การพสจนทางคณตศาสตร

6.1 วธการพสจนทางคณตศาสตร

การแสดงการพสจนขอความทางคณตศาสตรเปนการใหเหตผลทประจกษโดยปราศจากการโตแยง

เพอแสดงวาขอความหรอทฤษฎนนเปนจรง

การพสจน ต งอยบนสมมตฐาน (premise/hypothesis/assumption ) สจพจน(axiom) บทนยาม

(definition) ซงลวนเปนประพจนทไดรบการยอมรบหรออนมาน ( inference) ไดวาเปนจรง

กระบวนการพสจนมรปแบบการน าไปสขอสรปหรอผล ซงมเหตมาจาก สมมตฐานหรอเหตผาน

หลกการอนมาน (rule of intference)

ชนดของการพสจน ขอความ “p implies q”

Type of Proof How to show

Direct Proof of p implies q Assume p is true. Derive a chain of implications which ends with q.

Assume p Want to show q Proof …

Indirect(Contrapositive) Proof of p implies q

Prove q implies p with direct proof

Assume q

Want to show p Proof ….

Proof by Contradiction of p implies q

Do a direct proof of (pq) implies false, that is, implies contradiction.

Assume p q Want to show contradiction Proof …

6.1.1 Direct Proofs

ตวอยาง

ส าหรบจ านวนจรงใดๆ ถา x 0 แลว x 1

วธท า ให x เปนจ านวนจรงใดๆ และ x 0

เพราะวา 0 1

ดงน น x 0 1

ฉะนนสรปไดวา ขอความ “ ส าหรบจ านวนจรงใดๆ ถา x 0 แลว x 1 “ เปนจรง

ตวอยาง ส าหรบจ านวนจรงใดๆ ถา x 0 แลว x x(x-1)

วธท า ให x เปนจ านวนจรงใดๆ และ x 0

เพราะวา x 0

จะไดวา x 1 0

ดงน น x (x-1) 0

นนคอ x 0 x (x-1)

ฉะนนสรปไดวา ขอความ “ส าหรบจ านวนจรงใดๆ ถา x 0 แลว x x(x-1)” เปนจรง

6.1.2 Indirect Proofs

ตวอยาง

ส าหรบจ านวนจรงใดๆ ถา x 0 แลว x 1

วธท า ให x เปนจ านวนจรงใดๆ และ x ≥ 1

เนองดวย 0 1

นนคอ 0 1 x

ฉะนนสรปไดวา ขอความ “ ส าหรบจ านวนจรงใดๆ ถา x 0 แลว x 1 “ เปนจรง

ตวอยาง

ส าหรบจ านวนจรงใดๆ ถา x 0 แลว x x(x-1)

วธท า ให x เปนจ านวนจรงใดๆ และ x ≥ x(x-1)

จะได x ≥ x2-x

2x ≥ x2 ≥ 0

นนคอ x ≥ x2 /2 ≥ 0

ฉะนนสรปไดวา ขอความ “ส าหรบจ านวนจรงใดๆ ถา x 0 แลว x x(x-1)” เปนจรง

6.1.3 Contradiction Proofs

ตวอยาง

ส าหรบจ านวนจรงใดๆ ถา x 0 แลว x 1

วธท า ให x เปนจ านวนจรงใดๆ

x 0 และ x ≥ 1

เพราะวา x 0

ดงน น x 0 1

นนคอ x 1 และ x ≥ 1 เกดการขดแยง

ฉะนนสรปไดวา ขอความ “ ส าหรบจ านวนจรงใดๆ ถา x 0 แลว x 1 “ เปนจรง

ตวอยาง ส าหรบจ านวนจรงใดๆ ถา x 0 แลว x x (x-1)

วธท า ให x เปนจ านวนจรงใดๆ

x 0 และ x ≥ x(x-1)

เนองจาก x 0

ดงน น x – 1 0

x ( x – 1) 0

เพราะวา x ≥ x (x-1)

