การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ ·...
TRANSCRIPT
![Page 1: การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ · การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ 5 ตัวอย่าง](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022041211/5dd0c838d6be591ccb62ab7e/html5/thumbnails/1.jpg)
![Page 2: การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ · การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ 5 ตัวอย่าง](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022041211/5dd0c838d6be591ccb62ab7e/html5/thumbnails/2.jpg)
การใหเหตผลทางคณตศาสตร
1
มนษยรจกการใหเหตผล เพ�อสนบสนนความเช�อ หรอเพ�อหาความจรง หรอขอสรปใน
เร�องใดเร�องหน�ง มาแตคร �งโบราณ โดยกระบวนการการนาเอาเอาส�งท�เปนเหต หรอส�งท�กาหนดใหท�
เรยกวา สมมตฐาน มาทดลอง หรอพสจน เพ�อใหไดขอสรป หรอผล กระบวนการน �เรยกวา การใหเหตผล
(Reasoning)
การใหเหตผลท�สาคญทางคณตศาสตรมอย 2 วธ ไดแก
1. การใหเหตผลแบบอปนย (Inductive Reasoning)
2. การใหเหตผลแบบนรนย (Deductive Reasoning)
1 การใหเหตผลแบบอปนย
การใหเหตผลแบบอปนยเปนการใหเหตผล โดยยดความจรงจากสวนยอยท�พบเหนไปสความจรงท�
เปนสวนรวม ดงนยามตอไปน �
บทนยาม การใหเหตผลแบบอปนย
หมายถง วธการสรปผลจากการสงเกต การทดลองจากกรณยอย ๆ แลวนามาสรปผลท�วไป
ในการใหเหตผลแบบอปนยน � เปนท�ยอมรบกนมากทางดานวทยาศาสตรและทางดานการแพทย
เพราะนกวทยาศาสตรชอบคนควาหาความจรงจากธรรมชาต หรอจากการทดลอง โดยการสงเกตผลท�
เกดข �นในแตละคร �ง จาการสงเกตปรากฏผลวา ทกคร �งท�ผลสรปท�เกดข �นมลกษณะเหมอนกน และทาการ
ทดสอบจนม�นใจในผลสรปดงกลาว นกวทยาศาสตรจงประมวลผลสรปดงกลาวเปนความรใหมในรปท�ว ๆ
ไป ซ�งตอมาไดพฒนามาเปน ระเบยบวธทางวทยาศาสตร (Scientific Method)
หมายเหต ในการหาขอสรป หรอความจรงโดยใชวธการใหเหตผลแบบอปนยน �น ไมจาเปนตองถกตองทก
คร �ง เน�องจากการใหเหตผลแบบอปนยเปนการสรปผลเกนจากหลกฐานขอเทจจรงท�มอย
ดงน �นขอสรปจะเช�อถอไดมากนอยเพยงใดน �นข �นอยกบลกษณะของขอมล หลกฐานและขอเทจจรงท�
นามาอาง เชน จากแบบรปของจานวน 2, 4, a ถามวา a ควรจะเปนจานวนใด
คาตอบท�ได จากการสงเกตแบบรปท�กาหนดใหคอ 2, 4 มไดตางกน ดงน �
ถา เหตผล คอ 2 + 2 = 4 จะไดวา a = 6
แต ถา เหตผล คอ 2 = 21 และ 4 = 22 จะไดวา a = 23
![Page 3: การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ · การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ 5 ตัวอย่าง](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022041211/5dd0c838d6be591ccb62ab7e/html5/thumbnails/3.jpg)
การใหเหตผลทางคณตศาสตร
2
ตวอยางของการใหเหตผลแบบอปนย
ตวอยาง ชาวสวนมะมวงสงเกตมาหลายปพบวา ถาปใดมหมอกมาก ปน �นจะไดผลผลตนอย
เขาจงสรปวาหมอกเปนสาเหตท�ทาใหผลผลตนอย
ตวอยาง จากผลการทดลอง 10 คร �ง ของนกวทยาศาสตรคนหน�ง พบวา
ถาใชสาร A ไปผสมกบสาร B ในอตรา 1 : 2 จะไดสาร C
จงสรปวา การนาสาร A ไปผสมกบสาร B ในอตราสวน 1 : 2 จะทาใหเกดสาร C
สาหรบวชาคณตศาสตรมเร�องบางเร�องท�ใชการใหเหตผลแบบอปนยในการสรปผลลพธ ตวอยางท�
เหนไดอยางชดเจนคอเร�อง แบบรป (pattern) ซ�งเปนการสรปจากการสงเกตภาพหรอจานวนท�เกดข �น
กอนหนาท�จะสรปผล
ดงน �น ทกษะท�นกเรยนจะตองมเพ�อนาไปสการใหเหตผลท�มประสทธภาพคอ การสงเกตขอมลท�
กาหนดใหและการใหความสมพนธระหวางขอมลท�กาหนด แลวต �งขอคาดการณจากความสมพนธท�ได
สดทายกคอการตรวจสอบขอคาดการณน �นวาเปนจรงสาหรบทกกรณหรอไม ซ�งในระดบน �จะใชการ
ตรวจสอบท�ไมเปนทางการมากนก ตวอยางตอไปน �
ตวอยาง 1จงใชการใหเหตผลแบบอปนย สรปผลเก�ยวกบผลบวกของจานวนคสองจานวน
nSol การทดลอง ขอสงเกต
0 + 2 = …………….. ………………………
2 + 4 = …………….. ………………………
–4 + 6 = …………….. ………………………
8 + (–10) = …………….. ………………………
–10 + (–12) = …………….. ………………………
สรป ……………………………………………………………………………….
ตวอยาง 2 จากการสงเกตผลการนาจานวนเตมบวกท�มหลกหนวยเปน 5 มายกกาลงสอง จะพบวา
nSol การทดลอง ขอสงเกต
52 = ……………….. ………………………
152 = ……………….. ………………………
252 = ……………….. ………………………
352 = ……………….. ………………………
452 = ……………….. ………………………
สรป …………………………….………………………………………………….
………………………………………………………………………………..
![Page 4: การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ · การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ 5 ตัวอย่าง](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022041211/5dd0c838d6be591ccb62ab7e/html5/thumbnails/4.jpg)
การใหเหตผลทางคณตศาสตร
3
ตวอยาง 3 จงใชการใหเหตผลแบบอปนย สรปผลเก�ยวกบหลกหนวยของ 3,4153
nSol พจารณาตวเลขในหลกหนวยของ n3 ม�อ n เปนจานวนเตมบวก ดงน �
การทดลอง ขอสงเกต
31 = …………. มหลกหนวยเปน……………
32 = …………. มหลกหนวยเปน……………
33 = …………. มหลกหนวยเปน……………
34 = …………. มหลกหนวยเปน……………
35 = …………. มหลกหนวยเปน……………
36 = …………. มหลกหนวยเปน……………
37 = …………. มหลกหนวยเปน……………
38 = …………. มหลกหนวยเปน……………
ขอสรป จากการทดลอง จะพบวา
ถาเลขช �กาลงหารดวย 4 แลวเหลอเศษ 1 เลขในหลกหนวยคอ …………
ถาเลขช �กาลงหารดวย 4 แลวเหลอเศษ 2 เลขในหลกหนวยคอ …………
ถาเลขช �กาลงหารดวย 4 แลวเหลอเศษ 3 เลขในหลกหนวยคอ …………
ถาเลขช �กาลงหารดวย 4 แลวหารลงตว เลขในหลกหนวยคอ …………
เน�องจากเลขช �กาลง คอ 3,415 ซ�งหารดวย 4 แลวเหลอเศษ …………
ดงน �น จานวนในหลกหนวยของ 3,4153 คอ ……………
ตวอยาง 4 จากการสงเกตพหนามท�กาหนดใหตอไปน �
ถา 1P (x) x 2 , 22P (x) 3x 4 , 3
3P (x) 5x 8 และ 44P (x) 7x 16
จงหา 8P (x) และ 8P ( 2) nSol พหนาม ขอสงเกต
1P (x) x 2 ………………………………………………….
22P (x) 3x 4 ………………………………………………….
33P (x) 5x 8 ………………………………………………….
44P (x) 7x 16 ………………………………………………….
8P (x) = …………………………………………………………………..
