7 วิชา คณิต the brain+เฉลย

24

Upload: -

Post on 25-Jun-2015

1.062 views

Category:

Education


5 download

TRANSCRIPT

Page 1: 7 วิชา คณิต   the brain+เฉลย
Page 2: 7 วิชา คณิต   the brain+เฉลย
Page 3: 7 วิชา คณิต   the brain+เฉลย
Page 4: 7 วิชา คณิต   the brain+เฉลย

������ 7 ����� �(� ����)����������� � ���� 7 �.�. 2555

������ 1 ������ 10 � �� 2 � ���1. ����������������ก�� ������� 3 − 2x − 3x − 7 ≥ 0 [a, b]

��� a + b �"����#��ก$��#��%&�� 6��ก(�#)* 2x − 3 − 3x − 7 ≥ 0

2x − 3 ≥ 3x − 7

[(2x − 3) − (3x − 7)][(2x − 3) + (3x − 7)] ≥ 0

(−x + 4)(5x − 10) ≥ 0

(x − 4)(5)(x − 2) ≤ 0

∴ [a, b] = [2, 4]

�� a + b = 2 + 4 = 6

2. �� S �,-�������������$� n �/0� �.�.�. �� 720 �� n �"����#��ก$� 10800�������3ก�� S #"0�"�����)#"0�4&�"����#��ก$��#��%&�� 675��ก(�#)*

720 = 24 × 32 × 5

n = 2a × 3b × 5c

[720, n] = 24 × 33 × 52

���� :&��� n = �/0����0�;3���<���ก [720, n] = ;����2a × 3b × 5c 24 × 33 × 52

a = 0, 1, 2, 3, 4 �� b = 3 �� c = 2&$��$@� n��)#"0�4& = 20 × 33 × 52 = 675

+ +-42

1

Page 5: 7 วิชา คณิต   the brain+เฉลย

3. �"����#��ก$��#��%&sec2(2 tan−1 2 )

�� 9%C A = tan−1 2 → tanA = 2

= sec2(2 tan−1 2 ) sec22A = 1

cos22A

= 1

1− tan2A1+ tan2A

2

= 1

1− 21+ 2

2

= 9

4. ก��C�&%C O �,-��4&ก����3& �� A = (1,−4,−3) B = (3,−6, 2)

�� C �,-��4&�� OB �/0�#��%C AC �$@�H�กก$� OB ��� OC )���#��%&�� 3

OA = i − 4j − 3k

OB = 3i − 6j + 2k

= Projection �� �� OC OA OB = Pr ojOBOA

= OC (OA ⋅OB) OB

OB2

= OC OA ⋅OBOB

OB2

=OA ⋅OB

OB= (1)(3) + (−4)(−6) + (−3)(2)

32 + (−6)2 + 22= 3

5. P���ก��������#$@�C�&����ก�� �"����#��ก$��#��%&3x + 32− x = 4 3

�� 2 = = 3x + 32

3x4 3 3x 3 , 3 3

= = 32x + 9 4 3 (3x) 3x 312 , 3

32

= 0 x = 32x − 4 3 (3x) + 9 1

2,3

2

= 0 ∴ P���ก������ (3x − 3 )(3x − 3 3 ) = 1

2+ 3

2= 2

A(1, -4, -3)

B(3, -6, 2)O(0, 0, 0)C

2

Page 6: 7 วิชา คณิต   the brain+เฉลย

6. �� ��� x �"����#��ก$��#��%&log x + 27log32

= 1

�� 2= 1log[x + 33 log32]

= 1log[x + 3log323]

= 1log [x + 8]

= x + 8 101

∴ x = 2 ��������������,-���3�7. %�ก��ก� ��) (&)%�#TUV"�##�3���

x2 + 2

x310

� :&���;��*������$��"����#��ก$��#��%&�� 3,360��กก��ก� ��) � :& (a + b)n Tr+ 1 =

nr a

n− r br

��ก(�#)* Tr+ 1 = 10r

(x2)10− r

2

x3r

= 10r

(2r)(x20− 2r)(x−3r)

