7 วิชา คณิต the brain+เฉลย
TRANSCRIPT
������ 7 ����� �(� ����)����������� � ���� 7 �.�. 2555
������ 1 ������ 10 � �� 2 � ���1. ����������������ก�� ������� 3 − 2x − 3x − 7 ≥ 0 [a, b]
��� a + b �"����#��ก$��#��%&�� 6��ก(�#)* 2x − 3 − 3x − 7 ≥ 0
2x − 3 ≥ 3x − 7
[(2x − 3) − (3x − 7)][(2x − 3) + (3x − 7)] ≥ 0
(−x + 4)(5x − 10) ≥ 0
(x − 4)(5)(x − 2) ≤ 0
∴ [a, b] = [2, 4]
�� a + b = 2 + 4 = 6
2. �� S �,-�������������$� n �/0� �.�.�. �� 720 �� n �"����#��ก$� 10800�������3ก�� S #"0�"�����)#"0�4&�"����#��ก$��#��%&�� 675��ก(�#)*
720 = 24 × 32 × 5
n = 2a × 3b × 5c
[720, n] = 24 × 33 × 52
���� :&��� n = �/0����0�;3���<���ก [720, n] = ;����2a × 3b × 5c 24 × 33 × 52
a = 0, 1, 2, 3, 4 �� b = 3 �� c = 2&$��$@� n��)#"0�4& = 20 × 33 × 52 = 675
+ +-42
1
3. �"����#��ก$��#��%&sec2(2 tan−1 2 )
�� 9%C A = tan−1 2 → tanA = 2
= sec2(2 tan−1 2 ) sec22A = 1
cos22A
= 1
1− tan2A1+ tan2A
2
= 1
1− 21+ 2
2
= 9
4. ก��C�&%C O �,-��4&ก����3& �� A = (1,−4,−3) B = (3,−6, 2)
�� C �,-��4&�� OB �/0�#��%C AC �$@�H�กก$� OB ��� OC )���#��%&�� 3
OA = i − 4j − 3k
OB = 3i − 6j + 2k
= Projection �� �� OC OA OB = Pr ojOBOA
= OC (OA ⋅OB) OB
OB2
= OC OA ⋅OBOB
OB2
=OA ⋅OB
OB= (1)(3) + (−4)(−6) + (−3)(2)
32 + (−6)2 + 22= 3
5. P���ก��������#$@�C�&����ก�� �"����#��ก$��#��%&3x + 32− x = 4 3
�� 2 = = 3x + 32
3x4 3 3x 3 , 3 3
= = 32x + 9 4 3 (3x) 3x 312 , 3
32
= 0 x = 32x − 4 3 (3x) + 9 1
2,3
2
= 0 ∴ P���ก������ (3x − 3 )(3x − 3 3 ) = 1
2+ 3
2= 2
A(1, -4, -3)
B(3, -6, 2)O(0, 0, 0)C
2
6. �� ��� x �"����#��ก$��#��%&log x + 27log32
= 1
�� 2= 1log[x + 33 log32]
= 1log[x + 3log323]
= 1log [x + 8]
= x + 8 101
∴ x = 2 ��������������,-���3�7. %�ก��ก� ��) (&)%�#TUV"�##�3���
x2 + 2
x310
� :&���;��*������$��"����#��ก$��#��%&�� 3,360��กก��ก� ��) � :& (a + b)n Tr+ 1 =
nr a
n− r br
��ก(�#)* Tr+ 1 = 10r
(x2)10− r
2
x3r
= 10r
(2r)(x20− 2r)(x−3r)
(�#)*���ก��;��*������$� ��� ;��*#"0���"@ก���$��� x �,-� 0&$��$@� ∴ r = 420 − 2r − 3r = 0
∴ ;��*������$� ��� T4+ 1 = 10
4 (24) = 3, 360
8. %�ก������3��,� �$�3W����* �"ก����� 5 ��$@� (&)#"0�����)*PX���%C��@�C�$ก��P�ก�������$@��4&#�)�,-�����#����P�ก�������$@���0� %�ก������"0��$@���ก�&Yก��);�X���:&� ����H�"0) 86 �,��*��Y��* �������ก��P�ก������3���"@�,-�90 �,��*��Y��*������ ���:&� ���%�ก�������$@�#"0 5 �#��ก$�ก"0�,��*��Y��*�� 98%
