3 power spectrum - wordpress.com · advanced digital signal processing asst. prof. dr....

Advanced Digital Signal Processinghttp://embedsigproc.wordpress.com

Asst. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

1

3Power Spectrum

Asst. Prof. Dr. Peerapol Yuvapoositanon, PhD, DIC

Department of Electronic Engineering

and

Graduate School of Electrical Engineering

Mahanakorn University of Technology



2

Power Spectrum

• ใชการแปลงของฟูริเยรแบบไมตอเนื่องทางเวลา (Discrete-time Fourier Transform) หรือ DTFT

• แต x(n) เปนสัญญาณสุมที่ไมอยูในรูปที่จะสามารถทําอินทีเกรทกําลังสองได

2( ) ( ) j fn

n

X f x n e



3

Z-transform

• โดยทั่วไปเรามักจะพบกับระบบ z-transform มากกวา DTFT เพราะใชงานหลากหลายกวา

( ) ( ) n

n

X z x n z



4

Z-transform v.s. DTFT

• เราจะเปลี่ยนการแปลงแซดใหเปนการแปลงฟูริเยรแบบไมตอเนื่องทางเวลาไดอยางสะดวกโดย

2j f



5

Z-plane

• โดยทั่วไปเราพิจารณา z-transform



6

ความถี่ไนควิสต



7

Power Spectrum และ Auto-Correlation

• สเปคตรัมกําลัง คือการแปลงฟูริเยรแบบไมตอเนื่องทางเวลาของสหสัมพันธตัวเองของสัญญาณ x(n)

2( ) ( ) j fm

m

S f r m e

xx xx



8

กราฟ Power Spectrum



9

การซ้ําคาของสเปคตรัมกําลัง



10

• การหาคากําลังในชวงระหวาง f1 และ f2



11

สเปคตรัมกําลังและระบบเชิงเสน (Power Spectrum and Linear Systems)• ระบบเชิงเสน (Linear system) แบบไมแปรเปลี่ยนตามการเลื่อน ซึ่งมีคาผลตอบสนองอิมพัลสเปน hk

( ) ( ) ( )k kk

y n h x n h x n k



12

• a) คาเฉลี่ยกลาง

• คา DC

2( ) j fkk

k

H f h e

(0) kk

H h



13

{ ( )} ( )

( )

(0)

kk

kk

kk

E y n E h x n k

h E x n k

h

H

x

x

X(n) เปน

WSS



14

• คาเฉลี่ยกลางของเอาทพุท = คาเฉลี่ยกลางของอินพุท * DC Gain ของระบบ



15

• b) สหสัมพันธตัวเอง

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

kk

kk

kk

r n E y m x m n

E h x m k x m n

h E x m k x m n

h r n k

yx

xx



16

( ) ( )

( )

kk

k

r n h r n k

h r n

yx xx

xx



17

• ดวยความเปนสมมาตรของฟงกชันสหสัมพันธตัวเอง ดังนั้นเราแทน n ไดดวย -n

( ) ( )

( )

( )

kk

k

r n r n

h r n k

h r n

yy yy

yx

yx



18

( ) ( )

( )

( ) ( )

k

k k

r n h r n k

h h r n

r k r n

yy yx

xx

hh xx



19

2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

S f H f H f S f

H f S f

yy xx

xx

( ) ( ) ( )r n r k r n yy hh xx

DTFT



20

สเปคตรัมกําลังกับตัวเขารหัสเสียงพูด (Power Spectrum and Speech Coder)

• เปนสัญญาณรบกวนสีขาว (White Noise) ซึ่งมีสเปคตรัมกําลังเปนคาคงที่หรือ k

2( ) ( )S f k H fyy



21

• หรือหมายความวา สเปคตรัมกําลังของสัญญาณ เปนรูปแบบใดๆ ก็ขึ้นกับรูปรางของ โดยมีเงื่อนไขก็คือตองให x(n) เปนสัญญาณรบกวนสีขาว

2( )H f



22



23



24

Randn(.)

