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8/12/2019 1987_Generalized Predictive Control_Part I_Clarke.pdf

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138 1). W . CLAR Kk et al .W it t e n m a r k , 1 9 8 0 ). T h e imp l i c i t G M V s e l f -t u n e r( s o - c a l l e d b e c a u s e t h e c o n t r o l l e r p a r a me te r s a r ed i r e c t l y e s t ima t e d w i th o u t a n i n t e r me d ia t e c a l c u l -a t i o n ) i s r o b u s t a g a in s t mo d e l o r d e r a s s u mp t io n sb u t c a n p e r f o r m b a d ly i f t h e p l a n t d e a d - t im e v a r ie s .T h e e x p l i c i t p o l e - p l a c e me n t me th o d , i n w h ic h aD i o p h a n t i n e e q u a t i o n i s n u m e r i c a l l y s o l v e d a s ab r id g in g s t e p b e tw e e n p l a n t i d e n t i f i c a t i o n a n d t h ec o n t r o l c a l c u l a t i o n , c a n c o p e w i th v a r i a b l e d e a d -t ime b u t n o t w i th a mo d e l w i th o v e r s p e c i fi e d o rd e r .I t s g o o d b e h a v io u r w i th v a r i a b l e d e a d - t ime i s d u et o o v e r p a r a m e t e r i z a t i o n o f t h e n u m e r a t o r d y n a m i c sB ( q - 1); t h i s me a n s t h a t t h e o r d e r o f t h e d e n o m in a t o rd y n a m ic s h a s t o b e c h o s e n w i th g r e a t c a r e t o a v o ids in g u l a r i t i e s i n t h e r e s o lu t i o n o f t h e D io p h a n t i n ei d e n ti t y . T h e G P C a p p r o a c h b e i ng b a s ed o n a ne x p l i c i t p l a n t f o r mu la t i o n c a n d e a l w i th v a r i a b l ed e a d - t ime , b u t a s i t i s a p r e d i c t i v e me th o d i t c a na l s o c o p e w i th o v e r p a r a me te r i z a t i o n .

T h e t y p e o f p l a n t t h a t a s e l f -t u n e r is e x p e c t e d t oc o n t r o l v a r ie s w id ely . O n t h e o n e h a n d , ma n yin d u s t r i a l p r o c e s s es h a v e s imp le mo d e l s : l o wo r d e r w i th r e a l p o l e s a n d p r o b a b ly w i th d e a d - t ime .F o r s o me c r i t i c a l l o o p s , h o w e v e r , t h e mo d e l mig h tb e mo r e c o mp le x , s u c h a s o p e n - lo o p u n s t a b l e ,u n d e r d a m p e d p o l es , mu l t i p l e i n t e g r a to r s . I t w i ll bes h o w n t h a t G P C h a s a r e a d i l y - u n d e r s t a n d a b l ed e f a u l t o p e r a t i o n w h ic h c a n b e u s e d f o r a s imp lep l a n t w i th o u t n e e d in g t h e d e t a i l e d p r i o r d e s ig n o fm a n y a d a p t i v e m e t h o d s . M o r e o v e r , a t a s l i g h ti n c re a s e o f c o m p u t a t i o n a l t i m e m o r e c o m p l e x p r o -c e s s e s c a n b e a c c o m m o d a t e d b y G P C w i t h i n t h eb a s i c f r a me w o r k .

A l l i n d u s t r i a l p l a n t s a r e s u b j e c t e d t o l o a d - d i s -t u r b a n c e s w h i c h t e n d t o b e i n t h e f o r m o f r a n d o m -s t e p s a t r a n d o m t ime s i n t h e d e t e r min i s t i c c a s e o ro f B r o w n i a n m o t i o n i n s t o c h a s t i c s y s t e m s . T oa c h i e v e o f f s e t - f r e e c lo s e d - lo o p b e h a v io u r g iv e nth e s e d i s t u r b a n c e s t h e c o n t r o l l e r mu s t p o s s e s sin h e r e n t i n t e g r a l a c t io n . I t i s s e e n t h a t G P C a d o p t sa n i n t e g r a to r a s a n a tu r a l c o n s e q u e n c e o f i t sa s s u m p t i o n a b o u t t h e b a s ic p l a n t m o d e l , u n l i k e t h ema jo r i t y o f d e s ig n s w h e r e i n t e g r a to r s a r e a d d e d i na n a d h o c w a y .

2. THE CARIMA PLANT MOD EL AND OU TPUTPREDICTIONW h e n c o n s i d e r i n g r e g u l at i o n a b o u t a p a r t i c u la r

o p e r a t i n g p o in t , e v e n a n o n - l i n e a r p l a n t g e n e r a l l ya d m i t s a l o c a l l y - li n e a r i z e d mo d e l :

I f t h e p l a n t h a s a n o n - z e r o d e a d - t ime t h e l e a d in ge l e m e n ts o f t h e p o l y n o m i a l B ( q - ~) are zero. In (1),u( t ) i s the con t ro l in put , .~t ) i s the m easu red va r iab leo r o u t p u t , a n d x ( t ) i s a d is turbance te rm.

In the l i te ra ture x ( t ) h a s b e e n c o n s id e r e d t o b eo f m o v i n g a v e r a g e f o r m :

x t ) = C q - ~ ) ~. t ) 2 )w h e r e C ( q - 1 ) = I + c l q ~ + ' + c ,c q - c .

I n t h i s e q u a t i o n , ( t ) i s a n u n c o r r e l a t e d r a n d o ms e q u e n c e , a n d c o mb in in g w i th ( I ) w e o b t a in t h eC A R M A ( C o n t r o l l e d A u t o - R e g r e s s i v e a n d M o v -in g - A v e r a g e ) mo d e l :

A q - l ) y t ) = B q ~ 1 ) u t - I+ C ( q - l ) ~ t ) . (3)

T h o u g h m u c h s e l f- t u n in g t h e o r y is b a s e d o n t h ism o d e l i t s e e m s t o b e i n a p p r o p r i a t e f o r m a n yin d u s t r i a l a p p l i c a t i o n s i n w h ic h d i s t u r b a n c e s a r en o n - s t a t i o n a r y . I n p r a c t i c e , tw o p r in c ip a l d i s t u r b -a n c e s a r e e n c o u n t e r e d : r a n d o m s t e p s o c c u r in g a tr a n d o m t ime s ( f o r e x a mp le , c h a n g e s i n ma te r i a lq u a l i t y ) a n d B r o w n i a n m o t i o n ( f o u n d i n p l a n t sr e ly in g o n e n e r g y b a l a n c e ) . I n b o th t h e s e c a s e s a na p p r o p r i a t e mo d e l i s :

x ( t ) = C ( q - 1)~(t)/A (4)w h e r e A is th e d i f fe r en c i n g o p e r a t o r I - q - 1 .C o u p l e d w i t h ( 1 ) t h i s g i v e s t h e C A R I M A m o d e l( i n t e g r a t e d m o v in g - a v e r a g e ) :

A ( q - l) y ( t ) = B ( q l ) u ( t - 1)+ C ( q - l)~(t)/A.

T h i s m o d e l h a s b e e n u s e d b y T u f t s a n d C l a r k e( 19 85 ) t o d e r i v e G M V a n d p o l e - p l a c e me n t s el f-t u n e r s w i th i n h e r e n t i n t e g r a l a c t i o n . F o r s imp l i c i t yin t h e d e v e lo p me n t h e r e C ( q - 1 ) i s chosen to be 1( a l t e r n a t iv e ly C - 1 i s t r u n c a t e d a n d a b s o r b e d i n toth e A a n d B p o ly n o mia l s ; s e e P a r t I I f o r t h e c a s eo f g e n e r a l C ) t o g iv e t h e m o d e l :

A ( q - 1 ) y ( t ) = B ( q 1)u (t - l) + ~(tffA. (5)A ( q l ) y (t ) = B ( q - 1 ) u ( t - 1) + x ( t ) (1)

w h e r e A a n d B a r e p o l y n o m i a l s i n t h e b a c k w a r ds h i f t o p e r a to r q - 1 :A ( q - 1 ) = 1 + a l q - 1 + . . , + a , ~ q - ~B ( q - 1 ) = b o + b l q - ~ + . . . bnbq - r ib .

T o d e r iv e a j - s te p a h e a d p r e d i c to r o f ~ t + j )b a s e d o n (5 ) c o n s id e r t h e i d e n t i ty :

1 = E ~ q - 1 ) A A + q - J F j ~ q - l ) (6)w h e r e E j a n d F j a r e p o l y n o m i a l s u n i q u e l y d ef i n edgiven A ( q - 1 ) an d the pred ic t io n in te rva l j . I f (5) i s


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G e n e r a l i z e d p r e d i ct i v e c o n t r o l - - P a r t I 1 39m u l t i p l i e d b y E j A q j w e h av e : Sub t r ac t ing (9 ) f rom (10) g ives :

E j A A y t + j ) = E j B A u t + j - 1)+ E j t + j )

a n d s u b s t i t u t i n g fo r E j A A f rom (6) gives:y t + j ) = E j B A u t + j - 1)

+ F j y t ) + E~ t + j ) . (7)

0 = .4(R - E ) + q - J ( q -1 S - F) .T h e p o l y n o m i a l R - E is o f d e g r e e j a n d m a y b es p l i t i n t o t w o p a r t s :

R - E = ~ + rj q - j

s o t h a t :A s E j q - 1 ) i s o f d eg r ee j - 1 t h e n o i s e co m p o n en t sa r e a l l i n t h e f u t u r e s o t h a t t h e o p t i m a l p r ed i c t o r ,g i v e n m e a s u r e d o u t p u t d a t a u p t o t i m e t a n d a n yg i v en u t + i ) for i > l , is clear ly:

