05 analyze w2 analysis of variance sp.six sigma measure

7/23/2019 05 Analyze W2 Analysis of Variance Sp.Six Sigma Measure

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INSTITUTO PARA LA CALIDAD © 2008. Prohibida su reproducción total o parcial sin permiso del autor y del Instituto para la Calidad de la PontificiaUniversidad Católica del Perú.

Análisis de Varianza

ANOVA Medir ControlarMejorarAnalizarDefinirReconocer

Six Sigma

Entrenamiento Green Belt




Sobre este Módulo…

La Significancia Estadística se puede evaluar por medio de

las técnicas One-way ANOVA (para un factor) o la Two-way

ANOVA (para dos factores).

Six Sigma, La búsqueda de la Perfección en losPprocesosque lucha contra la variación para Alcanzar los Objetivos.




Qué vamos a aprender ...

1. ANalysis of VAriance (ANOVA)(Análisis de Varianza)

2. Variación y Suma de Cuadrados

3. Construcción de la tabla ANOVA4. Supuestos Estadísticos

5. La distribución F

6. Tamaño de Muestra y Potencia del

Ensayo




Escenarios del Mundo RealDiseño:

Un productor de hilados de alfombras necesita saber con qué material seproduce la alfombra mas duradera.

- ¿Cómo debería, este productor, plantear el diseño y analizar el

experimento?

Fabricación:

Un ingeniero de proceso necesita determinar el efecto de tres niveles deresistencia en la densidad del plástico.

- ¿Cómo debería el ingeniero plantear y analizar el experimento?

Administración: Un equipo administrativo tiene asignado el proyecto de reducir el

tiempo de ingreso de datos de los acuerdos de licencia. El equipoha elaborado cuatro tipos diferentes de formularios.

-¿Cómo debería el equipo plantear y analizar el experimento?




Análisis de Varianza (ANOVA)

• El análisis de varianza es una generalización del análisis de

medias de 2 muestras, y nos permite comprobar la

significancia de las diferencias entre k (k>2) medias de

muestras diferentes.

• La técnica del análisis de varianza usa información de las

muestras para determinar si dos o mas tratamientos

muestran resultados diferentes.

• Un punto central es que el análisis de varianza ( literalmente

una técnica que prueba y analiza varianzas) es una

herramienta que nos permite comprobar la significancia de

la diferencia entre medias.

Extraído de Statistical Analysis for Decision Making de Morris Hamburg & Peg Young




ANOVA para un factor

(One - way ANOVA)

Se usa para probar la hipótesis nula que las medias de diferentes

poblaciones son iguales:

– Ho: m1 = m2 = m3 = m4 …

– Ha: al menos una mk is distinta

ANOVA determina si una o más de las medias son distintas, pero

no cuáles de las medias son distintas.




ANOVA para un factor (One Way ANOVA)

Una comparación de la variación entre tratamientos (factor) y de

la variación interna de cada tratamiento (error) proporcionainformación acerca de la diferencias entre las medias de los

tratamientos:

El término Variación corresponde a una suma de cuadrados

Variación = Varianza media = cuadrado medio

Grados de libertad

La Variación & La Suma de

Cuadrados



INSTITUTO PARA LA CALIDAD © 2008. Prohibida su reproducción total o parcial sin permiso del autor y del Instituto para la Calidad de la Pontificia

Universidad Católica del Perú.

Comprendiendo los Fundamentos

SS total SS factor SS error

2(x x) j i

i

n

j

g

-

= =

11

x x ji j

i

n

j

g

-

= =

( )2

11

n

g 2

x x j

j

-

=

1

( ) +

+ =

=

Total: SS total = Suma de Cuadrados Total del experimento (valores individuales - media general)

Entre Tratamientos: SS factor = Suma de Cuadrados de los Factores (media del grupo - media general)

Dentro de cada tratamiento: SS error = Suma de Cuadrados dentro de cada grupo (valores individuales - media del grupo)

1 2 3 4 5

0

1

2

Factor “ …”

R e s p u e s t a

x ji Valor individual: el i-ésimo valor del j-ésimo

tratamiento.

x - Media general del tratamiento

x j - Media del grupo: la media del j-ésimo tratamiento.

j = Tratamiento ó Nivel deFactor

i = Observación del tratamiento j

g = cantidad total de Niveles o tratamientos

n = cantidad de observaciones de cada Nivel defactor

-

Suma de Cuadrados





Términos Grados de libertad (DF): cantidad de conclusiones independientes que se

pueden extraer de los datos.

