Министерство образования и науки Российской Федерации

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого

Институт прикладной математики и механики

Кафедра теоретической механики

Работа допущена к защите

Зав кафедрой дф-мнпроф

___________ АМКривцов

___raquo_______________2019 г

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА МАГИСТРА

laquoРАЗРАБОТКА МОДУЛЯ ПЛАНИРОВАНИЯ ИССЛЕДОВАНИЙ ГДИС

НА ОСНОВЕ ЦЕННОСТИ ИНФОРМАЦИИraquo

по направлению 010403 laquoМеханика и математическое моделированиеraquo

по образовательной программеraquo

010403_04 laquoМатематическое моделирование процессов нефтегазодобычиraquo

Выполнил

студент гр236424 ЮН Павельева

Руководитель

доцент кф-мн ОС Лобода

Консультант

Эксперт ВС Котежеков

Санкт-Петербург

2019

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПЕТРА ВЕЛИКОГО

Институт прикладной математики и механики

Кафедра теоретической механики

УТВЕРЖДАЮ

Зав кафедрой дф-мн чл-корр РАН

АМКривцов

laquo raquo 2019 г

ЗАДАНИЕ

по выполнению выпускной квалификационной работы

студентке Павельевой Юлии Николаевне группы 010403_04

1 Тема работы разработка модуля планирования исследований ГДИС на основе ценности

информации

2 Срок сдачи студентом законченной работы 06042019

3 Исходные данные по работе основные данные о месторождении N (карты свойств пластов)

план проектного бурения скважин на месторождении (координаты скважин дата ввода

запускные характеристики)

4 Содержание работы (перечень подлежащих разработке вопросов)

Реализация модуля автоматического анализа исходных данных по месторождению на языке

программирования Python Функционал моделирования решения задачи о нестационарном

притоке к скважине решение уравнения пьезопроводности с применением VBA

Экономическая оценка добычи проектной скважины за 25 лет до и после проведения

исследования оптимальной длительности

5 Консультанты по работе эксперт ООО laquoГазпромнефть НТЦraquo ВС Котежеков

6 Дата выдачи задания 01022019

Руководитель ВКР ___________________________________________ ________________________

(подпись) инициалы фамилия

Задание принял к исполнению _________________________________

(дата)

Студент ________________________

(подпись) инициалы фамилия

РЕФЕРАТ

На 72 стр 32 рисунков 5 таблиц 25 источников списка литературы

Ключевые слова гидродинамическое исследования скважин бурение

скважин фильтрационно-ёмкостные свойства пласта проницаемость пластовое

давление сплайн-интерполяция

Гидродинамические исследования являются источником ключевой

информации при планировании и контроле разработки месторождений По

причине технологических ограничений и экономических затрат на проведение

исследований полноценной охват действующего фонда скважин затруднён В

данной работе описывается подход для оценки необходимости проведения

гидродинамических исследований на этапе планирования бурения скважин на

основе методики VOI В результате работы проведен анализ исходных данных

по месторождению реализован c помощью языка программирования Python

сплайн-интерполяции Рассчитаны добычные характеристики проектных

скважин Решены задачи о нестационарном притоке к скважине с применением

языка программирования VBA

THE ABSTRACT

Key words Well test analysis well drilling filtration and capacitive properties

of rocks permeability formation pressure spline interpolation

Well testing are a source of key information for planning and control of field

development Due to technological limitations and the economic costs of conducting

research the full-scale research coverage of existing wells is difficult This article

describes an approach for assessing the need of WTA at the planning stage of well

drilling based on the VOI methodology The analysis of the initial data on the field is

lead The Python programming language is implemented to interpolate the initial

values by using the method spline interpolation The production characteristics of the

project wells are calculated The problem of unsteady inflow to the well was solved by

using the VBA programming language

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 6

ГЛАВА 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕННОСТИ ИНФОРМАЦИИ НА ОСНОВЕ VOI 8

ГЛАВА 2 ОБЗОР ВХОДНЫХ ДАННЫХ 10

ГЛАВА 3 МЕТОДИКА ОПТИМАЛЬНОГО ПЛАНИРОВАНИЕ

ИССЛЕДОВАНИЙ 12

ГЛАВА 4 МЕТОДЫ ИНТЕРПОЛЯЦИИ 17

41 Кубический интерполяционный сплайн 18

42 Кубический сглаживающий сплайн 21

ГЛАВА 5 ОСНОВЫ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ

СКВАЖИН 24

ГЛАВА 6 ТЕОРИЯ ФИЛЬТРАЦИИ В УПРУГОЙ ПОРИСТОЙ СРЕДЕ 31

ГЛАВА 7 МОДЕЛИРОВАНИЕ ИССЛЕДОВАНИЙ 35

ГЛАВА 8 ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИ ФИЛЬТРАЦИИ ФЛЮИДОВ 36

811 Основа модели фильтрации к вертикальной скважине 36

812 Приток к вертикальной скважине с трещиной ГРП 42

813 Основа модели фильтрации к горизонтальной скважине с

МГРП 47

82 Реализация моделирования исследований 51

ГЛАВА 9 РАСЧЕТ ЭКОНОМИЧЕСКОГО ЭФФЕКТА ЦЕННОСТИ

ИНФОРМАЦИИ 55

91 EMV без учета проведения исследования 57

92 EMV без учета проведения исследования 60

ГЛАВА 10РЕЗУЛЬТАТЫ 62

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 65

ОХРАНА ТРУДА 67

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 71

6

ВВЕДЕНИЕ

Результаты гидродинамических исследований (ГДИ) являются ключевой

информацией при планировании и контроле разработки месторождений

Результаты интерпретации исследований позволяют определить и уточнить

геологическое строение контролировать и вести мониторинг энергетического

состояния пласта и разработки месторождения определять текущее состояние

скважины и пласта обосновывать и контролировать эффективность геолого-

технологических операций Тем не менее полный охват действующего фонда

скважин гидродинамическими исследованиями в большинстве случаев

затруднён в связи с технологическими ограничениями и затратами на проведение

исследования (в том числе потерь по добыче нефти вследствие остановки

скважин ГДИ)

При планировании программы гидродинамических исследований скважин

специалисты часто сталкиваются с проблемой значительных ограничений по

лимиту потерь добычи нефти В данных условиях выбор скважин как правило

осуществляется из числа малодебитных скважин

Одновременно с этим основной задачей при планировании ГДИ является

оценка длительности исследования обеспечивающая регистрацию данных на

радиальном режиме фильтрации Однако выход на радиальный режим течения

особенно для горизонтальных скважин с трещинами многостадийного

гидравлического разрыва пласта и к тому же вскрывающих низкопроницаемые

коллектора зачастую может превышать десяти суток Результаты проведения

исследований с длительностью не позволяющей регистрировать радиальный

режим течения как правило являются малоинформативными Вследствие чего

при планировании длительности ГДИ необходимо определять баланс между

затратами на проведение исследования и ценностью информации которую даёт

исследование

7

Оптимизация процессов планирования гидродинамических исследования

включающая выбор скважин ndash кандидатов под ГДИ и определение длительности

исследования является актуальной задачей при мониторинге разработки

месторождения

В магистерской диссертации рассмотрен подход оптимального

планирования проведения ГДИ на основе методики по оценке ценности

информации VOI В методике предполагается проводить исследования на

скважинах действующего фонда которые располагаются возле проектной зоны

бурения да начала бурения скважин с целью снижения неопределенностей в

свойствах пласта в зонах проектного бурения Результатом разработанного

подхода является инструмент позволяющий ранжировать скважины для

гидродинамических исследований и выбирать оптимальную длительность

исследования

8

ГЛАВА 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕННОСТИ ИНФОРМАЦИИ НА

ОСНОВЕ VOI

Ценность информации (Value of information) ndash это разность между

ожидаемой стоимостью проекта с учетом и без учета полученной информации в

результате исследований Критерий ценности информации позволит

охарактеризовать экономическую выгоду результатов исследований а также

произвести оценку эффективности программы геологоразведочных работ

Появившиеся тенденции разработки месторождений характеризующиеся

сложным геологическим строением и высокой степенью неопределённостью

требуют новых методик экономической оценки ценности проектов В связи с

повышением стоимости геологоразведочных работ месторождений

находящихся в удаленных регионах на шельфе подход основанный на

экономической ценностью информации является актуальным Расчет VOI

позволяет найти наиболее экономически выгодную программу исследований

оценить ее достаточность оптимальность определить ценность информации

единичного исследования Статистический подход к развитию возможных

вариантов исхода поможет количественно оценить риски проекта составить

оптимальную программу разработки месторождения на основе дерева решений

Процесс принятия решению можно визуализировать в виде дерева

решения графического метода анализа информации который вкачает в себя

узлы решения вероятности и окончания Последовательность

взаимоисключающих событий реализация сценариев включающих риски и

неопределенности приводит к достижению поставленной цели при заданных

вероятностях

Решения принимаются в узлах решений Ветви исходящие из любого

узла решений представляют собой все возможные выборы которые имеются на

данный момент времени у принимающего решения

9

Неопределенные результаты возникают в узлах вероятности (случая)

Ветви исходящие из любого узла вероятности представляют все результаты

которые могут возникнуть в некоторый момент времени и их вероятности в

сумме должны быть равны 1 Исходной веткой (перед самим узлом) могут

являться как альтернативы узла решений так и исходы предыдущего узла

вероятности

Узел окончания обозначает завершение каждой ветки и не подразумевает

дальнейшее ветвление Справа от него в строчку записывается итоговая

вероятность данной ветки (считается перемножением вероятностей данной

ветки по всем узлам вероятности) и финансовый результат данной ветки

(сценария)

Рис 11 Пример простого дерева решений

Концепция VOI (рис 12) основана на расчете разницы ожидаемой

денежной проекта после проведения исследования (EMV2) и без информации

(EMV1) ndash dNPV [3] которая возникает в связи с риском принятия неэффективного

решения из-за существующей неопределенности параметров объекта

исследования

Рис 12 Пример простого дерева решений

10

Снижение диапазона неопределённости позволяет принять более

эффективные инвестиционные решения и тем самым повысить ценность

проекта Оценка наиболее оптимальных решений до и после проведения

исследования входит в оценку EMV по веткам дерева решений что позволяет

оценить VOI от проведения работ

Ценность информации будет являться нулевой в случаях если информация

не приносит снижения диапазона неопределенности и если снижение

неопределенности не несет никаких изменений в дальнейших решениях по

проекту Оценка ценности информации позволяет на количественном уровне

оценить экономическую целесообразность проведения ГДИ и вовремя

отказаться от проведения неэффективных исследований тем самым увеличив

стоимость проекта

ГЛАВА 2 ОБЗОР ВХОДНЫХ ДАННЫХ

Реализованный модуль прошел апробацию на восточной части

месторождения N В текущей постановке предложенная методика для оценки

ценности информации и необходимости проведения гидродинамических

исследований проводилась на стадии планирования бурения (Рис 01 Карта

проницаемости пласта месторождения N)

11

Рис 01 Карта проницаемости пласта месторождения N

Месторождение N как и многие давно разрабатываемые активы покрыты

частой сеткой гидродинамических исследований в скважинах Однако

превосходящая часть этих исследований была осуществлена в течении 3-4 лет

назад данный факт существенно снижает корректность информации

полученной в результате исследований о текущем пластовом давлении и

фильтрационно-емкостных характеристиках пласта

Проницаемость горных пород пласта - это способность пород пласта-

коллектора пропускать флюид (жидкость воду и газ) при депрессии на пласт

Проницаемость является фильтрационным параметром горной породы который

определяет скорость фильтрации жидкости в среде Проницаемость пористой

среды будет зависеть не только от размера и расположения пор относительно

друг друга но также от характера движения фильтрующихся флюидов (нефть

вода газ)

Пластовое давление (Рпл) ndash это параметр который характеризует энергию

нефтегазоносных пластов Пластовым называют давление которым флюиды

воздействуют на вмещающие их породы Это давление возникает из

гидростатического давления то есть избыточного давления (архимедовой силы)

которое возникает в результате изменения объёма резервуара (порового

пространства пласта) и так же за счёт расширения (или сжатия) флюидов и

изменения их массы вследствие эксплуатации скважинами Существуют

понятия начального пластового давления и текущего пластового давления

Начальное определяют как исходный показатель которым характеризовался

пласт до вскрытия скважиной Текущим пластовым давлением определяют как

меняющийся в ходе разработки месторождения динамический параметр Один

из важных параметров в процессе разработки месторождения ndash это дебит

скважины (q определяют как объём флюида (воды нефти или газа) поступает в

единицу времени) Данная характеристика напрямую будет зависеть от

величины пластового давления и емкостных-фильтрационных свойств пласта

119875пл ndash динамический параметр по этой причине для эффективной разработки

12

месторождения необходима информация о текущем энергетическом состоянии

пласта и его проницаемости

Пластовое давление и проницаемость могут быть получены в результате

интерпретации гидродинамических исследований (глава 5) Однако

длительность исследований и их качество порой оказываются недостаточными

для корректного определения этих параметров В данной работе реализуется

алгоритм моделирования синтетических исследований (глава 8) для оценки

погрешности в зависимости от их длительности

ГЛАВА 3 МЕТОДИКА ОПТИМАЛЬНОГО

ПЛАНИРОВАНИЕ ИССЛЕДОВАНИЙ

Результатом интеграции методологии ценности информации и

планирования гидродинамических исследований является реализованный

инструмент позволяющий определить необходимость проведения исследования

на действующей скважине вблизи проектной С целью определения VOI

инструмент последовательно решает следующие задачи

1 Определение исходных распределений проницаемости (k) и

пластового давления в действующих скважинах (глава 2)

2 Интерполяция исходных распределений в точку проектной

скважины (глава 4)

3 Моделирование исследований ГДИ на действующих скважинах

расположенных вблизи проектной скважины и определение распределений

проницаемости и пластового давления с учётом результатов исследований (глава

8)

4 Интерполяция измененных распределений в точку проектной

скважины (глава 4)

5 Расчёт ожидаемой прибыли проектной скважины без проведения

исследования ГДИ (EMVwoi) (глава 91)

13

6 Расчёт ожидаемой прибыли проектной скважины с учётом

проведения исследования ГДИ (EMVwi) (глава 92)

При проектировании скважины значения проницаемости и пластового

давления определяются по имеющимся картам распределения свойств В свою

очередь построение карт основывается на результатах проведения

гидродинамических исследований По причине наличия погрешностей при

построении карт распределения свойств и погрешностей в результатах

гидродинамических исследований значения проницаемости и пластового

давления с карт зачастую не являются аналогичными результатам ГДИ

На первом этапе инструмент оценивает распределение параметров

основываясь на определении отношения (έ) значений проницаемости и

пластового давления определенных по результатам ГДИ к значениям

определенным по картам пластового давления и проницаемости (рис1)

Параметр έ характеризует отклонения результатов исследований от карт и таким

образом описывает неопределенность в параметре Определив параметр έ для

каждого имеющегося гидродинамического исследования оценивается

распределение отклонений έ для каждого параметра (проницаемости и

пластового давления) Разработка методологии проводилась на существующем

месторождении в результате параметр έ для проницаемости имел

логнормальное для пластового деления нормальное распределение (рис31)

Распределения свойств пласта в точках существующих скважин до

проведения гидродинамического исследования определяется путем

произведения распределений έ на значение параметра пласта с актуальной карты

[1]

14

Рис31 Распределения отклонений значений проницаемости и пластового давления по

результатам ГДИ от значений с карт

На следующем этапе инструмент интерполирует исходные распределения

в точках действующих скважин в точку проектной скважины Для интерполяции

используется метод сплайн ndash интерполяции который оценивает значения

используя математические функции В результате интерполяции для проектной

скважины определяются распределения проницаемости и пластового давления

до проведения гидродинамического исследования

Возможные реализации проницаемости и пластового давления имеют

широкие исходные распределения и являются непрерывными величинами по

этой причине перед моделированием ГДИ исходные распределения в точках

существующих скважин разбиваются на N-количество дискретных исходов

(рис32) Количество исходов (N) определяется на основе точности

погрешности результатов ГДИ Точность результатов ГДИ определяется

экспертным образом Вероятности исходов определяются на основе данных

вероятностного моделирования путем деления всего диапазона исходов

значений N - дискретных исходов и определение количества реализаций

которые можно отнести к каждому исходу При моделировании 100 значений

проницаемости если скважина в 20 реализациях попала в первое распределение

вероятность должна быть определена 20

0

02

04

06

08

1

12

14

00 10 20

Пл

отн

ость

ве

ро

ятн

ости

έ = (Рпл по ГДИ) (Рпл с карт)

Распределение έ значений проницаемости

0

02

04

06

08

1

12

14

00 05 10 15 20

Пл

отн

ость

ве

ро

ятн

ости

έ = (119896 по ГДИ) (119896 с карт)

Распределение έ значений пластового давления

15

Рис 32 Разбиение исходного распределения пластового давления на дискретные

значения

Для оценки распределений свойств пласта в точке проектной скважины

после проведения гидродинамического исследования необходимо создать

синтетическое ГДИ Моделирование запланированного ГДИ проводится путём

решения задачи о нестационарном притоке к скважине с постоянным дебитом на

основе исходных распределений свойств пласта

Уравнением описывающим процессы происходящие при исследованиях

ГДИ является уравнение пьезопроводности Данное уравнение (31) описывает

неустановившееся однофазное одномерное течение флюида в пористой среде и

выражает связь между пластовым давлением временем и расстоянием от

скважины до точки наблюдения Решение уравнения пьезопроводности (32) для

простого случая работы вертикальной скважины в бесконечном пласте позволяет

получить модель характеризующую перераспределение давления в пласте

1

120594

120597120549119875

120597119905=1

119903

120597

120597119903(119903120597120549119875

120597119903) (31)

∆119875(119905 119903) = minus9205119902119861120583

119896ℎ119864119894 (minus

1199032

000036120594119905) (32)

где (q ndash дебит скважины м3сут B ndash объёмный коэффициент 120583 ndash

вязкость жидкости cпз k ndash проницаемость мД h ndash мощность пласта

м r ndash радиус м χ ndash пьезопроводность мД(спзатм-1) t ndash время ч)

16

Ожидаемая прибыль запланированной к бурению скважины до проведения

ГДИ рассчитывается с учётом исходного распределения после ГДИ

рассчитывается для каждого дискретного варианта исхода из N-возможных и для

разных времен длительности исследования t

На первом этапе расчёта прибыли по методу Монте-Карло определяются

значения проницаемости и пластового давления с вероятностями распределения

равными 10 50 90 и оценивается запускное значение дебита скважины По

соседним скважинам определяются темпы падения дебита скважины

усредненный темп падения используется для проектной скважины

Произведение запускного значения дебита и усредненного темпа падения

характеризует профиль добычи проектной скважины На основе профиля

добычи оценивается NPV проектного бурения который учитывает

операционные затраты и капитальные расходы проекта При оценке NPV после

запланированного исследования в капитальных затратах учитываются расходы

на проведение ГДИ стоимость интерпретации исследования инструментальные

замеры

Ожидаемая ценность EMVwi после проведения ГДИ рассчитывается как

сумма отдельно взятых N - исходов умноженных на соответствующие

вероятности исходов (33)

119864119872119881119908119894 (119905119894) = 1198641198721198811199081198941(119905119894) lowast 1198751 + 1198641198721198811199081198942(119905119894) lowast 1198752 +⋯

+ 119864119872119881119908119894119873(119905119894) lowast 119875119899 =sum119864119872119881119908119894_119895(119905119894)

119873

119895=1

(33)

По результатам моделирования ГДИ на скважине вблизи проектной

проводится оценка ценности информации от запланированного исследования

Реализуется построение зависимости VOI от длительности ГДИ где график

расположен выше нуля (VOI gt 0) следует что исследование экономически

обосновано проводить По результату работы модуля выполняется

17

ранжирование скважин с оптимальным временем проведения ГДИ на основе

ценности информации

ГЛАВА 4 МЕТОДЫ ИНТЕРПОЛЯЦИИ

Определения параметров пласта в области с отсутствующими прямыми

измерениями осуществляются с помощью пространственной интерполяции

Одним из основных методов построения карт параметров пласта является

сплайн-интерполяция

Для построения распределения свойств пласта в определённой зоне

используют ограниченное значение количественных измерений интересующего

параметра Z в точках (Xi Yi) Данные точки определяются как точки выборки

(точки наблюдений) Цель пространственной интерполяции ndash получить значения

пространственной переменной Z на площади где отсутствуют исследования с

минимально погрешностью Необходимо интерполировать из точек Z(xi) в

определенную точку Z(x) на основе анализа имеющихся в базе значений (Рис 42)

Рис 42 Интерполяция в точку Z(x)

Подход интерполяции напрямую опирается на измеренные значения в

точках и интерполируются с помощью подбора математической функции

определяя слаженность результирующей формы [4]

В данной работе был реализован метод сплайн-интерполяции

Сплайн-функцией 119904(119909) 119909 isin [119886 119887] называется функция которая в

каждом частичном отрезке [119909119894minus1 119909119894] является полином некоторой степени и

имеет на заданном [119886 119887] производную до некоторого порядка Под степенью

18

сплайна подразумевают максимальную степень полинома по каждому из

отрезков [119909119894minus1 119909119894] а под дефектом сплайна ndash разность между соответствующей

степенью сплайна и порядком наивысшей производной на заданном отрезке

[119886 119887]

Интерполяция сплайнами является кусочно-полиномиальной

интерполяцией Основная теория сплайн-интерполяции заключается том что на

каждом шаге интерполяции (разбиваемом промежутке между узлами)

осуществляется аппроксимация в форме определенной полиномиальной

зависимости Для каждого шага итерации осуществляется подборка полинома

таким образов чтобы выполнялись граничные условия на концах отрезка

Условия для сплайна полинома степени n должны обеспечивать непрерывность

производных порядка степени (n-1) Наиболее распространённые и имеющие

широкую практическую применимость являются кубические сплайны

41 КУБИЧЕСКИЙ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ СПЛАЙН

Кубическим интерполяционным сплайном 119904(119909) называется функция

которая удовлетворяет следующим условиям

1 На каждом определенном отрезке [119909119894minus1 119909119894] 119904(119909) является полином

третьей степени то есть

119904(119909) = 1198860(119894)1199093 + 1198861

(119894)1199092 + 1198862

(119894)119909 + 1198863

(119894) 119909 isin [119909119894minus1 119909119894] (411)

2 119904(119909) isin 119862[119886119887]2

3 119904(119909119894) = 119891119894 119894 = 0 1hellip 119899

4 119904primeprime(119886) = 119904primeprime(119887) = 0

Коэффициенты 1198860 1198861

1198862 1198863

рассчитываются независимо от каждого

промежутка интерполирования [14]Рассмотрим как строится кубический

сплайн Обозначим через 119898119894 = 119904primeprime(119909119894) 119894 = 0hellip 119899 minus

величина называемая моментом

19

119904primeprime(119909) - линейная функция и для каждого отрезка она совпадает с

интерполяционной функцией полинома Лагранжа первой степени

Проинтегрировав получившееся равенство определяется из условия 3

искомые константы находятся в виде сплайна 119904(119909) на частичном отрезке

[119909119894minus1 119909119894]

119904(119909) = 119898119894minus1

(119909119894 minus 119909)3

6ℎ+119898119894

(119909 minus 119909119894minus1)3

6ℎ+ (

119891119894 minus 119891119894minus1ℎ

minus (119898119894 minus119898119894minus1)ℎ

6) (119909 minus 119909119894)

+ 119891119894 minus119898119894

ℎ2

6 (412)

Определяем моменты 119898119894 119894 = 0hellip 119899 с помощью условий 2 3 4

выводим систему следующего вида

1198980 = 0ℎ

6119898119894minus1 +

2

3ℎ119898119894 +

ℎ

6119898119894+1 =

119891119894minus1 minus 2119891119894 + 119891119894+1ℎ

119894 = 1hellip 119899 minus 1 (413)

119898119899 = 0

Запишем следующие вектора

119898 =

(

11989801198981

⋮119898119899minus1119898119899 )

minus (119899 + 1) minus мерный (414)

119892 =

(

1198910 minus 21198911 + 1198912ℎ⋮

119891119899minus2 minus 2119891119899minus1 + 119891119899ℎ )

minus (119899 + 1) minus мерный (415)

и матрицу

20

119860 =

(

1 0 0 01

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ 0

01

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ

⋯0 0 0 00 0 0 00 0 0 0

⋮ ⋱ ⋮

0 0 0 00 0 0 00 0 0 0

⋯

1

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ 0

01

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ

0 0 0 1 )

minus (119899 + 1) times 6(119899 + 1)

minus мерную (416)

Сходимся в необходимости решить следующую систему (417)

119860119898 = 119892 (417)

Данная система представляет собой систему с трёхдиагональной

матрицей и с диагональным преобладанием Для необходимости её решения

потребуется применить метод прогонки который возможен для систем

следующего вида

1198980 = 11989611198981 + 1198920119886119894119898119894minus1 + 119887119894119898119894 + 119888119894119898119894+1 = 119892119894 119894 = 1hellip 119899 minus 1

119898119899 = 1198962119898119899minus1 + 119892119899 (418)

где

119886119894120572119894 + 119887119894 ne 0 119894 = 1hellip 119899

1 minus 1198962120572119899 ne 0 (419)

где 120572119894 в свою очередь - это

1205721 = 1198961

120572119894+1 = minus119888119894

119886119894120572119894 + 119887119894 119894 = 1hellip 119899 minus 1 (4110)

Следующая методика прогонки представлена в двух частях прямой хода

и обратный хода Прямой ход выявляет следующие величины

21

1205721 = 11989611205731 = 1198920

120572119894+1 = minus119888119894

119886119894120572119894 + 119887119894 119894 = 1hellip 119899 minus 1 (4111)

120573119894+1 = minus119892119894 minus 119886119894120573119894119886119894120572119894 + 119887119894

119894 = 1hellip 119899 minus 1

Далее следует обратный ход в порядке уменьшения индексов определяет

искомые параметры

119898119899 =

119892119899 + 11989621205731198991 minus 1198962120572119899

119898119894 = 120572119894+1119898119894+1 + 120573119894+1 119894 = 119899 minus 1hellip 0

(4112)

Сплайн 119904(119909)математически определён формулой представленной выше

42 КУБИЧЕСКИЙ СГЛАЖИВАЮЩИЙ СПЛАЙН

Метаматематическая модель кубического сглаживающего сплайна

заключается в том что в узлах 119909119894119894=0119899 sub [119886 119887] определенные значения функции

119891(119909) могут быть заданы с погрешностью 119891119894=0119899

В таких моделях с дефектом 1

кубический интерполяционный сплайн будет реализован с достаточно большой

погрешностью вследствие построения с неточными значениями В большинстве

случае реализуют построение кубического сглаживающего сплайна в котором

решается следующая экстремальная задачи

119906 =119894119899119891

119906 isin 11988222[119886 119887]

120567(119906) (421)

где 11988222[119886 119887] ndash пространство Соболева вещественных функций с нормой

1199062 = int(|119906(119909)|2 + |119906primeprime(119909)|2)119889119909

119887

119886

(422)

а функционал

22

120567(119906) = int |119906primeprime(119909)|2 119889119909

119887

119886

+sum119901119894(119906(119909119894) minus 119891119894)2

119899

119894=0

119901119894 gt 0 119894 = 0hellip 119899 (423)

строго неотрицательный выпуклый полунепрерывный снизу

вследствие слабой сходимости

Однозначно решение данной задачи существует и является единственным

решением Введем единственное решение 1199060(119909) также обозначим значения

119910119894119894=0119899 следующим образом

119910119894 = 1199060(119909119894) 119894 = 0hellip119899 (424)

Можем построить кубический интерполяционный сплайн 119904(119909 119910)

119904(119909119894 119910) = 119910119894 Данное полученное решения является равным 1199060

Оценим вид интерполяционного сглаживающего сплайна

Введём в рассмотрение отображение 119866(119910) ℝ119899+1 rarr ℝ

119866(119910) = 120567(119904(middot 119910 )) = int |119904primeprime(119909)|2 119889119909

119887

119886

+sum119901119894(119904(119909119894) minus 119891119894)2

119899

119894=0

=

sum int |119904primeprime(119909)|2 119889119909

119909119894

119909119894minus1

119899

119894=1

+sum119901119894(119904(119909119894) minus 119891119894)2 (425)

119899

119894=0

Получаем исходную экстремальную задачу эквивалентную поиску

min119910isin ℝ119899+1

119866(119910) (426)

Исходя из того что 119904(119909 119910) ndash является кубическим интерполяционным

сплайном запишем

119904primeprime(119909119894 119910) = 119898119894 119894 = 0hellip119899 (426)

1198980 = 0119898119899 = 0 (427)

Вводим (119899 minus 1) times (119899 minus 1)-мерную матрицу

23

119860 =

(

2

3ℎ

1

6ℎ 0 0

1

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ 0

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

0

0

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

01

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ

0 01

6ℎ

2

3ℎ)

(428)

(119899 minus 1)-мерный вектор

119898 = (

1198981

⋮119898119899minus1

) (429)

(119899 minus 1) times (119899 + 1)-мерную матрицу

119867 =

(

1

ℎminus1

2ℎ

1

ℎ0 ⋯ 0 0 0 0

⋯

0 0 0 0 ⋯ 01

ℎminus1

2ℎ

1

ℎ)

(4210)

невырожденную (119899 + 1) times (119899 + 1)-мерную матрицу

119875 = (1199010

⋱119901119899

) (4211)

и (119899 + 1)-мерный вектор

119891 = (1198910⋮119891119899

) (4212)

получаем следующую систему уравнений в которой вычисляем моменты

119898

(119860 + 119867119875minus1119867lowast)119898 = 119867119891 (4213)

Данная система решается методом Гаусса Затем можем выразить

119910 = minus119875minus1119867lowast119898 + 119891 (4214)

(4214) - точку глобального минимума для заданного отображения 119866(119910)

В итоге получаем форму сглаживающего сплайна

24

119904(119909) = 119898119894minus1

(119909119894 minus 119909)3

6ℎ+119898119894

(119909 minus 119909119894minus1)3

6ℎ+ (119910119894minus1 minus

ℎ2

6119898119894minus1)

119909119894 minus 119909

ℎ

+ (119910119894 minusℎ2

6119898119894)

119909 minus 119909119894minus1ℎ

(4215)

119909 isin [119909119894minus1 119909119894] 119894 = 1hellip119899 (4216)

ГЛАВА 5 ОСНОВЫ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО

ИССЛЕДОВАНИЯ СКВАЖИН

Основой ГДИС являются решение нестационарной задачи фильтрации

Рис 51 а) б) формирование радиальной воронки депрессии после пуска

добывающей и нагнетательной скважины в) г) расформирование радиальной

воронки депрессии после остановки добывающей и нагнетательной скважины

Tmdash время прошедшее после пуска скважины tmdash время прошедшее после

остановки скважины[6]

флюидов в порово-упругой среде Они основываются на изучение процессов

формирования и релаксации полей давления в пласте и в скважине в

зависимости от типа воздействия (закачка или отбор флюида) (рис51) Арсенал

технологий исключительно разнообразен и включает самые различные методы с

различной продолжительностью и интенсивность воздействия на пласт Каждая

технология представляет совокупность циклов (базовых элементов)

Определение каждого из них ndash регистрация разницы давления во времени после

изменения дебита скважины на заданной глубине Продолжительностью цикла

25

обуславливается решаемой задачей глубинностью условием и объектом

исследования

Гидродинамические исследования предполагают синхронные измерения

давления и расхода на фиксированной глубине при переходных режимах

эксплуатации скважины Основными элементами технологий ГДИС стабильно

работающих скважин являются способы предполагающие регистрацию

изменения давления во времени

после пуска скважины на стабильный режим отбора или закачки

(кривая стабилизации давления (КСД) -пуск) или при переходе с

одного стабильного режима на другой (КСД-режим)

после остановки скважины стабильно или циклически работавшей

в режиме отбора (кривая восстановления давления КВД) или

закачки (кривая падения давления - КПД)

Решение прямой задачи ГДИС состоит в оценке изменения давления на

забое скважины при заданном изменении дебита и для конкретной модели

скважины и пласта

К наиболее часто используемым моделям относится скважина со скин-

фактором в однородном изотропном пласте при радиальном режиме течения

При пуске скважины с постоянным расходом QАТ[м3с]=const (расход

соответствует условиям атмосферы) изменение давления РС [Па] во времени

tРАБ[с] прошедшем с момента пуска описывается асимптотической

формулой точность которой повышается с увеличением tРАБ

РАБRRРАБ

ПРС

OАТCПЛ tt

r

χ

επ

BQPP

lnln

252ln

4 2

_

(51) επ

BQ OАТR

4

2

_

252ln

ПРС

RRr

χ

kh

k

S

CПРС err _

Другие обозначения принятые в данных формулах PПЛ [Па] ndash первоначальное

пластовое давление [Пас] - динамическая вязкость фильтрующегося флюида Во[безразм]

26

ndash объемный коэффициент флюида [м3Па с] ndash гидропроводность пласта [м2с] ndash

пьезопроводность пласта k [м2] ndash проницаемость пласта КП [в долях]ndash пористость пласта h[м]

ndashэффективная работающая толщина пласта s[безразм] ndash интегральный скин-фактор rС_ПР [м]

ndashприведенный радиус скважины rС[м] ndashрадиус скважины [Па-1] ndash интегральная

сжимаемость пористой среды

При остановке скважины работавшей с постоянным расходом QАТ[м3с] =const в

течение времени tРАБ[с] изменение давления РС[Па] во времени tОСТ[с] прошедшем с

момента остановки описывается асимптотическими формулами (для больших значений tОСТ)

ОСТ

ОСТРАБRПЛ

ОСТ

ОСТРАБОАТПЛC

t

tP

t

tВQPP

tln

tln

4

(52

)

ОСТРАБ

ОСТРАБRR

ОСТРАБ

ОСТРАБ

ПРС

ОАТНАЧC

t

t

t

t

r

ВQPP

t

tln

t

tln

252ln

4 2

_

(53

)

где PНАЧ [Па] ndash давление в момент остановки скважины (tОСТ =0)

Следует обратить внимание что соотношения (51) и (53) оперируют с

разностью текущего и начального давления цикла (в первом случае в качестве

начального выступает пластовое давление а во втором ndash давление в момент

остановки скважины) В отличие от этого соотношение (52) оперирует с

абсолютной величиной давления

С математической точки зрения названные способы представления

данных идентичны Но каждый из них оптимален для решения конкретной

задачи интерпретации гидродинамических исследований Уравнения (51) и (53)

позволяют выделить влияние скин-фактора Основная цель использования

формулы (52) оценка абсолютной величины пластового давления

Абсолютная величина тангенса угла наклона асимптоты () для всех без

рассмотренных зависимостей одинаков и определяется величиной

гидропроводности пласта

Рис52 иллюстрируют поведение давления во времени при запуске

скважины в зависимости от дебита в цикле исследований (а) проницаемости

пласта (б) и скин-фактора (в) Основной недостаток подобного представления

27

результатов в низкой наглядности В частности очень трудно различить

особенности влияния основных информативных факторов ГДИС ndash

фильтрационных свойств пласта (проницаемости) и характеристик

совершенства вскрытия (скин-фактора)

Рис52 особенности поведения давление при пуске скважины (КСД)

а) Влияние расхода Q=QАТВо-расход PС ndashдавление РПЛ- начальное

пластовое давление tРАБ=0 момент пуска скважины (Q1ltQ2ltQ3)

б) Влияние проницаемости Q-расход PС ndashдавление РПЛ- начальное

пластовое давление tРАБ=0 момент пуска скважины (k1gtk2ltk3)

в) Влияние проницаемости скин-фактора Q-расход PС ndashдавление РПЛ-

начальное пластовое давление tРАБ=0 момент пуска скважины (s3gts2lts1)

В ГДИС используются специальные способы представления данных

позволяющие сделать их интерпретацию более наглядной

Рис53 иллюстрирует основные способы представления результатов

ГДИС для исследования добывающей скважины включающей цикл I запуска с

постоянным расходом (КСД-пуск) и цикл II остановки (КВД)

PCQ

PCQ

t=to

Q

PC (k=k1)

PC (k=k3)

PC (k=k2)

PC=PПЛ tРАБ

Q1

PC=PПЛ

t=to

Q2

Q3

PC (Q=Q1)

PC (Q=Q2)

PC (Q=Q3)

PCQPC=PПЛ

Q

PC (s=s1)

PC (s=s2)

PC (s=s3)

а)

б)

в)

tРАБ

tРАБ

28

Рис53 Основные способы представления результатов ГДИС для

диагностики радиального режима течения при пуске в работу со стабильным

расходом добывающей (I) и нагнетательной (II) скважины а) давление как

функция времени в декартовых координатах б) приращение давления как

функция времени в декартовых координатах в) приращение давления как

функция логарифма времени г) логарифм приращения давления и логарифм

логарифмической производной как функция логарифма времени

Базовым способом представления результатов ГДИС является график

полной (по всем циклам исследования) кривой изменения давления во времени

в процессе ГДИС в декартовых координатах (рис53а)

Графики в декартовых координатах зависимости приращения давления от

времени по отдельным циклам позволяют унифицировать результаты измерения

давления по циклам его роста (КВД) и падения (КСД - пуск) Приращение

вычисляется как модуль разности текущего давления (Р) и начального давления

PС

P=Рпл

a)

I

II

ln(tРАБtОСТ)(tРАБ +tОСТ)

IIбtРАБ

РНАЧI

РНАЧII

P=РНАЧI-PС

ln(tРАБ)

P

lnPlnPP

P

Iв)

Iг)

Iд)

P

lnPlnPP

P

IIв)

IIг)

IIд)

tОСТ

P=PС-РНАЧII

tРАБ

ln(tРАБ)

ln(tРАБ+tОСТ)tОСТ

ln(tРАБtОСТ)(tРАБ +tОСТ)

tОСТ

PС

29

(РНАЧ) в цикле Р= Р-РНАЧ Величина Р монотонно увеличивается во

времени вне зависимости от соотношения дебитов в цикле исследования и

предшествующем цикле[6]

График зависимости приращения давления от логарифма текущего

времени laquolntРАБraquo используется для представления результатов КСД-пуск

(рис53Iв) Участок КСД соответствующий радиальному режиму в данном

масштабе аппроксимируется линейной асимптотой Эта особенность

радиального режима используется для его диагностики

Как следует из соотношения (52) наклон асимптоты определяется

гидропроводностью пласта а свободный член значением гидропроводности и

приведенного радиуса (то есть и скин-фактора)

Для цикла (КВД) вместо логарифмического масштаба времени

используется так называемый обобщенный логарифмический масштаб

вычисляемый на основе продолжительностей и расходов циклов работы

скважины предшествующих анализируемому (рис53IIв)

Как следует из соотношения (53) для цикла КВД после одиночного цикла

работы скважины данный масштаб вычисляется по формуле

ОСТРАБ

ОСТРАБP

tt

ttt

)(lnF

(54)

Во временном интервале радиального режима течения КВД

аппроксимируется линейной асимптотой Наклон асимптоты определяется

гидропроводностью пласта а свободный член значением гидропроводности и

приведенного радиуса (то есть и скин-фактора)

Масштаб Хорнера у которого радиального режима течения также является

логарифмическим (рис53II б)

Как следует из соотношения (52) для цикла КВД после одиночного цикла

работы скважины данный масштаб вычисляется по формуле

)ln()(lnОСТ

ОСТРАБ

Pt

tttF

(65)

30

Данный масштаб является инверсным по времени При увеличении

времени его значения падают Участок КВД соответствующий радиальному

режиму течения аппроксимируется линейной асимптотой Наклон асимптоты

определяется гидропроводностью пласта а свободный член значением

пластового давления

Двойной логарифмический масштаб для цикла laquoКСД-пускraquo предполагает

представление логарифма приращения давления laquoln(P)raquo и логарифма

логарифмической производной ln(P) от логарифма времени (рис62Iд)

Логарифмическая производная в этом случае вычисляется по формуле

)ln( P

PP

(66)

Для цикла laquoКВДraquo двойной логарифмический масштаб предполагает

представление параметров laquoln(P)raquo и ln(P) от обобщенного логарифмического

времени соотношение (69)- рис62IIд

)( PF

PP

P

(67)

Данный масштаб является универсальным используется для диагностики

не только радиального но и линейного и других не радиальных режимов течения

для всех типов циклов ГДИС

Следует подчеркнуть что соотношения (51)-(54) выведены для двух

цикличной технологии исследования и при увеличении числа циклов должны

быть модифицированы Но описанный выше принцип масштабирования

результатов ГДИС является универсальным

31

Рис 54 Билогарифмический график КВД [5]

На основе интерпретации результатов исследования ГДИС определяются

параметры энергетического состояния скважины (пластовое давление

депрессия продуктивность динамика их изменения) фильтрационные

параметра пласта (гидропроводность подвижность пьезопроводность

проницаемость) зональность их распространения по площади

В настоящей магистерской диссертации была реализован метод

математического моделирования с целью получения информации о

проницаемости и пластовом давлении в точках исследуемых скважинах

погрешностью полученных параметров на основе качества исследования

(наличие на билогарифмическом радиального режима) связанным со временем

исследования

ГЛАВА 6 ТЕОРИЯ ФИЛЬТРАЦИИ В УПРУГОЙ ПОРИСТОЙ

СРЕДЕ

Основа теории фильтрации основана на изучении движения

(просачивания) жидкости через пористую среду Особенности процессов

фильтрации зависят от упругих свойств среды и насыщающих их флюидов

Для постановки задачи фильтрации жидкости в упругой среде прибегают

к краевой или начально-краевой задаче с соответствующими граничными

условиями Для нахождения математического выражения фильтрации флюидов

в пористой среде решают систему дифференциальных уравнений в частных

производных

Векторы скорости и плотности фильтрующейся жидкости могут быть

представлены в следующем виде - (119909 119910 119911 119905) и плотностью жидкости

120646 (119909 119910 119911 119905) Одной из важных характеристик поровой среды является пористость

32

ndash это относительный объем порового пространства в материале именно этот

параметр определяет количество флюида которое содержится или может

содержаться в определенном объеме пористой среды [7]

Теория фильтрации флюидов опираются на фундаментальный закон

сохранения массы в соответствии с которым изменения массы жидкости в

любом произвольном объеме V внутри замкнутой поверхности происходит за

счет изменение притока и оттока жидкости через границу объема (уравнение

неразрывности) [12]

Поток жидкости через произвольную однозначно определенную

замкнутую поверхность Γ в пористой среде с коэффициентом пористости - φ

заполненной флюидом с вязкостью μ (рис 61)

Рисунок 61 Замкнутая поверхность Γ в пористой среде (The Society of Petroleum Engineers

2014)

Скорость поступление массы объемом V через поверхность Г равна

скорости изменения данной массы в этой области (The Society of Petroleum

Engineers 2014)

119889119872119892

119889119905=

119889

119889119905∭ 120588120593119889119881 =∭

120597

120597119905(120588120593)119889119881

119881119881 6 1

Масса поступающая в определенный объем пористой среды через

дифференциальный элемент поверхности dΓ за промежуток времени Δt со

скоростью равна minus120646 lowast Отличие массы поступившей в определенную

поверхность и массой покинувшей эту поверхность за изменение времени Δt

равна

33

∆119872119892 = minus∆119905∯ 120588 lowast 119889Г Г

6 2

Скорость притока флюида в объем области V через поверхность Γ

lim∆119905rarr0

119889119872119892∆119905

=119889119872119892119889119905

= ∯120588 lowast 119889Г

Г

6 3

Приравняем правые части уравнения (119889119872119892

119889119905=

119889

119889119905∭ 120588120593119889119881 =

119881

∭120597

120597119905(120588120593)119889119881

119881 ) и ( lim

∆119905rarr0

119889119872119892

∆119905=

119889119872119892

119889119905= ∯ 120588 lowast 119889Г

Г 63) если функции

входящие в эти уравнения являются достаточно гладкими то применяем теорему

Остроградского ndash Гаусса к правой части уравнения ( lim∆119905rarr0

119889119872119892

∆119905=

119889119872119892

119889119905=

∯ 120588 lowast 119889Г Г

63) получаем

∭ [120597

120597119905(120588120593) + nabla120588] 119889119881

119881=0 (64)

Интеграл может быть приравнен к нулю тогда когда сама функция под

знаком интеграла равна нулю исходя из этого утверждения можем получить

120597

120597119905(120588120593) + nabla120588 = 0 (65)

Полученное уравнение (65) можем переписать через поля давления по

причине отсутствия непосредственного замера скорости и плотности потока при

гидродинамическом исследовании скважины (ГДИС) Для пересчета в

характеристики давления потока воспользуемся законом фильтрации Дарси и

уравнение состояния [2]

Уравнение состояния которое связывает плотность и давление

с = minus1

119881

120597119881

120597119875 с =

1

120588

120597120588

120597119875 сρ

120597119875

120597119905=120597120588

120597119905 0 6

c ndash сжимаемость жидкости отрицательный знак отражает условие что

при положительном коэффициенте сжимаемости будет происходить сжатие

флюида (давление растет объем уменьшается) Различают общую сжимаемость

с119957 и сжимаемость пористой среды с119943

с119891 =1

120593

120597120593

120597119875 6 7

34

с119905 = с119891 + 119888 6 8

Исторически уравнение баланса было получено экспериментально Анри

Дарси По закону Дарси вектор скорости фильтрации выражается через вязкость

флюида micro и тензор проницаемости k Знак минус в правой части также имеет

физически явный смысл в отсутствии сил действующих на массу жидкость

начинает движение из областей в повышенным давление в область с меньшим

давлением

= minus119896

120583nabla119875 6 9

При рассмотрении первого слагаемого уравнения 120597120597119905(120588120593) + nabla120588 = 0

(65 и с = minus1

119881

120597119881

120597119875 с =

1

120588

120597120588

120597119875 сρ

120597119875

120597119905=

120597120588

120597119905 06 выполним подстановку

120597

120597119905(120588120593) = 120593

120597120588

120597119905+ 120588

120597120593

120597119905= 120593сρ

120597119875

120597119905+ 120588

120597120593

120597119905= 120593сρ

120597119875

120597119905+ 120588

120597120593

120597119875

120597119875

120597119905=

= 120593сρ120597119875

120597119905+ 120588с119891120593

120597119875

120597119905= 120588с119905120593

120597119875

120597119905 6 10

Далее перезапишем уравнение 120597120597119905(120588120593) + nabla120588 = 0 (65 с учетом

данного выражения и подставим вектор скорости из уравнения закона Дарси

с119905120593120597119875

120597119905= nabla(

119896

120583nabla119875)

1

120594

120597119875

120597119905= nabla2119875 120594 =

119896

с119905120593120583 6 11

Где 120594 ndash коэффициент пьезопроводности с119905120593120597119875

120597119905= nabla(

119896

120583nabla119875)

1

120594

120597119875

120597119905= nabla2119875 120594 =

119896

с119905120593120583 611 определяется как уравнение пьезопроводности - основным

уравнением которое описывает процессы возникающие при гидродинамических

исследованиях

Данное уравнение пьезопроводности (611) может быть перезаписано

относительно радиальных координатах

1

120594

120597Δ119875

120597119905=1

119903

120597

120597119903(119903120597Δ119875

120597119903) 6 12

где 120607119927 = 119875119894 minus 119875 119875119894 minus начальное пластовое давление

35

Уравнение пьезопроводности решается практически во всех

аналитических моделях и выражается в них в радиальных формулах

Однозначно определенным объектом такого радиального решения служит

нагнетательная или добывающая скважина Выбранная система координат

наилучшим способом описывает моделирование радиального потока

относительно скважины

ГЛАВА 7 МОДЕЛИРОВАНИЕ ИССЛЕДОВАНИЙ

Уравнением описывающим процессы происходящие при исследованиях

ГДИ является уравнение пьезопроводности Данное уравнение (71) описывает

неустановившееся однофазное одномерное течение флюида в пористой среде и

выражает связь между пластовым давлением временем и расстоянием от

скважины до точки наблюдения Решение уравнения пьезопроводности (72) для

простого случая работы вертикальной скважины в бесконечном пласте позволяет

получить модель характеризующую перераспределение давления в пласте

1

120594

120597120549119875

120597119905=1

119903

120597

120597119903(119903120597120549119875

120597119903) (71)

∆119875(119905 119903) = minus9205119902119861120583

119896ℎ119864119894 (minus

1199032

000036120594119905) (72)

(q ndash дебит скважины м3сут B ndash объёмный коэффициент 120583 ndash

вязкость жидкости cпз k ndash проницаемость мД h ndash мощность пласта

м r ndash радиус м χ ndash пьезопроводность мД(спзатм-1) t ndash время ч)

Инструмент позволяет моделировать исследование ГДИ для случаев с

разным закачиванием скважин (вертикальная скважина вертикальная скважина

с гидравлическим разрывом пласта (ГРП) горизонтальная скважина

горизонтальная скважина с многостадийным ГРП) На первом этапе по заданным

свойствам пласта и флюида моделируется ГДИ описывающая изменение

забойного давления в скважине [1]

36

На следующем этапе моделирования строится билогарифмический график

(рис71) по которому специалисты ГДИ определяют свойства пласта Таким

образом создав синтетическое ГДИ можно предсказать как будет выглядеть

билогарифмический график исследования КВД (кривая восстановления

давления) характеризующего остановку скважины

Моделирование исследования ГДИ проводится для N ndash исходов (рис71) и

для разного времени длительности исследования t (50-100-150hellipчасов) в

результате чего инструмент определяет свойства пласта (проницаемость и

пластовое давление) по результатам исследования зависящих от времени

длительности ГДИ

Рис71 Результаты моделирования исследования ГДИ

ГЛАВА 8 ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИ ФИЛЬТРАЦИИ

ФЛЮИДОВ

811 Основа модели фильтрации к вертикальной скважине

Для самого начала рассмотрим самый простой случай движения флюида

в однородном бесконечном пласте начиная с начального постоянного давления

119927119946

В начальный момент t = 0 однотипно с началом первого цикла

эксплуатации у пласта коллектора начальное равномерное давление - 119927119946

ΔP(r t = 0) = 0 P(r t = 0) = Pi (8111)

Введем в рассмотрение граничное условие когда границы отсутствует

это сопоставимо что пласт-коллектор характеризуется бесконечной

протяженностью

0

05

1

15

2

25

-3 -2 -1 0 1 2 3

LO

G (

dP

) LO

G(P

`)

LOG(dt)

Билогарифмический график

LOG (P(t)-P(tp))

37

ΔP(r rarr infin t) = 0 P(r rarr infin t) = Pi (8112)

Второе граничное условие на радиусе скважины будет зависить от

условий на поверхности ствола (r = rw) Введем в рассмотрение единичную

вертикальную скважину радиусом 119953119960 которая полностью вскрывает

однородный изотропный коллектор с коэффициентом проницаемости k и

эффективной мощностью h добывает однородную малосжимаемую жидкость

вязкостью μ при стандартных условиях с дебитом Q м3 В условиях пласта объем

добываемого флюида составит Qsf = Qb (где b ndash объемный коэффициент

жидкости)

(119903120597119875

120597119903)119903=119903119908

=119902119861120583

2120587119896ℎ (8113)

Одной из удобных моделей моделировании фильтрации к скважине

является модель линейного источника которая является предельным случаем

скважины нулевого радиуса

119897119894119898 (119903120597119875

120597119903)119903rarr0

=119902119861120583

2120587119896ℎ (8114)

На практике прибегают к упрощению постановки задачи путем ввода

безразмерных переменных При решении задачи относительно новых

переменных позволяют интегрировать остальные параметры и в конечном счете

задача сводится к решению уникального набора уравнений которые легко

разрешаются аналитическим методом раз Физический смысл ввода

безразмерных параметров заключается в исключении из основного уравнения

параметров пьезопроводности пласта-коллектора с целью поиска обобщенного

решения с помощью которого переходя на изначальные размерные параметры

удается получить решение для определенного пласта и определить параметры

пьезопроводности и проводимости (Houzeacute O 2008)

119903119863 =119903

119903119908 (8115)

119905119863 =000036119896119905

1205931205831198881199051199031199082 (8116)

38

119875119863 =2120587119896ℎ

119902119861120583∆119875 (8117)

Далее вводим безразмерные параметры переходим к общей задаче

120597119875119863120597119905119863

=1

119903119863[120597

120597119903119863(119903119863

120597119875119863120597119903119863

)] (8118)

119875119863(119903119863 119905119863 = 0) = 0 (8119)

119875119863(119903119863 rarr infin 119905119863) = 0 (81110)

119897119894119898 (119903119863120597119875119863120597119903119863

)119903119863rarr0

= minus1 (81111)

Решая данное дифференциальное уравнение удобно применить

интегральные преобразования Принято при решении уравнения

пьезопроводности пользоваться особой формой линейных интегральных

преобразований являющиеся преобразованиями Лапласа Далее применяем к

уравнению (120597119875119863

120597119905119863=

1

119903119863[120597

120597119903119863(119903119863

120597119875119863

120597119903119863)] (811) преобразования Лапласа

s119875119863 =1

119903119863[120597

120597119903119863(119903119863

120597119875119863

120597119903119863)] (81112)13

Трансформанта Лапласа

119875119863 (119904 119903119863) = int 119875119863(119905119863

infin

119905119863

119903119863) exp(minus119904119905119863) 119889119905119863 (81113)

где s mdash это число достаточно велико чтобы мог существовать интеграл

действительная часть которого положительна Функция обозначенная чертой

сверху является образом (изображением) функции или результатом

интегрального преобразования Лапласа где подынтегральной функцией

является прообразом (оригиналом) Решение уравнения(811s119875119863 =

1

119903119863[120597

120597119903119863(119903119863

120597119875119863

120597119903119863)] (81112)13) можно представить через модифицированное

уравнение Бесселя нулевого порядка которое можно записать в следующем

виде

119875119863 (119904 119903119863) = 119860(119904)1198680(119903119863radic119904) + 119861(119904)1198700(119903119863radic119904) (81114)

39

1198680 и 1198700 являются модифицированными функциями Бесселя нулевого

порядка Значения коэффициентов A и B в уравнении определяются с помощью

подстановки граничных условий в уравнение Осуществляем подстановку

граничных условий из внешнего ГУ А(s)=0 B(s)= 1

119904 В итоге получаем

изображение решения для линейного источника в виде

119875119863 (119904 119903119863) =1

1199041198700(119903119863radic119904) (81115)

Для нахождения образа функции выполняем обратное преобразование

Лапласа полученного уравнения Данную операция можно выполнить с

помощью таблиц преобразований Лапласа (из таблиц в работах (Churchill RV

1972) и (Abramowitz M 1972))

119871minus1 (1198700(119903119863radic119904)) =1

2119905exp(minus

1198962

4119905) (81116)

Обобщаем выводим решение для линейного источника с безразмерными

параметрами

119875119863(119905119863 119903119863) = minus119864119894 (minus1199031198632

4119905119863) 119864119894(119909) = minus int

119890minus119910

119910119889119910

infin

minus119909

(811 14)

Где 119864119894(119909)-интегральная показательная функция Далее выполняем

обратное преобразование переходим на размерные величины

∆P(t 119903) = minusqBμ

2πkh119864119894 (minus

r2

4 lowast 000036120594t) (811 15)

Полученное решение уравнения в каждой точке и на каждом промежутке

времени удовлетворяет задаче фильтрации для скважины линейного источника

находящаяся в эксплуатируемом фонде скважин вскрывающая интервалом

перфорации эффективную мощность однородного бесконечного пласта-

коллектор Одним из выводов из решения уравнения пьезопроводности гласит

что поля релаксации перепада давления мгновенно перераспределяются по

пласту-коллектору Также стоить отметить существующее решение на дальнем

расстоянии от скважины 119903119894119899119907 вблизи которого перепад давления столь мал что

40

этим можно пренебречь Исходя из этого предположения можно определить

радиус исследования 119903119894119899119907 который характеризует размер области исследования

результат интерпретации которых зависят от свойства пласта и флюидов в

скважине [11]

При рассмотрении полей давления в пласте с бесконечной

протяженностью во время запуска скважины в работу на основании полученного

ранее решения уравнения (рис 8111) В первоначальный момент времени 1199051 =

0 забойное давление в скважине равно текущему пластовому давлению через

некоторый отрезок времени в интервале - 1199052 вокруг точки скважины

формируется так называемая laquoворонка депрессииraquo которая может

характеризовать неустановившийся режим течения При движение по временной

шкале воронка депрессии будет распространяться на более дальние расстояния

от скважины пока не достигнет определенной границы (119903119894119899119907=119903119908 +radic120594t) Если

рассматривать зеркально противоположный пример при остановке скважины

воронка депрессии будет становиться меньше и будет уменьшаться пока

значение давления в скважине не достигнет пластового и останется стабильным

Понятие радиального режима для течения флюидов в пласте является

основополагающим для интерпретации гидродинамических исследований Это

режим характеризует обстановку при которой скорость фильтрации и поля

давления имеют радиальную симметрию и линии тока в пласте направлены к

круговому цилиндру по радиусу от периферии пласта к скважине (Рис 1)

41

Рис 8111 Линии тока для вертикальной скважины при радиальной

фильтрации [6]

Решение линейного источника может достичь радиального режима с

определенного времени 119905119909 такую характерную зависимость можно проследить

на билогарифмическом графике (рис 8111) этот режим характеризуется

стабилизацией производной давления С помощью данного графика

проницаемость пласта вычисляется по формуле

119896ℎ = 119902119861μ lowast05

2120587∆Pстаб (81119)

При рассмотрения кейса решения уравнения пьезопроводности в случае

вертикальной скважины в цилиндрическом пласте-коллектора изменится гу на

г

р

а

н

и

ц

е

ц

и

л

и

н

(120597Δ119875

120597119903)119903=119903119890

= 0 (81120)

Аналогично ранее описанному алгоритму решению уравнения

пьезпроводности получим изображение депрессии

∆P (119904) =qBμ

2πkhlowast

lowast

1198680 (119903radic119904120594)1198701 (119903119890radic

119904120594)+ 1198681 (119903119890radic

119904120594)1198700 (119903radic

119904120594)

119903119908radic119904120594119904 [1198681 (119903119890radic

119904120594)1198701 (119903119908radic

119904120594)minus 1198681 (119903119908radic

119904120594)1198701(119903119890radic

119904120594]

(81121)

42

Аналитическое преобразование данного уравнения принимают

следующий вид (Van Everdingen AF and HurstW W 1953)

∆P(t 119903) =qBμ

2πkh

2

1199031198902 minus 119903119908

2(120594119905 minus

1199032

4) minus

1199031198902

1199031198902 minus 119903119908

2119897119899r

119903119908minus

1

(41199031198902 minus 119903119908

2)2lowast

lowast (31199031198904 minus 4119903119890

4119897119899119903119890119903119908minus 2119903119890

2 minus 1) +

+120587sum11986912 (120573119899

119903119890119903119908) [1198691(120573119899)1198840 (120573119899

r119903119908) minus 1198841(120573119899)1198690 (120573119899

r119903119908)]

120573119899 [11986912 (120573119899

r119890119903119908) minus 1198691

2(120573119899)]

infin

119899=1

119890119909119901 (minus1205731198992 120594119905

1199031199082) (81122)

1205731 1205732 и тдndash решения уравнений

1198841(120573119899)1198691 (120573119899r119890119903119908) minus 1198691(120573119899)1198841 (120573119899

r119890119903119908) = 0 (81123)

В поставленной формулировке задачи для выведенного уравнения

решения невозможно сходу подобрать обратное преобразование Лапласа с

помощью табличных значений (аналитической функции) (Abramowitz M 1972)

Однако можно выполнить найти решение выполнив его численно Для решения

задач нестационарной фильтрации флюидов применимы алгоритмы численного

обращения основанные на стохастических подходах (Stehfest H 1970) которые

предполагают что можно рассчитывать приближенное значение оригинала pa(T)

по найденному изображению p(s) в определённый момент времени t = T [13]

119901119886(119879) =1198971198992

119879sum119881119894

119873

119894=1

(119904)119904=1

1198971198992119879 (81124)

119881119894 = (minus1)(1198732)+119894

sum1198961198732(2119896)

[(1198732)

minus 119896] 119896 (119896 minus 1) (119894 minus 119896) (2119896 minus 119894)

min(1198941198732)

119896=(119894+1)2

(81125)

812 Приток к вертикальной скважине с трещиной ГРП

Ранее было выведены решения задачи фильтрации для вертикальных

скважин Метод источников который был применен также используется для

случаев скважин с более сложной геометрией ННС (наклоннонаправленных

43

скважин) ВС ГРП (вертикальный с гидроразрывом пласта) ГС ГРП

(горизонтальных с гидроразрывом пласт)

Функция Грина и метод источников применяется для решения двух- и

трёхмерных задач неустановившейся фильтрации Под источником понимается

некоторая точка поверхность или объем из области которых флюид отбирается

из пласта-коллектора или закачивается Строго говоря отбор жидкости должен

ассоциироваться со стоком а закачка с источником Под физической основой

источник можно сопоставить со скважиной бесконечно малого диаметра в

которую мгновенно закачивается конечное количество флюида[16]

Функции Грина и метод источников тесно связаны между собой Функция

Грина определяется для дифференциального уравнения со специальными

граничными условиями (заданный расход или давление) и соответствует

решению для мгновенного точечного источника С другой стороны функции

источников представляют собой решения данного дифференциального

уравнения с указанными граничными условиями и геометрией источника

Фундаментальное решение функции Грина (G (M Mrsquo τndasht)) для

неустановившегося потока флюида в пористой среде может соотнесено с

давлением в точке M (x y z) в определенный момент времени t которое

обусловлавливает мгновенный точечный источник единичной интенсивности

который создан в точке Mrsquo(xrsquo yrsquo zrsquo) во временя τ lt t Необходимо чтобы

функция Грина удовлетворяла уравнению пьезопроводности

120597119866

120597119905= 120594nabla2119866 81161

120597119875

120597120591= 120594nabla2119875 8122

int nabla2119891(119872)119889119872 =119863

int120597119891

120597119899Г

119889Г 8123

Используем свойства функции Грина можем применить терему Грина

(8123) с учетом (8122) (Gringarten AC and Ramey HJ 1973) получим

44

∆119875(119872 119905) =1

120593119888int int

Г119908(119872119908

prime 120591)119866(119872119872119908prime 119905 minus 120591

119905

0)119889119872119908

prime 119889120591 =

1

120593119888int 119905

0(120591)119878(119872119872119908

prime 119905 minus 120591)119889120591 8123

119878(119872119872119908prime 119905 minus 120591) = int 119866(119872119872119908

prime 119905 minus 120591)119889119872119908prime

Г119908 8124

где Г119908 ndash граница ствола скважины = minus119896

120583

120597119875

120597119899 ndash объём потока который

проходит через точку на поверхности внутренней границы 119872119908prime Применяем

интегрирование правой части данного уравнения (724) получаем

распределение точечных источников по площади длине и объему источника

Для разных конфигураций системы laquoисточник-пластraquo можно подобрать

табличные базовые функции соответствующих мгновенных источников (The

Society of Petroleum Engineers 2014)

В практике нефтегазовой отрасли практически на многих добывающих

скважинах проводиться МУН (метод увеличения нефтеотдачи) Одним из

распространенных методов интенсификации флюида является гидравлический

разрыв пласта (ГРП) который заключается в формировании высокопроводимой

трещины в продуктивном интервале пласте для увеличения притока флюида к

скважине

Поставим задачу решения уравнения фильтрации флюида к вертикальной

скважине с трещиной ГРП Из условий скважина полностью вскрывает пласт

эффективной мощностью h кровля и подошва пласта ограничена

непроницаемыми ровными горизонтальными границами Трещина ГРП

расположена симметрично относительно нормали ствола скважины полудлина

трещины - xf ширина - wf (wf ltlt xf) коэффициент проницаемости трещины kf

индекс laquofraquo характеризует трещину ГРП В горизонтальном направлении пласт

бесконечный (рис 8121 ndash 8122) Течение потока к трещине выражается

двумерным стоком флюида

45

Рис 8121 Вертикальная трещина (вид сбоку)

Рис 8122 Течение флюида к вертикальной трещине (вид сверху)

В ходе решения задачи стоит рассмотреть два типа течения

1) поток в трещине

2) поток в пласте с трещиной

1) Переходя к безразмерным переменным (8115-8117) запишем

уравнение пьезопроводности (8118) и граничные условия (8119-81110)

119901119891119863(119909119863 119905119863) =2120587119896ℎ (119901119894 minus 119901119891(119909 119905))

119902119908120583 (8125)

119905119863 =119896119905

1206011205831198881199051199091198912 (8126)

119909119863 =119909

119909119891 (8126)

119902119891119863(119909prime 120591) =

2119902119891(119909prime120591)

119902119908119909119891 (8127)

1198892119901119891119863(119909119863)

1198891199091198632

=120587

119865119862119863119902119891119863(119909119863) (8128)

119889119901119891119863

119889119909119863 119909119863=0=

120587

119865119862119863 (8129)

46

119889119901119891119863119889119909119863 119909119863=1

= 0 (81210)

Перепад значений давления между забойным давлением и в точке

трещины с координатой 119909119863 можно записать

119901119908119863 minus 119901119891119863(119909119863) =120587

119865119862119863[119909119863 minusint int 119902119891119863(119909

primeprime)119889119909primeprime119889119909prime119909prime

0

119909119863

0

] (81211)

2) Течение добываемого флюида из пласта-коллектора в трещину

можно рассмотреть как наличие нестационарного источника жидкости qf(xt) в

самой трещине Используя метод источников который был рассмотрен ранее

безразмерное давление в любой произвольной точке пласта

119901119863(119905119863 119909119863 minus 119909119908119863 119910119863 minus 119910119908119863) = int int 119902119891119863(120591 119909prime minus 119909119908119863)119866(120591 119909

prime 119909119863 minus1

minus1

1199051198630

119909119908119863 119910119863 minus 119910119908119863)119889119909prime119889120591 (81212)

(119909119908119863 119910119908119863) - безразмерные координаты точки забоя скважины в

горизонтальной плоскости (xy) ось 119909 направлена вдоль трещины

Записывается условие непрерывности давления в пласте и в трещине

119901119891119863(119905119863 119909119863) = 119901119863(119905119863 119909119863 0) (81213)

Следовательно уравнение (81211) принимает вид

119901119908119863 minusint int119902119891119863(120591 119909prime)119866(120591 119909prime 119909119863 0)119889119909

prime119889120591

1

minus1

119905119863

0

=120587

119865119862119863[119909119863 minusint int 119902119891119863(119905119863 119909

primeprime)119889119909primeprime119889119909prime119909prime

0

119909119863

0

] (81214)

Применяем преобразование Лапласа

119908119863(119904) minus int 119891119863(119904 119909prime)(119904 119909prime 119909119863 0)119889119909

prime =1

minus1

120587

119865119862119863[119909119863

119904minus

int int 119891119863(119904 119909primeprime)119889119909primeprime119889119909prime

119909prime

0

1199091198630

] (81215)

int 119891119863(119904 119909prime)119889119909prime

1

minus1

=1

119904 (81216)

47

Получили изображения Лапласа соответствующих функций ndash

оригиналов Решение системы производится путём дискретного разбиения

трещины по длине на 2n сегментов и записи данной системы в следующем виде

для каждого дискретного сегмента (рис 723)

Рис 8123 Схема разбиения трещины на сегменты

119908119863(119904) minussum119891119863119894

119899

119894=1

int (119904 119909prime d119909 (119895 minus1

2) 0) 119889119909prime

d119909119863119894

d119909119863(119894minus1)

+ int (119904 119909prime d119909 (119895 minus1

2) 0) 119889119909prime

d119909119863(minus119894+1)

d119909119863(minus119894)

+120587

119865119862119863[119889119909119863 ∙ 119895

119904minus (119889119909119863)

2sumsum119891119863119896

119894

119896=1

119895

119894=1

] (81217)

119889119909119863 ∙sum 119891119863119894

119899

119894=1

=1

2119904 (81218)

Изображение давления в любой точке пласта можно найти по формуле

119863(119904 119909119863 119910119863) = sum 119891119863119894 int (119904 119909prime 119909119863 119910119863)119889119909119863∙119894

119889119909119863(119894minus1)119889119909prime +119899

119894=1

int (119904 119909prime 119909119863 119910119863)119889119909119863∙(minus119894+1)

119889119909119863∙(minus119894)119889119909prime (81219)

Где 119891119863119894 ndash изображение функции мощности источников в каждом n

сегменте [17]

48

813 Основа модели фильтрации к горизонтальной скважине с МГРП

Задача притока добываемого флюида к горизонтальной скважине с

многостадийным гидроразрывом пласта (МГРП) схематично можно

представить как несколько одинаковых трещин соединенных общим

горизонтальным стволом Каждая трещина пресекает ствол горизонтальной

скважины в центре и является симметричной относительно ствола ((119909119908119863119895 119910119908119863119895)

Рис 8131 Схематическое изображение ГС с МГРП

Каждая трещина ГРП будет иметь равную полудлину 119909119891 и безразмерную

проводимость 119865119862119863 В модели существует предположение что течение флюида

внутри трещины является одномерным Следовательно поток флюида к

горизонтальному стволу скважины с n трещинами будет равен алгебраической

сумме потоков флюида от каждой трещины

119876 = sum 119876119895(119905)119899119895=1 = 119888119900119899119904119905 (8131)

Как ранее для общения задачи вводим безразмерные переменные

давление в точке пересечения скважины с j трещины - 119901119908119863119895 безразмерный дебит

- 119902119863119895 =119876119895

119876

Из условий бесконечной проводимости для горизонтального ствола

119901119908119863119895 = 119901119908119863 119895 = 1 119899 8132

Возмущение давление которое создается трещиной k в точке пересечения

119895 трещины со скважиной ndash 119901(120591)119863119895119896 equiv 119901119863(120591 119909119908119863119896 119910119908119863119896 119909119908119863119895 119910119908119863119895) применяя

принцип суперпозиции

119901119908119863(119905119863) = sum int 119902119863119895 ∙ 119901prime119863119895119896(119905119863 minus 120591)119889120591 8133

1199051198630

119899119895=1

49

Суммарный поток флюида от всех трещин будет фиксирован

sum 119902119863119895119899119895=1 = 1 и с преобразованием Лапласа - sum 119863119895

119899119895=1 =

1

119904 8134

Преобразование Лапласа для 734 р119908119863119895 = sum 119904119863119895119863119895119896119899119896=1 8135

119863119895119896 = int 119891119863(119904 |119909119908119863119896 minus 119909prime|)(119904 119909119908119863119896 minus 119909prime 119909119908119863119895 119910119908119863119896 119910119908119863119895)119889119909

prime

119909119908119863119896+1

119909119908119863119896minus1

8136

119863119895119896 =sum119891119863119894 int (119904 119909119908119863119896 minus 119909prime 119909119908119863119895 119910119908119863119896 119910119908119863119895)119889119909prime

119889119909119863∙119894

119889119909119863(119894minus1)

119899

119894=1

+ int (119904 119909119908119863119896 minus 119909prime 119909119908119863119895 119910119908119863119896 119910119908119863119895)119889119909prime

minus(119894minus1)∙119889119909119863

minus119894∙119889119909119863

8137

Мощность источников 119891119863(119904 |119909119908119863119896 minus 119909prime|) вычисляется из (81217-

81218) где 119889119909119863 =1

119899 ndash безразмерная длина каждого n сегмента 119891119863119894 -

безразмерная скорость течения через i элемент

Система уравнений (8134-8137) записывается в виде [8]

А = 8138

= (

1199081198631198631⋮119863119899

) 8139

А = (

1 minus119904 ∙ 11986311 ⋯ minus119904 ∙ 1198631119899⋮ ⋮ ⋱ ⋮

1 minus119904 ∙ 1198631198991 hellip minus119904 ∙ 1198631198991198990 1 hellip 1

) 81310

= (

0⋮01 119904frasl

) 81311

50

Для вычисления матричных элементов 119863119895119896 необходима информация о

мощности потока в из всех 119899 трещин ГРП Если считать что каждая трещина ГРП

делится на 2119898 сегментов (рис 8123) тогда система (81310) будет содержать

(1 + 2119898 times 119899) количество уравнений относительно следующих неизвестных

119908119863 11989111986311 hellip 119891119863(2119898)1 hellip 1198911198631119899 hellip 119891119863(2119898)119899 где в 119891119863119894119895 ndash течение через i-й

сегмент в j-й трещине Пользуясь упрощенным подходом можем переписать в

следующем виде[19]

forall119895 isin 1hellip119899 forall119896 = 1hellip119898 ∶ 119891119863119895119896 = 119863119895 ∙ 119891119863119896 81312

При определении мощности источников используется допущение что на

распределение мощности источников внутри каждой из трещин соседние

трещины оказывают слабое влияние Можно предположить что распределения

мощности потока в трещинах симметричны относительно точки пересения со

стволом скважины Элементы матрицы А в (81310) получают по формуле

(8137)

119863119895119896 =sum119891119863119894 int (119904 119909119908119863119896 plusmn 119909prime 119909119908119863119895 119910119908119863119896 119910119908119863119895)119889119909

prime

119889119909119863∙119894

119889119909119863(119894minus1)

81313

119899

119894=1

где функция (hellip ) определяется по табличным формулам в зависимости

от граничных условий и типа зоны дренирования

Для решения СУ используется выражение матрицы в виде произведения

дву нижней треугольной и верхней треугольной (LU-декомпозиция) (Ортега

Дж 1991) Так называемое LU-разложение (LU-декомпозиция) mdash

представление выражение определенной матрицы в виде произведения двух

матриц A = LU где L mdash нижняя треугольная матрица а U mdash верхняя

треугольная матрица [15]

Ниже представлены применяемые в данной работе функции источников

в пространстве Лапласа

Таблица 8131 Функции линейных стоков

51

Тип условий на

границах

Функции линейных стоков

119899119899119899119899 =

=120587

2119909119890119863coshradic1199041198631 + coshradic1199041198632

radic119904 sinhradic119904119910119890119863

+ 2sumcos119896120587119909119863119909119890119863

cos 119896120587(119909119908119863 minus 119909prime)

119909119890119863

cosh 1205981198961198631 + cosh 1205981198961198632120598119896 sinh 120598119896119910119890119863

infin

119896=1

0 17

119888119888119888119888

=120587

119909119890119863sumsin119896120587

119909119863119909119890119863

sin 119896120587|119909119908119863 minus 119909prime|

119909119890119863

cosh 1205981198961198631 minus cosh 1205981198961198632120598119896 sinh 120598119896119910119890119863

infin

119896=1

0 18

119888119899119888119899 =

=120587

2119909119890119863coshradic1199041198631 minus coshradic1199041198632

radic119904 sinhradic119904119910119890119863

+ 2sumcos119896120587119909119863119909119890119863

cos 119896120587(119909119908119863 minus 119909prime)

119909119890119863

cosh 1205981198961198631 minus cosh 1205981198961198632120598119896 sinh 120598119896119910119890119863

infin

119896=1

0 19

Где 119909119890119863 =119909119890

119909119891 119910119890119863 =

119910119890

119909119891 1198631 = 119910119890119863 minus |119910119863 minus 119910119908119863| 1198632 = 119910119890119863 minus (119910119863 + 119910119908119863) 120598119896 =

radic119904 + 11989621205872 1199091198901198632frasl 119909119890 ndash размер площади дренирования по оси x 119910119890 ndash размер

площади дренирования по y 119899 значает границу отсутствия перетока 119888

означает границу постоянного давления

82 РЕАЛИЗАЦИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ИССЛЕДОВАНИЙ

В настоящей работе реализовано решение задачи фильтрации о

нестационарном притоке флюида к скважине при постоянном заданном дебите

для скважин с разным типом заканчивания (вертикальная скважина и

горизонтальная скважина с трещинами МГРП) Математическая модель описана

для задач (Главы 811-813) реализована на языке программирования VBA

Входные параметры приведены на рис 821 Параметры границ задаются

в виде прямоугольника (рис823) Параметры скважины флюида и пласта

задаются при помощи априорной информации Проницаемость рассматривается

как распределение полученных ранее (главе 3)

y

x

y

x

y

52

В ходе решения задачи строится график - кривая стабилизации давления

зависимость изменения забойного давления от времени (рис823)

Рис 821 Входные параметры для модели

Рис 822 Расположение горизонтальной скважины в границах

53

Рис 823 Кривая стабилизация давления

На следующем этапе по последней точке определяется значения kmodel В

зависимости от длительности исследования будь то 50 часов 100 часов и более

будет зависеть погрешность результата определения свойств пласта по

отношению к истинным параметрам (рис 821) К тому же от времени

исследования будут зависеть Capex на проведения исследования

Рассчитанное значение модельное kmodel затем сравнивается с исходным

заданным значением kist В результате получаем отношение модельного значения

kmodel после проведения ГДИ к kist в зависимости от длительности ГДИС (рис

822)

Рис 821 График производной забойного давления

54

Рис 822 Отношение kmodel kist для скважины 11РО

Полученные по проницаемости параметры умножаются на эффективную

мощность пласта-коллектора и затем рассчитанное распределение

интерполируется с другими параметрами в скважинах в точку проектной

По результатам моделирования распределения свойств пласта будут

изменяться уменьшение дисперсии при увеличении длительности исследования

(рис823) Идеальным исследованием считается исследование с длительностью

достаточной для достижения производной давления на билогарифмическом

графике радиального режима течения что указывает на достоверность

параметров по результатам ГДИ (проницаемость и пластовое давление) Чем

ближе длительность исследования к идеальному ГДИ тем ниже

неопределенность в параметрах и тем ближе распределение к идеальному

Моделирование разной длительности исследования проводиться для N ndash

распределений (рис2)

Результаты смоделированного ГДИ позволяют снизить неопределенности

(сузить распределение) в свойствах пласта в точке проектной скважины Для

интерполяции в точку проектной скважины используется метод сплайн ndash

интерполяции [18]

tk model 10 20 30 40 50 60 70 80

50 2288169 1501385 1150108 0948723 0808706 0717031 0640296 0581876

100 1496394 0948581 0717744 0581513 0484438 0414342 0361937 0319311

150 1107448 0689761 0503907 0394864 0322636 0269636 0233048 0203542

200 0949817 0580742 0417822 0318936 0259364 021555 0186095 0163468

250 0818194 0486803 0338246 0259062 0206736 0173204 014824 0129707

300 0705787 0408828 0281063 0211366 0169381 0142083 012167 0106692

350 0627933 0351884 023841 017996 0144702 0119968 0103063 0090319

400 0562852 0307024 0207063 0155316 0124788 010441 0089458 0078395

450 0510211 0272553 0183196 013788 0110431 009172 0079061 0069165

500 0463384 0245037 0164854 0123914 0099043 0082679 007078 0061913

55

Рис823 Изменение распределения в зависимости от времени исследования ГДИ

На рис 824 показано распределение значений проницаемости с учетом

разной длительности исследований ГДИ

Полученное распределение kh в проектной скважине до ГДИ

характеризовалось большей дисперсией по сравнению с распределением после

проведенного ГДИ на скважине

Рис 824 Распределение kh на проектной скважине

ГЛАВА 9 РАСЧЕТ ЭКОНОМИЧЕСКОГО ЭФФЕКТА

ЦЕННОСТИ ИНФОРМАЦИИ

Ожидаемая прибыль запланированной к бурению скважины до проведения

ГДИ рассчитывается с учётом исходного распределения после ГДИ

0

001

002

003

004

005

006

007

008

009

1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800

Пл

отн

ость

вероятн

ости

Пластовое давление атм

Распределения пластового давления

Время длительности ГДИ 50 часовВремя длительности ГДИ 100 часовВремя длительности ГДИ 150 часовВремя длительности ГДИ 200 часов (идеальное исследование)

56

рассчитывается для каждого дискретного варианта исхода из N-возможных и для

разных времен длительности исследования t

На первом этапе расчёта прибыли по методу Монте-Карло определяются

значения проницаемости и пластового давления с вероятностями распределения

равными 10 50 90 и оценивается запускное значение дебита скважины По

соседним скважинам определяются темпы падения дебита скважины

усредненный темп падения используется для проектной скважины

Произведение запускного значения дебита и усредненного темпа падения

характеризует профиль добычи проектной скважины На основе профиля

добычи оценивается NPV проектного бурения который учитывает

операционные затраты и капитальные расходы проекта При оценке NPV после

запланированного исследования в капитальных затратах учитываются расходы

на проведение ГДИ стоимость интерпретации исследования инструментальные

замеры

Ожидаемая ценность EMVwi после проведения ГДИ рассчитывается как

сумма отдельно взятых N - исходов умноженных на соответствующие

вероятности исходов (91)

119864119872119881119908119894 (119905119894) = 1198641198721198811199081198941(119905119894) lowast 1198751 + 1198641198721198811199081198942(119905119894) lowast 1198752 +⋯

+ 119864119872119881119908119894119873(119905119894) lowast 119875119899 =sum119864119872119881119908119894119895(119905119894)

119873

119895=1

(91)

Чистый дисконтированный доход рассчитывается по формуле (92) где

CF ndash денежный поток r ndash ставка дисконтирования I ndash сумма инвестиционных

вложений Непосредственно CF (денежный поток) будет определяться

количеством добываемого флюида [18]

119873119875119881 = sum119862119865119905

(1 + 119903)119905minussum

119868119905(1 + 119903)119905

(92)

Инвестиционные вложения включают операционные затраты ndash Opex

повседневные затраты компании для ведения бизнеса производства товаров и

57

услуг и капитальные затраты - Capex расходы на приобретение или обновление

необоротных активов При проведении ГДИС затраты на спускподъём

оборудования интерпретацию исследования инженером и потеря в прибыли

связанные с остановкой скважины учитываются в Capex

91 EMV БЕЗ УЧЕТА ПРОВЕДЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ

Дебит ndash это ограниченный объем добытой жидкости через скважину за

определенное время Оценки производительности скважин и расчет добычи

скважины проводятся на основе запускного дебита скважины и усредненного

темпа падения дебита на соседних скважинах на протяжении 25 лет В основном

темпы падения строятся исходя из истории эксплуатации на месторождении

анализируется весь набор данных на заданный пласт

Запускной дебит может быть рассчитан по следующим формулам в

зависимости от типа скважины [9]

1) Вертикальная скважина c ГРП

119902 =2120587119896ℎ(119875119894minus119875119908)

120583119861(119897119899119877119890119877119908minus075+119878)

119878 = 1198971198992119903119908

119909119891 (911)

2) Горизонтальная скважина с МГРП

119902 = 2120587kℎ ( 119875119894 minus119875119898

2+119875119908

2) + 119898119876119863 (912)

119876119863 =2120587kℎ(119875119894minus119875119908)

120583119861(119897119899119877119890119877119908minus075+119878)

(913)

С помощью расчёта запускных дебитов а также анализа работы

окружающих скважин были получены результаты темпов падения на рисунке

911 изображены темпы падения с вероятностью Р50 нефти и жидкости за 25 лет

для определенной скважины Также построена гистограмма с накопленной

добычей (рис 911)

58

Рис 931 Темпы падения для скважины

Рис 911 Гистограмма распределения добычи нефти

для скважины 716 до ГДИ

Геологические риски и неопределенности определяют необходимость

создания вероятностной оценки дебитов запасов профилей добычи

Вероятностная оценка по границам возможной минимальной и максимальной

эффективности поможет минимизировать инвестиционные риски проекта

Модуль вероятностной оценки дебитов запасов профилей добычи

основан на теории вероятностей и математической статистики [12] По

многочисленным входным параметрам задаются диапазоны ожидаемых

величин и тип распределения - по проницаемости эффективной

нефтенасыщенной толщины пласта пластовому давлению Источник

информации ndash фактические параметры полученные с карт и распределение с

59

ошибкой их построения Чем меньше неопределенностей тем меньше дисперсия

и разброс ожидаемых параметров в возможных диапазонах

Следующим этапом переходим к расчету экономических параметров

(NPV) по найденным значениям добычи за 25 лет На рисунке изображена

гистограмма NPV и указаны количественные оценки накопленной добычи и NPV

для вероятностей P10 P50 P90 (табл 911)

Рис 04 Гистограмма распределения NPV для скважины 716 до ГДИ

Таблица 921 Показатели добычи и NPV

Вероятность Накопленная добыча нефти тыст NPV млнруб

P10 1937 3012

P50 1128 1547

P90 597 585

60

С помощью выполненных расчетов (табл 911) ожидаемая ценность

проекта бурения скважины без проведения исследований (EMVwoi) составляет

16011 млн рублей

92 EMV БЕЗ УЧЕТА ПРОВЕДЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ

Расчет экономических параметров в случае модерирования исследований

проводится аналогичным образом Для расчета добычных показателей

планируемой скважины рассчитывается также по формулам 911-913 В этом

случае значения проницаемости и пластового давления задаются с помощью

уточнённые параметров после ГДИ с меньшей дисперсией

На рисунке 921 представлено распределение значений пластового

давления умноженного на эффективную нефтенасыщенную толщину после

ГДИ длительностью 150 часов

Рис 921 Гистограмма распределения NPV для скважины после ГДИ длительностью

150 часов

Расчет экономических параметров помимо операционных затрат (OPEX)

в случае моделирования ГДИ будет включать еще Capex ndash это затраты

проведенного исследования (инструментальные замеры спускоподъёмные

операции) который в свою очередь будут зависят от длительности проведения

исследований Также будут включены затраты на работу интерпретатора

исследований которые уже не будут зависеть от длительности В написанном

61

модуле также учитывается потеря прибыли на время остановки скважины

количественно потери будут определяться длительностью остановки скважины

на проведения ГДИ

62

ГЛАВА 10 РЕЗУЛЬТАТЫ

Реализованный модуль в данной работе позволяет определить

необходимость проведения гидродинамического исследования и выдать

рекомендации по продолжительности исследования составить ранжированный

список скважин по эффективности проведения исследований

В таблице 101 представлены результаты экономических параметров и

расчет VOI На графике (рис 101) построенным в осях VOI в зависимости от

времени исследования можно оценить экстремум функции как оптимальное

время для проведения исследования По представленным результатам

целесообразно провести ГДИ на скважине 3 длительностью от 150 часов так как

ценность полученной информации будет наибольшей

Таблица 101 VOI при проведении ГДИ на скважине 3

Продолжительность ГДИ

EMV1 EMV

2 VOI

Целесообразность исследования

50 16116 16111 005 + 100 16135 16111 024 + 150 16198 16111 087 +

200 16127 16111 016 +

250 16033 16111 -078 - 300 16021 16111 -09 -

В случае горизонтальных скважин также был произведен анализ

ценности информации рассчитаны параметры VOI от длительности по времени

Однако для выхода на радиальный режим для случаев горизонтальных стволов

скважин на рассматриваемом месторождении N необходимо более 500 часов что

существенно увеличивает капитальные затраты При расчете большой

длительности на проведения ГДИ обычно скважину не останавливают так как

эти исследования являются крайне затратными В таблице 202 указаны расчёты

при проведении исследования на горизонтальной скважине 5

63

Рис 101 Зависимость VOI от длительности ГДИ

Таблица 102 VOI при проведении ГДИ на скважине 5

Продолжительность ГДИ

EMV2 EMV

1 VOI

Целесообразность исследования

50 1603 1611 -078 - 100 1606 1611 -054 - 150 161 1611 -013 - 250 1612 1611 012 - 350 1611 1611 -006 - 500 1614 1611 024 +

Таблица 103 Ранжированный список скважин-кандидатов для проведения ГДИС

Скважина VOI (t=50) VOI (t=100) VOI (t=150) VOI (t=200) VOI (t=250) VOI (t=300)

3 005 024 087 016 -034 -078 1 003 015 036 073 -021 -064 4 002 012 024 054 -011 -057 2 001 009 011 031 042 -03

Модуль автоматически перебирает выбранный список скважин для

бурения проектной скважины и ранжирует их по ценности информации

проведенных исследований также предлагает наиболее оптимальное время

исследований исходя из экономических параметров (таблица 103)

Апробация и оптимизация инструмента оценки необходимости

проведения гидродинамического исследования проводится на одном из активно

-15

-1

-05

0

05

1

15

0 50 100 150 200 250 300 350

VO

I м

лнр

уб

Длительность ГДИ ч

VOI (Проведение ГДИ нецелесообразно)

VOI (Проведение ГДИ целесообразно)

64

разбуриваемых месторождений В данной работе проводилась аналитика для

бурения 10 проектных скважин По результатам моделирования ГДИ на

скважинах вблизи проектной была проведена оценка ценности информации от

запланированного исследования На рис102 представлена зависимость

определенного VOI от длительности ГДИ если график расположен выше нуля

(VOI gt 0) исследование экономически обосновано проводить Определив

экстремум функции определяется оптимальная длительность исследования

Приводя пример в рассчитанном кейсе для бурения скважины X наиболее

выгодно провести исследования в 3 скважине длительностью 150 часов

Рис 102 Зависимость VOI от длительности ГДИ в скважинах 1234

-1

-05

0

05

1

0 100 200 300 400

VO

I

Длительнось ГДИ

Скв 3 Скв 1 Скв 4 Скв 2

65

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

По результатам магистерской диссертации был реализован инструмент для

оптимального планирования гидродинамических исследований на этапе бурения

проектных скважин с помощью метода VOI

Предложенный в данной работе метод позволяет определить не только

необходимость проведения гидродинамического исследования но и выдать

рекомендации по оптимальной продолжительности исследования

Смоделировав исследования ГДИ на нескольких соседних от проектных

скважин инструмент позволяет ранжировать скважины ndash кандидаты для

гидродинамических исследования по величине ценности информации VOI

В процессе реализации предложенной методики работы было выполнено

следующее

1 Автоматический анализ данных по ранее проведенным

исследованиям определение геологической неопределенности

интересующих параметров (пластовое давление проницаемость) по

всему эксплуатационному фонду скважин на месторождении N

2 Модуль сплайн-интерполяция на языке программирования Python с

помощью которого интерполируются значения параметров

решается задача о нестационарном притоке к скважине с помощью

языка программирования VBA в котором учитываются результаты

моделирования синтетического ГДИ

3 Расчёт плановых показателей добычи на основе распределений Рпл

и kh до проведения исследования и после него в зависимости от

времени исследований

4 Экономический анализ эффективности проведения исследований на

основе методики VOI по результатам которого выполняется

ранжирование скважин по информативности исследований

66

По результатам расчёта на месторождении N выяснили что для бурения

скважины X наиболее эффективно останавливать на ГДИ скважину 3 с

длительностью исследования 150 часов

В заключении реализованный модуль позволяет оценить

целесообразность проведения ГДИ и самое важное экономическое обоснования

планируемых исследований

Возможности реализованного модуля

Автоматизированный анализ геологической неопределённостей по

фильтрационным-емкостным свойствам и пластовому давлению в

зоне планируемого бурения

Экономическое обоснование по проведению гидродинамических

исследований в зоне бурения проектных скважин

Определение оптимальной длительности ГДИС

Ранжирование скважин по информативности проведения

исследований

Экономическое обоснование затрат на ГДИС и последующими

решениями по оптимальному планированию ГДИС на основе

ценности информации

67

ОХРАНА ТРУДА

Преобладающее время по написанию выпускной квалификационной

работы проводилось за персональным компьютером

Согласно рекомендованной инструкцией по охране труда во время работы

на компьютере ТОИ Р-45-084-01 и также при его эксплуатации могут возникнуть

негативное влияние на работника следующие вредные производственные и

опасные факторы

повышенные уровень электромагнитного воздействия

высокая степень статического электричества

низкий уровень ионизации воздуха

нагрузки которые связанны с продолжительным временем сидячим

положением

повышенная нагрузка на органы зрения

болевые симптомы в позвоночнике и пояснице в связи

продолжительным сидячим положением а также венозная

недостаточность и стресс

Для рационального выбора организации рабочего процесса необходимо

минимизировать опасное воздействие на здоровье работающего а также

выполнить все требования эргономики и обезопасить свое рабочее место

Требования к минимизации нагрузки на органы зрения

Высокая нагрузка на органы зрения приводит к ухудшению зрения

возникновению близорукости и других заболеваний что также провоцирует

мигрень и головные боли повышается раздражительность нервное состояние

которое может привести к стрессу

Для избежание негативного воздействия на органы зрения необходимо

уделить особое внимание освещению как помещения так же и рабочих мест так

как степень освещенности напрямую зависит от интенсивности зрительного

напряжения Основное освещение следует размещать сплошными или

прерывистыми линиями светильников которые могут располагаться сбоку от

68

рабочих мест а также параллельно линии зрения рабочего при линейном

расположении мониторов компьютера Если же ПК расположены по всему

периметру помещения тогда линию светильников или ламп следует

расположить локализовано над каждым рабочим местом

Безопасная и рекомендуемая норма освещенности для работника в системе

освещения составляет mdash 150 minus 200 лк По правилам допускается расположение

ламп локального освещения Персональное освещение не должно

способствовать возникновению бликов на поверхности самого экрана а также

освещенность экрана не должна превышать 300 лк Безопасным считается

освещение рабочих мест люминесцентными лампами ЛБ белого света которые

должны использоваться в помещениях с нормальными условиями труда

Экран должен характеризоваться освещенностью не более 300 лк Яркость

ламп основного освещения в части зон углов излучения 50 minus 90∘ в продольной и

поперечной с вертикалью плоскостях может составлять менее 200кдм также

защитный угол светильников может составлять более 40∘

В виде источников света особенно при условии искусственного освещения

следует применять люминесцентные лампы ЛБ (белый свет) и ЛТБ (тепло-

белый) с характеристиками мощностью 40Вт или 80Вт обладающие высокой

световой отдачей (до 120лмВт и более) у которых продолжительный срок

службы (до 10000ч)

В лампах локального освещения допускается использование ламп

накаливания также галогенных Не допускается использование светильников без

рассеивателей и экранных решеток

Организация рабочего места в связи с активностью оператора

Сфера работы оператора ЭВМ характеризуется пониженной мышечной

активностью а также длительным напряжением мышц в статике особенно шеи

рук спины и ног что может привести к утомлению Состояние утомления

существенно возрастает особенно при неоптимальной высоте рабочего стола и

сидения у которого отсутствует опорная спинка или подлокотник а также

острых углах наклона головы нерациональным и неудобном размещении

69

видеотерминала документов и клавиатуры неудобном угле наклона

поверхности экрана отсутствии подставки для ног

Сиденье должно быть удобным и обеспечивать поддержание правильной

рабочей позы которое будет позволять изменять положение с целью

уменьшение напряжения мышц шейно-плечевой области Лучший способ - это

когда рабочее кресло оборудовано подъемно-поворотным которое регулируется

по высоте и по углам наклона спинки причем регулировка каждого параметра

должна быть независимой

Рабочее место работника следует обеспечить подставкой для ног (п 93 и

105 СанПиН 222241340-03) Поверхность подставки обязательно должна

быть рельефной и характеризоваться высотой переднего края 10 мм

Требования пожаробезопасности

Согласно ГОСТ 121004-91 следует помнить о существующих мерах

предосторожности и опасных факторах огонь пламя и дым также высокая

температура токсичные продукты горения и их термическое разложение

сниженная концентрация кислорода Противопожарную защиту обеспечивают

следующими мерами

Использование средств пожаротушения наличие сигнализации и

устройств тушения в помещениях которые способны ограничивать

распространение пожара наличие специальных средств индивидуальной

защиты

Противопожарные перегородки и отсеки устройства автоматического

отключения систем

Специальная планировка эвакуационных выходов

Системы оповещения людей по громкоговорителю

Технические средства для эвакуации людей

Присутствие огнетушащих веществ

70

Система вентиляции здания должна содержать оборудования и устройства

которые обеспечивают автоматическое отключение при пожаре и

огнедымозадерживающими устройствами Система электропитания

персонального компьютера должна иметь блокировку которая отключает его в

случае пожара

71

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1 Байков ВА Бакиров НК Яковлев АА Математическая геология

учебное пособие ndash Москва-Ижевск 2012 ndash 228с

2 Гуляев Д Н Кокурина В В Кременецкий М И и др Формирование

системы промыслового мониторинга на основе долговременных иссле-

дований стационарными датчиками на приеме насоса Нефтяное хозяй-

ствоraquo 12 2009 С 41ndash44

3 Демьянов В В Савельева Е А Геостатистика теория и практика

учебное пособие ndash Москва 2010 ndash 327с

4 Каневский МФ Демьянов ВВ Савельева ЕА и др Элементарное

введение в геостатистику Москва ВИНИТИ 1999 ndash 136с

5 Каневская Р Д Математическое моделирование разработки месторож-

дений нефти и газа с применением гидравлического разрыва пласта М

Недра-Бизнесцентр 1999 ndash 212 с

6 Кременецкий М И Ипатов А И Гуляев ДН Информационное

обеспечение и технологии гидродинамического моделирования нефтяных

и газовых залежей [Книга] - Москва-Ижевск Ижевский институт

компьютерных исследований 2011 ndash 896с

7 Леонтьев Н Е Основы теории фильтрации [Книга] - Москва ЦПИ при

механико-математическом факультете МГУ 2009 ndash 88с

8 Ортега Дж Введение в параллельные и векторные методы решения

линейных систем [Книга] - Москва Мир 1991 ndash245с

9 Abramowitz M IA Stegun Handbook of Mathematical Functions [Книга] -

New York Dover Publications Inc ndash 1972

10 Churchill RV Operational Mathematics [Книга] - New York McGraw-Hill

Book Co Inc ndash 1972

11 Gringarten AC and Ramey HJ The Use of Source and Greenrsquos Functions in

72

SolvingUnsteady-Flow Problems in Reservoirs [Книга] - SPEJ 1973 ndash245с

12 Houzeacute O Viturat D Fjaere O-S Dynamic data analysis [Книга] - Kappa

2008

13 Joshi SD Horizontal Well Technolog [Книга] - Tulsa Oklahoma Penwell

Published Compan 1991

14 Stehfest H NumericalInversionof LaplaceTransforms [Книга] -

Communicationsofthe ACM 1970

15 The Society of Petroleum Engineers Введение в нефтяной инжиниринг

[Книга] - Москва-Ижевск Институт компьютерных исследований 2014

16 Van Everdingen AF and HurstW W The Application of the Laplace

Transformation to Flow Problems in Reservoirs [Книга] - AIME 1953

17 Stehfest H NumericalInversionof LaplaceTransforms

Communicationsofthe ACM 1970

18 Gringarten AC and Ramey HJ The Use of Source and Greenrsquos Functions in

SolvingUnsteady-Flow Problems in Reservoirs бм SPEJ 1973

19 Jan R Williams Susan F Haka Mark S Bettner Joseph V Carcello

Financial amp Managerial Accounting 2008

2019

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПЕТРА ВЕЛИКОГО

Институт прикладной математики и механики

Кафедра теоретической механики

УТВЕРЖДАЮ

Зав кафедрой дф-мн чл-корр РАН

АМКривцов

laquo raquo 2019 г

ЗАДАНИЕ

по выполнению выпускной квалификационной работы

студентке Павельевой Юлии Николаевне группы 010403_04

1 Тема работы разработка модуля планирования исследований ГДИС на основе ценности

информации

2 Срок сдачи студентом законченной работы 06042019

3 Исходные данные по работе основные данные о месторождении N (карты свойств пластов)

план проектного бурения скважин на месторождении (координаты скважин дата ввода

запускные характеристики)

4 Содержание работы (перечень подлежащих разработке вопросов)

Реализация модуля автоматического анализа исходных данных по месторождению на языке

программирования Python Функционал моделирования решения задачи о нестационарном

притоке к скважине решение уравнения пьезопроводности с применением VBA

Экономическая оценка добычи проектной скважины за 25 лет до и после проведения

исследования оптимальной длительности

5 Консультанты по работе эксперт ООО laquoГазпромнефть НТЦraquo ВС Котежеков

6 Дата выдачи задания 01022019

Руководитель ВКР ___________________________________________ ________________________

(подпись) инициалы фамилия

Задание принял к исполнению _________________________________

(дата)

Студент ________________________

(подпись) инициалы фамилия

РЕФЕРАТ

На 72 стр 32 рисунков 5 таблиц 25 источников списка литературы

Ключевые слова гидродинамическое исследования скважин бурение

скважин фильтрационно-ёмкостные свойства пласта проницаемость пластовое

давление сплайн-интерполяция

Гидродинамические исследования являются источником ключевой

информации при планировании и контроле разработки месторождений По

причине технологических ограничений и экономических затрат на проведение

исследований полноценной охват действующего фонда скважин затруднён В

данной работе описывается подход для оценки необходимости проведения

гидродинамических исследований на этапе планирования бурения скважин на

основе методики VOI В результате работы проведен анализ исходных данных

по месторождению реализован c помощью языка программирования Python

сплайн-интерполяции Рассчитаны добычные характеристики проектных

скважин Решены задачи о нестационарном притоке к скважине с применением

языка программирования VBA

THE ABSTRACT

Key words Well test analysis well drilling filtration and capacitive properties

of rocks permeability formation pressure spline interpolation

Well testing are a source of key information for planning and control of field

development Due to technological limitations and the economic costs of conducting

research the full-scale research coverage of existing wells is difficult This article

describes an approach for assessing the need of WTA at the planning stage of well

drilling based on the VOI methodology The analysis of the initial data on the field is

lead The Python programming language is implemented to interpolate the initial

values by using the method spline interpolation The production characteristics of the

project wells are calculated The problem of unsteady inflow to the well was solved by

using the VBA programming language

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 6

ГЛАВА 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕННОСТИ ИНФОРМАЦИИ НА ОСНОВЕ VOI 8

ГЛАВА 2 ОБЗОР ВХОДНЫХ ДАННЫХ 10

ГЛАВА 3 МЕТОДИКА ОПТИМАЛЬНОГО ПЛАНИРОВАНИЕ

ИССЛЕДОВАНИЙ 12

ГЛАВА 4 МЕТОДЫ ИНТЕРПОЛЯЦИИ 17

41 Кубический интерполяционный сплайн 18

42 Кубический сглаживающий сплайн 21

ГЛАВА 5 ОСНОВЫ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ

СКВАЖИН 24

ГЛАВА 6 ТЕОРИЯ ФИЛЬТРАЦИИ В УПРУГОЙ ПОРИСТОЙ СРЕДЕ 31

ГЛАВА 7 МОДЕЛИРОВАНИЕ ИССЛЕДОВАНИЙ 35

ГЛАВА 8 ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИ ФИЛЬТРАЦИИ ФЛЮИДОВ 36

811 Основа модели фильтрации к вертикальной скважине 36

812 Приток к вертикальной скважине с трещиной ГРП 42

813 Основа модели фильтрации к горизонтальной скважине с

МГРП 47

82 Реализация моделирования исследований 51

ГЛАВА 9 РАСЧЕТ ЭКОНОМИЧЕСКОГО ЭФФЕКТА ЦЕННОСТИ

ИНФОРМАЦИИ 55

91 EMV без учета проведения исследования 57

92 EMV без учета проведения исследования 60

ГЛАВА 10РЕЗУЛЬТАТЫ 62

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 65

ОХРАНА ТРУДА 67

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 71

6

ВВЕДЕНИЕ

Результаты гидродинамических исследований (ГДИ) являются ключевой

информацией при планировании и контроле разработки месторождений

Результаты интерпретации исследований позволяют определить и уточнить

геологическое строение контролировать и вести мониторинг энергетического

состояния пласта и разработки месторождения определять текущее состояние

скважины и пласта обосновывать и контролировать эффективность геолого-

технологических операций Тем не менее полный охват действующего фонда

скважин гидродинамическими исследованиями в большинстве случаев

затруднён в связи с технологическими ограничениями и затратами на проведение

исследования (в том числе потерь по добыче нефти вследствие остановки

скважин ГДИ)

При планировании программы гидродинамических исследований скважин

специалисты часто сталкиваются с проблемой значительных ограничений по

лимиту потерь добычи нефти В данных условиях выбор скважин как правило

осуществляется из числа малодебитных скважин

Одновременно с этим основной задачей при планировании ГДИ является

оценка длительности исследования обеспечивающая регистрацию данных на

радиальном режиме фильтрации Однако выход на радиальный режим течения

особенно для горизонтальных скважин с трещинами многостадийного

гидравлического разрыва пласта и к тому же вскрывающих низкопроницаемые

коллектора зачастую может превышать десяти суток Результаты проведения

исследований с длительностью не позволяющей регистрировать радиальный

режим течения как правило являются малоинформативными Вследствие чего

при планировании длительности ГДИ необходимо определять баланс между

затратами на проведение исследования и ценностью информации которую даёт

исследование

7

Оптимизация процессов планирования гидродинамических исследования

включающая выбор скважин ndash кандидатов под ГДИ и определение длительности

исследования является актуальной задачей при мониторинге разработки

месторождения

В магистерской диссертации рассмотрен подход оптимального

планирования проведения ГДИ на основе методики по оценке ценности

информации VOI В методике предполагается проводить исследования на

скважинах действующего фонда которые располагаются возле проектной зоны

бурения да начала бурения скважин с целью снижения неопределенностей в

свойствах пласта в зонах проектного бурения Результатом разработанного

подхода является инструмент позволяющий ранжировать скважины для

гидродинамических исследований и выбирать оптимальную длительность

исследования

8

ГЛАВА 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕННОСТИ ИНФОРМАЦИИ НА

ОСНОВЕ VOI

Ценность информации (Value of information) ndash это разность между

ожидаемой стоимостью проекта с учетом и без учета полученной информации в

результате исследований Критерий ценности информации позволит

охарактеризовать экономическую выгоду результатов исследований а также

произвести оценку эффективности программы геологоразведочных работ

Появившиеся тенденции разработки месторождений характеризующиеся

сложным геологическим строением и высокой степенью неопределённостью

требуют новых методик экономической оценки ценности проектов В связи с

повышением стоимости геологоразведочных работ месторождений

находящихся в удаленных регионах на шельфе подход основанный на

экономической ценностью информации является актуальным Расчет VOI

позволяет найти наиболее экономически выгодную программу исследований

оценить ее достаточность оптимальность определить ценность информации

единичного исследования Статистический подход к развитию возможных

вариантов исхода поможет количественно оценить риски проекта составить

оптимальную программу разработки месторождения на основе дерева решений

Процесс принятия решению можно визуализировать в виде дерева

решения графического метода анализа информации который вкачает в себя

узлы решения вероятности и окончания Последовательность

взаимоисключающих событий реализация сценариев включающих риски и

неопределенности приводит к достижению поставленной цели при заданных

вероятностях

Решения принимаются в узлах решений Ветви исходящие из любого

узла решений представляют собой все возможные выборы которые имеются на

данный момент времени у принимающего решения

9

Неопределенные результаты возникают в узлах вероятности (случая)

Ветви исходящие из любого узла вероятности представляют все результаты

которые могут возникнуть в некоторый момент времени и их вероятности в

сумме должны быть равны 1 Исходной веткой (перед самим узлом) могут

являться как альтернативы узла решений так и исходы предыдущего узла

вероятности

Узел окончания обозначает завершение каждой ветки и не подразумевает

дальнейшее ветвление Справа от него в строчку записывается итоговая

вероятность данной ветки (считается перемножением вероятностей данной

ветки по всем узлам вероятности) и финансовый результат данной ветки

(сценария)

Рис 11 Пример простого дерева решений

Концепция VOI (рис 12) основана на расчете разницы ожидаемой

денежной проекта после проведения исследования (EMV2) и без информации

(EMV1) ndash dNPV [3] которая возникает в связи с риском принятия неэффективного

решения из-за существующей неопределенности параметров объекта

исследования

Рис 12 Пример простого дерева решений

10

Снижение диапазона неопределённости позволяет принять более

эффективные инвестиционные решения и тем самым повысить ценность

проекта Оценка наиболее оптимальных решений до и после проведения

исследования входит в оценку EMV по веткам дерева решений что позволяет

оценить VOI от проведения работ

Ценность информации будет являться нулевой в случаях если информация

не приносит снижения диапазона неопределенности и если снижение

неопределенности не несет никаких изменений в дальнейших решениях по

проекту Оценка ценности информации позволяет на количественном уровне

оценить экономическую целесообразность проведения ГДИ и вовремя

отказаться от проведения неэффективных исследований тем самым увеличив

стоимость проекта

ГЛАВА 2 ОБЗОР ВХОДНЫХ ДАННЫХ

Реализованный модуль прошел апробацию на восточной части

месторождения N В текущей постановке предложенная методика для оценки

ценности информации и необходимости проведения гидродинамических

исследований проводилась на стадии планирования бурения (Рис 01 Карта

проницаемости пласта месторождения N)

11

Рис 01 Карта проницаемости пласта месторождения N

Месторождение N как и многие давно разрабатываемые активы покрыты

частой сеткой гидродинамических исследований в скважинах Однако

превосходящая часть этих исследований была осуществлена в течении 3-4 лет

назад данный факт существенно снижает корректность информации

полученной в результате исследований о текущем пластовом давлении и

фильтрационно-емкостных характеристиках пласта

Проницаемость горных пород пласта - это способность пород пласта-

коллектора пропускать флюид (жидкость воду и газ) при депрессии на пласт

Проницаемость является фильтрационным параметром горной породы который

определяет скорость фильтрации жидкости в среде Проницаемость пористой

среды будет зависеть не только от размера и расположения пор относительно

друг друга но также от характера движения фильтрующихся флюидов (нефть

вода газ)

Пластовое давление (Рпл) ndash это параметр который характеризует энергию

нефтегазоносных пластов Пластовым называют давление которым флюиды

воздействуют на вмещающие их породы Это давление возникает из

гидростатического давления то есть избыточного давления (архимедовой силы)

которое возникает в результате изменения объёма резервуара (порового

пространства пласта) и так же за счёт расширения (или сжатия) флюидов и

изменения их массы вследствие эксплуатации скважинами Существуют

понятия начального пластового давления и текущего пластового давления

Начальное определяют как исходный показатель которым характеризовался

пласт до вскрытия скважиной Текущим пластовым давлением определяют как

меняющийся в ходе разработки месторождения динамический параметр Один

из важных параметров в процессе разработки месторождения ndash это дебит

скважины (q определяют как объём флюида (воды нефти или газа) поступает в

единицу времени) Данная характеристика напрямую будет зависеть от

величины пластового давления и емкостных-фильтрационных свойств пласта

119875пл ndash динамический параметр по этой причине для эффективной разработки

12

месторождения необходима информация о текущем энергетическом состоянии

пласта и его проницаемости

Пластовое давление и проницаемость могут быть получены в результате

интерпретации гидродинамических исследований (глава 5) Однако

длительность исследований и их качество порой оказываются недостаточными

для корректного определения этих параметров В данной работе реализуется

алгоритм моделирования синтетических исследований (глава 8) для оценки

погрешности в зависимости от их длительности

ГЛАВА 3 МЕТОДИКА ОПТИМАЛЬНОГО

ПЛАНИРОВАНИЕ ИССЛЕДОВАНИЙ

Результатом интеграции методологии ценности информации и

планирования гидродинамических исследований является реализованный

инструмент позволяющий определить необходимость проведения исследования

на действующей скважине вблизи проектной С целью определения VOI

инструмент последовательно решает следующие задачи

1 Определение исходных распределений проницаемости (k) и

пластового давления в действующих скважинах (глава 2)

2 Интерполяция исходных распределений в точку проектной

скважины (глава 4)

3 Моделирование исследований ГДИ на действующих скважинах

расположенных вблизи проектной скважины и определение распределений

проницаемости и пластового давления с учётом результатов исследований (глава

8)

4 Интерполяция измененных распределений в точку проектной

скважины (глава 4)

5 Расчёт ожидаемой прибыли проектной скважины без проведения

исследования ГДИ (EMVwoi) (глава 91)

13

6 Расчёт ожидаемой прибыли проектной скважины с учётом

проведения исследования ГДИ (EMVwi) (глава 92)

При проектировании скважины значения проницаемости и пластового

давления определяются по имеющимся картам распределения свойств В свою

очередь построение карт основывается на результатах проведения

гидродинамических исследований По причине наличия погрешностей при

построении карт распределения свойств и погрешностей в результатах

гидродинамических исследований значения проницаемости и пластового

давления с карт зачастую не являются аналогичными результатам ГДИ

На первом этапе инструмент оценивает распределение параметров

основываясь на определении отношения (έ) значений проницаемости и

пластового давления определенных по результатам ГДИ к значениям

определенным по картам пластового давления и проницаемости (рис1)

Параметр έ характеризует отклонения результатов исследований от карт и таким

образом описывает неопределенность в параметре Определив параметр έ для

каждого имеющегося гидродинамического исследования оценивается

распределение отклонений έ для каждого параметра (проницаемости и

пластового давления) Разработка методологии проводилась на существующем

месторождении в результате параметр έ для проницаемости имел

логнормальное для пластового деления нормальное распределение (рис31)

Распределения свойств пласта в точках существующих скважин до

проведения гидродинамического исследования определяется путем

произведения распределений έ на значение параметра пласта с актуальной карты

[1]

14

Рис31 Распределения отклонений значений проницаемости и пластового давления по

результатам ГДИ от значений с карт

На следующем этапе инструмент интерполирует исходные распределения

в точках действующих скважин в точку проектной скважины Для интерполяции

используется метод сплайн ndash интерполяции который оценивает значения

используя математические функции В результате интерполяции для проектной

скважины определяются распределения проницаемости и пластового давления

до проведения гидродинамического исследования

Возможные реализации проницаемости и пластового давления имеют

широкие исходные распределения и являются непрерывными величинами по

этой причине перед моделированием ГДИ исходные распределения в точках

существующих скважин разбиваются на N-количество дискретных исходов

(рис32) Количество исходов (N) определяется на основе точности

погрешности результатов ГДИ Точность результатов ГДИ определяется

экспертным образом Вероятности исходов определяются на основе данных

вероятностного моделирования путем деления всего диапазона исходов

значений N - дискретных исходов и определение количества реализаций

которые можно отнести к каждому исходу При моделировании 100 значений

проницаемости если скважина в 20 реализациях попала в первое распределение

вероятность должна быть определена 20

0

02

04

06

08

1

12

14

00 10 20

Пл

отн

ость

ве

ро

ятн

ости

έ = (Рпл по ГДИ) (Рпл с карт)

Распределение έ значений проницаемости

0

02

04

06

08

1

12

14

00 05 10 15 20

Пл

отн

ость

ве

ро

ятн

ости

έ = (119896 по ГДИ) (119896 с карт)

Распределение έ значений пластового давления

15

Рис 32 Разбиение исходного распределения пластового давления на дискретные

значения

Для оценки распределений свойств пласта в точке проектной скважины

после проведения гидродинамического исследования необходимо создать

синтетическое ГДИ Моделирование запланированного ГДИ проводится путём

решения задачи о нестационарном притоке к скважине с постоянным дебитом на

основе исходных распределений свойств пласта

Уравнением описывающим процессы происходящие при исследованиях

ГДИ является уравнение пьезопроводности Данное уравнение (31) описывает

неустановившееся однофазное одномерное течение флюида в пористой среде и

выражает связь между пластовым давлением временем и расстоянием от

скважины до точки наблюдения Решение уравнения пьезопроводности (32) для

простого случая работы вертикальной скважины в бесконечном пласте позволяет

получить модель характеризующую перераспределение давления в пласте

1

120594

120597120549119875

120597119905=1

119903

120597

120597119903(119903120597120549119875

120597119903) (31)

∆119875(119905 119903) = minus9205119902119861120583

119896ℎ119864119894 (minus

1199032

000036120594119905) (32)

где (q ndash дебит скважины м3сут B ndash объёмный коэффициент 120583 ndash

вязкость жидкости cпз k ndash проницаемость мД h ndash мощность пласта

м r ndash радиус м χ ndash пьезопроводность мД(спзатм-1) t ndash время ч)

16

Ожидаемая прибыль запланированной к бурению скважины до проведения

ГДИ рассчитывается с учётом исходного распределения после ГДИ

рассчитывается для каждого дискретного варианта исхода из N-возможных и для

разных времен длительности исследования t

На первом этапе расчёта прибыли по методу Монте-Карло определяются

значения проницаемости и пластового давления с вероятностями распределения

равными 10 50 90 и оценивается запускное значение дебита скважины По

соседним скважинам определяются темпы падения дебита скважины

усредненный темп падения используется для проектной скважины

Произведение запускного значения дебита и усредненного темпа падения

характеризует профиль добычи проектной скважины На основе профиля

добычи оценивается NPV проектного бурения который учитывает

операционные затраты и капитальные расходы проекта При оценке NPV после

запланированного исследования в капитальных затратах учитываются расходы

на проведение ГДИ стоимость интерпретации исследования инструментальные

замеры

Ожидаемая ценность EMVwi после проведения ГДИ рассчитывается как

сумма отдельно взятых N - исходов умноженных на соответствующие

вероятности исходов (33)

119864119872119881119908119894 (119905119894) = 1198641198721198811199081198941(119905119894) lowast 1198751 + 1198641198721198811199081198942(119905119894) lowast 1198752 +⋯

+ 119864119872119881119908119894119873(119905119894) lowast 119875119899 =sum119864119872119881119908119894_119895(119905119894)

119873

119895=1

(33)

По результатам моделирования ГДИ на скважине вблизи проектной

проводится оценка ценности информации от запланированного исследования

Реализуется построение зависимости VOI от длительности ГДИ где график

расположен выше нуля (VOI gt 0) следует что исследование экономически

обосновано проводить По результату работы модуля выполняется

17

ранжирование скважин с оптимальным временем проведения ГДИ на основе

ценности информации

ГЛАВА 4 МЕТОДЫ ИНТЕРПОЛЯЦИИ

Определения параметров пласта в области с отсутствующими прямыми

измерениями осуществляются с помощью пространственной интерполяции

Одним из основных методов построения карт параметров пласта является

сплайн-интерполяция

Для построения распределения свойств пласта в определённой зоне

используют ограниченное значение количественных измерений интересующего

параметра Z в точках (Xi Yi) Данные точки определяются как точки выборки

(точки наблюдений) Цель пространственной интерполяции ndash получить значения

пространственной переменной Z на площади где отсутствуют исследования с

минимально погрешностью Необходимо интерполировать из точек Z(xi) в

определенную точку Z(x) на основе анализа имеющихся в базе значений (Рис 42)

Рис 42 Интерполяция в точку Z(x)

Подход интерполяции напрямую опирается на измеренные значения в

точках и интерполируются с помощью подбора математической функции

определяя слаженность результирующей формы [4]

В данной работе был реализован метод сплайн-интерполяции

Сплайн-функцией 119904(119909) 119909 isin [119886 119887] называется функция которая в

каждом частичном отрезке [119909119894minus1 119909119894] является полином некоторой степени и

имеет на заданном [119886 119887] производную до некоторого порядка Под степенью

18

сплайна подразумевают максимальную степень полинома по каждому из

отрезков [119909119894minus1 119909119894] а под дефектом сплайна ndash разность между соответствующей

степенью сплайна и порядком наивысшей производной на заданном отрезке

[119886 119887]

Интерполяция сплайнами является кусочно-полиномиальной

интерполяцией Основная теория сплайн-интерполяции заключается том что на

каждом шаге интерполяции (разбиваемом промежутке между узлами)

осуществляется аппроксимация в форме определенной полиномиальной

зависимости Для каждого шага итерации осуществляется подборка полинома

таким образов чтобы выполнялись граничные условия на концах отрезка

Условия для сплайна полинома степени n должны обеспечивать непрерывность

производных порядка степени (n-1) Наиболее распространённые и имеющие

широкую практическую применимость являются кубические сплайны

41 КУБИЧЕСКИЙ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ СПЛАЙН

Кубическим интерполяционным сплайном 119904(119909) называется функция

которая удовлетворяет следующим условиям

1 На каждом определенном отрезке [119909119894minus1 119909119894] 119904(119909) является полином

третьей степени то есть

119904(119909) = 1198860(119894)1199093 + 1198861

(119894)1199092 + 1198862

(119894)119909 + 1198863

(119894) 119909 isin [119909119894minus1 119909119894] (411)

2 119904(119909) isin 119862[119886119887]2

3 119904(119909119894) = 119891119894 119894 = 0 1hellip 119899

4 119904primeprime(119886) = 119904primeprime(119887) = 0

Коэффициенты 1198860 1198861

1198862 1198863

рассчитываются независимо от каждого

промежутка интерполирования [14]Рассмотрим как строится кубический

сплайн Обозначим через 119898119894 = 119904primeprime(119909119894) 119894 = 0hellip 119899 minus

величина называемая моментом

19

119904primeprime(119909) - линейная функция и для каждого отрезка она совпадает с

интерполяционной функцией полинома Лагранжа первой степени

Проинтегрировав получившееся равенство определяется из условия 3

искомые константы находятся в виде сплайна 119904(119909) на частичном отрезке

[119909119894minus1 119909119894]

119904(119909) = 119898119894minus1

(119909119894 minus 119909)3

6ℎ+119898119894

(119909 minus 119909119894minus1)3

6ℎ+ (

119891119894 minus 119891119894minus1ℎ

minus (119898119894 minus119898119894minus1)ℎ

6) (119909 minus 119909119894)

+ 119891119894 minus119898119894

ℎ2

6 (412)

Определяем моменты 119898119894 119894 = 0hellip 119899 с помощью условий 2 3 4

выводим систему следующего вида

1198980 = 0ℎ

6119898119894minus1 +

2

3ℎ119898119894 +

ℎ

6119898119894+1 =

119891119894minus1 minus 2119891119894 + 119891119894+1ℎ

119894 = 1hellip 119899 minus 1 (413)

119898119899 = 0

Запишем следующие вектора

119898 =

(

11989801198981

⋮119898119899minus1119898119899 )

minus (119899 + 1) minus мерный (414)

119892 =

(

1198910 minus 21198911 + 1198912ℎ⋮

119891119899minus2 minus 2119891119899minus1 + 119891119899ℎ )

minus (119899 + 1) minus мерный (415)

и матрицу

20

119860 =

(

1 0 0 01

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ 0

01

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ

⋯0 0 0 00 0 0 00 0 0 0

⋮ ⋱ ⋮

0 0 0 00 0 0 00 0 0 0

⋯

1

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ 0

01

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ

0 0 0 1 )

minus (119899 + 1) times 6(119899 + 1)

minus мерную (416)

Сходимся в необходимости решить следующую систему (417)

119860119898 = 119892 (417)

Данная система представляет собой систему с трёхдиагональной

матрицей и с диагональным преобладанием Для необходимости её решения

потребуется применить метод прогонки который возможен для систем

следующего вида

1198980 = 11989611198981 + 1198920119886119894119898119894minus1 + 119887119894119898119894 + 119888119894119898119894+1 = 119892119894 119894 = 1hellip 119899 minus 1

119898119899 = 1198962119898119899minus1 + 119892119899 (418)

где

119886119894120572119894 + 119887119894 ne 0 119894 = 1hellip 119899

1 minus 1198962120572119899 ne 0 (419)

где 120572119894 в свою очередь - это

1205721 = 1198961

120572119894+1 = minus119888119894

119886119894120572119894 + 119887119894 119894 = 1hellip 119899 minus 1 (4110)

Следующая методика прогонки представлена в двух частях прямой хода

и обратный хода Прямой ход выявляет следующие величины

21

1205721 = 11989611205731 = 1198920

120572119894+1 = minus119888119894

119886119894120572119894 + 119887119894 119894 = 1hellip 119899 minus 1 (4111)

120573119894+1 = minus119892119894 minus 119886119894120573119894119886119894120572119894 + 119887119894

119894 = 1hellip 119899 minus 1

Далее следует обратный ход в порядке уменьшения индексов определяет

искомые параметры

119898119899 =

119892119899 + 11989621205731198991 minus 1198962120572119899

119898119894 = 120572119894+1119898119894+1 + 120573119894+1 119894 = 119899 minus 1hellip 0

(4112)

Сплайн 119904(119909)математически определён формулой представленной выше

42 КУБИЧЕСКИЙ СГЛАЖИВАЮЩИЙ СПЛАЙН

Метаматематическая модель кубического сглаживающего сплайна

заключается в том что в узлах 119909119894119894=0119899 sub [119886 119887] определенные значения функции

119891(119909) могут быть заданы с погрешностью 119891119894=0119899

В таких моделях с дефектом 1

кубический интерполяционный сплайн будет реализован с достаточно большой

погрешностью вследствие построения с неточными значениями В большинстве

случае реализуют построение кубического сглаживающего сплайна в котором

решается следующая экстремальная задачи

119906 =119894119899119891

119906 isin 11988222[119886 119887]

120567(119906) (421)

где 11988222[119886 119887] ndash пространство Соболева вещественных функций с нормой

1199062 = int(|119906(119909)|2 + |119906primeprime(119909)|2)119889119909

119887

119886

(422)

а функционал

22

120567(119906) = int |119906primeprime(119909)|2 119889119909

119887

119886

+sum119901119894(119906(119909119894) minus 119891119894)2

119899

119894=0

119901119894 gt 0 119894 = 0hellip 119899 (423)

строго неотрицательный выпуклый полунепрерывный снизу

вследствие слабой сходимости

Однозначно решение данной задачи существует и является единственным

решением Введем единственное решение 1199060(119909) также обозначим значения

119910119894119894=0119899 следующим образом

119910119894 = 1199060(119909119894) 119894 = 0hellip119899 (424)

Можем построить кубический интерполяционный сплайн 119904(119909 119910)

119904(119909119894 119910) = 119910119894 Данное полученное решения является равным 1199060

Оценим вид интерполяционного сглаживающего сплайна

Введём в рассмотрение отображение 119866(119910) ℝ119899+1 rarr ℝ

119866(119910) = 120567(119904(middot 119910 )) = int |119904primeprime(119909)|2 119889119909

119887

119886

+sum119901119894(119904(119909119894) minus 119891119894)2

119899

119894=0

=

sum int |119904primeprime(119909)|2 119889119909

119909119894

119909119894minus1

119899

119894=1

+sum119901119894(119904(119909119894) minus 119891119894)2 (425)

119899

119894=0

Получаем исходную экстремальную задачу эквивалентную поиску

min119910isin ℝ119899+1

119866(119910) (426)

Исходя из того что 119904(119909 119910) ndash является кубическим интерполяционным

сплайном запишем

119904primeprime(119909119894 119910) = 119898119894 119894 = 0hellip119899 (426)

1198980 = 0119898119899 = 0 (427)

Вводим (119899 minus 1) times (119899 minus 1)-мерную матрицу

23

119860 =

(

2

3ℎ

1

6ℎ 0 0

1

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ 0

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

0

0

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

01

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ

0 01

6ℎ

2

3ℎ)

(428)

(119899 minus 1)-мерный вектор

119898 = (

1198981

⋮119898119899minus1

) (429)

(119899 minus 1) times (119899 + 1)-мерную матрицу

119867 =

(

1

ℎminus1

2ℎ

1

ℎ0 ⋯ 0 0 0 0

⋯

0 0 0 0 ⋯ 01

ℎminus1

2ℎ

1

ℎ)

(4210)

невырожденную (119899 + 1) times (119899 + 1)-мерную матрицу

119875 = (1199010

⋱119901119899

) (4211)

и (119899 + 1)-мерный вектор

119891 = (1198910⋮119891119899

) (4212)

получаем следующую систему уравнений в которой вычисляем моменты

119898

(119860 + 119867119875minus1119867lowast)119898 = 119867119891 (4213)

Данная система решается методом Гаусса Затем можем выразить

119910 = minus119875minus1119867lowast119898 + 119891 (4214)

(4214) - точку глобального минимума для заданного отображения 119866(119910)

В итоге получаем форму сглаживающего сплайна

24

119904(119909) = 119898119894minus1

(119909119894 minus 119909)3

6ℎ+119898119894

(119909 minus 119909119894minus1)3

6ℎ+ (119910119894minus1 minus

ℎ2

6119898119894minus1)

119909119894 minus 119909

ℎ

+ (119910119894 minusℎ2

6119898119894)

119909 minus 119909119894minus1ℎ

(4215)

119909 isin [119909119894minus1 119909119894] 119894 = 1hellip119899 (4216)

ГЛАВА 5 ОСНОВЫ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО

ИССЛЕДОВАНИЯ СКВАЖИН

Основой ГДИС являются решение нестационарной задачи фильтрации

Рис 51 а) б) формирование радиальной воронки депрессии после пуска

добывающей и нагнетательной скважины в) г) расформирование радиальной

воронки депрессии после остановки добывающей и нагнетательной скважины

Tmdash время прошедшее после пуска скважины tmdash время прошедшее после

остановки скважины[6]

флюидов в порово-упругой среде Они основываются на изучение процессов

формирования и релаксации полей давления в пласте и в скважине в

зависимости от типа воздействия (закачка или отбор флюида) (рис51) Арсенал

технологий исключительно разнообразен и включает самые различные методы с

различной продолжительностью и интенсивность воздействия на пласт Каждая

технология представляет совокупность циклов (базовых элементов)

Определение каждого из них ndash регистрация разницы давления во времени после

изменения дебита скважины на заданной глубине Продолжительностью цикла

25

обуславливается решаемой задачей глубинностью условием и объектом

исследования

Гидродинамические исследования предполагают синхронные измерения

давления и расхода на фиксированной глубине при переходных режимах

эксплуатации скважины Основными элементами технологий ГДИС стабильно

работающих скважин являются способы предполагающие регистрацию

изменения давления во времени

после пуска скважины на стабильный режим отбора или закачки

(кривая стабилизации давления (КСД) -пуск) или при переходе с

одного стабильного режима на другой (КСД-режим)

после остановки скважины стабильно или циклически работавшей

в режиме отбора (кривая восстановления давления КВД) или

закачки (кривая падения давления - КПД)

Решение прямой задачи ГДИС состоит в оценке изменения давления на

забое скважины при заданном изменении дебита и для конкретной модели

скважины и пласта

К наиболее часто используемым моделям относится скважина со скин-

фактором в однородном изотропном пласте при радиальном режиме течения

При пуске скважины с постоянным расходом QАТ[м3с]=const (расход

соответствует условиям атмосферы) изменение давления РС [Па] во времени

tРАБ[с] прошедшем с момента пуска описывается асимптотической

формулой точность которой повышается с увеличением tРАБ

РАБRRРАБ

ПРС

OАТCПЛ tt

r

χ

επ

BQPP

lnln

252ln

4 2

_

(51) επ

BQ OАТR

4

2

_

252ln

ПРС

RRr

χ

kh

k

S

CПРС err _

Другие обозначения принятые в данных формулах PПЛ [Па] ndash первоначальное

пластовое давление [Пас] - динамическая вязкость фильтрующегося флюида Во[безразм]

26

ndash объемный коэффициент флюида [м3Па с] ndash гидропроводность пласта [м2с] ndash

пьезопроводность пласта k [м2] ndash проницаемость пласта КП [в долях]ndash пористость пласта h[м]

ndashэффективная работающая толщина пласта s[безразм] ndash интегральный скин-фактор rС_ПР [м]

ndashприведенный радиус скважины rС[м] ndashрадиус скважины [Па-1] ndash интегральная

сжимаемость пористой среды

При остановке скважины работавшей с постоянным расходом QАТ[м3с] =const в

течение времени tРАБ[с] изменение давления РС[Па] во времени tОСТ[с] прошедшем с

момента остановки описывается асимптотическими формулами (для больших значений tОСТ)

ОСТ

ОСТРАБRПЛ

ОСТ

ОСТРАБОАТПЛC

t

tP

t

tВQPP

tln

tln

4

(52

)

ОСТРАБ

ОСТРАБRR

ОСТРАБ

ОСТРАБ

ПРС

ОАТНАЧC

t

t

t

t

r

ВQPP

t

tln

t

tln

252ln

4 2

_

(53

)

где PНАЧ [Па] ndash давление в момент остановки скважины (tОСТ =0)

Следует обратить внимание что соотношения (51) и (53) оперируют с

разностью текущего и начального давления цикла (в первом случае в качестве

начального выступает пластовое давление а во втором ndash давление в момент

остановки скважины) В отличие от этого соотношение (52) оперирует с

абсолютной величиной давления

С математической точки зрения названные способы представления

данных идентичны Но каждый из них оптимален для решения конкретной

задачи интерпретации гидродинамических исследований Уравнения (51) и (53)

позволяют выделить влияние скин-фактора Основная цель использования

формулы (52) оценка абсолютной величины пластового давления

Абсолютная величина тангенса угла наклона асимптоты () для всех без

рассмотренных зависимостей одинаков и определяется величиной

гидропроводности пласта

Рис52 иллюстрируют поведение давления во времени при запуске

скважины в зависимости от дебита в цикле исследований (а) проницаемости

пласта (б) и скин-фактора (в) Основной недостаток подобного представления

27

результатов в низкой наглядности В частности очень трудно различить

особенности влияния основных информативных факторов ГДИС ndash

фильтрационных свойств пласта (проницаемости) и характеристик

совершенства вскрытия (скин-фактора)

