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This paper shows results from deep review of performance in a sample of high school students with difficultiesin learning of algebra. Through task analysis method a framework for explanation of student’s cognitive activityand its deficiencies is built on. This approach contributes with elements for look into new dimensions of schoolteaching, to feed back research about learning from a systematic searching from experience.

Key words: Cognition, task analysis, mathematical task, cognitive support.

Algunas aportaciones del análisis de tarea al estudio del desarrollo cognitivo. El caso del

aprendizaje de la matemática en el bachillerato

Some contributions of task analysis, to the study of cognitive development. The case of learning mathematics in high school

JOSÉ LUIS DUEÑAS GARCÍA, JOSÉ JIMÉNEZ MORA1

1 Profesores de la Universidad de Guadalajara y del Centro de Bachillerato Tecnológico, Industrial y de Servicios (CBTIS) No. 10.El presente trabajo se realizó en colaboración con el Centro de Estudios sobre Aprendizaje y Desarrollo, CUCS/UdeG.

ResumenEste trabajo reporta los resultados del seguimiento en profundidad del desempeño de una muestra de estu-

diantes de nivel medio superior que presentan problemáticas en el aprendizaje del álgebra. A través de la meto-dología del análisis de tarea se construye un marco explicativo de la actividad cognitiva de los estudiantes y susdeficiencias. El acercamiento arroja elementos que permiten dirigir la atención a nuevas dimensiones de la en-señanza escolar, en la posibilidad de retroalimentar la investigación sobre el aprendizaje a partir de la obtenciónsistemática de datos de la experiencia.

Descriptores: Cognición, análisis de tarea, tarea matemática, soporte cognitivo.

Abstract

Artículo recibido el 15/08/2005Artículo aceptado el 12/02/2006Conflicto de interés no declarado[ ]

Introducción

En los tiempos actuales la educación escolar hasido beneficiada por la investigación sobre el apren-dizaje. De la mano del conocimiento generado poresta vía han caminado muchas de las reformas a losfundamentos y métodos de las prácticas educativasen distintos contextos. Sin embargo, mucho del te-rreno que falta por explorar es el de los resultadosauténticos de la educación escolar en el desarrollo delos individuos, en particular, en los aspectos cognitivo,referido a la consolidación de sus estructuras de co-nocimientos y la mejora de habilidades, y moral, rela-cionado con la incorporación de actitudes y la com-prensión de valores.1

No obstante, la experiencia y algunos datos deri-vados de estudios recientes, entre los que destaca elrealizado por la OCDE (2002), revelan un amplio ran-go de diferencia sobre el impacto de la educación es-colar entre los estudiantes de países en distinto gra-do de desarrollo. Los resultados de este tipo de estu-dios arrojan una conclusión evidente sobre la diná-mica que prevalece en los espacios escolares. De mo-do particular, parece que la gran cantidad de informa-ción tratada en la escuela por los estudiantes produ-ce estrategias generales de procesamiento como lamemorización a ultranza, sin generar el desarrollo deotras habilidades.

Un problema asociado con la situación anterior esel de las prácticas de evaluación que prevalecen endiversos espacios de enseñanza. En el caso que sepresenta en este trabajo, referido al conocimientomatemático que se enseña en el bachillerato, una crí-tica frecuente, desde el punto de vista de la investiga-ción sobre procesos de aprendizaje, es que las prue-bas matemáticas que se aplican en los diversos espa-cios escolares consisten sobre todo en preguntas querequieren un conocimiento de datos o habilidadespara realizar procedimientos y no en preguntas queevalúen las habilidades cognitivas de los estudian-tes, como razonar, resolver problemas, interpretar yaplicar ideas en forma creativa.

Estas pruebas, según la crítica establecida por es-tudios acerca de la cognición como el de Wittrock yBaker (1998) fomentan el procedimiento a costa de lacomprensión, y al conceder la mayor importancia alas respuestas y no a las estrategias o procesos, re-fuerzan en los estudiantes, maestros y público en ge-neral la idea limitada de las matemáticas como unamateria de respuestas únicas y correctas.