9 t + j I t ) = G j A u t + j - 1) + F j y t ) (8)w h e r e G j q - 1 ) = E j B .N o t e t h a t G j q - 1) = B q - 1)[1 - q - ~ F j q - t ) ] /A q - t )A s o t h a t o n e w a y o f c o m p u t i n g G~ i s s im p l yt o c o n s i d e r t h e Z - t r a n s f o r m o f t h e p l a n t ' s s t ep -r e s p o n s e a n d t o t ak e t h e f i r s t j t e r m s ( C l a r k e an dZhang , 1985) .I n t h e d e v e l o p m e n t o f t h e G M V s e l f- t u n in gc o n t r o l l e r o n l y o n e p r e d i c t i o n ~ t + k i t ) i s usedw h e r e k i s t h e a s s u m ed v a l u e o f t h e p l an t ' s d ea d -t i m e . H e r e w e co n s i d e r a w h o l e s e t o f p r ed i c t i o n sf o r w h i c h j r u n s f r o m a m i n i m u m u p t o a l a r g ev a lu e : t he s e a re t e r m e d t h e m i n i m u m a n d m a x i m u m

p r e d i c t i o n h o r i z o n s . F o r j < k t h e p r e d i c t i o np r o ces s .P( t + J l t) d ep en d s en t i r e l y o n av a i l ab l ed a t a , b u t f o r j > / k a s s u m p t i o n s n e e d t o b e m a d ea b o u t f u t u r e c o n t r o l a c t i o n s . T h e s e a s s u m p t i o n sa r e th e c o r n e r s t o n e o f t h e G P C a p p r o a c h .2 .1 . R e c u r s i o n o f t h e D i o p h a n t i n e e q u a t i o nO n e w a y t o i m p l e m e n t l o n g - r a n g e p r e d i c t i o n i st o h av e a b an k o f s e l f - t u n i n g p r ed i c t o r s f o r e achh o r i z o n j ; t h is is t h e a p p r o a c h o f D e K e y s e ra n d V a n C a u w e n b e r g h e ( 19 82 , 1 9 8 3) a n d o f t h eM U S M A R m e t h o d ( M os ca e t a l . , 1984) . A l tern -a t i v e l y , ( 6) c an b e r e s o l v ed n u m er i ca l l y f o r E an dF i f o r t h e w h o l e r an g e o f j s b e i n g co n s i d e r ed .B o t h t h e s e m e t h o d s a r e c o m p u t a t i o n a l l y e x p e ns i ve .I n s t ea d a s i m p l e r an d m o r e e f f ec t iv e s ch em e i s t ou s e r e c u r s i o n o f t h e D i o p h a n t i n e e q u a t i o n s o t h a tt h e p o l y n o m i a l s E j + I a n d F j + I a r e o b t a i n e d g i v e nt h e v a l u e s o f E j a n d F j .S u p p o s e f o r c l a r it y o f n o t a t i o n E = E j , R = E j . 1 ,F = F j , S = F j + ~ a n d c o n s i de r t h e t w o D i o p h a n t i n eeq u a t i o n s w i t h $ d e f i n ed a s A A :

1 = E A q - i F 9 )

1 = R . 4 q - t J 1 ~S. 1 0 )

~ IR + q - J q - t S - F + , 4 r j = O .

C l ea r l y t h en /~ = 0 an d a l s o S i s g i v enS q F - , ~ r ) .

A s ,4 h a s a u n i t l e ad i n g e l em en t w e h av e :

b y

r j - ~ f o (1 la )S i = f i 1 - - ~l i l r i (1 lb )

fo r i = 0 to the deg ree o f S q - 1 ) ;an d : R q - i ) = E q -1 ) + q - J r j (12)

G + I = B q - 1 ) R q - 1 ). (13)H e n c e g i v e n t h e p l a n t p o l y n o m i a l s A q - 1 ) a n dB q - 1 ) a n d o n e s o l u t i o n E j q - a ) a n d F j q - 1 ) t h e n( 1 1 ) can b e u s ed t o o b t a i n F j + ~ q - 1 ) a n d ( 1 2 ) t og i v e E j + l( q - 1 ) an d s o o n , w i t h l i t tl e co m p u t a t i o n a le f f o rt . T o i n i t i a l iz e t h e i t e r a t i o n s n o t e t h a t f o r j = 1:

1 --- E 1 . 4 + q - 1 F t

an d a s t h e l e ad i n g e l em en t o f , 4 i s 1 t h en :E1 = 1, F1 = q(1 - ,']).

T h e ca l cu l a t i o n s i n v o l v ed , th e r e f o r e , a re s t r a i g h t f o r -w a r d a n d s i m p l e r t h a n t h o s e r e q u i r e d w h e n u s i n ga s e p a r a t e p r e d i c t o r f o r e a c h o u t p u t h o r i z o n .

3. THE PR EDICTIVE CON TROL LAWS u p p o s e a f u t u r e s e t - p o i n t o r r e f e r en ce s eq u en ce[ w t + j ) ; j = 1 ,2 . . . ] i s ava i lab le . I n m os t casesw t + j ) w il l b e a co n s t an t w eq u a l t o t h e c u r r en t s e t -p o i n t w ( t ), t h o u g h s o m e t i m es ( a s i n b a t ch p r o ces sco n t r o l o r r o b o t i c s ) f u t u r e v a r i a t i o n s i n w t + j )w o u l d b e k n o w n . A s i n t h e I D C O M a l g o r i t h m( R i ch a l e t e t a l . , 1 9 7 8 ) i t m i g h t b e co n s i d e r e d t h a t as m o o t h e d a p p r o a c h f r o m t h e c u r r e n t o u t p u t X t ) t ow i s r eq u i r ed w h i ch i s o b t a i n ab l e f r o m t h e s i m p l e


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1 40 D . W . C L A R K E et al .

Y

t - 2 t

[

j J/ / -J

w s e t - p o i n t

P r e d i c t e d o u t p u t

I t + I N u I .t ~ l t N T i m e t

P r o j e c t e d c o n t r o t s

F IG . 1. S e t - p o i n t c o n t r o l a n d o u t p u t s i n G P C .

f i r s t - o r d e r l a g m o d e l :w t ) = y t )

w t + j ) = ~ w t + j - 1)+ 1 - a ) w j = l , 2 . . . .

w h e r e ~ ~ 1 f o r a s l o w t r a n s i t i o n f r o m t h e c u r r e n tm e a s u r e d - v a r i a b l e t o t h e r e a l s e t- p o i n t w . G P C i sc a p a b l e o f c o n s i d e r i n g b o t h c o n s t a n t a n d v a r y i n gf u t u r e s e t - p o i n t s .

T h e o b j e c t iv e t h e n o f th e p r e d i c t i v e c o n t r o l l a wi s t o d r i v e f u t u r e p l a n t o u t p u t s X t + j ) c l o s e t ow t + j ) i n so m e se n se , a s sh o w n i n F i g . 1 , b e a r i n gi n m i n d t h e c o n t r o l a c t i v i ty r e q u i r e d t o d o s o . T h i si s d o n e u s i n g a r e c e d i n g - h o r i z o n a p p r o a c h f o rw h i c h a t e a c h s a m p l e - i n s t a n t t :

( 1 ) t h e f u t u r e s e t - p o i n t s e q u e n c e w t + j ) i s ca l cu-l a t ed ;

( 2) th e p r e d i c t i o n m o d e l o f ( 8) i s u se d t o g e n e r a t ea s e t o f p r e d i c t e d o u t p u t s ~ t + j l t ) w i t h c o r r e -s p o n d i n g p r e d i c t e d s y s t e m e r r o r s e t + j )= w t + j ) - p t + j l t ) n o t i n g t h a t p t + j [ t ) f o rj > k d e p e n d s i n p a r t o n f u t u r e c o n t r o l s i g n a l su t + i) w h i c h a r e t o b e d e t e r m i n e d ;

( 3) s o m e a p p r o p r i a t e q u a d r a t i c f u n c t i o n o f t h ef u t u r e e r r o r s a n d c o n t r o l s i s m i n i m i z e d , a s s u m i n gt h a t a f t e r s o m e c o n t r o l h o r i z o n f u r t h e r i n c r e-m e n t s i n c o n t r o l a r e z e r o , t o p r o v i d e a s u g g e s t e ds e q u e n c e o f f u t u r e c o n t r o l s u t + j);

(4 ) t he f i r s t e l em ent u t) o f t h e s e q u e n c e i s a s s e r t e da n d t h e a p p r o p r i a t e d a t a v e c t o r s s h i ft e d s o t h a t t h ec a l c u l a t i o n s c a n b e r e p e a t e d a t t h e n e x t s a m p l ei n s t a n t .N o t e t h a t t h e e f f e c t iv e c o n t r o l l a w i s s t a t i o n a r y ,u n l i k e a f i x e d - h o r i z o n L Q p o l ic y . H o w e v e r , in t h es e l f -t u n e d c a s e n e w e s t im a t e s o f th e p l a n t m o d e lp a r a m e t e r s r e q u i r e s n e w v a l u e s f o r t h e p a r a m e t e r

p o l y n o m i a l s , w h i c h m e a n s t h a t t h e f as t D i o p h a n t i n er e c u r s i o n i s u s e fu l f o r a d a p t i v e c o n t r o l a p p l i c a t io n so f t h e G P C m e t h o d .

C o n s i d e r a c o s t f u n c t i o n o f t h e f o r m :

t~j=N

~ i j ) [ A u t + j - I t ] 2j = l (14)

w h e r e :N 1 i s th e m i n i m u m c o s t i n g h o r i z o n ;N i s t h e m a x i m u m c o s t i n g h o r i z o n , a n d) . ( j ) i s a c o n t r o l - w e i g h t i n g s e q u e n c e .