(�#)*���ก��;��*������$� ��� ;��*#"0���"@ก���$��� x �,-� 0&$��$@� ∴ r = 420 − 2r − 3r = 0

∴ ;��*������$� ��� T4+ 1 = 10

4 (24) = 3, 360

8. %�ก������3��,� �$�3W����* �"ก����� 5 ��$@� (&)#"0�����)*PX���%C��@�C�$ก��P�ก�������$@��4&#�)�,-�����#����P�ก�������$@���0� %�ก������"0��$@���ก�&Yก��);�X���:&� ����H�"0) 86 �,��*��Y��* �������ก��P�ก������3���"@�,-�90 �,��*��Y��*������ ���:&� ���%�ก�������$@�#"0 5 �#��ก$�ก"0�,��*��Y��*�� 98%

µw =w1x1 +w2x2 +w3x3 +w4x4 +w5x5

w1 +w2 +w3 +w4 +w5

µw =1 ⋅x1 + 1 ⋅ x2 + 1 ⋅x3 + 1 ⋅ x4 + 2 ⋅x5

1+ 1+ 1+ 1+ 2

µw =(x1 + x2 + x3 + x4) + 2x5

6

90 =86× 4+ 2x5

6

x5 = 98

3

Page 7: 7 วิชา คณิต   the brain+เฉลย

9. ก��C�&%C �,-��������/0��"��ก���,-� L1 4x − 3y + 10 = 0

�� �,-�����$�P$������(�� L2 y = x2 − 8

3x + 7

3

�� ���ก$� ��� � ) C���� C���������� �� �#��ก$��#��%&L2 L1 L1 L2

�� 3�� y = x2 − 8

3x + 7

3

. .. mL1

= 4

3L1 // L2

∴ P$� mL2= m = 4

3

<. �4&P$� mP$� = m(��

(a, b) 4

3= 2x − 8

3

4x − 3y + 10 = 0 4

3= 2a − 8

3

∴ a = 2

�� (a, b) �)X������(�� y = x2 − 8

3x + 7

3→ b = 22 − 8

3(2) + 7

3= 1

∴ �4&P$���� (2, 1)(�#)*���ก��� ) � C���� ก$� กY���� ) ��ก�4& (a, b) �/� L1 L2 L1

��ก d =Ax1 +By1+C

A2 +B2= 4(2) − 3(1) + 10

42 + (−3)2= 15

5= 3

10. �"����#��ก$��#��%&2

0∫ 6x x − 2 dx

�� 8�� ��� x ∈ [0, 2] x − 2 = − (x − 2) = 2 − x

= 2

0∫ 6x x − 2 dx

2

0∫ 6x(2 − x)dx =

2

0∫ (12x − 6x2)dx

= 6x2 − 2x3 2

0= 24 − 16 = 8

(a,b)L1

L2d

m = P$� 43

m = 43

4

Page 8: 7 วิชา คณิต   the brain+เฉลย

������ 2 ������ 20 � �� 4 � ���11. ก��C�&%C P(x) �,-�;C4���&"ก�" 3 �� �� ����กYC�� P(x)x − 1, x − 2 x − 3

