บทที่ 4 · 2012. 7. 23. · 4-1 บทที่ 4...
TRANSCRIPT
4-1
บทที่ 4 กฎและทฤษฎีบทวงจร (Circuit Laws and Theorems)
ในบทที่แลวเราไดศึกษาวิธีการวิเคราะหวงจรสองวิธีหลักมาแลว ในบทนี้จะกลาวถึงกฎและทฤษฎีบทตางๆ ท่ีชวยในการทําใหวงจรที่ซับซอนลดรูปเปนวงจรที่งายขึ้น สงผลทําใหการวิเคราะหวงจรทําไดงายขึ้นดวย ในบทน้ีจะกลาวถึงกฎและทฤษฎีวงจรไฟฟา 4 หัวขอดังนี้
- การแปลงแหลงจาย (Source Transformation) - ทฤษฎีซุปเปอรโพสิชัน (Superposition Theorem) - ทฤษฎีวงจรสมมูลของเทวินินและนอรตัน (Thevevin & Norton Theorem) - การสงผานกําลังสูงสุด (Maximum Power Transfer)
4.1 การแปลงแหลงจาย (Source Transformation) ในบทที่ผานมาการวิเคราะหวงจรไฟฟาแบบเมชจะทําไดงายหากแหลงจายทั้งหมดคือแหลงจายแรงดัน ในทํานองเดียวกันสําหรับการวิเคราะหวงจรแบบโนด จะทําไดงายหากแหลงจายท้ังหมดเปนแหลงจายกระแส ถาในวงจรมีแหลงจายทั้งสองแบบ เราสามารถใชทฤษฎีในหัวขอนี้ทําการแปลงแหลงจายใหเปนอยางใดอยางหนึ่งได เพื่อใหงายตอการวิเคราะหวงจร การแปลงไปมาระหวางแหลงจายแรงดันอนุกรมกับตัวตานทานและแหลงจายกระแสขนานกับตัวตานทานสามารถกระทําได ใหพิจารณาวงจรสองวงจรในรูปท่ี 4.1
รูปท่ี 4.1 วงจรการแปลงแหลงจาย
4-2
เพื่อเปนการพิสูจนวาสองวงจรน้ีสามารถแทนกันได โดยการนําแหลงจายทั้งสองตอเขากับตัวตานทาน R ที่มีคาเทากัน ผลของกระแสท่ีไหลผาน R ตัวนั้นทั้งสองวงจรจะตองเทากันจึงจะสามารถแทนกันได ดังน้ันจากรูปวงจรที่ 4.2 การคํานวณกระแส I และ IR มีคาเทากันแสดงวาวงจรแหลงจายทั้งสองสามารถแทนกันได
(a) (b) รูปที่ 4.2 วงจรการพิสูจนการแปลงแหลงจาย
พิสูจน จากรูปท่ี 4.2(a) ใชหลักการ Mesh Analysis : 0=++− RiiRv ss
หาคา i : RR
vi
s
s
+= …………….. (4.1)
จากรูปที่ 4.2(b) ใชหลักการ Current Divider :
s
s
s
s
s
ssR R
vRR
RRR
iRi .
+=
+=
หาคา i : RR
vi
s
sR += …………….. (4.2)
จากสมการที่ (4.1) เทากับ (4.2) ทําใหทั้งสองวงจรแทนกันได ตัวอยางท่ี 4.1 จงทําการแปลงแหลงจายในรูปท่ี 4.3
รูปที่ 4.3
4-3
วิธีทํา จากรูปที่ 4.3(ก) ใชหลักการแปลงแหลงจายจะได RP = RS = 14 Ω
ARv
is
ss 2
1428
===
จากรูปที่ 4.3(ข) ใชหลักการแปลงแหลงจายจะได RS = RP = 12 Ω
VRiv pss 24122. =×== ตัวอยางท่ี 4.2 จากวงจรจงคํานวณหาคากระแส i วิธีทํา จากรูปใชหลักการแปลงแหลงจายแรงดัน 3V อนุกรมกับ 30 Ω จะไดวงจรใหมดังนี้
ทําการยุบตัวตานทานที่ตอขนานกัน 30Ω //20Ω = 12Ω
4-4
ใชหลักการแปลงแหลงจายกระแส 0.1A ขนานกับ 12Ω จะไดวงจรใหมดังน้ี
ทําการยุบตัวตานทานที่ตออนุกรมกัน และแรงดันที่ตออนุกรมกันจะไดวงจรใหม
คํานวณหาคากระแส i : AVi 224.017
8.3=
Ω= ตอบ