T h e e x p e c t a t i o n i n ( 1 4 ) i s c o n d i t i o n e d o n d a t a u pt o t im e t a s s u m i n g n o f u t u r e m e a s u r e m e n t s a r ea v a i l a b l e ( i. e. t h e s e t o f c o n t r o l s i g n a l s a r e a p p l i e di n o p e n - l o o p i n t h e s e q u e l ) . A s m e n t i o n e d e a r l i e r ,t h e f i r s t c o n t r o l i s a p p l i e d a n d t h e m i n i m i z a t i o n i sr e p e a t e d a t t h e n e x t s a m p l e . T h e r e s u l t i n g c o n t r o ll a w b e l o n g s t o t h e c l a s s k n o w n a s O p e n - L o o p -F e e d b a c k - O p t i m a l c o n t r o l ( B e r t s e k as , 1 97 6 ). A p p e n -d i x A e x a m i n e s t h e r e l a t i o n b e t w e e n G P C a n dC l o s e d - L o o p - F e e d b a c k - O p t i m a l w h e n t h e d i s tu r b -a n c e p r o c e s s i s a u t o r e g r e s s i v e . I t i s s e e n t h a t c o s t i n go n t h e c o n t r o l i s o v e r a l l f u t u r e i n p u t s w h i c h a f f e c tt h e o u t p u t s i n c l u d e d i n J . I n g e n e r a l N 2 i s c h o se nt o e n c o m p a ss a l l t h e r e sp o n se w h i c h i s s i g n i f i c a n t l ya f f e c t e d b y t h e c u r r e n t c o n t r o l ; i t i s r e a so n a b l e t h a ti t s h o u l d a t l e a s t b e g r e a t e r t h a n t h e d e g r e e o fB q -1 ) a s t h e n a l l s t a t e s c o n t r i b u t e t o t h e c o s t( K a i l a t h , 1 9 80 ), b u t m o r e t y p i c a l l y N 2 i s s e t t oa p p r o x i m a t e t h e r i s e - ti m e o f t h e p l a n t . N 1 c a n o f t e nb e t a k e n a s 1 ; i f i t i s k n o w n a pr i or i t h a t t h e d e a d -t i m e o f th e p l a n t i s a t l e a s t k s a m p l e - i n t e r v a l s t h e n


5/12

G e n e r a l i z ed p r ed i c ti v e c o n t r o l - - P a r t IN 1 c a n b e c h o s e n a s k o r m o r e t o m i n i m i z ec o m p u t a t i o n s . I t i s f o u n d , h o w e v e r , t h a t a l a r g ec la s s o f p l a n t m o d e l s c a n b e s t a bi li ze d b y G P Cw i t h d e f a u l t v a l u e s o f 1 a n d 1 0 f o r N1 a n d N 2 . P a r tI I p r o v i d e s a t h e o r e t i c a l j u s t i f i c a t i o n f o r t h e sec h o i c e s o f h o r i z o n . F o r s i m p l ic i ty i n t h e d e r i v a t i o n ,b e l o w 2 ( j ) is s e t t o t h e c o n s t a n t 2 , N 1 t o 1 a n d N 2t o N : t h e o u t p u t h o r i z o n .

R e c a l l t h a t ( 7 i m o d e l s t h e f u t u r e o u t p u t s :

y( t + 1) = G x A u t ) + F l y t ) + E ~ t + 1)y(t + 2) = G 2 A u t + 1) + F2y (t ) + E 2 ~ t + 2)

y t + N ) = G N A u t + N - 1)+ F N y t ) + E N ~ t + N ) .

C o n s i d e r X t + j ) , I t c o n s is t s o f t h re e t e r m s : o n ed e p e n d i n g o n f u t u r e c o n t r o l a c t i o l , s y e t t o b ed e t e r m i n e d , o n e d e p e n d i n g o n p a s t k n o w n c o n t r o lst o g e t h e r w i t h f i l t e r e d m e a s u r e d v a r i a b l e s a n d o n ed e p e n d i n g o n f u t u r e n o i s e s i g n a l s . T h e a s s u m p t i o nt h a t t h e c o n t r o l s a r e t o b e p e r f o r m e d i n o p e n - l o o pis t a n t a m o u n t t o i g n o r i n g t h e f u t u r e n o is e s e q u e n c e{ ~( t + j ) } i n c a l c u l a t i n g t h e p r e d i c t i o n s . L e t f t + j )b e t h a t c o m p o n e n t o f X t + j) c o m p o s e d o f si gn a lsw h i c h a r e k n o w n a t t i m e t , s o t h a t f o r e x a m p l e :

f t + 1) =

f t + 2) =

[ G I q - 1) _ g l o ] A u t )+ F l y t ) , a n dq [ G 2 q - 1) _ q - tg21- - g 2 0 ] A u t ) + F 2 y t ),etc .

w h e r e G i q - 1 ) = g i o + g i l q - 1 + . . . .

141g og tG =

0g o

g N - 1 g N - 2 g oN o t e t h a t i f t h e p l a n t d e a d - t i m e i s k > 1 t h e f i rs tk - 1 row s of G wi l l be nu l l , bu t i f i ns t e ad N1 i sa s s u m e d t o b e e q u a l t o k t h e l e a d i n g e l e m e n t i sn o n - z e r o . H o w e v e r , a s k w il l n o t i n g e n e r a l b ek n o w n i n t h e s e l f - t u n i n g c a s e o n e k e y f e a t u r e o ft h e G P C a p p r o a c h i s t h a t a s t a b l e s o l u t i o n i sp o s s i b l e e v e n i f t h e l e a d i n g r o w s o f G a r e z e r o .

F r o m t h e d e fi n i ti o n s o f t h e v e c t o r s a b o v e a n dwi th :

w = [ w t + 1) , w t + 2 ) . . . . w t N ] Tt h e e x p e c t a t i o n o f t h e c o s t - f u n c t i o n o f ( 14 ) c a n b ewr i t t en :

J1 ~-- E {J I , N )}= E{ (y - w)T (y -- W) + 2iiTii} (16)

i.e.Jl = {(Gi i + f- w)T(Gii + f- w) + 2i iTi i} .

T h e m i n i m i z a t i o n o f J 1 a s s u m i n g n o c o n s t r a i n t so n f u t u r e c o n t r o l s r e s u l t s i n t h e p r o j e c t e d c o n t r o l -i n c r e m e n t v e c t o r :

f i = (GT G + 2I ) - 1Gr(w - f) . (17)N o t e t h a t t h e f i r s t e l e m e n t o f f i i s A u ( t) so t h a t

t h e c u r r e n t c o n t r o l u t ) i s g iven by :

T h e n t h e e q u a t i o n s a b o v e c a n b e w r i t t e n in t h e k e yv e c t o r f o r m :

9 = G a + f 1 5 )

w h e r e t h e v e c t o r s a r e a l l N x 1 := [ j~ ( t + 1 ), j~ (t + 2 ) , . . . , ~ t + N ) ] T

ii _ [Au (t), A u t + 1 ) . . . . A u t + N - 1)] Tf = [ f t + 1 ) , f t + 2 ) , . . . , f t + N ) ] r .

A s i n d i c a t e d e a r l i e r, t h e f i r s t j t e r m s i n G j q - 1 ) a r et h e p a r a m e t e r s o f th e s t e p - r e s p o n s e a n d t h e r e f o r eg~j = g~ f o r j = 0 , I , 2 . . . < i i n d e p e n d e n t o f t h ep a r t i c u l a r G p o l y n o m i a l .

T h e m a t r i x G i s t h e n l o w e r - t r i a n g u l a r o f d i m e n -s i o n N x N :

u t ) = u t - 1) + ~T(w - f) (I 8)w h e r e ~ r is th e f ir s t r o w o f ( G T G + 2 I ) - t G T . H e n c et h e c o n t r o l i n c l u d e s i n t e g ra l a c t i o n w h i c h p r o v i d e sz e r o o f f se t p r o v i d e d t h a t f o r a c o n s t a n t s e t - p o i n tw t + i ) = w , s a y , t h e v e c t o r f i n v o l v e s a u n i t s t e a d y -s t a t e g a i n i n t h e f e e d b a c k p a t h .

N o w t h e D i o p h a n t i n e e q u a t i o n ( 6) f o r q = 1 g i ve s1 = Ej(1)A(1)A (I) + Fj(1)

a n d as A ( 1 ) = 0 t he n F j ( 1 ) = I s o t h atf t + j ) = F j ) ~ t ) i s a s i g n a l w h o se m e a n v a l u e e q u a l st h a t o f y t ) . F u r t h e r m o r e , d e f i n i n g F j q - i ) t o b eE j q - 1 ) . ~ q - 1 ) gives:

F j q - 1 ) y t) = (1 - F ~ q - l )A)y(t )= y t ) - F j A y t )


6/12

1 42 D . W . C L A R K E et al.w h i c h sh o w s t h a t i f y t ) i s t h e c o n s t a n t y so t h a tA 3~ t) = 0 t h e n t h e c o m p o n e n t F j l q - 1 ) ~ t } r e d u c e st o f . T h i s , t o g e t h e r w i t h t h e c o n t r o l g i v e n b y ( 1 8 ) ,e n su r e s o f f s e t- f r e e b e h a v i o u r b y i n t e g r a l a c t i o n .

o f d i m e n s i o n N U a n d t h e p r e d i c t i o n e q u a t i o n sr e d u c e t o :

~ = G ~ i i + f

3,1. T h e c o n t r o l h o r i z o nT h e d i m e n s i o n o f t h e m a t r i x i n v o l v e d i n ( 17 ) isN x N . A l t h o u g h i n t h e n o n - a d a p t i v e c a s e t h ei n v e r s i o n n e e d b e p e r f o r m e d o n c e o n l y , i n a s e l f -t u n i n g v e r s i o n t h e c o m p u t a t i o n a l l o a d o f i n v e r t in ga t e a c h s a m p l e w o u l d b e e x c e s s i v e . M o r e o v e r , i ft h e w r o n g v a l u e f o r d e a d - t i m e i s a s s u m e d , G V G iss i n g u l a r a n d h e n c e a f i n i t e n o n - z e r o v a l u e o fw e i g h t i n g 2 w o u l d b e r e q u i r e d f o r a r e a l i z a b l ec o n t r o l l a w , w h i c h i s i n c o n v e n i e n t b e c a u s e t h e

c o r r e c t v a l u e f o r 2 w o u l d n o t b e k n o w n a pr ior i .T h e r e a l p o w e r o f th e G P C a p p r o a c h l ie s i n t h e

a s s u m p t i o n s m a d e a b o u t f u t u r e c o n t r o l a c t i o n s .I n s t e a d o f a l l o w i n g t h e m t o b e f r e e a s f o r t h ea b o v e d e v e l o p m e n t , G P C b o r r o w s a n i d e a f r o mt h e D y n a m i c M a t r i x C o n t r o l m e t h o d o f C u t l e r a n dR a m a k e r ( 1 9 8 0 ) . T h i s i s t h a t a f t e r a n i n t e r v a lN U < N 2 p r o j e c t e d c o n t r o l i n c r e m e n t s a r e a s s u m e dto be z ero ,i.e. A u t + j - 1) = 0 j > N U . (19)T h e v a l u e N U i s c a l l e d t h e c o n t r o l h o r i z o n . I nc o s t - f u n c t i o n t e r m s t h i s i s e q u i v a l e n t t o p l a c i n ge f f e c t iv e l y i n f i n it e w e i g h t s o n c o n t r o l c h a n g e s a f t e rs o m e f u t u r e t i m e . F o r e x a m p l e , i f N U = 1 o n l y o n ec o n t r o l c h a n g e ( i. e. A u (t )) i s c o n s i d e r e d , a f t e r w h i c ht h e c o n t r o l s u t + j) a r e a l l t a k e n t o b e e q u a l t ou t). S u p p o s e f o r t h is c a se t h a t a t t i m e t t h e r e is as t e p c h a n g e i n w t) a n d t h a t N i s l a r g e . T h e c h o i c eo f u t) m a d e b y G P C is t h e o p t i m a l m e a n - l e v elc o n t r o l l e r w h i c h , i f su s t a i n e d , w o u l d p l a c e t h es e t tl e d p l a n t o u t p u t t o w w i th t h e s a m e d y n a m i c sa s t h e o p e n - l o o p p l a n t . T h i s c o n t r o l l a w ( a t l e a s tf o r a s i m p l e s t a b l e p l a n t ) g i v e s a c t u a t i o n s w h i c ha r e g e n e r a l l y s m o o t h a n d s l u g g i s h . L a r g e r v a l u e so f N U, o n t h e o t h e r h a n d , p r o v i d e m o r e a c t i v ec o n t r o l s .