����C����WU 1 �� C�� P(x) ���$� ��� P(5) �"����#��ก$��%&���:,�"@x − 4

1. 2.−3 −1

3. 0 4. 25. 3�� 1��ก(�#)*� :&���

P(x) = a(x − 1)(x − 2)(x − 3) + 1

�� P(4) = 0

P(4) = a(4 − 1)(4 − 2)(4 − 3) + 1

0 = 6a + 1 → a = − 1

6

P(x) = −16(x − 1)(x − 2)(x − 3) + 1

∴ P(5) = −16(4)(3)(2) + 1 = − 3

12. �� z �,-���������3�����/0��" �� ��&����ก$���ก�� Im(z) > 0

��� �#��ก$��%&���:,�"@z + 3

2

2

= − 1

4z8

1. 2.− 3

2− 1

2i − 3

2+ 1

2i

3. 4.1

2−12

− 3

2i

5. −12

+ 3

2i

�� 5

= z + 3

2

2

−14

= z + 3

2

1

2i ,−1

2i

z = − 3

2+ 1

2i , − 3

2− 1

2i

∴ = z8− 3

2+ 1

2i8

= (cis5π6

)8 = cis20π3

= cis(6π + 2π3

) = cis2π3

= cos 2π3

+ i sin 2π3

= − 1

2+ 3

2i

%�:��:& �;�� Im(z) > 0

5

Page 9: 7 วิชา คณิต   the brain+เฉลย

13. ก��C�&%C a, b �,-���������Y���ก�/0� ab − 25a − 25b = 1575

�� C.�.�. ��� �"����#��ก$��%&���:,�"@(a, b) = 5 a − b

1. 15 2. 453. 90 4. 2105. 435�� 1��ก(�#)* = 1575a(b − 25) − 25b

= 1575 + 625a(b − 25) − 25b + 625

= 2200a(b − 25) − 25(b − 25)

= 2200(a − 25)(b − 25)

ก�<"#"0 (a, b) = 5 ��&���� (&) �� a = 5k1 , b = 5k2 k1, k2 ∈ I+ (k1, k2) = 1

∴ = 2200(5k1 − 25)(5k2 − 25)

= 2200(5)(k1 − 5)(5)(k2 − 5)

= 88(k1 − 5)(k2 − 5)

���� ��� 1

k1- 5 k2- 5 k1 k2 (k1, k2) = 1

88442211

1248

93492716

679

13

×××�

&$��$@� :& a = 5(16) = 80 , b = 5(13) = 65 a − b = 15

���� ��� 1 ;3���<��H;� ก�<" �/0�ก�<"k1 > k2 (a > b)

:������,-����;3���<�กY:& �;�� � :& k1 < k2 (a < b)

a = 65 , b = 80 #"0%C��� �#��ก$�a − b

6

Page 10: 7 วิชา คณิต   the brain+เฉลย

14. ก��C�&%C �� �,-���ก����*����3�3�/0�#���4�,a�����ก$� �� ;�@�#"0���X,u v

�"0�C�"0)�&�����#"0�"&��,� ก���4��,-� �� �"����#��ก$� 3 �����C���)u v

�� �� �"��& 1 �� 5 C���) ������&$����u v

�"����#��ก$��%&���:,�"@(2u + v) ⋅ (u − v)

1. 2.−27 −19

3. 0 4. 195. 27�� 2

��ก(�#)* u = 1 , v = 5

;�@�#"0 &����� = u × v

3 = u v sinθ

3 = (1)(5)sinθ

= sinθ 3

5

� :& = (��� �3&���;�� cosθ −45

cosθ

ก$� #���4�,a�����ก$�)u v

∴ = (2u + v) ⋅ (u − v) 2u ⋅ u − 2u ⋅ v + v ⋅ u − v ⋅ v

= 2 u 2 − u ⋅ v − v 2 u v cosθ

= 2(1)2 − (1)(5)−4

5 − 52

= −19

u

v0

7

Page 11: 7 วิชา คณิต   the brain+เฉลย

15. ก��C�&%C H �,-�:e�;��*(����/0��"��ก���,-� 9x2 − 72x − 16y2 − 32y = 16

�� E �,-����"�/0��"�4&)�&�)X�#"0�4&(gก$��� H �� �"�����)�@��WX�)*ก����#��ก$���� E �����ก��%��%&���:,�"@1

5

1. 2.( x− 4)2

25+ (y+ 1)2

16= 1

(x+ 4)2

25+ (y− 1)2

16= 1

3. 4.(x− 4)2

25+ (y+ 1)2

20= 1

(x+ 4)2

25+ (y− 1)2

20= 1

5. (x− 4)2

16+ (y+ 1)2

9= 1

�� 3��ก��ก�� HYPER = 169x2 − 72x − 16y2 − 32y

= 9(x2 − 8x + 42) − 16(y2 + 2y + 12) 16 + 144 − 16

= 1449(x − 4)2 − 16(y + 1)2

= 1(x− 4)2

16− (y+ 1)2

9

= 5c = + = 16 + 9

*** ก���$&�X,��ก�� HYPER ���C�$�(�#)*��"@������%��3k"�$&#"0;"0�$@����%�C��:& ***

�����"�"�4&)�&�)X�#"0�4&(gก$��� HYPER � �")��X,:&&$��"@

���C�$����" e = 1

5→ c

a = 1

5→ c

5= 1

5→ c = 5

��ก a2 = b2 + c2

� :& 52 = b2 + ( 5 )2 → b2 = 20

∴ ��ก�����" ��� (x− 4)2

25+ (y+ 1)2

20= 1

��ก ��)