µw =w1x1 +w2x2 +w3x3 +w4x4 +w5x5
w1 +w2 +w3 +w4 +w5
µw =1 ⋅x1 + 1 ⋅ x2 + 1 ⋅x3 + 1 ⋅ x4 + 2 ⋅x5
1+ 1+ 1+ 1+ 2
µw =(x1 + x2 + x3 + x4) + 2x5
6
90 =86× 4+ 2x5
6
x5 = 98
3
9. ก��C�&%C �,-��������/0��"��ก���,-� L1 4x − 3y + 10 = 0
�� �,-�����$�P$������(�� L2 y = x2 − 8
3x + 7
3
�� ���ก$� ��� � ) C���� C���������� �� �#��ก$��#��%&L2 L1 L1 L2
�� 3�� y = x2 − 8
3x + 7
3
. .. mL1
= 4
3L1 // L2
∴ P$� mL2= m = 4
3
<. �4&P$� mP$� = m(��
(a, b) 4
3= 2x − 8
3
4x − 3y + 10 = 0 4
3= 2a − 8
3
∴ a = 2
�� (a, b) �)X������(�� y = x2 − 8
3x + 7
3→ b = 22 − 8
3(2) + 7
3= 1
∴ �4&P$���� (2, 1)(�#)*���ก��� ) � C���� ก$� กY���� ) ��ก�4& (a, b) �/� L1 L2 L1
��ก d =Ax1 +By1+C
A2 +B2= 4(2) − 3(1) + 10
42 + (−3)2= 15
5= 3
10. �"����#��ก$��#��%&2
0∫ 6x x − 2 dx
�� 8�� ��� x ∈ [0, 2] x − 2 = − (x − 2) = 2 − x
= 2
0∫ 6x x − 2 dx
2
0∫ 6x(2 − x)dx =
2
0∫ (12x − 6x2)dx
= 6x2 − 2x3 2
0= 24 − 16 = 8
(a,b)L1
L2d
m = P$� 43
m = 43
4
������ 2 ������ 20 � �� 4 � ���11. ก��C�&%C P(x) �,-�;C4���&"ก�" 3 �� �� ����กYC�� P(x)x − 1, x − 2 x − 3
����C����WU 1 �� C�� P(x) ���$� ��� P(5) �"����#��ก$��%&���:,�"@x − 4
1. 2.−3 −1
3. 0 4. 25. 3�� 1��ก(�#)*� :&���
P(x) = a(x − 1)(x − 2)(x − 3) + 1
�� P(4) = 0
P(4) = a(4 − 1)(4 − 2)(4 − 3) + 1
0 = 6a + 1 → a = − 1
6
P(x) = −16(x − 1)(x − 2)(x − 3) + 1
∴ P(5) = −16(4)(3)(2) + 1 = − 3
12. �� z �,-���������3�����/0��" �� ��&����ก$���ก�� Im(z) > 0
��� �#��ก$��%&���:,�"@z + 3
2
2
= − 1
4z8
1. 2.− 3
2− 1
2i − 3
2+ 1
2i
3. 4.1
2−12
− 3
2i
5. −12
+ 3
2i
�� 5
= z + 3
2
2
−14
= z + 3
2
1
2i ,−1
2i
z = − 3
2+ 1
2i , − 3
2− 1
2i
∴ = z8− 3
2+ 1
2i8
= (cis5π6
)8 = cis20π3
= cis(6π + 2π3
) = cis2π3
= cos 2π3
+ i sin 2π3
= − 1
2+ 3
2i
%�:��:& �;�� Im(z) > 0
5
13. ก��C�&%C a, b �,-���������Y���ก�/0� ab − 25a − 25b = 1575
�� C.�.�. ��� �"����#��ก$��%&���:,�"@(a, b) = 5 a − b
1. 15 2. 453. 90 4. 2105. 435�� 1��ก(�#)* = 1575a(b − 25) − 25b
= 1575 + 625a(b − 25) − 25b + 625
= 2200a(b − 25) − 25(b − 25)
= 2200(a − 25)(b − 25)
ก�<"#"0 (a, b) = 5 ��&���� (&) �� a = 5k1 , b = 5k2 k1, k2 ∈ I+ (k1, k2) = 1
