[4721] - 1001 m.a./m.sc. (semester - savitribai phule pune...
TRANSCRIPT
-
Total No. of Questions : 8] SEAT No. :
[4721] - 1001M.A./M.Sc. (Semester - I)
MATHEMATICSMT - 501 : Real Analysis
(2013 Pattern) (Credit System))Time : 3 Hours] [Max. Marks : 50Instructions to the candidates:
1) Attempt any Five questions.2) Figures to the right indicate full marks.
P2155
Q1) a) Explain the construction of cantor set, hence show that it’s measure iszero. [5]
b) Show that complement of a measurable set is measurable. [3]
c) Prove that 2 1sin 0 1
( )0 0
x xf x x
x
⎧ ⎛ ⎞ < ≤⎪ ⎜ ⎟= ⎝ ⎠⎨⎪ =⎩
is of bounded variation. [2]
Q2) a) State and prove Egorov theorem. [5]
b) If f and g are measurable functions, then prove that f + g and f 2 aremeasurable. [3]
c) Give an example of two measurable sets A and B such thats A + B is notmeasurable. [2]
Q3) a) State and prove Monotone convergence theorem. [5]
b) Define a simple function. If φ and
ψ
are simple functions then prove that
( )ψ ψ.φ φ+ = +∫ ∫ ∫
[3]
c) Define Dini numbers. Find Dini number for the function F(x) = |x| at origin. [2]
[Total No. of Pages : 3
P.T.O.
-
Q4) a) If {fn} is a sequence of measurable functions such that
( ) ( ) . .as → → ∞nf x f x a e n
and | ( ) | ( )nf x g x≤ , where g is integrable,
then prove that
0 as nf f n− → →∞∫
. [4]
b) Prove that a real valued function F on [a,b] is of bounded variation if andonly if F is the difference of two increasing bounded functions. [4]
c) If f be a measurable finite valued function on [0,1] and suppose that( ) ( )−f x f y is integrable on [0,1] × [0,1] then show that f is integrable
on [0,1]. [2]
Q5) a) IF
{ }1 2 NB B ,B ,........B=
be a finite collection of open balls in Rd, thenprove that, there exists a disjoint sub - collection Bi1, Bi2, .......... BiK of B
such that,
( )1
M M1
K
l jj
NB Bi
l =
⎛ ⎞⎜ ⎟ ≤⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠
∑∪
[5]
b) Define locally integrable function. Prove that xe is locally integrable, butnot integrable on R. [3]
c) If f > 0 and f is integrable and for 0,α > { }E / ( ) ,x f xα α= < then prove
that
( ) 1M E .fα α≤ ∫[2]
Q6) a) State and prove Fatou’s lemma. [4]
b) If
11E R
d⊂
and 22E Rd⊆ then prove that, M* (E1× E2) < M* (E1). M*
(E2), where M* (Ek) ≠ 0, for K = 1,2. [4]c) Find the measures of the following sets. [2]
i) A = {2, 4, 6, 8, 10}ii) B = [–1, 2]
Q7) a) If E is measurable subset of Rd with M (E) <
∞
, then prove that for
0Ε > ∃
a finite union
1
N
jF Qj=
=∪
of closed cubes such that M (E F)Δ ≤∈. [5]
[4721]-1001 -2-
-
b) If F and G are absolutely continuous function on [a,b] then show that thefunction FG is absolutely continuous on [a,b]. [5]
Q8) a) If
E R ,d⊆
then prove that M*(E) = inf M*(O), where the infimum istaken over all open sets O containing E. [5]
b) If F is absolutely continuous on [a,b] and F'(x) = 0 a.e. x, then prove thatF is a constant function. [5]
[4721]-1001 -3-
-
������������������������ ��������������������������������
���������
������������������������
������������������� !"�����!#�$#$����%�&!����"�������'���(�����
������������ �����������������������������������������
�� ����� ����!�"�#��$������%� "�&������������&������������'�((������
P2156
��� �� �������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���
�� �� 3: R Rf → ��������� 4( ) .f x x= �����������( , , )x y z ��������
((1,2,3), ( , , )) 0.f x y z′ = ���
�� �������������������������� ���
��� �� ������������ : R Rn mf → ���������������a ��������������
aT ��� ���
�� �������������������������� ( ; )f a y′ �������������a ��
Rn �� ( ) ( ; )aT y f a y′=
��� �� 1( ,........, )mf f f= �� 1( ,........, )ny y y= ����������
1
( ) ( ).m
a k kk
T y f a y e=
= ∇∑ ���� ������� ( )aT y �������������
����������������� f �a �� y ��� !������
�� �������� �� ���������� ��������� �� ( , , ) 3 5 2f x y z x y x= − + ��������� �� �� �������� �� �� ������ ����� �� �� ����
2 2 2 9.x y z+ + = ���
�� �������������������������������������� ���
��������������������
�����
-
�� �� ������"������#����"�α ��β ���$���������������������������� f ��������������������������#����%��α ��
β � ����� �� . .c c
f d f dα β=∫ ∫ ��α �� β ������% �� �� ����
�������� ���
�� &�����������������������#�������������������������
���� f ��������������������������'(��)��*���������#���
�������� 21
( ).2
mv t �������������#���*���������#������
�������������$���������*����� f ����#�����������������
�� ���������������#���������������#�������+���������������������������������������������R .n ���
��� �� "� f ���������������������������������������������
Rn ������������"������#����� f �������������������
��"� a �� � ����������� ������� � ������ ��������� ��
�$����� ( ) .x
a
x f dφ α= ∫ �����α �� ������������ �������� ���
,�����#a � x �������#�������φ ����������$���� f � ���
�� "� { }2( , ) R / ( , ) (0,0)S x y x y= ∈ ≠ ���� f ������������������
��������$����� 2 2 2 2( , ) .y xj
f x y ix y x y
−= ++ + ������
1 2 2 1D f D f= ���������������� f �#��������-������� ���
�� %����������������#���������������� ���
2 2 2( , , ) ( ) 2f x y z y z i yzj x k= − + − ����#��������������
2 3( ) 0 1.t ti t j t k tα = + + ≤ ≤
�������������������������������������������������
-
��� �� ����� ������� ������� ������ ���������� �����#��.����
��������#��� ( )I f ����������#��� ( ).I f /���������#�����- ���
�� 0������s
dxdydz∫∫∫ �����������������������������������
���#��������������#������������1�������� ���
�� ���2����3�4�����������������#��������������������������� ���
�� �� ��������������������������������������������������
������������ ( , ) ( , ) .r x y xi yj f x y k= + + /����������#��������������������- ���
�� &������������������������������������$�����
2( , ) sinr u v u cosvi u vj u k= + + ����� 0 4u≤ ≤ �� 0 2 .v π≤ ≤%����� ��������������������� �� ���������������
������������� ( )65 65 1 / 6.π − ����� ���������������������#����������������������#���� ���
��� �� �����*�3�4����������������������� ���
�� 5�����#�����1��1��������������
2222 2
0 0
( ) .ax xa
x y dy dx−⎡ ⎤
+⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ���
��� �� ���2���������#����4����������������������� ���
�� "� F ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )x y z P x y z i Q x y z j R x y z k= + + �� � ����� �����%�����������������#����������F �������#�����������
���������������������������� ���
���
�������������������������������������������������
-
������������������������ ��������������������������������
���������
���������������������
�������������������� �!"#��$�!�%
�����&'����(������)*���%������������������ �����������������������������������������
�� ����� ����!�"�#��$������%� "�&������������&������������'�((������
P2157
��� �� �����������������������������������
������������������������������������ ���
�� ����������������� �����������������
���!� ( )2,If G GL R= ���0 1
1 0A G
⎡ ⎤= ∈⎢ ⎥⎣ ⎦
��������"#$���!� ���
�� %��������
�������&������������������������'������������������'����(����� 5x e= �������������� ���
��� �� %�������������������������������������������������������������������'����
������������� ( ).dφ ���
�� �������������������������������������������������������������������������� ���
�� ��������������������'��������������)���
���!��������������������������
���� ���
��� �� �������������'���������������������������&����������'�������������������*�����'����� ���
�� %�β ���+,-�'����������&���������������&���)���+,�� iβ �����+,-�'���.*����'� ���
��������������������
����
-
�� /�&���'���������������0����������$�.1����'� ���
��� �� �������������'
������������������
���������������� ���
�� 2��&����3����
������������������������������������������������������������4 ���
��� �� %�!���/����������'����
���������G H⊕ ���'�����������������5!5���5/5������������'����� ���
�� �����������
���������4����������������������������������&�
������ ������ ���
�� 2��&�'�4������������������
��� G H ����������������/6�/��5�5≠ 5�5 ���
�� �� %�φ ��������������������
���!���
���G ���/�����
�����!������������� ( )Hφ ������� H � ���
�� �����������������������������7��������� ���
�� %�/���8�������������
������!������4)�������&����
G
H K� ��
����'���� ���
��� �� %� nG p= �&�����������������������������������������������7#!���������������������� ���
�� /�&���'�������
�������������������9�.��������� ���
�� :������������(�������2�
�����������������������������2
����
�������������������������������������������������
-
��� �� %�!���
�����������(�&��������(���������&����;(�����������������(
-
��� �� �������������������
�������������������������������
�������������
��� p ( , )a b∈ ���� �� ������������������ �������� ����� ( ) 0f p′ ≠ �� ������������������!������ 0δ > ��������������� 0 [ , ]p I p pδ δ∈ = − + �������"�����{ }np �#�����������$���%��&�����������#�������� ���
�� ���������������������
#���"����������&
���������������#������
�������"����������#������'������� ���
2 2
0 02 2
sin (sin )lim limand x xx x
x x→ →
�� (�����&�����������&��������������&
��������������������!&������
���� ���������� ���� ������ ���� ���� �"����� 3 22 3 1 0x x x+ − − = �� �)�
0 11, 2p p= = � ���
��� �� ��������� 4 3 2( ) 27 162 180 62 7f x x x x x= + − + − �������*�������1
3x = �
(�����&���������������$���%��&�������������������������
#���
0 0p = ��+���������������������������������#�������������"�������
�����!&����,�+����������&������������*�������1
?3
x = ���
�� �����"�����������������������
������&��!�����
���������������
�������������10
( )2
g xx
=+
������������"����!�����
��������
-�)�%�� 2� �&���������������"�����
�����
������������������������ ��������������������������������
[4721]-1004M.A/M.Sc. (Semester - I)
MT - 504 : NUMERICAL ANALYSIS(2013 Pattern) (Credit System)
������������ �����������������������������������������
�� ����� ����!�"�#��$������%� &�'������������'������������"�((�������� )��"��� �'�����*(��������"�����(��(�������((+���
P2158 ��������������������
-
�����
����
' .�./0�01211
. '�3/043�/5.
/ '�05'314521
4 '�045�2530�
3 '�03304/�5'
0 '�03/2//1/2
1 '�034/.�330 ����
�� 6��� x a= � �� �� �!��� ��
�� ��� ���� ������3
2
3( )
3
x xag x
x a
+=+
�
7����&
��������������������#��������������&���������������������
������"����� 1( )n np g p −= �������� x a= � ���
�� �� 8��������������
#������&�����
�����"��������
#�6��������&
�����������������
# ���
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 7 2
2 4 3 1
3 7 2 3
x x x
x x x
x x x
− + =+ − = −
− + + =
�� 9!���
�����:;���#����&������
�
#��#�������������&&��������#���&���!� ���
��
-
�����
�� �����������������&���!�3 1 1
A = 2 6 3
9 7 20
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦
���������#����������
�������4
b = 13
7
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
������������������������������������������
��������"������ ���������
#��������
����������� (0) 0X = ��������&������������������>�����&������ ���
�� ?������������������1 0 1 2
L , U3 1 0 2
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦
����&�����=�����&�����
���-��������������������&������������������������&� [ ]TAX = 4 6 ����
��� �� =�
#�������������������
#����
#��������������
��&����������=����(�����������=���(-� ���
+�����
1 2 3 4
1 1 2 3A =
1 1 1 2
1 1 1 5
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥− −⎣ ⎦
�� -����!&���������&��������#������������������������#���������������&���! ���
5 2 2
A = 4 3 4
3 6 7
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
=����������#����������������3�@�'������ �������������
#������&�����
�����"��������������������������������
������������������������������&������&���������>�������
12
31 2
1 0
0
xx e
x x
−+ − =
− = ���
[4721]-1004
-
����
�� �� 7������������������������������!&��������������������������
0 0 00 2
( ) 2 ( ) ( 2 )"( )
f x f x h f x hf x
h
− + + +≈
+�������������������&���������������������&���,�$�&�������������
������������������!&�������
#� 0( ) and 0xf x e x= = � ���
�� -����!&���������������������
��#����1
20
1
1dx
x+∫ ���
#����������*����������?������������������������������������������ ���
�� 7����&
�� ���� ������� ���� ���� ����������-���-
�� ���-
�� ��� ����� ���
"�������������&���
1
0 21
1 1I ( ) ( ) , (1)
3 3f f x dx A f A f A f
−
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫������#����������������������.� ���
��� �� ?����������������&������&���
������������������������#����A��������
�����!&��
#��������������1 3
0
1 x dx+∫ � ����� -�����9����%��&��������������!&������������������
����������������&�
1 , 1 3, (1) 1dx x
t xdt t
= + ≤ ≤ =
��
#�4���������
���������������
#�������
����������� ���
��� �� �
����������������
����������������&
, 0 5, (0) 1dx t
t xdt x
= ≤ ≤ =
��
#��������������;�#��B�����&�����������������*������'� ����� 7��
��C ���
� ;������������#����
� D�����������&���!�
� �����#��������������
�� ��#�����&���!��� A����#����&���!�
����
[4721]-1004
-
������������������������ ��������������������������������
���������
���������������������
���������������������� !"#�$�%!&&���"�!#'��()#�!*"�
���+�,#����"������ !���$����������������� �����������������������������������������
�� ����� ����!�"�#��$������%� "�&������������&������������'�((������
P2159
��� �� ��� 1( )y x ����� 2 ( )y x ������������������������������
( ) ( ) 0y p x y Q x y′′ ′+ + = � ��� ������� ���� ���� ����� �����������
1 2( , )w w y y= �������������������������������������� ���
�� ���������� 21y x= �������������������
2 4 0,x y xy y′′ ′+ − = ����������������
��������������
�� ���
�� ���������� � 1ly = ���� 2 logy x= �������������������������������
������������������ 2( ) 0y y′′ ′+ = ���������������������� �������� ������
��� �� !����������"������������"���������������������������������������������������������������������������������������� ���
�� ������������������������������������������ 6 xy y y e−′′ ′= − =��������������������������� ���
�� #�������������������������� 2( ) 4 ( ) 0x t tx t t′′ ′+ + Χ = �������������������"��������������������� ���
��� �� $�������������$��"������������"� ���
�� $�����������������������������������%�&�����%���������%�&�����%����������������������������������'��≠ (� ����
�� )�������������� �����������������%*�%�����
3( 1) 2( 1) 3 0.x x y x y xy′′ ′− − − + = ���
��������������������
����
-
��� �� +�� ���"��������,������� ���� ��� ����� ������������� �������
2 0xy y y′′ ′+ − = ������ ������� ����������(� ���
�� -�� ( )u x ����������*������������������� ( ) 0u q x u′′ + = ��� ( ) 0q x >
������� 0 .x > ����1
( ) ,q x dx∞
= ∞∫ �������������� ( )u x ���������������"������������������%*�%��� ���
�� ,����������������������������������������� 2 .y xy′ = ���
��� �� $�����������" ���
dxx y
dt= +
4 2 .dy
x ydt
= −
�� !�"��������������������x = ∞ �������������� ���
2 2( 4) 0.x y xy x y′′ ′+ + − =
�� ,������������������������������������������������������������ ���
22 (2 1) 0.x y x x y y′′ ′+ + − =
�� �� ,������������ �����"�dx
xdt
= ���
�������������������������������������� 2 .dy
x ydt
= − +
�� ,����������������������
��� ,���������������������������������
���� $�������������������������������
�� .�������������������� 2 2( , )E x y ax bxy cy= + + ������������������������
������������ 0a > ����� 2 4 0.b ac− < ���
�������������������������������������������������
-
�� ,������� ����������������������" ���
.
dxy
dtdy
xdt
=
=
��� �� ���"������"
�����������������%������������������������" ���
1 1
2 2 .
dxa x b y
dtdy
a x b ydt
= +
= +
����������������������������"��� ��������������������������������/(�(�����������
�� ,������� ���������������� 0x = ���������� �"����������� ���
[ ](1 ) ( 1) 0.x x y c a b x y aby′′ ′− + − + + − = �������������������������
��� �� $�������������������� 2( , )f x y xy= ����������-����������������������������� �� a x b≤ ≤ ����� c y d≤ ≤ � 0����� ���������������������-������������������������������a x b≤ ≤ ����� .y−∞ < < ∞ ���
�� $�������������� ������������������" ���
, (0) 1
, (0) 0.