และ 8P ( 2) = …………………………………………………………………
![Page 5: การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ · การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ 5 ตัวอย่าง](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022041211/5dd0c838d6be591ccb62ab7e/html5/thumbnails/5.jpg)
การใหเหตผลทางคณตศาสตร
4
ตวอยาง 5 คารล ฟรดรช เกาส (Karl Friedrich Gauss ; 1777 – 1855) นกคณตศาสตรชาวเยอรมน
ไดสงเกตการณหาผลบวกของจานวนต �งแต 1 ถง 100 วา มตวเลขอย 50 ค ซ�งบวกกนแลวได 101
(ดงรปขางลาง) ดงน �นผลบวกของตวเลขท �งหมดเทากบ 50 101 = 5,050
1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100
จงใชวธการของเกาสหาผลบวกตอไปน � nSol (1) 1 + 2 + 3 + … + 150 (2) 1 + 2 + 3 + … + 300
(3) 1 + 2 + 3 + … + 125 (4) 2 + 4 + 6 + … + 100
(5) 1 + 3 + 5 + … + 99 (6) 1 + 2 + 3 + … + n ; n
(7) 2 + 4 + 6 + … + 2n ; n (8) 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) ; n
101
101
101
![Page 6: การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ · การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ 5 ตัวอย่าง](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022041211/5dd0c838d6be591ccb62ab7e/html5/thumbnails/6.jpg)
การใหเหตผลทางคณตศาสตร
5
ตวอยาง 6 จงหาวาจากลาดบของจานวนในแตละขอตอไปน �ม พจนท� n (ตวท� n)เปนเทาใด
(1) 3, 7, 11, 15, … (2) 1, 3, 7, 15, 31, …
(3) 1, 3, 6, 10, 15, 21, … (4) 1 1 1 1 1, , , , ,...
2 6 12 20 30
ตวอยาง 7 จากลาดบของจานวนท�กาหนดให จงหาวามท �งหมดก�พจน
(1) 5, 7, 9, 11, … , 105 (2) 2, 5, 10, 17, 26, …, 170
พจนท� ขอสงเกต
1 3 = ………….………….
2 7 = ………….………….
3 11 = ………….…………
4 15 = ………….…………
5 ………………….……….
10 ………………….……….
พจนท� n เทากบ ……………….……..
พจนท� ขอสงเกต
1 1 = …………………….
2 3 = …………………….
3 7 = …………….………
4 15 = ……………….……
5 31 = …………………….
10 …………………….…….
พจนท� n เทากบ ……………………..
พจนท� ขอสงเกต
1 1 = ……………..…….…….
2 3 = …………….……..…….
3 6 = …………………………
4 10 = ……………..……….…
5 15 = …………..…………….
6 21 = ………………………...
10 …………………………….…
พจนท� n เทากบ ……………….……..
พจนท� ขอสงเกต
1 1
2 = …………..………….
2 1
6 = ……………..……….
3 1
12 = ………….....………
4 1
20 = …………..…………
10 …………………..……….
พจนท� n เทากบ ………………..……..
พจนท� ขอสงเกต
1 5 = ………….………….
2 7 = ………….………….
3 9 = ………….…………
4 11 = ………….…………
5 ………………….……….
พจนท� n เทากบ ……………….……..
ดงน �น 105 = ………………………….
และ ลาดบมจานวน………… พจน
พจนท� ขอสงเกต
1 2 = ………….………….
2 5 = ………….………….
3 10 = ………….…………
4 17 = ………….…………
5 26 = …………….……….
พจนท� n เทากบ ……………….……..
ดงน �น 170 = ………………………….
และ ลาดบมจานวน………… พจน
![Page 7: การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ · การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ 5 ตัวอย่าง](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022041211/5dd0c838d6be591ccb62ab7e/html5/thumbnails/7.jpg)
การใหเหตผลทางคณตศาสตร
6
ตวอยาง 8 ใหสงเกตจานวน ในรปท� 1, 2, 3 และ 5 ตอไปน �
จงใชการใหเหตผลแบบอปนย หาจานวน ในรปท� 10 และรปท� n
รปท� จานวน ขอสงเกต
1
2
3
4
5
ดงน �น รปท� 10 มจานวน เทากบ ………………………………………………………………
และ รปท� n มจานวน เทากบ ………………………………………………………………
ตวอยาง 9 จงหาวาจากอนกรมของจานวนในแตละขอตอไปน �มผลบวกเทาใด
(1) 2 + 5 + 8 + 11 +… + 89
nSol พจนท� ขอสงเกต พจนท� n เทากบ ……………….……..
1 2 = ………….…………. ดงน �น 89 = ………………………….
2 5 = ………….………….
3 8 = ………….…..………
4 11 = ………….…..……… แสดงวาลาดบมจานวน………… พจน
จานวนพจน ผลบวก ขอสงเกต
1 2
2 2 + 5
3 2 + 5 + 8
4 2 + 5 + 8 + 11
2 + 5 + 8 + 11 +… + 89
รปท� 1
รปท� 2
รปท� 3
รปท� 4
รปท� 5
nSol
![Page 8: การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ · การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ 5 ตัวอย่าง](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022041211/5dd0c838d6be591ccb62ab7e/html5/thumbnails/8.jpg)
การใหเหตผลทางคณตศาสตร
7
ตวอยาง 10 นดออกกาลงกายโดยการว�ง 2 ช�วโมง ในนาทท� k ใดๆ นดว�งได k 1 k เมตร
จงหาระยะทางท �งหมดท�นดว�งไดใน 2 ช�วโมง (สอวน มศก 2558)
ตวอยาง 11 จงหา 99
k 1
k 1 k
k k 1
ตวอยาง 12 กาหนดให 2
2
x 3xP(x)
x 3x 2
จงหาคาของ P(1) P(2) P(3) ... P(10)
ตวอยาง 13 ถา 2 4 8 16 n(2 1)(2 1)(2 1)(2 1)(2 1) 2 m จงหาคาของ
![Page 9: การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ · การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ 5 ตัวอย่าง](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022041211/5dd0c838d6be591ccb62ab7e/html5/thumbnails/9.jpg)
การใหเหตผลทางคณตศาสตร
8
ตวอยาง 14 ให { na } เปนลาดบของจานวนจรง โดยท�
1a 3 และ nn 1
n
1 aa
1 a
สาหรบ n = 1, 2, 3 …
จงหาคาของ 1000a
ตวอยาง 15 กาหนดให n
{a } เปนลาดบของจานวนจรง โดยท� 2n n 1
a a (n 2)
ถา 25a 50 จงหา
50a
ตวอยาง 16 กาหนดให n
{a } เปนลาดบของจานวนจรง
โดยท� 1 2 3a a 1, a 2 และผลคณของส�พจนใดๆท�เรยงตดกนไมเทากบ 1
ถา n n 1 n 2 n 3 n n 1 n 2 n 3a a a a a a a a ทกๆจานวนนบ n
จงหา 100
kk 1
a
![Page 10: การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ · การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ 5 ตัวอย่าง](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022041211/5dd0c838d6be591ccb62ab7e/html5/thumbnails/10.jpg)
การใหเหตผลทางคณตศาสตร
9
ตวอยาง 17 กาหนดให x
x
4f(x)
4 2
จงหาคาของ 1 2 3 99f( ) f( ) f( ) ... f( )
100 100 100 100
ตวอยาง 18 กาหนดให 3x 1f(x) 10
จงหาคาของ 1 2 2014
f( ) f( ) ... f( )2015 2015 2015
(POSN : มศก 2557)
ตวอยาง 19 กาหนดให P(x + y) = P(x) + P(y) + 4xy สาหรบ x, y N
ถา P(1) = 2 แลวคาของ P(20) เทากบเทาใด
![Page 11: การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ · การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ 5 ตัวอย่าง](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022041211/5dd0c838d6be591ccb62ab7e/html5/thumbnails/11.jpg)
การใหเหตผลทางคณตศาสตร
10
ตวอยาง 20 กาหนด f(n 1) f(n) 5n สาหรบ n =1, 2, 3,…
จงหาคาของ f(13) f(1)
ตวอยาง 21 กาหนดให 2 2 2
1 1 1A 1 ...
3 5 7
และ 2 2 2 2
1 1 1 1B ...