SS factor : mide la variación entre la media de cada tratamiento y la mediageneral.

SS error : mide la variación de cada observación dentro de cadatratamiento con la media respectiva a su tratamiento.

Cuadrado medio del factor (MS): La SS factor dividida por los DF [(g-1)].

MS es también un estimador de la varianza

Cuadrado Medio del Error (MSE): La SS error dividida por los DF [g(n-1)].MSE es también un estimador de la varianza.

F: la relación entre la variación entre tratamientos y la variación dentro delos tratamientos = MS / MSE. Si el valor de F es cercano a 0, no hay

diferencia significativa entre las medias de los tratamientos (el valor P esgrande).

P: la probabilidad de que la diferencia observada se deba al azar (errorde muestreo). Un valor P pequeño (generalmente < 0,05) indica que hayuna diferencia y que la Ho debe ser rechazada.





Tabla de ANOVAFuente Suma de

Cuadrados Grados de libertad

Media cuadrática (Varianza)

F = MSfactor /MSE

Valor P basado en F y en DF

Entre grupos

SS Factor g-1 SS Factor

(g-1)

MS

MS error P(F)

Dentro de

grupos SS Error g(n-1)

SS Error

g(n-1)

Total SS Total ng-1

DF Tota l = DF entre + DF dentro

DF Total = ng - 1

DF entre = g-1

DF dentro = (ng-1) - (g-1) = g(n-1)

g = # de gruposn = # en el grupo

factor





Para determinar si podemos aceptar o rechazar la hipótesis nula,

debemos calcular el estadístico F usando el ANOVA como se

muestra en la siguiente tabla:

¿Por qué a la fuente “DENTRO” o “INTERNA” se la denomina Error o Ruido?

En términos prácticos ¿qué es lo que nos dice el cociente F?

Varianza de error ponderado

FUENTE SS DF MS (=SS/df) F {=MS(factor)/MS(Error)}

ENTRE SS factor g - 1 SS factor /(g - 1) MSfactor / MSError

DENTRO SS error g(n -1) SS error /g(n - 1)

TOTAL SS total gn - 1

Ensayo de Hipótesis:

Ho: m1 = m2 = m3 = m4 …

Ha: Al menos una mk es distinta

Tabla de ANOVA (Cont)





La prueba F y la Distribución F

Si el valor F

observado

es > 5, el

valor - P= 0

Distribución F para 4 y 45 Grados de libertad

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Valor - F

P r o b

Fcrit en el punto 10%



La distribución F esuna familia de

curvas dependientes

del número de

grados de libertad.

F = Variación entre tratamientos = SS factor / (g-1)

Variación dentro de los tratamientos SS error / g(n-1)

Si F > F crit entonces al menos una media es distinta.





Supuestos Estadísticos

Nota: ANOVA es robusta en estos supuestos cuando los tamaños

de las muestras son iguales.

Normalidad: las muestras se extraen de poblaciones normalmente

distribuidas.Nota: La distribución dentro de los subgrupos debe ser normal. No se

puede asumir que el total de la población bajo estudio sea normal.

Independencia: Las muestras son independientes

Minitab: Stat>Basic Statistics>Correlation

Homogeneidad de Varianzas: Las poblacionales tienen varianzas iguales.

Minitab: Stat>ANOVA>Test for Equal Variances (use stacked data)





Primero, hay que

encontrar el tamaño demuestra necesario para

determinar si hay una

diferencia estadística-

mente significativa entre

las medias de los tiempos

requeridos para completarlos distintos formularios.

Luego, hay que probar los

supuestos del ANOVA.

Entonces se usa ANOVApara determinar si existe

diferencia entre las

medias.

Ejemplo de Entrada de Datos

Un equipo que tiene asignado el

proyecto de reducir el tiempo deingreso de datos en los acuerdos

de licencia, ha elaborado cuatro

tipos diferentes de formularios. Se

asignaron los formularios al azar

entre el personal, para el ingreso

de datos.

¿Es algún formulario mejor que el

resto (toma menos tiempo)?

Nota. . .

El sigma histórico esaproximadamente 2

4 segundos es una diferencia

significativa.

