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1. 이차함수와그래프

이 단원의 |학 |습 |목 |표 | 1. 이차함수의 의미를 이해하고, 그 그래프를 그릴 수 있다.

2. 이차함수의 그래프의 성질을 이해한다.

이차함수

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불꽃놀이는공중으로 화포

를 쏘아 올려

생긴 불꽃을 구경하는 놀이로 고대 중국에서

경축 행사를 위해 특별히 군용 화포를 개량

하여 폭죽을 쏜 것에서 유래하였다.

오늘날에도 세계 각국에서는 경축 행사가

있으면 불꽃놀이를 빼놓지 않으며, 매년

여러 나라들이 참가하여 불꽃의 화려함

과 웅장함을 선보이는 불꽃 축제를 열

기도 한다.

불꽃놀이에서 중요한 것은 폭죽을 하

늘로 쏘아 올린 후 적당한 높이가 되

었을 때 터지게 해야 아름다운 불꽃

을 오래 볼 수 있다는 것이다. 따라

서 폭죽을 발사한 후 시간에 따른

그것의 높이를 알아야 하는데, 이것

은 시간에 관한 이차함수로 나타내

어 알 수 있다.

단원을시작하기전에

지금부터약 400여년전갈릴레이는피사의사탑에서의실험을통하여낙하하는물체의시간 x와

거리 y 사이에 y=ax¤ (a+0)의관계가있음을알았다. 이와같은함수를이차함수라고하는데이

차함수를이용하면여러가지현상을수학적으로설명하고표현할수있다. 이단원에서는이차함

수를식과그래프로나타내는방법에대하여지도한다.

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196 각론

①이차함수의의미를이해하게한다.

②이차함수 y=ax¤의그래프를그릴수있고, 그그래프의성질을이해하게한다.

③이차함수 y=ax¤ +q의그래프를그릴수있고, 그그래프의성질을이해하게한다.

④이차함수 y=a(x-p)¤의그래프를그릴수있고, 그그래프의성질을이해하게한다.

⑤이차함수 y=a(x-p)¤ +q의그래프를그릴수있고, 그그래프의성질을이해하게한다.

⑥이차함수 y=ax¤ +bx+c의그래프를그릴수있고, 그그래프의성질을이해하게한다.

⑦이차함수의최댓값과최솟값을구할수있게한다.

단원의지도목표


①다양한상황을이용하여이차함수의의미를다룬다.

②이차함수에서최댓값과최솟값은 x값의범위가실수전체인경우만다룬다.

③공학적도구를활용하여, 함수의그래프를그리고다양한상황을해석할수있게한다.

교수·학습상의유의점

교수·학습의계열

선수학습 본단원

[중1~3학년군]

함수와그래프

일차함수와그래프

이차방정식

후속학습

[수학Ⅰ]

이차방정식과이차함수

[수학Ⅱ]

함수

유리함수와무리함수


이차함수의뜻

이차함수의그래프

이차함수의그래프의

성질

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Ⅲ. 이차함수 197

단원의차시별지도계획

학습지도계획수립시차시별지도계획을바탕으로학교의실정이나학생들의학습속도에따라적절히조정할수있다.0

소단원중단원 차시 교과서(쪽) 지도내용 용어와기호

1. 이차함수와

그래프

준비학습 102

•함수

•함수의그래프

•일차함수

•일차함수의그래프

100~101 •단원의개관단원의개관

수준별학습 12 123~125 •중단원확인학습문제

1-4 이차함수의

그래프의성질9~11 117~122

•이차함수 y=ax¤ +bx+c의그래프

•이차함수의식구하기

•이차함수의최댓값과최솟값

최댓값, 최솟값

1-3 이차함수

y=a(x-p)¤ +q의그래프

6~8 111~116

•이차함수 y=ax¤ +q의그래프

•이차함수 y=a(x-p)¤의그래프

•이차함수 y=a(x-p)¤ +q의그래프

1-2 이차함수

y=ax¤의그래프3~5 106~110 •이차함수 y=ax¤의그래프 포물선, 축, 꼭짓점

1-1 이차함수의뜻 1~2 103~105 •이차함수의뜻 이차함수

단원마무리 13~14 126~135

•수행과제

•학습에대한자기평가

•대단원핵심한눈에보기

•만화로보는수학이야기

•대단원평가문제

•컴퓨터의활용

•수학산책

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198 각론

단원의이론적배경

1.갈릴레이의비례

함수의개념에대한자각은대체로여러가지운동을

연구하는 것으로부터 시작되었다. 갈릴레이(Galilei,

G.: 1564~1642)는‘함수’라는 용어를 최초로 사용한

것은 아니지만‘비례’라는 단어를 사용해서 함수의 개

념을 표현하였다. 갈릴레이는 변하는 물리적인 실재,

즉 변수들 사이의 어떤 수학적 관계를 찾고자 변수에

수치를 관련시킴으로써 함수의 개념을 산술화하려고

노력하였다.

그런데함수의 개념을산술화하기 위해서는 먼저그

것의물리적인실재가측정가능해야만하였다. 이러한

입장에서갈릴레이는자연현상에서측정가능한측면

을분리하고자노력하였고, 그러한목적을위해시간과

공간 속에서 움직이는 물체에 주목하였다. 그 결과 갈

릴레이는측정가능하고그래서수학적인식으로나타

낼수있는운동중인물체의특성으로시간, 무게, 속

력, 가속도, 관성, 힘 그리고 운동량 등을 선택하였다.

이와같은것들이수학적인식에서변수가된다.

갈릴레이의관찰에 따르면높이가 같고 기울기가다

른 경사면을 따라 어떤 물체가 내려올 때 걸리는 시간

은 경사면의 길이에 비례한다. 또 등가속도 운동을 하

는 물체가 움직인 거리는 그 거리까지 움직이는 데 걸

린시간의제곱에비례한다.

함수라는 용어는 라이프니츠

(Leibniz, G. W.: 1646~1716)

가 처음으로 사용하였다. 그는

처음에는 함수를 명확하게 정의

하지 않고 곡선 위의 변화하는

점이일정한규칙으로변하는길

이, 예를 들면 가로 좌표, 세로 좌표, 접선, 법선 등을

나타내는데이말을사용하였다. 그후 1694년발표한

논문 중에서‘함수란 방정식에 의하여 나타내어지는

사실이다.’라고말하였다.

함수는영어로 function이라고하는데, 본래의의미

는기능또는작용이다. 라이프니츠가함수의표현을기

능이라고한것은함수의기능적인가치를인정하였기때

문이다. 그는 1687년 10월 9일친구인아르노(Arnauld,

A.: 1612~1694)에게 실측도를 나타내는 원근법적인

투영도를예를들어다음과같이설명하였다.

‘한쪽에대하여말하는것과다른쪽에대하여말하

는것사이에항상적, 규칙적관계가존재할때, 한쪽이

다른쪽으로나타내어진다.’

여기에서 그가 항상적, 규칙적 관계라고 말한 것은

한쪽과다른쪽을대응하는기능을말한것이다.

라이프니츠가 명명한 함수는 이후의 수학사에서 수

학의갈길을밝혀주는등불이되었다. 그러나그의포

괄적인함수의개념은그것의외연과내포가명확하게

밝혀지기까지 많은 곡절을 겪어야 했다. 그는 함수 관

계를도형이나식으로나타내어도좋다고보았고, 그의

초기함수개념도도형을매개로하여쓰여졌다.

한편그는다음과같이변수와상수를처음으로정의

하고있는데함수를이들과대비하지는않았다.

‘연속적으로 증가 또는 감소하는 양을 변수라 부르

2.함수

라이프니츠

(194~245)200교과3 2012.7.24 12:47 AM 페이지198 mac02 T


고, 그것과반대로다른양이변하는사이에같은상태

로있는양을상수라고한다.’

1687년 이래 라이프니츠와의

교신 중에 미적분학을 진전시킨

베르누이 형제도 처음에는 라이

프니츠와 같은 의미로 함수라는

용어를 사용하였다. 그러나 동생

요한 베르누이(Bernoulli, J.:

1654~1705)는 1718년의저서중에다음과같이함수

를정의하고있다.

‘변수와 상수를 어떻게 합성하더라도 그 양을 그 변

수의함수라고한다.’

이정의를라이프니츠의것과비교할때, 양을상수,

변수, 함수의 세 종류로 구별하려는 의도가 있는 것으

로볼수있다. 이와같이그는함수를식으로표현하는

것이외에대수함수와초월함수를최초로구별하였다.

우리가 사용하고 있는 함수 기호 f(x)를 처음 사용

한 사람으로 알려져 있는 오일러(Euler, L.: 1707

~1783)는라이프니츠보다함수의개념을더욱분명히

하였다. 그는‘함수란변수와상수로나타내어진하나의

해석적인식이다.’라고정의하여곡선과함수의개념을

분리하려고하였다. 그는해석적인식의본보기로서

a+3x, ax+b"√a¤ +4x¤ , c≈

등을예로들고있지만명확한정의는하지않고있다.

그는일반적인함수는 a+bx+cx¤ +y의형태의무한

급수로전개된다고생각하였다.

오일러이후테일러(Taylor, B.: 1685~1731), 매클

로린(Maclaurin, C.: 1698~1746), 코시(Cauchy, A.

L.: 1789~1857) 등에의하여함수는급수와동의어는

아니고 하나에서 하나로 기계적으로 도출되는 급수의

모임을의미하는것으로변하였다.

코시는 독립변수와 함수를 다

음과같이정의하였다.

‘몇 개의 변수 사이에 어떤 관

계가 있어서 그중 한 값을 주면

다른변수의값이정해지는것은

통상 그 한 변수에 의하여 다른

변수를나타낸다고생각한다. 이때그한변수를독립변

수, 다른수를그의함수라고한다.’

코시의함수개념은오일러의개념과는달리‘해석적

인식으로표현된다.’는조건이없고변수사이의관계

를단순하게규정한것이다.

그는 또 무한소의 개념은 0을 극한으로 가지는 변수

라고규정하여함수의연속성을‘주어진한계내에서 x

가무한소만큼변할때, 그에대응하는함수 f(x)의값

의변화도무한소이며, 함수 f(x)는이한계속에서연

속이라고한다.’고설명하였다. 이와같은과정을거쳐

현대적인함수개념이확립되었다.

요한 베르누이

코시

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200 각론

교수·학습활동 교수·학습상의유의점

이차함수 y=ax¤ +bx+c의그래프를그릴수있고, 그그래프를이해한다.

교과서 117~119쪽쪽수

차시

모둠학습을위한소집단

을사전에편성한다.

교수·학습과정안(기초)

대단원

소단원

학습목표

Ⅲ.이차함수

1. 이차함수와그래프 1-4 이차함수의그래프의성질 9/14

단계 학습과정

도입

선수학습확인

동기유발

학습목표제시

이전에학습한내용을간단히확인, 점검한다.

이차함수 y=ax¤ +bx+c의그래프는어떻게그릴수있는지질문한다.

학습목표를제시한다.

•이차함수 y=ax¤ +bx+c의그래프를그릴수있고, 그 그래프를이해한다.

전개

탐구활동

개념학습

문제해결

정리

및

평가

학습내용정리

형성평가

수준별과제

차시예고

본시의학습내용을정리한다.

형성평가문제를제시하여성취수준을파악한다.

● 이차함수 y=x¤ +6x+1의 그래프의 꼭짓점의 좌표와 y축과 만나는 점의 좌표를

구하여라.

형성평가결과에따라수준별학습지(기초, 기본)를 과제로선택하도록한다.

다음차시를예고한다.

•이차함수의식을구할수있다.

답⃞꼭짓점의좌표: (-3, -8), y축과만나는점의 좌표: (0, 1)

창의력기르기를읽고, 탐구 활동을모둠별로해결하도록한다.

탐구활동결과를발표하게하고, 정답 확인및보충설명을한다.

학습내용설명

이차함수 y=ax¤ +bx+c의그래프

⑴ y=ax¤ +bx+c의꼴을 y=a(x-p)¤ +q의꼴로바꾸어서그린그래프와같다.

예⃝ y=x¤ +2x+2의그래프그리기

⑵ y축과만나는점의좌표는 (0, c)이다.

⑶ y=a(x-p)¤ +q의꼴로고치면꼭짓점의좌표와축의방정식을구할수있다.

•꼭짓점의좌표: (p, q) •축의방정식: x=p

문제 1을 풀게한다.

정답을확인하고, 보충 설명을한다.

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수준별학습지(기초)


차시

대단원

소단원

( )학년 ( )반 ( )번 이름:

Ⅲ.이차함수


다음은이차함수 y=x¤ +4x+5를 y=a(x-p)¤ +q의꼴로고치는과정이다. 안

에알맞은양수를써넣어라.

1

다음중에서이차함수 y=x¤ -4x-9의그래프에대한설명으로옳은것을모두찾

아라.

4

답⃞ 4, 4, 2, 4, 2, 1

답⃞ㄱ, ㄹ, ㅁ

ㄱ. x=2를축으로하는포물선이다.

ㄴ. x=-4를축으로하는포물선이다.

ㄷ. 점 (2, -9)를꼭짓점으로하는포물선이다.

ㄹ. 점 (2, -13)을꼭짓점으로하는포물선이다.

ㅁ. y축과만나는점의좌표는 (0, -9)이다.

y=x¤ +4x+5=(x¤ +4x+ - )+5

y=(x+ )¤ - +5=(x+ )¤ +

오른쪽 좌표평면 위에 이차함수 y=x¤ +2x+3의 그래프를

그려라.

3

답⃞

x-2-4 2

4

O

y

2 x-2-4 2

2

4

O

y

이차함수 y=2x¤ +8x+3을 y=a(x-p)¤ +q의꼴로나타내었을때, a+p-q의값

을구하여라. (단, a, p, q는상수)

2

답⃞ 5

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202 각론

교수·학습과정안(기본)




차시



대단원

소단원

학습목표

Ⅲ.이차함수


단계 학습과정

도입

선수학습확인

동기유발

학습목표제시





전개

탐구활동

개념학습

문제해결

정리

및

평가

학습내용정리

형성평가

수준별과제

차시예고



● 이차함수 y= x¤ -4x+1의그래프의꼭짓점의좌표와 y축과만나는점의좌

표를구하여라.

형성평가결과에따라수준별학습지(기초, 기본, 실력)를 과제로선택하도록한다.



213

답⃞꼭짓점의좌표: (3, -5), y축과만나는점의 좌표: (0, 1)



학습내용설명



예⃝ y=x¤ +2x+2의그래프그리기






(194~245)200교과3 2012.7.24 12:47 AM 페이지202 mac02 T


수준별학습지(기본)


차시

대단원

소단원

( )학년 ( )반 ( )번 이름:

Ⅲ.이차함수


이차함수 y= x¤ -2x+k-2의그래프의꼭짓점이 x축위에있을때, 상수 k의값

을구하여라.

1122

답⃞ 4

오른쪽좌표평면위에이차함수 y=-2x¤ +4x+3의

그래프를그려라.

1

답⃞

x-2 2 4-4

4

y

-2

-4

O

2x

-2

-4

-2 2 4-4

2

4

O

y

이차함수 y=3x¤ -12x+2의그래프가지나지않는사분면을말하여라.3답⃞제3사분면

다음중에서이차함수 y=-3x¤ -6x-1의그래프에대한설명으로옳은것을모두

찾아라.

4

답⃞ㄱ, ㄷ

ㄱ. x>-1일때, x의값이증가하면 y의값은감소한다.

ㄴ. 꼭짓점의좌표는 (-1, -1)이다.

ㄷ. y축과만나는점의좌표는 (0, -1)이다.

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204 각론

교수·학습과정안(실력)




차시



대단원

소단원

학습목표

Ⅲ.이차함수


단계 학습과정

도입

선수학습확인

동기유발

학습목표제시





전개

탐구활동

개념학습

문제해결

정리

및

평가

학습내용정리

형성평가

수준별과제

차시예고



● 이차함수 y=-2x¤ +bx-1의 그래프의 축의 방정식이 x=-1일 때, b의 값을

구하여라.

형성평가결과에따라수준별학습지(기본, 실력)를 과제로선택하도록한다.



답⃞-4



학습내용설명



예⃝ y=- x¤ +x+2의그래프그리기






112

(194~245)200교과3 2012.7.24 12:47 AM 페이지204 mac02 T


수준별학습지(실력)


차시

대단원

소단원

( )학년 ( )반 ( )번 이름:

Ⅲ.이차함수


이차함수 y=-x¤ -2ax+4a¤ -2b의그래프의꼭짓점의좌표가 (1, 3)일때, a+b

의값을구하여라.

1

이차함수 y=x¤ +4x+2m-1의 그래프의 꼭짓점이 직선 2x+y=7 위에 있을 때,

상수m의값을구하여라.

2

답⃞ 0

답⃞ 8

이차함수 y=x¤ -6kx+9k¤ +6k+3의그래프의꼭짓점이제2사분면위에있을때,

상수 k값의범위를구하여라.

3

답⃞-;2!;<k<0

이차함수 y=x¤ +4x의그래프의꼭짓점을A라하고, 이그래프와직선 y=12의교

점을각각B, C라고할때, △ABC의넓이를구하여라.

4

답⃞ 64

(194~245)200교과3 2012.7.24 12:47 AM 페이지205 mac02 T

교과서 102 쪽

준 |비 |학 |습

2 함수 y=2x의 x의값이-2, -1, 0, 1, 2일

때, 오른쪽좌표평면위에그그래프를그려라.

1 다음에서 x와 y 사이의관계식을구하고, y가 x의함수인지말하여라.함수

두변수 x, y에대하여 x의값

이 정해지면 y의 값도 단 하나

로 정해지는 관계가 있을 때,

y는 x의함수라고한다.

함수의그래프

함수 y=f(x)에서 각 x의 값

을 x좌표로 하고, x의 값에 대

한 함숫값을 y좌표로 하는 순

서쌍 (x, y)를 모두 좌표평면

위에 나타낸 것을 그 함수의

그래프라고한다.

1 이차함수와그래프

3 다음중에서일차함수를모두찾아라.일차함수

함수 y=f(x)에서 y가 x에관

한 일차식 y=ax+b (a+0,

a, b는 상수)로 나타내어질 때,

이 함수 y=f(x)를 일차함수

라고한다.

4 오른쪽그림은일차함수 y= x의그래프이다.

이 그래프를 이용하여 다음 일차함수의 그래프

를그려라.

⑴ y= x+2 ⑵ y= x-3112112

112일차함수의그래프

일차함수 y=ax+b (a+0)의

그래프는 일차함수 y=ax의

그래프를 y축의 방향으로 b만

큼평행이동한직선이다.

최댓값

최솟값

한권에 500원하는공책 x권의값은 y원이다.

x-2 2O

y4

2

-2

-4

y

O

4

2

-2

-4

42-2-4 x

-xy=21

㉠ y=2x+1 ㉡ y=x(x-1)

㉢ y= x ㉣ y= 21x112

206 각론

1 이차함수와그래프

이번 중단원에서는 다음 내용을 지도한다.

① 이차함수의 의미를 이해하게 한다.

② 이차함수의 그래프를 그릴 수 있고, 그 그래

프의 성질을 이해하게 한다.

③ 함수의 최댓값과 최솟값의 의미를 이해하고,

이차함수의 최댓값과 최솟값을 구할 수 있게

한다.