4.2 ทฤษฎีซุปเปอรโพสิชัน (Superposition Theorem) หลักการทฤษฎีซุปเปอรโพสิชันคือ ในการวิเคราะหวงจรหาคากระแสหรือแรงดันใดๆในวงจรไฟฟาท่ีมีแหลงจายมากกวาหนึ่งตัว ใหทําการจายแหลงจายทีละตัว แลวทําการคํานวณหาคากระแสหรือแรงดันในวงจรที่ตองการแลวทําการเก็บคาไว จากนั้นใหนําคากระแสหรือแรงดันที่เก็บไวนั้นๆท้ังหมดมารวมกัน คากระแสหรือแรงดันที่ไดจะมีคาเทากับเม่ือทําการจายแหลงจายพรอมกันทั้งหมด โดยมีหลักเกณฑวาแหลงจายท่ีไมจายจะตองใหแหลงจายมีคาเปนศูนย คือถาเปน
Voltage Source = VS = 0 (ใหทําการ short circuit )
Current Source = IS = 0 (ใหทําการ open circuit )
เฉพาะแหลงจายไฟฟาแบบอิสระเทานั้น (independent source)
4-5
ตัวอยางท่ี 4.3 จากวงจรจงคํานวณหาคากระแส i โดยใชหลักการ Superposition วิธีทํา หาคากระแส i1 : คือกระแสที่เกิดจาก source 6V
โดยให source 2A เปนศูนย(open circuit)
หาคา Ai32
)63(6
1 =+
=
หาคากระแส i2 : คือกระแสท่ีเกิดจาก source 2A
โดยให source 6V เปนศูนย (short circuit)
ใชหลักการ Current Divider หาคา
AAi32
)63()2)(3(
2 =+
=
ใชหลักการ Superpositon หาคา i
Aiii34
32
32
21 =+=+= ตอบ
4-6
4.3 ทฤษฎีวงจรสมมูลของเทวินินและนอรตัน (Thevevin & Norton Theorem) วิศวกรชาวฝรั่งเศสชื่อเทวินิน (Thevenin) ไดพัฒนางานตอจากเฮลมโฮลท (Helmholtz)
และตีพิมพหลักการของทฤษฎีบทเทวินินในป ค.ศ. 1883 (พ.ศ. 2426) โดยเปาหมายของการใชทฤษฎีนี้คือการลดรูปบางสวนของวงจรโดยการแทนที่ดวยแหลงจายสมมูล (Equivalent Source) และความตานทานสมมูล (Equivalent Resistance) วงจรสวนที่ลดและแทนที่แลวจะตออยูกับสวนท่ีเหลือของวงจร และจะทําใหสามารถหาคาของตัวแปรที่เราสนใจไดงายและสะดวกมากขึ้น
ทฤษฎีบทของเทวินินมีประโยชนมากในการลดรูปวงจรในกรณีที่ตองการหาคา กระแส แรงดัน หรือกําลังท่ีเก่ียวของกับองคประกอบของวงจรตัวใดตัวหนึ่ง โดยเฉพาะอยางยิ่งในกรณีที่องคประกอบนั้นเปนตัวแปรท่ีเปลี่ยนคาได เราจะลดรูปสวนอื่นของวงจร แทนดวยวงจรสมมูลเทวินิน และตอเขากับองคประกอบที่สนใจดังเดิม
ทฤษฎีบทของเทวินิน กลาวไวดังนี้ สําหรับวงจรไฟฟาเชิงเสนใดๆ ท่ีมีสองขั้วสามารถเขียนวงจรเสมือน(Equivalent Circuit) แทนวงจรไฟฟาน้ันไดเปน แหลงจายแรงดันตออนุกรมกับตัวตานทาน ดังรูปที่ 4.4
รูปที่ 4.4(a) แสดงวงจรไฟฟา A ตอกับวงจรไฟฟา B รูปที่ 4.4(b) แยกวงจรไฟฟา A ออกมาเพ่ือเขียนวงจรเสมือน(Equivalent Circuit)
รูปที่ 4.4(c) เขียนวงจรเทวินิน ที่ใชแทนวงจรไฟฟา A รูปที่ 4.4(d) แสดงวงจรเทวินินท่ีใชแทนวงจรไฟฟา A ตอกับวงจรไฟฟา B
(a) (b)
(c) (d) รูปที่ 4.4 วงจรเทวินิน
4-7
สรุปหลักการของ Thevenin งายๆดังนี้ วงจรไฟฟาใดๆท่ีมีขั้วสองขั้ว(เชนขั้ว A และ B วงจรไฟฟาน้ันเรียกวา Black Box) ตออยูกับโหลด (RL) เราสามารถแทนวงจรไฟฟานั้นไดดวยแหลงจายแรงดัน (Vth) และ ตัวตานทาน (Rth) ตออนุกรมกัน โดยคาท้ังสองหาไดโดยใชหลักการดังนี้