2 4 6 8
จงหา A
B
![Page 12: การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ · การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ 5 ตัวอย่าง](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022041211/5dd0c838d6be591ccb62ab7e/html5/thumbnails/12.jpg)
การใหเหตผลทางคณตศาสตร
11
แบบฝกหดท� 1
1. จงใชเหตผลแบบอปนย หาจานวน a จากแบบรปของจานวนท�กาหนดใหตอไปน �
1.1 3, 7, 11, a, 19
1.2 90, a, 78, 72, 66
1.3 4, 5, 7, 10, a, 19
1.4 1, 4, 9, 16, 25, a
1.5 20, 18, 14, a, 0
1.6 1, –1, 2, –6, a, –120
1.7 2, 6, 22, 56, 114, a
1.8 14, 22, 32, 44, a
1.9 5, 15, 37, 77, 141, a
1.10 1, 5, 12, 22, 35, a
2. จากแบบรปของสมการท�กาหนดใหในแตละขอตอไปน � จงใชเหตผลแบบอปนยหาสมการถดไป
พรอมท �งตรวจสอบคาตอบท�ถกตองโดยวธการคานวณ
2.1 (1 9) + 2 = 11
(12 9) + 3 = 111
(123 9) + 4 = 1,111
(1234 9) + 5 = 11,111
=
2.2 (9 9) + 7 = 88
(98 9) + 6 = 888
(987 9) + 5 = 8,888
(9,876 9) + 4 = 88,888
=
2.3 15,873 7 = 111,111
15,873 14 = 222,222
15,873 21 = 333,333
15,873 28 = 444,444
=
![Page 13: การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ · การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ 5 ตัวอย่าง](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022041211/5dd0c838d6be591ccb62ab7e/html5/thumbnails/13.jpg)
การใหเหตผลทางคณตศาสตร
12
2.4 11 11 = 121
111 111 = 12,321
1,111 1,111 = 1,234,321
=
2.5 2 = 4 – 2
2 + 4 = 8 – 2
2 + 4 + 8 = 16 – 2
2 + 4 + 8 + 16 = 32 – 2
=
2.6 3 = 3(2)
2
3 + 6 = 6(3)
2
3 + 6 + 9 = 9(4)
2
3 + 6 + 9 + 12 = 12(5)
2
=
2.7 1
1 2 =
1
2
1
1 2 +
1
2 3 =
2
3
1
1 2 +
1
2 3 +
1
3 4 =
3
4
1
1 2 +
1
2 3 +
1
3 4 +
1
4 5 =
4
5
=
2.8 1
2 = 1 –
1
2
1
2 +
1
4 = 1 –
1
4
1
2 +
1
4 +
1
8 = 1 –
1
8
1
2 +
1
4 +
1
8 +
1
16 = 1 –
1
16
![Page 14: การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ · การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ 5 ตัวอย่าง](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022041211/5dd0c838d6be591ccb62ab7e/html5/thumbnails/14.jpg)
การใหเหตผลทางคณตศาสตร
13
3. รปท� 1 ถงรปท� 5 ตอไปน � แสดงภาพท�เกดจากการใชรปสามเหล�ยมดานเทาหน�งหนวย ท�มความ
ยาวดานละ 1 หนวย ประกอบเปนรปสามเหล�ยมดานเทาขนาดตาง ๆ กน
3.1 จงเตมจานวนรปสามเหล�ยมดานเทาหน�งหนวยในรปท�1, 2, 3 และ 5
รปท� 1 2 3 5
จานวน Δ
3.2 จงใชการใหเหตผลแบบอปนย หาจานวนรปสามเหล�ยมดานเทาหน�งหนวย ในรปท� 4
และเขยนภาพในรปท� 4
3.3 จงหาแบบรปท�วไปของจานวนรปสามเหล�ยมดานเทาหน�งหนวย ในรปท� 1 ถงรปท� 5 แลว
ใชแบบรปน � หาจานวนรปสามเหล�ยมดานเทาหน�งหนวย รปท� 10
4. นารปส�เหล�ยมจตรสหน�งหนวยสขาว และลายขวาง ท�มความยาวดานละ 1 หนวย มาประกอบ
เปนภาพในรปท� 1, 2, 3 และ 5 ดงรป
รปท� 1 รปท� 2 รปท� 3 รปท� 4 รปท� 5
รปท� 1 รปท� 2 รปท� 3 รปท� 4 รปท� 5
![Page 15: การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ · การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ 5 ตัวอย่าง](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022041211/5dd0c838d6be591ccb62ab7e/html5/thumbnails/15.jpg)
การใหเหตผลทางคณตศาสตร
14
4.1 จงเตมคาตอบลงในตารางขางลาง ตอไปน �
รปท� 1 2 3 5
จานวน
จานวน
จานวน และ
4.2 จงใชการใหเหตผลแบบอปนย หาจานวนรปส�เหล�ยมจตรส , , และ
ในรปท� 4 พรอมท �งหาแบบรปท�วไปของจานวนรปส�เหล�ยมจตรสหน�งหนวย , , และ
ในรปท� 1 ถง 5 และใชแบบรปท�วไปน �หาจานวนรปส�เหล�ยมจตรส , , และ
ในรปท� 10
7. พจารณาตารางตอไปน �
0 2 2 2 0 0 0 0 0
0 2 4 6 4 2 0 0 0
0 2 6 12 14 12 6 2 0
0 2 8 20 32 38 32 20 8
จงหาแบบรปและเตมตวเลขในแถวตอไป
8. จงหาตวอกษรถดไปของ
O, T, T, F, F, S, S, E, N, T, …
(แนะนา : ใหสงเกตตวอกษรและความสมพนธของคาท�เก�ยวกบตวเลข)
![Page 16: การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ · การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ 5 ตัวอย่าง](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022041211/5dd0c838d6be591ccb62ab7e/html5/thumbnails/16.jpg)
การใหเหตผลทางคณตศาสตร
15
9. เลอกตวเลขมาหน�งจานวน แลวทาตามข �นตอนตอไปน �
1) นาตวเลขน �นคณดวย 2
2) นาผลในขอ 1) บวกดวย 6
3) นาผลในขอ 2) หารดวย 2
4) นาผลในขอ 3) ลบดวยตวเลขแรกท�เลอก
5) บนทกผลท�ได
ทากระบวนการน �ซ �าอกคร �ง แตเปล�ยนข �นตอนท� 2 เปนบวกผลลพธดวย 8 แลว
บนทกผลท�ได
ทากระบวนการน �ซ �าอกคร �ง แตเปล�ยนข �นตอนท� 2 เปนบวกผลลพธดวย 10 แลว
บนทกผลท�ได
6) สงเกตผลลพธท�ได และใชเหตผลแบบอปนยอธบายผลท�ได
10. จากการสงเกตผลบวกของจานวนเตมบวก ดงตอไปน �
1 = 1
1 + 2 = 3
1 + 2 + 3 = 6
1 + 2 + 3 + 4 = 10
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
จงใชการใหเหตผลแบบอปนย สงเกตผลบวกท�ได มความสมพนธกบจานวนตวของจานวนท�
นามาบวกกนอยางไร พรอมท �งหาผลบวกของ
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
![Page 17: การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ · การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ 5 ตัวอย่าง](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022041211/5dd0c838d6be591ccb62ab7e/html5/thumbnails/17.jpg)
การใหเหตผลทางคณตศาสตร
16
11. นาไมขดไฟขนาดยาวกานละ 1 หนวย มาจดเรยงเปนรปส�เหล�ยมจตรสแลวประกอบกนเขาเปนรปตว
แอล (L) ดงรปท� 1, 2, 3 และ 5
11.1 จงหาจานวนไมขดไฟท �งหมดท�ใชในแตละรปของรปท� 1, 2, 3 และ 5
11.2 จงหาจานวนไมขดไฟเฉพาะบนเสนรอบรปตวแอลแตละรปของรปท� 1, 2, 3 และ 5
11.3 จงหาพ �นท�ของแตละรปในรปท� 1, 2, 3 และ 5
รปท� 1 2 3 4 5
จานวนไมขดไฟท �งหมด
จานวนไมขดไฟบนเสนรอบรป
พ �นท�
11.4 จงใชการใหเหตผลแบบอปนย หาจานวนไมขดไฟในรปท� 4
11.5 จงใชการใหเหตผลแบบอปนย หาจานวนไมขดไฟบนเสนรอบรปตวแอลในรปท� 4
11.6 จงใชการใหเหตผลแบบอปนย หาพ �นท�ของรปท� 4
11.7 จงเขยนภาพของรปท� 4
11.8 จงเขยนแบบรปท�วไปของจานวนไมขดไฟท �งหมดท�ใชในแตละรป ในรปท� 1 ถงรปท� 5
แลวใชแบบรปน � หาจานวนไมขดไฟท �งหมดในรปท� 10
11.9 จงเขยนแบบรปท�วไปของจานวนไมขดไฟบนเสนรอบรปแตละรปในรปท� 1 ถงรปท� 5 แลว
ใชแบบรปน � หาจานวนไมขดไฟบนเสนรอบรปของรปท� 10
11.10 จงเขยนแบบรปท�วไปของพ �นท�ของแตละรป ในรปท� 1 ถงรปท� 5 แลวใชแบบรปน � หา
พ �นท�ของรปท� 10
รปท� 1 รปท� 2 รปท� 3 รปท� 4 รปท� 5
![Page 18: การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ · การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ 5 ตัวอย่าง](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022041211/5dd0c838d6be591ccb62ab7e/html5/thumbnails/18.jpg)
การใหเหตผลทางคณตศาสตร
17
12. ใหสงเกตแบบรปของผลลพธจากการยกกาลงสองตอไปน � แลวใชการใหเหตผลแบบอปนย เตม
คาตอบสดทายลงในชองวาง
12.1 12 = 1
112 = 121
1112 = 12321
11112 = 1234321
111112 = 123454321
1111112 =
12.2 62 = 36
662 = 4356
6662 = 443556
66662 = 44435556
666662 =
12.3 42 = 16
342 = 1156
3342 = 111556
33342 = 11115556
333342 =
12.4 32 = 9
632 = 3696
6632 = 439569
66632 = 44395569
666632 = 4443955569
6666632 =
12.5 12 = 1
912 = 8281
9912 = 982081
99912 = 99820081
999912 = 9998200081
9999912 =
![Page 19: การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ · การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ 5 ตัวอย่าง](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022041211/5dd0c838d6be591ccb62ab7e/html5/thumbnails/19.jpg)
การใหเหตผลทางคณตศาสตร
18
13. จงหาตวเลขในหลกหนวยของ 25572014
14. จงหาเศษเหลอท�เกดจากการหาร 105 2102 3 ดวย 5
15. จงหาผลบวก 1 1 1 1
(m 2)(m 5) (m 5)(m 8) (m 8)(m 11) (m 11)(m 14)
16. จงหาคา x จากสมการ 1 1 1 2...