중단원을 시작하며

준비 학습의 해설

중단원의 구성

소단원명 지도 내용

1-1 이차함수의뜻

1-2 이차함수

y=ax¤ 의그래프

1-3 이차함수

y=a(x-p)¤ +q

의그래프

1-4 이차함수의

그래프의성질

수준별학습

이차함수의뜻

이차함수 y=ax¤의그래프

이차함수 y=ax¤ +q의그래프

이차함수 y=a(x-p)¤ 의 그

래프

이차함수 y=a(x-p)¤ +q의

그래프

이차함수 y=ax¤ +bx+c의

그래프

이차함수의식구하기

이차함수의최댓값과최솟값

중단원확인학습문제

목표| 두 변수 x와 y 사이의 관계를 식으로 나타내고, 함수

인지 판단할 수 있게 한다.

풀이| x와 y 사이의 관계식은 y=500x이고, x의 값이

정해지면 y의값도단하나로정해지므로 y는 x의함수

이다.

1

목표| 일차함수의 의미를 이해하고, 일차함수를 찾을 수 있

게 한다.

풀이| ㉡ y=x(x-1)에서　y=x¤ -x

따라서일차함수인것은㉠, ㉢이다.

3

목표| 주어진 x의 값에서 함수 y=f(x)의 그래프를 그릴 수

있게 한다.

풀이|

-2 2O

y4

2

x

-2

-4

2

(194~245)200교과3 2012.7.24 12:48 AM 페이지206 mac02 T


교과서 103 쪽

이차함수의뜻1-1이차함수란무엇인가?

오른쪽 그림은 지상 1500 m 높이에서 낙하한 스카이다이버가 지상 1000 m 높이에서 낙하산을 펴서 내려오는모습을 1초간격으로촬영하여그내려간거리를나타낸것이다. 스카이다이버가 낙하산을 편 지 x초 후의 높이

를 ym라고할때, 다음물음에답하여보자.

1 다음표를완성하여보자.

2 y가 x의함수인지말하여보자.

창의력 기르기

탐 구 활 동

스카이다이빙

스카이다이빙은 고도

900~4000 m의 상공에

서뛰어내려낙하산을펴

지 않고 여러 가지 기술

을보이거나균형을유지하며낙하하다가지상가까이에서낙하산을펴서착지하는스

포츠이다. 경기종목으로는공중에서정해진동작을빠르고, 정확하게하는선수가우

승하는스타일강하와목표지점에가장가까이착지하는선수가우승하는정밀강하

등이있다.

지면

0`초2`m6`m

10`m

14`m

1`초

2`초

3`초

4`초x(초)

y(m)0

1000

1 2

992

3 4

탐구활동에서두변수 x, y에대하여 x의값이정해지면 y의 값이단 하나로

정해지므로 y는 x의함수이다.

이때 x와 y 사이의관계식은

y=-2x¤ +1000

으로나타낼수있고, y는 x에관한이차식이된다.

●이차함수의의미를이해한다.

목표| 일차함수의 그래프를 평행이동하여 그릴 수 있게 한다.

풀이| y

O

4

2

-2

-4

42-2-4 x

⑴

⑵

-xy=21

4

1 -1 이차함수의뜻

① 이차함수의 의미를 이해하게 한다.

② 이차함수의 함숫값을 구할 수 있게 한다.

소단원 지도 목표

1. 다양한 상황을 이용하여 이차함수의 의미

를다룬다.

2. 이차함수를 도입할 때 제한된 x값의 범위

로 설명하였더라도 이차함수의 의미를 다

룰때에는실수전체를 x값의범위로하여

지도한다.

교수·학습상의 유의점

•이차함수`(二次函數, quadratic function)

새로 나온 용어와 기호

스카이다이빙에 대한 보다 자세한 자료는 한

국스카이다이빙협회 홈페이지(http://www.

kpa.or.kr)에서찾아볼수있다.

창의력 기르기 참/고/자/료

1. 낙하산을편지 1초후의높이는　1000-2=998(m)

낙하산을편지 3초후의높이는

1000-(2+6+10)=982(m)

낙하산을편지 4초후의높이는

1000-(2+6+10+14)=968(m)

2.두 변수 x, y에 대하여 x의 값이 정해지면 y의 값도

단하나로정해지므로 y는 x의함수이다.

x(초)

y(m)

0

1000

1

998

2

992

3

982

4

968

❶

활동 목표•실생활에서 두 변수 사이의 관계

를 표를 이용하여 알아봄으로써 이차함수의 의

미를 이해하게 하려는 것이다.

탐구 활동의 이해

❶ x=1일때, y=1000-2=1000-2_1¤ =998

x=2일때, y=1000-8=1000-2_2¤ =992

x=3일때, y=1000-18=1000-2_3¤ =982

x=4일때, y=1000-32=1000-2_4¤ =968

따라서 x와 y 사이의관계식은 y=-2x¤ +1000이다.

본문 해설

(194~245)200교과3 2012.7.24 12:48 AM 페이지207 mac02 T

교과서 104 쪽

일반적으로함수 y=f(x)에서 y가 x에관한이차식

y=ax¤ +bx+c (a+0, a, b, c는상수)

로나타내어질때, 이함수 y=f(x)를이차함수라고한다.

다음에서 y를 x에관한식으로나타내고,이차함수인것을모두찾아라.

⑴둘레의길이가12 cm인직사각형의가로의길이는x cm이고, 넓이는 y cm¤이다.

⑵한모서리의길이가 x cm인정육면체의부피는 y cm‹ 이다.

⑶시속 3 km로걸어서 x시간동안간거리는 y km이다.

⑷반지름의길이가 x cm인구의겉넓이는 y cm¤ 이다.

문제 1

y는 x에관한이차함수

˙k y=(x에관한이차식)

이차함수의 x값과 y값의범위가주어지지않았을때에는이를실수전체로생각한다.참고

함수 y=x¤ +2x-4, y=-2x¤ +3, y= x¤ 은 y가 x에 관한 이차식으로 나타내

어지므로모두이차함수이다.

113예

풀이 ⑴x분후직사각형의가로, 세로의길이는각각 (2+2x) cm, (2+x) cm이므로

직사각형의넓이는 y=(2+2x)(2+x)이다.

따라서 y=2x¤ +6x+4이다.

⑵ y가x에관한이차식으로나타내어지므로 y는x에관한이차함수이다.

한 변의 길이가 2 cm인 정사각형에서 가로의 길이

는매분 2 cm씩, 세로의길이는매분 1 cm씩동시

에 늘어난다고 한다. x분 후 직사각형의 넓이를

y cm¤라고할때, 다음물음에답하여라.

⑴ y를x에관한식으로나타내어라.

⑵ y는 x에관한이차함수인가?

1예제

답 ⑴ y=2x¤ +6x+4 ⑵이차함수이다.

2`cm

2`cm

매분 1`cm

매분 2`cm

208 각론

목표| 실생활에서 두 변수 사이의 관계를 식으

로 나타내고, 이차함수를 찾을 수 있게 한다.

풀이| ⑴둘레의길이가 12 cm이므로

(가로의길이)+(세로의길이)=6(cm)

가로의길이가 x cm일때, 세로의길이는

(6-x) cm이므로　y=x(6-x)

따라서 y=-x¤ +6x이다.

⑵ (정육면체의 부피)=(한 모서리의 길이)‹

이므로　y=x‹

⑶ (거리)=(평균속력)_(시간)이므로　y=3x

⑷ (구의 겉넓이)=4_p_(반지름의 길이)¤

이므로　y=4px¤따라서이차함수인것은⑴, ⑷이다.

1

❶

기/초/력 향상 문제

다음중에서이차함수를모두찾아라.

㉡, ㉢, ㉤답

❶함수 y=ax¤ +bx+c에서 a+0이면 이차

함수이다. 즉, y=-2x¤ +3과 같이 b=0

또는 c=0일때에도 a+0이면 y는이차함

수이다.

한편 y=ax¤ +bx+c에서 a=0이고 b+0

이면 y는일차함수이다.

본문 해설

1. y를 x에 관한 식으로 나타낼 때, 함수 y=f(x)의 우변을

정리하여 y가 x에 관한 이차식으로 나타나는 경우에만 이

차함수임을 알게 한다.

2. a, b, c는 상수이고, a+0일 때

⑴ ax¤ +bx+c ˙k 이차식

⑵ ax¤ +bx+c=0 ˙k 이차방정식

⑶ y=ax¤ +bx+c ˙k 이차함수

지/도/자/료

㉠ y=2x-3 ㉡ y=2x(x-1)

㉢ y=(x+2)¤ ㉣ y=x‹ +2x-1

㉤ y=9-x¤ ㉥ y= 514x¤

(194~245)200교과3 2012.7.24 12:48 AM 페이지208 mac02 T


교과서 105 쪽

이차함수 y=2x¤ +bx+c에 대하여 x=1일 때 y=0이고, x=2일 때 y=9라고 한다.

x=0일때 y의값을구하여라.

문제 3

이차함수 f(x)=3x¤ +a에대하여다음물음에답하여라.

⑴ f(a)=10을만족시키는 a의값을모두구하여라.

⑵ x의값이-1, 0, 1일때, 각 x의값에대한함숫값의총합을 9라고하자. 이때

a의값을구하여라.

문제 4

이차함수 y=-4x¤ +2x+1에서 x의 값이 0, 1, 2, 3일 때, 각 x의 값에 대한 함숫값

을구하여라.

문제 2

풀이 ⑴ f(-3)=(-3)¤ -(-3)-2

=9+3-2=10

⑵ f{ }={ }2- -2

⑵ f{ }= - -2=- 914

112

114

112

112

112

이차함수 y=f(x)에서 f(x)=x¤ -x-2라고할때,다음을구하여라.

⑴ f(-3) ⑵ f{ }112

2예제

답 ⑴ 10 ⑵- 914

문제 1과같이 y를 x에관한식으로나타내면이차함수가되는예를찾아말하여보자.

목표| 이차함수의 함숫값을 구할 수 있게 한다.

풀이| x=0일때, y=-4_0¤ +2_0+1=1

x=1일때, y=-4_1¤ +2_1+1=-1

x=2일때, y=-4_2¤ +2_2+1=-11

x=3일때, y=-4_3¤ +2_3+1=-29

2

목표| 이차함수의 식을 완성하고 함숫값을 구할 수 있게 한다.

풀이| x=1일때 y=0이므로　0=2+b+c yy①

x=2일때 y=9이므로　9=8+2b+c yy②

①, ②를연립하여풀면　b=3, c=-5

따라서이차함수 y=2x¤ +3x-5이므로

x=0일때　y=2_0¤ +3_0-5=-5

3

목표| 이차함수의 함숫값이 주어졌을 때 미지수

를 구할 수 있게 한다.

풀이| ⑴ f(a)=3a¤ +a=10이므로

이차방정식 3a¤ +a-10=0을풀면

(3a-5)(a+2)=0

a= 또는 a=-2

⑵ f(-1)=3_(-1)¤ +a=3+a

f(0)=3_0¤ +a=a

f(1)=3_1¤ +a=3+a

이때각 x의값에대한함숫값의총합이 9

이므로　(3+a)+a+(3+a)=9

a=1

5113

4

|출제 의도| 실생활에서 일어나는 이차함수로 나타낼 수 있

는 예를 찾아봄으로써 이차함수의 의미를 확실히 이해하게

하기 위한 문제이다.

의/사/소/통

풀이| •한변의길이가xm인정사각형모양의밭의넓이

를 ym¤라고하면 y=x¤인관계가성립한다.

•윗변의 길이가 xm, 아랫변의 길이가 3xm, 높이가

xm인사다리꼴의넓이를 ym¤라고하면

y= (x+3x)x=2x¤ 인관계가성립한다.

•중력가속도를 g라고할때, 자유낙하시킨물체의 x초

후의 이동 거리를 ym라고 하면 y= gx¤ 인 관계가

성립한다.

112

112

(194~245)200교과3 2012.7.24 12:48 AM 페이지209 mac02 T

교과서 106 쪽

이차함수 y=ax¤의그래프는어떻게그리는가?

이차함수 y=x¤에대하여다음물음에답하여보자.

1 다음표를완성하여보자.

2 1에서 구한 순서쌍 (x, y)를 오른쪽 좌표평면 위에 나타내

어보자.

3 x값의 범위가 실수 전체일 때, 이차함수 y=x¤의 그래프는

어떤모양이될지추측하여보자.

탐 구 활 동

●준비물모눈종이

x

y

-2 2

8

6

4

2

O

x

y

-3 -2 -1 0 1 2 3

탐구활동에서 x의값이-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3일때, 이차함수 y=x¤ 의그래

프에대하여알아보았다.

이제 x값의범위가실수전체일때, 이차함수 y=x¤ 의그래프를그려보자.

먼저이차함수 y=x¤ 에서 x의값이

-3, -2.5, -2, -1.5, -1, -0.5, 0, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3

일때, x의값에대한 y의값을구하여표로나타내면다음과같다.

이표에서얻어지는순서쌍 (x, y)를좌표평면위에나타내면<그림 1>과같다.

또 x의 값이 -3에서 3까지 0.25의 간격으로 변해 갈 때, 그 각각에 대응하는

y의값을구하여순서쌍 (x, y)를좌표평면위에나타내면<그림 2>와같다.

x

y

-3

9

-2.5

6.25

-2

4

-1.5

2.25

-1

1

-0.5

0.25

0

0

0.5

0.25

1

1

1.5

2.25

2

4

2.5

6.25

3

9

이차함수 y=ax¤의그래프1-2 ●이차함수 y=ax¤의그래프를그릴수있다.

210 각론

1.

2. (-3, 9), (-2, 4),

(-1, 1), (0, 0),

(1, 1), (2, 4), (3, 9)

이므로 이 순서쌍을 좌표평면

위에 나타내면 오른쪽 그림과

같다.

3. 오른쪽그림과같이 2에서나타

낸 점들을 곡선으로 연결한 모

양이된다.

x

y

-2 2

8

6

4

2

O

x

y

-2 2

8

6

4

2

O

1-2 이차함수 y=ax¤의그래프

① 이차함수 y=ax¤의 그래프를 그릴 수 있고,

그 그래프의 성질을 이해하게 한다.

② 포물선, 축, 꼭짓점의 의미를 이해하게 한다.


1. y=x¤ 의 그래프를 그릴 때, x값의 간격을

점점좁혀서점의개수를늘려 x값의범위

가 수 전체가 되면 매끈한 곡선이 됨을 알

게한다.

2. y=ax¤ 에서 a의 부호에 따른 그래프의 특

징과 a의 절댓값의 크기에 따른 그래프의

특징을알게한다.

3.포물선의엄밀한뜻은다루지않는다.


•포물선`(抛物線, parabola)

•축`(軸, axis)

•꼭짓점`(vertex)


x

y

-3

9

-2

4

-1

1

0

0

1

1

2

4

3

9

활동 목표•x와 y 사이의 관계를 나타내는 표를 완성하고

순서쌍 (x, y)를 좌표평면 위에 나타내어 봄으로써 이차함

수 y=x¤의 그래프의 모양을 알게 하려는 것이다.

준비물•모눈종이


(194~245)200교과3 2012.7.24 12:48 AM 페이지210 mac02 T


교과서 107 쪽

이와같은방법으로 x값의간격을좁혀서더많은점을표시해나가면이차함

수 y=x¤ `의그래프는<그림 3>과같이매끈한곡선으로나타난다.

위의그림에서이차함수 y=x¤ 의그래프는원점을지나고, 아래로볼록하다.

또 x의 값이 -1과 1처럼 절댓값이 같고 부호가 반대일 때, 각각에 대응하는

y의값은같다. 즉, 이그래프는 y축에대칭임을알수있다.

한편이차함수 y=x¤의그래프는 오른쪽그림과 같이

x의값이음수이면 x의값이증가할때 y의값은감소하

고, x의값이양수이면 x의값이증가할때 y의값도증

가함을알수있다.

이상을정리하면다음과같다.

x

y

-2 2

8

6

4

2

O

감소 증가

y y=x@

xO

x

y

-2 2

8

6

4

2

O x

y

-2 2

8

6

4

2

O

<그림 2> <그림 3><그림 1>

이차함수 y=x¤의그래프

⑴원점을지나고, 아래로볼록하다.

⑵ y축에대칭이다.

⑶ x<0이면 x의값이증가할때 y의값은감소하고,

x>0이면 x의값이증가할때 y의값도증가한다.

이차함수의 그래프는 두

점만으로는 그래프를 그리기

힘들다. 따라서 여러개의점

을 찾아 이를 최대한 매끄러

운곡선으로잇는다.

y축에 대칭이라는 말은

y축을 중심으로 그래프를 접

었을때, 그래프가 완전히포

개어진다는말이다.

이차함수 y=x¤의그래프에서원점이외의부분은모두 x축보다위쪽에있다.참고

주의| 모든이차함수의 y값의범위가실수전체는아

니지만모두 yæ0인것은아니다.

1. 이차함수에서 x의 값에 대한 함숫값의 증감을

일차함수와 동일하게 일정하다고 생각하는 학

생들이 있다. y=x¤의 그래프를 그려 x값의

범위에 따라 증가하는 부분과 감소하는 부분

이 있다는 것을 이해하도록 지도한다.

2. 함수를 나타낼 때,

y=x¤ , f(x)=x¤

과 같이 두 가지의 표현을 사용함으로써 학생

들에게 혼란을 가져다줄 수 있으므로 의미를

주의하여 지도한다.

y=x¤과 같이 표시하면 x의 값이 변할 때, y의

값이 변한다는 것이 쉽게 나타나지만 x의 값을

x¤의 값에 대응시키는 규칙을 명확하게 지시

할 수 없다. 반면 f(x)는 x의 값에 대응하는

함숫값을 명확하게 지시하는 특성을 갖는다.

3. 이차함수 y=x¤의 그래프를 그릴 때, x의 값

을 세분화하여 함숫값을 구하는 것은 많은 시

간이 필요할 뿐만 아니라 좌표평면 위에 점을

정확하게 나타내기가 어렵다. 이러한 이유로

컴퓨터 프로그램이나 그래픽 계산기가 많이 활

용되고 있는데, 다음은 스프레드시트 프로그램

을 이용하여 이차함수 y=x¤의 그래프를 그리

는 과정이다.

❶ 스프레드시트 프로그램을 실행한다.

❷ A1 셀에‘x’, B1 셀에‘y’,

A2 셀에‘-0.4’, A3 셀에‘-0.35’

를 입력한다.

❸ A2 셀과 A3 셀을 블록으로 잡고 채

우기 핸들을 이용하여 A18 셀까지 드

래그한다.

❹ B2 셀에‘=A2^2’를 입력하고 B2

셀을 블록으로 잡고 채우기 핸들을

이용하여 B18 셀까지 드래그한다.

❺ A1 셀부터 B18 셀까지

블록으로 잡고 [삽입] -

[차트] - [분산형] - [곡선

및 표식이 있는 분산형]을

선택하면 이차함수 y=x¤

의 그래프가 그려진다.

지/도/자/료

❶

❶이차함수 y=x¤ 의 그래프에서 x값의 범위는 실수 전

체이므로 y=x¤ æ0이다. 따라서 모든 실수 x에 대하

여 y의 값은 음수가 될 수 없으므로 y=x¤ 의 그래프

는 x축보다아래쪽에는나타나지않는다.

이처럼 이차함수는 일차함수의 그래프와는 다르게

y값의범위가실수전체가되지않는다.