Rth คือ คา ค.ต.ท ที่ตอระหวางขั้ว A B โดยทําการ short circuit แหลงจายแรงดัน
และ open circuit แหลงจายกระแส (ใหทําการถอด RL ออกกอน)
Vth คือ แรงดันครอมระหวางขั้ว A B (ใหทําการถอด RL ออกกอน)
บางคร้ังเรียก Rth วา ROC (Open Circuit)
บางคร้ังเรียก Vth วา VOC (Open Circuit)
Vth
Rth
RL
Black Box
A
B
+
-
VABVth
Rth
RL
Black Box
A
B
+
-
VAB
ทฤษฎีบทของนอรตัน มีหลัการคลายกับวงจรเทวินินตางกันตรงท่ีแทนท่ีจะเปนแหลงจายแรงดันตออนุกรมกับตัวตานทาน เปนแหลงจายกระแสตอขนานกับตัวตานทาน
ทฤษฎีบทของนอรตัน กลาวไวดังน้ี สําหรับวงจรไฟฟาเชิงเสนใดๆ ที่มีสองขั้วสามารถเขียนวงจรเสมือน(Equivalent Circuit) แทนวงจรไฟฟานั้นไดเปน แหลงจายกระแสตอขนานกับตัวตานทาน ดังรูปท่ี 4.5
สรุปหลักการหาคาวงจร Norton ดังนี้ วงจรไฟฟาใดๆที่มีขั้วสองขั้ว(เชนขั้ว A และ B วงจรไฟฟาน้ันเรียกวา Black Box) ตออยูกับโหลด (RL) เราสามารถแทนวงจรไฟฟานั้นไดดวยแหลงจายกระแส (ISC) และ ตัวตานทาน (RSC) ตอขนานกัน โดยคาทั้งสองหาไดโดยใชหลักเกณฑดังน้ี
Rsc คือ คา ค.ต.ท ที่ตอระหวางขั้ว A B โดยทําการ short circuit แหลงจายแรงดัน
และ open circuit แหลงจายกระแส (ใหทําการถอด RL ออกกอน)
Isc คือ กระแสไหลผานระหวางขั้ว A B (ใหทําการถอด RL ออกกอนและทําการ short
circuit ระหวาง A B)
4-8
Isc Rsc RL
Black Box
A
B
+
-
VABIsc Rsc RL
Black Box
A
B
+
-
VAB
รูปท่ี 4.5 วงจรนอรตัน
ตัวอยางท่ี 4.4 จงใชทฤษฎีบทของเทวินิน ในการหาคากระแส i ผานตัวตานทาน R ในวงจรในรูป
วิธีทํา หาคา Vth หรือ Voc โดยทําการถอดโหลด R ออกจะไดวงจรดังนี้
จากวงจรขางตนหาแรงดันครอม R = 20 ohms จะเทากับ Vth ใชหลักการ Voltage Divider
VVV octh 4050205
20=×
+==
หาคา Rth โดยทําการ short circuit แหลงจายแรงดัน 50V ไดวงจรดังน้ี
Ω=++×
= 84205205
thR
4-9
ดังนั้นสามารถเขียนวงจรเทวินินแทนวงจรขางตน และตอกับ R ดังนี ้
ตัวอยางท่ี 4.5 จากวงจรจงเขียนวงจรเสมือน Thevenin และ Norton วิธีทํา คํานวณหาคา Vth หรือ Voc หรือ Vab โดยทําการถอดโหลดออก
ใชหลักการ KCL ท่ีโนด c:
024010
10=++
− cc vv
หาคําตอบ vc : Vvc 8−= Vvvvv ccab 84 −==+= Ω (เพราะ Vv 04 =Ω ) ดังนั้น VVVV octhab 8−===
จากวงจรหาคา Rth ดัดแปลงวงจรไดเปน
Ω=+
+= Rth 124010
)40)(10(4
4-10
สามารถเขียนวงจร Thevenin Equivalent Circuit ไดดังน้ี
ใหสังเกตข้ัวของแหลงจายแรงดัน
สามารถเขียนวงจร Norton Equivalent Circuit ไดดังนี้
เม่ือ Rsc = Rth
Ω−
==12
8VRv
ith
ocsc
ตัวอยางท่ี 4.6 จากวงจรจงเขียนวงจรเสมือนแบบ Norton
วิธีทํา จากวงจรหาคา Rsc ทําการ short circuit 15V
Ω=+= k Rsc 46//)48( คํานวณหาคา isc โดยทําการถอดโหลดออกและ short circuit ขั้ว a b
mA kk
Visc 25.1)48(
15=
+=
A128
12 N
4-11