Sea a = 5% y b = 20%





Tamaño de muestra usando Minitab

Desarrollo:

• Abrir Minitab• Ir a Stat > Power and Sample Size

> ANOVA para un factor…

Nota:

El sigma

histórico es 2

4.0 segundos

es unadiferencia

significativa

a = 5%

b = 20%

1. En Number of

levels: tipear 4

2. En Values of themaximum

difference

between means:

tipear 4.0

3. En Power

values: tipear

0.80 (1.00 -

0.20)

4. En Sigma:

tipear 2.0

5. Seleccione OK

1

2

3

4 5





Power and Sample Size

One way ANOVA

Sigma = 2 Alpha = 0.05 Number of levels= 4

Sample Target Actual Maximum

SS Means Size Power Power Difference

8 7 0.8000 0.8361 4

Tamaño de muestra usando Minitab

(Cont)

Ventana de Sesión Minitab

En archivoDataFile ANOVA1,

usaremos 6 debido

a restricciones de

recursos





Apilando los Datos

1. Seleccione C1 A, C2 B,

C3 C, y C4 D

2. Presione Select

3. Observe A-D en Stack

the following columns:

4. Seleccione Column of

current worksheet: y

tipee Response

5. En Store subscripts in:

tipee Factor6. Seleccione Use variable

names in subscript

column

7. Seleccione OK

1

3

2

4 4

6

5

7

Desarrollo:

Abrir DataFile\ANOVA1.mtw

Ir a Data > Stack > Columns…

Normalidad





Normalidad

(Resumen Gráfico) usando Minitab

Desarrollo:

• Usar DataFile\ANOVA1.mtw

• Ir a Stat > Basic Statistics > Graphical Summary…

1. En Variables:

Seleccione Response

2. En By Variables

seleccione Factor

3. Seleccione OK

1

2

3

l d d





Normalidad

(Resúmen Gráfico)

70.067.565.062.560.057.555.0

Median

Mean

63.061.560.0

Anderson-Darling Normality Test

Variance 3.600

Skewness 0.00000

Kurtosis -2.68519

N 6

Minimum 59.000

A-Squared

1s t Quartile 59.000

Median 61.000

3rd Quartile 63.000

Maximum 63.000

95% Confidence Interval for Mean

59.009

0.46

62.991

95% Confidence Interval for Median

59.000 63.000

95% Confidence Interval for StDev

1.184 4.654

P-Value 0.162

Mean 61.000

StDev 1.897

70.067.565.062.560.057.555.0

Median

Mean

70.067.565.0


Variance 8.000

Skewness 1.19324

Kurtosis 1.66875

N 6

Minimum 63.000

A-Squared

1st Quartile 63.750

Median 65.500

3rd Q ua rti le 68.000

Maximum 71.000


63.032

0.29

68.968


63.357 69.571


1.766 6.937

P-Value 0.493

Mean 66.000

StDev 2.828

70.067.565.062.560.057.555.0

Median

Mean

706866


Variance 2.800

Skewness 1.15254

Kurtosis 2.50000

N 6

Minimum 66.000

A-Squared

1s t Quartil e 66.750

Median 68.000

3rd Q uarti le 68.750

Maximum 71.000


66.244

0.49

69.756


66.357 69.929


1.044 4.104

P-Value 0.129

Mean 68.000

StDev 1.673

70.067.565.062.560.057.555.0

Median

Mean

636057


Variance 8.000

Skewness -1.19324

Kurtosis 1.66875

N 6

Minimum 56.000

A-Squared

1s t Q uartile 59.000

Median 61.500

3rd Q uartile 63.250

Maximum 64.000


58.032

0.29

63.968


57.429 63.643


1.766 6.937

P-Value 0.493

Mean 61.000

StDev 2.828

95% Confidence Intervals

Summary for ResponseFactor = A


Summary for ResponseFactor = B


Summary for ResponseFactor = C


Summary for ResponseFactor = D

p value > .05 p value > .05

p value > .05 p value > .05





Test para homogeneidad de varianzas usando

Minitab

Desarrollo:• Usar DataFile\ANOVA1 con datos apilados

• Ir a Stat > ANOVA > Test for Equal Variances…

1. En Response:

seleccione Response

2. En Factors: seleccioneFactor

3. Seleccione OK

1

2

3

T t d h id d d i





F a c t

o r

95% Bonferroni Confidence Intervals for StDevs

D

C

B

A

9876543210

Bartlett's Test

0.622

Test Statistic 1.95

P-Value 0.584

Levene's Test

Test Statistic 0.60

P-Value

Test for Equal Variances for Response

Test de homogeneidad de varianzas

(Cont)

Usar Bartlett's test cuando los datos

vienen de distribuciones normales.