본문 해설

(194~245)200교과3 2012.7.24 12:48 AM 페이지211 mac02 T

교과서 108 쪽

풀이이차함수 y=ax¤ (a>0)

의그래프는 y=x¤의그래프

의 각 점에 대하여 y좌표를

a배로 하는 점을 잡아 그리

면된다.

x의여러가지값에대응하는 x¤ , 2x¤의값을구하여표로나타내면다음과같다.

위의표에서 x의각값에대하여 2x¤ 의값은항상 x¤

의값의 2배임을알수있다. 따라서이차함수 y=2x¤

의그래프는 y=x ¤의그래프의각점의 y좌표를 2배

로하는점을잡아서그리면된다.

이때이차함수 y=2x¤ 의그래프는오른쪽그림과같

이원점을지나고아래로볼록하며, y축에대칭인매

끈한곡선이된다.

이차함수 y=x¤의그래프를이용하여이차함수 y=2x¤의그래프를그려라.1예제

오른쪽그림은이차함수 y=x¤의그래프이다.이것을이용

하여다음이차함수의그래프를그려라.

⑴ y= x¤

⑵ y=3x¤

⑶ y= x¤114

112

문제 1

문제 1에서그래프의폭이좁은것부터차례로나열하여라.문제 2

x

y

y=2x

@

y=x@

-2 2 4

16

18

14

12

10

8

6

4

2

-4 O

x

y

O

2

-2 2 4-4

4

6

8

10

x

x¤

2x¤

yyy

-3918

-248

-112

000

112

248

3918

yyy

이차함수 y=x¤ `의 그래프를 이용하여 이차함수 y=ax¤ (a>0)의 그래프를 그

릴수있다.

212 각론

목표| 이차함수 y=x¤ 의 그래프를 이용하여

y=ax¤ (a>0)의 그래프를 그릴 수 있게 한다.

풀이| ⑴

이차함수 y= x¤의그래프는 y=x¤의그

래프의각점의 y좌표를 배로하는점을

찍어연결하여그린다.

⑵

이차함수 y=3x¤`의 그래프는 y=x¤ 의 그

래프의 각 점의 y좌표를 3배로 하는 점을

찍어연결하여그린다.

⑶

이차함수 y= x¤의그래프는 y=x¤의그래프의각점

의 y좌표를 배로하는점을찍어연결하여그린다.114

114

112

112

1

풀이| 그래프의 폭이 좁은 것부터 차례로 나열하면 ⑵,

⑴, ⑶이다.

참고| 이차함수 y=ax¤ (a>0)의그래프는 a의값이클

수록폭이좁아진다.

목표| 이차함수의 그래프를 보고 그래프의 폭을 비교할 수

있게 한다.

2

y -3 -2 -1 0 1 2 3 yx

x¤

;2!;x¤`

y 9 4 1 0 1 4 9 y

y ;2(; 2 ;2!; 0 ;2!; 2 ;2(; y

y -3 -2 -1 0 1 2 3 yx

x¤

3x¤

y 9 4 1 0 1 4 9 yy 27 12 3 0 3 12 27 y

y -3 -2 -1 0 1 2 3 yx

x¤

;4!;x¤`

y 9 4 1 0 1 4 9 y

y ;4(; 1 ;4!; 0 ;4!; 1 ;4(; y

x

y

y=x@

O

2

-2 2 4-4

4

6

8

10

⑴ ⑵

⑶

(194~245)200교과3 2012.7.24 12:48 AM 페이지212 mac02 T


교과서 109 쪽

오른쪽그림은이차함수 y=2x¤과 y= x¤의그래프이다.

이것을이용하여다음이차함수의그래프를그려라.

⑴ y=-2x¤

⑵ y=- x¤112

112문제 36

8

4

2

-2

-2-4 2 4

-4

-6

-8

yy=

2x@

xO

y=-x@1 2

풀이이차함수 y=-ax¤의그

래프는 y=ax¤의 그래프와

x축에 대칭인 그래프를 그

리면된다.

x의여러가지값에대응하는 x¤ , -x¤의값을구하여표로나타내면다음과같다.

위의 표에서 x의 각 값에 대하여 -x¤의 값은 항상

x¤의 값과 절댓값이같고 부호가반대임을 알 수 있

다. 따라서 이차함수 y=-x¤의 그래프는 y=x¤ 의

그래프와 x축에대칭인그래프를그리면된다.

이때 이차함수 y=-x¤`의 그래프는 오른쪽 그림과

같이원점을지나고위로볼록하며, y축에대칭인매

끈한곡선이된다.

이차함수 y=x¤의그래프를이용하여이차함수 y=-x¤의그래프를그려라.2예제

x

8

6

4

2

-2-4 2 4

-2

-4

-6

-8

y

y=-x@

y=x@

O

x

x¤

-x¤

yyy

-39

-9

-24

-4

-11

-1

000

11-1

24

-4

39-9

yyy

이차함수 y=ax¤ (a>0)의 그래프를 이용하여 이차함수 y=-ax¤ (a>0)의

그래프를그릴수있다.

참고| 그래프의폭이좁은것부터나열하면⑴, ⑵이다.

이때 이차함수 y=-ax¤ 의 그래프는 y=ax¤ 의 그래프

와 x축에대칭이므로그래프의폭이같다.

풀이| ⑴

이차함수 y=-2x¤`의 그래프는 y=2x¤ 의

그래프와 x축에대칭인그래프이다.

⑵

이차함수 y=- x¤의그래프는 y= x¤

의그래프와 x축에대칭인그래프이다.

112

112

목표| 이차함수 y=ax¤ (a>0)의 그래프를 이용

하여 y=-ax¤ (a>0)의 그래프를 그릴 수 있게

한다.

3

y -3 -2 -1 0 1 2 3 yx

2x¤

-2x¤`

y 18 8 2 0 2 8 18 yy -18 -8 -2 0 -2 -8 -18 y

y -3 -2 -1 0 1 2 3 yx

-;2!;x¤` y -;2(; -2 -;2!; 0 -;2!; -2 -;2(; y

;2!;x¤` y ;2(; 2 ;2!; 0 ;2!; 2 ;2(; y

⑴ ⑵

6

8

4

2

-2

-2-4 2 4

-4

-6

-8

y

y=2x

@xO

y=-x@1 2

감소증가

y

xO

❶

•이차함수 y=x¤ 의그래프와 x축에대칭이다.

❶이차함수 y=-x¤ 의그래프는

•위로볼록하다.

•원점을지나며그점에서가장볼록하다.

•y축에 대칭이다. 즉, y축을 중심으로 접었을 때 완

전히포개어진다.

•x<0일때, x의값이증가하면 y의값도증가한다.

x>0일때, x의값이증가하면 y의값은감소한다.

본문 해설

(194~245)200교과3 2012.7.24 12:48 AM 페이지213 mac02 T

교과서 110 쪽

오른쪽그림에서알수있듯이이차함수 y=ax¤

의 그래프는 a>0일 때에는 아래로 볼록하고,

a<0일때에는위로볼록한곡선이다.

또 a의절댓값이클수록그래프의폭이좁아지

고, 항상 y축에대칭이다.

한편 이차함수 y=ax¤과 y=-ax¤의 그래프

는 x축에서로대칭이다.

이차함수 y=ax ¤의그래프와같은모양의곡선을포물선이라고한다. 포물선은

한직선에대칭인도형으로그직선을포물선의축이라하고, 포물선과축의교점

을포물선의꼭짓점이라고한다.

따라서이차함수 y=ax¤의그래프는 y축을축으로하고, 원점을꼭짓점으로 하

는포물선이다.

일반적으로이차함수 y=ax¤ 의그래프에대하여다음을알수있다.

xO

4

3

2

1

-1-1 1 2 3-2-3

-2

-3

-4

y

y=2x

@

y=-2x@

y=x@

y=-x@

y=--x@

12

y=-x@1 2

꼭짓점

포물선

축

이차함수 y=ax¤ (a+0)의그래프

⑴원점을꼭짓점으로하고, y축을축으로하는포물선이다.

⑵ a>0이면아래로볼록하고, a<0이면위로볼록하다.

⑶ a의절댓값이클수록포물선의폭이좁아진다.

⑷ y=-ax¤ 의그래프와 x축에대칭이다.

문제 4에서그래프의폭이좁은것부터차례로나열하여라.문제 5

다음이차함수의그래프중에서아래로볼록한것을모두찾아라.문제 4㉠ y=3x¤ ㉡ y=-5x¤

㉢ y=- x¤ ㉣ y= x¤113112

214 각론

목표| 이차함수 y=ax¤의 식을 보고 그래프의 모양을 판단

할 수 있게 한다.

4

풀이| 이차함수 y=ax¤ 의그래프는 a>0이면아래로볼

록하고, a<0이면 위로 볼록하므로 아래로 볼록한 것은

㉠, ㉣이다.

목표| 이차함수 y=ax¤의 식을 보고 그래프의 폭을 비교할

수 있게 한다.

5

풀이| 이차함수 y=ax¤ 의 그래프에서 a의 절댓값이 클

수록 그래프의 폭이 좁아지므로 그래프의 폭이 좁은 것

부터차례로나열하면㉡, ㉠, ㉢, ㉣이다.

❶

❷

❶이차함수 y=ax¤ (a>0)의그래프는

y=x¤ 의 그래프의 각 점에 대하여 y좌표

를 a배로하는점을잡아그린것이므로 a

의 값이 커질수록 그래프의 폭이 좁아진

다. 그리고 이차함수 y=-ax¤ (a>0)의

그래프는 y=ax¤ (a>0)의 그래프와 x축

에 대칭이므로 a의 값이 커질수록 그래프

의폭이좁아진다.

따라서이차함수 y=ax¤ (a+0)의그래프

는 a의 절댓값이 커질수록 그래프의 폭이

좁아진다.

❷이차함수 y=ax¤ (a+0)의 그래프는 절댓

값이 같은 x의 값에 대하여 y의 값이 같

으므로 y축에 대칭이 된다. 따라서 y축을

축으로 하는 포물선이고, y축과의 교점은

원점이므로원점을꼭짓점으로한다.

본문 해설

포물선(抛物線, parabola)이라는 용어는 갈릴레이(Galilei, G.:

1564~1642)의 발견에 근거하여 지어진 이름으로 포(抛)는‘던

지다’라는 뜻이다. 즉, 포물선은 물건을 위로 던졌을 때 물체가

그리는 곡선을 의미한다.

그런데 여기서 주의할 것은 물체 그 자체의 운동과 운동 현상 속

에 있는 두 변량 사이의 관계를 나타내는 그래프의 모양이 다를

수 있다는 것이다. 예를 들어 물체가 수직 방향으로 자유 낙하를

하는 경우나 전동차가 점점 빠르게 움직이는 경우 등을 관찰할

때, 그 시간과 거리의 관계를 나타내는 그래프는 포물선이 되지

만, 그 물체의 운동 자체는 직선 운동을 하고 있다.

parabola는 고대 그리스의 수학자 아폴로니오스(Apollonios

: ?B.C. 262~?B.C. 190)가 이름 붙인 것이다. 직원뿔을 모선에

평행한 평면으로 잘랐을 때 생기는 단면을‘일치한다’라는 뜻의

parabola라고 하였다.

읽/기/자/료 포물선

(194~245)200교과3 2012.8.17 4:41 AM 페이지214 mac02 T


교과서 111 쪽

이차함수 y=ax¤ +q의그래프는어떻게그리는가?

두이차함수 y=x¤과 y=x¤ +3에대하여다음표를완성하고, 물음에답하여보자.

1 두이차함수의그래프를오른쪽좌표평면위에그려보자.

2 투명 종이에 y=x¤의 그래프를 옮겨 그린 후 y축의방향으로얼

마만큼 이동시키면 y=x¤ +3의 그래프와 겹치게 할 수 있는지

알아보자.

탐 구 활 동

●준비물투명종이, 연필

x

x¤

x¤ +3

yyy

-3 -2 -1 0 1 2 3 yyy

x-2 2O

y

8

10

6

4

2

한도형을일정한방향으

로 일정한 거리만큼 옮기는

것을평행이동이라고한다.

이차함수 y=x¤ +3의그래프를그려보자.

탐구활동의표에서 x의각값에대하여 x¤ +3의값은항상 x¤의값보다 3만큼

크다는것을알수있다.

따라서이차함수 y=x¤ +3의그래프는이차함수 y=x¤

의그래프를 y축의방향으로 3만큼평행이동한것이다.

그러므로 이차함수 y=x¤ +3의 그래프는 오른쪽 그림

과같이 y축을축으로하고, 점 (0, 3)을꼭짓점으로하는

아래로볼록한포물선이다.

x

y

y=x@

8

6

4

2

-2 2O

y=x@+3

이차함수 y=a(x-p)¤ +q의그래프1-3 ●이차함수 y=a(x-p)¤ +q의그래프를그릴수있다.

1-3 이차함수 y=a(x-p)¤ +q의그래프

① 이차함수 y=ax¤ +q의 그래프를 그릴 수 있고, 그 그래프

의 성질을 이해하게 한다.

② 이차함수 y=a(x-p)¤의 그래프를 그릴 수 있고, 그 그래

프의 성질을 이해하게 한다.

③ 이차함수 y=a(x-p)¤ +q의 그래프를 그릴 수 있고, 그

그래프의 성질을 이해하게 한다.


1. y=ax¤ 의 그래프를 평행이동하여 y=ax¤ +q의 그래

프를 그릴 때, 포물선의 폭, 모양, 축은 변하지 않으

나꼭짓점의좌표는달라짐을알도록지도한다.


1.

2. 투명 종이에 y=x¤ 의 그래프를 옮겨 그린 후 y축의

방향으로 3만큼 평행이동하면 y=x¤ +3의 그래프와

겹치게할수있다.

y=x@

8

10

6

4

2

-2 2O

y=x@+3y

x

2. y=ax¤ 의그래프를평행이동하여

y=a(x-p)¤ , y=a(x-p)¤ +q의 그래프

를 그릴 때, 포물선의 폭, 모양은 변하지

않으나 꼭짓점의 좌표, 축은 달라짐을 알

도록지도한다.

y -3 -2 -1 0 1 2 3 yx

x¤

x¤ +3

y 9 4 1 0 1 4 9 yy 12 7 4 3 4 7 12 y

❶

활동 목표•같은 x의 값에 대하여 x¤의 값과

x¤ +3의 값 사이의 관계를 나타내는 표를 완성

하고, 두 그래프를 한 좌표평면 위에 그려 봄으

로써 이차함수 y=x¤과 y=x¤ +3의 그래프 사

이의 관계를 알게 하려는 것이다.

준비물•투명 종이, 연필


❶이차함수 y=x¤ +3의 그래프는 y=x¤ 의 그래프의 각

점을 y축의방향으로 3만큼평행이동한것이다. 이때

그래프의 폭, 모양, 축은 변하지 않고 꼭짓점만 y축

의방향으로 3만큼이동하여꼭짓점의좌표는 (0, 3)

이된다.

본문 해설

(194~245)200교과3 2012.7.24 12:48 AM 페이지215 mac02 T

교과서 112 쪽

다음 이차함수의 그래프를 y축의 방향으로 [ ] 안의 값만큼 평행이동한 그래프를 나타

내는이차함수의식을구하고, 그 함수가나타내는포물선의꼭짓점의좌표를구하여라.

⑴ y=x¤ [4 ] ⑵ y=- x¤ [-2 ]113

문제 3

다음이차함수의그래프는이차함수 y=4x¤의그래프를어떻게평행이동한것인가?

⑴ y=4x¤ -5 ⑵ y=4x¤ +1

문제 1

오른쪽그림은이차함수 y=x¤과 y=- x¤의그래프이다.


⑴ y=x¤ -4

⑵ y=- x¤ +2112

112문제 2

풀이 이차함수 y=-x ¤ -2의 그래프는 y=-x ¤의 그래

프를 y축의방향으로-2만큼평행이동한것이다.

따라서이차함수 y=-x¤ -2의그래프는오른쪽그

림과같이 y축을축으로하고, 점 (0, -2)를꼭짓점

으로하는위로볼록한포물선이다.

이차함수 y=-x¤의그래프를이용하여이차함수 y=-x¤ -2의그래프를그려라.1예제

x-2-4 2 4O

-4

-6

-8

y

y=-x@

y=-x@-

2

-2

x-2 2-4 4O

-4

-6

y

y=x@

6

4

2

-2

y=--x@

12

이차함수 y=ax¤ +q (a+0)의그래프

⑴이차함수 y=ax¤의그래프를 y축의방향으로 q만큼평행이동한것이다.

⑵ y축을축으로하고, 점 (0, q)를꼭짓점으로하는포물선이다.

일반적으로이차함수 y=ax¤ +q의그래프에대하여다음을알수있다.

216 각론

목표| 이차함수 y=ax¤ +q의 그래프는 이차함

수 y=ax¤의 그래프를 어떻게 평행이동한 것인

지 설명할 수 있게 한다.

풀이| ⑴ 이차함수 y=4x¤ -5의 그래프는 y=4x¤ 의 그

래프를 y축의방향으로-5만큼평행이동한것이다.

⑵이차함수 y=4x¤ +1의 그래프는 y=4x¤ 의 그래프를

y축의방향으로 1만큼평행이동한것이다.

1

목표| 이차함수 y=ax¤의 그래프를 이용하여 y=ax¤ +q의

그래프를 그릴 수 있게 한다.

풀이| ⑴ 이차함수 y=x¤ -4의 그래프는 y=x¤ 의 그래

프를 y축의 방향으로 -4만큼 평행이동한 것이므로

y축을 축으로 하고, 점 (0, -4)를 꼭짓점으로 하는

아래로볼록한포물선이다.

⑵이차함수 y=- x¤ +2의그래프는 y=- x¤의그

래프를 y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이므로

y축을축으로하고, 점 (0, 2)를꼭짓점으로하는위

로볼록한포물선이다.

112

112

2

⑴

⑵

x-2 2-4 4O

-4

-6

y

y=x@

6

4

2

-2

y=--x@

12

❶❶이차함수 y=ax¤ +q의그래프는

•q>0이면 y=ax¤ 의 그래프를 y축의 양

의방향(위)으로평행이동하여그린다.

•q<0이면 y=ax¤ 의 그래프를 y축의 음

의 방향(아래)으로 평행이동하여 그린

다.

•이차함수 y=ax¤ 의 그래프를 y축의 방

향으로 q만큼 평행이동한 것이므로 꼭

짓점의 y좌표는 변하고, 꼭짓점의 x좌

표와 축은 변하지 않는다. 즉, 꼭짓점의

좌표는 (0, q)이고, y축을 축으로 한다.

또한 이차함수의 그래프를 평행이동하

여도 a의 값은 변하지 않으므로 그래프

의모양과폭은변하지않는다.

본문 해설

(194~245)200교과3 2012.7.24 12:48 AM 페이지216 mac02 T


교과서 113 쪽

이차함수 y=a(x-p)¤의그래프는어떻게그리는가?

두이차함수 y=x¤과 y=(x-2)¤에대하여다음표를완성하고, 물음에답하여보자.

1 두이차함수의그래프를오른쪽좌표평면위에그려보자.

2 투명종이에 y=x¤의그래프를옮겨그린후 x축의방향으

로 얼마만큼 이동시키면 y=(x-2)¤의 그래프와 겹치게

할수있는지알아보자.

