คู มือการใช limdep และ frontier version 4 · คู...

คูมือการใช Limdep และ Frontier Version 4.1

เพื่อการวิเคราะหฟงกชันพรมแดนการผลิต

โดย นายอัครพงศ อั้นทอง

สถาบันวิจัยสังคม มหาวิทยาลัยเชียงใหม

กรกฎาคม 2546

คูมือการใช Limdep และ Frontier Version 4.1 เพื่อการวิเคราะหฟงกชันพรมแดนการผลิต 2

โดย นายอัครพงศ อั้นทอง สถาบันวิจัยสังคม มหาวิทยาลัยเชียงใหม 2

คูมือการใช Limdep และ Frontier Version 4.1 เพื่อการวิเคราะหฟงกชันพรมแดนการผลิต

ขั้นตอนในการวิเคราะหฟงกชันพรมแดนการผลิตประกอบดวย

1. การกําหนดรูปแบบของสมการที่จะทําการวิเคราะห 2. การเก็บรวบรวมขอมูลและการจัดการขอมูลใหพรอมที่จะนําไปวิเคราะห 3. การใชโปรแกรม Limdep ในการวิเคราะห และการอานผลการวิเคราะห 4. การใชโปรแกรม Frontier Version 4.1 ในการวิเคราะห การอานผลการวิเคราะห

1. การกําหนดรูปแบบของสมการที่จะทําการวิเคราะห เพื่อความเขาใจในเนื้อหา และเพื่อความงายในการใช Program ในที่นี้จะขอสมมติวา ประเด็นปญหาที่ตองการจะศึกษา ก็คือ “อยากทราบวา เกษตรกรผูทํานามีระดับประสิทธิภาพทางเทคนิคอยางไรบาง และมีปจจัยอะไรบางที่สงผลตอระดับความไมมีประสิทธิภาพของเกษตรกร” ขั้นตอนที่ 1 การกําหนดประเด็นการศึกษาและแบบจําลองที่ใชในการศึกษา ในตัวอยางขางตนมีประเด็นคําถามที่ตองการจะวิเคราะห ก็คือ “เกษตรกรผูทํานามีระดับประสิทธิภาพทางเทคนิคอยางไร” และ “ปจจัยอะไรที่สงผลตอความไมมีประสิทธิภาพของเกษตรกร” จากประเด็นปญหานี้ทําใหทราบวา ผูวิจัยทําการศึกษาหรือการวิเคราะหเพื่อวัดประสิทธิภาพทางเทคนิคของเกษตรกรผูทํานา และหลังจากนั้นตองวิเคราะหหาปจจัยที่มีผลตอความไมมีประสิทธิภาพของเกษตรกร กอนที่จะลงลึกไปถึงวิธีการแบบจําลองที่ใชในการวิเคราะห ในที่นี้จะ ขอกลาวสรุปถึงแนวคิดการวัดประสิทธิภาพทางเทคนิคของ Farrell (1957)

การวัดประสิทธิภาพทางเทคนิค มีวิธีการวัดมากมาย แตที่ไดรับความนิยมมาก ก็คือ การวัดประสิทธิภาพตามแนวคิดของ M.J Farrell (1957) ซึ่ง Farrell ไดเสนอแนวคิดและวิธีการวัดประสิทธิภาพทางเทคนิค ทางราคา และทางเศรษฐศาสตร จากแนวคิดดังกลาว นักเศรษฐศาสตรหลายทานไดมีการพัฒนาวิธีการวิเคราะห และเครื่องมือเชิงปริมาณออกมาใชเพื่อหาประสิทธิภาพตามแนวคิดของ Farrell ซึ่งเครื่องมือและวิธีการวัดดังกลาว เปนลักษณะการวัดประสิทธิภาพเชิงเปรียบเทียบ (relative efficiency) โดยการประมาณคาสมการพรมแดน หรือประมาณคาเสนพรมแดน (Frontier) แลวพิจารณาดูวา ณ จุดที่กําลังพิจารณาอยูนั้นหางจากพรมแดนเทาไหร ดังนั้นวิธีการวัดประสิทธิภาพโดยวิธีการของ Farrell นั้นจึงจําเปนตองมีการประมาณคาสมการพรมแดน (Frontier equation) ซึ่งที่ผานมาไดมีการพัฒนาการประมาณคาสมการพรมแดนมามากกวา 40 ป (Lovell, 1993) และสามารถแบงวิธีการประมาณคาสมการพรมแดนได 2 วิธีดังนี้

1. Data Envelopment Analysis (DEA) เปนวิธีการคํานวณที่ใชหลักการทางคณิตศาสตร ที่เรียกวา Linear Programming (เปนวิธีการแบบ non-parametric) วิธีการนี้ถูกพัฒนาโดย Charnes, Cooper and Roberts (1978) โดยแบบจําลองที่นําเสนอเปนการพิจารณาทางดานปจจัย (input orientation) และสมมติใหแบบจําลองดังกลาวมีลักษณะของผลตอบแทนแบบ constant returns to scale (CRS) ตอมา Banker, Charnes and Cooper (1984) ไดเสนอแนะแบบจําลองที่มีลักษณะผลตอบแทนแบบ variable returns to scale (VRS) และภายหลังไดมีนักเศรษฐศาสตรหลายทานไดพัฒนาแบบจําลองที่พิจารณาทางดานผลผลิต (output orientation) ดังนั้นในปจจุบันนี้การวัดประสิทธิภาพดวยวิธีการ DEA มีการพิจารณาทั้งในดานปจจัย และดานผลผลิต และมีขอสมมติเกี่ยวกับผลตอบแทนทั้งในรูปแบบ CRS และ VRS ซึ่งการเลือกใชรูปแบบและวิธีการเชนไรนั้นขึ้นอยูกับวัตถุประสงคและขอจํากัดของขอมูลที่ใชในการศึกษา



2. Stochastic Frontiers เปนวิธีคํานวณที่ใชหลักการทางเศรษฐมิติ ซึ่งวิธีการประมาณคาพารามิเตอร (parametric) ที่ไดรับความนิยมและใชอยางกวางขวางในปจจุบันไดแกวิธีการความควรจะเปนสูงสุด (maximum likelihood) วิธีการนี้ ถูกนําเสนอในป ค.ศ. 1977 โดย Aigner, Lovel and Schmidt (1977) และ Meeusen and Van den Broeck (1977) ซึ่งตอมาไดมี นักเศรษฐศาสตรหลายทานไดพัฒนาและเสนอการประยุกตใชแบบจําลองเสนพรมแดนเชิงเฟนสุม (stochastic frontier model) อยางตอเนื่องอีกหลายงานการศึกษา โดยงานที่นําเสนอมีทั้งการพัฒนาแบบจําลอง และการนําแบบจําลองมาประยุกตใช ในดานตางๆ เชน การประมาณคาฟงกชันการผลิต ฟงกชันกําไร เปนตน ในการนําแบบจําลองมาประยุกตใชนั้น สวนใหญจะใชขอมูลในการวิเคราะหอยู 2 ประเภท คือ ขอมูลภาคตัดขวาง (cross sectional data) และขอมูล panel data (คือ คาสังเกตที่ เกิดซ้ําๆ กัน จากเซตของหนวยตัดขวางเซตเดียวกัน)

ปจจุบันวิธีการวัดประสิทธิภาพทั้งสองวิธียังคงถูกใชอยางกวางขวางในงานศึกษาทางดานเศรษฐศาสตร และยังไมมีขอยุติวาวิธีการใดจะดีที่สุด แมวาวิธีการ Stochastic frontiers จะใหผลการวิเคราะหที่ดีกวา แตอยางไรก็ตาม ในขอมูลบางประเภทที่ไมสามารถกําหนดความสัมพันธของแบบจําลอง หรือการวัดประสิทธิภาพของหนวยธุรกิจที่ไมแสวงหากําไร หรือหนวยธุรกิจที่ไมไดมีการกําหนดวัตถุประสงคของการดําเนินงานวาตองการตนทุนที่ตํ่าที่สุด หรือผลตอบแทนที่สูงที่สุด ซึ่งถาหากเปนเชนนั้นแลววิธีการทางดาน DEA จะสามารถใชไดดีกวาวิธีการทางดาน stochastic frontier แตถาหากสามารถกําหนดรูปแบบของแบบจําลองได และถาหากขอมูลที่ใชในการวิเคราะหมีมากพอ และขอมูลดังกลาวมีลักษณะที่มีความคลาดเคลื่อนจากการวัดที่สูง มีตัวแปรที่ไมสามารถควบคุมไดอยูหลายตัว ตลอดจนตัวแปรตามมีความแปรปรวนที่สูง การใชวิธีการ DEA จะทําใหผลที่ไดไมถูกตองเทาที่ควร เนื่องจาก เสนพรมแดนจะอยูสูงกวาปกติ และจะทําใหดัชนีประสิทธิภาพที่ประเมินมานั้นมีคาต่ํากวาความเปนจริง

เมื่อทราบแนวคิดและวิธีการที่ใชในการศึกษาแลว ในลําดับตอไปจะทําการกําหนดแบบจําลอง เพื่อทําการวิเคราะห ซึ่งจากตัวอยางในที่นี้ที่ตองการทราบถึง ประสิทธิภาพทางเทคนิคของการทํานาของเกษตรกร ดังนั้นจึงจําเปนตองเลือกประมาณคาสมการการผลิต (Production function) โดยมีแบบจําลองที่ใชดังนี้

