8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 1/150

 

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 2/150

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 3/150

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 4/150

 

 

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 5/150

| Index

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 6/150

| Preface

․

․

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 7/150

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 8/150

  | Mathematical Logic

ꊱ  

ꊲ  

ꊳ

           

     

 

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 9/150

 

 

 

 

 

ꊱ  

ꊲ  

         

          

   

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 10/150

   

          

 

       

      

 

 

    

     

      

      

   

  

   

    

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 11/150

 

       

   

 

 

   

 

․

 

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 12/150

  | Statements and their Connectives

   

     

 

   

 

 

ꊱ

ꊲ

ꊳ

 

 

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 13/150

 

 

     

 

 

   

          

          

         

             

         

   

   

 

     

 

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 14/150

    

 

   

        

   

 

 

     

   

     

   

   

              

   

                     

 

      

    

      

   

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 15/150

 

       

      

       

         

   

     

             

       

         

         

  

                   

 

 

                

                 

                 

     

          

         

          

     

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 16/150

  | Deductive Reasoning

   

             

                       

ꊱ

ꊲ

ꊳ    

     

   

 

         

           

   

             

       

   

           

   

             

           

      

   

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 17/150

 

             

             

         

           

 

                

                            

 

                                  

 

・

         

      

・

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 18/150

   

       

                          

ꊱ

ꊲ

ꊳ

     

       

             

        

      

                   

      

   

     

    

               

             

         

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 19/150

 

     

           

            

            

 

    

ꊱ  

ꊲ    

  

 

      

       

ꊱ   ꊲ  

ꊲ   ꊲ  

 

       

   

 

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 20/150

       

        

            

         

             

               

        

          

         

         

                         

       

         

       

       

       

       

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 21/150

 

       

                 

   

            

 

       

     

 

 

                             

                   

                   

 

 

      

            

                  

   

     

⋅⋅⋅    

     

⋅    ⋅    ⋅            

 

           

           

 

               

               

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 22/150

  | Quantification Rules

      

    

 

ꊱ          

ꊲ  

ꊳ   ꊱ

ꊲ

ꊴ  

 

   

 

    

    

 

   

 

     

  

    

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 23/150

 

    

 

     

      

 

     

    

    

   

   

     

 

         

         

  

               

         

    

            

       

    

       

      

           

           

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 24/150

                   

     

   

       

       

 

                    

                

           

            

       

       

   

      

      

     

          

         

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 25/150

 

 

              

                            

              

            

            

           

         

    

     

           

    

             

 

   

       

 

          

       는  로 나누어 떨어진다

     

   

 

       는  로 나누어 떨어진다  

     

 

       

      

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 26/150

 

 

  

 

 

                      

            

         

   

 

 

     

 

  

    

 

                                   

 

 

          

 

 

 

 

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 27/150

 

 

 

 

 

 

 

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 28/150

  | Sets and their Operations

ꊱ

ꊲ

 

   

     

 

     

     

 

       

   

   

   

 

       

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 29/150

 

       

                     

             

ℕ

ℕ   은 자연수

 

         

 

 

   는 의배수  

       

 

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 30/150

           

   

    

        

 

                     

   

         

 

        

      

                       

      

 

    

  

     

        

   

        

     

 

     

  

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 31/150

 

 

        

       

       

   

     

             

   

 

  

    

          

             

   

     

   

         

               

        

        

      

   

        

        

 

           

         

             

       

     

      

       

  

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 32/150

                 

                  

   

 

        

 

            

     

           

     

           

     

 

     

        

 

     

        

           

  

     

  

            

    

       

       

        

               

  

    

  

        

 

    

                

  

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 33/150

 

      

   

   

    

 

   

   

    

 

   

    

 

   

    

 

    

       

              

                       

    

 

    

         

            

                    

   

    ℝ  ℝ          

             

 

 

 ℕ   

     

 

 ℕ        

 ℕ     

      

    ℕ     

   