En contraparte, la investigación sobre el aprendi-zaje de las matemáticas, en las corrientes que handesarrollado este campo más recientemente, ponede relieve la consideración en profundidad de loscomponentes del pensamiento y la actuación de losestudiantes, a través de métodos e instrumentos quepermitan un seguimiento detallado de sus acciones yde las representaciones internas que les dan sentido.

En este trabajo se presenta una experiencia deacercamiento a estos componentes, orientada por elmétodo del análisis de tarea. Esta ruta, basada enuna comparación entre las exigencias que una tareamatemática representa para el aprendiz y la actividadmostrada en un instrumento compuesto por este ti-po de tareas permite rastrear este tema con mayorprofundidad que el procesamiento tradicional de laspruebas escolares, en las cuales la mayor parte de lasveces se descalifica el potencial de los estudiantes.

Un método para acercarse al lugar del aprendiz.Descripción de la experiencia

Entre las alternativas metodológicas para el estu-dio de la actividad interna de los estudiantes se en-cuentra el análisis de tarea. Esta herramienta es em-pleada en la investigación sobre la cognición y apren-dizaje con diversos fines. Ejemplo de su uso puedenencontrarse en investigaciones como las de Alonso ycols. (1993) y Gómez y Pozo (2000), referidas a resul-tados del aprendizaje escolar como el “cambio con-ceptual” y la adquisición de conocimientos, o comoparte de los procedimientos de evaluación cognitiva,en la obra de Wittrock y Baker (1998). Aunque con va-riantes en su aplicación, el análisis de tarea compar-te las siguientes características:• Establece un escenario de actividad cognitiva posi-

ble de los estudiantes ante la tarea que se les pre-senta. Dentro de ésta se consideran algunos pro-cesos generales como los de atención y selecciónde información; junto con procesos particulares entorno a la naturaleza de la tarea, que puede ser,por ejemplo, lectura, resolución de un problema,recuperación de datos, entre otras.

• Define normas y criterios de actuación que se espe-ran de parte de los sujetos en condiciones ideales.Así, se perfilan rutas de desempeño seguidas por“expertos” en determinado tipo de tareas, y se ca-racterizan las habilidades presentes en éstos, co-mo las de síntesis, en el caso de tareas lectoras, oel razonamiento proporcional, en el caso de tareasmatemáticas.

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ARTÍCULOSDueñas García, Jiménez Mora

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• Incorpora el error como insumo fundamental enla explicación de la actividad cognitiva de los su-jetos, el cual, según Godino (2003), se define co-mo las prácticas o actuaciones que no se consi-deran válidas desde los principios establecidosen la matemática escolar. En particular, cuandose trata de tareas matemáticas, éste es útil comoevidencia de problemáticas que no podrían co-nocerse por otra vía, como la dificultad para inte-grar partes de información en el proceso de reso-lución de un problema o la ausencia de com-prensión de significados clave para alcanzar res-puesta.

En el estudio que aquí se reporta se analizan losresultados de 18 pruebas resueltas por estudiantesde primer semestre de bachillerato, quienes partici-paron en un programa remedial dirigido al aprendiza-je del álgebra, luego de haber trabajado durante uncurso semestral regular y mostrar dificultades que noles permitieron acreditarlo. Las tareas demandadasen los instrumentos aplicados, empleado institucio-nalmente con fines de evaluación, incluyen la traduc-ción de enunciados de lenguaje verbal a algebraico,la resolución de operaciones con expresiones alge-braicas básicas y la resolución de problemas median-te ecuaciones de primer grado. Las respuestas de losestudiantes y sus errores se tipificaron de acuerdocon los indicadores de actividad cognitiva a que refie-ren, en concordancia con la demanda representadapor cada tarea, para ser resuelta correctamente. Así,las tareas implican, entre otros procesos de naturale-za cognitiva:• Reconstruir secuencias complejas de procedimien-

tos, articulando unidades parciales de informaciónpreviamente comprendida,

• Incorporar los códigos de representación usualesen álgebra en el tratamiento de las expresiones,

• Asignar significado pertinente a los símbolos y tér-minos que se emplean para comunicar conceptos.