탐 구 활 동

●준비물투명종이, 연필

x

x¤

(x-2)¤

yyy

-3 -2 -1 0 1 2 3 yyy

x-2-4 2 4O

y

8

6

4

2

이차함수 y=(x-2)¤ 의그래프를그려보자.

탐구활동의표에서 x의값이-3, -2, -1, 0, 1일때의 x¤의값과 x의값이

-1, 0, 1, 2, 3일때의 (x-2)¤ 의값은각각서로같음을알수있다.

따라서이차함수 y=(x-2)¤ 의그래프는이차함수

y=x¤의그래프를 x축의방향으로 2만큼평행이동한

것이다.

그러므로이차함수 y=(x-2)¤ 의그래프는오른쪽

그림과같이직선 x=2를축으로하고, 점 (2, 0)을

꼭짓점으로하는아래로볼록한포물선이다.

일반적으로이차함수 y=a(x-p)¤의그래프에대하여다음을알수있다.

y=x@

xO-2 2 4

y

2

4

8

10

6

y={x

-2}@

직선 x=2는 y축에 평

행한직선이다.

y=a(x-p)¤의 그래프

는 y=ax¤의 그래프를 x축

의 방향으로 -p만큼이 아

닌 p만큼평행이동한것이다.

이차함수 y=a(x-p)¤ (a+0)의그래프

⑴이차함수 y=ax¤의그래프를 x축의방향으로 p만큼평행이동한것이다.

⑵직선 x=p를축으로하고, 점 (p, 0)을꼭짓점으로하는포물선이다.

목표| 이차함수 y=ax¤의 그래프를 y축의 방향으로 q만큼

평행이동한 그래프를 나타내는 이차함수의 식과 그 함수가

나타내는 포물선의 꼭짓점의 좌표를 구할 수 있게 한다.

풀이| ⑴ 이차함수 y=x¤ 의 그래프를 y축의 방향으로 4

만큼평행이동한이차함수의식은 y=x¤ +4이고, 이

그래프의꼭짓점의좌표는 (0, 4)이다.

⑵이차함수 y=- x¤의그래프를 y축의방향으로 -2

만큼 평행이동한 이차함수의 식은 y=- x¤ -2이

고, 이그래프의꼭짓점의좌표는 (0, -2)이다.

1113

113

3

1.

2. 투명 종이에 y=x¤ 의 그래프를 옮겨 그린

후 x축의 방향으로 2만큼 평행이동하면

y=(x-2)¤의그래프와겹치게할수있다.

x

y

-2-4 2 4

8

6

4

2

O

y=x@

y={x

-2}@

yyy

-3

9

25

-2

4

16

-1

1

9

0

0

4

1

1

1

2

4

0

3

9

1

yyy

x

x¤

(x-2)¤

❶

활동 목표•같은 x의 값에 대하여 x¤의 값과

(x-2)¤의 값 사이의 관계를 나타내는 표를 완

성하고, 두 그래프를 한 좌표평면 위에 그려 봄

으로써 이차함수 y=x¤과 y=(x-2)¤의 그래

프 사이의 관계를 알게 하려는 것이다.

준비물•투명 종이, 연필


❶이차함수 y=a(x-p)¤ 의그래프는

•p>0이면 y=ax¤ 의 그래프를 x축의 양의 방향(오

른쪽)으로평행이동하여그린다.

•p<0이면 y=ax¤ 의 그래프를 x축의 음의 방향(왼

쪽)으로평행이동하여그린다.

•이차함수 y=ax¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 p만

큼평행이동한것이므로꼭짓점의 x좌표와축의방

정식이 변한다. 즉, 꼭짓점의 좌표는 (p, 0)이고,

직선 x=p를축으로한다.

또한 이차함수의 그래프를 평행이동하여도 a의 값

은 변하지 않으므로 그래프의 모양과 폭은 변하지

않는다.

본문 해설

(194~245)200교과3 2012.7.24 12:48 AM 페이지217 mac02 T

교과서 114 쪽

다음 이차함수의 그래프를 x축의 방향으로 [ ] 안의 값만큼 평행이동한 그래프를 나타

내는이차함수의식을구하고, 그 함수가나타내는포물선의꼭짓점의좌표를구하여라.

⑴ y=2x¤ [1 ] ⑵ y=- x¤ [-3]114

문제 6

다음이차함수의그래프는이차함수 y=3x¤의그래프를어떻게평행이동한것인가?

⑴ y=3(x+1)¤ ⑵ y=3(x-5)¤

문제 4

풀이 이차함수 y=-(x+2)¤ 의 그래프는 y=-x¤의 그

래프를 x축의방향으로-2만큼평행이동한것이다.

따라서 이차함수 y=-(x+2)¤ 의 그래프는 오른쪽

그림과같이직선x=-2를축으로하고, 점(-2, 0)

을꼭짓점으로하는위로볼록한포물선이다.

이차함수 y=-x¤의그래프를이용하여이차함수 y=-(x+2)¤의그래프를

그려라.2예제

x-4 2O

-4

-6

-8

y

y=-x@

y=-{x+

2}@

-2

-2

오른쪽그림은이차함수 y=x¤과 y=- x¤의그래프이다.


⑴ y=(x+3)¤

⑵ y=- (x-2)¤112

112문제 5

x-2 2-4 4O

-4

-6

y

y=x@

6

4

2

-2

y=--x@

12

218 각론

목표| 이차함수 y=a(x-p)¤ 의 그래프는 이차

함수 y=ax¤의 그래프를 어떻게 평행이동한 것

인지 설명할 수 있게 한다.

풀이| ⑴이차함수 y=3(x+1)¤ 의그래프는

y=3x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 -1

만큼평행이동한것이다.

⑵이차함수 y=3(x-5)¤의그래프는 y=3x¤

의 그래프를 x축의 방향으로 5만큼 평행

이동한것이다.

4

목표| 이차함수 y=ax¤ 의 그래프를 이용하여

y=a(x-p)¤의 그래프를 그릴 수 있게 한다.

풀이| ⑴ 이차함수 y=(x+3)¤ 의 그래프는

y=x¤ 의그래프를 x축의방향으로 -3만큼평행이동

한것이므로직선 x=-3을축으로하고, 점 (-3, 0)

을 꼭짓점으로하는아래로볼록한포물선이다.

⑵이차함수 y=- (x-2)¤ 의 그래프는 y=- x¤의

그래프를 x축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이므

로 직선 x=2를 축으로 하고, 점 (2, 0)을 꼭짓점으

로하는위로볼록한포물선이다.

112

112

5

목표| 이차함수 y=ax¤의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼

평행이동한 그래프를 나타내는 이차함수의 식과 그 함수가

나타내는 포물선의 꼭짓점의 좌표를 구할 수 있게 한다.

풀이| ⑴ 이차함수 y=2x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로

1만큼 평행이동한 이차함수의 식은 y=2(x-1)¤ 이

고, 이그래프의꼭짓점의좌표는 (1, 0)이다.

⑵이차함수 y=- x¤의그래프를 x축의방향으로-3

만큼 평행이동한 이차함수의 식은 y=- (x+3)¤

이고, 이그래프의꼭짓점의좌표는 (-3, 0)이다.

1114

114

6

x-2 2-4 4O

-4

-6

y

y=x@

6

4

2

-2

y=--x@

12

⑴

⑵

(194~245)200교과3 2012.7.24 12:48 AM 페이지218 mac02 T


교과서 115 쪽

이차함수 y=a(x-p)¤ +q의그래프는어떻게그리는가?

오른쪽 그림은 컴퓨터 프로그램을 이용하여 이차함

수 y=x¤ , y=(x-2)¤ , y=(x-2)¤ +3의 그래

프를그린것이다. 다음물음에답하여보자.

1 이차함수 y=(x-2)¤ 의 그래프는 y=x¤의 그래

프를어떻게평행이동한것인가?

2 이차함수 y=(x-2)¤ +3의그래프는

y=(x-2)¤ 의 그래프를 어떻게 평행이동한 것

인가?

3 이차함수 y=x¤의 그래프를 어떻게 평행이동하면

y=(x-2)¤ +3의 그래프와 겹치게 할 수 있는지

말하여보자.

탐 구 활 동

이차함수 y=(x-2)¤ +3의그래프를그려보자.

이차함수 y=x¤의그래프를 x축의방향으로 2만큼평행이동한후이것을다시

y축의방향으로 3만큼평행이동하면 y=(x-2)¤ +3의그래프가된다.

즉, 이차함수 y=(x-2)¤ +3의 그래프는 y=x¤의

그래프를 x축의방향으로 2만큼, y축의방향으로 3만

큼평행이동한것이다.

따라서 이차함수 y=(x-2)¤ +3의 그래프는 오른

쪽그림과같이직선 x=2를축으로하고, 점 (2, 3)

을꼭짓점으로하는아래로볼록한포물선이다.

일반적으로이차함수 y=a(x-p)¤ +q의그래프에대하여다음을알수있다.

y

x

y=x@

8

6

4

2

-2 2 4O

y={x

-2}@+

3y=

{x-2}@

x축의방향으로2만큼평행이동

y축의방향으로3만큼평행이동

y=x¤

y=(x-2)¤

y=(x-2)¤ +3

이차함수 y=a(x-p)¤ +q (a+0)의그래프

⑴이차함수 y=ax¤의그래프를 x축의방향으로 p만큼, y축의방향으로 q만큼평행이동한

것이다.

⑵직선 x=p를축으로하고, 점 (p, q)를꼭짓점으로하는포물선이다.

❶❷

❸

y=ax¤꼭짓점의좌표: (0, 0)

FFFFF„

FF

FF

„

FF

FF

„

y=a(x-p)¤ +q

y=a(x-p)¤꼭짓점의 좌표: (p, 0)

y=ax¤ +q꼭짓점의 좌표: (0, q)

꼭짓점의 좌표: (p, q)

활동 목표•이차함수 y=x¤ 의 그래프를 평행이동하여

y=(x-2)¤ +3의 그래프와 겹치게 하는 과정을 통해 이차

함수 y=x¤과 y=(x-2)¤ +3의 그래프 사이의 관계를 알

게 하려는 것이다.


1. 이차함수 y=(x-2)¤ 의 그래프는 y=x¤ 의 그래프를

x축의방향으로 2만큼평행이동한것이다.

2. 이차함수 y=(x-2)¤ +3의 그래프는 y=(x-2)¤ 의

그래프를 y축의방향으로 3만큼평행이동한것이다.

3. 이차함수 y=x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼

평행이동한후이것을다시 y축의방향으로 3만큼평

행이동하면 y=(x-2)¤ +3의 그래프와 겹치게 할 수

있다.

지/도/자/료 평행이동에 의한 꼭짓점의 좌표

❶이차함수 y=a(x-p)¤ +q의 그래프를 그

릴때, 대응표를만들지않아도

y=a(x-p)¤ +q의그래프가 y=ax¤ 의그

래프를 x축의 방향으로 p만큼, y축의 방

향으로 q만큼 평행이동한 것이라는 성질

을이용하여그릴수있다.

❷이차함수 y=ax¤ 의그래프를

y=a(x-p)¤ +q의 그래프로 평행이동할

때, x축의 방향과 y축의 방향의 평행이동

의순서는관계가없다.

즉, x축의방향으로 p만큼이동한후에 y축

의 방향으로 q만큼 이동한 그래프와 y축

의 방향으로 q만큼 이동한 후에 x축의 방

향으로 p만큼 이동한 그래프는 서로 같은

그래프이다.

❸이차함수 y=a(x-p)¤ +q의 그래프는

y=ax¤의그래프를 x축의방향으로 p만큼,

y축의방향으로 q만큼평행이동한그래프

이므로 축은 y축(x=0)에서 직선 x=p

로, 꼭짓점의 좌표는 (0, 0)에서 (p, q)

로옮겨진다.

이때 a의 값은 그대로이므로 그래프의 폭

과모양은변하지않는다.

본문 해설

x축의 방향으로

p만큼

y축의 방향으로

q만큼

x축의방향으로

p만큼

y축의방향으로

q만큼

(194~245)200교과3 2012.7.24 12:48 AM 페이지219 mac02 T

교과서 116 쪽

다음이차함수의그래프를 x축, y축의방향으로각각 [ ] 안의값만큼평행이동한그래

프를나타내는이차함수의식을구하여라.또그함수가나타내는포물선의축의방정식

과꼭짓점의좌표를구하여라.

⑴ y=x¤ [-2, 1 ] ⑵ y=3x¤ [3, -2 ]

⑶ y= x¤ [-1, -2 ] ⑷ y=-2x¤ [1, 2 ]112

문제 8

풀이 이차함수 y=-(x-3)¤ +2의 그래프는 y=-x¤의

그래프를 x축의방향으로 3만큼, y축의방향으로 2만

큼평행이동한것이다.

따라서이차함수 y=-(x-3)¤ +2의그래프는오른

쪽그림과같이직선 x=3을축으로하고, 점 (3, 2)

를꼭짓점으로하는위로볼록한포물선이다.

이차함수 y=-x¤의 그래프를 이용하여 이차함수 y=-(x-3)¤ +2의 그래프를

그려라.3예제

2

-4

-6

2-2 4 6O

y=-x@

y=-{x-

3}@+2

y

x

-2

오른쪽그림은이차함수 y=2x¤ 과 y=- x¤의그래프

이다.이것을이용하여다음이차함수의그래프를그려라.

⑴ y=2(x-3)¤ -4

⑵ y=- (x+2)¤ +2113

113문제 7

x-2 2-4 4O

-4

-6

y

y=2x

@

6

4

2

-2

y=--x@

13

포물선의 축을 직선의

방정식으로 나타낸 것을 축

의방정식이라고한다.

이차함수 y=a(x-p)¤ +q의그래프를좌표평면위에나타낼때, a, p, q의부호에따라그래

프가제몇사분면위에있는지토의하여보자. (단, a+0, p+0, q+0)

220 각론

목표| 이차함수 y=ax¤ 의 그래프를 이용하여

y=a(x-p)¤ +q의 그래프를 그릴 수 있게 한다.

풀이| ⑴ 이차함수 y=2(x-3)¤ -4의 그래

프는 y=2x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로

3만큼, y축의 방향으로 -4만큼 평행이동

한 것이므로 직선 x=3을 축으로 하고,

점 (3, -4)를 꼭짓점으로 하는 아래로

볼록한포물선이다.

⑵이차함수 y=- (x+2)¤ +2의그래프는

y=- x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로

-2만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동

한 것이므로 직선 x=-2를 축으로 하고,

점 (-2, 2)를 꼭짓점으로 하는 위로 볼

록한포물선이다.

113

113

7

⑴

⑵

x-2 2-4 4O

-4

-6

y

y=2x

@

6

4

2

-2

y=--x@

13

목표| 이차함수 y=ax¤의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼,

y축의 방향으로 q만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 이차함

수의 식과 그 함수가 나타내는 포물선의 축의 방정식과 꼭짓

점의 좌표를 구할 수 있게 한다.

풀이| ⑴ y=(x+2)¤ +1, 축의방정식은 x=-2, 꼭짓

점의좌표는 (-2, 1)이다.

⑵ y=3(x-3)¤ -2, 축의방정식은 x=3, 꼭짓점의좌

표는 (3, -2)이다.

⑶ y=;2!;(x+1)¤ -2, 축의방정식은 x=-1, 꼭짓점의

좌표는 (-1, -2)이다.

⑷ y=-2(x-1)¤ +2, 축의 방정식은 x=1, 꼭짓점의

좌표는 (1, 2)이다.

8

|출제 의도| 이차함수 y=a(x-p)¤ +q에서 a, p, q의 부호

에 따라 그래프가 지나는 사분면을 생각해 봄으로써 이차함

수의 그래프를 능숙하게 그리게 하기 위한 문제이다.

의/사/소/통

풀이| 이차함수 y=a(x-p)¤ +q의 그래프는 a, p, q의

부호에따라다음과같은사분면을지난다.

q<0q>0

p>0

p<0

p>0

p<0

a>0

a<0

제1, 2, 4사분면

또는모든사분면

제1, 2, 3사분면


제3, 4사분면

제3, 4사분면

제1, 2사분면

제1, 2사분면

제1, 3, 4사분면


제2, 3, 4사분면


(194~245)200교과3 2012.7.24 12:48 AM 페이지220 mac02 T


교과서 117 쪽

이차함수 y=ax¤ +bx+c의그래프에는어떤성질이있는가?

다음 그림과 같이 현수교의 주 케이블이 이차함수의 그래프인 포물선 모양이고, 왼쪽 탑으

로부터의수평거리를 xm, 도로에서 주 케이블까지의높이를 ym라고할때, x와 y 사

이에는 y=x¤ -20x+105인 관계가 있다고 하자. 이때 주 케이블의 모양이 어떤 포물선

의일부인지알아보기위하여물음에답하여보자.

1 다음은주어진이차함수의식을 y=a(x-p)¤+q의꼴로고치는과정이다. 안에알맞은

수를써넣어보자.

2 1을 이용하여 이차함수 y=x¤ -20x+105의 그래프는 이차함수 y=x¤의 그래프를 어떻

게평행이동한것인지말하여보자.

창의력 기르기

탐 구 활 동

탑 탑

주 케이블현수재

x

y

O

y=x¤ -20x+105

=(x¤ -20x+ - )+105

=(x¤ -20x+ )- +105

=(x- )¤ +

이차함수의그래프의성질1-4 ●이차함수 y=ax¤ +bx+c의그래프를그릴수있고, 그성질을이해한다.

●이차함수의최댓값과최솟값을구할수있다.

현수교

현수교는 두 개의 탑에

주케이블을걸친후, 그

케이블에 현수재로 상판

을 매달아 만든 다리이다.

현수교의기원은산악지대의원시민족들이덩굴을나무에매달아계곡을건너가는

수단으로사용한것이라고할수있다. 한편우리나라의이순신대교, 남해대교, 영종

대교, 미국의금문교등이바로현수교이다.

1-4 이차함수의그래프의성질

① 이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프를 그릴 수 있게 한다.

② 이차함수 y=ax¤ +bx+c의그래프의성질을이해하게한다.

③ 함수의 최댓값과 최솟값의 뜻을 알게 한다.

④ 이차함수의 최댓값과 최솟값을 구할 수 있게 한다.


1. 이차함수 y=ax¤ +bx+c를 y=a(x-p)¤ +q의 꼴로

나타낼때, a의부호에유의하여지도한다.

2.이차함수의최댓값과최솟값은 x값의범위가실수전

체인경우만다룬다.

3.이차함수의 x값의 범위가 실수 전체일 때, 항상 최댓

값 또는 최솟값을 가진다는 것을 그래프를 통하여 이

해하게한다.


•최댓값`(absolute maximum)

•최솟값`(absolute minimum)


현수교의 주 케이블은 이차함수의 그래프인

포물선 모양이다. 현수교는 늘어뜨린 케이블

을 통해 두 개의 탑에 하중이 전달되도록 하

여 탑 사이에 긴 거리를 확보할 수 있다. 따

라서 큰 배가 지나가야 하는 바다에는 두 개

의 탑 사이로 배가 지나갈 수 있도록 현수교

형식으로다리를건설한다.

줄을같은높이의양쪽에서잡고늘어뜨릴때,

줄의 모양이 이루는 곡선을 현수선이라고 한

다. 현수선 모양으로 처진 줄에 일정한 간격

으로 하중을 주면 포물선의 모양으로 바뀌는

데, 현수교도 마찬가지로 케이블에 일정한

간격으로 현수재를 이어 상판을 매달았으므

로케이블의모양이포물선이된다.