      ℕ    

    

 ℕ 

    

 

 

 

     

      

   

           

                       

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 34/150

 

 

 

 

         

   

           

                

       

          

 

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 35/150

 

 

 

 

          

    는 자연수    

       

    

             

       

     

        

         

       

      

     

  

     

       

 

   

             

                          

         

    

            ℝ    

           

 ℕ      

 ℕ    

 

     

         

     

       

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 36/150

  | Relations and Partitions

옥선 노래 보람 농구 세환 여행 소라음악듣기

ꊱ  

ꊲ  

   

         

         

   

   

   

   

                 

       

             

        

                  

             

       

                       

       

            

   

            

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 37/150

 

             

             

                   

     

         

         

         

              

                       

                         

        

 

                      ℕ

                            

                        

            

    

                        

 

                 

   

     ℝ

ℝ   

―

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 38/150

         

     

       

                   

   

           

   이하의 자연수    

 

                

         

          

   

           

           

 

 

   이하의 자연수

                

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 39/150

 

           

                 

       

 

       

               ∘ 

 ∘                    

 ∘     ∘ 

 ∘     

  ℕ    

       는  의 배이다        는  의 배수이다

 ∘ 

 ∘       는  의 배수이다

                   

 ∘ ∘  ∘ ∘ 

 

 

 ∘  ∘ 

 

             

        

 ∘  ∘ 

 

     

          

         

                  

             

        

                            

     

             

                   

 

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 40/150

 

 

     

       

     

 ∘     

 

                     

  

                     

 

     ∘                        

 ∘    ∘  

                   ∘  

 

                  

          

     

                     

        

            ℝℝ    

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 41/150

 

     

       

    

  

   

         

         

       

        를 으로 나누면 나머지가  이다         

  ℕ

         

           

  

      

         

         

   

  

      

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 42/150

           

 

           

                        

   

 

ℕ                             

ℕ        

ℕ

       

     

           

              

      

  

       

           

           

       

     

         

             

       

           

        

         

         

      

       

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 43/150

 

 

         

         

   

       

         

        

         

         

 

 

     

       

 

      

     

    

   

   

   

    ℤℤ

              

ℤ

          

                              

      

           

      

    

           

               

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 44/150

  | The Axioms of Set Theory

ꊱ

ꊲ

        

           

       

 

      

    

        

   

             

       

 

   

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 45/150

 

   

      

                  

    

              

         

             

     

             

     

   

     

       

 

                   

 

 

       

 

       

․

 

              ℝ    

       

            

     

      

        

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 46/150

     

   

        

         

                  

     

 

 

 

        

  

     

   

   

 

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 47/150

 

           

    

  

  

  

        

 

        

  

 

   

   

     

 

 

   

      

         

    

  

    

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 48/150

     

     

    

                   

      

                  

                  

    

     

     

 

 

       

    

        

        

   

       

   

 

   

      

 

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 49/150

 

 

        

 

 

 

  

 

  

 

  

 

   

  

 

 

 

     

      

     

        

 

          

     

       ∘ 

         

           

               

   

       

               

    

   

       

               

    

            

                

                

 

 

 

       

―        

          

       

       

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 50/150

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 51/150

 

                     

    

                     

                     

           

         

               

                    

      

                                        

                            

      

         

                           

                    

            

    

    

      

   ℝ  ℝ  

ℝ    ℝ  ℝ

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 52/150

                                 

   

        

                                    

                 

                 

                

        

                       

        

              

          

        

           

      

       

        

    

   

           

                 

           

ℝ ℙ    ℝ  ℝ       

   ℙ            ℙ

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 53/150

 

                         

                           

                         

             

                

           

         

         

            

              

 

   

           

             

          

              

         

              

              

              

        

           

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 54/150

        

       

                        

                 

   

          

               

                  

                            

       

         

        

                       

           

       

       

             

            

              

         

   

         

          

   

 

  

   

 

 

 

    

       