สามารถเขียนวงจร Norton Equivalent Circuit ไดดังนี้
ตัวอยางท่ี 4.7 จากวงจรจงเขียนวงจรเสมือนแบบ Norton
วิธีทํา จากวงจรหาคา Rsc ทําการ short circuit 24V และ open circuit 3A
Ω== 312//4scR คํานวณหาคา isc โดยทําการถอดโหลดออกและ short circuit ขั้ว a b ใชหลักการ Superposition AVsc iii 324 +=
AAVisc 93424
=+Ω
=
4-12
สามารถเขียนวงจร Norton Equivalent Circuit ไดดังนี้
4.4 การสงผานกําลังสูงสุด (Maximum Power Transfer) ในวงจรสําหรับการประยุกตใชงานจํานวนมากตองการใหมีการสงกําลังที่มีจากแหลงจายไปยังตัวตานทานโหลดใหไดคาสูงสุด พิจารณาวงจร ในรูปที่ 4.6 ซึ่งตอเขากับตัวตานทานโหลด จากหัวขอท่ี 4.3 เราไดศึกษาวาเราสามารถแทนวงจร ดวยวงจรสมมูลเทวินินดังแสดงในรูปท่ี 4.7
รูปท่ี 4.6 วงจร A ตอกับตัวตานทานโหลด RL
4-13
รูปที่ 4.7 แทนวงจร A ดวยวงจรเทวินินและตอกับตัวตานทานโหลด RL
จากวงจรรูปที่ 4.7 สามารถคํานวณหาคากําลังไฟฟาที่โหลด RL ไดดังนี้
LtL
s RRR
vP
2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
= …………….(4.3)
ถานําสมการ(4.3) เขียนกราฟความสัมพันธระหวาง P และ RL ดังน้ี
จากกราฟจะสังเกตวาจะมีคากําลังสูงสุดอยูจุดเดียว ซึ่งจุดนี้คือ slope = 0 เพื่อหาเงื่อนไขที่ทําใหกําลังไฟฟาสูงสุด
0==LdR
dPSlope ……………… (4.4)
ดังนั้นจากสมการ (4.3) และ (4.4) จะได
0)(
)(2)(4 =
++−+
=Lt
LLtLts
L RRRRRRR
vdRdP
ดังนั้น 0)(2)( =+−+ LLtLt RRRRR แกสมการ Lt RR = ……………… (4.5)
เพราะฉะนั้นเงื่อนไขที่ทําใหกําลังไฟฟาสูงสุดคือ Lt RR = มีเพียงจุดเดียว
4-14
หาคากําลังสูงสุด (Power Maximum)
L
s
L
Ls
Rv
RRv
P4)2(
. 2
2
2
max == ……………… (4.6)
ตัวอยางท่ี 4.8 จงหาคาความตานทานโหลดที่จะทําใหโหลดในวงจรในรูป ไดรับกําลังสูงสุด และจงหาคากําลังสูงสุดนั้น
วิธีทํา จากวงจรหาคา Rth โดยทําการ short circuit 180V และถอด RL ออก
Ω== 25150//30thR
จากวงจรหาคา Vth ทําการถอด RL ออกและคํานวณโดยใชหลักการ Voltage Divider
VVVV octhab 150180.30150
150=
+===
ดังน้ันกรณีที่ตองการ Maximum Power Transfer Ω== 25tL RR ตอบ
หาคากําลังสูงสุด (Power Maximum)
WRv
PL
s 225254
1504
22
max =×
== ตอบ
4-15
แบบฝกหัดบทท่ี 4
1. สําหรับวงจรในรูปจงใชหลักการแปลงแหลงจาย หาคาความตานทาน RL ที่จะทําใหกระแส i มี คา 2 mA เม่ือแหลงจายที่ตออนุกรมกับ RL มีคาเทากับ 5V
2. พิจารณาวงจรในรูป จงใชทฤษฎีซุปเปอรโพสิชัน หาคาแรงดัน v
3. จงหาวงจรสมมูลเทวินินของวงจรในรูป ท่ีขั้ว a – b
4-16
4. จงหาวงจรสมมูลนอรตันของวงจรในรูป ที่ขั้ว a – b
5. ใหดูแบบฝกหัดในหนังสือภาษาอังกฤษเพิ่มเติม
Richard C. Dorf , “Electric Circuits”, 7th Edition , John Wiley & Son , inc.
ผศ.วิชัย ประเสริฐเจริญสุข 1 มิถนายน 2552