นนคอ x ≥ x (x-1) 0

ฉะนน x 0 เกดการขดแยงกบ x 0

ฉะนนสรปไดวา ขอความ “ส าหรบจ านวนจรงใดๆ ถา x 0 แลว x x(x-1)” เปนจรง

6.2 ล าดบ และ อนกรม

ล าดบ ประกอบขนเปนเซตทมสมาชกทไดรบการจดเรยง ล าดบเปนฟงกชนทมโดเมนทเปนสบ

เซตของจ านวนเตม ( Z )ไปยงเซตเรนจ S

an แทนสมาชกในล าดบท n ขณะท { an } แทนเซตของล าดบซงประกอบดวยสมาชกทงหมด

ของล าดบนน

หมายเหต ล าดบเรมตนท 1

ตวอยาง

an = 3n

{ an } = { a1 = 3, a2 = 6, a3 = 9, a4 = 12, …} เปน Arithmetic Sequence

an = 2n

{ an } = { a1 = 2, a2 = 4, a3 = 8, a4 = 16, …} เปน Geometric Sequence

an = n2

{ an } = {12,22,32,42,52,…}

ล าดบเลขคณต (Arithmetic Sequence ) คอ ล าดบทมผลตางระหวาง 2 พจนใดๆทตดกนเปน

จ านวนคงท d {a, a+d , a+2d , a+3d, …}

ล าดบเรขาคณต (Geometric Sequence) คอ ล าดบทมสดสวนระหวาง 2 พจนใดๆทตดกนเปน

จ านวนคงท {a, ar , ar2, ar3, …}

ล าดบ Fibonacci Sequence คอ ล าดบทมคาเทากบผลบวกของ 2 พจนกอนหนา

an = an-1+ an-2 {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …}

อนกรม คอ ผลรวมของล าดบ ต งแตพจนท m ถง พจนท n

n

mjj

an2m1mm a+ … +aa+ a

เมอเขยนเปนสวนหนงของโปรแกรมไดดงน

int sum = 0;

for (j = m; j n; j++)

sum = sum + a[j];

ตวอยาง

5

1

4

0

)1(j j

jj

5

1

/1j

j

กฎการคณและการบวกทประยกตใชกบอนกรม

n

j

n

j

cjjc1 1

n

k

knn

k

knn

k

kn

j

jn

j

j araararararararr0

1

1

11

10

1

0

Telescoping Sum

n

j

jj aa1

1)(

ตวอยาง

จงหา

4

1

22 ))1((k

kk

4

1

22 ))1((k

kk

ตวอยาง

จงหา

4

1

3

1i j

ij

4

1

3

1i j

ij

ผลเฉลยรปแบบปดของอนกรม (Closed Form Solutions) หมายถงการหาค าตอบของปญหา

โดยสงผานตวแปรใดหนงเพอหาค าตอบของฟงกชนและไดค าตอบของปญหาในทนท โดยไม

จ าเปนตองด าเนนการตามขนตอนตงแตตนจนกระทงสนสด

ตวอยาง จงหา ผลเฉลยรปแบบปดของอนกรม

n

k

kk1

22 ))1((

n

k

kk1

22 ))1((

ดงน น ผลเฉลยรปแบบปดของอนกรม 2

1

22 ))1(( nkkn

k

นนคอ เมอ n = 4 ค าตอบอง

4

1

22 ))1((k

kk

หมายเหต ผลเฉลยรปแบบปดของอนกรมทควรทราบ

6.3 อปนยเชงคณตศาสตร

อปนยเชงคณตศาสตร (Mathematical Induction)

ให P(n) แทน ขอความทเกยวของกบจ านวนนบ n m เมอ m

การพสจนวา P(n) เปนจรง ทกจ านวนนบ n m ตองแสดง 2 ขนตอนดงน

ขนพนฐาน (Basic Step) แสดงใหไดวา P(m) เปนจรง

ขนอปนย (Inductive Step) ให k ซง km สมมต P(k) เปนจรง แสดงใหไดวา P(k 1) เปน

จรง

ตวอยาง

จงพสจนขอความ

1+3+5+...+(2n-1)=n2

วธท า

ให P(n) แทนขอความ 1+3+5+...+(2n-1)=n2

ขนพนฐาน n = 1 ( 2(1)-1) = 12

ดงน น P(1) เปนจรง

ขนอปนย ให k โดยท k 1 สมมตให P(k) เปนจรง

จะได 1+3+5+...+(2k-1)=k2

1+3+5+...+(2k-1)+(2(k+1)-1)=k2+(2(k+1)-1)