• สราง x(n) ที่มี mean =0 และ ความแปรปรวน=1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5



25

IID

• x(n) นั้นเปน เปนอิสระตอกัน และกระจายอยางเทาเทียมกัน (Independent and IdenticallyDistributed) หรือ เรียกยอๆ วา IID

( ) { ( ) ( )}

( )

r n m E x m x n

n m

xx



26

เมตริกซสหสัมพันธตัวเอง

• ของ IID จะเปนไดแอกอนัล (Diagonal matrix)2

2

2

2

0 0

0 0

0 0

xxR

I



27

ไดแอกอนัล กับ เมตริกซผกผัน

• จาก เรื่องการหาการผกผันของเมตริกซ (Inverse Matrix) เราจึงไดโดยงายวา

12

xx



28

• และจากเรื่อง System identification เราจึงได

1

2

xx dx

dx

h R r

r



29

สัญญาณสุมแบบเกาส

• สัญญาณสุมแบบเกาส

• pdf

2

2

1 ( ) ( )( ( )) exp

2 2i i

x i if x i

( ) ~ ( ( ), )ix i iN



30

1 1 0 0

1 1 0 0

1 0 1 0 0 1 1 0

1 0 1 0

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) } { ( ) ( )

{ ( )} { ( )} ( ) { ( )} ( ) { ( )} ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0

E x n n x n n

E x n n E x n n

E x n E x n n E x n n E x n n n

n n n n

x(n) เปน IID



31

การสรางแบบจําลองของสัญญาณสุมModelling of Random Signals

• Transfer function

10 1

11

( )( )

( )1

NN

MN

b b z b z B zH z

A za z a z



32

ระบบแบบเฟสนอยสุดMinimum Phase Systems

• ตําแหนงของซีโรที่อยูภายในวงกลมหนึ่งหนวยจะเปนตัวกําหนดความเปนระบบเฟสนอยสุด

• ซีโรของระบบจะตองอยูภายในวงกลมหนึ่งหนวย



33

• ตัวอยาง

• ซีโรเพียงตัวเดียวซึ่งอยู ณ ตําแหนง z=-1

1( ) 1H z z



34



35

ผลตอบสนองความถี่



36

• ตัวอยาง 1

1( ) 1 0.5H z z

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real Part

Imag

inar

y P

art



37


-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.5

0

0.5

1

Real Part

Imag

inar

y P

art

12( ) 1 2H z z



38

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-30

-20

-10

0

Normalized Frequency ( rad/sample)

Pha

se (

degr

ees)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-5

0

5


Mag

nitu

de (

dB)



39

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-200

-150

-100

-50

0


Pha

se (

degr

ees)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

5

10


Mag

nitu

de (

dB)



40

ซีโรอยูในวงกลมหนึ่งหนวย

• ตําแหนงซีโรที่อยูในวงกลมหนึ่งหนวย ถูกแปลงเปนโพลในวงกลมหนึ่งหนวยและมีสเถียรภาพ



41

ซีโรอยูนอกวงกลมหนึ่งหนวย

• ตําแหนงซีโรที่อยูนอกวงกลมหนึ่งหนวยนี้จะกอใหเกิดความไมมีเสถียรภาพ (Instability)



42

ตัวอยางการใชงานสเปคตรัมกําลัง

• ตองการสงสัญญาณเสียงพูดผานสายโทรศัพทที่ม ีแบนดวิทต่ํา ๆ ( 4 kHz)

• เพื่อลดปริมาณการสงขอมูล เราใชการเขารหัสที่เรียกวา Linear Prediction Coding (LPC)



43

สเปคตรัมกําลังของเสียงพูด

• เราใชการสงขอมูลสําคัญคือ ความถี่ฟอรแมนท (Formant frequencies)



44

การเขารหัสทํานายคาเชิงเสน (Linear Predictive Coding LPC)

• ประมาณคา a ของระบบ MA แลวสงเฉพาะ a

2 3 1(̂ ) ( 1) ( 2) .... ( )px n a x n a x n a x n p



45

การสรางคืนสัญญาณเสียงพูด

• สรางสัญญาณพูดจากระบบ AR โดยใชเฉพาะ a



46

ตัวอยาง


1( ) 1 0.8MAH z z



47

สหสัมพันธตัวเองของ x(n)

• ให x(n) เปนสัญญาณรบกวนสีขาว ( IID )



48

2(0) { ( )}yyr E y n

1

0 10

( ) ( ) ( ) ( 1)kk

y n h x n k h x n h x n



49

• เพราะ x(n) เปนสัญญาณรบกวนสีขาว

212 2 2 20 0 1 1

0

2 2 2 20 0 1 1

0

2 2 2 20 1

( ) ( ) 2 ( ) ( 1) ( 1)

( ) 2 { ( ) ( 1)} ( 1)

kk

x x

E h x n k E h x n h x n h x n h x n

h E x n h h E x n x n h E x n

h h



50

• ที ่n =0

12 2 2 2

0

(0) 1 0.8yy k xk

r h



51

• ที ่n =-1, +1

0 1(1) ( 1) 1 0.8yy yyr r h h



52



53

3 power spectrum - wordpress.com · advanced digital signal processing asst. prof. dr....

Documents