      

     

       

 

            

   

 

      

   

      

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 55/150

 

         

                    

 

                                 

 

            

           

   

             

             

                                 

     

   

 

                        

       

          

     

  

                       

           

                    

   

   

     

   

   

     

   

   

     

   

   

   

                   

 

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 56/150

   

 

   

         

     

   

     

       

      

   

 

               

           

    

                 

   

          

          

     

      

              

    

              

           

          

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 57/150

 

 

                

                 

     

         

               

                        

       

                   

           

          

  ℕ ℕ      ℕ  ℕ  

  ℕ ℚ    ℚ ℕ

                 

                

               

                                 

            

   

     

     

   

               

   

        

             

    

   

        

             

    

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 58/150

  | Image and Composition of Functions

             

          

                

 

            

                         

        

         

           

       

                      

                                 

 ∘         ∘     

       ∘   

               

                 ∘             

  ∘             ∘                    

                        

        

                  

  ∘             

          

      

 

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 59/150

 

                     

 ∘ ∘      ∘ ∘    

     ∘ ∘        ∘ ∘         ∘     

              ∘         ∘ ∘     

       ∘ ∘    

 ∘ ∘     ∘ ∘    

 ∘ ∘   

 ∘ ∘        ∘ ∘   

  ℝ              ∘       ∘ 

 ∘                

   ∘             

 ∘            ∘    

          

  

                      ∘   

   

   ∘       

               

      ∘        

          

   ∘      

           

∘          ∘      

          

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 60/150

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 61/150

 

       

 ∘            ∘     

  ∘             ∘   

                           ∘           

 ∘     

           ∘             

                 

            

             

    

                   

 ∘                  

    ∘         

 ∘        

                

       ∘   

       ∘   

 ∘       

 ∘     

     

 ∘       ∘                   

                

                  

              ∘              

     

                         ∘      ∘     

 ∘      

 ∘         ∘       

                  

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 62/150

               

                 

   

                 

                     

            

 

  

         

     

                  

      

    

     

      

   

     

          

    

     

       

       

           

               

                

            

       

     

       

            

       

       

     

            

    

     

    

                               

          

    

                   

      

       

          

 

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 63/150

 

                 

                   

   

                      

 

 

                           

 

                            

     

 

                   

                    

    

     

     

  

    

     

     

  

                     

         

                             

           

                   

       

   

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 64/150

 

                 ∘      

 

                       ∘   

                 

        ∘     ∘      

            ∘    ∘    

                     

   ∘    ∘     

                      

 ∘    ∘       

                   ∘        

                  

 

                     ∘ 

             

 

                          

               

        

     

    

        

              

   

           

    

           

              

        

               ∘   

               ∘   

                       ∘   ∘      

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 65/150

 

        

                     

     

   

     

 

   

 

 

 

 

        

          

                     

  

   

  

                                 

           

       

  

              

          

  

   

      

    

     

         

          

                         

                          

             

                    

 

        

               

 

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 66/150

  | The Natural Numbers

ℕ

 ℕ

   ℕ   ℕ

  ℕ  

  ℕ  ℕ   

    

   ℕ               ℕ

       

ℕ   ℕ

   

 

 

 

   

 

 

     

     

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 67/150

 

    

 

  ℕ ℕ

ℕ

    ℕ

         

 ℕ

  ℕ

ℕ   ℕ  ℕ

     

   

     

  

   

     

ℕ     ℕ

 

ℕ

              

         

       

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 68/150

      

 

 

  ℕ

  ℕ

         

               

        

      

    ℕ ℕ

        

  

      

     

                 

             

          

ℕ

      

 

     

    

    

        

     

  

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 69/150

 

   

   

       

       

 

 ℕ      

ℕ  

    ℕ  ℕ        

            

   

             

  ℕ

   ℕ    

ℕ

  

 

   

     

  

       

          

 

ℕ

 

  ℕ        

 ℕ

                

              

          

         

          