Usar Levene's test cuando los datos

viene de distribuciones continuas, pero

no necesariamente normales.

P > 0.05:

no podemos

rechazar lahipótesis nula

de igualdad de

varianzas





Test de Independencia usando Minitab

Desarrollo:

Usar DataFile\ANOVA1.mtw Ir a Stat > Basic Statistics > Correlation…

1. En Variables:

seleccione C1 A, C2

B, C3 C, and C4 D

2. Seleccione Display p-values

3. Seleccione OK

1

2

3

Correlations: A, B, C, D

A B CB 0.298

0.566

C 0.630 0.6340.180 0.177

D -0.373 0.225 -0.2110.467 0.668 0.688

Coeficiente decorrelación, r

Valor - pTodos los valores -

p > 0.05: la hipó-

tesis nula de inde-

pendencia es

verdadera





ANOVA para un factor usando Minitab (Cont)

Desarrollo:• Usar DataFile\ANOVA1.mtw con columnas apiladas • Ir a Stat > ANOVA > One-way…

1. Seleccione C1 A, C2

B, C3 C, and C4 D

2. Presione Select

3. En Response:

seleccione Response

4. En Factor:

seleccione Factor

5. Seleccione OK

1

3

4

5

2






Ventana de Sesión Minitab

Una, o mas, medias de los

tratamientos es estadísticamentediferente de la media general

Veamos el gráfico!

Source DF SS MS F P

Factor 3 228.00 76.00 13.57 0.000

Error 20 112.00 5.60

Total 23 340.00

S = 2.366 R-Sq = 67.06% R-Sq (adj) = 62.12%

R-Sq – Cuánto de la variación es

explicada por los factores






• Grafique el valor de las medias, a nivel

factor, con sus intervalos de confianzaDesarrollo:


• Ir a Stat > ANOVA > Interval Plot… 1. Seleccione One Y

with Groups.

2. En Graph Variables:

Seleccione Response

3. En Categorical

Variables Seleccione

Factor4. Seleccione OK

5. Seleccione OK





Factor

R e s p o n s e

DCB A

70

68

66

64

62

60

58

Interval Plot of Response vs Factor95% CI for the Mean


El gráfico de intervalos contiene la misma información que se

presenta en la Ventana de Sesión - salvo que el gráfico de

intervalos (Interval Plot) tiene una mucho mejor resolución.

Examine las

diferencias

entre medias

utilizando

Comparaciones

Múltiples.

¿Es la media de

A diferente de la

media de B?

Comparaciones Múltiples usando





Comparaciones Múltiples usando

Minitab

• “Se debe tener algún cuidado al interpretar el nivel de confianzacuando se realiza mas de una estimación, o al interpretar el nivel designificancia cuando se está desarrollando mas de un ensayo.”(Dixon and Massey, Introduction to Statistical Analysis)

• Si usa sucesivas pruebas -t para examinar diferencias entre medias, el

riesgo-alfa aumenta dramáticamente.• El nivel de significancia total es: a* = 1 – (1 – a)k, donde k es la

cantidad de pruebas. Las comparaciones múltiples evitan esto!

• Las comparaciones múltiples se presentan como un grupo deintervalos de confianza, mas que un grupo de ensayos de hipótesis.Esto permite determinar la significancia práctica de la diferencia

entre medias, además de la significancia estadística. Como decostumbre, la hipótesis nula de no diferencia entre medias es falsa síy sólo sí el intervalo de confianza “de la diferencia de IC ”no contieneal cero.





Comparaciones Múltiples Usando Minitab

Desarrollo:


• Ir a Stat > ANOVA > One-way…

• Seleccionar Comparisons…

1. Seleccione Tukey’sfamily error rate:

2. Tipee 5 para a = 5%

3. Seleccione OK

1

2

3





Comparaciones múltiples (Cont)

Tukey 95% Simultaneous Confidence Intervals

All Pairwise Comparisons among Levels of Factor

Individual confidence level = 98.89%

Factor = A subtracted from:

Factor Lower Center Upper --------+---------+---------+---------+-

B 1.174 5.000 8.826 (-----*------)

C 3.174 7.000 10.826 (------*-----)

D -3.826 0.000 3.826 (-----*-----)

--------+---------+---------+---------+-

-6.0 0.0 6.0 12.0

No hay diferencia entre

las medias de D y A. Tampoco hay diferencia

entre las medias de B y C.

La hipótesis nula de no

diferencia entre medias es

falsa sí y sólo si el intervalo de

confianza no contiene al cero.