창의력 기르기 참/고/자/료

1. y=x¤ -20x+105

y=(x¤ -20x)+105

y=(x¤ -20x+ - )+105

y=(x¤ -20x+ )- +105

y=(x- )¤ +

2. 1에서 y=x¤ -20x+105=(x-10)¤ +5이다.

따라서 이차함수 y=x¤ -20x+105의 그래프는 이차

함수 y=x¤ 의 그래프를 x축의방향으로 10만큼, y축

의방향으로 5만큼평행이동한것이다.

510

100100

100100

활동 목표•이차함수 y=ax¤ +bx+c의 식을

y=a(x-p)¤ +q의 꼴로 고쳐서 이차함수 y=ax¤과

y=ax¤ +bx+c의그래프 사이의 관계를알게 하려는것이다.


(194~245)200교과3 2012.7.24 12:48 AM 페이지221 mac02 T

교과서 118 쪽

풀이y=-x¤ +6x-4를

y=a(x-p)¤ +q

의꼴로바꾸어야한다.

y=-x¤ +6x-4

=-(x¤ -6x)-4

=-(x¤ -6x+9)+9-4

=-(x-3)¤ +5

따라서이차함수 y=-x¤ +6x-4의그래프는오른쪽

그림과 같이 직선 x=3을 축으로 하고, 점 (3, 5)를

꼭짓점으로하며점 (0, -4)를지나는위로볼록한포

물선이다.

x

-2

-4

2

4

2 4 6O

y

이차함수 y=-x¤ +6x-4의그래프를그려라.1예제

이차함수

y=a(x-p)¤ +q

의 그래프는 y=ax¤의 그래

프를 x축의방향으로 p만큼,

y축의 방향으로 q만큼 평행

이동한것이다.

이차함수 y=2x¤ +8x+9의그래프를그려보자.

y=2x¤ +8x+9의우변을 (완전제곱식)+(상수항)의꼴로바꾸면다음과같다.

y=2x¤ +8x+9

=2(x¤ +4x)+9

=2(x¤ +4x+4)-8+9

=2(x+2)¤ +1

따라서 이차함수 y=2x¤ +8x+9의 그래프는 오른

쪽 그림과 같이 y=2x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로

-2만큼, y축의방향으로 1만큼평행이동한것이다.

그러므로 이차함수 y=2x¤ +8x+9의 그래프는 직선 x=-2를 축으로 하고,

점 (-2, 1)을꼭짓점으로하는아래로볼록한포물선이다.

또 x=0일때, y=9이므로 y축과만나는점의좌표는 (0, 9)이다.

일반적으로이차함수 y=ax¤ +bx+c의그래프는다음과같은성질이있다.

y

x

4

6

8

y=2x@+

8x+9

y=2x@

2

2-2 O

이차함수 y=ax¤ +bx+c (a+0)의그래프

⑴ y=a(x-p)¤ +q의꼴로바꾸어서그린그래프와같다.


이차항의 계수 a로

묶는다.

일차항의 계수의 ;2!;의

제곱을 더하고 뺀다.

완전제곱식으로

고친다.

상수항을 정리한다.

⑵ 밑면에 비스듬한 평면으로 자르면 타원을 얻을 수 있다.

⑶ 모선에 평행한 평면으로 자르면 포물선을 얻을 수 있다.

⑷ 꼭지를 맞댄 두 개의 원뿔을

밑면에 수직인 평면으로 자르

면 쌍곡선을 얻을 수 있다.

y=ax¤ +bx+c

f∑

f∑

f∑

f∑

y=a{x¤ + x+ - }+cb¤1244a¤

b¤1244a¤

b1a

y=a{x¤ + x}+c b1a

y=a{x+ }2- +cb¤134a

b132a

y=a{x+ }2- b¤ -4ac111244a

b132a

이차함수 y=ax¤ +bx+c를 y=a(x-p)¤ +q의

꼴로 나타내는 방법은 다음과 같다.

˙k 꼭짓점: {- , }, 축: x=- b132a

-b¤ +4ac111124a

b132a

지/도/자/료

기원전 262년경에 남부 소아시아 지방에 있

는 페르가에서 태어난 아폴로니오스

(Apollonios: ?B.C. 262~?B.C. 190)는

젊었을 때 알렉산드리아에서 유클리드의 후

계자로부터 배웠고 결국 그곳에서 교수가

되었다. 그는 뛰어난 천문학자였으며 또 다

양한 수학적 주제에 관한 저술을 남겼다. 그 시대 사람들이 그를

위대한 기하학자라고 칭한 이유는 그의 저서“원뿔곡선론”때문

인데, 그는 이 책에서 하나의 원뿔을 기울기가 다른 평면으로 잘

라 원, 타원, 포물선, 쌍곡선을 얻는 방법을 소개하였다.

⑴ 밑면에 평행한 평면으로 자르면 원을 얻을 수 있다.

읽/기/자/료 원뿔곡선과 아폴로니오스

222 각론

(194~245)200교과3 2012.8.17 4:41 AM 페이지222 mac02 T


교과서 119 쪽

다음 이차함수의 그래프를 오른쪽 좌표평면 위에 그려

라. 또 이 그래프의 꼭짓점의 좌표와 그래프가 y축과

만나는점의좌표를구하여라.

⑴ y=2x¤ -4x+4

⑵ y=-3x¤ -6x-2

문제 1

이차함수 y=ax¤ +bx+c의그래프가점 (-1, 5)를지나고꼭짓점의좌표가 (-2, 3)

일때,이이차함수의식을구하여라.

문제 2

x

-2

-4

-2 2 4-4

2

4

O

y

풀이다음은 컴퓨터를 이용하

여 주어진 이차함수의 그래

프를그린것이다.

주어진이차함수의그래프의꼭짓점의좌표가 (2, 3)이므로구하는이차함수의

식은

y=a(x-2)¤ +3 yy①

의꼴로나타낼수있다.

또이그래프가점 (4, -1)을지나므로①에 x=4, y=-1을대입하면

-1=a(4-2)¤ +3

4a=-4, a=-1

따라서구하는이차함수의식은 y=-(x-2)¤ +3이므로

y=-x¤ +4x-1

이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프가 점 (4, -1)을 지나고 꼭짓점의 좌표가

(2, 3)일때,이이차함수의식을구하여라.2예제

답 y=-x¤ +4x-1

이차함수 y=-x¤ -8x-10의그래프의꼭짓점이이차함수 y= x¤ -k의그래프

위에있을때, k의값을구하는방법을설명하여라.

114

목표| 꼭짓점의 좌표와 다른 한 점을 알 때, 이

차함수의 식을 구할 수 있게 한다.

2

풀이| 꼭짓점의 좌표가 (-2, 3)이므로 구

하는이차함수의식을　

y=a(x+2)¤ +3 yy①

의 꼴로 나타낼 수 있다. 또 이 그래프가 점

(-1, 5)를 지나므로 ①에 x=-1, y=5를

대입하면

5=a(-1+2)¤ +3

a+3=5, a=2

따라서구하는이차함수의식은 y=2(x+2)¤ +3이므로

y=2x¤ +8x+11

x

-2

-4

-2 2 4-4

2

4

y

O

⑴

⑵

목표| 이차함수 y=ax¤ +bx+c를 y=a(x-p)¤ +q의 꼴로

고쳐서 그래프를 그리고, 꼭짓점의 좌표와 그래프가 y축과 만

나는 점의 좌표를 구할 수 있게 한다.

풀이| ⑴ y=2x¤ -4x+4

=2(x¤ -2x)+4

=2(x¤ -2x+1)-2+4

=2(x-1)¤ +2

따라서이차함수 y=2x¤ -4x+4의그래프는점 (1, 2)

를꼭짓점으로하고, 점 (0, 4)에서 y축과만난다.

⑵ y=-3x¤ -6x-2

=-3(x¤ +2x)-2

=-3(x¤ +2x+1)+3-2

=-3(x+1)¤ +1

따라서 이차함수 y=-3x¤ -6x-2의 그래프는 점

(-1, 1)을 꼭짓점으로 하고, 점 (0, -2)에서 y축

과만난다.

1

|출제 의도| 이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프의 꼭짓점을

이용하여 미지수를 구할 수 있게 하기 위한 문제이다.

창의 UP

풀이| y=-x¤ -8x-10=-(x+4)¤ +6

따라서이차함수 y=-x¤-8x-10의그래프는점 (-4, 6)

을꼭짓점으로한다.

이꼭짓점이이차함수 y= x¤-k의그래프위에있으므로

y= x¤ -k에 x=-4, y=6을대입하면

6= _(-4)¤ -k이므로　k=-2114

114

114

(194~245)200교과3 2012.7.24 12:48 AM 페이지223 mac02 T

교과서 120 쪽

이차함수의최댓값과최솟값은어떻게구하는가?

포물선을 그리면서 떨어지는 어떤 분

수의물줄기에대하여분출구에서부터

의 수평 거리를 xm, 물줄기의 높이를 ym라고 할 때, x와 y 사이에는

y=-5x¤ +10x인 관계가 성립한다

고하자. 다음물음에답하여보자.

1 이차함수 y=-5x¤ +10x의 그래프를 오른쪽 좌표평면 위에

그려보자.

2 물줄기가가장높이올라갔을때의높이를말하여보자.

탐 구 활 동

x2 4

2

4

O

y

이차함수 y=x¤ +2의그래프는오른쪽그림과같이꼭

짓점의좌표가 (0, 2)이고, 아래로볼록한포물선이다.

따라서이차함수 y=x¤ +2의함숫값중에서가장작은

값은 x=0일때, y=2이다.

이차함수 y=-x¤ +3의 그래프는 오른쪽 그림과 같이

꼭짓점의좌표가 (0, 3)이고, 위로볼록한포물선이다.

따라서이차함수 y=-x¤ +3의 함숫값 중에서 가장 큰

값은 x=0일때, y=3이다.

이와같이어떤함수에서 x값의범위에대한함숫값중에서가장큰값을그함

수의최댓값이라하고, 가장작은값을그함수의최솟값이라고한다.

이를테면이차함수 y=x¤ +2의최솟값은 x=0일때 2이고, 최댓값은없다. 또

이차함수 y=-x¤ +3의최댓값은 x=0일때 3이고, 최솟값은없다.

x

2

-2 2

4

6

O

y

x

-2

2

2

O

y

-2

y=x¤ +2에서 x의값이

한없이 커지거나 작아질 때,

y의 값은 한없이 커지므로

가장큰함숫값은없다.

y=-x¤ +3에서 x의값

이 한없이 커지거나 작아질

때, y의 값은 한없이 작아지

므로가장작은함숫값은없

다.

224 각론

1. y=-5x¤ +10x=-5(x-1)¤ +5

따라서 이함수의 그래프는 다음그림과 같

이직선 x=1을축으로하고, 점 (1, 5)를

꼭짓점으로하는위로볼록한포물선이다.

2. 물줄기가 가장 높이 올라갔을 때의 높이는

5m이다.

x

4

2

2 4O

y

y

x

a>0

O

y=ax@

최솟값

범위

함숫값의

y

x

a<0

O

y=ax@

최댓값

범위

함숫값의

❶

활동 목표•이차함수의 그래프를 그려 보고,

물줄기가 가장 높이 올라갔을 때의 높이를 알

아봄으로써 이차함수의 최댓값과 최솟값을 구

하는 방법을 이해하게 하려는 것이다.


❶최댓값은 그래프의 최고 높이를 의미하고, 최솟값은

그래프의 최저 높이를 의미하므로 이차함수는 꼭짓

점에서최댓값또는최솟값을갖는다.

이때이차함수의최댓값또는최솟값은꼭짓점의 y좌

표이다.

본문 해설

이차함수 y=ax¤의 최댓값과 최솟값은 다음과 같다.

•a>0일 때, y=ax¤의 그래프는 꼭짓점의 좌표가 (0, 0)이

고 아래로 볼록한 포물선이므로 함숫값은 항상 0 이상이다.

따라서 이차함수 y=ax¤ (a>0)은 x=0에서 최솟값 0을 가

지고 최댓값은 없다.

•a<0일 때, y=ax¤의 그래프는 꼭짓점의 좌표가 (0, 0)이

고 위로 볼록한 포물선이므로 함숫값은 항상 0 이하이다.

따라서 이차함수 y=ax¤ (a<0)은 x=0에서 최댓값 0을 가

지고 최솟값은 없다.

지/도/자/료

(194~245)200교과3 2012.7.24 12:48 AM 페이지224 mac02 T


교과서 121 쪽

일반적으로이차함수의최댓값과최솟값은다음과같이구한다.

이차함수 y=ax¤ +bx+c (a+0)의최댓값과최솟값

이차함수 y=ax¤ +bx+c를 y=a(x-p)¤ +q의꼴로바꾸었을때,

⑴ a>0인경우

최솟값은 x=p일때 q이고,

최댓값은없다.

⑵ a<0인경우

최댓값은 x=p일때 q이고,

최솟값은없다.

y

q

p xO

yq

p xO

이차함수의 그래프가 아

래로 볼록한 경우에는 최솟

값만 있고, 위로 볼록한 경

우에는최댓값만있다.




⑴이함수의그래프는점 (2, -3)을꼭짓점으로하는아래로볼록한 포물선이

다. 따라서주어진이차함수의최솟값은 x=2일때-3이고, 최댓값은없다.

⑵이 함수의 그래프는 점 (1, 3)을 꼭짓점으로 하는 위로 볼록한 포물선이다.

따라서주어진이차함수의최댓값은 x=1일때 3이고, 최솟값은없다.

다음이차함수의최댓값과최솟값을구하고,그때의 x의값을구하여라.

⑴ y=(x-2)¤ -3 ⑵ y=-2(x-1)¤ +33예제

답 ⑴최솟값은 x=2일때-3이고, 최댓값은없다.

⑵최댓값은 x=1일때 3이고, 최솟값은없다.


⑴ y= (x-3)¤ -4 ⑵ y=-(x-2)¤ +2112문제 3

목표| 이차함수의 최댓값과 최솟값을 구할 수 있게 한다.

풀이| ⑴이차함수 y= (x-3)¤ -4의그래프는

점 (3, -4)를 꼭짓점으로 하는 아래로 볼록한 포물

선이다. 따라서주어진이차함수의최솟값은 x=3일

때-4이고, 최댓값은없다.

⑵이차함수 y=-(x-2)¤ +2의 그래프는 점 (2, 2)를

꼭짓점으로하는위로볼록한포물선이다. 따라서주

어진이차함수의최댓값은 x=2일때 2이고, 최솟값

은없다.

112

3

컴퓨터 프로그램은 학생들이 직접 도형을 그리고

탐구할 수 있게 해 줌으로써 내용을 쉽게 이해할

수 있도록 도와준다.

이차함수 y=ax¤ +bx+c에서 a, b, c의 값이 다

른 이차함수의 그래프를 여러 개 그리지 않고도

‘매개변수에 애니메이션 주기’를 선택하면 자동

으로 a, b, c의 값이 달라짐에 따른 그래프가 그

려진다. 즉, a, b, c의 부호와 값의 크기에 따른

이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프의 변화를 쉽

게 관찰할 수 있다.

지/도/자/료

꼭짓점은 한자로 정점(頂點)을 번역한 것으로 평면도형에서는 변

과 변의 교점이 꼭짓점이고, 입체도형에서는 모서리와 모서리의

교점이 꼭짓점이다. 또한 포물선에서는 축과 포물선의 교점이 꼭

짓점이다.

정(頂)은 꼭대기, 맨 위를 의미하므로 정점은 꼭대기에 있는 점이

라는 뜻이다. 그런데 꼭대기 대신 꼭짓점이라고 할 때 그것은 꼭

대기에 있는 점이라는 의미뿐 아니라 맨 끝 부분에 있는 점이라

는 의미로도 사용된 것으로 볼 수 있다.

읽/기/자/료 꼭짓점

(194~245)200교과3 2012.7.24 12:48 AM 페이지225 mac02 T

교과서 122 쪽

다음이차함수의최댓값과최솟값을구하고, 그때의 x의값을구하여라.

⑴ y=2x¤ +8x+4 ⑵ y=-3x¤ +6x-5

문제 4

최댓값은 x=-2일때 1이고, 그래프가점 (-1, -3)을지나는이차함수의식을

y=ax¤ +bx+c의꼴로나타내어라.

문제 5

이차함수의최댓값과최솟값을구하는문제를만들고, 풀어보아라. 문제 6




⑴ y=3x¤ +6x+5=3(x+1)¤ +2

이므로이함수의그래프는점 (-1, 2)를꼭짓점으로하는아래로볼록한포

물선이다. 따라서주어진이차함수의최솟값은 x=-1일때 2이고, 최댓값은

없다.

⑵ y=-x¤ +4x-6=-(x-2)¤ -2

이므로이함수의그래프는점 (2, -2)를꼭짓점으로하는위로볼록한포물선

이다. 따라서주어진이차함수의최댓값은 x=2일때-2이고, 최솟값은없다.


⑴ y=3x¤ +6x+5 ⑵ y=-x¤ +4x-64예제

답 ⑴최솟값은 x=-1일때 2이고, 최댓값은없다.

⑵최댓값은 x=2일때-2이고, 최솟값은없다.

226 각론

목표| 이차함수의 최댓값과 최솟값을 구할 수 있

게 한다.

풀이| ⑴ y=2x¤ +8x+4

=2(x+2)¤ -4

이므로이함수의그래프는점 (-2, -4)

를꼭짓점으로하는아래로볼록한포물선

이다. 따라서주어진이차함수의최솟값은

x=-2일때-4이고, 최댓값은없다.

⑵ y=-3x¤ +6x-5

=-3(x-1)¤ -2

이므로 이 함수의 그래프는 점 (1, -2)

를 꼭짓점으로 하는 위로 볼록한 포물선

이다. 따라서 주어진 이차함수의 최댓값

은 x=1일때-2이고, 최솟값은없다.

4

목표| 이차함수의 최댓값과 다른 한 점을 알 때, 그 이차함

수의 식을 구할 수 있게 한다.

풀이| 주어진 이차함수의 최댓값이 x=-2일 때 1이므

로구하는이차함수의식은

y=a(x+2)¤ +1 yy①

로나타낼수있다.

또이그래프가점 (-1, -3)을지나므로①에 x=-1,

y=-3을대입하면

-3=a(-1+2)¤ +1, a=-4

따라서 구하는 이차함수의 식은 y=-4(x+2)¤ +1이므

로　y=-4x¤ -16x-15

5|출제 의도| 이차함수의 최댓값과 최솟값을 구하는 문제를

만들고 풀어 봄으로써 이차함수의 최댓값과 최솟값을 능숙하

게 구할 수 있도록 하기 위한 문제이다.

예시| 이차함수 y=2x¤ +8x-9의 최댓값과 최솟값을

구하여라.

풀이| y=2x¤ +8x-9

=2(x¤ +4x+4)-8-9

=2(x+2)¤ -17

주어진이차함수의그래프는점 (-2, -17)을꼭짓점으

로 하는 아래로 볼록한 포물선이므로 최솟값은 x=-2

일때-17이고, 최댓값은없다.

참고| x=p일 때, 최댓값 또는 최솟값이 q인 이차함수

의식은다음과같이구한다.

❶구하는식을 y=a(x-p)¤ +q로놓는다.