O n e u se f u l i n t u i t i v e i n t e r p r e t a t i o n o f t h e u seo f a c o n t r o l h o r i z o n i s i n t h e s t a b i l i z a t io n o fn o n m i n i m u m - p h a s e p l a n t. I f t h e c o n t r o l w e ig h t i n g2 is se t to z e r o t h e o p t i m a l c o n t r o l w h i c h m i n i m i z e sJ 1 i s a c a n c e l l a ti o n l a w w h i c h a t t e m p t s t o r e m o v et h e p r o c e s s d y n a m i c s u s i n g a n i n v e r s e p l a n t m o d e li n t h e c o n t r o l l e r . A s i s w e l l k n o w n , su c h ( m i n i m u m -v a r i a n c e ) l a w s a r e i n p r a c t i c e u n s t a b l e b e c a u set h e y i n v o l v e g r o w i n g m o d e s i n t h e c o n t r o l s i g n a lc o r r e s p o n d i n g t o t h e p l a n t ' s n o n m i n i m u m - p h a s ez e r o s . C o n s t r a i n i n g t h e s e m o d e s b y p l a c i n g i n f in i tec o s t i n g o n f u t u r e c o n t r o l i n c r e m e n t s s t ab i l i zes ther e su l t i n g c l o se d - l o o p e v e n i f t h e w e i g h t i n g 2 i s z e r o .T h e u s e o f N U < N m o r e o v e r s i g n if i ca n t ly r e d u c e st h e c o m p u t a t i o n a l b u r d e n , f o r t h e v e c t o r fi is t h e n

where :

G I =

- g og l

g N - 1

0go

gN 2

00

i s N x N U .gog N N u

T h e c o r r e s p o n d i n g c o n t r o l l a w i s g i v e n b y :

f i = [ G ~ G I + ) . I ] - l G ~ w - f ) 2 0 )a n d t h e m a t r i x i n v o l v e d i n th e i n v e r s i o n i s o f t h em u c h r e d u c e d d im e n s i o n N U N U . I n p a r t i c u l a r ,if N U = 1 ( a s i s u se f u l ly c h o s e n f o r a s i m p l ep l a n t ) , t h i s r e d u c e s t o a s c a l a r c o m p u t a t i o n . A ne x a m p l e o f th e c o m p u t a t i o n s i n v o l v e d is g i ve n i nA p p e n d i x B .3.2. C h o i c e o f t h e o u t p u t a n d c o n t r o l h o r i z o n s

S i m u l a t i o n e x e r c iz e s o n a v a r i e t y o f p l a n t m o d e l s ,i n c l u d i n g s t a b l e , u n s t a b l e a n d n o n m i n i m u m - p h a s ep r o c e s s e s w it h v a r i a b l e d e a d - t im e , h a v e s h o w n h o wN 1 , N 2 a n d N U sh o u l d b e s t b e s e l e c t e d , T h e ses t u d i e s a l so su g g e s t t h a t t h e m e t h o d i s r o b u s ta g a i n s t t h e se c h o i c e s , g i v i n g t h e u se r a w i d e l a t i t u d ein h i s des ign .

3.2.1. NI: T h e m i n i m u m o u t p u t h o r i z o n . I f t hed e a d - t i m e k i s e x a c t l y k n o w n t h e r e i s n o p o i n t i nse t t i n g N 1 t o b e l es s t h a n k s in c e t h e r e w o u l d t h e n b es u p e r f l u o u s c a l c u l a t i o n s i n t h a t t h e c o r r e s p o n d i n go u t p u t s c a n n o t b e a f f e ct e d b y t h e f i rs t a c ti o n u t).I f k i s n o t k n o w n o r i s v a r ia b l e , t h e n N 1 c a n b e s e tt o 1 w i t h n o l o s s o f s t a b i l i ty a n d t h e d e g r e e o fB q - 1 ) i n c r e a se d t o e n c o m p a ss a l l p o s s i b l e v a l u e sof k.

3.2.2. N 2 : T h e m a x i m u m o u t p u t h o r i z o n . I f t h ep l a n t h a s a n i n it ia l ly n e g a t iv e - g o i n g n o n m i n i m u m -p h a s e r e s p o n s e , N 2 s h o u l d b e c h o s e n s o t h a t t h el a t e r p o s i ti v e - g o i n g o u t p u t s a m p l e s a r e i n c l u d e d i nt h e c o s t : i n d i s c r e t e - t i m e t h i s i m p l i e s t h a t N z e x c e e d st h e d e g r e e o f B q- 1 ) a s d e m o n s t r a t e d i n A p p e n d ixB . I n p r a c t i c e , h o w e v e r , a r a t h e r l a r g e r v a l u e o f N 2i s su g g e s t e d , c o r r e s p o n d i n g m o r e c l o se l y to t h e r i s e-t i m e o f th e p l a n t .

3.2.3. NU: T h e c o n t r o l h o r i zo n . T h i s i s a n i m p o r t -a n t d e s i g n p a r a m e t e r . F o r a s i m p l e p l a n t ( e. g. o p e n -l o o p s t a b l e t h o u g h w i t h p o s s i b l e d e a d - t i m e a n d


7/12

G e n e r a l i z ed p r e d ic t iv e c o n t r o l - - P a r t I 1 43n o n m i n i m u m - p h a s e d n e s s ) a v a l u e o f N U of 1 g ivesg e n e r a l l y a c c e p t a b l e c o n t r o l . I n c r e a s in g N U m a k e st h e c o n t r o l a n d t h e c o r r e s p o n d i n g o u t p u t r e s p o n s emo r e a c t i v e u n t i l a s t a g e i s r e a c h e d w h e r e a n yf u r th e r i n c r e a s e i n N U makes l i t t le d i f f e rence . Anin c r e a s e d v a lu e o f N U i s m o r e a p p r o p r i a t e f o rc o m p le x s y s t e ms w h e r e i t i s f o u n d t h a t g o o d c o n t r o li s a c h i e v e d w h e n N U i s a t l e a s t e q u a l t o t h e n u m b e ro f u n s t a b l e o r b a d l y - d a m p e d p o le s .

O n e i n t e r p r e t a t i o n o f th e s e r u l es f o r c h o s in g N Ui s a s f o l l o w s . R e c a l l t h a t G P C i s a r e c e d in g -h o r i z o n L Q c o n t r o l l a w f o r w h ic h t h e f u t u re c o n t r o ls e q u e n c e i s r e c a l c u l a t e d a t e a c h s a mp le . F o r as imp le , s t a b l e p l a n t a c o n t r o l s e q u e n c e f o l l o w in g as t e p i n t h e s e t - p o in t i s g e n e r a l l y w e l l - b e h a v e d ( f o re x a mp le , i t w o u ld n o t c h a n g e s i g n ) . H e n c e t h e r ew o u ld n o t b e s i g n i f i c a n t c o r r e c t i o n s t o t h e c o n t r o la t t h e n e x t s a mp le e v e n i f N U = 1. However , i t isk n o w n f r o m g e n e r a l s t a te - s p ac e c o n s i d e r a t i o n s t h a ta p l a n t o f o r d e r n n e e d s n d i f f e re n t c o n t r o l v a lu e sf o r , s a y , a d e a d - b e a t r e s p o n s e . W i th a c o mp le xs y s t e m th e s e v a lu e s mig h t w e l l c h a n g e s i g n f r e q u -e n t l y s o t h a t a s h o r t c o n t r o l h o r i z o n w o u l d n o ta l l o w f o r e n o u g h d e g r e e s o f f r e e d o m in t h e d e r i v -a t i o n o f t h e c u r r e n t a c t i o n .

G e n e r a l l y i t i s f o u n d t h a t a v a lu e o f N U of 1 isa d e q u a t e f o r t y p i c a l i n d u s t r i a l p l a n t mo d e l s ,w h e r e a s i f , s a y , a mo d a l mo d e l i s t o b e s t a b i l i z e dN U s h o u l d b e s e t e q u a l t o t h e n u m b e r o f p o l e sn e a r t h e s t a b i l it y b o u n d a r y . I f f u r t h e r d a m p i n g o ft h e c o n t r o l a c t i o n i s t h e n r e q u i r e d 2 c a n b e i n c r e a s e df r o m z e r o . N o te i n p a r t i c u l a r t h a t , u n l i k e w i thG M V , G P C c a n b e u s e d w i t h a n o n m i n i m u m -pha se p lan t even i f 2 i s ze ro .

T h e a b o v e d i s c u s s i o n i m p l i e s t h a t G P C c a n b ec o n s id e r e d i n tw o w a y s . F o r a p r o c e s s c o n t r o lde fau l t se t t ing o f N 1 = 1 , N 2 equa l to the p lan t r i se -t i m e a n d N U = 1 c a n b e u s e d t o g iv e r e a s o n a b l ep e r f o r m a n c e . F o r h i g h - p e r f o r m a n c e a p p l i c a t i o n ss u c h a s t h e c o n t r o l o f c o u p l e d o s c i l l a t o rs a l a r g e rv a l u e o f N U i s des i r ab le .

