7/1/2008

1

Ontang Anting

Moment of Inertia

Energy

1

Adhi Harmoko  S

3

Passenger undergo “uniform circular motion”  (circular path at constant speed)Therefore, there must be a:

centripetal acceleration, ac.Therefore there must be a 

centripetal force, Fc.› it is directed toward the circle’s center› it depends on speed and size of circle:

ac = v2/r

Fc = m x ac = m x v2/r

4

When Ontang Anting is turning:› acceleration is toward the center of circle (inward)› so “fictitious force” is outward.

This is “fictitious force” is called  “centrifugal force”Centrifugal force is an experience of inertia:  It is NOT a real force.

5

Dufan duduk di bangku paling luar pada permainan ontang anting, and Dufi duduk di tengah tengah antara dufan dan titik tengah.  Ontang anting bergerak membuat satu putaran penuh setiap dua detik.› Kecepatan angular Dufi sama dengan

(a) Dufan (b) Dua kali Dufan(c) Setengah Dufan

6

Kecepatan angular ω pada sembarang titik pada benda pejal yang berputar pada pusat yang tetap adalah sama.› Dufan & Dufi berputar sekali (2π radians) selama dua detik

ω

(Kecepatan linier dufan dan dufi v akan berbeda karena v = ωr).

DufanDufi VV21

=

7/1/2008

2

7

Rotation about a fixed axis:› Consider a disk  rotating aboutan axis through its center:

First, recall what we learned aboutUniform Circular Motion:

(Analogous to              )

ω

θ

dtdθω =

dt

dxv =

8

Now suppose  ω can change as a function of time:We define the angular acceleration:

Consider the case when αis constant.› We can integrate this to

find ω and θ as a function of time:

α

2

2

dtd

dtd θωα ==

200

0

2

1

constant

tt

t

αωθθ

αωωα

++=

+==

ω

θ

9

Recall also that for a point at a distance R away from the axis of rotation:› x = θR› v = ωRAnd taking the derivative of this we find:

› a = αR

200

0

2

1

constant

tt

t

αωθθ

αωωα

++=

+=

=

ω

θ

α

x

v

R Angular Linier

10

constant=α

tαωω += 0

200 2

1tt αωθθ ++=

constant=a

atvv += 0

200 2

1attvxx ++=

And for a point at a distance R from the rotation axis:

11

Consider the simple  rotating system shown below.  (Assume  the masses are attached to the rotation axis by massless  rigid rods).The kinetic energy of this system will be the sum of the kinetic energy of each piece:

rr1

rr2rr3

rr4

m4

m1

m2

m3

ω

12

So: but vi = ωri ∑=i

iivmK 2

2

1

( ) ∑∑ ==i

iii

ii rmrmK 222

21

21 ωω

rr1

rr2rr3

rr4

m4

m1

m2

m3

ωvv4

vv1

vv3

vv2

which we write as:

2I21 ω=K

∑=i

ii rm 2I

Define the moment of inertiamoment of inertia

about the rotation axis

7/1/2008

3

Point ParticlePoint Particle Rotating SystemRotating System

v  is “linear” velocitym is the mass

ω is angular velocityI  is the moment of inertiaabout the rotation axis

13

The kinetic energy of a rotating system looks  similar to that of a point particle:

∑=i

ii rm 2I

.

2I21 ω=K2

21mvK =

14

Notice that the moment of inertia I depends on the distribution of mass in the system.› The further the mass is from the rotation axis, the bigger the moment of inertia.

For a given object, the moment of inertia will depend on where we choose  the rotation axis (unlike the center of mass).

We will see that in rotational dynamics, the moment of inertia Iappears in the same way that mass m does when we study linear dynamics!