∴ = 2200(5k1 − 25)(5k2 − 25)
= 2200(5)(k1 − 5)(5)(k2 − 5)
= 88(k1 − 5)(k2 − 5)
���� ��� 1
k1- 5 k2- 5 k1 k2 (k1, k2) = 1
88442211
1248
93492716
679
13
×××�
&$��$@� :& a = 5(16) = 80 , b = 5(13) = 65 a − b = 15
���� ��� 1 ;3���<��H;� ก�<" �/0�ก�<"k1 > k2 (a > b)
:������,-����;3���<�กY:& �;�� � :& k1 < k2 (a < b)
a = 65 , b = 80 #"0%C��� �#��ก$�a − b
6
14. ก��C�&%C �� �,-���ก����*����3�3�/0�#���4�,a�����ก$� �� ;�@�#"0���X,u v
�"0�C�"0)�&�����#"0�"&��,� ก���4��,-� �� �"����#��ก$� 3 �����C���)u v
�� �� �"��& 1 �� 5 C���) ������&$����u v
�"����#��ก$��%&���:,�"@(2u + v) ⋅ (u − v)
1. 2.−27 −19
3. 0 4. 195. 27�� 2
��ก(�#)* u = 1 , v = 5
;�@�#"0 &����� = u × v
3 = u v sinθ
3 = (1)(5)sinθ
= sinθ 3
5
� :& = (��� �3&���;�� cosθ −45
cosθ
ก$� #���4�,a�����ก$�)u v
∴ = (2u + v) ⋅ (u − v) 2u ⋅ u − 2u ⋅ v + v ⋅ u − v ⋅ v
= 2 u 2 − u ⋅ v − v 2 u v cosθ
= 2(1)2 − (1)(5)−4
5 − 52
= −19
u
v0
7
15. ก��C�&%C H �,-�:e�;��*(����/0��"��ก���,-� 9x2 − 72x − 16y2 − 32y = 16
�� E �,-����"�/0��"�4&)�&�)X�#"0�4&(gก$��� H �� �"�����)�@��WX�)*ก����#��ก$���� E �����ก��%��%&���:,�"@1
5
1. 2.( x− 4)2
25+ (y+ 1)2
16= 1
(x+ 4)2
25+ (y− 1)2
16= 1
3. 4.(x− 4)2
25+ (y+ 1)2
20= 1
(x+ 4)2
25+ (y− 1)2
20= 1
5. (x− 4)2
16+ (y+ 1)2
9= 1
�� 3��ก��ก�� HYPER = 169x2 − 72x − 16y2 − 32y
= 9(x2 − 8x + 42) − 16(y2 + 2y + 12) 16 + 144 − 16
= 1449(x − 4)2 − 16(y + 1)2
= 1(x− 4)2
16− (y+ 1)2
9
= 5c = + = 16 + 9
*** ก���$&�X,��ก�� HYPER ���C�$�(�#)*��"@������%��3k"�$&#"0;"0�$@����%�C��:& ***
�����"�"�4&)�&�)X�#"0�4&(gก$��� HYPER � �")��X,:&&$��"@
���C�$����" e = 1
5→ c
a = 1
5→ c
5= 1
5→ c = 5
��ก a2 = b2 + c2
� :& 52 = b2 + ( 5 )2 → b2 = 20
∴ ��ก�����" ��� (x− 4)2
25+ (y+ 1)2
20= 1
��ก ��)
(9, -1)(4, -1)(-1, -1)55
y
x
'
'
8
16. ก��C�&%C�X,����C�"0)� ABC �"�4� A �� �4� B �,-��4��C���� �� cos 2A + 3 cos 2B = − 2 cosA − 2 cosB = 0
��� �"����#��ก$��%&���:,�"@cosC
1. 2.1
5( 3 − 2 ) 1
5( 3 + 2 )
3. 4.1
5(2 3 − 2 ) 1
5( 2 + 2 3 )
5. 1
5(2 2 − 3 )
�� 3cosA = 2 cosB (1)
2 cos2A − 1 + 3(2 cos2B − 1) = − 2
2 cos2A + 6 cos2B = 2
2( 2 cosB)2 + 6 cos2B = 2
B �,-��4��C��cos2B = 1
5→ cos B = 1
5
. ..