(5x)(5x 2) (5x 2)(5x 4) (5x 8)(5x 10) 25
![Page 20: การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ · การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ 5 ตัวอย่าง](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022041211/5dd0c838d6be591ccb62ab7e/html5/thumbnails/20.jpg)
การใหเหตผลทางคณตศาสตร
19
17. จงหา 1 1 1 1...
x x 2 x 2 x 4 x 4 x 6 x 18 x 20
18. จงหาคาของ 9999
4 4n 1
1
( n n 1)( n n 1)
19. ให P(1) 1 , P(2) 1 2 , P(3) 1 2 3 , .... , P(n) 1 2 3 ... n
คาของ 25
n 2
P(n)
P(n) 1 เทากบเทาใด
20. จงหาคาของ 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 11 1 ... 1
1 2 2 3 99 100
![Page 21: การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ · การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ 5 ตัวอย่าง](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022041211/5dd0c838d6be591ccb62ab7e/html5/thumbnails/21.jpg)
การใหเหตผลทางคณตศาสตร
20
21. จงหาเศษเหลอของการหาร 1 2 3 71610 10 10 1010 10 10 ... 10 ดวย 7
22. จงหาตวเลขหลกหนวยของจานวน 7
777
23. กาหนด x
x
9P(x)
9 3
จงหาผลบวกของ 1 2 3 99P P P ... P
100 100 100 100
24. กาหนดให n
{a } เปนลาดบของจานวนจรง
โดยท� 2n 1 n
a n a สาหรบ n = 1, 2, 3. …
จงหาคาของ 1
a ท�ทาให 101
a 5100 [PAT 1 : มนาคม 2554]
2558 ตว
![Page 22: การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ · การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ 5 ตัวอย่าง](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022041211/5dd0c838d6be591ccb62ab7e/html5/thumbnails/22.jpg)
การใหเหตผลทางคณตศาสตร
21
25. กาหนดให 5x 2f(x) 2
จงหาคาของ 1 2 2557f( ) f( ) ... f( )
2558 2558 2558
26. กาหนดให n ! 1 2 3 ... n
จงหาเลขสองหลกสดทายของ 1! 2 ! 3 ! 4 ! ... 100 !
27. กาหนดให P(n)P(n+1)P(n+2) = P(n) + P(n +1) + P(n + 2) สาหรบ n N
โดยท� P(1) = 1 และ P(2) = 2 จงหา P(2013) + P(2556)
28. สาหรบ x ท�เปนจานวนเตม กาหนด P(n) มสมบตดงน �
(1) P(1) = 1
(2) P(2x) = 4P(x) + 6
(3) P(x +2) = P(x) + 12x + 12
แลวคาของ P(7) + P(16) เทากบเทาใด
![Page 23: การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ · การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ 5 ตัวอย่าง](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022041211/5dd0c838d6be591ccb62ab7e/html5/thumbnails/23.jpg)
การใหเหตผลทางคณตศาสตร
22
29. กาหนดให a(m, n) = a(m, n 1) + a(m 1, n 1)
ถา a(1, 1) = 10, a(2, 1) = 5, a(4, 1) = 4 และ a(4, 4) = 50
แลวคาของ a(3, 1) เทากบเทาใด
30. จงหาคาของ 4 4 4 4 4
4 4 4 4 4
1 1 1 1 11 ...
2 3 4 5 61 1 1 1 1
1 ...2 3 4 5 6
31.
พจารณารปตอไปน �
ใหเตมจานวนเตมบวก 1, 2, 3,… , 11 ลงในชองรปส�เหล�ยม
ชองละ 1 จานวน โดยใหผลบวกของจานวนในแนวต �งเทากบ 43
และผลบวกของจานวนในแนวนอน เทากบ 28
จานวน x ในชองรปส�เหล�ยมมม เทากบเทาใด
แนวต �ง
แนวนอน x
![Page 24: การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ · การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ 5 ตัวอย่าง](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022041211/5dd0c838d6be591ccb62ab7e/html5/thumbnails/24.jpg)
การใหเหตผลทางคณตศาสตร
23
32. จากตารางท�กาหนดใหมชองวางท �งหมด 9 ชองดงรป
ใหเตมจานวนเตมบวก ลงในชองส�เหล�ยมชองละ 1 จานวน
โดยใหผลบวกของจานวนในแตละแถว ในแตละหลก และในแตละ
แนวทแยงมม มคาเทากน ถาเตมจานวนเตมบวก 3, 7, 10
ดงปรากฏในตารางแลว จานวน x ในตารางเทากบเทาใด
33. ใหเตมจานวนเตมบวกในชองส�เหล�ยมโดยใหผลรวมของจานวนในชองส�เหล�ยมสามชองท�ตดกนเทากบ 18
คาของ x เทากบเทาใด
34. พระมดอนหน�งมจานวนเตมบวกอยแตละชองดงแผนภาพ
โดยชองท�อยตดกนใดๆจะมผลรวมเทากบชองท�อยขางบน
เชน a + b = c
สมมตใหยอดพระมดมคา 25 ผลรวมของเลขในแถวท�สามนบจาก
จงแสดงการวเคราะหหาวา ผลบวกของชองแรกกบชองสดทาย
ในแถวท�ส�หาคาไดหรอไม ถาไมไดจงแสดงเหตผล
ถาไดจงหาผลบวกน �น (สอวน มศก 2557)
36. ใหเตมจานวนเตมบวก 1, 2, 3, 4, 5 ลงในชองวางในตาราง 5 5
ตอไปน �โดยท� แตละแถวตองมจานวนเตมบวก 1, 2, 3, 4 และ 5
แตละหลกตองมจานวนเตมบวก 1, 2, 3, 4 และ 5
จานวน x ในตารางเทากบเทาใด
x
7
10 3
25
a b
c
7 8 x
4 5
3 1
3 5
1 3 2
x
![Page 25: การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ · การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ 5 ตัวอย่าง](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022041211/5dd0c838d6be591ccb62ab7e/html5/thumbnails/25.jpg)
การใหเหตผลทางคณตศาสตร
24
37. จาตารางท�กาหนดให มชองวางท �งหมด 16 ชอง ดงรป
ใหเตมจานวนเตมบวก 1, 2, 3, …, 16 ลงในชองส�เหล�ยม
ชองละ 1 จานวน โดยใหผลบวกของจานวนในแตละแถว
( (ก) และ (ข) ) และในแตละหลก ( (ค) และ (ง) )
มคาเทาๆกน ถาเตมจานวน 1, 5, 13 ดงปรากฏในตาราง
แลว จานวน x ในตาราง เทากบเทาใด
38. กาหนดจด 10 จด โดยท�ระยะหางระหวางจดเทาๆกน ดงรป
จะตองลบจดออกจากภาพอยางนอยท�สดก�จด
เม�อลบออกจากภาพแลวไมมสามจดใดๆท�เหลอเปนจดยอดของ
สามเหล�ยมดานเทา
39. พจารณาการบวกของจานวนตอไปน �
เม�อ A, B, C, D, E, F, G แทนเลขโดดทแตกตางกน
โดยท� F = 0 และ {A, B, C, D, E, G} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
ถาจานวนสองหลก AB เปนจานวนเฉพาะแลว A + B มคา
เทากบเทาใด
40. ในตารางท�กาหนดให ผลบวกของจานวนในแตละแถว แตละหลก