Рис52 особенности поведения давление при пуске скважины (КСД)

а) Влияние расхода Q=QАТВо-расход PС ndashдавление РПЛ- начальное

пластовое давление tРАБ=0 момент пуска скважины (Q1ltQ2ltQ3)

б) Влияние проницаемости Q-расход PС ndashдавление РПЛ- начальное

пластовое давление tРАБ=0 момент пуска скважины (k1gtk2ltk3)

в) Влияние проницаемости скин-фактора Q-расход PС ndashдавление РПЛ-

начальное пластовое давление tРАБ=0 момент пуска скважины (s3gts2lts1)

В ГДИС используются специальные способы представления данных

позволяющие сделать их интерпретацию более наглядной

Рис53 иллюстрирует основные способы представления результатов

ГДИС для исследования добывающей скважины включающей цикл I запуска с

постоянным расходом (КСД-пуск) и цикл II остановки (КВД)

PCQ

PCQ

t=to

Q

PC (k=k1)

PC (k=k3)

PC (k=k2)

PC=PПЛ tРАБ

Q1

PC=PПЛ

t=to

Q2

Q3

PC (Q=Q1)

PC (Q=Q2)

PC (Q=Q3)

PCQPC=PПЛ

Q

PC (s=s1)

PC (s=s2)

PC (s=s3)

а)

б)

в)

tРАБ

tРАБ

28

Рис53 Основные способы представления результатов ГДИС для

диагностики радиального режима течения при пуске в работу со стабильным

расходом добывающей (I) и нагнетательной (II) скважины а) давление как

функция времени в декартовых координатах б) приращение давления как

функция времени в декартовых координатах в) приращение давления как

функция логарифма времени г) логарифм приращения давления и логарифм

логарифмической производной как функция логарифма времени

Базовым способом представления результатов ГДИС является график

полной (по всем циклам исследования) кривой изменения давления во времени

в процессе ГДИС в декартовых координатах (рис53а)

Графики в декартовых координатах зависимости приращения давления от

времени по отдельным циклам позволяют унифицировать результаты измерения

давления по циклам его роста (КВД) и падения (КСД - пуск) Приращение

вычисляется как модуль разности текущего давления (Р) и начального давления

PС

P=Рпл

a)

I

II

ln(tРАБtОСТ)(tРАБ +tОСТ)

IIбtРАБ

РНАЧI

РНАЧII

P=РНАЧI-PС

ln(tРАБ)

P

lnPlnPP

P

Iв)

Iг)

Iд)

P

lnPlnPP

P

IIв)

IIг)

IIд)

tОСТ

P=PС-РНАЧII

tРАБ

ln(tРАБ)

ln(tРАБ+tОСТ)tОСТ

ln(tРАБtОСТ)(tРАБ +tОСТ)

tОСТ

PС

29

(РНАЧ) в цикле Р= Р-РНАЧ Величина Р монотонно увеличивается во

времени вне зависимости от соотношения дебитов в цикле исследования и

предшествующем цикле[6]

График зависимости приращения давления от логарифма текущего

времени laquolntРАБraquo используется для представления результатов КСД-пуск

(рис53Iв) Участок КСД соответствующий радиальному режиму в данном

масштабе аппроксимируется линейной асимптотой Эта особенность

радиального режима используется для его диагностики

Как следует из соотношения (52) наклон асимптоты определяется

гидропроводностью пласта а свободный член значением гидропроводности и

приведенного радиуса (то есть и скин-фактора)

Для цикла (КВД) вместо логарифмического масштаба времени

используется так называемый обобщенный логарифмический масштаб

вычисляемый на основе продолжительностей и расходов циклов работы

скважины предшествующих анализируемому (рис53IIв)

Как следует из соотношения (53) для цикла КВД после одиночного цикла

работы скважины данный масштаб вычисляется по формуле

ОСТРАБ

ОСТРАБP

tt

ttt

)(lnF

(54)

Во временном интервале радиального режима течения КВД

аппроксимируется линейной асимптотой Наклон асимптоты определяется

гидропроводностью пласта а свободный член значением гидропроводности и

приведенного радиуса (то есть и скин-фактора)

Масштаб Хорнера у которого радиального режима течения также является

логарифмическим (рис53II б)

Как следует из соотношения (52) для цикла КВД после одиночного цикла

работы скважины данный масштаб вычисляется по формуле

)ln()(lnОСТ

ОСТРАБ

Pt

tttF

(65)

30

Данный масштаб является инверсным по времени При увеличении

времени его значения падают Участок КВД соответствующий радиальному

режиму течения аппроксимируется линейной асимптотой Наклон асимптоты

определяется гидропроводностью пласта а свободный член значением

пластового давления

Двойной логарифмический масштаб для цикла laquoКСД-пускraquo предполагает

представление логарифма приращения давления laquoln(P)raquo и логарифма

логарифмической производной ln(P) от логарифма времени (рис62Iд)

Логарифмическая производная в этом случае вычисляется по формуле

)ln( P

PP

(66)

Для цикла laquoКВДraquo двойной логарифмический масштаб предполагает

представление параметров laquoln(P)raquo и ln(P) от обобщенного логарифмического

времени соотношение (69)- рис62IIд

)( PF

PP

P

(67)

Данный масштаб является универсальным используется для диагностики

не только радиального но и линейного и других не радиальных режимов течения

для всех типов циклов ГДИС

Следует подчеркнуть что соотношения (51)-(54) выведены для двух

цикличной технологии исследования и при увеличении числа циклов должны

быть модифицированы Но описанный выше принцип масштабирования

результатов ГДИС является универсальным

31

Рис 54 Билогарифмический график КВД [5]

На основе интерпретации результатов исследования ГДИС определяются

параметры энергетического состояния скважины (пластовое давление

депрессия продуктивность динамика их изменения) фильтрационные

параметра пласта (гидропроводность подвижность пьезопроводность

проницаемость) зональность их распространения по площади

В настоящей магистерской диссертации была реализован метод

математического моделирования с целью получения информации о

проницаемости и пластовом давлении в точках исследуемых скважинах

погрешностью полученных параметров на основе качества исследования

(наличие на билогарифмическом радиального режима) связанным со временем

исследования

ГЛАВА 6 ТЕОРИЯ ФИЛЬТРАЦИИ В УПРУГОЙ ПОРИСТОЙ

СРЕДЕ

Основа теории фильтрации основана на изучении движения

(просачивания) жидкости через пористую среду Особенности процессов

фильтрации зависят от упругих свойств среды и насыщающих их флюидов

Для постановки задачи фильтрации жидкости в упругой среде прибегают

к краевой или начально-краевой задаче с соответствующими граничными

условиями Для нахождения математического выражения фильтрации флюидов

в пористой среде решают систему дифференциальных уравнений в частных

производных

Векторы скорости и плотности фильтрующейся жидкости могут быть

представлены в следующем виде - (119909 119910 119911 119905) и плотностью жидкости

120646 (119909 119910 119911 119905) Одной из важных характеристик поровой среды является пористость

32

ndash это относительный объем порового пространства в материале именно этот

параметр определяет количество флюида которое содержится или может

содержаться в определенном объеме пористой среды [7]

Теория фильтрации флюидов опираются на фундаментальный закон

сохранения массы в соответствии с которым изменения массы жидкости в

любом произвольном объеме V внутри замкнутой поверхности происходит за

счет изменение притока и оттока жидкости через границу объема (уравнение

неразрывности) [12]

Поток жидкости через произвольную однозначно определенную

замкнутую поверхность Γ в пористой среде с коэффициентом пористости - φ

заполненной флюидом с вязкостью μ (рис 61)

Рисунок 61 Замкнутая поверхность Γ в пористой среде (The Society of Petroleum Engineers

2014)

Скорость поступление массы объемом V через поверхность Г равна

скорости изменения данной массы в этой области (The Society of Petroleum

Engineers 2014)

119889119872119892

119889119905=

119889

119889119905∭ 120588120593119889119881 =∭

120597

120597119905(120588120593)119889119881

119881119881 6 1

Масса поступающая в определенный объем пористой среды через

дифференциальный элемент поверхности dΓ за промежуток времени Δt со

скоростью равна minus120646 lowast Отличие массы поступившей в определенную

поверхность и массой покинувшей эту поверхность за изменение времени Δt

равна

33

∆119872119892 = minus∆119905∯ 120588 lowast 119889Г Г

6 2

Скорость притока флюида в объем области V через поверхность Γ

lim∆119905rarr0

119889119872119892∆119905

=119889119872119892119889119905

= ∯120588 lowast 119889Г

Г

6 3

Приравняем правые части уравнения (119889119872119892

119889119905=

119889

119889119905∭ 120588120593119889119881 =

119881

∭120597

120597119905(120588120593)119889119881

119881 ) и ( lim

∆119905rarr0

119889119872119892

∆119905=

119889119872119892

119889119905= ∯ 120588 lowast 119889Г

Г 63) если функции

входящие в эти уравнения являются достаточно гладкими то применяем теорему

Остроградского ndash Гаусса к правой части уравнения ( lim∆119905rarr0

119889119872119892

∆119905=

119889119872119892

119889119905=

∯ 120588 lowast 119889Г Г

63) получаем

∭ [120597

120597119905(120588120593) + nabla120588] 119889119881

119881=0 (64)

Интеграл может быть приравнен к нулю тогда когда сама функция под

знаком интеграла равна нулю исходя из этого утверждения можем получить

120597

120597119905(120588120593) + nabla120588 = 0 (65)

Полученное уравнение (65) можем переписать через поля давления по

причине отсутствия непосредственного замера скорости и плотности потока при

гидродинамическом исследовании скважины (ГДИС) Для пересчета в

характеристики давления потока воспользуемся законом фильтрации Дарси и

уравнение состояния [2]

Уравнение состояния которое связывает плотность и давление

с = minus1

119881

120597119881

120597119875 с =

1

120588

120597120588

120597119875 сρ

120597119875

120597119905=120597120588

120597119905 0 6

c ndash сжимаемость жидкости отрицательный знак отражает условие что

при положительном коэффициенте сжимаемости будет происходить сжатие

флюида (давление растет объем уменьшается) Различают общую сжимаемость

с119957 и сжимаемость пористой среды с119943

с119891 =1

120593

120597120593

120597119875 6 7

34

с119905 = с119891 + 119888 6 8

Исторически уравнение баланса было получено экспериментально Анри

Дарси По закону Дарси вектор скорости фильтрации выражается через вязкость

флюида micro и тензор проницаемости k Знак минус в правой части также имеет

физически явный смысл в отсутствии сил действующих на массу жидкость

начинает движение из областей в повышенным давление в область с меньшим

давлением

= minus119896

120583nabla119875 6 9

При рассмотрении первого слагаемого уравнения 120597120597119905(120588120593) + nabla120588 = 0

(65 и с = minus1

119881

120597119881

120597119875 с =

1

120588

120597120588

120597119875 сρ

120597119875

120597119905=

120597120588

120597119905 06 выполним подстановку

120597

120597119905(120588120593) = 120593

120597120588

120597119905+ 120588

120597120593

120597119905= 120593сρ

120597119875

120597119905+ 120588

120597120593

120597119905= 120593сρ

120597119875

120597119905+ 120588

120597120593

120597119875

120597119875

120597119905=

= 120593сρ120597119875

120597119905+ 120588с119891120593

120597119875

120597119905= 120588с119905120593

120597119875

120597119905 6 10

Далее перезапишем уравнение 120597120597119905(120588120593) + nabla120588 = 0 (65 с учетом

данного выражения и подставим вектор скорости из уравнения закона Дарси

с119905120593120597119875

120597119905= nabla(

119896

120583nabla119875)

1

120594

120597119875

120597119905= nabla2119875 120594 =

119896

с119905120593120583 6 11

Где 120594 ndash коэффициент пьезопроводности с119905120593120597119875

120597119905= nabla(

119896

120583nabla119875)

1

120594

120597119875

120597119905= nabla2119875 120594 =

119896

с119905120593120583 611 определяется как уравнение пьезопроводности - основным

уравнением которое описывает процессы возникающие при гидродинамических

исследованиях

Данное уравнение пьезопроводности (611) может быть перезаписано

относительно радиальных координатах

1

120594

120597Δ119875

120597119905=1

119903

120597

120597119903(119903120597Δ119875

120597119903) 6 12

где 120607119927 = 119875119894 minus 119875 119875119894 minus начальное пластовое давление

35

Уравнение пьезопроводности решается практически во всех

аналитических моделях и выражается в них в радиальных формулах

Однозначно определенным объектом такого радиального решения служит

нагнетательная или добывающая скважина Выбранная система координат

наилучшим способом описывает моделирование радиального потока

относительно скважины

ГЛАВА 7 МОДЕЛИРОВАНИЕ ИССЛЕДОВАНИЙ

Уравнением описывающим процессы происходящие при исследованиях

ГДИ является уравнение пьезопроводности Данное уравнение (71) описывает

неустановившееся однофазное одномерное течение флюида в пористой среде и

выражает связь между пластовым давлением временем и расстоянием от

скважины до точки наблюдения Решение уравнения пьезопроводности (72) для

простого случая работы вертикальной скважины в бесконечном пласте позволяет

получить модель характеризующую перераспределение давления в пласте

1

120594

120597120549119875

120597119905=1

119903

120597

120597119903(119903120597120549119875

120597119903) (71)

∆119875(119905 119903) = minus9205119902119861120583

119896ℎ119864119894 (minus

1199032

000036120594119905) (72)

(q ndash дебит скважины м3сут B ndash объёмный коэффициент 120583 ndash

вязкость жидкости cпз k ndash проницаемость мД h ndash мощность пласта

м r ndash радиус м χ ndash пьезопроводность мД(спзатм-1) t ndash время ч)

Инструмент позволяет моделировать исследование ГДИ для случаев с

разным закачиванием скважин (вертикальная скважина вертикальная скважина

с гидравлическим разрывом пласта (ГРП) горизонтальная скважина

горизонтальная скважина с многостадийным ГРП) На первом этапе по заданным

свойствам пласта и флюида моделируется ГДИ описывающая изменение

забойного давления в скважине [1]

36

На следующем этапе моделирования строится билогарифмический график

(рис71) по которому специалисты ГДИ определяют свойства пласта Таким

образом создав синтетическое ГДИ можно предсказать как будет выглядеть

билогарифмический график исследования КВД (кривая восстановления

давления) характеризующего остановку скважины

Моделирование исследования ГДИ проводится для N ndash исходов (рис71) и

для разного времени длительности исследования t (50-100-150hellipчасов) в

результате чего инструмент определяет свойства пласта (проницаемость и

пластовое давление) по результатам исследования зависящих от времени

длительности ГДИ

Рис71 Результаты моделирования исследования ГДИ

ГЛАВА 8 ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИ ФИЛЬТРАЦИИ

ФЛЮИДОВ

811 Основа модели фильтрации к вертикальной скважине

Для самого начала рассмотрим самый простой случай движения флюида

в однородном бесконечном пласте начиная с начального постоянного давления

119927119946

В начальный момент t = 0 однотипно с началом первого цикла

эксплуатации у пласта коллектора начальное равномерное давление - 119927119946

ΔP(r t = 0) = 0 P(r t = 0) = Pi (8111)

Введем в рассмотрение граничное условие когда границы отсутствует

это сопоставимо что пласт-коллектор характеризуется бесконечной

протяженностью

0

05

1

15

2

25

-3 -2 -1 0 1 2 3

LO

G (

dP

) LO

G(P

`)

LOG(dt)

Билогарифмический график

LOG (P(t)-P(tp))

37

ΔP(r rarr infin t) = 0 P(r rarr infin t) = Pi (8112)

Второе граничное условие на радиусе скважины будет зависить от

условий на поверхности ствола (r = rw) Введем в рассмотрение единичную

вертикальную скважину радиусом 119953119960 которая полностью вскрывает

однородный изотропный коллектор с коэффициентом проницаемости k и

эффективной мощностью h добывает однородную малосжимаемую жидкость

вязкостью μ при стандартных условиях с дебитом Q м3 В условиях пласта объем

добываемого флюида составит Qsf = Qb (где b ndash объемный коэффициент

жидкости)

(119903120597119875

120597119903)119903=119903119908

=119902119861120583

2120587119896ℎ (8113)

Одной из удобных моделей моделировании фильтрации к скважине

является модель линейного источника которая является предельным случаем

скважины нулевого радиуса

119897119894119898 (119903120597119875

120597119903)119903rarr0

=119902119861120583

2120587119896ℎ (8114)

На практике прибегают к упрощению постановки задачи путем ввода

безразмерных переменных При решении задачи относительно новых

переменных позволяют интегрировать остальные параметры и в конечном счете

задача сводится к решению уникального набора уравнений которые легко

разрешаются аналитическим методом раз Физический смысл ввода

безразмерных параметров заключается в исключении из основного уравнения

параметров пьезопроводности пласта-коллектора с целью поиска обобщенного

решения с помощью которого переходя на изначальные размерные параметры

удается получить решение для определенного пласта и определить параметры

пьезопроводности и проводимости (Houzeacute O 2008)

119903119863 =119903

119903119908 (8115)

119905119863 =000036119896119905

1205931205831198881199051199031199082 (8116)

38

119875119863 =2120587119896ℎ

119902119861120583∆119875 (8117)

Далее вводим безразмерные параметры переходим к общей задаче

120597119875119863120597119905119863

=1

119903119863[120597

120597119903119863(119903119863

120597119875119863120597119903119863

)] (8118)

119875119863(119903119863 119905119863 = 0) = 0 (8119)

119875119863(119903119863 rarr infin 119905119863) = 0 (81110)

119897119894119898 (119903119863120597119875119863120597119903119863

)119903119863rarr0

= minus1 (81111)

Решая данное дифференциальное уравнение удобно применить

интегральные преобразования Принято при решении уравнения

пьезопроводности пользоваться особой формой линейных интегральных

преобразований являющиеся преобразованиями Лапласа Далее применяем к

уравнению (120597119875119863

120597119905119863=

1

119903119863[120597

120597119903119863(119903119863

120597119875119863

120597119903119863)] (811) преобразования Лапласа

s119875119863 =1

119903119863[120597

120597119903119863(119903119863

120597119875119863

120597119903119863)] (81112)13

Трансформанта Лапласа

119875119863 (119904 119903119863) = int 119875119863(119905119863

infin

119905119863

119903119863) exp(minus119904119905119863) 119889119905119863 (81113)

где s mdash это число достаточно велико чтобы мог существовать интеграл

действительная часть которого положительна Функция обозначенная чертой

сверху является образом (изображением) функции или результатом

интегрального преобразования Лапласа где подынтегральной функцией

является прообразом (оригиналом) Решение уравнения(811s119875119863 =

1

119903119863[120597

120597119903119863(119903119863

120597119875119863

120597119903119863)] (81112)13) можно представить через модифицированное

уравнение Бесселя нулевого порядка которое можно записать в следующем

виде

119875119863 (119904 119903119863) = 119860(119904)1198680(119903119863radic119904) + 119861(119904)1198700(119903119863radic119904) (81114)

39

1198680 и 1198700 являются модифицированными функциями Бесселя нулевого

порядка Значения коэффициентов A и B в уравнении определяются с помощью

подстановки граничных условий в уравнение Осуществляем подстановку

граничных условий из внешнего ГУ А(s)=0 B(s)= 1

119904 В итоге получаем

изображение решения для линейного источника в виде

119875119863 (119904 119903119863) =1

1199041198700(119903119863radic119904) (81115)

Для нахождения образа функции выполняем обратное преобразование

Лапласа полученного уравнения Данную операция можно выполнить с

помощью таблиц преобразований Лапласа (из таблиц в работах (Churchill RV

1972) и (Abramowitz M 1972))

119871minus1 (1198700(119903119863radic119904)) =1

2119905exp(minus

1198962

4119905) (81116)

Обобщаем выводим решение для линейного источника с безразмерными

параметрами

119875119863(119905119863 119903119863) = minus119864119894 (minus1199031198632

4119905119863) 119864119894(119909) = minus int

119890minus119910

119910119889119910

infin

minus119909

(811 14)

Где 119864119894(119909)-интегральная показательная функция Далее выполняем

обратное преобразование переходим на размерные величины

∆P(t 119903) = minusqBμ

2πkh119864119894 (minus

r2

4 lowast 000036120594t) (811 15)

Полученное решение уравнения в каждой точке и на каждом промежутке

времени удовлетворяет задаче фильтрации для скважины линейного источника

находящаяся в эксплуатируемом фонде скважин вскрывающая интервалом

перфорации эффективную мощность однородного бесконечного пласта-

коллектор Одним из выводов из решения уравнения пьезопроводности гласит

что поля релаксации перепада давления мгновенно перераспределяются по

пласту-коллектору Также стоить отметить существующее решение на дальнем

расстоянии от скважины 119903119894119899119907 вблизи которого перепад давления столь мал что

40

этим можно пренебречь Исходя из этого предположения можно определить

радиус исследования 119903119894119899119907 который характеризует размер области исследования

результат интерпретации которых зависят от свойства пласта и флюидов в

скважине [11]

При рассмотрении полей давления в пласте с бесконечной

протяженностью во время запуска скважины в работу на основании полученного

ранее решения уравнения (рис 8111) В первоначальный момент времени 1199051 =

0 забойное давление в скважине равно текущему пластовому давлению через

некоторый отрезок времени в интервале - 1199052 вокруг точки скважины

формируется так называемая laquoворонка депрессииraquo которая может

характеризовать неустановившийся режим течения При движение по временной

шкале воронка депрессии будет распространяться на более дальние расстояния

от скважины пока не достигнет определенной границы (119903119894119899119907=119903119908 +radic120594t) Если

рассматривать зеркально противоположный пример при остановке скважины

воронка депрессии будет становиться меньше и будет уменьшаться пока

значение давления в скважине не достигнет пластового и останется стабильным

Понятие радиального режима для течения флюидов в пласте является

основополагающим для интерпретации гидродинамических исследований Это

режим характеризует обстановку при которой скорость фильтрации и поля

давления имеют радиальную симметрию и линии тока в пласте направлены к

круговому цилиндру по радиусу от периферии пласта к скважине (Рис 1)

41

Рис 8111 Линии тока для вертикальной скважины при радиальной

фильтрации [6]

Решение линейного источника может достичь радиального режима с

определенного времени 119905119909 такую характерную зависимость можно проследить

на билогарифмическом графике (рис 8111) этот режим характеризуется

стабилизацией производной давления С помощью данного графика

проницаемость пласта вычисляется по формуле

119896ℎ = 119902119861μ lowast05

2120587∆Pстаб (81119)

При рассмотрения кейса решения уравнения пьезопроводности в случае

вертикальной скважины в цилиндрическом пласте-коллектора изменится гу на

г

р

а

н

и

ц

е

ц

и

л

и

н

(120597Δ119875

120597119903)119903=119903119890

= 0 (81120)

Аналогично ранее описанному алгоритму решению уравнения

пьезпроводности получим изображение депрессии

∆P (119904) =qBμ

2πkhlowast

lowast

1198680 (119903radic119904120594)1198701 (119903119890radic

119904120594)+ 1198681 (119903119890radic

119904120594)1198700 (119903radic

119904120594)

119903119908radic119904120594119904 [1198681 (119903119890radic

119904120594)1198701 (119903119908radic

119904120594)minus 1198681 (119903119908radic

119904120594)1198701(119903119890radic

119904120594]

(81121)

42

Аналитическое преобразование данного уравнения принимают

следующий вид (Van Everdingen AF and HurstW W 1953)

∆P(t 119903) =qBμ

2πkh

2

1199031198902 minus 119903119908

2(120594119905 minus

1199032

4) minus

1199031198902

1199031198902 minus 119903119908

2119897119899r

119903119908minus

1

(41199031198902 minus 119903119908

2)2lowast

lowast (31199031198904 minus 4119903119890

4119897119899119903119890119903119908minus 2119903119890

2 minus 1) +

+120587sum11986912 (120573119899

119903119890119903119908) [1198691(120573119899)1198840 (120573119899

r119903119908) minus 1198841(120573119899)1198690 (120573119899

r119903119908)]

120573119899 [11986912 (120573119899

r119890119903119908) minus 1198691

2(120573119899)]

infin

119899=1

119890119909119901 (minus1205731198992 120594119905

1199031199082) (81122)

1205731 1205732 и тдndash решения уравнений

1198841(120573119899)1198691 (120573119899r119890119903119908) minus 1198691(120573119899)1198841 (120573119899

r119890119903119908) = 0 (81123)

В поставленной формулировке задачи для выведенного уравнения

решения невозможно сходу подобрать обратное преобразование Лапласа с

помощью табличных значений (аналитической функции) (Abramowitz M 1972)

Однако можно выполнить найти решение выполнив его численно Для решения

задач нестационарной фильтрации флюидов применимы алгоритмы численного

обращения основанные на стохастических подходах (Stehfest H 1970) которые

предполагают что можно рассчитывать приближенное значение оригинала pa(T)

по найденному изображению p(s) в определённый момент времени t = T [13]

119901119886(119879) =1198971198992

119879sum119881119894

119873

119894=1

(119904)119904=1

1198971198992119879 (81124)

119881119894 = (minus1)(1198732)+119894

sum1198961198732(2119896)

[(1198732)

minus 119896] 119896 (119896 minus 1) (119894 minus 119896) (2119896 minus 119894)

min(1198941198732)

119896=(119894+1)2

(81125)

812 Приток к вертикальной скважине с трещиной ГРП

Ранее было выведены решения задачи фильтрации для вертикальных

скважин Метод источников который был применен также используется для

случаев скважин с более сложной геометрией ННС (наклоннонаправленных

43

скважин) ВС ГРП (вертикальный с гидроразрывом пласта) ГС ГРП

(горизонтальных с гидроразрывом пласт)

Функция Грина и метод источников применяется для решения двух- и

трёхмерных задач неустановившейся фильтрации Под источником понимается

некоторая точка поверхность или объем из области которых флюид отбирается

из пласта-коллектора или закачивается Строго говоря отбор жидкости должен

ассоциироваться со стоком а закачка с источником Под физической основой

источник можно сопоставить со скважиной бесконечно малого диаметра в

которую мгновенно закачивается конечное количество флюида[16]

Функции Грина и метод источников тесно связаны между собой Функция

Грина определяется для дифференциального уравнения со специальными

граничными условиями (заданный расход или давление) и соответствует

решению для мгновенного точечного источника С другой стороны функции

источников представляют собой решения данного дифференциального

уравнения с указанными граничными условиями и геометрией источника

Фундаментальное решение функции Грина (G (M Mrsquo τndasht)) для

неустановившегося потока флюида в пористой среде может соотнесено с

давлением в точке M (x y z) в определенный момент времени t которое

обусловлавливает мгновенный точечный источник единичной интенсивности

который создан в точке Mrsquo(xrsquo yrsquo zrsquo) во временя τ lt t Необходимо чтобы

функция Грина удовлетворяла уравнению пьезопроводности

120597119866

120597119905= 120594nabla2119866 81161

120597119875

120597120591= 120594nabla2119875 8122

int nabla2119891(119872)119889119872 =119863

int120597119891

120597119899Г

119889Г 8123

Используем свойства функции Грина можем применить терему Грина

(8123) с учетом (8122) (Gringarten AC and Ramey HJ 1973) получим

44

∆119875(119872 119905) =1

120593119888int int

Г119908(119872119908

prime 120591)119866(119872119872119908prime 119905 minus 120591

119905

0)119889119872119908

prime 119889120591 =

1

120593119888int 119905

0(120591)119878(119872119872119908

prime 119905 minus 120591)119889120591 8123

119878(119872119872119908prime 119905 minus 120591) = int 119866(119872119872119908

prime 119905 minus 120591)119889119872119908prime

Г119908 8124

где Г119908 ndash граница ствола скважины = minus119896

120583

120597119875

120597119899 ndash объём потока который

проходит через точку на поверхности внутренней границы 119872119908prime Применяем

интегрирование правой части данного уравнения (724) получаем

распределение точечных источников по площади длине и объему источника

Для разных конфигураций системы laquoисточник-пластraquo можно подобрать

табличные базовые функции соответствующих мгновенных источников (The

Society of Petroleum Engineers 2014)

В практике нефтегазовой отрасли практически на многих добывающих

скважинах проводиться МУН (метод увеличения нефтеотдачи) Одним из

распространенных методов интенсификации флюида является гидравлический

разрыв пласта (ГРП) который заключается в формировании высокопроводимой

трещины в продуктивном интервале пласте для увеличения притока флюида к

скважине

Поставим задачу решения уравнения фильтрации флюида к вертикальной

скважине с трещиной ГРП Из условий скважина полностью вскрывает пласт

эффективной мощностью h кровля и подошва пласта ограничена

непроницаемыми ровными горизонтальными границами Трещина ГРП

расположена симметрично относительно нормали ствола скважины полудлина

трещины - xf ширина - wf (wf ltlt xf) коэффициент проницаемости трещины kf

индекс laquofraquo характеризует трещину ГРП В горизонтальном направлении пласт

бесконечный (рис 8121 ndash 8122) Течение потока к трещине выражается

двумерным стоком флюида

45

Рис 8121 Вертикальная трещина (вид сбоку)

Рис 8122 Течение флюида к вертикальной трещине (вид сверху)

В ходе решения задачи стоит рассмотреть два типа течения

1) поток в трещине

2) поток в пласте с трещиной

1) Переходя к безразмерным переменным (8115-8117) запишем

уравнение пьезопроводности (8118) и граничные условия (8119-81110)

119901119891119863(119909119863 119905119863) =2120587119896ℎ (119901119894 minus 119901119891(119909 119905))

119902119908120583 (8125)

119905119863 =119896119905

1206011205831198881199051199091198912 (8126)

119909119863 =119909

119909119891 (8126)

119902119891119863(119909prime 120591) =

2119902119891(119909prime120591)

119902119908119909119891 (8127)

1198892119901119891119863(119909119863)

1198891199091198632

=120587

119865119862119863119902119891119863(119909119863) (8128)

119889119901119891119863

119889119909119863 119909119863=0=

120587

119865119862119863 (8129)

46

119889119901119891119863119889119909119863 119909119863=1

= 0 (81210)

Перепад значений давления между забойным давлением и в точке

трещины с координатой 119909119863 можно записать

119901119908119863 minus 119901119891119863(119909119863) =120587

119865119862119863[119909119863 minusint int 119902119891119863(119909

primeprime)119889119909primeprime119889119909prime119909prime

0

119909119863

0

] (81211)

2) Течение добываемого флюида из пласта-коллектора в трещину

можно рассмотреть как наличие нестационарного источника жидкости qf(xt) в

самой трещине Используя метод источников который был рассмотрен ранее

безразмерное давление в любой произвольной точке пласта

119901119863(119905119863 119909119863 minus 119909119908119863 119910119863 minus 119910119908119863) = int int 119902119891119863(120591 119909prime minus 119909119908119863)119866(120591 119909

prime 119909119863 minus1

minus1

1199051198630

119909119908119863 119910119863 minus 119910119908119863)119889119909prime119889120591 (81212)

(119909119908119863 119910119908119863) - безразмерные координаты точки забоя скважины в

горизонтальной плоскости (xy) ось 119909 направлена вдоль трещины

Записывается условие непрерывности давления в пласте и в трещине

119901119891119863(119905119863 119909119863) = 119901119863(119905119863 119909119863 0) (81213)

Следовательно уравнение (81211) принимает вид

119901119908119863 minusint int119902119891119863(120591 119909prime)119866(120591 119909prime 119909119863 0)119889119909

prime119889120591

1

minus1

119905119863

0

=120587

119865119862119863[119909119863 minusint int 119902119891119863(119905119863 119909

primeprime)119889119909primeprime119889119909prime119909prime

0

119909119863

0

] (81214)

Применяем преобразование Лапласа

119908119863(119904) minus int 119891119863(119904 119909prime)(119904 119909prime 119909119863 0)119889119909

prime =1

minus1

120587

119865119862119863[119909119863

119904minus

int int 119891119863(119904 119909primeprime)119889119909primeprime119889119909prime

119909prime

0

1199091198630

] (81215)

int 119891119863(119904 119909prime)119889119909prime

1

minus1

=1

119904 (81216)

47

Получили изображения Лапласа соответствующих функций ndash

оригиналов Решение системы производится путём дискретного разбиения

трещины по длине на 2n сегментов и записи данной системы в следующем виде

для каждого дискретного сегмента (рис 723)

Рис 8123 Схема разбиения трещины на сегменты

119908119863(119904) minussum119891119863119894

119899

119894=1

int (119904 119909prime d119909 (119895 minus1

2) 0) 119889119909prime

d119909119863119894

d119909119863(119894minus1)

+ int (119904 119909prime d119909 (119895 minus1

2) 0) 119889119909prime

d119909119863(minus119894+1)

d119909119863(minus119894)

+120587

119865119862119863[119889119909119863 ∙ 119895

119904minus (119889119909119863)

2sumsum119891119863119896

119894

119896=1

119895

119894=1

] (81217)

119889119909119863 ∙sum 119891119863119894

119899

119894=1

=1

2119904 (81218)

Изображение давления в любой точке пласта можно найти по формуле

119863(119904 119909119863 119910119863) = sum 119891119863119894 int (119904 119909prime 119909119863 119910119863)119889119909119863∙119894

119889119909119863(119894minus1)119889119909prime +119899

119894=1

int (119904 119909prime 119909119863 119910119863)119889119909119863∙(minus119894+1)

119889119909119863∙(minus119894)119889119909prime (81219)

Где 119891119863119894 ndash изображение функции мощности источников в каждом n

сегменте [17]

48

813 Основа модели фильтрации к горизонтальной скважине с МГРП

Задача притока добываемого флюида к горизонтальной скважине с

многостадийным гидроразрывом пласта (МГРП) схематично можно

представить как несколько одинаковых трещин соединенных общим

горизонтальным стволом Каждая трещина пресекает ствол горизонтальной

скважины в центре и является симметричной относительно ствола ((119909119908119863119895 119910119908119863119895)

Рис 8131 Схематическое изображение ГС с МГРП

Каждая трещина ГРП будет иметь равную полудлину 119909119891 и безразмерную

проводимость 119865119862119863 В модели существует предположение что течение флюида

внутри трещины является одномерным Следовательно поток флюида к

горизонтальному стволу скважины с n трещинами будет равен алгебраической

сумме потоков флюида от каждой трещины

119876 = sum 119876119895(119905)119899119895=1 = 119888119900119899119904119905 (8131)

Как ранее для общения задачи вводим безразмерные переменные

давление в точке пересечения скважины с j трещины - 119901119908119863119895 безразмерный дебит

- 119902119863119895 =119876119895

119876

Из условий бесконечной проводимости для горизонтального ствола

119901119908119863119895 = 119901119908119863 119895 = 1 119899 8132

Возмущение давление которое создается трещиной k в точке пересечения

119895 трещины со скважиной ndash 119901(120591)119863119895119896 equiv 119901119863(120591 119909119908119863119896 119910119908119863119896 119909119908119863119895 119910119908119863119895) применяя

принцип суперпозиции

119901119908119863(119905119863) = sum int 119902119863119895 ∙ 119901prime119863119895119896(119905119863 minus 120591)119889120591 8133

1199051198630

119899119895=1

49

Суммарный поток флюида от всех трещин будет фиксирован

sum 119902119863119895119899119895=1 = 1 и с преобразованием Лапласа - sum 119863119895

119899119895=1 =

1

119904 8134

Преобразование Лапласа для 734 р119908119863119895 = sum 119904119863119895119863119895119896119899119896=1 8135

119863119895119896 = int 119891119863(119904 |119909119908119863119896 minus 119909prime|)(119904 119909119908119863119896 minus 119909prime 119909119908119863119895 119910119908119863119896 119910119908119863119895)119889119909

prime

119909119908119863119896+1

119909119908119863119896minus1

8136

119863119895119896 =sum119891119863119894 int (119904 119909119908119863119896 minus 119909prime 119909119908119863119895 119910119908119863119896 119910119908119863119895)119889119909prime

119889119909119863∙119894

119889119909119863(119894minus1)

119899

119894=1

+ int (119904 119909119908119863119896 minus 119909prime 119909119908119863119895 119910119908119863119896 119910119908119863119895)119889119909prime

minus(119894minus1)∙119889119909119863

minus119894∙119889119909119863

8137

Мощность источников 119891119863(119904 |119909119908119863119896 minus 119909prime|) вычисляется из (81217-

81218) где 119889119909119863 =1

119899 ndash безразмерная длина каждого n сегмента 119891119863119894 -

безразмерная скорость течения через i элемент

Система уравнений (8134-8137) записывается в виде [8]

А = 8138

= (

1199081198631198631⋮119863119899

) 8139

А = (

1 minus119904 ∙ 11986311 ⋯ minus119904 ∙ 1198631119899⋮ ⋮ ⋱ ⋮

1 minus119904 ∙ 1198631198991 hellip minus119904 ∙ 1198631198991198990 1 hellip 1

) 81310

= (

0⋮01 119904frasl

) 81311

50

Для вычисления матричных элементов 119863119895119896 необходима информация о

мощности потока в из всех 119899 трещин ГРП Если считать что каждая трещина ГРП

делится на 2119898 сегментов (рис 8123) тогда система (81310) будет содержать

(1 + 2119898 times 119899) количество уравнений относительно следующих неизвестных

119908119863 11989111986311 hellip 119891119863(2119898)1 hellip 1198911198631119899 hellip 119891119863(2119898)119899 где в 119891119863119894119895 ndash течение через i-й

сегмент в j-й трещине Пользуясь упрощенным подходом можем переписать в

следующем виде[19]

forall119895 isin 1hellip119899 forall119896 = 1hellip119898 ∶ 119891119863119895119896 = 119863119895 ∙ 119891119863119896 81312

При определении мощности источников используется допущение что на

распределение мощности источников внутри каждой из трещин соседние

трещины оказывают слабое влияние Можно предположить что распределения

мощности потока в трещинах симметричны относительно точки пересения со

стволом скважины Элементы матрицы А в (81310) получают по формуле

(8137)

119863119895119896 =sum119891119863119894 int (119904 119909119908119863119896 plusmn 119909prime 119909119908119863119895 119910119908119863119896 119910119908119863119895)119889119909

prime

119889119909119863∙119894

119889119909119863(119894minus1)

81313

119899

119894=1

где функция (hellip ) определяется по табличным формулам в зависимости

от граничных условий и типа зоны дренирования

Для решения СУ используется выражение матрицы в виде произведения

дву нижней треугольной и верхней треугольной (LU-декомпозиция) (Ортега

Дж 1991) Так называемое LU-разложение (LU-декомпозиция) mdash

представление выражение определенной матрицы в виде произведения двух

матриц A = LU где L mdash нижняя треугольная матрица а U mdash верхняя

треугольная матрица [15]

Ниже представлены применяемые в данной работе функции источников

в пространстве Лапласа

Таблица 8131 Функции линейных стоков

51

Тип условий на

границах

Функции линейных стоков

119899119899119899119899 =

=120587

2119909119890119863coshradic1199041198631 + coshradic1199041198632

radic119904 sinhradic119904119910119890119863

+ 2sumcos119896120587119909119863119909119890119863

cos 119896120587(119909119908119863 minus 119909prime)

119909119890119863

cosh 1205981198961198631 + cosh 1205981198961198632120598119896 sinh 120598119896119910119890119863

infin

119896=1

0 17

119888119888119888119888

=120587

119909119890119863sumsin119896120587

119909119863119909119890119863

sin 119896120587|119909119908119863 minus 119909prime|

119909119890119863

cosh 1205981198961198631 minus cosh 1205981198961198632120598119896 sinh 120598119896119910119890119863

infin

119896=1

0 18

119888119899119888119899 =

=120587

2119909119890119863coshradic1199041198631 minus coshradic1199041198632

radic119904 sinhradic119904119910119890119863

+ 2sumcos119896120587119909119863119909119890119863

cos 119896120587(119909119908119863 minus 119909prime)

119909119890119863

cosh 1205981198961198631 minus cosh 1205981198961198632120598119896 sinh 120598119896119910119890119863

infin

119896=1

0 19

Где 119909119890119863 =119909119890

119909119891 119910119890119863 =

119910119890

119909119891 1198631 = 119910119890119863 minus |119910119863 minus 119910119908119863| 1198632 = 119910119890119863 minus (119910119863 + 119910119908119863) 120598119896 =

radic119904 + 11989621205872 1199091198901198632frasl 119909119890 ndash размер площади дренирования по оси x 119910119890 ndash размер

площади дренирования по y 119899 значает границу отсутствия перетока 119888

означает границу постоянного давления

82 РЕАЛИЗАЦИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ИССЛЕДОВАНИЙ

В настоящей работе реализовано решение задачи фильтрации о

нестационарном притоке флюида к скважине при постоянном заданном дебите

для скважин с разным типом заканчивания (вертикальная скважина и

горизонтальная скважина с трещинами МГРП) Математическая модель описана

для задач (Главы 811-813) реализована на языке программирования VBA

Входные параметры приведены на рис 821 Параметры границ задаются

в виде прямоугольника (рис823) Параметры скважины флюида и пласта

задаются при помощи априорной информации Проницаемость рассматривается

как распределение полученных ранее (главе 3)

y

x

y

x

y

52

В ходе решения задачи строится график - кривая стабилизации давления

зависимость изменения забойного давления от времени (рис823)

Рис 821 Входные параметры для модели

Рис 822 Расположение горизонтальной скважины в границах

53

Рис 823 Кривая стабилизация давления

На следующем этапе по последней точке определяется значения kmodel В

зависимости от длительности исследования будь то 50 часов 100 часов и более

будет зависеть погрешность результата определения свойств пласта по

отношению к истинным параметрам (рис 821) К тому же от времени

исследования будут зависеть Capex на проведения исследования

Рассчитанное значение модельное kmodel затем сравнивается с исходным

заданным значением kist В результате получаем отношение модельного значения

kmodel после проведения ГДИ к kist в зависимости от длительности ГДИС (рис

822)

Рис 821 График производной забойного давления

54

Рис 822 Отношение kmodel kist для скважины 11РО

Полученные по проницаемости параметры умножаются на эффективную

мощность пласта-коллектора и затем рассчитанное распределение

интерполируется с другими параметрами в скважинах в точку проектной

По результатам моделирования распределения свойств пласта будут

изменяться уменьшение дисперсии при увеличении длительности исследования

(рис823) Идеальным исследованием считается исследование с длительностью

достаточной для достижения производной давления на билогарифмическом

графике радиального режима течения что указывает на достоверность

параметров по результатам ГДИ (проницаемость и пластовое давление) Чем

ближе длительность исследования к идеальному ГДИ тем ниже

неопределенность в параметрах и тем ближе распределение к идеальному

Моделирование разной длительности исследования проводиться для N ndash

распределений (рис2)

Результаты смоделированного ГДИ позволяют снизить неопределенности

(сузить распределение) в свойствах пласта в точке проектной скважины Для

интерполяции в точку проектной скважины используется метод сплайн ndash

интерполяции [18]

tk model 10 20 30 40 50 60 70 80

50 2288169 1501385 1150108 0948723 0808706 0717031 0640296 0581876

100 1496394 0948581 0717744 0581513 0484438 0414342 0361937 0319311

150 1107448 0689761 0503907 0394864 0322636 0269636 0233048 0203542

200 0949817 0580742 0417822 0318936 0259364 021555 0186095 0163468

250 0818194 0486803 0338246 0259062 0206736 0173204 014824 0129707

300 0705787 0408828 0281063 0211366 0169381 0142083 012167 0106692

350 0627933 0351884 023841 017996 0144702 0119968 0103063 0090319

400 0562852 0307024 0207063 0155316 0124788 010441 0089458 0078395

450 0510211 0272553 0183196 013788 0110431 009172 0079061 0069165

500 0463384 0245037 0164854 0123914 0099043 0082679 007078 0061913

55

Рис823 Изменение распределения в зависимости от времени исследования ГДИ

На рис 824 показано распределение значений проницаемости с учетом

разной длительности исследований ГДИ

Полученное распределение kh в проектной скважине до ГДИ

характеризовалось большей дисперсией по сравнению с распределением после

проведенного ГДИ на скважине

Рис 824 Распределение kh на проектной скважине

ГЛАВА 9 РАСЧЕТ ЭКОНОМИЧЕСКОГО ЭФФЕКТА

ЦЕННОСТИ ИНФОРМАЦИИ

Ожидаемая прибыль запланированной к бурению скважины до проведения

ГДИ рассчитывается с учётом исходного распределения после ГДИ

0

001

002

003

004

005

006

007

008

009

1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800

Пл

отн

ость

вероятн

ости

Пластовое давление атм

Распределения пластового давления

Время длительности ГДИ 50 часовВремя длительности ГДИ 100 часовВремя длительности ГДИ 150 часовВремя длительности ГДИ 200 часов (идеальное исследование)

56

рассчитывается для каждого дискретного варианта исхода из N-возможных и для

разных времен длительности исследования t

На первом этапе расчёта прибыли по методу Монте-Карло определяются

значения проницаемости и пластового давления с вероятностями распределения

равными 10 50 90 и оценивается запускное значение дебита скважины По

соседним скважинам определяются темпы падения дебита скважины

усредненный темп падения используется для проектной скважины

Произведение запускного значения дебита и усредненного темпа падения

характеризует профиль добычи проектной скважины На основе профиля

добычи оценивается NPV проектного бурения который учитывает

операционные затраты и капитальные расходы проекта При оценке NPV после

запланированного исследования в капитальных затратах учитываются расходы

на проведение ГДИ стоимость интерпретации исследования инструментальные

замеры

Ожидаемая ценность EMVwi после проведения ГДИ рассчитывается как

сумма отдельно взятых N - исходов умноженных на соответствующие

вероятности исходов (91)

119864119872119881119908119894 (119905119894) = 1198641198721198811199081198941(119905119894) lowast 1198751 + 1198641198721198811199081198942(119905119894) lowast 1198752 +⋯

+ 119864119872119881119908119894119873(119905119894) lowast 119875119899 =sum119864119872119881119908119894119895(119905119894)

119873

119895=1

(91)

Чистый дисконтированный доход рассчитывается по формуле (92) где

CF ndash денежный поток r ndash ставка дисконтирования I ndash сумма инвестиционных

вложений Непосредственно CF (денежный поток) будет определяться

количеством добываемого флюида [18]

119873119875119881 = sum119862119865119905

(1 + 119903)119905minussum

119868119905(1 + 119903)119905

(92)

Инвестиционные вложения включают операционные затраты ndash Opex

повседневные затраты компании для ведения бизнеса производства товаров и

57

услуг и капитальные затраты - Capex расходы на приобретение или обновление

необоротных активов При проведении ГДИС затраты на спускподъём

оборудования интерпретацию исследования инженером и потеря в прибыли

связанные с остановкой скважины учитываются в Capex

91 EMV БЕЗ УЧЕТА ПРОВЕДЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ

Дебит ndash это ограниченный объем добытой жидкости через скважину за

определенное время Оценки производительности скважин и расчет добычи

скважины проводятся на основе запускного дебита скважины и усредненного

темпа падения дебита на соседних скважинах на протяжении 25 лет В основном

темпы падения строятся исходя из истории эксплуатации на месторождении

анализируется весь набор данных на заданный пласт

Запускной дебит может быть рассчитан по следующим формулам в

зависимости от типа скважины [9]

1) Вертикальная скважина c ГРП

119902 =2120587119896ℎ(119875119894minus119875119908)

120583119861(119897119899119877119890119877119908minus075+119878)

119878 = 1198971198992119903119908

119909119891 (911)

2) Горизонтальная скважина с МГРП

119902 = 2120587kℎ ( 119875119894 minus119875119898

2+119875119908

2) + 119898119876119863 (912)

119876119863 =2120587kℎ(119875119894minus119875119908)

120583119861(119897119899119877119890119877119908minus075+119878)

(913)

С помощью расчёта запускных дебитов а также анализа работы

окружающих скважин были получены результаты темпов падения на рисунке

911 изображены темпы падения с вероятностью Р50 нефти и жидкости за 25 лет

для определенной скважины Также построена гистограмма с накопленной

добычей (рис 911)

58

Рис 931 Темпы падения для скважины

Рис 911 Гистограмма распределения добычи нефти

для скважины 716 до ГДИ

Геологические риски и неопределенности определяют необходимость

создания вероятностной оценки дебитов запасов профилей добычи

Вероятностная оценка по границам возможной минимальной и максимальной

эффективности поможет минимизировать инвестиционные риски проекта

Модуль вероятностной оценки дебитов запасов профилей добычи

основан на теории вероятностей и математической статистики [12] По

многочисленным входным параметрам задаются диапазоны ожидаемых

величин и тип распределения - по проницаемости эффективной

нефтенасыщенной толщины пласта пластовому давлению Источник

информации ndash фактические параметры полученные с карт и распределение с

59

ошибкой их построения Чем меньше неопределенностей тем меньше дисперсия

и разброс ожидаемых параметров в возможных диапазонах

Следующим этапом переходим к расчету экономических параметров

(NPV) по найденным значениям добычи за 25 лет На рисунке изображена

гистограмма NPV и указаны количественные оценки накопленной добычи и NPV

для вероятностей P10 P50 P90 (табл 911)

Рис 04 Гистограмма распределения NPV для скважины 716 до ГДИ

Таблица 921 Показатели добычи и NPV

Вероятность Накопленная добыча нефти тыст NPV млнруб

P10 1937 3012

P50 1128 1547

P90 597 585

60

С помощью выполненных расчетов (табл 911) ожидаемая ценность

проекта бурения скважины без проведения исследований (EMVwoi) составляет

16011 млн рублей

92 EMV БЕЗ УЧЕТА ПРОВЕДЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ

Расчет экономических параметров в случае модерирования исследований

проводится аналогичным образом Для расчета добычных показателей

планируемой скважины рассчитывается также по формулам 911-913 В этом

случае значения проницаемости и пластового давления задаются с помощью

уточнённые параметров после ГДИ с меньшей дисперсией

На рисунке 921 представлено распределение значений пластового

давления умноженного на эффективную нефтенасыщенную толщину после

ГДИ длительностью 150 часов

Рис 921 Гистограмма распределения NPV для скважины после ГДИ длительностью

150 часов

Расчет экономических параметров помимо операционных затрат (OPEX)

в случае моделирования ГДИ будет включать еще Capex ndash это затраты

проведенного исследования (инструментальные замеры спускоподъёмные

операции) который в свою очередь будут зависят от длительности проведения

исследований Также будут включены затраты на работу интерпретатора

исследований которые уже не будут зависеть от длительности В написанном

61

модуле также учитывается потеря прибыли на время остановки скважины

количественно потери будут определяться длительностью остановки скважины

на проведения ГДИ

62

ГЛАВА 10 РЕЗУЛЬТАТЫ

Реализованный модуль в данной работе позволяет определить

необходимость проведения гидродинамического исследования и выдать

рекомендации по продолжительности исследования составить ранжированный

список скважин по эффективности проведения исследований

В таблице 101 представлены результаты экономических параметров и

расчет VOI На графике (рис 101) построенным в осях VOI в зависимости от

времени исследования можно оценить экстремум функции как оптимальное

время для проведения исследования По представленным результатам

целесообразно провести ГДИ на скважине 3 длительностью от 150 часов так как

ценность полученной информации будет наибольшей

Таблица 101 VOI при проведении ГДИ на скважине 3

Продолжительность ГДИ

EMV1 EMV

2 VOI

Целесообразность исследования

50 16116 16111 005 + 100 16135 16111 024 + 150 16198 16111 087 +

200 16127 16111 016 +

250 16033 16111 -078 - 300 16021 16111 -09 -

В случае горизонтальных скважин также был произведен анализ

ценности информации рассчитаны параметры VOI от длительности по времени

Однако для выхода на радиальный режим для случаев горизонтальных стволов

скважин на рассматриваемом месторождении N необходимо более 500 часов что

существенно увеличивает капитальные затраты При расчете большой

длительности на проведения ГДИ обычно скважину не останавливают так как

эти исследования являются крайне затратными В таблице 202 указаны расчёты

при проведении исследования на горизонтальной скважине 5

63

Рис 101 Зависимость VOI от длительности ГДИ

Таблица 102 VOI при проведении ГДИ на скважине 5

Продолжительность ГДИ

EMV2 EMV

1 VOI

Целесообразность исследования

50 1603 1611 -078 - 100 1606 1611 -054 - 150 161 1611 -013 - 250 1612 1611 012 - 350 1611 1611 -006 - 500 1614 1611 024 +

Таблица 103 Ранжированный список скважин-кандидатов для проведения ГДИС

Скважина VOI (t=50) VOI (t=100) VOI (t=150) VOI (t=200) VOI (t=250) VOI (t=300)

3 005 024 087 016 -034 -078 1 003 015 036 073 -021 -064 4 002 012 024 054 -011 -057 2 001 009 011 031 042 -03

Модуль автоматически перебирает выбранный список скважин для

бурения проектной скважины и ранжирует их по ценности информации

проведенных исследований также предлагает наиболее оптимальное время

исследований исходя из экономических параметров (таблица 103)

Апробация и оптимизация инструмента оценки необходимости

проведения гидродинамического исследования проводится на одном из активно

-15

-1

-05

0

05

1

15

0 50 100 150 200 250 300 350

VO

I м

лнр

уб

Длительность ГДИ ч

VOI (Проведение ГДИ нецелесообразно)

VOI (Проведение ГДИ целесообразно)

64

разбуриваемых месторождений В данной работе проводилась аналитика для

бурения 10 проектных скважин По результатам моделирования ГДИ на

скважинах вблизи проектной была проведена оценка ценности информации от

запланированного исследования На рис102 представлена зависимость

определенного VOI от длительности ГДИ если график расположен выше нуля

(VOI gt 0) исследование экономически обосновано проводить Определив

экстремум функции определяется оптимальная длительность исследования

Приводя пример в рассчитанном кейсе для бурения скважины X наиболее

выгодно провести исследования в 3 скважине длительностью 150 часов

Рис 102 Зависимость VOI от длительности ГДИ в скважинах 1234

-1

-05

0

05

1

0 100 200 300 400

VO

I

Длительнось ГДИ

Скв 3 Скв 1 Скв 4 Скв 2

65

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

По результатам магистерской диссертации был реализован инструмент для

оптимального планирования гидродинамических исследований на этапе бурения

проектных скважин с помощью метода VOI

Предложенный в данной работе метод позволяет определить не только

необходимость проведения гидродинамического исследования но и выдать

рекомендации по оптимальной продолжительности исследования

Смоделировав исследования ГДИ на нескольких соседних от проектных

скважин инструмент позволяет ранжировать скважины ndash кандидаты для

гидродинамических исследования по величине ценности информации VOI

В процессе реализации предложенной методики работы было выполнено

следующее

1 Автоматический анализ данных по ранее проведенным

исследованиям определение геологической неопределенности

интересующих параметров (пластовое давление проницаемость) по

всему эксплуатационному фонду скважин на месторождении N

2 Модуль сплайн-интерполяция на языке программирования Python с

помощью которого интерполируются значения параметров

решается задача о нестационарном притоке к скважине с помощью

языка программирования VBA в котором учитываются результаты

моделирования синтетического ГДИ

3 Расчёт плановых показателей добычи на основе распределений Рпл

и kh до проведения исследования и после него в зависимости от

времени исследований

4 Экономический анализ эффективности проведения исследований на

основе методики VOI по результатам которого выполняется

ранжирование скважин по информативности исследований

66

По результатам расчёта на месторождении N выяснили что для бурения

скважины X наиболее эффективно останавливать на ГДИ скважину 3 с

длительностью исследования 150 часов

В заключении реализованный модуль позволяет оценить

целесообразность проведения ГДИ и самое важное экономическое обоснования

планируемых исследований

Возможности реализованного модуля

Автоматизированный анализ геологической неопределённостей по

фильтрационным-емкостным свойствам и пластовому давлению в

зоне планируемого бурения

Экономическое обоснование по проведению гидродинамических

исследований в зоне бурения проектных скважин

Определение оптимальной длительности ГДИС

Ранжирование скважин по информативности проведения

исследований

Экономическое обоснование затрат на ГДИС и последующими

решениями по оптимальному планированию ГДИС на основе

ценности информации

67

ОХРАНА ТРУДА

Преобладающее время по написанию выпускной квалификационной

работы проводилось за персональным компьютером

Согласно рекомендованной инструкцией по охране труда во время работы

на компьютере ТОИ Р-45-084-01 и также при его эксплуатации могут возникнуть

негативное влияние на работника следующие вредные производственные и

опасные факторы

повышенные уровень электромагнитного воздействия

высокая степень статического электричества

низкий уровень ионизации воздуха

нагрузки которые связанны с продолжительным временем сидячим

положением

повышенная нагрузка на органы зрения

болевые симптомы в позвоночнике и пояснице в связи

продолжительным сидячим положением а также венозная

недостаточность и стресс

Для рационального выбора организации рабочего процесса необходимо

минимизировать опасное воздействие на здоровье работающего а также

выполнить все требования эргономики и обезопасить свое рабочее место

Требования к минимизации нагрузки на органы зрения

Высокая нагрузка на органы зрения приводит к ухудшению зрения

возникновению близорукости и других заболеваний что также провоцирует

мигрень и головные боли повышается раздражительность нервное состояние

которое может привести к стрессу

Для избежание негативного воздействия на органы зрения необходимо

уделить особое внимание освещению как помещения так же и рабочих мест так

как степень освещенности напрямую зависит от интенсивности зрительного

напряжения Основное освещение следует размещать сплошными или

прерывистыми линиями светильников которые могут располагаться сбоку от

68

рабочих мест а также параллельно линии зрения рабочего при линейном

расположении мониторов компьютера Если же ПК расположены по всему

периметру помещения тогда линию светильников или ламп следует

расположить локализовано над каждым рабочим местом

Безопасная и рекомендуемая норма освещенности для работника в системе

освещения составляет mdash 150 minus 200 лк По правилам допускается расположение

ламп локального освещения Персональное освещение не должно

способствовать возникновению бликов на поверхности самого экрана а также

освещенность экрана не должна превышать 300 лк Безопасным считается

освещение рабочих мест люминесцентными лампами ЛБ белого света которые

должны использоваться в помещениях с нормальными условиями труда

Экран должен характеризоваться освещенностью не более 300 лк Яркость

ламп основного освещения в части зон углов излучения 50 minus 90∘ в продольной и

поперечной с вертикалью плоскостях может составлять менее 200кдм также

защитный угол светильников может составлять более 40∘

В виде источников света особенно при условии искусственного освещения

следует применять люминесцентные лампы ЛБ (белый свет) и ЛТБ (тепло-

белый) с характеристиками мощностью 40Вт или 80Вт обладающие высокой

световой отдачей (до 120лмВт и более) у которых продолжительный срок

службы (до 10000ч)

В лампах локального освещения допускается использование ламп

накаливания также галогенных Не допускается использование светильников без

рассеивателей и экранных решеток

Организация рабочего места в связи с активностью оператора

Сфера работы оператора ЭВМ характеризуется пониженной мышечной

активностью а также длительным напряжением мышц в статике особенно шеи

рук спины и ног что может привести к утомлению Состояние утомления

существенно возрастает особенно при неоптимальной высоте рабочего стола и

сидения у которого отсутствует опорная спинка или подлокотник а также

острых углах наклона головы нерациональным и неудобном размещении

69

видеотерминала документов и клавиатуры неудобном угле наклона

поверхности экрана отсутствии подставки для ног

Сиденье должно быть удобным и обеспечивать поддержание правильной

рабочей позы которое будет позволять изменять положение с целью

уменьшение напряжения мышц шейно-плечевой области Лучший способ - это

когда рабочее кресло оборудовано подъемно-поворотным которое регулируется

по высоте и по углам наклона спинки причем регулировка каждого параметра

должна быть независимой

Рабочее место работника следует обеспечить подставкой для ног (п 93 и

105 СанПиН 222241340-03) Поверхность подставки обязательно должна

быть рельефной и характеризоваться высотой переднего края 10 мм

Требования пожаробезопасности

Согласно ГОСТ 121004-91 следует помнить о существующих мерах

предосторожности и опасных факторах огонь пламя и дым также высокая

температура токсичные продукты горения и их термическое разложение

сниженная концентрация кислорода Противопожарную защиту обеспечивают

следующими мерами

Использование средств пожаротушения наличие сигнализации и

устройств тушения в помещениях которые способны ограничивать

распространение пожара наличие специальных средств индивидуальной

защиты

Противопожарные перегородки и отсеки устройства автоматического

отключения систем

Специальная планировка эвакуационных выходов

Системы оповещения людей по громкоговорителю

Технические средства для эвакуации людей

Присутствие огнетушащих веществ

70

Система вентиляции здания должна содержать оборудования и устройства

которые обеспечивают автоматическое отключение при пожаре и

огнедымозадерживающими устройствами Система электропитания

персонального компьютера должна иметь блокировку которая отключает его в

случае пожара

71

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1 Байков ВА Бакиров НК Яковлев АА Математическая геология

учебное пособие ndash Москва-Ижевск 2012 ndash 228с

2 Гуляев Д Н Кокурина В В Кременецкий М И и др Формирование

системы промыслового мониторинга на основе долговременных иссле-

дований стационарными датчиками на приеме насоса Нефтяное хозяй-

ствоraquo 12 2009 С 41ndash44

3 Демьянов В В Савельева Е А Геостатистика теория и практика

учебное пособие ndash Москва 2010 ndash 327с

4 Каневский МФ Демьянов ВВ Савельева ЕА и др Элементарное

введение в геостатистику Москва ВИНИТИ 1999 ndash 136с

5 Каневская Р Д Математическое моделирование разработки месторож-

дений нефти и газа с применением гидравлического разрыва пласта М

Недра-Бизнесцентр 1999 ndash 212 с

6 Кременецкий М И Ипатов А И Гуляев ДН Информационное

обеспечение и технологии гидродинамического моделирования нефтяных

и газовых залежей [Книга] - Москва-Ижевск Ижевский институт

компьютерных исследований 2011 ndash 896с

7 Леонтьев Н Е Основы теории фильтрации [Книга] - Москва ЦПИ при

механико-математическом факультете МГУ 2009 ndash 88с

8 Ортега Дж Введение в параллельные и векторные методы решения

линейных систем [Книга] - Москва Мир 1991 ndash245с

9 Abramowitz M IA Stegun Handbook of Mathematical Functions [Книга] -

New York Dover Publications Inc ndash 1972

10 Churchill RV Operational Mathematics [Книга] - New York McGraw-Hill

Book Co Inc ndash 1972

11 Gringarten AC and Ramey HJ The Use of Source and Greenrsquos Functions in

72

SolvingUnsteady-Flow Problems in Reservoirs [Книга] - SPEJ 1973 ndash245с

12 Houzeacute O Viturat D Fjaere O-S Dynamic data analysis [Книга] - Kappa

2008

13 Joshi SD Horizontal Well Technolog [Книга] - Tulsa Oklahoma Penwell

Published Compan 1991

14 Stehfest H NumericalInversionof LaplaceTransforms [Книга] -

Communicationsofthe ACM 1970

15 The Society of Petroleum Engineers Введение в нефтяной инжиниринг

[Книга] - Москва-Ижевск Институт компьютерных исследований 2014

16 Van Everdingen AF and HurstW W The Application of the Laplace

Transformation to Flow Problems in Reservoirs [Книга] - AIME 1953

17 Stehfest H NumericalInversionof LaplaceTransforms

Communicationsofthe ACM 1970

18 Gringarten AC and Ramey HJ The Use of Source and Greenrsquos Functions in

SolvingUnsteady-Flow Problems in Reservoirs бм SPEJ 1973

19 Jan R Williams Susan F Haka Mark S Bettner Joseph V Carcello

Financial amp Managerial Accounting 2008

РЕФЕРАТ

На 72 стр 32 рисунков 5 таблиц 25 источников списка литературы

Ключевые слова гидродинамическое исследования скважин бурение

скважин фильтрационно-ёмкостные свойства пласта проницаемость пластовое

давление сплайн-интерполяция

Гидродинамические исследования являются источником ключевой

информации при планировании и контроле разработки месторождений По

причине технологических ограничений и экономических затрат на проведение

исследований полноценной охват действующего фонда скважин затруднён В

данной работе описывается подход для оценки необходимости проведения

гидродинамических исследований на этапе планирования бурения скважин на

основе методики VOI В результате работы проведен анализ исходных данных

по месторождению реализован c помощью языка программирования Python

сплайн-интерполяции Рассчитаны добычные характеристики проектных

скважин Решены задачи о нестационарном притоке к скважине с применением

языка программирования VBA

THE ABSTRACT

Key words Well test analysis well drilling filtration and capacitive properties

of rocks permeability formation pressure spline interpolation

Well testing are a source of key information for planning and control of field

development Due to technological limitations and the economic costs of conducting

research the full-scale research coverage of existing wells is difficult This article

describes an approach for assessing the need of WTA at the planning stage of well

drilling based on the VOI methodology The analysis of the initial data on the field is

lead The Python programming language is implemented to interpolate the initial

values by using the method spline interpolation The production characteristics of the

project wells are calculated The problem of unsteady inflow to the well was solved by

using the VBA programming language

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 6

ГЛАВА 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕННОСТИ ИНФОРМАЦИИ НА ОСНОВЕ VOI 8

ГЛАВА 2 ОБЗОР ВХОДНЫХ ДАННЫХ 10

ГЛАВА 3 МЕТОДИКА ОПТИМАЛЬНОГО ПЛАНИРОВАНИЕ

ИССЛЕДОВАНИЙ 12

ГЛАВА 4 МЕТОДЫ ИНТЕРПОЛЯЦИИ 17

41 Кубический интерполяционный сплайн 18

42 Кубический сглаживающий сплайн 21

ГЛАВА 5 ОСНОВЫ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ

СКВАЖИН 24

ГЛАВА 6 ТЕОРИЯ ФИЛЬТРАЦИИ В УПРУГОЙ ПОРИСТОЙ СРЕДЕ 31

ГЛАВА 7 МОДЕЛИРОВАНИЕ ИССЛЕДОВАНИЙ 35

ГЛАВА 8 ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИ ФИЛЬТРАЦИИ ФЛЮИДОВ 36

811 Основа модели фильтрации к вертикальной скважине 36

812 Приток к вертикальной скважине с трещиной ГРП 42

813 Основа модели фильтрации к горизонтальной скважине с

МГРП 47

82 Реализация моделирования исследований 51

ГЛАВА 9 РАСЧЕТ ЭКОНОМИЧЕСКОГО ЭФФЕКТА ЦЕННОСТИ

ИНФОРМАЦИИ 55

91 EMV без учета проведения исследования 57

92 EMV без учета проведения исследования 60

ГЛАВА 10РЕЗУЛЬТАТЫ 62

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 65

ОХРАНА ТРУДА 67

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 71

6

ВВЕДЕНИЕ

Результаты гидродинамических исследований (ГДИ) являются ключевой

информацией при планировании и контроле разработки месторождений

Результаты интерпретации исследований позволяют определить и уточнить

геологическое строение контролировать и вести мониторинг энергетического

состояния пласта и разработки месторождения определять текущее состояние

скважины и пласта обосновывать и контролировать эффективность геолого-

технологических операций Тем не менее полный охват действующего фонда

скважин гидродинамическими исследованиями в большинстве случаев

затруднён в связи с технологическими ограничениями и затратами на проведение

исследования (в том числе потерь по добыче нефти вследствие остановки

скважин ГДИ)

При планировании программы гидродинамических исследований скважин

специалисты часто сталкиваются с проблемой значительных ограничений по

лимиту потерь добычи нефти В данных условиях выбор скважин как правило

осуществляется из числа малодебитных скважин

Одновременно с этим основной задачей при планировании ГДИ является

оценка длительности исследования обеспечивающая регистрацию данных на

радиальном режиме фильтрации Однако выход на радиальный режим течения

особенно для горизонтальных скважин с трещинами многостадийного

гидравлического разрыва пласта и к тому же вскрывающих низкопроницаемые

коллектора зачастую может превышать десяти суток Результаты проведения

исследований с длительностью не позволяющей регистрировать радиальный

режим течения как правило являются малоинформативными Вследствие чего

при планировании длительности ГДИ необходимо определять баланс между

затратами на проведение исследования и ценностью информации которую даёт

исследование

7

Оптимизация процессов планирования гидродинамических исследования

включающая выбор скважин ndash кандидатов под ГДИ и определение длительности

исследования является актуальной задачей при мониторинге разработки

месторождения

В магистерской диссертации рассмотрен подход оптимального

планирования проведения ГДИ на основе методики по оценке ценности

информации VOI В методике предполагается проводить исследования на

скважинах действующего фонда которые располагаются возле проектной зоны

бурения да начала бурения скважин с целью снижения неопределенностей в

свойствах пласта в зонах проектного бурения Результатом разработанного

подхода является инструмент позволяющий ранжировать скважины для

гидродинамических исследований и выбирать оптимальную длительность

исследования

8

ГЛАВА 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕННОСТИ ИНФОРМАЦИИ НА

ОСНОВЕ VOI

Ценность информации (Value of information) ndash это разность между

ожидаемой стоимостью проекта с учетом и без учета полученной информации в

результате исследований Критерий ценности информации позволит

охарактеризовать экономическую выгоду результатов исследований а также

произвести оценку эффективности программы геологоразведочных работ

Появившиеся тенденции разработки месторождений характеризующиеся

сложным геологическим строением и высокой степенью неопределённостью

требуют новых методик экономической оценки ценности проектов В связи с

повышением стоимости геологоразведочных работ месторождений

находящихся в удаленных регионах на шельфе подход основанный на

экономической ценностью информации является актуальным Расчет VOI

позволяет найти наиболее экономически выгодную программу исследований

оценить ее достаточность оптимальность определить ценность информации

единичного исследования Статистический подход к развитию возможных

вариантов исхода поможет количественно оценить риски проекта составить

оптимальную программу разработки месторождения на основе дерева решений

Процесс принятия решению можно визуализировать в виде дерева

решения графического метода анализа информации который вкачает в себя

узлы решения вероятности и окончания Последовательность

взаимоисключающих событий реализация сценариев включающих риски и

неопределенности приводит к достижению поставленной цели при заданных

вероятностях

Решения принимаются в узлах решений Ветви исходящие из любого

узла решений представляют собой все возможные выборы которые имеются на

данный момент времени у принимающего решения

9

Неопределенные результаты возникают в узлах вероятности (случая)

Ветви исходящие из любого узла вероятности представляют все результаты

которые могут возникнуть в некоторый момент времени и их вероятности в

сумме должны быть равны 1 Исходной веткой (перед самим узлом) могут

являться как альтернативы узла решений так и исходы предыдущего узла

вероятности

Узел окончания обозначает завершение каждой ветки и не подразумевает

дальнейшее ветвление Справа от него в строчку записывается итоговая

вероятность данной ветки (считается перемножением вероятностей данной

ветки по всем узлам вероятности) и финансовый результат данной ветки

(сценария)

Рис 11 Пример простого дерева решений

Концепция VOI (рис 12) основана на расчете разницы ожидаемой

денежной проекта после проведения исследования (EMV2) и без информации

(EMV1) ndash dNPV [3] которая возникает в связи с риском принятия неэффективного

решения из-за существующей неопределенности параметров объекта

исследования

Рис 12 Пример простого дерева решений

10

Снижение диапазона неопределённости позволяет принять более

эффективные инвестиционные решения и тем самым повысить ценность

проекта Оценка наиболее оптимальных решений до и после проведения

исследования входит в оценку EMV по веткам дерева решений что позволяет

оценить VOI от проведения работ

Ценность информации будет являться нулевой в случаях если информация

не приносит снижения диапазона неопределенности и если снижение

неопределенности не несет никаких изменений в дальнейших решениях по

проекту Оценка ценности информации позволяет на количественном уровне

оценить экономическую целесообразность проведения ГДИ и вовремя

отказаться от проведения неэффективных исследований тем самым увеличив

стоимость проекта

ГЛАВА 2 ОБЗОР ВХОДНЫХ ДАННЫХ

Реализованный модуль прошел апробацию на восточной части

месторождения N В текущей постановке предложенная методика для оценки

ценности информации и необходимости проведения гидродинамических

исследований проводилась на стадии планирования бурения (Рис 01 Карта

проницаемости пласта месторождения N)

11

Рис 01 Карта проницаемости пласта месторождения N

Месторождение N как и многие давно разрабатываемые активы покрыты

частой сеткой гидродинамических исследований в скважинах Однако

превосходящая часть этих исследований была осуществлена в течении 3-4 лет

назад данный факт существенно снижает корректность информации

полученной в результате исследований о текущем пластовом давлении и

фильтрационно-емкостных характеристиках пласта

Проницаемость горных пород пласта - это способность пород пласта-

коллектора пропускать флюид (жидкость воду и газ) при депрессии на пласт

Проницаемость является фильтрационным параметром горной породы который

определяет скорость фильтрации жидкости в среде Проницаемость пористой

среды будет зависеть не только от размера и расположения пор относительно

друг друга но также от характера движения фильтрующихся флюидов (нефть

вода газ)

Пластовое давление (Рпл) ndash это параметр который характеризует энергию

нефтегазоносных пластов Пластовым называют давление которым флюиды

воздействуют на вмещающие их породы Это давление возникает из

гидростатического давления то есть избыточного давления (архимедовой силы)

которое возникает в результате изменения объёма резервуара (порового

пространства пласта) и так же за счёт расширения (или сжатия) флюидов и

изменения их массы вследствие эксплуатации скважинами Существуют

понятия начального пластового давления и текущего пластового давления

Начальное определяют как исходный показатель которым характеризовался

пласт до вскрытия скважиной Текущим пластовым давлением определяют как

меняющийся в ходе разработки месторождения динамический параметр Один

из важных параметров в процессе разработки месторождения ndash это дебит

скважины (q определяют как объём флюида (воды нефти или газа) поступает в

единицу времени) Данная характеристика напрямую будет зависеть от

величины пластового давления и емкостных-фильтрационных свойств пласта

119875пл ndash динамический параметр по этой причине для эффективной разработки

12

месторождения необходима информация о текущем энергетическом состоянии

пласта и его проницаемости

Пластовое давление и проницаемость могут быть получены в результате

интерпретации гидродинамических исследований (глава 5) Однако

длительность исследований и их качество порой оказываются недостаточными

для корректного определения этих параметров В данной работе реализуется

алгоритм моделирования синтетических исследований (глава 8) для оценки

погрешности в зависимости от их длительности

ГЛАВА 3 МЕТОДИКА ОПТИМАЛЬНОГО

ПЛАНИРОВАНИЕ ИССЛЕДОВАНИЙ

Результатом интеграции методологии ценности информации и

планирования гидродинамических исследований является реализованный

инструмент позволяющий определить необходимость проведения исследования

на действующей скважине вблизи проектной С целью определения VOI

инструмент последовательно решает следующие задачи

1 Определение исходных распределений проницаемости (k) и

пластового давления в действующих скважинах (глава 2)

2 Интерполяция исходных распределений в точку проектной

скважины (глава 4)

3 Моделирование исследований ГДИ на действующих скважинах

расположенных вблизи проектной скважины и определение распределений

проницаемости и пластового давления с учётом результатов исследований (глава

8)

4 Интерполяция измененных распределений в точку проектной

скважины (глава 4)

5 Расчёт ожидаемой прибыли проектной скважины без проведения

исследования ГДИ (EMVwoi) (глава 91)

13

6 Расчёт ожидаемой прибыли проектной скважины с учётом

проведения исследования ГДИ (EMVwi) (глава 92)

При проектировании скважины значения проницаемости и пластового

давления определяются по имеющимся картам распределения свойств В свою

очередь построение карт основывается на результатах проведения

гидродинамических исследований По причине наличия погрешностей при

построении карт распределения свойств и погрешностей в результатах

гидродинамических исследований значения проницаемости и пластового

давления с карт зачастую не являются аналогичными результатам ГДИ

На первом этапе инструмент оценивает распределение параметров

основываясь на определении отношения (έ) значений проницаемости и

пластового давления определенных по результатам ГДИ к значениям

определенным по картам пластового давления и проницаемости (рис1)

Параметр έ характеризует отклонения результатов исследований от карт и таким

образом описывает неопределенность в параметре Определив параметр έ для

каждого имеющегося гидродинамического исследования оценивается

распределение отклонений έ для каждого параметра (проницаемости и

пластового давления) Разработка методологии проводилась на существующем

месторождении в результате параметр έ для проницаемости имел

логнормальное для пластового деления нормальное распределение (рис31)

Распределения свойств пласта в точках существующих скважин до

проведения гидродинамического исследования определяется путем

произведения распределений έ на значение параметра пласта с актуальной карты

[1]

14

Рис31 Распределения отклонений значений проницаемости и пластового давления по

результатам ГДИ от значений с карт

На следующем этапе инструмент интерполирует исходные распределения

в точках действующих скважин в точку проектной скважины Для интерполяции

используется метод сплайн ndash интерполяции который оценивает значения

используя математические функции В результате интерполяции для проектной

скважины определяются распределения проницаемости и пластового давления

до проведения гидродинамического исследования

Возможные реализации проницаемости и пластового давления имеют

широкие исходные распределения и являются непрерывными величинами по

этой причине перед моделированием ГДИ исходные распределения в точках

существующих скважин разбиваются на N-количество дискретных исходов

(рис32) Количество исходов (N) определяется на основе точности

погрешности результатов ГДИ Точность результатов ГДИ определяется

экспертным образом Вероятности исходов определяются на основе данных

вероятностного моделирования путем деления всего диапазона исходов

значений N - дискретных исходов и определение количества реализаций

которые можно отнести к каждому исходу При моделировании 100 значений

проницаемости если скважина в 20 реализациях попала в первое распределение

вероятность должна быть определена 20

0

02

04

06

08

1

12

14

00 10 20

Пл

отн

ость

ве

ро

ятн

ости

έ = (Рпл по ГДИ) (Рпл с карт)

Распределение έ значений проницаемости

0

02

04

06

08

1

12

14

00 05 10 15 20

Пл

отн

ость

ве

ро

ятн

ости

έ = (119896 по ГДИ) (119896 с карт)

Распределение έ значений пластового давления

15

Рис 32 Разбиение исходного распределения пластового давления на дискретные

значения

Для оценки распределений свойств пласта в точке проектной скважины

после проведения гидродинамического исследования необходимо создать

синтетическое ГДИ Моделирование запланированного ГДИ проводится путём

решения задачи о нестационарном притоке к скважине с постоянным дебитом на

основе исходных распределений свойств пласта

Уравнением описывающим процессы происходящие при исследованиях

ГДИ является уравнение пьезопроводности Данное уравнение (31) описывает

неустановившееся однофазное одномерное течение флюида в пористой среде и

выражает связь между пластовым давлением временем и расстоянием от

скважины до точки наблюдения Решение уравнения пьезопроводности (32) для

простого случая работы вертикальной скважины в бесконечном пласте позволяет

получить модель характеризующую перераспределение давления в пласте

1

120594

120597120549119875

120597119905=1

119903

120597

120597119903(119903120597120549119875

120597119903) (31)

∆119875(119905 119903) = minus9205119902119861120583

119896ℎ119864119894 (minus

1199032

000036120594119905) (32)

где (q ndash дебит скважины м3сут B ndash объёмный коэффициент 120583 ndash

вязкость жидкости cпз k ndash проницаемость мД h ndash мощность пласта

м r ndash радиус м χ ndash пьезопроводность мД(спзатм-1) t ndash время ч)

16

Ожидаемая прибыль запланированной к бурению скважины до проведения

ГДИ рассчитывается с учётом исходного распределения после ГДИ

рассчитывается для каждого дискретного варианта исхода из N-возможных и для

разных времен длительности исследования t

На первом этапе расчёта прибыли по методу Монте-Карло определяются

значения проницаемости и пластового давления с вероятностями распределения

равными 10 50 90 и оценивается запускное значение дебита скважины По

соседним скважинам определяются темпы падения дебита скважины

усредненный темп падения используется для проектной скважины

Произведение запускного значения дебита и усредненного темпа падения

характеризует профиль добычи проектной скважины На основе профиля

добычи оценивается NPV проектного бурения который учитывает

операционные затраты и капитальные расходы проекта При оценке NPV после

запланированного исследования в капитальных затратах учитываются расходы

на проведение ГДИ стоимость интерпретации исследования инструментальные

замеры

Ожидаемая ценность EMVwi после проведения ГДИ рассчитывается как

сумма отдельно взятых N - исходов умноженных на соответствующие

вероятности исходов (33)

119864119872119881119908119894 (119905119894) = 1198641198721198811199081198941(119905119894) lowast 1198751 + 1198641198721198811199081198942(119905119894) lowast 1198752 +⋯

+ 119864119872119881119908119894119873(119905119894) lowast 119875119899 =sum119864119872119881119908119894_119895(119905119894)

119873

119895=1

(33)

По результатам моделирования ГДИ на скважине вблизи проектной

проводится оценка ценности информации от запланированного исследования

Реализуется построение зависимости VOI от длительности ГДИ где график

расположен выше нуля (VOI gt 0) следует что исследование экономически

обосновано проводить По результату работы модуля выполняется

17

ранжирование скважин с оптимальным временем проведения ГДИ на основе

ценности информации

ГЛАВА 4 МЕТОДЫ ИНТЕРПОЛЯЦИИ

Определения параметров пласта в области с отсутствующими прямыми

измерениями осуществляются с помощью пространственной интерполяции

Одним из основных методов построения карт параметров пласта является

сплайн-интерполяция

Для построения распределения свойств пласта в определённой зоне

используют ограниченное значение количественных измерений интересующего

параметра Z в точках (Xi Yi) Данные точки определяются как точки выборки

(точки наблюдений) Цель пространственной интерполяции ndash получить значения

пространственной переменной Z на площади где отсутствуют исследования с

минимально погрешностью Необходимо интерполировать из точек Z(xi) в

определенную точку Z(x) на основе анализа имеющихся в базе значений (Рис 42)

Рис 42 Интерполяция в точку Z(x)

Подход интерполяции напрямую опирается на измеренные значения в

точках и интерполируются с помощью подбора математической функции

определяя слаженность результирующей формы [4]

В данной работе был реализован метод сплайн-интерполяции

Сплайн-функцией 119904(119909) 119909 isin [119886 119887] называется функция которая в

каждом частичном отрезке [119909119894minus1 119909119894] является полином некоторой степени и

имеет на заданном [119886 119887] производную до некоторого порядка Под степенью

18

сплайна подразумевают максимальную степень полинома по каждому из

отрезков [119909119894minus1 119909119894] а под дефектом сплайна ndash разность между соответствующей

степенью сплайна и порядком наивысшей производной на заданном отрезке

[119886 119887]

Интерполяция сплайнами является кусочно-полиномиальной

интерполяцией Основная теория сплайн-интерполяции заключается том что на

каждом шаге интерполяции (разбиваемом промежутке между узлами)

осуществляется аппроксимация в форме определенной полиномиальной

зависимости Для каждого шага итерации осуществляется подборка полинома

таким образов чтобы выполнялись граничные условия на концах отрезка

Условия для сплайна полинома степени n должны обеспечивать непрерывность

производных порядка степени (n-1) Наиболее распространённые и имеющие

широкую практическую применимость являются кубические сплайны

41 КУБИЧЕСКИЙ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ СПЛАЙН

Кубическим интерполяционным сплайном 119904(119909) называется функция

которая удовлетворяет следующим условиям

1 На каждом определенном отрезке [119909119894minus1 119909119894] 119904(119909) является полином

третьей степени то есть

119904(119909) = 1198860(119894)1199093 + 1198861

(119894)1199092 + 1198862

(119894)119909 + 1198863

(119894) 119909 isin [119909119894minus1 119909119894] (411)

2 119904(119909) isin 119862[119886119887]2

3 119904(119909119894) = 119891119894 119894 = 0 1hellip 119899

4 119904primeprime(119886) = 119904primeprime(119887) = 0

Коэффициенты 1198860 1198861

1198862 1198863

рассчитываются независимо от каждого

промежутка интерполирования [14]Рассмотрим как строится кубический

сплайн Обозначим через 119898119894 = 119904primeprime(119909119894) 119894 = 0hellip 119899 minus

величина называемая моментом

19

119904primeprime(119909) - линейная функция и для каждого отрезка она совпадает с

интерполяционной функцией полинома Лагранжа первой степени

Проинтегрировав получившееся равенство определяется из условия 3

искомые константы находятся в виде сплайна 119904(119909) на частичном отрезке

[119909119894minus1 119909119894]

119904(119909) = 119898119894minus1

(119909119894 minus 119909)3

6ℎ+119898119894

(119909 minus 119909119894minus1)3

6ℎ+ (

119891119894 minus 119891119894minus1ℎ

minus (119898119894 minus119898119894minus1)ℎ

6) (119909 minus 119909119894)

+ 119891119894 minus119898119894

ℎ2

6 (412)

Определяем моменты 119898119894 119894 = 0hellip 119899 с помощью условий 2 3 4

выводим систему следующего вида

1198980 = 0ℎ

6119898119894minus1 +

2

3ℎ119898119894 +

ℎ

6119898119894+1 =

119891119894minus1 minus 2119891119894 + 119891119894+1ℎ

119894 = 1hellip 119899 minus 1 (413)

119898119899 = 0

Запишем следующие вектора

119898 =

(

11989801198981

⋮119898119899minus1119898119899 )

minus (119899 + 1) minus мерный (414)

119892 =

(

1198910 minus 21198911 + 1198912ℎ⋮

119891119899minus2 minus 2119891119899minus1 + 119891119899ℎ )

minus (119899 + 1) minus мерный (415)

и матрицу

20

119860 =

(

1 0 0 01

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ 0

01

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ

⋯0 0 0 00 0 0 00 0 0 0

⋮ ⋱ ⋮

0 0 0 00 0 0 00 0 0 0

⋯

1

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ 0

01

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ

0 0 0 1 )

minus (119899 + 1) times 6(119899 + 1)

minus мерную (416)

Сходимся в необходимости решить следующую систему (417)

119860119898 = 119892 (417)

Данная система представляет собой систему с трёхдиагональной

матрицей и с диагональным преобладанием Для необходимости её решения

потребуется применить метод прогонки который возможен для систем

следующего вида

1198980 = 11989611198981 + 1198920119886119894119898119894minus1 + 119887119894119898119894 + 119888119894119898119894+1 = 119892119894 119894 = 1hellip 119899 minus 1

119898119899 = 1198962119898119899minus1 + 119892119899 (418)

где

119886119894120572119894 + 119887119894 ne 0 119894 = 1hellip 119899

1 minus 1198962120572119899 ne 0 (419)

где 120572119894 в свою очередь - это

1205721 = 1198961

120572119894+1 = minus119888119894

119886119894120572119894 + 119887119894 119894 = 1hellip 119899 minus 1 (4110)

Следующая методика прогонки представлена в двух частях прямой хода

и обратный хода Прямой ход выявляет следующие величины

21

1205721 = 11989611205731 = 1198920

120572119894+1 = minus119888119894

119886119894120572119894 + 119887119894 119894 = 1hellip 119899 minus 1 (4111)

120573119894+1 = minus119892119894 minus 119886119894120573119894119886119894120572119894 + 119887119894

119894 = 1hellip 119899 minus 1

Далее следует обратный ход в порядке уменьшения индексов определяет

искомые параметры

119898119899 =

119892119899 + 11989621205731198991 minus 1198962120572119899

119898119894 = 120572119894+1119898119894+1 + 120573119894+1 119894 = 119899 minus 1hellip 0

(4112)

Сплайн 119904(119909)математически определён формулой представленной выше

42 КУБИЧЕСКИЙ СГЛАЖИВАЮЩИЙ СПЛАЙН

Метаматематическая модель кубического сглаживающего сплайна

заключается в том что в узлах 119909119894119894=0119899 sub [119886 119887] определенные значения функции

119891(119909) могут быть заданы с погрешностью 119891119894=0119899

В таких моделях с дефектом 1

кубический интерполяционный сплайн будет реализован с достаточно большой

погрешностью вследствие построения с неточными значениями В большинстве

случае реализуют построение кубического сглаживающего сплайна в котором

решается следующая экстремальная задачи

119906 =119894119899119891

119906 isin 11988222[119886 119887]

120567(119906) (421)

где 11988222[119886 119887] ndash пространство Соболева вещественных функций с нормой

1199062 = int(|119906(119909)|2 + |119906primeprime(119909)|2)119889119909

119887

119886

(422)

а функционал

22

120567(119906) = int |119906primeprime(119909)|2 119889119909

119887

119886

+sum119901119894(119906(119909119894) minus 119891119894)2

119899

119894=0

119901119894 gt 0 119894 = 0hellip 119899 (423)

строго неотрицательный выпуклый полунепрерывный снизу

вследствие слабой сходимости

Однозначно решение данной задачи существует и является единственным

решением Введем единственное решение 1199060(119909) также обозначим значения

119910119894119894=0119899 следующим образом

119910119894 = 1199060(119909119894) 119894 = 0hellip119899 (424)

Можем построить кубический интерполяционный сплайн 119904(119909 119910)

119904(119909119894 119910) = 119910119894 Данное полученное решения является равным 1199060

Оценим вид интерполяционного сглаживающего сплайна

Введём в рассмотрение отображение 119866(119910) ℝ119899+1 rarr ℝ

119866(119910) = 120567(119904(middot 119910 )) = int |119904primeprime(119909)|2 119889119909

119887

119886

+sum119901119894(119904(119909119894) minus 119891119894)2

119899

119894=0

=

sum int |119904primeprime(119909)|2 119889119909

119909119894

119909119894minus1

119899

119894=1

+sum119901119894(119904(119909119894) minus 119891119894)2 (425)

119899

119894=0

Получаем исходную экстремальную задачу эквивалентную поиску

min119910isin ℝ119899+1

119866(119910) (426)

Исходя из того что 119904(119909 119910) ndash является кубическим интерполяционным

сплайном запишем

119904primeprime(119909119894 119910) = 119898119894 119894 = 0hellip119899 (426)

1198980 = 0119898119899 = 0 (427)

Вводим (119899 minus 1) times (119899 minus 1)-мерную матрицу

23

119860 =

(

2

3ℎ

1

6ℎ 0 0

1

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ 0

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

0

0

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

01

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ

0 01

6ℎ

2

3ℎ)

(428)

(119899 minus 1)-мерный вектор

119898 = (

1198981

⋮119898119899minus1

) (429)

(119899 minus 1) times (119899 + 1)-мерную матрицу

119867 =

(

1

ℎminus1

2ℎ

1

ℎ0 ⋯ 0 0 0 0

⋯

0 0 0 0 ⋯ 01

ℎminus1

2ℎ

1

ℎ)

(4210)

невырожденную (119899 + 1) times (119899 + 1)-мерную матрицу

119875 = (1199010

⋱119901119899

) (4211)

и (119899 + 1)-мерный вектор

119891 = (1198910⋮119891119899

) (4212)

получаем следующую систему уравнений в которой вычисляем моменты

119898

(119860 + 119867119875minus1119867lowast)119898 = 119867119891 (4213)

Данная система решается методом Гаусса Затем можем выразить

119910 = minus119875minus1119867lowast119898 + 119891 (4214)

(4214) - точку глобального минимума для заданного отображения 119866(119910)

В итоге получаем форму сглаживающего сплайна

24

119904(119909) = 119898119894minus1

(119909119894 minus 119909)3

6ℎ+119898119894

(119909 minus 119909119894minus1)3

6ℎ+ (119910119894minus1 minus

ℎ2

6119898119894minus1)

119909119894 minus 119909

ℎ

+ (119910119894 minusℎ2

6119898119894)

119909 minus 119909119894minus1ℎ

(4215)

119909 isin [119909119894minus1 119909119894] 119894 = 1hellip119899 (4216)

ГЛАВА 5 ОСНОВЫ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО

ИССЛЕДОВАНИЯ СКВАЖИН

Основой ГДИС являются решение нестационарной задачи фильтрации

Рис 51 а) б) формирование радиальной воронки депрессии после пуска

добывающей и нагнетательной скважины в) г) расформирование радиальной

воронки депрессии после остановки добывающей и нагнетательной скважины

Tmdash время прошедшее после пуска скважины tmdash время прошедшее после

остановки скважины[6]

флюидов в порово-упругой среде Они основываются на изучение процессов

формирования и релаксации полей давления в пласте и в скважине в

зависимости от типа воздействия (закачка или отбор флюида) (рис51) Арсенал

технологий исключительно разнообразен и включает самые различные методы с

различной продолжительностью и интенсивность воздействия на пласт Каждая

технология представляет совокупность циклов (базовых элементов)

Определение каждого из них ndash регистрация разницы давления во времени после

изменения дебита скважины на заданной глубине Продолжительностью цикла

25

обуславливается решаемой задачей глубинностью условием и объектом

исследования

Гидродинамические исследования предполагают синхронные измерения

давления и расхода на фиксированной глубине при переходных режимах

эксплуатации скважины Основными элементами технологий ГДИС стабильно

работающих скважин являются способы предполагающие регистрацию

изменения давления во времени

после пуска скважины на стабильный режим отбора или закачки

(кривая стабилизации давления (КСД) -пуск) или при переходе с

одного стабильного режима на другой (КСД-режим)

после остановки скважины стабильно или циклически работавшей

в режиме отбора (кривая восстановления давления КВД) или

закачки (кривая падения давления - КПД)

Решение прямой задачи ГДИС состоит в оценке изменения давления на

забое скважины при заданном изменении дебита и для конкретной модели

скважины и пласта

К наиболее часто используемым моделям относится скважина со скин-

фактором в однородном изотропном пласте при радиальном режиме течения

При пуске скважины с постоянным расходом QАТ[м3с]=const (расход

соответствует условиям атмосферы) изменение давления РС [Па] во времени

tРАБ[с] прошедшем с момента пуска описывается асимптотической

формулой точность которой повышается с увеличением tРАБ

РАБRRРАБ

ПРС

OАТCПЛ tt

r

χ

επ

BQPP

lnln

252ln

4 2

_

(51) επ

BQ OАТR

4

2

_

252ln

ПРС

RRr

χ

kh

k

S

CПРС err _

Другие обозначения принятые в данных формулах PПЛ [Па] ndash первоначальное

пластовое давление [Пас] - динамическая вязкость фильтрующегося флюида Во[безразм]

26

ndash объемный коэффициент флюида [м3Па с] ndash гидропроводность пласта [м2с] ndash

пьезопроводность пласта k [м2] ndash проницаемость пласта КП [в долях]ndash пористость пласта h[м]

ndashэффективная работающая толщина пласта s[безразм] ndash интегральный скин-фактор rС_ПР [м]

ndashприведенный радиус скважины rС[м] ndashрадиус скважины [Па-1] ndash интегральная

сжимаемость пористой среды

При остановке скважины работавшей с постоянным расходом QАТ[м3с] =const в

течение времени tРАБ[с] изменение давления РС[Па] во времени tОСТ[с] прошедшем с

момента остановки описывается асимптотическими формулами (для больших значений tОСТ)

ОСТ

ОСТРАБRПЛ

ОСТ

ОСТРАБОАТПЛC

t

tP

t

tВQPP

tln

tln

4

(52

)

ОСТРАБ

ОСТРАБRR

ОСТРАБ

ОСТРАБ

ПРС

ОАТНАЧC

t

t

t

t

r

ВQPP

t

tln

t

tln

252ln

4 2

_

(53

)

где PНАЧ [Па] ndash давление в момент остановки скважины (tОСТ =0)

Следует обратить внимание что соотношения (51) и (53) оперируют с

разностью текущего и начального давления цикла (в первом случае в качестве

начального выступает пластовое давление а во втором ndash давление в момент

остановки скважины) В отличие от этого соотношение (52) оперирует с

абсолютной величиной давления

С математической точки зрения названные способы представления

данных идентичны Но каждый из них оптимален для решения конкретной

задачи интерпретации гидродинамических исследований Уравнения (51) и (53)

позволяют выделить влияние скин-фактора Основная цель использования

формулы (52) оценка абсолютной величины пластового давления

Абсолютная величина тангенса угла наклона асимптоты () для всех без

рассмотренных зависимостей одинаков и определяется величиной

гидропроводности пласта

Рис52 иллюстрируют поведение давления во времени при запуске

скважины в зависимости от дебита в цикле исследований (а) проницаемости

пласта (б) и скин-фактора (в) Основной недостаток подобного представления

27

результатов в низкой наглядности В частности очень трудно различить

особенности влияния основных информативных факторов ГДИС ndash

фильтрационных свойств пласта (проницаемости) и характеристик

совершенства вскрытия (скин-фактора)

Рис52 особенности поведения давление при пуске скважины (КСД)

а) Влияние расхода Q=QАТВо-расход PС ndashдавление РПЛ- начальное

пластовое давление tРАБ=0 момент пуска скважины (Q1ltQ2ltQ3)

б) Влияние проницаемости Q-расход PС ndashдавление РПЛ- начальное

пластовое давление tРАБ=0 момент пуска скважины (k1gtk2ltk3)

в) Влияние проницаемости скин-фактора Q-расход PС ndashдавление РПЛ-

начальное пластовое давление tРАБ=0 момент пуска скважины (s3gts2lts1)

В ГДИС используются специальные способы представления данных

позволяющие сделать их интерпретацию более наглядной

Рис53 иллюстрирует основные способы представления результатов

ГДИС для исследования добывающей скважины включающей цикл I запуска с

постоянным расходом (КСД-пуск) и цикл II остановки (КВД)

PCQ

PCQ

t=to

Q

PC (k=k1)

PC (k=k3)

PC (k=k2)

PC=PПЛ tРАБ

Q1

PC=PПЛ

t=to

Q2

Q3

PC (Q=Q1)

PC (Q=Q2)

PC (Q=Q3)

PCQPC=PПЛ

Q

PC (s=s1)

PC (s=s2)

PC (s=s3)

а)

б)

в)

tРАБ

tРАБ

28

Рис53 Основные способы представления результатов ГДИС для

диагностики радиального режима течения при пуске в работу со стабильным

расходом добывающей (I) и нагнетательной (II) скважины а) давление как

функция времени в декартовых координатах б) приращение давления как

функция времени в декартовых координатах в) приращение давления как

функция логарифма времени г) логарифм приращения давления и логарифм

логарифмической производной как функция логарифма времени

Базовым способом представления результатов ГДИС является график

полной (по всем циклам исследования) кривой изменения давления во времени

в процессе ГДИС в декартовых координатах (рис53а)

Графики в декартовых координатах зависимости приращения давления от

времени по отдельным циклам позволяют унифицировать результаты измерения

давления по циклам его роста (КВД) и падения (КСД - пуск) Приращение

вычисляется как модуль разности текущего давления (Р) и начального давления

PС

P=Рпл

a)

I

II

ln(tРАБtОСТ)(tРАБ +tОСТ)

IIбtРАБ

РНАЧI

РНАЧII

P=РНАЧI-PС

ln(tРАБ)

P

lnPlnPP

P

Iв)

Iг)

Iд)

P

lnPlnPP

P

IIв)

IIг)

IIд)

tОСТ

P=PС-РНАЧII

tРАБ

ln(tРАБ)

ln(tРАБ+tОСТ)tОСТ

ln(tРАБtОСТ)(tРАБ +tОСТ)

tОСТ

PС

29

(РНАЧ) в цикле Р= Р-РНАЧ Величина Р монотонно увеличивается во

времени вне зависимости от соотношения дебитов в цикле исследования и

предшествующем цикле[6]

График зависимости приращения давления от логарифма текущего

времени laquolntРАБraquo используется для представления результатов КСД-пуск

(рис53Iв) Участок КСД соответствующий радиальному режиму в данном

масштабе аппроксимируется линейной асимптотой Эта особенность

радиального режима используется для его диагностики

Как следует из соотношения (52) наклон асимптоты определяется

гидропроводностью пласта а свободный член значением гидропроводности и

приведенного радиуса (то есть и скин-фактора)

Для цикла (КВД) вместо логарифмического масштаба времени

используется так называемый обобщенный логарифмический масштаб

вычисляемый на основе продолжительностей и расходов циклов работы

скважины предшествующих анализируемому (рис53IIв)

Как следует из соотношения (53) для цикла КВД после одиночного цикла

работы скважины данный масштаб вычисляется по формуле

ОСТРАБ

ОСТРАБP

tt

ttt

)(lnF

(54)

Во временном интервале радиального режима течения КВД

аппроксимируется линейной асимптотой Наклон асимптоты определяется

гидропроводностью пласта а свободный член значением гидропроводности и

приведенного радиуса (то есть и скин-фактора)

Масштаб Хорнера у которого радиального режима течения также является

логарифмическим (рис53II б)

Как следует из соотношения (52) для цикла КВД после одиночного цикла

работы скважины данный масштаб вычисляется по формуле

)ln()(lnОСТ

ОСТРАБ

Pt

tttF

(65)

30

Данный масштаб является инверсным по времени При увеличении

времени его значения падают Участок КВД соответствующий радиальному

режиму течения аппроксимируется линейной асимптотой Наклон асимптоты

определяется гидропроводностью пласта а свободный член значением

пластового давления

Двойной логарифмический масштаб для цикла laquoКСД-пускraquo предполагает

представление логарифма приращения давления laquoln(P)raquo и логарифма

логарифмической производной ln(P) от логарифма времени (рис62Iд)

Логарифмическая производная в этом случае вычисляется по формуле

)ln( P

PP

(66)

Для цикла laquoКВДraquo двойной логарифмический масштаб предполагает

представление параметров laquoln(P)raquo и ln(P) от обобщенного логарифмического

времени соотношение (69)- рис62IIд

)( PF

PP

P

(67)

Данный масштаб является универсальным используется для диагностики

не только радиального но и линейного и других не радиальных режимов течения

для всех типов циклов ГДИС

Следует подчеркнуть что соотношения (51)-(54) выведены для двух

цикличной технологии исследования и при увеличении числа циклов должны

быть модифицированы Но описанный выше принцип масштабирования

результатов ГДИС является универсальным

31

Рис 54 Билогарифмический график КВД [5]

На основе интерпретации результатов исследования ГДИС определяются

параметры энергетического состояния скважины (пластовое давление

депрессия продуктивность динамика их изменения) фильтрационные

параметра пласта (гидропроводность подвижность пьезопроводность

проницаемость) зональность их распространения по площади

В настоящей магистерской диссертации была реализован метод

математического моделирования с целью получения информации о

проницаемости и пластовом давлении в точках исследуемых скважинах

погрешностью полученных параметров на основе качества исследования

(наличие на билогарифмическом радиального режима) связанным со временем

исследования

ГЛАВА 6 ТЕОРИЯ ФИЛЬТРАЦИИ В УПРУГОЙ ПОРИСТОЙ

СРЕДЕ

Основа теории фильтрации основана на изучении движения

(просачивания) жидкости через пористую среду Особенности процессов

фильтрации зависят от упругих свойств среды и насыщающих их флюидов

Для постановки задачи фильтрации жидкости в упругой среде прибегают

к краевой или начально-краевой задаче с соответствующими граничными

условиями Для нахождения математического выражения фильтрации флюидов

в пористой среде решают систему дифференциальных уравнений в частных

производных

Векторы скорости и плотности фильтрующейся жидкости могут быть

представлены в следующем виде - (119909 119910 119911 119905) и плотностью жидкости

120646 (119909 119910 119911 119905) Одной из важных характеристик поровой среды является пористость

32

ndash это относительный объем порового пространства в материале именно этот

параметр определяет количество флюида которое содержится или может

содержаться в определенном объеме пористой среды [7]

Теория фильтрации флюидов опираются на фундаментальный закон

сохранения массы в соответствии с которым изменения массы жидкости в

любом произвольном объеме V внутри замкнутой поверхности происходит за

счет изменение притока и оттока жидкости через границу объема (уравнение

неразрывности) [12]

Поток жидкости через произвольную однозначно определенную

замкнутую поверхность Γ в пористой среде с коэффициентом пористости - φ

заполненной флюидом с вязкостью μ (рис 61)

Рисунок 61 Замкнутая поверхность Γ в пористой среде (The Society of Petroleum Engineers

2014)

Скорость поступление массы объемом V через поверхность Г равна

скорости изменения данной массы в этой области (The Society of Petroleum

Engineers 2014)

119889119872119892

119889119905=

119889

119889119905∭ 120588120593119889119881 =∭

120597

120597119905(120588120593)119889119881

119881119881 6 1

Масса поступающая в определенный объем пористой среды через

дифференциальный элемент поверхности dΓ за промежуток времени Δt со

скоростью равна minus120646 lowast Отличие массы поступившей в определенную

поверхность и массой покинувшей эту поверхность за изменение времени Δt

равна

33

∆119872119892 = minus∆119905∯ 120588 lowast 119889Г Г

6 2

Скорость притока флюида в объем области V через поверхность Γ

lim∆119905rarr0

119889119872119892∆119905

=119889119872119892119889119905

= ∯120588 lowast 119889Г

Г

6 3

Приравняем правые части уравнения (119889119872119892

119889119905=

119889

119889119905∭ 120588120593119889119881 =

119881

∭120597

120597119905(120588120593)119889119881

119881 ) и ( lim

∆119905rarr0

119889119872119892

∆119905=

119889119872119892

119889119905= ∯ 120588 lowast 119889Г

Г 63) если функции

входящие в эти уравнения являются достаточно гладкими то применяем теорему

Остроградского ndash Гаусса к правой части уравнения ( lim∆119905rarr0

119889119872119892

∆119905=

119889119872119892

119889119905=

∯ 120588 lowast 119889Г Г

63) получаем

∭ [120597

120597119905(120588120593) + nabla120588] 119889119881

119881=0 (64)

Интеграл может быть приравнен к нулю тогда когда сама функция под

знаком интеграла равна нулю исходя из этого утверждения можем получить

120597

120597119905(120588120593) + nabla120588 = 0 (65)

Полученное уравнение (65) можем переписать через поля давления по

причине отсутствия непосредственного замера скорости и плотности потока при

гидродинамическом исследовании скважины (ГДИС) Для пересчета в

характеристики давления потока воспользуемся законом фильтрации Дарси и

уравнение состояния [2]

Уравнение состояния которое связывает плотность и давление

с = minus1

119881

120597119881

120597119875 с =

1

120588

120597120588

120597119875 сρ

120597119875

120597119905=120597120588

120597119905 0 6

c ndash сжимаемость жидкости отрицательный знак отражает условие что

при положительном коэффициенте сжимаемости будет происходить сжатие

флюида (давление растет объем уменьшается) Различают общую сжимаемость

с119957 и сжимаемость пористой среды с119943

с119891 =1

120593

120597120593

120597119875 6 7

34

с119905 = с119891 + 119888 6 8

Исторически уравнение баланса было получено экспериментально Анри

Дарси По закону Дарси вектор скорости фильтрации выражается через вязкость

флюида micro и тензор проницаемости k Знак минус в правой части также имеет

физически явный смысл в отсутствии сил действующих на массу жидкость

начинает движение из областей в повышенным давление в область с меньшим

давлением

= minus119896

120583nabla119875 6 9

При рассмотрении первого слагаемого уравнения 120597120597119905(120588120593) + nabla120588 = 0

(65 и с = minus1

119881

120597119881

120597119875 с =

1

120588

120597120588

120597119875 сρ

120597119875

120597119905=

120597120588

120597119905 06 выполним подстановку

120597

120597119905(120588120593) = 120593

120597120588

120597119905+ 120588

120597120593

120597119905= 120593сρ

120597119875

120597119905+ 120588

120597120593

120597119905= 120593сρ

120597119875

120597119905+ 120588

120597120593

120597119875

120597119875

120597119905=

= 120593сρ120597119875

120597119905+ 120588с119891120593

120597119875

120597119905= 120588с119905120593

120597119875

120597119905 6 10

Далее перезапишем уравнение 120597120597119905(120588120593) + nabla120588 = 0 (65 с учетом

данного выражения и подставим вектор скорости из уравнения закона Дарси

с119905120593120597119875

120597119905= nabla(

119896

120583nabla119875)

1

120594

120597119875

120597119905= nabla2119875 120594 =

119896

с119905120593120583 6 11

Где 120594 ndash коэффициент пьезопроводности с119905120593120597119875

120597119905= nabla(

119896

120583nabla119875)

1

120594

120597119875

120597119905= nabla2119875 120594 =

119896

с119905120593120583 611 определяется как уравнение пьезопроводности - основным

уравнением которое описывает процессы возникающие при гидродинамических

исследованиях

Данное уравнение пьезопроводности (611) может быть перезаписано

относительно радиальных координатах

1

120594

120597Δ119875

120597119905=1

119903

120597

120597119903(119903120597Δ119875

120597119903) 6 12

где 120607119927 = 119875119894 minus 119875 119875119894 minus начальное пластовое давление

35

Уравнение пьезопроводности решается практически во всех

аналитических моделях и выражается в них в радиальных формулах

Однозначно определенным объектом такого радиального решения служит

нагнетательная или добывающая скважина Выбранная система координат

наилучшим способом описывает моделирование радиального потока

относительно скважины

ГЛАВА 7 МОДЕЛИРОВАНИЕ ИССЛЕДОВАНИЙ

Уравнением описывающим процессы происходящие при исследованиях

ГДИ является уравнение пьезопроводности Данное уравнение (71) описывает

неустановившееся однофазное одномерное течение флюида в пористой среде и

выражает связь между пластовым давлением временем и расстоянием от

скважины до точки наблюдения Решение уравнения пьезопроводности (72) для

простого случая работы вертикальной скважины в бесконечном пласте позволяет

получить модель характеризующую перераспределение давления в пласте

1

120594

120597120549119875

120597119905=1

119903

120597

120597119903(119903120597120549119875

120597119903) (71)

∆119875(119905 119903) = minus9205119902119861120583

119896ℎ119864119894 (minus

1199032

000036120594119905) (72)

(q ndash дебит скважины м3сут B ndash объёмный коэффициент 120583 ndash

вязкость жидкости cпз k ndash проницаемость мД h ndash мощность пласта

м r ndash радиус м χ ndash пьезопроводность мД(спзатм-1) t ndash время ч)

Инструмент позволяет моделировать исследование ГДИ для случаев с

разным закачиванием скважин (вертикальная скважина вертикальная скважина

с гидравлическим разрывом пласта (ГРП) горизонтальная скважина

горизонтальная скважина с многостадийным ГРП) На первом этапе по заданным

свойствам пласта и флюида моделируется ГДИ описывающая изменение

забойного давления в скважине [1]

36

На следующем этапе моделирования строится билогарифмический график

(рис71) по которому специалисты ГДИ определяют свойства пласта Таким

образом создав синтетическое ГДИ можно предсказать как будет выглядеть

билогарифмический график исследования КВД (кривая восстановления

давления) характеризующего остановку скважины

Моделирование исследования ГДИ проводится для N ndash исходов (рис71) и

для разного времени длительности исследования t (50-100-150hellipчасов) в

результате чего инструмент определяет свойства пласта (проницаемость и

пластовое давление) по результатам исследования зависящих от времени

длительности ГДИ

Рис71 Результаты моделирования исследования ГДИ

ГЛАВА 8 ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИ ФИЛЬТРАЦИИ

ФЛЮИДОВ

811 Основа модели фильтрации к вертикальной скважине

Для самого начала рассмотрим самый простой случай движения флюида

в однородном бесконечном пласте начиная с начального постоянного давления

119927119946

В начальный момент t = 0 однотипно с началом первого цикла

эксплуатации у пласта коллектора начальное равномерное давление - 119927119946

ΔP(r t = 0) = 0 P(r t = 0) = Pi (8111)

Введем в рассмотрение граничное условие когда границы отсутствует

это сопоставимо что пласт-коллектор характеризуется бесконечной

протяженностью

0

05

1

15

2

25

-3 -2 -1 0 1 2 3

LO

G (

dP

) LO

G(P

`)

LOG(dt)

Билогарифмический график

LOG (P(t)-P(tp))

37

ΔP(r rarr infin t) = 0 P(r rarr infin t) = Pi (8112)

Второе граничное условие на радиусе скважины будет зависить от

условий на поверхности ствола (r = rw) Введем в рассмотрение единичную

вертикальную скважину радиусом 119953119960 которая полностью вскрывает

однородный изотропный коллектор с коэффициентом проницаемости k и

эффективной мощностью h добывает однородную малосжимаемую жидкость

вязкостью μ при стандартных условиях с дебитом Q м3 В условиях пласта объем

добываемого флюида составит Qsf = Qb (где b ndash объемный коэффициент

жидкости)

(119903120597119875

120597119903)119903=119903119908

=119902119861120583

2120587119896ℎ (8113)

Одной из удобных моделей моделировании фильтрации к скважине

является модель линейного источника которая является предельным случаем

скважины нулевого радиуса

119897119894119898 (119903120597119875

120597119903)119903rarr0

=119902119861120583

2120587119896ℎ (8114)

На практике прибегают к упрощению постановки задачи путем ввода

безразмерных переменных При решении задачи относительно новых

переменных позволяют интегрировать остальные параметры и в конечном счете

задача сводится к решению уникального набора уравнений которые легко

разрешаются аналитическим методом раз Физический смысл ввода

безразмерных параметров заключается в исключении из основного уравнения

параметров пьезопроводности пласта-коллектора с целью поиска обобщенного

решения с помощью которого переходя на изначальные размерные параметры

удается получить решение для определенного пласта и определить параметры

пьезопроводности и проводимости (Houzeacute O 2008)

119903119863 =119903

119903119908 (8115)

119905119863 =000036119896119905

1205931205831198881199051199031199082 (8116)

38

119875119863 =2120587119896ℎ

119902119861120583∆119875 (8117)

Далее вводим безразмерные параметры переходим к общей задаче

120597119875119863120597119905119863

=1

119903119863[120597

120597119903119863(119903119863

120597119875119863120597119903119863

)] (8118)

119875119863(119903119863 119905119863 = 0) = 0 (8119)

119875119863(119903119863 rarr infin 119905119863) = 0 (81110)

119897119894119898 (119903119863120597119875119863120597119903119863

)119903119863rarr0

= minus1 (81111)

Решая данное дифференциальное уравнение удобно применить

интегральные преобразования Принято при решении уравнения

пьезопроводности пользоваться особой формой линейных интегральных

преобразований являющиеся преобразованиями Лапласа Далее применяем к

уравнению (120597119875119863

120597119905119863=

1

119903119863[120597

120597119903119863(119903119863

120597119875119863

120597119903119863)] (811) преобразования Лапласа

s119875119863 =1

119903119863[120597

120597119903119863(119903119863

120597119875119863

120597119903119863)] (81112)13

Трансформанта Лапласа

119875119863 (119904 119903119863) = int 119875119863(119905119863

infin

119905119863

119903119863) exp(minus119904119905119863) 119889119905119863 (81113)

где s mdash это число достаточно велико чтобы мог существовать интеграл

действительная часть которого положительна Функция обозначенная чертой

сверху является образом (изображением) функции или результатом

интегрального преобразования Лапласа где подынтегральной функцией

является прообразом (оригиналом) Решение уравнения(811s119875119863 =

1

119903119863[120597

120597119903119863(119903119863

120597119875119863

120597119903119863)] (81112)13) можно представить через модифицированное

уравнение Бесселя нулевого порядка которое можно записать в следующем

виде

119875119863 (119904 119903119863) = 119860(119904)1198680(119903119863radic119904) + 119861(119904)1198700(119903119863radic119904) (81114)

39

1198680 и 1198700 являются модифицированными функциями Бесселя нулевого

порядка Значения коэффициентов A и B в уравнении определяются с помощью

подстановки граничных условий в уравнение Осуществляем подстановку

граничных условий из внешнего ГУ А(s)=0 B(s)= 1

119904 В итоге получаем

изображение решения для линейного источника в виде

119875119863 (119904 119903119863) =1

1199041198700(119903119863radic119904) (81115)

Для нахождения образа функции выполняем обратное преобразование

Лапласа полученного уравнения Данную операция можно выполнить с

помощью таблиц преобразований Лапласа (из таблиц в работах (Churchill RV

1972) и (Abramowitz M 1972))

119871minus1 (1198700(119903119863radic119904)) =1

2119905exp(minus

1198962

4119905) (81116)

Обобщаем выводим решение для линейного источника с безразмерными

параметрами

119875119863(119905119863 119903119863) = minus119864119894 (minus1199031198632

4119905119863) 119864119894(119909) = minus int

119890minus119910

119910119889119910

infin

minus119909

(811 14)

Где 119864119894(119909)-интегральная показательная функция Далее выполняем

обратное преобразование переходим на размерные величины

∆P(t 119903) = minusqBμ

2πkh119864119894 (minus

r2

4 lowast 000036120594t) (811 15)

Полученное решение уравнения в каждой точке и на каждом промежутке

времени удовлетворяет задаче фильтрации для скважины линейного источника

находящаяся в эксплуатируемом фонде скважин вскрывающая интервалом

перфорации эффективную мощность однородного бесконечного пласта-

коллектор Одним из выводов из решения уравнения пьезопроводности гласит

что поля релаксации перепада давления мгновенно перераспределяются по

пласту-коллектору Также стоить отметить существующее решение на дальнем

расстоянии от скважины 119903119894119899119907 вблизи которого перепад давления столь мал что

40

этим можно пренебречь Исходя из этого предположения можно определить

радиус исследования 119903119894119899119907 который характеризует размер области исследования

результат интерпретации которых зависят от свойства пласта и флюидов в

скважине [11]

При рассмотрении полей давления в пласте с бесконечной

протяженностью во время запуска скважины в работу на основании полученного

ранее решения уравнения (рис 8111) В первоначальный момент времени 1199051 =

0 забойное давление в скважине равно текущему пластовому давлению через

некоторый отрезок времени в интервале - 1199052 вокруг точки скважины

формируется так называемая laquoворонка депрессииraquo которая может

характеризовать неустановившийся режим течения При движение по временной

шкале воронка депрессии будет распространяться на более дальние расстояния

от скважины пока не достигнет определенной границы (119903119894119899119907=119903119908 +radic120594t) Если

рассматривать зеркально противоположный пример при остановке скважины

воронка депрессии будет становиться меньше и будет уменьшаться пока

значение давления в скважине не достигнет пластового и останется стабильным

Понятие радиального режима для течения флюидов в пласте является

основополагающим для интерпретации гидродинамических исследований Это

режим характеризует обстановку при которой скорость фильтрации и поля

давления имеют радиальную симметрию и линии тока в пласте направлены к

круговому цилиндру по радиусу от периферии пласта к скважине (Рис 1)

41

Рис 8111 Линии тока для вертикальной скважины при радиальной

фильтрации [6]

Решение линейного источника может достичь радиального режима с

определенного времени 119905119909 такую характерную зависимость можно проследить

на билогарифмическом графике (рис 8111) этот режим характеризуется

стабилизацией производной давления С помощью данного графика

проницаемость пласта вычисляется по формуле

119896ℎ = 119902119861μ lowast05

2120587∆Pстаб (81119)

При рассмотрения кейса решения уравнения пьезопроводности в случае

вертикальной скважины в цилиндрическом пласте-коллектора изменится гу на

г

р

а

н

и

ц

е

ц

и

л

и

н

(120597Δ119875

120597119903)119903=119903119890

= 0 (81120)

Аналогично ранее описанному алгоритму решению уравнения

пьезпроводности получим изображение депрессии

∆P (119904) =qBμ

2πkhlowast

lowast

1198680 (119903radic119904120594)1198701 (119903119890radic

119904120594)+ 1198681 (119903119890radic

119904120594)1198700 (119903radic

119904120594)

119903119908radic119904120594119904 [1198681 (119903119890radic

119904120594)1198701 (119903119908radic

119904120594)minus 1198681 (119903119908radic

119904120594)1198701(119903119890radic

119904120594]

(81121)

42

Аналитическое преобразование данного уравнения принимают

следующий вид (Van Everdingen AF and HurstW W 1953)

∆P(t 119903) =qBμ

2πkh

2

1199031198902 minus 119903119908

2(120594119905 minus

1199032

4) minus

1199031198902

1199031198902 minus 119903119908

2119897119899r

119903119908minus

1

(41199031198902 minus 119903119908

2)2lowast

lowast (31199031198904 minus 4119903119890

4119897119899119903119890119903119908minus 2119903119890

2 minus 1) +

+120587sum11986912 (120573119899

119903119890119903119908) [1198691(120573119899)1198840 (120573119899

r119903119908) minus 1198841(120573119899)1198690 (120573119899

r119903119908)]

120573119899 [11986912 (120573119899

r119890119903119908) minus 1198691

2(120573119899)]

infin

119899=1

119890119909119901 (minus1205731198992 120594119905

1199031199082) (81122)

1205731 1205732 и тдndash решения уравнений

1198841(120573119899)1198691 (120573119899r119890119903119908) minus 1198691(120573119899)1198841 (120573119899

r119890119903119908) = 0 (81123)

В поставленной формулировке задачи для выведенного уравнения

решения невозможно сходу подобрать обратное преобразование Лапласа с

помощью табличных значений (аналитической функции) (Abramowitz M 1972)

Однако можно выполнить найти решение выполнив его численно Для решения

задач нестационарной фильтрации флюидов применимы алгоритмы численного

обращения основанные на стохастических подходах (Stehfest H 1970) которые

предполагают что можно рассчитывать приближенное значение оригинала pa(T)

по найденному изображению p(s) в определённый момент времени t = T [13]

119901119886(119879) =1198971198992

119879sum119881119894

119873

119894=1

(119904)119904=1

1198971198992119879 (81124)

119881119894 = (minus1)(1198732)+119894

sum1198961198732(2119896)

[(1198732)

minus 119896] 119896 (119896 minus 1) (119894 minus 119896) (2119896 minus 119894)

min(1198941198732)

119896=(119894+1)2

(81125)

812 Приток к вертикальной скважине с трещиной ГРП

Ранее было выведены решения задачи фильтрации для вертикальных

скважин Метод источников который был применен также используется для

случаев скважин с более сложной геометрией ННС (наклоннонаправленных

43

скважин) ВС ГРП (вертикальный с гидроразрывом пласта) ГС ГРП

(горизонтальных с гидроразрывом пласт)

Функция Грина и метод источников применяется для решения двух- и

трёхмерных задач неустановившейся фильтрации Под источником понимается

некоторая точка поверхность или объем из области которых флюид отбирается

из пласта-коллектора или закачивается Строго говоря отбор жидкости должен

ассоциироваться со стоком а закачка с источником Под физической основой

источник можно сопоставить со скважиной бесконечно малого диаметра в

которую мгновенно закачивается конечное количество флюида[16]

Функции Грина и метод источников тесно связаны между собой Функция

Грина определяется для дифференциального уравнения со специальными

граничными условиями (заданный расход или давление) и соответствует

решению для мгновенного точечного источника С другой стороны функции

источников представляют собой решения данного дифференциального

уравнения с указанными граничными условиями и геометрией источника

Фундаментальное решение функции Грина (G (M Mrsquo τndasht)) для

неустановившегося потока флюида в пористой среде может соотнесено с

давлением в точке M (x y z) в определенный момент времени t которое

обусловлавливает мгновенный точечный источник единичной интенсивности

который создан в точке Mrsquo(xrsquo yrsquo zrsquo) во временя τ lt t Необходимо чтобы

функция Грина удовлетворяла уравнению пьезопроводности

120597119866

120597119905= 120594nabla2119866 81161

120597119875

120597120591= 120594nabla2119875 8122

int nabla2119891(119872)119889119872 =119863

int120597119891

120597119899Г

119889Г 8123

Используем свойства функции Грина можем применить терему Грина

(8123) с учетом (8122) (Gringarten AC and Ramey HJ 1973) получим

44

∆119875(119872 119905) =1

120593119888int int

Г119908(119872119908

prime 120591)119866(119872119872119908prime 119905 minus 120591

119905

0)119889119872119908

prime 119889120591 =

1

120593119888int 119905

0(120591)119878(119872119872119908

prime 119905 minus 120591)119889120591 8123

119878(119872119872119908prime 119905 minus 120591) = int 119866(119872119872119908

prime 119905 minus 120591)119889119872119908prime

Г119908 8124

где Г119908 ndash граница ствола скважины = minus119896

120583

120597119875

120597119899 ndash объём потока который

проходит через точку на поверхности внутренней границы 119872119908prime Применяем

интегрирование правой части данного уравнения (724) получаем

распределение точечных источников по площади длине и объему источника

Для разных конфигураций системы laquoисточник-пластraquo можно подобрать

табличные базовые функции соответствующих мгновенных источников (The

Society of Petroleum Engineers 2014)

В практике нефтегазовой отрасли практически на многих добывающих

скважинах проводиться МУН (метод увеличения нефтеотдачи) Одним из

распространенных методов интенсификации флюида является гидравлический

разрыв пласта (ГРП) который заключается в формировании высокопроводимой

трещины в продуктивном интервале пласте для увеличения притока флюида к

скважине

Поставим задачу решения уравнения фильтрации флюида к вертикальной

скважине с трещиной ГРП Из условий скважина полностью вскрывает пласт

эффективной мощностью h кровля и подошва пласта ограничена

непроницаемыми ровными горизонтальными границами Трещина ГРП

расположена симметрично относительно нормали ствола скважины полудлина

трещины - xf ширина - wf (wf ltlt xf) коэффициент проницаемости трещины kf

индекс laquofraquo характеризует трещину ГРП В горизонтальном направлении пласт

бесконечный (рис 8121 ndash 8122) Течение потока к трещине выражается

двумерным стоком флюида

45

Рис 8121 Вертикальная трещина (вид сбоку)

Рис 8122 Течение флюида к вертикальной трещине (вид сверху)

В ходе решения задачи стоит рассмотреть два типа течения

1) поток в трещине

2) поток в пласте с трещиной

1) Переходя к безразмерным переменным (8115-8117) запишем

уравнение пьезопроводности (8118) и граничные условия (8119-81110)

119901119891119863(119909119863 119905119863) =2120587119896ℎ (119901119894 minus 119901119891(119909 119905))

119902119908120583 (8125)

119905119863 =119896119905

1206011205831198881199051199091198912 (8126)

119909119863 =119909

119909119891 (8126)

119902119891119863(119909prime 120591) =

2119902119891(119909prime120591)

119902119908119909119891 (8127)

1198892119901119891119863(119909119863)

1198891199091198632

=120587

119865119862119863119902119891119863(119909119863) (8128)

119889119901119891119863

119889119909119863 119909119863=0=

120587

119865119862119863 (8129)

46

119889119901119891119863119889119909119863 119909119863=1

= 0 (81210)

Перепад значений давления между забойным давлением и в точке

трещины с координатой 119909119863 можно записать

119901119908119863 minus 119901119891119863(119909119863) =120587

119865119862119863[119909119863 minusint int 119902119891119863(119909

primeprime)119889119909primeprime119889119909prime119909prime

0

119909119863

0

] (81211)

2) Течение добываемого флюида из пласта-коллектора в трещину

можно рассмотреть как наличие нестационарного источника жидкости qf(xt) в

самой трещине Используя метод источников который был рассмотрен ранее

безразмерное давление в любой произвольной точке пласта

119901119863(119905119863 119909119863 minus 119909119908119863 119910119863 minus 119910119908119863) = int int 119902119891119863(120591 119909prime minus 119909119908119863)119866(120591 119909

prime 119909119863 minus1

minus1

1199051198630

119909119908119863 119910119863 minus 119910119908119863)119889119909prime119889120591 (81212)

(119909119908119863 119910119908119863) - безразмерные координаты точки забоя скважины в

горизонтальной плоскости (xy) ось 119909 направлена вдоль трещины

Записывается условие непрерывности давления в пласте и в трещине

119901119891119863(119905119863 119909119863) = 119901119863(119905119863 119909119863 0) (81213)

Следовательно уравнение (81211) принимает вид

119901119908119863 minusint int119902119891119863(120591 119909prime)119866(120591 119909prime 119909119863 0)119889119909

prime119889120591

1

minus1

119905119863

0

=120587

119865119862119863[119909119863 minusint int 119902119891119863(119905119863 119909

primeprime)119889119909primeprime119889119909prime119909prime

0

119909119863

0

] (81214)

Применяем преобразование Лапласа

119908119863(119904) minus int 119891119863(119904 119909prime)(119904 119909prime 119909119863 0)119889119909

prime =1

minus1

120587

119865119862119863[119909119863

119904minus

int int 119891119863(119904 119909primeprime)119889119909primeprime119889119909prime

119909prime

0

1199091198630

] (81215)

int 119891119863(119904 119909prime)119889119909prime

1

minus1

=1

119904 (81216)

47

Получили изображения Лапласа соответствующих функций ndash

оригиналов Решение системы производится путём дискретного разбиения

трещины по длине на 2n сегментов и записи данной системы в следующем виде

для каждого дискретного сегмента (рис 723)

Рис 8123 Схема разбиения трещины на сегменты

119908119863(119904) minussum119891119863119894

119899

119894=1

int (119904 119909prime d119909 (119895 minus1

2) 0) 119889119909prime

d119909119863119894

d119909119863(119894minus1)

+ int (119904 119909prime d119909 (119895 minus1

2) 0) 119889119909prime

d119909119863(minus119894+1)

d119909119863(minus119894)

+120587

119865119862119863[119889119909119863 ∙ 119895

119904minus (119889119909119863)

2sumsum119891119863119896

119894

119896=1

119895

119894=1

] (81217)

119889119909119863 ∙sum 119891119863119894

119899

119894=1

=1

2119904 (81218)

Изображение давления в любой точке пласта можно найти по формуле

119863(119904 119909119863 119910119863) = sum 119891119863119894 int (119904 119909prime 119909119863 119910119863)119889119909119863∙119894

119889119909119863(119894minus1)119889119909prime +119899

119894=1

int (119904 119909prime 119909119863 119910119863)119889119909119863∙(minus119894+1)

119889119909119863∙(minus119894)119889119909prime (81219)

Где 119891119863119894 ndash изображение функции мощности источников в каждом n

сегменте [17]

48

813 Основа модели фильтрации к горизонтальной скважине с МГРП

Задача притока добываемого флюида к горизонтальной скважине с

многостадийным гидроразрывом пласта (МГРП) схематично можно

представить как несколько одинаковых трещин соединенных общим

горизонтальным стволом Каждая трещина пресекает ствол горизонтальной

скважины в центре и является симметричной относительно ствола ((119909119908119863119895 119910119908119863119895)

Рис 8131 Схематическое изображение ГС с МГРП

Каждая трещина ГРП будет иметь равную полудлину 119909119891 и безразмерную

проводимость 119865119862119863 В модели существует предположение что течение флюида

внутри трещины является одномерным Следовательно поток флюида к

горизонтальному стволу скважины с n трещинами будет равен алгебраической

сумме потоков флюида от каждой трещины

119876 = sum 119876119895(119905)119899119895=1 = 119888119900119899119904119905 (8131)

Как ранее для общения задачи вводим безразмерные переменные

давление в точке пересечения скважины с j трещины - 119901119908119863119895 безразмерный дебит

- 119902119863119895 =119876119895

119876

Из условий бесконечной проводимости для горизонтального ствола

119901119908119863119895 = 119901119908119863 119895 = 1 119899 8132

Возмущение давление которое создается трещиной k в точке пересечения

119895 трещины со скважиной ndash 119901(120591)119863119895119896 equiv 119901119863(120591 119909119908119863119896 119910119908119863119896 119909119908119863119895 119910119908119863119895) применяя

принцип суперпозиции

119901119908119863(119905119863) = sum int 119902119863119895 ∙ 119901prime119863119895119896(119905119863 minus 120591)119889120591 8133

1199051198630

119899119895=1

49

Суммарный поток флюида от всех трещин будет фиксирован

sum 119902119863119895119899119895=1 = 1 и с преобразованием Лапласа - sum 119863119895

119899119895=1 =

1

119904 8134

Преобразование Лапласа для 734 р119908119863119895 = sum 119904119863119895119863119895119896119899119896=1 8135

119863119895119896 = int 119891119863(119904 |119909119908119863119896 minus 119909prime|)(119904 119909119908119863119896 minus 119909prime 119909119908119863119895 119910119908119863119896 119910119908119863119895)119889119909

prime

119909119908119863119896+1

119909119908119863119896minus1

8136

119863119895119896 =sum119891119863119894 int (119904 119909119908119863119896 minus 119909prime 119909119908119863119895 119910119908119863119896 119910119908119863119895)119889119909prime

119889119909119863∙119894

119889119909119863(119894minus1)

119899

119894=1

+ int (119904 119909119908119863119896 minus 119909prime 119909119908119863119895 119910119908119863119896 119910119908119863119895)119889119909prime

minus(119894minus1)∙119889119909119863

minus119894∙119889119909119863

8137

Мощность источников 119891119863(119904 |119909119908119863119896 minus 119909prime|) вычисляется из (81217-