�#� %� (1) cosB , cosA = 2
5
= cosC cos [180 − (A + B)] = − cos (A + B) = − [cosA cosB − sinA sinB]
= −
2
5⋅ 1
5− 3
5⋅ 2
5
= 1
52 3 − 2
A5 3
2
5 2
1
9
17. �� x, y, z ��&����ก$�� ����ก�� = a2x + y + 2z
= bx + y − z
= c3x + 2y − 2z
(&)#"0&"�#��*�3���#* 2 −1 −22 2 4
a b c
= 24
��� x �"����#��ก$��%&���:,�"@1. 2. 3. 0 4.−4 −4
5
4
5
5. 4�� 5
��ก(�#)* 2 −1 −22 2 4
a b c
= 24
��$�#"0��� 1 ก$� 3 : a b c
2 2 4
2 −1 −2= − 24
&/� 2 ��ก��ก��� 2 : 2a b c
1 1 2
2 −1 −2= − 24 →
a b c
1 1 2
2 −1 −2= − 12
��ก���$�3 � :& detA = detAta 1 2
b 1 −1c 2 −2
= − 12
��กกV���������*
x =
a 1 2
b 1 −1c 2 −2
2 1 2
1 1 −13 2 −2
= −12−3 = 4
10
18. ก��C�&%C A �,-���#�3ก�*�3�3 �� ���0� i = 1, 2, 33 × 3 AXi = Bi
�� X1 =
1
0
5
, X2 =
1
2
5
, X3 =
1
3
1
B1 =
1
0
0
, B2 =
0
1
0
, B3 =
0
0
1
��� �"����#��ก$��%&���:,�"@det (A)
1. 2. 3. 4. 1−8 −18
1
8
5. 8�� 2��ก(�#)* (&) i = 1, 2, 3AXi = Bi
� :& AX1 = B1 → A
1
0
5
=
1
0
0
AX2 = B2 → A
1
2
5
=
0
1
0
AX3 = B3 → A
1
3
1
=
0
0
1
&$��$@� A
1 1 1
0 2 3
5 5 1
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
take det #$@� 2 ������ก��
� :& = (detA)1 1 1
0 2 3
5 5 1
det I
= 1(detA)(−8)
= detA −18
11
19. �� S1 = {x log 12
(x + 1) + 2 log 14
(x + 2) − log 12
(9x − 3) ≤ 0}
�� �,-���������Y��/0� S2 = {x x −10 ≤ x ≤ 10}
��� �"����������3ก�#��ก$��%&���:,�"@S1 ∩ S2
1. 5 2. 6 3. 7 4. 85. 9�� 3log 1
2
(x + 1) + 2 log 12
2 (x + 2) − log 1
2
(9x − 3) ≤ 0
log 12
(x + 1) + log 12
(x + 2) − log 12
(9x − 3) ≤ 0
log 12
(x+ 1)(x+ 2)9x− 3
≤ 0 → (x+ 1)(x+ 2)
9x− 3 ≤ 1
20
(x + 1)(x + 2) ≤ 9x − 3 → x2 + 3x + 2 ≤ 9x − 3
x2 − 6x + 5 ≥ 0 → (x − 1)(x − 5) ≥ 0
���0��:C�$� log : �� �� x + 1 > 0 x + 2 > 0 9x − 3 > 0
x > − 1 x > − 2 x > 1
3
&$��$@� x > 1
3
∴ S1 = (13, 1] ∪ [5,∞)
∴ S1 ∩ S2 = {1, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
+ +-51
5131
12
20. %�ก���$&�&Yก 7 ���/0��"��)4 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 �� �$0��ก��"@ 7 �$��/0��3&C��)��1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (&)ก��C�&%C�&Yก#"0� �$0��ก��"@C��)�� k ����"��)4��กก���C����#��ก$� �� � �"�������3k"%�ก���$&�#��ก$��%&���:,�"@k − 1