 

   

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 70/150

          

 

      

―              

        

        

            

           

          

 

   

        

           

  

              

            

       

      

          

   

    

 ℕ

     

 

  ℕ   

      

           

  

              

               

 

  ℕ

     

  

       ℕ

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 71/150

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 72/150

  ℕ ⋅

 ⋅   ⋅  ⋅  

     ⋅  ℕ

⋅

  ⋅    ⋅    ⋅ 

             

    ℕ

        

       

              

            

          

      

    

     

   

            

    ℕ

    

 

      

             

    

  

      

 ⋅    

    

      ⋅  

     

   

 

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 73/150

 

         

  ℕ

   

      

             

     

 

   

 

 

              

 

    

   

 

       ℕ

       

    

  

          

         

 

 

  ℕ  

                  

   

             

   

ℕ

                           

            

               

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 74/150

        

 

      

           

   

              

 

  ℕ

                

   

           

 

               

      

     

          

     

          

    

    

    

   

               

  ℕ      

 

            

           

         

 

      

   

 

  

  

  

 

     

                 

  ℕ ℕ

ℕ               

   ℕ  ℕ ℕ

ℕ

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 75/150

 

ℕ ℕ ℕ

ℤ ℤ ℤ ℚ

ℝ ℚℕ

ℝ ℂ ℝ ℝ ℂ

 

          

 

          

       

     

  

     

   

  

 

  

 

          

ℕ   ℕ

      ℕ

       

   

     ℕℕ

  ℕ ℕ

               

       

                        

                     

             

       

                            

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 76/150

  | The Ordered Sets

     

   

     

             

           

 

ℝ

 ℝ     

            

            

              

   

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 77/150

 

         

                                                 

       

  ℕ ℕ

          

ℝ ℚ

     

      

         

        

   

  ℂ        ℝ    

                          ℂ ℝ

ℝ ℂ

          

   

 

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 78/150

       

       

   

        

   

      

           

         

          

   

             

       

   

                                  

 

 

                    

         

       

             

        

       

    ↦  

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 79/150

 

           

     

                

                         

                           

             

         

              

       

                      

                      

        

           

           

                          

    

   

     

    

              

               ∘      

   

         

              

   

        

                   

       

   

  ≊ 

≊ ≊    ≊ ≊   ≊   ≊ 

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 80/150

            

          

      

      

 

 

ℕ

    ℝ    

 

ℝ ℝ

   

            

            

            

            

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 81/150

 

   

 

     

            

             

        

  

       

       

   

         

       

       

   

     

            

           

        

  

        

        

    

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 82/150

           

           

     

  

    

       

  

   

   

   

 

   

   

       

   

 

           

           

     

     

        

     

     

        

             

  

   

      

     

         

    

                       

ℕ

ℚ      ℚ      

     

       

   

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 83/150

 

 

 

   

                          

       

     

 

          

 

 

                  

 

      

               

 

             

   

                

        

        

               

        

      

    ≊    ≊   

     

       

       

        

           

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 84/150

  | Deeper Properties of Ordered Sets

     

             

             

       

       

       

         

         

              

              

           

    

           

     

       

                  

              

           

                 

             

       

                  

          

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 85/150

 

 

        

    

                         

                   

                   

      

      

                  

          

            

                   

                

       

      

      

   

                 

 

 

           

           

       

                  

   

   

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 86/150

 

 

 

         

          

          

   

                

                      

                      

  

 

 

   

     

 

       

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 87/150

 

                     

     

   

 

          

     

   

     

     

  ℕ

         

     

        

            

                     

 

  ℚ ℚ

ℚ

ℚ

  ℚ

ℝ

            

  

   

  

  

   

  

  

  

  

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 88/150

            

 

           

 

          ℕ

     

   

      

   

       

 

         

     

      

               

 

    

  

               

    

        

            

         

    

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 89/150

 

     

 

          

       

         

               

                

            

    

      

                    

 