La traducción de estos procesos a la resolución delas tareas da lugar a su vez a la tipificación de los si-guientes desempeños o “actuaciones esperadas” porparte de cada estudiante:1. Comprende la instrucción referida a lo que se soli-

cita en cada tarea.2. Desencadena procesos de asignación de significa-

do pertinentes sobre la información presentada.3. Ejecuta acciones heurísticas o algorítmicas parcia-

les sobre la información.

4. Articula las acciones anteriores y reconoce la es-tructura de la tarea.

5. Justifica y argumenta enunciados con base en lacomprensión de propiedades y restricciones de losobjetos matemáticos.

Con relación a estas actuaciones, la siguiente listapresenta una serie de procesos cognitivos que subya-cen a su aparición. En su conjunto, forman lo que esconcebido en este trabajo como “soporte cognitivorequerido” para la resolución de tareas matemáticas:2

• Atención• Memoria• Percepción selectiva• Discriminación• Clasificación• Organización• Generalización (abstracción de relaciones)• Representación

La actividad del estudiante ante tareas matemáti-cas. Indicios acerca de su desarrollo cognitivo

Del análisis de las respuestas de los estudiantesemergen datos interesantes, como los que se descri-ben enseguida. Llama la atención el hecho de que,aunque a nivel escolar muchas de las respuestas noresultan válidas como evidencia de aprendizaje, refle-jan una serie de acomodos en la estructura cognitivade los estudiantes, que si bien no los conducen a “locorrecto”, o lo aceptable en términos del conocimien-to disciplinar, representan sus formas de comprenderla demanda de cada tarea y las rutas posibles para re-solverla.

En primer lugar, se aprecia una gran cantidad derespuestas en las cuales los estudiantes realizan ma-nipulaciones sobre la información que se les presen-ta en cada tarea. Esto corresponde a la tercera de lasactuaciones tipificadas previamente, en tanto el estu-diante opera de alguna forma sobre los objetos, porejemplo, cuando agrupa los términos algebraicosque tienen partes literales idénticas, como acciónprevia para reducirlos o sumarlos. A nivel cognitivo,indica la presencia de procesos como los de aten-ción, percepción selectiva y organización. Así se pue-de observar en los siguientes ejemplos, recuperadosde la muestra analizada.

Caso 1. La saturaciónEn el conjunto de las preguntas que se presentan,

las cuales corresponden a un examen contestado por

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una estudiante, las reglas para la reducción de térmi-nos semejantes es el conocimiento básico necesariopara resolver las tareas solicitadas. En el desempeñomostrado se pueden advertir evidencias del nivel delsoporte cognitivo con el que se enfrentó la demanda.Llama la atención la presencia de ciertos errores delestudiante ante tareas sobre las cuales al mismotiempo muestra un dominio importante, evidencia deque el estudiante en cuestión cuenta con el soporte cogni-tivo requerido. En el caso de la resta algebraica, o la re-ducción de términos cuando existe signo de agrupa-ción precedido del signo (-), la ejecución da cuentaque el cambio de signo a los términos del sustraen-do no ha cobrado sentido, como puede notarse en lapregunta marcada con el número 7 y en la segundaexpresión algebraica de la pregunta 8. En la suma al-gebraica, por otra parte, omite la reducción de losdos términos 7x, o supone que “se eliminan”.

En esta prueba, la reducción de términos semejan-tes es una competencia indispensable para la suma yla resta de expresiones algebraicas, el nivel de domi-nio que se tenga repercute directamente en los resul-tados de este par de operaciones. En el desempeñomostrado por los estudiantes de la muestra, se pue-den identificar algunas evidencias del estado queguarda el soporte cognitivo con el que enfrentan estademanda algebraica. Dentro de la diversidad de ac-tuaciones realizadas por el estudiante, llama la aten-ción el hecho que las equivocaciones observadasocurren en la parte final de la prueba, aunque, conanterioridad, se observan evidencias de un desempe-

ño acorde a las demandas cognitivas y de conoci-mientos implícitas en las situaciones planteadas pre-viamente.