81218) где 119889119909119863 =1

119899 ndash безразмерная длина каждого n сегмента 119891119863119894 -

безразмерная скорость течения через i элемент

Система уравнений (8134-8137) записывается в виде [8]

А = 8138

= (

1199081198631198631⋮119863119899

) 8139

А = (

1 minus119904 ∙ 11986311 ⋯ minus119904 ∙ 1198631119899⋮ ⋮ ⋱ ⋮

1 minus119904 ∙ 1198631198991 hellip minus119904 ∙ 1198631198991198990 1 hellip 1

) 81310

= (

0⋮01 119904frasl

) 81311

50

Для вычисления матричных элементов 119863119895119896 необходима информация о

мощности потока в из всех 119899 трещин ГРП Если считать что каждая трещина ГРП

делится на 2119898 сегментов (рис 8123) тогда система (81310) будет содержать

(1 + 2119898 times 119899) количество уравнений относительно следующих неизвестных

119908119863 11989111986311 hellip 119891119863(2119898)1 hellip 1198911198631119899 hellip 119891119863(2119898)119899 где в 119891119863119894119895 ndash течение через i-й

сегмент в j-й трещине Пользуясь упрощенным подходом можем переписать в

следующем виде[19]

forall119895 isin 1hellip119899 forall119896 = 1hellip119898 ∶ 119891119863119895119896 = 119863119895 ∙ 119891119863119896 81312

При определении мощности источников используется допущение что на

распределение мощности источников внутри каждой из трещин соседние

трещины оказывают слабое влияние Можно предположить что распределения

мощности потока в трещинах симметричны относительно точки пересения со

стволом скважины Элементы матрицы А в (81310) получают по формуле

(8137)

119863119895119896 =sum119891119863119894 int (119904 119909119908119863119896 plusmn 119909prime 119909119908119863119895 119910119908119863119896 119910119908119863119895)119889119909

prime

119889119909119863∙119894

119889119909119863(119894minus1)

81313

119899

119894=1

где функция (hellip ) определяется по табличным формулам в зависимости

от граничных условий и типа зоны дренирования

Для решения СУ используется выражение матрицы в виде произведения

дву нижней треугольной и верхней треугольной (LU-декомпозиция) (Ортега

Дж 1991) Так называемое LU-разложение (LU-декомпозиция) mdash

представление выражение определенной матрицы в виде произведения двух

матриц A = LU где L mdash нижняя треугольная матрица а U mdash верхняя

треугольная матрица [15]

Ниже представлены применяемые в данной работе функции источников

в пространстве Лапласа

Таблица 8131 Функции линейных стоков

51

Тип условий на

границах

Функции линейных стоков

119899119899119899119899 =

=120587

2119909119890119863coshradic1199041198631 + coshradic1199041198632

radic119904 sinhradic119904119910119890119863

+ 2sumcos119896120587119909119863119909119890119863

cos 119896120587(119909119908119863 minus 119909prime)

119909119890119863

cosh 1205981198961198631 + cosh 1205981198961198632120598119896 sinh 120598119896119910119890119863

infin

119896=1

0 17

119888119888119888119888

=120587

119909119890119863sumsin119896120587

119909119863119909119890119863

sin 119896120587|119909119908119863 minus 119909prime|

119909119890119863

cosh 1205981198961198631 minus cosh 1205981198961198632120598119896 sinh 120598119896119910119890119863

infin

119896=1

0 18

119888119899119888119899 =

=120587

2119909119890119863coshradic1199041198631 minus coshradic1199041198632

radic119904 sinhradic119904119910119890119863

+ 2sumcos119896120587119909119863119909119890119863

cos 119896120587(119909119908119863 minus 119909prime)

119909119890119863

cosh 1205981198961198631 minus cosh 1205981198961198632120598119896 sinh 120598119896119910119890119863

infin

119896=1

0 19

Где 119909119890119863 =119909119890

119909119891 119910119890119863 =

119910119890

119909119891 1198631 = 119910119890119863 minus |119910119863 minus 119910119908119863| 1198632 = 119910119890119863 minus (119910119863 + 119910119908119863) 120598119896 =

radic119904 + 11989621205872 1199091198901198632frasl 119909119890 ndash размер площади дренирования по оси x 119910119890 ndash размер

площади дренирования по y 119899 значает границу отсутствия перетока 119888

означает границу постоянного давления

82 РЕАЛИЗАЦИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ИССЛЕДОВАНИЙ

В настоящей работе реализовано решение задачи фильтрации о

нестационарном притоке флюида к скважине при постоянном заданном дебите

для скважин с разным типом заканчивания (вертикальная скважина и

горизонтальная скважина с трещинами МГРП) Математическая модель описана

для задач (Главы 811-813) реализована на языке программирования VBA

Входные параметры приведены на рис 821 Параметры границ задаются

в виде прямоугольника (рис823) Параметры скважины флюида и пласта

задаются при помощи априорной информации Проницаемость рассматривается

как распределение полученных ранее (главе 3)

y

x

y

x

y

52

В ходе решения задачи строится график - кривая стабилизации давления

зависимость изменения забойного давления от времени (рис823)

Рис 821 Входные параметры для модели

Рис 822 Расположение горизонтальной скважины в границах

53

Рис 823 Кривая стабилизация давления

На следующем этапе по последней точке определяется значения kmodel В

зависимости от длительности исследования будь то 50 часов 100 часов и более

будет зависеть погрешность результата определения свойств пласта по

отношению к истинным параметрам (рис 821) К тому же от времени

исследования будут зависеть Capex на проведения исследования

Рассчитанное значение модельное kmodel затем сравнивается с исходным

заданным значением kist В результате получаем отношение модельного значения

kmodel после проведения ГДИ к kist в зависимости от длительности ГДИС (рис

822)

Рис 821 График производной забойного давления

54

Рис 822 Отношение kmodel kist для скважины 11РО

Полученные по проницаемости параметры умножаются на эффективную

мощность пласта-коллектора и затем рассчитанное распределение

интерполируется с другими параметрами в скважинах в точку проектной

По результатам моделирования распределения свойств пласта будут

изменяться уменьшение дисперсии при увеличении длительности исследования

(рис823) Идеальным исследованием считается исследование с длительностью

достаточной для достижения производной давления на билогарифмическом

графике радиального режима течения что указывает на достоверность

параметров по результатам ГДИ (проницаемость и пластовое давление) Чем

ближе длительность исследования к идеальному ГДИ тем ниже

неопределенность в параметрах и тем ближе распределение к идеальному

Моделирование разной длительности исследования проводиться для N ndash

распределений (рис2)

Результаты смоделированного ГДИ позволяют снизить неопределенности

(сузить распределение) в свойствах пласта в точке проектной скважины Для

интерполяции в точку проектной скважины используется метод сплайн ndash

интерполяции [18]

tk model 10 20 30 40 50 60 70 80

50 2288169 1501385 1150108 0948723 0808706 0717031 0640296 0581876

100 1496394 0948581 0717744 0581513 0484438 0414342 0361937 0319311

150 1107448 0689761 0503907 0394864 0322636 0269636 0233048 0203542

200 0949817 0580742 0417822 0318936 0259364 021555 0186095 0163468

250 0818194 0486803 0338246 0259062 0206736 0173204 014824 0129707

300 0705787 0408828 0281063 0211366 0169381 0142083 012167 0106692

350 0627933 0351884 023841 017996 0144702 0119968 0103063 0090319

400 0562852 0307024 0207063 0155316 0124788 010441 0089458 0078395

450 0510211 0272553 0183196 013788 0110431 009172 0079061 0069165

500 0463384 0245037 0164854 0123914 0099043 0082679 007078 0061913

55

Рис823 Изменение распределения в зависимости от времени исследования ГДИ

На рис 824 показано распределение значений проницаемости с учетом

разной длительности исследований ГДИ

Полученное распределение kh в проектной скважине до ГДИ

характеризовалось большей дисперсией по сравнению с распределением после

проведенного ГДИ на скважине

Рис 824 Распределение kh на проектной скважине

ГЛАВА 9 РАСЧЕТ ЭКОНОМИЧЕСКОГО ЭФФЕКТА

ЦЕННОСТИ ИНФОРМАЦИИ

Ожидаемая прибыль запланированной к бурению скважины до проведения

ГДИ рассчитывается с учётом исходного распределения после ГДИ

0

001

002

003

004

005

006

007

008

009

1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800

Пл

отн

ость

вероятн

ости

Пластовое давление атм

Распределения пластового давления

Время длительности ГДИ 50 часовВремя длительности ГДИ 100 часовВремя длительности ГДИ 150 часовВремя длительности ГДИ 200 часов (идеальное исследование)

56

рассчитывается для каждого дискретного варианта исхода из N-возможных и для

разных времен длительности исследования t

На первом этапе расчёта прибыли по методу Монте-Карло определяются

значения проницаемости и пластового давления с вероятностями распределения

равными 10 50 90 и оценивается запускное значение дебита скважины По

соседним скважинам определяются темпы падения дебита скважины

усредненный темп падения используется для проектной скважины

Произведение запускного значения дебита и усредненного темпа падения

характеризует профиль добычи проектной скважины На основе профиля

добычи оценивается NPV проектного бурения который учитывает

операционные затраты и капитальные расходы проекта При оценке NPV после

запланированного исследования в капитальных затратах учитываются расходы

на проведение ГДИ стоимость интерпретации исследования инструментальные

замеры

Ожидаемая ценность EMVwi после проведения ГДИ рассчитывается как

сумма отдельно взятых N - исходов умноженных на соответствующие

вероятности исходов (91)

119864119872119881119908119894 (119905119894) = 1198641198721198811199081198941(119905119894) lowast 1198751 + 1198641198721198811199081198942(119905119894) lowast 1198752 +⋯

+ 119864119872119881119908119894119873(119905119894) lowast 119875119899 =sum119864119872119881119908119894119895(119905119894)

119873

119895=1

(91)

Чистый дисконтированный доход рассчитывается по формуле (92) где

CF ndash денежный поток r ndash ставка дисконтирования I ndash сумма инвестиционных

вложений Непосредственно CF (денежный поток) будет определяться

количеством добываемого флюида [18]

119873119875119881 = sum119862119865119905

(1 + 119903)119905minussum

119868119905(1 + 119903)119905

(92)

Инвестиционные вложения включают операционные затраты ndash Opex

повседневные затраты компании для ведения бизнеса производства товаров и

57

услуг и капитальные затраты - Capex расходы на приобретение или обновление

необоротных активов При проведении ГДИС затраты на спускподъём

оборудования интерпретацию исследования инженером и потеря в прибыли

связанные с остановкой скважины учитываются в Capex

91 EMV БЕЗ УЧЕТА ПРОВЕДЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ

Дебит ndash это ограниченный объем добытой жидкости через скважину за

определенное время Оценки производительности скважин и расчет добычи

скважины проводятся на основе запускного дебита скважины и усредненного

темпа падения дебита на соседних скважинах на протяжении 25 лет В основном

темпы падения строятся исходя из истории эксплуатации на месторождении

анализируется весь набор данных на заданный пласт

Запускной дебит может быть рассчитан по следующим формулам в

зависимости от типа скважины [9]

1) Вертикальная скважина c ГРП

119902 =2120587119896ℎ(119875119894minus119875119908)

120583119861(119897119899119877119890119877119908minus075+119878)

119878 = 1198971198992119903119908

119909119891 (911)

2) Горизонтальная скважина с МГРП

119902 = 2120587kℎ ( 119875119894 minus119875119898

2+119875119908

2) + 119898119876119863 (912)

119876119863 =2120587kℎ(119875119894minus119875119908)

120583119861(119897119899119877119890119877119908minus075+119878)

(913)

С помощью расчёта запускных дебитов а также анализа работы

окружающих скважин были получены результаты темпов падения на рисунке

911 изображены темпы падения с вероятностью Р50 нефти и жидкости за 25 лет

для определенной скважины Также построена гистограмма с накопленной

добычей (рис 911)

58

Рис 931 Темпы падения для скважины

Рис 911 Гистограмма распределения добычи нефти

для скважины 716 до ГДИ

Геологические риски и неопределенности определяют необходимость

создания вероятностной оценки дебитов запасов профилей добычи

Вероятностная оценка по границам возможной минимальной и максимальной

эффективности поможет минимизировать инвестиционные риски проекта

Модуль вероятностной оценки дебитов запасов профилей добычи

основан на теории вероятностей и математической статистики [12] По

многочисленным входным параметрам задаются диапазоны ожидаемых

величин и тип распределения - по проницаемости эффективной

нефтенасыщенной толщины пласта пластовому давлению Источник

информации ndash фактические параметры полученные с карт и распределение с

59

ошибкой их построения Чем меньше неопределенностей тем меньше дисперсия

и разброс ожидаемых параметров в возможных диапазонах

Следующим этапом переходим к расчету экономических параметров

(NPV) по найденным значениям добычи за 25 лет На рисунке изображена

гистограмма NPV и указаны количественные оценки накопленной добычи и NPV

для вероятностей P10 P50 P90 (табл 911)

Рис 04 Гистограмма распределения NPV для скважины 716 до ГДИ

Таблица 921 Показатели добычи и NPV

Вероятность Накопленная добыча нефти тыст NPV млнруб

P10 1937 3012

P50 1128 1547

P90 597 585

60

С помощью выполненных расчетов (табл 911) ожидаемая ценность

проекта бурения скважины без проведения исследований (EMVwoi) составляет

16011 млн рублей

92 EMV БЕЗ УЧЕТА ПРОВЕДЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ

Расчет экономических параметров в случае модерирования исследований

проводится аналогичным образом Для расчета добычных показателей

планируемой скважины рассчитывается также по формулам 911-913 В этом

случае значения проницаемости и пластового давления задаются с помощью

уточнённые параметров после ГДИ с меньшей дисперсией

На рисунке 921 представлено распределение значений пластового

давления умноженного на эффективную нефтенасыщенную толщину после

ГДИ длительностью 150 часов

Рис 921 Гистограмма распределения NPV для скважины после ГДИ длительностью

150 часов

Расчет экономических параметров помимо операционных затрат (OPEX)

в случае моделирования ГДИ будет включать еще Capex ndash это затраты

проведенного исследования (инструментальные замеры спускоподъёмные

операции) который в свою очередь будут зависят от длительности проведения

исследований Также будут включены затраты на работу интерпретатора

исследований которые уже не будут зависеть от длительности В написанном

61

модуле также учитывается потеря прибыли на время остановки скважины

количественно потери будут определяться длительностью остановки скважины

на проведения ГДИ

62

ГЛАВА 10 РЕЗУЛЬТАТЫ

Реализованный модуль в данной работе позволяет определить

необходимость проведения гидродинамического исследования и выдать

рекомендации по продолжительности исследования составить ранжированный

список скважин по эффективности проведения исследований

В таблице 101 представлены результаты экономических параметров и

расчет VOI На графике (рис 101) построенным в осях VOI в зависимости от

времени исследования можно оценить экстремум функции как оптимальное

время для проведения исследования По представленным результатам

целесообразно провести ГДИ на скважине 3 длительностью от 150 часов так как

ценность полученной информации будет наибольшей

Таблица 101 VOI при проведении ГДИ на скважине 3

Продолжительность ГДИ

EMV1 EMV

2 VOI

Целесообразность исследования

50 16116 16111 005 + 100 16135 16111 024 + 150 16198 16111 087 +

200 16127 16111 016 +

250 16033 16111 -078 - 300 16021 16111 -09 -

В случае горизонтальных скважин также был произведен анализ

ценности информации рассчитаны параметры VOI от длительности по времени

Однако для выхода на радиальный режим для случаев горизонтальных стволов

скважин на рассматриваемом месторождении N необходимо более 500 часов что

существенно увеличивает капитальные затраты При расчете большой

длительности на проведения ГДИ обычно скважину не останавливают так как

эти исследования являются крайне затратными В таблице 202 указаны расчёты

при проведении исследования на горизонтальной скважине 5

63

Рис 101 Зависимость VOI от длительности ГДИ

Таблица 102 VOI при проведении ГДИ на скважине 5

Продолжительность ГДИ

EMV2 EMV

1 VOI

Целесообразность исследования

50 1603 1611 -078 - 100 1606 1611 -054 - 150 161 1611 -013 - 250 1612 1611 012 - 350 1611 1611 -006 - 500 1614 1611 024 +

Таблица 103 Ранжированный список скважин-кандидатов для проведения ГДИС

Скважина VOI (t=50) VOI (t=100) VOI (t=150) VOI (t=200) VOI (t=250) VOI (t=300)

3 005 024 087 016 -034 -078 1 003 015 036 073 -021 -064 4 002 012 024 054 -011 -057 2 001 009 011 031 042 -03

Модуль автоматически перебирает выбранный список скважин для

бурения проектной скважины и ранжирует их по ценности информации

проведенных исследований также предлагает наиболее оптимальное время

исследований исходя из экономических параметров (таблица 103)

Апробация и оптимизация инструмента оценки необходимости

проведения гидродинамического исследования проводится на одном из активно

-15

-1

-05

0

05

1

15

0 50 100 150 200 250 300 350

VO

I м

лнр

уб

Длительность ГДИ ч

VOI (Проведение ГДИ нецелесообразно)

VOI (Проведение ГДИ целесообразно)

64

разбуриваемых месторождений В данной работе проводилась аналитика для

бурения 10 проектных скважин По результатам моделирования ГДИ на

скважинах вблизи проектной была проведена оценка ценности информации от

запланированного исследования На рис102 представлена зависимость

определенного VOI от длительности ГДИ если график расположен выше нуля

(VOI gt 0) исследование экономически обосновано проводить Определив

экстремум функции определяется оптимальная длительность исследования

Приводя пример в рассчитанном кейсе для бурения скважины X наиболее

выгодно провести исследования в 3 скважине длительностью 150 часов

Рис 102 Зависимость VOI от длительности ГДИ в скважинах 1234

-1

-05

0

05

1

0 100 200 300 400

VO

I

Длительнось ГДИ

Скв 3 Скв 1 Скв 4 Скв 2

65

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

По результатам магистерской диссертации был реализован инструмент для

оптимального планирования гидродинамических исследований на этапе бурения

проектных скважин с помощью метода VOI

Предложенный в данной работе метод позволяет определить не только

необходимость проведения гидродинамического исследования но и выдать

рекомендации по оптимальной продолжительности исследования

Смоделировав исследования ГДИ на нескольких соседних от проектных

скважин инструмент позволяет ранжировать скважины ndash кандидаты для

гидродинамических исследования по величине ценности информации VOI

В процессе реализации предложенной методики работы было выполнено

следующее

1 Автоматический анализ данных по ранее проведенным

исследованиям определение геологической неопределенности

интересующих параметров (пластовое давление проницаемость) по

всему эксплуатационному фонду скважин на месторождении N

2 Модуль сплайн-интерполяция на языке программирования Python с

помощью которого интерполируются значения параметров

решается задача о нестационарном притоке к скважине с помощью

языка программирования VBA в котором учитываются результаты

моделирования синтетического ГДИ

3 Расчёт плановых показателей добычи на основе распределений Рпл

и kh до проведения исследования и после него в зависимости от

времени исследований

4 Экономический анализ эффективности проведения исследований на

основе методики VOI по результатам которого выполняется

ранжирование скважин по информативности исследований

66

По результатам расчёта на месторождении N выяснили что для бурения

скважины X наиболее эффективно останавливать на ГДИ скважину 3 с

длительностью исследования 150 часов

В заключении реализованный модуль позволяет оценить

целесообразность проведения ГДИ и самое важное экономическое обоснования

планируемых исследований

Возможности реализованного модуля

Автоматизированный анализ геологической неопределённостей по

фильтрационным-емкостным свойствам и пластовому давлению в

зоне планируемого бурения

Экономическое обоснование по проведению гидродинамических

исследований в зоне бурения проектных скважин

Определение оптимальной длительности ГДИС

Ранжирование скважин по информативности проведения

исследований

Экономическое обоснование затрат на ГДИС и последующими

решениями по оптимальному планированию ГДИС на основе

ценности информации

67

ОХРАНА ТРУДА

Преобладающее время по написанию выпускной квалификационной

работы проводилось за персональным компьютером

Согласно рекомендованной инструкцией по охране труда во время работы

на компьютере ТОИ Р-45-084-01 и также при его эксплуатации могут возникнуть

негативное влияние на работника следующие вредные производственные и

опасные факторы

повышенные уровень электромагнитного воздействия

высокая степень статического электричества

низкий уровень ионизации воздуха

нагрузки которые связанны с продолжительным временем сидячим

положением

повышенная нагрузка на органы зрения

болевые симптомы в позвоночнике и пояснице в связи

продолжительным сидячим положением а также венозная

недостаточность и стресс

Для рационального выбора организации рабочего процесса необходимо

минимизировать опасное воздействие на здоровье работающего а также

выполнить все требования эргономики и обезопасить свое рабочее место

Требования к минимизации нагрузки на органы зрения

Высокая нагрузка на органы зрения приводит к ухудшению зрения

возникновению близорукости и других заболеваний что также провоцирует

мигрень и головные боли повышается раздражительность нервное состояние

которое может привести к стрессу

Для избежание негативного воздействия на органы зрения необходимо

уделить особое внимание освещению как помещения так же и рабочих мест так

как степень освещенности напрямую зависит от интенсивности зрительного

напряжения Основное освещение следует размещать сплошными или

прерывистыми линиями светильников которые могут располагаться сбоку от

68

рабочих мест а также параллельно линии зрения рабочего при линейном

расположении мониторов компьютера Если же ПК расположены по всему

периметру помещения тогда линию светильников или ламп следует

расположить локализовано над каждым рабочим местом

Безопасная и рекомендуемая норма освещенности для работника в системе

освещения составляет mdash 150 minus 200 лк По правилам допускается расположение

ламп локального освещения Персональное освещение не должно

способствовать возникновению бликов на поверхности самого экрана а также

освещенность экрана не должна превышать 300 лк Безопасным считается

освещение рабочих мест люминесцентными лампами ЛБ белого света которые

должны использоваться в помещениях с нормальными условиями труда

Экран должен характеризоваться освещенностью не более 300 лк Яркость

ламп основного освещения в части зон углов излучения 50 minus 90∘ в продольной и

поперечной с вертикалью плоскостях может составлять менее 200кдм также

защитный угол светильников может составлять более 40∘

В виде источников света особенно при условии искусственного освещения

следует применять люминесцентные лампы ЛБ (белый свет) и ЛТБ (тепло-

белый) с характеристиками мощностью 40Вт или 80Вт обладающие высокой

световой отдачей (до 120лмВт и более) у которых продолжительный срок

службы (до 10000ч)

В лампах локального освещения допускается использование ламп

накаливания также галогенных Не допускается использование светильников без

рассеивателей и экранных решеток

Организация рабочего места в связи с активностью оператора

Сфера работы оператора ЭВМ характеризуется пониженной мышечной

активностью а также длительным напряжением мышц в статике особенно шеи

рук спины и ног что может привести к утомлению Состояние утомления

существенно возрастает особенно при неоптимальной высоте рабочего стола и

сидения у которого отсутствует опорная спинка или подлокотник а также

острых углах наклона головы нерациональным и неудобном размещении

69

видеотерминала документов и клавиатуры неудобном угле наклона

поверхности экрана отсутствии подставки для ног

Сиденье должно быть удобным и обеспечивать поддержание правильной

рабочей позы которое будет позволять изменять положение с целью

уменьшение напряжения мышц шейно-плечевой области Лучший способ - это

когда рабочее кресло оборудовано подъемно-поворотным которое регулируется

по высоте и по углам наклона спинки причем регулировка каждого параметра

должна быть независимой

Рабочее место работника следует обеспечить подставкой для ног (п 93 и

105 СанПиН 222241340-03) Поверхность подставки обязательно должна

быть рельефной и характеризоваться высотой переднего края 10 мм

Требования пожаробезопасности

Согласно ГОСТ 121004-91 следует помнить о существующих мерах

предосторожности и опасных факторах огонь пламя и дым также высокая

температура токсичные продукты горения и их термическое разложение

сниженная концентрация кислорода Противопожарную защиту обеспечивают

следующими мерами

Использование средств пожаротушения наличие сигнализации и

устройств тушения в помещениях которые способны ограничивать

распространение пожара наличие специальных средств индивидуальной

защиты

Противопожарные перегородки и отсеки устройства автоматического

отключения систем

Специальная планировка эвакуационных выходов

Системы оповещения людей по громкоговорителю

Технические средства для эвакуации людей

Присутствие огнетушащих веществ

70

Система вентиляции здания должна содержать оборудования и устройства

которые обеспечивают автоматическое отключение при пожаре и

огнедымозадерживающими устройствами Система электропитания

персонального компьютера должна иметь блокировку которая отключает его в

случае пожара

71

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1 Байков ВА Бакиров НК Яковлев АА Математическая геология

учебное пособие ndash Москва-Ижевск 2012 ndash 228с

2 Гуляев Д Н Кокурина В В Кременецкий М И и др Формирование

системы промыслового мониторинга на основе долговременных иссле-

дований стационарными датчиками на приеме насоса Нефтяное хозяй-

ствоraquo 12 2009 С 41ndash44

3 Демьянов В В Савельева Е А Геостатистика теория и практика

учебное пособие ndash Москва 2010 ndash 327с

4 Каневский МФ Демьянов ВВ Савельева ЕА и др Элементарное

введение в геостатистику Москва ВИНИТИ 1999 ndash 136с

5 Каневская Р Д Математическое моделирование разработки месторож-

дений нефти и газа с применением гидравлического разрыва пласта М

Недра-Бизнесцентр 1999 ndash 212 с

6 Кременецкий М И Ипатов А И Гуляев ДН Информационное

обеспечение и технологии гидродинамического моделирования нефтяных

и газовых залежей [Книга] - Москва-Ижевск Ижевский институт

компьютерных исследований 2011 ndash 896с

7 Леонтьев Н Е Основы теории фильтрации [Книга] - Москва ЦПИ при

механико-математическом факультете МГУ 2009 ndash 88с

8 Ортега Дж Введение в параллельные и векторные методы решения

линейных систем [Книга] - Москва Мир 1991 ndash245с

9 Abramowitz M IA Stegun Handbook of Mathematical Functions [Книга] -

New York Dover Publications Inc ndash 1972

10 Churchill RV Operational Mathematics [Книга] - New York McGraw-Hill

Book Co Inc ndash 1972

11 Gringarten AC and Ramey HJ The Use of Source and Greenrsquos Functions in

72

SolvingUnsteady-Flow Problems in Reservoirs [Книга] - SPEJ 1973 ndash245с

12 Houzeacute O Viturat D Fjaere O-S Dynamic data analysis [Книга] - Kappa

2008

13 Joshi SD Horizontal Well Technolog [Книга] - Tulsa Oklahoma Penwell

Published Compan 1991

14 Stehfest H NumericalInversionof LaplaceTransforms [Книга] -

Communicationsofthe ACM 1970

15 The Society of Petroleum Engineers Введение в нефтяной инжиниринг

[Книга] - Москва-Ижевск Институт компьютерных исследований 2014

16 Van Everdingen AF and HurstW W The Application of the Laplace

Transformation to Flow Problems in Reservoirs [Книга] - AIME 1953

17 Stehfest H NumericalInversionof LaplaceTransforms

Communicationsofthe ACM 1970

18 Gringarten AC and Ramey HJ The Use of Source and Greenrsquos Functions in

SolvingUnsteady-Flow Problems in Reservoirs бм SPEJ 1973

19 Jan R Williams Susan F Haka Mark S Bettner Joseph V Carcello

Financial amp Managerial Accounting 2008

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 6

ГЛАВА 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕННОСТИ ИНФОРМАЦИИ НА ОСНОВЕ VOI 8

ГЛАВА 2 ОБЗОР ВХОДНЫХ ДАННЫХ 10

ГЛАВА 3 МЕТОДИКА ОПТИМАЛЬНОГО ПЛАНИРОВАНИЕ

ИССЛЕДОВАНИЙ 12

ГЛАВА 4 МЕТОДЫ ИНТЕРПОЛЯЦИИ 17

41 Кубический интерполяционный сплайн 18

42 Кубический сглаживающий сплайн 21

ГЛАВА 5 ОСНОВЫ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ

СКВАЖИН 24

ГЛАВА 6 ТЕОРИЯ ФИЛЬТРАЦИИ В УПРУГОЙ ПОРИСТОЙ СРЕДЕ 31

ГЛАВА 7 МОДЕЛИРОВАНИЕ ИССЛЕДОВАНИЙ 35

ГЛАВА 8 ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИ ФИЛЬТРАЦИИ ФЛЮИДОВ 36

811 Основа модели фильтрации к вертикальной скважине 36

812 Приток к вертикальной скважине с трещиной ГРП 42

813 Основа модели фильтрации к горизонтальной скважине с

МГРП 47

82 Реализация моделирования исследований 51

ГЛАВА 9 РАСЧЕТ ЭКОНОМИЧЕСКОГО ЭФФЕКТА ЦЕННОСТИ

ИНФОРМАЦИИ 55

91 EMV без учета проведения исследования 57

92 EMV без учета проведения исследования 60

ГЛАВА 10РЕЗУЛЬТАТЫ 62

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 65

ОХРАНА ТРУДА 67

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 71

6

ВВЕДЕНИЕ

Результаты гидродинамических исследований (ГДИ) являются ключевой

информацией при планировании и контроле разработки месторождений

Результаты интерпретации исследований позволяют определить и уточнить

геологическое строение контролировать и вести мониторинг энергетического

состояния пласта и разработки месторождения определять текущее состояние

скважины и пласта обосновывать и контролировать эффективность геолого-

технологических операций Тем не менее полный охват действующего фонда

скважин гидродинамическими исследованиями в большинстве случаев

затруднён в связи с технологическими ограничениями и затратами на проведение

исследования (в том числе потерь по добыче нефти вследствие остановки

скважин ГДИ)

При планировании программы гидродинамических исследований скважин

специалисты часто сталкиваются с проблемой значительных ограничений по

лимиту потерь добычи нефти В данных условиях выбор скважин как правило

осуществляется из числа малодебитных скважин

Одновременно с этим основной задачей при планировании ГДИ является

оценка длительности исследования обеспечивающая регистрацию данных на

радиальном режиме фильтрации Однако выход на радиальный режим течения

особенно для горизонтальных скважин с трещинами многостадийного

гидравлического разрыва пласта и к тому же вскрывающих низкопроницаемые

коллектора зачастую может превышать десяти суток Результаты проведения

исследований с длительностью не позволяющей регистрировать радиальный

режим течения как правило являются малоинформативными Вследствие чего

при планировании длительности ГДИ необходимо определять баланс между

затратами на проведение исследования и ценностью информации которую даёт

исследование

7

Оптимизация процессов планирования гидродинамических исследования

включающая выбор скважин ndash кандидатов под ГДИ и определение длительности

исследования является актуальной задачей при мониторинге разработки

месторождения

В магистерской диссертации рассмотрен подход оптимального

планирования проведения ГДИ на основе методики по оценке ценности

информации VOI В методике предполагается проводить исследования на

скважинах действующего фонда которые располагаются возле проектной зоны

бурения да начала бурения скважин с целью снижения неопределенностей в

свойствах пласта в зонах проектного бурения Результатом разработанного

подхода является инструмент позволяющий ранжировать скважины для

гидродинамических исследований и выбирать оптимальную длительность

исследования

8

ГЛАВА 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕННОСТИ ИНФОРМАЦИИ НА

ОСНОВЕ VOI

Ценность информации (Value of information) ndash это разность между

ожидаемой стоимостью проекта с учетом и без учета полученной информации в

результате исследований Критерий ценности информации позволит

охарактеризовать экономическую выгоду результатов исследований а также

произвести оценку эффективности программы геологоразведочных работ

Появившиеся тенденции разработки месторождений характеризующиеся

сложным геологическим строением и высокой степенью неопределённостью

требуют новых методик экономической оценки ценности проектов В связи с

повышением стоимости геологоразведочных работ месторождений

находящихся в удаленных регионах на шельфе подход основанный на

экономической ценностью информации является актуальным Расчет VOI

позволяет найти наиболее экономически выгодную программу исследований

оценить ее достаточность оптимальность определить ценность информации

единичного исследования Статистический подход к развитию возможных

вариантов исхода поможет количественно оценить риски проекта составить

оптимальную программу разработки месторождения на основе дерева решений

Процесс принятия решению можно визуализировать в виде дерева

решения графического метода анализа информации который вкачает в себя

узлы решения вероятности и окончания Последовательность

взаимоисключающих событий реализация сценариев включающих риски и

неопределенности приводит к достижению поставленной цели при заданных

вероятностях

Решения принимаются в узлах решений Ветви исходящие из любого

узла решений представляют собой все возможные выборы которые имеются на

данный момент времени у принимающего решения

9

Неопределенные результаты возникают в узлах вероятности (случая)

Ветви исходящие из любого узла вероятности представляют все результаты

которые могут возникнуть в некоторый момент времени и их вероятности в

сумме должны быть равны 1 Исходной веткой (перед самим узлом) могут

являться как альтернативы узла решений так и исходы предыдущего узла

вероятности

Узел окончания обозначает завершение каждой ветки и не подразумевает

дальнейшее ветвление Справа от него в строчку записывается итоговая

вероятность данной ветки (считается перемножением вероятностей данной

ветки по всем узлам вероятности) и финансовый результат данной ветки

(сценария)

Рис 11 Пример простого дерева решений

Концепция VOI (рис 12) основана на расчете разницы ожидаемой

денежной проекта после проведения исследования (EMV2) и без информации

(EMV1) ndash dNPV [3] которая возникает в связи с риском принятия неэффективного

решения из-за существующей неопределенности параметров объекта

исследования

Рис 12 Пример простого дерева решений

10

Снижение диапазона неопределённости позволяет принять более

эффективные инвестиционные решения и тем самым повысить ценность

проекта Оценка наиболее оптимальных решений до и после проведения

исследования входит в оценку EMV по веткам дерева решений что позволяет

оценить VOI от проведения работ

Ценность информации будет являться нулевой в случаях если информация

не приносит снижения диапазона неопределенности и если снижение

неопределенности не несет никаких изменений в дальнейших решениях по

проекту Оценка ценности информации позволяет на количественном уровне

оценить экономическую целесообразность проведения ГДИ и вовремя

отказаться от проведения неэффективных исследований тем самым увеличив

стоимость проекта

ГЛАВА 2 ОБЗОР ВХОДНЫХ ДАННЫХ

Реализованный модуль прошел апробацию на восточной части

месторождения N В текущей постановке предложенная методика для оценки

ценности информации и необходимости проведения гидродинамических

исследований проводилась на стадии планирования бурения (Рис 01 Карта

проницаемости пласта месторождения N)

11

Рис 01 Карта проницаемости пласта месторождения N

Месторождение N как и многие давно разрабатываемые активы покрыты

частой сеткой гидродинамических исследований в скважинах Однако

превосходящая часть этих исследований была осуществлена в течении 3-4 лет

назад данный факт существенно снижает корректность информации

полученной в результате исследований о текущем пластовом давлении и

фильтрационно-емкостных характеристиках пласта

Проницаемость горных пород пласта - это способность пород пласта-

коллектора пропускать флюид (жидкость воду и газ) при депрессии на пласт

Проницаемость является фильтрационным параметром горной породы который

определяет скорость фильтрации жидкости в среде Проницаемость пористой

среды будет зависеть не только от размера и расположения пор относительно

друг друга но также от характера движения фильтрующихся флюидов (нефть

вода газ)

Пластовое давление (Рпл) ndash это параметр который характеризует энергию

нефтегазоносных пластов Пластовым называют давление которым флюиды

воздействуют на вмещающие их породы Это давление возникает из

гидростатического давления то есть избыточного давления (архимедовой силы)

которое возникает в результате изменения объёма резервуара (порового

пространства пласта) и так же за счёт расширения (или сжатия) флюидов и

изменения их массы вследствие эксплуатации скважинами Существуют

понятия начального пластового давления и текущего пластового давления

Начальное определяют как исходный показатель которым характеризовался

пласт до вскрытия скважиной Текущим пластовым давлением определяют как

меняющийся в ходе разработки месторождения динамический параметр Один

из важных параметров в процессе разработки месторождения ndash это дебит

скважины (q определяют как объём флюида (воды нефти или газа) поступает в

единицу времени) Данная характеристика напрямую будет зависеть от

величины пластового давления и емкостных-фильтрационных свойств пласта

119875пл ndash динамический параметр по этой причине для эффективной разработки

12

месторождения необходима информация о текущем энергетическом состоянии

пласта и его проницаемости

Пластовое давление и проницаемость могут быть получены в результате

интерпретации гидродинамических исследований (глава 5) Однако

длительность исследований и их качество порой оказываются недостаточными

для корректного определения этих параметров В данной работе реализуется

алгоритм моделирования синтетических исследований (глава 8) для оценки

погрешности в зависимости от их длительности

ГЛАВА 3 МЕТОДИКА ОПТИМАЛЬНОГО

ПЛАНИРОВАНИЕ ИССЛЕДОВАНИЙ

Результатом интеграции методологии ценности информации и

планирования гидродинамических исследований является реализованный

инструмент позволяющий определить необходимость проведения исследования

на действующей скважине вблизи проектной С целью определения VOI

инструмент последовательно решает следующие задачи

1 Определение исходных распределений проницаемости (k) и

пластового давления в действующих скважинах (глава 2)

2 Интерполяция исходных распределений в точку проектной

скважины (глава 4)

3 Моделирование исследований ГДИ на действующих скважинах

расположенных вблизи проектной скважины и определение распределений

проницаемости и пластового давления с учётом результатов исследований (глава

8)

4 Интерполяция измененных распределений в точку проектной

скважины (глава 4)

5 Расчёт ожидаемой прибыли проектной скважины без проведения

исследования ГДИ (EMVwoi) (глава 91)

13

6 Расчёт ожидаемой прибыли проектной скважины с учётом

проведения исследования ГДИ (EMVwi) (глава 92)

При проектировании скважины значения проницаемости и пластового

давления определяются по имеющимся картам распределения свойств В свою

очередь построение карт основывается на результатах проведения

гидродинамических исследований По причине наличия погрешностей при

построении карт распределения свойств и погрешностей в результатах

гидродинамических исследований значения проницаемости и пластового

давления с карт зачастую не являются аналогичными результатам ГДИ

На первом этапе инструмент оценивает распределение параметров

основываясь на определении отношения (έ) значений проницаемости и

пластового давления определенных по результатам ГДИ к значениям

определенным по картам пластового давления и проницаемости (рис1)

Параметр έ характеризует отклонения результатов исследований от карт и таким

образом описывает неопределенность в параметре Определив параметр έ для

каждого имеющегося гидродинамического исследования оценивается

распределение отклонений έ для каждого параметра (проницаемости и

пластового давления) Разработка методологии проводилась на существующем

месторождении в результате параметр έ для проницаемости имел

логнормальное для пластового деления нормальное распределение (рис31)

Распределения свойств пласта в точках существующих скважин до

проведения гидродинамического исследования определяется путем

произведения распределений έ на значение параметра пласта с актуальной карты

[1]

14

Рис31 Распределения отклонений значений проницаемости и пластового давления по

результатам ГДИ от значений с карт

На следующем этапе инструмент интерполирует исходные распределения

в точках действующих скважин в точку проектной скважины Для интерполяции

используется метод сплайн ndash интерполяции который оценивает значения

используя математические функции В результате интерполяции для проектной

скважины определяются распределения проницаемости и пластового давления

до проведения гидродинамического исследования

Возможные реализации проницаемости и пластового давления имеют

широкие исходные распределения и являются непрерывными величинами по

этой причине перед моделированием ГДИ исходные распределения в точках

существующих скважин разбиваются на N-количество дискретных исходов

(рис32) Количество исходов (N) определяется на основе точности

погрешности результатов ГДИ Точность результатов ГДИ определяется

экспертным образом Вероятности исходов определяются на основе данных

вероятностного моделирования путем деления всего диапазона исходов

значений N - дискретных исходов и определение количества реализаций

которые можно отнести к каждому исходу При моделировании 100 значений

проницаемости если скважина в 20 реализациях попала в первое распределение

вероятность должна быть определена 20

0

02

04

06

08

1

12

14

00 10 20

Пл

отн

ость

ве

ро

ятн

ости

έ = (Рпл по ГДИ) (Рпл с карт)

Распределение έ значений проницаемости

0

02

04

06

08

1

12

14

00 05 10 15 20

Пл

отн

ость

ве

ро

ятн

ости

έ = (119896 по ГДИ) (119896 с карт)

Распределение έ значений пластового давления

15

Рис 32 Разбиение исходного распределения пластового давления на дискретные

значения

Для оценки распределений свойств пласта в точке проектной скважины

после проведения гидродинамического исследования необходимо создать

синтетическое ГДИ Моделирование запланированного ГДИ проводится путём

решения задачи о нестационарном притоке к скважине с постоянным дебитом на

основе исходных распределений свойств пласта

Уравнением описывающим процессы происходящие при исследованиях

ГДИ является уравнение пьезопроводности Данное уравнение (31) описывает

неустановившееся однофазное одномерное течение флюида в пористой среде и

выражает связь между пластовым давлением временем и расстоянием от

скважины до точки наблюдения Решение уравнения пьезопроводности (32) для

простого случая работы вертикальной скважины в бесконечном пласте позволяет

получить модель характеризующую перераспределение давления в пласте

1

120594

120597120549119875

120597119905=1

119903

120597

120597119903(119903120597120549119875

120597119903) (31)

∆119875(119905 119903) = minus9205119902119861120583

119896ℎ119864119894 (minus

1199032

000036120594119905) (32)

где (q ndash дебит скважины м3сут B ndash объёмный коэффициент 120583 ndash

вязкость жидкости cпз k ndash проницаемость мД h ndash мощность пласта

м r ndash радиус м χ ndash пьезопроводность мД(спзатм-1) t ndash время ч)

16

Ожидаемая прибыль запланированной к бурению скважины до проведения

ГДИ рассчитывается с учётом исходного распределения после ГДИ

рассчитывается для каждого дискретного варианта исхода из N-возможных и для

разных времен длительности исследования t

На первом этапе расчёта прибыли по методу Монте-Карло определяются

значения проницаемости и пластового давления с вероятностями распределения

равными 10 50 90 и оценивается запускное значение дебита скважины По

соседним скважинам определяются темпы падения дебита скважины

усредненный темп падения используется для проектной скважины

Произведение запускного значения дебита и усредненного темпа падения

характеризует профиль добычи проектной скважины На основе профиля

добычи оценивается NPV проектного бурения который учитывает

операционные затраты и капитальные расходы проекта При оценке NPV после

запланированного исследования в капитальных затратах учитываются расходы

на проведение ГДИ стоимость интерпретации исследования инструментальные

замеры

Ожидаемая ценность EMVwi после проведения ГДИ рассчитывается как

сумма отдельно взятых N - исходов умноженных на соответствующие

вероятности исходов (33)

119864119872119881119908119894 (119905119894) = 1198641198721198811199081198941(119905119894) lowast 1198751 + 1198641198721198811199081198942(119905119894) lowast 1198752 +⋯

+ 119864119872119881119908119894119873(119905119894) lowast 119875119899 =sum119864119872119881119908119894_119895(119905119894)

119873

119895=1

(33)

По результатам моделирования ГДИ на скважине вблизи проектной

проводится оценка ценности информации от запланированного исследования

Реализуется построение зависимости VOI от длительности ГДИ где график

расположен выше нуля (VOI gt 0) следует что исследование экономически

обосновано проводить По результату работы модуля выполняется

17

ранжирование скважин с оптимальным временем проведения ГДИ на основе

ценности информации

ГЛАВА 4 МЕТОДЫ ИНТЕРПОЛЯЦИИ

Определения параметров пласта в области с отсутствующими прямыми

измерениями осуществляются с помощью пространственной интерполяции

Одним из основных методов построения карт параметров пласта является

сплайн-интерполяция

Для построения распределения свойств пласта в определённой зоне

используют ограниченное значение количественных измерений интересующего

параметра Z в точках (Xi Yi) Данные точки определяются как точки выборки

(точки наблюдений) Цель пространственной интерполяции ndash получить значения

пространственной переменной Z на площади где отсутствуют исследования с

минимально погрешностью Необходимо интерполировать из точек Z(xi) в

определенную точку Z(x) на основе анализа имеющихся в базе значений (Рис 42)

Рис 42 Интерполяция в точку Z(x)

Подход интерполяции напрямую опирается на измеренные значения в

точках и интерполируются с помощью подбора математической функции

определяя слаженность результирующей формы [4]

В данной работе был реализован метод сплайн-интерполяции

Сплайн-функцией 119904(119909) 119909 isin [119886 119887] называется функция которая в

каждом частичном отрезке [119909119894minus1 119909119894] является полином некоторой степени и

имеет на заданном [119886 119887] производную до некоторого порядка Под степенью

18

сплайна подразумевают максимальную степень полинома по каждому из

отрезков [119909119894minus1 119909119894] а под дефектом сплайна ndash разность между соответствующей

степенью сплайна и порядком наивысшей производной на заданном отрезке

[119886 119887]

Интерполяция сплайнами является кусочно-полиномиальной

интерполяцией Основная теория сплайн-интерполяции заключается том что на

каждом шаге интерполяции (разбиваемом промежутке между узлами)

осуществляется аппроксимация в форме определенной полиномиальной

зависимости Для каждого шага итерации осуществляется подборка полинома

таким образов чтобы выполнялись граничные условия на концах отрезка

Условия для сплайна полинома степени n должны обеспечивать непрерывность

производных порядка степени (n-1) Наиболее распространённые и имеющие

широкую практическую применимость являются кубические сплайны

41 КУБИЧЕСКИЙ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ СПЛАЙН

Кубическим интерполяционным сплайном 119904(119909) называется функция

которая удовлетворяет следующим условиям

1 На каждом определенном отрезке [119909119894minus1 119909119894] 119904(119909) является полином

третьей степени то есть

119904(119909) = 1198860(119894)1199093 + 1198861

(119894)1199092 + 1198862

(119894)119909 + 1198863

(119894) 119909 isin [119909119894minus1 119909119894] (411)

2 119904(119909) isin 119862[119886119887]2

3 119904(119909119894) = 119891119894 119894 = 0 1hellip 119899

4 119904primeprime(119886) = 119904primeprime(119887) = 0

Коэффициенты 1198860 1198861

1198862 1198863

рассчитываются независимо от каждого

промежутка интерполирования [14]Рассмотрим как строится кубический

сплайн Обозначим через 119898119894 = 119904primeprime(119909119894) 119894 = 0hellip 119899 minus

величина называемая моментом

19

119904primeprime(119909) - линейная функция и для каждого отрезка она совпадает с

интерполяционной функцией полинома Лагранжа первой степени

Проинтегрировав получившееся равенство определяется из условия 3

искомые константы находятся в виде сплайна 119904(119909) на частичном отрезке

[119909119894minus1 119909119894]

119904(119909) = 119898119894minus1

(119909119894 minus 119909)3

6ℎ+119898119894

(119909 minus 119909119894minus1)3

6ℎ+ (

119891119894 minus 119891119894minus1ℎ

minus (119898119894 minus119898119894minus1)ℎ

6) (119909 minus 119909119894)

+ 119891119894 minus119898119894

ℎ2

6 (412)

Определяем моменты 119898119894 119894 = 0hellip 119899 с помощью условий 2 3 4

выводим систему следующего вида

1198980 = 0ℎ

6119898119894minus1 +

2

3ℎ119898119894 +

ℎ

6119898119894+1 =

119891119894minus1 minus 2119891119894 + 119891119894+1ℎ

119894 = 1hellip 119899 minus 1 (413)

119898119899 = 0

Запишем следующие вектора

119898 =

(

11989801198981

⋮119898119899minus1119898119899 )

minus (119899 + 1) minus мерный (414)

119892 =

(

1198910 minus 21198911 + 1198912ℎ⋮

119891119899minus2 minus 2119891119899minus1 + 119891119899ℎ )

minus (119899 + 1) minus мерный (415)

и матрицу

20

119860 =

(

1 0 0 01

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ 0

01

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ

⋯0 0 0 00 0 0 00 0 0 0

⋮ ⋱ ⋮

0 0 0 00 0 0 00 0 0 0

⋯

1

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ 0

01

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ

0 0 0 1 )

minus (119899 + 1) times 6(119899 + 1)

minus мерную (416)

Сходимся в необходимости решить следующую систему (417)

119860119898 = 119892 (417)

Данная система представляет собой систему с трёхдиагональной

матрицей и с диагональным преобладанием Для необходимости её решения

потребуется применить метод прогонки который возможен для систем

следующего вида

1198980 = 11989611198981 + 1198920119886119894119898119894minus1 + 119887119894119898119894 + 119888119894119898119894+1 = 119892119894 119894 = 1hellip 119899 minus 1

119898119899 = 1198962119898119899minus1 + 119892119899 (418)

где

119886119894120572119894 + 119887119894 ne 0 119894 = 1hellip 119899

1 minus 1198962120572119899 ne 0 (419)

где 120572119894 в свою очередь - это

1205721 = 1198961

120572119894+1 = minus119888119894

119886119894120572119894 + 119887119894 119894 = 1hellip 119899 minus 1 (4110)

Следующая методика прогонки представлена в двух частях прямой хода

и обратный хода Прямой ход выявляет следующие величины

21

1205721 = 11989611205731 = 1198920

120572119894+1 = minus119888119894

119886119894120572119894 + 119887119894 119894 = 1hellip 119899 minus 1 (4111)

120573119894+1 = minus119892119894 minus 119886119894120573119894119886119894120572119894 + 119887119894

119894 = 1hellip 119899 minus 1

Далее следует обратный ход в порядке уменьшения индексов определяет

искомые параметры

119898119899 =

119892119899 + 11989621205731198991 minus 1198962120572119899

119898119894 = 120572119894+1119898119894+1 + 120573119894+1 119894 = 119899 minus 1hellip 0

(4112)

Сплайн 119904(119909)математически определён формулой представленной выше

42 КУБИЧЕСКИЙ СГЛАЖИВАЮЩИЙ СПЛАЙН

Метаматематическая модель кубического сглаживающего сплайна

заключается в том что в узлах 119909119894119894=0119899 sub [119886 119887] определенные значения функции

119891(119909) могут быть заданы с погрешностью 119891119894=0119899

В таких моделях с дефектом 1

кубический интерполяционный сплайн будет реализован с достаточно большой

погрешностью вследствие построения с неточными значениями В большинстве

случае реализуют построение кубического сглаживающего сплайна в котором

решается следующая экстремальная задачи

119906 =119894119899119891

119906 isin 11988222[119886 119887]

120567(119906) (421)

где 11988222[119886 119887] ndash пространство Соболева вещественных функций с нормой

1199062 = int(|119906(119909)|2 + |119906primeprime(119909)|2)119889119909

119887

119886

(422)

а функционал

22

120567(119906) = int |119906primeprime(119909)|2 119889119909

119887

119886

+sum119901119894(119906(119909119894) minus 119891119894)2

119899

119894=0

119901119894 gt 0 119894 = 0hellip 119899 (423)

строго неотрицательный выпуклый полунепрерывный снизу

вследствие слабой сходимости

Однозначно решение данной задачи существует и является единственным

решением Введем единственное решение 1199060(119909) также обозначим значения

119910119894119894=0119899 следующим образом

119910119894 = 1199060(119909119894) 119894 = 0hellip119899 (424)

Можем построить кубический интерполяционный сплайн 119904(119909 119910)

119904(119909119894 119910) = 119910119894 Данное полученное решения является равным 1199060

Оценим вид интерполяционного сглаживающего сплайна

Введём в рассмотрение отображение 119866(119910) ℝ119899+1 rarr ℝ

119866(119910) = 120567(119904(middot 119910 )) = int |119904primeprime(119909)|2 119889119909

119887

119886

+sum119901119894(119904(119909119894) minus 119891119894)2

119899

119894=0

=

sum int |119904primeprime(119909)|2 119889119909

119909119894

119909119894minus1

119899

119894=1

+sum119901119894(119904(119909119894) minus 119891119894)2 (425)

119899

119894=0

Получаем исходную экстремальную задачу эквивалентную поиску

min119910isin ℝ119899+1

119866(119910) (426)

Исходя из того что 119904(119909 119910) ndash является кубическим интерполяционным

сплайном запишем

119904primeprime(119909119894 119910) = 119898119894 119894 = 0hellip119899 (426)

1198980 = 0119898119899 = 0 (427)

Вводим (119899 minus 1) times (119899 minus 1)-мерную матрицу

23

119860 =

(

2

3ℎ

1

6ℎ 0 0

1

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ 0

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

0

0

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

01

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ

0 01

6ℎ

2

3ℎ)

(428)

(119899 minus 1)-мерный вектор

119898 = (

1198981

⋮119898119899minus1

) (429)

(119899 minus 1) times (119899 + 1)-мерную матрицу

119867 =

(

1

ℎminus1

2ℎ

1

ℎ0 ⋯ 0 0 0 0

⋯

0 0 0 0 ⋯ 01

ℎminus1

2ℎ

1

ℎ)

(4210)

невырожденную (119899 + 1) times (119899 + 1)-мерную матрицу

119875 = (1199010

⋱119901119899

) (4211)

и (119899 + 1)-мерный вектор

119891 = (1198910⋮119891119899

) (4212)

получаем следующую систему уравнений в которой вычисляем моменты

119898

(119860 + 119867119875minus1119867lowast)119898 = 119867119891 (4213)

Данная система решается методом Гаусса Затем можем выразить

119910 = minus119875minus1119867lowast119898 + 119891 (4214)

(4214) - точку глобального минимума для заданного отображения 119866(119910)

В итоге получаем форму сглаживающего сплайна

24

119904(119909) = 119898119894minus1

(119909119894 minus 119909)3

6ℎ+119898119894

(119909 minus 119909119894minus1)3

6ℎ+ (119910119894minus1 minus

ℎ2

6119898119894minus1)

119909119894 minus 119909

ℎ

+ (119910119894 minusℎ2

6119898119894)

119909 minus 119909119894minus1ℎ

(4215)

119909 isin [119909119894minus1 119909119894] 119894 = 1hellip119899 (4216)

ГЛАВА 5 ОСНОВЫ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО

ИССЛЕДОВАНИЯ СКВАЖИН

Основой ГДИС являются решение нестационарной задачи фильтрации

Рис 51 а) б) формирование радиальной воронки депрессии после пуска

добывающей и нагнетательной скважины в) г) расформирование радиальной

воронки депрессии после остановки добывающей и нагнетательной скважины

Tmdash время прошедшее после пуска скважины tmdash время прошедшее после

остановки скважины[6]

флюидов в порово-упругой среде Они основываются на изучение процессов

формирования и релаксации полей давления в пласте и в скважине в

зависимости от типа воздействия (закачка или отбор флюида) (рис51) Арсенал

технологий исключительно разнообразен и включает самые различные методы с

различной продолжительностью и интенсивность воздействия на пласт Каждая

технология представляет совокупность циклов (базовых элементов)

Определение каждого из них ndash регистрация разницы давления во времени после

изменения дебита скважины на заданной глубине Продолжительностью цикла

25

обуславливается решаемой задачей глубинностью условием и объектом

исследования

Гидродинамические исследования предполагают синхронные измерения

давления и расхода на фиксированной глубине при переходных режимах

эксплуатации скважины Основными элементами технологий ГДИС стабильно

работающих скважин являются способы предполагающие регистрацию

изменения давления во времени

после пуска скважины на стабильный режим отбора или закачки

(кривая стабилизации давления (КСД) -пуск) или при переходе с

одного стабильного режима на другой (КСД-режим)

после остановки скважины стабильно или циклически работавшей

в режиме отбора (кривая восстановления давления КВД) или

закачки (кривая падения давления - КПД)

Решение прямой задачи ГДИС состоит в оценке изменения давления на

забое скважины при заданном изменении дебита и для конкретной модели

скважины и пласта

К наиболее часто используемым моделям относится скважина со скин-

фактором в однородном изотропном пласте при радиальном режиме течения

При пуске скважины с постоянным расходом QАТ[м3с]=const (расход

соответствует условиям атмосферы) изменение давления РС [Па] во времени

tРАБ[с] прошедшем с момента пуска описывается асимптотической

формулой точность которой повышается с увеличением tРАБ

РАБRRРАБ

ПРС

OАТCПЛ tt

r

χ

επ

BQPP

lnln

252ln

4 2

_

(51) επ

BQ OАТR

4

2

_

252ln

ПРС

RRr

χ

kh

k

S

CПРС err _

Другие обозначения принятые в данных формулах PПЛ [Па] ndash первоначальное

пластовое давление [Пас] - динамическая вязкость фильтрующегося флюида Во[безразм]

26

ndash объемный коэффициент флюида [м3Па с] ndash гидропроводность пласта [м2с] ndash

пьезопроводность пласта k [м2] ndash проницаемость пласта КП [в долях]ndash пористость пласта h[м]

ndashэффективная работающая толщина пласта s[безразм] ndash интегральный скин-фактор rС_ПР [м]

ndashприведенный радиус скважины rС[м] ndashрадиус скважины [Па-1] ndash интегральная

сжимаемость пористой среды

При остановке скважины работавшей с постоянным расходом QАТ[м3с] =const в

течение времени tРАБ[с] изменение давления РС[Па] во времени tОСТ[с] прошедшем с

момента остановки описывается асимптотическими формулами (для больших значений tОСТ)

ОСТ

ОСТРАБRПЛ

ОСТ

ОСТРАБОАТПЛC

t

tP

t

tВQPP

tln

tln

4

(52

)

ОСТРАБ

ОСТРАБRR

ОСТРАБ

ОСТРАБ

ПРС

ОАТНАЧC

t

t

t

t

r

ВQPP

t

tln

t

tln

252ln

4 2

_

(53

)

где PНАЧ [Па] ndash давление в момент остановки скважины (tОСТ =0)

Следует обратить внимание что соотношения (51) и (53) оперируют с

разностью текущего и начального давления цикла (в первом случае в качестве

начального выступает пластовое давление а во втором ndash давление в момент

остановки скважины) В отличие от этого соотношение (52) оперирует с

абсолютной величиной давления

С математической точки зрения названные способы представления

данных идентичны Но каждый из них оптимален для решения конкретной

задачи интерпретации гидродинамических исследований Уравнения (51) и (53)

позволяют выделить влияние скин-фактора Основная цель использования

формулы (52) оценка абсолютной величины пластового давления

Абсолютная величина тангенса угла наклона асимптоты () для всех без

рассмотренных зависимостей одинаков и определяется величиной

гидропроводности пласта

Рис52 иллюстрируют поведение давления во времени при запуске

скважины в зависимости от дебита в цикле исследований (а) проницаемости

пласта (б) и скин-фактора (в) Основной недостаток подобного представления

27

результатов в низкой наглядности В частности очень трудно различить

особенности влияния основных информативных факторов ГДИС ndash

фильтрационных свойств пласта (проницаемости) и характеристик

совершенства вскрытия (скин-фактора)

Рис52 особенности поведения давление при пуске скважины (КСД)

а) Влияние расхода Q=QАТВо-расход PС ndashдавление РПЛ- начальное

пластовое давление tРАБ=0 момент пуска скважины (Q1ltQ2ltQ3)

б) Влияние проницаемости Q-расход PС ndashдавление РПЛ- начальное

пластовое давление tРАБ=0 момент пуска скважины (k1gtk2ltk3)

в) Влияние проницаемости скин-фактора Q-расход PС ndashдавление РПЛ-

начальное пластовое давление tРАБ=0 момент пуска скважины (s3gts2lts1)

В ГДИС используются специальные способы представления данных

позволяющие сделать их интерпретацию более наглядной

Рис53 иллюстрирует основные способы представления результатов

ГДИС для исследования добывающей скважины включающей цикл I запуска с

постоянным расходом (КСД-пуск) и цикл II остановки (КВД)

PCQ

PCQ

t=to

Q

PC (k=k1)

PC (k=k3)

PC (k=k2)

PC=PПЛ tРАБ

Q1

PC=PПЛ

t=to

Q2

Q3

PC (Q=Q1)

PC (Q=Q2)

PC (Q=Q3)

PCQPC=PПЛ

Q

PC (s=s1)

PC (s=s2)

PC (s=s3)

а)

б)

в)

tРАБ

tРАБ

28

Рис53 Основные способы представления результатов ГДИС для

диагностики радиального режима течения при пуске в работу со стабильным

расходом добывающей (I) и нагнетательной (II) скважины а) давление как

функция времени в декартовых координатах б) приращение давления как

функция времени в декартовых координатах в) приращение давления как

функция логарифма времени г) логарифм приращения давления и логарифм

логарифмической производной как функция логарифма времени

Базовым способом представления результатов ГДИС является график

полной (по всем циклам исследования) кривой изменения давления во времени

в процессе ГДИС в декартовых координатах (рис53а)

Графики в декартовых координатах зависимости приращения давления от

времени по отдельным циклам позволяют унифицировать результаты измерения

давления по циклам его роста (КВД) и падения (КСД - пуск) Приращение

вычисляется как модуль разности текущего давления (Р) и начального давления

PС

P=Рпл

a)

I

II

ln(tРАБtОСТ)(tРАБ +tОСТ)

IIбtРАБ

РНАЧI

РНАЧII

P=РНАЧI-PС

ln(tРАБ)

P

lnPlnPP

P

Iв)

Iг)

Iд)

P

lnPlnPP

P

IIв)

IIг)

IIд)

tОСТ

P=PС-РНАЧII

tРАБ

ln(tРАБ)

ln(tРАБ+tОСТ)tОСТ

ln(tРАБtОСТ)(tРАБ +tОСТ)

tОСТ

PС

29

(РНАЧ) в цикле Р= Р-РНАЧ Величина Р монотонно увеличивается во

времени вне зависимости от соотношения дебитов в цикле исследования и

предшествующем цикле[6]

График зависимости приращения давления от логарифма текущего

времени laquolntРАБraquo используется для представления результатов КСД-пуск

(рис53Iв) Участок КСД соответствующий радиальному режиму в данном

масштабе аппроксимируется линейной асимптотой Эта особенность

радиального режима используется для его диагностики

Как следует из соотношения (52) наклон асимптоты определяется

гидропроводностью пласта а свободный член значением гидропроводности и

приведенного радиуса (то есть и скин-фактора)

Для цикла (КВД) вместо логарифмического масштаба времени

используется так называемый обобщенный логарифмический масштаб

вычисляемый на основе продолжительностей и расходов циклов работы

скважины предшествующих анализируемому (рис53IIв)

Как следует из соотношения (53) для цикла КВД после одиночного цикла

работы скважины данный масштаб вычисляется по формуле

ОСТРАБ

ОСТРАБP

tt

ttt

)(lnF

(54)

Во временном интервале радиального режима течения КВД

аппроксимируется линейной асимптотой Наклон асимптоты определяется

гидропроводностью пласта а свободный член значением гидропроводности и

приведенного радиуса (то есть и скин-фактора)

Масштаб Хорнера у которого радиального режима течения также является

логарифмическим (рис53II б)

Как следует из соотношения (52) для цикла КВД после одиночного цикла

работы скважины данный масштаб вычисляется по формуле

)ln()(lnОСТ

ОСТРАБ

Pt

tttF

(65)

30

Данный масштаб является инверсным по времени При увеличении

времени его значения падают Участок КВД соответствующий радиальному

режиму течения аппроксимируется линейной асимптотой Наклон асимптоты

определяется гидропроводностью пласта а свободный член значением

пластового давления

Двойной логарифмический масштаб для цикла laquoКСД-пускraquo предполагает

представление логарифма приращения давления laquoln(P)raquo и логарифма

логарифмической производной ln(P) от логарифма времени (рис62Iд)

Логарифмическая производная в этом случае вычисляется по формуле

)ln( P

PP

(66)

Для цикла laquoКВДraquo двойной логарифмический масштаб предполагает

представление параметров laquoln(P)raquo и ln(P) от обобщенного логарифмического

времени соотношение (69)- рис62IIд

)( PF

PP

P

(67)

Данный масштаб является универсальным используется для диагностики

не только радиального но и линейного и других не радиальных режимов течения

для всех типов циклов ГДИС

Следует подчеркнуть что соотношения (51)-(54) выведены для двух

цикличной технологии исследования и при увеличении числа циклов должны

быть модифицированы Но описанный выше принцип масштабирования

результатов ГДИС является универсальным

31

Рис 54 Билогарифмический график КВД [5]

На основе интерпретации результатов исследования ГДИС определяются

параметры энергетического состояния скважины (пластовое давление

депрессия продуктивность динамика их изменения) фильтрационные

параметра пласта (гидропроводность подвижность пьезопроводность

проницаемость) зональность их распространения по площади

В настоящей магистерской диссертации была реализован метод

математического моделирования с целью получения информации о

проницаемости и пластовом давлении в точках исследуемых скважинах

погрешностью полученных параметров на основе качества исследования

(наличие на билогарифмическом радиального режима) связанным со временем

исследования

ГЛАВА 6 ТЕОРИЯ ФИЛЬТРАЦИИ В УПРУГОЙ ПОРИСТОЙ

СРЕДЕ

Основа теории фильтрации основана на изучении движения

(просачивания) жидкости через пористую среду Особенности процессов

фильтрации зависят от упругих свойств среды и насыщающих их флюидов

Для постановки задачи фильтрации жидкости в упругой среде прибегают

к краевой или начально-краевой задаче с соответствующими граничными

условиями Для нахождения математического выражения фильтрации флюидов

в пористой среде решают систему дифференциальных уравнений в частных

производных

Векторы скорости и плотности фильтрующейся жидкости могут быть

представлены в следующем виде - (119909 119910 119911 119905) и плотностью жидкости

120646 (119909 119910 119911 119905) Одной из важных характеристик поровой среды является пористость

32

ndash это относительный объем порового пространства в материале именно этот

параметр определяет количество флюида которое содержится или может

содержаться в определенном объеме пористой среды [7]

Теория фильтрации флюидов опираются на фундаментальный закон

сохранения массы в соответствии с которым изменения массы жидкости в

любом произвольном объеме V внутри замкнутой поверхности происходит за

счет изменение притока и оттока жидкости через границу объема (уравнение

неразрывности) [12]

Поток жидкости через произвольную однозначно определенную

замкнутую поверхность Γ в пористой среде с коэффициентом пористости - φ

заполненной флюидом с вязкостью μ (рис 61)

Рисунок 61 Замкнутая поверхность Γ в пористой среде (The Society of Petroleum Engineers

2014)

Скорость поступление массы объемом V через поверхность Г равна

скорости изменения данной массы в этой области (The Society of Petroleum

Engineers 2014)

119889119872119892

119889119905=

119889

119889119905∭ 120588120593119889119881 =∭

120597

120597119905(120588120593)119889119881

119881119881 6 1

Масса поступающая в определенный объем пористой среды через

дифференциальный элемент поверхности dΓ за промежуток времени Δt со

скоростью равна minus120646 lowast Отличие массы поступившей в определенную

поверхность и массой покинувшей эту поверхность за изменение времени Δt

равна

33

∆119872119892 = minus∆119905∯ 120588 lowast 119889Г Г

6 2

Скорость притока флюида в объем области V через поверхность Γ

lim∆119905rarr0

119889119872119892∆119905

=119889119872119892119889119905

= ∯120588 lowast 119889Г

Г

6 3

Приравняем правые части уравнения (119889119872119892

119889119905=

119889

119889119905∭ 120588120593119889119881 =

119881

∭120597

120597119905(120588120593)119889119881

119881 ) и ( lim

∆119905rarr0

119889119872119892

∆119905=

119889119872119892

119889119905= ∯ 120588 lowast 119889Г

Г 63) если функции

входящие в эти уравнения являются достаточно гладкими то применяем теорему

Остроградского ndash Гаусса к правой части уравнения ( lim∆119905rarr0

119889119872119892

∆119905=

119889119872119892

119889119905=

∯ 120588 lowast 119889Г Г

63) получаем

∭ [120597

120597119905(120588120593) + nabla120588] 119889119881

119881=0 (64)

Интеграл может быть приравнен к нулю тогда когда сама функция под

знаком интеграла равна нулю исходя из этого утверждения можем получить

120597

120597119905(120588120593) + nabla120588 = 0 (65)

Полученное уравнение (65) можем переписать через поля давления по

причине отсутствия непосредственного замера скорости и плотности потока при

гидродинамическом исследовании скважины (ГДИС) Для пересчета в

характеристики давления потока воспользуемся законом фильтрации Дарси и

уравнение состояния [2]

Уравнение состояния которое связывает плотность и давление

с = minus1

119881

120597119881

120597119875 с =

1

120588

120597120588

120597119875 сρ

120597119875

120597119905=120597120588

120597119905 0 6

c ndash сжимаемость жидкости отрицательный знак отражает условие что

при положительном коэффициенте сжимаемости будет происходить сжатие

флюида (давление растет объем уменьшается) Различают общую сжимаемость

с119957 и сжимаемость пористой среды с119943

с119891 =1

120593

120597120593

120597119875 6 7

34

с119905 = с119891 + 119888 6 8

Исторически уравнение баланса было получено экспериментально Анри

Дарси По закону Дарси вектор скорости фильтрации выражается через вязкость

флюида micro и тензор проницаемости k Знак минус в правой части также имеет

физически явный смысл в отсутствии сил действующих на массу жидкость

начинает движение из областей в повышенным давление в область с меньшим

давлением

= minus119896

120583nabla119875 6 9

При рассмотрении первого слагаемого уравнения 120597120597119905(120588120593) + nabla120588 = 0

(65 и с = minus1

119881

120597119881

120597119875 с =

1

120588

120597120588

120597119875 сρ

120597119875

120597119905=

120597120588

120597119905 06 выполним подстановку

120597

120597119905(120588120593) = 120593

120597120588

120597119905+ 120588

120597120593

120597119905= 120593сρ

120597119875

120597119905+ 120588

120597120593

120597119905= 120593сρ

120597119875

120597119905+ 120588

120597120593

120597119875

120597119875

120597119905=

= 120593сρ120597119875

120597119905+ 120588с119891120593

120597119875

120597119905= 120588с119905120593

120597119875

120597119905 6 10

Далее перезапишем уравнение 120597120597119905(120588120593) + nabla120588 = 0 (65 с учетом

данного выражения и подставим вектор скорости из уравнения закона Дарси

с119905120593120597119875

120597119905= nabla(

119896

120583nabla119875)

1

120594

120597119875

120597119905= nabla2119875 120594 =

119896

с119905120593120583 6 11

Где 120594 ndash коэффициент пьезопроводности с119905120593120597119875

120597119905= nabla(

119896

120583nabla119875)

1

120594

120597119875

120597119905= nabla2119875 120594 =

119896

с119905120593120583 611 определяется как уравнение пьезопроводности - основным

уравнением которое описывает процессы возникающие при гидродинамических

исследованиях

Данное уравнение пьезопроводности (611) может быть перезаписано

относительно радиальных координатах

1

120594

120597Δ119875

120597119905=1

119903

120597

120597119903(119903120597Δ119875

120597119903) 6 12

где 120607119927 = 119875119894 minus 119875 119875119894 minus начальное пластовое давление

35

Уравнение пьезопроводности решается практически во всех

аналитических моделях и выражается в них в радиальных формулах

Однозначно определенным объектом такого радиального решения служит

нагнетательная или добывающая скважина Выбранная система координат

наилучшим способом описывает моделирование радиального потока

относительно скважины

ГЛАВА 7 МОДЕЛИРОВАНИЕ ИССЛЕДОВАНИЙ

Уравнением описывающим процессы происходящие при исследованиях

ГДИ является уравнение пьезопроводности Данное уравнение (71) описывает

неустановившееся однофазное одномерное течение флюида в пористой среде и

выражает связь между пластовым давлением временем и расстоянием от

скважины до точки наблюдения Решение уравнения пьезопроводности (72) для

простого случая работы вертикальной скважины в бесконечном пласте позволяет

получить модель характеризующую перераспределение давления в пласте

1

120594

120597120549119875

120597119905=1

119903

120597

120597119903(119903120597120549119875

120597119903) (71)

∆119875(119905 119903) = minus9205119902119861120583

119896ℎ119864119894 (minus

1199032

000036120594119905) (72)

(q ndash дебит скважины м3сут B ndash объёмный коэффициент 120583 ndash

вязкость жидкости cпз k ndash проницаемость мД h ndash мощность пласта

м r ndash радиус м χ ndash пьезопроводность мД(спзатм-1) t ndash время ч)

Инструмент позволяет моделировать исследование ГДИ для случаев с

разным закачиванием скважин (вертикальная скважина вертикальная скважина

с гидравлическим разрывом пласта (ГРП) горизонтальная скважина

горизонтальная скважина с многостадийным ГРП) На первом этапе по заданным

свойствам пласта и флюида моделируется ГДИ описывающая изменение

забойного давления в скважине [1]

36

На следующем этапе моделирования строится билогарифмический график

(рис71) по которому специалисты ГДИ определяют свойства пласта Таким

образом создав синтетическое ГДИ можно предсказать как будет выглядеть

билогарифмический график исследования КВД (кривая восстановления

давления) характеризующего остановку скважины

Моделирование исследования ГДИ проводится для N ndash исходов (рис71) и

для разного времени длительности исследования t (50-100-150hellipчасов) в

результате чего инструмент определяет свойства пласта (проницаемость и

пластовое давление) по результатам исследования зависящих от времени

длительности ГДИ

Рис71 Результаты моделирования исследования ГДИ

ГЛАВА 8 ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИ ФИЛЬТРАЦИИ

ФЛЮИДОВ

811 Основа модели фильтрации к вертикальной скважине

Для самого начала рассмотрим самый простой случай движения флюида

в однородном бесконечном пласте начиная с начального постоянного давления

119927119946

В начальный момент t = 0 однотипно с началом первого цикла

эксплуатации у пласта коллектора начальное равномерное давление - 119927119946

ΔP(r t = 0) = 0 P(r t = 0) = Pi (8111)

Введем в рассмотрение граничное условие когда границы отсутствует

это сопоставимо что пласт-коллектор характеризуется бесконечной

протяженностью

0

05

1

15

2

25

-3 -2 -1 0 1 2 3

LO

G (

dP

) LO

G(P

`)

LOG(dt)

Билогарифмический график

LOG (P(t)-P(tp))

37

ΔP(r rarr infin t) = 0 P(r rarr infin t) = Pi (8112)

Второе граничное условие на радиусе скважины будет зависить от

условий на поверхности ствола (r = rw) Введем в рассмотрение единичную

вертикальную скважину радиусом 119953119960 которая полностью вскрывает

однородный изотропный коллектор с коэффициентом проницаемости k и

эффективной мощностью h добывает однородную малосжимаемую жидкость

вязкостью μ при стандартных условиях с дебитом Q м3 В условиях пласта объем

добываемого флюида составит Qsf = Qb (где b ndash объемный коэффициент

жидкости)

(119903120597119875

120597119903)119903=119903119908

=119902119861120583

2120587119896ℎ (8113)

Одной из удобных моделей моделировании фильтрации к скважине

является модель линейного источника которая является предельным случаем

скважины нулевого радиуса

119897119894119898 (119903120597119875

120597119903)119903rarr0

=119902119861120583

2120587119896ℎ (8114)

На практике прибегают к упрощению постановки задачи путем ввода

безразмерных переменных При решении задачи относительно новых

переменных позволяют интегрировать остальные параметры и в конечном счете

задача сводится к решению уникального набора уравнений которые легко

разрешаются аналитическим методом раз Физический смысл ввода

безразмерных параметров заключается в исключении из основного уравнения

параметров пьезопроводности пласта-коллектора с целью поиска обобщенного

решения с помощью которого переходя на изначальные размерные параметры

удается получить решение для определенного пласта и определить параметры

пьезопроводности и проводимости (Houzeacute O 2008)

119903119863 =119903

119903119908 (8115)

119905119863 =000036119896119905

1205931205831198881199051199031199082 (8116)

38

119875119863 =2120587119896ℎ

119902119861120583∆119875 (8117)

Далее вводим безразмерные параметры переходим к общей задаче

120597119875119863120597119905119863

=1

119903119863[120597

120597119903119863(119903119863

120597119875119863120597119903119863

)] (8118)

119875119863(119903119863 119905119863 = 0) = 0 (8119)

119875119863(119903119863 rarr infin 119905119863) = 0 (81110)

119897119894119898 (119903119863120597119875119863120597119903119863

)119903119863rarr0

= minus1 (81111)

Решая данное дифференциальное уравнение удобно применить

интегральные преобразования Принято при решении уравнения

пьезопроводности пользоваться особой формой линейных интегральных

преобразований являющиеся преобразованиями Лапласа Далее применяем к

уравнению (120597119875119863

120597119905119863=

1

119903119863[120597

120597119903119863(119903119863

120597119875119863

120597119903119863)] (811) преобразования Лапласа

s119875119863 =1

119903119863[120597

120597119903119863(119903119863

120597119875119863

120597119903119863)] (81112)13

Трансформанта Лапласа

119875119863 (119904 119903119863) = int 119875119863(119905119863

infin

119905119863

119903119863) exp(minus119904119905119863) 119889119905119863 (81113)

где s mdash это число достаточно велико чтобы мог существовать интеграл

действительная часть которого положительна Функция обозначенная чертой

сверху является образом (изображением) функции или результатом

интегрального преобразования Лапласа где подынтегральной функцией

является прообразом (оригиналом) Решение уравнения(811s119875119863 =

1

119903119863[120597

120597119903119863(119903119863

120597119875119863

120597119903119863)] (81112)13) можно представить через модифицированное

уравнение Бесселя нулевого порядка которое можно записать в следующем

виде

119875119863 (119904 119903119863) = 119860(119904)1198680(119903119863radic119904) + 119861(119904)1198700(119903119863radic119904) (81114)

39

1198680 и 1198700 являются модифицированными функциями Бесселя нулевого

порядка Значения коэффициентов A и B в уравнении определяются с помощью

подстановки граничных условий в уравнение Осуществляем подстановку

граничных условий из внешнего ГУ А(s)=0 B(s)= 1

119904 В итоге получаем

изображение решения для линейного источника в виде

119875119863 (119904 119903119863) =1

1199041198700(119903119863radic119904) (81115)

Для нахождения образа функции выполняем обратное преобразование

Лапласа полученного уравнения Данную операция можно выполнить с

помощью таблиц преобразований Лапласа (из таблиц в работах (Churchill RV

1972) и (Abramowitz M 1972))

119871minus1 (1198700(119903119863radic119904)) =1

2119905exp(minus

1198962

4119905) (81116)

Обобщаем выводим решение для линейного источника с безразмерными

параметрами

119875119863(119905119863 119903119863) = minus119864119894 (minus1199031198632

4119905119863) 119864119894(119909) = minus int

119890minus119910

119910119889119910

infin

minus119909

(811 14)

Где 119864119894(119909)-интегральная показательная функция Далее выполняем

обратное преобразование переходим на размерные величины

∆P(t 119903) = minusqBμ

2πkh119864119894 (minus

r2

4 lowast 000036120594t) (811 15)

Полученное решение уравнения в каждой точке и на каждом промежутке

времени удовлетворяет задаче фильтрации для скважины линейного источника

находящаяся в эксплуатируемом фонде скважин вскрывающая интервалом

перфорации эффективную мощность однородного бесконечного пласта-

коллектор Одним из выводов из решения уравнения пьезопроводности гласит

что поля релаксации перепада давления мгновенно перераспределяются по

пласту-коллектору Также стоить отметить существующее решение на дальнем

расстоянии от скважины 119903119894119899119907 вблизи которого перепад давления столь мал что

40

этим можно пренебречь Исходя из этого предположения можно определить

радиус исследования 119903119894119899119907 который характеризует размер области исследования

результат интерпретации которых зависят от свойства пласта и флюидов в

скважине [11]

При рассмотрении полей давления в пласте с бесконечной

протяженностью во время запуска скважины в работу на основании полученного

ранее решения уравнения (рис 8111) В первоначальный момент времени 1199051 =

0 забойное давление в скважине равно текущему пластовому давлению через

некоторый отрезок времени в интервале - 1199052 вокруг точки скважины

формируется так называемая laquoворонка депрессииraquo которая может

характеризовать неустановившийся режим течения При движение по временной

шкале воронка депрессии будет распространяться на более дальние расстояния

от скважины пока не достигнет определенной границы (119903119894119899119907=119903119908 +radic120594t) Если

рассматривать зеркально противоположный пример при остановке скважины

воронка депрессии будет становиться меньше и будет уменьшаться пока

значение давления в скважине не достигнет пластового и останется стабильным

Понятие радиального режима для течения флюидов в пласте является

основополагающим для интерпретации гидродинамических исследований Это

режим характеризует обстановку при которой скорость фильтрации и поля

давления имеют радиальную симметрию и линии тока в пласте направлены к

круговому цилиндру по радиусу от периферии пласта к скважине (Рис 1)

41

Рис 8111 Линии тока для вертикальной скважины при радиальной

фильтрации [6]

Решение линейного источника может достичь радиального режима с

определенного времени 119905119909 такую характерную зависимость можно проследить

на билогарифмическом графике (рис 8111) этот режим характеризуется

стабилизацией производной давления С помощью данного графика

проницаемость пласта вычисляется по формуле

119896ℎ = 119902119861μ lowast05

2120587∆Pстаб (81119)

При рассмотрения кейса решения уравнения пьезопроводности в случае

вертикальной скважины в цилиндрическом пласте-коллектора изменится гу на

г

р

а

н

и

ц

е

ц

и

л

и

н

(120597Δ119875

120597119903)119903=119903119890

= 0 (81120)

Аналогично ранее описанному алгоритму решению уравнения

пьезпроводности получим изображение депрессии

∆P (119904) =qBμ

2πkhlowast

lowast

1198680 (119903radic119904120594)1198701 (119903119890radic

119904120594)+ 1198681 (119903119890radic

119904120594)1198700 (119903radic

119904120594)

119903119908radic119904120594119904 [1198681 (119903119890radic

119904120594)1198701 (119903119908radic

119904120594)minus 1198681 (119903119908radic

119904120594)1198701(119903119890radic

119904120594]

(81121)

42

Аналитическое преобразование данного уравнения принимают

следующий вид (Van Everdingen AF and HurstW W 1953)

∆P(t 119903) =qBμ

2πkh

2

1199031198902 minus 119903119908

2(120594119905 minus

1199032

4) minus

1199031198902

1199031198902 minus 119903119908

2119897119899r

119903119908minus

1

(41199031198902 minus 119903119908

2)2lowast

lowast (31199031198904 minus 4119903119890

4119897119899119903119890119903119908minus 2119903119890

2 minus 1) +

+120587sum11986912 (120573119899

119903119890119903119908) [1198691(120573119899)1198840 (120573119899

r119903119908) minus 1198841(120573119899)1198690 (120573119899

r119903119908)]

120573119899 [11986912 (120573119899

r119890119903119908) minus 1198691

2(120573119899)]

infin

119899=1

119890119909119901 (minus1205731198992 120594119905

1199031199082) (81122)

1205731 1205732 и тдndash решения уравнений

1198841(120573119899)1198691 (120573119899r119890119903119908) minus 1198691(120573119899)1198841 (120573119899

r119890119903119908) = 0 (81123)

В поставленной формулировке задачи для выведенного уравнения

решения невозможно сходу подобрать обратное преобразование Лапласа с

помощью табличных значений (аналитической функции) (Abramowitz M 1972)

Однако можно выполнить найти решение выполнив его численно Для решения

задач нестационарной фильтрации флюидов применимы алгоритмы численного

обращения основанные на стохастических подходах (Stehfest H 1970) которые

предполагают что можно рассчитывать приближенное значение оригинала pa(T)

по найденному изображению p(s) в определённый момент времени t = T [13]

119901119886(119879) =1198971198992

119879sum119881119894

119873

119894=1

(119904)119904=1

1198971198992119879 (81124)

119881119894 = (minus1)(1198732)+119894

sum1198961198732(2119896)

[(1198732)

minus 119896] 119896 (119896 minus 1) (119894 minus 119896) (2119896 minus 119894)

min(1198941198732)

119896=(119894+1)2

(81125)

812 Приток к вертикальной скважине с трещиной ГРП

Ранее было выведены решения задачи фильтрации для вертикальных

скважин Метод источников который был применен также используется для

случаев скважин с более сложной геометрией ННС (наклоннонаправленных

43

скважин) ВС ГРП (вертикальный с гидроразрывом пласта) ГС ГРП

(горизонтальных с гидроразрывом пласт)

Функция Грина и метод источников применяется для решения двух- и

трёхмерных задач неустановившейся фильтрации Под источником понимается

некоторая точка поверхность или объем из области которых флюид отбирается

из пласта-коллектора или закачивается Строго говоря отбор жидкости должен

ассоциироваться со стоком а закачка с источником Под физической основой

источник можно сопоставить со скважиной бесконечно малого диаметра в

которую мгновенно закачивается конечное количество флюида[16]

Функции Грина и метод источников тесно связаны между собой Функция

Грина определяется для дифференциального уравнения со специальными

граничными условиями (заданный расход или давление) и соответствует

решению для мгновенного точечного источника С другой стороны функции

источников представляют собой решения данного дифференциального

уравнения с указанными граничными условиями и геометрией источника

Фундаментальное решение функции Грина (G (M Mrsquo τndasht)) для

неустановившегося потока флюида в пористой среде может соотнесено с

давлением в точке M (x y z) в определенный момент времени t которое

обусловлавливает мгновенный точечный источник единичной интенсивности

который создан в точке Mrsquo(xrsquo yrsquo zrsquo) во временя τ lt t Необходимо чтобы

функция Грина удовлетворяла уравнению пьезопроводности

120597119866

120597119905= 120594nabla2119866 81161

120597119875

120597120591= 120594nabla2119875 8122

int nabla2119891(119872)119889119872 =119863

int120597119891

120597119899Г

119889Г 8123

Используем свойства функции Грина можем применить терему Грина

(8123) с учетом (8122) (Gringarten AC and Ramey HJ 1973) получим

44

∆119875(119872 119905) =1

120593119888int int

Г119908(119872119908

prime 120591)119866(119872119872119908prime 119905 minus 120591

119905

0)119889119872119908

prime 119889120591 =

1

120593119888int 119905

0(120591)119878(119872119872119908

prime 119905 minus 120591)119889120591 8123

119878(119872119872119908prime 119905 minus 120591) = int 119866(119872119872119908

prime 119905 minus 120591)119889119872119908prime

Г119908 8124

где Г119908 ndash граница ствола скважины = minus119896

120583

120597119875

120597119899 ndash объём потока который

проходит через точку на поверхности внутренней границы 119872119908prime Применяем

интегрирование правой части данного уравнения (724) получаем

распределение точечных источников по площади длине и объему источника

Для разных конфигураций системы laquoисточник-пластraquo можно подобрать

табличные базовые функции соответствующих мгновенных источников (The

Society of Petroleum Engineers 2014)

В практике нефтегазовой отрасли практически на многих добывающих

скважинах проводиться МУН (метод увеличения нефтеотдачи) Одним из

распространенных методов интенсификации флюида является гидравлический

разрыв пласта (ГРП) который заключается в формировании высокопроводимой

трещины в продуктивном интервале пласте для увеличения притока флюида к

скважине

Поставим задачу решения уравнения фильтрации флюида к вертикальной

скважине с трещиной ГРП Из условий скважина полностью вскрывает пласт

эффективной мощностью h кровля и подошва пласта ограничена

непроницаемыми ровными горизонтальными границами Трещина ГРП

расположена симметрично относительно нормали ствола скважины полудлина

трещины - xf ширина - wf (wf ltlt xf) коэффициент проницаемости трещины kf

индекс laquofraquo характеризует трещину ГРП В горизонтальном направлении пласт

бесконечный (рис 8121 ndash 8122) Течение потока к трещине выражается

двумерным стоком флюида

45

Рис 8121 Вертикальная трещина (вид сбоку)

Рис 8122 Течение флюида к вертикальной трещине (вид сверху)

В ходе решения задачи стоит рассмотреть два типа течения

1) поток в трещине

2) поток в пласте с трещиной

1) Переходя к безразмерным переменным (8115-8117) запишем

уравнение пьезопроводности (8118) и граничные условия (8119-81110)

119901119891119863(119909119863 119905119863) =2120587119896ℎ (119901119894 minus 119901119891(119909 119905))

119902119908120583 (8125)

119905119863 =119896119905

1206011205831198881199051199091198912 (8126)

119909119863 =119909

119909119891 (8126)

119902119891119863(119909prime 120591) =

2119902119891(119909prime120591)

119902119908119909119891 (8127)

1198892119901119891119863(119909119863)

1198891199091198632

=120587

119865119862119863119902119891119863(119909119863) (8128)

119889119901119891119863

119889119909119863 119909119863=0=

120587

119865119862119863 (8129)

46

119889119901119891119863119889119909119863 119909119863=1

= 0 (81210)

Перепад значений давления между забойным давлением и в точке

трещины с координатой 119909119863 можно записать

119901119908119863 minus 119901119891119863(119909119863) =120587

119865119862119863[119909119863 minusint int 119902119891119863(119909

primeprime)119889119909primeprime119889119909prime119909prime

0

119909119863

0

] (81211)

2) Течение добываемого флюида из пласта-коллектора в трещину

можно рассмотреть как наличие нестационарного источника жидкости qf(xt) в

самой трещине Используя метод источников который был рассмотрен ранее

безразмерное давление в любой произвольной точке пласта

119901119863(119905119863 119909119863 minus 119909119908119863 119910119863 minus 119910119908119863) = int int 119902119891119863(120591 119909prime minus 119909119908119863)119866(120591 119909

prime 119909119863 minus1

minus1

1199051198630

119909119908119863 119910119863 minus 119910119908119863)119889119909prime119889120591 (81212)

(119909119908119863 119910119908119863) - безразмерные координаты точки забоя скважины в

горизонтальной плоскости (xy) ось 119909 направлена вдоль трещины

Записывается условие непрерывности давления в пласте и в трещине

119901119891119863(119905119863 119909119863) = 119901119863(119905119863 119909119863 0) (81213)

Следовательно уравнение (81211) принимает вид

119901119908119863 minusint int119902119891119863(120591 119909prime)119866(120591 119909prime 119909119863 0)119889119909

prime119889120591

1

minus1

119905119863

0

=120587

119865119862119863[119909119863 minusint int 119902119891119863(119905119863 119909

primeprime)119889119909primeprime119889119909prime119909prime

0

119909119863

0

] (81214)

Применяем преобразование Лапласа

119908119863(119904) minus int 119891119863(119904 119909prime)(119904 119909prime 119909119863 0)119889119909

prime =1

minus1

120587

119865119862119863[119909119863

119904minus

int int 119891119863(119904 119909primeprime)119889119909primeprime119889119909prime

119909prime

0

1199091198630

] (81215)

int 119891119863(119904 119909prime)119889119909prime

1

minus1

=1

119904 (81216)

47

Получили изображения Лапласа соответствующих функций ndash

оригиналов Решение системы производится путём дискретного разбиения

трещины по длине на 2n сегментов и записи данной системы в следующем виде

для каждого дискретного сегмента (рис 723)

Рис 8123 Схема разбиения трещины на сегменты

119908119863(119904) minussum119891119863119894

119899

119894=1

int (119904 119909prime d119909 (119895 minus1

2) 0) 119889119909prime

d119909119863119894

d119909119863(119894minus1)

+ int (119904 119909prime d119909 (119895 minus1

2) 0) 119889119909prime

d119909119863(minus119894+1)

d119909119863(minus119894)

+120587

119865119862119863[119889119909119863 ∙ 119895

119904minus (119889119909119863)

2sumsum119891119863119896

119894

119896=1

119895

119894=1

] (81217)

119889119909119863 ∙sum 119891119863119894

119899

119894=1

=1

2119904 (81218)

Изображение давления в любой точке пласта можно найти по формуле

119863(119904 119909119863 119910119863) = sum 119891119863119894 int (119904 119909prime 119909119863 119910119863)119889119909119863∙119894

119889119909119863(119894minus1)119889119909prime +119899

119894=1

int (119904 119909prime 119909119863 119910119863)119889119909119863∙(minus119894+1)

119889119909119863∙(minus119894)119889119909prime (81219)

Где 119891119863119894 ndash изображение функции мощности источников в каждом n

сегменте [17]

48

813 Основа модели фильтрации к горизонтальной скважине с МГРП

Задача притока добываемого флюида к горизонтальной скважине с

многостадийным гидроразрывом пласта (МГРП) схематично можно

представить как несколько одинаковых трещин соединенных общим

горизонтальным стволом Каждая трещина пресекает ствол горизонтальной

скважины в центре и является симметричной относительно ствола ((119909119908119863119895 119910119908119863119895)

Рис 8131 Схематическое изображение ГС с МГРП

Каждая трещина ГРП будет иметь равную полудлину 119909119891 и безразмерную

проводимость 119865119862119863 В модели существует предположение что течение флюида

внутри трещины является одномерным Следовательно поток флюида к

горизонтальному стволу скважины с n трещинами будет равен алгебраической

сумме потоков флюида от каждой трещины

119876 = sum 119876119895(119905)119899119895=1 = 119888119900119899119904119905 (8131)

Как ранее для общения задачи вводим безразмерные переменные

давление в точке пересечения скважины с j трещины - 119901119908119863119895 безразмерный дебит

- 119902119863119895 =119876119895

119876

Из условий бесконечной проводимости для горизонтального ствола

119901119908119863119895 = 119901119908119863 119895 = 1 119899 8132

Возмущение давление которое создается трещиной k в точке пересечения

119895 трещины со скважиной ndash 119901(120591)119863119895119896 equiv 119901119863(120591 119909119908119863119896 119910119908119863119896 119909119908119863119895 119910119908119863119895) применяя

принцип суперпозиции

119901119908119863(119905119863) = sum int 119902119863119895 ∙ 119901prime119863119895119896(119905119863 minus 120591)119889120591 8133

1199051198630

119899119895=1

49

Суммарный поток флюида от всех трещин будет фиксирован

sum 119902119863119895119899119895=1 = 1 и с преобразованием Лапласа - sum 119863119895

119899119895=1 =

1

119904 8134

Преобразование Лапласа для 734 р119908119863119895 = sum 119904119863119895119863119895119896119899119896=1 8135

119863119895119896 = int 119891119863(119904 |119909119908119863119896 minus 119909prime|)(119904 119909119908119863119896 minus 119909prime 119909119908119863119895 119910119908119863119896 119910119908119863119895)119889119909

prime

119909119908119863119896+1

119909119908119863119896minus1

8136

119863119895119896 =sum119891119863119894 int (119904 119909119908119863119896 minus 119909prime 119909119908119863119895 119910119908119863119896 119910119908119863119895)119889119909prime

119889119909119863∙119894

119889119909119863(119894minus1)

119899

119894=1

+ int (119904 119909119908119863119896 minus 119909prime 119909119908119863119895 119910119908119863119896 119910119908119863119895)119889119909prime

minus(119894minus1)∙119889119909119863

minus119894∙119889119909119863

8137

Мощность источников 119891119863(119904 |119909119908119863119896 minus 119909prime|) вычисляется из (81217-

81218) где 119889119909119863 =1

119899 ndash безразмерная длина каждого n сегмента 119891119863119894 -

безразмерная скорость течения через i элемент

Система уравнений (8134-8137) записывается в виде [8]

А = 8138

= (

1199081198631198631⋮119863119899

) 8139

А = (

1 minus119904 ∙ 11986311 ⋯ minus119904 ∙ 1198631119899⋮ ⋮ ⋱ ⋮

1 minus119904 ∙ 1198631198991 hellip minus119904 ∙ 1198631198991198990 1 hellip 1

) 81310

= (

0⋮01 119904frasl

) 81311

50

Для вычисления матричных элементов 119863119895119896 необходима информация о

мощности потока в из всех 119899 трещин ГРП Если считать что каждая трещина ГРП

делится на 2119898 сегментов (рис 8123) тогда система (81310) будет содержать

(1 + 2119898 times 119899) количество уравнений относительно следующих неизвестных

119908119863 11989111986311 hellip 119891119863(2119898)1 hellip 1198911198631119899 hellip 119891119863(2119898)119899 где в 119891119863119894119895 ndash течение через i-й

сегмент в j-й трещине Пользуясь упрощенным подходом можем переписать в

следующем виде[19]

forall119895 isin 1hellip119899 forall119896 = 1hellip119898 ∶ 119891119863119895119896 = 119863119895 ∙ 119891119863119896 81312

При определении мощности источников используется допущение что на

распределение мощности источников внутри каждой из трещин соседние

трещины оказывают слабое влияние Можно предположить что распределения

мощности потока в трещинах симметричны относительно точки пересения со

стволом скважины Элементы матрицы А в (81310) получают по формуле

(8137)

119863119895119896 =sum119891119863119894 int (119904 119909119908119863119896 plusmn 119909prime 119909119908119863119895 119910119908119863119896 119910119908119863119895)119889119909

prime

119889119909119863∙119894

119889119909119863(119894minus1)

81313

119899

119894=1

где функция (hellip ) определяется по табличным формулам в зависимости

от граничных условий и типа зоны дренирования

Для решения СУ используется выражение матрицы в виде произведения

дву нижней треугольной и верхней треугольной (LU-декомпозиция) (Ортега

Дж 1991) Так называемое LU-разложение (LU-декомпозиция) mdash

представление выражение определенной матрицы в виде произведения двух

матриц A = LU где L mdash нижняя треугольная матрица а U mdash верхняя

треугольная матрица [15]

Ниже представлены применяемые в данной работе функции источников

в пространстве Лапласа

Таблица 8131 Функции линейных стоков

51

Тип условий на

границах

Функции линейных стоков

119899119899119899119899 =

=120587

2119909119890119863coshradic1199041198631 + coshradic1199041198632

radic119904 sinhradic119904119910119890119863

+ 2sumcos119896120587119909119863119909119890119863

cos 119896120587(119909119908119863 minus 119909prime)

119909119890119863

cosh 1205981198961198631 + cosh 1205981198961198632120598119896 sinh 120598119896119910119890119863

infin

119896=1

0 17

119888119888119888119888

=120587

119909119890119863sumsin119896120587

119909119863119909119890119863

sin 119896120587|119909119908119863 minus 119909prime|

119909119890119863

cosh 1205981198961198631 minus cosh 1205981198961198632120598119896 sinh 120598119896119910119890119863

infin

119896=1

0 18

119888119899119888119899 =

=120587

2119909119890119863coshradic1199041198631 minus coshradic1199041198632

radic119904 sinhradic119904119910119890119863

+ 2sumcos119896120587119909119863119909119890119863

cos 119896120587(119909119908119863 minus 119909prime)

119909119890119863

cosh 1205981198961198631 minus cosh 1205981198961198632120598119896 sinh 120598119896119910119890119863

infin

119896=1

0 19

Где 119909119890119863 =119909119890

119909119891 119910119890119863 =

119910119890

119909119891 1198631 = 119910119890119863 minus |119910119863 minus 119910119908119863| 1198632 = 119910119890119863 minus (119910119863 + 119910119908119863) 120598119896 =

radic119904 + 11989621205872 1199091198901198632frasl 119909119890 ndash размер площади дренирования по оси x 119910119890 ndash размер

площади дренирования по y 119899 значает границу отсутствия перетока 119888

означает границу постоянного давления

82 РЕАЛИЗАЦИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ИССЛЕДОВАНИЙ

В настоящей работе реализовано решение задачи фильтрации о

нестационарном притоке флюида к скважине при постоянном заданном дебите

для скважин с разным типом заканчивания (вертикальная скважина и

горизонтальная скважина с трещинами МГРП) Математическая модель описана

для задач (Главы 811-813) реализована на языке программирования VBA

Входные параметры приведены на рис 821 Параметры границ задаются

в виде прямоугольника (рис823) Параметры скважины флюида и пласта

задаются при помощи априорной информации Проницаемость рассматривается

как распределение полученных ранее (главе 3)

y

x

y

x

y

52

В ходе решения задачи строится график - кривая стабилизации давления

зависимость изменения забойного давления от времени (рис823)

Рис 821 Входные параметры для модели

Рис 822 Расположение горизонтальной скважины в границах

53

Рис 823 Кривая стабилизация давления

На следующем этапе по последней точке определяется значения kmodel В

зависимости от длительности исследования будь то 50 часов 100 часов и более

будет зависеть погрешность результата определения свойств пласта по

отношению к истинным параметрам (рис 821) К тому же от времени

исследования будут зависеть Capex на проведения исследования

Рассчитанное значение модельное kmodel затем сравнивается с исходным

заданным значением kist В результате получаем отношение модельного значения

kmodel после проведения ГДИ к kist в зависимости от длительности ГДИС (рис

822)

Рис 821 График производной забойного давления

54

Рис 822 Отношение kmodel kist для скважины 11РО

Полученные по проницаемости параметры умножаются на эффективную

мощность пласта-коллектора и затем рассчитанное распределение

интерполируется с другими параметрами в скважинах в точку проектной

По результатам моделирования распределения свойств пласта будут

изменяться уменьшение дисперсии при увеличении длительности исследования

(рис823) Идеальным исследованием считается исследование с длительностью

достаточной для достижения производной давления на билогарифмическом

графике радиального режима течения что указывает на достоверность

параметров по результатам ГДИ (проницаемость и пластовое давление) Чем

ближе длительность исследования к идеальному ГДИ тем ниже

неопределенность в параметрах и тем ближе распределение к идеальному

Моделирование разной длительности исследования проводиться для N ndash

распределений (рис2)

Результаты смоделированного ГДИ позволяют снизить неопределенности

(сузить распределение) в свойствах пласта в точке проектной скважины Для

интерполяции в точку проектной скважины используется метод сплайн ndash

интерполяции [18]

tk model 10 20 30 40 50 60 70 80

50 2288169 1501385 1150108 0948723 0808706 0717031 0640296 0581876

100 1496394 0948581 0717744 0581513 0484438 0414342 0361937 0319311

150 1107448 0689761 0503907 0394864 0322636 0269636 0233048 0203542

200 0949817 0580742 0417822 0318936 0259364 021555 0186095 0163468

250 0818194 0486803 0338246 0259062 0206736 0173204 014824 0129707

300 0705787 0408828 0281063 0211366 0169381 0142083 012167 0106692

350 0627933 0351884 023841 017996 0144702 0119968 0103063 0090319

400 0562852 0307024 0207063 0155316 0124788 010441 0089458 0078395

450 0510211 0272553 0183196 013788 0110431 009172 0079061 0069165

500 0463384 0245037 0164854 0123914 0099043 0082679 007078 0061913

55

Рис823 Изменение распределения в зависимости от времени исследования ГДИ

На рис 824 показано распределение значений проницаемости с учетом

разной длительности исследований ГДИ

Полученное распределение kh в проектной скважине до ГДИ

характеризовалось большей дисперсией по сравнению с распределением после

проведенного ГДИ на скважине

Рис 824 Распределение kh на проектной скважине

ГЛАВА 9 РАСЧЕТ ЭКОНОМИЧЕСКОГО ЭФФЕКТА

ЦЕННОСТИ ИНФОРМАЦИИ

Ожидаемая прибыль запланированной к бурению скважины до проведения

ГДИ рассчитывается с учётом исходного распределения после ГДИ

0

001

002

003

004

005

006

007

008

009

1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800

Пл

отн

ость

вероятн

ости

Пластовое давление атм

Распределения пластового давления

Время длительности ГДИ 50 часовВремя длительности ГДИ 100 часовВремя длительности ГДИ 150 часовВремя длительности ГДИ 200 часов (идеальное исследование)

56

рассчитывается для каждого дискретного варианта исхода из N-возможных и для

разных времен длительности исследования t

На первом этапе расчёта прибыли по методу Монте-Карло определяются

значения проницаемости и пластового давления с вероятностями распределения

равными 10 50 90 и оценивается запускное значение дебита скважины По

соседним скважинам определяются темпы падения дебита скважины

усредненный темп падения используется для проектной скважины

Произведение запускного значения дебита и усредненного темпа падения

характеризует профиль добычи проектной скважины На основе профиля

добычи оценивается NPV проектного бурения который учитывает

операционные затраты и капитальные расходы проекта При оценке NPV после

запланированного исследования в капитальных затратах учитываются расходы

на проведение ГДИ стоимость интерпретации исследования инструментальные

замеры

Ожидаемая ценность EMVwi после проведения ГДИ рассчитывается как

сумма отдельно взятых N - исходов умноженных на соответствующие

вероятности исходов (91)

119864119872119881119908119894 (119905119894) = 1198641198721198811199081198941(119905119894) lowast 1198751 + 1198641198721198811199081198942(119905119894) lowast 1198752 +⋯

+ 119864119872119881119908119894119873(119905119894) lowast 119875119899 =sum119864119872119881119908119894119895(119905119894)

119873

119895=1

(91)

Чистый дисконтированный доход рассчитывается по формуле (92) где

CF ndash денежный поток r ndash ставка дисконтирования I ndash сумма инвестиционных

вложений Непосредственно CF (денежный поток) будет определяться

количеством добываемого флюида [18]

119873119875119881 = sum119862119865119905

(1 + 119903)119905minussum

119868119905(1 + 119903)119905

(92)

Инвестиционные вложения включают операционные затраты ndash Opex

повседневные затраты компании для ведения бизнеса производства товаров и

57

услуг и капитальные затраты - Capex расходы на приобретение или обновление

необоротных активов При проведении ГДИС затраты на спускподъём

оборудования интерпретацию исследования инженером и потеря в прибыли

связанные с остановкой скважины учитываются в Capex

91 EMV БЕЗ УЧЕТА ПРОВЕДЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ

Дебит ndash это ограниченный объем добытой жидкости через скважину за

определенное время Оценки производительности скважин и расчет добычи

скважины проводятся на основе запускного дебита скважины и усредненного

темпа падения дебита на соседних скважинах на протяжении 25 лет В основном

темпы падения строятся исходя из истории эксплуатации на месторождении

анализируется весь набор данных на заданный пласт

Запускной дебит может быть рассчитан по следующим формулам в

зависимости от типа скважины [9]

1) Вертикальная скважина c ГРП

119902 =2120587119896ℎ(119875119894minus119875119908)

120583119861(119897119899119877119890119877119908minus075+119878)

119878 = 1198971198992119903119908

119909119891 (911)

2) Горизонтальная скважина с МГРП

119902 = 2120587kℎ ( 119875119894 minus119875119898

2+119875119908

2) + 119898119876119863 (912)

119876119863 =2120587kℎ(119875119894minus119875119908)

120583119861(119897119899119877119890119877119908minus075+119878)

(913)

С помощью расчёта запускных дебитов а также анализа работы

окружающих скважин были получены результаты темпов падения на рисунке

911 изображены темпы падения с вероятностью Р50 нефти и жидкости за 25 лет

для определенной скважины Также построена гистограмма с накопленной

добычей (рис 911)

58

Рис 931 Темпы падения для скважины

Рис 911 Гистограмма распределения добычи нефти

для скважины 716 до ГДИ

Геологические риски и неопределенности определяют необходимость

создания вероятностной оценки дебитов запасов профилей добычи

Вероятностная оценка по границам возможной минимальной и максимальной

эффективности поможет минимизировать инвестиционные риски проекта

Модуль вероятностной оценки дебитов запасов профилей добычи

основан на теории вероятностей и математической статистики [12] По

многочисленным входным параметрам задаются диапазоны ожидаемых

величин и тип распределения - по проницаемости эффективной

нефтенасыщенной толщины пласта пластовому давлению Источник

информации ndash фактические параметры полученные с карт и распределение с

59

ошибкой их построения Чем меньше неопределенностей тем меньше дисперсия

и разброс ожидаемых параметров в возможных диапазонах

Следующим этапом переходим к расчету экономических параметров

(NPV) по найденным значениям добычи за 25 лет На рисунке изображена

гистограмма NPV и указаны количественные оценки накопленной добычи и NPV

для вероятностей P10 P50 P90 (табл 911)

Рис 04 Гистограмма распределения NPV для скважины 716 до ГДИ

Таблица 921 Показатели добычи и NPV

Вероятность Накопленная добыча нефти тыст NPV млнруб

P10 1937 3012

P50 1128 1547

P90 597 585

60

С помощью выполненных расчетов (табл 911) ожидаемая ценность

проекта бурения скважины без проведения исследований (EMVwoi) составляет

16011 млн рублей

92 EMV БЕЗ УЧЕТА ПРОВЕДЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ

Расчет экономических параметров в случае модерирования исследований

проводится аналогичным образом Для расчета добычных показателей

планируемой скважины рассчитывается также по формулам 911-913 В этом

случае значения проницаемости и пластового давления задаются с помощью

уточнённые параметров после ГДИ с меньшей дисперсией

На рисунке 921 представлено распределение значений пластового

давления умноженного на эффективную нефтенасыщенную толщину после

ГДИ длительностью 150 часов

Рис 921 Гистограмма распределения NPV для скважины после ГДИ длительностью

150 часов

Расчет экономических параметров помимо операционных затрат (OPEX)

в случае моделирования ГДИ будет включать еще Capex ndash это затраты

проведенного исследования (инструментальные замеры спускоподъёмные

операции) который в свою очередь будут зависят от длительности проведения

исследований Также будут включены затраты на работу интерпретатора

исследований которые уже не будут зависеть от длительности В написанном

61

модуле также учитывается потеря прибыли на время остановки скважины

количественно потери будут определяться длительностью остановки скважины

на проведения ГДИ

62

ГЛАВА 10 РЕЗУЛЬТАТЫ

Реализованный модуль в данной работе позволяет определить

необходимость проведения гидродинамического исследования и выдать

рекомендации по продолжительности исследования составить ранжированный

список скважин по эффективности проведения исследований

В таблице 101 представлены результаты экономических параметров и

расчет VOI На графике (рис 101) построенным в осях VOI в зависимости от

времени исследования можно оценить экстремум функции как оптимальное

время для проведения исследования По представленным результатам

целесообразно провести ГДИ на скважине 3 длительностью от 150 часов так как

ценность полученной информации будет наибольшей

Таблица 101 VOI при проведении ГДИ на скважине 3

Продолжительность ГДИ

EMV1 EMV

2 VOI

Целесообразность исследования

50 16116 16111 005 + 100 16135 16111 024 + 150 16198 16111 087 +

200 16127 16111 016 +

250 16033 16111 -078 - 300 16021 16111 -09 -

В случае горизонтальных скважин также был произведен анализ

ценности информации рассчитаны параметры VOI от длительности по времени

Однако для выхода на радиальный режим для случаев горизонтальных стволов

скважин на рассматриваемом месторождении N необходимо более 500 часов что

существенно увеличивает капитальные затраты При расчете большой

длительности на проведения ГДИ обычно скважину не останавливают так как

эти исследования являются крайне затратными В таблице 202 указаны расчёты

при проведении исследования на горизонтальной скважине 5

63

Рис 101 Зависимость VOI от длительности ГДИ

Таблица 102 VOI при проведении ГДИ на скважине 5

Продолжительность ГДИ

EMV2 EMV

1 VOI

Целесообразность исследования

50 1603 1611 -078 - 100 1606 1611 -054 - 150 161 1611 -013 - 250 1612 1611 012 - 350 1611 1611 -006 - 500 1614 1611 024 +

Таблица 103 Ранжированный список скважин-кандидатов для проведения ГДИС

Скважина VOI (t=50) VOI (t=100) VOI (t=150) VOI (t=200) VOI (t=250) VOI (t=300)

3 005 024 087 016 -034 -078 1 003 015 036 073 -021 -064 4 002 012 024 054 -011 -057 2 001 009 011 031 042 -03

Модуль автоматически перебирает выбранный список скважин для

бурения проектной скважины и ранжирует их по ценности информации

проведенных исследований также предлагает наиболее оптимальное время

исследований исходя из экономических параметров (таблица 103)

Апробация и оптимизация инструмента оценки необходимости

проведения гидродинамического исследования проводится на одном из активно

-15

-1

-05

0

05

1

15

0 50 100 150 200 250 300 350

VO

I м

лнр

уб

Длительность ГДИ ч

VOI (Проведение ГДИ нецелесообразно)

VOI (Проведение ГДИ целесообразно)

64

разбуриваемых месторождений В данной работе проводилась аналитика для

бурения 10 проектных скважин По результатам моделирования ГДИ на

скважинах вблизи проектной была проведена оценка ценности информации от

запланированного исследования На рис102 представлена зависимость

определенного VOI от длительности ГДИ если график расположен выше нуля

(VOI gt 0) исследование экономически обосновано проводить Определив

экстремум функции определяется оптимальная длительность исследования

Приводя пример в рассчитанном кейсе для бурения скважины X наиболее

выгодно провести исследования в 3 скважине длительностью 150 часов

Рис 102 Зависимость VOI от длительности ГДИ в скважинах 1234

-1

-05

0

05

1

0 100 200 300 400

VO

I

Длительнось ГДИ

Скв 3 Скв 1 Скв 4 Скв 2

65

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

По результатам магистерской диссертации был реализован инструмент для

оптимального планирования гидродинамических исследований на этапе бурения

проектных скважин с помощью метода VOI

Предложенный в данной работе метод позволяет определить не только

необходимость проведения гидродинамического исследования но и выдать

рекомендации по оптимальной продолжительности исследования

Смоделировав исследования ГДИ на нескольких соседних от проектных

скважин инструмент позволяет ранжировать скважины ndash кандидаты для

гидродинамических исследования по величине ценности информации VOI

В процессе реализации предложенной методики работы было выполнено

следующее

1 Автоматический анализ данных по ранее проведенным

исследованиям определение геологической неопределенности

интересующих параметров (пластовое давление проницаемость) по

всему эксплуатационному фонду скважин на месторождении N

2 Модуль сплайн-интерполяция на языке программирования Python с

помощью которого интерполируются значения параметров

решается задача о нестационарном притоке к скважине с помощью

языка программирования VBA в котором учитываются результаты

моделирования синтетического ГДИ

3 Расчёт плановых показателей добычи на основе распределений Рпл

и kh до проведения исследования и после него в зависимости от

времени исследований

4 Экономический анализ эффективности проведения исследований на

основе методики VOI по результатам которого выполняется

ранжирование скважин по информативности исследований

66

По результатам расчёта на месторождении N выяснили что для бурения

скважины X наиболее эффективно останавливать на ГДИ скважину 3 с

длительностью исследования 150 часов

В заключении реализованный модуль позволяет оценить

целесообразность проведения ГДИ и самое важное экономическое обоснования

планируемых исследований

Возможности реализованного модуля

Автоматизированный анализ геологической неопределённостей по

фильтрационным-емкостным свойствам и пластовому давлению в

зоне планируемого бурения

Экономическое обоснование по проведению гидродинамических

исследований в зоне бурения проектных скважин

Определение оптимальной длительности ГДИС

Ранжирование скважин по информативности проведения

исследований

Экономическое обоснование затрат на ГДИС и последующими

решениями по оптимальному планированию ГДИС на основе

ценности информации

67

ОХРАНА ТРУДА

Преобладающее время по написанию выпускной квалификационной

работы проводилось за персональным компьютером

Согласно рекомендованной инструкцией по охране труда во время работы

на компьютере ТОИ Р-45-084-01 и также при его эксплуатации могут возникнуть

негативное влияние на работника следующие вредные производственные и

опасные факторы

повышенные уровень электромагнитного воздействия

высокая степень статического электричества

низкий уровень ионизации воздуха

нагрузки которые связанны с продолжительным временем сидячим

положением

повышенная нагрузка на органы зрения

болевые симптомы в позвоночнике и пояснице в связи

продолжительным сидячим положением а также венозная

недостаточность и стресс

Для рационального выбора организации рабочего процесса необходимо

минимизировать опасное воздействие на здоровье работающего а также

выполнить все требования эргономики и обезопасить свое рабочее место

Требования к минимизации нагрузки на органы зрения

Высокая нагрузка на органы зрения приводит к ухудшению зрения

возникновению близорукости и других заболеваний что также провоцирует

мигрень и головные боли повышается раздражительность нервное состояние

которое может привести к стрессу

Для избежание негативного воздействия на органы зрения необходимо

уделить особое внимание освещению как помещения так же и рабочих мест так

как степень освещенности напрямую зависит от интенсивности зрительного

напряжения Основное освещение следует размещать сплошными или

прерывистыми линиями светильников которые могут располагаться сбоку от

68

рабочих мест а также параллельно линии зрения рабочего при линейном

расположении мониторов компьютера Если же ПК расположены по всему

периметру помещения тогда линию светильников или ламп следует

расположить локализовано над каждым рабочим местом

Безопасная и рекомендуемая норма освещенности для работника в системе

освещения составляет mdash 150 minus 200 лк По правилам допускается расположение

ламп локального освещения Персональное освещение не должно

способствовать возникновению бликов на поверхности самого экрана а также

освещенность экрана не должна превышать 300 лк Безопасным считается

освещение рабочих мест люминесцентными лампами ЛБ белого света которые

должны использоваться в помещениях с нормальными условиями труда

Экран должен характеризоваться освещенностью не более 300 лк Яркость

ламп основного освещения в части зон углов излучения 50 minus 90∘ в продольной и

поперечной с вертикалью плоскостях может составлять менее 200кдм также

защитный угол светильников может составлять более 40∘

В виде источников света особенно при условии искусственного освещения

следует применять люминесцентные лампы ЛБ (белый свет) и ЛТБ (тепло-

белый) с характеристиками мощностью 40Вт или 80Вт обладающие высокой

световой отдачей (до 120лмВт и более) у которых продолжительный срок

службы (до 10000ч)

В лампах локального освещения допускается использование ламп

накаливания также галогенных Не допускается использование светильников без

рассеивателей и экранных решеток

Организация рабочего места в связи с активностью оператора

Сфера работы оператора ЭВМ характеризуется пониженной мышечной

активностью а также длительным напряжением мышц в статике особенно шеи

рук спины и ног что может привести к утомлению Состояние утомления

существенно возрастает особенно при неоптимальной высоте рабочего стола и

сидения у которого отсутствует опорная спинка или подлокотник а также

острых углах наклона головы нерациональным и неудобном размещении

69

видеотерминала документов и клавиатуры неудобном угле наклона

поверхности экрана отсутствии подставки для ног

Сиденье должно быть удобным и обеспечивать поддержание правильной

рабочей позы которое будет позволять изменять положение с целью

уменьшение напряжения мышц шейно-плечевой области Лучший способ - это

когда рабочее кресло оборудовано подъемно-поворотным которое регулируется

по высоте и по углам наклона спинки причем регулировка каждого параметра

должна быть независимой

Рабочее место работника следует обеспечить подставкой для ног (п 93 и

105 СанПиН 222241340-03) Поверхность подставки обязательно должна

быть рельефной и характеризоваться высотой переднего края 10 мм

Требования пожаробезопасности

Согласно ГОСТ 121004-91 следует помнить о существующих мерах

предосторожности и опасных факторах огонь пламя и дым также высокая

температура токсичные продукты горения и их термическое разложение

сниженная концентрация кислорода Противопожарную защиту обеспечивают

следующими мерами

Использование средств пожаротушения наличие сигнализации и

устройств тушения в помещениях которые способны ограничивать

распространение пожара наличие специальных средств индивидуальной

защиты

Противопожарные перегородки и отсеки устройства автоматического

отключения систем

Специальная планировка эвакуационных выходов

Системы оповещения людей по громкоговорителю

Технические средства для эвакуации людей

Присутствие огнетушащих веществ

70

Система вентиляции здания должна содержать оборудования и устройства

которые обеспечивают автоматическое отключение при пожаре и

огнедымозадерживающими устройствами Система электропитания

персонального компьютера должна иметь блокировку которая отключает его в

случае пожара

71

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1 Байков ВА Бакиров НК Яковлев АА Математическая геология

учебное пособие ndash Москва-Ижевск 2012 ndash 228с

2 Гуляев Д Н Кокурина В В Кременецкий М И и др Формирование

системы промыслового мониторинга на основе долговременных иссле-

дований стационарными датчиками на приеме насоса Нефтяное хозяй-

ствоraquo 12 2009 С 41ndash44

3 Демьянов В В Савельева Е А Геостатистика теория и практика

учебное пособие ndash Москва 2010 ndash 327с

4 Каневский МФ Демьянов ВВ Савельева ЕА и др Элементарное

введение в геостатистику Москва ВИНИТИ 1999 ndash 136с

5 Каневская Р Д Математическое моделирование разработки месторож-

дений нефти и газа с применением гидравлического разрыва пласта М

Недра-Бизнесцентр 1999 ndash 212 с

6 Кременецкий М И Ипатов А И Гуляев ДН Информационное

обеспечение и технологии гидродинамического моделирования нефтяных

и газовых залежей [Книга] - Москва-Ижевск Ижевский институт

компьютерных исследований 2011 ndash 896с

7 Леонтьев Н Е Основы теории фильтрации [Книга] - Москва ЦПИ при

механико-математическом факультете МГУ 2009 ndash 88с

8 Ортега Дж Введение в параллельные и векторные методы решения

линейных систем [Книга] - Москва Мир 1991 ndash245с

9 Abramowitz M IA Stegun Handbook of Mathematical Functions [Книга] -

New York Dover Publications Inc ndash 1972

10 Churchill RV Operational Mathematics [Книга] - New York McGraw-Hill

Book Co Inc ndash 1972

11 Gringarten AC and Ramey HJ The Use of Source and Greenrsquos Functions in

72

SolvingUnsteady-Flow Problems in Reservoirs [Книга] - SPEJ 1973 ndash245с

12 Houzeacute O Viturat D Fjaere O-S Dynamic data analysis [Книга] - Kappa

2008

13 Joshi SD Horizontal Well Technolog [Книга] - Tulsa Oklahoma Penwell

Published Compan 1991

14 Stehfest H NumericalInversionof LaplaceTransforms [Книга] -

Communicationsofthe ACM 1970

15 The Society of Petroleum Engineers Введение в нефтяной инжиниринг

[Книга] - Москва-Ижевск Институт компьютерных исследований 2014

16 Van Everdingen AF and HurstW W The Application of the Laplace

Transformation to Flow Problems in Reservoirs [Книга] - AIME 1953

17 Stehfest H NumericalInversionof LaplaceTransforms

Communicationsofthe ACM 1970

18 Gringarten AC and Ramey HJ The Use of Source and Greenrsquos Functions in

SolvingUnsteady-Flow Problems in Reservoirs бм SPEJ 1973

19 Jan R Williams Susan F Haka Mark S Bettner Joseph V Carcello

Financial amp Managerial Accounting 2008

ОХРАНА ТРУДА 67

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 71

6

ВВЕДЕНИЕ

Результаты гидродинамических исследований (ГДИ) являются ключевой

информацией при планировании и контроле разработки месторождений

Результаты интерпретации исследований позволяют определить и уточнить

геологическое строение контролировать и вести мониторинг энергетического

состояния пласта и разработки месторождения определять текущее состояние

скважины и пласта обосновывать и контролировать эффективность геолого-

технологических операций Тем не менее полный охват действующего фонда

скважин гидродинамическими исследованиями в большинстве случаев

затруднён в связи с технологическими ограничениями и затратами на проведение

исследования (в том числе потерь по добыче нефти вследствие остановки

скважин ГДИ)

При планировании программы гидродинамических исследований скважин

специалисты часто сталкиваются с проблемой значительных ограничений по

лимиту потерь добычи нефти В данных условиях выбор скважин как правило

осуществляется из числа малодебитных скважин

Одновременно с этим основной задачей при планировании ГДИ является

оценка длительности исследования обеспечивающая регистрацию данных на

радиальном режиме фильтрации Однако выход на радиальный режим течения

особенно для горизонтальных скважин с трещинами многостадийного

гидравлического разрыва пласта и к тому же вскрывающих низкопроницаемые

коллектора зачастую может превышать десяти суток Результаты проведения

исследований с длительностью не позволяющей регистрировать радиальный

режим течения как правило являются малоинформативными Вследствие чего

при планировании длительности ГДИ необходимо определять баланс между

затратами на проведение исследования и ценностью информации которую даёт

исследование

7

Оптимизация процессов планирования гидродинамических исследования

включающая выбор скважин ndash кандидатов под ГДИ и определение длительности

исследования является актуальной задачей при мониторинге разработки

месторождения

В магистерской диссертации рассмотрен подход оптимального

планирования проведения ГДИ на основе методики по оценке ценности

информации VOI В методике предполагается проводить исследования на

скважинах действующего фонда которые располагаются возле проектной зоны

бурения да начала бурения скважин с целью снижения неопределенностей в

свойствах пласта в зонах проектного бурения Результатом разработанного

подхода является инструмент позволяющий ранжировать скважины для

гидродинамических исследований и выбирать оптимальную длительность

исследования

8

ГЛАВА 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕННОСТИ ИНФОРМАЦИИ НА

ОСНОВЕ VOI

Ценность информации (Value of information) ndash это разность между

ожидаемой стоимостью проекта с учетом и без учета полученной информации в

результате исследований Критерий ценности информации позволит

охарактеризовать экономическую выгоду результатов исследований а также

произвести оценку эффективности программы геологоразведочных работ

Появившиеся тенденции разработки месторождений характеризующиеся

сложным геологическим строением и высокой степенью неопределённостью

требуют новых методик экономической оценки ценности проектов В связи с

повышением стоимости геологоразведочных работ месторождений

находящихся в удаленных регионах на шельфе подход основанный на

экономической ценностью информации является актуальным Расчет VOI

позволяет найти наиболее экономически выгодную программу исследований

оценить ее достаточность оптимальность определить ценность информации

единичного исследования Статистический подход к развитию возможных

вариантов исхода поможет количественно оценить риски проекта составить

оптимальную программу разработки месторождения на основе дерева решений

Процесс принятия решению можно визуализировать в виде дерева

решения графического метода анализа информации который вкачает в себя

узлы решения вероятности и окончания Последовательность

взаимоисключающих событий реализация сценариев включающих риски и

неопределенности приводит к достижению поставленной цели при заданных

вероятностях

Решения принимаются в узлах решений Ветви исходящие из любого

узла решений представляют собой все возможные выборы которые имеются на

данный момент времени у принимающего решения

9

Неопределенные результаты возникают в узлах вероятности (случая)

Ветви исходящие из любого узла вероятности представляют все результаты

которые могут возникнуть в некоторый момент времени и их вероятности в

сумме должны быть равны 1 Исходной веткой (перед самим узлом) могут

являться как альтернативы узла решений так и исходы предыдущего узла

вероятности

Узел окончания обозначает завершение каждой ветки и не подразумевает

дальнейшее ветвление Справа от него в строчку записывается итоговая

вероятность данной ветки (считается перемножением вероятностей данной

ветки по всем узлам вероятности) и финансовый результат данной ветки

(сценария)

Рис 11 Пример простого дерева решений

Концепция VOI (рис 12) основана на расчете разницы ожидаемой

денежной проекта после проведения исследования (EMV2) и без информации

(EMV1) ndash dNPV [3] которая возникает в связи с риском принятия неэффективного

решения из-за существующей неопределенности параметров объекта

исследования

Рис 12 Пример простого дерева решений

10

Снижение диапазона неопределённости позволяет принять более

эффективные инвестиционные решения и тем самым повысить ценность

проекта Оценка наиболее оптимальных решений до и после проведения

исследования входит в оценку EMV по веткам дерева решений что позволяет

оценить VOI от проведения работ

Ценность информации будет являться нулевой в случаях если информация

не приносит снижения диапазона неопределенности и если снижение

неопределенности не несет никаких изменений в дальнейших решениях по

проекту Оценка ценности информации позволяет на количественном уровне

оценить экономическую целесообразность проведения ГДИ и вовремя

отказаться от проведения неэффективных исследований тем самым увеличив

стоимость проекта

ГЛАВА 2 ОБЗОР ВХОДНЫХ ДАННЫХ

Реализованный модуль прошел апробацию на восточной части

месторождения N В текущей постановке предложенная методика для оценки

ценности информации и необходимости проведения гидродинамических

исследований проводилась на стадии планирования бурения (Рис 01 Карта

проницаемости пласта месторождения N)

11

Рис 01 Карта проницаемости пласта месторождения N

Месторождение N как и многие давно разрабатываемые активы покрыты

частой сеткой гидродинамических исследований в скважинах Однако

превосходящая часть этих исследований была осуществлена в течении 3-4 лет

назад данный факт существенно снижает корректность информации

полученной в результате исследований о текущем пластовом давлении и

фильтрационно-емкостных характеристиках пласта

Проницаемость горных пород пласта - это способность пород пласта-

коллектора пропускать флюид (жидкость воду и газ) при депрессии на пласт

Проницаемость является фильтрационным параметром горной породы который

определяет скорость фильтрации жидкости в среде Проницаемость пористой

среды будет зависеть не только от размера и расположения пор относительно

друг друга но также от характера движения фильтрующихся флюидов (нефть

вода газ)

Пластовое давление (Рпл) ndash это параметр который характеризует энергию

нефтегазоносных пластов Пластовым называют давление которым флюиды

воздействуют на вмещающие их породы Это давление возникает из

гидростатического давления то есть избыточного давления (архимедовой силы)

которое возникает в результате изменения объёма резервуара (порового

пространства пласта) и так же за счёт расширения (или сжатия) флюидов и

изменения их массы вследствие эксплуатации скважинами Существуют

понятия начального пластового давления и текущего пластового давления

Начальное определяют как исходный показатель которым характеризовался

пласт до вскрытия скважиной Текущим пластовым давлением определяют как

меняющийся в ходе разработки месторождения динамический параметр Один

из важных параметров в процессе разработки месторождения ndash это дебит

скважины (q определяют как объём флюида (воды нефти или газа) поступает в

единицу времени) Данная характеристика напрямую будет зависеть от

величины пластового давления и емкостных-фильтрационных свойств пласта

119875пл ndash динамический параметр по этой причине для эффективной разработки

12

месторождения необходима информация о текущем энергетическом состоянии

пласта и его проницаемости

Пластовое давление и проницаемость могут быть получены в результате

интерпретации гидродинамических исследований (глава 5) Однако

длительность исследований и их качество порой оказываются недостаточными

для корректного определения этих параметров В данной работе реализуется

алгоритм моделирования синтетических исследований (глава 8) для оценки

погрешности в зависимости от их длительности

ГЛАВА 3 МЕТОДИКА ОПТИМАЛЬНОГО

ПЛАНИРОВАНИЕ ИССЛЕДОВАНИЙ

Результатом интеграции методологии ценности информации и

планирования гидродинамических исследований является реализованный

инструмент позволяющий определить необходимость проведения исследования

на действующей скважине вблизи проектной С целью определения VOI

инструмент последовательно решает следующие задачи

1 Определение исходных распределений проницаемости (k) и

пластового давления в действующих скважинах (глава 2)

2 Интерполяция исходных распределений в точку проектной

скважины (глава 4)

3 Моделирование исследований ГДИ на действующих скважинах

расположенных вблизи проектной скважины и определение распределений

проницаемости и пластового давления с учётом результатов исследований (глава

8)

4 Интерполяция измененных распределений в точку проектной

скважины (глава 4)

5 Расчёт ожидаемой прибыли проектной скважины без проведения

исследования ГДИ (EMVwoi) (глава 91)

13

6 Расчёт ожидаемой прибыли проектной скважины с учётом

проведения исследования ГДИ (EMVwi) (глава 92)

При проектировании скважины значения проницаемости и пластового

давления определяются по имеющимся картам распределения свойств В свою

очередь построение карт основывается на результатах проведения

гидродинамических исследований По причине наличия погрешностей при

построении карт распределения свойств и погрешностей в результатах

гидродинамических исследований значения проницаемости и пластового

давления с карт зачастую не являются аналогичными результатам ГДИ

На первом этапе инструмент оценивает распределение параметров

основываясь на определении отношения (έ) значений проницаемости и

пластового давления определенных по результатам ГДИ к значениям

определенным по картам пластового давления и проницаемости (рис1)

Параметр έ характеризует отклонения результатов исследований от карт и таким

образом описывает неопределенность в параметре Определив параметр έ для

каждого имеющегося гидродинамического исследования оценивается

распределение отклонений έ для каждого параметра (проницаемости и

пластового давления) Разработка методологии проводилась на существующем

месторождении в результате параметр έ для проницаемости имел

логнормальное для пластового деления нормальное распределение (рис31)

Распределения свойств пласта в точках существующих скважин до

проведения гидродинамического исследования определяется путем

произведения распределений έ на значение параметра пласта с актуальной карты

[1]