ฟงกชั่นการผลิตที่ใช )D,x(Fy ijijj = แบบจําลองที่จะใช jij eeAxy Di

ijjεγβ=

หรือทําใหอยูในรูปเสนตรง jijijij DXayln ε+γ+β+= โดยที่ jy คือ ผลผลิตของหนวยธุรกิจที่ j (หนวย : ปริมาณ) ijx คือ ปจจัยนําเขาที่ i ของหนวยธุรกิจที่ j (หนวย : ปริมาณ) ijD คือ ตัวแปร Dummy ของปจจัยทางดานคุณภาพตางๆ เชน ลักษณะพันธุ เปนตน jε คือ คา Error term

สําหรับตัวอยางในครั้งนี้จะทําการประมาณคาสมการพรมแดนการผลิตของแบบจําลองขางตน ซึ่งจากประเด็นคําถามและลักษณะของขอมูลที่จะใชในการศึกษา ตลอดจนในการศึกษาสามารถกําหนดแบบจําลองแสดงความสัมพันธได และจากขอจํากัดของวิธีการ DEA ดังนั้นในครั้งนี้จึงไดเลือกวิธีการวัดประสิทธิภาพแบบ stochastic frontier และเปนการวัดทางดาน input orientation เมื่อทราบถึงวิธีการที่จะใชในการประมาณคาสัมประสิทธิ์ของแบบจําลอง และทราบถึงวิธีการวัดประสิทธิภาพทางเทคนิคแลว เพื่อความเขาใจพื้นฐานของวิธีการวัดประสิทธิภาพทางเทคนิคแบบ Stochastic frontier ดังนั้นในที่นี้จะ ขอกลาวถึงวิธีการดังกลาวพอสังเขปไดดังนี้



ในป ค.ศ. 1977 Aigner, Lovel and Schmidt (1977) และ Meeusen and Van den Broeck (1977) ไดนําเสนอแบบจําลองเสนพรมแดนเชิงเฟนสุม (stochastic frontier model) ซึ่งตอมาไดมีนักเศรษฐศาสตรหลายทานไดพัฒนาและเสนอการประยุกตใชแบบจําลองเสนพรมแดนเชิงเฟนสุม (stochastic frontier model) การประยุกตใชแบบจําลองดังกลาว โดยสวนใหญจะใชขอมูลในการวิเคราะหอยู 2 ประเภท คือ ขอมูลภาคตัดขวาง (cross sectional data) และขอมูล panel data ในที่น้ีจะขอสรุปรูปแบบของแบบจําลองเสนพรมแดนเชิงเฟนสุม (Stochastic frontier model) พอสังเขปดังนี้

( ) ε+β= ,xfy (1)

โดยที่ y = ผลผลิต (Output) x = ปจจัยการผลิต (Input) β = พารามิเตอร (Parameter)

ε = คาความคลาดเคลื่อน ประกอบดวย v และ – u (Maddala, 1983: pp194-195) ดังนั้นสามารถเขียนแบบจําลองใหมไดวา

uvxy −+β′= (2)

โดยที่ v = คาความคลาดเคลื่อนที่ไมสามารถควบคุมได เชน ดิน ฟา อากาศ โรค เปนตน และมีลักษณะการแจกแจงแบบสองดาน (Symmetric; v) ; ( )2

v,0N~v σ u = คาความคลาดเคลื่อนที่สามารถควบคุมได เชน การจัดการในการใหปุย นํ้า การใชปจจัย

การผลิต เปนตน และมีลักษณะการแจกแจงแบบดานเดียว (one – sided ; u) ; ( )2

u,0N~u σ ซึ่ง v จะมีฟงกชันความหนาแนน (density function) ดังนี้

( )( )

σ

−πσ

= 2v

2

2vexp

2v

1vf (3)

สวน u ซึ่งมีลักษณะเปนการแจกแจงแบบปกติตัดปลาย (truncated normal) จะมีฟงกชันความหนาแนน ดังนี้

( )( )

σ

−πσ

= 2u

2

2uexp

2u

2uf ( )0u ≥ (4)

ดังที่ไดกลาวมาแลววา u มีการแจกแจงแบบกึ่งปกติ (half normal) น่ันคือ u มีการแจกแจงแบบคาสัมบูรณ

(absolute value) ของ ( )2u,0N σ แลวคาเฉลี่ยและคาความแปรปรวนของ u สามารถเขียนไดดังนี้

( ) ( ) 2/1u /2uE πσ=

( ) ( ) π−πσ= /2uV 2u



u น้ีเปนคาความคลาดเคลื่อนขางเดียว ซึ่งหมายความวา แตละคาสังเกตจะอยูบนเสนพรมแดนหรือตํ่ากวา เสนพรมแดนเสมอ u น้ีก็คือ “ความไมมีประสิทธิภาพทางเทคนิค (technical inefficiency)” สําหรับ v น่ันก็คือ คาความคลาดเคลื่อนตามปกติที่มีการกระจายไปไดทั้งสองขาง (two-sided error) ซึ่งทําใหเกิดการเคลื่อนแบบสุมของ เสนพรมแดนอันเนื่องมาจากเหตุการณภายนอกในเชิงบวกและเชิงลบตอเสนพรมแดน (Maddala, 1983)

และสมมติวาให v และ u มีลักษณะของการแจกแจงที่เปนอิสระตอกัน จึงทําใหฟงกชันความหนาแนนรวม (joint density function) ของ v และ u มีลักษณะดังนี้

( )

σ

−σ

−σπσ

= 2v

2

2u

2

2v

2uexp

vu22v,uf (5)

แตเนื่องจาก v ไมสามารถสังเกตได และ ε = v – u จึงทําใหฟงกชันความหนาแนนรวม (joint density function) ของ u และ ε มีลักษณะดังนี้

( )

σ+ε

−σ

−σπσ

=ε 2v

2

2u

2

2)u(

2uexp

vu22,uf (6)

ดังนั้นสามารถหาสวนเบี่ยงเบนจากฟงกชันความหนาแนน (Density function) ของ ε ได โดยใช marginal density function ของ ε ที่หามาจากการ integrating ฟงกชัน ),u(f ε ดวย u ไดดังนี้

)(f ε ∫ ε=∞

0du),u(f

σε

−⋅

σελ

Φ−σπ

= 2

2

2exp1

22

σελ

−Φ⋅

σε

φσ

=2 (7)

โดยที่ σ 2v

2u σ+σ=

λ vu σσ= ซึ่งจะมีคา non – negative ( )⋅φ = ฟงกชันความหนาแนน (Density function) ของการแจกแจงปกติมาตรฐาน (standard normal) ( )⋅Φ = ฟงกชันสะสม (Cumulative function) ของการแจกแจงปกติมาตรฐาน (standard normal)

การแจกแจงของคาสัมบูรณ (absolute value) ของตัวแปรที่มีการแจกแจงปกติจะมีลักษณะที่ไมใชการแจกแจงปกติ (nonnormal) ε ซึ่งก็คือ uv− มีลักษณะไมสมมาตร (asymmetric) และมีการแจกแจงไมปกติ (non normal) ดีกรีหรือระดับขัน้ของความไมสมมาตรนั้นดูไดจากคาพารามิเตอร vu /σσ=λ ถา λ ใหญขึ้น ความไมสมมาตรก็จะมีมากขึ้น ในทางตรงกันขามถา λ มีคาเทากับศูนยก็จะไดวา v=ε ซึ่งก็คือ การแจกแจงแบบปกติ

Marginal density function ของ ε ขางตน มีคาเฉลี่ยและคาความแปรปรวนดังนี้

( ) ( )π

σ−=−=ε2uEE u

( ) 2v

2u

2V σ+σπ−π

=ε



Aigner, Lovel and Schmidt (1977) ไดแสดงใหเห็นวาวิธีการความควรจะเปนสูงสุด (maximum likelihood) สามารถที่จะนํามาใชในการประมาณคาพารามิเตอรทุกตัวในสมการที่ (7) โดยมีรูปแบบของ log-likelihood function สําหรับตัวอยางจํานวน i ตัวอยาง ดังนี้

∑εσ

−∑

σλε

−Φ+σ−=i

2i2

i

i

21lnlnIttanconsLln

จากนั้นก็ทําการหาอนุพันธ (Derivative) log-likelihood function ขางตน เทียบกับตัวพารามิเตอรแตละตัว แลวทําการแกสมการในเวลาเดียวกัน ก็จะทําใหไดตัวพารามิเตอรทั้งหมดที่เปนตัวประมาณคาความควรจะเปนสูงสุด (maximum likelihood estimator) ในลําดับตอมาก็จะนําคาพารามิเตอรทั้งหมดที่ไดจากตัวประมาณคาความควรจะเปนสูงสุด (maximum likelihood estimator) ไปทําการประมาณคาความไมมีประสิทธิภาพของแตละหนวยผลิต โดย Jondrow et al. (1982) ไดเปนกลุมแรก ที่ไดแสดงวิธีคํานวณคาประมาณความไมมีประสิทธิภาพของแตละหนวยผลิตโดยแสดงวาคาคาดหมาย (expected value) ของ u สําหรับคาสังเกตแตละคาสามารถที่จะหามาไดจากการแจกแจงแบบมี เง่ือนไข (conditional distribution) ของ u โดยกําหนด ε มาให ภายใตการแจกแจงแบบปกติสําหรับ v และการแจกแจงแบบกึ่งปกติ (half normal) สําหรับ u คาคาดหมาย (expected value) ของความไมมีประสิทธิภาพของฟารมแตละฟารม โดยกําหนด ε มาใหสามารถหาไดดังนี้