       

         

        

         ∘       

   ∘          

                     

          

                    

     

       

                

             

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 90/150

   

 

 

 

           ≊  

  ≊      ≊               

      ≊      

     ≊            

       

           ≊  ≊                       

 

               ≊     ≊        

          

     

     

           

 

              

       ≊        

                

  ≊       

       

               ≊    ≊         

 

   

   

   ≊ 

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 91/150

 

 

              

     

          

          

               

          

        

        

               

             

 

 

          

   

          

 

            

        

   

 

   

                     

          

       

 

       

 

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 92/150

  | The Axiom of Choice

   

     

 

       

     

                           

     

 

       

 

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 93/150

 

   

 

            

          

                

   

  

         

      

   ―  ―

 ―  ―  ―  ―

 ―    

―

   ―      

   

                      

                   

                                   

   

 

     

 

 

   ―      

              

 ―

        

               

                    

                              

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 94/150

                               

       

                     

                 

                 

          

       ―

                 

    ―    ―    

           

         

   ―

         

                   

    

           

                

        

 ―

   ―  

   ―   

       

 

   

    

                    

     

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 95/150

 

   

 

   

   

        

    

                 

              

         

        

       

 

 

 

           

          

         

 

   

 

 

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 96/150

 

 

ℤ ℤ

       

ℤ

     ℕ   ℕ ⊳

⊳  ⊳

  ⊳

  ⊳

  ⊳

  ⊳

  ⊳

  

 ⊳  ⊳

  ⊳

  ⊳

  ⊳

  ℚ ⊳

 

 

 

    

      

                  

                  

       

  

    

     

   

                       

                                     

                     

                       

 

                                     

                     

                             

 

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 97/150

 

     

                      

            

           

        

                    

                                

               

                          

                 

                                    

                                

               

                     

           

 

    

 

       

        

          

      

     

 

            ∘          

   ∘             

         ∘       

       

                

     

           

                 

   ∘            

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 98/150

            

       

 

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 99/150

 

 

            

 

                         

 ∘          

        

                               

     

            ∘          

 

 

   

   

                

      

    

 

      

      

 

        

             

       

 

         ⊰ 

⊰

⊰

 

 

        

          

     

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 100/150

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 101/150

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 102/150

   

     

        

                  

    

ℕ    

ℕ

                    

                    

                    

 

                              

 

    

 

 

ℕ

                 

      

                   

                

     ℕ    ℕ     

ℕ

 

ℝ    

          

     ℝ ℝ

ℝ ℂ ℝ

        

               

         

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 103/150

 

        

ℂ ℝ ℝ

ℝ ℝ ℝ ℂ ℝ ℝ

ℕℤℚℚℝℂ

ℝ

   

          

           

             

 

       

   

   

   

            

   

       

   

         

 

               

    

    

              

             

         

          

                             

              

  

 

         

          

     

  

          

       

            

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 104/150

     

   

       

                    

        

          

 ∘     

ö

     

 

   ≼

  ≼     

 

   

   

 

          

               ∘      

                

       

   ℕ      

                  

      

   ℕ

        

         

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 105/150

 

   

     

        ∘           

       ∘            

  ≼   

                     

                

     

          

    

           

      

     

    

    

          

    

                   

                 

                      

             

                       

                  

                   

       

                   

   

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 106/150

                          

                            

                          

                            

                         

                         

     

                   

                                    

                                

                    

         

 

                

 

        ∘∘     

   ∘∘         ∘∘   

 

       

 

 

ℕ ℕ  

   ℕ  ℕ            

ℕ ℕ  

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 107/150

 

 

         

             

                

                      

  

     

  

               

                             

  

     

  

                      

  

     

  

          

      

 

   

   

 

 

     

 

    

                     

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 108/150

  | Deeper Properties of Infinite Sets

 

     ℕ   

                        

                 

          

ℕ  

ℕ 

     

              

    

                   

     

     

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 109/150

 