dyz y
dxdz
y zdx
= =
= − =
���
������������������������������������������������
-
������������������������
��������������������
�����������������������������
�����������������������������
�������� �!�"������������ ���������������
���������������������������� ������������������������ ������� �� ��� ����� ������� ��������
�����
��� �� ���������������������������������������������������
���� ���
�� �������������������������������� �����!�∈�������"�!��#����������������$��$����������%�����������&'����(� ���
�� )$� �$���*�!�+ �� �� �������
��� ��������$ ������� � �� �����
��
���������(!���!�∈�*�!�+ ∫=><b
a
dxxgxfgf )()(, � ���
��� �� )����������,���$()�$��-.����/�����(� ����� )$��$���*�! +�������������������� ����� )����0�-���10�����$����� ���
��� �� %�������������!�$��$��������������������������������!�$��$����������������2������3�(2��������(3&4�����(� ���
�� 5$���������������������������������&%�6������&'����(������ ,���������$7��������������8��� ����� ����� "1 �! ��
�$��$���.�$����������������� ���
����
���������
-
�����
�
��� �� 5��$�����������������$������������� ���
�� 9����������⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ∈= N/1A n
n��6,� ���
�� %�,��������������&7������� ���
��� �� ���������������������������$��$��!���������������������/��������� ����� :�;� "��
-
������������������������
��������������������
�����������������������������
�����������������������������
������ �!!�"�#������������ ���������������
���������������������������� ������������������������ �������������������������� ������� �� ��� ����� ������� ����� ��
�����
��� �� ������������������������������������������������������
�� ������������������������������������������������������������ ���
� ����������������������������������������������������������������� ���
��� �� ����������������������������������������������������������������� ���
�� ������������������������������������������������� ���
��� �� �������������������������������������������� �!����"����#$�������%�������������������#��&�'����������� '!�(�� ���
�� �������������������������������������� ���
� ��������������)���������������������������������������%�������
��� �� �������������������������������������������������%���� ���
�� *������������������������������������ �!����"�$�����&����������%��������������������+�� ��
� �������� ∫∫ +Q
dxdyyxxy )( �������,�"�-.!�/0�1�-.!�/0� ����
��
���������
-
������� �
��� �� ��������%������������������������������������������������������������������2���� ���
�� ����������������������������������������������� 125169
222
=++ zyx ����
� 3��������������%�������������������������������������� ���
∫ ∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
a x
dxdyyx0 0
22 .
�� �� ���� ���� ������4����5�3������� ���� ������ ��%���� �������� ���������������6����������� ���
�� 7�������������������������������������������������������������� ������ ���
��� �� �����������������)��������� ���
�� �������������%��������������������� ���
��� �� ��������������*����%���� ������������������������������������
����� ������ ���
�� �����������������
����������������������������������%����������
���
-
������������������������
��������������������
����������������������������
��������
��������������������
���� �!�""���#������������ ���������������
���������������������������� ������������������������ ��������������������������� ������� �� ��� ����� ������� ��������
�����
��� �� ������������������������������������������������������������������������������������������� ���
�� ������������������������������������������������������������������������ ���
� �����������������������
� ���������� ����������������
�� ��������!���������������������"���!�#$� ���
��� �� %�������������������������������������&���'�������������%�� �'→���������������������������������������(��)∈*+�"���������),'#�� ���
�� *�����-�.������������������������/����/
���+�01�
����������������������������� .2)WWdim( 21 ≥� ���
�� *��������������������������#/⊕2�*���������������������������� ����+/02�#/32���/∈/"2∈2�������
� ��#%
� ���������4����
�����
���������
-
������ �
�� �� %�/������������������������������������������������&���
�������"���#��/0��/�"
�����/��������������/� ���
�� 5�����'#67-118�"79:18�"7--18�;���������������������������������'� ���
�� ������.4������������/�"/
����/
�������������#/
�0/
�0/
�"
jiji ≠= for}0{WW � �� 3213 WWWR ⊕⊕≠ � ���
��� �� *�)���������������������������������������������������?�����������"����������������������������������������
�����������2�+231��+201��
���
��� �� *�)�� � ���������������.��������� ����� ����������&�������������������
������������)��������&���������)������������ ���
�� *�)�����������������������������������������������
���)��������4����"����#&��)⊕ �)� ���
�� ����������������������
��������������������������������
1 1 0 0 1 0 1 0