1. 32 2. 60 3. 64 4. 1205. 128�� 3
����ก����� �������ก������ �� !"��#�#$%�
7 6, 7 2 �3k"
6 5, 6, 7 2 �3k" (���C$ก�&Yก#"0�$0��� 7 :,ก������)
5 4, 5, 6, 7 2 �3k" (���C$ก�&Yก#"0�$0��� 7, 6 :,ก������)
4 3, 4, 5, 6, 7 2 �3k" (���C$ก�&Yก#"0�$0��� 7, 6, 5 :,ก������)
3 2, 3, 4, 5, 6, 7 2 �3k" (���C$ก�&Yก#"0�$0��� 7, 6, 5, 4 :,ก������)
2 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 2 �3k" (���C$ก�&Yก#"0�$0��� 7, 6, 5, 4, 3 :,ก������)
1 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 1 �3k" (�;�� �C����&Yก 1 ��)
∴ �������3k"#$@�C�& �3k"= 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 1 = 64
13
21. ��X��4&C�/0��,-�� �����กก������3���<3�W����*���$ก��")�ก�4��C�/0����;30�� ���%C�$ก��")�#4ก��q � 3 � ��� ���� #��%C�����3�3%��%&���:,�"@�"����&��1. ������"0)�����H�"0)��� ��� 2. �$�,� �3#k3r��;3�$)��� ���3. ����H�"0)���<3���� ��� 4. ����$k)s����� ���5. ������"0)��������s����� ����� 2���0�� ������$ก��")�#4ก���;30�/@� 3 � ��� � ;���� �;30�/@� 3 � ��� µ,Med
���� � �"����#���&3� M.D. ,σ
���C�$��$�,� �3#k3r��;3�$)�&���;�� �$�,� �3#k3r��;3�$) =
xmax −xminxmax +xmin
�/0�� ;���� �#���&3� ��� �;30�/@� 6 � ���xmax − xmin xmax + xmin
22. ��@�C�$ก���4��/0�����4��C���)�������3U$#�C��C�/0��"ก����ก���,ก�3 ���4�#"0�"��@�C�$ก�ก3� 117.8 ก�$� �"�)X� 67% �� �4�#"0�"��@�C�$ก�ก3� 126.7 ก�$��"�)X� 9% ��� �������,��*��Y��*���4�#"0�"��@�C�$ก��)ก��� 125 ก�$�
�#��ก$��%&���:,�"@ (&)ก��C�&�������&�;�@�#"0%����(��,ก�3&$��"@
Z 0.17 0.44 1 1.1 1.2 1.34
'(�����)���*��+,� 0.4554 0.1700 0.3413 0.3643 0.3849 0.41
1. 84.13 2. 86.43 3. 88.49 4. 89.255. 90�� 1��ก(�#)*
���������������������������������������������������������������������������������������������������������
17%(A = 0.17)
41%(A = 0.41)
x1 = 117.8 x2 = 126.7
14
&$��$@� �� Z1 = − 0.44 Z2 = 1.34
��ก ∆Z = ∆xσ → σ = ∆x
∆Z = 126.7− 117.81.34− (−0.44) = 5
�� ��ก Z1 =x1 − µ
σ → − 0.44 = 117.8− µ5
→ µ = 120
���0� x3 = 125 → Z3 = 125− 1205
= 1 → A3 = 0.3413
A = 0.5 + 0.3413 = 0.8413
�3&�,-� 84.13%