14

Рис31 Распределения отклонений значений проницаемости и пластового давления по

результатам ГДИ от значений с карт

На следующем этапе инструмент интерполирует исходные распределения

в точках действующих скважин в точку проектной скважины Для интерполяции

используется метод сплайн ndash интерполяции который оценивает значения

используя математические функции В результате интерполяции для проектной

скважины определяются распределения проницаемости и пластового давления

до проведения гидродинамического исследования

Возможные реализации проницаемости и пластового давления имеют

широкие исходные распределения и являются непрерывными величинами по

этой причине перед моделированием ГДИ исходные распределения в точках

существующих скважин разбиваются на N-количество дискретных исходов

(рис32) Количество исходов (N) определяется на основе точности

погрешности результатов ГДИ Точность результатов ГДИ определяется

экспертным образом Вероятности исходов определяются на основе данных

вероятностного моделирования путем деления всего диапазона исходов

значений N - дискретных исходов и определение количества реализаций

которые можно отнести к каждому исходу При моделировании 100 значений

проницаемости если скважина в 20 реализациях попала в первое распределение

вероятность должна быть определена 20

0

02

04

06

08

1

12

14

00 10 20

Пл

отн

ость

ве

ро

ятн

ости

έ = (Рпл по ГДИ) (Рпл с карт)

Распределение έ значений проницаемости

0

02

04

06

08

1

12

14

00 05 10 15 20

Пл

отн

ость

ве

ро

ятн

ости

έ = (119896 по ГДИ) (119896 с карт)

Распределение έ значений пластового давления

15

Рис 32 Разбиение исходного распределения пластового давления на дискретные

значения

Для оценки распределений свойств пласта в точке проектной скважины

после проведения гидродинамического исследования необходимо создать

синтетическое ГДИ Моделирование запланированного ГДИ проводится путём

решения задачи о нестационарном притоке к скважине с постоянным дебитом на

основе исходных распределений свойств пласта

Уравнением описывающим процессы происходящие при исследованиях

ГДИ является уравнение пьезопроводности Данное уравнение (31) описывает

неустановившееся однофазное одномерное течение флюида в пористой среде и

выражает связь между пластовым давлением временем и расстоянием от

скважины до точки наблюдения Решение уравнения пьезопроводности (32) для

простого случая работы вертикальной скважины в бесконечном пласте позволяет

получить модель характеризующую перераспределение давления в пласте

1

120594

120597120549119875

120597119905=1

119903

120597

120597119903(119903120597120549119875

120597119903) (31)

∆119875(119905 119903) = minus9205119902119861120583

119896ℎ119864119894 (minus

1199032

000036120594119905) (32)

где (q ndash дебит скважины м3сут B ndash объёмный коэффициент 120583 ndash

вязкость жидкости cпз k ndash проницаемость мД h ndash мощность пласта

м r ndash радиус м χ ndash пьезопроводность мД(спзатм-1) t ndash время ч)

16

Ожидаемая прибыль запланированной к бурению скважины до проведения

ГДИ рассчитывается с учётом исходного распределения после ГДИ

рассчитывается для каждого дискретного варианта исхода из N-возможных и для

разных времен длительности исследования t

На первом этапе расчёта прибыли по методу Монте-Карло определяются

значения проницаемости и пластового давления с вероятностями распределения

равными 10 50 90 и оценивается запускное значение дебита скважины По

соседним скважинам определяются темпы падения дебита скважины

усредненный темп падения используется для проектной скважины

Произведение запускного значения дебита и усредненного темпа падения

характеризует профиль добычи проектной скважины На основе профиля

добычи оценивается NPV проектного бурения который учитывает

операционные затраты и капитальные расходы проекта При оценке NPV после

запланированного исследования в капитальных затратах учитываются расходы

на проведение ГДИ стоимость интерпретации исследования инструментальные

замеры

Ожидаемая ценность EMVwi после проведения ГДИ рассчитывается как

сумма отдельно взятых N - исходов умноженных на соответствующие

вероятности исходов (33)

119864119872119881119908119894 (119905119894) = 1198641198721198811199081198941(119905119894) lowast 1198751 + 1198641198721198811199081198942(119905119894) lowast 1198752 +⋯

+ 119864119872119881119908119894119873(119905119894) lowast 119875119899 =sum119864119872119881119908119894_119895(119905119894)

119873

119895=1

(33)

По результатам моделирования ГДИ на скважине вблизи проектной

проводится оценка ценности информации от запланированного исследования

Реализуется построение зависимости VOI от длительности ГДИ где график

расположен выше нуля (VOI gt 0) следует что исследование экономически

обосновано проводить По результату работы модуля выполняется

17

ранжирование скважин с оптимальным временем проведения ГДИ на основе

ценности информации

ГЛАВА 4 МЕТОДЫ ИНТЕРПОЛЯЦИИ

Определения параметров пласта в области с отсутствующими прямыми

измерениями осуществляются с помощью пространственной интерполяции

Одним из основных методов построения карт параметров пласта является

сплайн-интерполяция

Для построения распределения свойств пласта в определённой зоне

используют ограниченное значение количественных измерений интересующего

параметра Z в точках (Xi Yi) Данные точки определяются как точки выборки

(точки наблюдений) Цель пространственной интерполяции ndash получить значения

пространственной переменной Z на площади где отсутствуют исследования с

минимально погрешностью Необходимо интерполировать из точек Z(xi) в

определенную точку Z(x) на основе анализа имеющихся в базе значений (Рис 42)

Рис 42 Интерполяция в точку Z(x)

Подход интерполяции напрямую опирается на измеренные значения в

точках и интерполируются с помощью подбора математической функции

определяя слаженность результирующей формы [4]

В данной работе был реализован метод сплайн-интерполяции

Сплайн-функцией 119904(119909) 119909 isin [119886 119887] называется функция которая в

каждом частичном отрезке [119909119894minus1 119909119894] является полином некоторой степени и

имеет на заданном [119886 119887] производную до некоторого порядка Под степенью

18

сплайна подразумевают максимальную степень полинома по каждому из

отрезков [119909119894minus1 119909119894] а под дефектом сплайна ndash разность между соответствующей

степенью сплайна и порядком наивысшей производной на заданном отрезке

[119886 119887]

Интерполяция сплайнами является кусочно-полиномиальной

интерполяцией Основная теория сплайн-интерполяции заключается том что на

каждом шаге интерполяции (разбиваемом промежутке между узлами)

осуществляется аппроксимация в форме определенной полиномиальной

зависимости Для каждого шага итерации осуществляется подборка полинома

таким образов чтобы выполнялись граничные условия на концах отрезка

Условия для сплайна полинома степени n должны обеспечивать непрерывность

производных порядка степени (n-1) Наиболее распространённые и имеющие

широкую практическую применимость являются кубические сплайны

41 КУБИЧЕСКИЙ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ СПЛАЙН

Кубическим интерполяционным сплайном 119904(119909) называется функция

которая удовлетворяет следующим условиям

1 На каждом определенном отрезке [119909119894minus1 119909119894] 119904(119909) является полином

третьей степени то есть

119904(119909) = 1198860(119894)1199093 + 1198861

(119894)1199092 + 1198862

(119894)119909 + 1198863

(119894) 119909 isin [119909119894minus1 119909119894] (411)

2 119904(119909) isin 119862[119886119887]2

3 119904(119909119894) = 119891119894 119894 = 0 1hellip 119899

4 119904primeprime(119886) = 119904primeprime(119887) = 0

Коэффициенты 1198860 1198861

1198862 1198863

рассчитываются независимо от каждого

промежутка интерполирования [14]Рассмотрим как строится кубический

сплайн Обозначим через 119898119894 = 119904primeprime(119909119894) 119894 = 0hellip 119899 minus

величина называемая моментом

19

119904primeprime(119909) - линейная функция и для каждого отрезка она совпадает с

интерполяционной функцией полинома Лагранжа первой степени

Проинтегрировав получившееся равенство определяется из условия 3

искомые константы находятся в виде сплайна 119904(119909) на частичном отрезке

[119909119894minus1 119909119894]

119904(119909) = 119898119894minus1

(119909119894 minus 119909)3

6ℎ+119898119894

(119909 minus 119909119894minus1)3

6ℎ+ (

119891119894 minus 119891119894minus1ℎ

minus (119898119894 minus119898119894minus1)ℎ

6) (119909 minus 119909119894)

+ 119891119894 minus119898119894

ℎ2

6 (412)

Определяем моменты 119898119894 119894 = 0hellip 119899 с помощью условий 2 3 4

выводим систему следующего вида

1198980 = 0ℎ

6119898119894minus1 +

2

3ℎ119898119894 +

ℎ

6119898119894+1 =

119891119894minus1 minus 2119891119894 + 119891119894+1ℎ

119894 = 1hellip 119899 minus 1 (413)

119898119899 = 0

Запишем следующие вектора

119898 =

(

11989801198981

⋮119898119899minus1119898119899 )

minus (119899 + 1) minus мерный (414)

119892 =

(

1198910 minus 21198911 + 1198912ℎ⋮

119891119899minus2 minus 2119891119899minus1 + 119891119899ℎ )

minus (119899 + 1) minus мерный (415)

и матрицу

20

119860 =

(

1 0 0 01

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ 0

01

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ

⋯0 0 0 00 0 0 00 0 0 0

⋮ ⋱ ⋮

0 0 0 00 0 0 00 0 0 0

⋯

1

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ 0

01

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ

0 0 0 1 )

minus (119899 + 1) times 6(119899 + 1)

minus мерную (416)

Сходимся в необходимости решить следующую систему (417)

119860119898 = 119892 (417)

Данная система представляет собой систему с трёхдиагональной

матрицей и с диагональным преобладанием Для необходимости её решения

потребуется применить метод прогонки который возможен для систем

следующего вида

1198980 = 11989611198981 + 1198920119886119894119898119894minus1 + 119887119894119898119894 + 119888119894119898119894+1 = 119892119894 119894 = 1hellip 119899 minus 1

119898119899 = 1198962119898119899minus1 + 119892119899 (418)

где

119886119894120572119894 + 119887119894 ne 0 119894 = 1hellip 119899

1 minus 1198962120572119899 ne 0 (419)

где 120572119894 в свою очередь - это

1205721 = 1198961

120572119894+1 = minus119888119894

119886119894120572119894 + 119887119894 119894 = 1hellip 119899 minus 1 (4110)

Следующая методика прогонки представлена в двух частях прямой хода

и обратный хода Прямой ход выявляет следующие величины

21

1205721 = 11989611205731 = 1198920

120572119894+1 = minus119888119894

119886119894120572119894 + 119887119894 119894 = 1hellip 119899 minus 1 (4111)

120573119894+1 = minus119892119894 minus 119886119894120573119894119886119894120572119894 + 119887119894

119894 = 1hellip 119899 minus 1

Далее следует обратный ход в порядке уменьшения индексов определяет

искомые параметры

119898119899 =

119892119899 + 11989621205731198991 minus 1198962120572119899

119898119894 = 120572119894+1119898119894+1 + 120573119894+1 119894 = 119899 minus 1hellip 0

(4112)

Сплайн 119904(119909)математически определён формулой представленной выше

42 КУБИЧЕСКИЙ СГЛАЖИВАЮЩИЙ СПЛАЙН

Метаматематическая модель кубического сглаживающего сплайна

заключается в том что в узлах 119909119894119894=0119899 sub [119886 119887] определенные значения функции

119891(119909) могут быть заданы с погрешностью 119891119894=0119899

В таких моделях с дефектом 1

кубический интерполяционный сплайн будет реализован с достаточно большой

погрешностью вследствие построения с неточными значениями В большинстве

случае реализуют построение кубического сглаживающего сплайна в котором

решается следующая экстремальная задачи

119906 =119894119899119891

119906 isin 11988222[119886 119887]

120567(119906) (421)

где 11988222[119886 119887] ndash пространство Соболева вещественных функций с нормой

1199062 = int(|119906(119909)|2 + |119906primeprime(119909)|2)119889119909

119887

119886

(422)

а функционал

22

120567(119906) = int |119906primeprime(119909)|2 119889119909

119887

119886

+sum119901119894(119906(119909119894) minus 119891119894)2

119899

119894=0

119901119894 gt 0 119894 = 0hellip 119899 (423)

строго неотрицательный выпуклый полунепрерывный снизу

вследствие слабой сходимости

Однозначно решение данной задачи существует и является единственным

решением Введем единственное решение 1199060(119909) также обозначим значения

119910119894119894=0119899 следующим образом

119910119894 = 1199060(119909119894) 119894 = 0hellip119899 (424)

Можем построить кубический интерполяционный сплайн 119904(119909 119910)

119904(119909119894 119910) = 119910119894 Данное полученное решения является равным 1199060

Оценим вид интерполяционного сглаживающего сплайна

Введём в рассмотрение отображение 119866(119910) ℝ119899+1 rarr ℝ

119866(119910) = 120567(119904(middot 119910 )) = int |119904primeprime(119909)|2 119889119909

119887

119886

+sum119901119894(119904(119909119894) minus 119891119894)2

119899

119894=0

=

sum int |119904primeprime(119909)|2 119889119909

119909119894

119909119894minus1

119899

119894=1

+sum119901119894(119904(119909119894) minus 119891119894)2 (425)

119899

119894=0

Получаем исходную экстремальную задачу эквивалентную поиску

min119910isin ℝ119899+1

119866(119910) (426)

Исходя из того что 119904(119909 119910) ndash является кубическим интерполяционным

сплайном запишем

119904primeprime(119909119894 119910) = 119898119894 119894 = 0hellip119899 (426)

1198980 = 0119898119899 = 0 (427)

Вводим (119899 minus 1) times (119899 minus 1)-мерную матрицу

23

119860 =

(

2

3ℎ

1

6ℎ 0 0

1

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ 0

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

0

0

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

01

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ

0 01

6ℎ

2

3ℎ)

(428)

(119899 minus 1)-мерный вектор

119898 = (

1198981

⋮119898119899minus1

) (429)

(119899 minus 1) times (119899 + 1)-мерную матрицу

119867 =

(

1

ℎminus1

2ℎ

1

ℎ0 ⋯ 0 0 0 0

⋯

0 0 0 0 ⋯ 01

ℎminus1

2ℎ

1

ℎ)

(4210)

невырожденную (119899 + 1) times (119899 + 1)-мерную матрицу

119875 = (1199010

⋱119901119899

) (4211)

и (119899 + 1)-мерный вектор

119891 = (1198910⋮119891119899

) (4212)

получаем следующую систему уравнений в которой вычисляем моменты

119898

(119860 + 119867119875minus1119867lowast)119898 = 119867119891 (4213)

Данная система решается методом Гаусса Затем можем выразить

119910 = minus119875minus1119867lowast119898 + 119891 (4214)

(4214) - точку глобального минимума для заданного отображения 119866(119910)

В итоге получаем форму сглаживающего сплайна

24

119904(119909) = 119898119894minus1

(119909119894 minus 119909)3

6ℎ+119898119894

(119909 minus 119909119894minus1)3

6ℎ+ (119910119894minus1 minus

ℎ2

6119898119894minus1)

119909119894 minus 119909

ℎ

+ (119910119894 minusℎ2

6119898119894)

119909 minus 119909119894minus1ℎ

(4215)

119909 isin [119909119894minus1 119909119894] 119894 = 1hellip119899 (4216)

ГЛАВА 5 ОСНОВЫ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО

ИССЛЕДОВАНИЯ СКВАЖИН

Основой ГДИС являются решение нестационарной задачи фильтрации

Рис 51 а) б) формирование радиальной воронки депрессии после пуска

добывающей и нагнетательной скважины в) г) расформирование радиальной

воронки депрессии после остановки добывающей и нагнетательной скважины

Tmdash время прошедшее после пуска скважины tmdash время прошедшее после

остановки скважины[6]

флюидов в порово-упругой среде Они основываются на изучение процессов

формирования и релаксации полей давления в пласте и в скважине в

зависимости от типа воздействия (закачка или отбор флюида) (рис51) Арсенал

технологий исключительно разнообразен и включает самые различные методы с

различной продолжительностью и интенсивность воздействия на пласт Каждая

технология представляет совокупность циклов (базовых элементов)

Определение каждого из них ndash регистрация разницы давления во времени после

изменения дебита скважины на заданной глубине Продолжительностью цикла

25

обуславливается решаемой задачей глубинностью условием и объектом

исследования

Гидродинамические исследования предполагают синхронные измерения

давления и расхода на фиксированной глубине при переходных режимах

эксплуатации скважины Основными элементами технологий ГДИС стабильно

работающих скважин являются способы предполагающие регистрацию

изменения давления во времени

после пуска скважины на стабильный режим отбора или закачки

(кривая стабилизации давления (КСД) -пуск) или при переходе с

одного стабильного режима на другой (КСД-режим)

после остановки скважины стабильно или циклически работавшей

в режиме отбора (кривая восстановления давления КВД) или

закачки (кривая падения давления - КПД)

Решение прямой задачи ГДИС состоит в оценке изменения давления на

забое скважины при заданном изменении дебита и для конкретной модели

скважины и пласта

К наиболее часто используемым моделям относится скважина со скин-

фактором в однородном изотропном пласте при радиальном режиме течения

При пуске скважины с постоянным расходом QАТ[м3с]=const (расход

соответствует условиям атмосферы) изменение давления РС [Па] во времени

tРАБ[с] прошедшем с момента пуска описывается асимптотической

формулой точность которой повышается с увеличением tРАБ

РАБRRРАБ

ПРС

OАТCПЛ tt

r

χ

επ

BQPP

lnln

252ln

4 2

_

(51) επ

BQ OАТR

4

2

_

252ln

ПРС

RRr

χ

kh

k

S

CПРС err _

Другие обозначения принятые в данных формулах PПЛ [Па] ndash первоначальное

пластовое давление [Пас] - динамическая вязкость фильтрующегося флюида Во[безразм]

26

ndash объемный коэффициент флюида [м3Па с] ndash гидропроводность пласта [м2с] ndash

пьезопроводность пласта k [м2] ndash проницаемость пласта КП [в долях]ndash пористость пласта h[м]

ndashэффективная работающая толщина пласта s[безразм] ndash интегральный скин-фактор rС_ПР [м]

ndashприведенный радиус скважины rС[м] ndashрадиус скважины [Па-1] ndash интегральная

сжимаемость пористой среды

При остановке скважины работавшей с постоянным расходом QАТ[м3с] =const в

течение времени tРАБ[с] изменение давления РС[Па] во времени tОСТ[с] прошедшем с

момента остановки описывается асимптотическими формулами (для больших значений tОСТ)

ОСТ

ОСТРАБRПЛ

ОСТ

ОСТРАБОАТПЛC

t

tP

t

tВQPP

tln

tln

4

(52

)

ОСТРАБ

ОСТРАБRR

ОСТРАБ

ОСТРАБ

ПРС

ОАТНАЧC

t

t

t

t

r

ВQPP

t

tln

t

tln

252ln

4 2

_

(53

)

где PНАЧ [Па] ndash давление в момент остановки скважины (tОСТ =0)

Следует обратить внимание что соотношения (51) и (53) оперируют с

разностью текущего и начального давления цикла (в первом случае в качестве

начального выступает пластовое давление а во втором ndash давление в момент

остановки скважины) В отличие от этого соотношение (52) оперирует с

абсолютной величиной давления

С математической точки зрения названные способы представления

данных идентичны Но каждый из них оптимален для решения конкретной

задачи интерпретации гидродинамических исследований Уравнения (51) и (53)

позволяют выделить влияние скин-фактора Основная цель использования

формулы (52) оценка абсолютной величины пластового давления

Абсолютная величина тангенса угла наклона асимптоты () для всех без

рассмотренных зависимостей одинаков и определяется величиной

гидропроводности пласта

Рис52 иллюстрируют поведение давления во времени при запуске

скважины в зависимости от дебита в цикле исследований (а) проницаемости

пласта (б) и скин-фактора (в) Основной недостаток подобного представления

27

результатов в низкой наглядности В частности очень трудно различить

особенности влияния основных информативных факторов ГДИС ndash

фильтрационных свойств пласта (проницаемости) и характеристик

совершенства вскрытия (скин-фактора)

Рис52 особенности поведения давление при пуске скважины (КСД)

а) Влияние расхода Q=QАТВо-расход PС ndashдавление РПЛ- начальное

пластовое давление tРАБ=0 момент пуска скважины (Q1ltQ2ltQ3)

б) Влияние проницаемости Q-расход PС ndashдавление РПЛ- начальное

пластовое давление tРАБ=0 момент пуска скважины (k1gtk2ltk3)

в) Влияние проницаемости скин-фактора Q-расход PС ndashдавление РПЛ-

начальное пластовое давление tРАБ=0 момент пуска скважины (s3gts2lts1)

В ГДИС используются специальные способы представления данных

позволяющие сделать их интерпретацию более наглядной

Рис53 иллюстрирует основные способы представления результатов

ГДИС для исследования добывающей скважины включающей цикл I запуска с

постоянным расходом (КСД-пуск) и цикл II остановки (КВД)

PCQ

PCQ

t=to

Q

PC (k=k1)

PC (k=k3)

PC (k=k2)

PC=PПЛ tРАБ

Q1

PC=PПЛ

t=to

Q2

Q3

PC (Q=Q1)

PC (Q=Q2)

PC (Q=Q3)

PCQPC=PПЛ

Q

PC (s=s1)

PC (s=s2)

PC (s=s3)

а)

б)

в)

tРАБ

tРАБ

28

Рис53 Основные способы представления результатов ГДИС для

диагностики радиального режима течения при пуске в работу со стабильным

расходом добывающей (I) и нагнетательной (II) скважины а) давление как

функция времени в декартовых координатах б) приращение давления как

функция времени в декартовых координатах в) приращение давления как

функция логарифма времени г) логарифм приращения давления и логарифм

логарифмической производной как функция логарифма времени

Базовым способом представления результатов ГДИС является график

полной (по всем циклам исследования) кривой изменения давления во времени

в процессе ГДИС в декартовых координатах (рис53а)

Графики в декартовых координатах зависимости приращения давления от

времени по отдельным циклам позволяют унифицировать результаты измерения

давления по циклам его роста (КВД) и падения (КСД - пуск) Приращение

вычисляется как модуль разности текущего давления (Р) и начального давления

PС

P=Рпл

a)

I

II

ln(tРАБtОСТ)(tРАБ +tОСТ)

IIбtРАБ

РНАЧI

РНАЧII

P=РНАЧI-PС

ln(tРАБ)

P

lnPlnPP

P

Iв)

Iг)

Iд)

P

lnPlnPP

P

IIв)

IIг)

IIд)

tОСТ

P=PС-РНАЧII

tРАБ

ln(tРАБ)

ln(tРАБ+tОСТ)tОСТ

ln(tРАБtОСТ)(tРАБ +tОСТ)

tОСТ

PС

29

(РНАЧ) в цикле Р= Р-РНАЧ Величина Р монотонно увеличивается во

времени вне зависимости от соотношения дебитов в цикле исследования и

предшествующем цикле[6]

График зависимости приращения давления от логарифма текущего

времени laquolntРАБraquo используется для представления результатов КСД-пуск

(рис53Iв) Участок КСД соответствующий радиальному режиму в данном

масштабе аппроксимируется линейной асимптотой Эта особенность

радиального режима используется для его диагностики

Как следует из соотношения (52) наклон асимптоты определяется

гидропроводностью пласта а свободный член значением гидропроводности и

приведенного радиуса (то есть и скин-фактора)

Для цикла (КВД) вместо логарифмического масштаба времени

используется так называемый обобщенный логарифмический масштаб

вычисляемый на основе продолжительностей и расходов циклов работы

скважины предшествующих анализируемому (рис53IIв)

Как следует из соотношения (53) для цикла КВД после одиночного цикла

работы скважины данный масштаб вычисляется по формуле

ОСТРАБ

ОСТРАБP

tt

ttt

)(lnF

(54)

Во временном интервале радиального режима течения КВД

аппроксимируется линейной асимптотой Наклон асимптоты определяется

гидропроводностью пласта а свободный член значением гидропроводности и

приведенного радиуса (то есть и скин-фактора)

Масштаб Хорнера у которого радиального режима течения также является

логарифмическим (рис53II б)

Как следует из соотношения (52) для цикла КВД после одиночного цикла

работы скважины данный масштаб вычисляется по формуле

)ln()(lnОСТ

ОСТРАБ

Pt

tttF

(65)

30

Данный масштаб является инверсным по времени При увеличении

времени его значения падают Участок КВД соответствующий радиальному

режиму течения аппроксимируется линейной асимптотой Наклон асимптоты

определяется гидропроводностью пласта а свободный член значением

пластового давления

Двойной логарифмический масштаб для цикла laquoКСД-пускraquo предполагает

представление логарифма приращения давления laquoln(P)raquo и логарифма

логарифмической производной ln(P) от логарифма времени (рис62Iд)

Логарифмическая производная в этом случае вычисляется по формуле

)ln( P

PP

(66)

Для цикла laquoКВДraquo двойной логарифмический масштаб предполагает

представление параметров laquoln(P)raquo и ln(P) от обобщенного логарифмического

времени соотношение (69)- рис62IIд

)( PF

PP

P

(67)

Данный масштаб является универсальным используется для диагностики

не только радиального но и линейного и других не радиальных режимов течения

для всех типов циклов ГДИС

Следует подчеркнуть что соотношения (51)-(54) выведены для двух

цикличной технологии исследования и при увеличении числа циклов должны

быть модифицированы Но описанный выше принцип масштабирования

результатов ГДИС является универсальным

31

Рис 54 Билогарифмический график КВД [5]

На основе интерпретации результатов исследования ГДИС определяются

параметры энергетического состояния скважины (пластовое давление

депрессия продуктивность динамика их изменения) фильтрационные

параметра пласта (гидропроводность подвижность пьезопроводность

проницаемость) зональность их распространения по площади

В настоящей магистерской диссертации была реализован метод

математического моделирования с целью получения информации о

проницаемости и пластовом давлении в точках исследуемых скважинах

погрешностью полученных параметров на основе качества исследования

(наличие на билогарифмическом радиального режима) связанным со временем

исследования

ГЛАВА 6 ТЕОРИЯ ФИЛЬТРАЦИИ В УПРУГОЙ ПОРИСТОЙ

СРЕДЕ

Основа теории фильтрации основана на изучении движения

(просачивания) жидкости через пористую среду Особенности процессов

фильтрации зависят от упругих свойств среды и насыщающих их флюидов

Для постановки задачи фильтрации жидкости в упругой среде прибегают

к краевой или начально-краевой задаче с соответствующими граничными

условиями Для нахождения математического выражения фильтрации флюидов

в пористой среде решают систему дифференциальных уравнений в частных

производных

Векторы скорости и плотности фильтрующейся жидкости могут быть

представлены в следующем виде - (119909 119910 119911 119905) и плотностью жидкости

120646 (119909 119910 119911 119905) Одной из важных характеристик поровой среды является пористость

32

ndash это относительный объем порового пространства в материале именно этот

параметр определяет количество флюида которое содержится или может

содержаться в определенном объеме пористой среды [7]

Теория фильтрации флюидов опираются на фундаментальный закон

сохранения массы в соответствии с которым изменения массы жидкости в

любом произвольном объеме V внутри замкнутой поверхности происходит за

счет изменение притока и оттока жидкости через границу объема (уравнение

неразрывности) [12]

Поток жидкости через произвольную однозначно определенную

замкнутую поверхность Γ в пористой среде с коэффициентом пористости - φ

заполненной флюидом с вязкостью μ (рис 61)

Рисунок 61 Замкнутая поверхность Γ в пористой среде (The Society of Petroleum Engineers

2014)

Скорость поступление массы объемом V через поверхность Г равна

скорости изменения данной массы в этой области (The Society of Petroleum

Engineers 2014)

119889119872119892

119889119905=

119889

119889119905∭ 120588120593119889119881 =∭

120597

120597119905(120588120593)119889119881

119881119881 6 1

Масса поступающая в определенный объем пористой среды через

дифференциальный элемент поверхности dΓ за промежуток времени Δt со

скоростью равна minus120646 lowast Отличие массы поступившей в определенную

поверхность и массой покинувшей эту поверхность за изменение времени Δt

равна

33

∆119872119892 = minus∆119905∯ 120588 lowast 119889Г Г

6 2

Скорость притока флюида в объем области V через поверхность Γ

lim∆119905rarr0

119889119872119892∆119905

=119889119872119892119889119905

= ∯120588 lowast 119889Г

Г

6 3

Приравняем правые части уравнения (119889119872119892

119889119905=

119889

119889119905∭ 120588120593119889119881 =

119881

∭120597

120597119905(120588120593)119889119881

119881 ) и ( lim

∆119905rarr0

119889119872119892

∆119905=

119889119872119892

119889119905= ∯ 120588 lowast 119889Г

Г 63) если функции

входящие в эти уравнения являются достаточно гладкими то применяем теорему

Остроградского ndash Гаусса к правой части уравнения ( lim∆119905rarr0

119889119872119892

∆119905=

119889119872119892

119889119905=

∯ 120588 lowast 119889Г Г

63) получаем

∭ [120597

120597119905(120588120593) + nabla120588] 119889119881

119881=0 (64)

Интеграл может быть приравнен к нулю тогда когда сама функция под

знаком интеграла равна нулю исходя из этого утверждения можем получить

120597

120597119905(120588120593) + nabla120588 = 0 (65)

Полученное уравнение (65) можем переписать через поля давления по

причине отсутствия непосредственного замера скорости и плотности потока при

гидродинамическом исследовании скважины (ГДИС) Для пересчета в

характеристики давления потока воспользуемся законом фильтрации Дарси и

уравнение состояния [2]

Уравнение состояния которое связывает плотность и давление

с = minus1

119881

120597119881

120597119875 с =

1

120588

120597120588

120597119875 сρ

120597119875

120597119905=120597120588

120597119905 0 6

c ndash сжимаемость жидкости отрицательный знак отражает условие что

при положительном коэффициенте сжимаемости будет происходить сжатие

флюида (давление растет объем уменьшается) Различают общую сжимаемость

с119957 и сжимаемость пористой среды с119943

с119891 =1

120593

120597120593

120597119875 6 7

34

с119905 = с119891 + 119888 6 8

Исторически уравнение баланса было получено экспериментально Анри

Дарси По закону Дарси вектор скорости фильтрации выражается через вязкость

флюида micro и тензор проницаемости k Знак минус в правой части также имеет

физически явный смысл в отсутствии сил действующих на массу жидкость

начинает движение из областей в повышенным давление в область с меньшим

давлением

= minus119896

120583nabla119875 6 9

При рассмотрении первого слагаемого уравнения 120597120597119905(120588120593) + nabla120588 = 0

(65 и с = minus1

119881

120597119881

120597119875 с =

1

120588

120597120588

120597119875 сρ

120597119875

120597119905=

120597120588

120597119905 06 выполним подстановку

120597

120597119905(120588120593) = 120593

120597120588

120597119905+ 120588

120597120593

120597119905= 120593сρ

120597119875

120597119905+ 120588

120597120593

120597119905= 120593сρ

120597119875

120597119905+ 120588

120597120593

120597119875

120597119875

120597119905=

= 120593сρ120597119875

120597119905+ 120588с119891120593

120597119875

120597119905= 120588с119905120593

120597119875

120597119905 6 10

Далее перезапишем уравнение 120597120597119905(120588120593) + nabla120588 = 0 (65 с учетом

данного выражения и подставим вектор скорости из уравнения закона Дарси

с119905120593120597119875

120597119905= nabla(

119896

120583nabla119875)

1

120594

120597119875

120597119905= nabla2119875 120594 =

119896

с119905120593120583 6 11

Где 120594 ndash коэффициент пьезопроводности с119905120593120597119875

120597119905= nabla(

119896

120583nabla119875)

1

120594

120597119875

120597119905= nabla2119875 120594 =

119896

с119905120593120583 611 определяется как уравнение пьезопроводности - основным

уравнением которое описывает процессы возникающие при гидродинамических

исследованиях

Данное уравнение пьезопроводности (611) может быть перезаписано

относительно радиальных координатах

1

120594

120597Δ119875

120597119905=1

119903

120597

120597119903(119903120597Δ119875

120597119903) 6 12

где 120607119927 = 119875119894 minus 119875 119875119894 minus начальное пластовое давление

35

Уравнение пьезопроводности решается практически во всех

аналитических моделях и выражается в них в радиальных формулах

Однозначно определенным объектом такого радиального решения служит

нагнетательная или добывающая скважина Выбранная система координат

наилучшим способом описывает моделирование радиального потока

относительно скважины

ГЛАВА 7 МОДЕЛИРОВАНИЕ ИССЛЕДОВАНИЙ

Уравнением описывающим процессы происходящие при исследованиях

ГДИ является уравнение пьезопроводности Данное уравнение (71) описывает

неустановившееся однофазное одномерное течение флюида в пористой среде и

выражает связь между пластовым давлением временем и расстоянием от

скважины до точки наблюдения Решение уравнения пьезопроводности (72) для

простого случая работы вертикальной скважины в бесконечном пласте позволяет

получить модель характеризующую перераспределение давления в пласте

1

120594

120597120549119875

120597119905=1

119903

120597

120597119903(119903120597120549119875

120597119903) (71)

∆119875(119905 119903) = minus9205119902119861120583

119896ℎ119864119894 (minus

1199032

000036120594119905) (72)

(q ndash дебит скважины м3сут B ndash объёмный коэффициент 120583 ndash

вязкость жидкости cпз k ndash проницаемость мД h ndash мощность пласта

м r ndash радиус м χ ndash пьезопроводность мД(спзатм-1) t ndash время ч)

Инструмент позволяет моделировать исследование ГДИ для случаев с

разным закачиванием скважин (вертикальная скважина вертикальная скважина

с гидравлическим разрывом пласта (ГРП) горизонтальная скважина

горизонтальная скважина с многостадийным ГРП) На первом этапе по заданным

свойствам пласта и флюида моделируется ГДИ описывающая изменение

забойного давления в скважине [1]

36

На следующем этапе моделирования строится билогарифмический график

(рис71) по которому специалисты ГДИ определяют свойства пласта Таким

образом создав синтетическое ГДИ можно предсказать как будет выглядеть

билогарифмический график исследования КВД (кривая восстановления

давления) характеризующего остановку скважины

Моделирование исследования ГДИ проводится для N ndash исходов (рис71) и

для разного времени длительности исследования t (50-100-150hellipчасов) в

результате чего инструмент определяет свойства пласта (проницаемость и

пластовое давление) по результатам исследования зависящих от времени

длительности ГДИ

Рис71 Результаты моделирования исследования ГДИ

ГЛАВА 8 ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИ ФИЛЬТРАЦИИ

ФЛЮИДОВ

811 Основа модели фильтрации к вертикальной скважине

Для самого начала рассмотрим самый простой случай движения флюида

в однородном бесконечном пласте начиная с начального постоянного давления

119927119946

В начальный момент t = 0 однотипно с началом первого цикла

эксплуатации у пласта коллектора начальное равномерное давление - 119927119946

ΔP(r t = 0) = 0 P(r t = 0) = Pi (8111)

Введем в рассмотрение граничное условие когда границы отсутствует

это сопоставимо что пласт-коллектор характеризуется бесконечной

протяженностью

0

05

1

15

2

25

-3 -2 -1 0 1 2 3

LO

G (

dP

) LO

G(P

`)

LOG(dt)

Билогарифмический график

LOG (P(t)-P(tp))

37

ΔP(r rarr infin t) = 0 P(r rarr infin t) = Pi (8112)

Второе граничное условие на радиусе скважины будет зависить от

условий на поверхности ствола (r = rw) Введем в рассмотрение единичную

вертикальную скважину радиусом 119953119960 которая полностью вскрывает

однородный изотропный коллектор с коэффициентом проницаемости k и

эффективной мощностью h добывает однородную малосжимаемую жидкость

вязкостью μ при стандартных условиях с дебитом Q м3 В условиях пласта объем

добываемого флюида составит Qsf = Qb (где b ndash объемный коэффициент

жидкости)

(119903120597119875

120597119903)119903=119903119908

=119902119861120583

2120587119896ℎ (8113)

Одной из удобных моделей моделировании фильтрации к скважине

является модель линейного источника которая является предельным случаем

скважины нулевого радиуса

119897119894119898 (119903120597119875

120597119903)119903rarr0

=119902119861120583

2120587119896ℎ (8114)

На практике прибегают к упрощению постановки задачи путем ввода

безразмерных переменных При решении задачи относительно новых

переменных позволяют интегрировать остальные параметры и в конечном счете

задача сводится к решению уникального набора уравнений которые легко

разрешаются аналитическим методом раз Физический смысл ввода

безразмерных параметров заключается в исключении из основного уравнения

параметров пьезопроводности пласта-коллектора с целью поиска обобщенного

решения с помощью которого переходя на изначальные размерные параметры

удается получить решение для определенного пласта и определить параметры

пьезопроводности и проводимости (Houzeacute O 2008)

119903119863 =119903

119903119908 (8115)

119905119863 =000036119896119905

1205931205831198881199051199031199082 (8116)

38

119875119863 =2120587119896ℎ

119902119861120583∆119875 (8117)

Далее вводим безразмерные параметры переходим к общей задаче

120597119875119863120597119905119863

=1

119903119863[120597

120597119903119863(119903119863

120597119875119863120597119903119863

)] (8118)

119875119863(119903119863 119905119863 = 0) = 0 (8119)

119875119863(119903119863 rarr infin 119905119863) = 0 (81110)

119897119894119898 (119903119863120597119875119863120597119903119863

)119903119863rarr0

= minus1 (81111)

Решая данное дифференциальное уравнение удобно применить

интегральные преобразования Принято при решении уравнения

пьезопроводности пользоваться особой формой линейных интегральных

преобразований являющиеся преобразованиями Лапласа Далее применяем к

уравнению (120597119875119863

120597119905119863=

1

119903119863[120597

120597119903119863(119903119863

120597119875119863

120597119903119863)] (811) преобразования Лапласа

s119875119863 =1

119903119863[120597

120597119903119863(119903119863

120597119875119863

120597119903119863)] (81112)13

Трансформанта Лапласа

119875119863 (119904 119903119863) = int 119875119863(119905119863

infin

119905119863

119903119863) exp(minus119904119905119863) 119889119905119863 (81113)

где s mdash это число достаточно велико чтобы мог существовать интеграл

действительная часть которого положительна Функция обозначенная чертой

сверху является образом (изображением) функции или результатом

интегрального преобразования Лапласа где подынтегральной функцией

является прообразом (оригиналом) Решение уравнения(811s119875119863 =

1

119903119863[120597

120597119903119863(119903119863

120597119875119863

120597119903119863)] (81112)13) можно представить через модифицированное

уравнение Бесселя нулевого порядка которое можно записать в следующем

виде

119875119863 (119904 119903119863) = 119860(119904)1198680(119903119863radic119904) + 119861(119904)1198700(119903119863radic119904) (81114)

39

1198680 и 1198700 являются модифицированными функциями Бесселя нулевого

порядка Значения коэффициентов A и B в уравнении определяются с помощью

подстановки граничных условий в уравнение Осуществляем подстановку

граничных условий из внешнего ГУ А(s)=0 B(s)= 1

119904 В итоге получаем

изображение решения для линейного источника в виде

119875119863 (119904 119903119863) =1

1199041198700(119903119863radic119904) (81115)

Для нахождения образа функции выполняем обратное преобразование

Лапласа полученного уравнения Данную операция можно выполнить с

помощью таблиц преобразований Лапласа (из таблиц в работах (Churchill RV

1972) и (Abramowitz M 1972))

119871minus1 (1198700(119903119863radic119904)) =1

2119905exp(minus

1198962

4119905) (81116)

Обобщаем выводим решение для линейного источника с безразмерными

параметрами

119875119863(119905119863 119903119863) = minus119864119894 (minus1199031198632

4119905119863) 119864119894(119909) = minus int

119890minus119910

119910119889119910

infin

minus119909

(811 14)

Где 119864119894(119909)-интегральная показательная функция Далее выполняем

обратное преобразование переходим на размерные величины

∆P(t 119903) = minusqBμ

2πkh119864119894 (minus

r2

4 lowast 000036120594t) (811 15)

Полученное решение уравнения в каждой точке и на каждом промежутке

времени удовлетворяет задаче фильтрации для скважины линейного источника

находящаяся в эксплуатируемом фонде скважин вскрывающая интервалом

перфорации эффективную мощность однородного бесконечного пласта-

коллектор Одним из выводов из решения уравнения пьезопроводности гласит

что поля релаксации перепада давления мгновенно перераспределяются по

пласту-коллектору Также стоить отметить существующее решение на дальнем

расстоянии от скважины 119903119894119899119907 вблизи которого перепад давления столь мал что

40

этим можно пренебречь Исходя из этого предположения можно определить

радиус исследования 119903119894119899119907 который характеризует размер области исследования

результат интерпретации которых зависят от свойства пласта и флюидов в

скважине [11]

При рассмотрении полей давления в пласте с бесконечной

протяженностью во время запуска скважины в работу на основании полученного

ранее решения уравнения (рис 8111) В первоначальный момент времени 1199051 =

0 забойное давление в скважине равно текущему пластовому давлению через

некоторый отрезок времени в интервале - 1199052 вокруг точки скважины

формируется так называемая laquoворонка депрессииraquo которая может

характеризовать неустановившийся режим течения При движение по временной

шкале воронка депрессии будет распространяться на более дальние расстояния

от скважины пока не достигнет определенной границы (119903119894119899119907=119903119908 +radic120594t) Если

рассматривать зеркально противоположный пример при остановке скважины

воронка депрессии будет становиться меньше и будет уменьшаться пока

значение давления в скважине не достигнет пластового и останется стабильным

Понятие радиального режима для течения флюидов в пласте является

основополагающим для интерпретации гидродинамических исследований Это

режим характеризует обстановку при которой скорость фильтрации и поля

давления имеют радиальную симметрию и линии тока в пласте направлены к

круговому цилиндру по радиусу от периферии пласта к скважине (Рис 1)

41

Рис 8111 Линии тока для вертикальной скважины при радиальной

фильтрации [6]

Решение линейного источника может достичь радиального режима с

определенного времени 119905119909 такую характерную зависимость можно проследить

на билогарифмическом графике (рис 8111) этот режим характеризуется

стабилизацией производной давления С помощью данного графика

проницаемость пласта вычисляется по формуле

119896ℎ = 119902119861μ lowast05

2120587∆Pстаб (81119)

При рассмотрения кейса решения уравнения пьезопроводности в случае

вертикальной скважины в цилиндрическом пласте-коллектора изменится гу на

г

р

а

н

и

ц

е

ц

и

л

и

н

(120597Δ119875

120597119903)119903=119903119890

= 0 (81120)

Аналогично ранее описанному алгоритму решению уравнения

пьезпроводности получим изображение депрессии

∆P (119904) =qBμ

2πkhlowast

lowast

1198680 (119903radic119904120594)1198701 (119903119890radic

119904120594)+ 1198681 (119903119890radic

119904120594)1198700 (119903radic

119904120594)

119903119908radic119904120594119904 [1198681 (119903119890radic

119904120594)1198701 (119903119908radic

119904120594)minus 1198681 (119903119908radic

119904120594)1198701(119903119890radic

119904120594]

(81121)

42

Аналитическое преобразование данного уравнения принимают

следующий вид (Van Everdingen AF and HurstW W 1953)

∆P(t 119903) =qBμ

2πkh

2

1199031198902 minus 119903119908

2(120594119905 minus

1199032

4) minus

1199031198902

1199031198902 minus 119903119908

2119897119899r

119903119908minus

1

(41199031198902 minus 119903119908

2)2lowast

lowast (31199031198904 minus 4119903119890

4119897119899119903119890119903119908minus 2119903119890

2 minus 1) +

+120587sum11986912 (120573119899

119903119890119903119908) [1198691(120573119899)1198840 (120573119899

r119903119908) minus 1198841(120573119899)1198690 (120573119899

r119903119908)]

120573119899 [11986912 (120573119899

r119890119903119908) minus 1198691

2(120573119899)]

infin

119899=1

119890119909119901 (minus1205731198992 120594119905

1199031199082) (81122)

1205731 1205732 и тдndash решения уравнений

1198841(120573119899)1198691 (120573119899r119890119903119908) minus 1198691(120573119899)1198841 (120573119899

r119890119903119908) = 0 (81123)

В поставленной формулировке задачи для выведенного уравнения

решения невозможно сходу подобрать обратное преобразование Лапласа с

помощью табличных значений (аналитической функции) (Abramowitz M 1972)

Однако можно выполнить найти решение выполнив его численно Для решения

задач нестационарной фильтрации флюидов применимы алгоритмы численного

обращения основанные на стохастических подходах (Stehfest H 1970) которые

предполагают что можно рассчитывать приближенное значение оригинала pa(T)

по найденному изображению p(s) в определённый момент времени t = T [13]

119901119886(119879) =1198971198992

119879sum119881119894

119873

119894=1

(119904)119904=1

1198971198992119879 (81124)

119881119894 = (minus1)(1198732)+119894

sum1198961198732(2119896)

[(1198732)

minus 119896] 119896 (119896 minus 1) (119894 minus 119896) (2119896 minus 119894)

min(1198941198732)

119896=(119894+1)2

(81125)

812 Приток к вертикальной скважине с трещиной ГРП

Ранее было выведены решения задачи фильтрации для вертикальных

скважин Метод источников который был применен также используется для

случаев скважин с более сложной геометрией ННС (наклоннонаправленных

43

скважин) ВС ГРП (вертикальный с гидроразрывом пласта) ГС ГРП

(горизонтальных с гидроразрывом пласт)

Функция Грина и метод источников применяется для решения двух- и

трёхмерных задач неустановившейся фильтрации Под источником понимается

некоторая точка поверхность или объем из области которых флюид отбирается

из пласта-коллектора или закачивается Строго говоря отбор жидкости должен

ассоциироваться со стоком а закачка с источником Под физической основой

источник можно сопоставить со скважиной бесконечно малого диаметра в

которую мгновенно закачивается конечное количество флюида[16]

Функции Грина и метод источников тесно связаны между собой Функция

Грина определяется для дифференциального уравнения со специальными

граничными условиями (заданный расход или давление) и соответствует

решению для мгновенного точечного источника С другой стороны функции

источников представляют собой решения данного дифференциального

уравнения с указанными граничными условиями и геометрией источника

Фундаментальное решение функции Грина (G (M Mrsquo τndasht)) для

неустановившегося потока флюида в пористой среде может соотнесено с

давлением в точке M (x y z) в определенный момент времени t которое

обусловлавливает мгновенный точечный источник единичной интенсивности

который создан в точке Mrsquo(xrsquo yrsquo zrsquo) во временя τ lt t Необходимо чтобы

функция Грина удовлетворяла уравнению пьезопроводности

120597119866

120597119905= 120594nabla2119866 81161

120597119875

120597120591= 120594nabla2119875 8122

int nabla2119891(119872)119889119872 =119863

int120597119891

120597119899Г

119889Г 8123

Используем свойства функции Грина можем применить терему Грина

(8123) с учетом (8122) (Gringarten AC and Ramey HJ 1973) получим

44

∆119875(119872 119905) =1

120593119888int int

Г119908(119872119908

prime 120591)119866(119872119872119908prime 119905 minus 120591

119905

0)119889119872119908

prime 119889120591 =

1

120593119888int 119905

0(120591)119878(119872119872119908

prime 119905 minus 120591)119889120591 8123

119878(119872119872119908prime 119905 minus 120591) = int 119866(119872119872119908

prime 119905 minus 120591)119889119872119908prime

Г119908 8124

где Г119908 ndash граница ствола скважины = minus119896

120583

120597119875

120597119899 ndash объём потока который

проходит через точку на поверхности внутренней границы 119872119908prime Применяем

интегрирование правой части данного уравнения (724) получаем

распределение точечных источников по площади длине и объему источника

Для разных конфигураций системы laquoисточник-пластraquo можно подобрать

табличные базовые функции соответствующих мгновенных источников (The

Society of Petroleum Engineers 2014)

В практике нефтегазовой отрасли практически на многих добывающих

скважинах проводиться МУН (метод увеличения нефтеотдачи) Одним из

распространенных методов интенсификации флюида является гидравлический

разрыв пласта (ГРП) который заключается в формировании высокопроводимой

трещины в продуктивном интервале пласте для увеличения притока флюида к

скважине

Поставим задачу решения уравнения фильтрации флюида к вертикальной

скважине с трещиной ГРП Из условий скважина полностью вскрывает пласт

эффективной мощностью h кровля и подошва пласта ограничена

непроницаемыми ровными горизонтальными границами Трещина ГРП

расположена симметрично относительно нормали ствола скважины полудлина

трещины - xf ширина - wf (wf ltlt xf) коэффициент проницаемости трещины kf

индекс laquofraquo характеризует трещину ГРП В горизонтальном направлении пласт

бесконечный (рис 8121 ndash 8122) Течение потока к трещине выражается

двумерным стоком флюида

45

Рис 8121 Вертикальная трещина (вид сбоку)

Рис 8122 Течение флюида к вертикальной трещине (вид сверху)

В ходе решения задачи стоит рассмотреть два типа течения

1) поток в трещине

2) поток в пласте с трещиной

1) Переходя к безразмерным переменным (8115-8117) запишем

уравнение пьезопроводности (8118) и граничные условия (8119-81110)

119901119891119863(119909119863 119905119863) =2120587119896ℎ (119901119894 minus 119901119891(119909 119905))

119902119908120583 (8125)

119905119863 =119896119905

1206011205831198881199051199091198912 (8126)

119909119863 =119909

119909119891 (8126)

119902119891119863(119909prime 120591) =

2119902119891(119909prime120591)

119902119908119909119891 (8127)

1198892119901119891119863(119909119863)

1198891199091198632

=120587

119865119862119863119902119891119863(119909119863) (8128)

119889119901119891119863

119889119909119863 119909119863=0=

120587

119865119862119863 (8129)

46

119889119901119891119863119889119909119863 119909119863=1

= 0 (81210)

Перепад значений давления между забойным давлением и в точке

трещины с координатой 119909119863 можно записать

119901119908119863 minus 119901119891119863(119909119863) =120587

119865119862119863[119909119863 minusint int 119902119891119863(119909

primeprime)119889119909primeprime119889119909prime119909prime

0

119909119863

0

] (81211)

2) Течение добываемого флюида из пласта-коллектора в трещину

можно рассмотреть как наличие нестационарного источника жидкости qf(xt) в

самой трещине Используя метод источников который был рассмотрен ранее

безразмерное давление в любой произвольной точке пласта

119901119863(119905119863 119909119863 minus 119909119908119863 119910119863 minus 119910119908119863) = int int 119902119891119863(120591 119909prime minus 119909119908119863)119866(120591 119909

prime 119909119863 minus1

minus1

1199051198630

119909119908119863 119910119863 minus 119910119908119863)119889119909prime119889120591 (81212)

(119909119908119863 119910119908119863) - безразмерные координаты точки забоя скважины в

горизонтальной плоскости (xy) ось 119909 направлена вдоль трещины

Записывается условие непрерывности давления в пласте и в трещине

119901119891119863(119905119863 119909119863) = 119901119863(119905119863 119909119863 0) (81213)

Следовательно уравнение (81211) принимает вид

119901119908119863 minusint int119902119891119863(120591 119909prime)119866(120591 119909prime 119909119863 0)119889119909

prime119889120591

1

minus1

119905119863

0

=120587

119865119862119863[119909119863 minusint int 119902119891119863(119905119863 119909

primeprime)119889119909primeprime119889119909prime119909prime

0

119909119863

0

] (81214)

Применяем преобразование Лапласа

119908119863(119904) minus int 119891119863(119904 119909prime)(119904 119909prime 119909119863 0)119889119909

prime =1

minus1

120587

119865119862119863[119909119863

119904minus

int int 119891119863(119904 119909primeprime)119889119909primeprime119889119909prime

119909prime

0

1199091198630

] (81215)

int 119891119863(119904 119909prime)119889119909prime

1

minus1

=1

119904 (81216)

47

Получили изображения Лапласа соответствующих функций ndash

оригиналов Решение системы производится путём дискретного разбиения

трещины по длине на 2n сегментов и записи данной системы в следующем виде

для каждого дискретного сегмента (рис 723)

Рис 8123 Схема разбиения трещины на сегменты

119908119863(119904) minussum119891119863119894

119899

119894=1

int (119904 119909prime d119909 (119895 minus1

2) 0) 119889119909prime

d119909119863119894

d119909119863(119894minus1)

+ int (119904 119909prime d119909 (119895 minus1

2) 0) 119889119909prime

d119909119863(minus119894+1)

d119909119863(minus119894)

+120587

119865119862119863[119889119909119863 ∙ 119895

119904minus (119889119909119863)

2sumsum119891119863119896

119894

119896=1

119895

119894=1

] (81217)

119889119909119863 ∙sum 119891119863119894

119899

119894=1

=1

2119904 (81218)

Изображение давления в любой точке пласта можно найти по формуле

119863(119904 119909119863 119910119863) = sum 119891119863119894 int (119904 119909prime 119909119863 119910119863)119889119909119863∙119894

119889119909119863(119894minus1)119889119909prime +119899

119894=1

int (119904 119909prime 119909119863 119910119863)119889119909119863∙(minus119894+1)

119889119909119863∙(minus119894)119889119909prime (81219)

Где 119891119863119894 ndash изображение функции мощности источников в каждом n

сегменте [17]

48

813 Основа модели фильтрации к горизонтальной скважине с МГРП

Задача притока добываемого флюида к горизонтальной скважине с

многостадийным гидроразрывом пласта (МГРП) схематично можно

представить как несколько одинаковых трещин соединенных общим

горизонтальным стволом Каждая трещина пресекает ствол горизонтальной

скважины в центре и является симметричной относительно ствола ((119909119908119863119895 119910119908119863119895)

Рис 8131 Схематическое изображение ГС с МГРП

Каждая трещина ГРП будет иметь равную полудлину 119909119891 и безразмерную

проводимость 119865119862119863 В модели существует предположение что течение флюида

внутри трещины является одномерным Следовательно поток флюида к

горизонтальному стволу скважины с n трещинами будет равен алгебраической

сумме потоков флюида от каждой трещины

119876 = sum 119876119895(119905)119899119895=1 = 119888119900119899119904119905 (8131)

Как ранее для общения задачи вводим безразмерные переменные

давление в точке пересечения скважины с j трещины - 119901119908119863119895 безразмерный дебит

- 119902119863119895 =119876119895

119876

Из условий бесконечной проводимости для горизонтального ствола

119901119908119863119895 = 119901119908119863 119895 = 1 119899 8132

Возмущение давление которое создается трещиной k в точке пересечения

119895 трещины со скважиной ndash 119901(120591)119863119895119896 equiv 119901119863(120591 119909119908119863119896 119910119908119863119896 119909119908119863119895 119910119908119863119895) применяя

принцип суперпозиции

119901119908119863(119905119863) = sum int 119902119863119895 ∙ 119901prime119863119895119896(119905119863 minus 120591)119889120591 8133

1199051198630

119899119895=1

49

Суммарный поток флюида от всех трещин будет фиксирован

sum 119902119863119895119899119895=1 = 1 и с преобразованием Лапласа - sum 119863119895

119899119895=1 =

1

119904 8134

Преобразование Лапласа для 734 р119908119863119895 = sum 119904119863119895119863119895119896119899119896=1 8135

119863119895119896 = int 119891119863(119904 |119909119908119863119896 minus 119909prime|)(119904 119909119908119863119896 minus 119909prime 119909119908119863119895 119910119908119863119896 119910119908119863119895)119889119909

prime

119909119908119863119896+1

119909119908119863119896minus1

8136

119863119895119896 =sum119891119863119894 int (119904 119909119908119863119896 minus 119909prime 119909119908119863119895 119910119908119863119896 119910119908119863119895)119889119909prime

119889119909119863∙119894

119889119909119863(119894minus1)

119899

119894=1

+ int (119904 119909119908119863119896 minus 119909prime 119909119908119863119895 119910119908119863119896 119910119908119863119895)119889119909prime

minus(119894minus1)∙119889119909119863

minus119894∙119889119909119863

8137

Мощность источников 119891119863(119904 |119909119908119863119896 minus 119909prime|) вычисляется из (81217-

81218) где 119889119909119863 =1

119899 ndash безразмерная длина каждого n сегмента 119891119863119894 -

безразмерная скорость течения через i элемент

Система уравнений (8134-8137) записывается в виде [8]

А = 8138

= (

1199081198631198631⋮119863119899

) 8139

А = (

1 minus119904 ∙ 11986311 ⋯ minus119904 ∙ 1198631119899⋮ ⋮ ⋱ ⋮

1 minus119904 ∙ 1198631198991 hellip minus119904 ∙ 1198631198991198990 1 hellip 1

) 81310

= (

0⋮01 119904frasl

) 81311

50

Для вычисления матричных элементов 119863119895119896 необходима информация о

мощности потока в из всех 119899 трещин ГРП Если считать что каждая трещина ГРП

делится на 2119898 сегментов (рис 8123) тогда система (81310) будет содержать

(1 + 2119898 times 119899) количество уравнений относительно следующих неизвестных

119908119863 11989111986311 hellip 119891119863(2119898)1 hellip 1198911198631119899 hellip 119891119863(2119898)119899 где в 119891119863119894119895 ndash течение через i-й

сегмент в j-й трещине Пользуясь упрощенным подходом можем переписать в

следующем виде[19]

forall119895 isin 1hellip119899 forall119896 = 1hellip119898 ∶ 119891119863119895119896 = 119863119895 ∙ 119891119863119896 81312

При определении мощности источников используется допущение что на

распределение мощности источников внутри каждой из трещин соседние

трещины оказывают слабое влияние Можно предположить что распределения

мощности потока в трещинах симметричны относительно точки пересения со

стволом скважины Элементы матрицы А в (81310) получают по формуле

(8137)

119863119895119896 =sum119891119863119894 int (119904 119909119908119863119896 plusmn 119909prime 119909119908119863119895 119910119908119863119896 119910119908119863119895)119889119909

prime

119889119909119863∙119894

119889119909119863(119894minus1)

81313

119899

119894=1

где функция (hellip ) определяется по табличным формулам в зависимости

от граничных условий и типа зоны дренирования

Для решения СУ используется выражение матрицы в виде произведения

дву нижней треугольной и верхней треугольной (LU-декомпозиция) (Ортега

Дж 1991) Так называемое LU-разложение (LU-декомпозиция) mdash

представление выражение определенной матрицы в виде произведения двух

матриц A = LU где L mdash нижняя треугольная матрица а U mdash верхняя

треугольная матрица [15]

Ниже представлены применяемые в данной работе функции источников

в пространстве Лапласа

Таблица 8131 Функции линейных стоков

51

Тип условий на

границах

Функции линейных стоков

119899119899119899119899 =

=120587

2119909119890119863coshradic1199041198631 + coshradic1199041198632

radic119904 sinhradic119904119910119890119863

+ 2sumcos119896120587119909119863119909119890119863

cos 119896120587(119909119908119863 minus 119909prime)

119909119890119863

cosh 1205981198961198631 + cosh 1205981198961198632120598119896 sinh 120598119896119910119890119863

infin

119896=1

0 17

119888119888119888119888

=120587

119909119890119863sumsin119896120587

119909119863119909119890119863

sin 119896120587|119909119908119863 minus 119909prime|

119909119890119863

cosh 1205981198961198631 minus cosh 1205981198961198632120598119896 sinh 120598119896119910119890119863

infin

119896=1

0 18

119888119899119888119899 =

=120587

2119909119890119863coshradic1199041198631 minus coshradic1199041198632

radic119904 sinhradic119904119910119890119863

+ 2sumcos119896120587119909119863119909119890119863

cos 119896120587(119909119908119863 minus 119909prime)

119909119890119863

cosh 1205981198961198631 minus cosh 1205981198961198632120598119896 sinh 120598119896119910119890119863

infin

119896=1

0 19

Где 119909119890119863 =119909119890

119909119891 119910119890119863 =

119910119890

119909119891 1198631 = 119910119890119863 minus |119910119863 minus 119910119908119863| 1198632 = 119910119890119863 minus (119910119863 + 119910119908119863) 120598119896 =

radic119904 + 11989621205872 1199091198901198632frasl 119909119890 ndash размер площади дренирования по оси x 119910119890 ndash размер

площади дренирования по y 119899 значает границу отсутствия перетока 119888

означает границу постоянного давления

82 РЕАЛИЗАЦИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ИССЛЕДОВАНИЙ

В настоящей работе реализовано решение задачи фильтрации о

нестационарном притоке флюида к скважине при постоянном заданном дебите

для скважин с разным типом заканчивания (вертикальная скважина и

горизонтальная скважина с трещинами МГРП) Математическая модель описана

для задач (Главы 811-813) реализована на языке программирования VBA

Входные параметры приведены на рис 821 Параметры границ задаются

в виде прямоугольника (рис823) Параметры скважины флюида и пласта

задаются при помощи априорной информации Проницаемость рассматривается

как распределение полученных ранее (главе 3)

y

x

y

x

y

52

В ходе решения задачи строится график - кривая стабилизации давления

зависимость изменения забойного давления от времени (рис823)

Рис 821 Входные параметры для модели

Рис 822 Расположение горизонтальной скважины в границах

53

Рис 823 Кривая стабилизация давления

На следующем этапе по последней точке определяется значения kmodel В

зависимости от длительности исследования будь то 50 часов 100 часов и более

будет зависеть погрешность результата определения свойств пласта по

отношению к истинным параметрам (рис 821) К тому же от времени

исследования будут зависеть Capex на проведения исследования

Рассчитанное значение модельное kmodel затем сравнивается с исходным

заданным значением kist В результате получаем отношение модельного значения

kmodel после проведения ГДИ к kist в зависимости от длительности ГДИС (рис

822)

Рис 821 График производной забойного давления

54

Рис 822 Отношение kmodel kist для скважины 11РО

Полученные по проницаемости параметры умножаются на эффективную

мощность пласта-коллектора и затем рассчитанное распределение

интерполируется с другими параметрами в скважинах в точку проектной

По результатам моделирования распределения свойств пласта будут

изменяться уменьшение дисперсии при увеличении длительности исследования

(рис823) Идеальным исследованием считается исследование с длительностью

достаточной для достижения производной давления на билогарифмическом

графике радиального режима течения что указывает на достоверность

параметров по результатам ГДИ (проницаемость и пластовое давление) Чем

ближе длительность исследования к идеальному ГДИ тем ниже

неопределенность в параметрах и тем ближе распределение к идеальному

Моделирование разной длительности исследования проводиться для N ndash

распределений (рис2)

Результаты смоделированного ГДИ позволяют снизить неопределенности

(сузить распределение) в свойствах пласта в точке проектной скважины Для

интерполяции в точку проектной скважины используется метод сплайн ndash

интерполяции [18]

tk model 10 20 30 40 50 60 70 80

50 2288169 1501385 1150108 0948723 0808706 0717031 0640296 0581876

100 1496394 0948581 0717744 0581513 0484438 0414342 0361937 0319311

150 1107448 0689761 0503907 0394864 0322636 0269636 0233048 0203542

200 0949817 0580742 0417822 0318936 0259364 021555 0186095 0163468

250 0818194 0486803 0338246 0259062 0206736 0173204 014824 0129707

300 0705787 0408828 0281063 0211366 0169381 0142083 012167 0106692

350 0627933 0351884 023841 017996 0144702 0119968 0103063 0090319

400 0562852 0307024 0207063 0155316 0124788 010441 0089458 0078395

450 0510211 0272553 0183196 013788 0110431 009172 0079061 0069165

500 0463384 0245037 0164854 0123914 0099043 0082679 007078 0061913

55

Рис823 Изменение распределения в зависимости от времени исследования ГДИ

На рис 824 показано распределение значений проницаемости с учетом

разной длительности исследований ГДИ

Полученное распределение kh в проектной скважине до ГДИ

характеризовалось большей дисперсией по сравнению с распределением после

проведенного ГДИ на скважине

Рис 824 Распределение kh на проектной скважине

ГЛАВА 9 РАСЧЕТ ЭКОНОМИЧЕСКОГО ЭФФЕКТА

ЦЕННОСТИ ИНФОРМАЦИИ

Ожидаемая прибыль запланированной к бурению скважины до проведения

ГДИ рассчитывается с учётом исходного распределения после ГДИ

0

001

002

003

004

005

006

007

008

009

1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800

Пл

отн

ость

вероятн

ости

Пластовое давление атм

Распределения пластового давления

Время длительности ГДИ 50 часовВремя длительности ГДИ 100 часовВремя длительности ГДИ 150 часовВремя длительности ГДИ 200 часов (идеальное исследование)

56

рассчитывается для каждого дискретного варианта исхода из N-возможных и для

разных времен длительности исследования t

На первом этапе расчёта прибыли по методу Монте-Карло определяются

значения проницаемости и пластового давления с вероятностями распределения

равными 10 50 90 и оценивается запускное значение дебита скважины По

соседним скважинам определяются темпы падения дебита скважины

усредненный темп падения используется для проектной скважины

Произведение запускного значения дебита и усредненного темпа падения

характеризует профиль добычи проектной скважины На основе профиля

добычи оценивается NPV проектного бурения который учитывает

операционные затраты и капитальные расходы проекта При оценке NPV после

запланированного исследования в капитальных затратах учитываются расходы

на проведение ГДИ стоимость интерпретации исследования инструментальные

замеры

Ожидаемая ценность EMVwi после проведения ГДИ рассчитывается как

сумма отдельно взятых N - исходов умноженных на соответствующие

вероятности исходов (91)

119864119872119881119908119894 (119905119894) = 1198641198721198811199081198941(119905119894) lowast 1198751 + 1198641198721198811199081198942(119905119894) lowast 1198752 +⋯

+ 119864119872119881119908119894119873(119905119894) lowast 119875119899 =sum119864119872119881119908119894119895(119905119894)

119873

119895=1

(91)

Чистый дисконтированный доход рассчитывается по формуле (92) где

CF ndash денежный поток r ndash ставка дисконтирования I ndash сумма инвестиционных

вложений Непосредственно CF (денежный поток) будет определяться

количеством добываемого флюида [18]

119873119875119881 = sum119862119865119905

(1 + 119903)119905minussum

119868119905(1 + 119903)119905

(92)

Инвестиционные вложения включают операционные затраты ndash Opex

повседневные затраты компании для ведения бизнеса производства товаров и

57

услуг и капитальные затраты - Capex расходы на приобретение или обновление

необоротных активов При проведении ГДИС затраты на спускподъём

оборудования интерпретацию исследования инженером и потеря в прибыли

связанные с остановкой скважины учитываются в Capex

91 EMV БЕЗ УЧЕТА ПРОВЕДЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ

Дебит ndash это ограниченный объем добытой жидкости через скважину за

определенное время Оценки производительности скважин и расчет добычи

скважины проводятся на основе запускного дебита скважины и усредненного

темпа падения дебита на соседних скважинах на протяжении 25 лет В основном

темпы падения строятся исходя из истории эксплуатации на месторождении

анализируется весь набор данных на заданный пласт

Запускной дебит может быть рассчитан по следующим формулам в

зависимости от типа скважины [9]

1) Вертикальная скважина c ГРП

119902 =2120587119896ℎ(119875119894minus119875119908)

120583119861(119897119899119877119890119877119908minus075+119878)

119878 = 1198971198992119903119908

119909119891 (911)

2) Горизонтальная скважина с МГРП

119902 = 2120587kℎ ( 119875119894 minus119875119898

2+119875119908

2) + 119898119876119863 (912)

119876119863 =2120587kℎ(119875119894minus119875119908)

120583119861(119897119899119877119890119877119908minus075+119878)

(913)

С помощью расчёта запускных дебитов а также анализа работы

окружающих скважин были получены результаты темпов падения на рисунке

911 изображены темпы падения с вероятностью Р50 нефти и жидкости за 25 лет

для определенной скважины Также построена гистограмма с накопленной

добычей (рис 911)

58

Рис 931 Темпы падения для скважины

Рис 911 Гистограмма распределения добычи нефти

для скважины 716 до ГДИ

Геологические риски и неопределенности определяют необходимость

создания вероятностной оценки дебитов запасов профилей добычи

Вероятностная оценка по границам возможной минимальной и максимальной

эффективности поможет минимизировать инвестиционные риски проекта

Модуль вероятностной оценки дебитов запасов профилей добычи

основан на теории вероятностей и математической статистики [12] По

многочисленным входным параметрам задаются диапазоны ожидаемых

величин и тип распределения - по проницаемости эффективной

нефтенасыщенной толщины пласта пластовому давлению Источник

информации ndash фактические параметры полученные с карт и распределение с

59

ошибкой их построения Чем меньше неопределенностей тем меньше дисперсия

и разброс ожидаемых параметров в возможных диапазонах

Следующим этапом переходим к расчету экономических параметров

(NPV) по найденным значениям добычи за 25 лет На рисунке изображена

гистограмма NPV и указаны количественные оценки накопленной добычи и NPV

для вероятностей P10 P50 P90 (табл 911)

Рис 04 Гистограмма распределения NPV для скважины 716 до ГДИ

Таблица 921 Показатели добычи и NPV

Вероятность Накопленная добыча нефти тыст NPV млнруб

P10 1937 3012

P50 1128 1547

P90 597 585

60

С помощью выполненных расчетов (табл 911) ожидаемая ценность

проекта бурения скважины без проведения исследований (EMVwoi) составляет

16011 млн рублей

92 EMV БЕЗ УЧЕТА ПРОВЕДЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ

Расчет экономических параметров в случае модерирования исследований

проводится аналогичным образом Для расчета добычных показателей

планируемой скважины рассчитывается также по формулам 911-913 В этом

случае значения проницаемости и пластового давления задаются с помощью

уточнённые параметров после ГДИ с меньшей дисперсией

На рисунке 921 представлено распределение значений пластового

давления умноженного на эффективную нефтенасыщенную толщину после

ГДИ длительностью 150 часов

Рис 921 Гистограмма распределения NPV для скважины после ГДИ длительностью

150 часов

Расчет экономических параметров помимо операционных затрат (OPEX)

в случае моделирования ГДИ будет включать еще Capex ndash это затраты

проведенного исследования (инструментальные замеры спускоподъёмные

операции) который в свою очередь будут зависят от длительности проведения

исследований Также будут включены затраты на работу интерпретатора

исследований которые уже не будут зависеть от длительности В написанном

61

модуле также учитывается потеря прибыли на время остановки скважины

количественно потери будут определяться длительностью остановки скважины

на проведения ГДИ

62

ГЛАВА 10 РЕЗУЛЬТАТЫ

Реализованный модуль в данной работе позволяет определить

необходимость проведения гидродинамического исследования и выдать

рекомендации по продолжительности исследования составить ранжированный

список скважин по эффективности проведения исследований

В таблице 101 представлены результаты экономических параметров и

расчет VOI На графике (рис 101) построенным в осях VOI в зависимости от

времени исследования можно оценить экстремум функции как оптимальное

время для проведения исследования По представленным результатам

целесообразно провести ГДИ на скважине 3 длительностью от 150 часов так как

ценность полученной информации будет наибольшей

Таблица 101 VOI при проведении ГДИ на скважине 3

Продолжительность ГДИ

EMV1 EMV

2 VOI

Целесообразность исследования

50 16116 16111 005 + 100 16135 16111 024 + 150 16198 16111 087 +

200 16127 16111 016 +

250 16033 16111 -078 - 300 16021 16111 -09 -

В случае горизонтальных скважин также был произведен анализ

ценности информации рассчитаны параметры VOI от длительности по времени

Однако для выхода на радиальный режим для случаев горизонтальных стволов

скважин на рассматриваемом месторождении N необходимо более 500 часов что

существенно увеличивает капитальные затраты При расчете большой

длительности на проведения ГДИ обычно скважину не останавливают так как

эти исследования являются крайне затратными В таблице 202 указаны расчёты

при проведении исследования на горизонтальной скважине 5

63

Рис 101 Зависимость VOI от длительности ГДИ

Таблица 102 VOI при проведении ГДИ на скважине 5

Продолжительность ГДИ

EMV2 EMV

1 VOI

Целесообразность исследования

50 1603 1611 -078 - 100 1606 1611 -054 - 150 161 1611 -013 - 250 1612 1611 012 - 350 1611 1611 -006 - 500 1614 1611 024 +

Таблица 103 Ранжированный список скважин-кандидатов для проведения ГДИС

Скважина VOI (t=50) VOI (t=100) VOI (t=150) VOI (t=200) VOI (t=250) VOI (t=300)

3 005 024 087 016 -034 -078 1 003 015 036 073 -021 -064 4 002 012 024 054 -011 -057 2 001 009 011 031 042 -03

Модуль автоматически перебирает выбранный список скважин для

бурения проектной скважины и ранжирует их по ценности информации

проведенных исследований также предлагает наиболее оптимальное время

исследований исходя из экономических параметров (таблица 103)

Апробация и оптимизация инструмента оценки необходимости

проведения гидродинамического исследования проводится на одном из активно

-15

-1

-05

0

05

1

15

0 50 100 150 200 250 300 350

VO

I м

лнр

уб

Длительность ГДИ ч

VOI (Проведение ГДИ нецелесообразно)

VOI (Проведение ГДИ целесообразно)

64

разбуриваемых месторождений В данной работе проводилась аналитика для

бурения 10 проектных скважин По результатам моделирования ГДИ на

скважинах вблизи проектной была проведена оценка ценности информации от

запланированного исследования На рис102 представлена зависимость

определенного VOI от длительности ГДИ если график расположен выше нуля

(VOI gt 0) исследование экономически обосновано проводить Определив

экстремум функции определяется оптимальная длительность исследования

Приводя пример в рассчитанном кейсе для бурения скважины X наиболее

выгодно провести исследования в 3 скважине длительностью 150 часов

Рис 102 Зависимость VOI от длительности ГДИ в скважинах 1234

-1

-05

0

05

1

0 100 200 300 400

VO

I

Длительнось ГДИ

Скв 3 Скв 1 Скв 4 Скв 2

65

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

По результатам магистерской диссертации был реализован инструмент для

оптимального планирования гидродинамических исследований на этапе бурения

проектных скважин с помощью метода VOI

Предложенный в данной работе метод позволяет определить не только

необходимость проведения гидродинамического исследования но и выдать

рекомендации по оптимальной продолжительности исследования

Смоделировав исследования ГДИ на нескольких соседних от проектных

скважин инструмент позволяет ранжировать скважины ndash кандидаты для

гидродинамических исследования по величине ценности информации VOI

В процессе реализации предложенной методики работы было выполнено

следующее

1 Автоматический анализ данных по ранее проведенным

исследованиям определение геологической неопределенности

интересующих параметров (пластовое давление проницаемость) по

всему эксплуатационному фонду скважин на месторождении N

2 Модуль сплайн-интерполяция на языке программирования Python с

помощью которого интерполируются значения параметров

решается задача о нестационарном притоке к скважине с помощью

языка программирования VBA в котором учитываются результаты

моделирования синтетического ГДИ

3 Расчёт плановых показателей добычи на основе распределений Рпл

и kh до проведения исследования и после него в зависимости от

времени исследований

4 Экономический анализ эффективности проведения исследований на

основе методики VOI по результатам которого выполняется

ранжирование скважин по информативности исследований

66

По результатам расчёта на месторождении N выяснили что для бурения

скважины X наиболее эффективно останавливать на ГДИ скважину 3 с

длительностью исследования 150 часов

В заключении реализованный модуль позволяет оценить

целесообразность проведения ГДИ и самое важное экономическое обоснования

планируемых исследований

Возможности реализованного модуля

Автоматизированный анализ геологической неопределённостей по

фильтрационным-емкостным свойствам и пластовому давлению в

зоне планируемого бурения

Экономическое обоснование по проведению гидродинамических

исследований в зоне бурения проектных скважин

Определение оптимальной длительности ГДИС

Ранжирование скважин по информативности проведения

исследований

Экономическое обоснование затрат на ГДИС и последующими

решениями по оптимальному планированию ГДИС на основе

ценности информации

67

ОХРАНА ТРУДА

Преобладающее время по написанию выпускной квалификационной

работы проводилось за персональным компьютером

Согласно рекомендованной инструкцией по охране труда во время работы

на компьютере ТОИ Р-45-084-01 и также при его эксплуатации могут возникнуть

негативное влияние на работника следующие вредные производственные и

опасные факторы

повышенные уровень электромагнитного воздействия

высокая степень статического электричества

низкий уровень ионизации воздуха

нагрузки которые связанны с продолжительным временем сидячим

положением

повышенная нагрузка на органы зрения

болевые симптомы в позвоночнике и пояснице в связи

продолжительным сидячим положением а также венозная

недостаточность и стресс

Для рационального выбора организации рабочего процесса необходимо

минимизировать опасное воздействие на здоровье работающего а также

выполнить все требования эргономики и обезопасить свое рабочее место

Требования к минимизации нагрузки на органы зрения

Высокая нагрузка на органы зрения приводит к ухудшению зрения

возникновению близорукости и других заболеваний что также провоцирует

мигрень и головные боли повышается раздражительность нервное состояние

которое может привести к стрессу

Для избежание негативного воздействия на органы зрения необходимо

уделить особое внимание освещению как помещения так же и рабочих мест так

как степень освещенности напрямую зависит от интенсивности зрительного

напряжения Основное освещение следует размещать сплошными или

прерывистыми линиями светильников которые могут располагаться сбоку от

68

рабочих мест а также параллельно линии зрения рабочего при линейном

расположении мониторов компьютера Если же ПК расположены по всему

периметру помещения тогда линию светильников или ламп следует

расположить локализовано над каждым рабочим местом

Безопасная и рекомендуемая норма освещенности для работника в системе

освещения составляет mdash 150 minus 200 лк По правилам допускается расположение

ламп локального освещения Персональное освещение не должно

способствовать возникновению бликов на поверхности самого экрана а также

освещенность экрана не должна превышать 300 лк Безопасным считается

освещение рабочих мест люминесцентными лампами ЛБ белого света которые

должны использоваться в помещениях с нормальными условиями труда

Экран должен характеризоваться освещенностью не более 300 лк Яркость

ламп основного освещения в части зон углов излучения 50 minus 90∘ в продольной и

поперечной с вертикалью плоскостях может составлять менее 200кдм также

защитный угол светильников может составлять более 40∘

В виде источников света особенно при условии искусственного освещения

следует применять люминесцентные лампы ЛБ (белый свет) и ЛТБ (тепло-

белый) с характеристиками мощностью 40Вт или 80Вт обладающие высокой

световой отдачей (до 120лмВт и более) у которых продолжительный срок

службы (до 10000ч)

В лампах локального освещения допускается использование ламп

накаливания также галогенных Не допускается использование светильников без

рассеивателей и экранных решеток

Организация рабочего места в связи с активностью оператора

Сфера работы оператора ЭВМ характеризуется пониженной мышечной

активностью а также длительным напряжением мышц в статике особенно шеи

рук спины и ног что может привести к утомлению Состояние утомления

существенно возрастает особенно при неоптимальной высоте рабочего стола и

сидения у которого отсутствует опорная спинка или подлокотник а также

острых углах наклона головы нерациональным и неудобном размещении

69

видеотерминала документов и клавиатуры неудобном угле наклона

поверхности экрана отсутствии подставки для ног

Сиденье должно быть удобным и обеспечивать поддержание правильной

рабочей позы которое будет позволять изменять положение с целью

уменьшение напряжения мышц шейно-плечевой области Лучший способ - это

когда рабочее кресло оборудовано подъемно-поворотным которое регулируется

по высоте и по углам наклона спинки причем регулировка каждого параметра

должна быть независимой

Рабочее место работника следует обеспечить подставкой для ног (п 93 и

105 СанПиН 222241340-03) Поверхность подставки обязательно должна

быть рельефной и характеризоваться высотой переднего края 10 мм

Требования пожаробезопасности

Согласно ГОСТ 121004-91 следует помнить о существующих мерах

предосторожности и опасных факторах огонь пламя и дым также высокая

температура токсичные продукты горения и их термическое разложение

сниженная концентрация кислорода Противопожарную защиту обеспечивают

следующими мерами

Использование средств пожаротушения наличие сигнализации и

устройств тушения в помещениях которые способны ограничивать

распространение пожара наличие специальных средств индивидуальной

защиты

Противопожарные перегородки и отсеки устройства автоматического

отключения систем

Специальная планировка эвакуационных выходов

Системы оповещения людей по громкоговорителю

Технические средства для эвакуации людей

Присутствие огнетушащих веществ

70

Система вентиляции здания должна содержать оборудования и устройства

которые обеспечивают автоматическое отключение при пожаре и

огнедымозадерживающими устройствами Система электропитания

персонального компьютера должна иметь блокировку которая отключает его в

случае пожара

71

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1 Байков ВА Бакиров НК Яковлев АА Математическая геология

учебное пособие ndash Москва-Ижевск 2012 ndash 228с

2 Гуляев Д Н Кокурина В В Кременецкий М И и др Формирование

системы промыслового мониторинга на основе долговременных иссле-

дований стационарными датчиками на приеме насоса Нефтяное хозяй-

ствоraquo 12 2009 С 41ndash44

3 Демьянов В В Савельева Е А Геостатистика теория и практика

учебное пособие ndash Москва 2010 ndash 327с

4 Каневский МФ Демьянов ВВ Савельева ЕА и др Элементарное

введение в геостатистику Москва ВИНИТИ 1999 ndash 136с

5 Каневская Р Д Математическое моделирование разработки месторож-

дений нефти и газа с применением гидравлического разрыва пласта М

Недра-Бизнесцентр 1999 ndash 212 с

6 Кременецкий М И Ипатов А И Гуляев ДН Информационное

обеспечение и технологии гидродинамического моделирования нефтяных

и газовых залежей [Книга] - Москва-Ижевск Ижевский институт

компьютерных исследований 2011 ndash 896с

7 Леонтьев Н Е Основы теории фильтрации [Книга] - Москва ЦПИ при

механико-математическом факультете МГУ 2009 ndash 88с

8 Ортега Дж Введение в параллельные и векторные методы решения

линейных систем [Книга] - Москва Мир 1991 ndash245с

9 Abramowitz M IA Stegun Handbook of Mathematical Functions [Книга] -

New York Dover Publications Inc ndash 1972

10 Churchill RV Operational Mathematics [Книга] - New York McGraw-Hill

Book Co Inc ndash 1972

11 Gringarten AC and Ramey HJ The Use of Source and Greenrsquos Functions in

72

SolvingUnsteady-Flow Problems in Reservoirs [Книга] - SPEJ 1973 ndash245с

12 Houzeacute O Viturat D Fjaere O-S Dynamic data analysis [Книга] - Kappa

2008

13 Joshi SD Horizontal Well Technolog [Книга] - Tulsa Oklahoma Penwell

Published Compan 1991

14 Stehfest H NumericalInversionof LaplaceTransforms [Книга] -

Communicationsofthe ACM 1970

15 The Society of Petroleum Engineers Введение в нефтяной инжиниринг

[Книга] - Москва-Ижевск Институт компьютерных исследований 2014

16 Van Everdingen AF and HurstW W The Application of the Laplace

Transformation to Flow Problems in Reservoirs [Книга] - AIME 1953

17 Stehfest H NumericalInversionof LaplaceTransforms

Communicationsofthe ACM 1970

18 Gringarten AC and Ramey HJ The Use of Source and Greenrsquos Functions in

SolvingUnsteady-Flow Problems in Reservoirs бм SPEJ 1973

19 Jan R Williams Susan F Haka Mark S Bettner Joseph V Carcello

Financial amp Managerial Accounting 2008

6

ВВЕДЕНИЕ

Результаты гидродинамических исследований (ГДИ) являются ключевой

информацией при планировании и контроле разработки месторождений

Результаты интерпретации исследований позволяют определить и уточнить

геологическое строение контролировать и вести мониторинг энергетического

состояния пласта и разработки месторождения определять текущее состояние

скважины и пласта обосновывать и контролировать эффективность геолого-

технологических операций Тем не менее полный охват действующего фонда

скважин гидродинамическими исследованиями в большинстве случаев

затруднён в связи с технологическими ограничениями и затратами на проведение

исследования (в том числе потерь по добыче нефти вследствие остановки

скважин ГДИ)

При планировании программы гидродинамических исследований скважин

специалисты часто сталкиваются с проблемой значительных ограничений по

лимиту потерь добычи нефти В данных условиях выбор скважин как правило

осуществляется из числа малодебитных скважин

Одновременно с этим основной задачей при планировании ГДИ является

оценка длительности исследования обеспечивающая регистрацию данных на

радиальном режиме фильтрации Однако выход на радиальный режим течения

особенно для горизонтальных скважин с трещинами многостадийного

гидравлического разрыва пласта и к тому же вскрывающих низкопроницаемые

коллектора зачастую может превышать десяти суток Результаты проведения

исследований с длительностью не позволяющей регистрировать радиальный

режим течения как правило являются малоинформативными Вследствие чего

при планировании длительности ГДИ необходимо определять баланс между

затратами на проведение исследования и ценностью информации которую даёт

исследование

7

Оптимизация процессов планирования гидродинамических исследования

включающая выбор скважин ndash кандидатов под ГДИ и определение длительности

исследования является актуальной задачей при мониторинге разработки

месторождения

В магистерской диссертации рассмотрен подход оптимального

планирования проведения ГДИ на основе методики по оценке ценности

информации VOI В методике предполагается проводить исследования на

скважинах действующего фонда которые располагаются возле проектной зоны

бурения да начала бурения скважин с целью снижения неопределенностей в

свойствах пласта в зонах проектного бурения Результатом разработанного

подхода является инструмент позволяющий ранжировать скважины для

гидродинамических исследований и выбирать оптимальную длительность

исследования

8

ГЛАВА 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕННОСТИ ИНФОРМАЦИИ НА

ОСНОВЕ VOI

Ценность информации (Value of information) ndash это разность между

ожидаемой стоимостью проекта с учетом и без учета полученной информации в

результате исследований Критерий ценности информации позволит

охарактеризовать экономическую выгоду результатов исследований а также

произвести оценку эффективности программы геологоразведочных работ

Появившиеся тенденции разработки месторождений характеризующиеся

сложным геологическим строением и высокой степенью неопределённостью

требуют новых методик экономической оценки ценности проектов В связи с

повышением стоимости геологоразведочных работ месторождений

находящихся в удаленных регионах на шельфе подход основанный на

экономической ценностью информации является актуальным Расчет VOI

позволяет найти наиболее экономически выгодную программу исследований

оценить ее достаточность оптимальность определить ценность информации

единичного исследования Статистический подход к развитию возможных

вариантов исхода поможет количественно оценить риски проекта составить

оптимальную программу разработки месторождения на основе дерева решений

Процесс принятия решению можно визуализировать в виде дерева

решения графического метода анализа информации который вкачает в себя

узлы решения вероятности и окончания Последовательность

взаимоисключающих событий реализация сценариев включающих риски и

неопределенности приводит к достижению поставленной цели при заданных

вероятностях

Решения принимаются в узлах решений Ветви исходящие из любого

узла решений представляют собой все возможные выборы которые имеются на

данный момент времени у принимающего решения

9

Неопределенные результаты возникают в узлах вероятности (случая)

Ветви исходящие из любого узла вероятности представляют все результаты

которые могут возникнуть в некоторый момент времени и их вероятности в

сумме должны быть равны 1 Исходной веткой (перед самим узлом) могут

являться как альтернативы узла решений так и исходы предыдущего узла

вероятности

Узел окончания обозначает завершение каждой ветки и не подразумевает

дальнейшее ветвление Справа от него в строчку записывается итоговая

вероятность данной ветки (считается перемножением вероятностей данной

ветки по всем узлам вероятности) и финансовый результат данной ветки

(сценария)

Рис 11 Пример простого дерева решений

Концепция VOI (рис 12) основана на расчете разницы ожидаемой

денежной проекта после проведения исследования (EMV2) и без информации

(EMV1) ndash dNPV [3] которая возникает в связи с риском принятия неэффективного

решения из-за существующей неопределенности параметров объекта

исследования

Рис 12 Пример простого дерева решений

10

Снижение диапазона неопределённости позволяет принять более

эффективные инвестиционные решения и тем самым повысить ценность

проекта Оценка наиболее оптимальных решений до и после проведения

исследования входит в оценку EMV по веткам дерева решений что позволяет

оценить VOI от проведения работ

Ценность информации будет являться нулевой в случаях если информация

не приносит снижения диапазона неопределенности и если снижение

неопределенности не несет никаких изменений в дальнейших решениях по

проекту Оценка ценности информации позволяет на количественном уровне

оценить экономическую целесообразность проведения ГДИ и вовремя

отказаться от проведения неэффективных исследований тем самым увеличив

стоимость проекта

ГЛАВА 2 ОБЗОР ВХОДНЫХ ДАННЫХ

Реализованный модуль прошел апробацию на восточной части

месторождения N В текущей постановке предложенная методика для оценки

ценности информации и необходимости проведения гидродинамических

исследований проводилась на стадии планирования бурения (Рис 01 Карта

проницаемости пласта месторождения N)

11

Рис 01 Карта проницаемости пласта месторождения N

Месторождение N как и многие давно разрабатываемые активы покрыты

частой сеткой гидродинамических исследований в скважинах Однако

превосходящая часть этих исследований была осуществлена в течении 3-4 лет

назад данный факт существенно снижает корректность информации

полученной в результате исследований о текущем пластовом давлении и

фильтрационно-емкостных характеристиках пласта

Проницаемость горных пород пласта - это способность пород пласта-

коллектора пропускать флюид (жидкость воду и газ) при депрессии на пласт

Проницаемость является фильтрационным параметром горной породы который

определяет скорость фильтрации жидкости в среде Проницаемость пористой

среды будет зависеть не только от размера и расположения пор относительно

друг друга но также от характера движения фильтрующихся флюидов (нефть

вода газ)

Пластовое давление (Рпл) ndash это параметр который характеризует энергию

нефтегазоносных пластов Пластовым называют давление которым флюиды

воздействуют на вмещающие их породы Это давление возникает из

гидростатического давления то есть избыточного давления (архимедовой силы)

которое возникает в результате изменения объёма резервуара (порового

пространства пласта) и так же за счёт расширения (или сжатия) флюидов и

изменения их массы вследствие эксплуатации скважинами Существуют

понятия начального пластового давления и текущего пластового давления

Начальное определяют как исходный показатель которым характеризовался

пласт до вскрытия скважиной Текущим пластовым давлением определяют как

меняющийся в ходе разработки месторождения динамический параметр Один

из важных параметров в процессе разработки месторождения ndash это дебит

скважины (q определяют как объём флюида (воды нефти или газа) поступает в

единицу времени) Данная характеристика напрямую будет зависеть от

величины пластового давления и емкостных-фильтрационных свойств пласта

119875пл ndash динамический параметр по этой причине для эффективной разработки

12

месторождения необходима информация о текущем энергетическом состоянии

пласта и его проницаемости

Пластовое давление и проницаемость могут быть получены в результате

интерпретации гидродинамических исследований (глава 5) Однако

длительность исследований и их качество порой оказываются недостаточными

для корректного определения этих параметров В данной работе реализуется

алгоритм моделирования синтетических исследований (глава 8) для оценки

погрешности в зависимости от их длительности

ГЛАВА 3 МЕТОДИКА ОПТИМАЛЬНОГО

ПЛАНИРОВАНИЕ ИССЛЕДОВАНИЙ

Результатом интеграции методологии ценности информации и

планирования гидродинамических исследований является реализованный

инструмент позволяющий определить необходимость проведения исследования

на действующей скважине вблизи проектной С целью определения VOI

инструмент последовательно решает следующие задачи

1 Определение исходных распределений проницаемости (k) и

пластового давления в действующих скважинах (глава 2)

2 Интерполяция исходных распределений в точку проектной

скважины (глава 4)

3 Моделирование исследований ГДИ на действующих скважинах

расположенных вблизи проектной скважины и определение распределений

проницаемости и пластового давления с учётом результатов исследований (глава

8)

4 Интерполяция измененных распределений в точку проектной

скважины (глава 4)

5 Расчёт ожидаемой прибыли проектной скважины без проведения

исследования ГДИ (EMVwoi) (глава 91)

13

6 Расчёт ожидаемой прибыли проектной скважины с учётом

проведения исследования ГДИ (EMVwi) (глава 92)

При проектировании скважины значения проницаемости и пластового

давления определяются по имеющимся картам распределения свойств В свою

очередь построение карт основывается на результатах проведения

гидродинамических исследований По причине наличия погрешностей при

построении карт распределения свойств и погрешностей в результатах

гидродинамических исследований значения проницаемости и пластового

давления с карт зачастую не являются аналогичными результатам ГДИ

На первом этапе инструмент оценивает распределение параметров

основываясь на определении отношения (έ) значений проницаемости и

пластового давления определенных по результатам ГДИ к значениям

определенным по картам пластового давления и проницаемости (рис1)

Параметр έ характеризует отклонения результатов исследований от карт и таким

образом описывает неопределенность в параметре Определив параметр έ для

каждого имеющегося гидродинамического исследования оценивается

распределение отклонений έ для каждого параметра (проницаемости и

пластового давления) Разработка методологии проводилась на существующем

месторождении в результате параметр έ для проницаемости имел

логнормальное для пластового деления нормальное распределение (рис31)

Распределения свойств пласта в точках существующих скважин до

проведения гидродинамического исследования определяется путем

произведения распределений έ на значение параметра пласта с актуальной карты

[1]

14

Рис31 Распределения отклонений значений проницаемости и пластового давления по

результатам ГДИ от значений с карт

На следующем этапе инструмент интерполирует исходные распределения

в точках действующих скважин в точку проектной скважины Для интерполяции

используется метод сплайн ndash интерполяции который оценивает значения

используя математические функции В результате интерполяции для проектной

скважины определяются распределения проницаемости и пластового давления

до проведения гидродинамического исследования

Возможные реализации проницаемости и пластового давления имеют

широкие исходные распределения и являются непрерывными величинами по

этой причине перед моделированием ГДИ исходные распределения в точках

существующих скважин разбиваются на N-количество дискретных исходов

(рис32) Количество исходов (N) определяется на основе точности

погрешности результатов ГДИ Точность результатов ГДИ определяется

экспертным образом Вероятности исходов определяются на основе данных

вероятностного моделирования путем деления всего диапазона исходов

значений N - дискретных исходов и определение количества реализаций

которые можно отнести к каждому исходу При моделировании 100 значений

проницаемости если скважина в 20 реализациях попала в первое распределение

вероятность должна быть определена 20

0

02

04

06

08

1

12

14

00 10 20

Пл

отн

ость

ве

ро

ятн

ости

έ = (Рпл по ГДИ) (Рпл с карт)

Распределение έ значений проницаемости

0

02

04

06

08

1

12

14

00 05 10 15 20

Пл

отн

ость

ве

ро

ятн

ости

έ = (119896 по ГДИ) (119896 с карт)

Распределение έ значений пластового давления

15

Рис 32 Разбиение исходного распределения пластового давления на дискретные

значения

Для оценки распределений свойств пласта в точке проектной скважины

после проведения гидродинамического исследования необходимо создать

синтетическое ГДИ Моделирование запланированного ГДИ проводится путём

решения задачи о нестационарном притоке к скважине с постоянным дебитом на

основе исходных распределений свойств пласта

Уравнением описывающим процессы происходящие при исследованиях

ГДИ является уравнение пьезопроводности Данное уравнение (31) описывает

неустановившееся однофазное одномерное течение флюида в пористой среде и

выражает связь между пластовым давлением временем и расстоянием от

скважины до точки наблюдения Решение уравнения пьезопроводности (32) для

простого случая работы вертикальной скважины в бесконечном пласте позволяет

получить модель характеризующую перераспределение давления в пласте

1

120594

120597120549119875

120597119905=1

119903

120597

120597119903(119903120597120549119875

120597119903) (31)

∆119875(119905 119903) = minus9205119902119861120583

119896ℎ119864119894 (minus

1199032

000036120594119905) (32)

где (q ndash дебит скважины м3сут B ndash объёмный коэффициент 120583 ndash

вязкость жидкости cпз k ndash проницаемость мД h ndash мощность пласта

м r ndash радиус м χ ndash пьезопроводность мД(спзатм-1) t ndash время ч)

16

Ожидаемая прибыль запланированной к бурению скважины до проведения

ГДИ рассчитывается с учётом исходного распределения после ГДИ

рассчитывается для каждого дискретного варианта исхода из N-возможных и для

разных времен длительности исследования t

На первом этапе расчёта прибыли по методу Монте-Карло определяются

значения проницаемости и пластового давления с вероятностями распределения

равными 10 50 90 и оценивается запускное значение дебита скважины По

соседним скважинам определяются темпы падения дебита скважины

усредненный темп падения используется для проектной скважины

Произведение запускного значения дебита и усредненного темпа падения

характеризует профиль добычи проектной скважины На основе профиля

добычи оценивается NPV проектного бурения который учитывает

операционные затраты и капитальные расходы проекта При оценке NPV после

запланированного исследования в капитальных затратах учитываются расходы

на проведение ГДИ стоимость интерпретации исследования инструментальные

замеры

Ожидаемая ценность EMVwi после проведения ГДИ рассчитывается как

сумма отдельно взятых N - исходов умноженных на соответствующие

вероятности исходов (33)

119864119872119881119908119894 (119905119894) = 1198641198721198811199081198941(119905119894) lowast 1198751 + 1198641198721198811199081198942(119905119894) lowast 1198752 +⋯

+ 119864119872119881119908119894119873(119905119894) lowast 119875119899 =sum119864119872119881119908119894_119895(119905119894)

119873

119895=1

(33)

По результатам моделирования ГДИ на скважине вблизи проектной

проводится оценка ценности информации от запланированного исследования

Реализуется построение зависимости VOI от длительности ГДИ где график

расположен выше нуля (VOI gt 0) следует что исследование экономически

обосновано проводить По результату работы модуля выполняется

17

ранжирование скважин с оптимальным временем проведения ГДИ на основе

ценности информации

ГЛАВА 4 МЕТОДЫ ИНТЕРПОЛЯЦИИ

Определения параметров пласта в области с отсутствующими прямыми

измерениями осуществляются с помощью пространственной интерполяции

Одним из основных методов построения карт параметров пласта является

сплайн-интерполяция

Для построения распределения свойств пласта в определённой зоне

используют ограниченное значение количественных измерений интересующего

параметра Z в точках (Xi Yi) Данные точки определяются как точки выборки

(точки наблюдений) Цель пространственной интерполяции ndash получить значения

пространственной переменной Z на площади где отсутствуют исследования с

минимально погрешностью Необходимо интерполировать из точек Z(xi) в

определенную точку Z(x) на основе анализа имеющихся в базе значений (Рис 42)

Рис 42 Интерполяция в точку Z(x)

Подход интерполяции напрямую опирается на измеренные значения в

точках и интерполируются с помощью подбора математической функции

определяя слаженность результирующей формы [4]

В данной работе был реализован метод сплайн-интерполяции

Сплайн-функцией 119904(119909) 119909 isin [119886 119887] называется функция которая в

каждом частичном отрезке [119909119894minus1 119909119894] является полином некоторой степени и

имеет на заданном [119886 119887] производную до некоторого порядка Под степенью

18

сплайна подразумевают максимальную степень полинома по каждому из

отрезков [119909119894minus1 119909119894] а под дефектом сплайна ndash разность между соответствующей

степенью сплайна и порядком наивысшей производной на заданном отрезке

[119886 119887]

Интерполяция сплайнами является кусочно-полиномиальной

интерполяцией Основная теория сплайн-интерполяции заключается том что на

каждом шаге интерполяции (разбиваемом промежутке между узлами)

осуществляется аппроксимация в форме определенной полиномиальной

зависимости Для каждого шага итерации осуществляется подборка полинома

таким образов чтобы выполнялись граничные условия на концах отрезка

Условия для сплайна полинома степени n должны обеспечивать непрерывность

производных порядка степени (n-1) Наиболее распространённые и имеющие

широкую практическую применимость являются кубические сплайны

41 КУБИЧЕСКИЙ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ СПЛАЙН

Кубическим интерполяционным сплайном 119904(119909) называется функция

которая удовлетворяет следующим условиям

1 На каждом определенном отрезке [119909119894minus1 119909119894] 119904(119909) является полином

третьей степени то есть

119904(119909) = 1198860(119894)1199093 + 1198861

(119894)1199092 + 1198862

(119894)119909 + 1198863

(119894) 119909 isin [119909119894minus1 119909119894] (411)

2 119904(119909) isin 119862[119886119887]2

3 119904(119909119894) = 119891119894 119894 = 0 1hellip 119899

4 119904primeprime(119886) = 119904primeprime(119887) = 0

Коэффициенты 1198860 1198861

1198862 1198863

рассчитываются независимо от каждого

промежутка интерполирования [14]Рассмотрим как строится кубический

сплайн Обозначим через 119898119894 = 119904primeprime(119909119894) 119894 = 0hellip 119899 minus

величина называемая моментом

19

119904primeprime(119909) - линейная функция и для каждого отрезка она совпадает с

интерполяционной функцией полинома Лагранжа первой степени

Проинтегрировав получившееся равенство определяется из условия 3

искомые константы находятся в виде сплайна 119904(119909) на частичном отрезке

[119909119894minus1 119909119894]

119904(119909) = 119898119894minus1

(119909119894 minus 119909)3

6ℎ+119898119894

(119909 minus 119909119894minus1)3

6ℎ+ (

119891119894 minus 119891119894minus1ℎ

minus (119898119894 minus119898119894minus1)ℎ

6) (119909 minus 119909119894)

+ 119891119894 minus119898119894

ℎ2

6 (412)

Определяем моменты 119898119894 119894 = 0hellip 119899 с помощью условий 2 3 4

выводим систему следующего вида

1198980 = 0ℎ

6119898119894minus1 +

2

3ℎ119898119894 +

ℎ

6119898119894+1 =

119891119894minus1 minus 2119891119894 + 119891119894+1ℎ

119894 = 1hellip 119899 minus 1 (413)

119898119899 = 0

Запишем следующие вектора

119898 =

(

11989801198981

⋮119898119899minus1119898119899 )

minus (119899 + 1) minus мерный (414)

119892 =

(

1198910 minus 21198911 + 1198912ℎ⋮

119891119899minus2 minus 2119891119899minus1 + 119891119899ℎ )

minus (119899 + 1) minus мерный (415)

и матрицу

20

119860 =

(

1 0 0 01

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ 0

01

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ

⋯0 0 0 00 0 0 00 0 0 0

⋮ ⋱ ⋮

0 0 0 00 0 0 00 0 0 0

⋯

1

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ 0

01

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ

0 0 0 1 )

minus (119899 + 1) times 6(119899 + 1)

minus мерную (416)

Сходимся в необходимости решить следующую систему (417)

119860119898 = 119892 (417)

Данная система представляет собой систему с трёхдиагональной

матрицей и с диагональным преобладанием Для необходимости её решения

потребуется применить метод прогонки который возможен для систем

следующего вида

1198980 = 11989611198981 + 1198920119886119894119898119894minus1 + 119887119894119898119894 + 119888119894119898119894+1 = 119892119894 119894 = 1hellip 119899 minus 1

119898119899 = 1198962119898119899minus1 + 119892119899 (418)

где

119886119894120572119894 + 119887119894 ne 0 119894 = 1hellip 119899

1 minus 1198962120572119899 ne 0 (419)

где 120572119894 в свою очередь - это

1205721 = 1198961

120572119894+1 = minus119888119894

119886119894120572119894 + 119887119894 119894 = 1hellip 119899 minus 1 (4110)

Следующая методика прогонки представлена в двух частях прямой хода

и обратный хода Прямой ход выявляет следующие величины

21

1205721 = 11989611205731 = 1198920

120572119894+1 = minus119888119894

119886119894120572119894 + 119887119894 119894 = 1hellip 119899 minus 1 (4111)

120573119894+1 = minus119892119894 minus 119886119894120573119894119886119894120572119894 + 119887119894

119894 = 1hellip 119899 minus 1

Далее следует обратный ход в порядке уменьшения индексов определяет

искомые параметры

119898119899 =

119892119899 + 11989621205731198991 minus 1198962120572119899

119898119894 = 120572119894+1119898119894+1 + 120573119894+1 119894 = 119899 minus 1hellip 0

(4112)

Сплайн 119904(119909)математически определён формулой представленной выше

42 КУБИЧЕСКИЙ СГЛАЖИВАЮЩИЙ СПЛАЙН

Метаматематическая модель кубического сглаживающего сплайна

заключается в том что в узлах 119909119894119894=0119899 sub [119886 119887] определенные значения функции

119891(119909) могут быть заданы с погрешностью 119891119894=0119899

В таких моделях с дефектом 1

кубический интерполяционный сплайн будет реализован с достаточно большой

погрешностью вследствие построения с неточными значениями В большинстве

случае реализуют построение кубического сглаживающего сплайна в котором

решается следующая экстремальная задачи

119906 =119894119899119891

119906 isin 11988222[119886 119887]

120567(119906) (421)

где 11988222[119886 119887] ndash пространство Соболева вещественных функций с нормой

1199062 = int(|119906(119909)|2 + |119906primeprime(119909)|2)119889119909

119887

119886

(422)

а функционал

22

120567(119906) = int |119906primeprime(119909)|2 119889119909

119887

119886

+sum119901119894(119906(119909119894) minus 119891119894)2

119899

119894=0

119901119894 gt 0 119894 = 0hellip 119899 (423)

строго неотрицательный выпуклый полунепрерывный снизу

вследствие слабой сходимости

Однозначно решение данной задачи существует и является единственным

решением Введем единственное решение 1199060(119909) также обозначим значения

119910119894119894=0119899 следующим образом

119910119894 = 1199060(119909119894) 119894 = 0hellip119899 (424)

Можем построить кубический интерполяционный сплайн 119904(119909 119910)

119904(119909119894 119910) = 119910119894 Данное полученное решения является равным 1199060

Оценим вид интерполяционного сглаживающего сплайна

Введём в рассмотрение отображение 119866(119910) ℝ119899+1 rarr ℝ

119866(119910) = 120567(119904(middot 119910 )) = int |119904primeprime(119909)|2 119889119909

119887

119886

+sum119901119894(119904(119909119894) minus 119891119894)2

119899

119894=0

=

sum int |119904primeprime(119909)|2 119889119909

119909119894

119909119894minus1

119899

119894=1

+sum119901119894(119904(119909119894) minus 119891119894)2 (425)

119899

119894=0

Получаем исходную экстремальную задачу эквивалентную поиску

min119910isin ℝ119899+1

119866(119910) (426)

Исходя из того что 119904(119909 119910) ndash является кубическим интерполяционным

сплайном запишем

119904primeprime(119909119894 119910) = 119898119894 119894 = 0hellip119899 (426)

1198980 = 0119898119899 = 0 (427)

Вводим (119899 minus 1) times (119899 minus 1)-мерную матрицу

23

119860 =

(

2

3ℎ

1

6ℎ 0 0

1

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ 0

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

0

0

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

01

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ

0 01

6ℎ

2

3ℎ)

(428)

(119899 minus 1)-мерный вектор

119898 = (

1198981

⋮119898119899minus1

) (429)

(119899 minus 1) times (119899 + 1)-мерную матрицу

119867 =

(

1

ℎminus1

2ℎ

1

ℎ0 ⋯ 0 0 0 0

⋯

0 0 0 0 ⋯ 01

ℎminus1

2ℎ

1

ℎ)

(4210)

невырожденную (119899 + 1) times (119899 + 1)-мерную матрицу

119875 = (1199010

⋱119901119899

) (4211)

и (119899 + 1)-мерный вектор

119891 = (1198910⋮119891119899

) (4212)

получаем следующую систему уравнений в которой вычисляем моменты

119898

(119860 + 119867119875minus1119867lowast)119898 = 119867119891 (4213)

Данная система решается методом Гаусса Затем можем выразить

119910 = minus119875minus1119867lowast119898 + 119891 (4214)

(4214) - точку глобального минимума для заданного отображения 119866(119910)

В итоге получаем форму сглаживающего сплайна

24

119904(119909) = 119898119894minus1

(119909119894 minus 119909)3

6ℎ+119898119894

(119909 minus 119909119894minus1)3

6ℎ+ (119910119894minus1 minus

ℎ2

6119898119894minus1)

119909119894 minus 119909

ℎ

+ (119910119894 minusℎ2

6119898119894)

119909 minus 119909119894minus1ℎ

(4215)

119909 isin [119909119894minus1 119909119894] 119894 = 1hellip119899 (4216)

ГЛАВА 5 ОСНОВЫ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО

ИССЛЕДОВАНИЯ СКВАЖИН

Основой ГДИС являются решение нестационарной задачи фильтрации

Рис 51 а) б) формирование радиальной воронки депрессии после пуска

добывающей и нагнетательной скважины в) г) расформирование радиальной

воронки депрессии после остановки добывающей и нагнетательной скважины

Tmdash время прошедшее после пуска скважины tmdash время прошедшее после

остановки скважины[6]

флюидов в порово-упругой среде Они основываются на изучение процессов

формирования и релаксации полей давления в пласте и в скважине в

зависимости от типа воздействия (закачка или отбор флюида) (рис51) Арсенал

технологий исключительно разнообразен и включает самые различные методы с

различной продолжительностью и интенсивность воздействия на пласт Каждая

технология представляет совокупность циклов (базовых элементов)

Определение каждого из них ndash регистрация разницы давления во времени после

изменения дебита скважины на заданной глубине Продолжительностью цикла

25

обуславливается решаемой задачей глубинностью условием и объектом

исследования

Гидродинамические исследования предполагают синхронные измерения

давления и расхода на фиксированной глубине при переходных режимах

эксплуатации скважины Основными элементами технологий ГДИС стабильно

работающих скважин являются способы предполагающие регистрацию

изменения давления во времени

после пуска скважины на стабильный режим отбора или закачки

(кривая стабилизации давления (КСД) -пуск) или при переходе с

одного стабильного режима на другой (КСД-режим)

после остановки скважины стабильно или циклически работавшей

в режиме отбора (кривая восстановления давления КВД) или

закачки (кривая падения давления - КПД)

Решение прямой задачи ГДИС состоит в оценке изменения давления на

забое скважины при заданном изменении дебита и для конкретной модели

скважины и пласта

К наиболее часто используемым моделям относится скважина со скин-

фактором в однородном изотропном пласте при радиальном режиме течения

При пуске скважины с постоянным расходом QАТ[м3с]=const (расход

соответствует условиям атмосферы) изменение давления РС [Па] во времени

tРАБ[с] прошедшем с момента пуска описывается асимптотической

формулой точность которой повышается с увеличением tРАБ

РАБRRРАБ

ПРС

OАТCПЛ tt

r

χ

επ

BQPP

lnln

252ln

4 2

_

(51) επ

BQ OАТR

4

2

_

252ln

ПРС

RRr

χ

kh

k

S

CПРС err _

Другие обозначения принятые в данных формулах PПЛ [Па] ndash первоначальное

пластовое давление [Пас] - динамическая вязкость фильтрующегося флюида Во[безразм]

26

ndash объемный коэффициент флюида [м3Па с] ndash гидропроводность пласта [м2с] ndash

пьезопроводность пласта k [м2] ndash проницаемость пласта КП [в долях]ndash пористость пласта h[м]

ndashэффективная работающая толщина пласта s[безразм] ndash интегральный скин-фактор rС_ПР [м]

ndashприведенный радиус скважины rС[м] ndashрадиус скважины [Па-1] ndash интегральная

сжимаемость пористой среды

При остановке скважины работавшей с постоянным расходом QАТ[м3с] =const в

течение времени tРАБ[с] изменение давления РС[Па] во времени tОСТ[с] прошедшем с

момента остановки описывается асимптотическими формулами (для больших значений tОСТ)

ОСТ

ОСТРАБRПЛ

ОСТ

ОСТРАБОАТПЛC

t

tP

t

tВQPP

tln

tln

4

(52

)

ОСТРАБ

ОСТРАБRR

ОСТРАБ

ОСТРАБ

ПРС

ОАТНАЧC

t

t

t

t

r

ВQPP

t

tln

t

tln

252ln

4 2

_

(53

)

где PНАЧ [Па] ndash давление в момент остановки скважины (tОСТ =0)

Следует обратить внимание что соотношения (51) и (53) оперируют с

разностью текущего и начального давления цикла (в первом случае в качестве

начального выступает пластовое давление а во втором ndash давление в момент

остановки скважины) В отличие от этого соотношение (52) оперирует с

абсолютной величиной давления

С математической точки зрения названные способы представления

данных идентичны Но каждый из них оптимален для решения конкретной

задачи интерпретации гидродинамических исследований Уравнения (51) и (53)

позволяют выделить влияние скин-фактора Основная цель использования

формулы (52) оценка абсолютной величины пластового давления

Абсолютная величина тангенса угла наклона асимптоты () для всех без

рассмотренных зависимостей одинаков и определяется величиной

гидропроводности пласта

Рис52 иллюстрируют поведение давления во времени при запуске

скважины в зависимости от дебита в цикле исследований (а) проницаемости

пласта (б) и скин-фактора (в) Основной недостаток подобного представления

27

результатов в низкой наглядности В частности очень трудно различить

особенности влияния основных информативных факторов ГДИС ndash

фильтрационных свойств пласта (проницаемости) и характеристик

совершенства вскрытия (скин-фактора)

Рис52 особенности поведения давление при пуске скважины (КСД)

а) Влияние расхода Q=QАТВо-расход PС ndashдавление РПЛ- начальное

пластовое давление tРАБ=0 момент пуска скважины (Q1ltQ2ltQ3)

б) Влияние проницаемости Q-расход PС ndashдавление РПЛ- начальное

пластовое давление tРАБ=0 момент пуска скважины (k1gtk2ltk3)

в) Влияние проницаемости скин-фактора Q-расход PС ndashдавление РПЛ-

начальное пластовое давление tРАБ=0 момент пуска скважины (s3gts2lts1)

В ГДИС используются специальные способы представления данных

позволяющие сделать их интерпретацию более наглядной

Рис53 иллюстрирует основные способы представления результатов

ГДИС для исследования добывающей скважины включающей цикл I запуска с

постоянным расходом (КСД-пуск) и цикл II остановки (КВД)

PCQ

PCQ

t=to

Q

PC (k=k1)

PC (k=k3)

PC (k=k2)

PC=PПЛ tРАБ

Q1

PC=PПЛ

t=to

Q2

Q3

PC (Q=Q1)

PC (Q=Q2)

PC (Q=Q3)

PCQPC=PПЛ

Q

PC (s=s1)

PC (s=s2)

PC (s=s3)

а)

б)

в)

tРАБ

tРАБ

28

Рис53 Основные способы представления результатов ГДИС для

диагностики радиального режима течения при пуске в работу со стабильным

расходом добывающей (I) и нагнетательной (II) скважины а) давление как

функция времени в декартовых координатах б) приращение давления как

функция времени в декартовых координатах в) приращение давления как

функция логарифма времени г) логарифм приращения давления и логарифм

логарифмической производной как функция логарифма времени

Базовым способом представления результатов ГДИС является график

полной (по всем циклам исследования) кривой изменения давления во времени

в процессе ГДИС в декартовых координатах (рис53а)

Графики в декартовых координатах зависимости приращения давления от

времени по отдельным циклам позволяют унифицировать результаты измерения

давления по циклам его роста (КВД) и падения (КСД - пуск) Приращение

вычисляется как модуль разности текущего давления (Р) и начального давления

PС

P=Рпл

a)

I

II

ln(tРАБtОСТ)(tРАБ +tОСТ)

IIбtРАБ

РНАЧI

РНАЧII

P=РНАЧI-PС

ln(tРАБ)

P

lnPlnPP

P

Iв)

Iг)

Iд)

P

lnPlnPP

P

IIв)

IIг)

IIд)

tОСТ

P=PС-РНАЧII

tРАБ

ln(tРАБ)

ln(tРАБ+tОСТ)tОСТ

ln(tРАБtОСТ)(tРАБ +tОСТ)

tОСТ

PС

29

(РНАЧ) в цикле Р= Р-РНАЧ Величина Р монотонно увеличивается во

времени вне зависимости от соотношения дебитов в цикле исследования и

предшествующем цикле[6]

График зависимости приращения давления от логарифма текущего

времени laquolntРАБraquo используется для представления результатов КСД-пуск

(рис53Iв) Участок КСД соответствующий радиальному режиму в данном

масштабе аппроксимируется линейной асимптотой Эта особенность

радиального режима используется для его диагностики

Как следует из соотношения (52) наклон асимптоты определяется

гидропроводностью пласта а свободный член значением гидропроводности и

приведенного радиуса (то есть и скин-фактора)

Для цикла (КВД) вместо логарифмического масштаба времени

используется так называемый обобщенный логарифмический масштаб

вычисляемый на основе продолжительностей и расходов циклов работы

скважины предшествующих анализируемому (рис53IIв)

Как следует из соотношения (53) для цикла КВД после одиночного цикла

работы скважины данный масштаб вычисляется по формуле

ОСТРАБ

ОСТРАБP

tt

ttt

)(lnF

(54)

Во временном интервале радиального режима течения КВД

аппроксимируется линейной асимптотой Наклон асимптоты определяется

гидропроводностью пласта а свободный член значением гидропроводности и

приведенного радиуса (то есть и скин-фактора)

Масштаб Хорнера у которого радиального режима течения также является

логарифмическим (рис53II б)

Как следует из соотношения (52) для цикла КВД после одиночного цикла

работы скважины данный масштаб вычисляется по формуле

)ln()(lnОСТ

ОСТРАБ

Pt

tttF

(65)

30

Данный масштаб является инверсным по времени При увеличении

времени его значения падают Участок КВД соответствующий радиальному

режиму течения аппроксимируется линейной асимптотой Наклон асимптоты

определяется гидропроводностью пласта а свободный член значением

пластового давления

Двойной логарифмический масштаб для цикла laquoКСД-пускraquo предполагает

представление логарифма приращения давления laquoln(P)raquo и логарифма

логарифмической производной ln(P) от логарифма времени (рис62Iд)

Логарифмическая производная в этом случае вычисляется по формуле

)ln( P

PP

(66)

Для цикла laquoКВДraquo двойной логарифмический масштаб предполагает

представление параметров laquoln(P)raquo и ln(P) от обобщенного логарифмического

времени соотношение (69)- рис62IIд

)( PF

PP

P

(67)

Данный масштаб является универсальным используется для диагностики

не только радиального но и линейного и других не радиальных режимов течения

для всех типов циклов ГДИС

Следует подчеркнуть что соотношения (51)-(54) выведены для двух

цикличной технологии исследования и при увеличении числа циклов должны

быть модифицированы Но описанный выше принцип масштабирования

результатов ГДИС является универсальным

31

Рис 54 Билогарифмический график КВД [5]

На основе интерпретации результатов исследования ГДИС определяются

параметры энергетического состояния скважины (пластовое давление

депрессия продуктивность динамика их изменения) фильтрационные

параметра пласта (гидропроводность подвижность пьезопроводность

проницаемость) зональность их распространения по площади

В настоящей магистерской диссертации была реализован метод

математического моделирования с целью получения информации о

проницаемости и пластовом давлении в точках исследуемых скважинах

погрешностью полученных параметров на основе качества исследования

(наличие на билогарифмическом радиального режима) связанным со временем

исследования

ГЛАВА 6 ТЕОРИЯ ФИЛЬТРАЦИИ В УПРУГОЙ ПОРИСТОЙ

СРЕДЕ

Основа теории фильтрации основана на изучении движения

(просачивания) жидкости через пористую среду Особенности процессов

фильтрации зависят от упругих свойств среды и насыщающих их флюидов

Для постановки задачи фильтрации жидкости в упругой среде прибегают

к краевой или начально-краевой задаче с соответствующими граничными

условиями Для нахождения математического выражения фильтрации флюидов

в пористой среде решают систему дифференциальных уравнений в частных

производных

Векторы скорости и плотности фильтрующейся жидкости могут быть

представлены в следующем виде - (119909 119910 119911 119905) и плотностью жидкости

120646 (119909 119910 119911 119905) Одной из важных характеристик поровой среды является пористость

32

ndash это относительный объем порового пространства в материале именно этот

параметр определяет количество флюида которое содержится или может

содержаться в определенном объеме пористой среды [7]

Теория фильтрации флюидов опираются на фундаментальный закон

сохранения массы в соответствии с которым изменения массы жидкости в

любом произвольном объеме V внутри замкнутой поверхности происходит за

счет изменение притока и оттока жидкости через границу объема (уравнение

неразрывности) [12]

Поток жидкости через произвольную однозначно определенную

замкнутую поверхность Γ в пористой среде с коэффициентом пористости - φ

заполненной флюидом с вязкостью μ (рис 61)

Рисунок 61 Замкнутая поверхность Γ в пористой среде (The Society of Petroleum Engineers

2014)

Скорость поступление массы объемом V через поверхность Г равна

скорости изменения данной массы в этой области (The Society of Petroleum

Engineers 2014)

119889119872119892

119889119905=

119889

119889119905∭ 120588120593119889119881 =∭

120597

120597119905(120588120593)119889119881

119881119881 6 1

Масса поступающая в определенный объем пористой среды через

дифференциальный элемент поверхности dΓ за промежуток времени Δt со

скоростью равна minus120646 lowast Отличие массы поступившей в определенную

поверхность и массой покинувшей эту поверхность за изменение времени Δt

равна

33

∆119872119892 = minus∆119905∯ 120588 lowast 119889Г Г

6 2

Скорость притока флюида в объем области V через поверхность Γ

lim∆119905rarr0

119889119872119892∆119905

=119889119872119892119889119905

= ∯120588 lowast 119889Г

Г

6 3

Приравняем правые части уравнения (119889119872119892

119889119905=

119889

119889119905∭ 120588120593119889119881 =

119881

∭120597

120597119905(120588120593)119889119881

119881 ) и ( lim

∆119905rarr0

119889119872119892

∆119905=

119889119872119892

119889119905= ∯ 120588 lowast 119889Г

Г 63) если функции

входящие в эти уравнения являются достаточно гладкими то применяем теорему

Остроградского ndash Гаусса к правой части уравнения ( lim∆119905rarr0

119889119872119892

∆119905=

119889119872119892

119889119905=

∯ 120588 lowast 119889Г Г

63) получаем

∭ [120597

120597119905(120588120593) + nabla120588] 119889119881

119881=0 (64)

Интеграл может быть приравнен к нулю тогда когда сама функция под

знаком интеграла равна нулю исходя из этого утверждения можем получить

120597

120597119905(120588120593) + nabla120588 = 0 (65)

Полученное уравнение (65) можем переписать через поля давления по

причине отсутствия непосредственного замера скорости и плотности потока при

гидродинамическом исследовании скважины (ГДИС) Для пересчета в

характеристики давления потока воспользуемся законом фильтрации Дарси и

уравнение состояния [2]

Уравнение состояния которое связывает плотность и давление

с = minus1

119881

120597119881

120597119875 с =

1

120588

120597120588

120597119875 сρ

120597119875

120597119905=120597120588

120597119905 0 6

c ndash сжимаемость жидкости отрицательный знак отражает условие что

при положительном коэффициенте сжимаемости будет происходить сжатие

флюида (давление растет объем уменьшается) Различают общую сжимаемость

с119957 и сжимаемость пористой среды с119943

с119891 =1

120593

120597120593

120597119875 6 7

34

с119905 = с119891 + 119888 6 8

Исторически уравнение баланса было получено экспериментально Анри

Дарси По закону Дарси вектор скорости фильтрации выражается через вязкость

флюида micro и тензор проницаемости k Знак минус в правой части также имеет

физически явный смысл в отсутствии сил действующих на массу жидкость

начинает движение из областей в повышенным давление в область с меньшим

давлением

= minus119896

120583nabla119875 6 9

При рассмотрении первого слагаемого уравнения 120597120597119905(120588120593) + nabla120588 = 0

(65 и с = minus1

119881

120597119881

120597119875 с =

1

120588

120597120588

120597119875 сρ

120597119875

120597119905=

120597120588

120597119905 06 выполним подстановку

120597

120597119905(120588120593) = 120593

120597120588

120597119905+ 120588

120597120593

120597119905= 120593сρ

120597119875

120597119905+ 120588

120597120593

120597119905= 120593сρ

120597119875

120597119905+ 120588

120597120593

120597119875

120597119875

120597119905=

= 120593сρ120597119875

120597119905+ 120588с119891120593

120597119875

120597119905= 120588с119905120593

120597119875

120597119905 6 10

Далее перезапишем уравнение 120597120597119905(120588120593) + nabla120588 = 0 (65 с учетом

данного выражения и подставим вектор скорости из уравнения закона Дарси

с119905120593120597119875

120597119905= nabla(

119896

120583nabla119875)

1

120594

120597119875

120597119905= nabla2119875 120594 =

119896

с119905120593120583 6 11

Где 120594 ndash коэффициент пьезопроводности с119905120593120597119875

120597119905= nabla(

119896

120583nabla119875)

1

120594

120597119875

120597119905= nabla2119875 120594 =

119896

с119905120593120583 611 определяется как уравнение пьезопроводности - основным

уравнением которое описывает процессы возникающие при гидродинамических

исследованиях

Данное уравнение пьезопроводности (611) может быть перезаписано

относительно радиальных координатах

1

120594

120597Δ119875

120597119905=1

119903

120597

120597119903(119903120597Δ119875

120597119903) 6 12

где 120607119927 = 119875119894 minus 119875 119875119894 minus начальное пластовое давление

35

Уравнение пьезопроводности решается практически во всех

аналитических моделях и выражается в них в радиальных формулах

Однозначно определенным объектом такого радиального решения служит

нагнетательная или добывающая скважина Выбранная система координат

наилучшим способом описывает моделирование радиального потока

относительно скважины

ГЛАВА 7 МОДЕЛИРОВАНИЕ ИССЛЕДОВАНИЙ

Уравнением описывающим процессы происходящие при исследованиях

ГДИ является уравнение пьезопроводности Данное уравнение (71) описывает

неустановившееся однофазное одномерное течение флюида в пористой среде и

выражает связь между пластовым давлением временем и расстоянием от

скважины до точки наблюдения Решение уравнения пьезопроводности (72) для

простого случая работы вертикальной скважины в бесконечном пласте позволяет

получить модель характеризующую перераспределение давления в пласте

1

120594

120597120549119875

120597119905=1

119903

120597

120597119903(119903120597120549119875

120597119903) (71)

∆119875(119905 119903) = minus9205119902119861120583

119896ℎ119864119894 (minus

1199032

000036120594119905) (72)

(q ndash дебит скважины м3сут B ndash объёмный коэффициент 120583 ndash

вязкость жидкости cпз k ndash проницаемость мД h ndash мощность пласта

м r ndash радиус м χ ndash пьезопроводность мД(спзатм-1) t ndash время ч)

Инструмент позволяет моделировать исследование ГДИ для случаев с

разным закачиванием скважин (вертикальная скважина вертикальная скважина

с гидравлическим разрывом пласта (ГРП) горизонтальная скважина

горизонтальная скважина с многостадийным ГРП) На первом этапе по заданным

свойствам пласта и флюида моделируется ГДИ описывающая изменение

забойного давления в скважине [1]

36

На следующем этапе моделирования строится билогарифмический график

(рис71) по которому специалисты ГДИ определяют свойства пласта Таким

образом создав синтетическое ГДИ можно предсказать как будет выглядеть

билогарифмический график исследования КВД (кривая восстановления

давления) характеризующего остановку скважины

Моделирование исследования ГДИ проводится для N ndash исходов (рис71) и

для разного времени длительности исследования t (50-100-150hellipчасов) в

результате чего инструмент определяет свойства пласта (проницаемость и

пластовое давление) по результатам исследования зависящих от времени

длительности ГДИ

Рис71 Результаты моделирования исследования ГДИ

ГЛАВА 8 ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИ ФИЛЬТРАЦИИ

ФЛЮИДОВ

811 Основа модели фильтрации к вертикальной скважине

Для самого начала рассмотрим самый простой случай движения флюида

в однородном бесконечном пласте начиная с начального постоянного давления

119927119946

В начальный момент t = 0 однотипно с началом первого цикла

эксплуатации у пласта коллектора начальное равномерное давление - 119927119946

ΔP(r t = 0) = 0 P(r t = 0) = Pi (8111)

Введем в рассмотрение граничное условие когда границы отсутствует

это сопоставимо что пласт-коллектор характеризуется бесконечной

протяженностью

0

05

1

15

2

25

-3 -2 -1 0 1 2 3

LO

G (

dP

) LO

G(P

`)

LOG(dt)

Билогарифмический график

LOG (P(t)-P(tp))

37

ΔP(r rarr infin t) = 0 P(r rarr infin t) = Pi (8112)

Второе граничное условие на радиусе скважины будет зависить от

условий на поверхности ствола (r = rw) Введем в рассмотрение единичную

вертикальную скважину радиусом 119953119960 которая полностью вскрывает

однородный изотропный коллектор с коэффициентом проницаемости k и

эффективной мощностью h добывает однородную малосжимаемую жидкость

вязкостью μ при стандартных условиях с дебитом Q м3 В условиях пласта объем

добываемого флюида составит Qsf = Qb (где b ndash объемный коэффициент

жидкости)

(119903120597119875

120597119903)119903=119903119908

=119902119861120583

2120587119896ℎ (8113)

Одной из удобных моделей моделировании фильтрации к скважине

является модель линейного источника которая является предельным случаем

скважины нулевого радиуса

119897119894119898 (119903120597119875

120597119903)119903rarr0

=119902119861120583

2120587119896ℎ (8114)

На практике прибегают к упрощению постановки задачи путем ввода

безразмерных переменных При решении задачи относительно новых

переменных позволяют интегрировать остальные параметры и в конечном счете

задача сводится к решению уникального набора уравнений которые легко

разрешаются аналитическим методом раз Физический смысл ввода

безразмерных параметров заключается в исключении из основного уравнения

параметров пьезопроводности пласта-коллектора с целью поиска обобщенного

решения с помощью которого переходя на изначальные размерные параметры

удается получить решение для определенного пласта и определить параметры

пьезопроводности и проводимости (Houzeacute O 2008)

119903119863 =119903

119903119908 (8115)

119905119863 =000036119896119905

1205931205831198881199051199031199082 (8116)

38

119875119863 =2120587119896ℎ

119902119861120583∆119875 (8117)

Далее вводим безразмерные параметры переходим к общей задаче

120597119875119863120597119905119863

=1

119903119863[120597

120597119903119863(119903119863

120597119875119863120597119903119863

)] (8118)

119875119863(119903119863 119905119863 = 0) = 0 (8119)

119875119863(119903119863 rarr infin 119905119863) = 0 (81110)

119897119894119898 (119903119863120597119875119863120597119903119863

)119903119863rarr0

= minus1 (81111)

Решая данное дифференциальное уравнение удобно применить

интегральные преобразования Принято при решении уравнения

пьезопроводности пользоваться особой формой линейных интегральных

преобразований являющиеся преобразованиями Лапласа Далее применяем к

уравнению (120597119875119863

120597119905119863=

1

119903119863[120597

120597119903119863(119903119863

120597119875119863

120597119903119863)] (811) преобразования Лапласа

s119875119863 =1

119903119863[120597

120597119903119863(119903119863

120597119875119863

120597119903119863)] (81112)13

Трансформанта Лапласа

119875119863 (119904 119903119863) = int 119875119863(119905119863

infin

119905119863

119903119863) exp(minus119904119905119863) 119889119905119863 (81113)

где s mdash это число достаточно велико чтобы мог существовать интеграл

действительная часть которого положительна Функция обозначенная чертой

сверху является образом (изображением) функции или результатом

интегрального преобразования Лапласа где подынтегральной функцией

является прообразом (оригиналом) Решение уравнения(811s119875119863 =

1

119903119863[120597

120597119903119863(119903119863

120597119875119863

120597119903119863)] (81112)13) можно представить через модифицированное

уравнение Бесселя нулевого порядка которое можно записать в следующем

виде

119875119863 (119904 119903119863) = 119860(119904)1198680(119903119863radic119904) + 119861(119904)1198700(119903119863radic119904) (81114)

39

1198680 и 1198700 являются модифицированными функциями Бесселя нулевого

порядка Значения коэффициентов A и B в уравнении определяются с помощью

подстановки граничных условий в уравнение Осуществляем подстановку

граничных условий из внешнего ГУ А(s)=0 B(s)= 1

119904 В итоге получаем

изображение решения для линейного источника в виде

119875119863 (119904 119903119863) =1

1199041198700(119903119863radic119904) (81115)

Для нахождения образа функции выполняем обратное преобразование

Лапласа полученного уравнения Данную операция можно выполнить с

помощью таблиц преобразований Лапласа (из таблиц в работах (Churchill RV

1972) и (Abramowitz M 1972))

119871minus1 (1198700(119903119863radic119904)) =1

2119905exp(minus

1198962

4119905) (81116)