1+3+5+...+(2k-1)+(2k+1) = k2+2k+1 = (k+1)2

ดงน น P(k+1) เปนจรง

ตวอยาง

จงพสจนขอความ

n2 > 3n เมอ n 4

วธท า

ให P(n) แทนขอความ n2 > 3n เมอ n 4

ขนพนฐาน n = 4 42 > 3(4)

ดงน น P(4) เปนจรง

ขนอปนย ให k โดยท k 4 สมมตให P(k) เปนจรง

จะได k2 > 3k

(k+1)2 = k2+2k+1 3k+2k +1 3K + 2(4)+1 3k+3 = 3(K+1)

ดงน น P(k+1) เปนจรง

ตวอยาง

จงพสจนขอความ

1)1(

1...

43

1

32

1

21

1

n

n

nn ทก n

วธท า

ให P(n) แทนขอความ

ขนพนฐาน

ดงนน

ขนอปนย จะได

ดงนน

ตวอยาง

จงพสจนขอความ

2n n2 เมอ n 4

วธท า

ให P(n) แทนขอความ 2 n n2 ส าหรบ n 4

ขนพนฐาน n = 4 24 42

ดงน น P(4) เปนจรง

ขนอปนย ให k โดยท k 4 สมมตให P(k) เปนจรง

จะได 2k k2

เพราะวา 2k+1 = 2 2k 2 k2 = k2+kk k2+4k k2+2k +1 = (k+1)2

ดงน น P(k+1) เปนจรง

ตวอยาง

จงพสจนขอความ

3n n! ส าหรบทกจ านวนนบ n 6

วธท า

ให P(n) แทนขอความ 3n n! ส าหรบทกจ านนนบ n 6

ขนพนฐาน n = 7 37 = 2187 7! = 5040

ดงนน P(7) เปนจรง

ขนอปนย ให k โดยท k 7 สมมตให P(k) เปนจรง

จะได 3k k!

3(k+1) = 3 3k 3 k! (k+1)k! = (k+1)!

ดงน น P(k+1) เปนจรง

ตวอยาง

จงพสจนขอความ 2 | (n+1)(n+4) ส าหรบทกจ านวนนบ n

วธท า

ให P(n) แทนขอความ 2 (n+1)(n+4) ส าหรบทกจ านวนนบ n

ขนพนฐาน n = 1 2 (1+1)(1+4)

2 10

ดงน น P(1) เปนจรง

ขนอปนย ให k โดยท k 1 สมมตให P(k) เปนจรง

จะได 2 (k+1)(k+4) = k2+5k+4

2 (k+1)(k+4) + 2(k+3) = k 2 + 5k + 4+ 2k + 6 = k 2 + 7k + 10 = (k+2)(k+5)

= ((k+1)+1)((k+1)+4)

ดงน น P(k+1) เปนจรง

ตวอยาง

จงพสจนขอความ 11 [8(102n) + 6(102n-1) +9 ] ส าหรบทกจ านวนนบ n

วธท า

ให P(n) แทนขอความ 11 [8(102n) + 6(102n-1) +9 ] ส าหรบทกจ านวนนบ n

ขนพนฐาน n = 1 11 [8(102(1)) + 6(102(1)-1) +9 ]

11 869

ดงน น P(1) เปนจรง

ขนอปนย ให k โดยท k 1 สมมตให P(k) เปนจรง

จะได 11 [8(102k) + 6(102k-1) +9 ]

นนหมายความวา จะม m ซง [8(102k) + 6(102k-1) +9 ] = 11(m)

[8(102(k+1)) + 6(102(k+1)-1) +9 ] = 8(102102k) + 6 (102k 10) + 9

= 102[8102k + 6102k-1+9] – 891

= 102(11m) -8111

= 11[102 m - 81]

เพราะวา 102 m – 81

นนคอ 11 [8(102(k+1)) + 6(102(k+1)-1) +9 ]

ดงน น P(k+1) เปนจรง

หมายเหต การพสจนอปนยเชงคณตศาสตรขางตน เปน Weak Induction คอพจารณาเงอนไข

เบองตนและพสจนสมมตฐานอปนย P(k) P(k+1)