( )( )( )

σελ

−σελΦ−

σελφ

σσσ

=ε=/1

/uETI vu

ดังนั้นจะสามารถหาความมีประสิทธิภาพของฟารมแตละฟารมไดดังนี้ )uexp(TE −=

และสามารถหาคาเฉลี่ยของความมีประสิทธิภาพไดดังนี้

( ) ( )[ ]

σ⋅σΦ−=−

2exp12eE

2u

uu

ที่กลาวมาขางตนทั้งหมดนี้เปนวิธีการประมาณคาฟงกชันเชิงเฟนสุม และการวัดประสิทธิภาพทางเทคนิคดวยวิธีการ stochastic frontier ที่เปนวิธีการที่เรียกวา Error components model สวนวิธีการ TE Effects model จะอธิบายเพิ่มเติมในขั้นตอนของการใชโปรแกรม Frontier 41 สําหรับในลําดับตอไปจะนําวิธีการ stochastic frontierไปประยุกตใชกับแบบจําลองการผลิตที่ไดกําหนดไวขางตน สรุปแบบจําลองที่ใชในการประมาณคาสมการพรมแดนการผลิต ครั้งนี้คือ แบบจําลองการผลิตเชิงเฟนสุมท่ีอยูในรูปแบบ Cobb-Douglas ดังนี้

uvDi eeAXy jji −γβ=

และสามารถทําใหอยูในรูปสมการเสนตรง โดยการใช Natural logarithm จะไดสมการใหมดังนี้

uvDxlnayln jjii −+γ+β+= โดยที่ ln คือ Natural logarithm y คือ ปริมาณผลผลิตของขาว (หนวย: กิโลกรัม)



ix คือ ปริมาณปจจัยการผลิตที่ i (หนวย : ปริมาณ) ซึ่งในการผลิตขาวปจจัยการผลิตที่สําคัญ ไดแก ปริมาณปุย แรงงาน สารเคมี เมล็ดพันธุ เปนตน

jD คือ ตัวแปร Dummy ของปจจัยทางดานกายภาพ เชน ปญหาความแหงแลง je คือ คา Error term v คือ คาความคลาดเคลื่อนที่ไมสามารถควบคุมได [ ( )2

v,0N~v σ ] u คือ คาความคลาดเคลื่อนที่สามารถควบคุมได [ ( )2

u,0N~u σ ] a,β, γ คือ คาพารามิเตอร

เมื่อไดคาความไมมีประสิทธิภาพทางเทคนิคจากวิธีการขางตนแลว จะนําคาดังกลาวมาหาความสัมพันธกับปจจัยที่สามารถควบคุมและเปลี่ยนแปลงเพื่อใหเกิดประสิทธิภาพได เชน อายุของเกษตรกรที่ทํานา ความรู เปนตน ในที่สุดก็จะไดปจจัยที่มีผลตอความไมมีประสิทธิภาพหรือปจจัยที่มีผลตอความมีประสิทธิภาพ สําหรับในตัวอยางนี้ไดกําหนดใหแบบจําลองที่ใชในการประมาณคาเปนแบบจําลองเชิงเสนตรง ดังนี้

iiZTI δ+µ=

โดยที่ TI คือ ความไมมีประสิทธิภาพทางเทคนิค Zi คือ ตัวแปรปจจัยที่มีผลตอความมีประสิทธิภาพ µ, δi คือ คาพารามิเตอร

ขั้นตอนที่ 2 การกําหนดตัวแปรที่ใชในการศึกษา แบบจําลองการผลิตขาวของเกษตรกรจะประกอบดวยตัวแปรตามและตัวแปรอิสระดังน้ี ตัวแปรตาม คือ ปริมาณผลผลิตขาวเปลือกตอไร (กิโลกรัม) ; y ตัวแปรอิสระ คือ เมล็ดพันธุขาวตอไร (กิโลกรัม) ; x1 แรงงานตอไร (วันงาน) ; x2 ปุยตอไร (กิโลกรัม) ; x3

สารเคมีตอไร (ซีซี) ; x4 ตัวแปร Dummy ที่แสดงถึง ปญหาความแหงแลง ; D1

แบบจําลองปจจัยที่มีผลตอความไมมีประสิทธิภาพจะประกอบดวยตัวแปรตามและตัวแปรอิสระดังน้ี ตัวแปรตาม คือ ความไมมีประสิทธิภาพ ; TI ตัวแปรอิสระ คือ จํานวนปในการศึกษาของเกษตรกร (ป) ; EDU อายุของหัวหนาครัวเรือนที่ทํานา (ป) ; AGE



ขั้นตอนที่ 3 การกําหนดรูปแบบของสมการที่ใช แบบจําลองการผลิตขาวของเกษตรกร ในที่น้ีไดเลือกใชสมการพรมแดนการผลิตในรูปแบบ Cobb-Douglas เน่ืองจากรูปแบบสมการ Cobb-Douglas จะเปนรูปแบบที่มีคุณสมบัติตรงกับสมการการผลิตของ Neoclassic 3 ประการ คือ (Shamsul, 1983)

1. marginal product ของการใชปจจัยมีคาเปนบวก 2. marginal product จะเพิ่มในอัตราที่ลดลง 3. รูปแบบสมการไมไดเปนตัวกําหนดระดับผลตอบแทนตอขนาดการผลิต (degree of return to scale) แตจะถูก

กําหนดโดยขอมูลที่ใชในการศึกษา สวนแบบจําลองปจจัยที่มีผลตอความไมมีประสิทธิภาพไดเลือกรูปแบบสมการเชิงเสนตรง ขั้นตอนที่ 4 กําหนดเครื่องหมายของคาพารามิเตอร จากงานศึกษาที่ผานมาไดแสดงใหเห็นวาปจจัยการผลิตขาว (ตัวแปร x) นาจะมีความสัมพันธกับผลผลิตขาวในทิศทางเดียวกัน สวนตัวแปร Dummy ที่แสดงถึง ปญหาความแหงแลงนาจะเปนตัวแปรที่ทําใหผลผลิตขาวลดลง ดังน้ันในที่น้ีจึงไดสรุปเครื่องหมายของคาพารามิเตอรตางๆ ออกมาไดดังน้ี

เมล็ดพันธุขาวตอไร (กิโลกรัม) ; x1 มีเครื่องหมาย บวก แรงงานตอไร (วันงาน) ; x2 มีเครื่องหมาย บวก ปุยตอไร (กิโลกรัม) ; x3 มีเครื่องหมาย บวก สารเคมีตอไร (ซีซี) ; x4 มีเครื่องหมาย บวก ตัวแปร Dummy ที่แสดงถึง ปญหาความแหงแลง ; D1 มีเครื่องหมาย ลบ จํานวนปในการศึกษาของเกษตรกร (ป) ; EDU มีเครื่องหมาย ลบ อายุของหัวหนาครัวเรือนที่ทํานา (ป) ; AGE มีเครื่องหมาย บวก

จากประเด็นปญหาที่ตองการจะศึกษา ก็คือ “อยากทราบวา เกษตรกรผูทํานามีระดับประสิทธิภาพทางเทคนิคอยางไรบาง และมีปจจัยอะไรบางที่สงผลตอระดับความไมมีประสิทธิภาพของเกษตรกร”

คําถามที่แรก เกษตรกรที่ทํานามีระดับประสิทธิภาพทางเทคนิคอยางไรบาง วิธีการที่ใช การวัดประสิทธิภาพดวยวิธี Stochastic Frontier ประมาณคาพารามิเตอรดวย Maximum Likelihood Estimation (MLE) สมการผลิตที่ใช uvDxlnxlnxlnxlnayln 1144332211 −+γ−β+β+β+β+=

คําถามที่สอง ปจจัยที่มีผลตอความไมมีประสิทธิภาพ ประมาณคาพารามิเตอรดวย Ordinary Least Squares regression (OLS) สมการปจจัยท่ีมีผลตอ TI AGElnEDUlnTI 21 δ+δ+µ=



2. การเก็บขอมูลและการจัดการขอมูลใหพรอมท่ีจะนําไปวิเคราะห ขั้นตอนที่ 1 การเก็บรวบรวมขอมูล ขอมูลที่ใชในการวิเคราะห Stochastic Frontier สวนใหญจะมีแหลงที่มาจากการสัมภาษณ (หรือปฐมภูมิ) มากกวา

ที่จะใชขอมูลทุติยภูมิ แตปจจุบันมีงานวิจัยหลายๆ ช้ินที่มีการใชขอมูลทุติยภูมิในการวิเคราะห สําหรับลักษณะของขอมูลที่ใชในการวิเคราะหจะมีอยู 2 ประเภท คือ

ขอมูลภาคตัดขวาง (Cross – section data) ขอมูล panel data

ในตัวอยางครั้งนี้ไดใชขอมูลแบบ “ภาคตัดขวาง (cross – section data) โดยเปนขอมูลปฐมภูมิจํานวน 200 ตัวอยาง ขั้นตอนที่ 2 การจัดการขอมูลใหพรอมที่จะนําไปวิเคราะห ภายหลังจาก Key ขอมูลที่ไดจากการเก็บขอมูลแลว (ไมวาจะเปนขอมูลปฐมภูมิ หรือทุติยภูมิก็ตาม) ในขั้นแรกให

ทําการตรวจสอบขอมูลที่จะนํามาใชกอน โดยการคัดเลือกตัวอยาง (observation) ที่สามารถใชวิเคราะหได โดยตัวอยางที่จะวิเคราะหตองมีตัวแปรที่ครบถวนสมบูรณ และในแตละตัวแปรจะตองไมมีการ missing อยู หรือในบางกรณีที่เปน missing ก็สามารถที่จะเติมตัวเลข 0.0001 ลงไปได