(9, -1)(4, -1)(-1, -1)55

y

x

'

'

8

Page 12: 7 วิชา คณิต   the brain+เฉลย

16. ก��C�&%C�X,����C�"0)� ABC �"�4� A �� �4� B �,-��4��C���� �� cos 2A + 3 cos 2B = − 2 cosA − 2 cosB = 0

��� �"����#��ก$��%&���:,�"@cosC

1. 2.1

5( 3 − 2 ) 1

5( 3 + 2 )

3. 4.1

5(2 3 − 2 ) 1

5( 2 + 2 3 )

5. 1

5(2 2 − 3 )

�� 3cosA = 2 cosB (1)

2 cos2A − 1 + 3(2 cos2B − 1) = − 2

2 cos2A + 6 cos2B = 2

2( 2 cosB)2 + 6 cos2B = 2

B �,-��4��C��cos2B = 1

5→ cos B = 1

5

. ..

�#� %� (1) cosB , cosA = 2

5

= cosC cos [180 − (A + B)] = − cos (A + B) = − [cosA cosB − sinA sinB]

= −

2

5⋅ 1

5− 3

5⋅ 2

5

= 1

52 3 − 2

A5 3

2

5 2

1

9

Page 13: 7 วิชา คณิต   the brain+เฉลย

17. �� x, y, z ��&����ก$�� ����ก�� = a2x + y + 2z

= bx + y − z

= c3x + 2y − 2z

(&)#"0&"�#��*�3���#* 2 −1 −22 2 4

a b c

= 24

��� x �"����#��ก$��%&���:,�"@1. 2. 3. 0 4.−4 −4

5

4

5

5. 4�� 5

��ก(�#)* 2 −1 −22 2 4

a b c

= 24

��$�#"0��� 1 ก$� 3 : a b c

2 2 4

2 −1 −2= − 24

&/� 2 ��ก��ก��� 2 : 2a b c

1 1 2

2 −1 −2= − 24 →

a b c

1 1 2

2 −1 −2= − 12

��ก���$�3 � :& detA = detAta 1 2

b 1 −1c 2 −2

= − 12

��กกV���������*

x =

a 1 2

b 1 −1c 2 −2

2 1 2

1 1 −13 2 −2

= −12−3 = 4

10

Page 14: 7 วิชา คณิต   the brain+เฉลย

18. ก��C�&%C A �,-���#�3ก�*�3�3 �� ���0� i = 1, 2, 33 × 3 AXi = Bi

�� X1 =

1

0

5

, X2 =

1

2

5

, X3 =

1

3

1

B1 =

1

0

0

, B2 =

0

1

0

, B3 =

0

0

1

��� �"����#��ก$��%&���:,�"@det (A)

1. 2. 3. 4. 1−8 −18

1

8

5. 8�� 2��ก(�#)* (&) i = 1, 2, 3AXi = Bi

� :& AX1 = B1 → A

1

0

5

=

1

0

0

AX2 = B2 → A

1

2

5

=

0

1

0

AX3 = B3 → A

1

3

1

=

0

0

1

&$��$@� A

1 1 1

0 2 3

5 5 1

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

take det #$@� 2 ������ก��

� :& = (detA)1 1 1

0 2 3

5 5 1

det I

= 1(detA)(−8)

= detA −18

11

Page 15: 7 วิชา คณิต   the brain+เฉลย

19. �� S1 = {x log 12

(x + 1) + 2 log 14

(x + 2) − log 12

(9x − 3) ≤ 0}

�� �,-���������Y��/0� S2 = {x x −10 ≤ x ≤ 10}

��� �"����������3ก�#��ก$��%&���:,�"@S1 ∩ S2

1. 5 2. 6 3. 7 4. 85. 9�� 3log 1

2

(x + 1) + 2 log 12

2 (x + 2) − log 1

2

(9x − 3) ≤ 0

log 12

(x + 1) + log 12

(x + 2) − log 12

(9x − 3) ≤ 0

log 12

(x+ 1)(x+ 2)9x− 3

≤ 0 → (x+ 1)(x+ 2)