 

 

 

 

            

   

      

  

 

       

 

   

      

             

               

   

          

 

        

ℕ           

          

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 110/150

   ℕ  

       ∘     ℕ   ℕ

 

 

    

 ≊   ℕ   ≊   

      

               

       

     

ℕ ℕ ℕ

    ℕℕ  ℕ         ⋅ 

         ℕ

    ℕ ℕ          

    ℕℕ ℕ ℕ

ℕ ℕ ℕ ℕ ℕ      

                     

                       

     

                           

     

                                  

          

ℕ  

      

         

 ℕ  ℕ   ℕ       

 

       

              

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 111/150

 

 ℕ    

                

              

 ℕ     

       

       

 

        

      

       

 

           

       

ℕ ℕ ℕ

    ℕℕ               

   

         

       

         

    ℕ   ℕ

 

        ℕ  

ℕℕ           

                  

         

ℕ  ℕℕ ∘  ℕ

ℕ  

 

 

 

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 112/150

 

 

ℚ   

   ℕ   ℕ

    ℚ  ℕℕ            

      

    ℕ ℕ      ℚ

ℚ

ℚℚℚ

ℕ ℚ

 

  ℝ

            

           

                               

                                   

      

          

          ℕ     

 ℕ               

             

         

 ℕ        

     

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 113/150

 

     

         

   

     

          

     

  ∘   ∘      

    ∘   ∘    ∘     

   ∘          

       

              

      

     

     

     

              

          

              

 

             

      

               

        

             

 

           

          

       

            

         

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 114/150

     

     

      

     ℕ     ℕ        

  ℕ       

         ℕ  

        ℕ  

   ℕ      

 

        

         

      

      

ℝ ℝ

ℝ

                     

                     

         

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 115/150

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 116/150

  | The Cardinal Numbers

 

   

     

             

       

 

   

           

 

   

 

   

    

 

        

     

   

              

   

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 117/150

 

 

              

             

      

    

           

          

  

             

     

   

        

     

      

   

                   

             

     

                 

              

        

                    

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 118/150

     

   

        

             

         

                     

                      

                     

                     

              

   

             

      

    

    

 

        

            

   

     

 

            

  

          

     

     

  

       

    

   

 

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 119/150

 

       

    

  

 

     

  

   

  

             

            

                     

                 

        

                    

                

                  

            

 

             

               

            

    

 

   

        

          

             

         

                  

                       

                             

             

               

        

                                       

    

     

           

  

         

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 120/150

              

    

          ˆ         ˆ            

    

    

              ˆ

     ˆ         ˆ

                ˆ        ˆ           

    

               

            

     

                    

     

             

   

      ≼ 

               

 

                

           

          

           

         

          

       

      

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 121/150

 

   

 

         

        

≼

    ≼    ≼

    ≼   ≼  

        

           

              

          

≼                  

             

               

           

       ≼ 

               

             

 

             

                

                 

               

            

                

          

   

   

    

        

 

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 122/150

ℕ ℵ

ℝ ϛ

  ℵ ℵ ℵ ℕ   ℵ ℕ  

ℕ   ℵ ℕ  

ℵ ℵ ℕ  ℕ   ℕℵ

   

 

  ℵϛ ϛ   ϛ  

ℕ    ℵ ϛ ℕ    ℕ  ℝ

ϛℵ ϛ ℕ    ℝ ϛ

ℵ ϛ ϛ

  ℵ ℕ ϛ ℝ   ℵ ϛ

   ℝ   ℚ

 ℝ       ℚ     

                       

                 

                          

ϛ ℚ  ℵ   ϛ

  ℵ

ℕ  ℝ

    ℕ               

         ℕ      

       ℕ          

       ℕ  ℝ

  ℵ ϛ

  ℵϛ

     

ℕ ℕℕℝ ℵ   ϛ ℵ

ϛ

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 123/150

 

 

       

         

               

        

   

           

 

             

      

         

