse a la presencia #e ten#encias@ue#e #eerse a la presencia #e ten#encias 00 consi#erar una #erivaconsi#erar una #eriva

expl8cita en el mo#elo #e unción aleatoria*expl8cita en el mo#elo #e unción aleatoria* @ue#e interpretarse como unción aleatoria #e varianza infnita@ue#e interpretarse como unción aleatoria #e varianza infnita

+ariograma

'i#tancia

+arianza de lo# dato#

orizontal

+ e r t i

c a l

'ato# con tendencia





1l(c$(aciones1l(c$(aciones 2umentan cuan#o aumenta la #istancia #e separación2umentan cuan#o aumenta la #istancia #e separación /l variograma experimental no es confale L interpretale para #istancias/l variograma experimental no es confale L interpretale para #istancias

muy gran#es con respecto al #iámetro #el #ominio muestrea#omuy gran#es con respecto al #iámetro #el #ominio muestrea#o Jegla emp8rica& calcular el variograma experimental para #istancias menoresJegla emp8rica& calcular el variograma experimental para #istancias menores

a la mita# #e este #iámetroa la mita# #e este #iámetro

+ariograma

'i#tancia

me#eta


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Ciclici)a)Ciclici)a) @ue#e estar vincula#a a la perio#ici#a# geológica@ue#e estar vincula#a a la perio#ici#a# geológica @ue#e #eerse a inormación limita#a@ue#e #eerse a inormación limita#a LL mala elección #e parámetrosmala elección #e parámetros

#e cálculo#e cálculo @reocuparse #el eecto pepita y una estimación razonale #el alcance@reocuparse #el eecto pepita y una estimación razonale #el alcance

+ariograma

'i#tancia

me#eta

orizontal

+ e r

t i c a l

'ato# Cclico#


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Aniso$ro,a !eo"2$ricaAniso$ro,a !eo"2$rica& alcances #ierentes en #irecciones #ierentes& alcances #ierentes en #irecciones #ierentes/xplica#o por&/xplica#o por& "irección #e ;u!o preerencial #e los ;ui#os mineralizantes"irección #e ;u!o preerencial #e los ;ui#os mineralizantes "epositación en #irecciones preerenciales $gra#iente en temperatura, pE,%"epositación en #irecciones preerenciales $gra#iente en temperatura, pE,%

Muy comAn en la vertical y comAn en la orizontalMuy comAn en la vertical y comAn en la orizontal

orizontal

+ e

r t i c a l

&3em-lo con ani#otro-a geom4trica

'i#tancia

.e#eta+ariograma +ertical

+ariograma orizontal


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Mapas variográfcosMapas variográfcos

Consiste en calcular y visualizar el variogramaexperimental en to#as las #irecciones #elespacio, a!o la orma #e un mapa #e color.

"e este mo#o, se pue#e #istinguir si existeaniso$ro,a $geom)trica, zonal, u otra% ycalcular el variograma a lo largo #e las

#irecciones principales #e anisotrop8a


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Mapas variográfcosMapas variográfcos

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