23. ;���(����X,C�/0��"�ก����������ก$��ก� Y �"�4&)�&�)X�#"0�4& (3, 9)�� P����4& (1, 5) ��3��<#"0,t&���&�);���(����X,�"@ �� �ก� X �";�@�#"0�#��ก$��%&���:,�"@1. 9 �����C���) 2. 18 �����C���)3. 27 �����C���) 4. 36 �����C���)5. 54 �����C���)�� 4
��ก��;���(��� , = (x − h)2 4c(y − k)
= (x − 3)2 4c(y − 9)
P��� (1, 5) : = (1 − 3)2 4c(5 − 9)
∴ 4c = −1��ก����� = (x − 3)2 −(y − 9)
�#� y = 0 : = 9(x − 3)2
= x − 3 3,−3
∴ x = 6, 0∴ ;�@�#"0,t&��� �����C���)= 2
3(6)(9) = 36
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
z3 = 1
y
x
(1,5)
2
v(3,2)
0 6
9
6
15
24. ก��C�&%C g �,-�gv�ก*�$�;C4����/0��"�4& �,-��4&��0��4&�$�;$#k*(2,−1)
�� ก��g�� g P����4& (1, 4) �� c �,-�������$�#"0#��%Cgv�ก*�$� f �3)��(&)
f(x) =
(cx2 + 1)g(x)
2x + 10
x ≥ 1
x < 1
������0��#"0�4& x = 1 ��� �"����#��ก$��%&���:,�"@f (2)
1. 2. 3. 0 4. 4−8 −4
5. 8�� 1��ก g �"�4&��0��4&�$�;$#k*#"0 (2,−1) → g (2) = 0 , g(2) = − 1
��ก g P��� (1, 4) → g(1) = 4
f ������0��#"0 x = 1 : 1(��) = 1(����)= 12(c + 1)g(1)
= 12 ∴ c = 2(c + 1)(4)
< x = 1 f(x) = (2x2 + 1)g(x)
= f (x) (2x2 + 1)g (x) + g(x)(4x)
∴ = f (2) (9)g (2) + g(2)(8)
= (9)(0) + (−1)(8) = − 8
25. �� an =
n
2n
��� �"����#��ก$��%&���:,�"@40
k= 1Σ ak
1. 860 2. 1060 3. 1080 4. 12405. 1440�� 4
= 40
k= 1Σ ak a1 + a2 + a3 + a4 + ..... + a39 + a40
= (a1 + a3 + a5 + ..... + a39) + (a2 + a4 + a6 + ..... + a40)
= (1 + 3 + 5 + ......... + 39) + (4 + 8 + 12 + ......... + 80)
= 20
2(1 + 39) + 20
2(4 + 80) = 400 + 840 = 1240
���0�
���0�
���0� n �,-��������"0
���0� n �,-��������X�
20 ;��* 20 ;��*
16
26. �� ���0� a �,-���������3��� ���A =
a 1 − a1 + a −a
I =
1 0
0 1
�"����#��ก$��%&���:,�"@det(A − 2 I)(A − 3 I)(A − 5 I)(A − 7 I)
1. 2.48 − 13a (a − 2 )(a − 3 )(a − 5 )(a − 7 )
3. 17a 4. 175. 48�� 5
= A − xI
a 1 − a1 + a −a
− x
1 0
0 1
=
a − x 1 − a1 + a −(a + x)
= A − xI −(a − x)(a + x) − (1 + a)(1 − a)
= −(a2 − x2) − (1 − a2) = − a2 + x2 − 1 + a2 = x2 − 1
∴ det(A − 2 I)(A − 3 I)(A − 5 I)(A − 7 I)
= [( 2 )2 − 1][( 3 )2 − 1][( 5 )2 − 1][( 7 )2 − 1] = (1)(2)(4)(6) = 48