ส าหรบ Strong Induction จะพสจนวาชวงปดของคาในเงอนไขเรมตนจนถงคา k มสมมตฐาน

อปนยเปนจรงทกคานนคอ k ( P(r) เปนจรงส าหรบคา r ทกตว และ (1 r k ) P(k+1)

หรอ (P(1) P(2) … P(k)) P(k+1)

ตวอยาง

จงพสจนขอความ ส าหรบจ านวนนบ n ≥ 2 มจ านวนเฉพาะทหาร n ลงตว

วธท า

ให P(n) แทนขอความ มจ านวนเฉพาะทหาร n ลงตว ส าหรบจ านวนนบ n ≥ 2

ขนพนฐาน n = 2 และเลอก จ านวนเฉพาะ 2 ซง 2 หาร 2 ลงตว

ดงน น P(2) เปนจรง

ขนอปนย ส าหรบทกจ านวนนบ k ≥ 2 P(k) เปนจรง

นนคอ ทกจ านวนนบ r (2 ≤ r ≤ k) P(2) P(3) P(k) เปนจรง

มจ านวนเฉพาะทหาร 2 ลงตว

มจ านวนเฉพาะทหาร 3 ลงตว

มจ านวนเฉพาะทหาร 4 ลงตว

มจ านวนเฉพาะทหาร 5 ลงตว

มจ านวนเฉพาะทหาร k ลงตว

พจารณา จ านวนนบ k+1

หาก จ านวนนบ k+1 เปนจ านวนเฉพาะ ดงนน มจ านวนเฉพาะทหาร k+1 หาร ลงตว

หาก จ านวนนบ k+1 เปนจ านวนประกอบ k+1 = pq โดยท (2 ≤ p, q ≤ k) จาก P(2) P(3) P(k) เปนจรง

นนคอ มจ านวนเฉพาะทหาร p ลงตว และ มจ านวนเฉพาะทหาร q ลงตว

จงสรปไดวา มจ านวนเฉพาะทหาร k+1 หาร ลงตว

ดงน น P(k+1) เปนจรง

ตวอยาง

จงพสจนขอความ ak = ak-1 + ak-2 + ak-3 ส าหรบทกจ านวนนบ k 3 แลว an 2n ส าหรบทก

n 0 เมอก าหนด a0 = 1, a1 = 2, a2 = 3

วธท า

ให P(n) แทนขอความ ak = ak-1 + ak-2 + ak-3 ส าหรบทกจ านวนนบ k 3 แลว an 2n ส าหรบทก

n 0

ขนพนฐาน n = 3 a3 = a3-1 + a3-2 + a3-3 = 3+2+1 = 6 20+ 21+ 22 = 1+2+4 = 7

a0 = 1 20

a1 = 2 21

a2 = 3 22

ดงน น P(3) เปนจรง

ขนอปนย ส าหรบทกจ านวนนบ k ≥ 3 P(k) เปนจรง

นนคอ ทกจ านวนนบ r (3 ≤ r ≤ k) P(3) P(4) P(k) เปนจรง

a3 20+ 21+ 22

a4 20+ 21+ 22+ 23

ak+1 ≤ 20+ 21+ 22+ 23 + + 2k = 2 k+1-1 ≤ 2 k+1

ดงน น P(k+1) เปนจรง

6.4 การเวยนบงเกด

การเวยนบงเกด เปนกระบวนการเรยกตนเองเพอบงเกดผลลพธใดหนง เนองดวยบางครงการนยาม

สงใดสงหนงเปนเรองยาก จงใชกระบวนการเวยนบงเกดเพอนยามสงนน

ตวอยาง

ล าดบ 1, 2, 4, 8, 16, 32, …

การนยาม ความสมพนธเวยนเกด เพอนยามล าดบขางตน

A1 = 1 และ An+1 = 2An

นนคอ

A2 = 2(1) = 2

A3 = 2(2) = 4

A4 = 2(4) = 8

…

หากล าดบไดรบการนยามในรปความสมพนธเวยนเกด สามารถพสจนขอความทนยามโดยใชหลก

อปนยทางคณตศาสตร

ก าหนดให P(k) แทนประพจน ล าดบท ak

ขนพนฐาน

แสดงวา P(1) เปนจรง

ขนอปนย

แสดงวา k 1 (P(k) P(k+1))

ตวอยาง

ก าหนดความสมพนธเวยนเกด

f(0) = 3

f(n+1) = 2f(n) + 2 ส าหรบ n 0

จงหา f(1), f(2) และ f(3)

วธท า

f(1) = 2f(0) + 2 = 2(3) + 2 = 8

f(2) = 2f(1) +2 = 2(8) + 2 = 18

f(3) = 2f(2) + 2 = 2(18) +2 = 38

ตวอยาง

จงนยามความสมพนธเวยนเกด ของ factorial function F(n) = n!