Обобщаем выводим решение для линейного источника с безразмерными

параметрами

119875119863(119905119863 119903119863) = minus119864119894 (minus1199031198632

4119905119863) 119864119894(119909) = minus int

119890minus119910

119910119889119910

infin

minus119909

(811 14)

Где 119864119894(119909)-интегральная показательная функция Далее выполняем

обратное преобразование переходим на размерные величины

∆P(t 119903) = minusqBμ

2πkh119864119894 (minus

r2

4 lowast 000036120594t) (811 15)

Полученное решение уравнения в каждой точке и на каждом промежутке

времени удовлетворяет задаче фильтрации для скважины линейного источника

находящаяся в эксплуатируемом фонде скважин вскрывающая интервалом

перфорации эффективную мощность однородного бесконечного пласта-

коллектор Одним из выводов из решения уравнения пьезопроводности гласит

что поля релаксации перепада давления мгновенно перераспределяются по

пласту-коллектору Также стоить отметить существующее решение на дальнем

расстоянии от скважины 119903119894119899119907 вблизи которого перепад давления столь мал что

40

этим можно пренебречь Исходя из этого предположения можно определить

радиус исследования 119903119894119899119907 который характеризует размер области исследования

результат интерпретации которых зависят от свойства пласта и флюидов в

скважине [11]

При рассмотрении полей давления в пласте с бесконечной

протяженностью во время запуска скважины в работу на основании полученного

ранее решения уравнения (рис 8111) В первоначальный момент времени 1199051 =

0 забойное давление в скважине равно текущему пластовому давлению через

некоторый отрезок времени в интервале - 1199052 вокруг точки скважины

формируется так называемая laquoворонка депрессииraquo которая может

характеризовать неустановившийся режим течения При движение по временной

шкале воронка депрессии будет распространяться на более дальние расстояния

от скважины пока не достигнет определенной границы (119903119894119899119907=119903119908 +radic120594t) Если

рассматривать зеркально противоположный пример при остановке скважины

воронка депрессии будет становиться меньше и будет уменьшаться пока

значение давления в скважине не достигнет пластового и останется стабильным

Понятие радиального режима для течения флюидов в пласте является

основополагающим для интерпретации гидродинамических исследований Это

режим характеризует обстановку при которой скорость фильтрации и поля

давления имеют радиальную симметрию и линии тока в пласте направлены к

круговому цилиндру по радиусу от периферии пласта к скважине (Рис 1)

41

Рис 8111 Линии тока для вертикальной скважины при радиальной

фильтрации [6]

Решение линейного источника может достичь радиального режима с

определенного времени 119905119909 такую характерную зависимость можно проследить

на билогарифмическом графике (рис 8111) этот режим характеризуется

стабилизацией производной давления С помощью данного графика

проницаемость пласта вычисляется по формуле

119896ℎ = 119902119861μ lowast05

2120587∆Pстаб (81119)

При рассмотрения кейса решения уравнения пьезопроводности в случае

вертикальной скважины в цилиндрическом пласте-коллектора изменится гу на

г

р

а

н

и

ц

е

ц

и

л

и

н

(120597Δ119875

120597119903)119903=119903119890

= 0 (81120)

Аналогично ранее описанному алгоритму решению уравнения

пьезпроводности получим изображение депрессии

∆P (119904) =qBμ

2πkhlowast

lowast

1198680 (119903radic119904120594)1198701 (119903119890radic

119904120594)+ 1198681 (119903119890radic

119904120594)1198700 (119903radic

119904120594)

119903119908radic119904120594119904 [1198681 (119903119890radic

119904120594)1198701 (119903119908radic

119904120594)minus 1198681 (119903119908radic

119904120594)1198701(119903119890radic

119904120594]

(81121)

42

Аналитическое преобразование данного уравнения принимают

следующий вид (Van Everdingen AF and HurstW W 1953)

∆P(t 119903) =qBμ

2πkh

2

1199031198902 minus 119903119908

2(120594119905 minus

1199032

4) minus

1199031198902

1199031198902 minus 119903119908

2119897119899r

119903119908minus

1

(41199031198902 minus 119903119908

2)2lowast

lowast (31199031198904 minus 4119903119890

4119897119899119903119890119903119908minus 2119903119890

2 minus 1) +

+120587sum11986912 (120573119899

119903119890119903119908) [1198691(120573119899)1198840 (120573119899

r119903119908) minus 1198841(120573119899)1198690 (120573119899

r119903119908)]

120573119899 [11986912 (120573119899

r119890119903119908) minus 1198691

2(120573119899)]

infin

119899=1

119890119909119901 (minus1205731198992 120594119905

1199031199082) (81122)

1205731 1205732 и тдndash решения уравнений

1198841(120573119899)1198691 (120573119899r119890119903119908) minus 1198691(120573119899)1198841 (120573119899

r119890119903119908) = 0 (81123)

В поставленной формулировке задачи для выведенного уравнения

решения невозможно сходу подобрать обратное преобразование Лапласа с

помощью табличных значений (аналитической функции) (Abramowitz M 1972)

Однако можно выполнить найти решение выполнив его численно Для решения

задач нестационарной фильтрации флюидов применимы алгоритмы численного

обращения основанные на стохастических подходах (Stehfest H 1970) которые

предполагают что можно рассчитывать приближенное значение оригинала pa(T)

по найденному изображению p(s) в определённый момент времени t = T [13]

119901119886(119879) =1198971198992

119879sum119881119894

119873

119894=1

(119904)119904=1

1198971198992119879 (81124)

119881119894 = (minus1)(1198732)+119894

sum1198961198732(2119896)

[(1198732)

minus 119896] 119896 (119896 minus 1) (119894 minus 119896) (2119896 minus 119894)

min(1198941198732)

119896=(119894+1)2

(81125)

812 Приток к вертикальной скважине с трещиной ГРП

Ранее было выведены решения задачи фильтрации для вертикальных

скважин Метод источников который был применен также используется для

случаев скважин с более сложной геометрией ННС (наклоннонаправленных

43

скважин) ВС ГРП (вертикальный с гидроразрывом пласта) ГС ГРП

(горизонтальных с гидроразрывом пласт)

Функция Грина и метод источников применяется для решения двух- и

трёхмерных задач неустановившейся фильтрации Под источником понимается

некоторая точка поверхность или объем из области которых флюид отбирается

из пласта-коллектора или закачивается Строго говоря отбор жидкости должен

ассоциироваться со стоком а закачка с источником Под физической основой

источник можно сопоставить со скважиной бесконечно малого диаметра в

которую мгновенно закачивается конечное количество флюида[16]

Функции Грина и метод источников тесно связаны между собой Функция

Грина определяется для дифференциального уравнения со специальными

граничными условиями (заданный расход или давление) и соответствует

решению для мгновенного точечного источника С другой стороны функции

источников представляют собой решения данного дифференциального

уравнения с указанными граничными условиями и геометрией источника

Фундаментальное решение функции Грина (G (M Mrsquo τndasht)) для

неустановившегося потока флюида в пористой среде может соотнесено с

давлением в точке M (x y z) в определенный момент времени t которое

обусловлавливает мгновенный точечный источник единичной интенсивности

который создан в точке Mrsquo(xrsquo yrsquo zrsquo) во временя τ lt t Необходимо чтобы

функция Грина удовлетворяла уравнению пьезопроводности

120597119866

120597119905= 120594nabla2119866 81161

120597119875

120597120591= 120594nabla2119875 8122

int nabla2119891(119872)119889119872 =119863

int120597119891

120597119899Г

119889Г 8123

Используем свойства функции Грина можем применить терему Грина

(8123) с учетом (8122) (Gringarten AC and Ramey HJ 1973) получим

44

∆119875(119872 119905) =1

120593119888int int

Г119908(119872119908

prime 120591)119866(119872119872119908prime 119905 minus 120591

119905

0)119889119872119908

prime 119889120591 =

1

120593119888int 119905

0(120591)119878(119872119872119908

prime 119905 minus 120591)119889120591 8123

119878(119872119872119908prime 119905 minus 120591) = int 119866(119872119872119908

prime 119905 minus 120591)119889119872119908prime

Г119908 8124

где Г119908 ndash граница ствола скважины = minus119896

120583

120597119875

120597119899 ndash объём потока который

проходит через точку на поверхности внутренней границы 119872119908prime Применяем

интегрирование правой части данного уравнения (724) получаем

распределение точечных источников по площади длине и объему источника

Для разных конфигураций системы laquoисточник-пластraquo можно подобрать

табличные базовые функции соответствующих мгновенных источников (The

Society of Petroleum Engineers 2014)

В практике нефтегазовой отрасли практически на многих добывающих

скважинах проводиться МУН (метод увеличения нефтеотдачи) Одним из

распространенных методов интенсификации флюида является гидравлический

разрыв пласта (ГРП) который заключается в формировании высокопроводимой

трещины в продуктивном интервале пласте для увеличения притока флюида к

скважине

Поставим задачу решения уравнения фильтрации флюида к вертикальной

скважине с трещиной ГРП Из условий скважина полностью вскрывает пласт

эффективной мощностью h кровля и подошва пласта ограничена

непроницаемыми ровными горизонтальными границами Трещина ГРП

расположена симметрично относительно нормали ствола скважины полудлина

трещины - xf ширина - wf (wf ltlt xf) коэффициент проницаемости трещины kf

индекс laquofraquo характеризует трещину ГРП В горизонтальном направлении пласт

бесконечный (рис 8121 ndash 8122) Течение потока к трещине выражается

двумерным стоком флюида

45

Рис 8121 Вертикальная трещина (вид сбоку)

Рис 8122 Течение флюида к вертикальной трещине (вид сверху)

В ходе решения задачи стоит рассмотреть два типа течения

1) поток в трещине

2) поток в пласте с трещиной

1) Переходя к безразмерным переменным (8115-8117) запишем

уравнение пьезопроводности (8118) и граничные условия (8119-81110)

119901119891119863(119909119863 119905119863) =2120587119896ℎ (119901119894 minus 119901119891(119909 119905))

119902119908120583 (8125)

119905119863 =119896119905

1206011205831198881199051199091198912 (8126)

119909119863 =119909

119909119891 (8126)

119902119891119863(119909prime 120591) =

2119902119891(119909prime120591)

119902119908119909119891 (8127)

1198892119901119891119863(119909119863)

1198891199091198632

=120587

119865119862119863119902119891119863(119909119863) (8128)

119889119901119891119863

119889119909119863 119909119863=0=

120587

119865119862119863 (8129)

46

119889119901119891119863119889119909119863 119909119863=1

= 0 (81210)

Перепад значений давления между забойным давлением и в точке

трещины с координатой 119909119863 можно записать

119901119908119863 minus 119901119891119863(119909119863) =120587

119865119862119863[119909119863 minusint int 119902119891119863(119909

primeprime)119889119909primeprime119889119909prime119909prime

0

119909119863

0

] (81211)

2) Течение добываемого флюида из пласта-коллектора в трещину

можно рассмотреть как наличие нестационарного источника жидкости qf(xt) в

самой трещине Используя метод источников который был рассмотрен ранее

безразмерное давление в любой произвольной точке пласта

119901119863(119905119863 119909119863 minus 119909119908119863 119910119863 minus 119910119908119863) = int int 119902119891119863(120591 119909prime minus 119909119908119863)119866(120591 119909

prime 119909119863 minus1

minus1

1199051198630

119909119908119863 119910119863 minus 119910119908119863)119889119909prime119889120591 (81212)

(119909119908119863 119910119908119863) - безразмерные координаты точки забоя скважины в

горизонтальной плоскости (xy) ось 119909 направлена вдоль трещины

Записывается условие непрерывности давления в пласте и в трещине

119901119891119863(119905119863 119909119863) = 119901119863(119905119863 119909119863 0) (81213)

Следовательно уравнение (81211) принимает вид

119901119908119863 minusint int119902119891119863(120591 119909prime)119866(120591 119909prime 119909119863 0)119889119909

prime119889120591

1

minus1

119905119863

0

=120587

119865119862119863[119909119863 minusint int 119902119891119863(119905119863 119909

primeprime)119889119909primeprime119889119909prime119909prime

0

119909119863

0

] (81214)

Применяем преобразование Лапласа

119908119863(119904) minus int 119891119863(119904 119909prime)(119904 119909prime 119909119863 0)119889119909

prime =1

minus1

120587

119865119862119863[119909119863

119904minus

int int 119891119863(119904 119909primeprime)119889119909primeprime119889119909prime

119909prime

0

1199091198630

] (81215)

int 119891119863(119904 119909prime)119889119909prime

1

minus1

=1

119904 (81216)

47

Получили изображения Лапласа соответствующих функций ndash

оригиналов Решение системы производится путём дискретного разбиения

трещины по длине на 2n сегментов и записи данной системы в следующем виде

для каждого дискретного сегмента (рис 723)

Рис 8123 Схема разбиения трещины на сегменты

119908119863(119904) minussum119891119863119894

119899

119894=1

int (119904 119909prime d119909 (119895 minus1

2) 0) 119889119909prime

d119909119863119894

d119909119863(119894minus1)

+ int (119904 119909prime d119909 (119895 minus1

2) 0) 119889119909prime

d119909119863(minus119894+1)

d119909119863(minus119894)

+120587

119865119862119863[119889119909119863 ∙ 119895

119904minus (119889119909119863)

2sumsum119891119863119896

119894

119896=1

119895

119894=1

] (81217)

119889119909119863 ∙sum 119891119863119894

119899

119894=1

=1

2119904 (81218)

Изображение давления в любой точке пласта можно найти по формуле

119863(119904 119909119863 119910119863) = sum 119891119863119894 int (119904 119909prime 119909119863 119910119863)119889119909119863∙119894

119889119909119863(119894minus1)119889119909prime +119899

119894=1

int (119904 119909prime 119909119863 119910119863)119889119909119863∙(minus119894+1)

119889119909119863∙(minus119894)119889119909prime (81219)

Где 119891119863119894 ndash изображение функции мощности источников в каждом n

сегменте [17]

48

813 Основа модели фильтрации к горизонтальной скважине с МГРП

Задача притока добываемого флюида к горизонтальной скважине с

многостадийным гидроразрывом пласта (МГРП) схематично можно

представить как несколько одинаковых трещин соединенных общим

горизонтальным стволом Каждая трещина пресекает ствол горизонтальной

скважины в центре и является симметричной относительно ствола ((119909119908119863119895 119910119908119863119895)

Рис 8131 Схематическое изображение ГС с МГРП

Каждая трещина ГРП будет иметь равную полудлину 119909119891 и безразмерную

проводимость 119865119862119863 В модели существует предположение что течение флюида

внутри трещины является одномерным Следовательно поток флюида к

горизонтальному стволу скважины с n трещинами будет равен алгебраической

сумме потоков флюида от каждой трещины

119876 = sum 119876119895(119905)119899119895=1 = 119888119900119899119904119905 (8131)

Как ранее для общения задачи вводим безразмерные переменные

давление в точке пересечения скважины с j трещины - 119901119908119863119895 безразмерный дебит

- 119902119863119895 =119876119895

119876

Из условий бесконечной проводимости для горизонтального ствола

119901119908119863119895 = 119901119908119863 119895 = 1 119899 8132

Возмущение давление которое создается трещиной k в точке пересечения

119895 трещины со скважиной ndash 119901(120591)119863119895119896 equiv 119901119863(120591 119909119908119863119896 119910119908119863119896 119909119908119863119895 119910119908119863119895) применяя

принцип суперпозиции

119901119908119863(119905119863) = sum int 119902119863119895 ∙ 119901prime119863119895119896(119905119863 minus 120591)119889120591 8133

1199051198630

119899119895=1

49

Суммарный поток флюида от всех трещин будет фиксирован

sum 119902119863119895119899119895=1 = 1 и с преобразованием Лапласа - sum 119863119895

119899119895=1 =

1

119904 8134

Преобразование Лапласа для 734 р119908119863119895 = sum 119904119863119895119863119895119896119899119896=1 8135

119863119895119896 = int 119891119863(119904 |119909119908119863119896 minus 119909prime|)(119904 119909119908119863119896 minus 119909prime 119909119908119863119895 119910119908119863119896 119910119908119863119895)119889119909

prime

119909119908119863119896+1

119909119908119863119896minus1

8136

119863119895119896 =sum119891119863119894 int (119904 119909119908119863119896 minus 119909prime 119909119908119863119895 119910119908119863119896 119910119908119863119895)119889119909prime

119889119909119863∙119894

119889119909119863(119894minus1)

119899

119894=1

+ int (119904 119909119908119863119896 minus 119909prime 119909119908119863119895 119910119908119863119896 119910119908119863119895)119889119909prime

minus(119894minus1)∙119889119909119863

minus119894∙119889119909119863

8137

Мощность источников 119891119863(119904 |119909119908119863119896 minus 119909prime|) вычисляется из (81217-

81218) где 119889119909119863 =1

119899 ndash безразмерная длина каждого n сегмента 119891119863119894 -

безразмерная скорость течения через i элемент

Система уравнений (8134-8137) записывается в виде [8]

А = 8138

= (

1199081198631198631⋮119863119899

) 8139

А = (

1 minus119904 ∙ 11986311 ⋯ minus119904 ∙ 1198631119899⋮ ⋮ ⋱ ⋮

1 minus119904 ∙ 1198631198991 hellip minus119904 ∙ 1198631198991198990 1 hellip 1

) 81310

= (

0⋮01 119904frasl

) 81311

50

Для вычисления матричных элементов 119863119895119896 необходима информация о

мощности потока в из всех 119899 трещин ГРП Если считать что каждая трещина ГРП

делится на 2119898 сегментов (рис 8123) тогда система (81310) будет содержать

(1 + 2119898 times 119899) количество уравнений относительно следующих неизвестных

119908119863 11989111986311 hellip 119891119863(2119898)1 hellip 1198911198631119899 hellip 119891119863(2119898)119899 где в 119891119863119894119895 ndash течение через i-й

сегмент в j-й трещине Пользуясь упрощенным подходом можем переписать в

следующем виде[19]

forall119895 isin 1hellip119899 forall119896 = 1hellip119898 ∶ 119891119863119895119896 = 119863119895 ∙ 119891119863119896 81312

При определении мощности источников используется допущение что на

распределение мощности источников внутри каждой из трещин соседние

трещины оказывают слабое влияние Можно предположить что распределения

мощности потока в трещинах симметричны относительно точки пересения со

стволом скважины Элементы матрицы А в (81310) получают по формуле

(8137)

119863119895119896 =sum119891119863119894 int (119904 119909119908119863119896 plusmn 119909prime 119909119908119863119895 119910119908119863119896 119910119908119863119895)119889119909

prime

119889119909119863∙119894

119889119909119863(119894minus1)

81313

119899

119894=1

где функция (hellip ) определяется по табличным формулам в зависимости

от граничных условий и типа зоны дренирования

Для решения СУ используется выражение матрицы в виде произведения

дву нижней треугольной и верхней треугольной (LU-декомпозиция) (Ортега

Дж 1991) Так называемое LU-разложение (LU-декомпозиция) mdash

представление выражение определенной матрицы в виде произведения двух

матриц A = LU где L mdash нижняя треугольная матрица а U mdash верхняя

треугольная матрица [15]

Ниже представлены применяемые в данной работе функции источников

в пространстве Лапласа

Таблица 8131 Функции линейных стоков

51

Тип условий на

границах

Функции линейных стоков

119899119899119899119899 =

=120587

2119909119890119863coshradic1199041198631 + coshradic1199041198632

radic119904 sinhradic119904119910119890119863

+ 2sumcos119896120587119909119863119909119890119863

cos 119896120587(119909119908119863 minus 119909prime)

119909119890119863

cosh 1205981198961198631 + cosh 1205981198961198632120598119896 sinh 120598119896119910119890119863

infin

119896=1

0 17

119888119888119888119888

=120587

119909119890119863sumsin119896120587

119909119863119909119890119863

sin 119896120587|119909119908119863 minus 119909prime|

119909119890119863

cosh 1205981198961198631 minus cosh 1205981198961198632120598119896 sinh 120598119896119910119890119863

infin

119896=1

0 18

119888119899119888119899 =

=120587

2119909119890119863coshradic1199041198631 minus coshradic1199041198632

radic119904 sinhradic119904119910119890119863

+ 2sumcos119896120587119909119863119909119890119863

cos 119896120587(119909119908119863 minus 119909prime)

119909119890119863

cosh 1205981198961198631 minus cosh 1205981198961198632120598119896 sinh 120598119896119910119890119863

infin

119896=1

0 19

Где 119909119890119863 =119909119890

119909119891 119910119890119863 =

119910119890

119909119891 1198631 = 119910119890119863 minus |119910119863 minus 119910119908119863| 1198632 = 119910119890119863 minus (119910119863 + 119910119908119863) 120598119896 =

radic119904 + 11989621205872 1199091198901198632frasl 119909119890 ndash размер площади дренирования по оси x 119910119890 ndash размер

площади дренирования по y 119899 значает границу отсутствия перетока 119888

означает границу постоянного давления

82 РЕАЛИЗАЦИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ИССЛЕДОВАНИЙ

В настоящей работе реализовано решение задачи фильтрации о

нестационарном притоке флюида к скважине при постоянном заданном дебите

для скважин с разным типом заканчивания (вертикальная скважина и

горизонтальная скважина с трещинами МГРП) Математическая модель описана

для задач (Главы 811-813) реализована на языке программирования VBA

Входные параметры приведены на рис 821 Параметры границ задаются

в виде прямоугольника (рис823) Параметры скважины флюида и пласта

задаются при помощи априорной информации Проницаемость рассматривается

как распределение полученных ранее (главе 3)

y

x

y

x

y

52

В ходе решения задачи строится график - кривая стабилизации давления

зависимость изменения забойного давления от времени (рис823)

Рис 821 Входные параметры для модели

Рис 822 Расположение горизонтальной скважины в границах

53

Рис 823 Кривая стабилизация давления

На следующем этапе по последней точке определяется значения kmodel В

зависимости от длительности исследования будь то 50 часов 100 часов и более

будет зависеть погрешность результата определения свойств пласта по

отношению к истинным параметрам (рис 821) К тому же от времени

исследования будут зависеть Capex на проведения исследования

Рассчитанное значение модельное kmodel затем сравнивается с исходным

заданным значением kist В результате получаем отношение модельного значения

kmodel после проведения ГДИ к kist в зависимости от длительности ГДИС (рис

822)

Рис 821 График производной забойного давления

54

Рис 822 Отношение kmodel kist для скважины 11РО

Полученные по проницаемости параметры умножаются на эффективную

мощность пласта-коллектора и затем рассчитанное распределение

интерполируется с другими параметрами в скважинах в точку проектной

По результатам моделирования распределения свойств пласта будут

изменяться уменьшение дисперсии при увеличении длительности исследования

(рис823) Идеальным исследованием считается исследование с длительностью

достаточной для достижения производной давления на билогарифмическом

графике радиального режима течения что указывает на достоверность

параметров по результатам ГДИ (проницаемость и пластовое давление) Чем

ближе длительность исследования к идеальному ГДИ тем ниже

неопределенность в параметрах и тем ближе распределение к идеальному

Моделирование разной длительности исследования проводиться для N ndash

распределений (рис2)

Результаты смоделированного ГДИ позволяют снизить неопределенности

(сузить распределение) в свойствах пласта в точке проектной скважины Для

интерполяции в точку проектной скважины используется метод сплайн ndash

интерполяции [18]

tk model 10 20 30 40 50 60 70 80

50 2288169 1501385 1150108 0948723 0808706 0717031 0640296 0581876

100 1496394 0948581 0717744 0581513 0484438 0414342 0361937 0319311

150 1107448 0689761 0503907 0394864 0322636 0269636 0233048 0203542

200 0949817 0580742 0417822 0318936 0259364 021555 0186095 0163468

250 0818194 0486803 0338246 0259062 0206736 0173204 014824 0129707

300 0705787 0408828 0281063 0211366 0169381 0142083 012167 0106692

350 0627933 0351884 023841 017996 0144702 0119968 0103063 0090319

400 0562852 0307024 0207063 0155316 0124788 010441 0089458 0078395

450 0510211 0272553 0183196 013788 0110431 009172 0079061 0069165

500 0463384 0245037 0164854 0123914 0099043 0082679 007078 0061913

55

Рис823 Изменение распределения в зависимости от времени исследования ГДИ

На рис 824 показано распределение значений проницаемости с учетом

разной длительности исследований ГДИ

Полученное распределение kh в проектной скважине до ГДИ

характеризовалось большей дисперсией по сравнению с распределением после

проведенного ГДИ на скважине

Рис 824 Распределение kh на проектной скважине

ГЛАВА 9 РАСЧЕТ ЭКОНОМИЧЕСКОГО ЭФФЕКТА

ЦЕННОСТИ ИНФОРМАЦИИ

Ожидаемая прибыль запланированной к бурению скважины до проведения

ГДИ рассчитывается с учётом исходного распределения после ГДИ

0

001

002

003

004

005

006

007

008

009

1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800

Пл

отн

ость

вероятн

ости

Пластовое давление атм

Распределения пластового давления

Время длительности ГДИ 50 часовВремя длительности ГДИ 100 часовВремя длительности ГДИ 150 часовВремя длительности ГДИ 200 часов (идеальное исследование)

56

рассчитывается для каждого дискретного варианта исхода из N-возможных и для

разных времен длительности исследования t

На первом этапе расчёта прибыли по методу Монте-Карло определяются

значения проницаемости и пластового давления с вероятностями распределения

равными 10 50 90 и оценивается запускное значение дебита скважины По

соседним скважинам определяются темпы падения дебита скважины

усредненный темп падения используется для проектной скважины

Произведение запускного значения дебита и усредненного темпа падения

характеризует профиль добычи проектной скважины На основе профиля

добычи оценивается NPV проектного бурения который учитывает

операционные затраты и капитальные расходы проекта При оценке NPV после

запланированного исследования в капитальных затратах учитываются расходы

на проведение ГДИ стоимость интерпретации исследования инструментальные

замеры

Ожидаемая ценность EMVwi после проведения ГДИ рассчитывается как

сумма отдельно взятых N - исходов умноженных на соответствующие

вероятности исходов (91)

119864119872119881119908119894 (119905119894) = 1198641198721198811199081198941(119905119894) lowast 1198751 + 1198641198721198811199081198942(119905119894) lowast 1198752 +⋯

+ 119864119872119881119908119894119873(119905119894) lowast 119875119899 =sum119864119872119881119908119894119895(119905119894)

119873

119895=1

(91)

Чистый дисконтированный доход рассчитывается по формуле (92) где

CF ndash денежный поток r ndash ставка дисконтирования I ndash сумма инвестиционных

вложений Непосредственно CF (денежный поток) будет определяться

количеством добываемого флюида [18]

119873119875119881 = sum119862119865119905

(1 + 119903)119905minussum

119868119905(1 + 119903)119905

(92)

Инвестиционные вложения включают операционные затраты ndash Opex

повседневные затраты компании для ведения бизнеса производства товаров и

57

услуг и капитальные затраты - Capex расходы на приобретение или обновление

необоротных активов При проведении ГДИС затраты на спускподъём

оборудования интерпретацию исследования инженером и потеря в прибыли

связанные с остановкой скважины учитываются в Capex

91 EMV БЕЗ УЧЕТА ПРОВЕДЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ

Дебит ndash это ограниченный объем добытой жидкости через скважину за

определенное время Оценки производительности скважин и расчет добычи

скважины проводятся на основе запускного дебита скважины и усредненного

темпа падения дебита на соседних скважинах на протяжении 25 лет В основном

темпы падения строятся исходя из истории эксплуатации на месторождении

анализируется весь набор данных на заданный пласт

Запускной дебит может быть рассчитан по следующим формулам в

зависимости от типа скважины [9]

1) Вертикальная скважина c ГРП

119902 =2120587119896ℎ(119875119894minus119875119908)

120583119861(119897119899119877119890119877119908minus075+119878)

119878 = 1198971198992119903119908

119909119891 (911)

2) Горизонтальная скважина с МГРП

119902 = 2120587kℎ ( 119875119894 minus119875119898

2+119875119908

2) + 119898119876119863 (912)

119876119863 =2120587kℎ(119875119894minus119875119908)

120583119861(119897119899119877119890119877119908minus075+119878)

(913)

С помощью расчёта запускных дебитов а также анализа работы

окружающих скважин были получены результаты темпов падения на рисунке

911 изображены темпы падения с вероятностью Р50 нефти и жидкости за 25 лет

для определенной скважины Также построена гистограмма с накопленной

добычей (рис 911)

58

Рис 931 Темпы падения для скважины

Рис 911 Гистограмма распределения добычи нефти

для скважины 716 до ГДИ

Геологические риски и неопределенности определяют необходимость

создания вероятностной оценки дебитов запасов профилей добычи

Вероятностная оценка по границам возможной минимальной и максимальной

эффективности поможет минимизировать инвестиционные риски проекта

Модуль вероятностной оценки дебитов запасов профилей добычи

основан на теории вероятностей и математической статистики [12] По

многочисленным входным параметрам задаются диапазоны ожидаемых

величин и тип распределения - по проницаемости эффективной

нефтенасыщенной толщины пласта пластовому давлению Источник

информации ndash фактические параметры полученные с карт и распределение с

59

ошибкой их построения Чем меньше неопределенностей тем меньше дисперсия

и разброс ожидаемых параметров в возможных диапазонах

Следующим этапом переходим к расчету экономических параметров

(NPV) по найденным значениям добычи за 25 лет На рисунке изображена

гистограмма NPV и указаны количественные оценки накопленной добычи и NPV

для вероятностей P10 P50 P90 (табл 911)

Рис 04 Гистограмма распределения NPV для скважины 716 до ГДИ

Таблица 921 Показатели добычи и NPV

Вероятность Накопленная добыча нефти тыст NPV млнруб

P10 1937 3012

P50 1128 1547

P90 597 585

60

С помощью выполненных расчетов (табл 911) ожидаемая ценность

проекта бурения скважины без проведения исследований (EMVwoi) составляет

16011 млн рублей

92 EMV БЕЗ УЧЕТА ПРОВЕДЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ

Расчет экономических параметров в случае модерирования исследований

проводится аналогичным образом Для расчета добычных показателей

планируемой скважины рассчитывается также по формулам 911-913 В этом

случае значения проницаемости и пластового давления задаются с помощью

уточнённые параметров после ГДИ с меньшей дисперсией

На рисунке 921 представлено распределение значений пластового

давления умноженного на эффективную нефтенасыщенную толщину после

ГДИ длительностью 150 часов

Рис 921 Гистограмма распределения NPV для скважины после ГДИ длительностью

150 часов

Расчет экономических параметров помимо операционных затрат (OPEX)

в случае моделирования ГДИ будет включать еще Capex ndash это затраты

проведенного исследования (инструментальные замеры спускоподъёмные

операции) который в свою очередь будут зависят от длительности проведения

исследований Также будут включены затраты на работу интерпретатора

исследований которые уже не будут зависеть от длительности В написанном

61

модуле также учитывается потеря прибыли на время остановки скважины

количественно потери будут определяться длительностью остановки скважины

на проведения ГДИ

62

ГЛАВА 10 РЕЗУЛЬТАТЫ

Реализованный модуль в данной работе позволяет определить

необходимость проведения гидродинамического исследования и выдать

рекомендации по продолжительности исследования составить ранжированный

список скважин по эффективности проведения исследований

В таблице 101 представлены результаты экономических параметров и

расчет VOI На графике (рис 101) построенным в осях VOI в зависимости от

времени исследования можно оценить экстремум функции как оптимальное

время для проведения исследования По представленным результатам

целесообразно провести ГДИ на скважине 3 длительностью от 150 часов так как

ценность полученной информации будет наибольшей

Таблица 101 VOI при проведении ГДИ на скважине 3

Продолжительность ГДИ

EMV1 EMV

2 VOI

Целесообразность исследования

50 16116 16111 005 + 100 16135 16111 024 + 150 16198 16111 087 +

200 16127 16111 016 +

250 16033 16111 -078 - 300 16021 16111 -09 -

В случае горизонтальных скважин также был произведен анализ

ценности информации рассчитаны параметры VOI от длительности по времени

Однако для выхода на радиальный режим для случаев горизонтальных стволов

скважин на рассматриваемом месторождении N необходимо более 500 часов что

существенно увеличивает капитальные затраты При расчете большой

длительности на проведения ГДИ обычно скважину не останавливают так как

эти исследования являются крайне затратными В таблице 202 указаны расчёты

при проведении исследования на горизонтальной скважине 5

63

Рис 101 Зависимость VOI от длительности ГДИ

Таблица 102 VOI при проведении ГДИ на скважине 5

Продолжительность ГДИ

EMV2 EMV

1 VOI

Целесообразность исследования

50 1603 1611 -078 - 100 1606 1611 -054 - 150 161 1611 -013 - 250 1612 1611 012 - 350 1611 1611 -006 - 500 1614 1611 024 +

Таблица 103 Ранжированный список скважин-кандидатов для проведения ГДИС

Скважина VOI (t=50) VOI (t=100) VOI (t=150) VOI (t=200) VOI (t=250) VOI (t=300)

3 005 024 087 016 -034 -078 1 003 015 036 073 -021 -064 4 002 012 024 054 -011 -057 2 001 009 011 031 042 -03

Модуль автоматически перебирает выбранный список скважин для

бурения проектной скважины и ранжирует их по ценности информации

проведенных исследований также предлагает наиболее оптимальное время

исследований исходя из экономических параметров (таблица 103)

Апробация и оптимизация инструмента оценки необходимости

проведения гидродинамического исследования проводится на одном из активно

-15

-1

-05

0

05

1

15

0 50 100 150 200 250 300 350

VO

I м

лнр

уб

Длительность ГДИ ч

VOI (Проведение ГДИ нецелесообразно)

VOI (Проведение ГДИ целесообразно)

64

разбуриваемых месторождений В данной работе проводилась аналитика для

бурения 10 проектных скважин По результатам моделирования ГДИ на

скважинах вблизи проектной была проведена оценка ценности информации от

запланированного исследования На рис102 представлена зависимость

определенного VOI от длительности ГДИ если график расположен выше нуля

(VOI gt 0) исследование экономически обосновано проводить Определив

экстремум функции определяется оптимальная длительность исследования

Приводя пример в рассчитанном кейсе для бурения скважины X наиболее

выгодно провести исследования в 3 скважине длительностью 150 часов

Рис 102 Зависимость VOI от длительности ГДИ в скважинах 1234

-1

-05

0

05

1

0 100 200 300 400

VO

I

Длительнось ГДИ

Скв 3 Скв 1 Скв 4 Скв 2

65

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

По результатам магистерской диссертации был реализован инструмент для

оптимального планирования гидродинамических исследований на этапе бурения

проектных скважин с помощью метода VOI

Предложенный в данной работе метод позволяет определить не только

необходимость проведения гидродинамического исследования но и выдать

рекомендации по оптимальной продолжительности исследования

Смоделировав исследования ГДИ на нескольких соседних от проектных

скважин инструмент позволяет ранжировать скважины ndash кандидаты для

гидродинамических исследования по величине ценности информации VOI

В процессе реализации предложенной методики работы было выполнено

следующее

1 Автоматический анализ данных по ранее проведенным

исследованиям определение геологической неопределенности

интересующих параметров (пластовое давление проницаемость) по

всему эксплуатационному фонду скважин на месторождении N

2 Модуль сплайн-интерполяция на языке программирования Python с

помощью которого интерполируются значения параметров

решается задача о нестационарном притоке к скважине с помощью

языка программирования VBA в котором учитываются результаты

моделирования синтетического ГДИ

3 Расчёт плановых показателей добычи на основе распределений Рпл

и kh до проведения исследования и после него в зависимости от

времени исследований

4 Экономический анализ эффективности проведения исследований на

основе методики VOI по результатам которого выполняется

ранжирование скважин по информативности исследований

66

По результатам расчёта на месторождении N выяснили что для бурения

скважины X наиболее эффективно останавливать на ГДИ скважину 3 с

длительностью исследования 150 часов

В заключении реализованный модуль позволяет оценить

целесообразность проведения ГДИ и самое важное экономическое обоснования

планируемых исследований

Возможности реализованного модуля

Автоматизированный анализ геологической неопределённостей по

фильтрационным-емкостным свойствам и пластовому давлению в

зоне планируемого бурения

Экономическое обоснование по проведению гидродинамических

исследований в зоне бурения проектных скважин

Определение оптимальной длительности ГДИС

Ранжирование скважин по информативности проведения

исследований

Экономическое обоснование затрат на ГДИС и последующими

решениями по оптимальному планированию ГДИС на основе

ценности информации

67

ОХРАНА ТРУДА

Преобладающее время по написанию выпускной квалификационной

работы проводилось за персональным компьютером

Согласно рекомендованной инструкцией по охране труда во время работы

на компьютере ТОИ Р-45-084-01 и также при его эксплуатации могут возникнуть

негативное влияние на работника следующие вредные производственные и

опасные факторы

повышенные уровень электромагнитного воздействия

высокая степень статического электричества

низкий уровень ионизации воздуха

нагрузки которые связанны с продолжительным временем сидячим

положением

повышенная нагрузка на органы зрения

болевые симптомы в позвоночнике и пояснице в связи

продолжительным сидячим положением а также венозная

недостаточность и стресс

Для рационального выбора организации рабочего процесса необходимо

минимизировать опасное воздействие на здоровье работающего а также

выполнить все требования эргономики и обезопасить свое рабочее место

Требования к минимизации нагрузки на органы зрения

Высокая нагрузка на органы зрения приводит к ухудшению зрения

возникновению близорукости и других заболеваний что также провоцирует

мигрень и головные боли повышается раздражительность нервное состояние

которое может привести к стрессу

Для избежание негативного воздействия на органы зрения необходимо

уделить особое внимание освещению как помещения так же и рабочих мест так

как степень освещенности напрямую зависит от интенсивности зрительного

напряжения Основное освещение следует размещать сплошными или

прерывистыми линиями светильников которые могут располагаться сбоку от

68

рабочих мест а также параллельно линии зрения рабочего при линейном

расположении мониторов компьютера Если же ПК расположены по всему

периметру помещения тогда линию светильников или ламп следует

расположить локализовано над каждым рабочим местом

Безопасная и рекомендуемая норма освещенности для работника в системе

освещения составляет mdash 150 minus 200 лк По правилам допускается расположение

ламп локального освещения Персональное освещение не должно

способствовать возникновению бликов на поверхности самого экрана а также

освещенность экрана не должна превышать 300 лк Безопасным считается

освещение рабочих мест люминесцентными лампами ЛБ белого света которые

должны использоваться в помещениях с нормальными условиями труда

Экран должен характеризоваться освещенностью не более 300 лк Яркость

ламп основного освещения в части зон углов излучения 50 minus 90∘ в продольной и

поперечной с вертикалью плоскостях может составлять менее 200кдм также

защитный угол светильников может составлять более 40∘

В виде источников света особенно при условии искусственного освещения

следует применять люминесцентные лампы ЛБ (белый свет) и ЛТБ (тепло-

белый) с характеристиками мощностью 40Вт или 80Вт обладающие высокой

световой отдачей (до 120лмВт и более) у которых продолжительный срок

службы (до 10000ч)

В лампах локального освещения допускается использование ламп

накаливания также галогенных Не допускается использование светильников без

рассеивателей и экранных решеток

Организация рабочего места в связи с активностью оператора

Сфера работы оператора ЭВМ характеризуется пониженной мышечной

активностью а также длительным напряжением мышц в статике особенно шеи

рук спины и ног что может привести к утомлению Состояние утомления

существенно возрастает особенно при неоптимальной высоте рабочего стола и

сидения у которого отсутствует опорная спинка или подлокотник а также

острых углах наклона головы нерациональным и неудобном размещении

69

видеотерминала документов и клавиатуры неудобном угле наклона

поверхности экрана отсутствии подставки для ног

Сиденье должно быть удобным и обеспечивать поддержание правильной

рабочей позы которое будет позволять изменять положение с целью

уменьшение напряжения мышц шейно-плечевой области Лучший способ - это

когда рабочее кресло оборудовано подъемно-поворотным которое регулируется

по высоте и по углам наклона спинки причем регулировка каждого параметра

должна быть независимой

Рабочее место работника следует обеспечить подставкой для ног (п 93 и

105 СанПиН 222241340-03) Поверхность подставки обязательно должна

быть рельефной и характеризоваться высотой переднего края 10 мм

Требования пожаробезопасности

Согласно ГОСТ 121004-91 следует помнить о существующих мерах

предосторожности и опасных факторах огонь пламя и дым также высокая

температура токсичные продукты горения и их термическое разложение

сниженная концентрация кислорода Противопожарную защиту обеспечивают

следующими мерами

Использование средств пожаротушения наличие сигнализации и

устройств тушения в помещениях которые способны ограничивать

распространение пожара наличие специальных средств индивидуальной

защиты

Противопожарные перегородки и отсеки устройства автоматического

отключения систем

Специальная планировка эвакуационных выходов

Системы оповещения людей по громкоговорителю

Технические средства для эвакуации людей

Присутствие огнетушащих веществ

70

Система вентиляции здания должна содержать оборудования и устройства

которые обеспечивают автоматическое отключение при пожаре и

огнедымозадерживающими устройствами Система электропитания

персонального компьютера должна иметь блокировку которая отключает его в

случае пожара

71

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1 Байков ВА Бакиров НК Яковлев АА Математическая геология

учебное пособие ndash Москва-Ижевск 2012 ndash 228с

2 Гуляев Д Н Кокурина В В Кременецкий М И и др Формирование

системы промыслового мониторинга на основе долговременных иссле-

дований стационарными датчиками на приеме насоса Нефтяное хозяй-

ствоraquo 12 2009 С 41ndash44

3 Демьянов В В Савельева Е А Геостатистика теория и практика

учебное пособие ndash Москва 2010 ndash 327с

4 Каневский МФ Демьянов ВВ Савельева ЕА и др Элементарное

введение в геостатистику Москва ВИНИТИ 1999 ndash 136с

5 Каневская Р Д Математическое моделирование разработки месторож-

дений нефти и газа с применением гидравлического разрыва пласта М

Недра-Бизнесцентр 1999 ndash 212 с

6 Кременецкий М И Ипатов А И Гуляев ДН Информационное

обеспечение и технологии гидродинамического моделирования нефтяных

и газовых залежей [Книга] - Москва-Ижевск Ижевский институт

компьютерных исследований 2011 ndash 896с

7 Леонтьев Н Е Основы теории фильтрации [Книга] - Москва ЦПИ при

механико-математическом факультете МГУ 2009 ndash 88с

8 Ортега Дж Введение в параллельные и векторные методы решения

линейных систем [Книга] - Москва Мир 1991 ndash245с

9 Abramowitz M IA Stegun Handbook of Mathematical Functions [Книга] -

New York Dover Publications Inc ndash 1972

10 Churchill RV Operational Mathematics [Книга] - New York McGraw-Hill

Book Co Inc ndash 1972

11 Gringarten AC and Ramey HJ The Use of Source and Greenrsquos Functions in

72

SolvingUnsteady-Flow Problems in Reservoirs [Книга] - SPEJ 1973 ndash245с

12 Houzeacute O Viturat D Fjaere O-S Dynamic data analysis [Книга] - Kappa

2008

13 Joshi SD Horizontal Well Technolog [Книга] - Tulsa Oklahoma Penwell

Published Compan 1991

14 Stehfest H NumericalInversionof LaplaceTransforms [Книга] -

Communicationsofthe ACM 1970

15 The Society of Petroleum Engineers Введение в нефтяной инжиниринг

[Книга] - Москва-Ижевск Институт компьютерных исследований 2014

16 Van Everdingen AF and HurstW W The Application of the Laplace

Transformation to Flow Problems in Reservoirs [Книга] - AIME 1953

17 Stehfest H NumericalInversionof LaplaceTransforms

Communicationsofthe ACM 1970

18 Gringarten AC and Ramey HJ The Use of Source and Greenrsquos Functions in

SolvingUnsteady-Flow Problems in Reservoirs бм SPEJ 1973

19 Jan R Williams Susan F Haka Mark S Bettner Joseph V Carcello

Financial amp Managerial Accounting 2008

7

Оптимизация процессов планирования гидродинамических исследования

включающая выбор скважин ndash кандидатов под ГДИ и определение длительности

исследования является актуальной задачей при мониторинге разработки

месторождения

В магистерской диссертации рассмотрен подход оптимального

планирования проведения ГДИ на основе методики по оценке ценности

информации VOI В методике предполагается проводить исследования на

скважинах действующего фонда которые располагаются возле проектной зоны

бурения да начала бурения скважин с целью снижения неопределенностей в

свойствах пласта в зонах проектного бурения Результатом разработанного

подхода является инструмент позволяющий ранжировать скважины для

гидродинамических исследований и выбирать оптимальную длительность

исследования

8

ГЛАВА 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕННОСТИ ИНФОРМАЦИИ НА

ОСНОВЕ VOI

Ценность информации (Value of information) ndash это разность между

ожидаемой стоимостью проекта с учетом и без учета полученной информации в

результате исследований Критерий ценности информации позволит

охарактеризовать экономическую выгоду результатов исследований а также

произвести оценку эффективности программы геологоразведочных работ

Появившиеся тенденции разработки месторождений характеризующиеся

сложным геологическим строением и высокой степенью неопределённостью

требуют новых методик экономической оценки ценности проектов В связи с

повышением стоимости геологоразведочных работ месторождений

находящихся в удаленных регионах на шельфе подход основанный на

экономической ценностью информации является актуальным Расчет VOI

позволяет найти наиболее экономически выгодную программу исследований

оценить ее достаточность оптимальность определить ценность информации

единичного исследования Статистический подход к развитию возможных

вариантов исхода поможет количественно оценить риски проекта составить

оптимальную программу разработки месторождения на основе дерева решений

Процесс принятия решению можно визуализировать в виде дерева

решения графического метода анализа информации который вкачает в себя

узлы решения вероятности и окончания Последовательность

взаимоисключающих событий реализация сценариев включающих риски и

неопределенности приводит к достижению поставленной цели при заданных

вероятностях

Решения принимаются в узлах решений Ветви исходящие из любого

узла решений представляют собой все возможные выборы которые имеются на

данный момент времени у принимающего решения

9

Неопределенные результаты возникают в узлах вероятности (случая)

Ветви исходящие из любого узла вероятности представляют все результаты

которые могут возникнуть в некоторый момент времени и их вероятности в

сумме должны быть равны 1 Исходной веткой (перед самим узлом) могут

являться как альтернативы узла решений так и исходы предыдущего узла

вероятности

Узел окончания обозначает завершение каждой ветки и не подразумевает

дальнейшее ветвление Справа от него в строчку записывается итоговая

вероятность данной ветки (считается перемножением вероятностей данной

ветки по всем узлам вероятности) и финансовый результат данной ветки

(сценария)

Рис 11 Пример простого дерева решений

Концепция VOI (рис 12) основана на расчете разницы ожидаемой

денежной проекта после проведения исследования (EMV2) и без информации

(EMV1) ndash dNPV [3] которая возникает в связи с риском принятия неэффективного

решения из-за существующей неопределенности параметров объекта

исследования

Рис 12 Пример простого дерева решений

10

Снижение диапазона неопределённости позволяет принять более

эффективные инвестиционные решения и тем самым повысить ценность

проекта Оценка наиболее оптимальных решений до и после проведения

исследования входит в оценку EMV по веткам дерева решений что позволяет

оценить VOI от проведения работ

Ценность информации будет являться нулевой в случаях если информация

не приносит снижения диапазона неопределенности и если снижение

неопределенности не несет никаких изменений в дальнейших решениях по

проекту Оценка ценности информации позволяет на количественном уровне

оценить экономическую целесообразность проведения ГДИ и вовремя

отказаться от проведения неэффективных исследований тем самым увеличив

стоимость проекта

ГЛАВА 2 ОБЗОР ВХОДНЫХ ДАННЫХ

Реализованный модуль прошел апробацию на восточной части

месторождения N В текущей постановке предложенная методика для оценки

ценности информации и необходимости проведения гидродинамических

исследований проводилась на стадии планирования бурения (Рис 01 Карта

проницаемости пласта месторождения N)

11

Рис 01 Карта проницаемости пласта месторождения N

Месторождение N как и многие давно разрабатываемые активы покрыты

частой сеткой гидродинамических исследований в скважинах Однако

превосходящая часть этих исследований была осуществлена в течении 3-4 лет

назад данный факт существенно снижает корректность информации

полученной в результате исследований о текущем пластовом давлении и

фильтрационно-емкостных характеристиках пласта

Проницаемость горных пород пласта - это способность пород пласта-

коллектора пропускать флюид (жидкость воду и газ) при депрессии на пласт

Проницаемость является фильтрационным параметром горной породы который

определяет скорость фильтрации жидкости в среде Проницаемость пористой

среды будет зависеть не только от размера и расположения пор относительно

друг друга но также от характера движения фильтрующихся флюидов (нефть

вода газ)

Пластовое давление (Рпл) ndash это параметр который характеризует энергию

нефтегазоносных пластов Пластовым называют давление которым флюиды

воздействуют на вмещающие их породы Это давление возникает из

гидростатического давления то есть избыточного давления (архимедовой силы)

которое возникает в результате изменения объёма резервуара (порового

пространства пласта) и так же за счёт расширения (или сжатия) флюидов и

изменения их массы вследствие эксплуатации скважинами Существуют

понятия начального пластового давления и текущего пластового давления

Начальное определяют как исходный показатель которым характеризовался

пласт до вскрытия скважиной Текущим пластовым давлением определяют как

меняющийся в ходе разработки месторождения динамический параметр Один

из важных параметров в процессе разработки месторождения ndash это дебит

скважины (q определяют как объём флюида (воды нефти или газа) поступает в

единицу времени) Данная характеристика напрямую будет зависеть от

величины пластового давления и емкостных-фильтрационных свойств пласта

119875пл ndash динамический параметр по этой причине для эффективной разработки

12

месторождения необходима информация о текущем энергетическом состоянии

пласта и его проницаемости

Пластовое давление и проницаемость могут быть получены в результате

интерпретации гидродинамических исследований (глава 5) Однако

длительность исследований и их качество порой оказываются недостаточными

для корректного определения этих параметров В данной работе реализуется

алгоритм моделирования синтетических исследований (глава 8) для оценки

погрешности в зависимости от их длительности

ГЛАВА 3 МЕТОДИКА ОПТИМАЛЬНОГО

ПЛАНИРОВАНИЕ ИССЛЕДОВАНИЙ

Результатом интеграции методологии ценности информации и

планирования гидродинамических исследований является реализованный

инструмент позволяющий определить необходимость проведения исследования

на действующей скважине вблизи проектной С целью определения VOI

инструмент последовательно решает следующие задачи

1 Определение исходных распределений проницаемости (k) и

пластового давления в действующих скважинах (глава 2)

2 Интерполяция исходных распределений в точку проектной

скважины (глава 4)

3 Моделирование исследований ГДИ на действующих скважинах

расположенных вблизи проектной скважины и определение распределений

проницаемости и пластового давления с учётом результатов исследований (глава

8)

4 Интерполяция измененных распределений в точку проектной

скважины (глава 4)

5 Расчёт ожидаемой прибыли проектной скважины без проведения

исследования ГДИ (EMVwoi) (глава 91)

13

6 Расчёт ожидаемой прибыли проектной скважины с учётом

проведения исследования ГДИ (EMVwi) (глава 92)

При проектировании скважины значения проницаемости и пластового

давления определяются по имеющимся картам распределения свойств В свою

очередь построение карт основывается на результатах проведения

гидродинамических исследований По причине наличия погрешностей при

построении карт распределения свойств и погрешностей в результатах

гидродинамических исследований значения проницаемости и пластового

давления с карт зачастую не являются аналогичными результатам ГДИ

На первом этапе инструмент оценивает распределение параметров

основываясь на определении отношения (έ) значений проницаемости и

пластового давления определенных по результатам ГДИ к значениям

определенным по картам пластового давления и проницаемости (рис1)

Параметр έ характеризует отклонения результатов исследований от карт и таким

образом описывает неопределенность в параметре Определив параметр έ для

каждого имеющегося гидродинамического исследования оценивается

распределение отклонений έ для каждого параметра (проницаемости и

пластового давления) Разработка методологии проводилась на существующем

месторождении в результате параметр έ для проницаемости имел

логнормальное для пластового деления нормальное распределение (рис31)

Распределения свойств пласта в точках существующих скважин до

проведения гидродинамического исследования определяется путем

произведения распределений έ на значение параметра пласта с актуальной карты

[1]

14

Рис31 Распределения отклонений значений проницаемости и пластового давления по

результатам ГДИ от значений с карт

На следующем этапе инструмент интерполирует исходные распределения

в точках действующих скважин в точку проектной скважины Для интерполяции

используется метод сплайн ndash интерполяции который оценивает значения

используя математические функции В результате интерполяции для проектной

скважины определяются распределения проницаемости и пластового давления

до проведения гидродинамического исследования

Возможные реализации проницаемости и пластового давления имеют

широкие исходные распределения и являются непрерывными величинами по

этой причине перед моделированием ГДИ исходные распределения в точках

существующих скважин разбиваются на N-количество дискретных исходов

(рис32) Количество исходов (N) определяется на основе точности

погрешности результатов ГДИ Точность результатов ГДИ определяется

экспертным образом Вероятности исходов определяются на основе данных

вероятностного моделирования путем деления всего диапазона исходов

значений N - дискретных исходов и определение количества реализаций

которые можно отнести к каждому исходу При моделировании 100 значений

проницаемости если скважина в 20 реализациях попала в первое распределение

вероятность должна быть определена 20

0

02

04

06

08

1

12

14

00 10 20

Пл

отн

ость

ве

ро

ятн

ости

έ = (Рпл по ГДИ) (Рпл с карт)

Распределение έ значений проницаемости

0

02

04

06

08

1

12

14

00 05 10 15 20

Пл

отн

ость

ве

ро

ятн

ости

έ = (119896 по ГДИ) (119896 с карт)

Распределение έ значений пластового давления

15

Рис 32 Разбиение исходного распределения пластового давления на дискретные

значения

Для оценки распределений свойств пласта в точке проектной скважины

после проведения гидродинамического исследования необходимо создать

синтетическое ГДИ Моделирование запланированного ГДИ проводится путём

решения задачи о нестационарном притоке к скважине с постоянным дебитом на

основе исходных распределений свойств пласта

Уравнением описывающим процессы происходящие при исследованиях

ГДИ является уравнение пьезопроводности Данное уравнение (31) описывает

неустановившееся однофазное одномерное течение флюида в пористой среде и

выражает связь между пластовым давлением временем и расстоянием от

скважины до точки наблюдения Решение уравнения пьезопроводности (32) для

простого случая работы вертикальной скважины в бесконечном пласте позволяет

получить модель характеризующую перераспределение давления в пласте

1

120594

120597120549119875

120597119905=1

119903

120597

120597119903(119903120597120549119875

120597119903) (31)

∆119875(119905 119903) = minus9205119902119861120583

119896ℎ119864119894 (minus

1199032

000036120594119905) (32)

где (q ndash дебит скважины м3сут B ndash объёмный коэффициент 120583 ndash

вязкость жидкости cпз k ndash проницаемость мД h ndash мощность пласта

м r ndash радиус м χ ndash пьезопроводность мД(спзатм-1) t ndash время ч)

16

Ожидаемая прибыль запланированной к бурению скважины до проведения

ГДИ рассчитывается с учётом исходного распределения после ГДИ

рассчитывается для каждого дискретного варианта исхода из N-возможных и для

разных времен длительности исследования t

На первом этапе расчёта прибыли по методу Монте-Карло определяются

значения проницаемости и пластового давления с вероятностями распределения

равными 10 50 90 и оценивается запускное значение дебита скважины По

соседним скважинам определяются темпы падения дебита скважины

усредненный темп падения используется для проектной скважины

Произведение запускного значения дебита и усредненного темпа падения

характеризует профиль добычи проектной скважины На основе профиля

добычи оценивается NPV проектного бурения который учитывает

операционные затраты и капитальные расходы проекта При оценке NPV после

запланированного исследования в капитальных затратах учитываются расходы

на проведение ГДИ стоимость интерпретации исследования инструментальные

замеры

Ожидаемая ценность EMVwi после проведения ГДИ рассчитывается как

сумма отдельно взятых N - исходов умноженных на соответствующие

вероятности исходов (33)

119864119872119881119908119894 (119905119894) = 1198641198721198811199081198941(119905119894) lowast 1198751 + 1198641198721198811199081198942(119905119894) lowast 1198752 +⋯

+ 119864119872119881119908119894119873(119905119894) lowast 119875119899 =sum119864119872119881119908119894_119895(119905119894)

119873

119895=1

(33)

По результатам моделирования ГДИ на скважине вблизи проектной

проводится оценка ценности информации от запланированного исследования

Реализуется построение зависимости VOI от длительности ГДИ где график

расположен выше нуля (VOI gt 0) следует что исследование экономически

обосновано проводить По результату работы модуля выполняется

17

ранжирование скважин с оптимальным временем проведения ГДИ на основе

ценности информации

ГЛАВА 4 МЕТОДЫ ИНТЕРПОЛЯЦИИ

Определения параметров пласта в области с отсутствующими прямыми

измерениями осуществляются с помощью пространственной интерполяции

Одним из основных методов построения карт параметров пласта является

сплайн-интерполяция

Для построения распределения свойств пласта в определённой зоне

используют ограниченное значение количественных измерений интересующего

параметра Z в точках (Xi Yi) Данные точки определяются как точки выборки

(точки наблюдений) Цель пространственной интерполяции ndash получить значения

пространственной переменной Z на площади где отсутствуют исследования с

минимально погрешностью Необходимо интерполировать из точек Z(xi) в

определенную точку Z(x) на основе анализа имеющихся в базе значений (Рис 42)

Рис 42 Интерполяция в точку Z(x)

Подход интерполяции напрямую опирается на измеренные значения в

точках и интерполируются с помощью подбора математической функции

определяя слаженность результирующей формы [4]

В данной работе был реализован метод сплайн-интерполяции

Сплайн-функцией 119904(119909) 119909 isin [119886 119887] называется функция которая в

каждом частичном отрезке [119909119894minus1 119909119894] является полином некоторой степени и

имеет на заданном [119886 119887] производную до некоторого порядка Под степенью

18

сплайна подразумевают максимальную степень полинома по каждому из

отрезков [119909119894minus1 119909119894] а под дефектом сплайна ndash разность между соответствующей

степенью сплайна и порядком наивысшей производной на заданном отрезке

[119886 119887]

Интерполяция сплайнами является кусочно-полиномиальной

интерполяцией Основная теория сплайн-интерполяции заключается том что на

каждом шаге интерполяции (разбиваемом промежутке между узлами)

осуществляется аппроксимация в форме определенной полиномиальной

зависимости Для каждого шага итерации осуществляется подборка полинома

таким образов чтобы выполнялись граничные условия на концах отрезка

Условия для сплайна полинома степени n должны обеспечивать непрерывность

производных порядка степени (n-1) Наиболее распространённые и имеющие

широкую практическую применимость являются кубические сплайны

41 КУБИЧЕСКИЙ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ СПЛАЙН

Кубическим интерполяционным сплайном 119904(119909) называется функция

которая удовлетворяет следующим условиям

1 На каждом определенном отрезке [119909119894minus1 119909119894] 119904(119909) является полином

третьей степени то есть

119904(119909) = 1198860(119894)1199093 + 1198861

(119894)1199092 + 1198862

(119894)119909 + 1198863

(119894) 119909 isin [119909119894minus1 119909119894] (411)

2 119904(119909) isin 119862[119886119887]2

3 119904(119909119894) = 119891119894 119894 = 0 1hellip 119899

4 119904primeprime(119886) = 119904primeprime(119887) = 0

Коэффициенты 1198860 1198861

1198862 1198863

рассчитываются независимо от каждого

промежутка интерполирования [14]Рассмотрим как строится кубический

сплайн Обозначим через 119898119894 = 119904primeprime(119909119894) 119894 = 0hellip 119899 minus

величина называемая моментом

19

119904primeprime(119909) - линейная функция и для каждого отрезка она совпадает с

интерполяционной функцией полинома Лагранжа первой степени

Проинтегрировав получившееся равенство определяется из условия 3

искомые константы находятся в виде сплайна 119904(119909) на частичном отрезке

[119909119894minus1 119909119894]

119904(119909) = 119898119894minus1

(119909119894 minus 119909)3

6ℎ+119898119894

(119909 minus 119909119894minus1)3

6ℎ+ (

119891119894 minus 119891119894minus1ℎ

minus (119898119894 minus119898119894minus1)ℎ

6) (119909 minus 119909119894)

+ 119891119894 minus119898119894

ℎ2

6 (412)

Определяем моменты 119898119894 119894 = 0hellip 119899 с помощью условий 2 3 4

выводим систему следующего вида

1198980 = 0ℎ

6119898119894minus1 +

2

3ℎ119898119894 +

ℎ

6119898119894+1 =

119891119894minus1 minus 2119891119894 + 119891119894+1ℎ

119894 = 1hellip 119899 minus 1 (413)

119898119899 = 0

Запишем следующие вектора

119898 =

(

11989801198981

⋮119898119899minus1119898119899 )

minus (119899 + 1) minus мерный (414)

119892 =

(

1198910 minus 21198911 + 1198912ℎ⋮

119891119899minus2 minus 2119891119899minus1 + 119891119899ℎ )

minus (119899 + 1) minus мерный (415)

и матрицу

20

119860 =

(

1 0 0 01

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ 0

01

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ

⋯0 0 0 00 0 0 00 0 0 0

⋮ ⋱ ⋮

0 0 0 00 0 0 00 0 0 0

⋯

1

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ 0

01

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ

0 0 0 1 )

minus (119899 + 1) times 6(119899 + 1)

minus мерную (416)

Сходимся в необходимости решить следующую систему (417)

119860119898 = 119892 (417)

Данная система представляет собой систему с трёхдиагональной

матрицей и с диагональным преобладанием Для необходимости её решения

потребуется применить метод прогонки который возможен для систем

следующего вида

1198980 = 11989611198981 + 1198920119886119894119898119894minus1 + 119887119894119898119894 + 119888119894119898119894+1 = 119892119894 119894 = 1hellip 119899 minus 1

119898119899 = 1198962119898119899minus1 + 119892119899 (418)

где

119886119894120572119894 + 119887119894 ne 0 119894 = 1hellip 119899

1 minus 1198962120572119899 ne 0 (419)

где 120572119894 в свою очередь - это

1205721 = 1198961

120572119894+1 = minus119888119894

119886119894120572119894 + 119887119894 119894 = 1hellip 119899 minus 1 (4110)

Следующая методика прогонки представлена в двух частях прямой хода

и обратный хода Прямой ход выявляет следующие величины

21

1205721 = 11989611205731 = 1198920

120572119894+1 = minus119888119894

119886119894120572119894 + 119887119894 119894 = 1hellip 119899 minus 1 (4111)

120573119894+1 = minus119892119894 minus 119886119894120573119894119886119894120572119894 + 119887119894

119894 = 1hellip 119899 minus 1

Далее следует обратный ход в порядке уменьшения индексов определяет

искомые параметры

119898119899 =

119892119899 + 11989621205731198991 minus 1198962120572119899

119898119894 = 120572119894+1119898119894+1 + 120573119894+1 119894 = 119899 minus 1hellip 0

(4112)

Сплайн 119904(119909)математически определён формулой представленной выше

42 КУБИЧЕСКИЙ СГЛАЖИВАЮЩИЙ СПЛАЙН

Метаматематическая модель кубического сглаживающего сплайна

заключается в том что в узлах 119909119894119894=0119899 sub [119886 119887] определенные значения функции

119891(119909) могут быть заданы с погрешностью 119891119894=0119899

В таких моделях с дефектом 1

кубический интерполяционный сплайн будет реализован с достаточно большой

погрешностью вследствие построения с неточными значениями В большинстве

случае реализуют построение кубического сглаживающего сплайна в котором

решается следующая экстремальная задачи

119906 =119894119899119891

119906 isin 11988222[119886 119887]

120567(119906) (421)

где 11988222[119886 119887] ndash пространство Соболева вещественных функций с нормой

1199062 = int(|119906(119909)|2 + |119906primeprime(119909)|2)119889119909

119887

119886

(422)

а функционал

22

120567(119906) = int |119906primeprime(119909)|2 119889119909

119887

119886

+sum119901119894(119906(119909119894) minus 119891119894)2

119899

119894=0

119901119894 gt 0 119894 = 0hellip 119899 (423)

строго неотрицательный выпуклый полунепрерывный снизу

вследствие слабой сходимости

Однозначно решение данной задачи существует и является единственным

решением Введем единственное решение 1199060(119909) также обозначим значения

119910119894119894=0119899 следующим образом

119910119894 = 1199060(119909119894) 119894 = 0hellip119899 (424)

Можем построить кубический интерполяционный сплайн 119904(119909 119910)

119904(119909119894 119910) = 119910119894 Данное полученное решения является равным 1199060

Оценим вид интерполяционного сглаживающего сплайна

Введём в рассмотрение отображение 119866(119910) ℝ119899+1 rarr ℝ

119866(119910) = 120567(119904(middot 119910 )) = int |119904primeprime(119909)|2 119889119909

119887

119886

+sum119901119894(119904(119909119894) minus 119891119894)2

119899

119894=0

=

sum int |119904primeprime(119909)|2 119889119909

119909119894

119909119894minus1

119899

119894=1

+sum119901119894(119904(119909119894) minus 119891119894)2 (425)

119899

119894=0

Получаем исходную экстремальную задачу эквивалентную поиску

min119910isin ℝ119899+1

119866(119910) (426)

Исходя из того что 119904(119909 119910) ndash является кубическим интерполяционным

сплайном запишем

119904primeprime(119909119894 119910) = 119898119894 119894 = 0hellip119899 (426)

1198980 = 0119898119899 = 0 (427)

Вводим (119899 minus 1) times (119899 minus 1)-мерную матрицу

23

119860 =

(

2

3ℎ

1

6ℎ 0 0

1

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ 0

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

0

0

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

01

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ

0 01

6ℎ

2

3ℎ)

(428)

(119899 minus 1)-мерный вектор

119898 = (

1198981

⋮119898119899minus1

) (429)

(119899 minus 1) times (119899 + 1)-мерную матрицу

119867 =

(

1

ℎminus1

2ℎ

1

ℎ0 ⋯ 0 0 0 0

⋯

0 0 0 0 ⋯ 01

ℎminus1

2ℎ

1

ℎ)

(4210)

невырожденную (119899 + 1) times (119899 + 1)-мерную матрицу

119875 = (1199010

⋱119901119899

) (4211)

и (119899 + 1)-мерный вектор

119891 = (1198910⋮119891119899

) (4212)

получаем следующую систему уравнений в которой вычисляем моменты

119898

(119860 + 119867119875minus1119867lowast)119898 = 119867119891 (4213)

Данная система решается методом Гаусса Затем можем выразить

119910 = minus119875minus1119867lowast119898 + 119891 (4214)

(4214) - точку глобального минимума для заданного отображения 119866(119910)

В итоге получаем форму сглаживающего сплайна

24

119904(119909) = 119898119894minus1

(119909119894 minus 119909)3

6ℎ+119898119894

(119909 minus 119909119894minus1)3

6ℎ+ (119910119894minus1 minus

ℎ2

6119898119894minus1)

119909119894 minus 119909

ℎ

+ (119910119894 minusℎ2

6119898119894)

119909 minus 119909119894minus1ℎ

(4215)

119909 isin [119909119894minus1 119909119894] 119894 = 1hellip119899 (4216)

ГЛАВА 5 ОСНОВЫ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО

ИССЛЕДОВАНИЯ СКВАЖИН

Основой ГДИС являются решение нестационарной задачи фильтрации

Рис 51 а) б) формирование радиальной воронки депрессии после пуска

добывающей и нагнетательной скважины в) г) расформирование радиальной

воронки депрессии после остановки добывающей и нагнетательной скважины

Tmdash время прошедшее после пуска скважины tmdash время прошедшее после

остановки скважины[6]

флюидов в порово-упругой среде Они основываются на изучение процессов

формирования и релаксации полей давления в пласте и в скважине в

зависимости от типа воздействия (закачка или отбор флюида) (рис51) Арсенал

технологий исключительно разнообразен и включает самые различные методы с

различной продолжительностью и интенсивность воздействия на пласт Каждая

технология представляет совокупность циклов (базовых элементов)

Определение каждого из них ndash регистрация разницы давления во времени после

изменения дебита скважины на заданной глубине Продолжительностью цикла

25

обуславливается решаемой задачей глубинностью условием и объектом

исследования

Гидродинамические исследования предполагают синхронные измерения

давления и расхода на фиксированной глубине при переходных режимах

эксплуатации скважины Основными элементами технологий ГДИС стабильно

работающих скважин являются способы предполагающие регистрацию

изменения давления во времени

после пуска скважины на стабильный режим отбора или закачки

(кривая стабилизации давления (КСД) -пуск) или при переходе с

одного стабильного режима на другой (КСД-режим)

после остановки скважины стабильно или циклически работавшей

в режиме отбора (кривая восстановления давления КВД) или

закачки (кривая падения давления - КПД)

Решение прямой задачи ГДИС состоит в оценке изменения давления на

забое скважины при заданном изменении дебита и для конкретной модели

скважины и пласта

К наиболее часто используемым моделям относится скважина со скин-

фактором в однородном изотропном пласте при радиальном режиме течения

При пуске скважины с постоянным расходом QАТ[м3с]=const (расход

соответствует условиям атмосферы) изменение давления РС [Па] во времени

tРАБ[с] прошедшем с момента пуска описывается асимптотической

формулой точность которой повышается с увеличением tРАБ

РАБRRРАБ

ПРС

OАТCПЛ tt

r

χ

επ

BQPP

lnln

252ln

4 2

_

(51) επ

BQ OАТR

4

2

_

252ln

ПРС

RRr

χ

kh

k

S

CПРС err _

Другие обозначения принятые в данных формулах PПЛ [Па] ndash первоначальное

пластовое давление [Пас] - динамическая вязкость фильтрующегося флюида Во[безразм]

26

ndash объемный коэффициент флюида [м3Па с] ndash гидропроводность пласта [м2с] ndash

пьезопроводность пласта k [м2] ndash проницаемость пласта КП [в долях]ndash пористость пласта h[м]

ndashэффективная работающая толщина пласта s[безразм] ndash интегральный скин-фактор rС_ПР [м]

ndashприведенный радиус скважины rС[м] ndashрадиус скважины [Па-1] ndash интегральная

сжимаемость пористой среды

При остановке скважины работавшей с постоянным расходом QАТ[м3с] =const в

течение времени tРАБ[с] изменение давления РС[Па] во времени tОСТ[с] прошедшем с

момента остановки описывается асимптотическими формулами (для больших значений tОСТ)

ОСТ

ОСТРАБRПЛ

ОСТ

ОСТРАБОАТПЛC

t

tP

t

tВQPP

tln

tln

4

(52

)

ОСТРАБ

ОСТРАБRR

ОСТРАБ

ОСТРАБ

ПРС

ОАТНАЧC

t

t

t

t

r

ВQPP

t

tln

t

tln

252ln

4 2

_

(53

)

где PНАЧ [Па] ndash давление в момент остановки скважины (tОСТ =0)

Следует обратить внимание что соотношения (51) и (53) оперируют с

разностью текущего и начального давления цикла (в первом случае в качестве

начального выступает пластовое давление а во втором ndash давление в момент

остановки скважины) В отличие от этого соотношение (52) оперирует с

абсолютной величиной давления

С математической точки зрения названные способы представления

данных идентичны Но каждый из них оптимален для решения конкретной

задачи интерпретации гидродинамических исследований Уравнения (51) и (53)

позволяют выделить влияние скин-фактора Основная цель использования

формулы (52) оценка абсолютной величины пластового давления

Абсолютная величина тангенса угла наклона асимптоты () для всех без

рассмотренных зависимостей одинаков и определяется величиной

гидропроводности пласта

Рис52 иллюстрируют поведение давления во времени при запуске

скважины в зависимости от дебита в цикле исследований (а) проницаемости

пласта (б) и скин-фактора (в) Основной недостаток подобного представления

27

результатов в низкой наглядности В частности очень трудно различить

особенности влияния основных информативных факторов ГДИС ndash

фильтрационных свойств пласта (проницаемости) и характеристик

совершенства вскрытия (скин-фактора)

Рис52 особенности поведения давление при пуске скважины (КСД)

а) Влияние расхода Q=QАТВо-расход PС ndashдавление РПЛ- начальное

пластовое давление tРАБ=0 момент пуска скважины (Q1ltQ2ltQ3)

б) Влияние проницаемости Q-расход PС ndashдавление РПЛ- начальное

пластовое давление tРАБ=0 момент пуска скважины (k1gtk2ltk3)

в) Влияние проницаемости скин-фактора Q-расход PС ndashдавление РПЛ-

начальное пластовое давление tРАБ=0 момент пуска скважины (s3gts2lts1)

В ГДИС используются специальные способы представления данных

позволяющие сделать их интерпретацию более наглядной

Рис53 иллюстрирует основные способы представления результатов

ГДИС для исследования добывающей скважины включающей цикл I запуска с

постоянным расходом (КСД-пуск) и цикл II остановки (КВД)

PCQ

PCQ

t=to

Q

PC (k=k1)

PC (k=k3)

PC (k=k2)

PC=PПЛ tРАБ

Q1

PC=PПЛ

t=to

Q2

Q3

PC (Q=Q1)

PC (Q=Q2)

PC (Q=Q3)

PCQPC=PПЛ

Q

PC (s=s1)

PC (s=s2)

PC (s=s3)

а)

б)

в)

tРАБ

tРАБ

28

Рис53 Основные способы представления результатов ГДИС для

диагностики радиального режима течения при пуске в работу со стабильным

расходом добывающей (I) и нагнетательной (II) скважины а) давление как

функция времени в декартовых координатах б) приращение давления как

функция времени в декартовых координатах в) приращение давления как

функция логарифма времени г) логарифм приращения давления и логарифм

логарифмической производной как функция логарифма времени

Базовым способом представления результатов ГДИС является график

полной (по всем циклам исследования) кривой изменения давления во времени

в процессе ГДИС в декартовых координатах (рис53а)

Графики в декартовых координатах зависимости приращения давления от

времени по отдельным циклам позволяют унифицировать результаты измерения

давления по циклам его роста (КВД) и падения (КСД - пуск) Приращение

вычисляется как модуль разности текущего давления (Р) и начального давления

PС

P=Рпл

a)

I

II

ln(tРАБtОСТ)(tРАБ +tОСТ)

IIбtРАБ

РНАЧI

РНАЧII

P=РНАЧI-PС

ln(tРАБ)

P

lnPlnPP

P

Iв)

Iг)

Iд)

P

lnPlnPP

P

IIв)

IIг)

IIд)

tОСТ

P=PС-РНАЧII

tРАБ

ln(tРАБ)

ln(tРАБ+tОСТ)tОСТ

ln(tРАБtОСТ)(tРАБ +tОСТ)

tОСТ

PС

29

(РНАЧ) в цикле Р= Р-РНАЧ Величина Р монотонно увеличивается во

времени вне зависимости от соотношения дебитов в цикле исследования и

предшествующем цикле[6]

График зависимости приращения давления от логарифма текущего

времени laquolntРАБraquo используется для представления результатов КСД-пуск

(рис53Iв) Участок КСД соответствующий радиальному режиму в данном

масштабе аппроксимируется линейной асимптотой Эта особенность

радиального режима используется для его диагностики

Как следует из соотношения (52) наклон асимптоты определяется

гидропроводностью пласта а свободный член значением гидропроводности и

приведенного радиуса (то есть и скин-фактора)

Для цикла (КВД) вместо логарифмического масштаба времени

используется так называемый обобщенный логарифмический масштаб

вычисляемый на основе продолжительностей и расходов циклов работы

скважины предшествующих анализируемому (рис53IIв)

Как следует из соотношения (53) для цикла КВД после одиночного цикла

работы скважины данный масштаб вычисляется по формуле

ОСТРАБ

ОСТРАБP

tt

ttt

)(lnF

(54)

Во временном интервале радиального режима течения КВД

аппроксимируется линейной асимптотой Наклон асимптоты определяется

гидропроводностью пласта а свободный член значением гидропроводности и

приведенного радиуса (то есть и скин-фактора)

Масштаб Хорнера у которого радиального режима течения также является

логарифмическим (рис53II б)

Как следует из соотношения (52) для цикла КВД после одиночного цикла

работы скважины данный масштаб вычисляется по формуле

)ln()(lnОСТ

ОСТРАБ

Pt

tttF

(65)

30

Данный масштаб является инверсным по времени При увеличении

времени его значения падают Участок КВД соответствующий радиальному

режиму течения аппроксимируется линейной асимптотой Наклон асимптоты

определяется гидропроводностью пласта а свободный член значением

пластового давления

Двойной логарифмический масштаб для цикла laquoКСД-пускraquo предполагает

представление логарифма приращения давления laquoln(P)raquo и логарифма

логарифмической производной ln(P) от логарифма времени (рис62Iд)

Логарифмическая производная в этом случае вычисляется по формуле

)ln( P

PP

(66)

Для цикла laquoКВДraquo двойной логарифмический масштаб предполагает

представление параметров laquoln(P)raquo и ln(P) от обобщенного логарифмического

времени соотношение (69)- рис62IIд

)( PF

PP

P

(67)

Данный масштаб является универсальным используется для диагностики

не только радиального но и линейного и других не радиальных режимов течения

для всех типов циклов ГДИС

Следует подчеркнуть что соотношения (51)-(54) выведены для двух

цикличной технологии исследования и при увеличении числа циклов должны

быть модифицированы Но описанный выше принцип масштабирования

результатов ГДИС является универсальным

31

Рис 54 Билогарифмический график КВД [5]

На основе интерпретации результатов исследования ГДИС определяются

параметры энергетического состояния скважины (пластовое давление

депрессия продуктивность динамика их изменения) фильтрационные

параметра пласта (гидропроводность подвижность пьезопроводность

проницаемость) зональность их распространения по площади

В настоящей магистерской диссертации была реализован метод

математического моделирования с целью получения информации о

проницаемости и пластовом давлении в точках исследуемых скважинах

погрешностью полученных параметров на основе качества исследования

(наличие на билогарифмическом радиального режима) связанным со временем

исследования

ГЛАВА 6 ТЕОРИЯ ФИЛЬТРАЦИИ В УПРУГОЙ ПОРИСТОЙ

СРЕДЕ

Основа теории фильтрации основана на изучении движения

(просачивания) жидкости через пористую среду Особенности процессов

фильтрации зависят от упругих свойств среды и насыщающих их флюидов

Для постановки задачи фильтрации жидкости в упругой среде прибегают

к краевой или начально-краевой задаче с соответствующими граничными

условиями Для нахождения математического выражения фильтрации флюидов

в пористой среде решают систему дифференциальных уравнений в частных

производных

Векторы скорости и плотности фильтрующейся жидкости могут быть

представлены в следующем виде - (119909 119910 119911 119905) и плотностью жидкости

120646 (119909 119910 119911 119905) Одной из важных характеристик поровой среды является пористость

32

ndash это относительный объем порового пространства в материале именно этот

параметр определяет количество флюида которое содержится или может

содержаться в определенном объеме пористой среды [7]

Теория фильтрации флюидов опираются на фундаментальный закон

сохранения массы в соответствии с которым изменения массы жидкости в

любом произвольном объеме V внутри замкнутой поверхности происходит за

счет изменение притока и оттока жидкости через границу объема (уравнение

неразрывности) [12]

Поток жидкости через произвольную однозначно определенную

замкнутую поверхность Γ в пористой среде с коэффициентом пористости - φ

заполненной флюидом с вязкостью μ (рис 61)

Рисунок 61 Замкнутая поверхность Γ в пористой среде (The Society of Petroleum Engineers

2014)

Скорость поступление массы объемом V через поверхность Г равна

скорости изменения данной массы в этой области (The Society of Petroleum

Engineers 2014)

119889119872119892

119889119905=

119889

119889119905∭ 120588120593119889119881 =∭

120597

120597119905(120588120593)119889119881

119881119881 6 1

Масса поступающая в определенный объем пористой среды через

дифференциальный элемент поверхности dΓ за промежуток времени Δt со

скоростью равна minus120646 lowast Отличие массы поступившей в определенную

поверхность и массой покинувшей эту поверхность за изменение времени Δt

равна

33

∆119872119892 = minus∆119905∯ 120588 lowast 119889Г Г

6 2

Скорость притока флюида в объем области V через поверхность Γ

lim∆119905rarr0

119889119872119892∆119905

=119889119872119892119889119905

= ∯120588 lowast 119889Г

Г

6 3

Приравняем правые части уравнения (119889119872119892

119889119905=

119889

119889119905∭ 120588120593119889119881 =

119881

∭120597

120597119905(120588120593)119889119881

119881 ) и ( lim

∆119905rarr0

119889119872119892

∆119905=

119889119872119892

119889119905= ∯ 120588 lowast 119889Г

Г 63) если функции

входящие в эти уравнения являются достаточно гладкими то применяем теорему

Остроградского ndash Гаусса к правой части уравнения ( lim∆119905rarr0

119889119872119892

∆119905=

119889119872119892

119889119905=

∯ 120588 lowast 119889Г Г

63) получаем

∭ [120597

120597119905(120588120593) + nabla120588] 119889119881

119881=0 (64)

Интеграл может быть приравнен к нулю тогда когда сама функция под

знаком интеграла равна нулю исходя из этого утверждения можем получить

120597

120597119905(120588120593) + nabla120588 = 0 (65)

Полученное уравнение (65) можем переписать через поля давления по

причине отсутствия непосредственного замера скорости и плотности потока при

гидродинамическом исследовании скважины (ГДИС) Для пересчета в

характеристики давления потока воспользуемся законом фильтрации Дарси и

уравнение состояния [2]

Уравнение состояния которое связывает плотность и давление

с = minus1

119881

120597119881

120597119875 с =

1

120588

120597120588

120597119875 сρ

120597119875

120597119905=120597120588

120597119905 0 6

c ndash сжимаемость жидкости отрицательный знак отражает условие что

при положительном коэффициенте сжимаемости будет происходить сжатие

флюида (давление растет объем уменьшается) Различают общую сжимаемость

с119957 и сжимаемость пористой среды с119943

с119891 =1

120593

120597120593

120597119875 6 7

34

с119905 = с119891 + 119888 6 8

Исторически уравнение баланса было получено экспериментально Анри

Дарси По закону Дарси вектор скорости фильтрации выражается через вязкость

флюида micro и тензор проницаемости k Знак минус в правой части также имеет

физически явный смысл в отсутствии сил действующих на массу жидкость

начинает движение из областей в повышенным давление в область с меньшим

давлением

= minus119896

120583nabla119875 6 9

При рассмотрении первого слагаемого уравнения 120597120597119905(120588120593) + nabla120588 = 0

(65 и с = minus1

119881

120597119881

120597119875 с =

1

120588

120597120588

120597119875 сρ

120597119875

120597119905=

120597120588

120597119905 06 выполним подстановку

120597

120597119905(120588120593) = 120593

120597120588

120597119905+ 120588

120597120593

120597119905= 120593сρ

120597119875

120597119905+ 120588

120597120593

120597119905= 120593сρ

120597119875

120597119905+ 120588

120597120593

120597119875

120597119875

120597119905=

= 120593сρ120597119875

120597119905+ 120588с119891120593

120597119875

120597119905= 120588с119905120593

120597119875

120597119905 6 10

Далее перезапишем уравнение 120597120597119905(120588120593) + nabla120588 = 0 (65 с учетом

данного выражения и подставим вектор скорости из уравнения закона Дарси

с119905120593120597119875

120597119905= nabla(

119896

120583nabla119875)

1

120594

120597119875

120597119905= nabla2119875 120594 =

119896

с119905120593120583 6 11

Где 120594 ndash коэффициент пьезопроводности с119905120593120597119875

120597119905= nabla(

119896

120583nabla119875)

1

120594

120597119875

120597119905= nabla2119875 120594 =

119896

с119905120593120583 611 определяется как уравнение пьезопроводности - основным

уравнением которое описывает процессы возникающие при гидродинамических

исследованиях

Данное уравнение пьезопроводности (611) может быть перезаписано

относительно радиальных координатах

1

120594

120597Δ119875

120597119905=1

119903

120597

120597119903(119903120597Δ119875

120597119903) 6 12

где 120607119927 = 119875119894 minus 119875 119875119894 minus начальное пластовое давление

35

Уравнение пьезопроводности решается практически во всех

аналитических моделях и выражается в них в радиальных формулах

Однозначно определенным объектом такого радиального решения служит

нагнетательная или добывающая скважина Выбранная система координат

наилучшим способом описывает моделирование радиального потока

относительно скважины

ГЛАВА 7 МОДЕЛИРОВАНИЕ ИССЛЕДОВАНИЙ

Уравнением описывающим процессы происходящие при исследованиях

ГДИ является уравнение пьезопроводности Данное уравнение (71) описывает

неустановившееся однофазное одномерное течение флюида в пористой среде и

выражает связь между пластовым давлением временем и расстоянием от

скважины до точки наблюдения Решение уравнения пьезопроводности (72) для

простого случая работы вертикальной скважины в бесконечном пласте позволяет

получить модель характеризующую перераспределение давления в пласте

1

120594

120597120549119875

120597119905=1

119903

120597

120597119903(119903120597120549119875

120597119903) (71)

∆119875(119905 119903) = minus9205119902119861120583

119896ℎ119864119894 (minus

1199032

000036120594119905) (72)

(q ndash дебит скважины м3сут B ndash объёмный коэффициент 120583 ndash

вязкость жидкости cпз k ndash проницаемость мД h ndash мощность пласта

м r ndash радиус м χ ndash пьезопроводность мД(спзатм-1) t ndash время ч)

Инструмент позволяет моделировать исследование ГДИ для случаев с

разным закачиванием скважин (вертикальная скважина вертикальная скважина

с гидравлическим разрывом пласта (ГРП) горизонтальная скважина

горизонтальная скважина с многостадийным ГРП) На первом этапе по заданным

свойствам пласта и флюида моделируется ГДИ описывающая изменение

забойного давления в скважине [1]

36

На следующем этапе моделирования строится билогарифмический график

(рис71) по которому специалисты ГДИ определяют свойства пласта Таким

образом создав синтетическое ГДИ можно предсказать как будет выглядеть

билогарифмический график исследования КВД (кривая восстановления

давления) характеризующего остановку скважины

Моделирование исследования ГДИ проводится для N ndash исходов (рис71) и

для разного времени длительности исследования t (50-100-150hellipчасов) в

результате чего инструмент определяет свойства пласта (проницаемость и

пластовое давление) по результатам исследования зависящих от времени

длительности ГДИ

Рис71 Результаты моделирования исследования ГДИ

ГЛАВА 8 ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИ ФИЛЬТРАЦИИ

ФЛЮИДОВ

811 Основа модели фильтрации к вертикальной скважине

Для самого начала рассмотрим самый простой случай движения флюида

в однородном бесконечном пласте начиная с начального постоянного давления

119927119946

В начальный момент t = 0 однотипно с началом первого цикла

эксплуатации у пласта коллектора начальное равномерное давление - 119927119946

ΔP(r t = 0) = 0 P(r t = 0) = Pi (8111)

Введем в рассмотрение граничное условие когда границы отсутствует

это сопоставимо что пласт-коллектор характеризуется бесконечной

протяженностью

0

05

1

15

2

25

-3 -2 -1 0 1 2 3

LO

G (

dP

) LO

G(P

`)

LOG(dt)

Билогарифмический график

LOG (P(t)-P(tp))

37

ΔP(r rarr infin t) = 0 P(r rarr infin t) = Pi (8112)

Второе граничное условие на радиусе скважины будет зависить от

условий на поверхности ствола (r = rw) Введем в рассмотрение единичную

вертикальную скважину радиусом 119953119960 которая полностью вскрывает

однородный изотропный коллектор с коэффициентом проницаемости k и

эффективной мощностью h добывает однородную малосжимаемую жидкость

вязкостью μ при стандартных условиях с дебитом Q м3 В условиях пласта объем

добываемого флюида составит Qsf = Qb (где b ndash объемный коэффициент

жидкости)

(119903120597119875

120597119903)119903=119903119908

=119902119861120583

2120587119896ℎ (8113)

Одной из удобных моделей моделировании фильтрации к скважине

является модель линейного источника которая является предельным случаем

скважины нулевого радиуса

119897119894119898 (119903120597119875

120597119903)119903rarr0

=119902119861120583

2120587119896ℎ (8114)

На практике прибегают к упрощению постановки задачи путем ввода

безразмерных переменных При решении задачи относительно новых

переменных позволяют интегрировать остальные параметры и в конечном счете

задача сводится к решению уникального набора уравнений которые легко

разрешаются аналитическим методом раз Физический смысл ввода

безразмерных параметров заключается в исключении из основного уравнения

параметров пьезопроводности пласта-коллектора с целью поиска обобщенного

решения с помощью которого переходя на изначальные размерные параметры

удается получить решение для определенного пласта и определить параметры

пьезопроводности и проводимости (Houzeacute O 2008)

119903119863 =119903

119903119908 (8115)

119905119863 =000036119896119905

1205931205831198881199051199031199082 (8116)

38

119875119863 =2120587119896ℎ

119902119861120583∆119875 (8117)

Далее вводим безразмерные параметры переходим к общей задаче

120597119875119863120597119905119863

=1

119903119863[120597

120597119903119863(119903119863

120597119875119863120597119903119863

)] (8118)

119875119863(119903119863 119905119863 = 0) = 0 (8119)

119875119863(119903119863 rarr infin 119905119863) = 0 (81110)

119897119894119898 (119903119863120597119875119863120597119903119863

)119903119863rarr0

= minus1 (81111)

Решая данное дифференциальное уравнение удобно применить

интегральные преобразования Принято при решении уравнения

пьезопроводности пользоваться особой формой линейных интегральных

преобразований являющиеся преобразованиями Лапласа Далее применяем к

уравнению (120597119875119863

120597119905119863=

1

119903119863[120597

120597119903119863(119903119863

120597119875119863

120597119903119863)] (811) преобразования Лапласа

s119875119863 =1

119903119863[120597

120597119903119863(119903119863

120597119875119863

120597119903119863)] (81112)13

Трансформанта Лапласа

119875119863 (119904 119903119863) = int 119875119863(119905119863

infin

119905119863

119903119863) exp(minus119904119905119863) 119889119905119863 (81113)

где s mdash это число достаточно велико чтобы мог существовать интеграл

действительная часть которого положительна Функция обозначенная чертой

сверху является образом (изображением) функции или результатом

интегрального преобразования Лапласа где подынтегральной функцией

является прообразом (оригиналом) Решение уравнения(811s119875119863 =

1

119903119863[120597

120597119903119863(119903119863

120597119875119863

120597119903119863)] (81112)13) можно представить через модифицированное

уравнение Бесселя нулевого порядка которое можно записать в следующем

виде

119875119863 (119904 119903119863) = 119860(119904)1198680(119903119863radic119904) + 119861(119904)1198700(119903119863radic119904) (81114)

39

1198680 и 1198700 являются модифицированными функциями Бесселя нулевого

порядка Значения коэффициентов A и B в уравнении определяются с помощью

подстановки граничных условий в уравнение Осуществляем подстановку

граничных условий из внешнего ГУ А(s)=0 B(s)= 1

119904 В итоге получаем

изображение решения для линейного источника в виде

119875119863 (119904 119903119863) =1

1199041198700(119903119863radic119904) (81115)

Для нахождения образа функции выполняем обратное преобразование

Лапласа полученного уравнения Данную операция можно выполнить с

помощью таблиц преобразований Лапласа (из таблиц в работах (Churchill RV

1972) и (Abramowitz M 1972))

119871minus1 (1198700(119903119863radic119904)) =1

2119905exp(minus

1198962

4119905) (81116)

Обобщаем выводим решение для линейного источника с безразмерными

параметрами

119875119863(119905119863 119903119863) = minus119864119894 (minus1199031198632

4119905119863) 119864119894(119909) = minus int

119890minus119910

119910119889119910

infin

minus119909

(811 14)

Где 119864119894(119909)-интегральная показательная функция Далее выполняем

обратное преобразование переходим на размерные величины

∆P(t 119903) = minusqBμ

2πkh119864119894 (minus

r2

4 lowast 000036120594t) (811 15)

Полученное решение уравнения в каждой точке и на каждом промежутке

времени удовлетворяет задаче фильтрации для скважины линейного источника

находящаяся в эксплуатируемом фонде скважин вскрывающая интервалом

перфорации эффективную мощность однородного бесконечного пласта-

коллектор Одним из выводов из решения уравнения пьезопроводности гласит

что поля релаксации перепада давления мгновенно перераспределяются по

пласту-коллектору Также стоить отметить существующее решение на дальнем

расстоянии от скважины 119903119894119899119907 вблизи которого перепад давления столь мал что

40

этим можно пренебречь Исходя из этого предположения можно определить

радиус исследования 119903119894119899119907 который характеризует размер области исследования

результат интерпретации которых зависят от свойства пласта и флюидов в

скважине [11]

При рассмотрении полей давления в пласте с бесконечной

протяженностью во время запуска скважины в работу на основании полученного

ранее решения уравнения (рис 8111) В первоначальный момент времени 1199051 =

0 забойное давление в скважине равно текущему пластовому давлению через

некоторый отрезок времени в интервале - 1199052 вокруг точки скважины

формируется так называемая laquoворонка депрессииraquo которая может

характеризовать неустановившийся режим течения При движение по временной

шкале воронка депрессии будет распространяться на более дальние расстояния

от скважины пока не достигнет определенной границы (119903119894119899119907=119903119908 +radic120594t) Если

рассматривать зеркально противоположный пример при остановке скважины

воронка депрессии будет становиться меньше и будет уменьшаться пока

значение давления в скважине не достигнет пластового и останется стабильным

Понятие радиального режима для течения флюидов в пласте является

основополагающим для интерпретации гидродинамических исследований Это

режим характеризует обстановку при которой скорость фильтрации и поля

давления имеют радиальную симметрию и линии тока в пласте направлены к

круговому цилиндру по радиусу от периферии пласта к скважине (Рис 1)

41

Рис 8111 Линии тока для вертикальной скважины при радиальной

фильтрации [6]

Решение линейного источника может достичь радиального режима с

определенного времени 119905119909 такую характерную зависимость можно проследить

на билогарифмическом графике (рис 8111) этот режим характеризуется

стабилизацией производной давления С помощью данного графика

проницаемость пласта вычисляется по формуле

119896ℎ = 119902119861μ lowast05

2120587∆Pстаб (81119)

При рассмотрения кейса решения уравнения пьезопроводности в случае

вертикальной скважины в цилиндрическом пласте-коллектора изменится гу на

г

р

а

н

и

ц

е

ц

и

л

и

н

(120597Δ119875

120597119903)119903=119903119890

= 0 (81120)

Аналогично ранее описанному алгоритму решению уравнения

пьезпроводности получим изображение депрессии

∆P (119904) =qBμ

2πkhlowast

lowast

1198680 (119903radic119904120594)1198701 (119903119890radic

119904120594)+ 1198681 (119903119890radic

119904120594)1198700 (119903radic

119904120594)

119903119908radic119904120594119904 [1198681 (119903119890radic

119904120594)1198701 (119903119908radic

119904120594)minus 1198681 (119903119908radic

119904120594)1198701(119903119890radic

119904120594]

(81121)

42

Аналитическое преобразование данного уравнения принимают

следующий вид (Van Everdingen AF and HurstW W 1953)

∆P(t 119903) =qBμ

2πkh

2

1199031198902 minus 119903119908

2(120594119905 minus

1199032

4) minus

1199031198902

1199031198902 minus 119903119908

2119897119899r

119903119908minus

1

(41199031198902 minus 119903119908

2)2lowast

lowast (31199031198904 minus 4119903119890

4119897119899119903119890119903119908minus 2119903119890

2 minus 1) +

+120587sum11986912 (120573119899

119903119890119903119908) [1198691(120573119899)1198840 (120573119899

r119903119908) minus 1198841(120573119899)1198690 (120573119899

r119903119908)]

120573119899 [11986912 (120573119899

r119890119903119908) minus 1198691

2(120573119899)]

infin

119899=1

119890119909119901 (minus1205731198992 120594119905

1199031199082) (81122)

1205731 1205732 и тдndash решения уравнений

1198841(120573119899)1198691 (120573119899r119890119903119908) minus 1198691(120573119899)1198841 (120573119899

r119890119903119908) = 0 (81123)

В поставленной формулировке задачи для выведенного уравнения

решения невозможно сходу подобрать обратное преобразование Лапласа с

помощью табличных значений (аналитической функции) (Abramowitz M 1972)

Однако можно выполнить найти решение выполнив его численно Для решения

задач нестационарной фильтрации флюидов применимы алгоритмы численного

обращения основанные на стохастических подходах (Stehfest H 1970) которые

предполагают что можно рассчитывать приближенное значение оригинала pa(T)

по найденному изображению p(s) в определённый момент времени t = T [13]

119901119886(119879) =1198971198992

119879sum119881119894

119873

119894=1

(119904)119904=1

1198971198992119879 (81124)

119881119894 = (minus1)(1198732)+119894

sum1198961198732(2119896)

[(1198732)

minus 119896] 119896 (119896 minus 1) (119894 minus 119896) (2119896 minus 119894)

min(1198941198732)

119896=(119894+1)2

(81125)

812 Приток к вертикальной скважине с трещиной ГРП

Ранее было выведены решения задачи фильтрации для вертикальных

скважин Метод источников который был применен также используется для

случаев скважин с более сложной геометрией ННС (наклоннонаправленных

43

скважин) ВС ГРП (вертикальный с гидроразрывом пласта) ГС ГРП

(горизонтальных с гидроразрывом пласт)

Функция Грина и метод источников применяется для решения двух- и

трёхмерных задач неустановившейся фильтрации Под источником понимается

некоторая точка поверхность или объем из области которых флюид отбирается

из пласта-коллектора или закачивается Строго говоря отбор жидкости должен

ассоциироваться со стоком а закачка с источником Под физической основой

источник можно сопоставить со скважиной бесконечно малого диаметра в

которую мгновенно закачивается конечное количество флюида[16]

Функции Грина и метод источников тесно связаны между собой Функция

Грина определяется для дифференциального уравнения со специальными

граничными условиями (заданный расход или давление) и соответствует

решению для мгновенного точечного источника С другой стороны функции

источников представляют собой решения данного дифференциального

уравнения с указанными граничными условиями и геометрией источника

Фундаментальное решение функции Грина (G (M Mrsquo τndasht)) для

неустановившегося потока флюида в пористой среде может соотнесено с

давлением в точке M (x y z) в определенный момент времени t которое

обусловлавливает мгновенный точечный источник единичной интенсивности

который создан в точке Mrsquo(xrsquo yrsquo zrsquo) во временя τ lt t Необходимо чтобы

функция Грина удовлетворяла уравнению пьезопроводности

120597119866

120597119905= 120594nabla2119866 81161

120597119875

120597120591= 120594nabla2119875 8122

int nabla2119891(119872)119889119872 =119863

int120597119891

120597119899Г

119889Г 8123

Используем свойства функции Грина можем применить терему Грина

(8123) с учетом (8122) (Gringarten AC and Ramey HJ 1973) получим

44

∆119875(119872 119905) =1

120593119888int int

Г119908(119872119908

prime 120591)119866(119872119872119908prime 119905 minus 120591

119905

0)119889119872119908

prime 119889120591 =

1

120593119888int 119905

0(120591)119878(119872119872119908

prime 119905 minus 120591)119889120591 8123

119878(119872119872119908prime 119905 minus 120591) = int 119866(119872119872119908

prime 119905 minus 120591)119889119872119908prime

Г119908 8124

где Г119908 ndash граница ствола скважины = minus119896

120583

120597119875

120597119899 ndash объём потока который

проходит через точку на поверхности внутренней границы 119872119908prime Применяем

интегрирование правой части данного уравнения (724) получаем

распределение точечных источников по площади длине и объему источника

Для разных конфигураций системы laquoисточник-пластraquo можно подобрать

табличные базовые функции соответствующих мгновенных источников (The

Society of Petroleum Engineers 2014)

В практике нефтегазовой отрасли практически на многих добывающих

скважинах проводиться МУН (метод увеличения нефтеотдачи) Одним из

распространенных методов интенсификации флюида является гидравлический

разрыв пласта (ГРП) который заключается в формировании высокопроводимой

трещины в продуктивном интервале пласте для увеличения притока флюида к

скважине

Поставим задачу решения уравнения фильтрации флюида к вертикальной

скважине с трещиной ГРП Из условий скважина полностью вскрывает пласт

эффективной мощностью h кровля и подошва пласта ограничена

непроницаемыми ровными горизонтальными границами Трещина ГРП

расположена симметрично относительно нормали ствола скважины полудлина

трещины - xf ширина - wf (wf ltlt xf) коэффициент проницаемости трещины kf

индекс laquofraquo характеризует трещину ГРП В горизонтальном направлении пласт

бесконечный (рис 8121 ndash 8122) Течение потока к трещине выражается

двумерным стоком флюида

45

Рис 8121 Вертикальная трещина (вид сбоку)

Рис 8122 Течение флюида к вертикальной трещине (вид сверху)

В ходе решения задачи стоит рассмотреть два типа течения

1) поток в трещине

2) поток в пласте с трещиной

1) Переходя к безразмерным переменным (8115-8117) запишем

уравнение пьезопроводности (8118) и граничные условия (8119-81110)

119901119891119863(119909119863 119905119863) =2120587119896ℎ (119901119894 minus 119901119891(119909 119905))

119902119908120583 (8125)

119905119863 =119896119905

1206011205831198881199051199091198912 (8126)

119909119863 =119909

119909119891 (8126)

119902119891119863(119909prime 120591) =

2119902119891(119909prime120591)

119902119908119909119891 (8127)

1198892119901119891119863(119909119863)

1198891199091198632

=120587

119865119862119863119902119891119863(119909119863) (8128)

119889119901119891119863

119889119909119863 119909119863=0=

120587

119865119862119863 (8129)

46

119889119901119891119863119889119909119863 119909119863=1

= 0 (81210)

Перепад значений давления между забойным давлением и в точке

трещины с координатой 119909119863 можно записать

119901119908119863 minus 119901119891119863(119909119863) =120587

119865119862119863[119909119863 minusint int 119902119891119863(119909

primeprime)119889119909primeprime119889119909prime119909prime

0

119909119863

0

] (81211)

2) Течение добываемого флюида из пласта-коллектора в трещину

можно рассмотреть как наличие нестационарного источника жидкости qf(xt) в

самой трещине Используя метод источников который был рассмотрен ранее

безразмерное давление в любой произвольной точке пласта

119901119863(119905119863 119909119863 minus 119909119908119863 119910119863 minus 119910119908119863) = int int 119902119891119863(120591 119909prime minus 119909119908119863)119866(120591 119909

prime 119909119863 minus1

minus1

1199051198630

119909119908119863 119910119863 minus 119910119908119863)119889119909prime119889120591 (81212)

(119909119908119863 119910119908119863) - безразмерные координаты точки забоя скважины в

горизонтальной плоскости (xy) ось 119909 направлена вдоль трещины

Записывается условие непрерывности давления в пласте и в трещине

119901119891119863(119905119863 119909119863) = 119901119863(119905119863 119909119863 0) (81213)

Следовательно уравнение (81211) принимает вид

119901119908119863 minusint int119902119891119863(120591 119909prime)119866(120591 119909prime 119909119863 0)119889119909

prime119889120591

1

minus1

119905119863

0

=120587

119865119862119863[119909119863 minusint int 119902119891119863(119905119863 119909

primeprime)119889119909primeprime119889119909prime119909prime

0

119909119863

0

] (81214)

Применяем преобразование Лапласа

119908119863(119904) minus int 119891119863(119904 119909prime)(119904 119909prime 119909119863 0)119889119909

prime =1

minus1

120587

119865119862119863[119909119863

119904minus

int int 119891119863(119904 119909primeprime)119889119909primeprime119889119909prime

119909prime

0

1199091198630

] (81215)

int 119891119863(119904 119909prime)119889119909prime

1

minus1

=1

119904 (81216)

47

Получили изображения Лапласа соответствующих функций ndash

оригиналов Решение системы производится путём дискретного разбиения

трещины по длине на 2n сегментов и записи данной системы в следующем виде

для каждого дискретного сегмента (рис 723)

Рис 8123 Схема разбиения трещины на сегменты

119908119863(119904) minussum119891119863119894

119899

119894=1

int (119904 119909prime d119909 (119895 minus1

2) 0) 119889119909prime

d119909119863119894

d119909119863(119894minus1)

+ int (119904 119909prime d119909 (119895 minus1

2) 0) 119889119909prime

d119909119863(minus119894+1)

d119909119863(minus119894)

+120587

119865119862119863[119889119909119863 ∙ 119895

119904minus (119889119909119863)

2sumsum119891119863119896

119894

119896=1

119895

119894=1

] (81217)

119889119909119863 ∙sum 119891119863119894

119899

119894=1

=1

2119904 (81218)

Изображение давления в любой точке пласта можно найти по формуле

119863(119904 119909119863 119910119863) = sum 119891119863119894 int (119904 119909prime 119909119863 119910119863)119889119909119863∙119894

119889119909119863(119894minus1)119889119909prime +119899

119894=1

int (119904 119909prime 119909119863 119910119863)119889119909119863∙(minus119894+1)

119889119909119863∙(minus119894)119889119909prime (81219)

Где 119891119863119894 ndash изображение функции мощности источников в каждом n

сегменте [17]

48

813 Основа модели фильтрации к горизонтальной скважине с МГРП

Задача притока добываемого флюида к горизонтальной скважине с

многостадийным гидроразрывом пласта (МГРП) схематично можно

представить как несколько одинаковых трещин соединенных общим

горизонтальным стволом Каждая трещина пресекает ствол горизонтальной

скважины в центре и является симметричной относительно ствола ((119909119908119863119895 119910119908119863119895)

Рис 8131 Схематическое изображение ГС с МГРП

Каждая трещина ГРП будет иметь равную полудлину 119909119891 и безразмерную

проводимость 119865119862119863 В модели существует предположение что течение флюида

внутри трещины является одномерным Следовательно поток флюида к

горизонтальному стволу скважины с n трещинами будет равен алгебраической

сумме потоков флюида от каждой трещины

119876 = sum 119876119895(119905)119899119895=1 = 119888119900119899119904119905 (8131)

Как ранее для общения задачи вводим безразмерные переменные

давление в точке пересечения скважины с j трещины - 119901119908119863119895 безразмерный дебит

- 119902119863119895 =119876119895

119876

Из условий бесконечной проводимости для горизонтального ствола

119901119908119863119895 = 119901119908119863 119895 = 1 119899 8132

Возмущение давление которое создается трещиной k в точке пересечения

119895 трещины со скважиной ndash 119901(120591)119863119895119896 equiv 119901119863(120591 119909119908119863119896 119910119908119863119896 119909119908119863119895 119910119908119863119895) применяя

принцип суперпозиции

119901119908119863(119905119863) = sum int 119902119863119895 ∙ 119901prime119863119895119896(119905119863 minus 120591)119889120591 8133

1199051198630

119899119895=1

49

Суммарный поток флюида от всех трещин будет фиксирован

sum 119902119863119895119899119895=1 = 1 и с преобразованием Лапласа - sum 119863119895

119899119895=1 =

1

119904 8134

Преобразование Лапласа для 734 р119908119863119895 = sum 119904119863119895119863119895119896119899119896=1 8135

119863119895119896 = int 119891119863(119904 |119909119908119863119896 minus 119909prime|)(119904 119909119908119863119896 minus 119909prime 119909119908119863119895 119910119908119863119896 119910119908119863119895)119889119909

prime

119909119908119863119896+1

119909119908119863119896minus1

8136

119863119895119896 =sum119891119863119894 int (119904 119909119908119863119896 minus 119909prime 119909119908119863119895 119910119908119863119896 119910119908119863119895)119889119909prime

119889119909119863∙119894

119889119909119863(119894minus1)

119899

119894=1

+ int (119904 119909119908119863119896 minus 119909prime 119909119908119863119895 119910119908119863119896 119910119908119863119895)119889119909prime

minus(119894minus1)∙119889119909119863

minus119894∙119889119909119863

8137

Мощность источников 119891119863(119904 |119909119908119863119896 minus 119909prime|) вычисляется из (81217-

81218) где 119889119909119863 =1

119899 ndash безразмерная длина каждого n сегмента 119891119863119894 -

безразмерная скорость течения через i элемент

Система уравнений (8134-8137) записывается в виде [8]

А = 8138

= (

1199081198631198631⋮119863119899

) 8139

А = (

1 minus119904 ∙ 11986311 ⋯ minus119904 ∙ 1198631119899⋮ ⋮ ⋱ ⋮

1 minus119904 ∙ 1198631198991 hellip minus119904 ∙ 1198631198991198990 1 hellip 1

) 81310

= (

0⋮01 119904frasl

) 81311

50

Для вычисления матричных элементов 119863119895119896 необходима информация о

мощности потока в из всех 119899 трещин ГРП Если считать что каждая трещина ГРП

делится на 2119898 сегментов (рис 8123) тогда система (81310) будет содержать

(1 + 2119898 times 119899) количество уравнений относительно следующих неизвестных

119908119863 11989111986311 hellip 119891119863(2119898)1 hellip 1198911198631119899 hellip 119891119863(2119898)119899 где в 119891119863119894119895 ndash течение через i-й

сегмент в j-й трещине Пользуясь упрощенным подходом можем переписать в

следующем виде[19]

forall119895 isin 1hellip119899 forall119896 = 1hellip119898 ∶ 119891119863119895119896 = 119863119895 ∙ 119891119863119896 81312

При определении мощности источников используется допущение что на

распределение мощности источников внутри каждой из трещин соседние

трещины оказывают слабое влияние Можно предположить что распределения

мощности потока в трещинах симметричны относительно точки пересения со

стволом скважины Элементы матрицы А в (81310) получают по формуле

(8137)

119863119895119896 =sum119891119863119894 int (119904 119909119908119863119896 plusmn 119909prime 119909119908119863119895 119910119908119863119896 119910119908119863119895)119889119909

prime

119889119909119863∙119894

119889119909119863(119894minus1)

81313

119899

119894=1

где функция (hellip ) определяется по табличным формулам в зависимости

от граничных условий и типа зоны дренирования

Для решения СУ используется выражение матрицы в виде произведения

дву нижней треугольной и верхней треугольной (LU-декомпозиция) (Ортега

Дж 1991) Так называемое LU-разложение (LU-декомпозиция) mdash

представление выражение определенной матрицы в виде произведения двух

матриц A = LU где L mdash нижняя треугольная матрица а U mdash верхняя

треугольная матрица [15]

Ниже представлены применяемые в данной работе функции источников

в пространстве Лапласа

Таблица 8131 Функции линейных стоков

51

Тип условий на

границах

Функции линейных стоков

119899119899119899119899 =

=120587

2119909119890119863coshradic1199041198631 + coshradic1199041198632

radic119904 sinhradic119904119910119890119863

+ 2sumcos119896120587119909119863119909119890119863

cos 119896120587(119909119908119863 minus 119909prime)

119909119890119863

cosh 1205981198961198631 + cosh 1205981198961198632120598119896 sinh 120598119896119910119890119863

infin

119896=1

0 17

119888119888119888119888

=120587

119909119890119863sumsin119896120587

119909119863119909119890119863

sin 119896120587|119909119908119863 minus 119909prime|

119909119890119863

cosh 1205981198961198631 minus cosh 1205981198961198632120598119896 sinh 120598119896119910119890119863

infin

119896=1

0 18

119888119899119888119899 =

=120587

2119909119890119863coshradic1199041198631 minus coshradic1199041198632

radic119904 sinhradic119904119910119890119863

+ 2sumcos119896120587119909119863119909119890119863

cos 119896120587(119909119908119863 minus 119909prime)

119909119890119863

cosh 1205981198961198631 minus cosh 1205981198961198632120598119896 sinh 120598119896119910119890119863

infin

119896=1

0 19

Где 119909119890119863 =119909119890

119909119891 119910119890119863 =

119910119890

119909119891 1198631 = 119910119890119863 minus |119910119863 minus 119910119908119863| 1198632 = 119910119890119863 minus (119910119863 + 119910119908119863) 120598119896 =

radic119904 + 11989621205872 1199091198901198632frasl 119909119890 ndash размер площади дренирования по оси x 119910119890 ndash размер

площади дренирования по y 119899 значает границу отсутствия перетока 119888

означает границу постоянного давления

82 РЕАЛИЗАЦИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ИССЛЕДОВАНИЙ

В настоящей работе реализовано решение задачи фильтрации о

нестационарном притоке флюида к скважине при постоянном заданном дебите

для скважин с разным типом заканчивания (вертикальная скважина и

горизонтальная скважина с трещинами МГРП) Математическая модель описана

для задач (Главы 811-813) реализована на языке программирования VBA

Входные параметры приведены на рис 821 Параметры границ задаются

в виде прямоугольника (рис823) Параметры скважины флюида и пласта

задаются при помощи априорной информации Проницаемость рассматривается

как распределение полученных ранее (главе 3)

y

x

y

x

y

52

В ходе решения задачи строится график - кривая стабилизации давления

зависимость изменения забойного давления от времени (рис823)

Рис 821 Входные параметры для модели

Рис 822 Расположение горизонтальной скважины в границах

53

Рис 823 Кривая стабилизация давления

На следующем этапе по последней точке определяется значения kmodel В

зависимости от длительности исследования будь то 50 часов 100 часов и более

будет зависеть погрешность результата определения свойств пласта по

отношению к истинным параметрам (рис 821) К тому же от времени

исследования будут зависеть Capex на проведения исследования

Рассчитанное значение модельное kmodel затем сравнивается с исходным

заданным значением kist В результате получаем отношение модельного значения

kmodel после проведения ГДИ к kist в зависимости от длительности ГДИС (рис

822)

Рис 821 График производной забойного давления

54

Рис 822 Отношение kmodel kist для скважины 11РО

Полученные по проницаемости параметры умножаются на эффективную

мощность пласта-коллектора и затем рассчитанное распределение

интерполируется с другими параметрами в скважинах в точку проектной

По результатам моделирования распределения свойств пласта будут

изменяться уменьшение дисперсии при увеличении длительности исследования

(рис823) Идеальным исследованием считается исследование с длительностью

достаточной для достижения производной давления на билогарифмическом

графике радиального режима течения что указывает на достоверность

параметров по результатам ГДИ (проницаемость и пластовое давление) Чем

ближе длительность исследования к идеальному ГДИ тем ниже

неопределенность в параметрах и тем ближе распределение к идеальному

Моделирование разной длительности исследования проводиться для N ndash

распределений (рис2)

Результаты смоделированного ГДИ позволяют снизить неопределенности

(сузить распределение) в свойствах пласта в точке проектной скважины Для

интерполяции в точку проектной скважины используется метод сплайн ndash

интерполяции [18]

tk model 10 20 30 40 50 60 70 80

50 2288169 1501385 1150108 0948723 0808706 0717031 0640296 0581876

100 1496394 0948581 0717744 0581513 0484438 0414342 0361937 0319311

150 1107448 0689761 0503907 0394864 0322636 0269636 0233048 0203542

200 0949817 0580742 0417822 0318936 0259364 021555 0186095 0163468

250 0818194 0486803 0338246 0259062 0206736 0173204 014824 0129707

300 0705787 0408828 0281063 0211366 0169381 0142083 012167 0106692

350 0627933 0351884 023841 017996 0144702 0119968 0103063 0090319

400 0562852 0307024 0207063 0155316 0124788 010441 0089458 0078395

450 0510211 0272553 0183196 013788 0110431 009172 0079061 0069165

500 0463384 0245037 0164854 0123914 0099043 0082679 007078 0061913

55

Рис823 Изменение распределения в зависимости от времени исследования ГДИ

На рис 824 показано распределение значений проницаемости с учетом

разной длительности исследований ГДИ

Полученное распределение kh в проектной скважине до ГДИ

характеризовалось большей дисперсией по сравнению с распределением после

проведенного ГДИ на скважине

Рис 824 Распределение kh на проектной скважине

ГЛАВА 9 РАСЧЕТ ЭКОНОМИЧЕСКОГО ЭФФЕКТА

ЦЕННОСТИ ИНФОРМАЦИИ

Ожидаемая прибыль запланированной к бурению скважины до проведения

ГДИ рассчитывается с учётом исходного распределения после ГДИ

0

001

002

003

004

005

006

007

008

009

1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800

Пл

отн

ость

вероятн

ости

Пластовое давление атм

Распределения пластового давления

Время длительности ГДИ 50 часовВремя длительности ГДИ 100 часовВремя длительности ГДИ 150 часовВремя длительности ГДИ 200 часов (идеальное исследование)

56

рассчитывается для каждого дискретного варианта исхода из N-возможных и для

разных времен длительности исследования t

На первом этапе расчёта прибыли по методу Монте-Карло определяются

значения проницаемости и пластового давления с вероятностями распределения

равными 10 50 90 и оценивается запускное значение дебита скважины По

соседним скважинам определяются темпы падения дебита скважины

усредненный темп падения используется для проектной скважины

Произведение запускного значения дебита и усредненного темпа падения

характеризует профиль добычи проектной скважины На основе профиля

добычи оценивается NPV проектного бурения который учитывает

операционные затраты и капитальные расходы проекта При оценке NPV после

запланированного исследования в капитальных затратах учитываются расходы

на проведение ГДИ стоимость интерпретации исследования инструментальные

замеры

Ожидаемая ценность EMVwi после проведения ГДИ рассчитывается как

сумма отдельно взятых N - исходов умноженных на соответствующие

вероятности исходов (91)

119864119872119881119908119894 (119905119894) = 1198641198721198811199081198941(119905119894) lowast 1198751 + 1198641198721198811199081198942(119905119894) lowast 1198752 +⋯

+ 119864119872119881119908119894119873(119905119894) lowast 119875119899 =sum119864119872119881119908119894119895(119905119894)

119873

119895=1

(91)

Чистый дисконтированный доход рассчитывается по формуле (92) где

CF ndash денежный поток r ndash ставка дисконтирования I ndash сумма инвестиционных

вложений Непосредственно CF (денежный поток) будет определяться

количеством добываемого флюида [18]

119873119875119881 = sum119862119865119905

(1 + 119903)119905minussum

119868119905(1 + 119903)119905

(92)

Инвестиционные вложения включают операционные затраты ndash Opex

повседневные затраты компании для ведения бизнеса производства товаров и

57

услуг и капитальные затраты - Capex расходы на приобретение или обновление

необоротных активов При проведении ГДИС затраты на спускподъём

оборудования интерпретацию исследования инженером и потеря в прибыли

связанные с остановкой скважины учитываются в Capex

91 EMV БЕЗ УЧЕТА ПРОВЕДЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ

Дебит ndash это ограниченный объем добытой жидкости через скважину за

определенное время Оценки производительности скважин и расчет добычи

скважины проводятся на основе запускного дебита скважины и усредненного

темпа падения дебита на соседних скважинах на протяжении 25 лет В основном

темпы падения строятся исходя из истории эксплуатации на месторождении

анализируется весь набор данных на заданный пласт

Запускной дебит может быть рассчитан по следующим формулам в

зависимости от типа скважины [9]

1) Вертикальная скважина c ГРП

119902 =2120587119896ℎ(119875119894minus119875119908)

120583119861(119897119899119877119890119877119908minus075+119878)

119878 = 1198971198992119903119908

119909119891 (911)

2) Горизонтальная скважина с МГРП

119902 = 2120587kℎ ( 119875119894 minus119875119898

2+119875119908

2) + 119898119876119863 (912)

119876119863 =2120587kℎ(119875119894minus119875119908)

120583119861(119897119899119877119890119877119908minus075+119878)

(913)

С помощью расчёта запускных дебитов а также анализа работы

окружающих скважин были получены результаты темпов падения на рисунке

911 изображены темпы падения с вероятностью Р50 нефти и жидкости за 25 лет

для определенной скважины Также построена гистограмма с накопленной

добычей (рис 911)

58

Рис 931 Темпы падения для скважины

Рис 911 Гистограмма распределения добычи нефти

для скважины 716 до ГДИ

Геологические риски и неопределенности определяют необходимость

создания вероятностной оценки дебитов запасов профилей добычи

Вероятностная оценка по границам возможной минимальной и максимальной

эффективности поможет минимизировать инвестиционные риски проекта

Модуль вероятностной оценки дебитов запасов профилей добычи

основан на теории вероятностей и математической статистики [12] По

многочисленным входным параметрам задаются диапазоны ожидаемых

величин и тип распределения - по проницаемости эффективной

нефтенасыщенной толщины пласта пластовому давлению Источник

информации ndash фактические параметры полученные с карт и распределение с

59

ошибкой их построения Чем меньше неопределенностей тем меньше дисперсия

и разброс ожидаемых параметров в возможных диапазонах

Следующим этапом переходим к расчету экономических параметров

(NPV) по найденным значениям добычи за 25 лет На рисунке изображена

гистограмма NPV и указаны количественные оценки накопленной добычи и NPV

для вероятностей P10 P50 P90 (табл 911)

Рис 04 Гистограмма распределения NPV для скважины 716 до ГДИ

Таблица 921 Показатели добычи и NPV

Вероятность Накопленная добыча нефти тыст NPV млнруб

P10 1937 3012

P50 1128 1547

P90 597 585

60

С помощью выполненных расчетов (табл 911) ожидаемая ценность

проекта бурения скважины без проведения исследований (EMVwoi) составляет

16011 млн рублей

92 EMV БЕЗ УЧЕТА ПРОВЕДЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ

Расчет экономических параметров в случае модерирования исследований

проводится аналогичным образом Для расчета добычных показателей

планируемой скважины рассчитывается также по формулам 911-913 В этом

случае значения проницаемости и пластового давления задаются с помощью

уточнённые параметров после ГДИ с меньшей дисперсией

На рисунке 921 представлено распределение значений пластового

давления умноженного на эффективную нефтенасыщенную толщину после

ГДИ длительностью 150 часов

Рис 921 Гистограмма распределения NPV для скважины после ГДИ длительностью

150 часов

Расчет экономических параметров помимо операционных затрат (OPEX)

в случае моделирования ГДИ будет включать еще Capex ndash это затраты

проведенного исследования (инструментальные замеры спускоподъёмные

операции) который в свою очередь будут зависят от длительности проведения

исследований Также будут включены затраты на работу интерпретатора

исследований которые уже не будут зависеть от длительности В написанном

61

модуле также учитывается потеря прибыли на время остановки скважины

количественно потери будут определяться длительностью остановки скважины

на проведения ГДИ

62

ГЛАВА 10 РЕЗУЛЬТАТЫ

Реализованный модуль в данной работе позволяет определить

необходимость проведения гидродинамического исследования и выдать

рекомендации по продолжительности исследования составить ранжированный

список скважин по эффективности проведения исследований

В таблице 101 представлены результаты экономических параметров и

расчет VOI На графике (рис 101) построенным в осях VOI в зависимости от

времени исследования можно оценить экстремум функции как оптимальное

время для проведения исследования По представленным результатам

целесообразно провести ГДИ на скважине 3 длительностью от 150 часов так как

ценность полученной информации будет наибольшей

Таблица 101 VOI при проведении ГДИ на скважине 3

Продолжительность ГДИ

EMV1 EMV

2 VOI

Целесообразность исследования

50 16116 16111 005 + 100 16135 16111 024 + 150 16198 16111 087 +

200 16127 16111 016 +

250 16033 16111 -078 - 300 16021 16111 -09 -

В случае горизонтальных скважин также был произведен анализ

ценности информации рассчитаны параметры VOI от длительности по времени

Однако для выхода на радиальный режим для случаев горизонтальных стволов

скважин на рассматриваемом месторождении N необходимо более 500 часов что

существенно увеличивает капитальные затраты При расчете большой

длительности на проведения ГДИ обычно скважину не останавливают так как

эти исследования являются крайне затратными В таблице 202 указаны расчёты

при проведении исследования на горизонтальной скважине 5

63

Рис 101 Зависимость VOI от длительности ГДИ

Таблица 102 VOI при проведении ГДИ на скважине 5

Продолжительность ГДИ

EMV2 EMV

1 VOI

Целесообразность исследования

50 1603 1611 -078 - 100 1606 1611 -054 - 150 161 1611 -013 - 250 1612 1611 012 - 350 1611 1611 -006 - 500 1614 1611 024 +

Таблица 103 Ранжированный список скважин-кандидатов для проведения ГДИС

Скважина VOI (t=50) VOI (t=100) VOI (t=150) VOI (t=200) VOI (t=250) VOI (t=300)

3 005 024 087 016 -034 -078 1 003 015 036 073 -021 -064 4 002 012 024 054 -011 -057 2 001 009 011 031 042 -03

Модуль автоматически перебирает выбранный список скважин для

бурения проектной скважины и ранжирует их по ценности информации

проведенных исследований также предлагает наиболее оптимальное время

исследований исходя из экономических параметров (таблица 103)

Апробация и оптимизация инструмента оценки необходимости

проведения гидродинамического исследования проводится на одном из активно

-15

-1

-05

0

05

1

15

0 50 100 150 200 250 300 350

VO

I м

лнр

уб

Длительность ГДИ ч

VOI (Проведение ГДИ нецелесообразно)

VOI (Проведение ГДИ целесообразно)

64

разбуриваемых месторождений В данной работе проводилась аналитика для

бурения 10 проектных скважин По результатам моделирования ГДИ на

скважинах вблизи проектной была проведена оценка ценности информации от

запланированного исследования На рис102 представлена зависимость

определенного VOI от длительности ГДИ если график расположен выше нуля

(VOI gt 0) исследование экономически обосновано проводить Определив

экстремум функции определяется оптимальная длительность исследования

Приводя пример в рассчитанном кейсе для бурения скважины X наиболее

выгодно провести исследования в 3 скважине длительностью 150 часов

Рис 102 Зависимость VOI от длительности ГДИ в скважинах 1234

-1

-05

0

05

1

0 100 200 300 400

VO

I

Длительнось ГДИ

Скв 3 Скв 1 Скв 4 Скв 2

65

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

По результатам магистерской диссертации был реализован инструмент для

оптимального планирования гидродинамических исследований на этапе бурения

проектных скважин с помощью метода VOI

Предложенный в данной работе метод позволяет определить не только

необходимость проведения гидродинамического исследования но и выдать

рекомендации по оптимальной продолжительности исследования

Смоделировав исследования ГДИ на нескольких соседних от проектных

скважин инструмент позволяет ранжировать скважины ndash кандидаты для

гидродинамических исследования по величине ценности информации VOI

В процессе реализации предложенной методики работы было выполнено

следующее

1 Автоматический анализ данных по ранее проведенным

исследованиям определение геологической неопределенности

интересующих параметров (пластовое давление проницаемость) по

всему эксплуатационному фонду скважин на месторождении N

2 Модуль сплайн-интерполяция на языке программирования Python с

помощью которого интерполируются значения параметров

решается задача о нестационарном притоке к скважине с помощью

языка программирования VBA в котором учитываются результаты

моделирования синтетического ГДИ

3 Расчёт плановых показателей добычи на основе распределений Рпл

и kh до проведения исследования и после него в зависимости от

времени исследований

4 Экономический анализ эффективности проведения исследований на

основе методики VOI по результатам которого выполняется

ранжирование скважин по информативности исследований

66

По результатам расчёта на месторождении N выяснили что для бурения

скважины X наиболее эффективно останавливать на ГДИ скважину 3 с

длительностью исследования 150 часов

В заключении реализованный модуль позволяет оценить

целесообразность проведения ГДИ и самое важное экономическое обоснования

планируемых исследований

Возможности реализованного модуля

Автоматизированный анализ геологической неопределённостей по

фильтрационным-емкостным свойствам и пластовому давлению в

зоне планируемого бурения

Экономическое обоснование по проведению гидродинамических

исследований в зоне бурения проектных скважин

Определение оптимальной длительности ГДИС

Ранжирование скважин по информативности проведения

исследований

Экономическое обоснование затрат на ГДИС и последующими

решениями по оптимальному планированию ГДИС на основе

ценности информации

67

ОХРАНА ТРУДА

Преобладающее время по написанию выпускной квалификационной

работы проводилось за персональным компьютером

Согласно рекомендованной инструкцией по охране труда во время работы

на компьютере ТОИ Р-45-084-01 и также при его эксплуатации могут возникнуть

негативное влияние на работника следующие вредные производственные и

опасные факторы

повышенные уровень электромагнитного воздействия

высокая степень статического электричества

низкий уровень ионизации воздуха

нагрузки которые связанны с продолжительным временем сидячим

положением

повышенная нагрузка на органы зрения

болевые симптомы в позвоночнике и пояснице в связи

продолжительным сидячим положением а также венозная

недостаточность и стресс

Для рационального выбора организации рабочего процесса необходимо

минимизировать опасное воздействие на здоровье работающего а также

выполнить все требования эргономики и обезопасить свое рабочее место

Требования к минимизации нагрузки на органы зрения

Высокая нагрузка на органы зрения приводит к ухудшению зрения

возникновению близорукости и других заболеваний что также провоцирует

мигрень и головные боли повышается раздражительность нервное состояние

которое может привести к стрессу

Для избежание негативного воздействия на органы зрения необходимо

уделить особое внимание освещению как помещения так же и рабочих мест так

как степень освещенности напрямую зависит от интенсивности зрительного

напряжения Основное освещение следует размещать сплошными или

прерывистыми линиями светильников которые могут располагаться сбоку от

68

рабочих мест а также параллельно линии зрения рабочего при линейном

расположении мониторов компьютера Если же ПК расположены по всему

периметру помещения тогда линию светильников или ламп следует

расположить локализовано над каждым рабочим местом

Безопасная и рекомендуемая норма освещенности для работника в системе

освещения составляет mdash 150 minus 200 лк По правилам допускается расположение

ламп локального освещения Персональное освещение не должно

способствовать возникновению бликов на поверхности самого экрана а также

освещенность экрана не должна превышать 300 лк Безопасным считается

освещение рабочих мест люминесцентными лампами ЛБ белого света которые

должны использоваться в помещениях с нормальными условиями труда

Экран должен характеризоваться освещенностью не более 300 лк Яркость

ламп основного освещения в части зон углов излучения 50 minus 90∘ в продольной и

поперечной с вертикалью плоскостях может составлять менее 200кдм также

защитный угол светильников может составлять более 40∘

В виде источников света особенно при условии искусственного освещения

следует применять люминесцентные лампы ЛБ (белый свет) и ЛТБ (тепло-

белый) с характеристиками мощностью 40Вт или 80Вт обладающие высокой

световой отдачей (до 120лмВт и более) у которых продолжительный срок

службы (до 10000ч)

В лампах локального освещения допускается использование ламп

накаливания также галогенных Не допускается использование светильников без

рассеивателей и экранных решеток

Организация рабочего места в связи с активностью оператора

Сфера работы оператора ЭВМ характеризуется пониженной мышечной

активностью а также длительным напряжением мышц в статике особенно шеи

рук спины и ног что может привести к утомлению Состояние утомления

существенно возрастает особенно при неоптимальной высоте рабочего стола и

сидения у которого отсутствует опорная спинка или подлокотник а также

острых углах наклона головы нерациональным и неудобном размещении

69

видеотерминала документов и клавиатуры неудобном угле наклона

поверхности экрана отсутствии подставки для ног

Сиденье должно быть удобным и обеспечивать поддержание правильной

рабочей позы которое будет позволять изменять положение с целью

уменьшение напряжения мышц шейно-плечевой области Лучший способ - это

когда рабочее кресло оборудовано подъемно-поворотным которое регулируется

по высоте и по углам наклона спинки причем регулировка каждого параметра

должна быть независимой

Рабочее место работника следует обеспечить подставкой для ног (п 93 и

105 СанПиН 222241340-03) Поверхность подставки обязательно должна

быть рельефной и характеризоваться высотой переднего края 10 мм

Требования пожаробезопасности

Согласно ГОСТ 121004-91 следует помнить о существующих мерах

предосторожности и опасных факторах огонь пламя и дым также высокая

температура токсичные продукты горения и их термическое разложение

сниженная концентрация кислорода Противопожарную защиту обеспечивают

следующими мерами

Использование средств пожаротушения наличие сигнализации и

устройств тушения в помещениях которые способны ограничивать

распространение пожара наличие специальных средств индивидуальной

защиты

Противопожарные перегородки и отсеки устройства автоматического

отключения систем

Специальная планировка эвакуационных выходов

Системы оповещения людей по громкоговорителю

Технические средства для эвакуации людей

Присутствие огнетушащих веществ

70

Система вентиляции здания должна содержать оборудования и устройства

которые обеспечивают автоматическое отключение при пожаре и

огнедымозадерживающими устройствами Система электропитания

персонального компьютера должна иметь блокировку которая отключает его в

случае пожара

71

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1 Байков ВА Бакиров НК Яковлев АА Математическая геология