4. RELAT IONSHI P WITH OTHER APPROACHESG P C d e p e n d s o n t h e i n t e g r a t i o n o f f iv e k e y

i d ea s : t h e a s s u m p t i o n o f a C A R I M A r a t h e r t h a na C A R M A p l a n t m o d e l , th e u s e o f l o n g - r a n g ep r e d i c t i o n o v e r a f i n i t e h o r i z o n g r e a t e r t h a n t h ed e a d - t im e o f t h e p l a n t a n d a t l e a s t e q u a l t o t h em o d e l o r d e r, r e c u r s i o n o f t h e D i o p h a n t i n e e q u -a t i o n , t h e c o n s i d e r a t i o n o f w e i g h t in g o f c o n t r o li n c r e m e n t s i n t h e c o s t - f u n c t i o n , a n d t h e c h o i c e o fa c o n t r o l h o r i z o n a f t e r w h ic h p r o j e c t e d c o n t r o li n c r e m e n t s a r e t a k e n t o b e z e ro . M a n y o f t h e s eid e a s h a v e a r i s e n i n t h e l i t e r a tu r e i n o n e f o r m o ra n o t h e r b u t n o t i n t h e p a r t i c u l a r w a y d e s c r i b e dh e r e , a n d i t i s t h e i r j u d i c io u s c o mb in a t i o n w h ic hg iv e s G P C i t s p o w e r . N e v e r th e l e s s , i t i s u s e f u lt o s e e h o w p r e v io u s s u c c e s s f u l me th o d s c a n b e

c o n s i d e r ed a s s u b se t s o f t h e G P C a p p r o a c h s o t h a ta c c e p t e d t h e o r e t i c a l ( e.g . c o n v e r g e n c e a n d s t a b i li t y )a n d p r a c t i c a l r e s u l t s c a n b e e x t e n d e d t o t h i s n e wm e t h o d .

T h e c o n c e p t o f u s in g l o n g - r a n g e p r e d i c t i o n a s ap o t e n t i a l l y r o b u s t c o n t r o l t o o l i s d u e t o R ic h a l e tet al. (1 97 8) i n t h e I D C O M a l g o r it h m . T h i s m e t h o d ,t h o u g h r e p o r t e d ly h a v in g s o me in d u s t r i a l s u c c e s s ,i s r e s t r i ct e d b y i t s a s s u mp t io n o f a w e ig h t i n g -sequence mode l ( a l l - ze ros) , wi th an a d h o c w a y o fs o lv in g th e o f fs e t p r o b l e m a n d w i th n o w e ig h t i n go n c o n t r o l a c t i o n . H e n c e i t is u n s u i t a b l e f o r u n s t a b l eo r n o n m i n i m u m - p h a s e o p e n - l o o p p l a n t s . T h eD M C a l g o r i t h m o f C u t l e r a n d R a m a k e r ( 19 80 ) isb a s e d o n s t e p - r e s p o n s e mo d e l s b u t d o e s i n c lu d eth e k e y i d e a o f a c o n t r o l h o r i z o n . H e n c e i t ise ff ec ti ve f o r n o n m i n i m u m - p h a s e p l a n t s b u t n o tf o r o p e n - lo o p u n s t a b l e p r o c e s s e s . A g a in t h e o f f s e tp r o b l e m i s d e a l t w i th h e u r i s t i c a l l y a n d mo r e o v e rth e u s e o f a s t e p - r e s p o n s e mo d e l me a n s t h a t t h es a v in g s i n p a r a me te r i z a t i o n u s in g a A q - 1 ) p o ly -n o mia l a r e n o t a v a i l a b l e . C l a r k e a n d Z h a n g ( 1 9 8 5 )c o m p a r e t h e I D C O M a n d D M C d e s i g n s .

T h e G M V a p p r o a c h o f C l a rk e a n d G a w t h r o p( 1 9 7 5 ) f o r a p l a n t w i th k n o w n d e a d - t ime k c a n b es e e n t o b e a sp e c ia l c as e o f G P C in w h ic h b o th t h em i n i m u m a n d m a x i m u m h o r i z o n s N 1 a n d N 2 a r es e t t o k a n d o n ly o n e c o n t r o l s i g n a l ( t h e c u r r e n tc o n t r o l u t) or Au( t ) ) i s we ighted . This me thod i sk n o w n to b e r o b u s t a g a in s t o v e r s p e c i f i c a t i o n o fmo d e l - o r d e r b u t i t c a n o n ly s t a b i l i ze a c e r t a in c l as so f n o n m i n i m u m - p h a s e p l a n t f o r w h i c h t h e c o n t r o lw e ig h t i n g 2 h a s t o b e c h o s e n w i th r e a s o n a b l e c a r e .M o r e o v e r , G M V i s s e n si ti v e t o v a r y i n g d e a d - t i m eu n le s s 2 i s l a rg e , w i th c o r r e s p o n d in g ly p o o r c o n t r o l .G P C s h a r es t h e r o b u s tn e s s p r o p e rt i es o f G M Vw i t h o u t i ts d r a w b a c k s .

B y c h o o s in g N 1 = N2 d > k a n d N U - - 1 wi th2 = 0 , G P C b e c o me s Y d s t i e 's ( 19 8 4) e x t e n d e d -h o r i z o n a p p r o a c h . T h i s h a s b e e n s h o w n t h e o r e t -ica l ly to be a s tab i l iz ing cont ro l le r for a s tab len o n min imu m- p h a s e p l a n t . Y d s t i e , h o w e v e r , u s e s aC A R M A m o d e l a n d t h e m e t h o d h a s n o t b e e ns h o w n to s t a b i l i z e o p e n - lo o p u n s t a b l e p r o c e s s e s .I n d e e d , f o r a p l a n t w i t h p o o r l y d a m p e d p o l e ss imu la t i o n e x p e r i e n c e s h o w s t h a t t h e e x t e n d e d -h o r i z o n me th o d i s u n s t a b l e , u n l i k e t h e G P C d e s ig n .T h i s i s b e c a u s e i n t h i s c a s e mo r e t h a n o n e f u tu r eo u tp u t n e e d s t o b e a c c o u n t e d f o r i n t h e c o s t -func t ion for s tab i l i ty ( i . e . N 2 > N1) .

W i t h N I = 1, N z = d > k a n d N U = 1 w i th2 = 0 a n d a C A R I M A m o d e l , G P C r e d u ce s t ot h e i n d e p e n d e n t l y - d e r i v e d E P S A C a l g o r i t h m ( D eK e y s e r a n d V a n C a u w e n b e r g h e , 1 9 85 ). T h i s w a ss h o w n b y t h e a u th o r s t o b e a p a r t i c u l a r l y u s e f u lme th o d w i th s e v e r a l p r a c t i c a l a p p l i c a t i o n s ; t h i s i sv e r i f i e d b y t h e s imu la t i o n s d e s c r i b e d b e lo w w h e r et h e d e f a u l t s e tt i n gs o f G P C t h a t w er e a d o p t e d


8/12

144 I). W. C L A R K E et al.w i th N 2 = 1 0 a r e s imi l a r t o t h o s e o f E P S A C P a r tl I o f th is pape r g ives a s tab i l i ty r e su l t for theses e t t in g s o f t h e G P C h o r i z o n s .

Pe te rka ' s e legant pred ic t ive cont ro l le r (1984) i sn e a re s t i n p h i l o s o p h y t o G P C : i t u s es a C A R I M A -l ik e mo d e l a n d a s imi l a r c o s t - f u n c t i o n , t h o u g hc o n c e n t r a t i n g o n t h e c a s e w h e r e N 2 - - , ~ . T h ea lg o r i t h mic d e v e lo p me n t i s t h e n r a th e r d i f f e r e n tf r o m G P C , r e l y i n g o n m a t r i x f a c t o r i z a t i o n a n dd e c o mp o s i t i o n f o r t h e f i n i t e - s t a g e c a s e , i n s t e a d o ft h e r a th e r m o r e d i r e c t f o r mu la t i o n d e s c r i b e d h e r e.T h o u g h P e t e r k a c o n s i d e r s t w o v a l u e s o f c o n t r o lwe ig ht ing (2 x for the f i rs t se t o f cont ro ls a nd 22 forthe f ina l 6 B s teps) , he does not cons ide r the use fu lG P C c a s e w h e r e 2 2 = ~ , . G P C i s e s s e n t i a ll y af i n i te - s t ag e a p p r o a c h w i th a r e s t r i c te d c o n t r o l h o r -i z o n . T h i s me a n s ( t h o u g h n o t c o n s id e r e d h e r e ) t h a tc o n s t r a i n t s o n b o t h f u t u r e c o n t r o l s a n d c o n t r o lr a t e s c a n b e t a k e n i n to a c c o u n t b y s u i t a b l e mo d i -f i c a t io n s o f t i le G P C c a l c u l a t i o n s - a g e n e r a l i z a t i o nwhich i s imposs ib le to ach ieve in in f in i te - s taged e s ig n s . N e v e r th e l e s s , t h e P e t e r k a p r o c e d u r e i s a ni m p o r t a n t a n d a p p l i c a b l e a p p r o a c h t o a d a p t i v ec o n t r o l .

5 , A S I M U L A T I O N S T U D YT h e o b j e c t i v e o f t h i s s t u d y i s t o s h o w h o w a n

a d a p t i v e G P C i m p l e m e n t a t i o n c a n c o p e w i t h ap l a n t w h ic h c h a n g e s i n d e a d - t ime , i n o r d e r a n d i np a r a m e t e r s c o m p a r e d w i t h a f i x e d P I D r e g u l a t o r ,w i t h a G M V s e lf -t u n e r a n d w i t h a p o l e - p la c e m e n ts e l f - t u n e r . T h e P I D r e g u l a to r w a s c h o s e n t o g iv eg o o d c o n t r o l o f t h e i n i t ia l p l a n t mo d e l w h ic h f o rt h i s c a s e w a s a s s u me d t o b e k n o w n . F o r s imp l i c i t ya l l t h e a d a p t i v e m e th o d s u s e d a s t a n d a r d r e c u rs iv e -l e a s t -s q u a r e s p a r a m e te r e s t im a to r w i th a fi x e d f o r -g e t t i n g - f a c to r o f 0 .9 a n d w i th n o n o i s e i n c lu d e d i nth e s imu la t i o n .

T h e g r a p h s d i s p l a y r e s u l t s o v e r 4 0 0 s a mp le s o fs i m u l a t i o n f o r e a c h m e t h o d , s h o w i n g t h e c o n t r o ls igna l in the r ange - 100 to 100 , and th e se t -poin tw t) w i th t h e o u tp u t ) ~ t ) i n t h e r a n g e - 1 0 t o 8 0 .T h e c o n t r o l s i g n a l t o t h e s imu la t e d p r o c e s s w a sc l ipped to l ie in [ - 100 , 100], bu t no con s t ra in t w asp l a c e d o n t h e p l a n t o u tp u t s o t h a t t h e l imi t a t i o n son ~( t ) seen in F ig . 4 a re grap hica l wi th th e ac tu a lo u tp u t e x c e e d in g t h e d i s p l a y e d v a lu e s .