ANOVA para dos factores con Réplicas

• En el ANOVA para un factor (DataFile\ANOVA1.mtw ) cada nivel decada factor tenía seis réplicas.

• Las réplicas son necesarias para generar la SS error.

• En el ANOVA para dos factores (Two Way ANOVA), hay dos factores.

• Si el ANOVA para dos factores es replicado, cada combinación detratamientos (celda) tiene dos o mas respuestas.

Level 1 Level 2

Y1, 11 Y1, 21

Y2, 11 Y2, 21

Y1, 12 Y1, 22

Y1, 12 Y2, 22

Factor A

TWO-WAY ANOVA WITH TWO

REPLICATIONS

Factor B

Level 1

Level 2

Combinación de

tratamientos

A al Level 2

B al Level 1

ANOVA para dos factores usando






Minitab

Escenario:• El dueño de un hotel necesita instalar una nueva alfombra.

• El/Ella decide probar cuatro marcas de alfombras distintas para usar encuatro pasillos distintos.

• Cada pasillo tendrá las cuatro alfombras distribuidas en líneas continuas,

dispuestas al azar, así cada alfombra soportará el mismo tráfico.

Desarrollo:• Ir a DataFile\ANOVA2.mtw

• Notar el orden de los datos—

– Una columna tiene un número para la ubicación

– En cada ubicación hay datos del desgaste para cada una de las cuatromarcas.

– Cada una de las marcas es medida cuatro veces - cuatro réplicas.

• Ir a Data> Stack > Columns

d f d






Minitab (Cont)

1. En Stack the following

columns: seleccione C2

Carpet 1, C3 Carpet 2,

C4 Carpet 3 y

C5 Carpet 41. En Store stacked data in:

seleccione Column of

current worksheet: y

tipee Carpet Stack

2. En Store subscripts in:

tipee Carpet3. Seleccione Use variable

names in subscript

column

4. Seleccione OK

1

2

3

5

4

ANOVA para dos factores





ANOVA para dos factores

usando Minitab (Cont)• Agregar los subíndices necesarios para Ubicación

Desarrollo:

• Ir a Calc > Make Patterned Data > Simple Set of Numbers…

1. En Store patterned data

in: seleccione Loc

2. En From first value:tipee 1

3. En To last value: tipee

4

4. En In steps of: Tipee 1

5. En List each value:

tipee 4

6. En List the whole

sequence: tipee 4

7. Seleccione OK

1

2

3

4

5

6

7







Minitab (Cont)• Analice el ANOVA para dos factores

Desarrollo:• Ir a Stat > ANOVA > Two-way…

1. En Response:seleccione Carpet Stack

2. En Row factor:

seleccione Location

3. En Column factor:

seleccione Carpet

4. Seleccione OK

1

2

3

4





ANOVA para dos factores usando Minitab (Cont)

Ventana de Sesión Minitab :

Carpet esel únicofactor

significativo(p <= 0.05)

Veamos los gráficos de los resultados:

Main Effects Plot (Gráfico de efectos principales)

Interaction Plot (Gráfico de interacciones)

Two-way ANOVA: Carpet Stack versus Loc, Carpet

Source DF SS MS F P

Loc 3 9.99 3.329 0.31 0.815

Carpet 3 796.72 265.575 25.02 0.000Interaction 9 46.91 5.212 0.49 0.873

Error 48 509.56 10.616

Total 63 1363.17

S = 3.258 R-Sq = 62.62% R-Sq (adj) = 50.94%





ANOVA para dos factores usando Minitab (Cont)

• Grafique los Efectos Principales

Desarrollo:

• Ir a Stat > ANOVA > Main Effects Plot…

1. En Responses: seleccioneCarpet Stack (que es una

medida del desgaste)

2. En Factors: seleccione

Location and Carpet

3. Seleccione OK

1

2

3

ANOVA d f t d Mi it b





M

e a n o f C a r p e t S t a c k

Carpet 4Carpet 3Carpet 2Carpet 1

18

16

14

12

10

8

4321

Carpet Loc

Main Effects Plot (data means) for Carpet Stack

ANOVA para dos factores usando Minitab

(Cont)

Este es el factor significativo

ANOVA d f t d Mi it b





ANOVA para dos factores usando Minitab

(Cont)

• Grafique las Interacciones

Desarrollo:• Ir a Stat > ANOVA > Interactions Plot…

1. En Responses:seleccione Carpet Stack

2. En Factors: seleccione

Location y Carpet

3. Seleccione Display full

interaction plot matrix 4. Seleccione OK

1

2

4

3






Minitab (Cont)

En un gráfico de interacción, líneas paralelas indican que no hay

interacción. Esto es lo que uno esperaría - un cambio lineal en los

niveles de un factor al cambiar el otro factor.