2I21 ω=K ∑=

iii rm 2I

15

We have shown  that for N discrete point masses distributed about a fixed axis, the moment of inertia is:

where r is the distance from the mass to the axis of rotation

Example: Calculate the moment of inertia of four point masses (m) on the corners of a square whose sides have length L, about a perpendicular axis through the center of the square:

∑=i

ii rm 2I

mm

mm

L

16

The squared distance from each point mass to the axis is:

222

222 LLr =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

24

2222I

22222

1

2 Lm

Lm

Lm

Lm

Lmrm

N

iii =+++== ∑

=

so

Using the Pythagorean Theorem

mm

mm

L r

L/2

17

Now calculate I for the same object about an axis through the center, parallel to the plane (as shown):

44

4444I

22222

1

2 Lm

Lm

Lm

Lm

Lmrm

N

iii =+++== ∑

=

mm

mm

L

r

18

Finally, calculate I for the same object about an axis along one side (as shown):

mm

mm

L

r

2222

1

2 00I mmmLmLrmN

iii +++== ∑

=

7/1/2008

4

19

For a single object, I clearly depends on the rotation axis!!

mm

mm

L

mm

mm

mm

mm

20

For a discrete collection of point masses we found:

For a continuous  solid object we have to add up the mr2

contribution for every infinitesimal mass element dm.

› We have to do anintegral to find  I :

r

dm

dmr∫= 2I

∑=i

ii rm 2I

21

Some examples of I for solid objects:Thin hoop  (or cylinder) of mass Mand radius R, about an axis through its center, perpendicular  to the plane of the hoop.

2I MR=

R

2

21

I MR=

Thin hoop of mass M and radius R, about an axis through a diameter.R

22

Some examples of I for solid objects:

Solid sphere of mass M and radius R, about an axis through its center.

2

52

I MR=

2

21

I MR=

Solid disk or cylinder of mass M and radius R, about a perpendicular axis through its center.

R

R

23

Some examples of I for solid objects:

Thin rod of mass M and length L, about a perpendicular axis through its center.

2

121

I MR=

2

31

I MR=

Thin rod of mass M and length L, about a perpendicular axis through its end.

L

L

24

Two spheres have the same radius and equal masses.  One is made of solid aluminum, and the other is made from a hollow shell of gold.› Which one has the biggest moment of inertia about an axis through its center?

(a) solid aluminum (b) hollow gold     (c) same

same mass & radius

solid hollow

7/1/2008

5

25

Moment of inertia depends  on mass (same for both) and distance from axis squared, which is bigger for the shell  since its mass is located farther from the center.› The spherical shell  (gold) will have a bigger moment of inertia

same mass & radius

solid hollow

ISOLID   <   ISHELL

26

Suppose the moment of inertia of a solid object of mass Mabout an axis through the center of mass, ICM, is known.The moment of inertia about an axis parallel to this axis but a distance D away is given by:

So if we know ICM , it is easy to calculate the moment of inertia about a parallel axis.

27

Consider a thin uniform rod of mass M and length D. Figure out the moment of inertia about an axis through the end of the rod.

IPARALLEL = ICM + MD2

2

121

I MLCM =We know

22

2

31

2121

I MLL

MMLEND =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=So

which agrees with the result on a previous  slide.

L

D=L/2M

xCM

ICMIEND 

28

Suppose a force acts on a mass constrained to move in a circle.  Consider its acceleration in the    direction at some instant:

› aθ = αr

Now use Newton’s 2nd Law in the    direction:› Fθ = maθ = mα r

Multiply by r :› rFθ = mr2α

θθ̂̂

θθ̂̂

r 

aaθ

α

FF

m

rr̂̂θθ^̂

Fθ

29

rFθ = mr2α use 

= Ι αDefine torque: τ = rFθ .› τ is the tangential force Fθ times the lever arm r.

Torque has a direction:› + z if it tries to make the systemspin CCW.

› ‐ z if it tries to make the systemspin CW.