วธท า

ขนพนฐาน F(0) = 0! = 1

ขนอปนย F(n+1) = (n+1)F(n)

F(5) = 5F(4)

= 5 4 F(3)

= 5 4 3 F(2)

= 5 4 3 2 F(1)

= 5 4 3 2 1 F(0) = 5 4 3 2 1 1 = 120

การนยามฟงกชนเวยนเกด ส าหรบทกจ านวนเตมบวกใดๆ คาของฟงกชนเวยนเกดจะตอง well-

defined (ใหคาถกตองชดเจน)

ตวอยาง

จงนยามฟงกชนเวยนเกด ของ an เมอ a แทน จ านวนจรงใดๆ และ a 0 และ n แทน จ านวนเตม

ใดๆทมากกวา หรอเทากบ 0

วธท า

ขนพนฐาน F(0) = a0 = 1

ขนอปนย F(n+1) = a F(n) = a an

ตวอยาง จงนยามฟงกชนเวยนเกด ของ

n

k

ka0

วธท า

ขนพนฐาน F(0) == a0

ขนอปนย F(n+1) = an+1 + F(n) = an+1 +

ตวอยาง ก าหนดฟงกชนเวยนเกด

f(0) = 2 f(1) = 3

f(n+2) = 2f(n) + f(n+1) +5 n 0

จงหา f(2) , f(3) และ f(4)

วธท า f(2) = 2f(0) + f(1) +5 = 2X2 + 3 + 5 = 12

f(3) = 2f(1) + f(2) + 5 = 2X3 + 12 +5 = 23

f(4) = 2f(2) + f(3) + 5 = 2X12 + 23 + 5 = 52

ตวอยาง

จ านวน Fibonacci Number คอ จ านวนทไดรบการก าหนด ดงน

F(0) = 0

F(1) = 1

F(n) = F(n-1) + F(n-2) ส าหรบ n = 2,3,4,…

จงหา F(4)

วธท า

F(4) = F(3) + F(2) = 2 +1 = 3

F(3) = F(2) +F(1) = 1+1 = 2

F(2) = F(1) + F(0) = 1+0 = 1

การนยามฟงกชนเวยนเกดเพอนยามเซต

สมมตให S แทนเซต

ขนพนฐาน

ก าหนดสมาชกเรมตน

ขนอปนย

ก าหนดกฎในการไดมาซงสมาชกตวถดไป

ตวอยาง

จงนยามฟงกชนกอก าเนดของสบเซต S

วธท า

ขนพนฐาน

3 S

ขนอปนย

ถา x S และ y S แลว x+y S

ดงนน

3 S

3+3 = 6 S

3+6 = 9 S

6+6 = 12 S

...

S = {3, 6, 9, 12, …}

ตวอยาง

จงใช Mathematical Induction เพอแสดงวา เซต S = { x | x = 3n เมอ n }

วธท า

ขนพนฐาน

ก าหนด P(n) แทน ประพจน P(n) = 3n S ส าหรบ n

P(1) = 3(1) = 3 S

ดงน น P(1) เปนจรง

ขนอปนย

ส าหรบ k และ k 1 ก าหนดให P(k) เปนจรง

นนคอ P(k) = 3k

P(k) + 3 = 3k + 3

P(k+1) = 3(k+1)

ดงนน P(k+1) เปนจรง

การนยามฟงกชนกอก าเนดของเซตของ string

ขนพนฐาน

* ( หมายถง string ทไมม symbol ใดๆ)