9x− 3 ≤ 1

20

(x + 1)(x + 2) ≤ 9x − 3 → x2 + 3x + 2 ≤ 9x − 3

x2 − 6x + 5 ≥ 0 → (x − 1)(x − 5) ≥ 0

���0��:C�$� log : �� �� x + 1 > 0 x + 2 > 0 9x − 3 > 0

x > − 1 x > − 2 x > 1

3

&$��$@� x > 1

3

∴ S1 = (13, 1] ∪ [5,∞)

∴ S1 ∩ S2 = {1, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

+ +-51

5131

12

Page 16: 7 วิชา คณิต   the brain+เฉลย

20. %�ก���$&�&Yก 7 ���/0��"��)4 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 �� �$0��ก��"@ 7 �$��/0��3&C��)��1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (&)ก��C�&%C�&Yก#"0� �$0��ก��"@C��)�� k ����"��)4��กก���C����#��ก$� �� � �"�������3k"%�ก���$&�#��ก$��%&���:,�"@k − 1

1. 32 2. 60 3. 64 4. 1205. 128�� 3

����ก����� �������ก������ �� !"��#�#$%�

7 6, 7 2 �3k"

6 5, 6, 7 2 �3k" (���C$ก�&Yก#"0�$0��� 7 :,ก������)

5 4, 5, 6, 7 2 �3k" (���C$ก�&Yก#"0�$0��� 7, 6 :,ก������)

4 3, 4, 5, 6, 7 2 �3k" (���C$ก�&Yก#"0�$0��� 7, 6, 5 :,ก������)

3 2, 3, 4, 5, 6, 7 2 �3k" (���C$ก�&Yก#"0�$0��� 7, 6, 5, 4 :,ก������)

2 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 2 �3k" (���C$ก�&Yก#"0�$0��� 7, 6, 5, 4, 3 :,ก������)

1 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 1 �3k" (�;�� �C����&Yก 1 ��)

∴ �������3k"#$@�C�& �3k"= 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 1 = 64

13

Page 17: 7 วิชา คณิต   the brain+เฉลย

21. ��X��4&C�/0��,-�� �����กก������3���<3�W����*���$ก��")�ก�4��C�/0����;30�� ���%C�$ก��")�#4ก��q � 3 � ��� ���� #��%C�����3�3%��%&���:,�"@�"����&��1. ������"0)�����H�"0)��� ��� 2. �$�,� �3#k3r��;3�$)��� ���3. ����H�"0)���<3���� ��� 4. ����$k)s����� ���5. ������"0)��������s����� ����� 2���0�� ������$ก��")�#4ก���;30�/@� 3 � ��� � ;���� �;30�/@� 3 � ��� µ,Med

���� � �"����#���&3� M.D. ,σ

���C�$��$�,� �3#k3r��;3�$)�&���;�� �$�,� �3#k3r��;3�$) =

xmax −xminxmax +xmin

�/0�� ;���� �#���&3� ��� �;30�/@� 6 � ���xmax − xmin xmax + xmin

22. ��@�C�$ก���4��/0�����4��C���)�������3U$#�C��C�/0��"ก����ก���,ก�3 ���4�#"0�"��@�C�$ก�ก3� 117.8 ก�$� �"�)X� 67% �� �4�#"0�"��@�C�$ก�ก3� 126.7 ก�$��"�)X� 9% ��� �������,��*��Y��*���4�#"0�"��@�C�$ก��)ก��� 125 ก�$�

�#��ก$��%&���:,�"@ (&)ก��C�&�������&�;�@�#"0%����(��,ก�3&$��"@

Z 0.17 0.44 1 1.1 1.2 1.34

'(�����)���*��+,� 0.4554 0.1700 0.3413 0.3643 0.3849 0.41

1. 84.13 2. 86.43 3. 88.49 4. 89.255. 90�� 1��ก(�#)*

���������������������������������������������������������������������������������������������������������

