210 平均 値 の a - ryukoku universitykawakami/lecture/calu...② 五、2.12 (candy の平均値...
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第 7 回 の五、210 (平均値 の 定理 )f [a
.b] 上 連続 かつ lab) 上 微分可能
⇒ が Elab) st . f (b) = fat 桁) (b -a)
prf 拗斗 (a )と おきた =
b.o.FM= f (b) - fpc) - 友 (ba) に
ロルの定理
を 考える.F ( b) = Flak 0) な ので Th .29 より
F'
(D = 0 と なる Stab) が 存在する
形か -.-拗 t た な ので F'
13 ) = - HS ) t た = 0
fib) -ha )i. f '( 5) = b.at k
Gr、2
.
11-
f : [a . b] 上 連続 が lab) 上 微分可能i) fkpohctca.is ) ⇒ fは Iab] 上 狭義単調増加
はいく 0 ) (減少)
が fk, o Head)⇒ fは たい 上 単調増加
(fInfo ) (減少)
i) 折に 0 kt lab) ⇒ fは定数関数
②五、 2.12 ( Candy の 平均値 の 定理 )
f.fi Ea 、b] 上 連続かっ Lab) 上 微分 可能
⇒ヨ Seca . b) st.fi/g1b)-gk)/=f4S)H1の 一桁
特に fた) も 0 かつ flb) 一%) キ 085ば
数がで一 = 鍵prd.FI?c):=fgM-gaIffcb).fa1-fglb)-ga1ffm-falて おく と
、 F (b) = Fla) に 0) なので 17.29 H
F行) = 0 と なる S Elab) が 存在する。
FM = f'の例) - feat -栃 伽は行 なので
F行) = 垳 ) {ftp.fal-figfflb)が 1 = 0 /
不定形 の極限-2→ No の とき.fm → 0 かつ gk ) → 0 と する
。
(o) (み)このとき
、
指。 な物
を 8 形 の 不定形 の 極限という、
は)fm → 0
, GM → o (っい た) の とき。
喬。
物 ga) は 0 - o 形 の 不定形 の 極限という
L'[email protected](ロピタル の 定理)
ii) f.fi た の近傍 で定義 されている 。
ただし fr . 81%) は 定義 されて い なくとも よい.
N -)で の 2き た) → 0 、 GK) -1 0
"
(っい た。 +0 ) (N ) Co) 上,
\と
al) かつ に加
右 極限になる fg は No 以外 で 微分 可能で 物 も0
まで は ⇒ 様 河拗
=1 が 存在すれば 摂 揃 = l
が1 0 -) まで の\,
n- 0 ⇒ が一・ lfe ) には 北 でも よい )
なので、
Il は o で も よい )
(ii) fg : 十 分 大きな 死 について 定義 されている。
つい o の とき fm → 0, 8 M → 0
かつ (o ) は)
f. g は 微分 可能 で 十分 大きな 人 に対して リキ 0
⇒ 岩河揃
=1 が 存在すれば 様 鼎t.pt#いい のみ 示す か ) も ほぼ同様)必要があれば た。) = 81%に02 定めればf. g は 区間 [がつけ 又は [で初 において Th . 2 12 の 仮定をみたす ので
、
ヨTE は、か st、 彭 拓廻
)= ft
.
1 %化 の 場合)
つい た のとき 明らかに I -) が なので
様 撚 t.fr = 蕊鋏.ee
④§
.
24 微分 の応用・ fbc ) は I こ [a. b] における 凸 関選 (convex func )断
Kd E 10. 1 )、
㽗、12 EI with かくた
f (のい 」 (は )が) E の 扱い ) t (1-の%に) と
特に凶 で等号 なしの とき、
狭義 の 凸 関数とよばれる。また、
は、 の扮 +11の拓)・ 杉 は I における 1凹 関数 bj .I婚I において 一物が 凸関数 eines
せい き て2
Pyi24 のいいかな
f : I において 凸 関数(狭義)
HD- に).