❷주어진다른조건을이용하여 a의값을구한다.

6

(194~245)200교과3 2012.7.24 12:48 AM 페이지226 mac02 T


교과서 123 쪽

중/단/원 기초수 준별

다음중에서이차함수를찾아라.1

다음 이차함수가 나타내는 포물선의 축의 방정식과 꼭짓점의 좌표를 구하

여라.

⑴ y=4x¤ ⑵ y=3x¤ +2

⑶ y=-(x+4)¤ ⑷ y=- (x-2)¤ -3112

2

이차함수 y=x¤ -2x-3의그래프에대하여다

음물음에답하여라.

⑴주어진이차함수의식을 y=a(x-p)¤ +q의

꼴로바꾸어라.

⑵꼭짓점의좌표와축의방정식을구하여라.

⑶그래프를오른쪽좌표평면위에그려라.

3

다음이차함수의최댓값과최솟값을구하고, 그때의 x의값을구하여라.

⑴ y=2x¤ ⑵ y=- x¤ +5

⑶ y=2(x-3)¤ -5 ⑷ y=-3(x+1)¤ +4

1134

함수 y=f(x)에서 y가 x

에관한이차식

y=ax¤ +bx+c (a+0, a,

b, c는 상수)로 나타내어

질 때, 이 함수 y=f(x)

를이차함수라고한다.

이차함수

y=a(x-p)¤ +q는

① a>0인 경우, 최솟값

은 x=p일 때 q이고

최댓값은없다.

② a<0인 경우, 최댓값

은 x=p일 때 q이고

최솟값은없다.

㉠ y=2x-5 ㉡ y=3x¤ +1

㉢ y=5 ㉣ y=x¤ (x-2)+1

x

-2

-4

4

2

-2 2 4-4 O

y

목표| 이차함수 y=ax¤ +bx+c를

y=a(x-p)¤ +q의 꼴로 고쳐서 꼭짓점의 좌표

와 축의 방정식을 구하고, 그래프를 그릴 수 있

게 한다.

풀이| ⑴ y=x¤ -2x-3

=(x¤ -2x+1)-1-3

=(x-1)¤ -4

따라서주어진이차함수의식을

y=a(x-p)¤ +q의꼴로바꾸면

y=(x-1)¤ -4이다.

⑵꼭짓점의좌표: (1, -4)

축의방정식: x=1

⑶

-2 2 4-4

2

4

y

x

-2

-4

O

3

목표| 이차함수의 의미를 이해하고, 이차함수를 찾을 수 있

게 한다.

풀이| 이차함수는 y=ax¤ +bx+c (a+0, a, b, c는상수)

로나타낼수있어야하므로㉡이다.

1

목표| 이차함수의 그래프의 축의 방정식과 꼭짓점의 좌표를

구할 수 있게 한다.

풀이| ⑴축의방정식: x=0, 꼭짓점의좌표: (0, 0)

⑵축의방정식: x=0, 꼭짓점의좌표: (0, 2)

⑶축의방정식: x=-4, 꼭짓점의좌표: (-4, 0)

⑷축의방정식: x=2, 꼭짓점의좌표: (2, -3)

2

목표| 이차함수의 최댓값과 최솟값을 구할 수 있게 한다.

풀이| ⑴최솟값은 x=0일때 0이고, 최댓값은없다.

⑵최댓값은 x=0일때 5이고, 최솟값은없다.

⑶최솟값은 x=3일때-5이고, 최댓값은없다.

⑷최댓값은 x=-1일때 4이고, 최솟값은없다.

4중/단/원 기초

(194~245)200교과3 2012.7.24 12:48 AM 페이지227 mac02 T

교과서 124 쪽

중/단/원 기본수 준별

이차함수 y=ax¤ +bx+c의그래프가점 (0, 4), (-2, 20), (2, -4)를지

날때, 이이차함수의식을구하여라.4이차함수 y=ax¤ +bx+c의

그래프

다음보기의이차함수의그래프에대하여물음에답하여라.

⑴아래로볼록한것을모두찾아라.

⑵그래프의폭이가장넓은것과가장좁은것을차례로말하여라.

⑶ x축에대칭인것끼리짝지어라.

1이차함수 y=ax¤의 그래프

이차함수 y=ax¤ +bx+c의그래프는오른쪽그림과

같이점 (0, 1)을지나고, 꼭짓점의좌표가 (2, 5)

이다. 이이차함수의식을구하여라.

2이차함수 y=ax¤ +bx+c의그래프

이차함수 y=x¤ +ax+b의최솟값은 x=1일때 3이다. 이때 a, b의값을구

하여라.5이차함수의 최댓값과 최솟값


이차함수 y=- x¤ +ax+b의그래프가두점 (-4, 0), (0, 2)를지날때,

이그래프의꼭짓점의좌표를구하여라.

1123

y

xO

4

2

-2

-2 2 4

㉠ y=- x¤ ㉡ y=-2x¤ ㉢ y= x¤

㉣ y=- x¤ ㉤ y= x¤ ㉥ y= x¤312113215

215312보

기

228 각론

목표| 이차함수 y=ax¤의 그래프의 성질을 알게

한다.

풀이| ⑴㉢, ㉤, ㉥

⑵그래프의폭이가장넓은것은㉤, 폭이가

장좁은것은㉡이다.

⑶㉠과㉥, ㉢과㉣

1

목표| y축과 만나는 점의 좌표와 꼭짓점의 좌표

를 알 때, 이차함수의 식을 구할 수 있게 한다.

풀이| 꼭짓점의 좌표가 (2, 5)인 이차함수의

식은　y=a(x-2)¤ +5

이함수의그래프가점 (0, 1)을지나므로

1=a(0-2)¤ +5, 4a=-4, a=-1

따라서구하는이차함수의식은　

y=-(x-2)¤ +5이므로　y=-x¤ +4x+1

2

목표| 그래프 위의 세 점을 알 때, 이차함수의 식을 구할 수

있게 한다.

풀이| 이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프가 점 (0, 4),

(-2, 20), (2, -4)를지나므로

4=c

20=4a-2b+c yy①

-4=4a+2b+c yy②

c=4를①, ②에대입하여정리하면

2a-b=8 yy③

2a+b=-4 yy④

③, ④를연립하여풀면　a=1, b=-6

따라서구하는이차함수의식은　y=x¤ -6x+4

4

목표| 그래프 위의 두 점을 알 때, 이차함수의

그래프의 꼭짓점의 좌표를 구할 수 있게 한다.

풀이| y=- x¤ +ax+b의 그래프가 점 (0, 2)를 지나

므로　b=2

y=- x¤ +ax+2의그래프가점 (-4, 0)을지나므로

0=-8-4a+2, a=-

따라서주어진이차함수는

y=- x¤ - x+2=- {x+ }2+

이므로구하는꼭짓점의좌표는　{- , }25114483112

25148

312

112

312

112

312

112

112

3

목표| 이차함수의 최솟값을 알 때, 이차함수의 식을 구할 수

있게 한다.

풀이| 이차함수 y=x¤ +ax+b의 최솟값이 x=1일 때

3이므로　y=(x-1)¤ +3

따라서 y=x¤ -2x+4이므로　a=-2, b=4

5

중/단/원 기본

(194~245)200교과3 2012.7.24 12:48 AM 페이지228 mac02 T


교과서 125 쪽

중/단/원 실력

수준별

원점을꼭짓점으로하고, y축을축으로하는포물선이두점 (-2, 8), (3, k)

를지날때, k의값을구하여라.1

오른쪽그림과같은이차함수

y=- x¤ -2x+1

의 그래프에 대하여 꼭짓점을 A, 그래프의 축과

x축과의교점을 B, 그래프와 y축과의교점을 C라

고할때, 사다리꼴ABOC의넓이를구하여라.

1123

•이차함수 y=ax¤ 의 그래

프는 원점을 꼭짓점으로

하고, y축을 축으로 하는

포물선이다.

•a>0인경우

y=a(x-p)¤ +q의 최솟

값은 x=p일때 q이다.

x

y

O

A

C

B

오른쪽그림에서두이차함수

㈎ y= x¤ +2 ㈏ y= x¤ -1

의 그래프와 두 직선 x=-1, x=2로 둘러싸인 부

분의넓이를구하여라.

1131132

x

y ㈏㈎

O

x=-1 x=2

오른쪽그림은두점 (-1, 5), (2, 2)를지나는이

차함수 y=3x¤ +bx+c의그래프이다. 이함수의최

솟값을구하여라.

4{-1,`5}

{2,`2}

x

y

O

목표| 이차함수의 식을 구하여 문제를 해결할 수 있게 한다.

풀이| 이차함수 y=ax¤ 의 그래프가 점 (-2, 8)을 지나

므로 a=2

따라서 y=2x¤ 의그래프가점 (3, k)를지나므로 k=18

1

목표| 이차함수의 그래프의 평행이동을 이용하여 문제를 해

결할 수 있게 한다.

풀이|

x

y

O

A

BC

D

x=-1 x=2

㈏㈎

앞의 그림과 같이 ㈎, ㈏의 그래프와 직선

x=-1의 교점을 각각 A, B라 하고, ㈎, ㈏

의 그래프와 직선 x=2의 교점을 각각 D, C

라고하자.

y= x¤ +2의그래프는 y= x¤ -1의그래

프를 y축의방향으로 3만큼평행이동한그래

프이므로 앞의 그림에서 빗금 친 부분의 넓

이는서로같다.

따라서 색칠한 부분의 넓이는 평행사변형

ABCD의넓이와같고, AB”=3, (높이)=3이

므로구하는넓이는　3_3=9

113

113

2

목표| 그래프 위의 두 점을 알 때, 이차함수의 최솟값을 구


풀이| 이차함수 y=3x¤ +bx+c의그래프가두점

(-1, 5), (2, 2)를지나므로

5=3-b+c에서　-b+c=2

2=12+2b+c에서　2b+c=-10

두식을연립하여풀면　b=-4, c=-2

따라서이차함수의식은

y=3x¤ -4x-2=3{x- }2-

이므로구하는최솟값은 x= 일때- 이다.101144321

3

10143

213

4

목표| 이차함수의 그래프에서 사다리꼴의 넓이


풀이| y=- x¤ -2x+1=- (x+2)¤ +3

따라서 꼭짓점은 A(-2, 3)이고 그래프의

축과 x축과의 교점은 B(-2, 0), 그래프와

y축과의교점은 C(0, 1)이므로사다리꼴

ABOC의넓이는　 _(3+1)_2=4112

112

112

3

중/단/원 실력

(194~245)200교과3 2012.7.24 12:48 AM 페이지229 mac02 T

230 각론

수행 과제 의도

이 수행 과제는 생활 주변에서 찾을 수 있는 포

물선의 예를 이용하여 식으로 나타내어 봄으로

써 이차함수의 그래프에 관한 내용을 정리하기

위한것이다.

과제 1 _예시

위의 그림과 같이 점 A, B의 중점을 원점으

로 하면 포물선의 꼭짓점의 좌표가 (0, 1)이

므로 y=ax¤ +1로놓자.

수행 과제

과제 2 _예시

y

xO-1

1

A B1

위의 그림과 같이 점 A를 원점으로 하면 포

물선의꼭짓점의좌표가 (1, 1)이므로

y=a(x-1)¤ +1로놓자.

이포물선이점 (0, 0)을지나므로

0=a+1, a=-1

따라서구하는이차함수의식은

y=-(x-1)¤ +1이므로⋯ y=-x¤ +2x

이포물선이점 (1, 0)을지나므로

0=a+1, a=-1


y=-x¤ +1

y

xO

1

A B12

교과서 127 쪽

교과서 126 쪽

학습에 대한 자 /기 /평 /가

점검 항목

이름: ( 학년 반 번)

이차함수의 의미를 이해하였는가?

이차함수 y=ax¤의 그래프를 그릴 수 있는가?

이차함수 y=a(x-p)¤ +q의 그래프를 그릴 수 있는가?

이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프를 그릴 수 있고, 그 성질을 이해하였는가?

이차함수의 최댓값과 최솟값을 구할 수 있는가?

학습 준비물을 잘 준비하였는가?

수업 시간에 적극적으로 참여하였는가?

문제를 풀 때 끈기 있게 도전하였는가?

복습과 예습을 꼼꼼히 하였는가?

학습

내용

학습

태도

도달 정도

재미있었거나어려웠던내용적어보기

더알고싶거나궁금한점적어보기

선생님의견

Ⅲ. 이차함수

스스로평가하기

수행 과제

다음그림과같이농구공이이동한수평거리를 2 m, 농구공이가장높이올라갔을때의높이

와점A의높이의차가 1 m라고하자. 점A, B의중점을원점으로하여농구공의이동경로

를좌표평면위에나타낼때, 이것을나타내는이차함수의식을구하여보자.

과제1

과제 1의그림에서점A를원점으로하여농구공의이동경로를좌표평면위에나타낼때, 이

것을나타내는이차함수의식을구하여보자.과제2

우리 생활 속에서 포물선 또는 비슷한 모양을 쉽게 관찰할 수 있

다. 분수에서떨어지는물줄기, 불꽃놀이의 불꽃, 돌고래가물에

서 비스듬히 솟구쳐 올라 다시 떨어지는 경로 등은 모두 포물선

모양을그린다.

또농구골대를향해던진공은포물선을그리면서공중으로올라

갔다가아래로떨어진다. 이때농구공이그리는포물선을나타내

는이차함수의식을구하여보자.

A B2`m

1`m

생활 속의 포물선

(194~245)200교과3 2012.7.24 16:57 페이지230 mac01 T

교과서 128 쪽

Ⅲ. 이차함수

대단원 핵심 한눈에 보기

●이차함수, 포물선, 축, 꼭짓점, 최댓값, 최솟값

이번단원에서배운 용어와기호

이차함수

함수 y=f(x)에서 y가x에관한이차식

y=ax¤ +bx+c (a+0, a, b, c는상수)

로나타내어질때, 이함수 y=f(x)를이차함

수라고한다.

이차함수의뜻1

이차함수

y=ax¤+bx+c의그래프

⑴이차함수 y=ax¤ +bx+c의그래프는

y=a(x-p)¤ +q의꼴로바꾸어서그린그

래프와같다.

⑵y축과만나는점의좌표는 (0, c)이다.

이차함수 y=ax¤ +bx+c (a+0)의그래프4

이차함수

y=a(x-p)¤+q의그래프

⑴이차함수 y=a(x-p)¤ +q의 그래프는

y=ax¤ 의그래프를x축의방향으로 p만큼,

y축의방향으로 q만큼평행이동한것이다.

⑵직선 x=p를축으로하고, 점 (p, q)를꼭

짓점으로하는포물선이다.

이차함수 y=a(x-p)¤ +q (a+0)의그래프3

최댓값과

최솟값

⑴최댓값: 어떤함수에서 x값의범위에대한

모든함숫값중에서가장큰값

⑵최솟값: 어떤함수에서 x값의범위에대한

모든함숫값중에서가장작은값

이차함수 y=ax¤ +bx+c를

y=a(x-p)¤ +q

의꼴로바꾸었을때,

⑴a>0인 경우, 최솟값은 x=p일 때 q이고

최댓값은없다.

⑵a<0인 경우, 최댓값은 x=p일 때 q이고

최솟값은없다.

이차함수의

최댓값과

최솟값

이차함수의최댓값과최솟값5이차함수의

그래프

⑴포물선: 이차함수 y=ax¤ 의그래프와같은

모양의곡선을포물선이라고한다.

⑵축: 포물선은 한 직선에 대칭인 도형으로

그직선을포물선의축이라고한다.

⑶꼭짓점: 포물선과축의교점을포물선의꼭

짓점이라고한다.

⑴원점을 꼭짓점으로 하고, y축을 축으로 하

는포물선이다.

⑵a>0이면아래로볼록하고, a<0이면위로

볼록하다.

⑶a의절댓값이클수록포물선의폭이좁아진

다.

⑷y=-ax¤ 의그래프와x축에대칭이다.

이차함수

y=ax¤의그래프

이차함수 y=ax¤ (a+0)의그래프2

y

q

p x

a>0

O

yq

p x

a<0

O

교과서 129 쪽

만화로 보는

수학 이야기

포탄이날아가는모양을함수의

식으로나타낼수만있다면…….

나도함수공부좀 할걸…….

포물선의식은

이차함수니까…….

이제넌마지막이다!

포탄을명중시키려면이차함수의식이필요하다. 이식을구하기위해서는무엇을알

아야하는지말하여보자.


지도 내용

만화로 보는 수학 이야기

생각 키/우/기

만화에서 포탄이 날아가는 모양은 포물선이

고, 포물선을 나타내는 식은 이차함수이다.

포탄이 날아가는 모양을 좌표평면 위에 나타

내면 이차함수의 그래프를 이용하여 원하는

위치에포탄을명중시킬수있다.

1. 이차함수의 뜻과 그래프에 관련된 용어를

알고, 이차함수 y=ax¤의그래프의성질을

이해할 수 있도록 한다. 이차함수 y=ax¤

의그래프를평행이동하여이차함수

y=ax¤ +q, y=a(x-p)¤ , y=a(x-p)¤ +q

의 그래프를 그릴 수 있고, 이차함수의 최

댓값과최솟값을구할수있도록한다.

포탄의 날아가는 모양을 좌표평면 위에 나타

낼때, 두 대포의위치의좌표와포탄의최고

높이를알면이차함수의식을구할수있다.

(194~245)200교과3 2012.7.24 12:49 AM 페이지231 mac02 T

교과서 130 쪽대 /단 /원 평가 문제

선/택/형

다음 중에서 y가 x에 관한 이차함수인 것을

모두찾으면? (정답 2개)

①한 변의 길이가 x cm인 정사각형의 둘레

의길이 y cm②가로의길이가 (x+1) cm, 세로의길이가

(x+2) cm인직사각형의넓이 y cm¤③밑변의길이가 6 cm, 높이가 x cm인삼각

형의넓이 y cm¤④반지름의길이가 x cm인원의넓이 y cm¤⑤자동차가 시속 x km로 5시간 동안 달린

거리 y km

1

다음 이차함수의 그래프에 대한 설명 중에서

옳은것은?

①그래프의폭이가장좁은것은㉣이다.

②그래프의폭이가장넓은것은㉠이다.

③㉠과㉡은 x축에대칭이다.

④㉠과㉣은위로볼록하다.

⑤㉢과㉣은직선 x= 를축으로한다.213

3

이차함수 y=f(x)에서 f(x)=2x¤ -3x+1이

라고할때, f(-1)의값은?

① 5 ② 6 ③ 7

④ 8 ⑤ 9

2

다음이차함수가나타내는그래프중에서

y= x¤의그래프를꼭짓점의좌표가

(-2, -3)이되도록평행이동한것은?

① y= (x-2)¤ -3

② y= (x+2)¤ -3

③ y= (x+2)¤ +3

④ y=(x-2)¤ +3

⑤ y=(x+2)¤ -3

112

112

112

1124

다음이차함수가나타내는그래프중에서

y=-2x¤ 의그래프를평행이동하면포개어지

는것은?

① y=2x¤ -4 ② y=2(x-2)¤

③ y=x¤ -2 ④ y=-2x¤ -4x

⑤ y= (x-2)¤ +2112

5

다음중에서이차함수 y=-3(x-1)¤ +2의그

래프에대한설명으로옳지않은것은?

①위로볼록한포물선이다.

②축의방정식은 x=1이다.