E a c h s imu la t i o n w a s o r g a n i z e d a s f o l l o w s . D u r -ing the f i r s t 10 samples the cont ro l s igna l was f ixeda t 1 0 a n d t h e e s t ima to r ( i n i ti a l iz e d w i th p a r a me te r s[ 1 , 0 , 0 . . . . ] ) w a s e n a b l e d f o r t h e a d a p t i v e c o n t r o l -l er s. A s e q u e n c e o f s e t - p o in t c h a n g e s b e tw e e n t h r e ed i s t i n c t l e v e l s w a s p r o v id e d w i th s w i t c h in g e v e r y2 0 s a mp le s . A f t e r e v e r y 8 0 s a mp le s t h e s imu la t e dc o n t i n u o u s - t i m e p l a n t w a s c h a n g e d , f o l l o w i n g t h emo d e l s g iv e n i n T a b l e 1 . I t i s s e e n t h a t t h e s e c h a n g e sin d y n a m ic s a r e l a r g e , a n d t h o u g h i t is d i ff i c u lt t oima g in e a r e a l p l a n t v a r y in g i n s u c h a d r a s t i c w a y ,

T A B L E l , TRANSIER FUNCTIONS Ot THE S IMl rLATED MODELS

N u m b e r S a m p l e s M o d e l1I 7 9 I + 1 0 s + 4 0 s 2

2 8 0 - 1 5 9 e 2 . ..f + 1 0 s + 4 0 s 2

3 1 6 0 - 2 3 9 e . ,7 ~I + 10sl4 240 -319 1 + 10s15 3 2 0 - 4 0 0 1 0 s l + 2 . 5 s )

t h e s imu la t i o n s w e r e c h o s e n t o i l l u s t ra t e t h e r e l a t iv er o b u s t n e s s a n d a d a p t i v i t y o f th e m e t h o d s . T h emo d e l s a r e g iv e n a s L a p l a c e t r a n s f o r ms a n d t h esam pl ing in te rva l was ch osen in a l l cases to be 1 s .

F ig u r e 2 s h o w s t h e b e h a v io u r o f a f i x e d d ig i t a lP I D r e g u l a to r w h ic h w a s c h o s e n t o g iv e r e a s o n a b l ei f r a t h e r s l u g g i s h c o n t r o l o f t h e i n i t i a l p l a n t . I tw a s i m p l e m e n t e d i n i n t e r a c t i n g P I D f o r m w i t hn u m e r a to r d y n a m ic s o f ( I + 1 0s + 2 5 s z) a n d w i tha g a in o f 1 2. F o r m o d e l s 1 a n d 5 t h i s c o n t r o l l e rg a v e a c c e p t a b l e r e s u l t s b u t i t s p e r f o r ma n c e w a sp o o r f o r t h e o th e r mo d e l s w i th e v id e n t e x c e s s iv eg a in . D e s p i t e i n t e g r a l a c t i o n ( w i th d e s a tu r a t i o n )o f f se t i s se e n w i th m o d e l s 3 a n d 4 d u e t o p e r s i s t e n tc o n t r o l s a t u r a t i o n .

T h e f i r s t a d a p t i v e c o n t r o l l e r t o b e c o n s id e r e dw a s th e G M V a p p r o a c h o f C l a rk e a n d G a w t h r o p(1975, 1979) us ing des ig n t r ansfe r - fun c t ions :

p q- ) = 1 - 0 . 5 q - 1 ) / 0 . 5 a n dQ q - 1) = (1 - q - ~)/(1 -0.5 q- ~),

w i th t h e d e tu n e d mo d e l - r e f e re n c e i n t e r p r e t a t i o n .T h i s imp l i c i t s e l f - t u n e r u s e d a k - s t e p - a h e a d p r e d i -c t o r m o d e l w i t h 2 F q - 1 ) a n d 5 G q- 1 ) p a r a m e t e r sa n d w i th a n a d o p t e d f i x e d v a lu e f o r k o f 2 . T h ed e t u n e d v e r s io n o f G M V w a s c h o s e n a s th e d e a d -t i m e w a s k n o w n t o b e v a r y i n g a n d t h e u s e o f Q q- 1)makes the des ign le ss sens i t ive to the va lue of k .N o te i n p a r t i c u l a r t h a t f o r mo d e l s 2 a n d 3 t h er e a l d e a d - t ime i s g r e a t e r t h a n i n t h e tw o s a mp le sa s s u me d .

T h e s i m u l a t i o n re s u lt s u s in g G M V a r e s h o w n i nF ig . 3 ; r e a s o n a b l e i f n o t p a r t i c u l a r l y t i g h t c o n t r o lw a s a c h i e v e d f o r mo d e l s 1 , 3 , 4 a n d 5 . T h e w e ig h t i n go f c o n t r o l i n c r e m e n t s ( as f o u n d i n o th e r c a s e s)c o n t r i b u t e s t o t h e o v e r s h o o t s i n t h e s t e p r e s p o n se s .T h e b e h a v io u r w i th mo d e l 2 w a s , h o w e v e r , l e s sa c c e p t a b l e w i th p o o r ly d a mp e d t r a n s i e n t s . N e v e r -t h el e ss , th e a d a p t a t i o n m e c h a n i s m w o r k e d w e ll a n dth e r e s p o n s e s a r e c e r t a in ly b e t t e r t h a n w i th t h en o n a d a p t i v e P I D c o n t r o l l e r .

A n i n c r e a s i n g l y p o p u l a r m e t h o d i n a d a p t i v e


9/12

G e n e r a l i z e d p r e d ic t iv e c o n t r o l - - P a r t I 1 45

6 0 o/~

- l a /

O u t p u t ( Y )

Sy s te m l~ c h a n g e '~ 400S y s t e m c h o n g eIOO */~

0 ,

- I00 /@

C o n t r o t s i g n a l

4 0 0

FIG. 2. The fixed PID controller with the variable plant.

60 / -

i o o / ~

O u t p u t ( Y

S y s t e m ~ c h a n g e1 I 1 1

t tS y s t e m c h a n g e S y s t e m c h a n g e S y s t e m c h a n g e ~ o oCo n t ro I s ign a L

4 0 0

FIG. 3. The b ehaviour of the adaptive GMV controller.

c o n t r o l i s p o l e - p l a c e m e n t ( W e l l s t e a d e t al . , 1979) asv a r i a t i o n s i n p l a n t d e a d - t i m e c a n b e c a t e r e d f o ru s i n g a n a u g m e n t e d B q - 1 ) p o l y n o m i a l . T o c o v e rt h e r a n g e o f p o s s ib i li ti e s o f d e a d - t i m e h e r e 2 A q - ~ )a n d 6 B ( q - 1 ) p a r a m e t e r s w e r e e s t i m a t e d a n d t h ed e s i r e d p o l e - p o s i t i o n w a s s p e c if i ed b y a p o l y n o m i a lp q - l ) = 1 - 0 . 5 q - 1 ( i.e . l ik e t h e G M V c a s ew i t h o u t d e t u n in g ) . F i g u r e 4 sh o w s h o w a n a d a p t i v ep o l e - p l a c e r w h i c h s o l v e s t h e c o r r e s p o n d i n gD i o p h a n t i n e e q u a t i o n a t e a c h s a m p l e c o p e d w i t ht h e s e t o f s i m u l a t e d m o d e l s . F o r c a se s 1 , 2 a n d 5t h e o u t p u t r e s p o n s e i s g o o d w i t h l e s s o v e r s h o o tt h a n t h e G M V a p p r o a c h . F o r t h e f ir s t- o r d e r m o d e l s

3 a n d 4 , h o w e v e r , t h e a l g o r i t h m i s e n t i r e l y i n e f f ec t i v ed u e t o s i n g u l a r i t i e s i n t h e D i o p h a n t i n e s o l u t i o n .T h i s v e r if ie s t h e o b s e r v a t i o n s t h a t p o l e - p l a c e m e n ti s s e n s i t i v e t o m o d e l - o r d e r c h a n g e s . I n o t h e r c a se s ,e v e n t h o u g h t h e r e s p o n s e i s g o o d , t h e c o n t r o l i sr a t h e r j i t t e r y .

T h e G P C c o n t r o l l e r i n v o lv e d th e s a m e n u m b e r so f A a n d B (2 a n d 6 ) p a r a m e t e r s a s i n t h e p o l e -p l a c e m e n t s i m u l a t i o n . D e f a u l t s e t ti n g s o f t h e o u t p u ta n d c o n t r o l h o r i z o n s w e r e c h o s e n w i t h N 1 = I ,N = 1 0 a n d N U = 1 t h r o u g h o u t , a s i t h a s b e e nf o u n d t h a t t h i s g i v e s r o b u s t p e r f o r m a n c e . F i g u r e 5s h o w s t h e e x c e l le n t b e h a v i o u r a c h i e v e d i n a l l c a s e s


10/12

6 0 ~

-IOO/o

lOG /

0 /

-IOO/o

Outpu t Y ]

Sys tem change Sys te r r change

I

i t ,S y s t e m c h a n g e System change 400C o n t r o l s i g n a l

146 D. W. CLARKE t a l

0 400

FIG. 4 . The be ha viou r of the a da pt iv e pole p la c e r .

6O*/o Ou tpu t Y )

-io /o o

Cont ro l s i gna l

o oo

i Ia o o

F IG . 5 . T h e b e h a v i o u r o f th e a d a p t i v e G P C a l g o r i th m .

by the GPC algorithm. For each new model onlyat most two steps in the set-point were required forfull adaptation, but more importantly there is nosign of instability, unlike all the other controllers.6 . C O N C L U S I O N SThis paper has described a new robust algorithmwhich is suitable for challenging adaptive control

applications. The method is simple to derive andto implement in a computer; indeed for shortcontrol horizons GPC can be mounted in a micro-computer. A simulation study shows that GPC issuperior to currently accepted adaptive controllers

when used on a plant which has large dynamicvariations.Montague and Morris (1985) report a compar-ative study of GPC, LQG, GMV and pole-place-

ment algorithms for control of a heat-exchangerwith variable dead-time (12-85s, sampled at 6sintervals) and for controlling the biomass of apenicillin fermentation process. The controllerswere programmed on an IBM PC in pro-Fortran/proPascal. Their paper concludes that theGPC approach behaved consistently in practiceand that the LQG and GPC algorithms gave thebest all-round performance , the GPC method


11/12

G e n e r a l i z e d p r e d i c ti v e c o n t r o l - - P a r t I 1 47being p refer red fo r long t ime-de lay p rocesses andi t c o n f i r ms t h a t G PC i s s i mp l e t o i mp l e me n t a n dt o u s e .