27. ก��C�&%C �,-����"#"0�"��ก���,-� Enx2
an2
+ y2
bn2
= 1
(&)#"0 ���0� n = 1, 2, 3, .....an = 2 bn ≥ 0
�� �� �4&)�&�����" �,-��4&(gก$������" #4ก a1 = 2 En En− 1 n ≥ 2
��� �"����#��ก$��%&���:,�"@∞
n= 1Σ an
1. 2. 3. 4. 156 + 4 3 8 + 4 3 10 + 4 3
5. 17�� 2��ก(�#)* ��ก���0�����" bn = an
2c = a2 − b2
a1 = 2 , b1 = 1 , c1 = a12 − b1
2 = 3
a2 = c1 = 3 , b2 = 3
2, c2 = a2
2 − b22 = 3
2
a3 = c2 = 3
2
∴ = ∞
n= 1Σ an a1 + a2 + a3 + .....
= 2 + 3 + 3
2+ ..... r = 3
2
= 2
1−3
2
= 4
2− 3= 4(2 + 3 ) = 8 + 4 3
17
28. �%&���:,�"@-$�1. �"��4;$�k*#"0�4& x = 0f(x) = x x + 1
2. �"��4;$�k*#"0�4& x = 0f(x) = x
x+ 1
3. �"��4;$�k*#"0�4& x = 0f(x) = x (x + 1)
4. �"��4;$�k*#"0�4& x = 0f(x) = x2 x + 1
5. �"��4;$�k*#"0�4& x = 0f(x) = x x
�� 3�� f �"��4;$�k*#"0 x = 0 ��&������4;$�k*#"0 ก$�#"0 �"����#��ก$�0− 0+
��#��(�ก 1 : ;���� ���0� C��� f(x) = x x + 1 x = 0− x = 0+
f(x) �"����#��ก$���� f(x) = x(x + 1) = x2 + x → f (x) = 2x + 1
∴ ��&���� f(x) �"��4;$�k*#"0 x = 0f (0−) = f (0+) = 2(0) + 1 = 1
��#��(�ก 2 : ;���� ���0� C��� f(x) = x
x+ 1 x = 0− x = 0+
f(x) �"����#��ก$���� f(x) = x
x+ 1 → f (x) = (x+ 1)(1) − x(1)(x+ 1)2
= 1
(x+ 1)2
∴ ��&���� f(x) �"��4;$�k*#"0 x = 0f (0−) = f (0+) = 1
(0+ 1)2= 1
��#��(�ก 3 : f(x) = x (x + 1)
���0� : f(x) = x = 0− (−x)(x + 1) = − x2 − x
= f (x) −2x − 1 → f (0−) = − 2(0) − 1 = − 1
���0� : f(x) = x = 0+ x(x + 1) = x2 + x
= f (x) 2x + 1 → f (0+) = 2(0) + 1 = 1
;���� ∴ f(x) :���"��4;$�k*#"0 x = 0f (0−) ≠ f (0+)
��#��(�ก 4 : ;�������0� C��� f(x) = x2 x + 1 x = 0− x = 0+
f(x) �"����#��ก$���� f(x) = x2(x + 1) = x3 + x2 → f (x) = 3x2 + 2x
∴ ��&���� f(x) �"��4;$�k*#"0 x = 0f (0−) = f (0+) = 0
��#��(�ก 5 f(x) = x x
���0� :x = 0− f(x) = x(−x) = − x2 → f (x) = − 2x → f (0−) = 0
���0� :x = 0+ f(x) = x(x) = x2 → f (x) = 2x → f (0+) = 0
;���� ∴ f(x) �"��4;$�k*#"0 x = 0f (0−) = f (0+)
18
29. ก��C�&%C��X��4&C�/0�,� ก��&�) a1, a2, ..., a91
(&)#"0 an =
n
3 + 4n
�$k)s������X��4&�"@�"����#��ก$��%&���:,�"@1. 63 2. 68 3. 71 4. 745. 76�� 4 ��ก(�#)*� :&���
a1 = 7 , a3 = 15 , a5 = 23 , a7 = 31 , a9 = 39 , .....