และผลบวกตามแนวเสนทแยงมมท �งสองแนว เทากนท �งหมด
จงหา a + b + c + d + e + f
A B
C D
E F G
5 1
13 x
ba 6
7
c d e
f 2
![Page 26: การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ · การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ 5 ตัวอย่าง](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022041211/5dd0c838d6be591ccb62ab7e/html5/thumbnails/26.jpg)
การใหเหตผลทางคณตศาสตร
25
41. กาหนดให a, b, c, d, e, f เปนจานวนเตมบวก โดยท� a < b < c < d < e < f
ถาผลบวกของสองจานวนท�แตกตางกนในเซต {a, b, c, d, e, f} มท �งหมด 15 จานวน
คอ 37, 50, 67, 72, 80, 89, 95, 97, 102, 110, 112, 125, 132, 147 และ 155
แลวคาของ c + d เทากบเทาใด
42. จงหาจานวนสบเซต 1 2 3{a ,a ,a } ของเซต {1, 2, 3, …, 14} ท �งหมดท�สอดคลองกบ 2 1a a 3
และ 3 2a a 3
43. กาหนดให a, b {0, 1, 2, …, 9} และ 1a5, 6b9 เปนจานวนสามหลก
ถา 6b9 1a5 = 454 และ 6b9 หารดวย 9 ลงตว แลว a + b เทากบเทาใด
44. กาหนดให ab เปนจานวนสองหลก โดยท� a, b {1, 2, 3, …, 9}
และ a เทากบสองเทาของ b
ถา (310 ab) (465 ba) 2790 แลว a + b เทากบเทาใด
![Page 27: การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ · การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ 5 ตัวอย่าง](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022041211/5dd0c838d6be591ccb62ab7e/html5/thumbnails/27.jpg)
การใหเหตผลทางคณตศาสตร
26
45. กาหนด S เปนเซตของ (a, b, c, d, e, f) โดยท� a,b, c, d, e, f {0, 1, 2, …, 9}
ซ�งมสมบตสอดคลองกบ 3 2 b 2a c 4, 2 d 7 และ 3 2e f 1
จานวนสมาชกของเซต S เทากบเทาใด
46. ถา a, b , c {1, 2, 3, … , 9} และสอดคลองกบ (56a) + (7b) + c = 416
แลว a + b + c เทากบเทาใด
47. กาหนดให a,b,c {1,2,3,...,9} จงหาจานวน 3 หลก abc ท�มคามากท�สด
โดยสอดคลองกบเง�อนไข abc = ab + ba + ac + ca + bc + cb
*หมายเหต abc คอ เลข 3 หลก และ ab, ba , ... คอเลข 2 หลก
![Page 28: การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ · การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ 5 ตัวอย่าง](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022041211/5dd0c838d6be591ccb62ab7e/html5/thumbnails/28.jpg)
การใหเหตผลทางคณตศาสตร
27
2 การใหเหตผลแบบนรนย
การใหเหตผลแบบนรนย เปนการใหเหตผล โดยเร�มจากเหต หรอ สมมตฐาน แลวอาศยความจรงท�
ยอมรบแลวท�เรยกวา สจพจน อาศยทฤษฎบทท�ทราบมากอนแลว อาศยขอตกลง กฎตาง ๆ หรอบทนยาม
นาส�งเหลาน �มายนยน จนกระท�งไดผล หรอ ขอสรป ท�ตองการ
ทฤษฎบทตาง ๆ ในทางคณตศาสตร เปนความจรงท�สามารถพสจนได การพสจนของทฤษฎบท
เหลาน � ถอวาเปนการใหเหตผลแบบนรนย
ขอความหรอประโยคท�จะใชการใหเหตผลแบบนรนย พสจนจากเหตนาไปสผล มกจะเปนขอความท�
มรปแบบ ดงน �
ถา แลว
ตวอยางของการใหเหตผลแบบนรนย
1 เหต 1) จานวนคหมายถงจานวนท�หารดวย 2 ลงตว
2) 10 หารดวย 2 ลงตว
ผล 10 เปนจานวนค
2 เหต 1) นกทกตวบนได
2) คางคาวเปนนก
ผล คางคาวบนได
3 เหต 1) เซตวาง หมายถง เซตท�ไมมสมาชก
2) A เปนเซตท�มสมาชก 2 ตว
ผล A ไมเปนเซตวาง
4 เหต 1) ส�งมชวตทกชนดตองการอาหาร
2) คนเปนส�งมชวต
3) สมชายเปนคน
ผล สมชายตองการอาหาร
เหต
หรอ สมมตฐาน
สจพจน ทฤษฎบท ขอตกลง กฎ บทนยาม
ผล
หรอ ขอสรป
(เหต หรอ สมมตฐาน) (ผล หรอ ขอสรป)
![Page 29: การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ · การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ 5 ตัวอย่าง](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022041211/5dd0c838d6be591ccb62ab7e/html5/thumbnails/29.jpg)
การใหเหตผลทางคณตศาสตร
28
2.1 การใหเหตผลท�สมเหตสมผลและไมสมเหตสมผล
เราทราบแลววา การใหเหตผลแบบนรนย จะประกอบไปดวย 2 สวน คอ เหต และ ผล การตรวจสอบ
วา การใหเหตผลแบบนรนยเปนการใหเหตผลแบบสมเหตสมผลหรอไม จะตองยอมรบกอนวาเหตท�
กาหนดใหทกอยางเปนจรง แลวนาเหตท �งหมดมาวเคราะหวา จะไดผลท�กาหนดใหเปนจรงหรอไม
ถาไดผลเปนจรง จะเรยกการใหเหตผลน �วา เปนการใหเหตผลท� สมเหตสมผล (valid)
ถาผลท�กาหนดให ไมจาเปนตองเกดข �นตามน �น จะกลาววาผลเปนเทจ ในกรณน �จะเรยกการให
เหตผลน �วา เปนการใหเหตผลท� ไมสมเหตสมผล (invalid)
ตวอยาง 1 จงพจารณาการใหเหตผลตอไปน �
เหต 1) เซตวาง หมายถง เซตท�ไมมสมาชก
2) A เปนเซตท�ไมมสมาชก
ผล A เปนเซตวาง
ตวอยาง 2 จงพจารณาการใหเหตผลตอไปน �
เหต 1) สตวมปกทกตวบนได
2) นกเปนสตวมปก
ผล นกเปนสตวบนได
ตวอยาง 3 จงพจารณาการใหเหตผลตอไปน �
เหต 1) เรอทกลาลอยน �าได
2) ถงน �าพลาสตกลอยน �าได
ผล ถงน �าพลาสตกเปนเรอ
![Page 30: การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ · การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ 5 ตัวอย่าง](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022041211/5dd0c838d6be591ccb62ab7e/html5/thumbnails/30.jpg)
การใหเหตผลทางคณตศาสตร
29
2.2 การใหเหตผลแบบนรนยโดยใชแผนภาพของเวนน–ออยเลอร
การตรวจสอบวาขอสรปสมเหตสมผลหรอไมน �น สามารถตรวจสอบไดหลายวธ แลวแตลกษณะของ
ขอความท�กาหนดมาให วธการหน�งคอการวาดแผนภาพตามสมมตฐานท�เปนไปได แลวจงพจารณาวา
แผนภาพแตละกรณแสดงผลสรปตามท�สรปไวหรอไม ถาแผนภาพท�วาดกรณท�เปนไปไดทกกรณ
แสดงผลตามท�กาหนด จงกลาวไดวาการสรปผล สมเหตสมผล แตถามแผนภาพท�ไมแสดงผล
ตามท�สรปไว การสรปน�นไมสมเหตสมผล และวธการท�ใชการตรวจสอบการสมเหตสมผลท�กลาวมา
เรยกวา การอางเหตผลโดยใชตรรกบทของตรรกศาสตร (Syllogistic Logic)
ขอความท�ใชในการอางเหตผลท�ใชกนมอย 4 แบบ