        

    ℵ    

         

     

             

       

                    

      

        

ℵ   

                     

    ℵ ℵ

      ℵ

          

 

 

 

≼ 

               

 ≼

    ℵ ℵ

  ℵ

 

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 124/150

  | Deeper Properties of Cardinal Numbers

   

  ℵ ϛ ϛ

      

              

        

               

      

                        

 

    

         

              

   

            

        

       

          

             

                    

                     

            

     

                

                

           

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 125/150

 

       

        

   

  

  

   

          

              

              

   

        

                

 

                   

   

       

   

                   

  

  

  

      

 

                   

            

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 126/150

                   

    

  

                

        

           

          

 

             

   

    

 

      

  

    

  

    

                      

  

     

  

                   

              

             

     

     

 

   

      

    

   

      

      

      

     

      

                      

        

               

                      

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 127/150

 

ϛϛϛ

  ℵ ℵ ℵ   ℵϛ

ϛϛ  ℵ

  ℵ   ℵ ℵ

  ℵ ϛ

ϛϛ ϛ

ϛϛ ϛ   ℵ ϛ

  ℵ ℵ ℵ ϛϛ ϛ

ϛϛϛ  ℵ

  ℵ  ℵℵ

  ℵ

  ℵϛ

ℝ ℝ

       ℝ  ℝ ℝℝ ℝ

 ℝ ϛϛ

  ℵ ϛ

  ℵϛ

ϛ ϛ

ℝ

       

 ℝ ℝ  ℚ ℝ ϛ

   ℝ  ℝ  ℚ    ℚ         ℚ

       ℚ

 ℝ ℝ   ℝ ℚ

 

   

       

   ℝ  ℝ   ℝ  ℝ

ℚ         ℝ       

 

 ℝ ℝ  ℚ ℝ ℝℚϛℵ   ℵ

  ℵ

  ℵℵ

  ℵϛ

ℝ ℝ  ℝ ℝ

ϛ  ℝ ℝ ℝ ℝ

      ℝ       

ϛ  ℝ ℝ

 ℝ ℝ  ℝ ℝ

ϛ  ℝ ℝ ℝ ℝ ℚ ℝϛ

 ℝ ℝ  ℚ ℝ ϛ

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 128/150

  ℝ  ℝ ℝ ϛ

 ℝ ℝ ℝ ℝ ℝ ℝ

ϛ  ℝ ℝ ℝ ℝ ℝ ℝ

 ℝ ℝ ϛ

  ℍ

     

   

ϛ ℍϛℵ

  ℵ   ℵ

ϛ

ℍ ϛ   ϛ

  ℝ ϛ

ℝ  ℝ ϛ ϛ

 

  ϛ   ϛ

ℵ ϛ ϛ ϛ ϛ 

ϛϛ

  ℵϛ

  ℵ ϛ

ϛ ℝ

ℝ  ℝ

  ℝ       ℝ  ℝ  

  ℵ ϛ

     ℵ  

ϛ 

ϛ

     ℵ  

ϛ

ϛϛ

  ϛ ϛ

ϛ 

 

                      

   ℵ  

    ℵ

   

  ℵ

   

                     

                

   

             

     

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 129/150

 

 

   

 

   

≊     

      ≊   ≊   

  ⃠

       

                    

⊙   

      ⃠ ⃠   

⃠  ⃠⊙ 

ℕ  

   

 

 

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 130/150

ℵ

ℵ ϛ  

ℝ ℝ

ℵ ϛ ℵ       ϛ  

     

            

ö

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 131/150

 

 

            

                 

                             

              

                     

                                  

        

       

       

             

           

                

                 

   

              

                    

  

             

     

  

        

 

 

 

       

   

      

    

           

     

  

                  

        

  

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 132/150

ℤ ℤ

ℤ       ℕ   ℕ

ℤ  ℤ

      ℤ       

 ℤ

ℤ

ℤℤ ℤ

ℤ  ℤ ℤ

    

