Equacao do 2o GrauMODULO 1 - AULA 8

Aula 8 Equacao do 2o Grau

Definicao

Definicao 1

Equacao do 2o Grau e toda equacao da forma ax2+bx+c = 0,

onde a, b, c R, com a 6= 0.

Nota: Repare que a 6= 0 e fundamental na definicao da equacao do 2o grau.De fato, se a = 0, entao ax2 + bx + c = 0 e reduzida a` equacao bx + c = 0

que e uma equacao do 1o grau (na hipotese em que b 6= 0).

Exemplo 1

a) Na equacao 7x2 + x 1 = 0 temos a = 7, b = 1 e c = 1.

b) Na equacao x2 x 1 = 0 temos a = 1, b = 1 e c = 1.

c) Na equacao x2 10x = 0 temos a = 1, b = 10 e c = 0.

d) Na equacao x2 25 = 0 temos a = 1, b = 0 e c = 25.

Resolucao de uma Equacao do 2o Grau (Metodo de

Baskara)

Uma equacao do 2o grau ax2 + bx + c = 0, onde a, b, c R, coma 6= 0, possui no maximo duas razes. Vamos estabelecer um procedimentopara encontrar essas razes. O metodo de Baskara consiste em completar

quadrados para isolar a incognita x. Veja como funciona passo-a-passo.

1o passo: Vamos multiplicar a equacao por 4a:

4a(ax2 + bx+ c

)= 4a(0) 4a2x2 + 4abx+ 4ac = 0 .

2o passo: Vamos somar b2 aos dois membros da igualdade:

4a2x2 + 4abx+ 4ac+ b2 = 0 + b2 4a2x2 + 4abx+ 4ac+ b2 = b2 .

Equacao do 2o Grau

3o passo: Neste ultimo passo vamos manipular algebricamente a equacao

obtida no passo anterior:

4a2x2 + 4abx+ 4ac + b2 = b2 4a2x2 + 4abx+ b2 = b2 4ac (2ax+ b)2 = b2 4ac 2ax+ b = b2 4ac x = b

b2 4ac2a

A expressao que acabamos de determinar para a raiz x da equacao e cha-

mada de solucao geral. O numero = b2 4ac recebe a denominacao dediscriminante da equacao.

Exemplo 2

a) Vamos achar as razes da equacao x2 7x+ 6 = 0.Solucao:

a = 1, b = 7 e c = 6. Entao:

x =(7)(7)2 4 1 6

2 1 =725

2=

7 52

x = 1 ou x = 6 .

Portanto, S = {1, 6} e o conjunto solucao da equacao.

b) Vamos achar as razes da equacao x2 + 11x+ 28 = 0.

Solucao:

a = 1, b = 11 e c = 28. Entao:

x =11(11)2 4 1 28

2 1 =119

2=11 3

2 x = 7 ou x = 4 .

Portanto, S = {7,4} e o conjunto solucao da equacao.

Obs.:

1) Se a, b e c sao reais nao-nulos, entao, a equacao ax2+ bx+ c = 0, diz-se

completa.

2) Se pelo menos um dos numeros reais b ou c e nulo, entao, a equacao

ax2+bx+c = 0 diz-se incompleta. Uma equacao do 2o grau incompleta

pode ser resolvida diretamente, sem passar pela formula geral. Vamos

tratar estes casos.

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Equacoes Incompletas

1o caso: b = 0.

Neste caso, a equacao ax2 + bx+ c = 0 se torna ax2 + c = 0. Portanto,

a solucao pode ser obtida:

ax2 + c = 0 ax2 = c x2 = ca x =

ca.

Repare que na situacao que ca> 0, a equacao admite duas razes simetricas.

No caso em que ca< 0, a equacao nao possui solucao real.

Exemplo 3

a) Resolvendo a equacao 4x2 16 = 0 temos:

4x2 16 = 0 4x2 = 16 x2 = 164 x2 = 4 x = 2 .

Da, S = {2, 2} e o conjunto solucao.

b) Resolvendo a equacao 2x2 36 = 0 temos:

2x2 36 = 0 2x2 = 36 x2 = 362 x2 = 18 x = 3

2 .

Da, S = {32, 32} e o conjunto solucao.

c) Resolvendo a equacao 3x2 + 12 = 0 temos:

3x2 + 12 = 0 3x2 = 12 x2 = 123

x2 = 4 x = 4 .Da, S = , ou seja, a equacao nao possui solucao nos numeros reais.

2o caso: c = 0.

Neste caso, a equacao ax2+bx+c = 0 se torna ax2+bx = 0. Resolvendo

diretamente encontramos que:

ax2 + bx = 0 x(ax+ b) = 0 x = 0 ou ax+ b = 0 x = 0 ou ax = b x = 0 ou x = b

a.

Portanto, uma das razes e sempre nula e a outra e da forma ba.

Exemplo 4

a) Resolvendo a equacao 6x2 8x = 0 temos:

6x2 8x = 0 2x(3x 4) = 0 2x = 0 x = 0 ou 3x 4 = 0 x = 43.

Da, S = {0, 43} e o conjunto solucao da equacao.

Equacao do 2o Grau

b) Resolvendo a equacao x2 7x = 0 temos que

x2 7x = 0 x(x 7) = 0 x = 0 ou x 7 = 0 x = 7 .