учебное пособие ndash Москва-Ижевск 2012 ndash 228с

2 Гуляев Д Н Кокурина В В Кременецкий М И и др Формирование

системы промыслового мониторинга на основе долговременных иссле-

дований стационарными датчиками на приеме насоса Нефтяное хозяй-

ствоraquo 12 2009 С 41ndash44

3 Демьянов В В Савельева Е А Геостатистика теория и практика

учебное пособие ndash Москва 2010 ndash 327с

4 Каневский МФ Демьянов ВВ Савельева ЕА и др Элементарное

введение в геостатистику Москва ВИНИТИ 1999 ndash 136с

5 Каневская Р Д Математическое моделирование разработки месторож-

дений нефти и газа с применением гидравлического разрыва пласта М

Недра-Бизнесцентр 1999 ndash 212 с

6 Кременецкий М И Ипатов А И Гуляев ДН Информационное

обеспечение и технологии гидродинамического моделирования нефтяных

и газовых залежей [Книга] - Москва-Ижевск Ижевский институт

компьютерных исследований 2011 ndash 896с

7 Леонтьев Н Е Основы теории фильтрации [Книга] - Москва ЦПИ при

механико-математическом факультете МГУ 2009 ndash 88с

8 Ортега Дж Введение в параллельные и векторные методы решения

линейных систем [Книга] - Москва Мир 1991 ndash245с

9 Abramowitz M IA Stegun Handbook of Mathematical Functions [Книга] -

New York Dover Publications Inc ndash 1972

10 Churchill RV Operational Mathematics [Книга] - New York McGraw-Hill

Book Co Inc ndash 1972

11 Gringarten AC and Ramey HJ The Use of Source and Greenrsquos Functions in

72

SolvingUnsteady-Flow Problems in Reservoirs [Книга] - SPEJ 1973 ndash245с

12 Houzeacute O Viturat D Fjaere O-S Dynamic data analysis [Книга] - Kappa

2008

13 Joshi SD Horizontal Well Technolog [Книга] - Tulsa Oklahoma Penwell

Published Compan 1991

14 Stehfest H NumericalInversionof LaplaceTransforms [Книга] -

Communicationsofthe ACM 1970

15 The Society of Petroleum Engineers Введение в нефтяной инжиниринг

[Книга] - Москва-Ижевск Институт компьютерных исследований 2014

16 Van Everdingen AF and HurstW W The Application of the Laplace

Transformation to Flow Problems in Reservoirs [Книга] - AIME 1953

17 Stehfest H NumericalInversionof LaplaceTransforms

Communicationsofthe ACM 1970

18 Gringarten AC and Ramey HJ The Use of Source and Greenrsquos Functions in

SolvingUnsteady-Flow Problems in Reservoirs бм SPEJ 1973

19 Jan R Williams Susan F Haka Mark S Bettner Joseph V Carcello

Financial amp Managerial Accounting 2008

8

ГЛАВА 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕННОСТИ ИНФОРМАЦИИ НА

ОСНОВЕ VOI

Ценность информации (Value of information) ndash это разность между

ожидаемой стоимостью проекта с учетом и без учета полученной информации в

результате исследований Критерий ценности информации позволит

охарактеризовать экономическую выгоду результатов исследований а также

произвести оценку эффективности программы геологоразведочных работ

Появившиеся тенденции разработки месторождений характеризующиеся

сложным геологическим строением и высокой степенью неопределённостью

требуют новых методик экономической оценки ценности проектов В связи с

повышением стоимости геологоразведочных работ месторождений

находящихся в удаленных регионах на шельфе подход основанный на

экономической ценностью информации является актуальным Расчет VOI

позволяет найти наиболее экономически выгодную программу исследований

оценить ее достаточность оптимальность определить ценность информации

единичного исследования Статистический подход к развитию возможных

вариантов исхода поможет количественно оценить риски проекта составить

оптимальную программу разработки месторождения на основе дерева решений

Процесс принятия решению можно визуализировать в виде дерева

решения графического метода анализа информации который вкачает в себя

узлы решения вероятности и окончания Последовательность

взаимоисключающих событий реализация сценариев включающих риски и

неопределенности приводит к достижению поставленной цели при заданных

вероятностях

Решения принимаются в узлах решений Ветви исходящие из любого

узла решений представляют собой все возможные выборы которые имеются на

данный момент времени у принимающего решения

9

Неопределенные результаты возникают в узлах вероятности (случая)

Ветви исходящие из любого узла вероятности представляют все результаты

которые могут возникнуть в некоторый момент времени и их вероятности в

сумме должны быть равны 1 Исходной веткой (перед самим узлом) могут

являться как альтернативы узла решений так и исходы предыдущего узла

вероятности

Узел окончания обозначает завершение каждой ветки и не подразумевает

дальнейшее ветвление Справа от него в строчку записывается итоговая

вероятность данной ветки (считается перемножением вероятностей данной

ветки по всем узлам вероятности) и финансовый результат данной ветки

(сценария)

Рис 11 Пример простого дерева решений

Концепция VOI (рис 12) основана на расчете разницы ожидаемой

денежной проекта после проведения исследования (EMV2) и без информации

(EMV1) ndash dNPV [3] которая возникает в связи с риском принятия неэффективного

решения из-за существующей неопределенности параметров объекта

исследования

Рис 12 Пример простого дерева решений

10

Снижение диапазона неопределённости позволяет принять более

эффективные инвестиционные решения и тем самым повысить ценность

проекта Оценка наиболее оптимальных решений до и после проведения

исследования входит в оценку EMV по веткам дерева решений что позволяет

оценить VOI от проведения работ

Ценность информации будет являться нулевой в случаях если информация

не приносит снижения диапазона неопределенности и если снижение

неопределенности не несет никаких изменений в дальнейших решениях по

проекту Оценка ценности информации позволяет на количественном уровне

оценить экономическую целесообразность проведения ГДИ и вовремя

отказаться от проведения неэффективных исследований тем самым увеличив

стоимость проекта

ГЛАВА 2 ОБЗОР ВХОДНЫХ ДАННЫХ

Реализованный модуль прошел апробацию на восточной части

месторождения N В текущей постановке предложенная методика для оценки

ценности информации и необходимости проведения гидродинамических

исследований проводилась на стадии планирования бурения (Рис 01 Карта

проницаемости пласта месторождения N)

11

Рис 01 Карта проницаемости пласта месторождения N

Месторождение N как и многие давно разрабатываемые активы покрыты

частой сеткой гидродинамических исследований в скважинах Однако

превосходящая часть этих исследований была осуществлена в течении 3-4 лет

назад данный факт существенно снижает корректность информации

полученной в результате исследований о текущем пластовом давлении и

фильтрационно-емкостных характеристиках пласта

Проницаемость горных пород пласта - это способность пород пласта-

коллектора пропускать флюид (жидкость воду и газ) при депрессии на пласт

Проницаемость является фильтрационным параметром горной породы который

определяет скорость фильтрации жидкости в среде Проницаемость пористой

среды будет зависеть не только от размера и расположения пор относительно

друг друга но также от характера движения фильтрующихся флюидов (нефть

вода газ)

Пластовое давление (Рпл) ndash это параметр который характеризует энергию

нефтегазоносных пластов Пластовым называют давление которым флюиды

воздействуют на вмещающие их породы Это давление возникает из

гидростатического давления то есть избыточного давления (архимедовой силы)

которое возникает в результате изменения объёма резервуара (порового

пространства пласта) и так же за счёт расширения (или сжатия) флюидов и

изменения их массы вследствие эксплуатации скважинами Существуют

понятия начального пластового давления и текущего пластового давления

Начальное определяют как исходный показатель которым характеризовался

пласт до вскрытия скважиной Текущим пластовым давлением определяют как

меняющийся в ходе разработки месторождения динамический параметр Один

из важных параметров в процессе разработки месторождения ndash это дебит

скважины (q определяют как объём флюида (воды нефти или газа) поступает в

единицу времени) Данная характеристика напрямую будет зависеть от

величины пластового давления и емкостных-фильтрационных свойств пласта

119875пл ndash динамический параметр по этой причине для эффективной разработки

12

месторождения необходима информация о текущем энергетическом состоянии

пласта и его проницаемости

Пластовое давление и проницаемость могут быть получены в результате

интерпретации гидродинамических исследований (глава 5) Однако

длительность исследований и их качество порой оказываются недостаточными

для корректного определения этих параметров В данной работе реализуется

алгоритм моделирования синтетических исследований (глава 8) для оценки

погрешности в зависимости от их длительности

ГЛАВА 3 МЕТОДИКА ОПТИМАЛЬНОГО

ПЛАНИРОВАНИЕ ИССЛЕДОВАНИЙ

Результатом интеграции методологии ценности информации и

планирования гидродинамических исследований является реализованный

инструмент позволяющий определить необходимость проведения исследования

на действующей скважине вблизи проектной С целью определения VOI

инструмент последовательно решает следующие задачи

1 Определение исходных распределений проницаемости (k) и

пластового давления в действующих скважинах (глава 2)

2 Интерполяция исходных распределений в точку проектной

скважины (глава 4)

3 Моделирование исследований ГДИ на действующих скважинах

расположенных вблизи проектной скважины и определение распределений

проницаемости и пластового давления с учётом результатов исследований (глава

8)

4 Интерполяция измененных распределений в точку проектной

скважины (глава 4)

5 Расчёт ожидаемой прибыли проектной скважины без проведения

исследования ГДИ (EMVwoi) (глава 91)

13

6 Расчёт ожидаемой прибыли проектной скважины с учётом

проведения исследования ГДИ (EMVwi) (глава 92)

При проектировании скважины значения проницаемости и пластового

давления определяются по имеющимся картам распределения свойств В свою

очередь построение карт основывается на результатах проведения

гидродинамических исследований По причине наличия погрешностей при

построении карт распределения свойств и погрешностей в результатах

гидродинамических исследований значения проницаемости и пластового

давления с карт зачастую не являются аналогичными результатам ГДИ

На первом этапе инструмент оценивает распределение параметров

основываясь на определении отношения (έ) значений проницаемости и

пластового давления определенных по результатам ГДИ к значениям

определенным по картам пластового давления и проницаемости (рис1)

Параметр έ характеризует отклонения результатов исследований от карт и таким

образом описывает неопределенность в параметре Определив параметр έ для

каждого имеющегося гидродинамического исследования оценивается

распределение отклонений έ для каждого параметра (проницаемости и

пластового давления) Разработка методологии проводилась на существующем

месторождении в результате параметр έ для проницаемости имел

логнормальное для пластового деления нормальное распределение (рис31)

Распределения свойств пласта в точках существующих скважин до

проведения гидродинамического исследования определяется путем

произведения распределений έ на значение параметра пласта с актуальной карты

[1]

14

Рис31 Распределения отклонений значений проницаемости и пластового давления по

результатам ГДИ от значений с карт

На следующем этапе инструмент интерполирует исходные распределения

в точках действующих скважин в точку проектной скважины Для интерполяции

используется метод сплайн ndash интерполяции который оценивает значения

используя математические функции В результате интерполяции для проектной

скважины определяются распределения проницаемости и пластового давления

до проведения гидродинамического исследования

Возможные реализации проницаемости и пластового давления имеют

широкие исходные распределения и являются непрерывными величинами по

этой причине перед моделированием ГДИ исходные распределения в точках

существующих скважин разбиваются на N-количество дискретных исходов

(рис32) Количество исходов (N) определяется на основе точности

погрешности результатов ГДИ Точность результатов ГДИ определяется

экспертным образом Вероятности исходов определяются на основе данных

вероятностного моделирования путем деления всего диапазона исходов

значений N - дискретных исходов и определение количества реализаций

которые можно отнести к каждому исходу При моделировании 100 значений

проницаемости если скважина в 20 реализациях попала в первое распределение

вероятность должна быть определена 20

0

02

04

06

08

1

12

14

00 10 20

Пл

отн

ость

ве

ро

ятн

ости

έ = (Рпл по ГДИ) (Рпл с карт)

Распределение έ значений проницаемости

0

02

04

06

08

1

12

14

00 05 10 15 20

Пл

отн

ость

ве

ро

ятн

ости

έ = (119896 по ГДИ) (119896 с карт)

Распределение έ значений пластового давления

15

Рис 32 Разбиение исходного распределения пластового давления на дискретные

значения

Для оценки распределений свойств пласта в точке проектной скважины

после проведения гидродинамического исследования необходимо создать

синтетическое ГДИ Моделирование запланированного ГДИ проводится путём

решения задачи о нестационарном притоке к скважине с постоянным дебитом на

основе исходных распределений свойств пласта

Уравнением описывающим процессы происходящие при исследованиях

ГДИ является уравнение пьезопроводности Данное уравнение (31) описывает

неустановившееся однофазное одномерное течение флюида в пористой среде и

выражает связь между пластовым давлением временем и расстоянием от

скважины до точки наблюдения Решение уравнения пьезопроводности (32) для

простого случая работы вертикальной скважины в бесконечном пласте позволяет

получить модель характеризующую перераспределение давления в пласте

1

120594

120597120549119875

120597119905=1

119903

120597

120597119903(119903120597120549119875

120597119903) (31)

∆119875(119905 119903) = minus9205119902119861120583

119896ℎ119864119894 (minus

1199032

000036120594119905) (32)

где (q ndash дебит скважины м3сут B ndash объёмный коэффициент 120583 ndash

вязкость жидкости cпз k ndash проницаемость мД h ndash мощность пласта

м r ndash радиус м χ ndash пьезопроводность мД(спзатм-1) t ndash время ч)

16

Ожидаемая прибыль запланированной к бурению скважины до проведения

ГДИ рассчитывается с учётом исходного распределения после ГДИ

рассчитывается для каждого дискретного варианта исхода из N-возможных и для

разных времен длительности исследования t

На первом этапе расчёта прибыли по методу Монте-Карло определяются

значения проницаемости и пластового давления с вероятностями распределения

равными 10 50 90 и оценивается запускное значение дебита скважины По

соседним скважинам определяются темпы падения дебита скважины

усредненный темп падения используется для проектной скважины

Произведение запускного значения дебита и усредненного темпа падения

характеризует профиль добычи проектной скважины На основе профиля

добычи оценивается NPV проектного бурения который учитывает

операционные затраты и капитальные расходы проекта При оценке NPV после

запланированного исследования в капитальных затратах учитываются расходы

на проведение ГДИ стоимость интерпретации исследования инструментальные

замеры

Ожидаемая ценность EMVwi после проведения ГДИ рассчитывается как

сумма отдельно взятых N - исходов умноженных на соответствующие

вероятности исходов (33)

119864119872119881119908119894 (119905119894) = 1198641198721198811199081198941(119905119894) lowast 1198751 + 1198641198721198811199081198942(119905119894) lowast 1198752 +⋯

+ 119864119872119881119908119894119873(119905119894) lowast 119875119899 =sum119864119872119881119908119894_119895(119905119894)

119873

119895=1

(33)

По результатам моделирования ГДИ на скважине вблизи проектной

проводится оценка ценности информации от запланированного исследования

Реализуется построение зависимости VOI от длительности ГДИ где график

расположен выше нуля (VOI gt 0) следует что исследование экономически

обосновано проводить По результату работы модуля выполняется

17

ранжирование скважин с оптимальным временем проведения ГДИ на основе

ценности информации

ГЛАВА 4 МЕТОДЫ ИНТЕРПОЛЯЦИИ

Определения параметров пласта в области с отсутствующими прямыми

измерениями осуществляются с помощью пространственной интерполяции

Одним из основных методов построения карт параметров пласта является

сплайн-интерполяция

Для построения распределения свойств пласта в определённой зоне

используют ограниченное значение количественных измерений интересующего

параметра Z в точках (Xi Yi) Данные точки определяются как точки выборки

(точки наблюдений) Цель пространственной интерполяции ndash получить значения

пространственной переменной Z на площади где отсутствуют исследования с

минимально погрешностью Необходимо интерполировать из точек Z(xi) в

определенную точку Z(x) на основе анализа имеющихся в базе значений (Рис 42)

Рис 42 Интерполяция в точку Z(x)

Подход интерполяции напрямую опирается на измеренные значения в

точках и интерполируются с помощью подбора математической функции

определяя слаженность результирующей формы [4]

В данной работе был реализован метод сплайн-интерполяции

Сплайн-функцией 119904(119909) 119909 isin [119886 119887] называется функция которая в

каждом частичном отрезке [119909119894minus1 119909119894] является полином некоторой степени и

имеет на заданном [119886 119887] производную до некоторого порядка Под степенью

18

сплайна подразумевают максимальную степень полинома по каждому из

отрезков [119909119894minus1 119909119894] а под дефектом сплайна ndash разность между соответствующей

степенью сплайна и порядком наивысшей производной на заданном отрезке

[119886 119887]

Интерполяция сплайнами является кусочно-полиномиальной

интерполяцией Основная теория сплайн-интерполяции заключается том что на

каждом шаге интерполяции (разбиваемом промежутке между узлами)

осуществляется аппроксимация в форме определенной полиномиальной

зависимости Для каждого шага итерации осуществляется подборка полинома

таким образов чтобы выполнялись граничные условия на концах отрезка

Условия для сплайна полинома степени n должны обеспечивать непрерывность

производных порядка степени (n-1) Наиболее распространённые и имеющие

широкую практическую применимость являются кубические сплайны

41 КУБИЧЕСКИЙ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ СПЛАЙН

Кубическим интерполяционным сплайном 119904(119909) называется функция

которая удовлетворяет следующим условиям

1 На каждом определенном отрезке [119909119894minus1 119909119894] 119904(119909) является полином

третьей степени то есть

119904(119909) = 1198860(119894)1199093 + 1198861

(119894)1199092 + 1198862

(119894)119909 + 1198863

(119894) 119909 isin [119909119894minus1 119909119894] (411)

2 119904(119909) isin 119862[119886119887]2

3 119904(119909119894) = 119891119894 119894 = 0 1hellip 119899

4 119904primeprime(119886) = 119904primeprime(119887) = 0

Коэффициенты 1198860 1198861

1198862 1198863

рассчитываются независимо от каждого

промежутка интерполирования [14]Рассмотрим как строится кубический

сплайн Обозначим через 119898119894 = 119904primeprime(119909119894) 119894 = 0hellip 119899 minus

величина называемая моментом

19

119904primeprime(119909) - линейная функция и для каждого отрезка она совпадает с

интерполяционной функцией полинома Лагранжа первой степени

Проинтегрировав получившееся равенство определяется из условия 3

искомые константы находятся в виде сплайна 119904(119909) на частичном отрезке

[119909119894minus1 119909119894]

119904(119909) = 119898119894minus1

(119909119894 minus 119909)3

6ℎ+119898119894

(119909 minus 119909119894minus1)3

6ℎ+ (

119891119894 minus 119891119894minus1ℎ

minus (119898119894 minus119898119894minus1)ℎ

6) (119909 minus 119909119894)

+ 119891119894 minus119898119894

ℎ2

6 (412)

Определяем моменты 119898119894 119894 = 0hellip 119899 с помощью условий 2 3 4

выводим систему следующего вида

1198980 = 0ℎ

6119898119894minus1 +

2

3ℎ119898119894 +

ℎ

6119898119894+1 =

119891119894minus1 minus 2119891119894 + 119891119894+1ℎ

119894 = 1hellip 119899 minus 1 (413)

119898119899 = 0

Запишем следующие вектора

119898 =

(

11989801198981

⋮119898119899minus1119898119899 )

minus (119899 + 1) minus мерный (414)

119892 =

(

1198910 minus 21198911 + 1198912ℎ⋮

119891119899minus2 minus 2119891119899minus1 + 119891119899ℎ )

minus (119899 + 1) minus мерный (415)

и матрицу

20

119860 =

(

1 0 0 01

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ 0

01

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ

⋯0 0 0 00 0 0 00 0 0 0

⋮ ⋱ ⋮

0 0 0 00 0 0 00 0 0 0

⋯

1

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ 0

01

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ

0 0 0 1 )

minus (119899 + 1) times 6(119899 + 1)

minus мерную (416)

Сходимся в необходимости решить следующую систему (417)

119860119898 = 119892 (417)

Данная система представляет собой систему с трёхдиагональной

матрицей и с диагональным преобладанием Для необходимости её решения

потребуется применить метод прогонки который возможен для систем

следующего вида

1198980 = 11989611198981 + 1198920119886119894119898119894minus1 + 119887119894119898119894 + 119888119894119898119894+1 = 119892119894 119894 = 1hellip 119899 minus 1

119898119899 = 1198962119898119899minus1 + 119892119899 (418)

где

119886119894120572119894 + 119887119894 ne 0 119894 = 1hellip 119899

1 minus 1198962120572119899 ne 0 (419)

где 120572119894 в свою очередь - это

1205721 = 1198961

120572119894+1 = minus119888119894

119886119894120572119894 + 119887119894 119894 = 1hellip 119899 minus 1 (4110)

Следующая методика прогонки представлена в двух частях прямой хода

и обратный хода Прямой ход выявляет следующие величины

21

1205721 = 11989611205731 = 1198920

120572119894+1 = minus119888119894

119886119894120572119894 + 119887119894 119894 = 1hellip 119899 minus 1 (4111)

120573119894+1 = minus119892119894 minus 119886119894120573119894119886119894120572119894 + 119887119894

119894 = 1hellip 119899 minus 1

Далее следует обратный ход в порядке уменьшения индексов определяет

искомые параметры

119898119899 =

119892119899 + 11989621205731198991 minus 1198962120572119899

119898119894 = 120572119894+1119898119894+1 + 120573119894+1 119894 = 119899 minus 1hellip 0

(4112)

Сплайн 119904(119909)математически определён формулой представленной выше

42 КУБИЧЕСКИЙ СГЛАЖИВАЮЩИЙ СПЛАЙН

Метаматематическая модель кубического сглаживающего сплайна

заключается в том что в узлах 119909119894119894=0119899 sub [119886 119887] определенные значения функции

119891(119909) могут быть заданы с погрешностью 119891119894=0119899

В таких моделях с дефектом 1

кубический интерполяционный сплайн будет реализован с достаточно большой

погрешностью вследствие построения с неточными значениями В большинстве

случае реализуют построение кубического сглаживающего сплайна в котором

решается следующая экстремальная задачи

119906 =119894119899119891

119906 isin 11988222[119886 119887]

120567(119906) (421)

где 11988222[119886 119887] ndash пространство Соболева вещественных функций с нормой

1199062 = int(|119906(119909)|2 + |119906primeprime(119909)|2)119889119909

119887

119886

(422)

а функционал

22

120567(119906) = int |119906primeprime(119909)|2 119889119909

119887

119886

+sum119901119894(119906(119909119894) minus 119891119894)2

119899

119894=0

119901119894 gt 0 119894 = 0hellip 119899 (423)

строго неотрицательный выпуклый полунепрерывный снизу

вследствие слабой сходимости

Однозначно решение данной задачи существует и является единственным

решением Введем единственное решение 1199060(119909) также обозначим значения

119910119894119894=0119899 следующим образом

119910119894 = 1199060(119909119894) 119894 = 0hellip119899 (424)

Можем построить кубический интерполяционный сплайн 119904(119909 119910)

119904(119909119894 119910) = 119910119894 Данное полученное решения является равным 1199060

Оценим вид интерполяционного сглаживающего сплайна

Введём в рассмотрение отображение 119866(119910) ℝ119899+1 rarr ℝ

119866(119910) = 120567(119904(middot 119910 )) = int |119904primeprime(119909)|2 119889119909

119887

119886

+sum119901119894(119904(119909119894) minus 119891119894)2

119899

119894=0

=

sum int |119904primeprime(119909)|2 119889119909

119909119894

119909119894minus1

119899

119894=1

+sum119901119894(119904(119909119894) minus 119891119894)2 (425)

119899

119894=0

Получаем исходную экстремальную задачу эквивалентную поиску

min119910isin ℝ119899+1

119866(119910) (426)

Исходя из того что 119904(119909 119910) ndash является кубическим интерполяционным

сплайном запишем

119904primeprime(119909119894 119910) = 119898119894 119894 = 0hellip119899 (426)

1198980 = 0119898119899 = 0 (427)

Вводим (119899 minus 1) times (119899 minus 1)-мерную матрицу

23

119860 =

(

2

3ℎ

1

6ℎ 0 0

1

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ 0

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

0

0

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

01

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ

0 01

6ℎ

2

3ℎ)

(428)

(119899 minus 1)-мерный вектор

119898 = (

1198981

⋮119898119899minus1

) (429)

(119899 minus 1) times (119899 + 1)-мерную матрицу

119867 =

(

1

ℎminus1

2ℎ

1

ℎ0 ⋯ 0 0 0 0

⋯

0 0 0 0 ⋯ 01

ℎminus1

2ℎ

1

ℎ)

(4210)

невырожденную (119899 + 1) times (119899 + 1)-мерную матрицу

119875 = (1199010

⋱119901119899

) (4211)

и (119899 + 1)-мерный вектор

119891 = (1198910⋮119891119899

) (4212)

получаем следующую систему уравнений в которой вычисляем моменты

119898

(119860 + 119867119875minus1119867lowast)119898 = 119867119891 (4213)

Данная система решается методом Гаусса Затем можем выразить

119910 = minus119875minus1119867lowast119898 + 119891 (4214)

(4214) - точку глобального минимума для заданного отображения 119866(119910)

В итоге получаем форму сглаживающего сплайна

24

119904(119909) = 119898119894minus1

(119909119894 minus 119909)3

6ℎ+119898119894

(119909 minus 119909119894minus1)3

6ℎ+ (119910119894minus1 minus

ℎ2

6119898119894minus1)

119909119894 minus 119909

ℎ

+ (119910119894 minusℎ2

6119898119894)

119909 minus 119909119894minus1ℎ

(4215)

119909 isin [119909119894minus1 119909119894] 119894 = 1hellip119899 (4216)

ГЛАВА 5 ОСНОВЫ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО

ИССЛЕДОВАНИЯ СКВАЖИН

Основой ГДИС являются решение нестационарной задачи фильтрации

Рис 51 а) б) формирование радиальной воронки депрессии после пуска

добывающей и нагнетательной скважины в) г) расформирование радиальной

воронки депрессии после остановки добывающей и нагнетательной скважины

Tmdash время прошедшее после пуска скважины tmdash время прошедшее после

остановки скважины[6]

флюидов в порово-упругой среде Они основываются на изучение процессов

формирования и релаксации полей давления в пласте и в скважине в

зависимости от типа воздействия (закачка или отбор флюида) (рис51) Арсенал

технологий исключительно разнообразен и включает самые различные методы с

различной продолжительностью и интенсивность воздействия на пласт Каждая

технология представляет совокупность циклов (базовых элементов)

Определение каждого из них ndash регистрация разницы давления во времени после

изменения дебита скважины на заданной глубине Продолжительностью цикла

25

обуславливается решаемой задачей глубинностью условием и объектом

исследования

Гидродинамические исследования предполагают синхронные измерения

давления и расхода на фиксированной глубине при переходных режимах

эксплуатации скважины Основными элементами технологий ГДИС стабильно

работающих скважин являются способы предполагающие регистрацию

изменения давления во времени

после пуска скважины на стабильный режим отбора или закачки

(кривая стабилизации давления (КСД) -пуск) или при переходе с

одного стабильного режима на другой (КСД-режим)

после остановки скважины стабильно или циклически работавшей

в режиме отбора (кривая восстановления давления КВД) или

закачки (кривая падения давления - КПД)

Решение прямой задачи ГДИС состоит в оценке изменения давления на

забое скважины при заданном изменении дебита и для конкретной модели

скважины и пласта

К наиболее часто используемым моделям относится скважина со скин-

фактором в однородном изотропном пласте при радиальном режиме течения

При пуске скважины с постоянным расходом QАТ[м3с]=const (расход

соответствует условиям атмосферы) изменение давления РС [Па] во времени

tРАБ[с] прошедшем с момента пуска описывается асимптотической

формулой точность которой повышается с увеличением tРАБ

РАБRRРАБ

ПРС

OАТCПЛ tt

r

χ

επ

BQPP

lnln

252ln

4 2

_

(51) επ

BQ OАТR

4

2

_

252ln

ПРС

RRr

χ

kh

k

S

CПРС err _

Другие обозначения принятые в данных формулах PПЛ [Па] ndash первоначальное

пластовое давление [Пас] - динамическая вязкость фильтрующегося флюида Во[безразм]

26

ndash объемный коэффициент флюида [м3Па с] ndash гидропроводность пласта [м2с] ndash

пьезопроводность пласта k [м2] ndash проницаемость пласта КП [в долях]ndash пористость пласта h[м]

ndashэффективная работающая толщина пласта s[безразм] ndash интегральный скин-фактор rС_ПР [м]

ndashприведенный радиус скважины rС[м] ndashрадиус скважины [Па-1] ndash интегральная

сжимаемость пористой среды

При остановке скважины работавшей с постоянным расходом QАТ[м3с] =const в

течение времени tРАБ[с] изменение давления РС[Па] во времени tОСТ[с] прошедшем с

момента остановки описывается асимптотическими формулами (для больших значений tОСТ)

ОСТ

ОСТРАБRПЛ

ОСТ

ОСТРАБОАТПЛC

t

tP

t

tВQPP

tln

tln

4

(52

)

ОСТРАБ

ОСТРАБRR

ОСТРАБ

ОСТРАБ

ПРС

ОАТНАЧC

t

t

t

t

r

ВQPP

t

tln

t

tln

252ln

4 2

_

(53

)

где PНАЧ [Па] ndash давление в момент остановки скважины (tОСТ =0)

Следует обратить внимание что соотношения (51) и (53) оперируют с

разностью текущего и начального давления цикла (в первом случае в качестве

начального выступает пластовое давление а во втором ndash давление в момент

остановки скважины) В отличие от этого соотношение (52) оперирует с

абсолютной величиной давления

С математической точки зрения названные способы представления

данных идентичны Но каждый из них оптимален для решения конкретной

задачи интерпретации гидродинамических исследований Уравнения (51) и (53)

позволяют выделить влияние скин-фактора Основная цель использования

формулы (52) оценка абсолютной величины пластового давления

Абсолютная величина тангенса угла наклона асимптоты () для всех без

рассмотренных зависимостей одинаков и определяется величиной

гидропроводности пласта

Рис52 иллюстрируют поведение давления во времени при запуске

скважины в зависимости от дебита в цикле исследований (а) проницаемости

пласта (б) и скин-фактора (в) Основной недостаток подобного представления

27

результатов в низкой наглядности В частности очень трудно различить

особенности влияния основных информативных факторов ГДИС ndash

фильтрационных свойств пласта (проницаемости) и характеристик

совершенства вскрытия (скин-фактора)

Рис52 особенности поведения давление при пуске скважины (КСД)

а) Влияние расхода Q=QАТВо-расход PС ndashдавление РПЛ- начальное

пластовое давление tРАБ=0 момент пуска скважины (Q1ltQ2ltQ3)

б) Влияние проницаемости Q-расход PС ndashдавление РПЛ- начальное

пластовое давление tРАБ=0 момент пуска скважины (k1gtk2ltk3)

в) Влияние проницаемости скин-фактора Q-расход PС ndashдавление РПЛ-

начальное пластовое давление tРАБ=0 момент пуска скважины (s3gts2lts1)

В ГДИС используются специальные способы представления данных

позволяющие сделать их интерпретацию более наглядной

Рис53 иллюстрирует основные способы представления результатов

ГДИС для исследования добывающей скважины включающей цикл I запуска с

постоянным расходом (КСД-пуск) и цикл II остановки (КВД)

PCQ

PCQ

t=to

Q

PC (k=k1)

PC (k=k3)

PC (k=k2)

PC=PПЛ tРАБ

Q1

PC=PПЛ

t=to

Q2

Q3

PC (Q=Q1)

PC (Q=Q2)

PC (Q=Q3)

PCQPC=PПЛ

Q

PC (s=s1)

PC (s=s2)

PC (s=s3)

а)

б)

в)

tРАБ

tРАБ

28

Рис53 Основные способы представления результатов ГДИС для

диагностики радиального режима течения при пуске в работу со стабильным

расходом добывающей (I) и нагнетательной (II) скважины а) давление как

функция времени в декартовых координатах б) приращение давления как

функция времени в декартовых координатах в) приращение давления как

функция логарифма времени г) логарифм приращения давления и логарифм

логарифмической производной как функция логарифма времени

Базовым способом представления результатов ГДИС является график

полной (по всем циклам исследования) кривой изменения давления во времени

в процессе ГДИС в декартовых координатах (рис53а)

Графики в декартовых координатах зависимости приращения давления от

времени по отдельным циклам позволяют унифицировать результаты измерения

давления по циклам его роста (КВД) и падения (КСД - пуск) Приращение

вычисляется как модуль разности текущего давления (Р) и начального давления

PС

P=Рпл

a)

I

II

ln(tРАБtОСТ)(tРАБ +tОСТ)

IIбtРАБ

РНАЧI

РНАЧII

P=РНАЧI-PС

ln(tРАБ)

P

lnPlnPP

P

Iв)

Iг)

Iд)

P

lnPlnPP

P

IIв)

IIг)

IIд)

tОСТ

P=PС-РНАЧII

tРАБ

ln(tРАБ)

ln(tРАБ+tОСТ)tОСТ

ln(tРАБtОСТ)(tРАБ +tОСТ)

tОСТ

PС

29

(РНАЧ) в цикле Р= Р-РНАЧ Величина Р монотонно увеличивается во

времени вне зависимости от соотношения дебитов в цикле исследования и

предшествующем цикле[6]

График зависимости приращения давления от логарифма текущего

времени laquolntРАБraquo используется для представления результатов КСД-пуск

(рис53Iв) Участок КСД соответствующий радиальному режиму в данном

масштабе аппроксимируется линейной асимптотой Эта особенность

радиального режима используется для его диагностики

Как следует из соотношения (52) наклон асимптоты определяется

гидропроводностью пласта а свободный член значением гидропроводности и

приведенного радиуса (то есть и скин-фактора)

Для цикла (КВД) вместо логарифмического масштаба времени

используется так называемый обобщенный логарифмический масштаб

вычисляемый на основе продолжительностей и расходов циклов работы

скважины предшествующих анализируемому (рис53IIв)

Как следует из соотношения (53) для цикла КВД после одиночного цикла

работы скважины данный масштаб вычисляется по формуле

ОСТРАБ

ОСТРАБP

tt

ttt

)(lnF

(54)

Во временном интервале радиального режима течения КВД

аппроксимируется линейной асимптотой Наклон асимптоты определяется

гидропроводностью пласта а свободный член значением гидропроводности и

приведенного радиуса (то есть и скин-фактора)

Масштаб Хорнера у которого радиального режима течения также является

логарифмическим (рис53II б)

Как следует из соотношения (52) для цикла КВД после одиночного цикла

работы скважины данный масштаб вычисляется по формуле

)ln()(lnОСТ

ОСТРАБ

Pt

tttF

(65)

30

Данный масштаб является инверсным по времени При увеличении

времени его значения падают Участок КВД соответствующий радиальному

режиму течения аппроксимируется линейной асимптотой Наклон асимптоты

определяется гидропроводностью пласта а свободный член значением

пластового давления

Двойной логарифмический масштаб для цикла laquoКСД-пускraquo предполагает

представление логарифма приращения давления laquoln(P)raquo и логарифма

логарифмической производной ln(P) от логарифма времени (рис62Iд)

Логарифмическая производная в этом случае вычисляется по формуле

)ln( P

PP

(66)

Для цикла laquoКВДraquo двойной логарифмический масштаб предполагает

представление параметров laquoln(P)raquo и ln(P) от обобщенного логарифмического

времени соотношение (69)- рис62IIд

)( PF

PP

P

(67)

Данный масштаб является универсальным используется для диагностики

не только радиального но и линейного и других не радиальных режимов течения

для всех типов циклов ГДИС

Следует подчеркнуть что соотношения (51)-(54) выведены для двух

цикличной технологии исследования и при увеличении числа циклов должны

быть модифицированы Но описанный выше принцип масштабирования

результатов ГДИС является универсальным

31

Рис 54 Билогарифмический график КВД [5]

На основе интерпретации результатов исследования ГДИС определяются

параметры энергетического состояния скважины (пластовое давление

депрессия продуктивность динамика их изменения) фильтрационные

параметра пласта (гидропроводность подвижность пьезопроводность

проницаемость) зональность их распространения по площади

В настоящей магистерской диссертации была реализован метод

математического моделирования с целью получения информации о

проницаемости и пластовом давлении в точках исследуемых скважинах

погрешностью полученных параметров на основе качества исследования

(наличие на билогарифмическом радиального режима) связанным со временем

исследования

ГЛАВА 6 ТЕОРИЯ ФИЛЬТРАЦИИ В УПРУГОЙ ПОРИСТОЙ

СРЕДЕ

Основа теории фильтрации основана на изучении движения

(просачивания) жидкости через пористую среду Особенности процессов

фильтрации зависят от упругих свойств среды и насыщающих их флюидов

Для постановки задачи фильтрации жидкости в упругой среде прибегают

к краевой или начально-краевой задаче с соответствующими граничными

условиями Для нахождения математического выражения фильтрации флюидов

в пористой среде решают систему дифференциальных уравнений в частных

производных

Векторы скорости и плотности фильтрующейся жидкости могут быть

представлены в следующем виде - (119909 119910 119911 119905) и плотностью жидкости

120646 (119909 119910 119911 119905) Одной из важных характеристик поровой среды является пористость

32

ndash это относительный объем порового пространства в материале именно этот

параметр определяет количество флюида которое содержится или может

содержаться в определенном объеме пористой среды [7]

Теория фильтрации флюидов опираются на фундаментальный закон

сохранения массы в соответствии с которым изменения массы жидкости в

любом произвольном объеме V внутри замкнутой поверхности происходит за

счет изменение притока и оттока жидкости через границу объема (уравнение

неразрывности) [12]

Поток жидкости через произвольную однозначно определенную

замкнутую поверхность Γ в пористой среде с коэффициентом пористости - φ

заполненной флюидом с вязкостью μ (рис 61)

Рисунок 61 Замкнутая поверхность Γ в пористой среде (The Society of Petroleum Engineers

2014)

Скорость поступление массы объемом V через поверхность Г равна

скорости изменения данной массы в этой области (The Society of Petroleum

Engineers 2014)

119889119872119892

119889119905=

119889

119889119905∭ 120588120593119889119881 =∭

120597

120597119905(120588120593)119889119881

119881119881 6 1

Масса поступающая в определенный объем пористой среды через

дифференциальный элемент поверхности dΓ за промежуток времени Δt со

скоростью равна minus120646 lowast Отличие массы поступившей в определенную

поверхность и массой покинувшей эту поверхность за изменение времени Δt

равна

33

∆119872119892 = minus∆119905∯ 120588 lowast 119889Г Г

6 2

Скорость притока флюида в объем области V через поверхность Γ

lim∆119905rarr0

119889119872119892∆119905

=119889119872119892119889119905

= ∯120588 lowast 119889Г

Г

6 3

Приравняем правые части уравнения (119889119872119892

119889119905=

119889

119889119905∭ 120588120593119889119881 =

119881

∭120597

120597119905(120588120593)119889119881

119881 ) и ( lim

∆119905rarr0

119889119872119892

∆119905=

119889119872119892

119889119905= ∯ 120588 lowast 119889Г

Г 63) если функции

входящие в эти уравнения являются достаточно гладкими то применяем теорему

Остроградского ndash Гаусса к правой части уравнения ( lim∆119905rarr0

119889119872119892

∆119905=

119889119872119892

119889119905=

∯ 120588 lowast 119889Г Г

63) получаем

∭ [120597

120597119905(120588120593) + nabla120588] 119889119881

119881=0 (64)

Интеграл может быть приравнен к нулю тогда когда сама функция под

знаком интеграла равна нулю исходя из этого утверждения можем получить

120597

120597119905(120588120593) + nabla120588 = 0 (65)

Полученное уравнение (65) можем переписать через поля давления по

причине отсутствия непосредственного замера скорости и плотности потока при

гидродинамическом исследовании скважины (ГДИС) Для пересчета в

характеристики давления потока воспользуемся законом фильтрации Дарси и

уравнение состояния [2]

Уравнение состояния которое связывает плотность и давление

с = minus1

119881

120597119881

120597119875 с =

1

120588

120597120588

120597119875 сρ

120597119875

120597119905=120597120588

120597119905 0 6

c ndash сжимаемость жидкости отрицательный знак отражает условие что

при положительном коэффициенте сжимаемости будет происходить сжатие

флюида (давление растет объем уменьшается) Различают общую сжимаемость

с119957 и сжимаемость пористой среды с119943

с119891 =1

120593

120597120593

120597119875 6 7

34

с119905 = с119891 + 119888 6 8

Исторически уравнение баланса было получено экспериментально Анри

Дарси По закону Дарси вектор скорости фильтрации выражается через вязкость

флюида micro и тензор проницаемости k Знак минус в правой части также имеет

физически явный смысл в отсутствии сил действующих на массу жидкость

начинает движение из областей в повышенным давление в область с меньшим

давлением

= minus119896

120583nabla119875 6 9

При рассмотрении первого слагаемого уравнения 120597120597119905(120588120593) + nabla120588 = 0

(65 и с = minus1

119881

120597119881

120597119875 с =

1

120588

120597120588

120597119875 сρ

120597119875

120597119905=

120597120588

120597119905 06 выполним подстановку

120597

120597119905(120588120593) = 120593

120597120588

120597119905+ 120588

120597120593

120597119905= 120593сρ

120597119875

120597119905+ 120588

120597120593

120597119905= 120593сρ

120597119875

120597119905+ 120588

120597120593

120597119875

120597119875

120597119905=

= 120593сρ120597119875

120597119905+ 120588с119891120593

120597119875

120597119905= 120588с119905120593

120597119875

120597119905 6 10

Далее перезапишем уравнение 120597120597119905(120588120593) + nabla120588 = 0 (65 с учетом

данного выражения и подставим вектор скорости из уравнения закона Дарси

с119905120593120597119875

120597119905= nabla(

119896

120583nabla119875)

1

120594

120597119875

120597119905= nabla2119875 120594 =

119896

с119905120593120583 6 11

Где 120594 ndash коэффициент пьезопроводности с119905120593120597119875

120597119905= nabla(

119896

120583nabla119875)

1

120594

120597119875

120597119905= nabla2119875 120594 =

119896

с119905120593120583 611 определяется как уравнение пьезопроводности - основным

уравнением которое описывает процессы возникающие при гидродинамических

исследованиях

Данное уравнение пьезопроводности (611) может быть перезаписано

относительно радиальных координатах

1

120594

120597Δ119875

120597119905=1

119903

120597

120597119903(119903120597Δ119875

120597119903) 6 12

где 120607119927 = 119875119894 minus 119875 119875119894 minus начальное пластовое давление

35

Уравнение пьезопроводности решается практически во всех

аналитических моделях и выражается в них в радиальных формулах

Однозначно определенным объектом такого радиального решения служит

нагнетательная или добывающая скважина Выбранная система координат

наилучшим способом описывает моделирование радиального потока

относительно скважины

ГЛАВА 7 МОДЕЛИРОВАНИЕ ИССЛЕДОВАНИЙ

Уравнением описывающим процессы происходящие при исследованиях

ГДИ является уравнение пьезопроводности Данное уравнение (71) описывает

неустановившееся однофазное одномерное течение флюида в пористой среде и

выражает связь между пластовым давлением временем и расстоянием от

скважины до точки наблюдения Решение уравнения пьезопроводности (72) для

простого случая работы вертикальной скважины в бесконечном пласте позволяет

получить модель характеризующую перераспределение давления в пласте

1

120594

120597120549119875

120597119905=1

119903

120597

120597119903(119903120597120549119875

120597119903) (71)

∆119875(119905 119903) = minus9205119902119861120583

119896ℎ119864119894 (minus

1199032

000036120594119905) (72)

(q ndash дебит скважины м3сут B ndash объёмный коэффициент 120583 ndash

вязкость жидкости cпз k ndash проницаемость мД h ndash мощность пласта

м r ndash радиус м χ ndash пьезопроводность мД(спзатм-1) t ndash время ч)

Инструмент позволяет моделировать исследование ГДИ для случаев с

разным закачиванием скважин (вертикальная скважина вертикальная скважина

с гидравлическим разрывом пласта (ГРП) горизонтальная скважина

горизонтальная скважина с многостадийным ГРП) На первом этапе по заданным

свойствам пласта и флюида моделируется ГДИ описывающая изменение

забойного давления в скважине [1]

36

На следующем этапе моделирования строится билогарифмический график

(рис71) по которому специалисты ГДИ определяют свойства пласта Таким

образом создав синтетическое ГДИ можно предсказать как будет выглядеть

билогарифмический график исследования КВД (кривая восстановления

давления) характеризующего остановку скважины

Моделирование исследования ГДИ проводится для N ndash исходов (рис71) и

для разного времени длительности исследования t (50-100-150hellipчасов) в

результате чего инструмент определяет свойства пласта (проницаемость и

пластовое давление) по результатам исследования зависящих от времени

длительности ГДИ

Рис71 Результаты моделирования исследования ГДИ

ГЛАВА 8 ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИ ФИЛЬТРАЦИИ

ФЛЮИДОВ

811 Основа модели фильтрации к вертикальной скважине

Для самого начала рассмотрим самый простой случай движения флюида

в однородном бесконечном пласте начиная с начального постоянного давления

119927119946

В начальный момент t = 0 однотипно с началом первого цикла

эксплуатации у пласта коллектора начальное равномерное давление - 119927119946

ΔP(r t = 0) = 0 P(r t = 0) = Pi (8111)

Введем в рассмотрение граничное условие когда границы отсутствует

это сопоставимо что пласт-коллектор характеризуется бесконечной

протяженностью

0

05

1

15

2

25

-3 -2 -1 0 1 2 3

LO

G (

dP

) LO

G(P

`)

LOG(dt)

Билогарифмический график

LOG (P(t)-P(tp))

37

ΔP(r rarr infin t) = 0 P(r rarr infin t) = Pi (8112)

Второе граничное условие на радиусе скважины будет зависить от

условий на поверхности ствола (r = rw) Введем в рассмотрение единичную

вертикальную скважину радиусом 119953119960 которая полностью вскрывает

однородный изотропный коллектор с коэффициентом проницаемости k и

эффективной мощностью h добывает однородную малосжимаемую жидкость

вязкостью μ при стандартных условиях с дебитом Q м3 В условиях пласта объем

добываемого флюида составит Qsf = Qb (где b ndash объемный коэффициент

жидкости)

(119903120597119875

120597119903)119903=119903119908

=119902119861120583

2120587119896ℎ (8113)

Одной из удобных моделей моделировании фильтрации к скважине

является модель линейного источника которая является предельным случаем

скважины нулевого радиуса

119897119894119898 (119903120597119875

120597119903)119903rarr0

=119902119861120583

2120587119896ℎ (8114)

На практике прибегают к упрощению постановки задачи путем ввода

безразмерных переменных При решении задачи относительно новых

переменных позволяют интегрировать остальные параметры и в конечном счете

задача сводится к решению уникального набора уравнений которые легко

разрешаются аналитическим методом раз Физический смысл ввода

безразмерных параметров заключается в исключении из основного уравнения

параметров пьезопроводности пласта-коллектора с целью поиска обобщенного

решения с помощью которого переходя на изначальные размерные параметры

удается получить решение для определенного пласта и определить параметры

пьезопроводности и проводимости (Houzeacute O 2008)

119903119863 =119903

119903119908 (8115)

119905119863 =000036119896119905

1205931205831198881199051199031199082 (8116)

38

119875119863 =2120587119896ℎ

119902119861120583∆119875 (8117)

Далее вводим безразмерные параметры переходим к общей задаче

120597119875119863120597119905119863

=1

119903119863[120597

120597119903119863(119903119863

120597119875119863120597119903119863

)] (8118)

119875119863(119903119863 119905119863 = 0) = 0 (8119)

119875119863(119903119863 rarr infin 119905119863) = 0 (81110)

119897119894119898 (119903119863120597119875119863120597119903119863

)119903119863rarr0

= minus1 (81111)

Решая данное дифференциальное уравнение удобно применить

интегральные преобразования Принято при решении уравнения

пьезопроводности пользоваться особой формой линейных интегральных

преобразований являющиеся преобразованиями Лапласа Далее применяем к

уравнению (120597119875119863

120597119905119863=

1

119903119863[120597

120597119903119863(119903119863

120597119875119863

120597119903119863)] (811) преобразования Лапласа

s119875119863 =1

119903119863[120597

120597119903119863(119903119863

120597119875119863

120597119903119863)] (81112)13

Трансформанта Лапласа

119875119863 (119904 119903119863) = int 119875119863(119905119863

infin

119905119863

119903119863) exp(minus119904119905119863) 119889119905119863 (81113)

где s mdash это число достаточно велико чтобы мог существовать интеграл

действительная часть которого положительна Функция обозначенная чертой

сверху является образом (изображением) функции или результатом

интегрального преобразования Лапласа где подынтегральной функцией

является прообразом (оригиналом) Решение уравнения(811s119875119863 =

1

119903119863[120597

120597119903119863(119903119863

120597119875119863

120597119903119863)] (81112)13) можно представить через модифицированное

уравнение Бесселя нулевого порядка которое можно записать в следующем

виде

119875119863 (119904 119903119863) = 119860(119904)1198680(119903119863radic119904) + 119861(119904)1198700(119903119863radic119904) (81114)

39

1198680 и 1198700 являются модифицированными функциями Бесселя нулевого

порядка Значения коэффициентов A и B в уравнении определяются с помощью

подстановки граничных условий в уравнение Осуществляем подстановку

граничных условий из внешнего ГУ А(s)=0 B(s)= 1

119904 В итоге получаем

изображение решения для линейного источника в виде

119875119863 (119904 119903119863) =1

1199041198700(119903119863radic119904) (81115)

Для нахождения образа функции выполняем обратное преобразование

Лапласа полученного уравнения Данную операция можно выполнить с

помощью таблиц преобразований Лапласа (из таблиц в работах (Churchill RV

1972) и (Abramowitz M 1972))

119871minus1 (1198700(119903119863radic119904)) =1

2119905exp(minus

1198962

4119905) (81116)

Обобщаем выводим решение для линейного источника с безразмерными

параметрами

119875119863(119905119863 119903119863) = minus119864119894 (minus1199031198632

4119905119863) 119864119894(119909) = minus int

119890minus119910

119910119889119910

infin

minus119909

(811 14)

Где 119864119894(119909)-интегральная показательная функция Далее выполняем

обратное преобразование переходим на размерные величины

∆P(t 119903) = minusqBμ

2πkh119864119894 (minus

r2

4 lowast 000036120594t) (811 15)

Полученное решение уравнения в каждой точке и на каждом промежутке

времени удовлетворяет задаче фильтрации для скважины линейного источника

находящаяся в эксплуатируемом фонде скважин вскрывающая интервалом

перфорации эффективную мощность однородного бесконечного пласта-

коллектор Одним из выводов из решения уравнения пьезопроводности гласит

что поля релаксации перепада давления мгновенно перераспределяются по

пласту-коллектору Также стоить отметить существующее решение на дальнем

расстоянии от скважины 119903119894119899119907 вблизи которого перепад давления столь мал что

40

этим можно пренебречь Исходя из этого предположения можно определить

радиус исследования 119903119894119899119907 который характеризует размер области исследования

результат интерпретации которых зависят от свойства пласта и флюидов в

скважине [11]

При рассмотрении полей давления в пласте с бесконечной

протяженностью во время запуска скважины в работу на основании полученного

ранее решения уравнения (рис 8111) В первоначальный момент времени 1199051 =

0 забойное давление в скважине равно текущему пластовому давлению через

некоторый отрезок времени в интервале - 1199052 вокруг точки скважины

формируется так называемая laquoворонка депрессииraquo которая может

характеризовать неустановившийся режим течения При движение по временной

шкале воронка депрессии будет распространяться на более дальние расстояния

от скважины пока не достигнет определенной границы (119903119894119899119907=119903119908 +radic120594t) Если

рассматривать зеркально противоположный пример при остановке скважины

воронка депрессии будет становиться меньше и будет уменьшаться пока

значение давления в скважине не достигнет пластового и останется стабильным

Понятие радиального режима для течения флюидов в пласте является

основополагающим для интерпретации гидродинамических исследований Это

режим характеризует обстановку при которой скорость фильтрации и поля

давления имеют радиальную симметрию и линии тока в пласте направлены к

круговому цилиндру по радиусу от периферии пласта к скважине (Рис 1)

41

Рис 8111 Линии тока для вертикальной скважины при радиальной

фильтрации [6]

Решение линейного источника может достичь радиального режима с

определенного времени 119905119909 такую характерную зависимость можно проследить

на билогарифмическом графике (рис 8111) этот режим характеризуется

стабилизацией производной давления С помощью данного графика

проницаемость пласта вычисляется по формуле

119896ℎ = 119902119861μ lowast05

2120587∆Pстаб (81119)

При рассмотрения кейса решения уравнения пьезопроводности в случае

вертикальной скважины в цилиндрическом пласте-коллектора изменится гу на

г

р

а

н

и

ц

е

ц

и

л

и

н

(120597Δ119875

120597119903)119903=119903119890

= 0 (81120)

Аналогично ранее описанному алгоритму решению уравнения

пьезпроводности получим изображение депрессии

∆P (119904) =qBμ

2πkhlowast

lowast

1198680 (119903radic119904120594)1198701 (119903119890radic

119904120594)+ 1198681 (119903119890radic

119904120594)1198700 (119903radic

119904120594)

119903119908radic119904120594119904 [1198681 (119903119890radic

119904120594)1198701 (119903119908radic

119904120594)minus 1198681 (119903119908radic

119904120594)1198701(119903119890radic

119904120594]

(81121)

42

Аналитическое преобразование данного уравнения принимают

следующий вид (Van Everdingen AF and HurstW W 1953)

∆P(t 119903) =qBμ

2πkh

2

1199031198902 minus 119903119908

2(120594119905 minus

1199032

4) minus

1199031198902

1199031198902 minus 119903119908

2119897119899r

119903119908minus

1

(41199031198902 minus 119903119908

2)2lowast

lowast (31199031198904 minus 4119903119890

4119897119899119903119890119903119908minus 2119903119890

2 minus 1) +

+120587sum11986912 (120573119899

119903119890119903119908) [1198691(120573119899)1198840 (120573119899

r119903119908) minus 1198841(120573119899)1198690 (120573119899

r119903119908)]

120573119899 [11986912 (120573119899

r119890119903119908) minus 1198691

2(120573119899)]

infin

119899=1

119890119909119901 (minus1205731198992 120594119905

1199031199082) (81122)

1205731 1205732 и тдndash решения уравнений

1198841(120573119899)1198691 (120573119899r119890119903119908) minus 1198691(120573119899)1198841 (120573119899

r119890119903119908) = 0 (81123)

В поставленной формулировке задачи для выведенного уравнения

решения невозможно сходу подобрать обратное преобразование Лапласа с

помощью табличных значений (аналитической функции) (Abramowitz M 1972)

Однако можно выполнить найти решение выполнив его численно Для решения

задач нестационарной фильтрации флюидов применимы алгоритмы численного

обращения основанные на стохастических подходах (Stehfest H 1970) которые

предполагают что можно рассчитывать приближенное значение оригинала pa(T)

по найденному изображению p(s) в определённый момент времени t = T [13]

119901119886(119879) =1198971198992

119879sum119881119894

119873

119894=1

(119904)119904=1

1198971198992119879 (81124)

119881119894 = (minus1)(1198732)+119894

sum1198961198732(2119896)

[(1198732)

minus 119896] 119896 (119896 minus 1) (119894 minus 119896) (2119896 minus 119894)

min(1198941198732)

119896=(119894+1)2

(81125)

812 Приток к вертикальной скважине с трещиной ГРП

Ранее было выведены решения задачи фильтрации для вертикальных

скважин Метод источников который был применен также используется для

случаев скважин с более сложной геометрией ННС (наклоннонаправленных

43

скважин) ВС ГРП (вертикальный с гидроразрывом пласта) ГС ГРП

(горизонтальных с гидроразрывом пласт)

Функция Грина и метод источников применяется для решения двух- и

трёхмерных задач неустановившейся фильтрации Под источником понимается

некоторая точка поверхность или объем из области которых флюид отбирается

из пласта-коллектора или закачивается Строго говоря отбор жидкости должен

ассоциироваться со стоком а закачка с источником Под физической основой

источник можно сопоставить со скважиной бесконечно малого диаметра в

которую мгновенно закачивается конечное количество флюида[16]

Функции Грина и метод источников тесно связаны между собой Функция

Грина определяется для дифференциального уравнения со специальными

граничными условиями (заданный расход или давление) и соответствует

решению для мгновенного точечного источника С другой стороны функции

источников представляют собой решения данного дифференциального

уравнения с указанными граничными условиями и геометрией источника

Фундаментальное решение функции Грина (G (M Mrsquo τndasht)) для

неустановившегося потока флюида в пористой среде может соотнесено с

давлением в точке M (x y z) в определенный момент времени t которое

обусловлавливает мгновенный точечный источник единичной интенсивности

который создан в точке Mrsquo(xrsquo yrsquo zrsquo) во временя τ lt t Необходимо чтобы

функция Грина удовлетворяла уравнению пьезопроводности

120597119866

120597119905= 120594nabla2119866 81161

120597119875

120597120591= 120594nabla2119875 8122

int nabla2119891(119872)119889119872 =119863

int120597119891

120597119899Г

119889Г 8123

Используем свойства функции Грина можем применить терему Грина

(8123) с учетом (8122) (Gringarten AC and Ramey HJ 1973) получим

44

∆119875(119872 119905) =1

120593119888int int

Г119908(119872119908

prime 120591)119866(119872119872119908prime 119905 minus 120591

119905

0)119889119872119908

prime 119889120591 =

1

120593119888int 119905

0(120591)119878(119872119872119908

prime 119905 minus 120591)119889120591 8123

119878(119872119872119908prime 119905 minus 120591) = int 119866(119872119872119908

prime 119905 minus 120591)119889119872119908prime

Г119908 8124

где Г119908 ndash граница ствола скважины = minus119896

120583

120597119875

120597119899 ndash объём потока который

проходит через точку на поверхности внутренней границы 119872119908prime Применяем

интегрирование правой части данного уравнения (724) получаем

распределение точечных источников по площади длине и объему источника

Для разных конфигураций системы laquoисточник-пластraquo можно подобрать

табличные базовые функции соответствующих мгновенных источников (The

Society of Petroleum Engineers 2014)

В практике нефтегазовой отрасли практически на многих добывающих

скважинах проводиться МУН (метод увеличения нефтеотдачи) Одним из

распространенных методов интенсификации флюида является гидравлический

разрыв пласта (ГРП) который заключается в формировании высокопроводимой

трещины в продуктивном интервале пласте для увеличения притока флюида к

скважине

Поставим задачу решения уравнения фильтрации флюида к вертикальной

скважине с трещиной ГРП Из условий скважина полностью вскрывает пласт

эффективной мощностью h кровля и подошва пласта ограничена

непроницаемыми ровными горизонтальными границами Трещина ГРП

расположена симметрично относительно нормали ствола скважины полудлина

трещины - xf ширина - wf (wf ltlt xf) коэффициент проницаемости трещины kf

индекс laquofraquo характеризует трещину ГРП В горизонтальном направлении пласт

бесконечный (рис 8121 ndash 8122) Течение потока к трещине выражается

двумерным стоком флюида

45

Рис 8121 Вертикальная трещина (вид сбоку)

Рис 8122 Течение флюида к вертикальной трещине (вид сверху)

В ходе решения задачи стоит рассмотреть два типа течения

1) поток в трещине

2) поток в пласте с трещиной

1) Переходя к безразмерным переменным (8115-8117) запишем

уравнение пьезопроводности (8118) и граничные условия (8119-81110)

119901119891119863(119909119863 119905119863) =2120587119896ℎ (119901119894 minus 119901119891(119909 119905))

119902119908120583 (8125)

119905119863 =119896119905

1206011205831198881199051199091198912 (8126)

119909119863 =119909

119909119891 (8126)

119902119891119863(119909prime 120591) =

2119902119891(119909prime120591)

119902119908119909119891 (8127)

1198892119901119891119863(119909119863)

1198891199091198632

=120587

119865119862119863119902119891119863(119909119863) (8128)

119889119901119891119863

119889119909119863 119909119863=0=

120587

119865119862119863 (8129)

46

119889119901119891119863119889119909119863 119909119863=1

= 0 (81210)

Перепад значений давления между забойным давлением и в точке

трещины с координатой 119909119863 можно записать

119901119908119863 minus 119901119891119863(119909119863) =120587

119865119862119863[119909119863 minusint int 119902119891119863(119909

primeprime)119889119909primeprime119889119909prime119909prime

0

119909119863

0

] (81211)

2) Течение добываемого флюида из пласта-коллектора в трещину

можно рассмотреть как наличие нестационарного источника жидкости qf(xt) в

самой трещине Используя метод источников который был рассмотрен ранее

безразмерное давление в любой произвольной точке пласта

119901119863(119905119863 119909119863 minus 119909119908119863 119910119863 minus 119910119908119863) = int int 119902119891119863(120591 119909prime minus 119909119908119863)119866(120591 119909

prime 119909119863 minus1

minus1

1199051198630

119909119908119863 119910119863 minus 119910119908119863)119889119909prime119889120591 (81212)

(119909119908119863 119910119908119863) - безразмерные координаты точки забоя скважины в

горизонтальной плоскости (xy) ось 119909 направлена вдоль трещины

Записывается условие непрерывности давления в пласте и в трещине

119901119891119863(119905119863 119909119863) = 119901119863(119905119863 119909119863 0) (81213)

Следовательно уравнение (81211) принимает вид

119901119908119863 minusint int119902119891119863(120591 119909prime)119866(120591 119909prime 119909119863 0)119889119909

prime119889120591

1

minus1

119905119863

0

=120587

119865119862119863[119909119863 minusint int 119902119891119863(119905119863 119909

primeprime)119889119909primeprime119889119909prime119909prime

0

119909119863

0

] (81214)

Применяем преобразование Лапласа

119908119863(119904) minus int 119891119863(119904 119909prime)(119904 119909prime 119909119863 0)119889119909

prime =1

minus1

120587

119865119862119863[119909119863

119904minus

int int 119891119863(119904 119909primeprime)119889119909primeprime119889119909prime

119909prime

0

1199091198630

] (81215)

int 119891119863(119904 119909prime)119889119909prime

1

minus1

=1

119904 (81216)

47

Получили изображения Лапласа соответствующих функций ndash

оригиналов Решение системы производится путём дискретного разбиения

трещины по длине на 2n сегментов и записи данной системы в следующем виде

для каждого дискретного сегмента (рис 723)

Рис 8123 Схема разбиения трещины на сегменты

119908119863(119904) minussum119891119863119894

119899

119894=1

int (119904 119909prime d119909 (119895 minus1

2) 0) 119889119909prime

d119909119863119894

d119909119863(119894minus1)

+ int (119904 119909prime d119909 (119895 minus1

2) 0) 119889119909prime

d119909119863(minus119894+1)

d119909119863(minus119894)

+120587

119865119862119863[119889119909119863 ∙ 119895

119904minus (119889119909119863)

2sumsum119891119863119896

119894

119896=1

119895

119894=1

] (81217)

119889119909119863 ∙sum 119891119863119894

119899

119894=1

=1

2119904 (81218)

Изображение давления в любой точке пласта можно найти по формуле

119863(119904 119909119863 119910119863) = sum 119891119863119894 int (119904 119909prime 119909119863 119910119863)119889119909119863∙119894

119889119909119863(119894minus1)119889119909prime +119899

119894=1

int (119904 119909prime 119909119863 119910119863)119889119909119863∙(minus119894+1)

119889119909119863∙(minus119894)119889119909prime (81219)

Где 119891119863119894 ndash изображение функции мощности источников в каждом n

сегменте [17]

48

813 Основа модели фильтрации к горизонтальной скважине с МГРП

Задача притока добываемого флюида к горизонтальной скважине с

многостадийным гидроразрывом пласта (МГРП) схематично можно

представить как несколько одинаковых трещин соединенных общим

горизонтальным стволом Каждая трещина пресекает ствол горизонтальной

скважины в центре и является симметричной относительно ствола ((119909119908119863119895 119910119908119863119895)

Рис 8131 Схематическое изображение ГС с МГРП

Каждая трещина ГРП будет иметь равную полудлину 119909119891 и безразмерную

проводимость 119865119862119863 В модели существует предположение что течение флюида

внутри трещины является одномерным Следовательно поток флюида к

горизонтальному стволу скважины с n трещинами будет равен алгебраической

сумме потоков флюида от каждой трещины

119876 = sum 119876119895(119905)119899119895=1 = 119888119900119899119904119905 (8131)

Как ранее для общения задачи вводим безразмерные переменные

давление в точке пересечения скважины с j трещины - 119901119908119863119895 безразмерный дебит

- 119902119863119895 =119876119895

119876

Из условий бесконечной проводимости для горизонтального ствола

119901119908119863119895 = 119901119908119863 119895 = 1 119899 8132

Возмущение давление которое создается трещиной k в точке пересечения

119895 трещины со скважиной ndash 119901(120591)119863119895119896 equiv 119901119863(120591 119909119908119863119896 119910119908119863119896 119909119908119863119895 119910119908119863119895) применяя

принцип суперпозиции

119901119908119863(119905119863) = sum int 119902119863119895 ∙ 119901prime119863119895119896(119905119863 minus 120591)119889120591 8133

1199051198630

119899119895=1

49

Суммарный поток флюида от всех трещин будет фиксирован

sum 119902119863119895119899119895=1 = 1 и с преобразованием Лапласа - sum 119863119895

119899119895=1 =

1

119904 8134

Преобразование Лапласа для 734 р119908119863119895 = sum 119904119863119895119863119895119896119899119896=1 8135

119863119895119896 = int 119891119863(119904 |119909119908119863119896 minus 119909prime|)(119904 119909119908119863119896 minus 119909prime 119909119908119863119895 119910119908119863119896 119910119908119863119895)119889119909

prime

119909119908119863119896+1

119909119908119863119896minus1

8136

119863119895119896 =sum119891119863119894 int (119904 119909119908119863119896 minus 119909prime 119909119908119863119895 119910119908119863119896 119910119908119863119895)119889119909prime

119889119909119863∙119894

119889119909119863(119894minus1)

119899

119894=1

+ int (119904 119909119908119863119896 minus 119909prime 119909119908119863119895 119910119908119863119896 119910119908119863119895)119889119909prime

minus(119894minus1)∙119889119909119863

minus119894∙119889119909119863

8137

Мощность источников 119891119863(119904 |119909119908119863119896 minus 119909prime|) вычисляется из (81217-

81218) где 119889119909119863 =1

119899 ndash безразмерная длина каждого n сегмента 119891119863119894 -

безразмерная скорость течения через i элемент

Система уравнений (8134-8137) записывается в виде [8]

А = 8138

= (

1199081198631198631⋮119863119899

) 8139

А = (

1 minus119904 ∙ 11986311 ⋯ minus119904 ∙ 1198631119899⋮ ⋮ ⋱ ⋮

1 minus119904 ∙ 1198631198991 hellip minus119904 ∙ 1198631198991198990 1 hellip 1

) 81310

= (

0⋮01 119904frasl

) 81311

50

Для вычисления матричных элементов 119863119895119896 необходима информация о

мощности потока в из всех 119899 трещин ГРП Если считать что каждая трещина ГРП

делится на 2119898 сегментов (рис 8123) тогда система (81310) будет содержать

(1 + 2119898 times 119899) количество уравнений относительно следующих неизвестных

119908119863 11989111986311 hellip 119891119863(2119898)1 hellip 1198911198631119899 hellip 119891119863(2119898)119899 где в 119891119863119894119895 ndash течение через i-й

сегмент в j-й трещине Пользуясь упрощенным подходом можем переписать в

следующем виде[19]

forall119895 isin 1hellip119899 forall119896 = 1hellip119898 ∶ 119891119863119895119896 = 119863119895 ∙ 119891119863119896 81312

При определении мощности источников используется допущение что на

распределение мощности источников внутри каждой из трещин соседние

трещины оказывают слабое влияние Можно предположить что распределения

мощности потока в трещинах симметричны относительно точки пересения со

стволом скважины Элементы матрицы А в (81310) получают по формуле

(8137)

119863119895119896 =sum119891119863119894 int (119904 119909119908119863119896 plusmn 119909prime 119909119908119863119895 119910119908119863119896 119910119908119863119895)119889119909

prime

119889119909119863∙119894

119889119909119863(119894minus1)

81313

119899

119894=1

где функция (hellip ) определяется по табличным формулам в зависимости

от граничных условий и типа зоны дренирования

Для решения СУ используется выражение матрицы в виде произведения

дву нижней треугольной и верхней треугольной (LU-декомпозиция) (Ортега

Дж 1991) Так называемое LU-разложение (LU-декомпозиция) mdash

представление выражение определенной матрицы в виде произведения двух

матриц A = LU где L mdash нижняя треугольная матрица а U mdash верхняя

треугольная матрица [15]

Ниже представлены применяемые в данной работе функции источников

в пространстве Лапласа

Таблица 8131 Функции линейных стоков

51

Тип условий на

границах

Функции линейных стоков

119899119899119899119899 =

=120587

2119909119890119863coshradic1199041198631 + coshradic1199041198632

radic119904 sinhradic119904119910119890119863

+ 2sumcos119896120587119909119863119909119890119863

cos 119896120587(119909119908119863 minus 119909prime)

119909119890119863

cosh 1205981198961198631 + cosh 1205981198961198632120598119896 sinh 120598119896119910119890119863

infin

119896=1

0 17

119888119888119888119888

=120587

119909119890119863sumsin119896120587

119909119863119909119890119863

sin 119896120587|119909119908119863 minus 119909prime|

119909119890119863

cosh 1205981198961198631 minus cosh 1205981198961198632120598119896 sinh 120598119896119910119890119863

infin

119896=1

0 18

119888119899119888119899 =

=120587

2119909119890119863coshradic1199041198631 minus coshradic1199041198632

radic119904 sinhradic119904119910119890119863

+ 2sumcos119896120587119909119863119909119890119863

cos 119896120587(119909119908119863 minus 119909prime)

119909119890119863

cosh 1205981198961198631 minus cosh 1205981198961198632120598119896 sinh 120598119896119910119890119863

infin

119896=1

0 19

Где 119909119890119863 =119909119890

119909119891 119910119890119863 =

119910119890

119909119891 1198631 = 119910119890119863 minus |119910119863 minus 119910119908119863| 1198632 = 119910119890119863 minus (119910119863 + 119910119908119863) 120598119896 =

radic119904 + 11989621205872 1199091198901198632frasl 119909119890 ndash размер площади дренирования по оси x 119910119890 ndash размер

площади дренирования по y 119899 значает границу отсутствия перетока 119888

означает границу постоянного давления

82 РЕАЛИЗАЦИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ИССЛЕДОВАНИЙ

В настоящей работе реализовано решение задачи фильтрации о

нестационарном притоке флюида к скважине при постоянном заданном дебите

для скважин с разным типом заканчивания (вертикальная скважина и

горизонтальная скважина с трещинами МГРП) Математическая модель описана

для задач (Главы 811-813) реализована на языке программирования VBA

Входные параметры приведены на рис 821 Параметры границ задаются

в виде прямоугольника (рис823) Параметры скважины флюида и пласта

задаются при помощи априорной информации Проницаемость рассматривается

как распределение полученных ранее (главе 3)

y

x

y

x

y

52

В ходе решения задачи строится график - кривая стабилизации давления

зависимость изменения забойного давления от времени (рис823)

Рис 821 Входные параметры для модели

Рис 822 Расположение горизонтальной скважины в границах

53

Рис 823 Кривая стабилизация давления

На следующем этапе по последней точке определяется значения kmodel В

зависимости от длительности исследования будь то 50 часов 100 часов и более

будет зависеть погрешность результата определения свойств пласта по

отношению к истинным параметрам (рис 821) К тому же от времени

исследования будут зависеть Capex на проведения исследования

Рассчитанное значение модельное kmodel затем сравнивается с исходным

заданным значением kist В результате получаем отношение модельного значения

kmodel после проведения ГДИ к kist в зависимости от длительности ГДИС (рис

822)

Рис 821 График производной забойного давления

54

Рис 822 Отношение kmodel kist для скважины 11РО

Полученные по проницаемости параметры умножаются на эффективную

мощность пласта-коллектора и затем рассчитанное распределение

интерполируется с другими параметрами в скважинах в точку проектной

По результатам моделирования распределения свойств пласта будут

изменяться уменьшение дисперсии при увеличении длительности исследования

(рис823) Идеальным исследованием считается исследование с длительностью

достаточной для достижения производной давления на билогарифмическом

графике радиального режима течения что указывает на достоверность

параметров по результатам ГДИ (проницаемость и пластовое давление) Чем

ближе длительность исследования к идеальному ГДИ тем ниже

неопределенность в параметрах и тем ближе распределение к идеальному

Моделирование разной длительности исследования проводиться для N ndash

распределений (рис2)

Результаты смоделированного ГДИ позволяют снизить неопределенности

(сузить распределение) в свойствах пласта в точке проектной скважины Для

интерполяции в точку проектной скважины используется метод сплайн ndash

интерполяции [18]

tk model 10 20 30 40 50 60 70 80

50 2288169 1501385 1150108 0948723 0808706 0717031 0640296 0581876

100 1496394 0948581 0717744 0581513 0484438 0414342 0361937 0319311

150 1107448 0689761 0503907 0394864 0322636 0269636 0233048 0203542

200 0949817 0580742 0417822 0318936 0259364 021555 0186095 0163468

250 0818194 0486803 0338246 0259062 0206736 0173204 014824 0129707

300 0705787 0408828 0281063 0211366 0169381 0142083 012167 0106692

350 0627933 0351884 023841 017996 0144702 0119968 0103063 0090319

400 0562852 0307024 0207063 0155316 0124788 010441 0089458 0078395

450 0510211 0272553 0183196 013788 0110431 009172 0079061 0069165

500 0463384 0245037 0164854 0123914 0099043 0082679 007078 0061913

55

Рис823 Изменение распределения в зависимости от времени исследования ГДИ

На рис 824 показано распределение значений проницаемости с учетом

разной длительности исследований ГДИ

Полученное распределение kh в проектной скважине до ГДИ

характеризовалось большей дисперсией по сравнению с распределением после

проведенного ГДИ на скважине

Рис 824 Распределение kh на проектной скважине

ГЛАВА 9 РАСЧЕТ ЭКОНОМИЧЕСКОГО ЭФФЕКТА

ЦЕННОСТИ ИНФОРМАЦИИ

Ожидаемая прибыль запланированной к бурению скважины до проведения

ГДИ рассчитывается с учётом исходного распределения после ГДИ

0

001

002

003

004

005

006

007

008

009

1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800

Пл

отн

ость

вероятн

ости

Пластовое давление атм

Распределения пластового давления

Время длительности ГДИ 50 часовВремя длительности ГДИ 100 часовВремя длительности ГДИ 150 часовВремя длительности ГДИ 200 часов (идеальное исследование)

56

рассчитывается для каждого дискретного варианта исхода из N-возможных и для

разных времен длительности исследования t

На первом этапе расчёта прибыли по методу Монте-Карло определяются

значения проницаемости и пластового давления с вероятностями распределения

равными 10 50 90 и оценивается запускное значение дебита скважины По

соседним скважинам определяются темпы падения дебита скважины

усредненный темп падения используется для проектной скважины

Произведение запускного значения дебита и усредненного темпа падения

характеризует профиль добычи проектной скважины На основе профиля

добычи оценивается NPV проектного бурения который учитывает

операционные затраты и капитальные расходы проекта При оценке NPV после

запланированного исследования в капитальных затратах учитываются расходы

на проведение ГДИ стоимость интерпретации исследования инструментальные

замеры

Ожидаемая ценность EMVwi после проведения ГДИ рассчитывается как

сумма отдельно взятых N - исходов умноженных на соответствующие

вероятности исходов (91)

119864119872119881119908119894 (119905119894) = 1198641198721198811199081198941(119905119894) lowast 1198751 + 1198641198721198811199081198942(119905119894) lowast 1198752 +⋯

+ 119864119872119881119908119894119873(119905119894) lowast 119875119899 =sum119864119872119881119908119894119895(119905119894)

119873

119895=1

(91)

Чистый дисконтированный доход рассчитывается по формуле (92) где

CF ndash денежный поток r ndash ставка дисконтирования I ndash сумма инвестиционных

вложений Непосредственно CF (денежный поток) будет определяться

количеством добываемого флюида [18]

119873119875119881 = sum119862119865119905

(1 + 119903)119905minussum

119868119905(1 + 119903)119905

(92)

Инвестиционные вложения включают операционные затраты ndash Opex

повседневные затраты компании для ведения бизнеса производства товаров и

57

услуг и капитальные затраты - Capex расходы на приобретение или обновление

необоротных активов При проведении ГДИС затраты на спускподъём

оборудования интерпретацию исследования инженером и потеря в прибыли

связанные с остановкой скважины учитываются в Capex

91 EMV БЕЗ УЧЕТА ПРОВЕДЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ

Дебит ndash это ограниченный объем добытой жидкости через скважину за

определенное время Оценки производительности скважин и расчет добычи

скважины проводятся на основе запускного дебита скважины и усредненного

темпа падения дебита на соседних скважинах на протяжении 25 лет В основном

темпы падения строятся исходя из истории эксплуатации на месторождении

анализируется весь набор данных на заданный пласт

Запускной дебит может быть рассчитан по следующим формулам в

зависимости от типа скважины [9]

1) Вертикальная скважина c ГРП

119902 =2120587119896ℎ(119875119894minus119875119908)

120583119861(119897119899119877119890119877119908minus075+119878)

119878 = 1198971198992119903119908

119909119891 (911)

2) Горизонтальная скважина с МГРП

119902 = 2120587kℎ ( 119875119894 minus119875119898

2+119875119908

2) + 119898119876119863 (912)

119876119863 =2120587kℎ(119875119894minus119875119908)

120583119861(119897119899119877119890119877119908minus075+119878)

(913)

С помощью расчёта запускных дебитов а также анализа работы

окружающих скважин были получены результаты темпов падения на рисунке

911 изображены темпы падения с вероятностью Р50 нефти и жидкости за 25 лет

для определенной скважины Также построена гистограмма с накопленной

добычей (рис 911)

58

Рис 931 Темпы падения для скважины

Рис 911 Гистограмма распределения добычи нефти

для скважины 716 до ГДИ

Геологические риски и неопределенности определяют необходимость

создания вероятностной оценки дебитов запасов профилей добычи

Вероятностная оценка по границам возможной минимальной и максимальной

эффективности поможет минимизировать инвестиционные риски проекта

Модуль вероятностной оценки дебитов запасов профилей добычи

основан на теории вероятностей и математической статистики [12] По

многочисленным входным параметрам задаются диапазоны ожидаемых

величин и тип распределения - по проницаемости эффективной

нефтенасыщенной толщины пласта пластовому давлению Источник

информации ndash фактические параметры полученные с карт и распределение с

59

ошибкой их построения Чем меньше неопределенностей тем меньше дисперсия

и разброс ожидаемых параметров в возможных диапазонах

Следующим этапом переходим к расчету экономических параметров

(NPV) по найденным значениям добычи за 25 лет На рисунке изображена

гистограмма NPV и указаны количественные оценки накопленной добычи и NPV

для вероятностей P10 P50 P90 (табл 911)

Рис 04 Гистограмма распределения NPV для скважины 716 до ГДИ

Таблица 921 Показатели добычи и NPV

Вероятность Накопленная добыча нефти тыст NPV млнруб

P10 1937 3012

P50 1128 1547

P90 597 585

60

С помощью выполненных расчетов (табл 911) ожидаемая ценность

проекта бурения скважины без проведения исследований (EMVwoi) составляет

16011 млн рублей

92 EMV БЕЗ УЧЕТА ПРОВЕДЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ

Расчет экономических параметров в случае модерирования исследований

проводится аналогичным образом Для расчета добычных показателей

планируемой скважины рассчитывается также по формулам 911-913 В этом

случае значения проницаемости и пластового давления задаются с помощью

уточнённые параметров после ГДИ с меньшей дисперсией

На рисунке 921 представлено распределение значений пластового

давления умноженного на эффективную нефтенасыщенную толщину после

ГДИ длительностью 150 часов

Рис 921 Гистограмма распределения NPV для скважины после ГДИ длительностью

150 часов

Расчет экономических параметров помимо операционных затрат (OPEX)

в случае моделирования ГДИ будет включать еще Capex ndash это затраты

проведенного исследования (инструментальные замеры спускоподъёмные

операции) который в свою очередь будут зависят от длительности проведения

исследований Также будут включены затраты на работу интерпретатора

исследований которые уже не будут зависеть от длительности В написанном

61

модуле также учитывается потеря прибыли на время остановки скважины

количественно потери будут определяться длительностью остановки скважины

на проведения ГДИ

62

ГЛАВА 10 РЕЗУЛЬТАТЫ

Реализованный модуль в данной работе позволяет определить

необходимость проведения гидродинамического исследования и выдать

рекомендации по продолжительности исследования составить ранжированный

список скважин по эффективности проведения исследований

В таблице 101 представлены результаты экономических параметров и

расчет VOI На графике (рис 101) построенным в осях VOI в зависимости от

времени исследования можно оценить экстремум функции как оптимальное

время для проведения исследования По представленным результатам

целесообразно провести ГДИ на скважине 3 длительностью от 150 часов так как

ценность полученной информации будет наибольшей

Таблица 101 VOI при проведении ГДИ на скважине 3

Продолжительность ГДИ

EMV1 EMV

2 VOI

Целесообразность исследования

50 16116 16111 005 + 100 16135 16111 024 + 150 16198 16111 087 +

200 16127 16111 016 +

250 16033 16111 -078 - 300 16021 16111 -09 -

В случае горизонтальных скважин также был произведен анализ

ценности информации рассчитаны параметры VOI от длительности по времени

Однако для выхода на радиальный режим для случаев горизонтальных стволов

скважин на рассматриваемом месторождении N необходимо более 500 часов что

существенно увеличивает капитальные затраты При расчете большой

длительности на проведения ГДИ обычно скважину не останавливают так как

эти исследования являются крайне затратными В таблице 202 указаны расчёты

при проведении исследования на горизонтальной скважине 5

63

Рис 101 Зависимость VOI от длительности ГДИ

Таблица 102 VOI при проведении ГДИ на скважине 5

Продолжительность ГДИ

EMV2 EMV

1 VOI

Целесообразность исследования

50 1603 1611 -078 - 100 1606 1611 -054 - 150 161 1611 -013 - 250 1612 1611 012 - 350 1611 1611 -006 - 500 1614 1611 024 +

Таблица 103 Ранжированный список скважин-кандидатов для проведения ГДИС

Скважина VOI (t=50) VOI (t=100) VOI (t=150) VOI (t=200) VOI (t=250) VOI (t=300)

3 005 024 087 016 -034 -078 1 003 015 036 073 -021 -064 4 002 012 024 054 -011 -057 2 001 009 011 031 042 -03

Модуль автоматически перебирает выбранный список скважин для

бурения проектной скважины и ранжирует их по ценности информации

проведенных исследований также предлагает наиболее оптимальное время

исследований исходя из экономических параметров (таблица 103)

Апробация и оптимизация инструмента оценки необходимости

проведения гидродинамического исследования проводится на одном из активно

-15

-1

-05

0

05

1

15

0 50 100 150 200 250 300 350

VO

I м

лнр

уб

Длительность ГДИ ч

VOI (Проведение ГДИ нецелесообразно)

VOI (Проведение ГДИ целесообразно)

64

разбуриваемых месторождений В данной работе проводилась аналитика для

бурения 10 проектных скважин По результатам моделирования ГДИ на

скважинах вблизи проектной была проведена оценка ценности информации от

запланированного исследования На рис102 представлена зависимость

определенного VOI от длительности ГДИ если график расположен выше нуля

(VOI gt 0) исследование экономически обосновано проводить Определив

экстремум функции определяется оптимальная длительность исследования

Приводя пример в рассчитанном кейсе для бурения скважины X наиболее

выгодно провести исследования в 3 скважине длительностью 150 часов

Рис 102 Зависимость VOI от длительности ГДИ в скважинах 1234

-1

-05

0

05

1

0 100 200 300 400

VO

I

Длительнось ГДИ

Скв 3 Скв 1 Скв 4 Скв 2

65

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

По результатам магистерской диссертации был реализован инструмент для

оптимального планирования гидродинамических исследований на этапе бурения

проектных скважин с помощью метода VOI

Предложенный в данной работе метод позволяет определить не только

необходимость проведения гидродинамического исследования но и выдать

рекомендации по оптимальной продолжительности исследования

Смоделировав исследования ГДИ на нескольких соседних от проектных

скважин инструмент позволяет ранжировать скважины ndash кандидаты для

гидродинамических исследования по величине ценности информации VOI

В процессе реализации предложенной методики работы было выполнено

следующее

1 Автоматический анализ данных по ранее проведенным

исследованиям определение геологической неопределенности

интересующих параметров (пластовое давление проницаемость) по

всему эксплуатационному фонду скважин на месторождении N

2 Модуль сплайн-интерполяция на языке программирования Python с

помощью которого интерполируются значения параметров

решается задача о нестационарном притоке к скважине с помощью

языка программирования VBA в котором учитываются результаты

моделирования синтетического ГДИ

3 Расчёт плановых показателей добычи на основе распределений Рпл

и kh до проведения исследования и после него в зависимости от

времени исследований

4 Экономический анализ эффективности проведения исследований на

основе методики VOI по результатам которого выполняется

ранжирование скважин по информативности исследований

66

По результатам расчёта на месторождении N выяснили что для бурения

скважины X наиболее эффективно останавливать на ГДИ скважину 3 с

длительностью исследования 150 часов

В заключении реализованный модуль позволяет оценить

целесообразность проведения ГДИ и самое важное экономическое обоснования

планируемых исследований

Возможности реализованного модуля

Автоматизированный анализ геологической неопределённостей по

фильтрационным-емкостным свойствам и пластовому давлению в

зоне планируемого бурения

Экономическое обоснование по проведению гидродинамических

исследований в зоне бурения проектных скважин

Определение оптимальной длительности ГДИС

Ранжирование скважин по информативности проведения

исследований

Экономическое обоснование затрат на ГДИС и последующими

решениями по оптимальному планированию ГДИС на основе

ценности информации

67

ОХРАНА ТРУДА

Преобладающее время по написанию выпускной квалификационной

работы проводилось за персональным компьютером

Согласно рекомендованной инструкцией по охране труда во время работы

на компьютере ТОИ Р-45-084-01 и также при его эксплуатации могут возникнуть

негативное влияние на работника следующие вредные производственные и

опасные факторы

повышенные уровень электромагнитного воздействия

высокая степень статического электричества

низкий уровень ионизации воздуха

нагрузки которые связанны с продолжительным временем сидячим

положением

повышенная нагрузка на органы зрения

болевые симптомы в позвоночнике и пояснице в связи

продолжительным сидячим положением а также венозная

недостаточность и стресс

Для рационального выбора организации рабочего процесса необходимо

минимизировать опасное воздействие на здоровье работающего а также

выполнить все требования эргономики и обезопасить свое рабочее место

Требования к минимизации нагрузки на органы зрения

Высокая нагрузка на органы зрения приводит к ухудшению зрения

возникновению близорукости и других заболеваний что также провоцирует

мигрень и головные боли повышается раздражительность нервное состояние

которое может привести к стрессу

Для избежание негативного воздействия на органы зрения необходимо

уделить особое внимание освещению как помещения так же и рабочих мест так

как степень освещенности напрямую зависит от интенсивности зрительного

напряжения Основное освещение следует размещать сплошными или

прерывистыми линиями светильников которые могут располагаться сбоку от

68

рабочих мест а также параллельно линии зрения рабочего при линейном

расположении мониторов компьютера Если же ПК расположены по всему

периметру помещения тогда линию светильников или ламп следует

расположить локализовано над каждым рабочим местом

Безопасная и рекомендуемая норма освещенности для работника в системе

освещения составляет mdash 150 minus 200 лк По правилам допускается расположение

ламп локального освещения Персональное освещение не должно

способствовать возникновению бликов на поверхности самого экрана а также

освещенность экрана не должна превышать 300 лк Безопасным считается

освещение рабочих мест люминесцентными лампами ЛБ белого света которые

должны использоваться в помещениях с нормальными условиями труда

Экран должен характеризоваться освещенностью не более 300 лк Яркость

ламп основного освещения в части зон углов излучения 50 minus 90∘ в продольной и

поперечной с вертикалью плоскостях может составлять менее 200кдм также

защитный угол светильников может составлять более 40∘

В виде источников света особенно при условии искусственного освещения

следует применять люминесцентные лампы ЛБ (белый свет) и ЛТБ (тепло-

белый) с характеристиками мощностью 40Вт или 80Вт обладающие высокой

световой отдачей (до 120лмВт и более) у которых продолжительный срок

службы (до 10000ч)

В лампах локального освещения допускается использование ламп

накаливания также галогенных Не допускается использование светильников без

рассеивателей и экранных решеток

Организация рабочего места в связи с активностью оператора

Сфера работы оператора ЭВМ характеризуется пониженной мышечной

активностью а также длительным напряжением мышц в статике особенно шеи

рук спины и ног что может привести к утомлению Состояние утомления

существенно возрастает особенно при неоптимальной высоте рабочего стола и

сидения у которого отсутствует опорная спинка или подлокотник а также

острых углах наклона головы нерациональным и неудобном размещении

69

видеотерминала документов и клавиатуры неудобном угле наклона

поверхности экрана отсутствии подставки для ног

Сиденье должно быть удобным и обеспечивать поддержание правильной

рабочей позы которое будет позволять изменять положение с целью

уменьшение напряжения мышц шейно-плечевой области Лучший способ - это

когда рабочее кресло оборудовано подъемно-поворотным которое регулируется

по высоте и по углам наклона спинки причем регулировка каждого параметра

должна быть независимой

Рабочее место работника следует обеспечить подставкой для ног (п 93 и

105 СанПиН 222241340-03) Поверхность подставки обязательно должна

быть рельефной и характеризоваться высотой переднего края 10 мм

Требования пожаробезопасности

Согласно ГОСТ 121004-91 следует помнить о существующих мерах

предосторожности и опасных факторах огонь пламя и дым также высокая

температура токсичные продукты горения и их термическое разложение

сниженная концентрация кислорода Противопожарную защиту обеспечивают

следующими мерами

Использование средств пожаротушения наличие сигнализации и

устройств тушения в помещениях которые способны ограничивать

распространение пожара наличие специальных средств индивидуальной

защиты

Противопожарные перегородки и отсеки устройства автоматического

отключения систем

Специальная планировка эвакуационных выходов

Системы оповещения людей по громкоговорителю

Технические средства для эвакуации людей

Присутствие огнетушащих веществ

70

Система вентиляции здания должна содержать оборудования и устройства

которые обеспечивают автоматическое отключение при пожаре и

огнедымозадерживающими устройствами Система электропитания

персонального компьютера должна иметь блокировку которая отключает его в

случае пожара

71

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1 Байков ВА Бакиров НК Яковлев АА Математическая геология

учебное пособие ndash Москва-Ижевск 2012 ndash 228с

2 Гуляев Д Н Кокурина В В Кременецкий М И и др Формирование

системы промыслового мониторинга на основе долговременных иссле-

дований стационарными датчиками на приеме насоса Нефтяное хозяй-

ствоraquo 12 2009 С 41ndash44

3 Демьянов В В Савельева Е А Геостатистика теория и практика

учебное пособие ndash Москва 2010 ndash 327с

4 Каневский МФ Демьянов ВВ Савельева ЕА и др Элементарное

введение в геостатистику Москва ВИНИТИ 1999 ndash 136с

5 Каневская Р Д Математическое моделирование разработки месторож-

дений нефти и газа с применением гидравлического разрыва пласта М

Недра-Бизнесцентр 1999 ndash 212 с

6 Кременецкий М И Ипатов А И Гуляев ДН Информационное

обеспечение и технологии гидродинамического моделирования нефтяных

и газовых залежей [Книга] - Москва-Ижевск Ижевский институт

компьютерных исследований 2011 ndash 896с

7 Леонтьев Н Е Основы теории фильтрации [Книга] - Москва ЦПИ при

механико-математическом факультете МГУ 2009 ndash 88с

8 Ортега Дж Введение в параллельные и векторные методы решения

линейных систем [Книга] - Москва Мир 1991 ndash245с

9 Abramowitz M IA Stegun Handbook of Mathematical Functions [Книга] -

New York Dover Publications Inc ndash 1972

10 Churchill RV Operational Mathematics [Книга] - New York McGraw-Hill

Book Co Inc ndash 1972

11 Gringarten AC and Ramey HJ The Use of Source and Greenrsquos Functions in

72

SolvingUnsteady-Flow Problems in Reservoirs [Книга] - SPEJ 1973 ndash245с

12 Houzeacute O Viturat D Fjaere O-S Dynamic data analysis [Книга] - Kappa

2008

13 Joshi SD Horizontal Well Technolog [Книга] - Tulsa Oklahoma Penwell

Published Compan 1991

14 Stehfest H NumericalInversionof LaplaceTransforms [Книга] -

Communicationsofthe ACM 1970

15 The Society of Petroleum Engineers Введение в нефтяной инжиниринг

[Книга] - Москва-Ижевск Институт компьютерных исследований 2014

16 Van Everdingen AF and HurstW W The Application of the Laplace

Transformation to Flow Problems in Reservoirs [Книга] - AIME 1953

17 Stehfest H NumericalInversionof LaplaceTransforms

Communicationsofthe ACM 1970

18 Gringarten AC and Ramey HJ The Use of Source and Greenrsquos Functions in

SolvingUnsteady-Flow Problems in Reservoirs бм SPEJ 1973

19 Jan R Williams Susan F Haka Mark S Bettner Joseph V Carcello

Financial amp Managerial Accounting 2008

9

Неопределенные результаты возникают в узлах вероятности (случая)

Ветви исходящие из любого узла вероятности представляют все результаты

которые могут возникнуть в некоторый момент времени и их вероятности в

сумме должны быть равны 1 Исходной веткой (перед самим узлом) могут

являться как альтернативы узла решений так и исходы предыдущего узла

вероятности

Узел окончания обозначает завершение каждой ветки и не подразумевает

дальнейшее ветвление Справа от него в строчку записывается итоговая

вероятность данной ветки (считается перемножением вероятностей данной

ветки по всем узлам вероятности) и финансовый результат данной ветки

(сценария)

Рис 11 Пример простого дерева решений

Концепция VOI (рис 12) основана на расчете разницы ожидаемой

денежной проекта после проведения исследования (EMV2) и без информации

(EMV1) ndash dNPV [3] которая возникает в связи с риском принятия неэффективного

решения из-за существующей неопределенности параметров объекта

исследования

Рис 12 Пример простого дерева решений

10

Снижение диапазона неопределённости позволяет принять более

эффективные инвестиционные решения и тем самым повысить ценность

проекта Оценка наиболее оптимальных решений до и после проведения

исследования входит в оценку EMV по веткам дерева решений что позволяет

оценить VOI от проведения работ

Ценность информации будет являться нулевой в случаях если информация

не приносит снижения диапазона неопределенности и если снижение

неопределенности не несет никаких изменений в дальнейших решениях по

проекту Оценка ценности информации позволяет на количественном уровне

оценить экономическую целесообразность проведения ГДИ и вовремя

отказаться от проведения неэффективных исследований тем самым увеличив

стоимость проекта

ГЛАВА 2 ОБЗОР ВХОДНЫХ ДАННЫХ

Реализованный модуль прошел апробацию на восточной части

месторождения N В текущей постановке предложенная методика для оценки

ценности информации и необходимости проведения гидродинамических

исследований проводилась на стадии планирования бурения (Рис 01 Карта

проницаемости пласта месторождения N)

11

Рис 01 Карта проницаемости пласта месторождения N

Месторождение N как и многие давно разрабатываемые активы покрыты

частой сеткой гидродинамических исследований в скважинах Однако

превосходящая часть этих исследований была осуществлена в течении 3-4 лет

назад данный факт существенно снижает корректность информации

полученной в результате исследований о текущем пластовом давлении и

фильтрационно-емкостных характеристиках пласта

Проницаемость горных пород пласта - это способность пород пласта-

коллектора пропускать флюид (жидкость воду и газ) при депрессии на пласт

Проницаемость является фильтрационным параметром горной породы который

определяет скорость фильтрации жидкости в среде Проницаемость пористой

среды будет зависеть не только от размера и расположения пор относительно

друг друга но также от характера движения фильтрующихся флюидов (нефть

вода газ)

Пластовое давление (Рпл) ndash это параметр который характеризует энергию

нефтегазоносных пластов Пластовым называют давление которым флюиды

воздействуют на вмещающие их породы Это давление возникает из

гидростатического давления то есть избыточного давления (архимедовой силы)

которое возникает в результате изменения объёма резервуара (порового

пространства пласта) и так же за счёт расширения (или сжатия) флюидов и

изменения их массы вследствие эксплуатации скважинами Существуют

понятия начального пластового давления и текущего пластового давления

Начальное определяют как исходный показатель которым характеризовался

пласт до вскрытия скважиной Текущим пластовым давлением определяют как

меняющийся в ходе разработки месторождения динамический параметр Один

из важных параметров в процессе разработки месторождения ndash это дебит

скважины (q определяют как объём флюида (воды нефти или газа) поступает в

единицу времени) Данная характеристика напрямую будет зависеть от

величины пластового давления и емкостных-фильтрационных свойств пласта

119875пл ndash динамический параметр по этой причине для эффективной разработки

12

месторождения необходима информация о текущем энергетическом состоянии

пласта и его проницаемости

Пластовое давление и проницаемость могут быть получены в результате

интерпретации гидродинамических исследований (глава 5) Однако

длительность исследований и их качество порой оказываются недостаточными

для корректного определения этих параметров В данной работе реализуется

алгоритм моделирования синтетических исследований (глава 8) для оценки

погрешности в зависимости от их длительности

ГЛАВА 3 МЕТОДИКА ОПТИМАЛЬНОГО

ПЛАНИРОВАНИЕ ИССЛЕДОВАНИЙ

Результатом интеграции методологии ценности информации и

планирования гидродинамических исследований является реализованный

инструмент позволяющий определить необходимость проведения исследования

на действующей скважине вблизи проектной С целью определения VOI

инструмент последовательно решает следующие задачи

1 Определение исходных распределений проницаемости (k) и

пластового давления в действующих скважинах (глава 2)

2 Интерполяция исходных распределений в точку проектной

скважины (глава 4)

3 Моделирование исследований ГДИ на действующих скважинах

расположенных вблизи проектной скважины и определение распределений

проницаемости и пластового давления с учётом результатов исследований (глава

8)

4 Интерполяция измененных распределений в точку проектной

скважины (глава 4)

5 Расчёт ожидаемой прибыли проектной скважины без проведения

исследования ГДИ (EMVwoi) (глава 91)

13

6 Расчёт ожидаемой прибыли проектной скважины с учётом

проведения исследования ГДИ (EMVwi) (глава 92)

При проектировании скважины значения проницаемости и пластового

давления определяются по имеющимся картам распределения свойств В свою

очередь построение карт основывается на результатах проведения

гидродинамических исследований По причине наличия погрешностей при

построении карт распределения свойств и погрешностей в результатах

гидродинамических исследований значения проницаемости и пластового

давления с карт зачастую не являются аналогичными результатам ГДИ

На первом этапе инструмент оценивает распределение параметров

основываясь на определении отношения (έ) значений проницаемости и

пластового давления определенных по результатам ГДИ к значениям

определенным по картам пластового давления и проницаемости (рис1)

Параметр έ характеризует отклонения результатов исследований от карт и таким

образом описывает неопределенность в параметре Определив параметр έ для

каждого имеющегося гидродинамического исследования оценивается

распределение отклонений έ для каждого параметра (проницаемости и

пластового давления) Разработка методологии проводилась на существующем

месторождении в результате параметр έ для проницаемости имел

логнормальное для пластового деления нормальное распределение (рис31)

Распределения свойств пласта в точках существующих скважин до

проведения гидродинамического исследования определяется путем

произведения распределений έ на значение параметра пласта с актуальной карты

[1]

14

Рис31 Распределения отклонений значений проницаемости и пластового давления по

результатам ГДИ от значений с карт

На следующем этапе инструмент интерполирует исходные распределения

в точках действующих скважин в точку проектной скважины Для интерполяции

используется метод сплайн ndash интерполяции который оценивает значения

используя математические функции В результате интерполяции для проектной

скважины определяются распределения проницаемости и пластового давления

до проведения гидродинамического исследования

Возможные реализации проницаемости и пластового давления имеют

широкие исходные распределения и являются непрерывными величинами по

этой причине перед моделированием ГДИ исходные распределения в точках

существующих скважин разбиваются на N-количество дискретных исходов

(рис32) Количество исходов (N) определяется на основе точности

погрешности результатов ГДИ Точность результатов ГДИ определяется

экспертным образом Вероятности исходов определяются на основе данных

вероятностного моделирования путем деления всего диапазона исходов

значений N - дискретных исходов и определение количества реализаций

которые можно отнести к каждому исходу При моделировании 100 значений

проницаемости если скважина в 20 реализациях попала в первое распределение

вероятность должна быть определена 20

0

02

04

06

08

1

12

14

00 10 20

Пл

отн

ость

ве

ро

ятн

ости

έ = (Рпл по ГДИ) (Рпл с карт)

Распределение έ значений проницаемости

0

02

04

06

08

1

12

14

00 05 10 15 20

Пл

отн

ость

ве

ро

ятн

ости

έ = (119896 по ГДИ) (119896 с карт)

Распределение έ значений пластового давления

15

Рис 32 Разбиение исходного распределения пластового давления на дискретные

значения

Для оценки распределений свойств пласта в точке проектной скважины

после проведения гидродинамического исследования необходимо создать

синтетическое ГДИ Моделирование запланированного ГДИ проводится путём

решения задачи о нестационарном притоке к скважине с постоянным дебитом на

основе исходных распределений свойств пласта

Уравнением описывающим процессы происходящие при исследованиях

ГДИ является уравнение пьезопроводности Данное уравнение (31) описывает

неустановившееся однофазное одномерное течение флюида в пористой среде и

выражает связь между пластовым давлением временем и расстоянием от

скважины до точки наблюдения Решение уравнения пьезопроводности (32) для

простого случая работы вертикальной скважины в бесконечном пласте позволяет

получить модель характеризующую перераспределение давления в пласте

1

120594

120597120549119875

120597119905=1

119903

120597

120597119903(119903120597120549119875

120597119903) (31)

∆119875(119905 119903) = minus9205119902119861120583

119896ℎ119864119894 (minus

1199032

000036120594119905) (32)

где (q ndash дебит скважины м3сут B ndash объёмный коэффициент 120583 ndash

вязкость жидкости cпз k ndash проницаемость мД h ndash мощность пласта

м r ndash радиус м χ ndash пьезопроводность мД(спзатм-1) t ndash время ч)

16

Ожидаемая прибыль запланированной к бурению скважины до проведения

ГДИ рассчитывается с учётом исходного распределения после ГДИ

рассчитывается для каждого дискретного варианта исхода из N-возможных и для

разных времен длительности исследования t

На первом этапе расчёта прибыли по методу Монте-Карло определяются

значения проницаемости и пластового давления с вероятностями распределения

равными 10 50 90 и оценивается запускное значение дебита скважины По

соседним скважинам определяются темпы падения дебита скважины

усредненный темп падения используется для проектной скважины

Произведение запускного значения дебита и усредненного темпа падения

характеризует профиль добычи проектной скважины На основе профиля

добычи оценивается NPV проектного бурения который учитывает

операционные затраты и капитальные расходы проекта При оценке NPV после

запланированного исследования в капитальных затратах учитываются расходы

на проведение ГДИ стоимость интерпретации исследования инструментальные

замеры

Ожидаемая ценность EMVwi после проведения ГДИ рассчитывается как

сумма отдельно взятых N - исходов умноженных на соответствующие

вероятности исходов (33)

119864119872119881119908119894 (119905119894) = 1198641198721198811199081198941(119905119894) lowast 1198751 + 1198641198721198811199081198942(119905119894) lowast 1198752 +⋯

+ 119864119872119881119908119894119873(119905119894) lowast 119875119899 =sum119864119872119881119908119894_119895(119905119894)

119873

119895=1

(33)

По результатам моделирования ГДИ на скважине вблизи проектной

проводится оценка ценности информации от запланированного исследования

Реализуется построение зависимости VOI от длительности ГДИ где график

расположен выше нуля (VOI gt 0) следует что исследование экономически

обосновано проводить По результату работы модуля выполняется

17

ранжирование скважин с оптимальным временем проведения ГДИ на основе

ценности информации

ГЛАВА 4 МЕТОДЫ ИНТЕРПОЛЯЦИИ

Определения параметров пласта в области с отсутствующими прямыми

измерениями осуществляются с помощью пространственной интерполяции

Одним из основных методов построения карт параметров пласта является

сплайн-интерполяция

Для построения распределения свойств пласта в определённой зоне

используют ограниченное значение количественных измерений интересующего

параметра Z в точках (Xi Yi) Данные точки определяются как точки выборки

(точки наблюдений) Цель пространственной интерполяции ndash получить значения

пространственной переменной Z на площади где отсутствуют исследования с

минимально погрешностью Необходимо интерполировать из точек Z(xi) в

определенную точку Z(x) на основе анализа имеющихся в базе значений (Рис 42)

Рис 42 Интерполяция в точку Z(x)

Подход интерполяции напрямую опирается на измеренные значения в

точках и интерполируются с помощью подбора математической функции

определяя слаженность результирующей формы [4]

В данной работе был реализован метод сплайн-интерполяции

Сплайн-функцией 119904(119909) 119909 isin [119886 119887] называется функция которая в

каждом частичном отрезке [119909119894minus1 119909119894] является полином некоторой степени и

имеет на заданном [119886 119887] производную до некоторого порядка Под степенью

18

сплайна подразумевают максимальную степень полинома по каждому из

отрезков [119909119894minus1 119909119894] а под дефектом сплайна ndash разность между соответствующей

степенью сплайна и порядком наивысшей производной на заданном отрезке

[119886 119887]

Интерполяция сплайнами является кусочно-полиномиальной

интерполяцией Основная теория сплайн-интерполяции заключается том что на

каждом шаге интерполяции (разбиваемом промежутке между узлами)

осуществляется аппроксимация в форме определенной полиномиальной

зависимости Для каждого шага итерации осуществляется подборка полинома

таким образов чтобы выполнялись граничные условия на концах отрезка

Условия для сплайна полинома степени n должны обеспечивать непрерывность

производных порядка степени (n-1) Наиболее распространённые и имеющие

широкую практическую применимость являются кубические сплайны

41 КУБИЧЕСКИЙ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ СПЛАЙН

Кубическим интерполяционным сплайном 119904(119909) называется функция

которая удовлетворяет следующим условиям

1 На каждом определенном отрезке [119909119894minus1 119909119894] 119904(119909) является полином

третьей степени то есть

119904(119909) = 1198860(119894)1199093 + 1198861

(119894)1199092 + 1198862

(119894)119909 + 1198863

(119894) 119909 isin [119909119894minus1 119909119894] (411)

2 119904(119909) isin 119862[119886119887]2

3 119904(119909119894) = 119891119894 119894 = 0 1hellip 119899

4 119904primeprime(119886) = 119904primeprime(119887) = 0

Коэффициенты 1198860 1198861

1198862 1198863

рассчитываются независимо от каждого

промежутка интерполирования [14]Рассмотрим как строится кубический

сплайн Обозначим через 119898119894 = 119904primeprime(119909119894) 119894 = 0hellip 119899 minus

величина называемая моментом

19

119904primeprime(119909) - линейная функция и для каждого отрезка она совпадает с

интерполяционной функцией полинома Лагранжа первой степени

Проинтегрировав получившееся равенство определяется из условия 3

искомые константы находятся в виде сплайна 119904(119909) на частичном отрезке

[119909119894minus1 119909119894]

119904(119909) = 119898119894minus1

(119909119894 minus 119909)3

6ℎ+119898119894

(119909 minus 119909119894minus1)3

6ℎ+ (

119891119894 minus 119891119894minus1ℎ

minus (119898119894 minus119898119894minus1)ℎ

6) (119909 minus 119909119894)

+ 119891119894 minus119898119894

ℎ2

6 (412)

Определяем моменты 119898119894 119894 = 0hellip 119899 с помощью условий 2 3 4

выводим систему следующего вида

1198980 = 0ℎ

6119898119894minus1 +

2

3ℎ119898119894 +

ℎ

6119898119894+1 =

119891119894minus1 minus 2119891119894 + 119891119894+1ℎ

119894 = 1hellip 119899 minus 1 (413)

119898119899 = 0

Запишем следующие вектора

119898 =

(

11989801198981

⋮119898119899minus1119898119899 )

minus (119899 + 1) minus мерный (414)

119892 =

(

1198910 minus 21198911 + 1198912ℎ⋮

119891119899minus2 minus 2119891119899minus1 + 119891119899ℎ )

minus (119899 + 1) minus мерный (415)

и матрицу

20

119860 =

(

1 0 0 01

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ 0

01

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ

⋯0 0 0 00 0 0 00 0 0 0

⋮ ⋱ ⋮

0 0 0 00 0 0 00 0 0 0

⋯

1

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ 0

01

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ

0 0 0 1 )

minus (119899 + 1) times 6(119899 + 1)

minus мерную (416)

Сходимся в необходимости решить следующую систему (417)

119860119898 = 119892 (417)

Данная система представляет собой систему с трёхдиагональной

матрицей и с диагональным преобладанием Для необходимости её решения

потребуется применить метод прогонки который возможен для систем

следующего вида

1198980 = 11989611198981 + 1198920119886119894119898119894minus1 + 119887119894119898119894 + 119888119894119898119894+1 = 119892119894 119894 = 1hellip 119899 minus 1

119898119899 = 1198962119898119899minus1 + 119892119899 (418)

где

119886119894120572119894 + 119887119894 ne 0 119894 = 1hellip 119899

1 minus 1198962120572119899 ne 0 (419)

где 120572119894 в свою очередь - это

1205721 = 1198961

120572119894+1 = minus119888119894

119886119894120572119894 + 119887119894 119894 = 1hellip 119899 minus 1 (4110)

Следующая методика прогонки представлена в двух частях прямой хода

и обратный хода Прямой ход выявляет следующие величины

21

1205721 = 11989611205731 = 1198920

120572119894+1 = minus119888119894

119886119894120572119894 + 119887119894 119894 = 1hellip 119899 minus 1 (4111)

120573119894+1 = minus119892119894 minus 119886119894120573119894119886119894120572119894 + 119887119894

119894 = 1hellip 119899 minus 1

Далее следует обратный ход в порядке уменьшения индексов определяет

искомые параметры

119898119899 =

119892119899 + 11989621205731198991 minus 1198962120572119899

119898119894 = 120572119894+1119898119894+1 + 120573119894+1 119894 = 119899 minus 1hellip 0

(4112)

Сплайн 119904(119909)математически определён формулой представленной выше

42 КУБИЧЕСКИЙ СГЛАЖИВАЮЩИЙ СПЛАЙН

Метаматематическая модель кубического сглаживающего сплайна

заключается в том что в узлах 119909119894119894=0119899 sub [119886 119887] определенные значения функции

119891(119909) могут быть заданы с погрешностью 119891119894=0119899

В таких моделях с дефектом 1

кубический интерполяционный сплайн будет реализован с достаточно большой

погрешностью вследствие построения с неточными значениями В большинстве

случае реализуют построение кубического сглаживающего сплайна в котором

решается следующая экстремальная задачи

119906 =119894119899119891

119906 isin 11988222[119886 119887]

120567(119906) (421)

где 11988222[119886 119887] ndash пространство Соболева вещественных функций с нормой

1199062 = int(|119906(119909)|2 + |119906primeprime(119909)|2)119889119909

119887

119886

(422)

а функционал

22

120567(119906) = int |119906primeprime(119909)|2 119889119909

119887

119886

+sum119901119894(119906(119909119894) minus 119891119894)2

119899

119894=0

119901119894 gt 0 119894 = 0hellip 119899 (423)

строго неотрицательный выпуклый полунепрерывный снизу

вследствие слабой сходимости

Однозначно решение данной задачи существует и является единственным

решением Введем единственное решение 1199060(119909) также обозначим значения

119910119894119894=0119899 следующим образом

119910119894 = 1199060(119909119894) 119894 = 0hellip119899 (424)

Можем построить кубический интерполяционный сплайн 119904(119909 119910)

119904(119909119894 119910) = 119910119894 Данное полученное решения является равным 1199060

Оценим вид интерполяционного сглаживающего сплайна

Введём в рассмотрение отображение 119866(119910) ℝ119899+1 rarr ℝ

119866(119910) = 120567(119904(middot 119910 )) = int |119904primeprime(119909)|2 119889119909

119887

119886

+sum119901119894(119904(119909119894) minus 119891119894)2

119899

119894=0

=

sum int |119904primeprime(119909)|2 119889119909

119909119894

119909119894minus1

119899

119894=1

+sum119901119894(119904(119909119894) minus 119891119894)2 (425)

119899

119894=0

Получаем исходную экстремальную задачу эквивалентную поиску

min119910isin ℝ119899+1

119866(119910) (426)

Исходя из того что 119904(119909 119910) ndash является кубическим интерполяционным

сплайном запишем

119904primeprime(119909119894 119910) = 119898119894 119894 = 0hellip119899 (426)

1198980 = 0119898119899 = 0 (427)

Вводим (119899 minus 1) times (119899 minus 1)-мерную матрицу

23

119860 =

(

2

3ℎ

1

6ℎ 0 0

1

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ 0

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

0

0

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

01

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ

0 01

6ℎ

2

3ℎ)

(428)

(119899 minus 1)-мерный вектор

119898 = (

1198981

⋮119898119899minus1

) (429)

(119899 minus 1) times (119899 + 1)-мерную матрицу

119867 =

(

1

ℎminus1

2ℎ

1

ℎ0 ⋯ 0 0 0 0

⋯

0 0 0 0 ⋯ 01

ℎminus1

2ℎ

1

ℎ)

(4210)

невырожденную (119899 + 1) times (119899 + 1)-мерную матрицу

119875 = (1199010

⋱119901119899

) (4211)

и (119899 + 1)-мерный вектор

119891 = (1198910⋮119891119899

) (4212)

получаем следующую систему уравнений в которой вычисляем моменты

119898

(119860 + 119867119875minus1119867lowast)119898 = 119867119891 (4213)

Данная система решается методом Гаусса Затем можем выразить

119910 = minus119875minus1119867lowast119898 + 119891 (4214)

(4214) - точку глобального минимума для заданного отображения 119866(119910)

В итоге получаем форму сглаживающего сплайна

24

119904(119909) = 119898119894minus1

(119909119894 minus 119909)3

6ℎ+119898119894

(119909 minus 119909119894minus1)3

6ℎ+ (119910119894minus1 minus

ℎ2

6119898119894minus1)

119909119894 minus 119909

ℎ

+ (119910119894 minusℎ2

6119898119894)

119909 minus 119909119894minus1ℎ

(4215)

119909 isin [119909119894minus1 119909119894] 119894 = 1hellip119899 (4216)

ГЛАВА 5 ОСНОВЫ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО

ИССЛЕДОВАНИЯ СКВАЖИН

Основой ГДИС являются решение нестационарной задачи фильтрации

Рис 51 а) б) формирование радиальной воронки депрессии после пуска

добывающей и нагнетательной скважины в) г) расформирование радиальной

воронки депрессии после остановки добывающей и нагнетательной скважины

Tmdash время прошедшее после пуска скважины tmdash время прошедшее после

остановки скважины[6]

флюидов в порово-упругой среде Они основываются на изучение процессов

формирования и релаксации полей давления в пласте и в скважине в

зависимости от типа воздействия (закачка или отбор флюида) (рис51) Арсенал

технологий исключительно разнообразен и включает самые различные методы с

различной продолжительностью и интенсивность воздействия на пласт Каждая

технология представляет совокупность циклов (базовых элементов)

Определение каждого из них ndash регистрация разницы давления во времени после

изменения дебита скважины на заданной глубине Продолжительностью цикла

25

обуславливается решаемой задачей глубинностью условием и объектом

исследования

Гидродинамические исследования предполагают синхронные измерения

давления и расхода на фиксированной глубине при переходных режимах

эксплуатации скважины Основными элементами технологий ГДИС стабильно

работающих скважин являются способы предполагающие регистрацию

изменения давления во времени

после пуска скважины на стабильный режим отбора или закачки

(кривая стабилизации давления (КСД) -пуск) или при переходе с

одного стабильного режима на другой (КСД-режим)

после остановки скважины стабильно или циклически работавшей

в режиме отбора (кривая восстановления давления КВД) или

закачки (кривая падения давления - КПД)

Решение прямой задачи ГДИС состоит в оценке изменения давления на

забое скважины при заданном изменении дебита и для конкретной модели

скважины и пласта

К наиболее часто используемым моделям относится скважина со скин-

фактором в однородном изотропном пласте при радиальном режиме течения

При пуске скважины с постоянным расходом QАТ[м3с]=const (расход

соответствует условиям атмосферы) изменение давления РС [Па] во времени

tРАБ[с] прошедшем с момента пуска описывается асимптотической

формулой точность которой повышается с увеличением tРАБ

РАБRRРАБ

ПРС

OАТCПЛ tt

r

χ

επ

BQPP

lnln

252ln

4 2

_

(51) επ

BQ OАТR

4

2

_

252ln

ПРС

RRr

χ

kh

k

S

CПРС err _

Другие обозначения принятые в данных формулах PПЛ [Па] ndash первоначальное

пластовое давление [Пас] - динамическая вязкость фильтрующегося флюида Во[безразм]

26

ndash объемный коэффициент флюида [м3Па с] ndash гидропроводность пласта [м2с] ndash

пьезопроводность пласта k [м2] ndash проницаемость пласта КП [в долях]ndash пористость пласта h[м]

ndashэффективная работающая толщина пласта s[безразм] ndash интегральный скин-фактор rС_ПР [м]

ndashприведенный радиус скважины rС[м] ndashрадиус скважины [Па-1] ndash интегральная

сжимаемость пористой среды

При остановке скважины работавшей с постоянным расходом QАТ[м3с] =const в

течение времени tРАБ[с] изменение давления РС[Па] во времени tОСТ[с] прошедшем с

момента остановки описывается асимптотическими формулами (для больших значений tОСТ)

ОСТ

ОСТРАБRПЛ

ОСТ

ОСТРАБОАТПЛC

t

tP

t

tВQPP

tln

tln

4

(52

)

ОСТРАБ

ОСТРАБRR

ОСТРАБ

ОСТРАБ

ПРС

ОАТНАЧC

t

t

t

t

r

ВQPP

t

tln

t

tln

252ln

4 2

_

(53

)

где PНАЧ [Па] ndash давление в момент остановки скважины (tОСТ =0)

Следует обратить внимание что соотношения (51) и (53) оперируют с

разностью текущего и начального давления цикла (в первом случае в качестве

начального выступает пластовое давление а во втором ndash давление в момент

остановки скважины) В отличие от этого соотношение (52) оперирует с

абсолютной величиной давления

С математической точки зрения названные способы представления

данных идентичны Но каждый из них оптимален для решения конкретной

задачи интерпретации гидродинамических исследований Уравнения (51) и (53)

позволяют выделить влияние скин-фактора Основная цель использования

формулы (52) оценка абсолютной величины пластового давления

Абсолютная величина тангенса угла наклона асимптоты () для всех без

рассмотренных зависимостей одинаков и определяется величиной

гидропроводности пласта

Рис52 иллюстрируют поведение давления во времени при запуске

скважины в зависимости от дебита в цикле исследований (а) проницаемости

пласта (б) и скин-фактора (в) Основной недостаток подобного представления

27

результатов в низкой наглядности В частности очень трудно различить

особенности влияния основных информативных факторов ГДИС ndash

фильтрационных свойств пласта (проницаемости) и характеристик

совершенства вскрытия (скин-фактора)

Рис52 особенности поведения давление при пуске скважины (КСД)

а) Влияние расхода Q=QАТВо-расход PС ndashдавление РПЛ- начальное

пластовое давление tРАБ=0 момент пуска скважины (Q1ltQ2ltQ3)

б) Влияние проницаемости Q-расход PС ndashдавление РПЛ- начальное

пластовое давление tРАБ=0 момент пуска скважины (k1gtk2ltk3)

в) Влияние проницаемости скин-фактора Q-расход PС ndashдавление РПЛ-

начальное пластовое давление tРАБ=0 момент пуска скважины (s3gts2lts1)

В ГДИС используются специальные способы представления данных

позволяющие сделать их интерпретацию более наглядной

Рис53 иллюстрирует основные способы представления результатов

ГДИС для исследования добывающей скважины включающей цикл I запуска с

постоянным расходом (КСД-пуск) и цикл II остановки (КВД)

PCQ

PCQ

t=to

Q

PC (k=k1)

PC (k=k3)

PC (k=k2)

PC=PПЛ tРАБ

Q1

PC=PПЛ

t=to

Q2

Q3

PC (Q=Q1)

PC (Q=Q2)

PC (Q=Q3)

PCQPC=PПЛ

Q

PC (s=s1)

PC (s=s2)

PC (s=s3)

а)

б)

в)

tРАБ

tРАБ

28

Рис53 Основные способы представления результатов ГДИС для

диагностики радиального режима течения при пуске в работу со стабильным

расходом добывающей (I) и нагнетательной (II) скважины а) давление как

функция времени в декартовых координатах б) приращение давления как

функция времени в декартовых координатах в) приращение давления как

функция логарифма времени г) логарифм приращения давления и логарифм

логарифмической производной как функция логарифма времени

Базовым способом представления результатов ГДИС является график

полной (по всем циклам исследования) кривой изменения давления во времени

в процессе ГДИС в декартовых координатах (рис53а)

Графики в декартовых координатах зависимости приращения давления от

времени по отдельным циклам позволяют унифицировать результаты измерения

давления по циклам его роста (КВД) и падения (КСД - пуск) Приращение

вычисляется как модуль разности текущего давления (Р) и начального давления

PС

P=Рпл

a)

I

II

ln(tРАБtОСТ)(tРАБ +tОСТ)

IIбtРАБ

РНАЧI

РНАЧII

P=РНАЧI-PС

ln(tРАБ)

P

lnPlnPP

P

Iв)

Iг)

Iд)

P

lnPlnPP

P

IIв)

IIг)

IIд)

tОСТ

P=PС-РНАЧII

tРАБ

ln(tРАБ)

ln(tРАБ+tОСТ)tОСТ

ln(tРАБtОСТ)(tРАБ +tОСТ)

tОСТ

PС

29

(РНАЧ) в цикле Р= Р-РНАЧ Величина Р монотонно увеличивается во

времени вне зависимости от соотношения дебитов в цикле исследования и

предшествующем цикле[6]

График зависимости приращения давления от логарифма текущего

времени laquolntРАБraquo используется для представления результатов КСД-пуск

(рис53Iв) Участок КСД соответствующий радиальному режиму в данном

масштабе аппроксимируется линейной асимптотой Эта особенность

радиального режима используется для его диагностики

Как следует из соотношения (52) наклон асимптоты определяется

гидропроводностью пласта а свободный член значением гидропроводности и

приведенного радиуса (то есть и скин-фактора)

Для цикла (КВД) вместо логарифмического масштаба времени

используется так называемый обобщенный логарифмический масштаб

вычисляемый на основе продолжительностей и расходов циклов работы

скважины предшествующих анализируемому (рис53IIв)

Как следует из соотношения (53) для цикла КВД после одиночного цикла

работы скважины данный масштаб вычисляется по формуле

ОСТРАБ

ОСТРАБP

tt

ttt

)(lnF

(54)

Во временном интервале радиального режима течения КВД

аппроксимируется линейной асимптотой Наклон асимптоты определяется

гидропроводностью пласта а свободный член значением гидропроводности и

приведенного радиуса (то есть и скин-фактора)

Масштаб Хорнера у которого радиального режима течения также является

логарифмическим (рис53II б)

Как следует из соотношения (52) для цикла КВД после одиночного цикла

работы скважины данный масштаб вычисляется по формуле

)ln()(lnОСТ

ОСТРАБ

Pt

tttF

(65)

30

Данный масштаб является инверсным по времени При увеличении

времени его значения падают Участок КВД соответствующий радиальному

режиму течения аппроксимируется линейной асимптотой Наклон асимптоты

определяется гидропроводностью пласта а свободный член значением

пластового давления

Двойной логарифмический масштаб для цикла laquoКСД-пускraquo предполагает

представление логарифма приращения давления laquoln(P)raquo и логарифма

логарифмической производной ln(P) от логарифма времени (рис62Iд)

Логарифмическая производная в этом случае вычисляется по формуле

)ln( P

PP

(66)

Для цикла laquoКВДraquo двойной логарифмический масштаб предполагает

представление параметров laquoln(P)raquo и ln(P) от обобщенного логарифмического

времени соотношение (69)- рис62IIд

)( PF

PP

P

(67)

Данный масштаб является универсальным используется для диагностики

не только радиального но и линейного и других не радиальных режимов течения

для всех типов циклов ГДИС

Следует подчеркнуть что соотношения (51)-(54) выведены для двух

цикличной технологии исследования и при увеличении числа циклов должны

быть модифицированы Но описанный выше принцип масштабирования

результатов ГДИС является универсальным

31

Рис 54 Билогарифмический график КВД [5]

На основе интерпретации результатов исследования ГДИС определяются

параметры энергетического состояния скважины (пластовое давление

депрессия продуктивность динамика их изменения) фильтрационные

параметра пласта (гидропроводность подвижность пьезопроводность

проницаемость) зональность их распространения по площади

В настоящей магистерской диссертации была реализован метод

математического моделирования с целью получения информации о

проницаемости и пластовом давлении в точках исследуемых скважинах

погрешностью полученных параметров на основе качества исследования

(наличие на билогарифмическом радиального режима) связанным со временем

исследования

ГЛАВА 6 ТЕОРИЯ ФИЛЬТРАЦИИ В УПРУГОЙ ПОРИСТОЙ

СРЕДЕ

Основа теории фильтрации основана на изучении движения

(просачивания) жидкости через пористую среду Особенности процессов

фильтрации зависят от упругих свойств среды и насыщающих их флюидов

Для постановки задачи фильтрации жидкости в упругой среде прибегают

к краевой или начально-краевой задаче с соответствующими граничными

условиями Для нахождения математического выражения фильтрации флюидов

в пористой среде решают систему дифференциальных уравнений в частных

производных

Векторы скорости и плотности фильтрующейся жидкости могут быть

представлены в следующем виде - (119909 119910 119911 119905) и плотностью жидкости

120646 (119909 119910 119911 119905) Одной из важных характеристик поровой среды является пористость

32

ndash это относительный объем порового пространства в материале именно этот

параметр определяет количество флюида которое содержится или может

содержаться в определенном объеме пористой среды [7]

Теория фильтрации флюидов опираются на фундаментальный закон

сохранения массы в соответствии с которым изменения массы жидкости в

любом произвольном объеме V внутри замкнутой поверхности происходит за

счет изменение притока и оттока жидкости через границу объема (уравнение

неразрывности) [12]

Поток жидкости через произвольную однозначно определенную

замкнутую поверхность Γ в пористой среде с коэффициентом пористости - φ

заполненной флюидом с вязкостью μ (рис 61)

Рисунок 61 Замкнутая поверхность Γ в пористой среде (The Society of Petroleum Engineers

2014)

Скорость поступление массы объемом V через поверхность Г равна

скорости изменения данной массы в этой области (The Society of Petroleum

Engineers 2014)

119889119872119892

119889119905=

119889

119889119905∭ 120588120593119889119881 =∭

120597

120597119905(120588120593)119889119881

119881119881 6 1

Масса поступающая в определенный объем пористой среды через

дифференциальный элемент поверхности dΓ за промежуток времени Δt со

скоростью равна minus120646 lowast Отличие массы поступившей в определенную

поверхность и массой покинувшей эту поверхность за изменение времени Δt

равна

33

∆119872119892 = minus∆119905∯ 120588 lowast 119889Г Г

6 2

Скорость притока флюида в объем области V через поверхность Γ

lim∆119905rarr0

119889119872119892∆119905

=119889119872119892119889119905

= ∯120588 lowast 119889Г

Г

6 3

Приравняем правые части уравнения (119889119872119892

119889119905=

119889

119889119905∭ 120588120593119889119881 =

119881

∭120597

120597119905(120588120593)119889119881

119881 ) и ( lim

∆119905rarr0

119889119872119892

∆119905=

119889119872119892

119889119905= ∯ 120588 lowast 119889Г

Г 63) если функции

входящие в эти уравнения являются достаточно гладкими то применяем теорему

Остроградского ndash Гаусса к правой части уравнения ( lim∆119905rarr0

119889119872119892

∆119905=

119889119872119892

119889119905=

∯ 120588 lowast 119889Г Г

63) получаем

∭ [120597

120597119905(120588120593) + nabla120588] 119889119881

119881=0 (64)

Интеграл может быть приравнен к нулю тогда когда сама функция под

знаком интеграла равна нулю исходя из этого утверждения можем получить

120597

120597119905(120588120593) + nabla120588 = 0 (65)

Полученное уравнение (65) можем переписать через поля давления по

причине отсутствия непосредственного замера скорости и плотности потока при

гидродинамическом исследовании скважины (ГДИС) Для пересчета в

характеристики давления потока воспользуемся законом фильтрации Дарси и

уравнение состояния [2]

Уравнение состояния которое связывает плотность и давление

с = minus1

119881

120597119881

120597119875 с =

1

120588

120597120588

120597119875 сρ

120597119875

120597119905=120597120588

120597119905 0 6

c ndash сжимаемость жидкости отрицательный знак отражает условие что

при положительном коэффициенте сжимаемости будет происходить сжатие

флюида (давление растет объем уменьшается) Различают общую сжимаемость

с119957 и сжимаемость пористой среды с119943

с119891 =1

120593

120597120593

120597119875 6 7

34

с119905 = с119891 + 119888 6 8

Исторически уравнение баланса было получено экспериментально Анри

Дарси По закону Дарси вектор скорости фильтрации выражается через вязкость

флюида micro и тензор проницаемости k Знак минус в правой части также имеет

физически явный смысл в отсутствии сил действующих на массу жидкость

начинает движение из областей в повышенным давление в область с меньшим

давлением

= minus119896

120583nabla119875 6 9

При рассмотрении первого слагаемого уравнения 120597120597119905(120588120593) + nabla120588 = 0

(65 и с = minus1

119881

120597119881

120597119875 с =

1

120588

120597120588

120597119875 сρ

120597119875

120597119905=

120597120588

120597119905 06 выполним подстановку

120597

120597119905(120588120593) = 120593

120597120588

120597119905+ 120588

120597120593

120597119905= 120593сρ

120597119875

120597119905+ 120588

120597120593

120597119905= 120593сρ

120597119875

120597119905+ 120588

120597120593

120597119875

120597119875

120597119905=

= 120593сρ120597119875

120597119905+ 120588с119891120593

120597119875

120597119905= 120588с119905120593

120597119875

120597119905 6 10

Далее перезапишем уравнение 120597120597119905(120588120593) + nabla120588 = 0 (65 с учетом

данного выражения и подставим вектор скорости из уравнения закона Дарси

с119905120593120597119875

120597119905= nabla(

119896

120583nabla119875)

1

120594

120597119875

120597119905= nabla2119875 120594 =

119896

с119905120593120583 6 11

Где 120594 ndash коэффициент пьезопроводности с119905120593120597119875

120597119905= nabla(

119896

120583nabla119875)

1

120594

120597119875

120597119905= nabla2119875 120594 =

119896

с119905120593120583 611 определяется как уравнение пьезопроводности - основным

уравнением которое описывает процессы возникающие при гидродинамических

исследованиях

Данное уравнение пьезопроводности (611) может быть перезаписано

относительно радиальных координатах

1

120594

120597Δ119875

120597119905=1

119903

120597

120597119903(119903120597Δ119875

120597119903) 6 12

где 120607119927 = 119875119894 minus 119875 119875119894 minus начальное пластовое давление