a2 = 2 , a4 = 4 , a6 = 6 , a8 = 8 , a10 = 10 , a12 = 12 , a14 = 14
a16 = 16 , a18 = 18 , a20 = 20 , a22 = 22 , a24 = 24 , .....
�����X�����")���ก��):,��ก
2, 4, 6, 7 , 8, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 22, 23, 24, 26, 28, 30, 31
32, 34, 36, 38, 39, 40, ....., 70, 71, 72, 74, ....., 90, 367
;���� a1 = x4 = 7 , a3 = x9 = 15 , a5 = x14 = 23 , a7 = x19 = 31
a9 = x24 = 39 , a11 = x29 = 47 , a13 = x34 = 55 , a15 = x39 = 63
a17 = x44 = 71 , a19 = x49 = 79
∴Med = x46 = 74
���0� n �,-���������Y���ก�X�
���0� n �,-���������Y���ก�"0
x4 x 9 x14 x19
x24 x44 x46 x91
19
30. ก��C�&%C M =
a b
c d
a, b, c, d ∈ {−1, 0, 1}
���4������ก��#�3ก�*C�/0���#�3ก�*��ก��� ��� �������� �,-�#"0� :&��#�3ก�*M
#"0�"�3�����*�ก���X<�"����#��ก$��%&���:,�"@1. 2. 3. 4.24
81
31
81
33
81
48
81
5. 50
81
�� 4
%C (&)#"0 A =
a b
c d
a, b, c, d ∈ {−1, 0, 1}
(a, b, c, d ����ก:&�$�� 3 �3k" ��� , 0, 1)n(S) = 3 × 3 × 3 × 3 = 81 −1
E : :&��#�3ก�*#"0�"�3�����*�ก���X< Non-Singular Matrix→
∴ detA ≠ 0
0� : nnnn((((EEEE )))) detA = 0
detA = a b
c dad
−bc= ad − bc = 0 → ad = bc
�� ��� ad �� bc � �,-� �#���$@�a, b, c, d ∈ {−1, 0, 1} −1, 1, 0
&$��$@� ก��#"0 ad = bc � �" 3 ก�<" ��� ก�<" 1 �" 2 �3k" ��� (1)(1) ก$� ad = bc = 1 → ad = 1 (−1)(−1)
�" 2 �3k" ��� (1)(1) ก$� bc = 1 (−1)(−1)
∴ ก�<"#"0 1 �" �3k"2 × 2 = 4
ก�<" 2 �" 2 �3k" ��� ก$� ad = bc = − 1 → ad = − 1 (1)(−1) (−1)(1)
�" 2 �3k" ��� ก$� bc = − 1 (1)(−1) (−1)(1)
∴ ก�<"#"0 2 �" �3k"2 × 2 = 4
ก�<" 3 �" 5 �3k" ��� ad = bc = 0 → ad = 0 (0)(0), (0)(1), (0)(−1),
(−1)(0), (1)(0)
�" 5 �3k" ��� bc = 0 (0)(0), (0)(1), (0)(−1),
(−1)(0), (1)(0)
∴ ก�<"#"0 3 �" �3k"5 × 5 = 25
∴ ��� 3 ก�<" �" �3k"4 + 4 + 25 = 33
20
&$��$@� n(E) = n(S) − n(E ) = 81 − 33 = 48
∴ P(E) = 48
81
************************
21