En todas las preguntas de esta prueba, las accio-nes realizadas por el estudiante dan cuenta que dis-pone del soporte cognitivo requerido para realizar lasdistintas operaciones algebraicas incluidas en laprueba, a excepción de la resta algebraica. En ella, lasejecuciones muestran que lo establecido respecto aesta operación, no ha cobrado sentido; el estudianteno pone en práctica lo relativo a la suma del inversoaditivo al minuendo; los términos de este elementode la resta, son operados como si fuera otro suman-do. Esta acción algorítmica se realiza parcialmente enlos ejercicios en una de las expresiones del ejercicio7 y en la segunda expresión del ejercicio 8. En con-cordancia con esto último, es significativa la respues-ta a la pregunta del ejercicio 7, los comentarios serestringen a recomendaciones para reducir los térmi-nos semejantes, lo que, aunado a las ejecucionesrealizadas en todas las operaciones, permiten afirmarque para el caso de esta operación, este estudiantetodavía no dispone del soporte cognitivo requerido.

En lo que respecta a las ejecuciones realizadas enla reducción de términos semejantes, solamente hayuna equivocación, en la suma de la pregunta 8, en elcaso de los términos – 7x con – 7x, esto es, en la re-ducción de dos términos con el mismo signo. Esteerror llama la atención debido a que con anterioridada situaciones como ésta, la respuesta correspondió alo esperado. Desde el punto de vista del desempeño

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Caso 1. La saturación

cognitivo, ¿qué explicaciones puede tener lo ante-rior? ¿por qué casi al final de la prueba, el estudiantetuvo esta equivocación? En un primer intento por for-mular una explicación, es posible afirmar que no setuvo un control absoluto de la atención a la deman-da cognitiva; tal parece que hubo una pérdida de laatención que provoco esta omisión. Si ubicamos es-ta situación, en el tramo final de la prueba, el errorobservado tiene cierta relación con lo que para Astol-fi (1999), se debe a una sobrecarga cognitiva del estu-diante, posiblemente derivada de las exigencias queimplica una prueba de esta naturaleza, lo que abre elpanorama acerca de la presencia de otros factores,que pueden provocar que errores en la realización delas tareas matemáticas.

Caso 2: Naturaleza procesual del soporte cognitivoEste caso ofrece un panorama muy diverso en

cuanto a los procesos cognitivos propiciados en esteestudiante, en algunas de las tareas matemáticaspropuestas, la asignación de significados no fue deltodo pertinente, los errores cometidos muestran que,aunque hay diversos aspectos de las tareas que hansido comprendidos, hay nociones y procesos algorít-micos en los que es muy notorio la ausencia de sig-nificado; y otros que se encuentran en proceso deconsolidación. Las tareas analizadas en este caso, co-rresponden a la reducción de términos semejantes ya la suma resta de expresiones algebraicas; a conti-nuación se describe más extensamente lo observadoen el caso 2.

En lo que concierne a la noción de términos seme-jantes, las ejecuciones realizadas, dan cuenta que és-ta se encuentra en proceso de consolidación. En ge-neral, hay diversos momentos en los que el estudian-te reconoce los términos de esta clase, en casi todaslas operaciones propuestas, son identificados y agru-pados convenientemente, a excepción de lo que seplantea en la pregunta 6. Al menos, en este caso, nohay elementos para explicar esta actuación fuera delcontexto de la demanda cognitiva que se propone,por lo que esta especie de “laguna” en el desempeño,quizá pueda ser atribuida al hecho de que el signifi-cado de esta noción algebraica, se encuentra en víade afianzarse en las estructuras cognitivas de este es-tudiante, lo que puede implicar que los procesos depercepción selectiva y de clasificación no se encuen-tran suficientemente desarrollados. Por otra parte, enlas ejecuciones realizadas en algunas de las pregun-tas de esta prueba, se puede advertir que ocurrieronprocesos de asignación de significado, principalmen-te en los casos de la reducción de términos semejan-tes (preguntas 6 y 7) y la suma algebraica de la pre-gunta 8. Las realizaciones hechas por el estudiante,muestran que se tiene claro el significado de la re-ducción de términos semejantes, en el sentido de“comprimirlas” en cuanto al número de términos, ytambién, que la suma algebraica en esencia implicala reducción de los términos semejantes de los su-mandos. El acomodo de los términos involucrados ylos resultados que se presentan ofrecen evidenciasen ese sentido. Sin embargo, es muy notorio que en