1. สมาชกของ A ทกตวเปนสมาชกของ B
2. ไมมสมาชกของ A ตวใด เปนสมาชกของ B
3. สมาชกบางตวของ A เปนสมาชกของ B
4. สมาชกของ A บางตว ไมเปนสมาชกของ B
หมายเหต แผนภาพท�ใชตรวจสอบความสมเหตสมผลน �น เปนแผนภาพของเวนน–ออยเลอร
ตวอยาง 1 จงใหความหมายในเชงเซตของขอความในขอตอไปน � โดยใชการแรเงา แสดงวาบรเวณท�
แรเงามสมาชก
(1) ขอความ : เรอทกลาลอยน �าได
ความหมายในเชงเซต :
ให A แทน เซตของเรอ
B แทน เซตของส�งท�ลอยน �าได
ดงน �น สมาชกทกตวของ A เปนสมาชกของ B น�นคอ A B
เขยนเปนแผนภาพไดดงน �
![Page 31: การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ · การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ 5 ตัวอย่าง](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022041211/5dd0c838d6be591ccb62ab7e/html5/thumbnails/31.jpg)
การใหเหตผลทางคณตศาสตร
30
(2) ขอความ : มนกบางชนดบนได
ความหมายในเชงเซต :
ให A แทน เซตของนก
B แทน เซตของส�งท�บนได
ดงน �น มสมาชกบางตวของ A ท�เปนสมาชกของ B
น�นคอ A B เขยนเปนแผนภาพไดดงน �
(3) ขอความ : ไมมงตวใดมส�ขา
เหตผลในเชงเซต :
ให A แทน เซตของง
B แทน เซตของส�งท�มส�ขา
(4) ขอความ : รถโดยสารบางคนไมไดเปนรถปรบอากาศ
เหตผลในเชงเซต :
ให A แทน เซตของรถปรบอากาศ
B แทน เซตของรถโดยสารทกชนด
![Page 32: การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ · การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ 5 ตัวอย่าง](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022041211/5dd0c838d6be591ccb62ab7e/html5/thumbnails/32.jpg)
การใหเหตผลทางคณตศาสตร
31
การใชแผนภาพเพ�อตรวจสอบความสมเหตผสมผลของขอสรป จะตองวาดแผนภาพตามเหตผลหรอ
สมมตฐานทกกรณท�เปนไปได ถาทกกรณแสดงผลสรปตามท�กาหนด จงกลาวไดวาขอสรปสมเหตสมผล
แตถามบางกรณท�แผนภาพไมสอดคลองกบผลสรปแลว ผลสรปดงกลาวจะไมสมเหตสมผล
ตวอยาง 2 จงใชแผนภาพตรวจสอบวาผลสรปตอไปน � สมเหตสมผลหรอไม
(1) เหต 1) จานวนเตมทกจานวนเปนจานวนตรรกยะ
2) 1 เปนจานวนเตม
ผล 1 เปนจานวนตรรกยะ
วธทา ให A แทน เซตของจานวนเตม
B แทน เซตของจานวนตรรกยะ
เขยนเปนแผนภาพ ไดดงน �
จากแผนภาพ ผลสรปท�กลาววา 1 เปนจานวนตรรกยะ .................................
(2) เหต 1) นกฟตบอลทกคนเปนคนท�มสขภาพด
2) นาย ก เปนคนท�มสขภาพด
ผล นาย ก เปนนกฟตบอล
วธทา ให H แทน เซตของคนท�มสขภาพด
F แทน เซตของนกฟตบอล
1) เขยนแผนภาพแทนนกฟตบอลทกคนท�มสขภาพด
2) เขยนแผนภาพเพ�อแสดงวา นาย ก เปนคนท�มสขภาพด
จากแผนภาพ 2) ผลสรปท�วา นาย ก เปนนกฟตบอล .................................
![Page 33: การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ · การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ 5 ตัวอย่าง](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022041211/5dd0c838d6be591ccb62ab7e/html5/thumbnails/33.jpg)
การใหเหตผลทางคณตศาสตร
32
ตวอยาง 3 จงใชแผนภาพตรวจสอบวาผลสรปตอไปน � สมเหตสมผลหรอไม
(1) เหต 1) จานวนนบทกจานวนเปนจานวนเตม
2) จานวนเตมบางจานวนเปนจานวนลบ
ผล มจานวนนบบางจานวนเปนจานวนลบ
วธทา ให C แทน เซตของจานวนนบ
I แทน เซตของจานวนเตม
N แทน เซตของจานวนเตมลบ
เขยนแผนภาพไดดงน �
1) เขยนแผนภาพแทนจานวนนบทกจานวนเปนจานวนเตมลบ ไดดงน �
2) จานวนเตมบางจานวนเปนจานวนเตมลบ หมายถง ตองมจานวนอยางนอยหน�งจานวน
ท�เปนจานวนลบ
จากการวาดแผนภาพตามเหตหรอสมมตฐานทกกรณท�เปนไปได จงสรปไดวา มจานวนนบบาง
จานวนเปนจานวนลบ
ผลสรปดงกลาว ....................................................
![Page 34: การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ · การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ 5 ตัวอย่าง](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022041211/5dd0c838d6be591ccb62ab7e/html5/thumbnails/34.jpg)
การใหเหตผลทางคณตศาสตร
33
(2) เหต (1) สตวเล �อยคลานบางชนดไมมขา
(2) ปลาบางชนดมขา
ผล สตวเล �อยคลานบางชนดไมใชปลา
วธทา ให A แทน เซตของสตวท�มขา
B แทน เซตของสตวเล �อยคลาน
C แทน เซตของปลา
จากการวาดแผนภาพตามเหตหรอสมมตฐานทกกรณท�เปนไปได จงสรปไดวาสตวเล �อยคลานบาง
ชนดไมใชปลา
ผลสรปดงกลาว ..................................................
หมายเหต ในกรณท�การใหเหตผลดงกลาวไมสมเหตสมผล เราไมจาเปนตองวาดแผนภาพแสดงใหดทก
กรณ ใหวาดเฉพาะกรณท�ผลสรปไมถกตองเพยงกรณเดยวกเพยงพอ
![Page 35: การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ · การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ 5 ตัวอย่าง](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022041211/5dd0c838d6be591ccb62ab7e/html5/thumbnails/35.jpg)
การใหเหตผลทางคณตศาสตร
34
ตวอยาง 4 จงตรวจสอบการใหเหตผลตอไปน �
เหต 1) นกเรยนท�เรยนเกงทกคนเปนนกเรยนท�ขยน
2) นกเรยนท�ขยนทกคนสอบผาน
3) ไมมนกเรยนท�เกเรคนไหนท�สอบผาน
4) นายแดงเปนนกเรยนเกเร
ผล 1) นายแดงสอบไมผาน
2) นายแดงไมเปนนกเรยนท�ขยน
3) นายแดงไมเปนนกเรยนท�เรยนเกง
วธทา ให A แทน เซตของนกเรยนท�เรยนเกง
B แทน เซตของนกเรยนท�ขยน
C แทน เซตของนกเรยนท�สอบผาน
D แทน เซตของนกเรยนท�เกเร
เหต 1) หมายถง ..........................................................................
เหต 2) หมายถง ..........................................................................
เหต 3) หมายถง ..........................................................................
เหต 4) หมายถง ..........................................................................