ถาหากใช Model ที่ตองทําการ ln ตัวแปร หรือขอมูลใหคัดเลือกเฉพาะตัวอยางที่คาตัวแปรตางๆ ไมมีคาเปนศูนย เพราะ การ ln ตัวแปรที่มีคาเปนศูนยไมสามารถทําได พอจัดการตรวจสอบความถูกตองและ ln ขอมูลเสร็จเรียบรอยแลว ใหทําตามดังนี้

ถาเปนขอมูลที่ใชกับ Limdep จะตองใสช่ือตัวแปรที่เปนภาษอังกฤษและใหบันทึก file ขอมูลเปน excel 4.0 1. เลือก cell ทั้งหมดที่มีขอมูล ดังรูป

ชื่อตัวแปรที่ใชในการวิเคราะห

สวนของขอมูลที่ใชในการวิเคราะห



2. คลิกดานขวา และจะปรากฏหนาตางใหเลือก แลวเลือกคําสั่งจัดรูปแบบเซลล ดังรูป

3. จะปรากฏหนาตาง ดังรูป

เลือกคําสั่งนี้



4. เลือกที่ชองตัวเลข แลวกําหนดตําแหนงทศนิยม ซึ่งแลวแตจะเลือก หลังจากนั้นก็ตอบตกลง ดังรูป

5. ตอไปจะตองบันทึกรูปแบบของแฟมขอมูลใหเปน excel 4 โดยเลือกที่แฟม และเลือกบันทึกเปน… ดังรูป

เลือก



6. แลวจะปรากฏหนาตาง ดังรูป แลวทําดังนี้ ต้ังช่ือ file โดยใหเปนภาษาอังกฤษ เลือกบันทึกแฟมเปนแผนงาน Excel 4.0 (สําหรับใชใน Limdep) ตอบ บันทึก

ที่ผานมาคือขั้นตอนการบันทึกตารางขอมูลใหพรอมที่จะสามารถนําไปใชในโปรแกรม Limdep ซึ่งใชขอมูลจากการบันทึกใหเปน “Excel 4.0” และเมื่อทําการวิเคราะหดวย Limdep ไมจําเปนตองปดหนาตางของขอมูล สําหรับขอมูลที่จะนําไปใชกับ Frontier 41 ใหจัดการเหมือนกับใชบน Limdep แตใหตัดช่ือตัวแปรออก แลวใหขอมูลอยูชิดดานขวาดังนี้

ต้ังช่ือ file ใหเปนภาษาอังกฤษ

เลือกบันทึกแฟมเปนแผนงาน excel 4.0

เลือกเพื่อใหขอมูลชิดขวา



(TIP ; ในการจัดการขอมูลเพื่อนํามาใชในการวิเคราะหในแตละโปรแกรมควรทําการ Copy แลวสรางเปน file ใหมอยูเสมอ ไมควรไปยุงหรือจัดการบน file ฐานขอมูล เพราะ เม่ือมีปญหาแลวจะไมสามารถเรียกขอมูลเกามาใชได)

ตอจากนั้นก็ทําการบันทึกรูปแบบของแฟมขอมูลใหเปน “ขอความที่ถูกจัดรูปแบบไว (ชองวางเปนตัวคั่น)” ซึ่งนามสกุลของ file ก็คือ .prn และใหเลือกบันทึก file อยูใน Directory ของโปรแกรม Frontier 41 สําหรับ file ขอมูลที่จะใชวิเคราะหโดย frontier 41 จะตองทําการปด file นั้นกอนทุกครั้งที่จะวิเคราะห

ต้ังช่ือ file ใหเปนภาษาอังกฤษ

เลือกบันทึกแฟมเปน ขอความที่ถูกจัดรูปแบบไว (ชองวางเปนตัวคั่น)

สังเกตวาสกุล file เปน .prn



3. การใชโปรแกรม Limdep ในการวิเคราะห และการอานผลการวิเคราะห กอนที่จะใชโปรแกรม Limdep ในการวิเคราะหขอมูล ในที่นี้ขอนําเสนอขอควรจําบางอยางสําหรับการใชโปรแกรม Limdep ในการวิเคราะหขอมูล

File ขอมูลที่จะนํามา import เขาใน Limdep ตอง save เปน excel 4.0 เสมอ Directory ที่เก็บ file ขอมูลไมควรอยูซับซอน และไมมีการใชภาษาไทยใน Limdep ไมวาจะเป ็นช่ือตัวแปร หรือช่ือ Directory

ตัวคาสัมประสิทธิ์ที่ไดมาจะถูกอานไวในชื่อตัวแปร b สกุล file ของ Limdep ถาเปน project จะถูกเก็บในสกุล .lpj สวนถาเปน program หรือ command ตางๆ หรือ

output จะถูกเก็บในสกุล .lim Limdep ทดสอบภาวะ heteroskedasticity โดยใชวิธีการ Breusch - Pagan Test Limdep จะแกปญหา heteroskedasticity เบื้องตนดวยวิธีการ White heteroskedasticity consistent covariance

(ใชคําสั่ง ; Het) นอกจากนี้ Limdep ยังมีวิธีการประมาณคาสมการหรือแบบจําลองที่เกิดปญหา heteroskedasticity ดวยวิธีการอื่นๆ อีก เชน Weighted Least Squares, A model of Multiplicative Heteroskedasticity เปนตน

Limdep จะแทนคาตัวแปรที่เปน missing ดวยคา -999 ในการเขียนคําสั่งหรือ command ให Limdep ทํางาน เมื่อเขียนเสร็จใหใช “$” อยูทายเสมอ เพื่อเปนการบอกการสิ้นสุดคําสั่ง เชน “regress;lhs=y;rhs=one,x1,x2$”

ความสามารถเบื้องตนของ Limdep ในการวิเคราะหขอมูล descriptive statistics (means, standard deviations, minima, maxima, etc.) stratification multiple linear regression and stepwise regression time series identification, autocorrelations and partial autocorrelations cross tabulations, histograms, and scatter plots of several types heteroscedasticity with robust standard errors autocorrelation with robust standard errors multiplicative heteroscedasticity groupwise heteroscedasticity and cross sectional correlation the Box-Cox regression model one and two way random and fixed effects for balanced or unbalanced panel data polynomial distributed lag models, ARIMA, and ARMAX models nonlinear single and multiple equation regression models seemingly unrelated linear and nonlinear regression models simultaneous equations models nested (FIML and LIML, two and three level), conditional, and multinomial logit models univariate and bivariate probit models, with partial observability, selection random effects, and multivariate/multinomial probit models with heteroscedasticity Poisson and negative binomial models for count data, with fixed or random effects



tobit and truncation models for censored and truncated data models of sample selection with one or two selection criteria parametric, semiparametric, and nonparametric duration models with time varying covariates the stochastic frontier regression model ordered probit and logit models, with censoring and sample selection switching regression models

1. เลือกไอคอน แลวจะเขาสูโปรแกรมดังรูป

สังเกตเห็นวาในหนาตาง Project ของ Limdep สามารถรับตัวแปรหรือขอมูลไดเทากับ 1000 Rows × 1000 Obs แตถาหากขอมูลที่ใชในการวิเคราะหขอมูลมีมากกวานี้ก็สามารถที่จะเพิ่มเติมได แตหนวยความจําที่ใชในการคํานวณก็จะเพิ่มขึ้น และทําใหการประมวลผลตางๆ ชาลงได แตถาหากตองการเพิ่ม ก็ใหเลือกที่แถบเครื่องมือ ที่ Tools แลวเลือก Option ดังรูป

แถบเครื่องมือ

หนาตางProject

ปุมเครื่องมือ

สามารถรับขอมูลไดเทากับ 1000 Rows × 1000 Obs.

แถบ Command ปุมฟงกชัน



ภายหลังจากเลือก Option แลวจะปรากฏหนาตางขึ้นมา แลวใหเลือกหนาตาง projects หลังจากนั้น ก็ทําการตั้งคา

data cell ตามความตองการ ปกติจะนิยมเลือกกันที่ 200000 ดังรูป



2. ภายหลังจากตั้งคาไดตามที่ตองการแลว ตอไปจะเปนการนําขอมูลเขา โดยเลือกปุมเครื่องมือ เพื่อนําขอมูลเขาสูโปรแกรม ซึ่งหลังจากการกดปุมนี้แลว จะปรากฏหนาตางดังนี้

3. หลังจากนั้นใหนําลูกศรของ mouse ไปวางที่หนาตางขางตน แลวใหคลิกขวาจะปรากฏหนาตางตามขางลางนี้ แลวเลือกคําสั่ง Import variables เพื่อนําขอมูลจาก Excel เขาสู Limdep

เลือกคําสั่งนี้เพื่อนําขอมูลเขา



4. ภายหลังเลือกคําสั่ง Import variables แลว จะปรากฏหนาตางนี้ หลังจากนั้นก็เปลี่ยน Files of Type เปน All Readable Files (*.wk*;*.xls) แลวเลือก file name ของ data ที่บันทึกไว แลวก็กดปุม open เพื่อนําขอมูลเขาสูโปรแกรม Limdep 5. ภายหลังจากกดปุม open แลวขอมูลจะปรากฏดังนี้