ατ I=

r 

aaθ

α

FF

m

rr̂̂θθ^̂

Fθ

30

So for a collection of many particles arranged in a rigid configuration:

Since the particles are connected rigidly,they all have the same α

rr1

rr2rr3

rr4

m4

m1

m2

m3

ωFF4

FF1

FF3FF2

{ { ii

iii

ii rmFr

i

ατ

θ ∑∑Ι

= 2,

ατ I=∑i

i

ατ I=NET

7/1/2008

6

31

This is the rotational analogue of  FNET = ma

Torque is the rotational analogue of force:Torque is the rotational analogue of force:

› The amount of “twist” provided by a force.Moment of inertiaMoment of inertia I  I  is the rotational analogue of mass.is the rotational analogue of mass.› If I is big, more torque is required to achieve a given angular acceleration.

Torque has units of kg m2/s2 = (kg m/s2) m = Nm

ατ I=NET

32

Recall the definition of torque:

rp= “distance of closest approach”

Equivalent definitions

Fr

Fr   

Frτ

φφ

θ

sin    

sin

=

=

=

Frp=τ

rr

φ

rp 

FF

φFθ

Fr  φ

33

So if φ = 0o, then τ = 0

And if φ = 90o, then τ = maximum

Fsinr φτ =

rr

FF

rr

FF

34

In which of the cases shown below is the torque provided by the applied force about the rotation axis biggest?  In both cases the magnitude and direction of the applied force is the same.

(a)  (a)  case 1 (b)  (b)  case 2(c)  (c)  same

L

L

F  F 

axis

case 1 case 2

35

Torque = F x (distance of closest approach)› The applied  force is the same.› The distance of closest approach is the same

› Torque is the same!

L

L

F  F 

case 1 case 2

L

36

Consider the work done by a force FF acting on an object constrained to move around a fixed axis.  For an infinitesimal angular displacement dθ:

› dW = FF.drdr = FR dθ cos(β)

= FR dθ cos(90‐φ)= FR dθ sin(φ)= FR sin(φ) dθ

dW = τ dθ

We can integrate this to find:     W = τθAnalogue of  W = F •ΔrW will be negative if τ and θ have opposite signs!

R

FF

dr = R dθdθ

axis

φ

β

7/1/2008

7

37

Recall the Work/Kinetic Energy Theorem: ΔK = WNET

This is true in general, and hence applies to rotational motion as well as linear motion.

So for an object that rotates about a fixed axis:

( ) NETif WK =−=Δ 22I21 ωω

38

A massless  string is wrapped 10 times around a disk of mass M = 40 g and radius R = 10 cm.  The disk  is constrained to rotate without friction about a fixed axis though its center.  The string is pulled with a force F = 10 N until it has unwound. (Assume  the string does not slip, and that the disk  is initially not spinning).› How fast is the disk  spinning after the string has unwound?

F

RM 

39

The work done is W = τ θ› The torque is τ = RF  (since φ = 90o)

› The angular displacement θ is2π rad/rev x 10 rev

SoW = (.1 m)(10 N)(20π rad) = 62.8 J

τ θ

F

RM 

40

Recall that �I� for a disk about its central axis is given by

2NET I

21

K   J62.8  W  W ω=Δ===

2

2

1I MR=

WMRK =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=Δ 22

2

1

2

1ω

( )( )( )22 1.04.

8.6244

kg

J

MR

W==ω ω = 792.5 rad/s

RM 

ω

41

Strings are wrapped around the circumference of two solid disks and pulled with identical forces for the same distance. Disk 1 has a bigger radius, but both have the same moment of inertia.  Both disks  rotate freely around axes though their centers, and start at rest.› Which disk has the biggest angular velocity after

the pull ?

(a)  disk 1 (b)  disk 2(c)  same FF

ω1ω2

42

The work done on both disks  is the same!› W = FdThe change in kinetic energy of each will therefore also be the same since W = ΔK

But we know

So since I1 = I2

2I21 ω=ΔK

d

FF

ω1ω2

7/1/2008

8

43

44

Adhi Harmoko  S