ดงน �น จากเหต 1) ถงเหต 4) จะไดแผนภาพ ดงน �
![Page 36: การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ · การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ 5 ตัวอย่าง](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022041211/5dd0c838d6be591ccb62ab7e/html5/thumbnails/36.jpg)
การใหเหตผลทางคณตศาสตร
35
แบบฝกหดท� 2
1. จงตรวจสอบวาผลสรปตอไปน � สมเหตสมผลหรอไม
1.1 เหต 1) กบทกตววายน �าได
2) สตวท�วายน �าได จะบนได
สรป กบทกตวบนได
1.2 เหต 1) จานวนนบทกจานวนเปนจานวนเตม
2) จานวนเตมทกจานวน เปนจานวนจรง
สรป จานวนนบทกจานวนเปนจานวนจรง
1.3 เหต 1) นกเรยนท�ต �งใจเรยนทกคนจะสอบได
2) นกเรยนท�ขยนทกคนจะสอบได
สรป มนกเรยนท�ขยนบางคนต�งใจเรยน
1.4 เหต 1) ไมมจานวนเฉพาะใดหารดวย 2 ลงตว
2) 5 หารดวย 2 ไมลงตว
สรป 5 เปนจานวนเฉพาะ
![Page 37: การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ · การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ 5 ตัวอย่าง](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022041211/5dd0c838d6be591ccb62ab7e/html5/thumbnails/37.jpg)
การใหเหตผลทางคณตศาสตร
36
1.5 เหต 1) นกเรยนท�ขยนทกคนเปนคนด
2) นกเรยนท�เรยนเกงบางคนเปนคนขยน
3) แดงเปนนกเรยนท�เรยนเกง
สรป แดงเปนคนด
1.6 เหต 1) คนท�ไมสบบหร�ทกคนมสขภาพด
2) นกเรยนชายบางคนสขภาพด
3) วนยเปนนกเรยนชาย
สรป วนยไมสบบหร�
1.7 เหต 1) ทกวนท�ฝนตก อากาศจะเยน
2) ทกวนท�อากาศเยน ฉนจะรสกไมสบาย
3) วนน �ฉนสบายด
สรป วนน �ฝนไมตก
![Page 38: การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ · การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ 5 ตัวอย่าง](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022041211/5dd0c838d6be591ccb62ab7e/html5/thumbnails/38.jpg)
การใหเหตผลทางคณตศาสตร
37
1.8 เหต 1) ถาฝนตกหนกแลวน �าจะทวม
2) ถาน �าทวมแลว การจราจรจะตดหนก
3) วนน �การจราจรคลองตวไมตดหนก
สรป 1) วนน �น �าไมทวม
2) วนน �ฝนไมตกหนก
1.9 เหต 1) สนขบางตวเปนสตวเล �ยงลกดวยนม
2) สตวเล �ยงลกดวยนมทกชนดจะออกลกเปนตว
3) เดนเปนสนขของฉน ซ�งเปนสนขตวเมย
สรป 1) สนขบางตวออกลกเปนตว
2) เดนเปนสตวเล �ยงลกดวยนม
3) เดนเปนสตวท�ออกลกเปนตว
![Page 39: การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ · การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ 5 ตัวอย่าง](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022041211/5dd0c838d6be591ccb62ab7e/html5/thumbnails/39.jpg)
การใหเหตผลทางคณตศาสตร
38
1.10 เหต 1) คนท�กตญ�ตอพอแมจะเปนคนท�เจรญ
2) มคนท�เจรญบางคนร�ารวย
3) นาย ก. เปนคนกตญ�
4) นาย ข. เปนคนท�เจรญและร�ารวย
สรป 1) นาย ก. เปนคนท�เจรญและร�ารวย
2) นาย ข. เปนคนกตญ�
1.11 เหต 1) จานวนคทกจานวนเปนจานวนเฉพาะ
2) จานวนเฉพาะทกจานวนเปนจานวนค�
3) จานวนค�บางจานวนเปนจานวนเตม
สรป 1) มจานวนเฉพาะบางจานวนเปนจานวนเตม
2) จานวนคทกจานวนเปนจานวนเตม
![Page 40: การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ · การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ 5 ตัวอย่าง](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022041211/5dd0c838d6be591ccb62ab7e/html5/thumbnails/40.jpg)
การใหเหตผลทางคณตศาสตร
39
1.12 เหต 1) มจานวนเตมบางจานวนไมเปนจานวนเฉพาะ
2) มจานวนเฉพาะบางจานวนไมเปนจานวนเตม
3) 5 เปนจานวนเตม
4) 2 เปนจานวนเฉพาะ
สรป 1) 5 เปนจานวนเฉพาะ
2) 2 เปนจานวนเตม
1.13 เหต 1) ถา a เปนจานวนนบแลว a เปนจานวนเตม
2) ถา a เปนจานวนเตมแลว a เปนจานวนตรรกยะ
3) ถา a เปนจานวนตรรกยะแลว a เปนจานวนจรง
4) b ไมเปนจานวนตรรกยะ
สรป 1) b ไมเปนจานวนนบ
2) b เปนจานวนจรง
3) b ไมเปนจานวนเตม
![Page 41: การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ · การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ 5 ตัวอย่าง](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022041211/5dd0c838d6be591ccb62ab7e/html5/thumbnails/41.jpg)
การใหเหตผลทางคณตศาสตร
40
2. จงหาตวอยางของผลท�สมเหตสมผลจากเหตท�กาหนดให
2.1 เหต 1) มปลาบางชนดท�วายน �าไมได
2) ปลาทกชนดเปนสตวกนได
ผล …………………………………………………………………….
2.2 เหต 1) นกทกชนดเปนสตวเลอดอน
2) มนกบางชนดอาศยอยในน �า
ผล …………………………………………………………………….
2.3 เหต 1) นกเรยนหญงทกคนเปนนกเรยนท�ต �งใจเรยน
2) ไมมนกเรยนหญงท�ต �งใจเรยนคนใดสอบตก
ผล …………………………………………………………………….
2.4 เหต 1) มปลาบางชนดท�วายน �าไมได
2) ปลาทกชนดเปนสตวกนได
ผล …………………………………………………………………….
2.5 เหต 1) นกเรยนทกคนตองประพฤตตวด
2) คนท�ประพฤตตวดจะไดผลตอบแทนท�ด
ผล …………………………………………………………………….
2.6 เหต 1) กระเปาบางชนดทาดวยหนงแท
2) หนงแทบางชนดราคาแพง
ผล …………………………………………………………………….
2.7 เหต 1) คนไทยทกคนประกอบอาชพสจรต
2) ไมมผประกอบอาชพสจรตคนใดถกลงโทษ
ผล …………………………………………………………………….
2.8 เหต 1) จานวนคบวกทกจานวนหารดวย 2 ลงตว
2) ไมมจานวนคบวกใดเลยเปนจานวนคลบ
ผล …………………………………………………………………….