เลือก file ขอมูล

เลือก file ขอมูล .xls กดปุม Open

ภายในตารางนี้มีขอมูลทั้งหมด 200 Observation ตามตัวอยาง



6. หลังจากนําขอมูลเขาสูโปรแกรม Limdep แลว ตอไปจะเปนการวิเคราะหขอมูลดวยการประมาณคาสัมประสิทธิ์ของแบบจําลองพรมแดนการผลิต โดยเลือกคําสั่งที่แถบเครื่องมือ ที่ Model แลวเลือกที่ Frontiers ดังรูป



7. หลังจากเลือกคําสั่ง Frontiers แลวจะปรากฏหนาตาง ดังรูป เมื่อปรากฏหนาตางขางตนแลวใหดําเนินการดังนี้

เลือกที่หนาตาง Main เลือกตัวแปรอิสระที่ตองการวิเคราะห (ตัวแปร Y) เลือกตัวแปรตามที่ตองการวิเคราะห และเลือกตัวแปร ONE ถาตองการให model มีคาคงที่ หากไมมีปญหา heteroscedasticity ก็ไมตองเลือก Weight using variable ตอมาใหเลือกที่หนาตาง Option

หนาตางหลัก

หนาตางรายการกําหนดคา

ชองสําหรับเลือกตัวแปรอิสระ (ตัว Y)

ชองสําหรับเลือกตัวแปรตาม (ตัว X)

ตัวแปรที่แสดงถึงคาคงที่ (Constant)

ชองตัวแปรตาม (ตัว X)

ชองสําหรับเลือกใชตัวถวง (Weight) ชองสําหรับเลือกตัวแปรที่ใชถวงน้ําหนัก



8. หลังจากเลือกหนาตาง Option แลวจะปรากฏหนาตาง ดังรูป ในหนาตางนี้ประกอบดวยหนาตางยอย 2 สวนคือ

1. หนาตาง Model ซึ่งประกอบดวย ชอง Model Type ก็คือการเลือกชนิดของ Model ที่ใชในการวิเคราะห ซึ่งมีอยู 2 Model คือ ♦ Production Frontier คือ การหาพรมแดนสูงสุด ♦ Cost Frontier คือ การหาพรมแดนต่ําสุด

ชอง Model Type ที่ใหเลือกรูปแบบ Model ที่ตัวคลาดเคลื่อน (error) มีรูปแบบการกระจายตางๆ ดังนี้ ♦ normal - half normal model ♦ normal - exponential model ♦ normal - truncated (at 0) normal

ชองสําหรับการเลือกในกรณีที่ขอมูลที่ใชในการวิเคราะหเปนขอมูลแบบ panel data แตถาขอมูลเปนแบบ cross section data แลวไมตองเลือก

ปุม Optimization สําหรับการเลือกใช Alternate algorithm ปุม Hypothesis tests สําหรับการทดสอบเงื่อนไขที่ตองการจะทดสอบ เชน การทดสอบวาตัวแปรอิสระที่เปน input มีลักษณะเปน constant return to scale หรือไม ซึ่งใน Limdep จะใชสัญลักษณ B แทนตัวสัมประสิทธิ์ ถาตองการทดสอบใหกดปุมนี้แลวจะปรากฏหนาตางดังนี้

1

2



เลือกที่ Tests the linear restriction แลวพิมพ b(2) + b(3) + b(4) + b(5) = 1 สมมติวามีตัว input 4 ตัว สําหรับ b(1) คือ คาสัมประสิทธิ์ของตัวคงที่ (Constant) หลังจากนั้นกดปุม OK

2. หนาตาง Output ซึ่งประกอบดวย ชอง Display predictions and residuals ซึ่งถาเลือก ใน Output ที่ไดจะมีคาตัวพยากรณ Y และ คาตัวคลาดเคลื่อน (error)

ชอง Keep predictions as variable เปนชองที่ใหเลือกเก็บตัวแปรพยากรณ Y แลวตองระบุช่ือตัวแปรดวย ชอง Keep residuals as variable เปนชองที่ใหเลือกเก็บตัวคลาดเคลื่อน แลวตองระบุช่ือตัวแปรดวย สําหรับ Data fill เปนชองสําหรับเลือกวาตองการตัวแปรทั้งสองเฉพาะที่เปน Current sample หรือ

All Observations



9. ภายหลังเลือกตัวแปร และ Option ตางๆ แลวใหกดปุม Run ก็จะได Output ออกมาดังนี้ +-----------------------------------------------------------------------+ | Limited Dependent Variable Model - FRONTIER Regression | | Ordinary least squares regression Weighting variable = none | | Dep. var. = LNY Mean= 6.697297395 , S.D.= .2442742814 | | Model size: Observations = 200, Parameters = 6, Deg.Fr.= 194 | | Residuals: Sum of squares= 9.919977322 , Std.Dev.= .22613 | | Fit: R-squared= .164585, Adjusted R-squared = .14305 | | Model test: F[ 5, 194] = 7.64, Prob value = .00000 | | Diagnostic: Log-L = 16.5890, Restricted(b=0) Log-L = -1.3937 | | LogAmemiyaPrCrt.= -2.944, Akaike Info. Crt.= -.106 | +-----------------------------------------------------------------------+ +---------+--------------+----------------+--------+---------+----------+ |Variable | Coefficient | Standard Error |b/St.Er.|P[|Z|>z] | Mean of X| +---------+--------------+----------------+--------+---------+----------+ Constant 6.253785614 .28619498 21.851 .0000 LNX1 -.6503978785E-01 .81223773E-01 -.801 .4233 2.9050166 LNX2 .2280710051 .69536894E-01 3.280 .0010 1.7537937 LNX3 .1043414859 .42450716E-01 2.458 .0140 2.9020082 LNX4 .4111992886E-01 .20151961E-01 2.040 .0413 -.35683972 DS -.9277114202E-01 .33898754E-01 -2.737 .0062 .60000000 Normal exit from iterations. Exit status=0. +---------------------------------------------+ | Limited Dependent Variable Model - FRONTIER | | Maximum Likelihood Estimates | | Dependent variable LNY | | Weighting variable ONE | | Number of observations 200 | | Iterations completed 14 | | Log likelihood function 35.59527 | | Variances: Sigma-squared(v)= .00808 | | Sigma-squared(u)= .10462 | | Wald test of 1 linear restrictions | | Chi-squared = 43.25, Sig. level = .00000 | +---------------------------------------------+ +---------+--------------+----------------+--------+---------+----------+ |Variable | Coefficient | Standard Error |b/St.Er.|P[|Z|>z] | Mean of X| +---------+--------------+----------------+--------+---------+----------+ Primary Index Equation for Model Constant 6.498854804 .26509020 24.516 .0000 LNX1 .2904273916E-01 .70450877E-01 .412 .6802 2.9050166 LNX2 .1551468200 .67663878E-01 2.293 .0219 1.7537937 LNX3 .4615369338E-01 .41234682E-01 1.119 .2630 2.9020082 LNX4 .3238346340E-01 .19268466E-01 1.681 .0928 -.35683972 DS -.5435220007E-01 .35019418E-01 -1.552 .1206 .60000000 Variance parameters for compound error Lambda 3.598477295 .63767585 5.643 .0000 Sigma .3357116967 .15000771E-01 22.380 .0000

จาก Output ที่ไดจะแบงออกเปน 2 สวน คือ สวนที่ประมาณคาดวยวิธีการ Ordinary least squares regression (OLS) สวนที่ประมาณคาดวยวิธีการ Maximum Likelihood Estimates (MLE)

ซึ่งในการวิเคราะหผลนั้นจะนําสวนที่ประมาณคาดวย MLE ไปใช



นอกจากนี้ Limdep ยังเปดโอกาสใหสามารถเขียน command การคํานวณขึ้นมาได และสามารถเก็บไวใชในอนาคตไดอีกดวย ในการเขียน command หรือ program นั้น ใหเลือกที่แถบเครื่องมือวา File แลวเลือก new ดังนี้ หลังจากเลือก File/New… จะปรากฏหนาตางตามขางลาง แลวใหเลือก Text/command Document แลวตอบ OK. จะไดหนาตางใหม สําหรับการเขียน program



เมื่อไดหนาตางแลวใหพิมพ command ตามที่ตองการ สําหรับในตัวอยางนี้ใหพิมพ command เหลานี้

บรรทัดที่ 1 DSTAT;Rhs=LNY,LNX1,LNX2,LNX3,LNX4,DS;Output=2$

หมายความวา ใหโปรแกรมวิเคราะห Descriptive Statistics และ หาCorrelation Matrix ของตัวแปรตางๆ บรรทัดที่ 2 NAMELIST; x=ONE,LNX1,LNX2,LNX3,LNX4,DS$

หมายความวา กําหนดให ตัวแปร x ประกอบไปดวยตัวแปร ONE,LNX1,LNX2,LNX3,LNX4,DS บรรทัดที่ 3 FRONTIER;Lhs=LNY;Rhs=x;Test:b(2)+b(3)+b(4)+b(5)=1$

หมายความวา ทําการประมาณคาสมการดวยวิธีการ Stochastic Frontier โดยมีตัวแปรตามคือ lny และ ตัวแปรอิสระ คือ x แลวทดสอบวา คา b(2)+b(3)+b(4)+b(5)=1 หรืออาจกลาวไดวาเปนการ ทดสอบวาสมการการผลิตอันนี้มีลักษณะเปน constant returns to scale หรือไม โดยมี สมมติฐานของการทดสอบวา H0 : b(2)+b(3)+b(4)+b(5)=1 หรือไม ถา sig. แสดงวา ไมยอมรับ H0 แตถาไม sig. แสดงวา ยอมรับ H0 บรรทัดที่ 4 CREATE;ypre= B'X$