Carpet

432120

15

10

5

Carpet 4Carpet 3Carpet 2Carpet 1

20

15

10

5

Loc

Carpet

Carpet 3

Carpet 4

Carpet 1

Carpet 2

Loc

3

4

1

2

Interaction Plot (data means) for Carpet Stack Hay interacción,pero no es

estadísticamentesignificativa.





¡Su Turno!• Abra DataFile\ANOVA3.mtw

• Realice una análisis ANOVA de los datos (determine el efecto de la

Resistencia (Strength) en la Densidad (Density))

• Responda las siguientes preguntas:

1. ¿Se cumplen los supuestos estadísticos?

2. ¿Puede utilizarse ANOVA para un factor para analizar estos datos?

3. ¿Hay alguna diferencia entre las resistencias?

4. ¿Cuál resistencia rinde densidad mas alta?

5. Mire los datos. ¿Cuál resistencia tiene la densidad mas alta?

6. ¿El análisis ANOVA respalda sus conclusiones?

7. ¿Cuál es la potencia de la prueba realizada?

8. ¿Qué niveles de alfa y beta eligió? ¿Qué tamaño de muestra sedebería haber utilizado para el valor de beta elegido?

• Esté preparado para presentar sus resultados y para indicar susconclusiones. (Solución: DataFile\ANOVA3 SOLUTION.mtw )





Volviendo al Escenario del Mundo Real

Diseño: Un productor de hilados de alfombras necesita saber con qué material

se produce la alfombra mas duradera.

- ¿Cómo debería este productor plantear y analizar el experimento?

Fabricación:Un ingeniero de proceso necesita determinar el efecto de tres niveles

de resistencia en la densidad del plástico.

- ¿Cómo debería el ingeniero plantear y analizar el experimento?

Administración: Un equipo administrativo tiene asignado el proyecto de reducir el

tiempo para el ingreso de datos en los acuerdos de licencia. El equipo

ha elaborado cuatro tipos diferentes de formularios.

-¿Cómo debería el equipo plantear y analizar el experimento?





Qué hemos aprendido…

1. Análisis de Varianza (ANOVA)

2. Variación y Suma de Cuadrados

3. Construcción de la Tabla de ANOVA

4. Supuestos estadísticos5. La distribución - F

6. Tamaño de la muestra y Potencia del ensayo.





Statistical Analysis for Decision Making , 1993, Hamburg & Young,

publicado por The Dryden Press, Capítulo 8

Statistics for Experimenters, Box, Hunter & Hunter, 1978, publicado por

John Wiley and Sons, Capítulo 7.

Design and Analysis of Experiments, 3rd Edition 1991, Montgomery,

publicado por John Wiley and Sons, Capítulo 5.

Bibliografía

Fórmulas para el tamaño de la muestra





Para la

alternativa deuna cola, y

ANOVA, use Za

Fórmulas para el tamaño de la muestra

2

22

β2α

ΔσZ+Z =muestraladeTamaño

Para prueba de hipótesis de dos muestras:

( )( )2

0

22

21

2β2α

Δ-Δ

σ+σZ+Z =muestraladeTamaño

Para prueba de medias de dos muestras:

Para prueba de dos proporciones (una cola):

( ) ( )( )( )2

0

22

β002α

p- p

σ p-1 pZ+ p-1 pZ =muestraladeTamaño

Ref: Applied Statistics

and Probability for

Engineers 2nd Edition,

Montgomery & Runger

La Potencia del

ensayo es 1 - b




Tamaño de la muestra de la Entrada de Datos

Determine el tamaño de la muestra con la siguiente fórmula:

( ) 6=6.185=

4

2*4*842.0+1.645 =muestraladeTamaño 2

22

( )( )2

0

2221

2

βα

Δ-Δ

σ+σZ+Z =muestradeTamaño

Número de níveles

de factores

Sigma Estimado para los

níveles de los factores.

d = diferencia

significativa

Tamaño

mínimo de

muestra

( )( ) ,

Δ-Δ

σZ+Z =muestradeamañoT 2

0

2

k 1=k

2

βαANOVA

fctoreslosdeniveles#=donde

05 analyze w2 analysis of variance sp.six sigma measure

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