0 1 1 0 0 1 0 1
0 0 1 1 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 1,
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
���
-
������ �
�� �� *�)�������������������������������������������������������&���������)�������"��������@�������������
��
-
������������������������
��������������������
�����������������������������
��������������������������
������ !""��#$������������ ���������������
���������������������������� ������������������������ ������� �� ��� ����� ������� ��������
�����
��� �� ������������������������� 12 −≡x ��������������������������������������������� 1p ≡ ������� ���
�� ���������������������������������� ���
!� "�����������������!����� 52 ≡x ��������������������� ���
��� �� ������������#��$�������
�� ���
�� %��#������ ( )/2/
d nn
d n
d =∏ � ���
!� %��#������ 13 − ����� 13 + ���������!��������� ( )3Q � ������ �� &��������������������!����������'�������#�����
.)1( 21
21
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −×⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛qp
p
q
q
p���
�� "������������������������!�������!�� 420 ≡x �����(�� ���
!� ���#������������!�������!��).7(mod5),3(mod0),4(mod1 ≡≡≡ xxx ���
����
���������
-
������ �
��� �� ��������������������%��#������������������)����������!����
1
| ! isen
p n ep
∞
=
⎡ ⎤= ⎢ ⎥
⎣ ⎦∑ � ���
�� %��#������*�+�������������,-�.� ���!� "���������������������������!�����*(��/�0����*0� �����
��� �� &�����������������������������'���#����� ����� 1][][][][][ ++≤+≤+ yxyxyx ����
���⎩⎨⎧−
=−+otherwise,1
integeranisif,0][][
xxx
�� 1#�������∑∞
=1)!(
j
jμ � ���
!� "������������������������� 321 ++ ��#���2��&����������������������!�������� �3������� ���
�� �� %��#�������������!��������������#��������������������#�� ����� &�����������������!������'�������#����������������������������������
��!��������������������!��������� ���
!� %��#��������������������2� ��'������������������ ( ).Q σ ������ �� %��#�������#����1�!�������4�������!����������������4�����!����5�����
������� ����� %��#�����������!���!������������������������6������#��������������������
��������!�������������������������!���#������� ���!� &���'�0����*'�������#��������/*������#����������0� ���
��� �� ���� ��������������!���#�����!������������� ∑=nd
dfn|
).()(F �7�����#�
����"�� ����������!���#�� ����� 1)�����%���������������!�����������#������������������� ���
!� &�����������������'�������#������∑−
==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛1
1
,0p
j p
j������ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛p
j������������
������ ����
���
-
������������������������
��������������������
����������������������������
��������
������������������������� ��!"���#�$
%���&� '������(������������ ���������������
���������������������������� ������������������������ ������� �� ��� ����� ������� ��������
�����
��� �� �������������
��������������������������������������������������������
��������������������� ���������!���"��������!���!������
����������
����#�����$������� ��$������������� ���
%� &���'�� ��� ��������� ���%��� ���%��������������� �� ������������������(������)������� ���
#� *���������������������������������������+��,����)�����������)���������
������������������������'�������������� ���
��� �� -��#�������.������� ����������.��������������������������#���������������������������#������#�����#����� ���
%� /��� ���'������ ��������������� +���� +� ,�� ��0��� %������'�.����������.����#�����#����� ���
��� �� 1�������� ����.��������������.� ���
%� *����������'�������'�������'������������#��#����������������/�%����������������������������������0�������,����������� ���
����
���������
-
������
��� �� 2�������%���������3� ���������������������������������������4�����
������4������� ∫∞
∞=1
,)( dxxq ������ ������������������������.����$���
����������� ��53�6��� ���
%� /��������.�����.������������ .04
121112 =⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −++ yxxyyx ���
#� /��������
�#������������������������� �������%��.�������0�����7����������������)�������������� �����
��� �� /��� ��� ���#���� �������� ��� ��� ���� ��� ��� ���������� �������,���������,����)����+������ ���
%� -��.����������������������� ∞=x �������������������������������+�0������� ���
#� /������'���������������������������������������.���������������������
�� �� /������'������������������������.� ���
.24 yxdt
dy
yxdt
dx
−=
+=
%� /������'����������������������������������'��.��#�����������)�+�����������+����������)������+����������������%����#����#������� ���
��� �� �� �����������#����8������������������������������������ ������������������������4���������+�0��9��� ���
%� /���#��#������������ .0)2( 232
2
=−+−+ xxxdt
dx
dt
xd���
#� 1�� �������������'�������� �������%��.� ���
, (0) 1
, (0) 0.
dyz y
dxdz
y zdx
= =
= − =
-
������ �
��� �� ����������
���������������������������������.