T h e G PC me t h o d i s a f u r t h e r g e n e r a l i z a t i o n o ft he w e ll -k n o w n G M V a p p r o a c h a n d s o c a n b eequ ipped wi th des ign po lynomia l s and t rans fer -f u n c t io n s w h i c h h a v e i n t e r p r e ta t i o n s a s i n t h e G M Vcase . The compan ion paper Par t I I wh ich fo l lowsexp lo res these ideas and p resen t s s imula t ions w hichs h o w h o w G P C c a n b e u s e d f o r m o r e d e m a n d i n gcon t ro l t asks .

e = [ E l t + 1),E2~(t + 2) . . . . E N t + N)] r .C l e a r l y a s e i s a s t o c h a s t i c p r o c e s s t h e e x p e c t e d v a l u e o f t h ec o s t s u b j ec t t o a p p r o p r i a t e c o n d i t i o n s m u s t b e m i n i m i z e d. T h ec o s t t o b e m i n i m i z e d t h e r e f o r e b e c o m e s

Jl = E {(y - w)T(y - w) + )~firfi}.T w o d i f f e r e n t a s s u m p t i o n s w i l l b e m a d e i n t h e n e x t s e c t i o na b o u t t h e c l a s s o f a d m i s s i b l e c o n t r o l l e r s f o r t h e m i n i m i z a t i o no f th e c o s t a b o v e . O n l y m o d e l s o f a u t o r e g r e s s i v e t y p e a r ec o n s i d e r e d :

A q - l ) y t ) = B q - ~ ) u t - 1) + (t)/A.R E F E R E N C E SA s t r r m , K . J . a n d B . W i t t e n m a r k ( 1 9 73 ). O n s e l f - t u n i n g r e g u l a -

to r s . A u t o m a t i c a , 9 , 185-199 ., ~ s t r r m , K . J . a n d B . W i t t e n m a r k ( 19 8 0) . S e l f - tu n i n g c o n t r o l l e r sb a s e d o n p o l e - z e r o p l a c e m e n t . P r o c . l E E , 127D, 120-130 .Bertsekas , D. P. (1976) . D y n a m i c P r o g r a m m i n g a n d S t o c h a t i cCon t ro l . A c a d e m i c P r e s s , N e w Y o r k .

C l a r k e , D . W . (1 9 84 ). S e l f - t u n i n g c o n t r o l o f n o n m i n i m u m - p h a s es y s t e m s . A u t o m a t i c a , 20 , 501-517 .C l a r k e , D . W . a n d P . J. G a w t h r o p ( 19 7 5) . S e l f - tu n i n g c o n t r o l l e r .P r o c . I E E , 122 , 929-934 .C l a r k e , D . W . a n d P . J . G a w t h r o p ( 1 9 79 ). S e l f - t u n i n g c o n t r o l .P r o c . I E E , 126 , 633-640 .C l a r k e , D . W . a n d L . Z h a n g ( 1 98 5 ). D o e s l o n g - r a n g e p r e d i c t i v ec o n t r o l w o r k ? l E E C o n f e r e n c e C o n t r o l 8 5 , C a m b r i d g e .Cu t le r , C . R . a nd B . L . Ra m a ke r (1980) . D y n a m i c M a t r i xC o n t r o l - - A C o m p u t e r C o n t r o l A l g o ri t h m . J A C C , S a n F r a n c i -s c o .D e K e y s e r , R . M . C . a n d A . R . V a n C a u w e n b e r g h e ( 1 9 8 2 ) .T y p i c a l a p p l i c a t i o n p o s s i b i l i t ie s fo r s e l f - t u n i n g p r e d i c t i v ec o n t r o l . I F A C S y r u p . I d e n t . S y s t . P a r a m . E s t . , W a s h i n g t o n .D e K e y s e r , R . M . C . a n d A . R . V a n C a u w e n b e r g h e ( 1 9 8 3 ) .M i c r o c o m p u t e r - c o n t r o l l e d s e r v o s y s t e m b a s e d o n s e l f- a d a p -t iv e l o n g - r a n g e p r e d i ct i o n . A d v a n c e s i n M e a s u r e m e n t a n dC o n t r o l - - - M E C O 1 9 8 3 .D e K e y s e r , R . M . C . a n d A . R . V a n C a u w e n b e r g h e ( 1 9 8 5 ) .E x t e n d e d p r e d i c t i o n s e l f - ad a p t i v e c o n t r o l . I F A C S y r u p . l d e n t .Sy s t . P aram . E s t . , Y o r k .Ka i la th , T . (1980) . L i n e a r S y s t e m s . P r e n t ic e - H a l l, E n g l e w o o dCliffs , NJ .K u r z , H . a n d W . G o e d e c k e (1 9 81 ). D i g i t a l p a r a m e t e r - a d a p t i v ec o n t r o l o f p r o c es s e s w i t h u n k n o w n d e a d t im e . A u t o m a t i c a ,17 , 245-252 .M o n t a g u e , G . A . a n d A . J . M o r r i s ( 1 98 5 ). A p p l i c a t i o n o f a d a p t i v ec o n t r o l : a h e a t e x c h a n g e r s y s t e m a n d a p e n i c i l li n f e r m e n t a t i o np r o c e ss . T h i r d w o r k s h o p o n t h e t h e o r y a n d a p p l i c a t i o n o fs e l f - t u n i n g a n d a d a p t i v e c o n t r o l , O x f o r d , U . K .M o s c a , E ., G . Z a p p a a n d C . M a n f r e d i (1 9 84 ). M u l t i s t e p h o r i z o ns e l f- t u n in g c o n t r ol l e rs : th e M U S M A R a p p r o a c h . I F A C 9 t hW o r l d C o n g r e s s , B u d a p e s t , H u n g a r y .P e t e r k a , V . (1 9 84 ). P r e d i c t o r - b a s e d s e l f - t u n i n g c o n t r o l . A u t o m a -t ica, 20 , 39-50 .Ric ha le t , J . , A . Ra u l t , J . L . T e s tud a nd J . Pa pon (1978) .M o d e l p r e d i c t i v e h e u r i s t i c c o n t r o l : a p p l i c a t i o n s t o i n d u s t r i a lp r o c e s s e s . A u t o m a t i c a , 14 , 413-428 .Sc hwe ppe , F . C . (1973) . U n c e r t a i n D y n a m i c S y s t e m s . P r e n t i c eH a l l , E n g l e w o o d C l i ff s , N J .T u f t s , P . S. a n d D . W . C l a r k e ( 1 9 85 ). S e l f - t u n i n g c o n t r o l o fo f f se t : a u n i f i e d a p p r o a c h . P r o c . I E E , 132D, 100-110 .W e l l s t e a d , P . E. , D . P r a g e r a n d P . Z a n k e r ( 1 9 79 ). P o l e a s s i g n m e n ts e l f - t u n i n g r e g u l a t o r . P r o c . l E E , 126 , 781-787 .Y d s t i e , B . E . ( 19 8 4) . E x t e n d e d h o r i z o n a d a p t i v e c o n t r o l . I F A C9 t h W o r l d C o n g r e s s , B u d a p e s t , H u n g a r y .

A P P E N D I X A. M I N I M I Z A T I O N P R O P E R T I E S O F G P CC o n s i d e r t h e p e r f o r m a n c e i n d e x

J = (y - w)r(y - w) + 2iiT ii wh ere y = Gii + f + ew h e r e y , w , f i a r e a s d e f i n e d i n t h e m a i n t e x t a n d

I n t h e g e n e r a l ca s e o f C A R I M A m o d e l s w h e r e t h e d i s t u r b a n c e sa r e n o n - w h i t e t h e p r e d i c t i o n s f ( t + i) a r e o n l y o p t im a l a s y m p t o t -i c a ll y a s t h e y h a v e p o l e s a t t h e z e r o s o f t h e C q- 1 ) a n d t h e e f fe c to f i n i ti a l c o n d i t i o n s i s o n l y e l i m i n a t e d a s t i m e t e n d s t o i n f i n it y .T h e c l o s e d - l o o p p o l i cy r e q u i r e s a n o p t i m a l K a l m a n f i l t e r w i t ht i m e - v a r y i n g f i lt e r g a i n s, s e e S c h w e p p e ( 1 97 3 ); t h e p a r a m e t e r so f t h e C - p o l y n o m i a l a r e o n l y t h e g a i n s o f t h e s t e ad y - s t a t eK a l m a n f i l t e r o n c e c o n v e r g e n c e i s a t t a i n e d . T h u s t h e c l o s e d -l o o p a n d t h e o p e n - l o o p - f e e d b a c k p o l ic i es e x a m i n e d b e l o w a r ed i f f e r e n t in t h e c a s e o f c o l o u r e d n o i s e .

A .1. R E L A T I O N O F G P C A N D O P E N - L O O P -F E E D B A C K - O P T IM A L C O N T R O LI n t h i s s t r a t e g y i t i s a s s u m e d t h a t t h e f u t u r e c o n t r o l s i g n a l sa r e i n d e p e n d e n t o f f u t u r e m e a s u r e m e n t s ( i. e. al l w i ll b e p e r f o r m e di n o p e n - l o o p ) a n d w e c a l c u l a t e t h e s e t fi s u c h t h a t i t m i n i m i z e st h e c o s t J ~ . T h e f i r s t c o n t r o l i n t h e s e q u e n c e i s a p p l i e d a n d a tt h e n e x t s a m p l e t h e c a l c u l a t i o n s a r e r e p e a t e d . T h e c o s t b e c o m e s :

J l = E{iiT(G r G + 2 I )f i + 2 / i r ( G T ( f - W ) + G r e )+ f r f + ere WTW + 2fr(e _ w) -- 2eTw}.

B e c a u s e o f th e a s s u m p t i o n a b o v e , E { /i TG T e} = 0 ; n o t e a l s o t h a tt h e c o s t i s o n l y a f f e c t e d b y t h e f i r s t t w o t e r m s . B y p u t t i n g t h ef i r st d e r i v a t i v e o f t h e c o s t e q u a l t o z e r o o n e o b t a i n s :f i = (G rG + 21 )- IGT(w - t) .

A .2 . R E L A T I O N O F G P C A N D C L O S E D - L O O P -F E E D B A C K - O P T IM A L C O N T R O LC h o o s e t h e s e t i i s u c h t h a t t h e c o s t J l i s m i n i m i z e d s u b j e c tt o t h e c o n d i t i o n t h a t A u (i ) i s o n l y d e p e n d e n t o n d a t a u p t o t i m ei . T h i s i s t h e s t a t e m e n t o f c a u sa l i t y . I n o r d e r t o f i n d t h e s e t iia s s u m e t h a t b y s o m e m e a n s { A u( t) , A u t + 1 ) . . . . A u t + N - 2)}i s a va i la b le .