ขนอปนย

ถา w * และ x แลว wx

ตวอยาง

= {0, 1} และ *

วธท า

0 = 0 *

1 = 1 *

01 *

11 *

010*

110 *

…

การหาผลเฉลยของความสมพนธเวยนเกด

การหาผลเฉลยของความสมพนธเวยนเกด ม 2 วธ

1. การท าซ า

ตวอยาง

จงหาผลเฉลยของความสมพนธเวยนเกด {Sn} เมอ

Sn = 2Sn-1 เมอ n 1 และ S0 = 1

วธท า

Sn = 2Sn-1

= 2(2Sn-2) = 22Sn-2

= 22 (2 Sn-3) = 23Sn-3

= 23 (2Sn-4) = 24 Sn-4

= …

= 2n-2(2Sn-(n-1)) = 2n-1S1

= 2n-1(2S0) = 2n

ตวอยาง

จงหาผลเฉลยของความสมพนธเวยนเกด {Hn} เมอ

เมอก าหนด Hn = 2Hn-1 + 1 เมอ H1 = 1

วธท า

Hn = 2Hn-1 + 1

= 2(2 Hn-2+1) + 1 = 22 Hn-2 + 2 + 1

= 22 (2 Hn-3 + 1 )+ 2 + 1 = 23 Hn-3 + 23 + 2 + 1

= 23 (2 Hn-4 +1) + 23 + 2 + 1 = 24 Hn-4 + 23 + 2 + 1

…

= 2n-1 Hn-(n-1) + 2n-2 + 2n-3 +…+ 2 + 1

= 2n-1 (1) + 2n-2 + 2n-3 +…+ 2 + 1

= 2n - 1

2. การหาผลเฉลยของความสมพนธเวยนเกดเอกพนธเชงเสน

นยาม ความสมพนธเวยนเกดเอกพนธเอกพนธเชงเสนทมสมประสทธคาคงตว คอ

ความสมพนธเวยนเกด ในรป

an = c1an-1 + c2an-2 + … + ckan-k เมอ c1, c2, …, ck เปนคาคงตว ck 0

ทฤษฎบทท 1 ให c1, c2 เปนจ านวนจรง ถา r2 –c1r- c2 มผลเฉลยทแตกตางกน r1 , r2 ตามล าดบ

{bn} จะเปนผลเฉลย ของความสมพนธเวยนเกด an = c1an-1 + c2an-2 กตอเมอ bn = d1r1n+ d2r2

n

ทก n โดยท d1 , d2 เปนคาคงท

ทฤษฏบทท 2 ให c1, c2 เปนจ านวนจรง ถา r2 –c1r- c2 มผลเฉลยเพยงคาเดยว r0 , r0 ตามล าดบ

{bn} จะเปนผลเฉลย ของความสมพนธเวยนเกด an = c1an-1 + c2an-2 กตอเมอ bn = d1r0n+ d2nr0