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Caso 2: Naturaleza procesual del soporte cognitivo

el caso de la resta algebraica, el estudiante no lograuna ejecución acorde con las acciones algorítmicasque corresponden a esta operación, ya que se operacon el sustraendo como si fuera un sumando, lo quepuede indicar que este elemento de la resta no es re-conocido como tal, ya que al suprimir los paréntesisdonde están indicados, no se pone en práctica elacuerdo de convertirlo en el inverso aditivo, por loque en este caso, no hubo la asignación de significa-dos esperada.

Volviendo a las demandas cognitivas de la reduc-ción de términos semejantes, las ejecuciones indicanla presencia de equivocaciones recurrentes en todoslos casos en los que se involucran términos con sig-no negativo, esto es, cuando se tienen dos términoscon signo diferente, o cuando los dos términos quese pretenden reducir son negativos, lo cual sugiere,que hay también una ausencia de significado que im-pide operar adecuadamente con este tipo de térmi-nos algebraicos.

Caso 3. Los antecedentes algebraicos en la solución de ecuacionesA continuación se presenta el caso de la solución

de ecuaciones de primer grado con una incógnita. Setrata de tres ecuaciones en las cuales la solución im-plica que el estudiante ponga en práctica el soportecognitivo y de conocimientos, que tienen que ver nosólo con este tema algebraico, sino también, con elmanejo algebraico de los términos involucrados enlas ecuaciones. La revisión de los desarrollos permi-te identificar las siguientes equivocaciones:

• En cuanto a la reducción de términos semejantes,en los tres casos se puede ver que se reducen tér-minos que no son semejantes; tal es la situacióndel primer miembro de las dos últimas ecuacio-nes. Tal parece que lo que pretende el estudiantees reducir todos los términos del primer miembropara poder despejar la incógnita, y con ello poderobtener su valor.

• En la transposición de los términos que están comofactores, ya que, si son negativos, se pasan al otromiembro con el signo cambiado tal como se pue-de ver en la el “despeje” de la última ecuación,aunque llama la atención que en la primera ecua-ción el factor que multiplica se transpuso adecua-damente.

• En los antecedentes aritméticos. En las dos últimasecuaciones al concluir el despeje para obtener elvalor de la incógnita, las divisiones se realizaronbajo el criterio de considerar que el dividendo es lamayor de las cantidades, sin importar si se tratadel dividendo o del divisor indicado en la opera-ción del caso 3.

El ejemplo anterior evidencia el dominio del signi-ficado y sintaxis de cierta parte de la informacióncomprendida en la resolución de ecuaciones de pri-mer grado, pero con errores en la atención sobre lossímbolos manipulados y en la comprensión del signi-ficado de la división.

Por lo anterior, se puede considerar que las ejecu-ciones muestran que el soporte cognitivo requerido

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Caso 3. Los antecedentes algebraicos en la solución de ecuaciones

está en proceso de consolidación. La ejecución de es-ta estudiante así lo sugiere, se observan elementosen el desempeño plasmado en los desarrollos que in-dican que, en este caso, se tiene una idea más o me-nos clara de lo que implica resolver una ecuación deeste tipo y de las demandas cognitivas inherentes aesta tarea algebraica, ya que tanto la transposiciónde términos como el “despeje” de la incógnita, se lle-varon a cabo según los modos de trabajo que preva-lecen en este quehacer algebraico. Sin embargo, loserrores cometidos, pueden considerarse como unaevidencia de que, al menos en este momento, hayuna incipiente incorporación de estos conocimientosa la estructuras cognitivas, principalmente, por el he-cho de que no hay evidencias de validación de la so-lución obtenida, lo que en un momento dado permi-tiría confrontar el resultado en el marco del desarro-llo efectuado en cada caso. Por último, no esta pordemás, hacer notar el efecto que tiene el insuficientedominio de los antecedentes algebraicos y aritméti-cos en esta tarea algebraica.