J l = E { A u t ) . . . .Au t + N - 1) ) (GrG + ~I )(Au(t ) . . . . .A u t + N - 1) r+ 2 i l r ( G r ( f - w ) )+ 2 (Au( t) . . . . . A u t + N - 1))Gre}+ e x t r a t e rm s i n d e p e n d e n t o f m i n i m i z a t i o n .

N o t e t h a t i n e v a l u a t i n g A u t + N - 1) the l a s t row Gr e i sg o ~ e i ~ t + N - i ) a n d E { A u t + N - 1 ) ( t + N ) } = 0 b y t h ea s s u m p t i o n o f p a r ti a l i n f o r m a t i o n . T h e r e f o r e A u t + N - 1) canb e c a l c u l a t e d a s s u m i n g ~ ( t + N ) = 0 . F r o m g e n e r a l s t a t e - s p a c ec o n s i d e r a t i o n s i t i s e v i d e n t t h a t w h e n m i n i m i z i n g a q u a d r a t i cc o s t , a s s u m i n g a l i n e a r p l a n t m o d e l w i t h a d d i t i v e n o i s e , t h er e s u l t i n g c o n t r o l l e r i s a l i n e a r f u n c t i o n o f t h e a v a i l a b l e m e a s u r e -m e n ts ( i. e. u t ) = - k t ) w h e r e k i s t h e f e e d b a c k g a i n a n d ~ ( t )i s t h e s t a t e e s t i m a t e f r o m t h e a p p r o p r i a t e K a l m a n f i l t e r ) .

A u t + N - 1) = l in e a r func t ion(A u( t + N - 2 ) ,A u t + N - 3 ) . . . . . ~ ( t + N - 1 ) ,~ ( t + N - 2 ) . . . . y t ) , y t - 1), . . . ) .


12/12

1 48 D W C L A R K E e t a l

I n c a l c u l a t i n g A u ( t + N 2 ) t h e f o l l o w i n g e x p e c t a t i o n s a r e z e r o :E I A u l t + N 2)~ t + N) ] - 0 ,

E f L A u ( t + N 2)~{t + N 1) ~, - 0.I n o rd e r t o w o r k o u t E I A u { t + N - 1 ) A u t + N - 2 ) I , t h e p a r to f t h e e x p e c t a t i o n a s s o c i a t e d w i t h { t + N - 1 ) i s s e t t o z e r o a st h e c o n t r o l s i g n a l A u ( t + N 2 ) c a n n o t b e a f u n c t i o n o f5 , ( t + N - 1 ) . A s A u ( t + N - 1 ) i s a l i n e a r f u n c t i o n o f t + N - I ) t h is i m p l i e s t h a t a s f a r a s c a l c u l a t i o n o fA u ( t + N - 2 ) i s c o n c e r n e d , A u ( t + N - 1 ) c o u l d b e c a l c u l a t e db y a s s u m i n g t h a t { t + N - 1 ) a n d { t + N ) w e r e z e r o . S i m i l a r l y ,t h e s a m e a r g u m e n t a p p l i e s f o r t h e r e s t o f c o n t r o l s i g n a l s a t e a c hs t e p i a s s u m i n g E { A u ( t + i) { ( t + j ) t _ 0 f o r ) > i . T h i s i m p l i e st h a t e a c h c o n t r o l s i g n a l A u ( t + i ) i s t h e i t h c o n t r o l i n t h es e q u e n c e a s s u m i n g t h a t t + j ) = 0 f o r j > i . H e n c e f o r A u t )t h e s o l u t i o n a m o u n t s t o c a l c u l a t i n g t h e fi r st c o n t r o l s i g n a ls e t t i n g { t + j ) f o r j > 0 to z e r o t h e s a m e a s t h a t c o n s i d e r e di n p a r t I f o r a n O p e n - L o o p - F e e d b a c k - O p t i m a l c o n t r o ll e r . N o t et h a t i n t h e c a s e o f N U < N 2 t h e m i n i m i z a t i o n i s p e r f o r m e ds u b j e c t t o t h e c o n s t r a i n t t h a t t h e l a s t N 2 - N U + 1 c o n t r o ls i g n a l s a r e a l l e q u a l . C o n s i d e r a t i o n o f c a u s a l i t y o f th e c o n t r o l l e ri m p l i e s t h a t A u ( t + N U - 1 ) i s t h e f i r s t f r e e s i g n a l t h a t c a n b ec a l c u l a t e d a s a f u n c t i o n o f d a t a a v a i l a b l e u p t o t i m e t + N U - 1i n t he s e q u e n c e a n d t h e a r g u m e n t a b o v e f o l l o w s a c c o rd i n g l y .T h e r e fo r e , t h e G P C m i n i m i z a t i o n O L F O ) i s e q u i v a l e n t to t hec l o s e d - l o o p p o l i c y f o r m o d e l s o f re g r e s s i o n t y p e .

A P P E N D I X B . A N E X A M P L E F O R A F I R S T O R D E RP R O C E S S

T h i s a p p e n d i x e x a m i n e s t h e r e l a t i o n o f N 2 a n d t h e c l o s e d -l o o p p o l e p o s i t i o n f o r a s i m p l e ex a m p l e . C o n s i d e r a n o n m i n i m -u r n - p h a s e f i r s t -o r d e r p r o c e s s f i r s t -o r d e r + f r a c t i o n a l d e a d - t i m e ) :

1 + a l q - 1 ) y ( t } = (b o + b l q - l l u ( t - I)1 1 - - 0 . g q - l ) y { t ) = I + 2 q - l ) u l t I ) .

B .I . E A N D F P A R A M E T E R SF r o m t h e r e c u r r e n c e r e l a t i o n s h i p s i n t h e m a i n t e x t it f o l l o w s

t h a t :e i = 1 - - a l e i _ G.lio - 1 -- J l G . t i l = e i a ae o = l : [ 1 . O ] ; f l o = 1 - a O : [ 1 . 9 ] ;. l ; ~ = a , : [ - 0 . 9 ]

e 1 = 1 - a l : [ l . 9 ] ; J 2 o = 1 - a l { 1 - a 0 : [ 2 . 7 1 ] ;J 21 = a d l - a 0 : [ - 1 . 7 1 ]

e 2 = 1 - a d l - a l ) : [ 2 . 7 1 ] ;f 3 o = 1 a l l - - a t 1 - - a 0 ) : [ 3 . 4 3 9 ].1 31 = a d 1 - a l 1 - a 0 ) : [ - 2 . 4 3 9 ] -

B .2 . C O N T R O L L E R P A R A M E T E R Sg o = b o : [ 1 . 0 ] ; g t 1 = b ~ : [ 2 . 0 ]g l = b o{ l - a l ) + b l : [ 3 . 9 ] ; g 2 2 = b t { 1 - a 0 : [ 3 . 8 ]g 2 = b 0 l - a l 1 - a ~ ) ) + b l 1 - a t ) : [ 6 . 5 1 ] ;

g 3 3 = b l 1 - a d l - a 0 ) : [ 5 . 4 2 ] .A s s u m i n g N U = 1 , t h e e f f e ct o f N 2 o n t h e c o n t r o l c a l c u l a t i o na n d t h e c l o s e d - l o o p p o l e p o s i t i o n i s n o w e x a m i n e d :

A u { t ) = ( ~ , g d w , - J i o y ( t - 1 ) - l i l y ( t - 2 ) )- g , A u t t - l)y~ g~)2.

F o r a c o n t r o l l e r o f t h e f o rm R l q ~ l A u { t ) = w ( t ) - S ( q ~ l ,~ , t~

SO = f f ~ g i . iO L ~g t~1 = Y . ~ , J i , . . Z g ,

2 ,r o = Z ( g a . ~ . ~ ,r , = ~ , , g l g l i , ~ g i

a n d t h e c l o s e d - l o o p p o l e - p o s i t i o n s a r e a t t h e r o o t s o fR A A + q - t S B .

N 2 = I Au t ) = [ w - 1 .9y t ) + 0 .9y t - 1} - 2A u t - 1 ) ]R A A + q - I S B : : : > ( I + 2 q - 1 ) .

T h i s i s t h e m i n i m u m - p r o t o t y p e c o n t r o l l e r w h ic h , b e c a u s e o f t h ec a n c e l l a t i o n o f t h e n o n m i n i m u m - p h a s e z e ro , i s u n s t a b le .

N 2 = 2 ( i .e . g r e a t e r t h a n d e g B ) )

Au t ) = [ w - 1 .9y t ) + 0 .9 y t - 1 ) - 2A u t - 1 )+ 3.91w - 2.71y~t} + 1.71 y t - 1)- 3 . 8 A u t - 1 ) ) ] / 1 6 .2 1

o r ~

a n d :

A u t) = [ 4 . 9 w - 1 2 . 4 6 9 y t ) + 7 . 5 6 9 y t - 1 )- 1 6 . 8 2 A u t - 1 ) ] / 1 6 . 2 1

A R A + q - I S B ~ ( I - 0 .0 9q - 1).

T h e c l o s e d - l o o p p o l e i s w i t h i n t h e u n i t c i r c le a n d t h e r e f o r e t h ec l o s e d - l o o p i s st a b l e . I n fa c t it c a n e a s i l y b e d e m o n s t r a t e d t h a tf o r a l l f i r s t o r d e r p r o c e s s e s N 2 > 6 B ( q - 1 ) + k - 1 s t a b i l i z e s a n/ ko p e n - l o o p s t a b l e p l a n t, f or s i g n Z g i ] = s i g n D . C . g a i n ).\ /

N 2 = 3

a n d :

A u t ) = [ 1 1 . 4 1 w - 3 4 . 8 5 7 y { t ) + 2 3 . 4 4 7 y t - 1 )- 5 2 . 1 0 4 A u t - 1 ) ] / 5 8 . 5 9 1

A R A + q I S B = * . ( 1 - 0 . 4 1 6 q - 1 ) .

T h e p o l e i s a g a i n w i t h i n t h e u n i t c i rc l e. N o t e t h a t t h e c l o s e d -l o o p p o l e i s t e n d i n g t o w a r d s t h e o p e n - l o o p p o l e a s N 2 i n c r e a s e ss e e P a r t I I ) .

1987_generalized predictive control_part i_clarke.pdf

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