17%(A = 0.17)

41%(A = 0.41)

x1 = 117.8 x2 = 126.7

14

Page 18: 7 วิชา คณิต   the brain+เฉลย

&$��$@� �� Z1 = − 0.44 Z2 = 1.34

��ก ∆Z = ∆xσ → σ = ∆x

∆Z = 126.7− 117.81.34− (−0.44) = 5

�� ��ก Z1 =x1 − µ

σ → − 0.44 = 117.8− µ5

→ µ = 120

���0� x3 = 125 → Z3 = 125− 1205

= 1 → A3 = 0.3413

A = 0.5 + 0.3413 = 0.8413

�3&�,-� 84.13%

23. ;���(����X,C�/0��"�ก����������ก$��ก� Y �"�4&)�&�)X�#"0�4& (3, 9)�� P����4& (1, 5) ��3��<#"0,t&���&�);���(����X,�"@ �� �ก� X �";�@�#"0�#��ก$��%&���:,�"@1. 9 �����C���) 2. 18 �����C���)3. 27 �����C���) 4. 36 �����C���)5. 54 �����C���)�� 4

��ก��;���(��� , = (x − h)2 4c(y − k)

= (x − 3)2 4c(y − 9)

P��� (1, 5) : = (1 − 3)2 4c(5 − 9)

∴ 4c = −1��ก����� = (x − 3)2 −(y − 9)

�#� y = 0 : = 9(x − 3)2

= x − 3 3,−3

∴ x = 6, 0∴ ;�@�#"0,t&��� �����C���)= 2

3(6)(9) = 36

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

z3 = 1

y

x

(1,5)

2

v(3,2)

0 6

9

6

15

Page 19: 7 วิชา คณิต   the brain+เฉลย

24. ก��C�&%C g �,-�gv�ก*�$�;C4����/0��"�4& �,-��4&��0��4&�$�;$#k*(2,−1)

�� ก��g�� g P����4& (1, 4) �� c �,-�������$�#"0#��%Cgv�ก*�$� f �3)��(&)

f(x) =

(cx2 + 1)g(x)

2x + 10

x ≥ 1

x < 1

������0��#"0�4& x = 1 ��� �"����#��ก$��%&���:,�"@f (2)

1. 2. 3. 0 4. 4−8 −4

5. 8�� 1��ก g �"�4&��0��4&�$�;$#k*#"0 (2,−1) → g (2) = 0 , g(2) = − 1

��ก g P��� (1, 4) → g(1) = 4

f ������0��#"0 x = 1 : 1(��) = 1(����)= 12(c + 1)g(1)

= 12 ∴ c = 2(c + 1)(4)

< x = 1 f(x) = (2x2 + 1)g(x)

= f (x) (2x2 + 1)g (x) + g(x)(4x)

∴ = f (2) (9)g (2) + g(2)(8)

= (9)(0) + (−1)(8) = − 8

25. �� an =

n

2n

��� �"����#��ก$��%&���:,�"@40

k= 1Σ ak

1. 860 2. 1060 3. 1080 4. 12405. 1440�� 4

= 40

k= 1Σ ak a1 + a2 + a3 + a4 + ..... + a39 + a40

= (a1 + a3 + a5 + ..... + a39) + (a2 + a4 + a6 + ..... + a40)

= (1 + 3 + 5 + ......... + 39) + (4 + 8 + 12 + ......... + 80)

= 20

2(1 + 39) + 20

2(4 + 80) = 400 + 840 = 1240

���0�

���0�

���0� n �,-��������"0

���0� n �,-��������X�

20 ;��* 20 ;��*

16

Page 20: 7 วิชา คณิต   the brain+เฉลย

26. �� ���0� a �,-���������3��� ���A =

a 1 − a1 + a −a

I =

1 0

0 1

�"����#��ก$��%&���:,�"@det(A − 2 I)(A − 3 I)(A − 5 I)(A − 7 I)

1. 2.48 − 13a (a − 2 )(a − 3 )(a − 5 )(a − 7 )