![Page 42: การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ · การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ 5 ตัวอย่าง](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022041211/5dd0c838d6be591ccb62ab7e/html5/thumbnails/42.jpg)
การใหเหตผลทางคณตศาสตร
41
3. แมซ �อขนมเคกไวใหลก 3 คน แตมคนแอบกนไปกอน แมจงสอบถามลกๆ ท �งสามคน ดงน �
ไกด : ผมเปลากนนะครบ
กรณ : ผมไมไดกนนะครบแม
กลา : ผมเหนกรณเปนคนกนครบ
ถามเพยงคนเดยวเทาน �นท�พดความจรง ดงน �นใครแอบกนขนมเคก
1. ไกด 2. กรณ 3. กลา 4. ขอมลไม
เพยงพอ
4. บอย แบงค และ บม ท �งสามคนเปนเพ�อนกน มสตวเล �ยงเปน สนข นก และ กระตาย คนละชนด
ขอมลของสตวเล �ยงและเจาของมดงน �
กระตายว�งเลนกบเจาของมนเม�อวาน บอยใสเฝอกท�ขามา 2 เดอนแลว เจาของสนขไปข �มาทก
อาทตยโดยไปกบเพ�อนคนหน�งในสองคนน � และ สนขเคยกดแบงค เพราะไมคนเคยกน
พจารณาขอความตอไปน �
ก. บอยเล �ยงนก
ข. แบงคเล �ยงกระตาย
ค. บมเล �ยงสนข
ขอใดตอไปน �ถกตอง
1. เปนจรง 1 ขอความ 2. เปนจรง 2 ขอความ
3. เปนจรง 3 ขอความ 4. ไมมขอความใดเปนจรง
5. เอ บ และ ซ เปนพ�นองกน ทกเชากอนไปโรงเรยน แมจะใหด�มนมดวยกนทกวน ซ�งทกคนจะด�มนมหวาน
หรอจดเทาน �น และเถาชาหน�งๆ
ถา เอ ด�มนมรสหวาน แลว บ และ ซ จะด�มนมรสเดยวกน
ถา บ ด�มนมรสหวาน แลว เอ จะด�มนมคนละรสกบ ซ
ถา ซ ด�มนมรสหวาน แลว เอ จะด�มนมรสเดยวกบ บ
พจารณาขอความตอไปน �
ก. ถา ซ ด�มนมหวาน แลวเอและบด�มนมรสจด
ข. บด�มนมรสเดมทกคร �ง
ขอใดตอไปน �ถกตอง
1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ผด และ ข. ถก
3. ก. ถก และ ข. ผด 4. ก. ผด และ ข. ผด
![Page 43: การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ · การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ 5 ตัวอย่าง](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022041211/5dd0c838d6be591ccb62ab7e/html5/thumbnails/43.jpg)
การใหเหตผลทางคณตศาสตร
42
6. ในคดอบตเหตทางรถยนตชนคนตาย ตารวจจบผ ตองสงสยวาเปนคนขบรถมาได 4 คน
และตอไปน �คอคาใหการของแตละคนท�มตอเจาหนาท�สบสวน
นาย ก : นาย ข เปนคนขบ
นาย ข : นาย ง เปนคนขบ
นาย ค : ผมไมไดขบ
นาย ง : นาย ข พดโกหกท�บอกวาผมเปนคนขบรถ
สมมตวา มเพยงคนเดยวเทาน �นในท�น �ท�พดความจรง อยากทราบวาใครเปนคนขบรถ
1. นาย ก 2. นาย ข 3. นาย ค 4. นาย ง
7. ในงานรบนองของมหาวทยาลยแหงหน�ง นองใหมถกส�งใหไปสมภาษณรนพ�กลมหน�งซ�งมอย 5 คน และพ�
แตละคนพดจรงเสมอหรอพดเทจเสมอ เม�อจบการสมภาษณ นองใหมคนหน�งจงถามรนพ�วา
“ในกลมพ�มก�คนท�พดความจรง”
พ�คนท�หน�งตอบวา “ในกลมเราม 3 คนท�พดจรง”
พ�คนท�สองตอบวา “ใชเลย ในกลมเราม 3 คน พดจรง”
พ�คนท�สามตอบวา “ในกลมเรามเพยง 2 คนเทาน �นท�พดจรง”
พ�คนท�ส�สวนข �นทนทวา “ท �ง 3 คนน �นกาลงโกหก”
คาตอบของพ�คนท�หา ทาใหนองปหน�งคนน �ทราบคาตอบวามพ�ก�คนท�พดจรง ในบรรดารนพ�ท �งหาคน
มจานวนคนท�พดจรงก�คน (AMT: 2549)
1. 0 คน 2. 1 คน 3. 2 คน 4. 3 คน
8 ในบรรดาเพ�อน 5 คน มอย 2 คนท�เปนครกกน ซ�ง 2 คนน �จะพดโกหกเสมอเพ�อปดบงความจรง สวนท�
เหลอจะพดจรงเสมอ ถามบทสนทนาดงน �
นก : กงรกหม
ปลา : น �าเปนหน�งในครก
น �า : ปลารกเรา
หม : นกโกหก
กง : เราไมไดเปนหน�งในครก
ใครเปนครกกน
1. น �ากบปลา 2. น �ากบนก 3. หมกบกง 4. ปลากบกง
![Page 44: การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ · การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ 5 ตัวอย่าง](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022041211/5dd0c838d6be591ccb62ab7e/html5/thumbnails/44.jpg)
การใหเหตผลทางคณตศาสตร
43
9. นาย A , B , C , D และ F ยนเขาแถวหนากระดาน โดยมเง�อนไขดงน �
A อยระหวาง C และ F
D อยตดกบ A และ B
ถา C ยนหวแถว A จะอยทายแถว
ถา F ยนอยหนา D แลว D จะยนอยหนา B
ใครยนอยหวแถว
1. A 2. B 3. C 4. F
10. นายชดแจงไดทราบขอมลของคน 5 คน คอ A, B, C, D และ E ดงน �
A บอกวา “C และ D พดโกหก”
B บอกวา “A และ C พดเปนคนพดจรง”
C บอกวา “D พดโกหก”
D บอกวา “E พดโกหก”
E บอกวา “B พดโกหก”
จากขอมลดงกลาวทานจะชวยชดแจงคนหาวาใครบางท�เปนคนพดจรงและใครบางท�เปนคนพดเทจ
1. A, B, D พดเทจ C และ E พดจรง
2. B และ D พดเทจ A และ C พดจรง
3. A, B, C พดเทจ D และ E พดจรง
4. B และ E พดเทจ A และ C พดจรง
11. นาย ก, ข, ค, ง, จ และ ฉ น�งเกาอ � 6 ตวท�มหมายเลข 1 ถง 6 เรยงแถวหนากระดานจากซายไปขวา
โดยมเง�อนไขดงตอไปน �
นาย ค น�งเกาอ �หมายเลข 1 หรอ 6
นาย จ ไมน�งตดกบนาย ค
นาย จ ไมน�งตดกบนาย ข
นาย ฉ น�งตดทางซายของนาย จ
ถานาย ค น�งเกาอ �หมายเลข 1 และนาย ข น�งเกาอ �หมายเลข 5 แลวขอใดตอไปน �เปนจรง
1. นาย ก น�งเกาอ �หมายเลข 4
2. นาย ก น�งเกาอ �หมายเลข 6
3. นาย ฉ น�งเกาอ �หมายเลข 2
4. นาย ง น�งเกาอ �หมายเลข 6
![Page 45: การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ · การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ 5 ตัวอย่าง](https://reader030.vdocuments.us/reader030/viewer/2022041211/5dd0c838d6be591ccb62ab7e/html5/thumbnails/45.jpg)
การใหเหตผลทางคณตศาสตร
44
จงใชขอมลน �ตอบคาถามขอ 12 – 15
ถาโคนนหยบไพมาหน�งดอก(13 ใบ) นามาสลบไปมา จากน �น เขาหยบไพแบบสมออกไปจากกอง 2 ใบ
แลวนาไพท�เหลอท �ง 11 ใบ มาวางเรยงกนเปนแบบเสนตรงอยางสม
กาหนดคาของไพ A = 1, J = 11, Q = 12, K = 13 สวนใบอ�นๆมคาตามหมายเลขของไพใบน �น
พบวา คาเฉล�ยของไพท �ง 11 ใบท�มอย คอ 6 และเม�อโคนนดไพท�ตนวางเรยง(ตาแหนงท� 1 คอซายมอสด) แลว
พบวา
ไพตาแหนงท�สบมากกวาตาแหนงท�เกาอย 7 แตนอยกวาตาแหนงท� 11 อย 2
ไพตาแหนงท� 2 บวกกบไพตาแหนงท� 3 เทากบไพตาแหนงท� 4
เลขท�อยทางซายมอของไพหมายเลข 6 มคามากกวา 6 แตไมใช 8 และไพท�อยตดทางขวามอ
มคานอยกวาไพเลข 6
ไพตวอกษรอยรมสดท �งทางซายและขวา
ไพเลข 5 อยทางขวามอของไพ A
ไพเลข 10 อยทางขวามอของไพเลข 4
12. ผลตางของไพท�ถกหยบออกไป แบบสมสองใบแรก มคาเทาใด
1. 1 2. 2 3. 3 4. 4
13. ไพท�อยทางซายมอ ของไพเลข 6 คอไพอะไร
1. 7 2. 8 3. 9 4. Q
14. ผลบวกของไพสามใบแรกจากซายมอสด มคาเทาใด
1. 9 2. 11 3. 15 4. 17
15. ไพท�อยตรงกลางสดคอไพอะไร
1. 4 2. 6 3. 8 4. 10
16. ครอบครวหน�งมพ�นองท �งหมด 5 คน ช�อ หน�ง สอง สาม ส� และ หา
ท �งหาคนไดกนขนมท�แมเตรยมไวรบแขก โดยมคนท�กนเคกสม 2 คนและกนเคกชอกโกแลต 2 คน สวน
อกคนกนคกก � โดยคนท�กนเคกสมสองคนเปนคนท�พดจรงเสมอ สวนคนท�กนชอกโกแลตสองคนเปนคนท�
พดเทจเสมอ สวนอกคนท�กนคกก �เปนคนพดจรงหรอเทจกได
หลงจากแมถามวาใครกนอะไรไป ขอความตอไปน �เปนขอความท�ลกๆ 5 คนพดไว
หน�ง พดวา “หากนเคกชอกโกแลต และ ส�พดจรง”
สอง พดวา “ฉนกนคกก � และสามกนเคกสม”
สาม พดวา “ส�กนคกก � หรอ หน�งกนคกก � หรอ หาพดจรง”
ส� พดวา “สามพดจรง หรอ หากนเคกสม”
หา พดวา “หน�งพดเทจ หรอ สามพดจรง หรอ สองพดเทจ”
จงหาวาใครกนขนมอะไร