หมายความวา สรางคา ypre จาก B'X บรรทัดที่ 5 create;e=lny-ypre$

หมายความวา สรางคา e จาก lny-ypre บรรทัดที่ 6 create;ee=(e*lmda)/s$

หมายความวา สรางคา ee จาก (e*lmda)/s [lmda คือ Lambda และ s คือ sigma] บรรทัดที่ 7 create;ti=-((s*lmda)/(1+(lmda^2)))*(((n01(ee))/(1-(phi(ee))))-ee)$

หมายความวา สรางคา ti จาก -((s*lmda)/(1+(lmda^2)))*(((n01(ee))/(1-(phi(ee))))-ee

สามารถแสดงในรูปแบบสมการไดดังนี้ ( )

σελ

−

σελ

Φ−

σελ

φ×

λ+σλ

−=11

ti 2

บรรทัดที่ 8 create;te=exp(ti)$

หมายความวา สรางคา te จาก exp(ti) บรรทัดที่ 9 create;tii=-1*(ti)$

หมายความวา สรางคา tii จาก -1*ti บรรทัดที่ 10 regress;lhs=tii;rhs=one,lnedu,lnage$

หมายความวา run regression โดยมีตัวแปรตามคือ tii และตัวแปรอิสระคือ one,lnedu,lnage จะเห็นไดวาวิธีการนี้จะงายและไดผลการวิเคราะหออกมาทั้งหมด แตถาใชจากแถบเครื่องมือจะไดเฉพาะสมการการผลิตเทานั้น แตถาตองการคํานวณหา Technical Inefficiency หรือ Technical Efficiency จะตองนํามาคํานวณตางหาก แลวมา run ตอในครั้งที่สอง ภายหลังจากการเขียน Program เสร็จก็ใหทําการบันทึกเก็บไว ซึ่งจะมีสกุล file ที่เปน .lim ซึ่งในอนาคตสามารถที่จะนํา program ที่เขียนไวกลับมาใชไดใหม



สําหรับการ run program ที่เขียนไว ใหใช Mouse ลากใหปรากฏแถบดําทั้งหมดดังรูป ตอมาใหกดปุม แลวจะได Output ออกมาเชนเดียวกัน และไดคาความไมมีประสิทธิภาพและ ความมีประสิทธิภาพของแตละ Observations ออกมา ตลอดจนได output ของสมการปจจัยที่มีผลตอความไมมีประสิทธิภาพออกมาดวย การอานผลการวิเคราะหท่ีไดจาก Limdep สําหรับการอานผลการวิเคราะหในที่นี้จะขอยกตัวอยางที่ไดกลาวมาแลวขางตน ดังนี้ ฟงกชันการผลิตที่ตองการวิเคราะห 11443322110 Dxlnxlnxlnxlnyln γ−β+β+β+β+β= แบบจําลองฟงกชันการผลิต มีตัวแปรอิสระ 4 ตัว คือ x1 ,x2 ,x3 ,x4 และตัวแปรหุน 1 ตัว คือ D1 ตองการทดสอบสมมติฐานคือ 1:H 43210 =β+β+β+β 1:H 4321a ≠β+β+β+β

ฟงกชันปจจัยที่มีผลตอความไมมีประสิทธิภาพ คือ AGElnEDUlnTI 21 δ+δ+µ= ในการวิเคราะหเลือกใชโปรแกรม Limdep แลวดําเนินการตามขั้นตอนที่ไดกลาวมาแลวปรากฏวาไดผลลัพธของการประมาณคาฟงกชันการผลิตดวยวิธีการ MLE ดังนี้



+---------------------------------------------+ | Limited Dependent Variable Model - FRONTIER | | Maximum Likelihood Estimates | | Dependent variable LNY | | Weighting variable ONE | | Number of observations 200 | | Iterations completed 14 | | Log likelihood function 35.59527 | | Variances: Sigma-squared(v)= .00808 | | Sigma-squared(u)= .10462 | | Wald test of 1 linear restrictions | | Chi-squared = 43.25, Sig. level = .00000 | +---------------------------------------------+ +---------+--------------+----------------+--------+---------+----------+ |Variable | Coefficient | Standard Error |b/St.Er.|P[|Z|>z] | Mean of X| +---------+--------------+----------------+--------+---------+----------+ Primary Index Equation for Model Constant 6.498854804 .26509020 24.516 .0000 LNX1 .2904273916E-01 .70450877E-01 .412 .6802 2.9050166 LNX2 .1551468200 .67663878E-01 2.293 .0219 1.7537937 LNX3 .4615369338E-01 .41234682E-01 1.119 .2630 2.9020082 LNX4 .3238346340E-01 .19268466E-01 1.681 .0928 -.35683972 DS -.5435220007E-01 .35019418E-01 -1.552 .1206 .60000000 Variance parameters for compound error Lambda 3.598477295 .63767585 5.643 .0000 Sigma .3357116967 .15000771E-01 22.380 .0000

การพิจารณาผลการประมาณคาสัมประสิทธ์ิ

1. ในขั้นแรกตองพิจารณาวาผลลัพธนี้มีคา lambda และ sigma ที่ sig. หรือไม โดยดูที่หมายเลข 1 ถาหากตัวเลขในกลองหมายเลข 1 มีคาว่ิงเขาใกลศูนยยิ่งดี ซึ่งในตัวอยางแสดงใหเห็นวาตัวแปร lambda และ sigma นั้นมีคาสัมประสิทธิที่ไมเทากับศูนย โดยเฉพาะคา Lambda ที่คํานวณมาจาก vu σσ ซึ่งเปนคาที่แสดงใหเห็นวาแบบจําลองที่กําลังพิจารณาอยูนี้มีพรมแดนหรือไม ซึ่งถาหากคา Lambda เทากับ ศูนย แสดงวาแบบจําลองนี้ไมมีพรมแดน ในทางตรงกันขามถาหากคา Lamda ไมเทากับ ศูนย แสดงวา แบบจําลองนี้มีพรมแดนการผลิต

2. ตอมาใหพิจารณาคาสัมประสิทธิ์ของตัวแปรตามวามีเครื่องหมายถูกตองหรือไม และตัวแปรไหนบางที่สามารถนํามาใชอธิบายไดในทางสถิติ หรือมีคา sig. โดยคาสถิติทดสอบที่ใช ก็คือ t-test และมีสมมติฐานวา

0:H0:H

ia

i0

≠β

=β

ถาหากตัวแปรไหนมีคา P[|Z|>z]เขาใกล 0 แสดงวา จะไมยอมรับสมมติฐาน 0:H i0 =β 3. ดูที่ Wald Test ซึ่งเปนการทดสอบสมมติฐานที่กําหนดไว คือ 1:H 43210 =β+β+β+β ซึ่งใน

ตัวอยางนี้แสดงใหเห็นวาคา Chi-squared ที่คํานวณไดมีคาสูงกวาคาวิกฤติ หรือ sig. นั่นเอง แสดงวา ไมยอมรับสมมติฐานหลักคือ 1:H 43210 =β+β+β+β หรือหมายความวา สมการการผลิตนี้ไมมีลักษณะเปน constant returns to scale

ภายหลังจากไดสมการพรมแดนการผลิตแลวก็คํานวณหาคา TI และ TE เมื่อไดคาดังกลาวแลว ก็นํามา run หา

ปจจัยที่มีผลตอความไมมีประสิทธิภาพตอ ผลจากการประมาณคาที่ได คือ

1

2

3



+-----------------------------------------------------------------------+ | Ordinary least squares regression Weighting variable = none | | Dep. var. = TII Mean= .2477939426 , S.D.= .1932427693 | | Model size: Observations = 200, Parameters = 3, Deg.Fr.= 197 | | Residuals: Sum of squares= 7.394030721 , Std.Dev.= .19373 | | Fit: R-squared= .005003, Adjusted R-squared = -.00510 | | Model test: F[ 2, 197] = .50, Prob value = .61015 | | Diagnostic: Log-L = 45.9767, Restricted(b=0) Log-L = 45.4751 | | LogAmemiyaPrCrt.= -3.268, Akaike Info. Crt.= -.430 | | Autocorrel: Durbin-Watson Statistic = 1.36145, Rho = .31928 | | Results Corrected for heteroskedasticity | | Breusch - Pagan chi-squared = 2.3114, with 2 degrees of freedom | +-----------------------------------------------------------------------+ +---------+--------------+----------------+--------+---------+----------+ |Variable | Coefficient | Standard Error |t-ratio |P[|T|>t] | Mean of X| +---------+--------------+----------------+--------+---------+----------+ Constant .2564453871 .40221348 .638 .5245 LNEDU -.3416114722E-01 .62134288E-01 -.550 .5831 1.9702571 LNAGE .1535594057E-01 .80541907E-01 .191 .8490 3.8196812

การพิจารณาผลการประมาณคาสัมประสิทธ์ิ

1. พิจารณาวาแบบจําลองนี้มีคา 2R และ 2R เทาไหร การพิจารณาคาสถิติสองตัวน้ีทําใหทราบวา ในแบบจําลองที่ใชในการศึกษาครั้งน้ี ตัวแปรอิสระสามารถอธิบายตัวแปรตามไดดีเทาไหร จากตัวอยางจะเห็นไดวา แบบจําลองนี้แสดงใหเห็นวา ตัวแปรอิสระของแบบจําลองสามารถอธิบายตัวแปรตามไดประมาณ 0.5% ภายหลังจากพิจารณาคา 2R และ 2R แลวในบรรทัดตอมาเปนการพิจารณาคาสถิติ F ซึ่งคาสถิติที่ใชในการทดสอบสมมติฐานวา