3. 17a 4. 175. 48�� 5

= A − xI

a 1 − a1 + a −a

− x

1 0

0 1

=

a − x 1 − a1 + a −(a + x)

= A − xI −(a − x)(a + x) − (1 + a)(1 − a)

= −(a2 − x2) − (1 − a2) = − a2 + x2 − 1 + a2 = x2 − 1

∴ det(A − 2 I)(A − 3 I)(A − 5 I)(A − 7 I)

= [( 2 )2 − 1][( 3 )2 − 1][( 5 )2 − 1][( 7 )2 − 1] = (1)(2)(4)(6) = 48

27. ก��C�&%C �,-����"#"0�"��ก���,-� Enx2

an2

+ y2

bn2

= 1

(&)#"0 ���0� n = 1, 2, 3, .....an = 2 bn ≥ 0

�� �� �4&)�&�����" �,-��4&(gก$������" #4ก a1 = 2 En En− 1 n ≥ 2

��� �"����#��ก$��%&���:,�"@∞

n= 1Σ an

1. 2. 3. 4. 156 + 4 3 8 + 4 3 10 + 4 3

5. 17�� 2��ก(�#)* ��ก���0�����" bn = an

2c = a2 − b2

a1 = 2 , b1 = 1 , c1 = a12 − b1

2 = 3

a2 = c1 = 3 , b2 = 3

2, c2 = a2

2 − b22 = 3

2

a3 = c2 = 3

2

∴ = ∞

n= 1Σ an a1 + a2 + a3 + .....

= 2 + 3 + 3

2+ ..... r = 3

2

= 2

1−3

2

= 4

2− 3= 4(2 + 3 ) = 8 + 4 3

17

Page 21: 7 วิชา คณิต   the brain+เฉลย

28. �%&���:,�"@-$�1. �"��4;$�k*#"0�4& x = 0f(x) = x x + 1

2. �"��4;$�k*#"0�4& x = 0f(x) = x

x+ 1

3. �"��4;$�k*#"0�4& x = 0f(x) = x (x + 1)

4. �"��4;$�k*#"0�4& x = 0f(x) = x2 x + 1

5. �"��4;$�k*#"0�4& x = 0f(x) = x x

�� 3�� f �"��4;$�k*#"0 x = 0 ��&������4;$�k*#"0 ก$�#"0 �"����#��ก$�0− 0+

��#��(�ก 1 : ;���� ���0� C��� f(x) = x x + 1 x = 0− x = 0+

f(x) �"����#��ก$���� f(x) = x(x + 1) = x2 + x → f (x) = 2x + 1

∴ ��&���� f(x) �"��4;$�k*#"0 x = 0f (0−) = f (0+) = 2(0) + 1 = 1

��#��(�ก 2 : ;���� ���0� C��� f(x) = x

x+ 1 x = 0− x = 0+

f(x) �"����#��ก$���� f(x) = x

x+ 1 → f (x) = (x+ 1)(1) − x(1)(x+ 1)2

= 1

(x+ 1)2

∴ ��&���� f(x) �"��4;$�k*#"0 x = 0f (0−) = f (0+) = 1

(0+ 1)2= 1

��#��(�ก 3 : f(x) = x (x + 1)

���0� : f(x) = x = 0− (−x)(x + 1) = − x2 − x

= f (x) −2x − 1 → f (0−) = − 2(0) − 1 = − 1

���0� : f(x) = x = 0+ x(x + 1) = x2 + x

= f (x) 2x + 1 → f (0+) = 2(0) + 1 = 1

;���� ∴ f(x) :���"��4;$�k*#"0 x = 0f (0−) ≠ f (0+)

��#��(�ก 4 : ;�������0� C��� f(x) = x2 x + 1 x = 0− x = 0+

f(x) �"����#��ก$���� f(x) = x2(x + 1) = x3 + x2 → f (x) = 3x2 + 2x

∴ ��&���� f(x) �"��4;$�k*#"0 x = 0f (0−) = f (0+) = 0

��#��(�ก 5 f(x) = x x

���0� :x = 0− f(x) = x(−x) = − x2 → f (x) = − 2x → f (0−) = 0

���0� :x = 0+ f(x) = x(x) = x2 → f (x) = 2x → f (0+) = 0

;���� ∴ f(x) �"��4;$�k*#"0 x = 0f (0−) = f (0+)