③꼭짓점의좌표는 (-1, 2)이다.

④ x<1일때, x의값이증가하면 y의값도증

가한다.

⑤이차함수 y=-3x¤ 의 그래프를 평행이동

한것이다.

6㉠ y=2x¤ ㉡ y=-2x¤

㉢ y=- x¤ ㉣ y= x¤213213

232 각론

대 /단 /원 평가 문제

목표| y를 x에 관한 식으로 나타내고, 이차함수

인지 판단할 수 있게 한다.

풀이| ① y=4x ② y=x¤ +3x+2

③ y=3x ④ y=px¤ ⑤ y=5x 답⃞②, ④

1

목표| 이차함수의 함숫값을 구할 수 있게 한다.

풀이| f(-1)=2_(-1)¤ -3_(-1)+1=6

답⃞②

2

목표| 이차함수의 그래프의 성질을 알게 한다.

풀이| ①폭이가장좁은것은㉠, ㉡이다.

②폭이가장넓은것은㉢, ㉣이다.

④㉠과㉣은아래로볼록한포물선이다.

⑤㉢과㉣은직선 x=0을축으로한다.

답⃞③

3

목표| 이차함수의 그래프가 평행이동하여 서로 포개어지기

위한 조건을 알게 한다.

풀이| x¤의계수가같은식을찾는다. 답⃞④

5


풀이| ③꼭짓점의좌표는 (1, 2)이다. 답⃞③

6

목표| 그래프를 보고 이차함수 y=a(x-p)¤에서 a, p의 부

호를 구할 수 있게 한다.

풀이| 그래프가위로볼록하므로　a<0

그래프의꼭짓점의 x좌표가원점보다오른쪽에있으므로

p>0 답⃞②

7

목표| 이차함수의 그래프의 축의 방정식과 꼭짓점의 좌표를

구할 수 있게 한다.

풀이| y=x¤ +6x+4=(x+3)¤ -5이므로 축의 방정식

은 x=-3이고꼭짓점의좌표는 (-3, -5)이다. 답⃞⑤

9

목표| 이차함수 y=ax¤의 그래프의 평행이동을 이용하여 문

제를 해결할 수 있게 한다.

풀이| m=-4, n=-3이므로　m+n=-7 답⃞①

8

목표| 이차함수 y=ax¤의 그래프를 평행이동한 그래프를 나

타내는 식을 구할 수 있게 한다.

풀이| y= x¤의 그래프를 x축과 y축의 방향으로 각각

-2, -3만큼평행이동하면꼭짓점의좌표가 (-2, -3)

이된다. 즉, 평행이동한이차함수의식은　

y= (x+2)¤ -3 답⃞②112

112

4

(194~245)200교과3 2012.7.24 12:49 AM 페이지232 mac02 T


교과서 131 쪽Ⅲ. 이차함수

이차함수 y=ax¤ +bx+c

의 그래프가 오른쪽 그림

과 같을 때, 이 이차함수의

식을구하여라.

11

이차함수 y=2(x-1)¤ -3의 그래프를 x축,

y축의 방향으로 각각 -3, 4만큼 평행이동한

그래프가 점 (a, 9)를 지날 때, a의 값을 구

하는풀이과정과답을서술하여라.

13

농구골대를향해비스듬히던진공의 t초후

의 높이를 h m라고 할 때, t와 h 사이에는

h=-5t¤ +10t+1인 관계가 성립한다고 하

자. 이공의최고높이를구하여라.

12

최솟값은 x=-1일때-3이고, 그래프가점

(1, 5)를지나는이차함수 y=ax¤ +bx+c에

대하여 a+b+c의 값을 구하는 풀이 과정과

답을서술하여라.

14

서/답/형오른쪽그림은이차함수

y=a(x-p)¤ 의 그래프이

다. a, p의부호는?

① a<0, p<0

② a<0, p>0

③ a>0, p<0

④ a>0, p>0

⑤ a<0, p=0

7

이차함수 y=2x¤ 의그래프를 x축의방향으로

m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동하였

더니 y=2(x+4)¤ -3의그래프가되었다. 이

때m+n의값은?

①-7 ②-5 ③-1

④ 1 ⑤ 7

8

이차함수 y=x¤ +6x+4의그래프의축의방정

식과꼭짓점의좌표를차례로구하면?

① x=3, (3, 5)

② x=3, (3, -5)

③ x=3, (-3, -5)

④ x=-3, (-3, 5)

⑤ x=-3, (-3, -5)

9

이차함수 y=-x¤ +6x+3에서 x의 값이 증

가할때, y의값이감소하는 x값의범위는?

① x>0 ② x<3

③ x>3 ④ x<6

⑤ 0<x<6

10

y

xO

x

y

O

22

-2

|서술형|

|서술형|

목표| 이차함수의 그래프에서 x의 값이 증가할 때, y의 값이

감소하는 x값의 범위를 구할 수 있게 한다.

풀이| y=-x¤ +6x+3=-(x-3)¤ +12의 그래프는 꼭

짓점이 (3, 12)이고 위로 볼록한 포물선이다. 따라서 x

의 값이 증가할 때, y의 값이 감소하는 x값의 범위는

x>3이다. 답⃞③

10

영역 요소

해결과정

답구하기

채점요소

평행이동한이차함수의식구하기㉠

a의값구하기 ㉡

배점

70`%

30`%

채점기준

목표| 이차함수의 식을 구할 수 있게 한다.

풀이| 주어진그래프의꼭짓점의좌표가 (2, -2)이므로

y=a(x-2)¤ -2

그래프가 y축과 만나는 점의 좌표가 (0, 2)이므로

2=a(0-2)¤ -2, a=1

따라서구하는이차함수의식은　

y=(x-2)¤ -2=x¤ -4x+2

답⃞ y=x¤ -4x+2

11

목표| 이차함수의 최댓값을 구할 수 있게 한다.

풀이| h=-5t¤ +10t+1=-5(t-1)¤ +6이

므로최고높이는 6 m이다.

답⃞ 6 m

12

목표| 이차함수의 그래프의 평행이동을 이용하

여 문제를 해결할 수 있게 한다.

풀이| 주어진 그래프를 x축, y축의 방향으로

각각 -3, 4만큼 평행이동하면 꼭짓점의 좌

표가 (1, -3)에서 (-2, 1)로옮겨지므로평

행이동한이차함수의식은　

y=2(x+2)¤ +1 y㉠

그래프가점 (a, 9)를지나므로　

9=2(a+2)¤ +1, 9=2a¤ +8a+9

2a(a+4)=0

a=0 또는 a=-4 y㉡

답⃞ a=0 또는 a=-4

13

목표| 이차함수의 식을 구할 수 있게 한다.

풀이| 이차함수 y=ax¤ +bx+c는 x=-1일 때 최솟값

-3을가지므로꼭짓점의좌표는 (-1, -3)이다.

y=a(x+1)¤ -3 y㉠

그래프가점 (1, 5)를지나므로　5=a(1+1)¤ -3

a=2 y㉡

따라서 y=2(x+1)¤ -3=2x¤ +4x-1에서 y㉢

a=2, b=4, c=-1이므로　a+b+c=5 y㉣

답⃞ 5

14

영역 요소

해결과정

답구하기

채점요소

y=a(x+1)¤ -3으로나타내기 ㉠

a의값구하기 ㉡

y=2x¤ +4x-1로나타내기 ㉢

a+b+c의값구하기 ㉣

배점

30`%

30`%

20`%

20`%

채점기준

(194~245)200교과3 2012.8.17 4:43 AM 페이지233 mac02 T

교과서 133 쪽

교과서 132 쪽

이차함수의 그래프

2 이차함수의그래프에대하여알아보자.

1.이차함수 y=x¤ , y=x¤ -1, y=x¤ +1, y=x¤ +2, y=x¤ +3의그래프를하나의좌표평

면위에그려보면, y=x¤ +q의그래프는모두 y=x¤ 의그래프를 y축의방향으로 q만큼

평행이동한것임을알수있다.

2.이차함수 y=x¤ , y=(x+1)¤ , y=(x-1)¤ , y=(x-2)¤ , y=(x-3)¤ 의그래프를하나

의좌표평면위에그려보면, y=(x-p)¤의그래프는모두 y=x¤의그래프를 x축의방향

으로 p만큼평행이동한것임을알수있다.

컴퓨터를활용하여이차함수의그래프에대한다양한학습활동과흥미있는경험을할수있다. 적절한소

프트웨어를이용하여이차함수의그래프에대하여알아보자.

컴퓨터로이차함수의그래프를그려보자.

컴 퓨 터 의 활용

1 이차함수 y=x¤ , y=2x¤의그래프를하나의좌표평면위에그려보자.

1.이차함수 y=x¤의그래프를그려보자.

이차함수 y=x¤ 의그래프를그리기위하여초기화면의수식입력란에‘x^2’를입력하

고, 아이콘 을누르거나 를누르면그래프창에그래프가그려진다.Enter

2.이차함수 y=2x¤의그래프를그려보자.

이차함수 y=x¤ 의그래프가그려진상태에서수식입력란에‘2x^2’를입력하고, 아이

콘 을누르거나 를누르면그래프창에이차함수 y=2x¤ 의그래프가함께그려

진다.

Enter

234 각론

(194~245)200교과3 2012.7.24 12:49 AM 페이지234 mac02 T

교과서 134 쪽

지구의날씨가변하는주된원인은태양으로부터오는열이다. 지구가자전하

면서낮과밤이생기고태양의주위를공전하면서계절의변화가생기는데, 이때지

구가태양으로부터받는열량의차이가발생한다. 즉, 대륙과바다, 적도와극지방과

같이지역조건에따른열적불균형이일어나는데, 이와같은불안정한상태가균형

을이루기위하여대기가대류하면서비나눈이내리고, 바람이불고, 태풍이생기는

등날씨의변화가생기게된다.

태풍은최대풍속이초속 17 m 이상인열대저기압을말하며, 한해에보통 3개

정도의태풍이우리나라에영향을미친다.

1959년 9월제주및남해안지방을강타하여낙동강과섬진강을범람시킨태풍

‘사라(SARAH)’는우리나라에매우큰피해를입힌태풍으로손꼽힌다. 이태풍은

약 2760억원(2006년환산가격기준)의재산피해와 849명이사망하거나실종하는

인명피해를입혔다. 또 2002년 8월에발생한‘루사(RUSA)’는약 5조 8329억원

(2006년환산가격기준)의엄청난재산피해를입혔다.

한편 1936년 8월에발생한태풍은 1232명이사망하거나실종된것으로기록되어

있는데당시에는태풍에이름을붙이지않아태풍 3693호로기록되어있다.

수

학

산

책

포물선을그리며

이동하는태풍

교과서 135 쪽

태풍은며칠동안계속되고같은지역에서동시에여러개의태풍이있을수있기

때문에혼동하지않도록 1953년부터태풍에이름을붙이기시작하였다. 북서태평

양에서발생하여주로우리나라에영향을미치는태풍의이름은 1999년까지괌에

위치한미국합동태풍경보센터에서정한이름을사용하였다.

그러나 2000년부터는아시아태풍위원회에서아시아각국국민들의태풍에대한

관심을높이고태풍경계를강화하기위해서태풍의이름을아시아 14개국의고유한

이름으로변경하여사용하고있다.

우리나라에서는‘개미’, ‘나리’, ‘장미’, ‘미리내’, ‘노루’, ‘제비’, ‘너구리’, ‘고

니’, ‘메기’, ‘독수리’등의이름을제출하였고, 북한에서도‘기러기’등 10개의이

름을제출하여한국어이름의태풍이많아졌다.

북태평양에서발생한태풍이진행하는경로를살펴보면포물선형태를그리며이

동한다는것을알수있다. 대부분의태풍이포물선궤도를그리며진행하므로그궤

도를연장하여앞으로어느곳을지나갈것인지예측할수있다.

오른쪽그림에서태풍은북쪽으로이동하고있

다. 이때처음에태풍이북서방향으로이동하는

것은이위도대에불고있는북동무역풍때문이

며, 위도 30˘ 이후에는편서풍대로들어가므로태

풍의방향은북동쪽으로바뀌게된다. 따라서태

풍이그림과같이포물선형태를그리며움직이게

되는것이다.

편서풍대

북반구

무역풍대

30æ

‘커다란바람’이라는뜻으로‘클태(太)’자를사

용한‘태풍(太風)’으로 잘못 알고 있는 경우가

있다. 그러나 태풍은 한자로‘颱風’으로 쓰며,

이때사용된‘태’자는‘태풍태(颱)’이다.

참고


(194~245)200교과3 2012.7.24 12:49 AM 페이지235 mac02 T

236 각론

1 다음중에서이차함수를모두찾으면? (정답 2개)

[5점]

① y= +1 ② y=3x¤ +5x

③ y=(x+3)¤ -x¤ ④ y=2

⑤ y=5-x¤

114x¤

5 다음 이차함수의 그래프 중에서 아래로 볼록한

것을모두고르면? (정답 2개) [5점]

① y= x¤ ② y=-5x¤ ③ y=7x¤

④ y=-3x¤ ⑤ y=-8x¤

112

6 다음 중에서 이차함수의 그래프의 폭이 넓은 것

부터차례로나열한것은? [5점]

①㉠, ㉢, ㉤, ㉡, ㉣ ②㉠, ㉣, ㉢, ㉡, ㉤

③㉣, ㉡, ㉤, ㉢, ㉠ ④㉤, ㉡, ㉢, ㉣, ㉠

⑤㉤, ㉢, ㉡, ㉣, ㉠

2 함수 y=(a-2)x¤ +(a-1)x-2가 이차함수일

때, a의값이될수없는것은? [5점]

①-2 ②-1 ③ 0

④ 1 ⑤ 2

3 다음중에서 y가 x에관한이차함수인것은? [5점]

①둘레의 길이가 30 cm인 직사각형의 가로의

길이 x cm와세로의길이 y cm

②밑변의 길이가 x cm이고, 높이가 4 cm인 삼

각형의넓이 y cm¤

③ x개의변을가진다각형의대각선의총수 y개

④한변의길이가x cm인정육면체의부피 y cm‹

⑤반지름의 길이가 x cm인 원의 둘레의 길이

y cm

4 이차함수 f(x)=2x¤ -3x-1에서 f(a)=1일

때, 정수 a의값은? [5점]

①-1 ② 0 ③ 1

④ 2 ⑤ 3

8 다음이차함수가나타내는그래프중에서

y=-2(x+3)¤ -5의그래프를평행이동하면포

개어지는것은? [5점]

① y=x¤ +3x+1 ② y=-(x-1)¤

③ y=2x¤ -4 ④ y=-2x¤ +1

⑤ y=4(x-3)¤ +1

단 / 원 / 종 / 합 / 평 / 가

선/택/형

㉠ y= x¤ ㉡ y=- x¤ ㉢ y= x¤

㉣ y=-x¤ ㉤ y= x¤114

213

112

312

7 다음조건을만족시키는그래프를나타내는이차

함수의식은? [6점]

① y=- (x-3)¤ ② y=- (x+3)¤

③ y=- (x-3)¤ ④ y=- (x+3)¤

⑤ y= (x-3)¤213

312312

213213

•축의방정식은 x=3이다.

•위로볼록한포물선이다.

•그래프의폭이 y=-x¤ 의그래프의폭보다

좁다.

(194~245)200교과3 2012.7.24 12:49 AM 페이지236 mac02 T


9 이차함수 y=-2x¤ +4x+1의 최댓값을 a라 하

고, 이차함수 y=2x¤ -4x의 최솟값을 b라고 할

때, a-b의값은? [6점]

① 5 ② 6 ③ 7

④ 8 ⑤ 9

Ⅲ. 이차함수

60점 미만이면 하·수준문제를, 60점 이상 80점 미만이면 중·수준문제를,

80점 이상이면상·수준문제를풀어보세요.

10다음중에서이차함수 y=2x¤ -12x+22의그래

프에대한설명으로옳은것은? [6점]

①위로볼록한포물선이다.

②이차함수 y=-2x¤ 의그래프보다폭이넓다.

③축의방정식은 x=3이다.

④꼭짓점의좌표는 (3, -4)이다.

⑤최댓값은 x=3일때 4이다.

14다음이차함수의최댓값과최솟값을구하여라.

[8점]

⑴ y=3(x-3)¤ +4

⑵ y=- x¤ +4x113

15이차함수 y=-(x-2)¤ -1의 그래프를 x축의

방향으로 -4만큼, y축의 방향으로 5만큼 평행

이동한 그래프의 꼭짓점의 좌표를 (p, q), 축의

방정식을 x=m이라고할때, 상수 p, q, m의합

p+q+m의값을구하는풀이과정과답을서술

하여라. [9점]

16이차함수 y=ax¤ +q의그래프가두점

(-2, 25), (-1, 1)을 지날 때, 이 이차함수의

최댓값과 최솟값을 구하는 풀이 과정과 답을 서

술하여라. [9점]

13이차함수 y=a(x-p)¤ +q

의 그래프가 오른쪽 그림과

같을 때, 이 이차함수의 식

을구하여라. [7점]

11다음이차함수의그래프의축의방정식과꼭짓점

의좌표를구하여라. [6점]

⑴ y=2x¤ -3

⑵ y=-2(x-4)¤ +6

12다음 이차함수의 그래프를 x축, y축의 방향으로

[ ] 안의 값만큼평행이동한그래프를나타내는

이차함수의식을구하여라. [8점]

⑴ y=2x¤ [-1, 3]

⑵ y=- x¤ [2, -1]113

서/답/형

y

xO 21

-7

|서술형|

|서술형|

(194~245)200교과3 2012.7.24 12:49 AM 페이지237 mac02 T

238 각론

단 / 원 / 종 / 합 / 평 / 가

하·수준

1 다음중에서이차함수를모두찾아라.

3 다음이차함수의그래프중에서지나는사분면이다른하나를찾아라.

2 다음중에서이차함수 y=3x¤ 의그래프에대한설명으로옳은것을찾아라.

4 이차함수 y= x¤의그래프를 x축의방향으로 만큼, y축의방향으로-3만큼평

행이동한그래프를나타내는이차함수의식을구하여라.

113115

5 이차함수 y= x¤ -4x+2가 x=p에서최솟값 q를갖는다고할때, p+q의값을구

하여라.

112

㉠ y=3x-5 ㉡ y=3x¤ +4x ㉢ y=-5

㉣ y= ㉤ y= x-5 ㉥ y=-4x¤ +611231

x

㉠ y=-3x¤ ㉡ y=-2x¤ ㉢ y=- x¤

㉣ y=-0.2x¤ ㉤ y= x¤113

114

ㄱ. x축에대칭이다.

ㄴ. 점 (-2, -12)를지난다.

ㄷ. y=-4x¤ 의그래프보다폭이좁다.

ㄹ. 위로볼록한그래프이다.

ㅁ. x<0일때, x의값이증가하면 y의값은감소한다.

(194~245)200교과3 2012.7.24 12:49 AM 페이지238 mac02 T


중·수준

1 다음중에서 y가 x에관한이차함수인것을모두찾아라.

4 다음 중에서 이차함수 y=2x¤ -12x+16의 그래프에 대한 설명으로 옳지 않은 것

을찾아라.

3 이차함수 y=3x¤ +bx+c에서 x=1일 때 y=0이고, x=2일 때 y=4라고 한다.

x=0일때, y의값을구하여라.