0:H0:H

a

0

≠β

=β

จากตัวอยางจะเห็นไดวา คา F(2, 197) = 0.5 และมีคา Prob value = 0.61015 แสดงวา คา F ที่คํานวณไดมีคาตํ่ากวาคาวิกฤต หรือไม sig. ดังนั้น ในแบบจําลองนี้จะยอมรับสมมติฐาน 0:H 0 =β ซึ่งหมายความวา ตัวแปรอิสระไมสามารถอธิบายตัวแปรตามไดอยางมีนัยสําคัญทางสถิติ

2. พิจารณาวา แบบจําลองนี้มีปญหา heteroskedasticity โดยใชวิธีการ Breusch - Pagan Test และใชคาสถิติ Chi-squared ในการทดสอบ สําหรับสมมติฐานของการทดสอบมีดังนี้

sticityHetroskedaHticityHomoscedasH

a

0

==

จากตัวอยางจะเห็นไดวา Chi-squared (2) มีคา 2.3114 ซึ่งเมื่อเทียบกับคาวิกฤติที่ degrees of freedom = 2 ที่ระดับนัยสําคัญ 95 (มีคาเทากับ 5.991 : เปดจากตาราง Chi-squared) พบวา คา Chi-squared ที่คํานวณไดมีคาตํ่ากวาคาวิกฤติ หรือไม sig. ดังน้ันในแบบจําลองนี้จึงยอมรับสมมติฐาน ticityHomoscedasH0 = หรืออาจกลาวไดวาแบบจําลองนี้ไมมีปญหา Hetroskedasticity

3. พิจารณาคาสัมประสิทธิ์ของตัวแปรตามวามีเครื่องหมายถูกตองหรือไม และตัวแปรไหนบางที่สามารถนํามาใชอธิบายไดในทางสถิติ หรือมีคา sig. โดยคาสถิติทดสอบที่ใช ก็คือ t-test และมีสมมติฐานวา

0:H0:H

ia

i0

≠β

=β

ถาหากตัวแปรไหนมีคา P[|Z|>z]เขาใกล 0 แสดงวา จะไมยอมรับสมมติฐาน 0:H i0 =β

1

2

3



จากผลการวิเคราะห สามารถอธิบายไดวา แบบจําลองที่ไดมีพรมแดนการผลิตและสามารถนําไปวัดประสิทธิภาพทางเทคนิคได ปจจัยการผลิตทุกปจจัยมีผลทําใหผลผลิตขาวเพ่ิมขึ้น ในขณะที่ตัวแปรที่แสดงถึงภาวะปญหาความแหงแลงจะทําใหผลผลิตขาวลดลง สําหรับปจจัยที่มีผลตอผลผลิตของขาวอยางมีนัยสําคัญทางสถิติที่ 0.10 ไดแก ปจจัยทางดานปุยและสารเคมี นอกจากนี้ยังทราบวา การผลิตขาวของเกษตรกรกลุมตัวอยางมีประสิทธิภาพทางเทคนิคโดยเฉลี่ยประมาณ 0.79 สําหรับปจจัยที่มีผลตอความไมมีประสิทธิภาพทางเทคนิคน้ัน ปรากฏวา ปจจัยทั้งสองที่นํามาใชในการพิจารณาครั้งน้ี มีผลตอความไมมีประสิทธิภาพทางเทคนิคอยางไมมีนัยสําคัญทางสถิติ ที่ 0.10 โดยเกษตรกรที่มีระดับการศึกษาที่ส ูงจะทําใหความไมมีประสิทธิภาพทางเทคนิคลดลง ในขณะเดียวกัน อายุของหัวหนาครัวเรือนที่สูงขึ้น จะยิ่งทําใหความไมมีประสิทธิภาพทางเทคนิคเพิ่มขึ้นดวย 4. การใชโปรแกรม Frontier Version 4.1 ในการวิเคราะห การอานผลการวิเคราะห กอนที่จะใชโปรแกรม Frontier 41 ในการวิเคราะหขอมูล ในที่น้ีขอนําเสนอขอควรจําบางอยางสําหรับการใชโปรแกรม Frontier 41 ในการวิเคราะหขอมูล

ในการวิเคราะหโดยใช Frontier 41 จะตองมีการจัดการ file อยู 3 file คือ File ขอมูล จัดการใหอยูในรูปแบบของ Text file (ASCII) ปกติจะใชนามสกุล .prn

สําหรับการจัดการขอมูลที่ใชกับ Frontier 41 น้ันมีขอจํากัดของการจัดแถวของขอมูลดังนี้ - Column แรกของขอมูลจะตองเปน Column ที่แสดงถึง จํานวนตัวอยาง (obs) - Column ที่สองของขอมูลจะตองเปน Column ที่แสดงถึง จํานวนเวลา (time) - Column ที่สามของขอมูลจะตองเปน Column ที่แสดงถึง ตัวแปรตาม (y) - Column ตอของขอมูลจะตองเปน Column ที่แสดงถึง ตัวแปรอิสระ (x) - สําหรับการวิเคราะห TE effect model ใน column ตอจากตัวแปรอิสระขอมูลของตัวแปรอิสระที่ใช

ในแบบจําลองความไมมีประสิทธิภาพทางเทคนิค File output จะมีนามสกุล .out File คําสั่ง จะมีนามสกุล .ins

File ทั้งสามควรอยูที่เดียวกันทั้งหมด Frontier 41 จะให output ของการประมาณคาสมการดวยวิธีการ OLS และ MLE แตที่นําไปใชอธิบาย ก็คือ ผลการประมาณคาดวย MLE

Frontier 41 จะใหคา γ แทน คา λ โดย γ = σU2/(σV

2+σU2) ในขณะที่ vu /σσ=λ

มีคา LR test สําหรับการทดสอบสมมติฐานที่วา

0:H0:H

a

0

≠γ=γ

คา LR test ที่โปรแกรม Frontier 41 คํานวณมาใหจะนําไปเปรียบเทียบกับคาวิกฤติ Chi-squared โปรแกรม Frontier 41 จะทําการคํานวณหาประสิทธิภาพทางเทคนิคระดับตัวอยาง หรือ ระดับ firm มาให พรอมทั้งคาเฉลี่ยของระดับประสิทธิภาพ



ความสามารถของ Frontier 41 ในการวิเคราะหขอมูล ประมาณคาแบบจําลอง stochastic frontier แบบปกติที่ใชกับขอมูล cross section data

yi = xiβ + (vi - ui) ; i = 1,…, n โดยที่ y = ผลผลิต (Output) x = ปจจัยการผลิต (Input) β = พารามิเตอร (Parameter) v = คาความคลาดเคลื่อนที่มีลักษณะการแจกแจงแบบสองดาน ; ( )2

v,0N~v σ u = คาความคลาดเคลื่อนที่มีลักษณะการแจกแจงแบบดานเดียว; ( )2

u,0N~u σ แบบจําลองที่เสนอโดย Battese and Coelli (1992) ที่เปนแบบจําลองที่ใชกับขอมูล panel data และสมมติให

u มีการกระจายแบบ truncated yit = xitβ + (vit - uit) ,i=1,...,N, t=1,...,T,

โดยที่ yit = ผลผลิตของหนวยผลิตที่ i ณ เวลาที่ t xit = ปจจัยการผลิตที่ใชโดยหนวยผลิตที่ i ณ เวลาที่ t β = พารามิเตอร (Parameter) vit = คาความคลาดเคลื่อนที่มีลักษณะการแจกแจงแบบสองดาน ; ( )2

vit ,0N~v σ uit = คาความคลาดเคลื่อนที่มีลักษณะการแจกแจงแบบดานเดียว โดย uit = (uiexp(-η(t-T))) และใหสมมติให u มีการกระจายแบบ truncations at zero ; ( )2

uit ,N~u σµ η = คาพารามิเตอรที่ไดจากการประมาณคา

แบบจําลองที่เสนอโดย Battese and Coelli (1995) ที่เปนแบบจําลองที่เรียกกันวา Inefficiency effects แบบจําลองนี้คลายกับแบบจําลองที่กลาวมาแลว เพียงแตวา ( )2

uitit ,mN~u σ โดยที่ mit = zitδ โดยที่ zit = ปจจัยที่มีผลตอความไมมีประสิทธิภาพ δ = พารามิเตอร (Parameter)

แบบจําลอง Cost Functions

1. จัดการขอมูลที่ใชสําหรับการวิเคราะห ตามที่เสนอมาแลวในหัวขอที่ 2 เมื่อทําเสร็จแลวใหเปด file ที่มีนามสกุล .ins ซึ่งในที่น้ีจะสมมติใหช่ือวา test.ins เปดโดยใช program notepad ภายหลังจากเปด file ดังกลาวแลว ใหทําการกําหนดคาตางๆ ตามความตองการ 2 1=ERROR COMPONENTS MODEL, 2=TE EFFECTS MODEL เลือกวิธีการ test.prn DATA FILE NAME ชื่อ file data test.out OUTPUT FILE NAME ชื่อ file output 1 1=PRODUCTION FUNCTION, 2=COST FUNCTION ชนิดของ function ท่ีประมาณคา y LOGGED DEPENDENT VARIABLE (Y/N) ตัวแปรตามเปนคา ln หรือไม 200 NUMBER OF CROSS-SECTIONS จํานวน obs ท่ีเปน cross-sections 1 NUMBER OF TIME PERIODS จํานวน time