    

 

   

   

       

          

          

         

           

        

ℤ

          

          

     

      

ℚ ℚ

ℚ       ℤ   ℤ

ℚ  ℚ

      ℚ      

 ℚ ℚ

ℚℚ ℚ

ℚ  ℚ ℚ

  

    

       

       

       

          

   ⋅    

ℚ     

 

         

          

      

ℕℤℚ

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 133/150

 

         

    

         

 

     

   

     

 ℕ           

       

 

   

 

 

  

 

 

 

   

ℚ

 ℕ                 

   

ℝ

ℝ   ℚ

ℕ    

ℝ  ℝ

     ℝ    

ℚ ℕ            

       

 ℝ ℝ

ℝ

ℝℝ ℝ

           

      

    

   

  

      

    

  

 

      

    

  

   

             

             

            

 

 

   

  

  

   

           

   

   

      

  

  

  

   

      

 

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 134/150

ℝ

       

ℚ ℕ               

          

     

ℝ

       ℝ   ℝ

       ℝ      

          ℝ       

   ℝ ℝ   

    ℝ  ℝ   

․

      ℝ  ⋅ ℝ

      ℝ  ⋅   ⋅ 

        ℝ  ⋅ ⋅  ⋅  ⋅ 

  ℝ  ℝ  ⋅ 

   ℝ  ℝ      ⋅ 

        ℝ  ⋅    ⋅  ⋅ 

ℙ

      ℙ   ℙ   ⋅ ℙ

   ℝ  ℙ     ℙ

   ℝ  ℙ    ℙ

  ℝ  

  ℝ

 

      

ℝ ℝ

       

    

ℂ ℝ ℝ

               

             

     

ℕℤℚℝℂ

       

     

         

     

    

        

 

          

       

   

            

      

       

     

   

 

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 135/150

 

   

    

 

    

 

 

   

 

   

 

 

   

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 136/150

 

 

   

 

 

 

 

 

ö

 

ö

 

 

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 137/150

 

   

 

   

ℕ  

ℕ  

ℕ

 

    

   

           

ℕ  

ℚ  

ℕ  

    ℚ ℝ  

ℕ   ℚ

ℝ  

 

 

   

     

  

  

 

 

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 138/150

 

   

 

   

      

   

              

       

          

ℕ  

ℕ  

  

 

         

 

 

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 139/150

 

 

   

   

   

 

   

 

 

  ―

―

―

   

  

 

   

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 140/150

ö

ö

      

                       

       

   

ö

ö

  ö

  

ö

ö

ö

 

   

  ö

     

  ö

 

  ö

ö

  ö

ö

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 141/150

 

  ö

 

 

   

 

 

ö

ö

 

  

   

 

 

 

  ö

  ö

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 142/150

 

ö

ö

   

ö

 

ö

  ö

   

     

 

  

  ö    

  

     

      

ö

 

ö

 

   

ö

 

  

     

  

 

ö

 

ö

ö

      

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 143/150

 

    

ö   

    

ö

   

     ö

           

ö

    

ö

      

 

ö

       

ö

          

      ö    

      

  

    

  

   

 

       

           

ö

  

     

    

  

           

      

      ö

  

        

      

    

  

  

 

    

        

  

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 144/150

     

 

 

 

 

 

―

 

   

 

 

   

 

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 145/150

 

 

 

 

ö

ö

ö

 

ö

  ö

   

  ö

   

ö

ö

 

   

 

   

ö

ö

 

ö

 

     

 

  ö

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 146/150

  ö

  ö

ö

ö

ö

 

   

   

ö

  ö

  ö    

 

ö

ö

     

 

ö

 

  ö

ö

  ö

  ö

ö

  ö

  ö

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 147/150

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 148/150

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 149/150

 

 

8/17/2019 Alice Mathscript Set Theory 2007

http://slidepdf.com/reader/full/alice-mathscript-set-theory-2007 150/150