Ya、ったのは には⇒ 格か!ーー"ETがたくたK)
が出た一つに とおく と の E 10 . 1 ) で(ニ)) メ =
の 一ついってつ( 2 = dが t (トの% と なる。
仮定より fは 凸 なので
fbh) = f (い +1トメ )かつ 塁 の fbl) t (は ) fpb)
が器物 + 器物)
⑤(E) T.ME I with かくか z な E (al ) に対 に
つい dた t (1-d)12 E にい た)
な ので 、仮定より たま の がきーfarfa ) 扱い -杉かつ4- E-
これより
物 e がや_fa ) t 𥐮'
_た)
= の f仏 ) + 1 1- d ) f名) 4
Th . 2 15-
f : I = [a . D 上 連続 .la b) 上 2回微分可能(i) f が I において 凸 関数⑦ f "が 不 0 た Elab)
が 招い 70 た Elab)⇒ f は I において 狭義 凸 関数(⇐ ) は成立 しない
.et)が) =が 、 拓 二0 なので
.
PI (か について 示す )や) Prop. 2 -
14 よりfarfa)
、 T.am Elab)-幽幻 E
た一人~
with かくかくな
⑥両辺 において つくっ た と する と
f名) -松 )fk.IEがかつて
同様 に なっ た と する と、
_
挧一枷← f伽)
.の一つ4
よ、て f仏 ) と 扱い で あり、
杉 は lab) 上 単調増加なので、
Gr 211 より f "の 7 0.
⇐) G .2 1 1 より fk ) は lab) 上単調増加
、
りくいた か E I with が くたくた に対して、
Th、2:10 より
HD - 松 ) = (たか ) がつい +0.1なか)
fM) -81た) = わーた) f'
(つに+021かな)となる A
,0 2 E 10 . 1 ) が 存在する ことで
a く が +0,1たか く た +02 (かた) < b小 木
にいた ) の 点 (たか ) の 点
なので 拗 の 単調性 より挧一枷型で対一四
= f 'は 、 +0,1たか) Ef 方に+021たが 二
T.tnProp . 24 より 扣 は 凸 関数 y
⑦関数 の 極限-は % において 極大 } あわせて 極値 という
。
1極小)媽なっos.t.fm E た。) fr た E (対、
対 )
に)
五、 2.16f : Ia . b ) 上 微分 可能 、
つい た に おいて た)が極値をとる ⇒ 抜。) = 0
"等。 で 物 が 極大値を とる と する
、
この とき
寺 > o st.com?eefO(akf). 7,0 (-8くん く0)
したがって ht 0 および MO と して
(h」 +0 ) (h 」 -0)
f仏) = f Do) < 0 .f '1%に北伽) 30 人 振に0 ,
Th . 2 17-
f E Cyan) かつ f知 =0 1% Glam)
も し f知っ o ⇒ 物 は ついにおいて_
鵂の 極小K) f (極大)ehl www. 等号 なし の饠 廰でない
。
⑧𦥯fk。) = 0 .毮) 7 0 とする 振) は つに% で連続 なので
なっ o s t.fm) 7 0 for txt No- 8 ,Hot f)
.
よ、て fk) は 1つは、 が8) で 狭義単調増加 である.
fk 。) = 0 よりx E (が f.to) ⇒ f分 < 0
.
NE ( No ,Not f) ⇒ fk) 7 0
な ので'
RE a - 8、加 ) で fm は 狭義単調減少
、
NEと 、%+8 ) で 扣 は狭義単調 増加
である よって、
RE (が 8,Hot 8) かっ て き た で
fm > f 1%)と なり た ) は 九 二 % で狭義 の 極小 と なる
。 (が 、物 ) が変曲点
defness
⇐) が% を 境にし てた) が、
凹 から 凸 又は その逆 になる(下 に 凸 ) 正に凸 )
物が% の近傍 で C級が 1%物 )が変曲点 ⇒ 核に 0.