Da, S = {0, 7} e o conjunto solucao da equacao.

Discussao Sobre Existencia e Numero de Razes

As razes da equacao do 2o grau sao obtidas pela formula

x =b

2a, onde = b2 4ac .

Portanto,

Se < 0 entao a equacao nao tem razes reais;

Se = 0 entao a equacao tem duas razes reais e iguais;

Se > 0 entao a equacao tem duas razes reais e distintas.

Exemplo 5

a) Na equacao 9x2 + 6x+ 1 = 0 temos que

= 36 36 = 0 .

Assim, sem resolver a equacao dada, podemos afirmar que ela possui

duas razes reais e iguais pois = 0.

b) Na equacao x2 + x+ 4 = 0 temos que

= 1 16 = 15 .

Assim, sem resolver a equacao dada, podemos afirmar que ela nao

possui razes reais pois < 0.

Relacao entre os Coeficientes e as Razes de uma

Equacao do 2o Grau

Sabemos que as razes da equacao ax2 + bx+ c = 0 sao dadas por

x1 =b

2aou x2 =

b+2a

, onde = b2 4ac .

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Assim,

Soma (S = x1 + x2) das Razes

Usando os resultados anteriores obtemos que

S = x1 + x2 =b

2a+b+

2a=2b2a

= ba.

Logo,

S = ba.

Produto (P = x1 x2) das Razes

Usando os resultados anteriores obtemos que

P = x1x2 =(b

2a

)(b+

2a

)=

b2 4a2

=b2 (b2 4ac)

4a2=

4ac

4a2=

c

a.

Logo,

P =c

a.

Composicao da Equacao do 2o Grau

O nosso objetivo e determinar um processo para a obtencao de uma

equacao do 2o grau conhecidas as suas razes. Considere a equacao

ax2 + bx + c = 0, onde a, b, c R e a 6= 0. Dividindo a equacao por atemos que

ax2

a+bx

a+

c

a=

0

a x2

( b

a

)x+

c

a= 0 .

Como S = bae P =

c

atemos:

x2 Sx+ P = 0 .Portanto, a partir da prescricao de dois numeros x1 e x2, a equacao

x2 Sx + P = 0, admite estes numeros como razes desde que S = x1 + x2e P = x1 x2.

Exemplo 6

a) Calcule a soma e o produto das razes das equacao x2 8x+ 20 = 0.Solucao:

S = ba= (8)

1= 8 e P =

c

a=

20

1= 20 .

Equacao do 2o Grau

b) Calcule a soma e o produto das razes das equacao x2 + 18x 25 = 0.Solucao:

S = ba= 18

1= 18 e P = c

a=251

= 25 .

c) Calcule a soma e o produto das razes das equacao 3x2 54 = 0.Solucao:

S = ba= 0

3= 0 e P =

c

a=543

= 18 .

d) Escreva a equacao do 2o grau cujas razes sao 4 e -8.

Solucao:

S = 4 + (8) = 4P = 4 (8) = 32 .

Usando a formula x2 Sx+ P = 0 temos que

x2 + 4x 32 = 0 .

e) Escreva a equacao do 2o grau cujas razes sao 2 +3 e 23 .

Solucao:

S = 2 +3 + 23 = 4

P = (2 +3) (23) = 4 3 = 1 .

Usando a formula x2 Sx+ P = 0 temos que

x2 4x+ 1 = 0 .

Exerccios Propostos

1. Se x e positivo e se o inverso de x+ 1 e x 1, determine o valor de x.

2. Determine a relacao entre a e b para que a equacaob2

2

(x2+1

)+ax = 0

nao possua raiz real.

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3. Resolva as equacoes:

a) 2x2 5x 3 = 0b) x2 6x+ 8 = 0c) x2 4x+ 4 = 0d) x2 + 3

2 x+ 4, 5 = 0

4. Determine m para que a equacao 3x2 + (5m 2)x+m 1 = 0 admitarazes simetricas.

5. Determine o valor de m para que o produto das razes da equacao

5x2 8x+ 2m 1 = 0 seja igual a 20.

6. Determine a media aritmetica das razes da equacao

x2 (pm)x+ 3p 4m = 0 .

7. Determine os valores de k para os quais a equacao

(2k 3)x2 (5k + 6)x+ k + 4 = 0 .

a) Tenha razes simetricas

b) Tenha uma so raiz nula

8. Determine o valor de m de modo que o numero 3 seja uma das razes

da equacao 2x2 (4m+ 1)xm+ 2 = 0.

9. Determine a equacao do 2o grau de razes

a) 6 e -4

b) 4 +3 e 43

c)3

5e -2

10. Resolva a equacao x2 3kx+ 2k2 = 0.

Equacao do 2o Grau

Gabarito

1.2

2. a2 < b2

3. a) S = {3,12} b) S = {2, 4} c) S = {2} d) S = {3

2

2}

4. m = 25

5. m = 1012

6. pm2

7. a) k = 65

b) k = 48. m = 17

13

9. a) x2 2x 24 = 0 b) x2 8x+ 13 = 0 c) 5x2 + 7x 6 = 010. S = {k, 2k}

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