18

Page 22: 7 วิชา คณิต   the brain+เฉลย

29. ก��C�&%C��X��4&C�/0�,� ก��&�) a1, a2, ..., a91

(&)#"0 an =

n

3 + 4n

�$k)s������X��4&�"@�"����#��ก$��%&���:,�"@1. 63 2. 68 3. 71 4. 745. 76�� 4 ��ก(�#)*� :&���

a1 = 7 , a3 = 15 , a5 = 23 , a7 = 31 , a9 = 39 , .....

a2 = 2 , a4 = 4 , a6 = 6 , a8 = 8 , a10 = 10 , a12 = 12 , a14 = 14

a16 = 16 , a18 = 18 , a20 = 20 , a22 = 22 , a24 = 24 , .....

�����X�����")���ก��):,��ก

2, 4, 6, 7 , 8, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 22, 23, 24, 26, 28, 30, 31

32, 34, 36, 38, 39, 40, ....., 70, 71, 72, 74, ....., 90, 367

;���� a1 = x4 = 7 , a3 = x9 = 15 , a5 = x14 = 23 , a7 = x19 = 31

a9 = x24 = 39 , a11 = x29 = 47 , a13 = x34 = 55 , a15 = x39 = 63

a17 = x44 = 71 , a19 = x49 = 79

∴Med = x46 = 74

���0� n �,-���������Y���ก�X�

���0� n �,-���������Y���ก�"0

x4 x 9 x14 x19

x24 x44 x46 x91

19

Page 23: 7 วิชา คณิต   the brain+เฉลย

30. ก��C�&%C M =

a b

c d

a, b, c, d ∈ {−1, 0, 1}

���4������ก��#�3ก�*C�/0���#�3ก�*��ก��� ��� �������� �,-�#"0� :&��#�3ก�*M

#"0�"�3�����*�ก���X<�"����#��ก$��%&���:,�"@1. 2. 3. 4.24

81

31

81

33

81

48

81

5. 50

81

�� 4

%C (&)#"0 A =

a b

c d

a, b, c, d ∈ {−1, 0, 1}

(a, b, c, d ����ก:&�$�� 3 �3k" ��� , 0, 1)n(S) = 3 × 3 × 3 × 3 = 81 −1

E : :&��#�3ก�*#"0�"�3�����*�ก���X< Non-Singular Matrix→

∴ detA ≠ 0

0� : nnnn((((EEEE )))) detA = 0

detA = a b

c dad

−bc= ad − bc = 0 → ad = bc

�� ��� ad �� bc � �,-� �#���$@�a, b, c, d ∈ {−1, 0, 1} −1, 1, 0

&$��$@� ก��#"0 ad = bc � �" 3 ก�<" ��� ก�<" 1 �" 2 �3k" ��� (1)(1) ก$� ad = bc = 1 → ad = 1 (−1)(−1)

�" 2 �3k" ��� (1)(1) ก$� bc = 1 (−1)(−1)

∴ ก�<"#"0 1 �" �3k"2 × 2 = 4

ก�<" 2 �" 2 �3k" ��� ก$� ad = bc = − 1 → ad = − 1 (1)(−1) (−1)(1)

�" 2 �3k" ��� ก$� bc = − 1 (1)(−1) (−1)(1)

∴ ก�<"#"0 2 �" �3k"2 × 2 = 4

ก�<" 3 �" 5 �3k" ��� ad = bc = 0 → ad = 0 (0)(0), (0)(1), (0)(−1),

(−1)(0), (1)(0)

�" 5 �3k" ��� bc = 0 (0)(0), (0)(1), (0)(−1),

(−1)(0), (1)(0)

∴ ก�<"#"0 3 �" �3k"5 × 5 = 25

∴ ��� 3 ก�<" �" �3k"4 + 4 + 25 = 33

20

Page 24: 7 วิชา คณิต   the brain+เฉลย

&$��$@� n(E) = n(S) − n(E ) = 81 − 33 = 48

∴ P(E) = 48

81

************************

21