2 이차함수 y=x¤ 과 y=ax¤ 의그래프가오른쪽그림과같을

때, 실수 a값의범위를구하여라.

5 이차함수 y=ax¤ -2x-3의그래프가점 (3, 0)을지날때, 이 이차함수의최솟값

을구하여라.

ㄱ. 반지름의길이가 x cm인구의겉넓이 y cm¤

ㄴ. 자동차가시속 100 km로 x시간동안달린거리 y km

ㄷ. 반지름의길이가 x cm, 높이가 10 cm인원기둥의부피 y cm‹

ㄹ. 가로의길이가 2x cm, 세로의길이가 (x+3) cm인직사각형의둘레의길이

y cm

ㅁ. 아랫변의 길이가 x cm, 윗변의 길이가 (x-2) cm, 높이가 4 cm인 사다리

꼴의넓이 y cm¤

ㄱ. 축의방정식은 x=-3이다.

ㄴ. y축과의교점의좌표는 (0, 16)이다.

ㄷ. 그래프는제1, 2, 3사분면을지난다.

ㄹ. y=2x¤ 의그래프를평행이동한것이다.

O x

yy=x@ y=ax@

(194~245)200교과3 2012.7.24 12:49 AM 페이지239 mac02 T

240 각론

상·수준

1 한변의길이가 4 cm인정사각형에서가로의길이는매분 3 cm씩, 세로의길이는

매분 2 cm씩동시에늘어난다고한다. x분후직사각형의넓이를 y cm¤ 라고할때,

다음물음에답하여라.

⑴ y를 x에관한식으로나타내어라.

⑵ y는 x에관한이차함수인가?

2 원점을 꼭짓점으로 하고, y축을 축으로 하는 포물선이 두 점 (2, 12), (-3, k)를

지날때, k의값을구하여라.

3 이차함수 y=x¤ -4x+7의그래프를 x축의방향으로 1만큼, y축의방향으로 2만큼

평행이동한그래프의꼭짓점의좌표를 (p, q), 축의 방정식을 x=m이라고할때,

p+q+m의값을구하여라.

5 이차함수 y=x¤ +2x+6a-b의최솟값이 6, 이차함수 y=-x¤ +6x+a+b의최댓

값이 16일때, 상수 a, b의곱 ab의값을구하여라.

4 이차함수 y=-2x¤ +12x+32의그래프가오른쪽그림과같

다. 이 포물선의 꼭짓점을 A, y축과 만나는 점을 B, x축과

만나는두점을각각 C, D라고할때, 사각형ABCD의넓이

를구하여라.

O x

y A

B

C D

(194~245)200교과3 2012.7.24 12:49 AM 페이지240 mac02 T


단원 종합 평가·해설

목표| 이차함수를 찾을 수 있게 한다.

풀이| ③ y=(x+3)¤ -x¤ 에서　y=6x+9

답⃞②, ⑤

1

목표| 이차함수가 되기 위한 조건을 알게 한다.

풀이| x¤의계수에서 a-2+0이므로　a+2

답⃞⑤

2

목표| 실생활에서 두 변수 사이의 관계를 식으로 나타

내고, 이차함수를 찾을 수 있게 한다.

풀이| ① y=15-x ② y=2x

③ y= ④ y=x‹ ⑤ y=2px

답⃞③

x(x-3)11112

3

목표| 이차함수의 식을 보고 그래프의 폭을 비교할 수

있게 한다.

풀이| 이차함수 y=ax¤ 의 그래프에서 a의 절댓값

이 작을수록 폭이 넓어지므로 그래프의 폭이 넓은

것부터차례로나열하면㉤, ㉡, ㉢, ㉣, ㉠이다.

답⃞④

6

목표| 조건에 맞는 이차함수의 식을 구할 수 있게 한다.

풀이| 축의 방정식이 x=3이고 위로 볼록한 것은

①, ③이고, 이 중 그래프의 폭이 y=-x¤ 의 그래

프의폭보다좁은것은③이다.

답⃞③

7

목표| 이차함수의 그래프가 평행이동하여 서로 포개어

지기 위한 조건을 알게 한다.

풀이| x¤의계수가같은식을찾는다. 답⃞④

8

목표| 이차함수의 식에서 최댓값과 최솟값을 구할 수

있게 한다.

풀이| y=-2x¤ +4x+1=-2(x-1)¤ +3

따라서최댓값은 x=1일때 3이므로　a=3

y=2x¤ -4x=2(x-1)¤ -2

따라서최솟값은 x=1일때-2이므로　b=-2

a-b=3-(-2)=5 답⃞①

9

목표| 이차함수의 함숫값을 이용하여 미지수를 구할 수

있게 한다.

풀이| f(a)=2a¤ -3a-1=1, (a-2)(2a+1)=0

a=2 또는 a=-

그런데 a는정수이므로　a=2

답⃞④

112

4

목표| 이차함수의 식을 보고 아래로 볼록한 그래프를

찾을 수 있게 한다.

풀이| 이차함수 y=ax¤ 의 그래프는 a>0이면 아래

로볼록하다.

답⃞①, ③

5


풀이| y=2x¤ -12x+22=2(x-3)¤ +4

①아래로볼록한포물선이다.

② y=-2x¤ 과 주어진 이차함수는 x¤의 계수의 절

댓값이같으므로그래프의폭은서로같다.

④꼭짓점의좌표는 (3, 4)이다.

⑤최솟값은 x=3일때 4이고, 최댓값은없다.

답⃞③

10

목표| 이차함수의 그래프의 축의 방정식과 꼭짓점의 좌

표를 구할 수 있게 한다.

답⃞⑴축의방정식: x=0, 꼭짓점의좌표: (0, -3)

⑵축의방정식: x=4, 꼭짓점의좌표: (4, 6)

11

목표| 이차함수 y=ax¤의 그래프를 평행이동한 그래프

를 나타내는 이차함수의 식을 구할 수 있게 한다.

답⃞⑴ y=2(x+1)¤ +3 ⑵ y=-;3!;(x-2)¤ -1

12

목표| 이차함수의그래프를보고식을구할수있게한다.

풀이| 꼭짓점의좌표가 (2, 1)이므로　

y=a(x-2)¤ +1

이그래프가점 (0, -7)을지나므로　

-7=a(0-2)¤ +1, a=-2


y=-2(x-2)¤ +1 답⃞ y=-2(x-2)¤ +1

13

(194~245)200교과3 2012.7.24 12:49 AM 페이지241 mac02 T

242 각론

목표| 이차함수를 찾을 수 있게 한다.

풀이| 이차함수는 y=ax¤ +bx+c (a+0, a, b, c는

상수)로 나타낼 수 있어야 한다. 따라서 이차함수

는㉡, ㉥이다.

답⃞㉡, ㉥

1

목표| 이차함수 y=ax¤의 그래프를 그릴 수 있게 한다.

풀이| ㉠, ㉡, ㉢, ㉣제3, 4사분면을지난다.

㉤제1, 2사분면을지난다.

답⃞㉤

3

목표| 이차함수의 최솟값을 구할 수 있게 한다.

풀이| y= x¤ -4x+2= (x-4)¤ -6

따라서주어진이차함수가 x=4에서최솟값 -6을

가지므로　p=4, q=-6

p+q=-2

답⃞-2

112

112

5

목표| 이차함수 y=ax¤의 그래프의 성질을 알게 한다.

풀이| ㄱ. y축에대칭이다.

ㄴ. y=3x¤ 에 x=-2를 대입하면 y=12이므로 점

(-2, 12)를지난다.

ㄷ. 이차함수 y=ax¤ 의 그래프에서 a의 절댓값이

클수록 포물선의 폭이 좁아지므로 y=3x¤ 의 그

래프는 y=-4x¤ 의그래프보다폭이넓다.

ㄹ. 이차함수 y=ax¤의그래프는 a>0일때아래로

볼록하므로주어진그래프는아래로볼록하다.

ㅁ. 이차함수 y=3x¤ 의 그래프는 y축을 축으로 하

고 아래로 볼록하므로 x<0일 때, x의 값이 증

가하면 y의값은감소한다.

답⃞ㅁ

2

목표| 이차함수 y=ax¤의 그래프를 평행이동한 그래프

를 나타내는 이차함수의 식을 구할 수 있게 한다.

답⃞ y=;5!; {x-;3!;}2 -3

4

하·수준목표| 이차함수의최댓값과최솟값을구할수있게한다.

풀이| ⑵ y=- x¤ +4x=- (x-6)¤ +12이므로

최댓값은 x=6일때 12이고, 최솟값은없다.

답⃞⑴최솟값: 4, 최댓값은없다. ⑵최댓값: 12, 최솟값은없다.

113

113

14

목표| 이차함수의 주어진 조건을 이용하여 문제를 해결


풀이| y=-(x-2)¤ -1의 그래프를 x축의 방향으

로 -4만큼, y축의 방향으로 5만큼 평행이동하면

꼭짓점의 좌표가 (2, -1)에서 (-2, 4)로 옮겨지

므로평행이동한이차함수의식은

y=-(x+2)¤ +4 y㉠

축의방정식은 x=-2이므로　

p=-2, q=4, m=-2 y㉡

p+q+m=-2+4+(-2)=0 y㉢

답⃞ 0

15

목표| 이차함수의 그래프가 지나는 점을 이용하여 미지

수를 구한 후, 최댓값과 최솟값을 구할 수 있게 한다.

풀이| 이차함수 y=ax¤ +q의그래프는두점

(-2, 25), (-1, 1)을지나므로

25=4a+q

1=a+q

두식을연립하여풀면

a=8 y㉠

q=-7 y㉡

따라서 y=8x¤ -7의 그래프는 꼭짓점의 좌표가

(0, -7)인 아래로 볼록한 포물선이므로 최솟값은

x=0일때-7이고최댓값은없다. y㉢

답⃞최솟값: -7, 최댓값은없다.

16

영역 요소

해결과정

답구하기

채점요소

a의값구하기 ㉠

q의값구하기 ㉡

최댓값과최솟값구하기 ㉢

배점

3점

3점

3점

채점기준

영역 요소

해결과정

답구하기

채점요소

평행이동한이차함수의식구하기 ㉠

p, q, m의값구하기 ㉡

p+q+m의값구하기 ㉢

배점

4점

3점

2점

채점기준

(194~245)200교과3 2012.7.24 12:49 AM 페이지242 mac02 T


목표| 실생활에서 두 변수 사이의 관계를 식으로 나타

내고, 이차함수를 찾을 수 있게 한다.

풀이| ㄱ. y=4px¤ ㄴ. y=100x ㄷ. y=10px¤ㄹ. y=6x+6 ㅁ. y=4x-4 답⃞ㄱ, ㄷ

1

중·수준

목표| 이차함수의 함숫값을 이용하여 미지수를 구할 수

있게 한다.

풀이| x=1일때 y=0이므로　0=3+b+c

x=2일때 y=4이므로　4=12+2b+c

두식을연립하여풀면 b=-5, c=2이므로　

y=3x¤ -5x+2

따라서 x=0일때 y=2이다. 답⃞ 2

3


풀이| 주어진 y=ax¤ 의 그래프는 y=x¤ 의 그래프

보다폭이넓고, 아래로볼록하므로　0<a<1

답⃞ 0<a<1

2


풀이| y=2x¤ -12x+16=2(x-3)¤ -2

ㄱ. 축의방정식은 x=3이다.

ㄷ. 주어진그래프는제1, 2, 4사분면을지난다.

답⃞ㄱ, ㄷ

4

목표| 이차함수의 최솟값을 구할 수 있게 한다.

풀이| y=ax¤ -2x-3의 그래프가 점 (3, 0)을 지

나므로　0=9a-6-3, a=1

따라서 y=x¤ -2x-3=(x-1)¤ -4이므로 최솟값

은 x=1일때-4이다. 답⃞-4

5

목표| y를 x에 관한 식으로 나타내고, 이차함수인지 판

단할 수 있게 한다.

풀이| ⑴ x분후가로, 세로의길이는각각

(4+3x) cm, (4+2x) cm이므로

y=(4+3x)(4+2x)=6x¤ +20x+16

⑵ y가 x에관한이차식이므로이차함수이다.

답⃞⑴ y=6x¤ +20x+16 ⑵이차함수이다.

1

목표| 이차함수의 식을 구하여 문제를 해결할 수 있게

한다.

풀이| 구하는 이차함수의 식은 y=ax¤ 의 꼴로, 점

(2, 12)를지나므로　12=4a, a=3

따라서이차함수의 식은 y=3x¤ 이고, 이 함수의그

래프가점 (-3, k)를지나므로　

k=3_(-3)¤ =27 답⃞ 27

2

목표| 이차함수의 그래프의 성질을 이용하여 도형의 넓

이를 구할 수 있게 한다.

풀이| y=-2x¤ +12x+32=-2(x-3)¤ +50이므

로꼭짓점의좌표는　A(3, 50)

x=0을 대입하면 y=32이므로 y축과 만나는 점은

B(0, 32)

y=0을대입하면　0=-2x¤ +12x+32

x¤ -6x-16=0, (x+2)(x-8)=0

x=-2, x=8

따라서 x축과만나는두점은　C(-2, 0), D(8, 0)

□ABCD

=△BCO+△ABO+△AOD

= _2_32+ _3_32+ _8_50=280

답⃞ 280

112

112

112

4

목표| 이차함수의 그래프를 평행이동할 수 있게 한다.

풀이| y=x¤ -4x+7=(x-2)¤ +3의그래프를

x축, y축의 방향으로 각각 1, 2만큼 평행이동하면

꼭짓점의좌표가 (2, 3)에서 (3, 5)로옮겨지므로　

p=3, q=5

y=(x-3)¤ +5이므로축의방정식은　x=3

m=3

p+q+m=3+5+3=11 답⃞ 11

3

상·수준목표| 이차함수의 최댓값과 최솟값을 이용하여 미지수


풀이| y=x¤ +2x+6a-b=(x+1)¤ +6a-b-1의

최솟값이 6이므로　6a-b-1=6 yy①

y=-x¤ +6x+a+b=-(x-3)¤ +a+b+9의 최

댓값이 16이므로　a+b+9=16 yy②

①, ②를연립하여풀면　a=2, b=5

따라서 ab=10이다. 답⃞ 10

5

(194~245)200교과3 2012.7.24 12:49 AM 페이지243 mac02 T

꼭짓점을 맞혀라!

2명이다음과같은게임을하여보아라.

게임으로 익히는 수/학/원/리

준비물

-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4가적힌돌림판 1개, 다음 10개의이차함수의식이적힌카드 3벌(30장)

y=2(x-1)¤ +2, y=x¤ -4x+4, y=5x¤ +3, y=-(x+1)¤ +4, y=x¤ +2x+1

y=x¤ +6x+9, y=-7x¤ -3, y=(x-3)¤ +1, y= (x+2)¤ -1, y=-3(x-4)¤ -2⋯112

게임규칙

1

3

2

4

30장의카드를잘섞어서가운데에뒤집어놓은다음가위바위보를하여순서를정한다.

돌림판을 2번돌려서첫번째나온값을 x좌표, 두번째나온값을 y좌표라고한다.

30장의카드중에서한장을뽑는다. 이때카드에적힌이차함수의그래프의꼭짓점의좌표가 에서나온

것과같으면뽑은사람이카드를가진다. 하지만꼭짓점의좌표가아니면그카드는다시가운데에뒤집어놓

는다.

더이상뽑을카드가없으면게임은끝난다. 이때카드를많이가지고있는사람이이긴다.

2

244 각론

(194~245)200교과3 2012.7.24 12:49 AM 페이지244 mac02 T

胡蝶之夢한자로 호접(胡蝶)이라고 하는 나비는 나방과 함께

나비목을 구성하며, 거의 전 세계에 분포한다. 나비는

생긴모습이아름답고귀여우며연약하기때문에예로

부터시나소설또는이야기의소재가되고있다. 그가

운데하나는꿈에관한것으로“장자(莊子)”의‘제물론

(齊物論)’에는다음과같은이야기가있다.

어느날장자는자기가나비가되어꽃과꽃사이를

훨훨 날아다니며 즐거운 한때를 보내는 꿈을 꾸었다.

그러다가 문득 꿈에서 깨어 보니 자기는 분명 장자였

다. 그래서장자는꿈속에서자기가나비가된것인지,

아니면자기는나비이고그나비인자기가꿈속에서장

자가된것인지알쏭달쏭하였다.

유명한 이 이야기는 자기와 다른 이의 구별이 없는

이상적인 세계에 대한 장자의 우화적인 비유이다. 이

고사를 일컬어 나비가 된 꿈, 즉‘호접지몽(胡蝶之夢)’

이라고한다. 요즘에는인생의덧없음을비유하는말로

사용되고 있으나 원래는 물아일체(物我一體)의 경지를

이르는말이다.

수학에서나비와관련된용어인‘나비효과’는카오

스에서 나오는 것으로, 요즘 많이 소개되고 있는 현대

적인‘카오스’에대하여간단히알아보자. 고전적인카

오스는우주의질서가창조되었다는의미를가지는것

에비하여, ‘결정론적카오스’라불리는현대적인카오

스는단순한혼돈이나무질서가아닌거대한창조성의

의미를내포하고있다. 카오스에대하여누구라도납득

할수있을만큼정확한수학적정의를내릴수는없다.

하지만다음과같은카오스의정의가가장그럴듯하다

고 알려져 있다. “카오스란 어떤 체계가 확고한 규칙

(결정론적 법칙)에 따라 변화하고 있음에도 불구하고,

매우복잡하고불안정한행동을보여서먼미래의상태

를전혀예측할수없는현상이다.”

카오스 이론 중에 기상학자 로렌츠가 이름 붙인 나

비효과가있다. “우리나라에서한마리의나비가날갯

짓을하여일으키는미세한공기의흐름이태평양을건

너 미국 대륙을 휩쓸어 버릴 정도의 태풍을 만들지도

모른다.”이것은 실로 엄청난 결과이다. 사실 이런 결

과들은초기조건에따라시간이지나면크게확대된다

는것이므로일기예보는어느정도카오스적이라고할

수있다. 그러나기후의동력학이실제로카오스적인지

에대하여는아직까지도분명하게밝혀지지않았다.

나비 효과가 적용되는 흥미로운 것 중 하나는 교통

흐름에 관한 것이다. 자동차들이 고속 도로를 시속

100 km의 속도로 달리고 있을 때, 자동차 한 대가 무

심코브레이크를살짝밟았다놓으면그지점에서부터

약 30 km 뒤에서 달리고있던 차들은완전히 서게된

다는것이다. 차를타고가다보면이런일은자주발생

한다. 즉, 아무런이유없이일정한구간에서차가지체

되었다가그구간을지나면바로흐름이좋아지는것이

바로실생활에서일어나는나비효과이다.

우리가 살고 있는 이 세상은 카오스적이다. 이것은

결과가 원인에 비례하지 않는 세계라는 의미이다. 즉,

세상의거의모든현상은선형(비례관계)이아니라비

선형이다. 그러므로 카오스 이론에 의하면 먼 미래를

현재의상태로는예측할수없다.

호접지몽(胡蝶之夢)과카오스

고사성어로 익히는 수학 이야기

호접지몽(胡蝶之夢) 胡(오랑캐 호), 蝶(나비 접),

之(어조사 지), 夢(꿈 몽)


(194~245)200교과3 2012.7.24 12:49 AM 페이지245 mac02 T

(194~245)200교과3 2012.7.24 12:47 am 페이지194 mac02 t...

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