35

Уравнение пьезопроводности решается практически во всех

аналитических моделях и выражается в них в радиальных формулах

Однозначно определенным объектом такого радиального решения служит

нагнетательная или добывающая скважина Выбранная система координат

наилучшим способом описывает моделирование радиального потока

относительно скважины

ГЛАВА 7 МОДЕЛИРОВАНИЕ ИССЛЕДОВАНИЙ

Уравнением описывающим процессы происходящие при исследованиях

ГДИ является уравнение пьезопроводности Данное уравнение (71) описывает

неустановившееся однофазное одномерное течение флюида в пористой среде и

выражает связь между пластовым давлением временем и расстоянием от

скважины до точки наблюдения Решение уравнения пьезопроводности (72) для

простого случая работы вертикальной скважины в бесконечном пласте позволяет

получить модель характеризующую перераспределение давления в пласте

1

120594

120597120549119875

120597119905=1

119903

120597

120597119903(119903120597120549119875

120597119903) (71)

∆119875(119905 119903) = minus9205119902119861120583

119896ℎ119864119894 (minus

1199032

000036120594119905) (72)

(q ndash дебит скважины м3сут B ndash объёмный коэффициент 120583 ndash

вязкость жидкости cпз k ndash проницаемость мД h ndash мощность пласта

м r ndash радиус м χ ndash пьезопроводность мД(спзатм-1) t ndash время ч)

Инструмент позволяет моделировать исследование ГДИ для случаев с

разным закачиванием скважин (вертикальная скважина вертикальная скважина

с гидравлическим разрывом пласта (ГРП) горизонтальная скважина

горизонтальная скважина с многостадийным ГРП) На первом этапе по заданным

свойствам пласта и флюида моделируется ГДИ описывающая изменение

забойного давления в скважине [1]

36

На следующем этапе моделирования строится билогарифмический график

(рис71) по которому специалисты ГДИ определяют свойства пласта Таким

образом создав синтетическое ГДИ можно предсказать как будет выглядеть

билогарифмический график исследования КВД (кривая восстановления

давления) характеризующего остановку скважины

Моделирование исследования ГДИ проводится для N ndash исходов (рис71) и

для разного времени длительности исследования t (50-100-150hellipчасов) в

результате чего инструмент определяет свойства пласта (проницаемость и

пластовое давление) по результатам исследования зависящих от времени

длительности ГДИ

Рис71 Результаты моделирования исследования ГДИ

ГЛАВА 8 ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИ ФИЛЬТРАЦИИ

ФЛЮИДОВ

811 Основа модели фильтрации к вертикальной скважине

Для самого начала рассмотрим самый простой случай движения флюида

в однородном бесконечном пласте начиная с начального постоянного давления

119927119946

В начальный момент t = 0 однотипно с началом первого цикла

эксплуатации у пласта коллектора начальное равномерное давление - 119927119946

ΔP(r t = 0) = 0 P(r t = 0) = Pi (8111)

Введем в рассмотрение граничное условие когда границы отсутствует

это сопоставимо что пласт-коллектор характеризуется бесконечной

протяженностью

0

05

1

15

2

25

-3 -2 -1 0 1 2 3

LO

G (

dP

) LO

G(P

`)

LOG(dt)

Билогарифмический график

LOG (P(t)-P(tp))

37

ΔP(r rarr infin t) = 0 P(r rarr infin t) = Pi (8112)

Второе граничное условие на радиусе скважины будет зависить от

условий на поверхности ствола (r = rw) Введем в рассмотрение единичную

вертикальную скважину радиусом 119953119960 которая полностью вскрывает

однородный изотропный коллектор с коэффициентом проницаемости k и

эффективной мощностью h добывает однородную малосжимаемую жидкость

вязкостью μ при стандартных условиях с дебитом Q м3 В условиях пласта объем

добываемого флюида составит Qsf = Qb (где b ndash объемный коэффициент

жидкости)

(119903120597119875

120597119903)119903=119903119908

=119902119861120583

2120587119896ℎ (8113)

Одной из удобных моделей моделировании фильтрации к скважине

является модель линейного источника которая является предельным случаем

скважины нулевого радиуса

119897119894119898 (119903120597119875

120597119903)119903rarr0

=119902119861120583

2120587119896ℎ (8114)

На практике прибегают к упрощению постановки задачи путем ввода

безразмерных переменных При решении задачи относительно новых

переменных позволяют интегрировать остальные параметры и в конечном счете

задача сводится к решению уникального набора уравнений которые легко

разрешаются аналитическим методом раз Физический смысл ввода

безразмерных параметров заключается в исключении из основного уравнения

параметров пьезопроводности пласта-коллектора с целью поиска обобщенного

решения с помощью которого переходя на изначальные размерные параметры

удается получить решение для определенного пласта и определить параметры

пьезопроводности и проводимости (Houzeacute O 2008)

119903119863 =119903

119903119908 (8115)

119905119863 =000036119896119905

1205931205831198881199051199031199082 (8116)

38

119875119863 =2120587119896ℎ

119902119861120583∆119875 (8117)

Далее вводим безразмерные параметры переходим к общей задаче

120597119875119863120597119905119863

=1

119903119863[120597

120597119903119863(119903119863

120597119875119863120597119903119863

)] (8118)

119875119863(119903119863 119905119863 = 0) = 0 (8119)

119875119863(119903119863 rarr infin 119905119863) = 0 (81110)

119897119894119898 (119903119863120597119875119863120597119903119863

)119903119863rarr0

= minus1 (81111)

Решая данное дифференциальное уравнение удобно применить

интегральные преобразования Принято при решении уравнения

пьезопроводности пользоваться особой формой линейных интегральных

преобразований являющиеся преобразованиями Лапласа Далее применяем к

уравнению (120597119875119863

120597119905119863=

1

119903119863[120597

120597119903119863(119903119863

120597119875119863

120597119903119863)] (811) преобразования Лапласа

s119875119863 =1

119903119863[120597

120597119903119863(119903119863

120597119875119863

120597119903119863)] (81112)13

Трансформанта Лапласа

119875119863 (119904 119903119863) = int 119875119863(119905119863

infin

119905119863

119903119863) exp(minus119904119905119863) 119889119905119863 (81113)

где s mdash это число достаточно велико чтобы мог существовать интеграл

действительная часть которого положительна Функция обозначенная чертой

сверху является образом (изображением) функции или результатом

интегрального преобразования Лапласа где подынтегральной функцией

является прообразом (оригиналом) Решение уравнения(811s119875119863 =

1

119903119863[120597

120597119903119863(119903119863

120597119875119863

120597119903119863)] (81112)13) можно представить через модифицированное

уравнение Бесселя нулевого порядка которое можно записать в следующем

виде

119875119863 (119904 119903119863) = 119860(119904)1198680(119903119863radic119904) + 119861(119904)1198700(119903119863radic119904) (81114)

39

1198680 и 1198700 являются модифицированными функциями Бесселя нулевого

порядка Значения коэффициентов A и B в уравнении определяются с помощью

подстановки граничных условий в уравнение Осуществляем подстановку

граничных условий из внешнего ГУ А(s)=0 B(s)= 1

119904 В итоге получаем

изображение решения для линейного источника в виде

119875119863 (119904 119903119863) =1

1199041198700(119903119863radic119904) (81115)

Для нахождения образа функции выполняем обратное преобразование

Лапласа полученного уравнения Данную операция можно выполнить с

помощью таблиц преобразований Лапласа (из таблиц в работах (Churchill RV

1972) и (Abramowitz M 1972))

119871minus1 (1198700(119903119863radic119904)) =1

2119905exp(minus

1198962

4119905) (81116)

Обобщаем выводим решение для линейного источника с безразмерными

параметрами

119875119863(119905119863 119903119863) = minus119864119894 (minus1199031198632

4119905119863) 119864119894(119909) = minus int

119890minus119910

119910119889119910

infin

minus119909

(811 14)

Где 119864119894(119909)-интегральная показательная функция Далее выполняем

обратное преобразование переходим на размерные величины

∆P(t 119903) = minusqBμ

2πkh119864119894 (minus

r2

4 lowast 000036120594t) (811 15)

Полученное решение уравнения в каждой точке и на каждом промежутке

времени удовлетворяет задаче фильтрации для скважины линейного источника

находящаяся в эксплуатируемом фонде скважин вскрывающая интервалом

перфорации эффективную мощность однородного бесконечного пласта-

коллектор Одним из выводов из решения уравнения пьезопроводности гласит

что поля релаксации перепада давления мгновенно перераспределяются по

пласту-коллектору Также стоить отметить существующее решение на дальнем

расстоянии от скважины 119903119894119899119907 вблизи которого перепад давления столь мал что

40

этим можно пренебречь Исходя из этого предположения можно определить

радиус исследования 119903119894119899119907 который характеризует размер области исследования

результат интерпретации которых зависят от свойства пласта и флюидов в

скважине [11]

При рассмотрении полей давления в пласте с бесконечной

протяженностью во время запуска скважины в работу на основании полученного

ранее решения уравнения (рис 8111) В первоначальный момент времени 1199051 =

0 забойное давление в скважине равно текущему пластовому давлению через

некоторый отрезок времени в интервале - 1199052 вокруг точки скважины

формируется так называемая laquoворонка депрессииraquo которая может

характеризовать неустановившийся режим течения При движение по временной

шкале воронка депрессии будет распространяться на более дальние расстояния

от скважины пока не достигнет определенной границы (119903119894119899119907=119903119908 +radic120594t) Если

рассматривать зеркально противоположный пример при остановке скважины

воронка депрессии будет становиться меньше и будет уменьшаться пока

значение давления в скважине не достигнет пластового и останется стабильным

Понятие радиального режима для течения флюидов в пласте является

основополагающим для интерпретации гидродинамических исследований Это

режим характеризует обстановку при которой скорость фильтрации и поля

давления имеют радиальную симметрию и линии тока в пласте направлены к

круговому цилиндру по радиусу от периферии пласта к скважине (Рис 1)

41

Рис 8111 Линии тока для вертикальной скважины при радиальной

фильтрации [6]

Решение линейного источника может достичь радиального режима с

определенного времени 119905119909 такую характерную зависимость можно проследить

на билогарифмическом графике (рис 8111) этот режим характеризуется

стабилизацией производной давления С помощью данного графика

проницаемость пласта вычисляется по формуле

119896ℎ = 119902119861μ lowast05

2120587∆Pстаб (81119)

При рассмотрения кейса решения уравнения пьезопроводности в случае

вертикальной скважины в цилиндрическом пласте-коллектора изменится гу на

г

р

а

н

и

ц

е

ц

и

л

и

н

(120597Δ119875

120597119903)119903=119903119890

= 0 (81120)

Аналогично ранее описанному алгоритму решению уравнения

пьезпроводности получим изображение депрессии

∆P (119904) =qBμ

2πkhlowast

lowast

1198680 (119903radic119904120594)1198701 (119903119890radic

119904120594)+ 1198681 (119903119890radic

119904120594)1198700 (119903radic

119904120594)

119903119908radic119904120594119904 [1198681 (119903119890radic

119904120594)1198701 (119903119908radic

119904120594)minus 1198681 (119903119908radic

119904120594)1198701(119903119890radic

119904120594]

(81121)

42

Аналитическое преобразование данного уравнения принимают

следующий вид (Van Everdingen AF and HurstW W 1953)

∆P(t 119903) =qBμ

2πkh

2

1199031198902 minus 119903119908

2(120594119905 minus

1199032

4) minus

1199031198902

1199031198902 minus 119903119908

2119897119899r

119903119908minus

1

(41199031198902 minus 119903119908

2)2lowast

lowast (31199031198904 minus 4119903119890

4119897119899119903119890119903119908minus 2119903119890

2 minus 1) +

+120587sum11986912 (120573119899

119903119890119903119908) [1198691(120573119899)1198840 (120573119899

r119903119908) minus 1198841(120573119899)1198690 (120573119899

r119903119908)]

120573119899 [11986912 (120573119899

r119890119903119908) minus 1198691

2(120573119899)]

infin

119899=1

119890119909119901 (minus1205731198992 120594119905

1199031199082) (81122)

1205731 1205732 и тдndash решения уравнений

1198841(120573119899)1198691 (120573119899r119890119903119908) minus 1198691(120573119899)1198841 (120573119899

r119890119903119908) = 0 (81123)

В поставленной формулировке задачи для выведенного уравнения

решения невозможно сходу подобрать обратное преобразование Лапласа с

помощью табличных значений (аналитической функции) (Abramowitz M 1972)

Однако можно выполнить найти решение выполнив его численно Для решения

задач нестационарной фильтрации флюидов применимы алгоритмы численного

обращения основанные на стохастических подходах (Stehfest H 1970) которые

предполагают что можно рассчитывать приближенное значение оригинала pa(T)

по найденному изображению p(s) в определённый момент времени t = T [13]

119901119886(119879) =1198971198992

119879sum119881119894

119873

119894=1

(119904)119904=1

1198971198992119879 (81124)

119881119894 = (minus1)(1198732)+119894

sum1198961198732(2119896)

[(1198732)

minus 119896] 119896 (119896 minus 1) (119894 minus 119896) (2119896 minus 119894)

min(1198941198732)

119896=(119894+1)2

(81125)

812 Приток к вертикальной скважине с трещиной ГРП

Ранее было выведены решения задачи фильтрации для вертикальных

скважин Метод источников который был применен также используется для

случаев скважин с более сложной геометрией ННС (наклоннонаправленных

43

скважин) ВС ГРП (вертикальный с гидроразрывом пласта) ГС ГРП

(горизонтальных с гидроразрывом пласт)

Функция Грина и метод источников применяется для решения двух- и

трёхмерных задач неустановившейся фильтрации Под источником понимается

некоторая точка поверхность или объем из области которых флюид отбирается

из пласта-коллектора или закачивается Строго говоря отбор жидкости должен

ассоциироваться со стоком а закачка с источником Под физической основой

источник можно сопоставить со скважиной бесконечно малого диаметра в

которую мгновенно закачивается конечное количество флюида[16]

Функции Грина и метод источников тесно связаны между собой Функция

Грина определяется для дифференциального уравнения со специальными

граничными условиями (заданный расход или давление) и соответствует

решению для мгновенного точечного источника С другой стороны функции

источников представляют собой решения данного дифференциального

уравнения с указанными граничными условиями и геометрией источника

Фундаментальное решение функции Грина (G (M Mrsquo τndasht)) для

неустановившегося потока флюида в пористой среде может соотнесено с

давлением в точке M (x y z) в определенный момент времени t которое

обусловлавливает мгновенный точечный источник единичной интенсивности

который создан в точке Mrsquo(xrsquo yrsquo zrsquo) во временя τ lt t Необходимо чтобы

функция Грина удовлетворяла уравнению пьезопроводности

120597119866

120597119905= 120594nabla2119866 81161

120597119875

120597120591= 120594nabla2119875 8122

int nabla2119891(119872)119889119872 =119863

int120597119891

120597119899Г

119889Г 8123

Используем свойства функции Грина можем применить терему Грина

(8123) с учетом (8122) (Gringarten AC and Ramey HJ 1973) получим

44

∆119875(119872 119905) =1

120593119888int int

Г119908(119872119908

prime 120591)119866(119872119872119908prime 119905 minus 120591

119905

0)119889119872119908

prime 119889120591 =

1

120593119888int 119905

0(120591)119878(119872119872119908

prime 119905 minus 120591)119889120591 8123

119878(119872119872119908prime 119905 minus 120591) = int 119866(119872119872119908

prime 119905 minus 120591)119889119872119908prime

Г119908 8124

где Г119908 ndash граница ствола скважины = minus119896

120583

120597119875

120597119899 ndash объём потока который

проходит через точку на поверхности внутренней границы 119872119908prime Применяем

интегрирование правой части данного уравнения (724) получаем

распределение точечных источников по площади длине и объему источника

Для разных конфигураций системы laquoисточник-пластraquo можно подобрать

табличные базовые функции соответствующих мгновенных источников (The

Society of Petroleum Engineers 2014)

В практике нефтегазовой отрасли практически на многих добывающих

скважинах проводиться МУН (метод увеличения нефтеотдачи) Одним из

распространенных методов интенсификации флюида является гидравлический

разрыв пласта (ГРП) который заключается в формировании высокопроводимой

трещины в продуктивном интервале пласте для увеличения притока флюида к

скважине

Поставим задачу решения уравнения фильтрации флюида к вертикальной

скважине с трещиной ГРП Из условий скважина полностью вскрывает пласт

эффективной мощностью h кровля и подошва пласта ограничена

непроницаемыми ровными горизонтальными границами Трещина ГРП

расположена симметрично относительно нормали ствола скважины полудлина

трещины - xf ширина - wf (wf ltlt xf) коэффициент проницаемости трещины kf

индекс laquofraquo характеризует трещину ГРП В горизонтальном направлении пласт

бесконечный (рис 8121 ndash 8122) Течение потока к трещине выражается

двумерным стоком флюида

45

Рис 8121 Вертикальная трещина (вид сбоку)

Рис 8122 Течение флюида к вертикальной трещине (вид сверху)

В ходе решения задачи стоит рассмотреть два типа течения

1) поток в трещине

2) поток в пласте с трещиной

1) Переходя к безразмерным переменным (8115-8117) запишем

уравнение пьезопроводности (8118) и граничные условия (8119-81110)

119901119891119863(119909119863 119905119863) =2120587119896ℎ (119901119894 minus 119901119891(119909 119905))

119902119908120583 (8125)

119905119863 =119896119905

1206011205831198881199051199091198912 (8126)

119909119863 =119909

119909119891 (8126)

119902119891119863(119909prime 120591) =

2119902119891(119909prime120591)

119902119908119909119891 (8127)

1198892119901119891119863(119909119863)

1198891199091198632

=120587

119865119862119863119902119891119863(119909119863) (8128)

119889119901119891119863

119889119909119863 119909119863=0=

120587

119865119862119863 (8129)

46

119889119901119891119863119889119909119863 119909119863=1

= 0 (81210)

Перепад значений давления между забойным давлением и в точке

трещины с координатой 119909119863 можно записать

119901119908119863 minus 119901119891119863(119909119863) =120587

119865119862119863[119909119863 minusint int 119902119891119863(119909

primeprime)119889119909primeprime119889119909prime119909prime

0

119909119863

0

] (81211)

2) Течение добываемого флюида из пласта-коллектора в трещину

можно рассмотреть как наличие нестационарного источника жидкости qf(xt) в

самой трещине Используя метод источников который был рассмотрен ранее

безразмерное давление в любой произвольной точке пласта

119901119863(119905119863 119909119863 minus 119909119908119863 119910119863 minus 119910119908119863) = int int 119902119891119863(120591 119909prime minus 119909119908119863)119866(120591 119909

prime 119909119863 minus1

minus1

1199051198630

119909119908119863 119910119863 minus 119910119908119863)119889119909prime119889120591 (81212)

(119909119908119863 119910119908119863) - безразмерные координаты точки забоя скважины в

горизонтальной плоскости (xy) ось 119909 направлена вдоль трещины

Записывается условие непрерывности давления в пласте и в трещине

119901119891119863(119905119863 119909119863) = 119901119863(119905119863 119909119863 0) (81213)

Следовательно уравнение (81211) принимает вид

119901119908119863 minusint int119902119891119863(120591 119909prime)119866(120591 119909prime 119909119863 0)119889119909

prime119889120591

1

minus1

119905119863

0

=120587

119865119862119863[119909119863 minusint int 119902119891119863(119905119863 119909

primeprime)119889119909primeprime119889119909prime119909prime

0

119909119863

0

] (81214)

Применяем преобразование Лапласа

119908119863(119904) minus int 119891119863(119904 119909prime)(119904 119909prime 119909119863 0)119889119909

prime =1

minus1

120587

119865119862119863[119909119863

119904minus

int int 119891119863(119904 119909primeprime)119889119909primeprime119889119909prime

119909prime

0

1199091198630

] (81215)

int 119891119863(119904 119909prime)119889119909prime

1

minus1

=1

119904 (81216)

47

Получили изображения Лапласа соответствующих функций ndash

оригиналов Решение системы производится путём дискретного разбиения

трещины по длине на 2n сегментов и записи данной системы в следующем виде

для каждого дискретного сегмента (рис 723)

Рис 8123 Схема разбиения трещины на сегменты

119908119863(119904) minussum119891119863119894

119899

119894=1

int (119904 119909prime d119909 (119895 minus1

2) 0) 119889119909prime

d119909119863119894

d119909119863(119894minus1)

+ int (119904 119909prime d119909 (119895 minus1

2) 0) 119889119909prime

d119909119863(minus119894+1)

d119909119863(minus119894)

+120587

119865119862119863[119889119909119863 ∙ 119895

119904minus (119889119909119863)

2sumsum119891119863119896

119894

119896=1

119895

119894=1

] (81217)

119889119909119863 ∙sum 119891119863119894

119899

119894=1

=1

2119904 (81218)

Изображение давления в любой точке пласта можно найти по формуле

119863(119904 119909119863 119910119863) = sum 119891119863119894 int (119904 119909prime 119909119863 119910119863)119889119909119863∙119894

119889119909119863(119894minus1)119889119909prime +119899

119894=1

int (119904 119909prime 119909119863 119910119863)119889119909119863∙(minus119894+1)

119889119909119863∙(minus119894)119889119909prime (81219)

Где 119891119863119894 ndash изображение функции мощности источников в каждом n

сегменте [17]

48

813 Основа модели фильтрации к горизонтальной скважине с МГРП

Задача притока добываемого флюида к горизонтальной скважине с

многостадийным гидроразрывом пласта (МГРП) схематично можно

представить как несколько одинаковых трещин соединенных общим

горизонтальным стволом Каждая трещина пресекает ствол горизонтальной

скважины в центре и является симметричной относительно ствола ((119909119908119863119895 119910119908119863119895)

Рис 8131 Схематическое изображение ГС с МГРП

Каждая трещина ГРП будет иметь равную полудлину 119909119891 и безразмерную

проводимость 119865119862119863 В модели существует предположение что течение флюида

внутри трещины является одномерным Следовательно поток флюида к

горизонтальному стволу скважины с n трещинами будет равен алгебраической

сумме потоков флюида от каждой трещины

119876 = sum 119876119895(119905)119899119895=1 = 119888119900119899119904119905 (8131)

Как ранее для общения задачи вводим безразмерные переменные

давление в точке пересечения скважины с j трещины - 119901119908119863119895 безразмерный дебит

- 119902119863119895 =119876119895

119876

Из условий бесконечной проводимости для горизонтального ствола

119901119908119863119895 = 119901119908119863 119895 = 1 119899 8132

Возмущение давление которое создается трещиной k в точке пересечения

119895 трещины со скважиной ndash 119901(120591)119863119895119896 equiv 119901119863(120591 119909119908119863119896 119910119908119863119896 119909119908119863119895 119910119908119863119895) применяя

принцип суперпозиции

119901119908119863(119905119863) = sum int 119902119863119895 ∙ 119901prime119863119895119896(119905119863 minus 120591)119889120591 8133

1199051198630

119899119895=1

49

Суммарный поток флюида от всех трещин будет фиксирован

sum 119902119863119895119899119895=1 = 1 и с преобразованием Лапласа - sum 119863119895

119899119895=1 =

1

119904 8134

Преобразование Лапласа для 734 р119908119863119895 = sum 119904119863119895119863119895119896119899119896=1 8135

119863119895119896 = int 119891119863(119904 |119909119908119863119896 minus 119909prime|)(119904 119909119908119863119896 minus 119909prime 119909119908119863119895 119910119908119863119896 119910119908119863119895)119889119909

prime

119909119908119863119896+1

119909119908119863119896minus1

8136

119863119895119896 =sum119891119863119894 int (119904 119909119908119863119896 minus 119909prime 119909119908119863119895 119910119908119863119896 119910119908119863119895)119889119909prime

119889119909119863∙119894

119889119909119863(119894minus1)

119899

119894=1

+ int (119904 119909119908119863119896 minus 119909prime 119909119908119863119895 119910119908119863119896 119910119908119863119895)119889119909prime

minus(119894minus1)∙119889119909119863

minus119894∙119889119909119863

8137

Мощность источников 119891119863(119904 |119909119908119863119896 minus 119909prime|) вычисляется из (81217-

81218) где 119889119909119863 =1

119899 ndash безразмерная длина каждого n сегмента 119891119863119894 -

безразмерная скорость течения через i элемент

Система уравнений (8134-8137) записывается в виде [8]

А = 8138

= (

1199081198631198631⋮119863119899

) 8139

А = (

1 minus119904 ∙ 11986311 ⋯ minus119904 ∙ 1198631119899⋮ ⋮ ⋱ ⋮

1 minus119904 ∙ 1198631198991 hellip minus119904 ∙ 1198631198991198990 1 hellip 1

) 81310

= (

0⋮01 119904frasl

) 81311

50

Для вычисления матричных элементов 119863119895119896 необходима информация о

мощности потока в из всех 119899 трещин ГРП Если считать что каждая трещина ГРП

делится на 2119898 сегментов (рис 8123) тогда система (81310) будет содержать

(1 + 2119898 times 119899) количество уравнений относительно следующих неизвестных

119908119863 11989111986311 hellip 119891119863(2119898)1 hellip 1198911198631119899 hellip 119891119863(2119898)119899 где в 119891119863119894119895 ndash течение через i-й

сегмент в j-й трещине Пользуясь упрощенным подходом можем переписать в

следующем виде[19]

forall119895 isin 1hellip119899 forall119896 = 1hellip119898 ∶ 119891119863119895119896 = 119863119895 ∙ 119891119863119896 81312

При определении мощности источников используется допущение что на

распределение мощности источников внутри каждой из трещин соседние

трещины оказывают слабое влияние Можно предположить что распределения

мощности потока в трещинах симметричны относительно точки пересения со

стволом скважины Элементы матрицы А в (81310) получают по формуле

(8137)

119863119895119896 =sum119891119863119894 int (119904 119909119908119863119896 plusmn 119909prime 119909119908119863119895 119910119908119863119896 119910119908119863119895)119889119909

prime

119889119909119863∙119894

119889119909119863(119894minus1)

81313

119899

119894=1

где функция (hellip ) определяется по табличным формулам в зависимости

от граничных условий и типа зоны дренирования

Для решения СУ используется выражение матрицы в виде произведения

дву нижней треугольной и верхней треугольной (LU-декомпозиция) (Ортега

Дж 1991) Так называемое LU-разложение (LU-декомпозиция) mdash

представление выражение определенной матрицы в виде произведения двух

матриц A = LU где L mdash нижняя треугольная матрица а U mdash верхняя

треугольная матрица [15]

Ниже представлены применяемые в данной работе функции источников

в пространстве Лапласа

Таблица 8131 Функции линейных стоков

51

Тип условий на

границах

Функции линейных стоков

119899119899119899119899 =

=120587

2119909119890119863coshradic1199041198631 + coshradic1199041198632

radic119904 sinhradic119904119910119890119863

+ 2sumcos119896120587119909119863119909119890119863

cos 119896120587(119909119908119863 minus 119909prime)

119909119890119863

cosh 1205981198961198631 + cosh 1205981198961198632120598119896 sinh 120598119896119910119890119863

infin

119896=1

0 17

119888119888119888119888

=120587

119909119890119863sumsin119896120587

119909119863119909119890119863

sin 119896120587|119909119908119863 minus 119909prime|

119909119890119863

cosh 1205981198961198631 minus cosh 1205981198961198632120598119896 sinh 120598119896119910119890119863

infin

119896=1

0 18

119888119899119888119899 =

=120587

2119909119890119863coshradic1199041198631 minus coshradic1199041198632

radic119904 sinhradic119904119910119890119863

+ 2sumcos119896120587119909119863119909119890119863

cos 119896120587(119909119908119863 minus 119909prime)

119909119890119863

cosh 1205981198961198631 minus cosh 1205981198961198632120598119896 sinh 120598119896119910119890119863

infin

119896=1

0 19

Где 119909119890119863 =119909119890

119909119891 119910119890119863 =

119910119890

119909119891 1198631 = 119910119890119863 minus |119910119863 minus 119910119908119863| 1198632 = 119910119890119863 minus (119910119863 + 119910119908119863) 120598119896 =

radic119904 + 11989621205872 1199091198901198632frasl 119909119890 ndash размер площади дренирования по оси x 119910119890 ndash размер

площади дренирования по y 119899 значает границу отсутствия перетока 119888

означает границу постоянного давления

82 РЕАЛИЗАЦИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ИССЛЕДОВАНИЙ

В настоящей работе реализовано решение задачи фильтрации о

нестационарном притоке флюида к скважине при постоянном заданном дебите

для скважин с разным типом заканчивания (вертикальная скважина и

горизонтальная скважина с трещинами МГРП) Математическая модель описана

для задач (Главы 811-813) реализована на языке программирования VBA

Входные параметры приведены на рис 821 Параметры границ задаются

в виде прямоугольника (рис823) Параметры скважины флюида и пласта

задаются при помощи априорной информации Проницаемость рассматривается

как распределение полученных ранее (главе 3)

y

x

y

x

y

52

В ходе решения задачи строится график - кривая стабилизации давления

зависимость изменения забойного давления от времени (рис823)

Рис 821 Входные параметры для модели

Рис 822 Расположение горизонтальной скважины в границах

53

Рис 823 Кривая стабилизация давления

На следующем этапе по последней точке определяется значения kmodel В

зависимости от длительности исследования будь то 50 часов 100 часов и более

будет зависеть погрешность результата определения свойств пласта по

отношению к истинным параметрам (рис 821) К тому же от времени

исследования будут зависеть Capex на проведения исследования

Рассчитанное значение модельное kmodel затем сравнивается с исходным

заданным значением kist В результате получаем отношение модельного значения

kmodel после проведения ГДИ к kist в зависимости от длительности ГДИС (рис

822)

Рис 821 График производной забойного давления

54

Рис 822 Отношение kmodel kist для скважины 11РО

Полученные по проницаемости параметры умножаются на эффективную

мощность пласта-коллектора и затем рассчитанное распределение

интерполируется с другими параметрами в скважинах в точку проектной

По результатам моделирования распределения свойств пласта будут

изменяться уменьшение дисперсии при увеличении длительности исследования

(рис823) Идеальным исследованием считается исследование с длительностью

достаточной для достижения производной давления на билогарифмическом

графике радиального режима течения что указывает на достоверность

параметров по результатам ГДИ (проницаемость и пластовое давление) Чем

ближе длительность исследования к идеальному ГДИ тем ниже

неопределенность в параметрах и тем ближе распределение к идеальному

Моделирование разной длительности исследования проводиться для N ndash

распределений (рис2)

Результаты смоделированного ГДИ позволяют снизить неопределенности

(сузить распределение) в свойствах пласта в точке проектной скважины Для

интерполяции в точку проектной скважины используется метод сплайн ndash

интерполяции [18]

tk model 10 20 30 40 50 60 70 80

50 2288169 1501385 1150108 0948723 0808706 0717031 0640296 0581876

100 1496394 0948581 0717744 0581513 0484438 0414342 0361937 0319311

150 1107448 0689761 0503907 0394864 0322636 0269636 0233048 0203542

200 0949817 0580742 0417822 0318936 0259364 021555 0186095 0163468

250 0818194 0486803 0338246 0259062 0206736 0173204 014824 0129707

300 0705787 0408828 0281063 0211366 0169381 0142083 012167 0106692

350 0627933 0351884 023841 017996 0144702 0119968 0103063 0090319

400 0562852 0307024 0207063 0155316 0124788 010441 0089458 0078395

450 0510211 0272553 0183196 013788 0110431 009172 0079061 0069165

500 0463384 0245037 0164854 0123914 0099043 0082679 007078 0061913

55

Рис823 Изменение распределения в зависимости от времени исследования ГДИ

На рис 824 показано распределение значений проницаемости с учетом

разной длительности исследований ГДИ

Полученное распределение kh в проектной скважине до ГДИ

характеризовалось большей дисперсией по сравнению с распределением после

проведенного ГДИ на скважине

Рис 824 Распределение kh на проектной скважине

ГЛАВА 9 РАСЧЕТ ЭКОНОМИЧЕСКОГО ЭФФЕКТА

ЦЕННОСТИ ИНФОРМАЦИИ

Ожидаемая прибыль запланированной к бурению скважины до проведения

ГДИ рассчитывается с учётом исходного распределения после ГДИ

0

001

002

003

004

005

006

007

008

009

1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800

Пл

отн

ость

вероятн

ости

Пластовое давление атм

Распределения пластового давления

Время длительности ГДИ 50 часовВремя длительности ГДИ 100 часовВремя длительности ГДИ 150 часовВремя длительности ГДИ 200 часов (идеальное исследование)

56

рассчитывается для каждого дискретного варианта исхода из N-возможных и для

разных времен длительности исследования t

На первом этапе расчёта прибыли по методу Монте-Карло определяются

значения проницаемости и пластового давления с вероятностями распределения

равными 10 50 90 и оценивается запускное значение дебита скважины По

соседним скважинам определяются темпы падения дебита скважины

усредненный темп падения используется для проектной скважины

Произведение запускного значения дебита и усредненного темпа падения

характеризует профиль добычи проектной скважины На основе профиля

добычи оценивается NPV проектного бурения который учитывает

операционные затраты и капитальные расходы проекта При оценке NPV после

запланированного исследования в капитальных затратах учитываются расходы

на проведение ГДИ стоимость интерпретации исследования инструментальные

замеры

Ожидаемая ценность EMVwi после проведения ГДИ рассчитывается как

сумма отдельно взятых N - исходов умноженных на соответствующие

вероятности исходов (91)

119864119872119881119908119894 (119905119894) = 1198641198721198811199081198941(119905119894) lowast 1198751 + 1198641198721198811199081198942(119905119894) lowast 1198752 +⋯

+ 119864119872119881119908119894119873(119905119894) lowast 119875119899 =sum119864119872119881119908119894119895(119905119894)

119873

119895=1

(91)

Чистый дисконтированный доход рассчитывается по формуле (92) где

CF ndash денежный поток r ndash ставка дисконтирования I ndash сумма инвестиционных

вложений Непосредственно CF (денежный поток) будет определяться

количеством добываемого флюида [18]

119873119875119881 = sum119862119865119905

(1 + 119903)119905minussum

119868119905(1 + 119903)119905

(92)

Инвестиционные вложения включают операционные затраты ndash Opex

повседневные затраты компании для ведения бизнеса производства товаров и

57

услуг и капитальные затраты - Capex расходы на приобретение или обновление

необоротных активов При проведении ГДИС затраты на спускподъём

оборудования интерпретацию исследования инженером и потеря в прибыли

связанные с остановкой скважины учитываются в Capex

91 EMV БЕЗ УЧЕТА ПРОВЕДЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ

Дебит ndash это ограниченный объем добытой жидкости через скважину за

определенное время Оценки производительности скважин и расчет добычи

скважины проводятся на основе запускного дебита скважины и усредненного

темпа падения дебита на соседних скважинах на протяжении 25 лет В основном

темпы падения строятся исходя из истории эксплуатации на месторождении

анализируется весь набор данных на заданный пласт

Запускной дебит может быть рассчитан по следующим формулам в

зависимости от типа скважины [9]

1) Вертикальная скважина c ГРП

119902 =2120587119896ℎ(119875119894minus119875119908)

120583119861(119897119899119877119890119877119908minus075+119878)

119878 = 1198971198992119903119908

119909119891 (911)

2) Горизонтальная скважина с МГРП

119902 = 2120587kℎ ( 119875119894 minus119875119898

2+119875119908

2) + 119898119876119863 (912)

119876119863 =2120587kℎ(119875119894minus119875119908)

120583119861(119897119899119877119890119877119908minus075+119878)

(913)

С помощью расчёта запускных дебитов а также анализа работы

окружающих скважин были получены результаты темпов падения на рисунке

911 изображены темпы падения с вероятностью Р50 нефти и жидкости за 25 лет

для определенной скважины Также построена гистограмма с накопленной

добычей (рис 911)

58

Рис 931 Темпы падения для скважины

Рис 911 Гистограмма распределения добычи нефти

для скважины 716 до ГДИ

Геологические риски и неопределенности определяют необходимость

создания вероятностной оценки дебитов запасов профилей добычи

Вероятностная оценка по границам возможной минимальной и максимальной

эффективности поможет минимизировать инвестиционные риски проекта

Модуль вероятностной оценки дебитов запасов профилей добычи

основан на теории вероятностей и математической статистики [12] По

многочисленным входным параметрам задаются диапазоны ожидаемых

величин и тип распределения - по проницаемости эффективной

нефтенасыщенной толщины пласта пластовому давлению Источник

информации ndash фактические параметры полученные с карт и распределение с

59

ошибкой их построения Чем меньше неопределенностей тем меньше дисперсия

и разброс ожидаемых параметров в возможных диапазонах

Следующим этапом переходим к расчету экономических параметров

(NPV) по найденным значениям добычи за 25 лет На рисунке изображена

гистограмма NPV и указаны количественные оценки накопленной добычи и NPV

для вероятностей P10 P50 P90 (табл 911)

Рис 04 Гистограмма распределения NPV для скважины 716 до ГДИ

Таблица 921 Показатели добычи и NPV

Вероятность Накопленная добыча нефти тыст NPV млнруб

P10 1937 3012

P50 1128 1547

P90 597 585

60

С помощью выполненных расчетов (табл 911) ожидаемая ценность

проекта бурения скважины без проведения исследований (EMVwoi) составляет

16011 млн рублей

92 EMV БЕЗ УЧЕТА ПРОВЕДЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ

Расчет экономических параметров в случае модерирования исследований

проводится аналогичным образом Для расчета добычных показателей

планируемой скважины рассчитывается также по формулам 911-913 В этом

случае значения проницаемости и пластового давления задаются с помощью

уточнённые параметров после ГДИ с меньшей дисперсией

На рисунке 921 представлено распределение значений пластового

давления умноженного на эффективную нефтенасыщенную толщину после

ГДИ длительностью 150 часов

Рис 921 Гистограмма распределения NPV для скважины после ГДИ длительностью

150 часов

Расчет экономических параметров помимо операционных затрат (OPEX)

в случае моделирования ГДИ будет включать еще Capex ndash это затраты

проведенного исследования (инструментальные замеры спускоподъёмные

операции) который в свою очередь будут зависят от длительности проведения

исследований Также будут включены затраты на работу интерпретатора

исследований которые уже не будут зависеть от длительности В написанном

61

модуле также учитывается потеря прибыли на время остановки скважины

количественно потери будут определяться длительностью остановки скважины

на проведения ГДИ

62

ГЛАВА 10 РЕЗУЛЬТАТЫ

Реализованный модуль в данной работе позволяет определить

необходимость проведения гидродинамического исследования и выдать

рекомендации по продолжительности исследования составить ранжированный

список скважин по эффективности проведения исследований

В таблице 101 представлены результаты экономических параметров и

расчет VOI На графике (рис 101) построенным в осях VOI в зависимости от

времени исследования можно оценить экстремум функции как оптимальное

время для проведения исследования По представленным результатам

целесообразно провести ГДИ на скважине 3 длительностью от 150 часов так как

ценность полученной информации будет наибольшей

Таблица 101 VOI при проведении ГДИ на скважине 3

Продолжительность ГДИ

EMV1 EMV

2 VOI

Целесообразность исследования

50 16116 16111 005 + 100 16135 16111 024 + 150 16198 16111 087 +

200 16127 16111 016 +

250 16033 16111 -078 - 300 16021 16111 -09 -

В случае горизонтальных скважин также был произведен анализ

ценности информации рассчитаны параметры VOI от длительности по времени

Однако для выхода на радиальный режим для случаев горизонтальных стволов

скважин на рассматриваемом месторождении N необходимо более 500 часов что

существенно увеличивает капитальные затраты При расчете большой

длительности на проведения ГДИ обычно скважину не останавливают так как

эти исследования являются крайне затратными В таблице 202 указаны расчёты

при проведении исследования на горизонтальной скважине 5

63

Рис 101 Зависимость VOI от длительности ГДИ

Таблица 102 VOI при проведении ГДИ на скважине 5

Продолжительность ГДИ

EMV2 EMV

1 VOI

Целесообразность исследования

50 1603 1611 -078 - 100 1606 1611 -054 - 150 161 1611 -013 - 250 1612 1611 012 - 350 1611 1611 -006 - 500 1614 1611 024 +

Таблица 103 Ранжированный список скважин-кандидатов для проведения ГДИС

Скважина VOI (t=50) VOI (t=100) VOI (t=150) VOI (t=200) VOI (t=250) VOI (t=300)

3 005 024 087 016 -034 -078 1 003 015 036 073 -021 -064 4 002 012 024 054 -011 -057 2 001 009 011 031 042 -03

Модуль автоматически перебирает выбранный список скважин для

бурения проектной скважины и ранжирует их по ценности информации

проведенных исследований также предлагает наиболее оптимальное время

исследований исходя из экономических параметров (таблица 103)

Апробация и оптимизация инструмента оценки необходимости

проведения гидродинамического исследования проводится на одном из активно

-15

-1

-05

0

05

1

15

0 50 100 150 200 250 300 350

VO

I м

лнр

уб

Длительность ГДИ ч

VOI (Проведение ГДИ нецелесообразно)

VOI (Проведение ГДИ целесообразно)

64

разбуриваемых месторождений В данной работе проводилась аналитика для

бурения 10 проектных скважин По результатам моделирования ГДИ на

скважинах вблизи проектной была проведена оценка ценности информации от

запланированного исследования На рис102 представлена зависимость

определенного VOI от длительности ГДИ если график расположен выше нуля

(VOI gt 0) исследование экономически обосновано проводить Определив

экстремум функции определяется оптимальная длительность исследования

Приводя пример в рассчитанном кейсе для бурения скважины X наиболее

выгодно провести исследования в 3 скважине длительностью 150 часов

Рис 102 Зависимость VOI от длительности ГДИ в скважинах 1234

-1

-05

0

05

1

0 100 200 300 400

VO

I

Длительнось ГДИ

Скв 3 Скв 1 Скв 4 Скв 2

65

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

По результатам магистерской диссертации был реализован инструмент для

оптимального планирования гидродинамических исследований на этапе бурения

проектных скважин с помощью метода VOI

Предложенный в данной работе метод позволяет определить не только

необходимость проведения гидродинамического исследования но и выдать

рекомендации по оптимальной продолжительности исследования

Смоделировав исследования ГДИ на нескольких соседних от проектных

скважин инструмент позволяет ранжировать скважины ndash кандидаты для

гидродинамических исследования по величине ценности информации VOI

В процессе реализации предложенной методики работы было выполнено

следующее

1 Автоматический анализ данных по ранее проведенным

исследованиям определение геологической неопределенности

интересующих параметров (пластовое давление проницаемость) по

всему эксплуатационному фонду скважин на месторождении N

2 Модуль сплайн-интерполяция на языке программирования Python с

помощью которого интерполируются значения параметров

решается задача о нестационарном притоке к скважине с помощью

языка программирования VBA в котором учитываются результаты

моделирования синтетического ГДИ

3 Расчёт плановых показателей добычи на основе распределений Рпл

и kh до проведения исследования и после него в зависимости от

времени исследований

4 Экономический анализ эффективности проведения исследований на

основе методики VOI по результатам которого выполняется

ранжирование скважин по информативности исследований

66

По результатам расчёта на месторождении N выяснили что для бурения

скважины X наиболее эффективно останавливать на ГДИ скважину 3 с

длительностью исследования 150 часов

В заключении реализованный модуль позволяет оценить

целесообразность проведения ГДИ и самое важное экономическое обоснования

планируемых исследований

Возможности реализованного модуля

Автоматизированный анализ геологической неопределённостей по

фильтрационным-емкостным свойствам и пластовому давлению в

зоне планируемого бурения

Экономическое обоснование по проведению гидродинамических

исследований в зоне бурения проектных скважин

Определение оптимальной длительности ГДИС

Ранжирование скважин по информативности проведения

исследований

Экономическое обоснование затрат на ГДИС и последующими

решениями по оптимальному планированию ГДИС на основе

ценности информации

67

ОХРАНА ТРУДА

Преобладающее время по написанию выпускной квалификационной

работы проводилось за персональным компьютером

Согласно рекомендованной инструкцией по охране труда во время работы

на компьютере ТОИ Р-45-084-01 и также при его эксплуатации могут возникнуть

негативное влияние на работника следующие вредные производственные и

опасные факторы

повышенные уровень электромагнитного воздействия

высокая степень статического электричества

низкий уровень ионизации воздуха

нагрузки которые связанны с продолжительным временем сидячим

положением

повышенная нагрузка на органы зрения

болевые симптомы в позвоночнике и пояснице в связи

продолжительным сидячим положением а также венозная

недостаточность и стресс

Для рационального выбора организации рабочего процесса необходимо

минимизировать опасное воздействие на здоровье работающего а также

выполнить все требования эргономики и обезопасить свое рабочее место

Требования к минимизации нагрузки на органы зрения

Высокая нагрузка на органы зрения приводит к ухудшению зрения

возникновению близорукости и других заболеваний что также провоцирует

мигрень и головные боли повышается раздражительность нервное состояние

которое может привести к стрессу

Для избежание негативного воздействия на органы зрения необходимо

уделить особое внимание освещению как помещения так же и рабочих мест так

как степень освещенности напрямую зависит от интенсивности зрительного

напряжения Основное освещение следует размещать сплошными или

прерывистыми линиями светильников которые могут располагаться сбоку от

68

рабочих мест а также параллельно линии зрения рабочего при линейном

расположении мониторов компьютера Если же ПК расположены по всему

периметру помещения тогда линию светильников или ламп следует

расположить локализовано над каждым рабочим местом

Безопасная и рекомендуемая норма освещенности для работника в системе

освещения составляет mdash 150 minus 200 лк По правилам допускается расположение

ламп локального освещения Персональное освещение не должно

способствовать возникновению бликов на поверхности самого экрана а также

освещенность экрана не должна превышать 300 лк Безопасным считается

освещение рабочих мест люминесцентными лампами ЛБ белого света которые

должны использоваться в помещениях с нормальными условиями труда

Экран должен характеризоваться освещенностью не более 300 лк Яркость

ламп основного освещения в части зон углов излучения 50 minus 90∘ в продольной и

поперечной с вертикалью плоскостях может составлять менее 200кдм также

защитный угол светильников может составлять более 40∘

В виде источников света особенно при условии искусственного освещения

следует применять люминесцентные лампы ЛБ (белый свет) и ЛТБ (тепло-

белый) с характеристиками мощностью 40Вт или 80Вт обладающие высокой

световой отдачей (до 120лмВт и более) у которых продолжительный срок

службы (до 10000ч)

В лампах локального освещения допускается использование ламп

накаливания также галогенных Не допускается использование светильников без

рассеивателей и экранных решеток

Организация рабочего места в связи с активностью оператора

Сфера работы оператора ЭВМ характеризуется пониженной мышечной

активностью а также длительным напряжением мышц в статике особенно шеи

рук спины и ног что может привести к утомлению Состояние утомления

существенно возрастает особенно при неоптимальной высоте рабочего стола и

сидения у которого отсутствует опорная спинка или подлокотник а также

острых углах наклона головы нерациональным и неудобном размещении

69

видеотерминала документов и клавиатуры неудобном угле наклона

поверхности экрана отсутствии подставки для ног

Сиденье должно быть удобным и обеспечивать поддержание правильной

рабочей позы которое будет позволять изменять положение с целью

уменьшение напряжения мышц шейно-плечевой области Лучший способ - это

когда рабочее кресло оборудовано подъемно-поворотным которое регулируется

по высоте и по углам наклона спинки причем регулировка каждого параметра

должна быть независимой

Рабочее место работника следует обеспечить подставкой для ног (п 93 и

105 СанПиН 222241340-03) Поверхность подставки обязательно должна

быть рельефной и характеризоваться высотой переднего края 10 мм

Требования пожаробезопасности

Согласно ГОСТ 121004-91 следует помнить о существующих мерах

предосторожности и опасных факторах огонь пламя и дым также высокая

температура токсичные продукты горения и их термическое разложение

сниженная концентрация кислорода Противопожарную защиту обеспечивают

следующими мерами

Использование средств пожаротушения наличие сигнализации и

устройств тушения в помещениях которые способны ограничивать

распространение пожара наличие специальных средств индивидуальной

защиты

Противопожарные перегородки и отсеки устройства автоматического

отключения систем

Специальная планировка эвакуационных выходов

Системы оповещения людей по громкоговорителю

Технические средства для эвакуации людей

Присутствие огнетушащих веществ

70

Система вентиляции здания должна содержать оборудования и устройства

которые обеспечивают автоматическое отключение при пожаре и

огнедымозадерживающими устройствами Система электропитания

персонального компьютера должна иметь блокировку которая отключает его в

случае пожара

71

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1 Байков ВА Бакиров НК Яковлев АА Математическая геология

учебное пособие ndash Москва-Ижевск 2012 ndash 228с

2 Гуляев Д Н Кокурина В В Кременецкий М И и др Формирование

системы промыслового мониторинга на основе долговременных иссле-

дований стационарными датчиками на приеме насоса Нефтяное хозяй-

ствоraquo 12 2009 С 41ndash44

3 Демьянов В В Савельева Е А Геостатистика теория и практика

учебное пособие ndash Москва 2010 ndash 327с

4 Каневский МФ Демьянов ВВ Савельева ЕА и др Элементарное

введение в геостатистику Москва ВИНИТИ 1999 ndash 136с

5 Каневская Р Д Математическое моделирование разработки месторож-

дений нефти и газа с применением гидравлического разрыва пласта М

Недра-Бизнесцентр 1999 ndash 212 с

6 Кременецкий М И Ипатов А И Гуляев ДН Информационное

обеспечение и технологии гидродинамического моделирования нефтяных

и газовых залежей [Книга] - Москва-Ижевск Ижевский институт

компьютерных исследований 2011 ndash 896с

7 Леонтьев Н Е Основы теории фильтрации [Книга] - Москва ЦПИ при

механико-математическом факультете МГУ 2009 ndash 88с

8 Ортега Дж Введение в параллельные и векторные методы решения

линейных систем [Книга] - Москва Мир 1991 ndash245с

9 Abramowitz M IA Stegun Handbook of Mathematical Functions [Книга] -

New York Dover Publications Inc ndash 1972

10 Churchill RV Operational Mathematics [Книга] - New York McGraw-Hill

Book Co Inc ndash 1972

11 Gringarten AC and Ramey HJ The Use of Source and Greenrsquos Functions in

72

SolvingUnsteady-Flow Problems in Reservoirs [Книга] - SPEJ 1973 ndash245с

12 Houzeacute O Viturat D Fjaere O-S Dynamic data analysis [Книга] - Kappa

2008

13 Joshi SD Horizontal Well Technolog [Книга] - Tulsa Oklahoma Penwell

Published Compan 1991

14 Stehfest H NumericalInversionof LaplaceTransforms [Книга] -

Communicationsofthe ACM 1970

15 The Society of Petroleum Engineers Введение в нефтяной инжиниринг

[Книга] - Москва-Ижевск Институт компьютерных исследований 2014

16 Van Everdingen AF and HurstW W The Application of the Laplace

Transformation to Flow Problems in Reservoirs [Книга] - AIME 1953

17 Stehfest H NumericalInversionof LaplaceTransforms

Communicationsofthe ACM 1970

18 Gringarten AC and Ramey HJ The Use of Source and Greenrsquos Functions in

SolvingUnsteady-Flow Problems in Reservoirs бм SPEJ 1973

19 Jan R Williams Susan F Haka Mark S Bettner Joseph V Carcello

Financial amp Managerial Accounting 2008

10

Снижение диапазона неопределённости позволяет принять более

эффективные инвестиционные решения и тем самым повысить ценность

проекта Оценка наиболее оптимальных решений до и после проведения

исследования входит в оценку EMV по веткам дерева решений что позволяет

оценить VOI от проведения работ

Ценность информации будет являться нулевой в случаях если информация

не приносит снижения диапазона неопределенности и если снижение

неопределенности не несет никаких изменений в дальнейших решениях по

проекту Оценка ценности информации позволяет на количественном уровне

оценить экономическую целесообразность проведения ГДИ и вовремя

отказаться от проведения неэффективных исследований тем самым увеличив

стоимость проекта

ГЛАВА 2 ОБЗОР ВХОДНЫХ ДАННЫХ

Реализованный модуль прошел апробацию на восточной части

месторождения N В текущей постановке предложенная методика для оценки

ценности информации и необходимости проведения гидродинамических

исследований проводилась на стадии планирования бурения (Рис 01 Карта

проницаемости пласта месторождения N)

11

Рис 01 Карта проницаемости пласта месторождения N

Месторождение N как и многие давно разрабатываемые активы покрыты

частой сеткой гидродинамических исследований в скважинах Однако

превосходящая часть этих исследований была осуществлена в течении 3-4 лет

назад данный факт существенно снижает корректность информации

полученной в результате исследований о текущем пластовом давлении и

фильтрационно-емкостных характеристиках пласта

Проницаемость горных пород пласта - это способность пород пласта-

коллектора пропускать флюид (жидкость воду и газ) при депрессии на пласт

Проницаемость является фильтрационным параметром горной породы который

определяет скорость фильтрации жидкости в среде Проницаемость пористой

среды будет зависеть не только от размера и расположения пор относительно

друг друга но также от характера движения фильтрующихся флюидов (нефть

вода газ)

Пластовое давление (Рпл) ndash это параметр который характеризует энергию

нефтегазоносных пластов Пластовым называют давление которым флюиды

воздействуют на вмещающие их породы Это давление возникает из

гидростатического давления то есть избыточного давления (архимедовой силы)

которое возникает в результате изменения объёма резервуара (порового

пространства пласта) и так же за счёт расширения (или сжатия) флюидов и

изменения их массы вследствие эксплуатации скважинами Существуют

понятия начального пластового давления и текущего пластового давления

Начальное определяют как исходный показатель которым характеризовался

пласт до вскрытия скважиной Текущим пластовым давлением определяют как

меняющийся в ходе разработки месторождения динамический параметр Один

из важных параметров в процессе разработки месторождения ndash это дебит

скважины (q определяют как объём флюида (воды нефти или газа) поступает в

единицу времени) Данная характеристика напрямую будет зависеть от

величины пластового давления и емкостных-фильтрационных свойств пласта

119875пл ndash динамический параметр по этой причине для эффективной разработки

12

месторождения необходима информация о текущем энергетическом состоянии

пласта и его проницаемости

Пластовое давление и проницаемость могут быть получены в результате

интерпретации гидродинамических исследований (глава 5) Однако

длительность исследований и их качество порой оказываются недостаточными

для корректного определения этих параметров В данной работе реализуется

алгоритм моделирования синтетических исследований (глава 8) для оценки

погрешности в зависимости от их длительности

ГЛАВА 3 МЕТОДИКА ОПТИМАЛЬНОГО

ПЛАНИРОВАНИЕ ИССЛЕДОВАНИЙ

Результатом интеграции методологии ценности информации и

планирования гидродинамических исследований является реализованный

инструмент позволяющий определить необходимость проведения исследования

на действующей скважине вблизи проектной С целью определения VOI

инструмент последовательно решает следующие задачи

1 Определение исходных распределений проницаемости (k) и

пластового давления в действующих скважинах (глава 2)

2 Интерполяция исходных распределений в точку проектной

скважины (глава 4)

3 Моделирование исследований ГДИ на действующих скважинах

расположенных вблизи проектной скважины и определение распределений

проницаемости и пластового давления с учётом результатов исследований (глава

8)

4 Интерполяция измененных распределений в точку проектной

скважины (глава 4)

5 Расчёт ожидаемой прибыли проектной скважины без проведения

исследования ГДИ (EMVwoi) (глава 91)

13

6 Расчёт ожидаемой прибыли проектной скважины с учётом

проведения исследования ГДИ (EMVwi) (глава 92)

При проектировании скважины значения проницаемости и пластового

давления определяются по имеющимся картам распределения свойств В свою

очередь построение карт основывается на результатах проведения

гидродинамических исследований По причине наличия погрешностей при

построении карт распределения свойств и погрешностей в результатах

гидродинамических исследований значения проницаемости и пластового

давления с карт зачастую не являются аналогичными результатам ГДИ

На первом этапе инструмент оценивает распределение параметров

основываясь на определении отношения (έ) значений проницаемости и

пластового давления определенных по результатам ГДИ к значениям

определенным по картам пластового давления и проницаемости (рис1)

Параметр έ характеризует отклонения результатов исследований от карт и таким

образом описывает неопределенность в параметре Определив параметр έ для

каждого имеющегося гидродинамического исследования оценивается

распределение отклонений έ для каждого параметра (проницаемости и

пластового давления) Разработка методологии проводилась на существующем

месторождении в результате параметр έ для проницаемости имел

логнормальное для пластового деления нормальное распределение (рис31)

Распределения свойств пласта в точках существующих скважин до

проведения гидродинамического исследования определяется путем

произведения распределений έ на значение параметра пласта с актуальной карты

[1]

14

Рис31 Распределения отклонений значений проницаемости и пластового давления по

результатам ГДИ от значений с карт

На следующем этапе инструмент интерполирует исходные распределения

в точках действующих скважин в точку проектной скважины Для интерполяции

используется метод сплайн ndash интерполяции который оценивает значения

используя математические функции В результате интерполяции для проектной

скважины определяются распределения проницаемости и пластового давления

до проведения гидродинамического исследования

Возможные реализации проницаемости и пластового давления имеют

широкие исходные распределения и являются непрерывными величинами по

этой причине перед моделированием ГДИ исходные распределения в точках

существующих скважин разбиваются на N-количество дискретных исходов

(рис32) Количество исходов (N) определяется на основе точности

погрешности результатов ГДИ Точность результатов ГДИ определяется

экспертным образом Вероятности исходов определяются на основе данных

вероятностного моделирования путем деления всего диапазона исходов

значений N - дискретных исходов и определение количества реализаций

которые можно отнести к каждому исходу При моделировании 100 значений

проницаемости если скважина в 20 реализациях попала в первое распределение

вероятность должна быть определена 20

0

02

04

06

08

1

12

14

00 10 20

Пл

отн

ость

ве

ро

ятн

ости

έ = (Рпл по ГДИ) (Рпл с карт)

Распределение έ значений проницаемости

0

02

04

06

08

1

12

14

00 05 10 15 20

Пл

отн

ость

ве

ро

ятн

ости

έ = (119896 по ГДИ) (119896 с карт)

Распределение έ значений пластового давления

15

Рис 32 Разбиение исходного распределения пластового давления на дискретные

значения

Для оценки распределений свойств пласта в точке проектной скважины

после проведения гидродинамического исследования необходимо создать

синтетическое ГДИ Моделирование запланированного ГДИ проводится путём

решения задачи о нестационарном притоке к скважине с постоянным дебитом на

основе исходных распределений свойств пласта

Уравнением описывающим процессы происходящие при исследованиях

ГДИ является уравнение пьезопроводности Данное уравнение (31) описывает

неустановившееся однофазное одномерное течение флюида в пористой среде и

выражает связь между пластовым давлением временем и расстоянием от

скважины до точки наблюдения Решение уравнения пьезопроводности (32) для

простого случая работы вертикальной скважины в бесконечном пласте позволяет

получить модель характеризующую перераспределение давления в пласте

1

120594

120597120549119875

120597119905=1

119903

120597

120597119903(119903120597120549119875

120597119903) (31)

∆119875(119905 119903) = minus9205119902119861120583

119896ℎ119864119894 (minus

1199032

000036120594119905) (32)

где (q ndash дебит скважины м3сут B ndash объёмный коэффициент 120583 ndash

вязкость жидкости cпз k ndash проницаемость мД h ndash мощность пласта

м r ndash радиус м χ ndash пьезопроводность мД(спзатм-1) t ndash время ч)

16

Ожидаемая прибыль запланированной к бурению скважины до проведения

ГДИ рассчитывается с учётом исходного распределения после ГДИ

рассчитывается для каждого дискретного варианта исхода из N-возможных и для

разных времен длительности исследования t

На первом этапе расчёта прибыли по методу Монте-Карло определяются

значения проницаемости и пластового давления с вероятностями распределения

равными 10 50 90 и оценивается запускное значение дебита скважины По

соседним скважинам определяются темпы падения дебита скважины

усредненный темп падения используется для проектной скважины

Произведение запускного значения дебита и усредненного темпа падения

характеризует профиль добычи проектной скважины На основе профиля

добычи оценивается NPV проектного бурения который учитывает

операционные затраты и капитальные расходы проекта При оценке NPV после

запланированного исследования в капитальных затратах учитываются расходы

на проведение ГДИ стоимость интерпретации исследования инструментальные

замеры

Ожидаемая ценность EMVwi после проведения ГДИ рассчитывается как

сумма отдельно взятых N - исходов умноженных на соответствующие

вероятности исходов (33)

119864119872119881119908119894 (119905119894) = 1198641198721198811199081198941(119905119894) lowast 1198751 + 1198641198721198811199081198942(119905119894) lowast 1198752 +⋯

+ 119864119872119881119908119894119873(119905119894) lowast 119875119899 =sum119864119872119881119908119894_119895(119905119894)

119873

119895=1

(33)

По результатам моделирования ГДИ на скважине вблизи проектной

проводится оценка ценности информации от запланированного исследования

Реализуется построение зависимости VOI от длительности ГДИ где график

расположен выше нуля (VOI gt 0) следует что исследование экономически

обосновано проводить По результату работы модуля выполняется

17

ранжирование скважин с оптимальным временем проведения ГДИ на основе

ценности информации

ГЛАВА 4 МЕТОДЫ ИНТЕРПОЛЯЦИИ

Определения параметров пласта в области с отсутствующими прямыми

измерениями осуществляются с помощью пространственной интерполяции

Одним из основных методов построения карт параметров пласта является

сплайн-интерполяция

Для построения распределения свойств пласта в определённой зоне

используют ограниченное значение количественных измерений интересующего

параметра Z в точках (Xi Yi) Данные точки определяются как точки выборки

(точки наблюдений) Цель пространственной интерполяции ndash получить значения

пространственной переменной Z на площади где отсутствуют исследования с

минимально погрешностью Необходимо интерполировать из точек Z(xi) в

определенную точку Z(x) на основе анализа имеющихся в базе значений (Рис 42)

Рис 42 Интерполяция в точку Z(x)

Подход интерполяции напрямую опирается на измеренные значения в

точках и интерполируются с помощью подбора математической функции

определяя слаженность результирующей формы [4]

В данной работе был реализован метод сплайн-интерполяции

Сплайн-функцией 119904(119909) 119909 isin [119886 119887] называется функция которая в

каждом частичном отрезке [119909119894minus1 119909119894] является полином некоторой степени и

имеет на заданном [119886 119887] производную до некоторого порядка Под степенью

18

сплайна подразумевают максимальную степень полинома по каждому из

отрезков [119909119894minus1 119909119894] а под дефектом сплайна ndash разность между соответствующей

степенью сплайна и порядком наивысшей производной на заданном отрезке

[119886 119887]

Интерполяция сплайнами является кусочно-полиномиальной

интерполяцией Основная теория сплайн-интерполяции заключается том что на

каждом шаге интерполяции (разбиваемом промежутке между узлами)

осуществляется аппроксимация в форме определенной полиномиальной

зависимости Для каждого шага итерации осуществляется подборка полинома

таким образов чтобы выполнялись граничные условия на концах отрезка

Условия для сплайна полинома степени n должны обеспечивать непрерывность

производных порядка степени (n-1) Наиболее распространённые и имеющие

широкую практическую применимость являются кубические сплайны

41 КУБИЧЕСКИЙ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ СПЛАЙН

Кубическим интерполяционным сплайном 119904(119909) называется функция

которая удовлетворяет следующим условиям

1 На каждом определенном отрезке [119909119894minus1 119909119894] 119904(119909) является полином

третьей степени то есть

119904(119909) = 1198860(119894)1199093 + 1198861

(119894)1199092 + 1198862

(119894)119909 + 1198863

(119894) 119909 isin [119909119894minus1 119909119894] (411)

2 119904(119909) isin 119862[119886119887]2

3 119904(119909119894) = 119891119894 119894 = 0 1hellip 119899

4 119904primeprime(119886) = 119904primeprime(119887) = 0

Коэффициенты 1198860 1198861

1198862 1198863

рассчитываются независимо от каждого

промежутка интерполирования [14]Рассмотрим как строится кубический

сплайн Обозначим через 119898119894 = 119904primeprime(119909119894) 119894 = 0hellip 119899 minus

величина называемая моментом

19

119904primeprime(119909) - линейная функция и для каждого отрезка она совпадает с

интерполяционной функцией полинома Лагранжа первой степени

Проинтегрировав получившееся равенство определяется из условия 3

искомые константы находятся в виде сплайна 119904(119909) на частичном отрезке

[119909119894minus1 119909119894]

119904(119909) = 119898119894minus1

(119909119894 minus 119909)3

6ℎ+119898119894

(119909 minus 119909119894minus1)3

6ℎ+ (

119891119894 minus 119891119894minus1ℎ

minus (119898119894 minus119898119894minus1)ℎ

6) (119909 minus 119909119894)

+ 119891119894 minus119898119894

ℎ2

6 (412)

Определяем моменты 119898119894 119894 = 0hellip 119899 с помощью условий 2 3 4

выводим систему следующего вида

1198980 = 0ℎ

6119898119894minus1 +

2

3ℎ119898119894 +

ℎ

6119898119894+1 =

119891119894minus1 minus 2119891119894 + 119891119894+1ℎ

119894 = 1hellip 119899 minus 1 (413)

119898119899 = 0

Запишем следующие вектора

119898 =

(

11989801198981

⋮119898119899minus1119898119899 )

minus (119899 + 1) minus мерный (414)

119892 =

(

1198910 minus 21198911 + 1198912ℎ⋮

119891119899minus2 minus 2119891119899minus1 + 119891119899ℎ )

minus (119899 + 1) minus мерный (415)

и матрицу

20

119860 =

(

1 0 0 01

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ 0

01

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ

⋯0 0 0 00 0 0 00 0 0 0

⋮ ⋱ ⋮

0 0 0 00 0 0 00 0 0 0

⋯

1

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ 0

01

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ

0 0 0 1 )

minus (119899 + 1) times 6(119899 + 1)

minus мерную (416)

Сходимся в необходимости решить следующую систему (417)

119860119898 = 119892 (417)

Данная система представляет собой систему с трёхдиагональной

матрицей и с диагональным преобладанием Для необходимости её решения

потребуется применить метод прогонки который возможен для систем

следующего вида

1198980 = 11989611198981 + 1198920119886119894119898119894minus1 + 119887119894119898119894 + 119888119894119898119894+1 = 119892119894 119894 = 1hellip 119899 minus 1

119898119899 = 1198962119898119899minus1 + 119892119899 (418)

где

119886119894120572119894 + 119887119894 ne 0 119894 = 1hellip 119899

1 minus 1198962120572119899 ne 0 (419)

где 120572119894 в свою очередь - это

1205721 = 1198961

120572119894+1 = minus119888119894

119886119894120572119894 + 119887119894 119894 = 1hellip 119899 minus 1 (4110)

Следующая методика прогонки представлена в двух частях прямой хода

и обратный хода Прямой ход выявляет следующие величины

21

1205721 = 11989611205731 = 1198920

120572119894+1 = minus119888119894

119886119894120572119894 + 119887119894 119894 = 1hellip 119899 minus 1 (4111)

120573119894+1 = minus119892119894 minus 119886119894120573119894119886119894120572119894 + 119887119894

119894 = 1hellip 119899 minus 1

Далее следует обратный ход в порядке уменьшения индексов определяет

искомые параметры

119898119899 =

119892119899 + 11989621205731198991 minus 1198962120572119899

119898119894 = 120572119894+1119898119894+1 + 120573119894+1 119894 = 119899 minus 1hellip 0

(4112)

Сплайн 119904(119909)математически определён формулой представленной выше

42 КУБИЧЕСКИЙ СГЛАЖИВАЮЩИЙ СПЛАЙН

Метаматематическая модель кубического сглаживающего сплайна

заключается в том что в узлах 119909119894119894=0119899 sub [119886 119887] определенные значения функции

119891(119909) могут быть заданы с погрешностью 119891119894=0119899

В таких моделях с дефектом 1

кубический интерполяционный сплайн будет реализован с достаточно большой

погрешностью вследствие построения с неточными значениями В большинстве

случае реализуют построение кубического сглаживающего сплайна в котором

решается следующая экстремальная задачи

119906 =119894119899119891

119906 isin 11988222[119886 119887]

120567(119906) (421)

где 11988222[119886 119887] ndash пространство Соболева вещественных функций с нормой

1199062 = int(|119906(119909)|2 + |119906primeprime(119909)|2)119889119909

119887

119886

(422)

а функционал

22

120567(119906) = int |119906primeprime(119909)|2 119889119909

119887

119886

+sum119901119894(119906(119909119894) minus 119891119894)2

119899

119894=0

119901119894 gt 0 119894 = 0hellip 119899 (423)

строго неотрицательный выпуклый полунепрерывный снизу

вследствие слабой сходимости

Однозначно решение данной задачи существует и является единственным

решением Введем единственное решение 1199060(119909) также обозначим значения

119910119894119894=0119899 следующим образом

119910119894 = 1199060(119909119894) 119894 = 0hellip119899 (424)

Можем построить кубический интерполяционный сплайн 119904(119909 119910)

119904(119909119894 119910) = 119910119894 Данное полученное решения является равным 1199060

Оценим вид интерполяционного сглаживающего сплайна

Введём в рассмотрение отображение 119866(119910) ℝ119899+1 rarr ℝ

119866(119910) = 120567(119904(middot 119910 )) = int |119904primeprime(119909)|2 119889119909

119887

119886

+sum119901119894(119904(119909119894) minus 119891119894)2

119899

119894=0

=

sum int |119904primeprime(119909)|2 119889119909

119909119894

119909119894minus1

119899

119894=1

+sum119901119894(119904(119909119894) minus 119891119894)2 (425)

119899

119894=0

Получаем исходную экстремальную задачу эквивалентную поиску

min119910isin ℝ119899+1

119866(119910) (426)

Исходя из того что 119904(119909 119910) ndash является кубическим интерполяционным

сплайном запишем

119904primeprime(119909119894 119910) = 119898119894 119894 = 0hellip119899 (426)

1198980 = 0119898119899 = 0 (427)

Вводим (119899 minus 1) times (119899 minus 1)-мерную матрицу

23

119860 =

(

2

3ℎ

1

6ℎ 0 0

1

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ 0

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

0

0

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

01

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ

0 01

6ℎ

2

3ℎ)

(428)

(119899 minus 1)-мерный вектор

119898 = (

1198981

⋮119898119899minus1

) (429)

(119899 minus 1) times (119899 + 1)-мерную матрицу

119867 =

(

1

ℎminus1

2ℎ

1

ℎ0 ⋯ 0 0 0 0

⋯

0 0 0 0 ⋯ 01

ℎminus1

2ℎ

1

ℎ)

(4210)

невырожденную (119899 + 1) times (119899 + 1)-мерную матрицу

119875 = (1199010

⋱119901119899

) (4211)

и (119899 + 1)-мерный вектор

119891 = (1198910⋮119891119899

) (4212)

получаем следующую систему уравнений в которой вычисляем моменты

119898

(119860 + 119867119875minus1119867lowast)119898 = 119867119891 (4213)

Данная система решается методом Гаусса Затем можем выразить

119910 = minus119875minus1119867lowast119898 + 119891 (4214)

(4214) - точку глобального минимума для заданного отображения 119866(119910)

В итоге получаем форму сглаживающего сплайна

24

119904(119909) = 119898119894minus1

(119909119894 minus 119909)3

6ℎ+119898119894

(119909 minus 119909119894minus1)3

6ℎ+ (119910119894minus1 minus

ℎ2

6119898119894minus1)

119909119894 minus 119909

ℎ

+ (119910119894 minusℎ2

6119898119894)

119909 minus 119909119894minus1ℎ

(4215)

119909 isin [119909119894minus1 119909119894] 119894 = 1hellip119899 (4216)

ГЛАВА 5 ОСНОВЫ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО

ИССЛЕДОВАНИЯ СКВАЖИН

Основой ГДИС являются решение нестационарной задачи фильтрации

Рис 51 а) б) формирование радиальной воронки депрессии после пуска

добывающей и нагнетательной скважины в) г) расформирование радиальной

воронки депрессии после остановки добывающей и нагнетательной скважины

Tmdash время прошедшее после пуска скважины tmdash время прошедшее после

остановки скважины[6]

флюидов в порово-упругой среде Они основываются на изучение процессов

формирования и релаксации полей давления в пласте и в скважине в

зависимости от типа воздействия (закачка или отбор флюида) (рис51) Арсенал

технологий исключительно разнообразен и включает самые различные методы с

различной продолжительностью и интенсивность воздействия на пласт Каждая

технология представляет совокупность циклов (базовых элементов)

Определение каждого из них ndash регистрация разницы давления во времени после

изменения дебита скважины на заданной глубине Продолжительностью цикла

25

обуславливается решаемой задачей глубинностью условием и объектом

исследования

Гидродинамические исследования предполагают синхронные измерения

давления и расхода на фиксированной глубине при переходных режимах

эксплуатации скважины Основными элементами технологий ГДИС стабильно

работающих скважин являются способы предполагающие регистрацию

изменения давления во времени

после пуска скважины на стабильный режим отбора или закачки

(кривая стабилизации давления (КСД) -пуск) или при переходе с

одного стабильного режима на другой (КСД-режим)

после остановки скважины стабильно или циклически работавшей

в режиме отбора (кривая восстановления давления КВД) или

закачки (кривая падения давления - КПД)

Решение прямой задачи ГДИС состоит в оценке изменения давления на

забое скважины при заданном изменении дебита и для конкретной модели

скважины и пласта

К наиболее часто используемым моделям относится скважина со скин-

фактором в однородном изотропном пласте при радиальном режиме течения

При пуске скважины с постоянным расходом QАТ[м3с]=const (расход

соответствует условиям атмосферы) изменение давления РС [Па] во времени

tРАБ[с] прошедшем с момента пуска описывается асимптотической

формулой точность которой повышается с увеличением tРАБ

РАБRRРАБ

ПРС

OАТCПЛ tt

r

χ

επ

BQPP

lnln

252ln

4 2

_

(51) επ

BQ OАТR

4

2

_

252ln

ПРС

RRr

χ

kh

k

S

CПРС err _

Другие обозначения принятые в данных формулах PПЛ [Па] ndash первоначальное

пластовое давление [Пас] - динамическая вязкость фильтрующегося флюида Во[безразм]

26

ndash объемный коэффициент флюида [м3Па с] ndash гидропроводность пласта [м2с] ndash

пьезопроводность пласта k [м2] ndash проницаемость пласта КП [в долях]ndash пористость пласта h[м]

ndashэффективная работающая толщина пласта s[безразм] ndash интегральный скин-фактор rС_ПР [м]

ndashприведенный радиус скважины rС[м] ndashрадиус скважины [Па-1] ndash интегральная

сжимаемость пористой среды

При остановке скважины работавшей с постоянным расходом QАТ[м3с] =const в

течение времени tРАБ[с] изменение давления РС[Па] во времени tОСТ[с] прошедшем с

момента остановки описывается асимптотическими формулами (для больших значений tОСТ)

ОСТ

ОСТРАБRПЛ

ОСТ

ОСТРАБОАТПЛC

t

tP

t

tВQPP

tln

tln

4

(52

)

ОСТРАБ

ОСТРАБRR

ОСТРАБ

ОСТРАБ

ПРС

ОАТНАЧC

t

t

t

t

r

ВQPP

t

tln

t

tln

252ln

4 2

_

(53

)

где PНАЧ [Па] ndash давление в момент остановки скважины (tОСТ =0)

Следует обратить внимание что соотношения (51) и (53) оперируют с

разностью текущего и начального давления цикла (в первом случае в качестве

начального выступает пластовое давление а во втором ndash давление в момент

остановки скважины) В отличие от этого соотношение (52) оперирует с

абсолютной величиной давления

С математической точки зрения названные способы представления

данных идентичны Но каждый из них оптимален для решения конкретной

задачи интерпретации гидродинамических исследований Уравнения (51) и (53)

позволяют выделить влияние скин-фактора Основная цель использования

формулы (52) оценка абсолютной величины пластового давления

Абсолютная величина тангенса угла наклона асимптоты () для всех без

рассмотренных зависимостей одинаков и определяется величиной

гидропроводности пласта

Рис52 иллюстрируют поведение давления во времени при запуске

скважины в зависимости от дебита в цикле исследований (а) проницаемости

пласта (б) и скин-фактора (в) Основной недостаток подобного представления

27

результатов в низкой наглядности В частности очень трудно различить

особенности влияния основных информативных факторов ГДИС ndash

фильтрационных свойств пласта (проницаемости) и характеристик

совершенства вскрытия (скин-фактора)

Рис52 особенности поведения давление при пуске скважины (КСД)

а) Влияние расхода Q=QАТВо-расход PС ndashдавление РПЛ- начальное

пластовое давление tРАБ=0 момент пуска скважины (Q1ltQ2ltQ3)

б) Влияние проницаемости Q-расход PС ndashдавление РПЛ- начальное

пластовое давление tРАБ=0 момент пуска скважины (k1gtk2ltk3)

в) Влияние проницаемости скин-фактора Q-расход PС ndashдавление РПЛ-

начальное пластовое давление tРАБ=0 момент пуска скважины (s3gts2lts1)

В ГДИС используются специальные способы представления данных

позволяющие сделать их интерпретацию более наглядной

Рис53 иллюстрирует основные способы представления результатов

ГДИС для исследования добывающей скважины включающей цикл I запуска с

постоянным расходом (КСД-пуск) и цикл II остановки (КВД)

PCQ

PCQ

t=to

Q

PC (k=k1)

PC (k=k3)

PC (k=k2)

PC=PПЛ tРАБ

Q1

PC=PПЛ

t=to

Q2

Q3

PC (Q=Q1)

PC (Q=Q2)

PC (Q=Q3)

PCQPC=PПЛ

Q

PC (s=s1)

PC (s=s2)

PC (s=s3)

а)

б)

в)

tРАБ

tРАБ

28

Рис53 Основные способы представления результатов ГДИС для

диагностики радиального режима течения при пуске в работу со стабильным

расходом добывающей (I) и нагнетательной (II) скважины а) давление как

функция времени в декартовых координатах б) приращение давления как

функция времени в декартовых координатах в) приращение давления как

функция логарифма времени г) логарифм приращения давления и логарифм

логарифмической производной как функция логарифма времени

Базовым способом представления результатов ГДИС является график

полной (по всем циклам исследования) кривой изменения давления во времени

в процессе ГДИС в декартовых координатах (рис53а)

Графики в декартовых координатах зависимости приращения давления от

времени по отдельным циклам позволяют унифицировать результаты измерения

давления по циклам его роста (КВД) и падения (КСД - пуск) Приращение

вычисляется как модуль разности текущего давления (Р) и начального давления

PС

P=Рпл

a)

I

II

ln(tРАБtОСТ)(tРАБ +tОСТ)

IIбtРАБ

РНАЧI

РНАЧII

P=РНАЧI-PС

ln(tРАБ)

P

lnPlnPP

P

Iв)

Iг)

Iд)

P

lnPlnPP

P

IIв)

IIг)

IIд)

tОСТ

P=PС-РНАЧII

tРАБ

ln(tРАБ)

ln(tРАБ+tОСТ)tОСТ

ln(tРАБtОСТ)(tРАБ +tОСТ)

tОСТ

PС

29

(РНАЧ) в цикле Р= Р-РНАЧ Величина Р монотонно увеличивается во

времени вне зависимости от соотношения дебитов в цикле исследования и

предшествующем цикле[6]

График зависимости приращения давления от логарифма текущего

времени laquolntРАБraquo используется для представления результатов КСД-пуск

(рис53Iв) Участок КСД соответствующий радиальному режиму в данном

масштабе аппроксимируется линейной асимптотой Эта особенность

радиального режима используется для его диагностики

Как следует из соотношения (52) наклон асимптоты определяется

гидропроводностью пласта а свободный член значением гидропроводности и

приведенного радиуса (то есть и скин-фактора)

Для цикла (КВД) вместо логарифмического масштаба времени

используется так называемый обобщенный логарифмический масштаб

вычисляемый на основе продолжительностей и расходов циклов работы

скважины предшествующих анализируемому (рис53IIв)

Как следует из соотношения (53) для цикла КВД после одиночного цикла

работы скважины данный масштаб вычисляется по формуле

ОСТРАБ

ОСТРАБP

tt

ttt

)(lnF

(54)

Во временном интервале радиального режима течения КВД

аппроксимируется линейной асимптотой Наклон асимптоты определяется

гидропроводностью пласта а свободный член значением гидропроводности и

приведенного радиуса (то есть и скин-фактора)

Масштаб Хорнера у которого радиального режима течения также является

логарифмическим (рис53II б)

Как следует из соотношения (52) для цикла КВД после одиночного цикла

работы скважины данный масштаб вычисляется по формуле

)ln()(lnОСТ

ОСТРАБ

Pt

tttF

(65)

30

Данный масштаб является инверсным по времени При увеличении

времени его значения падают Участок КВД соответствующий радиальному

режиму течения аппроксимируется линейной асимптотой Наклон асимптоты

определяется гидропроводностью пласта а свободный член значением

пластового давления

Двойной логарифмический масштаб для цикла laquoКСД-пускraquo предполагает

представление логарифма приращения давления laquoln(P)raquo и логарифма

логарифмической производной ln(P) от логарифма времени (рис62Iд)

Логарифмическая производная в этом случае вычисляется по формуле

)ln( P

PP

(66)

Для цикла laquoКВДraquo двойной логарифмический масштаб предполагает

представление параметров laquoln(P)raquo и ln(P) от обобщенного логарифмического

времени соотношение (69)- рис62IIд

)( PF

PP

P

(67)

Данный масштаб является универсальным используется для диагностики

не только радиального но и линейного и других не радиальных режимов течения

для всех типов циклов ГДИС

Следует подчеркнуть что соотношения (51)-(54) выведены для двух

цикличной технологии исследования и при увеличении числа циклов должны

быть модифицированы Но описанный выше принцип масштабирования

результатов ГДИС является универсальным

31

Рис 54 Билогарифмический график КВД [5]

На основе интерпретации результатов исследования ГДИС определяются

параметры энергетического состояния скважины (пластовое давление

депрессия продуктивность динамика их изменения) фильтрационные

параметра пласта (гидропроводность подвижность пьезопроводность

проницаемость) зональность их распространения по площади

В настоящей магистерской диссертации была реализован метод

математического моделирования с целью получения информации о

проницаемости и пластовом давлении в точках исследуемых скважинах

погрешностью полученных параметров на основе качества исследования

(наличие на билогарифмическом радиального режима) связанным со временем

исследования

ГЛАВА 6 ТЕОРИЯ ФИЛЬТРАЦИИ В УПРУГОЙ ПОРИСТОЙ

СРЕДЕ

Основа теории фильтрации основана на изучении движения

(просачивания) жидкости через пористую среду Особенности процессов

фильтрации зависят от упругих свойств среды и насыщающих их флюидов

Для постановки задачи фильтрации жидкости в упругой среде прибегают

к краевой или начально-краевой задаче с соответствующими граничными

условиями Для нахождения математического выражения фильтрации флюидов

в пористой среде решают систему дифференциальных уравнений в частных

производных

Векторы скорости и плотности фильтрующейся жидкости могут быть

представлены в следующем виде - (119909 119910 119911 119905) и плотностью жидкости

120646 (119909 119910 119911 119905) Одной из важных характеристик поровой среды является пористость

32

ndash это относительный объем порового пространства в материале именно этот

параметр определяет количество флюида которое содержится или может

содержаться в определенном объеме пористой среды [7]

Теория фильтрации флюидов опираются на фундаментальный закон

сохранения массы в соответствии с которым изменения массы жидкости в

любом произвольном объеме V внутри замкнутой поверхности происходит за

счет изменение притока и оттока жидкости через границу объема (уравнение

неразрывности) [12]

Поток жидкости через произвольную однозначно определенную

замкнутую поверхность Γ в пористой среде с коэффициентом пористости - φ

заполненной флюидом с вязкостью μ (рис 61)

Рисунок 61 Замкнутая поверхность Γ в пористой среде (The Society of Petroleum Engineers

2014)

Скорость поступление массы объемом V через поверхность Г равна

скорости изменения данной массы в этой области (The Society of Petroleum

Engineers 2014)

119889119872119892

119889119905=

119889

119889119905∭ 120588120593119889119881 =∭

120597

120597119905(120588120593)119889119881

119881119881 6 1

Масса поступающая в определенный объем пористой среды через

дифференциальный элемент поверхности dΓ за промежуток времени Δt со

скоростью равна minus120646 lowast Отличие массы поступившей в определенную

поверхность и массой покинувшей эту поверхность за изменение времени Δt

равна

33

∆119872119892 = minus∆119905∯ 120588 lowast 119889Г Г

6 2

Скорость притока флюида в объем области V через поверхность Γ

lim∆119905rarr0

119889119872119892∆119905

=119889119872119892119889119905

= ∯120588 lowast 119889Г

Г

6 3

Приравняем правые части уравнения (119889119872119892

119889119905=

119889

119889119905∭ 120588120593119889119881 =

119881

∭120597

120597119905(120588120593)119889119881

119881 ) и ( lim

∆119905rarr0

119889119872119892

∆119905=

119889119872119892

119889119905= ∯ 120588 lowast 119889Г

Г 63) если функции

входящие в эти уравнения являются достаточно гладкими то применяем теорему

Остроградского ndash Гаусса к правой части уравнения ( lim∆119905rarr0

119889119872119892

∆119905=

119889119872119892

119889119905=

∯ 120588 lowast 119889Г Г

63) получаем

∭ [120597

120597119905(120588120593) + nabla120588] 119889119881

119881=0 (64)

Интеграл может быть приравнен к нулю тогда когда сама функция под

знаком интеграла равна нулю исходя из этого утверждения можем получить

120597

120597119905(120588120593) + nabla120588 = 0 (65)

Полученное уравнение (65) можем переписать через поля давления по

причине отсутствия непосредственного замера скорости и плотности потока при

гидродинамическом исследовании скважины (ГДИС) Для пересчета в

характеристики давления потока воспользуемся законом фильтрации Дарси и

уравнение состояния [2]

Уравнение состояния которое связывает плотность и давление

с = minus1

119881

120597119881

120597119875 с =

1

120588

120597120588

120597119875 сρ

120597119875

120597119905=120597120588

120597119905 0 6

c ndash сжимаемость жидкости отрицательный знак отражает условие что

при положительном коэффициенте сжимаемости будет происходить сжатие

флюида (давление растет объем уменьшается) Различают общую сжимаемость

с119957 и сжимаемость пористой среды с119943

с119891 =1

120593

120597120593

120597119875 6 7

34

с119905 = с119891 + 119888 6 8

Исторически уравнение баланса было получено экспериментально Анри

Дарси По закону Дарси вектор скорости фильтрации выражается через вязкость

флюида micro и тензор проницаемости k Знак минус в правой части также имеет

физически явный смысл в отсутствии сил действующих на массу жидкость

начинает движение из областей в повышенным давление в область с меньшим

давлением

= minus119896

120583nabla119875 6 9

При рассмотрении первого слагаемого уравнения 120597120597119905(120588120593) + nabla120588 = 0

(65 и с = minus1

119881

120597119881

120597119875 с =

1

120588

120597120588

120597119875 сρ

120597119875

120597119905=

120597120588

120597119905 06 выполним подстановку

120597

120597119905(120588120593) = 120593

120597120588

120597119905+ 120588

120597120593

120597119905= 120593сρ

120597119875

120597119905+ 120588

120597120593

120597119905= 120593сρ

120597119875

120597119905+ 120588

120597120593

120597119875

120597119875

120597119905=

= 120593сρ120597119875

120597119905+ 120588с119891120593

120597119875

120597119905= 120588с119905120593

120597119875

120597119905 6 10

Далее перезапишем уравнение 120597120597119905(120588120593) + nabla120588 = 0 (65 с учетом

данного выражения и подставим вектор скорости из уравнения закона Дарси

с119905120593120597119875

120597119905= nabla(

119896

120583nabla119875)

1

120594

120597119875

120597119905= nabla2119875 120594 =

119896

с119905120593120583 6 11

Где 120594 ndash коэффициент пьезопроводности с119905120593120597119875

120597119905= nabla(

119896

120583nabla119875)

1

120594

120597119875

120597119905= nabla2119875 120594 =

119896

с119905120593120583 611 определяется как уравнение пьезопроводности - основным

уравнением которое описывает процессы возникающие при гидродинамических

исследованиях

Данное уравнение пьезопроводности (611) может быть перезаписано

относительно радиальных координатах

1

120594

120597Δ119875

120597119905=1

119903

120597

120597119903(119903120597Δ119875

120597119903) 6 12

где 120607119927 = 119875119894 minus 119875 119875119894 minus начальное пластовое давление

35

Уравнение пьезопроводности решается практически во всех

аналитических моделях и выражается в них в радиальных формулах

Однозначно определенным объектом такого радиального решения служит

нагнетательная или добывающая скважина Выбранная система координат

наилучшим способом описывает моделирование радиального потока

относительно скважины

ГЛАВА 7 МОДЕЛИРОВАНИЕ ИССЛЕДОВАНИЙ

Уравнением описывающим процессы происходящие при исследованиях

ГДИ является уравнение пьезопроводности Данное уравнение (71) описывает

неустановившееся однофазное одномерное течение флюида в пористой среде и

выражает связь между пластовым давлением временем и расстоянием от

скважины до точки наблюдения Решение уравнения пьезопроводности (72) для

простого случая работы вертикальной скважины в бесконечном пласте позволяет

получить модель характеризующую перераспределение давления в пласте

1

120594

120597120549119875

120597119905=1

119903

120597

120597119903(119903120597120549119875

120597119903) (71)

∆119875(119905 119903) = minus9205119902119861120583

119896ℎ119864119894 (minus

1199032

000036120594119905) (72)

(q ndash дебит скважины м3сут B ndash объёмный коэффициент 120583 ndash

вязкость жидкости cпз k ndash проницаемость мД h ndash мощность пласта

м r ndash радиус м χ ndash пьезопроводность мД(спзатм-1) t ndash время ч)

Инструмент позволяет моделировать исследование ГДИ для случаев с

разным закачиванием скважин (вертикальная скважина вертикальная скважина

с гидравлическим разрывом пласта (ГРП) горизонтальная скважина

горизонтальная скважина с многостадийным ГРП) На первом этапе по заданным

свойствам пласта и флюида моделируется ГДИ описывающая изменение

забойного давления в скважине [1]

36

На следующем этапе моделирования строится билогарифмический график

(рис71) по которому специалисты ГДИ определяют свойства пласта Таким

образом создав синтетическое ГДИ можно предсказать как будет выглядеть

билогарифмический график исследования КВД (кривая восстановления

давления) характеризующего остановку скважины

Моделирование исследования ГДИ проводится для N ndash исходов (рис71) и

для разного времени длительности исследования t (50-100-150hellipчасов) в

результате чего инструмент определяет свойства пласта (проницаемость и

пластовое давление) по результатам исследования зависящих от времени

длительности ГДИ

Рис71 Результаты моделирования исследования ГДИ

ГЛАВА 8 ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИ ФИЛЬТРАЦИИ

ФЛЮИДОВ

811 Основа модели фильтрации к вертикальной скважине

Для самого начала рассмотрим самый простой случай движения флюида

в однородном бесконечном пласте начиная с начального постоянного давления

119927119946

В начальный момент t = 0 однотипно с началом первого цикла

эксплуатации у пласта коллектора начальное равномерное давление - 119927119946

ΔP(r t = 0) = 0 P(r t = 0) = Pi (8111)

Введем в рассмотрение граничное условие когда границы отсутствует

это сопоставимо что пласт-коллектор характеризуется бесконечной

протяженностью

0

05

1

15

2

25

-3 -2 -1 0 1 2 3

LO

G (

dP

) LO

G(P

`)

LOG(dt)

Билогарифмический график

LOG (P(t)-P(tp))

37

ΔP(r rarr infin t) = 0 P(r rarr infin t) = Pi (8112)

Второе граничное условие на радиусе скважины будет зависить от

условий на поверхности ствола (r = rw) Введем в рассмотрение единичную

вертикальную скважину радиусом 119953119960 которая полностью вскрывает

однородный изотропный коллектор с коэффициентом проницаемости k и

эффективной мощностью h добывает однородную малосжимаемую жидкость

вязкостью μ при стандартных условиях с дебитом Q м3 В условиях пласта объем

добываемого флюида составит Qsf = Qb (где b ndash объемный коэффициент

жидкости)

(119903120597119875

120597119903)119903=119903119908

=119902119861120583

2120587119896ℎ (8113)

Одной из удобных моделей моделировании фильтрации к скважине

является модель линейного источника которая является предельным случаем

скважины нулевого радиуса

119897119894119898 (119903120597119875

120597119903)119903rarr0

=119902119861120583

2120587119896ℎ (8114)

На практике прибегают к упрощению постановки задачи путем ввода

безразмерных переменных При решении задачи относительно новых

переменных позволяют интегрировать остальные параметры и в конечном счете

задача сводится к решению уникального набора уравнений которые легко

разрешаются аналитическим методом раз Физический смысл ввода

безразмерных параметров заключается в исключении из основного уравнения

параметров пьезопроводности пласта-коллектора с целью поиска обобщенного

решения с помощью которого переходя на изначальные размерные параметры

удается получить решение для определенного пласта и определить параметры

пьезопроводности и проводимости (Houzeacute O 2008)

119903119863 =119903

119903119908 (8115)

119905119863 =000036119896119905

1205931205831198881199051199031199082 (8116)

38

119875119863 =2120587119896ℎ

119902119861120583∆119875 (8117)

Далее вводим безразмерные параметры переходим к общей задаче

120597119875119863120597119905119863

=1

119903119863[120597

120597119903119863(119903119863

120597119875119863120597119903119863

)] (8118)

119875119863(119903119863 119905119863 = 0) = 0 (8119)

119875119863(119903119863 rarr infin 119905119863) = 0 (81110)

119897119894119898 (119903119863120597119875119863120597119903119863

)119903119863rarr0

= minus1 (81111)

Решая данное дифференциальное уравнение удобно применить

интегральные преобразования Принято при решении уравнения

пьезопроводности пользоваться особой формой линейных интегральных

преобразований являющиеся преобразованиями Лапласа Далее применяем к

уравнению (120597119875119863

120597119905119863=

1

119903119863[120597

120597119903119863(119903119863

120597119875119863

120597119903119863)] (811) преобразования Лапласа

s119875119863 =1

119903119863[120597

120597119903119863(119903119863

120597119875119863

120597119903119863)] (81112)13

Трансформанта Лапласа

119875119863 (119904 119903119863) = int 119875119863(119905119863

infin

119905119863

119903119863) exp(minus119904119905119863) 119889119905119863 (81113)

где s mdash это число достаточно велико чтобы мог существовать интеграл

действительная часть которого положительна Функция обозначенная чертой

сверху является образом (изображением) функции или результатом

интегрального преобразования Лапласа где подынтегральной функцией

является прообразом (оригиналом) Решение уравнения(811s119875119863 =

1

119903119863[120597

120597119903119863(119903119863

120597119875119863

120597119903119863)] (81112)13) можно представить через модифицированное

уравнение Бесселя нулевого порядка которое можно записать в следующем

виде

119875119863 (119904 119903119863) = 119860(119904)1198680(119903119863radic119904) + 119861(119904)1198700(119903119863radic119904) (81114)

39

1198680 и 1198700 являются модифицированными функциями Бесселя нулевого

порядка Значения коэффициентов A и B в уравнении определяются с помощью

подстановки граничных условий в уравнение Осуществляем подстановку

граничных условий из внешнего ГУ А(s)=0 B(s)= 1

119904 В итоге получаем

изображение решения для линейного источника в виде

119875119863 (119904 119903119863) =1

1199041198700(119903119863radic119904) (81115)

Для нахождения образа функции выполняем обратное преобразование

Лапласа полученного уравнения Данную операция можно выполнить с

помощью таблиц преобразований Лапласа (из таблиц в работах (Churchill RV

1972) и (Abramowitz M 1972))

119871minus1 (1198700(119903119863radic119904)) =1

2119905exp(minus

1198962

4119905) (81116)

Обобщаем выводим решение для линейного источника с безразмерными

параметрами

119875119863(119905119863 119903119863) = minus119864119894 (minus1199031198632

4119905119863) 119864119894(119909) = minus int

119890minus119910

119910119889119910

infin

minus119909

(811 14)

Где 119864119894(119909)-интегральная показательная функция Далее выполняем

обратное преобразование переходим на размерные величины

∆P(t 119903) = minusqBμ

2πkh119864119894 (minus

r2

4 lowast 000036120594t) (811 15)

Полученное решение уравнения в каждой точке и на каждом промежутке

времени удовлетворяет задаче фильтрации для скважины линейного источника

находящаяся в эксплуатируемом фонде скважин вскрывающая интервалом

перфорации эффективную мощность однородного бесконечного пласта-

коллектор Одним из выводов из решения уравнения пьезопроводности гласит

что поля релаксации перепада давления мгновенно перераспределяются по

пласту-коллектору Также стоить отметить существующее решение на дальнем

расстоянии от скважины 119903119894119899119907 вблизи которого перепад давления столь мал что

40

этим можно пренебречь Исходя из этого предположения можно определить

радиус исследования 119903119894119899119907 который характеризует размер области исследования

результат интерпретации которых зависят от свойства пласта и флюидов в

скважине [11]

При рассмотрении полей давления в пласте с бесконечной

протяженностью во время запуска скважины в работу на основании полученного

ранее решения уравнения (рис 8111) В первоначальный момент времени 1199051 =

0 забойное давление в скважине равно текущему пластовому давлению через

некоторый отрезок времени в интервале - 1199052 вокруг точки скважины

формируется так называемая laquoворонка депрессииraquo которая может

характеризовать неустановившийся режим течения При движение по временной

шкале воронка депрессии будет распространяться на более дальние расстояния

от скважины пока не достигнет определенной границы (119903119894119899119907=119903119908 +radic120594t) Если

рассматривать зеркально противоположный пример при остановке скважины

воронка депрессии будет становиться меньше и будет уменьшаться пока

значение давления в скважине не достигнет пластового и останется стабильным

Понятие радиального режима для течения флюидов в пласте является

основополагающим для интерпретации гидродинамических исследований Это

режим характеризует обстановку при которой скорость фильтрации и поля

давления имеют радиальную симметрию и линии тока в пласте направлены к

круговому цилиндру по радиусу от периферии пласта к скважине (Рис 1)

41

Рис 8111 Линии тока для вертикальной скважины при радиальной

фильтрации [6]

Решение линейного источника может достичь радиального режима с

определенного времени 119905119909 такую характерную зависимость можно проследить

на билогарифмическом графике (рис 8111) этот режим характеризуется

стабилизацией производной давления С помощью данного графика

проницаемость пласта вычисляется по формуле

119896ℎ = 119902119861μ lowast05

2120587∆Pстаб (81119)

При рассмотрения кейса решения уравнения пьезопроводности в случае

вертикальной скважины в цилиндрическом пласте-коллектора изменится гу на

г

р

а

н

и

ц

е

ц

и

л

и

н

(120597Δ119875

120597119903)119903=119903119890

= 0 (81120)

Аналогично ранее описанному алгоритму решению уравнения

пьезпроводности получим изображение депрессии

∆P (119904) =qBμ

2πkhlowast

lowast

1198680 (119903radic119904120594)1198701 (119903119890radic

119904120594)+ 1198681 (119903119890radic

119904120594)1198700 (119903radic

119904120594)

119903119908radic119904120594119904 [1198681 (119903119890radic

119904120594)1198701 (119903119908radic

119904120594)minus 1198681 (119903119908radic

119904120594)1198701(119903119890radic

119904120594]

(81121)

42

Аналитическое преобразование данного уравнения принимают

следующий вид (Van Everdingen AF and HurstW W 1953)

∆P(t 119903) =qBμ

2πkh

2

1199031198902 minus 119903119908

2(120594119905 minus

1199032

4) minus

1199031198902

1199031198902 minus 119903119908

2119897119899r

119903119908minus

1

(41199031198902 minus 119903119908

2)2lowast

lowast (31199031198904 minus 4119903119890

4119897119899119903119890119903119908minus 2119903119890

2 minus 1) +

+120587sum11986912 (120573119899

119903119890119903119908) [1198691(120573119899)1198840 (120573119899

r119903119908) minus 1198841(120573119899)1198690 (120573119899

r119903119908)]

120573119899 [11986912 (120573119899

r119890119903119908) minus 1198691

2(120573119899)]

infin

119899=1

119890119909119901 (minus1205731198992 120594119905

1199031199082) (81122)

1205731 1205732 и тдndash решения уравнений

1198841(120573119899)1198691 (120573119899r119890119903119908) minus 1198691(120573119899)1198841 (120573119899

r119890119903119908) = 0 (81123)

В поставленной формулировке задачи для выведенного уравнения

решения невозможно сходу подобрать обратное преобразование Лапласа с

помощью табличных значений (аналитической функции) (Abramowitz M 1972)

Однако можно выполнить найти решение выполнив его численно Для решения

задач нестационарной фильтрации флюидов применимы алгоритмы численного

обращения основанные на стохастических подходах (Stehfest H 1970) которые

предполагают что можно рассчитывать приближенное значение оригинала pa(T)

по найденному изображению p(s) в определённый момент времени t = T [13]

119901119886(119879) =1198971198992

119879sum119881119894

119873

119894=1

(119904)119904=1

1198971198992119879 (81124)

119881119894 = (minus1)(1198732)+119894

sum1198961198732(2119896)

[(1198732)

minus 119896] 119896 (119896 minus 1) (119894 minus 119896) (2119896 minus 119894)

min(1198941198732)

119896=(119894+1)2

(81125)

812 Приток к вертикальной скважине с трещиной ГРП

Ранее было выведены решения задачи фильтрации для вертикальных

скважин Метод источников который был применен также используется для

случаев скважин с более сложной геометрией ННС (наклоннонаправленных

43

скважин) ВС ГРП (вертикальный с гидроразрывом пласта) ГС ГРП

(горизонтальных с гидроразрывом пласт)

Функция Грина и метод источников применяется для решения двух- и

трёхмерных задач неустановившейся фильтрации Под источником понимается

некоторая точка поверхность или объем из области которых флюид отбирается

из пласта-коллектора или закачивается Строго говоря отбор жидкости должен

ассоциироваться со стоком а закачка с источником Под физической основой

источник можно сопоставить со скважиной бесконечно малого диаметра в

которую мгновенно закачивается конечное количество флюида[16]

Функции Грина и метод источников тесно связаны между собой Функция

Грина определяется для дифференциального уравнения со специальными

граничными условиями (заданный расход или давление) и соответствует

решению для мгновенного точечного источника С другой стороны функции

источников представляют собой решения данного дифференциального

уравнения с указанными граничными условиями и геометрией источника

Фундаментальное решение функции Грина (G (M Mrsquo τndasht)) для

неустановившегося потока флюида в пористой среде может соотнесено с

давлением в точке M (x y z) в определенный момент времени t которое

обусловлавливает мгновенный точечный источник единичной интенсивности

который создан в точке Mrsquo(xrsquo yrsquo zrsquo) во временя τ lt t Необходимо чтобы

функция Грина удовлетворяла уравнению пьезопроводности

120597119866

120597119905= 120594nabla2119866 81161

120597119875

120597120591= 120594nabla2119875 8122

int nabla2119891(119872)119889119872 =119863

int120597119891

120597119899Г

119889Г 8123

Используем свойства функции Грина можем применить терему Грина

(8123) с учетом (8122) (Gringarten AC and Ramey HJ 1973) получим

44

∆119875(119872 119905) =1

120593119888int int

Г119908(119872119908

prime 120591)119866(119872119872119908prime 119905 minus 120591

119905

0)119889119872119908

prime 119889120591 =

1

120593119888int 119905

0(120591)119878(119872119872119908

prime 119905 minus 120591)119889120591 8123

119878(119872119872119908prime 119905 minus 120591) = int 119866(119872119872119908

prime 119905 minus 120591)119889119872119908prime

Г119908 8124

где Г119908 ndash граница ствола скважины = minus119896

120583

120597119875

120597119899 ndash объём потока который

проходит через точку на поверхности внутренней границы 119872119908prime Применяем

интегрирование правой части данного уравнения (724) получаем

распределение точечных источников по площади длине и объему источника

Для разных конфигураций системы laquoисточник-пластraquo можно подобрать

табличные базовые функции соответствующих мгновенных источников (The

Society of Petroleum Engineers 2014)

В практике нефтегазовой отрасли практически на многих добывающих

скважинах проводиться МУН (метод увеличения нефтеотдачи) Одним из

распространенных методов интенсификации флюида является гидравлический

разрыв пласта (ГРП) который заключается в формировании высокопроводимой

трещины в продуктивном интервале пласте для увеличения притока флюида к

скважине

Поставим задачу решения уравнения фильтрации флюида к вертикальной

скважине с трещиной ГРП Из условий скважина полностью вскрывает пласт

эффективной мощностью h кровля и подошва пласта ограничена

непроницаемыми ровными горизонтальными границами Трещина ГРП

расположена симметрично относительно нормали ствола скважины полудлина

трещины - xf ширина - wf (wf ltlt xf) коэффициент проницаемости трещины kf

индекс laquofraquo характеризует трещину ГРП В горизонтальном направлении пласт

бесконечный (рис 8121 ndash 8122) Течение потока к трещине выражается

двумерным стоком флюида

45

Рис 8121 Вертикальная трещина (вид сбоку)

Рис 8122 Течение флюида к вертикальной трещине (вид сверху)

В ходе решения задачи стоит рассмотреть два типа течения

1) поток в трещине

2) поток в пласте с трещиной

1) Переходя к безразмерным переменным (8115-8117) запишем

уравнение пьезопроводности (8118) и граничные условия (8119-81110)

119901119891119863(119909119863 119905119863) =2120587119896ℎ (119901119894 minus 119901119891(119909 119905))

119902119908120583 (8125)

119905119863 =119896119905

1206011205831198881199051199091198912 (8126)

119909119863 =119909

119909119891 (8126)

119902119891119863(119909prime 120591) =

2119902119891(119909prime120591)

119902119908119909119891 (8127)

1198892119901119891119863(119909119863)

1198891199091198632

=120587

119865119862119863119902119891119863(119909119863) (8128)

119889119901119891119863

119889119909119863 119909119863=0=

120587

119865119862119863 (8129)

46

119889119901119891119863119889119909119863 119909119863=1

= 0 (81210)

Перепад значений давления между забойным давлением и в точке

трещины с координатой 119909119863 можно записать

119901119908119863 minus 119901119891119863(119909119863) =120587

119865119862119863[119909119863 minusint int 119902119891119863(119909

primeprime)119889119909primeprime119889119909prime119909prime

0

119909119863

0

] (81211)

2) Течение добываемого флюида из пласта-коллектора в трещину

можно рассмотреть как наличие нестационарного источника жидкости qf(xt) в

самой трещине Используя метод источников который был рассмотрен ранее

безразмерное давление в любой произвольной точке пласта

119901119863(119905119863 119909119863 minus 119909119908119863 119910119863 minus 119910119908119863) = int int 119902119891119863(120591 119909prime minus 119909119908119863)119866(120591 119909

prime 119909119863 minus1

minus1

1199051198630

119909119908119863 119910119863 minus 119910119908119863)119889119909prime119889120591 (81212)

(119909119908119863 119910119908119863) - безразмерные координаты точки забоя скважины в

горизонтальной плоскости (xy) ось 119909 направлена вдоль трещины

Записывается условие непрерывности давления в пласте и в трещине

119901119891119863(119905119863 119909119863) = 119901119863(119905119863 119909119863 0) (81213)

Следовательно уравнение (81211) принимает вид

119901119908119863 minusint int119902119891119863(120591 119909prime)119866(120591 119909prime 119909119863 0)119889119909

prime119889120591

1

minus1

119905119863

0

=120587

119865119862119863[119909119863 minusint int 119902119891119863(119905119863 119909

primeprime)119889119909primeprime119889119909prime119909prime

0

119909119863

0

] (81214)

Применяем преобразование Лапласа

119908119863(119904) minus int 119891119863(119904 119909prime)(119904 119909prime 119909119863 0)119889119909

prime =1

minus1

120587

119865119862119863[119909119863

119904minus

int int 119891119863(119904 119909primeprime)119889119909primeprime119889119909prime

119909prime

0

1199091198630

] (81215)

int 119891119863(119904 119909prime)119889119909prime

1

minus1

=1

119904 (81216)

47

Получили изображения Лапласа соответствующих функций ndash

оригиналов Решение системы производится путём дискретного разбиения

трещины по длине на 2n сегментов и записи данной системы в следующем виде

для каждого дискретного сегмента (рис 723)

Рис 8123 Схема разбиения трещины на сегменты

119908119863(119904) minussum119891119863119894

119899

119894=1

int (119904 119909prime d119909 (119895 minus1

2) 0) 119889119909prime

d119909119863119894

d119909119863(119894minus1)

+ int (119904 119909prime d119909 (119895 minus1

2) 0) 119889119909prime

d119909119863(minus119894+1)

d119909119863(minus119894)

+120587

119865119862119863[119889119909119863 ∙ 119895

119904minus (119889119909119863)

2sumsum119891119863119896

119894

119896=1

119895

119894=1

] (81217)

119889119909119863 ∙sum 119891119863119894

119899

119894=1

=1

2119904 (81218)

Изображение давления в любой точке пласта можно найти по формуле

119863(119904 119909119863 119910119863) = sum 119891119863119894 int (119904 119909prime 119909119863 119910119863)119889119909119863∙119894

119889119909119863(119894minus1)119889119909prime +119899

119894=1

int (119904 119909prime 119909119863 119910119863)119889119909119863∙(minus119894+1)

119889119909119863∙(minus119894)119889119909prime (81219)

Где 119891119863119894 ndash изображение функции мощности источников в каждом n

сегменте [17]

48

813 Основа модели фильтрации к горизонтальной скважине с МГРП

Задача притока добываемого флюида к горизонтальной скважине с

многостадийным гидроразрывом пласта (МГРП) схематично можно

представить как несколько одинаковых трещин соединенных общим

горизонтальным стволом Каждая трещина пресекает ствол горизонтальной

скважины в центре и является симметричной относительно ствола ((119909119908119863119895 119910119908119863119895)

Рис 8131 Схематическое изображение ГС с МГРП

Каждая трещина ГРП будет иметь равную полудлину 119909119891 и безразмерную

проводимость 119865119862119863 В модели существует предположение что течение флюида

внутри трещины является одномерным Следовательно поток флюида к

горизонтальному стволу скважины с n трещинами будет равен алгебраической

сумме потоков флюида от каждой трещины

119876 = sum 119876119895(119905)119899119895=1 = 119888119900119899119904119905 (8131)

Как ранее для общения задачи вводим безразмерные переменные

давление в точке пересечения скважины с j трещины - 119901119908119863119895 безразмерный дебит

- 119902119863119895 =119876119895

119876

Из условий бесконечной проводимости для горизонтального ствола

119901119908119863119895 = 119901119908119863 119895 = 1 119899 8132

Возмущение давление которое создается трещиной k в точке пересечения

119895 трещины со скважиной ndash 119901(120591)119863119895119896 equiv 119901119863(120591 119909119908119863119896 119910119908119863119896 119909119908119863119895 119910119908119863119895) применяя

принцип суперпозиции

119901119908119863(119905119863) = sum int 119902119863119895 ∙ 119901prime119863119895119896(119905119863 minus 120591)119889120591 8133

1199051198630

119899119895=1

49

Суммарный поток флюида от всех трещин будет фиксирован

sum 119902119863119895119899119895=1 = 1 и с преобразованием Лапласа - sum 119863119895

119899119895=1 =

1

119904 8134

Преобразование Лапласа для 734 р119908119863119895 = sum 119904119863119895119863119895119896119899119896=1 8135

119863119895119896 = int 119891119863(119904 |119909119908119863119896 minus 119909prime|)(119904 119909119908119863119896 minus 119909prime 119909119908119863119895 119910119908119863119896 119910119908119863119895)119889119909

prime

119909119908119863119896+1

119909119908119863119896minus1

8136

119863119895119896 =sum119891119863119894 int (119904 119909119908119863119896 minus 119909prime 119909119908119863119895 119910119908119863119896 119910119908119863119895)119889119909prime

119889119909119863∙119894

119889119909119863(119894minus1)

119899

119894=1

+ int (119904 119909119908119863119896 minus 119909prime 119909119908119863119895 119910119908119863119896 119910119908119863119895)119889119909prime

minus(119894minus1)∙119889119909119863

minus119894∙119889119909119863

8137

Мощность источников 119891119863(119904 |119909119908119863119896 minus 119909prime|) вычисляется из (81217-

81218) где 119889119909119863 =1

119899 ndash безразмерная длина каждого n сегмента 119891119863119894 -

безразмерная скорость течения через i элемент

Система уравнений (8134-8137) записывается в виде [8]

А = 8138

= (

1199081198631198631⋮119863119899

) 8139

А = (

1 minus119904 ∙ 11986311 ⋯ minus119904 ∙ 1198631119899⋮ ⋮ ⋱ ⋮

1 minus119904 ∙ 1198631198991 hellip minus119904 ∙ 1198631198991198990 1 hellip 1

) 81310

= (

0⋮01 119904frasl

) 81311

50

Для вычисления матричных элементов 119863119895119896 необходима информация о

мощности потока в из всех 119899 трещин ГРП Если считать что каждая трещина ГРП

делится на 2119898 сегментов (рис 8123) тогда система (81310) будет содержать

(1 + 2119898 times 119899) количество уравнений относительно следующих неизвестных

119908119863 11989111986311 hellip 119891119863(2119898)1 hellip 1198911198631119899 hellip 119891119863(2119898)119899 где в 119891119863119894119895 ndash течение через i-й

сегмент в j-й трещине Пользуясь упрощенным подходом можем переписать в

следующем виде[19]

forall119895 isin 1hellip119899 forall119896 = 1hellip119898 ∶ 119891119863119895119896 = 119863119895 ∙ 119891119863119896 81312

При определении мощности источников используется допущение что на

распределение мощности источников внутри каждой из трещин соседние

трещины оказывают слабое влияние Можно предположить что распределения

мощности потока в трещинах симметричны относительно точки пересения со

стволом скважины Элементы матрицы А в (81310) получают по формуле

(8137)

119863119895119896 =sum119891119863119894 int (119904 119909119908119863119896 plusmn 119909prime 119909119908119863119895 119910119908119863119896 119910119908119863119895)119889119909

prime

119889119909119863∙119894

119889119909119863(119894minus1)

81313

119899

119894=1

где функция (hellip ) определяется по табличным формулам в зависимости

от граничных условий и типа зоны дренирования

Для решения СУ используется выражение матрицы в виде произведения

дву нижней треугольной и верхней треугольной (LU-декомпозиция) (Ортега

Дж 1991) Так называемое LU-разложение (LU-декомпозиция) mdash

представление выражение определенной матрицы в виде произведения двух

матриц A = LU где L mdash нижняя треугольная матрица а U mdash верхняя

треугольная матрица [15]

Ниже представлены применяемые в данной работе функции источников

в пространстве Лапласа

Таблица 8131 Функции линейных стоков

51

Тип условий на

границах

Функции линейных стоков

119899119899119899119899 =

=120587

2119909119890119863coshradic1199041198631 + coshradic1199041198632

radic119904 sinhradic119904119910119890119863

+ 2sumcos119896120587119909119863119909119890119863

cos 119896120587(119909119908119863 minus 119909prime)

119909119890119863

cosh 1205981198961198631 + cosh 1205981198961198632120598119896 sinh 120598119896119910119890119863

infin

119896=1

0 17

119888119888119888119888

=120587

119909119890119863sumsin119896120587

119909119863119909119890119863

sin 119896120587|119909119908119863 minus 119909prime|

119909119890119863

cosh 1205981198961198631 minus cosh 1205981198961198632120598119896 sinh 120598119896119910119890119863

infin

119896=1

0 18

119888119899119888119899 =

=120587

2119909119890119863coshradic1199041198631 minus coshradic1199041198632

radic119904 sinhradic119904119910119890119863

+ 2sumcos119896120587119909119863119909119890119863

cos 119896120587(119909119908119863 minus 119909prime)

119909119890119863

cosh 1205981198961198631 minus cosh 1205981198961198632120598119896 sinh 120598119896119910119890119863

infin

119896=1

0 19

Где 119909119890119863 =119909119890

119909119891 119910119890119863 =

119910119890

119909119891 1198631 = 119910119890119863 minus |119910119863 minus 119910119908119863| 1198632 = 119910119890119863 minus (119910119863 + 119910119908119863) 120598119896 =

radic119904 + 11989621205872 1199091198901198632frasl 119909119890 ndash размер площади дренирования по оси x 119910119890 ndash размер

площади дренирования по y 119899 значает границу отсутствия перетока 119888

означает границу постоянного давления

82 РЕАЛИЗАЦИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ИССЛЕДОВАНИЙ

В настоящей работе реализовано решение задачи фильтрации о

нестационарном притоке флюида к скважине при постоянном заданном дебите

для скважин с разным типом заканчивания (вертикальная скважина и

горизонтальная скважина с трещинами МГРП) Математическая модель описана

для задач (Главы 811-813) реализована на языке программирования VBA

Входные параметры приведены на рис 821 Параметры границ задаются

в виде прямоугольника (рис823) Параметры скважины флюида и пласта

задаются при помощи априорной информации Проницаемость рассматривается

как распределение полученных ранее (главе 3)

y

x

y

x

y

52

В ходе решения задачи строится график - кривая стабилизации давления

зависимость изменения забойного давления от времени (рис823)

Рис 821 Входные параметры для модели

Рис 822 Расположение горизонтальной скважины в границах

53

Рис 823 Кривая стабилизация давления

На следующем этапе по последней точке определяется значения kmodel В

зависимости от длительности исследования будь то 50 часов 100 часов и более

будет зависеть погрешность результата определения свойств пласта по

отношению к истинным параметрам (рис 821) К тому же от времени

исследования будут зависеть Capex на проведения исследования

Рассчитанное значение модельное kmodel затем сравнивается с исходным

заданным значением kist В результате получаем отношение модельного значения

kmodel после проведения ГДИ к kist в зависимости от длительности ГДИС (рис

822)

Рис 821 График производной забойного давления

54

Рис 822 Отношение kmodel kist для скважины 11РО

Полученные по проницаемости параметры умножаются на эффективную

мощность пласта-коллектора и затем рассчитанное распределение

интерполируется с другими параметрами в скважинах в точку проектной

По результатам моделирования распределения свойств пласта будут

изменяться уменьшение дисперсии при увеличении длительности исследования

(рис823) Идеальным исследованием считается исследование с длительностью

достаточной для достижения производной давления на билогарифмическом

графике радиального режима течения что указывает на достоверность

параметров по результатам ГДИ (проницаемость и пластовое давление) Чем

ближе длительность исследования к идеальному ГДИ тем ниже

неопределенность в параметрах и тем ближе распределение к идеальному

Моделирование разной длительности исследования проводиться для N ndash

распределений (рис2)

Результаты смоделированного ГДИ позволяют снизить неопределенности

(сузить распределение) в свойствах пласта в точке проектной скважины Для

интерполяции в точку проектной скважины используется метод сплайн ndash

интерполяции [18]

tk model 10 20 30 40 50 60 70 80

50 2288169 1501385 1150108 0948723 0808706 0717031 0640296 0581876

100 1496394 0948581 0717744 0581513 0484438 0414342 0361937 0319311

150 1107448 0689761 0503907 0394864 0322636 0269636 0233048 0203542

200 0949817 0580742 0417822 0318936 0259364 021555 0186095 0163468

250 0818194 0486803 0338246 0259062 0206736 0173204 014824 0129707

300 0705787 0408828 0281063 0211366 0169381 0142083 012167 0106692

350 0627933 0351884 023841 017996 0144702 0119968 0103063 0090319

400 0562852 0307024 0207063 0155316 0124788 010441 0089458 0078395

450 0510211 0272553 0183196 013788 0110431 009172 0079061 0069165

500 0463384 0245037 0164854 0123914 0099043 0082679 007078 0061913

55

Рис823 Изменение распределения в зависимости от времени исследования ГДИ

На рис 824 показано распределение значений проницаемости с учетом

разной длительности исследований ГДИ

Полученное распределение kh в проектной скважине до ГДИ

характеризовалось большей дисперсией по сравнению с распределением после

проведенного ГДИ на скважине

Рис 824 Распределение kh на проектной скважине

ГЛАВА 9 РАСЧЕТ ЭКОНОМИЧЕСКОГО ЭФФЕКТА

ЦЕННОСТИ ИНФОРМАЦИИ

Ожидаемая прибыль запланированной к бурению скважины до проведения

ГДИ рассчитывается с учётом исходного распределения после ГДИ

0

001

002

003

004

005

006

007

008

009

1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800

Пл

отн

ость

вероятн

ости

Пластовое давление атм

Распределения пластового давления

Время длительности ГДИ 50 часовВремя длительности ГДИ 100 часовВремя длительности ГДИ 150 часовВремя длительности ГДИ 200 часов (идеальное исследование)

56

рассчитывается для каждого дискретного варианта исхода из N-возможных и для

разных времен длительности исследования t

На первом этапе расчёта прибыли по методу Монте-Карло определяются

значения проницаемости и пластового давления с вероятностями распределения

равными 10 50 90 и оценивается запускное значение дебита скважины По

соседним скважинам определяются темпы падения дебита скважины

усредненный темп падения используется для проектной скважины

Произведение запускного значения дебита и усредненного темпа падения

характеризует профиль добычи проектной скважины На основе профиля

добычи оценивается NPV проектного бурения который учитывает

операционные затраты и капитальные расходы проекта При оценке NPV после

запланированного исследования в капитальных затратах учитываются расходы

на проведение ГДИ стоимость интерпретации исследования инструментальные

замеры

Ожидаемая ценность EMVwi после проведения ГДИ рассчитывается как

сумма отдельно взятых N - исходов умноженных на соответствующие

вероятности исходов (91)

119864119872119881119908119894 (119905119894) = 1198641198721198811199081198941(119905119894) lowast 1198751 + 1198641198721198811199081198942(119905119894) lowast 1198752 +⋯

+ 119864119872119881119908119894119873(119905119894) lowast 119875119899 =sum119864119872119881119908119894119895(119905119894)

119873

119895=1

(91)

Чистый дисконтированный доход рассчитывается по формуле (92) где

CF ndash денежный поток r ndash ставка дисконтирования I ndash сумма инвестиционных

вложений Непосредственно CF (денежный поток) будет определяться

количеством добываемого флюида [18]

119873119875119881 = sum119862119865119905

(1 + 119903)119905minussum

119868119905(1 + 119903)119905

(92)

Инвестиционные вложения включают операционные затраты ndash Opex

повседневные затраты компании для ведения бизнеса производства товаров и

57

услуг и капитальные затраты - Capex расходы на приобретение или обновление

необоротных активов При проведении ГДИС затраты на спускподъём

оборудования интерпретацию исследования инженером и потеря в прибыли

связанные с остановкой скважины учитываются в Capex

91 EMV БЕЗ УЧЕТА ПРОВЕДЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ

Дебит ndash это ограниченный объем добытой жидкости через скважину за

определенное время Оценки производительности скважин и расчет добычи

скважины проводятся на основе запускного дебита скважины и усредненного

темпа падения дебита на соседних скважинах на протяжении 25 лет В основном

темпы падения строятся исходя из истории эксплуатации на месторождении

анализируется весь набор данных на заданный пласт

Запускной дебит может быть рассчитан по следующим формулам в

зависимости от типа скважины [9]

1) Вертикальная скважина c ГРП

119902 =2120587119896ℎ(119875119894minus119875119908)

120583119861(119897119899119877119890119877119908minus075+119878)

119878 = 1198971198992119903119908

119909119891 (911)

2) Горизонтальная скважина с МГРП

119902 = 2120587kℎ ( 119875119894 minus119875119898

2+119875119908

2) + 119898119876119863 (912)

119876119863 =2120587kℎ(119875119894minus119875119908)

120583119861(119897119899119877119890119877119908minus075+119878)

(913)

С помощью расчёта запускных дебитов а также анализа работы

окружающих скважин были получены результаты темпов падения на рисунке

911 изображены темпы падения с вероятностью Р50 нефти и жидкости за 25 лет

для определенной скважины Также построена гистограмма с накопленной

добычей (рис 911)

58

Рис 931 Темпы падения для скважины

Рис 911 Гистограмма распределения добычи нефти

для скважины 716 до ГДИ

Геологические риски и неопределенности определяют необходимость

создания вероятностной оценки дебитов запасов профилей добычи

Вероятностная оценка по границам возможной минимальной и максимальной

эффективности поможет минимизировать инвестиционные риски проекта

Модуль вероятностной оценки дебитов запасов профилей добычи

основан на теории вероятностей и математической статистики [12] По

многочисленным входным параметрам задаются диапазоны ожидаемых

величин и тип распределения - по проницаемости эффективной

нефтенасыщенной толщины пласта пластовому давлению Источник

информации ndash фактические параметры полученные с карт и распределение с

59

ошибкой их построения Чем меньше неопределенностей тем меньше дисперсия

и разброс ожидаемых параметров в возможных диапазонах

Следующим этапом переходим к расчету экономических параметров

(NPV) по найденным значениям добычи за 25 лет На рисунке изображена

гистограмма NPV и указаны количественные оценки накопленной добычи и NPV

для вероятностей P10 P50 P90 (табл 911)

Рис 04 Гистограмма распределения NPV для скважины 716 до ГДИ

Таблица 921 Показатели добычи и NPV

Вероятность Накопленная добыча нефти тыст NPV млнруб

P10 1937 3012

P50 1128 1547

P90 597 585

60

С помощью выполненных расчетов (табл 911) ожидаемая ценность

проекта бурения скважины без проведения исследований (EMVwoi) составляет

16011 млн рублей

92 EMV БЕЗ УЧЕТА ПРОВЕДЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ

Расчет экономических параметров в случае модерирования исследований

проводится аналогичным образом Для расчета добычных показателей

планируемой скважины рассчитывается также по формулам 911-913 В этом

случае значения проницаемости и пластового давления задаются с помощью

уточнённые параметров после ГДИ с меньшей дисперсией

На рисунке 921 представлено распределение значений пластового

давления умноженного на эффективную нефтенасыщенную толщину после

ГДИ длительностью 150 часов

Рис 921 Гистограмма распределения NPV для скважины после ГДИ длительностью

150 часов

Расчет экономических параметров помимо операционных затрат (OPEX)

в случае моделирования ГДИ будет включать еще Capex ndash это затраты

проведенного исследования (инструментальные замеры спускоподъёмные

операции) который в свою очередь будут зависят от длительности проведения

исследований Также будут включены затраты на работу интерпретатора

исследований которые уже не будут зависеть от длительности В написанном

61

модуле также учитывается потеря прибыли на время остановки скважины

количественно потери будут определяться длительностью остановки скважины

на проведения ГДИ

62

ГЛАВА 10 РЕЗУЛЬТАТЫ

Реализованный модуль в данной работе позволяет определить

необходимость проведения гидродинамического исследования и выдать

рекомендации по продолжительности исследования составить ранжированный

список скважин по эффективности проведения исследований

В таблице 101 представлены результаты экономических параметров и

расчет VOI На графике (рис 101) построенным в осях VOI в зависимости от

времени исследования можно оценить экстремум функции как оптимальное

время для проведения исследования По представленным результатам

целесообразно провести ГДИ на скважине 3 длительностью от 150 часов так как

ценность полученной информации будет наибольшей

Таблица 101 VOI при проведении ГДИ на скважине 3

Продолжительность ГДИ

EMV1 EMV

2 VOI

Целесообразность исследования

50 16116 16111 005 + 100 16135 16111 024 + 150 16198 16111 087 +

200 16127 16111 016 +

250 16033 16111 -078 - 300 16021 16111 -09 -

В случае горизонтальных скважин также был произведен анализ

ценности информации рассчитаны параметры VOI от длительности по времени

Однако для выхода на радиальный режим для случаев горизонтальных стволов

скважин на рассматриваемом месторождении N необходимо более 500 часов что

существенно увеличивает капитальные затраты При расчете большой

длительности на проведения ГДИ обычно скважину не останавливают так как

эти исследования являются крайне затратными В таблице 202 указаны расчёты

при проведении исследования на горизонтальной скважине 5

63

Рис 101 Зависимость VOI от длительности ГДИ

Таблица 102 VOI при проведении ГДИ на скважине 5

Продолжительность ГДИ

EMV2 EMV

1 VOI

Целесообразность исследования

50 1603 1611 -078 - 100 1606 1611 -054 - 150 161 1611 -013 - 250 1612 1611 012 - 350 1611 1611 -006 - 500 1614 1611 024 +

Таблица 103 Ранжированный список скважин-кандидатов для проведения ГДИС

Скважина VOI (t=50) VOI (t=100) VOI (t=150) VOI (t=200) VOI (t=250) VOI (t=300)

3 005 024 087 016 -034 -078 1 003 015 036 073 -021 -064 4 002 012 024 054 -011 -057 2 001 009 011 031 042 -03

Модуль автоматически перебирает выбранный список скважин для

бурения проектной скважины и ранжирует их по ценности информации

проведенных исследований также предлагает наиболее оптимальное время

исследований исходя из экономических параметров (таблица 103)

Апробация и оптимизация инструмента оценки необходимости

проведения гидродинамического исследования проводится на одном из активно

-15

-1

-05

0

05

1

15

0 50 100 150 200 250 300 350

VO

I м

лнр

уб

Длительность ГДИ ч

VOI (Проведение ГДИ нецелесообразно)

VOI (Проведение ГДИ целесообразно)