200 NUMBER OF OBSERVATIONS IN TOTAL จํานวน obs ท้ังหมด 4 NUMBER OF REGRESSOR VARIABLES (Xs) จํานวนตัวแปรอิสระ y MU (Y/N) [OR DELTA0 (Y/N) IF USING TE EFFECTS MODEL] ใชสําหรับ TE EFFECTS MODEL ถาไมใช ใหใส n แตถาเลือก TE EFFECTS MODEL ใหใส y 2 ETA (Y/N) [OR NUMBER OF TE EFFECTS REGRESSORS (Zs)] จํานวนตัวแปรอิสระใน TE EFFECT MODEL n STARTING VALUES (Y/N) IF YES THEN BETA0 BETA1 TO BETAK SIGMA SQUARED GAMMA MU [OR DELTA0 ETA DELTA1 TO DELTAP] NOTE: IF YOU ARE SUPPLYING STARTING VALUES AND YOU HAVE RESTRICTED MU [OR DELTA0] TO BE ZERO THEN YOU SHOULD NOT SUPPLY A STARTING VALUE FOR THIS PARAMETER. ภายหลังจากกําหนดคาตางๆ แลวใหทําการ save file ตอมาใหสราง file output โดยใช notepad หรือเปลี่ยนช่ือก็ได ในที่สุดแลว เราจะมี file ทั้งหมด 3 file ครบ คือ file data, file คําสั่ง และ file output ตอมาใหไปที่ Directory ที่เก็บโปรแกรม frontier 41 แลวเลือก file front41.exe (ดับเบิลคลิก) จะปรากฏหนาตางดังนี้

สําหรับสวนนี้โดยปกติจะไมมี การเปลี่ยนแปลง หรือกําหนดคาใดๆ



สําหรับในตัวอยางนี้ให พิมพคําวา f ลงไป (แตถาไมมี file คําสั่ง ก็ใหเลือก t) หลังจากพิมพ f แลวใหกด enter โปรแกรมขึ้นมาวา “enter instruction file” ใหใสช่ือ file พรอมนามสกุล ในที่น้ี ก็คือ “test.ins” แลวกด enter ภายหลังจากกด ENTER แลว โปรแกรมจะโชวขอความวา ซึ่งแสดงวา โปรแกรมไดทํางานเสร็จแลว และได save output ที่ไดไวที่ file test.out หลังจากนั้น โปรแกรม ก็จะทําการปดตัวเอง ตอมาใหไปเปด file output ดวยโปรแกรม notepad เพ่ือเอาผลการประมาณคามาใชในการวิเคราะห ซึ่งโปรแกรม Frontier 41 จะใหผลการประมาณคาสัมประสิทธิ์ดวยวิธีการ OLS และ MLE และจะทําการคํานวณประสิทธิภาพทางเทคนิคของแตละ obs ใหเสร็จ พรอมทั้งคํานวณหาระดับประสิทธิภาพเฉลี่ยใหดวย สําหรับวิธีการอานก็ทําเชนเดียวกับการใช Program limdep ในที่น้ีจะขอยกตัวอยาง print out ที่ไดจากโปรแกรม Frontier 41 ดังนี้



Output from the program FRONTIER (Version 4.1c) instruction file = test.ins บอก file คําสั่ง data file = test.prn บอก data file Tech. Eff. Effects Frontier (see B&C 1993) บอกวิธีการ The model is a production function บอกประเภทฟงกชันท่ีประมาณคา The dependent variable is logged บอกสถานะของตัวแปรตามวาใส ln หรือไม the ols estimates are : ผลการประมาณคาดวย OLS coefficient standard-error t-ratio beta 0 0.67832377E+01 0.29710606E+00 0.22831031E+02 beta 1 0.13311262E+00 0.29033965E-01 0.45847207E+01 beta 2 0.53828226E-01 0.40458717E-01 0.13304482E+01 beta 3 0.38287573E-01 0.20901205E-01 0.18318357E+01 beta 4 0.63340324E-01 0.20727905E-01 0.30557996E+01 sigma-squared 0.72656265E-02 log likelihood function = 0.21120415E+03 the final mle estimates are : ผลการประมาณคาดวย MLE coefficient standard-error t-ratio beta 0 0.68035248E+01 0.27621808E+00 0.24630990E+02 beta 1 0.14090001E+00 0.12980541E-01 0.10854710E+02 beta 2 0.59637576E-01 0.27333479E-01 0.21818509E+01 beta 3 0.31822157E-01 0.19531378E-01 0.16292837E+01 beta 4 0.50714890E-01 0.19635898E-01 0.25827640E+01 delta 0 -0.15974053E+01 0.19210362E+01 -0.83153314E+00 delta 1 0.16341696E+00 0.23322891E+00 0.70067195E+00 delta 2 0.12024063E+00 0.18613905E+00 0.64597209E+00 sigma-squared 0.64111750E-02 0.18333665E-02 0.34969413E+01 gamma 0.14476156E-01 0.45211937E+00 0.32018437E-01 log likelihood function = 0.21733538E+03 LR test of the one-sided error = 0.12262448E+02 with number of restrictions = 4 [note that this statistic has a mixed chi-square distribution] technical efficiency estimates : ผลการคํานวณความมีประสิทธิภาพทางเทคนิคของแตละ firm firm year eff.-est. 1 1 0.99478248E+00 2 1 0.96715227E+00 . . . . . . 200 1 0.95670492E+00 mean efficiency = 0.97588592E+00 ผลการคํานวณคาความมีประสิทธิภาพทางเทคนิคเฉลี่ย

Stochastic Frontier Production

Technical Inefficiency Model

Variance Parameters



สรุป โปรแกรมทั้งสองสามารถนํามาใชในการวิเคราะห Stochastic Frontier ไดเชนเดียวกัน โดยคาสถิติและตัวเลขที่ออกมานั้นมีความใกลเคียงกัน (ตางกันประมาณทศนิยมที่ 2 หรือ 3) แตอยางไรก็ตามโปรแกรม Frontier 41 จะสามารถใชงานไดงาย ถาผูวิจัยมีแบบจําลองที่แนนอน ไมตองการทดสอบใดๆ แตถาหากยังไมสามารถสรุปไดวาจะใชตัวแปรหรือแบบจําลองใด ก็ควรใช Limdep ในการคํานวณดีกวา สําหรับผูเขียนเอง ขอแนะนํา TIP สําหรับการใชโปรแกรมทั้งสองใหมีประสิทธิภาพ ดังนี้

เอกสารอางอิง

Battese, G.E. and Coelli, T.J. 1988. “Prediction of Firm-Level Technical Efficiencies With a Generalised Frontier

Production Function and Panel Data.” Journal of Econometrics. 38 : pp387–399. Battese, G.E. and Coelli, T.J. 1992. “Frontier Production Functions, Technical Efficiency and Panel Data : With

Application to Paddy Farmers in India.” Journal of Productivity Analysis. 3 : pp153–169. Battese, G.E. and Coelli, T.J. 1995. “A Model for Technical Inefficiency Effects in a Stochastic Frontier Production

Function for Panel Data.” Empirical Economics. 20 : pp325–332. Battese, G.E. and Coelli, T.J. and Colby, T.C. 1989. “Estimation of Frontier Production Functions and the Efficiencies of Indian

Farms Using Panel Data From ICRISAT’s Village Level Studies.” Journal of Quantitative Economics. 5 : pp327–348. Bauer, P.W. 1990. “Recent Developments in the Econometric Estimation of Frontiers.” Journal of Econometrics. 46 : pp39–56. Bravo – Ureta, B. and L. Rieger. 1991. “Dairy Farm Efficiency Measurement Using Stochastic Frontiers and

Neoclassical Duality.” American Journal of Agricultural Economics 73 : pp421-427. Coelli, T. 1996. “A Guide to FRONTIER version 4.1 : A Computer Program for Stochastic Frontier Production and Cost

Function Estimation.” CEPA Working Papers. Department Of Econometrics, University of New England Australia. Farrell, M.J. 1957. "The Measurement of Productive Efficiency." Jour. of the Royal Stat. Society, Ser. A (General), Part III. Greene, W. 1995. LIMDEP Version 7.0 User’s Manual. New South Wales : Econometric Software. Greene, W. 1997. Econometric Analysis. New Jersey : Prentice Hall. Jondrow, J., C. Lovell, I. Materov, and P. Schmidt. 1982. “On the Estimation of Technical Inefficiency in the Stochastic Frontier

Production Function Model.” Journal of Econometrics 19 : pp233–38. Maddala, G. 1977. Econometrics. Tokyo : McGraw–Hill. Maddala, G.S. 1983. Limited Dependent and Qualitative Variables in Econometrics. Cambridge : Cambridge University Press. Seyoum, E., G. Battese, and Fleming. 1998. “Technical Efficiency and Productivity of Maize Producers in Eastern Ethiopia :

A Study of Farmers within and outside the Sasakawa – Global 2000 Project.” Agricultural Economic. 19 : pp341-348.

ควรใชโปรแกรม Limdep ในการหาตัวแปรและแบบจําลองท่ีจะใช ภายหลังจากทราบแบบตัวแปรและแบบจําลองที่ใชแลว ก็จะนําไปประมาณคาดวยโปรแกรม Frontier 41 เนื่องจาก Frontier 41 มีความงายในขั้นตอนของการคํานวณ ความมีประสิทธิภาพทางเทคนิค

คู มือการใช limdep และ frontier version 4 · คู...

Documents