ybxadt
dy
ybxadt
dx
22
11
+=
+=
���#��������������#���������.����'��������� ��������#��#���������������������� ���
%� /�������6�#������������������� �������%��.� ;1)0(,2 == yydx
dy���
��'
������������)��:�������#�;��.������#��#������
�������
�������
�������
#�.��������������6�#��������� ���
���
-
������������������������
��������������������
������� � �
����������� ���������� � ���
����������
�����������������������������������������������������
������������ ���������������
��������������������������
�� ������������������������ ������� �� ��� ����� �������� ������� ��
�����
��� �� ��� �� ��� ��
���� ��� ���� ���� ��� ���� 0( ) 0
fz
z
��
�� ���
0 0 0( ) ( ) 2 ( )f u
f z z zz x
� �� � �� �
������������������������������������������
���� �� ��� �������������� ��� ��� ������ �� ���� ��������� ���� ���2
F 0 0 0J ( , ) ( )x y f z�� � ���
�� ������������������������������������ ������������
sup( ) ( )f z dz f zz �� �� ��������� � � ���
�� ������� ������ ��������������������
�����������������
���������
!��������nz dz� ��
��������������� ���
��� �� ��� ���� ��� ���� ������0
( ) nnn
f z a z�
��� � �������� �� ��
���
�������������������������������� ����� ������������������������������������������� ������ ��������������
������������������������������
�������������
2 1( ) F( ) F( )f z dz w w� �� � ���
�����
���������
-
�� "�������������������#���������������� 1z w� ��$������
11
w z
wz
��
������ 1z � ����� 1w� � ���
�� �� �����������
���������������������������������������������������� ���
�� ����������
������������������ �������������� ���������������
��� ������#��������������� � ����� $���
������������������������������!�� �����������������
���������������������������#�������� ��� ��������������������������
��� �� ����������������
���������������������� ������������������%������������������������������������������� ��&������������������������ �'� ���
�� ��� � � 1n nf�
� � ��� �� ��%������ �� ��
���� ��������� ���� �������
����
�� ��������������������� ����������������� ������������
�����%�������������������� � 1n nf ��� �������������
�� ��� f � ���� ����
�� "��� ��������������������(���������&( �����������������������
��� ���� ��������� ��� �� ������� ���� �� ��� ��
���� ��� � �#���������� �����������)��������&��$��������������������������)�����
T
( ) 0f z dz�� � ���
��� �� ��������������
������������������������ � �0 0D ( )r z z� �������
���������������������� ��������&���������������������� � �0 0D ( )r z z����������������������������#������� ���
�� ����������� �� �����
���� �������������� ��#����������� �����
����� ��� ��� �� ��� � �� ��� ��������� � �0z� �� ���� ���� ���� ������ �
����������������� � ����� ������������������������������������������ ��������������� ����
�������� ���
�������� ���
-
�������� ���
�� �� ��������������*���+����
��� ���
�� ������������������
�������������������������� �������,����
������� 0z � ����������������������������� ���� ��&���������
�����#��������������
��U �����������-�����������
���
�����������.�����������%���������������������������
0( ) ( ) ( )nf z z z g z� � ��
����� Uz � ���
�� $�������������������������������������������������Ksup ( ) AR B= R f zz � �
�
�����*�/�'�������
������������ 0k� ���������������������0�/�'��������������� �������������� k� � ���
��� �� $��������������
��������������������#������������#���������������������������� ���
�� ������� 2 2cos ax e
dxax a
�� �
��
��� ���
��/�'� ���
��� �� ��������������������
���������������� � ����� � ����������� �����
�#�������������� ��������� ( ) ( )f x f x� �� � �
����� Ix �� �������
��������������������������� ��
( ) if
( ) ( ) ( )if I
( ) if
f z z
f z f z f z z
f z z
� �
� �
� �
�� ����� � ����� ���
��� ��
������ ��1��� �� ������� ��� �����
��� ���� ���� �� ��
����� ��� � ����� � ��������������������#��� ���
�� �������2����������������������(�� ���2�� ���������������� 0 Kz � �
����������������������0
1
z z� �����������#�����������
�� ���2
� ��� ������� ���
���
-
������������������������ ��������������������������������
���������
�������������������������
�������������������� ��!"��#$#"#%&���'�(!���� ������)*���&�����
������������ �����������������������������������������
�� ����� ����!�"�#��$������%� "�&������������&������������'�((������
P2161
��� �� ������������������R and Rl k ����������������������������������������������������������������������������� ���
�� ��{ }αΤ ����������������������������������� andΤ Τ� � ������������������������ ���
�� ����������������������!����� { }, , , ,a b c d e= �"����������������!����������������������������������� ���
��� �� #�������$��� ��� ���������� ����������%⊂���&⊂$��'��(� ��������� ����������%�)�&� ��� �� ������� �� �������� ���������%�)�&�����������������$� ���
�� ������������1
K Nnn
⎧ ⎫= ∈⎨ ⎬⎩ ⎭
�����������������������������
������������������������ ���
�� *��������������������(����������( ���
�� o o o(A B) A B=� �
��� o o o(A B) A B=� �
��������������������
�����
-
�� �� ����������(������������ ���
�� +��������������������%��������������������,��!� ���
��� { } { }X , , ,T , ,{ },{ , }a b c X a b cφ= =
{ }A ,b= ���������&��,%�
�� #� { }A , , , p : R As r t= → ���������� ���
p( ) 0
0
0
x s if x
r if x
t if x
= >= <= =
���������-�������������������������%�
��� �� '��(�������������������������������������������� ���
�� ����������������������������������%���������������������������� ���
�� ( ){ }3A , , R / 0x y z xyz= ∈ =
��� ( ){ }3B , , R / 1x y z xyz= ∈ =
���� ( ){ }3C , , R / | | | | | |x y z x y z Q= ∈ + + ∈�� #�%����������������������������,��!������%�����������������
A ���������������������� ���
��� �� ����������(����������� ���
�� ������������������������������������������������ ���
�� .�(����/������������������������������������������������� ���
��������������������������������������������������
-
�� �� +����������������������������������0�����������������
��������
�� ���������
������������������������������������� ���
�� *����������������������������������� ���
�� %��������������������������������
��� '���������������������������������
���� #������������������������
�(� %��
����������������������������
��� �� '��(��������������������������#����1���������(�����������������
�� +����!������!