Conclusiones

Con relación al aprendizaje del álgebra, el análisisde tarea realizado arroja información que se puedeinterpretar en términos que permiten un nuevo acer-camiento a la actividad escolar, en concreto, para lavaloración de los procesos de aprendizaje por partede los profesores, y paralelamente, como instrumen-to para profundizar en busca de respuesta a las inte-rrogantes emergidas del análisis. De esta forma, seabre camino a la discusión sobre el desarrollo cogni-tivo y sus implicaciones en la actividad escolar, perotambién devuelve evidencias con las cuales las teo-rías existentes pueden ser enriquecidas o reformula-das. Como ejemplo significativo de lo anterior, se tie-ne que tradicionalmente se ha fundamentado una se-lección de contenidos como los temas de álgebra pa-ra el nivel educativo en el que se supone que los es-tudiantes pueden realizar operaciones formales, den-tro de las etapas construidas en la teoría de Piaget.Sin embargo, parte de los hallazgos de un acerca-miento como el que se realizó en este trabajo hacepensar en la existencia de rezagos en el desarrollocognitivo de los estudiantes.

Otras de las cuestiones a cuya discusión orientael análisis y los datos encontrados son las que tie-nen que ver respectivamente con la interpretaciónde las insuficiencias presentes en las respuestas delos estudiantes ante tareas matemáticas y con las

condiciones de enseñanza y evaluación que tendríanque ser incorporadas a la formación de estudiantesy profesores. En la primera de estas cuestiones, apa-rece la importancia de añadir el criterio de la actividadcognitiva mostrada en la resolución de tareas matemáticas,que se traduzca en la percepción de los procesosque tienen lugar en los estudiantes y la eficacia conque son logrados. Para la enseñanza, esto trae comoconsecuencia la necesidad de adiestrar a los estu-diantes en la mejora de tales procesos. Dirigir laatención, depurar su capacidad de observación y ge-nerar inferencias son sólo algunas de las finalidadesque deben estar presentes dentro de las accionesdel profesor.

Para la evaluación, valdría la pena no perder devista que en el contexto de la enseñanza y el aprendi-zaje escolar, el desarrollo de competencias matemá-ticas es de naturaleza procesual, por lo que, el análi-sis de las ejecuciones y de los procesos cognitivosque las explican es un medio por el cual se puede es-tablecer un diagnóstico del estado que guarda la pla-taforma cognitiva para la realización de la tarea.Cuando el estudiante realiza una prueba, su desem-peño es una especie de fotografía del estado queguarda la asignación de significados inherentes a lastareas matemáticas propuestas. De ahí que, en laagenda de la enseñanza y la evaluación puede serconveniente incluir espacios para el tratamiento delos errores y equivocaciones detectados, con el fin deayudar a reforzar la plataforma cognitiva y de conoci-mientos requerida, incluyendo la programación deposteriores momentos de evaluación en los que elestudiante tenga la oportunidad de recuperarse y eluso de instrumentos de evaluación que permitan va-lorar más detalladamente los proceso cognitivos im-plícitos en las demandas cognitivas planteadas.

Por lo que toca al desempeño de los estudiantes,el análisis permitió aportar explicaciones nuevas, co-mo la de una posible pérdida de atención y memoriaante la saturación de demandas que implican proce-sar y asignar significado a los objetos matemáticosque conforman un conjunto de tareas como las quetienen que resolver en las evaluaciones escolares.Las tareas, a su vez, en la medida en que incluyencontenidos como las operaciones algebraicas, repre-sentan la oportunidad de perfeccionar los procesoscognitivos y de otro tipo que tienen lugar durante elaprendizaje. Así, una tarea resuelta en la que aparez-can cada vez menos errores constituye la mejor evi-dencia de un funcionamiento cognitivo más depura-do, potente y estratégico.

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Notas

1 Las obras de Piaget y Kohlberg, respectivamente, re-presentan pilares sobre los que se han construidonuevas explicaciones en ese sentido.

2 En ese sentido, la postura sostenida en este trabajo esque algunos de estos procesos intervienen en cual-quier clase de tarea matemática, mientras que otrosson demandados sólo por algunas tareas matemáti-cas con condiciones particulares.

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