n

ทก n โดยท d1 , d2 เปนคาคงท

ทฤษฎบทท 3 ให c1, c2 ,…,ck เปนจ านวนจรง ถา rk –c1r

k-1 –c2rk-2- … - ck มผลเฉลยทแตกตาง

กนหมด k ผลเฉลย r1 , r2, …, rk ตามล าดบ {bn} จะเปนผลเฉลย ของความสมพนธเวยนเกด

an = c1an-1 + c2an-2 + … + ckan-k กตอเมอ bn = d1r1n+ d2r2

n+…+ dkrkn ทก n โดยท d1 , d2,

…,, dk เปนคาคงท

ตวอยาง

จงหาผลเฉลยของความสมพนธเวยนเกด

an = 2an-1 –an-2 ส าหรบทก n > 1 และ a0 = 0 a1= 3

วธท า จาก ทฤษฎบทท 1 c1 = 2 และ c2 = -1

ผลเฉลยของ r2 –c1r- c2 = r2 –2r +1 มคาเปน r0 = 1

an = c1an-1 + c2an-2 bn = d1r0n+ d2nr0

n

bn = d11n+ d2n1n

= d1+ nd2

a0= d1+ (0)d2 = 0

a1= d1+ (1)d2 = 3

ดงน น d1 = 0 และ d2= 3

นนคอ bn = d1+ nd2 = 0+ 3n = 3n

ตวอยาง

จงหาผลเฉลยของความสมพนธเวยนเกด

an = an-1+2an-2 เมอ a0 = 2 a1= 7

วธท า ผลเฉลยของ r2 –c1r- c2 = r2 –r - 2 มคาเปน r1 =2 และ r2 = -1

an = c1an-1 + c2an-2 bn = d1r1n+ d2r2

n

= d12n+ d2(-1)n

a0= d120+ d2(-1)0 = d1+ d2 = 2

a1= d121+ d2(-1)1 = 2d1 - d2 = 7

ดงน น d1 = 3 และ d2= -1

นนคอ bn = 3.2n-1(-1)n

ตวอยาง

จงหาผลเฉลยของความสมพนธเวยนเกด

an = 6an-1- 9an-2 เมอ a0 = 1 a1= 6

วธท า ผลเฉลยของ r2 –c1r- c2 = r2 –6 r +9 มคาเปน r0 =3 และ r0 = 3

an = c1an-1 + c2an-2 bn = d1r0n+ d2nr0

n

= d13n+ d2n3n

a0= d130+ d2(0)30 = d1 + 0 = 1

a1= d131+ d2(1)31 = (1)31+ d2(1)31 = 6

ดงน น d1 = 1 และ d2 = 1

นนคอ bn = 3n+ n3n

ตวอยาง

จงหาผลเฉลยของความสมพนธเวยนเกด

an = 6an-1- 11an-2 +6an-3 เมอ a0 = 2 a1= 5 a3= 15

วธท า ผลเฉลยของ r3 –c1r2- c2 r - c3 = r3 –6r2+11 r- 6 มคาเปน r1 =1 r2 = 2 และ r3= 3

an = c1an-1 + c2an-2 + c3an-3 bn = d1r1n+ d2r2

n + d3r3n

= d11n+ d22n + d33

n

a0 = d110+ d220 + d33

0 = d1+ d2 + d3 = 2

a1 = d111+ d22

1 + d331 = d1+ 2d2 + 3d3 = 5

a2 = d112+ d22

2 + d332 = d1+ 4d2 +9 d3 = 15

ดงน น d1 = 1, d2 = -1 และ d3 = 2

นนคอ bn = 1n+ (-1).2n + 2.3n = 1- 2n + 2.3n

อลกอลทมเวยนเกด

พจารณาสวนของโปรแกรมตอไปน

int x(int n)

{ int m = 0;

n = n + m +1;

return n;}

และสวนของโปรแกรม

int x(int n)

{ int m = 1;

n = x(n);

return m+n;}

ฟงกชนทเรยกใชตวเองถกเรยนวาฟงกชนเวยนบงเกด ซงจะพบการเรยกใชตวเองภายในฟงกชน

void test (int n) { If (n > 0) { System.out.println(n); test(n-1); System.out.println(n); } }

จงหา ผลลพธ ของค าสง test(4) และ test(-4)

หมายเหต ฟงกชนเวยนเกดเปนฟงกชนทเรยกใชตวเอง จงจ าเปนตองปองการการเกดลปไมรจบโดย

การก าหนดคาคนหนงคาเพอมใหเรยกใชตวเองซ า

เปรยบเทยบการท างานระหวาง Iterative Method และRecursive Method

Iterative Method

และ Recursive Method

จงหาคา fact(4) จากทงสองขนตอนวธ

การแกปญหาใดปญหาหนงสามารถท าไดหลายวธ ดงตวอยางขางตน ทสามารถแกปญหาไดท ง

iterative method และ recursive method โดยมากวธการ recursiveจะหาผลลพธไดงายแตใช

เวลานานในการแกปญหาเดยวกนเมอเทยบกบวธ iterative method

การออกแบบขนตอนวธแกปญหาแบบเวยนเกด

การแกปญหาเวยนเกด ใชหลกการแบงแยกปญหาเปนป ญหาทยอยลงในตละขนแลวท าการหา

ค าตอบปญหายอยทมขนาดใหญขนเปนล าดบ หลกการนรจกในชอ “Divide and Conquer” โดย

หลกการออกแบบตองหาค าตอบตอไปน

1. ตองลดขนาดของปญหาลงอยางไรใหคงลกษณะปญหาเดมไว

2. การเรยกใชงานแตละครงขนาดของปญหาลดลงหรอไม

3. คาคนของปญหาคอคาใด

4. ปญหาจะสนสดทกครงเมอถง base case หรอไม