���������0�����������������
����� ���
�� '��(���������������
���������������
����� ���
��� �� ����������(�!�������������� ��
�� ���2������3������� ���
���
��������������������������������������������������
-
������������������������ ��������������������������������
���������
����������������������
�������������������� !"#��$�%�&
�����'(����"������)!���&����������������� �����������������������������������������
�� ����� ����!�"�#��$������%� &�'������������'������������"�((������
P2162
��� �� ����� �� �� �������������� ���� ����� ���� ��� ������������ ����� ��������������� ���������� ������� ���������� ����� ���� ����������� ����� �������������������������� ���
�� ���������������������������������������� �������� ��������������������������� ��������� �� �� ����� ����!�"������� �� ���� #$� ������%���� #&�������%'�(�����! ���
�� ���)�������������������������������������� 2kZ ,k ���������������� �����!���
��� �� *����������+��� ����� �����������!�,������������������������� ������� ����������������� ��� ��� ���������������+��� ����� ���������������
������ �������� ������������������� ��� ��� ��������( . ., 0 , )i e ab a b Q= ∀ ∈��������+��� ����� ! ���
�� ������������������������������������
���������������������������������
������������������� ���
�� -������������
.������+��� ����� �������������� ! ���
��� �� -���������������������������� ����������������� �����R (0),≠ ����������������� ��� �������� ��������������������������� �����! ���
��������������������
����
-
�� -������������
/������� �����������+��� ����� ����0�1�2 ���
�� -������������
/������� �����������+��� ����� ����&�1�2 ���
��� �� ��� :f R S→ � ���� :g S R→ � ����������������� ���� ��������������3���⊆ �3��������������������������������������!�4 ��������������������⊆ �������������������������������������� ���
�� ����� ���� ,� ��� ����� ������������ ���� ���� ��� :f R S→ � �� �� ������������������������������������������������������� ����,�������������� �����!�"��������� ����#��������� %����#��+��� ����� %'(����� ���
�� ,��������������������������������������������������������! ���
��� �� -�������������������-�*���������� �������������������������������������� �����������
������ ��� ���������� ���
�� ,���������������&1�2������1���2�����-�*������������������� ��! ���
�� -������������
0������������� ��� ������� ��� ���
�� �� *���������5���������6������������!�������������������7�&� 3i⎡ ⎤⎣ ⎦ ����
������6�����������������������-�*! ���
�� ,����������������R=Z 2⎡ ⎤⎣ ⎦ ����������������� ���
�� ,�������������������&�1�2������� ������8���9������9�:�8������������������������ ���
��� �� ;���������������������� ���������������������������������1�2���-�*��������� �������1�2���.!*! ���
�� ;������������������� �������� �����������������&��
���
�� ;������������������������&���1�2 ���
��������������������������������������������������
-
��� �� �������:����� ��
-
������������������������ ��������������������������������
���������
�������������������������
������������������� !�"��#$�%�"
���&�'"����!������( ���)����������������� �����������������������������������������
�� �� �����!�"�#��$������%� "�&������������&������������'�((�������� )��'���*+�&�����,(�-�������'�����(��(�������(( ���
P2163
��� �� ���������������������������������������������������������
������
����������������������������������������������������� ���
{ }{ }
1
2
V / ( ) ( )
V / ( ) ( )
f V f x f x
f V f x f x
= ∈ − =
= ∈ − = −
�����
����������������������������������������������
�
� ��������������������������������������������������� ���
1 2 3 4V (1,1,2,0); V (2,1,0,2); V (1,2,3,4); V (0,4,5,2).= = = =
�� ������������������������������������� ���
��� �� ���� �������������������������������� :f ν→� ������������������������
�����! ���
�� "��� ( )f ���������������� �
��� #�����������������