64

разбуриваемых месторождений В данной работе проводилась аналитика для

бурения 10 проектных скважин По результатам моделирования ГДИ на

скважинах вблизи проектной была проведена оценка ценности информации от

запланированного исследования На рис102 представлена зависимость

определенного VOI от длительности ГДИ если график расположен выше нуля

(VOI gt 0) исследование экономически обосновано проводить Определив

экстремум функции определяется оптимальная длительность исследования

Приводя пример в рассчитанном кейсе для бурения скважины X наиболее

выгодно провести исследования в 3 скважине длительностью 150 часов

Рис 102 Зависимость VOI от длительности ГДИ в скважинах 1234

-1

-05

0

05

1

0 100 200 300 400

VO

I

Длительнось ГДИ

Скв 3 Скв 1 Скв 4 Скв 2

65

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

По результатам магистерской диссертации был реализован инструмент для

оптимального планирования гидродинамических исследований на этапе бурения

проектных скважин с помощью метода VOI

Предложенный в данной работе метод позволяет определить не только

необходимость проведения гидродинамического исследования но и выдать

рекомендации по оптимальной продолжительности исследования

Смоделировав исследования ГДИ на нескольких соседних от проектных

скважин инструмент позволяет ранжировать скважины ndash кандидаты для

гидродинамических исследования по величине ценности информации VOI

В процессе реализации предложенной методики работы было выполнено

следующее

1 Автоматический анализ данных по ранее проведенным

исследованиям определение геологической неопределенности

интересующих параметров (пластовое давление проницаемость) по

всему эксплуатационному фонду скважин на месторождении N

2 Модуль сплайн-интерполяция на языке программирования Python с

помощью которого интерполируются значения параметров

решается задача о нестационарном притоке к скважине с помощью

языка программирования VBA в котором учитываются результаты

моделирования синтетического ГДИ

3 Расчёт плановых показателей добычи на основе распределений Рпл

и kh до проведения исследования и после него в зависимости от

времени исследований

4 Экономический анализ эффективности проведения исследований на

основе методики VOI по результатам которого выполняется

ранжирование скважин по информативности исследований

66

По результатам расчёта на месторождении N выяснили что для бурения

скважины X наиболее эффективно останавливать на ГДИ скважину 3 с

длительностью исследования 150 часов

В заключении реализованный модуль позволяет оценить

целесообразность проведения ГДИ и самое важное экономическое обоснования

планируемых исследований

Возможности реализованного модуля

Автоматизированный анализ геологической неопределённостей по

фильтрационным-емкостным свойствам и пластовому давлению в

зоне планируемого бурения

Экономическое обоснование по проведению гидродинамических

исследований в зоне бурения проектных скважин

Определение оптимальной длительности ГДИС

Ранжирование скважин по информативности проведения

исследований

Экономическое обоснование затрат на ГДИС и последующими

решениями по оптимальному планированию ГДИС на основе

ценности информации

67

ОХРАНА ТРУДА

Преобладающее время по написанию выпускной квалификационной

работы проводилось за персональным компьютером

Согласно рекомендованной инструкцией по охране труда во время работы

на компьютере ТОИ Р-45-084-01 и также при его эксплуатации могут возникнуть

негативное влияние на работника следующие вредные производственные и

опасные факторы

повышенные уровень электромагнитного воздействия

высокая степень статического электричества

низкий уровень ионизации воздуха

нагрузки которые связанны с продолжительным временем сидячим

положением

повышенная нагрузка на органы зрения

болевые симптомы в позвоночнике и пояснице в связи

продолжительным сидячим положением а также венозная

недостаточность и стресс

Для рационального выбора организации рабочего процесса необходимо

минимизировать опасное воздействие на здоровье работающего а также

выполнить все требования эргономики и обезопасить свое рабочее место

Требования к минимизации нагрузки на органы зрения

Высокая нагрузка на органы зрения приводит к ухудшению зрения

возникновению близорукости и других заболеваний что также провоцирует

мигрень и головные боли повышается раздражительность нервное состояние

которое может привести к стрессу

Для избежание негативного воздействия на органы зрения необходимо

уделить особое внимание освещению как помещения так же и рабочих мест так

как степень освещенности напрямую зависит от интенсивности зрительного

напряжения Основное освещение следует размещать сплошными или

прерывистыми линиями светильников которые могут располагаться сбоку от

68

рабочих мест а также параллельно линии зрения рабочего при линейном

расположении мониторов компьютера Если же ПК расположены по всему

периметру помещения тогда линию светильников или ламп следует

расположить локализовано над каждым рабочим местом

Безопасная и рекомендуемая норма освещенности для работника в системе

освещения составляет mdash 150 minus 200 лк По правилам допускается расположение

ламп локального освещения Персональное освещение не должно

способствовать возникновению бликов на поверхности самого экрана а также

освещенность экрана не должна превышать 300 лк Безопасным считается

освещение рабочих мест люминесцентными лампами ЛБ белого света которые

должны использоваться в помещениях с нормальными условиями труда

Экран должен характеризоваться освещенностью не более 300 лк Яркость

ламп основного освещения в части зон углов излучения 50 minus 90∘ в продольной и

поперечной с вертикалью плоскостях может составлять менее 200кдм также

защитный угол светильников может составлять более 40∘

В виде источников света особенно при условии искусственного освещения

следует применять люминесцентные лампы ЛБ (белый свет) и ЛТБ (тепло-

белый) с характеристиками мощностью 40Вт или 80Вт обладающие высокой

световой отдачей (до 120лмВт и более) у которых продолжительный срок

службы (до 10000ч)

В лампах локального освещения допускается использование ламп

накаливания также галогенных Не допускается использование светильников без

рассеивателей и экранных решеток

Организация рабочего места в связи с активностью оператора

Сфера работы оператора ЭВМ характеризуется пониженной мышечной

активностью а также длительным напряжением мышц в статике особенно шеи

рук спины и ног что может привести к утомлению Состояние утомления

существенно возрастает особенно при неоптимальной высоте рабочего стола и

сидения у которого отсутствует опорная спинка или подлокотник а также

острых углах наклона головы нерациональным и неудобном размещении

69

видеотерминала документов и клавиатуры неудобном угле наклона

поверхности экрана отсутствии подставки для ног

Сиденье должно быть удобным и обеспечивать поддержание правильной

рабочей позы которое будет позволять изменять положение с целью

уменьшение напряжения мышц шейно-плечевой области Лучший способ - это

когда рабочее кресло оборудовано подъемно-поворотным которое регулируется

по высоте и по углам наклона спинки причем регулировка каждого параметра

должна быть независимой

Рабочее место работника следует обеспечить подставкой для ног (п 93 и

105 СанПиН 222241340-03) Поверхность подставки обязательно должна

быть рельефной и характеризоваться высотой переднего края 10 мм

Требования пожаробезопасности

Согласно ГОСТ 121004-91 следует помнить о существующих мерах

предосторожности и опасных факторах огонь пламя и дым также высокая

температура токсичные продукты горения и их термическое разложение

сниженная концентрация кислорода Противопожарную защиту обеспечивают

следующими мерами

Использование средств пожаротушения наличие сигнализации и

устройств тушения в помещениях которые способны ограничивать

распространение пожара наличие специальных средств индивидуальной

защиты

Противопожарные перегородки и отсеки устройства автоматического

отключения систем

Специальная планировка эвакуационных выходов

Системы оповещения людей по громкоговорителю

Технические средства для эвакуации людей

Присутствие огнетушащих веществ

70

Система вентиляции здания должна содержать оборудования и устройства

которые обеспечивают автоматическое отключение при пожаре и

огнедымозадерживающими устройствами Система электропитания

персонального компьютера должна иметь блокировку которая отключает его в

случае пожара

71

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1 Байков ВА Бакиров НК Яковлев АА Математическая геология

учебное пособие ndash Москва-Ижевск 2012 ndash 228с

2 Гуляев Д Н Кокурина В В Кременецкий М И и др Формирование

системы промыслового мониторинга на основе долговременных иссле-

дований стационарными датчиками на приеме насоса Нефтяное хозяй-

ствоraquo 12 2009 С 41ndash44

3 Демьянов В В Савельева Е А Геостатистика теория и практика

учебное пособие ndash Москва 2010 ndash 327с

4 Каневский МФ Демьянов ВВ Савельева ЕА и др Элементарное

введение в геостатистику Москва ВИНИТИ 1999 ndash 136с

5 Каневская Р Д Математическое моделирование разработки месторож-

дений нефти и газа с применением гидравлического разрыва пласта М

Недра-Бизнесцентр 1999 ndash 212 с

6 Кременецкий М И Ипатов А И Гуляев ДН Информационное

обеспечение и технологии гидродинамического моделирования нефтяных

и газовых залежей [Книга] - Москва-Ижевск Ижевский институт

компьютерных исследований 2011 ndash 896с

7 Леонтьев Н Е Основы теории фильтрации [Книга] - Москва ЦПИ при

механико-математическом факультете МГУ 2009 ndash 88с

8 Ортега Дж Введение в параллельные и векторные методы решения

линейных систем [Книга] - Москва Мир 1991 ndash245с

9 Abramowitz M IA Stegun Handbook of Mathematical Functions [Книга] -

New York Dover Publications Inc ndash 1972

10 Churchill RV Operational Mathematics [Книга] - New York McGraw-Hill

Book Co Inc ndash 1972

11 Gringarten AC and Ramey HJ The Use of Source and Greenrsquos Functions in

72

SolvingUnsteady-Flow Problems in Reservoirs [Книга] - SPEJ 1973 ndash245с

12 Houzeacute O Viturat D Fjaere O-S Dynamic data analysis [Книга] - Kappa

2008

13 Joshi SD Horizontal Well Technolog [Книга] - Tulsa Oklahoma Penwell

Published Compan 1991

14 Stehfest H NumericalInversionof LaplaceTransforms [Книга] -

Communicationsofthe ACM 1970

15 The Society of Petroleum Engineers Введение в нефтяной инжиниринг

[Книга] - Москва-Ижевск Институт компьютерных исследований 2014

16 Van Everdingen AF and HurstW W The Application of the Laplace

Transformation to Flow Problems in Reservoirs [Книга] - AIME 1953

17 Stehfest H NumericalInversionof LaplaceTransforms

Communicationsofthe ACM 1970

18 Gringarten AC and Ramey HJ The Use of Source and Greenrsquos Functions in

SolvingUnsteady-Flow Problems in Reservoirs бм SPEJ 1973

19 Jan R Williams Susan F Haka Mark S Bettner Joseph V Carcello

Financial amp Managerial Accounting 2008

11

Рис 01 Карта проницаемости пласта месторождения N

Месторождение N как и многие давно разрабатываемые активы покрыты

частой сеткой гидродинамических исследований в скважинах Однако

превосходящая часть этих исследований была осуществлена в течении 3-4 лет

назад данный факт существенно снижает корректность информации

полученной в результате исследований о текущем пластовом давлении и

фильтрационно-емкостных характеристиках пласта

Проницаемость горных пород пласта - это способность пород пласта-

коллектора пропускать флюид (жидкость воду и газ) при депрессии на пласт

Проницаемость является фильтрационным параметром горной породы который

определяет скорость фильтрации жидкости в среде Проницаемость пористой

среды будет зависеть не только от размера и расположения пор относительно

друг друга но также от характера движения фильтрующихся флюидов (нефть

вода газ)

Пластовое давление (Рпл) ndash это параметр который характеризует энергию

нефтегазоносных пластов Пластовым называют давление которым флюиды

воздействуют на вмещающие их породы Это давление возникает из

гидростатического давления то есть избыточного давления (архимедовой силы)

которое возникает в результате изменения объёма резервуара (порового

пространства пласта) и так же за счёт расширения (или сжатия) флюидов и

изменения их массы вследствие эксплуатации скважинами Существуют

понятия начального пластового давления и текущего пластового давления

Начальное определяют как исходный показатель которым характеризовался

пласт до вскрытия скважиной Текущим пластовым давлением определяют как

меняющийся в ходе разработки месторождения динамический параметр Один

из важных параметров в процессе разработки месторождения ndash это дебит

скважины (q определяют как объём флюида (воды нефти или газа) поступает в

единицу времени) Данная характеристика напрямую будет зависеть от

величины пластового давления и емкостных-фильтрационных свойств пласта

119875пл ndash динамический параметр по этой причине для эффективной разработки

12

месторождения необходима информация о текущем энергетическом состоянии

пласта и его проницаемости

Пластовое давление и проницаемость могут быть получены в результате

интерпретации гидродинамических исследований (глава 5) Однако

длительность исследований и их качество порой оказываются недостаточными

для корректного определения этих параметров В данной работе реализуется

алгоритм моделирования синтетических исследований (глава 8) для оценки

погрешности в зависимости от их длительности

ГЛАВА 3 МЕТОДИКА ОПТИМАЛЬНОГО

ПЛАНИРОВАНИЕ ИССЛЕДОВАНИЙ

Результатом интеграции методологии ценности информации и

планирования гидродинамических исследований является реализованный

инструмент позволяющий определить необходимость проведения исследования

на действующей скважине вблизи проектной С целью определения VOI

инструмент последовательно решает следующие задачи

1 Определение исходных распределений проницаемости (k) и

пластового давления в действующих скважинах (глава 2)

2 Интерполяция исходных распределений в точку проектной

скважины (глава 4)

3 Моделирование исследований ГДИ на действующих скважинах

расположенных вблизи проектной скважины и определение распределений

проницаемости и пластового давления с учётом результатов исследований (глава

8)

4 Интерполяция измененных распределений в точку проектной

скважины (глава 4)

5 Расчёт ожидаемой прибыли проектной скважины без проведения

исследования ГДИ (EMVwoi) (глава 91)

13

6 Расчёт ожидаемой прибыли проектной скважины с учётом

проведения исследования ГДИ (EMVwi) (глава 92)

При проектировании скважины значения проницаемости и пластового

давления определяются по имеющимся картам распределения свойств В свою

очередь построение карт основывается на результатах проведения

гидродинамических исследований По причине наличия погрешностей при

построении карт распределения свойств и погрешностей в результатах

гидродинамических исследований значения проницаемости и пластового

давления с карт зачастую не являются аналогичными результатам ГДИ

На первом этапе инструмент оценивает распределение параметров

основываясь на определении отношения (έ) значений проницаемости и

пластового давления определенных по результатам ГДИ к значениям

определенным по картам пластового давления и проницаемости (рис1)

Параметр έ характеризует отклонения результатов исследований от карт и таким

образом описывает неопределенность в параметре Определив параметр έ для

каждого имеющегося гидродинамического исследования оценивается

распределение отклонений έ для каждого параметра (проницаемости и

пластового давления) Разработка методологии проводилась на существующем

месторождении в результате параметр έ для проницаемости имел

логнормальное для пластового деления нормальное распределение (рис31)

Распределения свойств пласта в точках существующих скважин до

проведения гидродинамического исследования определяется путем

произведения распределений έ на значение параметра пласта с актуальной карты

[1]

14

Рис31 Распределения отклонений значений проницаемости и пластового давления по

результатам ГДИ от значений с карт

На следующем этапе инструмент интерполирует исходные распределения

в точках действующих скважин в точку проектной скважины Для интерполяции

используется метод сплайн ndash интерполяции который оценивает значения

используя математические функции В результате интерполяции для проектной

скважины определяются распределения проницаемости и пластового давления

до проведения гидродинамического исследования

Возможные реализации проницаемости и пластового давления имеют

широкие исходные распределения и являются непрерывными величинами по

этой причине перед моделированием ГДИ исходные распределения в точках

существующих скважин разбиваются на N-количество дискретных исходов

(рис32) Количество исходов (N) определяется на основе точности

погрешности результатов ГДИ Точность результатов ГДИ определяется

экспертным образом Вероятности исходов определяются на основе данных

вероятностного моделирования путем деления всего диапазона исходов

значений N - дискретных исходов и определение количества реализаций

которые можно отнести к каждому исходу При моделировании 100 значений

проницаемости если скважина в 20 реализациях попала в первое распределение

вероятность должна быть определена 20

0

02

04

06

08

1

12

14

00 10 20

Пл

отн

ость

ве

ро

ятн

ости

έ = (Рпл по ГДИ) (Рпл с карт)

Распределение έ значений проницаемости

0

02

04

06

08

1

12

14

00 05 10 15 20

Пл

отн

ость

ве

ро

ятн

ости

έ = (119896 по ГДИ) (119896 с карт)

Распределение έ значений пластового давления

15

Рис 32 Разбиение исходного распределения пластового давления на дискретные

значения

Для оценки распределений свойств пласта в точке проектной скважины

после проведения гидродинамического исследования необходимо создать

синтетическое ГДИ Моделирование запланированного ГДИ проводится путём

решения задачи о нестационарном притоке к скважине с постоянным дебитом на

основе исходных распределений свойств пласта

Уравнением описывающим процессы происходящие при исследованиях

ГДИ является уравнение пьезопроводности Данное уравнение (31) описывает

неустановившееся однофазное одномерное течение флюида в пористой среде и

выражает связь между пластовым давлением временем и расстоянием от

скважины до точки наблюдения Решение уравнения пьезопроводности (32) для

простого случая работы вертикальной скважины в бесконечном пласте позволяет

получить модель характеризующую перераспределение давления в пласте

1

120594

120597120549119875

120597119905=1

119903

120597

120597119903(119903120597120549119875

120597119903) (31)

∆119875(119905 119903) = minus9205119902119861120583

119896ℎ119864119894 (minus

1199032

000036120594119905) (32)

где (q ndash дебит скважины м3сут B ndash объёмный коэффициент 120583 ndash

вязкость жидкости cпз k ndash проницаемость мД h ndash мощность пласта

м r ndash радиус м χ ndash пьезопроводность мД(спзатм-1) t ndash время ч)

16

Ожидаемая прибыль запланированной к бурению скважины до проведения

ГДИ рассчитывается с учётом исходного распределения после ГДИ

рассчитывается для каждого дискретного варианта исхода из N-возможных и для

разных времен длительности исследования t

На первом этапе расчёта прибыли по методу Монте-Карло определяются

значения проницаемости и пластового давления с вероятностями распределения

равными 10 50 90 и оценивается запускное значение дебита скважины По

соседним скважинам определяются темпы падения дебита скважины

усредненный темп падения используется для проектной скважины

Произведение запускного значения дебита и усредненного темпа падения

характеризует профиль добычи проектной скважины На основе профиля

добычи оценивается NPV проектного бурения который учитывает

операционные затраты и капитальные расходы проекта При оценке NPV после

запланированного исследования в капитальных затратах учитываются расходы

на проведение ГДИ стоимость интерпретации исследования инструментальные

замеры

Ожидаемая ценность EMVwi после проведения ГДИ рассчитывается как

сумма отдельно взятых N - исходов умноженных на соответствующие

вероятности исходов (33)

119864119872119881119908119894 (119905119894) = 1198641198721198811199081198941(119905119894) lowast 1198751 + 1198641198721198811199081198942(119905119894) lowast 1198752 +⋯

+ 119864119872119881119908119894119873(119905119894) lowast 119875119899 =sum119864119872119881119908119894_119895(119905119894)

119873

119895=1

(33)

По результатам моделирования ГДИ на скважине вблизи проектной

проводится оценка ценности информации от запланированного исследования

Реализуется построение зависимости VOI от длительности ГДИ где график

расположен выше нуля (VOI gt 0) следует что исследование экономически

обосновано проводить По результату работы модуля выполняется

17

ранжирование скважин с оптимальным временем проведения ГДИ на основе

ценности информации

ГЛАВА 4 МЕТОДЫ ИНТЕРПОЛЯЦИИ

Определения параметров пласта в области с отсутствующими прямыми

измерениями осуществляются с помощью пространственной интерполяции

Одним из основных методов построения карт параметров пласта является

сплайн-интерполяция

Для построения распределения свойств пласта в определённой зоне

используют ограниченное значение количественных измерений интересующего

параметра Z в точках (Xi Yi) Данные точки определяются как точки выборки

(точки наблюдений) Цель пространственной интерполяции ndash получить значения

пространственной переменной Z на площади где отсутствуют исследования с

минимально погрешностью Необходимо интерполировать из точек Z(xi) в

определенную точку Z(x) на основе анализа имеющихся в базе значений (Рис 42)

Рис 42 Интерполяция в точку Z(x)

Подход интерполяции напрямую опирается на измеренные значения в

точках и интерполируются с помощью подбора математической функции

определяя слаженность результирующей формы [4]

В данной работе был реализован метод сплайн-интерполяции

Сплайн-функцией 119904(119909) 119909 isin [119886 119887] называется функция которая в

каждом частичном отрезке [119909119894minus1 119909119894] является полином некоторой степени и

имеет на заданном [119886 119887] производную до некоторого порядка Под степенью

18

сплайна подразумевают максимальную степень полинома по каждому из

отрезков [119909119894minus1 119909119894] а под дефектом сплайна ndash разность между соответствующей

степенью сплайна и порядком наивысшей производной на заданном отрезке

[119886 119887]

Интерполяция сплайнами является кусочно-полиномиальной

интерполяцией Основная теория сплайн-интерполяции заключается том что на

каждом шаге интерполяции (разбиваемом промежутке между узлами)

осуществляется аппроксимация в форме определенной полиномиальной

зависимости Для каждого шага итерации осуществляется подборка полинома

таким образов чтобы выполнялись граничные условия на концах отрезка

Условия для сплайна полинома степени n должны обеспечивать непрерывность

производных порядка степени (n-1) Наиболее распространённые и имеющие

широкую практическую применимость являются кубические сплайны

41 КУБИЧЕСКИЙ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ СПЛАЙН

Кубическим интерполяционным сплайном 119904(119909) называется функция

которая удовлетворяет следующим условиям

1 На каждом определенном отрезке [119909119894minus1 119909119894] 119904(119909) является полином

третьей степени то есть

119904(119909) = 1198860(119894)1199093 + 1198861

(119894)1199092 + 1198862

(119894)119909 + 1198863

(119894) 119909 isin [119909119894minus1 119909119894] (411)

2 119904(119909) isin 119862[119886119887]2

3 119904(119909119894) = 119891119894 119894 = 0 1hellip 119899

4 119904primeprime(119886) = 119904primeprime(119887) = 0

Коэффициенты 1198860 1198861

1198862 1198863

рассчитываются независимо от каждого

промежутка интерполирования [14]Рассмотрим как строится кубический

сплайн Обозначим через 119898119894 = 119904primeprime(119909119894) 119894 = 0hellip 119899 minus

величина называемая моментом

19

119904primeprime(119909) - линейная функция и для каждого отрезка она совпадает с

интерполяционной функцией полинома Лагранжа первой степени

Проинтегрировав получившееся равенство определяется из условия 3

искомые константы находятся в виде сплайна 119904(119909) на частичном отрезке

[119909119894minus1 119909119894]

119904(119909) = 119898119894minus1

(119909119894 minus 119909)3

6ℎ+119898119894

(119909 minus 119909119894minus1)3

6ℎ+ (

119891119894 minus 119891119894minus1ℎ

minus (119898119894 minus119898119894minus1)ℎ

6) (119909 minus 119909119894)

+ 119891119894 minus119898119894

ℎ2

6 (412)

Определяем моменты 119898119894 119894 = 0hellip 119899 с помощью условий 2 3 4

выводим систему следующего вида

1198980 = 0ℎ

6119898119894minus1 +

2

3ℎ119898119894 +

ℎ

6119898119894+1 =

119891119894minus1 minus 2119891119894 + 119891119894+1ℎ

119894 = 1hellip 119899 minus 1 (413)

119898119899 = 0

Запишем следующие вектора

119898 =

(

11989801198981

⋮119898119899minus1119898119899 )

minus (119899 + 1) minus мерный (414)

119892 =

(

1198910 minus 21198911 + 1198912ℎ⋮

119891119899minus2 minus 2119891119899minus1 + 119891119899ℎ )

minus (119899 + 1) minus мерный (415)

и матрицу

20

119860 =

(

1 0 0 01

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ 0

01

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ

⋯0 0 0 00 0 0 00 0 0 0

⋮ ⋱ ⋮

0 0 0 00 0 0 00 0 0 0

⋯

1

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ 0

01

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ

0 0 0 1 )

minus (119899 + 1) times 6(119899 + 1)

minus мерную (416)

Сходимся в необходимости решить следующую систему (417)

119860119898 = 119892 (417)

Данная система представляет собой систему с трёхдиагональной

матрицей и с диагональным преобладанием Для необходимости её решения

потребуется применить метод прогонки который возможен для систем

следующего вида

1198980 = 11989611198981 + 1198920119886119894119898119894minus1 + 119887119894119898119894 + 119888119894119898119894+1 = 119892119894 119894 = 1hellip 119899 minus 1

119898119899 = 1198962119898119899minus1 + 119892119899 (418)

где

119886119894120572119894 + 119887119894 ne 0 119894 = 1hellip 119899

1 minus 1198962120572119899 ne 0 (419)

где 120572119894 в свою очередь - это

1205721 = 1198961

120572119894+1 = minus119888119894

119886119894120572119894 + 119887119894 119894 = 1hellip 119899 minus 1 (4110)

Следующая методика прогонки представлена в двух частях прямой хода

и обратный хода Прямой ход выявляет следующие величины

21

1205721 = 11989611205731 = 1198920

120572119894+1 = minus119888119894

119886119894120572119894 + 119887119894 119894 = 1hellip 119899 minus 1 (4111)

120573119894+1 = minus119892119894 minus 119886119894120573119894119886119894120572119894 + 119887119894

119894 = 1hellip 119899 minus 1

Далее следует обратный ход в порядке уменьшения индексов определяет

искомые параметры

119898119899 =

119892119899 + 11989621205731198991 minus 1198962120572119899

119898119894 = 120572119894+1119898119894+1 + 120573119894+1 119894 = 119899 minus 1hellip 0

(4112)

Сплайн 119904(119909)математически определён формулой представленной выше

42 КУБИЧЕСКИЙ СГЛАЖИВАЮЩИЙ СПЛАЙН

Метаматематическая модель кубического сглаживающего сплайна

заключается в том что в узлах 119909119894119894=0119899 sub [119886 119887] определенные значения функции

119891(119909) могут быть заданы с погрешностью 119891119894=0119899

В таких моделях с дефектом 1

кубический интерполяционный сплайн будет реализован с достаточно большой

погрешностью вследствие построения с неточными значениями В большинстве

случае реализуют построение кубического сглаживающего сплайна в котором

решается следующая экстремальная задачи

119906 =119894119899119891

119906 isin 11988222[119886 119887]

120567(119906) (421)

где 11988222[119886 119887] ndash пространство Соболева вещественных функций с нормой

1199062 = int(|119906(119909)|2 + |119906primeprime(119909)|2)119889119909

119887

119886

(422)

а функционал

22

120567(119906) = int |119906primeprime(119909)|2 119889119909

119887

119886

+sum119901119894(119906(119909119894) minus 119891119894)2

119899

119894=0

119901119894 gt 0 119894 = 0hellip 119899 (423)

строго неотрицательный выпуклый полунепрерывный снизу

вследствие слабой сходимости

Однозначно решение данной задачи существует и является единственным

решением Введем единственное решение 1199060(119909) также обозначим значения

119910119894119894=0119899 следующим образом

119910119894 = 1199060(119909119894) 119894 = 0hellip119899 (424)

Можем построить кубический интерполяционный сплайн 119904(119909 119910)

119904(119909119894 119910) = 119910119894 Данное полученное решения является равным 1199060

Оценим вид интерполяционного сглаживающего сплайна

Введём в рассмотрение отображение 119866(119910) ℝ119899+1 rarr ℝ

119866(119910) = 120567(119904(middot 119910 )) = int |119904primeprime(119909)|2 119889119909

119887

119886

+sum119901119894(119904(119909119894) minus 119891119894)2

119899

119894=0

=

sum int |119904primeprime(119909)|2 119889119909

119909119894

119909119894minus1

119899

119894=1

+sum119901119894(119904(119909119894) minus 119891119894)2 (425)

119899

119894=0

Получаем исходную экстремальную задачу эквивалентную поиску

min119910isin ℝ119899+1

119866(119910) (426)

Исходя из того что 119904(119909 119910) ndash является кубическим интерполяционным

сплайном запишем

119904primeprime(119909119894 119910) = 119898119894 119894 = 0hellip119899 (426)

1198980 = 0119898119899 = 0 (427)

Вводим (119899 minus 1) times (119899 minus 1)-мерную матрицу

23

119860 =

(

2

3ℎ

1

6ℎ 0 0

1

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ 0

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

0

0

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

01

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ

0 01

6ℎ

2

3ℎ)

(428)

(119899 minus 1)-мерный вектор

119898 = (

1198981

⋮119898119899minus1

) (429)

(119899 minus 1) times (119899 + 1)-мерную матрицу

119867 =

(

1

ℎminus1

2ℎ

1

ℎ0 ⋯ 0 0 0 0

⋯

0 0 0 0 ⋯ 01

ℎminus1

2ℎ

1

ℎ)

(4210)

невырожденную (119899 + 1) times (119899 + 1)-мерную матрицу

119875 = (1199010

⋱119901119899

) (4211)

и (119899 + 1)-мерный вектор

119891 = (1198910⋮119891119899

) (4212)

получаем следующую систему уравнений в которой вычисляем моменты

119898

(119860 + 119867119875minus1119867lowast)119898 = 119867119891 (4213)

Данная система решается методом Гаусса Затем можем выразить

119910 = minus119875minus1119867lowast119898 + 119891 (4214)

(4214) - точку глобального минимума для заданного отображения 119866(119910)

В итоге получаем форму сглаживающего сплайна

24

119904(119909) = 119898119894minus1

(119909119894 minus 119909)3

6ℎ+119898119894

(119909 minus 119909119894minus1)3

6ℎ+ (119910119894minus1 minus

ℎ2

6119898119894minus1)

119909119894 minus 119909

ℎ

+ (119910119894 minusℎ2

6119898119894)

119909 minus 119909119894minus1ℎ

(4215)

119909 isin [119909119894minus1 119909119894] 119894 = 1hellip119899 (4216)

ГЛАВА 5 ОСНОВЫ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО

ИССЛЕДОВАНИЯ СКВАЖИН

Основой ГДИС являются решение нестационарной задачи фильтрации

Рис 51 а) б) формирование радиальной воронки депрессии после пуска

добывающей и нагнетательной скважины в) г) расформирование радиальной

воронки депрессии после остановки добывающей и нагнетательной скважины

Tmdash время прошедшее после пуска скважины tmdash время прошедшее после

остановки скважины[6]

флюидов в порово-упругой среде Они основываются на изучение процессов

формирования и релаксации полей давления в пласте и в скважине в

зависимости от типа воздействия (закачка или отбор флюида) (рис51) Арсенал

технологий исключительно разнообразен и включает самые различные методы с

различной продолжительностью и интенсивность воздействия на пласт Каждая

технология представляет совокупность циклов (базовых элементов)

Определение каждого из них ndash регистрация разницы давления во времени после

изменения дебита скважины на заданной глубине Продолжительностью цикла

25

обуславливается решаемой задачей глубинностью условием и объектом

исследования

Гидродинамические исследования предполагают синхронные измерения

давления и расхода на фиксированной глубине при переходных режимах

эксплуатации скважины Основными элементами технологий ГДИС стабильно

работающих скважин являются способы предполагающие регистрацию

изменения давления во времени

после пуска скважины на стабильный режим отбора или закачки

(кривая стабилизации давления (КСД) -пуск) или при переходе с

одного стабильного режима на другой (КСД-режим)

после остановки скважины стабильно или циклически работавшей

в режиме отбора (кривая восстановления давления КВД) или

закачки (кривая падения давления - КПД)

Решение прямой задачи ГДИС состоит в оценке изменения давления на

забое скважины при заданном изменении дебита и для конкретной модели

скважины и пласта

К наиболее часто используемым моделям относится скважина со скин-

фактором в однородном изотропном пласте при радиальном режиме течения

При пуске скважины с постоянным расходом QАТ[м3с]=const (расход

соответствует условиям атмосферы) изменение давления РС [Па] во времени

tРАБ[с] прошедшем с момента пуска описывается асимптотической

формулой точность которой повышается с увеличением tРАБ

РАБRRРАБ

ПРС

OАТCПЛ tt

r

χ

επ

BQPP

lnln

252ln

4 2

_

(51) επ

BQ OАТR

4

2

_

252ln

ПРС

RRr

χ

kh

k

S

CПРС err _

Другие обозначения принятые в данных формулах PПЛ [Па] ndash первоначальное

пластовое давление [Пас] - динамическая вязкость фильтрующегося флюида Во[безразм]

26

ndash объемный коэффициент флюида [м3Па с] ndash гидропроводность пласта [м2с] ndash

пьезопроводность пласта k [м2] ndash проницаемость пласта КП [в долях]ndash пористость пласта h[м]

ndashэффективная работающая толщина пласта s[безразм] ndash интегральный скин-фактор rС_ПР [м]

ndashприведенный радиус скважины rС[м] ndashрадиус скважины [Па-1] ndash интегральная

сжимаемость пористой среды

При остановке скважины работавшей с постоянным расходом QАТ[м3с] =const в

течение времени tРАБ[с] изменение давления РС[Па] во времени tОСТ[с] прошедшем с

момента остановки описывается асимптотическими формулами (для больших значений tОСТ)

ОСТ

ОСТРАБRПЛ

ОСТ

ОСТРАБОАТПЛC

t

tP

t

tВQPP

tln

tln

4

(52

)

ОСТРАБ

ОСТРАБRR

ОСТРАБ

ОСТРАБ

ПРС

ОАТНАЧC

t

t

t

t

r

ВQPP

t

tln

t

tln

252ln

4 2

_

(53

)

где PНАЧ [Па] ndash давление в момент остановки скважины (tОСТ =0)

Следует обратить внимание что соотношения (51) и (53) оперируют с

разностью текущего и начального давления цикла (в первом случае в качестве

начального выступает пластовое давление а во втором ndash давление в момент

остановки скважины) В отличие от этого соотношение (52) оперирует с

абсолютной величиной давления

С математической точки зрения названные способы представления

данных идентичны Но каждый из них оптимален для решения конкретной

задачи интерпретации гидродинамических исследований Уравнения (51) и (53)

позволяют выделить влияние скин-фактора Основная цель использования

формулы (52) оценка абсолютной величины пластового давления

Абсолютная величина тангенса угла наклона асимптоты () для всех без

рассмотренных зависимостей одинаков и определяется величиной

гидропроводности пласта

Рис52 иллюстрируют поведение давления во времени при запуске

скважины в зависимости от дебита в цикле исследований (а) проницаемости

пласта (б) и скин-фактора (в) Основной недостаток подобного представления

27

результатов в низкой наглядности В частности очень трудно различить

особенности влияния основных информативных факторов ГДИС ndash

фильтрационных свойств пласта (проницаемости) и характеристик

совершенства вскрытия (скин-фактора)

Рис52 особенности поведения давление при пуске скважины (КСД)

а) Влияние расхода Q=QАТВо-расход PС ndashдавление РПЛ- начальное

пластовое давление tРАБ=0 момент пуска скважины (Q1ltQ2ltQ3)

б) Влияние проницаемости Q-расход PС ndashдавление РПЛ- начальное

пластовое давление tРАБ=0 момент пуска скважины (k1gtk2ltk3)

в) Влияние проницаемости скин-фактора Q-расход PС ndashдавление РПЛ-

начальное пластовое давление tРАБ=0 момент пуска скважины (s3gts2lts1)

В ГДИС используются специальные способы представления данных

позволяющие сделать их интерпретацию более наглядной

Рис53 иллюстрирует основные способы представления результатов

ГДИС для исследования добывающей скважины включающей цикл I запуска с

постоянным расходом (КСД-пуск) и цикл II остановки (КВД)

PCQ

PCQ

t=to

Q

PC (k=k1)

PC (k=k3)

PC (k=k2)

PC=PПЛ tРАБ

Q1

PC=PПЛ

t=to

Q2

Q3

PC (Q=Q1)

PC (Q=Q2)

PC (Q=Q3)

PCQPC=PПЛ

Q

PC (s=s1)

PC (s=s2)

PC (s=s3)

а)

б)

в)

tРАБ

tРАБ

28

Рис53 Основные способы представления результатов ГДИС для

диагностики радиального режима течения при пуске в работу со стабильным

расходом добывающей (I) и нагнетательной (II) скважины а) давление как

функция времени в декартовых координатах б) приращение давления как

функция времени в декартовых координатах в) приращение давления как

функция логарифма времени г) логарифм приращения давления и логарифм

логарифмической производной как функция логарифма времени

Базовым способом представления результатов ГДИС является график

полной (по всем циклам исследования) кривой изменения давления во времени

в процессе ГДИС в декартовых координатах (рис53а)

Графики в декартовых координатах зависимости приращения давления от

времени по отдельным циклам позволяют унифицировать результаты измерения

давления по циклам его роста (КВД) и падения (КСД - пуск) Приращение

вычисляется как модуль разности текущего давления (Р) и начального давления

PС

P=Рпл

a)

I

II

ln(tРАБtОСТ)(tРАБ +tОСТ)

IIбtРАБ

РНАЧI

РНАЧII

P=РНАЧI-PС

ln(tРАБ)

P

lnPlnPP

P

Iв)

Iг)

Iд)

P

lnPlnPP

P

IIв)

IIг)

IIд)

tОСТ

P=PС-РНАЧII

tРАБ

ln(tРАБ)

ln(tРАБ+tОСТ)tОСТ

ln(tРАБtОСТ)(tРАБ +tОСТ)

tОСТ

PС

29

(РНАЧ) в цикле Р= Р-РНАЧ Величина Р монотонно увеличивается во

времени вне зависимости от соотношения дебитов в цикле исследования и

предшествующем цикле[6]

График зависимости приращения давления от логарифма текущего

времени laquolntРАБraquo используется для представления результатов КСД-пуск

(рис53Iв) Участок КСД соответствующий радиальному режиму в данном

масштабе аппроксимируется линейной асимптотой Эта особенность

радиального режима используется для его диагностики

Как следует из соотношения (52) наклон асимптоты определяется

гидропроводностью пласта а свободный член значением гидропроводности и

приведенного радиуса (то есть и скин-фактора)

Для цикла (КВД) вместо логарифмического масштаба времени

используется так называемый обобщенный логарифмический масштаб

вычисляемый на основе продолжительностей и расходов циклов работы

скважины предшествующих анализируемому (рис53IIв)

Как следует из соотношения (53) для цикла КВД после одиночного цикла

работы скважины данный масштаб вычисляется по формуле

ОСТРАБ

ОСТРАБP

tt

ttt

)(lnF

(54)

Во временном интервале радиального режима течения КВД

аппроксимируется линейной асимптотой Наклон асимптоты определяется

гидропроводностью пласта а свободный член значением гидропроводности и

приведенного радиуса (то есть и скин-фактора)

Масштаб Хорнера у которого радиального режима течения также является

логарифмическим (рис53II б)

Как следует из соотношения (52) для цикла КВД после одиночного цикла

работы скважины данный масштаб вычисляется по формуле

)ln()(lnОСТ

ОСТРАБ

Pt

tttF

(65)

30

Данный масштаб является инверсным по времени При увеличении

времени его значения падают Участок КВД соответствующий радиальному

режиму течения аппроксимируется линейной асимптотой Наклон асимптоты

определяется гидропроводностью пласта а свободный член значением

пластового давления

Двойной логарифмический масштаб для цикла laquoКСД-пускraquo предполагает

представление логарифма приращения давления laquoln(P)raquo и логарифма

логарифмической производной ln(P) от логарифма времени (рис62Iд)

Логарифмическая производная в этом случае вычисляется по формуле

)ln( P

PP

(66)

Для цикла laquoКВДraquo двойной логарифмический масштаб предполагает

представление параметров laquoln(P)raquo и ln(P) от обобщенного логарифмического

времени соотношение (69)- рис62IIд

)( PF

PP

P

(67)

Данный масштаб является универсальным используется для диагностики

не только радиального но и линейного и других не радиальных режимов течения

для всех типов циклов ГДИС

Следует подчеркнуть что соотношения (51)-(54) выведены для двух

цикличной технологии исследования и при увеличении числа циклов должны

быть модифицированы Но описанный выше принцип масштабирования

результатов ГДИС является универсальным

31

Рис 54 Билогарифмический график КВД [5]

На основе интерпретации результатов исследования ГДИС определяются

параметры энергетического состояния скважины (пластовое давление

депрессия продуктивность динамика их изменения) фильтрационные

параметра пласта (гидропроводность подвижность пьезопроводность

проницаемость) зональность их распространения по площади

В настоящей магистерской диссертации была реализован метод

математического моделирования с целью получения информации о

проницаемости и пластовом давлении в точках исследуемых скважинах

погрешностью полученных параметров на основе качества исследования

(наличие на билогарифмическом радиального режима) связанным со временем

исследования

ГЛАВА 6 ТЕОРИЯ ФИЛЬТРАЦИИ В УПРУГОЙ ПОРИСТОЙ

СРЕДЕ

Основа теории фильтрации основана на изучении движения

(просачивания) жидкости через пористую среду Особенности процессов

фильтрации зависят от упругих свойств среды и насыщающих их флюидов

Для постановки задачи фильтрации жидкости в упругой среде прибегают

к краевой или начально-краевой задаче с соответствующими граничными

условиями Для нахождения математического выражения фильтрации флюидов

в пористой среде решают систему дифференциальных уравнений в частных

производных

Векторы скорости и плотности фильтрующейся жидкости могут быть

представлены в следующем виде - (119909 119910 119911 119905) и плотностью жидкости

120646 (119909 119910 119911 119905) Одной из важных характеристик поровой среды является пористость

32

ndash это относительный объем порового пространства в материале именно этот

параметр определяет количество флюида которое содержится или может

содержаться в определенном объеме пористой среды [7]

Теория фильтрации флюидов опираются на фундаментальный закон

сохранения массы в соответствии с которым изменения массы жидкости в

любом произвольном объеме V внутри замкнутой поверхности происходит за

счет изменение притока и оттока жидкости через границу объема (уравнение

неразрывности) [12]

Поток жидкости через произвольную однозначно определенную

замкнутую поверхность Γ в пористой среде с коэффициентом пористости - φ

заполненной флюидом с вязкостью μ (рис 61)

Рисунок 61 Замкнутая поверхность Γ в пористой среде (The Society of Petroleum Engineers

2014)

Скорость поступление массы объемом V через поверхность Г равна

скорости изменения данной массы в этой области (The Society of Petroleum

Engineers 2014)

119889119872119892

119889119905=

119889

119889119905∭ 120588120593119889119881 =∭

120597

120597119905(120588120593)119889119881

119881119881 6 1

Масса поступающая в определенный объем пористой среды через

дифференциальный элемент поверхности dΓ за промежуток времени Δt со

скоростью равна minus120646 lowast Отличие массы поступившей в определенную

поверхность и массой покинувшей эту поверхность за изменение времени Δt

равна

33

∆119872119892 = minus∆119905∯ 120588 lowast 119889Г Г

6 2

Скорость притока флюида в объем области V через поверхность Γ

lim∆119905rarr0

119889119872119892∆119905

=119889119872119892119889119905

= ∯120588 lowast 119889Г

Г

6 3

Приравняем правые части уравнения (119889119872119892

119889119905=

119889

119889119905∭ 120588120593119889119881 =

119881

∭120597

120597119905(120588120593)119889119881

119881 ) и ( lim

∆119905rarr0

119889119872119892

∆119905=

119889119872119892

119889119905= ∯ 120588 lowast 119889Г

Г 63) если функции

входящие в эти уравнения являются достаточно гладкими то применяем теорему

Остроградского ndash Гаусса к правой части уравнения ( lim∆119905rarr0

119889119872119892

∆119905=

119889119872119892

119889119905=

∯ 120588 lowast 119889Г Г

63) получаем

∭ [120597

120597119905(120588120593) + nabla120588] 119889119881

119881=0 (64)

Интеграл может быть приравнен к нулю тогда когда сама функция под

знаком интеграла равна нулю исходя из этого утверждения можем получить

120597

120597119905(120588120593) + nabla120588 = 0 (65)

Полученное уравнение (65) можем переписать через поля давления по

причине отсутствия непосредственного замера скорости и плотности потока при

гидродинамическом исследовании скважины (ГДИС) Для пересчета в

характеристики давления потока воспользуемся законом фильтрации Дарси и

уравнение состояния [2]

Уравнение состояния которое связывает плотность и давление

с = minus1

119881

120597119881

120597119875 с =

1

120588

120597120588

120597119875 сρ

120597119875

120597119905=120597120588

120597119905 0 6

c ndash сжимаемость жидкости отрицательный знак отражает условие что

при положительном коэффициенте сжимаемости будет происходить сжатие

флюида (давление растет объем уменьшается) Различают общую сжимаемость

с119957 и сжимаемость пористой среды с119943

с119891 =1

120593

120597120593

120597119875 6 7

34

с119905 = с119891 + 119888 6 8

Исторически уравнение баланса было получено экспериментально Анри

Дарси По закону Дарси вектор скорости фильтрации выражается через вязкость

флюида micro и тензор проницаемости k Знак минус в правой части также имеет

физически явный смысл в отсутствии сил действующих на массу жидкость

начинает движение из областей в повышенным давление в область с меньшим

давлением

= minus119896

120583nabla119875 6 9

При рассмотрении первого слагаемого уравнения 120597120597119905(120588120593) + nabla120588 = 0

(65 и с = minus1

119881

120597119881

120597119875 с =

1

120588

120597120588

120597119875 сρ

120597119875

120597119905=

120597120588

120597119905 06 выполним подстановку

120597

120597119905(120588120593) = 120593

120597120588

120597119905+ 120588

120597120593

120597119905= 120593сρ

120597119875

120597119905+ 120588

120597120593

120597119905= 120593сρ

120597119875

120597119905+ 120588

120597120593

120597119875

120597119875

120597119905=

= 120593сρ120597119875

120597119905+ 120588с119891120593

120597119875

120597119905= 120588с119905120593

120597119875

120597119905 6 10

Далее перезапишем уравнение 120597120597119905(120588120593) + nabla120588 = 0 (65 с учетом

данного выражения и подставим вектор скорости из уравнения закона Дарси

с119905120593120597119875

120597119905= nabla(

119896

120583nabla119875)

1

120594

120597119875

120597119905= nabla2119875 120594 =

119896

с119905120593120583 6 11

Где 120594 ndash коэффициент пьезопроводности с119905120593120597119875

120597119905= nabla(

119896

120583nabla119875)

1

120594

120597119875

120597119905= nabla2119875 120594 =

119896

с119905120593120583 611 определяется как уравнение пьезопроводности - основным

уравнением которое описывает процессы возникающие при гидродинамических

исследованиях

Данное уравнение пьезопроводности (611) может быть перезаписано

относительно радиальных координатах

1

120594

120597Δ119875

120597119905=1

119903

120597

120597119903(119903120597Δ119875

120597119903) 6 12

где 120607119927 = 119875119894 minus 119875 119875119894 minus начальное пластовое давление

35

Уравнение пьезопроводности решается практически во всех

аналитических моделях и выражается в них в радиальных формулах

Однозначно определенным объектом такого радиального решения служит

нагнетательная или добывающая скважина Выбранная система координат

наилучшим способом описывает моделирование радиального потока

относительно скважины

ГЛАВА 7 МОДЕЛИРОВАНИЕ ИССЛЕДОВАНИЙ

Уравнением описывающим процессы происходящие при исследованиях

ГДИ является уравнение пьезопроводности Данное уравнение (71) описывает

неустановившееся однофазное одномерное течение флюида в пористой среде и

выражает связь между пластовым давлением временем и расстоянием от

скважины до точки наблюдения Решение уравнения пьезопроводности (72) для

простого случая работы вертикальной скважины в бесконечном пласте позволяет

получить модель характеризующую перераспределение давления в пласте

1

120594

120597120549119875

120597119905=1

119903

120597

120597119903(119903120597120549119875

120597119903) (71)

∆119875(119905 119903) = minus9205119902119861120583

119896ℎ119864119894 (minus

1199032

000036120594119905) (72)

(q ndash дебит скважины м3сут B ndash объёмный коэффициент 120583 ndash

вязкость жидкости cпз k ndash проницаемость мД h ndash мощность пласта

м r ndash радиус м χ ndash пьезопроводность мД(спзатм-1) t ndash время ч)

Инструмент позволяет моделировать исследование ГДИ для случаев с

разным закачиванием скважин (вертикальная скважина вертикальная скважина

с гидравлическим разрывом пласта (ГРП) горизонтальная скважина

горизонтальная скважина с многостадийным ГРП) На первом этапе по заданным

свойствам пласта и флюида моделируется ГДИ описывающая изменение

забойного давления в скважине [1]

36

На следующем этапе моделирования строится билогарифмический график

(рис71) по которому специалисты ГДИ определяют свойства пласта Таким

образом создав синтетическое ГДИ можно предсказать как будет выглядеть

билогарифмический график исследования КВД (кривая восстановления

давления) характеризующего остановку скважины

Моделирование исследования ГДИ проводится для N ndash исходов (рис71) и

для разного времени длительности исследования t (50-100-150hellipчасов) в

результате чего инструмент определяет свойства пласта (проницаемость и

пластовое давление) по результатам исследования зависящих от времени

длительности ГДИ

Рис71 Результаты моделирования исследования ГДИ

ГЛАВА 8 ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИ ФИЛЬТРАЦИИ

ФЛЮИДОВ

811 Основа модели фильтрации к вертикальной скважине

Для самого начала рассмотрим самый простой случай движения флюида

в однородном бесконечном пласте начиная с начального постоянного давления

119927119946

В начальный момент t = 0 однотипно с началом первого цикла

эксплуатации у пласта коллектора начальное равномерное давление - 119927119946

ΔP(r t = 0) = 0 P(r t = 0) = Pi (8111)

Введем в рассмотрение граничное условие когда границы отсутствует

это сопоставимо что пласт-коллектор характеризуется бесконечной

протяженностью

0

05

1

15

2

25

-3 -2 -1 0 1 2 3

LO

G (

dP

) LO

G(P

`)

LOG(dt)

Билогарифмический график

LOG (P(t)-P(tp))

37

ΔP(r rarr infin t) = 0 P(r rarr infin t) = Pi (8112)

Второе граничное условие на радиусе скважины будет зависить от

условий на поверхности ствола (r = rw) Введем в рассмотрение единичную

вертикальную скважину радиусом 119953119960 которая полностью вскрывает

однородный изотропный коллектор с коэффициентом проницаемости k и

эффективной мощностью h добывает однородную малосжимаемую жидкость

вязкостью μ при стандартных условиях с дебитом Q м3 В условиях пласта объем

добываемого флюида составит Qsf = Qb (где b ndash объемный коэффициент

жидкости)

(119903120597119875

120597119903)119903=119903119908

=119902119861120583

2120587119896ℎ (8113)

Одной из удобных моделей моделировании фильтрации к скважине

является модель линейного источника которая является предельным случаем

скважины нулевого радиуса

119897119894119898 (119903120597119875

120597119903)119903rarr0

=119902119861120583

2120587119896ℎ (8114)

На практике прибегают к упрощению постановки задачи путем ввода

безразмерных переменных При решении задачи относительно новых

переменных позволяют интегрировать остальные параметры и в конечном счете

задача сводится к решению уникального набора уравнений которые легко

разрешаются аналитическим методом раз Физический смысл ввода

безразмерных параметров заключается в исключении из основного уравнения

параметров пьезопроводности пласта-коллектора с целью поиска обобщенного

решения с помощью которого переходя на изначальные размерные параметры

удается получить решение для определенного пласта и определить параметры

пьезопроводности и проводимости (Houzeacute O 2008)

119903119863 =119903

119903119908 (8115)

119905119863 =000036119896119905

1205931205831198881199051199031199082 (8116)

38

119875119863 =2120587119896ℎ

119902119861120583∆119875 (8117)

Далее вводим безразмерные параметры переходим к общей задаче

120597119875119863120597119905119863

=1

119903119863[120597

120597119903119863(119903119863

120597119875119863120597119903119863

)] (8118)

119875119863(119903119863 119905119863 = 0) = 0 (8119)

119875119863(119903119863 rarr infin 119905119863) = 0 (81110)

119897119894119898 (119903119863120597119875119863120597119903119863

)119903119863rarr0

= minus1 (81111)

Решая данное дифференциальное уравнение удобно применить

интегральные преобразования Принято при решении уравнения

пьезопроводности пользоваться особой формой линейных интегральных

преобразований являющиеся преобразованиями Лапласа Далее применяем к

уравнению (120597119875119863

120597119905119863=

1

119903119863[120597

120597119903119863(119903119863

120597119875119863

120597119903119863)] (811) преобразования Лапласа

s119875119863 =1

119903119863[120597

120597119903119863(119903119863

120597119875119863

120597119903119863)] (81112)13

Трансформанта Лапласа

119875119863 (119904 119903119863) = int 119875119863(119905119863

infin

119905119863

119903119863) exp(minus119904119905119863) 119889119905119863 (81113)

где s mdash это число достаточно велико чтобы мог существовать интеграл

действительная часть которого положительна Функция обозначенная чертой

сверху является образом (изображением) функции или результатом

интегрального преобразования Лапласа где подынтегральной функцией

является прообразом (оригиналом) Решение уравнения(811s119875119863 =

1

119903119863[120597

120597119903119863(119903119863

120597119875119863

120597119903119863)] (81112)13) можно представить через модифицированное

уравнение Бесселя нулевого порядка которое можно записать в следующем

виде

119875119863 (119904 119903119863) = 119860(119904)1198680(119903119863radic119904) + 119861(119904)1198700(119903119863radic119904) (81114)

39

1198680 и 1198700 являются модифицированными функциями Бесселя нулевого

порядка Значения коэффициентов A и B в уравнении определяются с помощью

подстановки граничных условий в уравнение Осуществляем подстановку

граничных условий из внешнего ГУ А(s)=0 B(s)= 1

119904 В итоге получаем

изображение решения для линейного источника в виде

119875119863 (119904 119903119863) =1

1199041198700(119903119863radic119904) (81115)

Для нахождения образа функции выполняем обратное преобразование

Лапласа полученного уравнения Данную операция можно выполнить с

помощью таблиц преобразований Лапласа (из таблиц в работах (Churchill RV

1972) и (Abramowitz M 1972))

119871minus1 (1198700(119903119863radic119904)) =1

2119905exp(minus

1198962

4119905) (81116)

Обобщаем выводим решение для линейного источника с безразмерными

параметрами

119875119863(119905119863 119903119863) = minus119864119894 (minus1199031198632

4119905119863) 119864119894(119909) = minus int

119890minus119910

119910119889119910

infin

minus119909

(811 14)

Где 119864119894(119909)-интегральная показательная функция Далее выполняем

обратное преобразование переходим на размерные величины

∆P(t 119903) = minusqBμ

2πkh119864119894 (minus

r2

4 lowast 000036120594t) (811 15)

Полученное решение уравнения в каждой точке и на каждом промежутке

времени удовлетворяет задаче фильтрации для скважины линейного источника

находящаяся в эксплуатируемом фонде скважин вскрывающая интервалом

перфорации эффективную мощность однородного бесконечного пласта-

коллектор Одним из выводов из решения уравнения пьезопроводности гласит

что поля релаксации перепада давления мгновенно перераспределяются по

пласту-коллектору Также стоить отметить существующее решение на дальнем

расстоянии от скважины 119903119894119899119907 вблизи которого перепад давления столь мал что

40

этим можно пренебречь Исходя из этого предположения можно определить

радиус исследования 119903119894119899119907 который характеризует размер области исследования

результат интерпретации которых зависят от свойства пласта и флюидов в

скважине [11]

При рассмотрении полей давления в пласте с бесконечной

протяженностью во время запуска скважины в работу на основании полученного

ранее решения уравнения (рис 8111) В первоначальный момент времени 1199051 =

0 забойное давление в скважине равно текущему пластовому давлению через

некоторый отрезок времени в интервале - 1199052 вокруг точки скважины

формируется так называемая laquoворонка депрессииraquo которая может

характеризовать неустановившийся режим течения При движение по временной

шкале воронка депрессии будет распространяться на более дальние расстояния

от скважины пока не достигнет определенной границы (119903119894119899119907=119903119908 +radic120594t) Если

рассматривать зеркально противоположный пример при остановке скважины

воронка депрессии будет становиться меньше и будет уменьшаться пока

значение давления в скважине не достигнет пластового и останется стабильным

Понятие радиального режима для течения флюидов в пласте является

основополагающим для интерпретации гидродинамических исследований Это

режим характеризует обстановку при которой скорость фильтрации и поля

давления имеют радиальную симметрию и линии тока в пласте направлены к

круговому цилиндру по радиусу от периферии пласта к скважине (Рис 1)

41

Рис 8111 Линии тока для вертикальной скважины при радиальной

фильтрации [6]

Решение линейного источника может достичь радиального режима с

определенного времени 119905119909 такую характерную зависимость можно проследить

на билогарифмическом графике (рис 8111) этот режим характеризуется

стабилизацией производной давления С помощью данного графика

проницаемость пласта вычисляется по формуле

119896ℎ = 119902119861μ lowast05

2120587∆Pстаб (81119)

При рассмотрения кейса решения уравнения пьезопроводности в случае

вертикальной скважины в цилиндрическом пласте-коллектора изменится гу на

г

р

а

н

и

ц

е

ц

и

л

и

н

(120597Δ119875

120597119903)119903=119903119890

= 0 (81120)

Аналогично ранее описанному алгоритму решению уравнения

пьезпроводности получим изображение депрессии

∆P (119904) =qBμ

2πkhlowast

lowast

1198680 (119903radic119904120594)1198701 (119903119890radic

119904120594)+ 1198681 (119903119890radic

119904120594)1198700 (119903radic

119904120594)

119903119908radic119904120594119904 [1198681 (119903119890radic

119904120594)1198701 (119903119908radic

119904120594)minus 1198681 (119903119908radic

119904120594)1198701(119903119890radic

119904120594]

(81121)

42

Аналитическое преобразование данного уравнения принимают

следующий вид (Van Everdingen AF and HurstW W 1953)

∆P(t 119903) =qBμ

2πkh

2

1199031198902 minus 119903119908

2(120594119905 minus

1199032

4) minus

1199031198902

1199031198902 minus 119903119908

2119897119899r

119903119908minus

1

(41199031198902 minus 119903119908

2)2lowast

lowast (31199031198904 minus 4119903119890

4119897119899119903119890119903119908minus 2119903119890

2 minus 1) +

+120587sum11986912 (120573119899

119903119890119903119908) [1198691(120573119899)1198840 (120573119899

r119903119908) minus 1198841(120573119899)1198690 (120573119899

r119903119908)]

120573119899 [11986912 (120573119899

r119890119903119908) minus 1198691

2(120573119899)]

infin

119899=1

119890119909119901 (minus1205731198992 120594119905

1199031199082) (81122)

1205731 1205732 и тдndash решения уравнений

1198841(120573119899)1198691 (120573119899r119890119903119908) minus 1198691(120573119899)1198841 (120573119899

r119890119903119908) = 0 (81123)

В поставленной формулировке задачи для выведенного уравнения

решения невозможно сходу подобрать обратное преобразование Лапласа с

помощью табличных значений (аналитической функции) (Abramowitz M 1972)

Однако можно выполнить найти решение выполнив его численно Для решения

задач нестационарной фильтрации флюидов применимы алгоритмы численного

обращения основанные на стохастических подходах (Stehfest H 1970) которые

предполагают что можно рассчитывать приближенное значение оригинала pa(T)

по найденному изображению p(s) в определённый момент времени t = T [13]

119901119886(119879) =1198971198992

119879sum119881119894

119873

119894=1

(119904)119904=1

1198971198992119879 (81124)

119881119894 = (minus1)(1198732)+119894

sum1198961198732(2119896)

[(1198732)

minus 119896] 119896 (119896 minus 1) (119894 minus 119896) (2119896 minus 119894)

min(1198941198732)

119896=(119894+1)2

(81125)

812 Приток к вертикальной скважине с трещиной ГРП

Ранее было выведены решения задачи фильтрации для вертикальных

скважин Метод источников который был применен также используется для

случаев скважин с более сложной геометрией ННС (наклоннонаправленных

43

скважин) ВС ГРП (вертикальный с гидроразрывом пласта) ГС ГРП

(горизонтальных с гидроразрывом пласт)

Функция Грина и метод источников применяется для решения двух- и

трёхмерных задач неустановившейся фильтрации Под источником понимается

некоторая точка поверхность или объем из области которых флюид отбирается

из пласта-коллектора или закачивается Строго говоря отбор жидкости должен

ассоциироваться со стоком а закачка с источником Под физической основой

источник можно сопоставить со скважиной бесконечно малого диаметра в

которую мгновенно закачивается конечное количество флюида[16]

Функции Грина и метод источников тесно связаны между собой Функция

Грина определяется для дифференциального уравнения со специальными

граничными условиями (заданный расход или давление) и соответствует

решению для мгновенного точечного источника С другой стороны функции

источников представляют собой решения данного дифференциального

уравнения с указанными граничными условиями и геометрией источника

Фундаментальное решение функции Грина (G (M Mrsquo τndasht)) для

неустановившегося потока флюида в пористой среде может соотнесено с

давлением в точке M (x y z) в определенный момент времени t которое

обусловлавливает мгновенный точечный источник единичной интенсивности

который создан в точке Mrsquo(xrsquo yrsquo zrsquo) во временя τ lt t Необходимо чтобы

функция Грина удовлетворяла уравнению пьезопроводности

120597119866

120597119905= 120594nabla2119866 81161

120597119875

120597120591= 120594nabla2119875 8122

int nabla2119891(119872)119889119872 =119863

int120597119891

120597119899Г

119889Г 8123

Используем свойства функции Грина можем применить терему Грина

(8123) с учетом (8122) (Gringarten AC and Ramey HJ 1973) получим

44

∆119875(119872 119905) =1

120593119888int int

Г119908(119872119908

prime 120591)119866(119872119872119908prime 119905 minus 120591

119905

0)119889119872119908

prime 119889120591 =

1

120593119888int 119905

0(120591)119878(119872119872119908

prime 119905 minus 120591)119889120591 8123

119878(119872119872119908prime 119905 minus 120591) = int 119866(119872119872119908

prime 119905 minus 120591)119889119872119908prime

Г119908 8124

где Г119908 ndash граница ствола скважины = minus119896

120583

120597119875

120597119899 ndash объём потока который

проходит через точку на поверхности внутренней границы 119872119908prime Применяем

интегрирование правой части данного уравнения (724) получаем

распределение точечных источников по площади длине и объему источника

Для разных конфигураций системы laquoисточник-пластraquo можно подобрать

табличные базовые функции соответствующих мгновенных источников (The

Society of Petroleum Engineers 2014)

В практике нефтегазовой отрасли практически на многих добывающих

скважинах проводиться МУН (метод увеличения нефтеотдачи) Одним из

распространенных методов интенсификации флюида является гидравлический

разрыв пласта (ГРП) который заключается в формировании высокопроводимой

трещины в продуктивном интервале пласте для увеличения притока флюида к

скважине

Поставим задачу решения уравнения фильтрации флюида к вертикальной

скважине с трещиной ГРП Из условий скважина полностью вскрывает пласт

эффективной мощностью h кровля и подошва пласта ограничена

непроницаемыми ровными горизонтальными границами Трещина ГРП

расположена симметрично относительно нормали ствола скважины полудлина

трещины - xf ширина - wf (wf ltlt xf) коэффициент проницаемости трещины kf

индекс laquofraquo характеризует трещину ГРП В горизонтальном направлении пласт

бесконечный (рис 8121 ndash 8122) Течение потока к трещине выражается

двумерным стоком флюида

45

Рис 8121 Вертикальная трещина (вид сбоку)

Рис 8122 Течение флюида к вертикальной трещине (вид сверху)

В ходе решения задачи стоит рассмотреть два типа течения

1) поток в трещине

2) поток в пласте с трещиной

1) Переходя к безразмерным переменным (8115-8117) запишем

уравнение пьезопроводности (8118) и граничные условия (8119-81110)

119901119891119863(119909119863 119905119863) =2120587119896ℎ (119901119894 minus 119901119891(119909 119905))

119902119908120583 (8125)

119905119863 =119896119905

1206011205831198881199051199091198912 (8126)

119909119863 =119909

119909119891 (8126)

119902119891119863(119909prime 120591) =

2119902119891(119909prime120591)

119902119908119909119891 (8127)

1198892119901119891119863(119909119863)

1198891199091198632

=120587

119865119862119863119902119891119863(119909119863) (8128)

119889119901119891119863

119889119909119863 119909119863=0=

120587

119865119862119863 (8129)

46

119889119901119891119863119889119909119863 119909119863=1

= 0 (81210)

Перепад значений давления между забойным давлением и в точке

трещины с координатой 119909119863 можно записать

119901119908119863 minus 119901119891119863(119909119863) =120587

119865119862119863[119909119863 minusint int 119902119891119863(119909

primeprime)119889119909primeprime119889119909prime119909prime

0

119909119863

0

] (81211)

2) Течение добываемого флюида из пласта-коллектора в трещину

можно рассмотреть как наличие нестационарного источника жидкости qf(xt) в

самой трещине Используя метод источников который был рассмотрен ранее

безразмерное давление в любой произвольной точке пласта

119901119863(119905119863 119909119863 minus 119909119908119863 119910119863 minus 119910119908119863) = int int 119902119891119863(120591 119909prime minus 119909119908119863)119866(120591 119909

prime 119909119863 minus1

minus1

1199051198630

119909119908119863 119910119863 minus 119910119908119863)119889119909prime119889120591 (81212)

(119909119908119863 119910119908119863) - безразмерные координаты точки забоя скважины в

горизонтальной плоскости (xy) ось 119909 направлена вдоль трещины

Записывается условие непрерывности давления в пласте и в трещине

119901119891119863(119905119863 119909119863) = 119901119863(119905119863 119909119863 0) (81213)

Следовательно уравнение (81211) принимает вид

119901119908119863 minusint int119902119891119863(120591 119909prime)119866(120591 119909prime 119909119863 0)119889119909

prime119889120591

1

minus1

119905119863

0

=120587

119865119862119863[119909119863 minusint int 119902119891119863(119905119863 119909

primeprime)119889119909primeprime119889119909prime119909prime

0

119909119863

0

] (81214)

Применяем преобразование Лапласа

119908119863(119904) minus int 119891119863(119904 119909prime)(119904 119909prime 119909119863 0)119889119909

prime =1

minus1

120587

119865119862119863[119909119863

119904minus

int int 119891119863(119904 119909primeprime)119889119909primeprime119889119909prime

119909prime

0

1199091198630

] (81215)

int 119891119863(119904 119909prime)119889119909prime

1

minus1

=1

119904 (81216)

47

Получили изображения Лапласа соответствующих функций ndash

оригиналов Решение системы производится путём дискретного разбиения

трещины по длине на 2n сегментов и записи данной системы в следующем виде

для каждого дискретного сегмента (рис 723)

Рис 8123 Схема разбиения трещины на сегменты

119908119863(119904) minussum119891119863119894

119899

119894=1

int (119904 119909prime d119909 (119895 minus1

2) 0) 119889119909prime

d119909119863119894

d119909119863(119894minus1)

+ int (119904 119909prime d119909 (119895 minus1

2) 0) 119889119909prime

d119909119863(minus119894+1)

d119909119863(minus119894)

+120587

119865119862119863[119889119909119863 ∙ 119895

119904minus (119889119909119863)

2sumsum119891119863119896

119894

119896=1

119895

119894=1

] (81217)

119889119909119863 ∙sum 119891119863119894

119899

119894=1

=1

2119904 (81218)

Изображение давления в любой точке пласта можно найти по формуле

119863(119904 119909119863 119910119863) = sum 119891119863119894 int (119904 119909prime 119909119863 119910119863)119889119909119863∙119894

119889119909119863(119894minus1)119889119909prime +119899

119894=1

int (119904 119909prime 119909119863 119910119863)119889119909119863∙(minus119894+1)

119889119909119863∙(minus119894)119889119909prime (81219)

Где 119891119863119894 ndash изображение функции мощности источников в каждом n

сегменте [17]

48

813 Основа модели фильтрации к горизонтальной скважине с МГРП

Задача притока добываемого флюида к горизонтальной скважине с

многостадийным гидроразрывом пласта (МГРП) схематично можно

представить как несколько одинаковых трещин соединенных общим

горизонтальным стволом Каждая трещина пресекает ствол горизонтальной

скважины в центре и является симметричной относительно ствола ((119909119908119863119895 119910119908119863119895)

Рис 8131 Схематическое изображение ГС с МГРП

Каждая трещина ГРП будет иметь равную полудлину 119909119891 и безразмерную

проводимость 119865119862119863 В модели существует предположение что течение флюида

внутри трещины является одномерным Следовательно поток флюида к

горизонтальному стволу скважины с n трещинами будет равен алгебраической

сумме потоков флюида от каждой трещины

119876 = sum 119876119895(119905)119899119895=1 = 119888119900119899119904119905 (8131)

Как ранее для общения задачи вводим безразмерные переменные

давление в точке пересечения скважины с j трещины - 119901119908119863119895 безразмерный дебит

- 119902119863119895 =119876119895

119876

Из условий бесконечной проводимости для горизонтального ствола

119901119908119863119895 = 119901119908119863 119895 = 1 119899 8132

Возмущение давление которое создается трещиной k в точке пересечения

119895 трещины со скважиной ndash 119901(120591)119863119895119896 equiv 119901119863(120591 119909119908119863119896 119910119908119863119896 119909119908119863119895 119910119908119863119895) применяя

принцип суперпозиции

119901119908119863(119905119863) = sum int 119902119863119895 ∙ 119901prime119863119895119896(119905119863 minus 120591)119889120591 8133

1199051198630

119899119895=1

49

Суммарный поток флюида от всех трещин будет фиксирован

sum 119902119863119895119899119895=1 = 1 и с преобразованием Лапласа - sum 119863119895

119899119895=1 =

1

119904 8134

Преобразование Лапласа для 734 р119908119863119895 = sum 119904119863119895119863119895119896119899119896=1 8135

119863119895119896 = int 119891119863(119904 |119909119908119863119896 minus 119909prime|)(119904 119909119908119863119896 minus 119909prime 119909119908119863119895 119910119908119863119896 119910119908119863119895)119889119909

prime

119909119908119863119896+1

119909119908119863119896minus1

8136

119863119895119896 =sum119891119863119894 int (119904 119909119908119863119896 minus 119909prime 119909119908119863119895 119910119908119863119896 119910119908119863119895)119889119909prime

119889119909119863∙119894

119889119909119863(119894minus1)

119899

119894=1

+ int (119904 119909119908119863119896 minus 119909prime 119909119908119863119895 119910119908119863119896 119910119908119863119895)119889119909prime

minus(119894minus1)∙119889119909119863

minus119894∙119889119909119863

8137

Мощность источников 119891119863(119904 |119909119908119863119896 minus 119909prime|) вычисляется из (81217-

81218) где 119889119909119863 =1

119899 ndash безразмерная длина каждого n сегмента 119891119863119894 -

безразмерная скорость течения через i элемент

Система уравнений (8134-8137) записывается в виде [8]

А = 8138

= (

1199081198631198631⋮119863119899

) 8139

А = (

1 minus119904 ∙ 11986311 ⋯ minus119904 ∙ 1198631119899⋮ ⋮ ⋱ ⋮

1 minus119904 ∙ 1198631198991 hellip minus119904 ∙ 1198631198991198990 1 hellip 1

) 81310

= (

0⋮01 119904frasl

) 81311

50

Для вычисления матричных элементов 119863119895119896 необходима информация о

мощности потока в из всех 119899 трещин ГРП Если считать что каждая трещина ГРП

делится на 2119898 сегментов (рис 8123) тогда система (81310) будет содержать

(1 + 2119898 times 119899) количество уравнений относительно следующих неизвестных

119908119863 11989111986311 hellip 119891119863(2119898)1 hellip 1198911198631119899 hellip 119891119863(2119898)119899 где в 119891119863119894119895 ndash течение через i-й

сегмент в j-й трещине Пользуясь упрощенным подходом можем переписать в

следующем виде[19]

forall119895 isin 1hellip119899 forall119896 = 1hellip119898 ∶ 119891119863119895119896 = 119863119895 ∙ 119891119863119896 81312

При определении мощности источников используется допущение что на

распределение мощности источников внутри каждой из трещин соседние

трещины оказывают слабое влияние Можно предположить что распределения

мощности потока в трещинах симметричны относительно точки пересения со

стволом скважины Элементы матрицы А в (81310) получают по формуле

(8137)

119863119895119896 =sum119891119863119894 int (119904 119909119908119863119896 plusmn 119909prime 119909119908119863119895 119910119908119863119896 119910119908119863119895)119889119909

prime

119889119909119863∙119894

119889119909119863(119894minus1)

81313

119899

119894=1

где функция (hellip ) определяется по табличным формулам в зависимости

от граничных условий и типа зоны дренирования

Для решения СУ используется выражение матрицы в виде произведения

дву нижней треугольной и верхней треугольной (LU-декомпозиция) (Ортега

Дж 1991) Так называемое LU-разложение (LU-декомпозиция) mdash

представление выражение определенной матрицы в виде произведения двух

матриц A = LU где L mdash нижняя треугольная матрица а U mdash верхняя

треугольная матрица [15]

Ниже представлены применяемые в данной работе функции источников

в пространстве Лапласа

Таблица 8131 Функции линейных стоков

51

Тип условий на

границах

Функции линейных стоков

119899119899119899119899 =

=120587

2119909119890119863coshradic1199041198631 + coshradic1199041198632

radic119904 sinhradic119904119910119890119863

+ 2sumcos119896120587119909119863119909119890119863

cos 119896120587(119909119908119863 minus 119909prime)

119909119890119863

cosh 1205981198961198631 + cosh 1205981198961198632120598119896 sinh 120598119896119910119890119863

infin

119896=1

0 17

119888119888119888119888

=120587

119909119890119863sumsin119896120587

119909119863119909119890119863

sin 119896120587|119909119908119863 minus 119909prime|

119909119890119863

cosh 1205981198961198631 minus cosh 1205981198961198632120598119896 sinh 120598119896119910119890119863

infin

119896=1

0 18

119888119899119888119899 =

=120587

2119909119890119863coshradic1199041198631 minus coshradic1199041198632

radic119904 sinhradic119904119910119890119863

+ 2sumcos119896120587119909119863119909119890119863

cos 119896120587(119909119908119863 minus 119909prime)

119909119890119863

cosh 1205981198961198631 minus cosh 1205981198961198632120598119896 sinh 120598119896119910119890119863

infin

119896=1

0 19

Где 119909119890119863 =119909119890

119909119891 119910119890119863 =

119910119890

119909119891 1198631 = 119910119890119863 minus |119910119863 minus 119910119908119863| 1198632 = 119910119890119863 minus (119910119863 + 119910119908119863) 120598119896 =

radic119904 + 11989621205872 1199091198901198632frasl 119909119890 ndash размер площади дренирования по оси x 119910119890 ndash размер

площади дренирования по y 119899 значает границу отсутствия перетока 119888

означает границу постоянного давления

82 РЕАЛИЗАЦИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ИССЛЕДОВАНИЙ

В настоящей работе реализовано решение задачи фильтрации о

нестационарном притоке флюида к скважине при постоянном заданном дебите

для скважин с разным типом заканчивания (вертикальная скважина и

горизонтальная скважина с трещинами МГРП) Математическая модель описана

для задач (Главы 811-813) реализована на языке программирования VBA

Входные параметры приведены на рис 821 Параметры границ задаются

в виде прямоугольника (рис823) Параметры скважины флюида и пласта

задаются при помощи априорной информации Проницаемость рассматривается

как распределение полученных ранее (главе 3)

y

x

y

x

y

52

В ходе решения задачи строится график - кривая стабилизации давления

зависимость изменения забойного давления от времени (рис823)

Рис 821 Входные параметры для модели

Рис 822 Расположение горизонтальной скважины в границах

53

Рис 823 Кривая стабилизация давления

На следующем этапе по последней точке определяется значения kmodel В

зависимости от длительности исследования будь то 50 часов 100 часов и более

будет зависеть погрешность результата определения свойств пласта по

отношению к истинным параметрам (рис 821) К тому же от времени

исследования будут зависеть Capex на проведения исследования

Рассчитанное значение модельное kmodel затем сравнивается с исходным

заданным значением kist В результате получаем отношение модельного значения

kmodel после проведения ГДИ к kist в зависимости от длительности ГДИС (рис

822)

Рис 821 График производной забойного давления

54

Рис 822 Отношение kmodel kist для скважины 11РО

Полученные по проницаемости параметры умножаются на эффективную

мощность пласта-коллектора и затем рассчитанное распределение

интерполируется с другими параметрами в скважинах в точку проектной

По результатам моделирования распределения свойств пласта будут

изменяться уменьшение дисперсии при увеличении длительности исследования

(рис823) Идеальным исследованием считается исследование с длительностью

достаточной для достижения производной давления на билогарифмическом

графике радиального режима течения что указывает на достоверность

параметров по результатам ГДИ (проницаемость и пластовое давление) Чем

ближе длительность исследования к идеальному ГДИ тем ниже

неопределенность в параметрах и тем ближе распределение к идеальному

Моделирование разной длительности исследования проводиться для N ndash

распределений (рис2)

Результаты смоделированного ГДИ позволяют снизить неопределенности

(сузить распределение) в свойствах пласта в точке проектной скважины Для

интерполяции в точку проектной скважины используется метод сплайн ndash

интерполяции [18]

tk model 10 20 30 40 50 60 70 80

50 2288169 1501385 1150108 0948723 0808706 0717031 0640296 0581876

100 1496394 0948581 0717744 0581513 0484438 0414342 0361937 0319311

150 1107448 0689761 0503907 0394864 0322636 0269636 0233048 0203542

200 0949817 0580742 0417822 0318936 0259364 021555 0186095 0163468

250 0818194 0486803 0338246 0259062 0206736 0173204 014824 0129707

300 0705787 0408828 0281063 0211366 0169381 0142083 012167 0106692

350 0627933 0351884 023841 017996 0144702 0119968 0103063 0090319

400 0562852 0307024 0207063 0155316 0124788 010441 0089458 0078395

450 0510211 0272553 0183196 013788 0110431 009172 0079061 0069165

500 0463384 0245037 0164854 0123914 0099043 0082679 007078 0061913

55

Рис823 Изменение распределения в зависимости от времени исследования ГДИ

На рис 824 показано распределение значений проницаемости с учетом

разной длительности исследований ГДИ

Полученное распределение kh в проектной скважине до ГДИ

характеризовалось большей дисперсией по сравнению с распределением после

проведенного ГДИ на скважине

Рис 824 Распределение kh на проектной скважине

ГЛАВА 9 РАСЧЕТ ЭКОНОМИЧЕСКОГО ЭФФЕКТА

ЦЕННОСТИ ИНФОРМАЦИИ

Ожидаемая прибыль запланированной к бурению скважины до проведения

ГДИ рассчитывается с учётом исходного распределения после ГДИ

0

001

002

003

004

005

006

007

008

009

1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800

Пл

отн

ость

вероятн

ости

Пластовое давление атм

Распределения пластового давления

Время длительности ГДИ 50 часовВремя длительности ГДИ 100 часовВремя длительности ГДИ 150 часовВремя длительности ГДИ 200 часов (идеальное исследование)

56

рассчитывается для каждого дискретного варианта исхода из N-возможных и для

разных времен длительности исследования t

На первом этапе расчёта прибыли по методу Монте-Карло определяются

значения проницаемости и пластового давления с вероятностями распределения

равными 10 50 90 и оценивается запускное значение дебита скважины По

соседним скважинам определяются темпы падения дебита скважины

усредненный темп падения используется для проектной скважины

Произведение запускного значения дебита и усредненного темпа падения

характеризует профиль добычи проектной скважины На основе профиля

добычи оценивается NPV проектного бурения который учитывает

операционные затраты и капитальные расходы проекта При оценке NPV после

запланированного исследования в капитальных затратах учитываются расходы

на проведение ГДИ стоимость интерпретации исследования инструментальные

замеры

Ожидаемая ценность EMVwi после проведения ГДИ рассчитывается как

сумма отдельно взятых N - исходов умноженных на соответствующие

вероятности исходов (91)

119864119872119881119908119894 (119905119894) = 1198641198721198811199081198941(119905119894) lowast 1198751 + 1198641198721198811199081198942(119905119894) lowast 1198752 +⋯

+ 119864119872119881119908119894119873(119905119894) lowast 119875119899 =sum119864119872119881119908119894119895(119905119894)

119873

119895=1

(91)

Чистый дисконтированный доход рассчитывается по формуле (92) где

CF ndash денежный поток r ndash ставка дисконтирования I ndash сумма инвестиционных

вложений Непосредственно CF (денежный поток) будет определяться

количеством добываемого флюида [18]

119873119875119881 = sum119862119865119905

(1 + 119903)119905minussum

119868119905(1 + 119903)119905

(92)

Инвестиционные вложения включают операционные затраты ndash Opex

повседневные затраты компании для ведения бизнеса производства товаров и

57

услуг и капитальные затраты - Capex расходы на приобретение или обновление

необоротных активов При проведении ГДИС затраты на спускподъём

оборудования интерпретацию исследования инженером и потеря в прибыли

связанные с остановкой скважины учитываются в Capex

91 EMV БЕЗ УЧЕТА ПРОВЕДЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ

Дебит ndash это ограниченный объем добытой жидкости через скважину за

определенное время Оценки производительности скважин и расчет добычи

скважины проводятся на основе запускного дебита скважины и усредненного

темпа падения дебита на соседних скважинах на протяжении 25 лет В основном

темпы падения строятся исходя из истории эксплуатации на месторождении

анализируется весь набор данных на заданный пласт

Запускной дебит может быть рассчитан по следующим формулам в

зависимости от типа скважины [9]

1) Вертикальная скважина c ГРП

119902 =2120587119896ℎ(119875119894minus119875119908)

120583119861(119897119899119877119890119877119908minus075+119878)

119878 = 1198971198992119903119908

119909119891 (911)

2) Горизонтальная скважина с МГРП

119902 = 2120587kℎ ( 119875119894 minus119875119898

2+119875119908

2) + 119898119876119863 (912)

119876119863 =2120587kℎ(119875119894minus119875119908)

120583119861(119897119899119877119890119877119908minus075+119878)

(913)

С помощью расчёта запускных дебитов а также анализа работы

окружающих скважин были получены результаты темпов падения на рисунке

911 изображены темпы падения с вероятностью Р50 нефти и жидкости за 25 лет

для определенной скважины Также построена гистограмма с накопленной

добычей (рис 911)

58

Рис 931 Темпы падения для скважины

Рис 911 Гистограмма распределения добычи нефти

для скважины 716 до ГДИ

Геологические риски и неопределенности определяют необходимость

создания вероятностной оценки дебитов запасов профилей добычи

Вероятностная оценка по границам возможной минимальной и максимальной

эффективности поможет минимизировать инвестиционные риски проекта

Модуль вероятностной оценки дебитов запасов профилей добычи

основан на теории вероятностей и математической статистики [12] По

многочисленным входным параметрам задаются диапазоны ожидаемых

величин и тип распределения - по проницаемости эффективной

нефтенасыщенной толщины пласта пластовому давлению Источник

информации ndash фактические параметры полученные с карт и распределение с

59

ошибкой их построения Чем меньше неопределенностей тем меньше дисперсия

и разброс ожидаемых параметров в возможных диапазонах

Следующим этапом переходим к расчету экономических параметров

(NPV) по найденным значениям добычи за 25 лет На рисунке изображена

гистограмма NPV и указаны количественные оценки накопленной добычи и NPV

для вероятностей P10 P50 P90 (табл 911)

Рис 04 Гистограмма распределения NPV для скважины 716 до ГДИ

Таблица 921 Показатели добычи и NPV

Вероятность Накопленная добыча нефти тыст NPV млнруб

P10 1937 3012

P50 1128 1547

P90 597 585

60

С помощью выполненных расчетов (табл 911) ожидаемая ценность

проекта бурения скважины без проведения исследований (EMVwoi) составляет

16011 млн рублей

92 EMV БЕЗ УЧЕТА ПРОВЕДЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ

Расчет экономических параметров в случае модерирования исследований

проводится аналогичным образом Для расчета добычных показателей

планируемой скважины рассчитывается также по формулам 911-913 В этом

случае значения проницаемости и пластового давления задаются с помощью

уточнённые параметров после ГДИ с меньшей дисперсией

На рисунке 921 представлено распределение значений пластового

давления умноженного на эффективную нефтенасыщенную толщину после

ГДИ длительностью 150 часов

Рис 921 Гистограмма распределения NPV для скважины после ГДИ длительностью

150 часов

Расчет экономических параметров помимо операционных затрат (OPEX)

в случае моделирования ГДИ будет включать еще Capex ndash это затраты

проведенного исследования (инструментальные замеры спускоподъёмные

операции) который в свою очередь будут зависят от длительности проведения

исследований Также будут включены затраты на работу интерпретатора

исследований которые уже не будут зависеть от длительности В написанном

61

модуле также учитывается потеря прибыли на время остановки скважины

количественно потери будут определяться длительностью остановки скважины

на проведения ГДИ

62

ГЛАВА 10 РЕЗУЛЬТАТЫ

Реализованный модуль в данной работе позволяет определить

необходимость проведения гидродинамического исследования и выдать

рекомендации по продолжительности исследования составить ранжированный

список скважин по эффективности проведения исследований

В таблице 101 представлены результаты экономических параметров и

расчет VOI На графике (рис 101) построенным в осях VOI в зависимости от

времени исследования можно оценить экстремум функции как оптимальное

время для проведения исследования По представленным результатам

целесообразно провести ГДИ на скважине 3 длительностью от 150 часов так как

ценность полученной информации будет наибольшей

Таблица 101 VOI при проведении ГДИ на скважине 3

Продолжительность ГДИ

EMV1 EMV

2 VOI

Целесообразность исследования

50 16116 16111 005 + 100 16135 16111 024 + 150 16198 16111 087 +

200 16127 16111 016 +

250 16033 16111 -078 - 300 16021 16111 -09 -

В случае горизонтальных скважин также был произведен анализ

ценности информации рассчитаны параметры VOI от длительности по времени

Однако для выхода на радиальный режим для случаев горизонтальных стволов

скважин на рассматриваемом месторождении N необходимо более 500 часов что

существенно увеличивает капитальные затраты При расчете большой

длительности на проведения ГДИ обычно скважину не останавливают так как

эти исследования являются крайне затратными В таблице 202 указаны расчёты

при проведении исследования на горизонтальной скважине 5

63

Рис 101 Зависимость VOI от длительности ГДИ

Таблица 102 VOI при проведении ГДИ на скважине 5

Продолжительность ГДИ

EMV2 EMV

1 VOI

Целесообразность исследования

50 1603 1611 -078 - 100 1606 1611 -054 - 150 161 1611 -013 - 250 1612 1611 012 - 350 1611 1611 -006 - 500 1614 1611 024 +

Таблица 103 Ранжированный список скважин-кандидатов для проведения ГДИС

Скважина VOI (t=50) VOI (t=100) VOI (t=150) VOI (t=200) VOI (t=250) VOI (t=300)

3 005 024 087 016 -034 -078 1 003 015 036 073 -021 -064 4 002 012 024 054 -011 -057 2 001 009 011 031 042 -03

Модуль автоматически перебирает выбранный список скважин для

бурения проектной скважины и ранжирует их по ценности информации

проведенных исследований также предлагает наиболее оптимальное время

исследований исходя из экономических параметров (таблица 103)

Апробация и оптимизация инструмента оценки необходимости

проведения гидродинамического исследования проводится на одном из активно

-15

-1

-05

0

05

1

15

0 50 100 150 200 250 300 350

VO

I м

лнр

уб

Длительность ГДИ ч

VOI (Проведение ГДИ нецелесообразно)

VOI (Проведение ГДИ целесообразно)

64

разбуриваемых месторождений В данной работе проводилась аналитика для

бурения 10 проектных скважин По результатам моделирования ГДИ на

скважинах вблизи проектной была проведена оценка ценности информации от

запланированного исследования На рис102 представлена зависимость

определенного VOI от длительности ГДИ если график расположен выше нуля

(VOI gt 0) исследование экономически обосновано проводить Определив

экстремум функции определяется оптимальная длительность исследования

Приводя пример в рассчитанном кейсе для бурения скважины X наиболее

выгодно провести исследования в 3 скважине длительностью 150 часов

Рис 102 Зависимость VOI от длительности ГДИ в скважинах 1234

-1

-05

0

05

1

0 100 200 300 400

VO

I

Длительнось ГДИ

Скв 3 Скв 1 Скв 4 Скв 2

65

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

По результатам магистерской диссертации был реализован инструмент для

оптимального планирования гидродинамических исследований на этапе бурения

проектных скважин с помощью метода VOI

Предложенный в данной работе метод позволяет определить не только

необходимость проведения гидродинамического исследования но и выдать

рекомендации по оптимальной продолжительности исследования

Смоделировав исследования ГДИ на нескольких соседних от проектных

скважин инструмент позволяет ранжировать скважины ndash кандидаты для

гидродинамических исследования по величине ценности информации VOI

В процессе реализации предложенной методики работы было выполнено

следующее

1 Автоматический анализ данных по ранее проведенным

исследованиям определение геологической неопределенности

интересующих параметров (пластовое давление проницаемость) по

всему эксплуатационному фонду скважин на месторождении N

2 Модуль сплайн-интерполяция на языке программирования Python с

помощью которого интерполируются значения параметров

решается задача о нестационарном притоке к скважине с помощью

языка программирования VBA в котором учитываются результаты

моделирования синтетического ГДИ

3 Расчёт плановых показателей добычи на основе распределений Рпл

и kh до проведения исследования и после него в зависимости от

времени исследований

4 Экономический анализ эффективности проведения исследований на

основе методики VOI по результатам которого выполняется

ранжирование скважин по информативности исследований

66

По результатам расчёта на месторождении N выяснили что для бурения

скважины X наиболее эффективно останавливать на ГДИ скважину 3 с

длительностью исследования 150 часов

В заключении реализованный модуль позволяет оценить

целесообразность проведения ГДИ и самое важное экономическое обоснования

планируемых исследований

Возможности реализованного модуля

Автоматизированный анализ геологической неопределённостей по

фильтрационным-емкостным свойствам и пластовому давлению в

зоне планируемого бурения

Экономическое обоснование по проведению гидродинамических

исследований в зоне бурения проектных скважин

Определение оптимальной длительности ГДИС

Ранжирование скважин по информативности проведения

исследований

Экономическое обоснование затрат на ГДИС и последующими

решениями по оптимальному планированию ГДИС на основе

ценности информации

67

ОХРАНА ТРУДА

Преобладающее время по написанию выпускной квалификационной

работы проводилось за персональным компьютером

Согласно рекомендованной инструкцией по охране труда во время работы

на компьютере ТОИ Р-45-084-01 и также при его эксплуатации могут возникнуть

негативное влияние на работника следующие вредные производственные и

опасные факторы

повышенные уровень электромагнитного воздействия

высокая степень статического электричества

низкий уровень ионизации воздуха

нагрузки которые связанны с продолжительным временем сидячим

положением

повышенная нагрузка на органы зрения

болевые симптомы в позвоночнике и пояснице в связи

продолжительным сидячим положением а также венозная

недостаточность и стресс

Для рационального выбора организации рабочего процесса необходимо

минимизировать опасное воздействие на здоровье работающего а также

выполнить все требования эргономики и обезопасить свое рабочее место

Требования к минимизации нагрузки на органы зрения

Высокая нагрузка на органы зрения приводит к ухудшению зрения

возникновению близорукости и других заболеваний что также провоцирует

мигрень и головные боли повышается раздражительность нервное состояние

которое может привести к стрессу

Для избежание негативного воздействия на органы зрения необходимо

уделить особое внимание освещению как помещения так же и рабочих мест так

как степень освещенности напрямую зависит от интенсивности зрительного

напряжения Основное освещение следует размещать сплошными или

прерывистыми линиями светильников которые могут располагаться сбоку от

68

рабочих мест а также параллельно линии зрения рабочего при линейном

расположении мониторов компьютера Если же ПК расположены по всему

периметру помещения тогда линию светильников или ламп следует

расположить локализовано над каждым рабочим местом

Безопасная и рекомендуемая норма освещенности для работника в системе

освещения составляет mdash 150 minus 200 лк По правилам допускается расположение

ламп локального освещения Персональное освещение не должно

способствовать возникновению бликов на поверхности самого экрана а также

освещенность экрана не должна превышать 300 лк Безопасным считается

освещение рабочих мест люминесцентными лампами ЛБ белого света которые

должны использоваться в помещениях с нормальными условиями труда

Экран должен характеризоваться освещенностью не более 300 лк Яркость

ламп основного освещения в части зон углов излучения 50 minus 90∘ в продольной и

поперечной с вертикалью плоскостях может составлять менее 200кдм также

защитный угол светильников может составлять более 40∘

В виде источников света особенно при условии искусственного освещения

следует применять люминесцентные лампы ЛБ (белый свет) и ЛТБ (тепло-

белый) с характеристиками мощностью 40Вт или 80Вт обладающие высокой

световой отдачей (до 120лмВт и более) у которых продолжительный срок

службы (до 10000ч)

В лампах локального освещения допускается использование ламп

накаливания также галогенных Не допускается использование светильников без

рассеивателей и экранных решеток

Организация рабочего места в связи с активностью оператора

Сфера работы оператора ЭВМ характеризуется пониженной мышечной

активностью а также длительным напряжением мышц в статике особенно шеи

рук спины и ног что может привести к утомлению Состояние утомления

существенно возрастает особенно при неоптимальной высоте рабочего стола и

сидения у которого отсутствует опорная спинка или подлокотник а также

острых углах наклона головы нерациональным и неудобном размещении

69

видеотерминала документов и клавиатуры неудобном угле наклона

поверхности экрана отсутствии подставки для ног

Сиденье должно быть удобным и обеспечивать поддержание правильной

рабочей позы которое будет позволять изменять положение с целью

уменьшение напряжения мышц шейно-плечевой области Лучший способ - это

когда рабочее кресло оборудовано подъемно-поворотным которое регулируется

по высоте и по углам наклона спинки причем регулировка каждого параметра

должна быть независимой

Рабочее место работника следует обеспечить подставкой для ног (п 93 и

105 СанПиН 222241340-03) Поверхность подставки обязательно должна

быть рельефной и характеризоваться высотой переднего края 10 мм

Требования пожаробезопасности

Согласно ГОСТ 121004-91 следует помнить о существующих мерах

предосторожности и опасных факторах огонь пламя и дым также высокая

температура токсичные продукты горения и их термическое разложение

сниженная концентрация кислорода Противопожарную защиту обеспечивают

следующими мерами

Использование средств пожаротушения наличие сигнализации и

устройств тушения в помещениях которые способны ограничивать

распространение пожара наличие специальных средств индивидуальной

защиты

Противопожарные перегородки и отсеки устройства автоматического

отключения систем

Специальная планировка эвакуационных выходов

Системы оповещения людей по громкоговорителю

Технические средства для эвакуации людей

Присутствие огнетушащих веществ

70

Система вентиляции здания должна содержать оборудования и устройства

которые обеспечивают автоматическое отключение при пожаре и

огнедымозадерживающими устройствами Система электропитания

персонального компьютера должна иметь блокировку которая отключает его в

случае пожара

71

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1 Байков ВА Бакиров НК Яковлев АА Математическая геология

учебное пособие ndash Москва-Ижевск 2012 ndash 228с

2 Гуляев Д Н Кокурина В В Кременецкий М И и др Формирование

системы промыслового мониторинга на основе долговременных иссле-

дований стационарными датчиками на приеме насоса Нефтяное хозяй-

ствоraquo 12 2009 С 41ndash44

3 Демьянов В В Савельева Е А Геостатистика теория и практика

учебное пособие ndash Москва 2010 ndash 327с

4 Каневский МФ Демьянов ВВ Савельева ЕА и др Элементарное

введение в геостатистику Москва ВИНИТИ 1999 ndash 136с

5 Каневская Р Д Математическое моделирование разработки месторож-

дений нефти и газа с применением гидравлического разрыва пласта М

Недра-Бизнесцентр 1999 ndash 212 с

6 Кременецкий М И Ипатов А И Гуляев ДН Информационное

обеспечение и технологии гидродинамического моделирования нефтяных

и газовых залежей [Книга] - Москва-Ижевск Ижевский институт

компьютерных исследований 2011 ndash 896с

7 Леонтьев Н Е Основы теории фильтрации [Книга] - Москва ЦПИ при

механико-математическом факультете МГУ 2009 ndash 88с

8 Ортега Дж Введение в параллельные и векторные методы решения

линейных систем [Книга] - Москва Мир 1991 ndash245с

9 Abramowitz M IA Stegun Handbook of Mathematical Functions [Книга] -

New York Dover Publications Inc ndash 1972

10 Churchill RV Operational Mathematics [Книга] - New York McGraw-Hill

Book Co Inc ndash 1972

11 Gringarten AC and Ramey HJ The Use of Source and Greenrsquos Functions in

72

SolvingUnsteady-Flow Problems in Reservoirs [Книга] - SPEJ 1973 ndash245с

12 Houzeacute O Viturat D Fjaere O-S Dynamic data analysis [Книга] - Kappa

2008

13 Joshi SD Horizontal Well Technolog [Книга] - Tulsa Oklahoma Penwell

Published Compan 1991

14 Stehfest H NumericalInversionof LaplaceTransforms [Книга] -

Communicationsofthe ACM 1970

15 The Society of Petroleum Engineers Введение в нефтяной инжиниринг

[Книга] - Москва-Ижевск Институт компьютерных исследований 2014

16 Van Everdingen AF and HurstW W The Application of the Laplace

Transformation to Flow Problems in Reservoirs [Книга] - AIME 1953

17 Stehfest H NumericalInversionof LaplaceTransforms

Communicationsofthe ACM 1970

18 Gringarten AC and Ramey HJ The Use of Source and Greenrsquos Functions in

SolvingUnsteady-Flow Problems in Reservoirs бм SPEJ 1973

19 Jan R Williams Susan F Haka Mark S Bettner Joseph V Carcello

Financial amp Managerial Accounting 2008

12

месторождения необходима информация о текущем энергетическом состоянии

пласта и его проницаемости

Пластовое давление и проницаемость могут быть получены в результате

интерпретации гидродинамических исследований (глава 5) Однако

длительность исследований и их качество порой оказываются недостаточными

для корректного определения этих параметров В данной работе реализуется

алгоритм моделирования синтетических исследований (глава 8) для оценки

погрешности в зависимости от их длительности

ГЛАВА 3 МЕТОДИКА ОПТИМАЛЬНОГО

ПЛАНИРОВАНИЕ ИССЛЕДОВАНИЙ

Результатом интеграции методологии ценности информации и

планирования гидродинамических исследований является реализованный

инструмент позволяющий определить необходимость проведения исследования

на действующей скважине вблизи проектной С целью определения VOI

инструмент последовательно решает следующие задачи

1 Определение исходных распределений проницаемости (k) и

пластового давления в действующих скважинах (глава 2)

2 Интерполяция исходных распределений в точку проектной

скважины (глава 4)

3 Моделирование исследований ГДИ на действующих скважинах

расположенных вблизи проектной скважины и определение распределений

проницаемости и пластового давления с учётом результатов исследований (глава

8)

4 Интерполяция измененных распределений в точку проектной

скважины (глава 4)

5 Расчёт ожидаемой прибыли проектной скважины без проведения

исследования ГДИ (EMVwoi) (глава 91)

13

6 Расчёт ожидаемой прибыли проектной скважины с учётом

проведения исследования ГДИ (EMVwi) (глава 92)

При проектировании скважины значения проницаемости и пластового

давления определяются по имеющимся картам распределения свойств В свою

очередь построение карт основывается на результатах проведения

гидродинамических исследований По причине наличия погрешностей при

построении карт распределения свойств и погрешностей в результатах

гидродинамических исследований значения проницаемости и пластового

давления с карт зачастую не являются аналогичными результатам ГДИ

На первом этапе инструмент оценивает распределение параметров

основываясь на определении отношения (έ) значений проницаемости и

пластового давления определенных по результатам ГДИ к значениям

определенным по картам пластового давления и проницаемости (рис1)

Параметр έ характеризует отклонения результатов исследований от карт и таким

образом описывает неопределенность в параметре Определив параметр έ для

каждого имеющегося гидродинамического исследования оценивается

распределение отклонений έ для каждого параметра (проницаемости и

пластового давления) Разработка методологии проводилась на существующем

месторождении в результате параметр έ для проницаемости имел

логнормальное для пластового деления нормальное распределение (рис31)

Распределения свойств пласта в точках существующих скважин до

проведения гидродинамического исследования определяется путем

произведения распределений έ на значение параметра пласта с актуальной карты

[1]

14

Рис31 Распределения отклонений значений проницаемости и пластового давления по

результатам ГДИ от значений с карт

На следующем этапе инструмент интерполирует исходные распределения

в точках действующих скважин в точку проектной скважины Для интерполяции

используется метод сплайн ndash интерполяции который оценивает значения

используя математические функции В результате интерполяции для проектной

скважины определяются распределения проницаемости и пластового давления

до проведения гидродинамического исследования

Возможные реализации проницаемости и пластового давления имеют

широкие исходные распределения и являются непрерывными величинами по

этой причине перед моделированием ГДИ исходные распределения в точках

существующих скважин разбиваются на N-количество дискретных исходов

(рис32) Количество исходов (N) определяется на основе точности

погрешности результатов ГДИ Точность результатов ГДИ определяется

экспертным образом Вероятности исходов определяются на основе данных

вероятностного моделирования путем деления всего диапазона исходов

значений N - дискретных исходов и определение количества реализаций

которые можно отнести к каждому исходу При моделировании 100 значений

проницаемости если скважина в 20 реализациях попала в первое распределение

вероятность должна быть определена 20

0

02

04

06

08

1

12

14

00 10 20

Пл

отн

ость

ве

ро

ятн

ости

έ = (Рпл по ГДИ) (Рпл с карт)

Распределение έ значений проницаемости

0

02

04

06

08

1

12

14

00 05 10 15 20

Пл

отн

ость

ве

ро

ятн

ости

έ = (119896 по ГДИ) (119896 с карт)

Распределение έ значений пластового давления

15

Рис 32 Разбиение исходного распределения пластового давления на дискретные

значения

Для оценки распределений свойств пласта в точке проектной скважины

после проведения гидродинамического исследования необходимо создать

синтетическое ГДИ Моделирование запланированного ГДИ проводится путём

решения задачи о нестационарном притоке к скважине с постоянным дебитом на

основе исходных распределений свойств пласта

Уравнением описывающим процессы происходящие при исследованиях

ГДИ является уравнение пьезопроводности Данное уравнение (31) описывает

неустановившееся однофазное одномерное течение флюида в пористой среде и

выражает связь между пластовым давлением временем и расстоянием от

скважины до точки наблюдения Решение уравнения пьезопроводности (32) для

простого случая работы вертикальной скважины в бесконечном пласте позволяет

получить модель характеризующую перераспределение давления в пласте

1

120594

120597120549119875

120597119905=1

119903

120597

120597119903(119903120597120549119875

120597119903) (31)

∆119875(119905 119903) = minus9205119902119861120583

119896ℎ119864119894 (minus

1199032

000036120594119905) (32)

где (q ndash дебит скважины м3сут B ndash объёмный коэффициент 120583 ndash

вязкость жидкости cпз k ndash проницаемость мД h ndash мощность пласта

м r ndash радиус м χ ndash пьезопроводность мД(спзатм-1) t ndash время ч)

16

Ожидаемая прибыль запланированной к бурению скважины до проведения

ГДИ рассчитывается с учётом исходного распределения после ГДИ

рассчитывается для каждого дискретного варианта исхода из N-возможных и для

разных времен длительности исследования t

На первом этапе расчёта прибыли по методу Монте-Карло определяются

значения проницаемости и пластового давления с вероятностями распределения

равными 10 50 90 и оценивается запускное значение дебита скважины По

соседним скважинам определяются темпы падения дебита скважины

усредненный темп падения используется для проектной скважины

Произведение запускного значения дебита и усредненного темпа падения

характеризует профиль добычи проектной скважины На основе профиля

добычи оценивается NPV проектного бурения который учитывает

операционные затраты и капитальные расходы проекта При оценке NPV после

запланированного исследования в капитальных затратах учитываются расходы

на проведение ГДИ стоимость интерпретации исследования инструментальные

замеры

Ожидаемая ценность EMVwi после проведения ГДИ рассчитывается как

сумма отдельно взятых N - исходов умноженных на соответствующие

вероятности исходов (33)

119864119872119881119908119894 (119905119894) = 1198641198721198811199081198941(119905119894) lowast 1198751 + 1198641198721198811199081198942(119905119894) lowast 1198752 +⋯

+ 119864119872119881119908119894119873(119905119894) lowast 119875119899 =sum119864119872119881119908119894_119895(119905119894)

119873

119895=1

(33)

По результатам моделирования ГДИ на скважине вблизи проектной

проводится оценка ценности информации от запланированного исследования

Реализуется построение зависимости VOI от длительности ГДИ где график

расположен выше нуля (VOI gt 0) следует что исследование экономически

обосновано проводить По результату работы модуля выполняется

17

ранжирование скважин с оптимальным временем проведения ГДИ на основе

ценности информации

ГЛАВА 4 МЕТОДЫ ИНТЕРПОЛЯЦИИ

Определения параметров пласта в области с отсутствующими прямыми

измерениями осуществляются с помощью пространственной интерполяции

Одним из основных методов построения карт параметров пласта является

сплайн-интерполяция

Для построения распределения свойств пласта в определённой зоне

используют ограниченное значение количественных измерений интересующего

параметра Z в точках (Xi Yi) Данные точки определяются как точки выборки

(точки наблюдений) Цель пространственной интерполяции ndash получить значения

пространственной переменной Z на площади где отсутствуют исследования с

минимально погрешностью Необходимо интерполировать из точек Z(xi) в

определенную точку Z(x) на основе анализа имеющихся в базе значений (Рис 42)

Рис 42 Интерполяция в точку Z(x)

Подход интерполяции напрямую опирается на измеренные значения в

точках и интерполируются с помощью подбора математической функции

определяя слаженность результирующей формы [4]

В данной работе был реализован метод сплайн-интерполяции

Сплайн-функцией 119904(119909) 119909 isin [119886 119887] называется функция которая в

каждом частичном отрезке [119909119894minus1 119909119894] является полином некоторой степени и

имеет на заданном [119886 119887] производную до некоторого порядка Под степенью

18

сплайна подразумевают максимальную степень полинома по каждому из

отрезков [119909119894minus1 119909119894] а под дефектом сплайна ndash разность между соответствующей

степенью сплайна и порядком наивысшей производной на заданном отрезке

[119886 119887]

Интерполяция сплайнами является кусочно-полиномиальной

интерполяцией Основная теория сплайн-интерполяции заключается том что на

каждом шаге интерполяции (разбиваемом промежутке между узлами)

осуществляется аппроксимация в форме определенной полиномиальной

зависимости Для каждого шага итерации осуществляется подборка полинома

таким образов чтобы выполнялись граничные условия на концах отрезка

Условия для сплайна полинома степени n должны обеспечивать непрерывность

производных порядка степени (n-1) Наиболее распространённые и имеющие

широкую практическую применимость являются кубические сплайны

41 КУБИЧЕСКИЙ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ СПЛАЙН

Кубическим интерполяционным сплайном 119904(119909) называется функция

которая удовлетворяет следующим условиям

1 На каждом определенном отрезке [119909119894minus1 119909119894] 119904(119909) является полином

третьей степени то есть

119904(119909) = 1198860(119894)1199093 + 1198861

(119894)1199092 + 1198862

(119894)119909 + 1198863

(119894) 119909 isin [119909119894minus1 119909119894] (411)

2 119904(119909) isin 119862[119886119887]2

3 119904(119909119894) = 119891119894 119894 = 0 1hellip 119899

4 119904primeprime(119886) = 119904primeprime(119887) = 0

Коэффициенты 1198860 1198861

1198862 1198863

рассчитываются независимо от каждого

промежутка интерполирования [14]Рассмотрим как строится кубический

сплайн Обозначим через 119898119894 = 119904primeprime(119909119894) 119894 = 0hellip 119899 minus

величина называемая моментом

19

119904primeprime(119909) - линейная функция и для каждого отрезка она совпадает с

интерполяционной функцией полинома Лагранжа первой степени

Проинтегрировав получившееся равенство определяется из условия 3

искомые константы находятся в виде сплайна 119904(119909) на частичном отрезке

[119909119894minus1 119909119894]

119904(119909) = 119898119894minus1

(119909119894 minus 119909)3

6ℎ+119898119894

(119909 minus 119909119894minus1)3

6ℎ+ (

119891119894 minus 119891119894minus1ℎ

minus (119898119894 minus119898119894minus1)ℎ

6) (119909 minus 119909119894)

+ 119891119894 minus119898119894

ℎ2

6 (412)

Определяем моменты 119898119894 119894 = 0hellip 119899 с помощью условий 2 3 4

выводим систему следующего вида

1198980 = 0ℎ

6119898119894minus1 +

2

3ℎ119898119894 +

ℎ

6119898119894+1 =

119891119894minus1 minus 2119891119894 + 119891119894+1ℎ

119894 = 1hellip 119899 minus 1 (413)

119898119899 = 0

Запишем следующие вектора

119898 =

(

11989801198981

⋮119898119899minus1119898119899 )

minus (119899 + 1) minus мерный (414)

119892 =

(

1198910 minus 21198911 + 1198912ℎ⋮

119891119899minus2 minus 2119891119899minus1 + 119891119899ℎ )

minus (119899 + 1) minus мерный (415)

и матрицу

20

119860 =

(

1 0 0 01

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ 0

01

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ

⋯0 0 0 00 0 0 00 0 0 0

⋮ ⋱ ⋮

0 0 0 00 0 0 00 0 0 0

⋯

1

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ 0

01

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ

0 0 0 1 )

minus (119899 + 1) times 6(119899 + 1)

minus мерную (416)

Сходимся в необходимости решить следующую систему (417)

119860119898 = 119892 (417)

Данная система представляет собой систему с трёхдиагональной

матрицей и с диагональным преобладанием Для необходимости её решения

потребуется применить метод прогонки который возможен для систем

следующего вида

1198980 = 11989611198981 + 1198920119886119894119898119894minus1 + 119887119894119898119894 + 119888119894119898119894+1 = 119892119894 119894 = 1hellip 119899 minus 1

119898119899 = 1198962119898119899minus1 + 119892119899 (418)

где

119886119894120572119894 + 119887119894 ne 0 119894 = 1hellip 119899

1 minus 1198962120572119899 ne 0 (419)

где 120572119894 в свою очередь - это

1205721 = 1198961

120572119894+1 = minus119888119894

119886119894120572119894 + 119887119894 119894 = 1hellip 119899 minus 1 (4110)

Следующая методика прогонки представлена в двух частях прямой хода

и обратный хода Прямой ход выявляет следующие величины

21

1205721 = 11989611205731 = 1198920

120572119894+1 = minus119888119894

119886119894120572119894 + 119887119894 119894 = 1hellip 119899 minus 1 (4111)

120573119894+1 = minus119892119894 minus 119886119894120573119894119886119894120572119894 + 119887119894

119894 = 1hellip 119899 minus 1

Далее следует обратный ход в порядке уменьшения индексов определяет

искомые параметры

119898119899 =

119892119899 + 11989621205731198991 minus 1198962120572119899

119898119894 = 120572119894+1119898119894+1 + 120573119894+1 119894 = 119899 minus 1hellip 0

(4112)

Сплайн 119904(119909)математически определён формулой представленной выше

42 КУБИЧЕСКИЙ СГЛАЖИВАЮЩИЙ СПЛАЙН

Метаматематическая модель кубического сглаживающего сплайна

заключается в том что в узлах 119909119894119894=0119899 sub [119886 119887] определенные значения функции

119891(119909) могут быть заданы с погрешностью 119891119894=0119899

В таких моделях с дефектом 1

кубический интерполяционный сплайн будет реализован с достаточно большой

погрешностью вследствие построения с неточными значениями В большинстве

случае реализуют построение кубического сглаживающего сплайна в котором

решается следующая экстремальная задачи

119906 =119894119899119891

119906 isin 11988222[119886 119887]

120567(119906) (421)

где 11988222[119886 119887] ndash пространство Соболева вещественных функций с нормой

1199062 = int(|119906(119909)|2 + |119906primeprime(119909)|2)119889119909

119887

119886

(422)

а функционал

22

120567(119906) = int |119906primeprime(119909)|2 119889119909

119887

119886

+sum119901119894(119906(119909119894) minus 119891119894)2

119899

119894=0

119901119894 gt 0 119894 = 0hellip 119899 (423)

строго неотрицательный выпуклый полунепрерывный снизу

вследствие слабой сходимости

Однозначно решение данной задачи существует и является единственным

решением Введем единственное решение 1199060(119909) также обозначим значения

119910119894119894=0119899 следующим образом

119910119894 = 1199060(119909119894) 119894 = 0hellip119899 (424)

Можем построить кубический интерполяционный сплайн 119904(119909 119910)

119904(119909119894 119910) = 119910119894 Данное полученное решения является равным 1199060

Оценим вид интерполяционного сглаживающего сплайна

Введём в рассмотрение отображение 119866(119910) ℝ119899+1 rarr ℝ

119866(119910) = 120567(119904(middot 119910 )) = int |119904primeprime(119909)|2 119889119909

119887

119886

+sum119901119894(119904(119909119894) minus 119891119894)2

119899

119894=0

=

sum int |119904primeprime(119909)|2 119889119909

119909119894

119909119894minus1

119899

119894=1

+sum119901119894(119904(119909119894) minus 119891119894)2 (425)

119899

119894=0

Получаем исходную экстремальную задачу эквивалентную поиску

min119910isin ℝ119899+1

119866(119910) (426)

Исходя из того что 119904(119909 119910) ndash является кубическим интерполяционным

сплайном запишем

119904primeprime(119909119894 119910) = 119898119894 119894 = 0hellip119899 (426)

1198980 = 0119898119899 = 0 (427)

Вводим (119899 minus 1) times (119899 minus 1)-мерную матрицу

23

119860 =

(

2

3ℎ

1

6ℎ 0 0

1

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ 0

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

0

0

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

01

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ

0 01

6ℎ

2

3ℎ)

(428)

(119899 minus 1)-мерный вектор

119898 = (

1198981

⋮119898119899minus1

) (429)

(119899 minus 1) times (119899 + 1)-мерную матрицу

119867 =

(

1

ℎminus1

2ℎ

1

ℎ0 ⋯ 0 0 0 0

⋯

0 0 0 0 ⋯ 01

ℎminus1

2ℎ

1

ℎ)

(4210)

невырожденную (119899 + 1) times (119899 + 1)-мерную матрицу

119875 = (1199010

⋱119901119899

) (4211)

и (119899 + 1)-мерный вектор

119891 = (1198910⋮119891119899

) (4212)

получаем следующую систему уравнений в которой вычисляем моменты

119898

(119860 + 119867119875minus1119867lowast)119898 = 119867119891 (4213)

Данная система решается методом Гаусса Затем можем выразить

119910 = minus119875minus1119867lowast119898 + 119891 (4214)

(4214) - точку глобального минимума для заданного отображения 119866(119910)

В итоге получаем форму сглаживающего сплайна

24

119904(119909) = 119898119894minus1

(119909119894 minus 119909)3

6ℎ+119898119894

(119909 minus 119909119894minus1)3

6ℎ+ (119910119894minus1 minus

ℎ2

6119898119894minus1)

119909119894 minus 119909

ℎ

+ (119910119894 minusℎ2

6119898119894)

119909 minus 119909119894minus1ℎ

(4215)

119909 isin [119909119894minus1 119909119894] 119894 = 1hellip119899 (4216)

ГЛАВА 5 ОСНОВЫ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО

ИССЛЕДОВАНИЯ СКВАЖИН

Основой ГДИС являются решение нестационарной задачи фильтрации

Рис 51 а) б) формирование радиальной воронки депрессии после пуска

добывающей и нагнетательной скважины в) г) расформирование радиальной

воронки депрессии после остановки добывающей и нагнетательной скважины

Tmdash время прошедшее после пуска скважины tmdash время прошедшее после

остановки скважины[6]

флюидов в порово-упругой среде Они основываются на изучение процессов

формирования и релаксации полей давления в пласте и в скважине в

зависимости от типа воздействия (закачка или отбор флюида) (рис51) Арсенал

технологий исключительно разнообразен и включает самые различные методы с

различной продолжительностью и интенсивность воздействия на пласт Каждая

технология представляет совокупность циклов (базовых элементов)

Определение каждого из них ndash регистрация разницы давления во времени после

изменения дебита скважины на заданной глубине Продолжительностью цикла

25

обуславливается решаемой задачей глубинностью условием и объектом

исследования

Гидродинамические исследования предполагают синхронные измерения

давления и расхода на фиксированной глубине при переходных режимах

эксплуатации скважины Основными элементами технологий ГДИС стабильно

работающих скважин являются способы предполагающие регистрацию

изменения давления во времени

после пуска скважины на стабильный режим отбора или закачки

(кривая стабилизации давления (КСД) -пуск) или при переходе с

одного стабильного режима на другой (КСД-режим)

после остановки скважины стабильно или циклически работавшей

в режиме отбора (кривая восстановления давления КВД) или

закачки (кривая падения давления - КПД)

Решение прямой задачи ГДИС состоит в оценке изменения давления на

забое скважины при заданном изменении дебита и для конкретной модели

скважины и пласта

К наиболее часто используемым моделям относится скважина со скин-

фактором в однородном изотропном пласте при радиальном режиме течения

При пуске скважины с постоянным расходом QАТ[м3с]=const (расход

соответствует условиям атмосферы) изменение давления РС [Па] во времени

tРАБ[с] прошедшем с момента пуска описывается асимптотической

формулой точность которой повышается с увеличением tРАБ

РАБRRРАБ

ПРС

OАТCПЛ tt

r

χ

επ

BQPP

lnln

252ln

4 2

_

(51) επ

BQ OАТR

4

2

_

252ln

ПРС

RRr

χ

kh

k

S

CПРС err _

Другие обозначения принятые в данных формулах PПЛ [Па] ndash первоначальное

пластовое давление [Пас] - динамическая вязкость фильтрующегося флюида Во[безразм]

26

ndash объемный коэффициент флюида [м3Па с] ndash гидропроводность пласта [м2с] ndash

пьезопроводность пласта k [м2] ndash проницаемость пласта КП [в долях]ndash пористость пласта h[м]

ndashэффективная работающая толщина пласта s[безразм] ndash интегральный скин-фактор rС_ПР [м]

ndashприведенный радиус скважины rС[м] ndashрадиус скважины [Па-1] ndash интегральная

сжимаемость пористой среды

При остановке скважины работавшей с постоянным расходом QАТ[м3с] =const в

течение времени tРАБ[с] изменение давления РС[Па] во времени tОСТ[с] прошедшем с

момента остановки описывается асимптотическими формулами (для больших значений tОСТ)

ОСТ

ОСТРАБRПЛ

ОСТ

ОСТРАБОАТПЛC

t

tP

t

tВQPP

tln

tln

4

(52

)

ОСТРАБ

ОСТРАБRR

ОСТРАБ

ОСТРАБ

ПРС

ОАТНАЧC

t

t

t

t

r

ВQPP

t

tln

t

tln

252ln

4 2

_

(53

)

где PНАЧ [Па] ndash давление в момент остановки скважины (tОСТ =0)

Следует обратить внимание что соотношения (51) и (53) оперируют с

разностью текущего и начального давления цикла (в первом случае в качестве

начального выступает пластовое давление а во втором ndash давление в момент

остановки скважины) В отличие от этого соотношение (52) оперирует с

абсолютной величиной давления

С математической точки зрения названные способы представления

данных идентичны Но каждый из них оптимален для решения конкретной

задачи интерпретации гидродинамических исследований Уравнения (51) и (53)

позволяют выделить влияние скин-фактора Основная цель использования

формулы (52) оценка абсолютной величины пластового давления

Абсолютная величина тангенса угла наклона асимптоты () для всех без

рассмотренных зависимостей одинаков и определяется величиной

гидропроводности пласта

Рис52 иллюстрируют поведение давления во времени при запуске

скважины в зависимости от дебита в цикле исследований (а) проницаемости

пласта (б) и скин-фактора (в) Основной недостаток подобного представления

27

результатов в низкой наглядности В частности очень трудно различить

особенности влияния основных информативных факторов ГДИС ndash

фильтрационных свойств пласта (проницаемости) и характеристик

совершенства вскрытия (скин-фактора)

Рис52 особенности поведения давление при пуске скважины (КСД)

а) Влияние расхода Q=QАТВо-расход PС ndashдавление РПЛ- начальное

пластовое давление tРАБ=0 момент пуска скважины (Q1ltQ2ltQ3)

б) Влияние проницаемости Q-расход PС ndashдавление РПЛ- начальное

пластовое давление tРАБ=0 момент пуска скважины (k1gtk2ltk3)

в) Влияние проницаемости скин-фактора Q-расход PС ndashдавление РПЛ-

начальное пластовое давление tРАБ=0 момент пуска скважины (s3gts2lts1)

В ГДИС используются специальные способы представления данных

позволяющие сделать их интерпретацию более наглядной

Рис53 иллюстрирует основные способы представления результатов

ГДИС для исследования добывающей скважины включающей цикл I запуска с

постоянным расходом (КСД-пуск) и цикл II остановки (КВД)

PCQ

PCQ

t=to

Q

PC (k=k1)

PC (k=k3)

PC (k=k2)

PC=PПЛ tРАБ

Q1

PC=PПЛ

t=to

Q2

Q3

PC (Q=Q1)

PC (Q=Q2)

PC (Q=Q3)

PCQPC=PПЛ

Q

PC (s=s1)

PC (s=s2)

PC (s=s3)

а)

б)

в)

tРАБ

tРАБ

28

Рис53 Основные способы представления результатов ГДИС для

диагностики радиального режима течения при пуске в работу со стабильным

расходом добывающей (I) и нагнетательной (II) скважины а) давление как

функция времени в декартовых координатах б) приращение давления как

функция времени в декартовых координатах в) приращение давления как

функция логарифма времени г) логарифм приращения давления и логарифм

логарифмической производной как функция логарифма времени

Базовым способом представления результатов ГДИС является график

полной (по всем циклам исследования) кривой изменения давления во времени

в процессе ГДИС в декартовых координатах (рис53а)

Графики в декартовых координатах зависимости приращения давления от

времени по отдельным циклам позволяют унифицировать результаты измерения

давления по циклам его роста (КВД) и падения (КСД - пуск) Приращение

вычисляется как модуль разности текущего давления (Р) и начального давления

PС

P=Рпл

a)

I

II

ln(tРАБtОСТ)(tРАБ +tОСТ)

IIбtРАБ

РНАЧI

РНАЧII

P=РНАЧI-PС

ln(tРАБ)

P

lnPlnPP

P

Iв)

Iг)

Iд)

P

lnPlnPP

P

IIв)

IIг)

IIд)

tОСТ

P=PС-РНАЧII

tРАБ

ln(tРАБ)

ln(tРАБ+tОСТ)tОСТ

ln(tРАБtОСТ)(tРАБ +tОСТ)

tОСТ

PС

29

(РНАЧ) в цикле Р= Р-РНАЧ Величина Р монотонно увеличивается во

времени вне зависимости от соотношения дебитов в цикле исследования и

предшествующем цикле[6]

График зависимости приращения давления от логарифма текущего

времени laquolntРАБraquo используется для представления результатов КСД-пуск

(рис53Iв) Участок КСД соответствующий радиальному режиму в данном

масштабе аппроксимируется линейной асимптотой Эта особенность

радиального режима используется для его диагностики

Как следует из соотношения (52) наклон асимптоты определяется

гидропроводностью пласта а свободный член значением гидропроводности и

приведенного радиуса (то есть и скин-фактора)

Для цикла (КВД) вместо логарифмического масштаба времени

используется так называемый обобщенный логарифмический масштаб

вычисляемый на основе продолжительностей и расходов циклов работы

скважины предшествующих анализируемому (рис53IIв)

Как следует из соотношения (53) для цикла КВД после одиночного цикла

работы скважины данный масштаб вычисляется по формуле

ОСТРАБ

ОСТРАБP

tt

ttt

)(lnF

(54)

Во временном интервале радиального режима течения КВД

аппроксимируется линейной асимптотой Наклон асимптоты определяется

гидропроводностью пласта а свободный член значением гидропроводности и

приведенного радиуса (то есть и скин-фактора)

Масштаб Хорнера у которого радиального режима течения также является

логарифмическим (рис53II б)

Как следует из соотношения (52) для цикла КВД после одиночного цикла

работы скважины данный масштаб вычисляется по формуле

)ln()(lnОСТ

ОСТРАБ

Pt

tttF

(65)

30

Данный масштаб является инверсным по времени При увеличении

времени его значения падают Участок КВД соответствующий радиальному

режиму течения аппроксимируется линейной асимптотой Наклон асимптоты

определяется гидропроводностью пласта а свободный член значением

пластового давления

Двойной логарифмический масштаб для цикла laquoКСД-пускraquo предполагает

представление логарифма приращения давления laquoln(P)raquo и логарифма

логарифмической производной ln(P) от логарифма времени (рис62Iд)

Логарифмическая производная в этом случае вычисляется по формуле

)ln( P

PP

(66)

Для цикла laquoКВДraquo двойной логарифмический масштаб предполагает

представление параметров laquoln(P)raquo и ln(P) от обобщенного логарифмического

времени соотношение (69)- рис62IIд

)( PF

PP

P

(67)

Данный масштаб является универсальным используется для диагностики

не только радиального но и линейного и других не радиальных режимов течения

для всех типов циклов ГДИС

Следует подчеркнуть что соотношения (51)-(54) выведены для двух

цикличной технологии исследования и при увеличении числа циклов должны

быть модифицированы Но описанный выше принцип масштабирования

результатов ГДИС является универсальным

31

Рис 54 Билогарифмический график КВД [5]

На основе интерпретации результатов исследования ГДИС определяются

параметры энергетического состояния скважины (пластовое давление

депрессия продуктивность динамика их изменения) фильтрационные

параметра пласта (гидропроводность подвижность пьезопроводность

проницаемость) зональность их распространения по площади

В настоящей магистерской диссертации была реализован метод

математического моделирования с целью получения информации о

проницаемости и пластовом давлении в точках исследуемых скважинах

погрешностью полученных параметров на основе качества исследования

(наличие на билогарифмическом радиального режима) связанным со временем

исследования

ГЛАВА 6 ТЕОРИЯ ФИЛЬТРАЦИИ В УПРУГОЙ ПОРИСТОЙ

СРЕДЕ

Основа теории фильтрации основана на изучении движения

(просачивания) жидкости через пористую среду Особенности процессов

фильтрации зависят от упругих свойств среды и насыщающих их флюидов

Для постановки задачи фильтрации жидкости в упругой среде прибегают

к краевой или начально-краевой задаче с соответствующими граничными

условиями Для нахождения математического выражения фильтрации флюидов

в пористой среде решают систему дифференциальных уравнений в частных

производных

Векторы скорости и плотности фильтрующейся жидкости могут быть

представлены в следующем виде - (119909 119910 119911 119905) и плотностью жидкости

120646 (119909 119910 119911 119905) Одной из важных характеристик поровой среды является пористость

32

ndash это относительный объем порового пространства в материале именно этот

параметр определяет количество флюида которое содержится или может

содержаться в определенном объеме пористой среды [7]

Теория фильтрации флюидов опираются на фундаментальный закон

сохранения массы в соответствии с которым изменения массы жидкости в

любом произвольном объеме V внутри замкнутой поверхности происходит за

счет изменение притока и оттока жидкости через границу объема (уравнение

неразрывности) [12]

Поток жидкости через произвольную однозначно определенную

замкнутую поверхность Γ в пористой среде с коэффициентом пористости - φ

заполненной флюидом с вязкостью μ (рис 61)

Рисунок 61 Замкнутая поверхность Γ в пористой среде (The Society of Petroleum Engineers

2014)

Скорость поступление массы объемом V через поверхность Г равна

скорости изменения данной массы в этой области (The Society of Petroleum

Engineers 2014)

119889119872119892

119889119905=

119889

119889119905∭ 120588120593119889119881 =∭

120597

120597119905(120588120593)119889119881

119881119881 6 1

Масса поступающая в определенный объем пористой среды через

дифференциальный элемент поверхности dΓ за промежуток времени Δt со

скоростью равна minus120646 lowast Отличие массы поступившей в определенную

поверхность и массой покинувшей эту поверхность за изменение времени Δt

равна

33

∆119872119892 = minus∆119905∯ 120588 lowast 119889Г Г

6 2

Скорость притока флюида в объем области V через поверхность Γ

lim∆119905rarr0

119889119872119892∆119905

=119889119872119892119889119905

= ∯120588 lowast 119889Г

Г

6 3

Приравняем правые части уравнения (119889119872119892

119889119905=

119889

119889119905∭ 120588120593119889119881 =

119881

∭120597

120597119905(120588120593)119889119881

119881 ) и ( lim

∆119905rarr0

119889119872119892

∆119905=

119889119872119892

119889119905= ∯ 120588 lowast 119889Г

Г 63) если функции

входящие в эти уравнения являются достаточно гладкими то применяем теорему

Остроградского ndash Гаусса к правой части уравнения ( lim∆119905rarr0

119889119872119892

∆119905=

119889119872119892

119889119905=

∯ 120588 lowast 119889Г Г

63) получаем

∭ [120597

120597119905(120588120593) + nabla120588] 119889119881

119881=0 (64)

Интеграл может быть приравнен к нулю тогда когда сама функция под

знаком интеграла равна нулю исходя из этого утверждения можем получить

120597

120597119905(120588120593) + nabla120588 = 0 (65)

Полученное уравнение (65) можем переписать через поля давления по

причине отсутствия непосредственного замера скорости и плотности потока при

гидродинамическом исследовании скважины (ГДИС) Для пересчета в

характеристики давления потока воспользуемся законом фильтрации Дарси и

уравнение состояния [2]

Уравнение состояния которое связывает плотность и давление

с = minus1

119881

120597119881

120597119875 с =

1

120588

120597120588

120597119875 сρ

120597119875

120597119905=120597120588

120597119905 0 6

c ndash сжимаемость жидкости отрицательный знак отражает условие что

при положительном коэффициенте сжимаемости будет происходить сжатие

флюида (давление растет объем уменьшается) Различают общую сжимаемость

с119957 и сжимаемость пористой среды с119943

с119891 =1

120593

120597120593

120597119875 6 7

34

с119905 = с119891 + 119888 6 8

Исторически уравнение баланса было получено экспериментально Анри

Дарси По закону Дарси вектор скорости фильтрации выражается через вязкость

флюида micro и тензор проницаемости k Знак минус в правой части также имеет

физически явный смысл в отсутствии сил действующих на массу жидкость

начинает движение из областей в повышенным давление в область с меньшим

давлением

= minus119896

120583nabla119875 6 9

При рассмотрении первого слагаемого уравнения 120597120597119905(120588120593) + nabla120588 = 0

(65 и с = minus1

119881

120597119881

120597119875 с =

1

120588

120597120588

120597119875 сρ

120597119875

120597119905=

120597120588

120597119905 06 выполним подстановку

120597

120597119905(120588120593) = 120593

120597120588

120597119905+ 120588

120597120593

120597119905= 120593сρ

120597119875

120597119905+ 120588

120597120593

120597119905= 120593сρ

120597119875

120597119905+ 120588

120597120593

120597119875

120597119875

120597119905=

= 120593сρ120597119875

120597119905+ 120588с119891120593

120597119875

120597119905= 120588с119905120593

120597119875

120597119905 6 10

Далее перезапишем уравнение 120597120597119905(120588120593) + nabla120588 = 0 (65 с учетом

данного выражения и подставим вектор скорости из уравнения закона Дарси

с119905120593120597119875

120597119905= nabla(

119896

120583nabla119875)

1

120594

120597119875

120597119905= nabla2119875 120594 =

119896

с119905120593120583 6 11

Где 120594 ndash коэффициент пьезопроводности с119905120593120597119875

120597119905= nabla(

119896

120583nabla119875)

1

120594

120597119875

120597119905= nabla2119875 120594 =

119896

с119905120593120583 611 определяется как уравнение пьезопроводности - основным

уравнением которое описывает процессы возникающие при гидродинамических

исследованиях

Данное уравнение пьезопроводности (611) может быть перезаписано

относительно радиальных координатах

1

120594

120597Δ119875

120597119905=1

119903

120597

120597119903(119903120597Δ119875

120597119903) 6 12

где 120607119927 = 119875119894 minus 119875 119875119894 minus начальное пластовое давление

35

Уравнение пьезопроводности решается практически во всех

аналитических моделях и выражается в них в радиальных формулах

Однозначно определенным объектом такого радиального решения служит

нагнетательная или добывающая скважина Выбранная система координат

наилучшим способом описывает моделирование радиального потока

относительно скважины

ГЛАВА 7 МОДЕЛИРОВАНИЕ ИССЛЕДОВАНИЙ

Уравнением описывающим процессы происходящие при исследованиях

ГДИ является уравнение пьезопроводности Данное уравнение (71) описывает

неустановившееся однофазное одномерное течение флюида в пористой среде и

выражает связь между пластовым давлением временем и расстоянием от

скважины до точки наблюдения Решение уравнения пьезопроводности (72) для

простого случая работы вертикальной скважины в бесконечном пласте позволяет

получить модель характеризующую перераспределение давления в пласте

1

120594

120597120549119875

120597119905=1

119903

120597

120597119903(119903120597120549119875

120597119903) (71)

∆119875(119905 119903) = minus9205119902119861120583

119896ℎ119864119894 (minus

1199032

000036120594119905) (72)

(q ndash дебит скважины м3сут B ndash объёмный коэффициент 120583 ndash

вязкость жидкости cпз k ndash проницаемость мД h ndash мощность пласта

м r ndash радиус м χ ndash пьезопроводность мД(спзатм-1) t ndash время ч)

Инструмент позволяет моделировать исследование ГДИ для случаев с

разным закачиванием скважин (вертикальная скважина вертикальная скважина

с гидравлическим разрывом пласта (ГРП) горизонтальная скважина

горизонтальная скважина с многостадийным ГРП) На первом этапе по заданным

свойствам пласта и флюида моделируется ГДИ описывающая изменение

забойного давления в скважине [1]

36

На следующем этапе моделирования строится билогарифмический график

(рис71) по которому специалисты ГДИ определяют свойства пласта Таким

образом создав синтетическое ГДИ можно предсказать как будет выглядеть

билогарифмический график исследования КВД (кривая восстановления

давления) характеризующего остановку скважины

Моделирование исследования ГДИ проводится для N ndash исходов (рис71) и

для разного времени длительности исследования t (50-100-150hellipчасов) в

результате чего инструмент определяет свойства пласта (проницаемость и

пластовое давление) по результатам исследования зависящих от времени

длительности ГДИ

Рис71 Результаты моделирования исследования ГДИ

ГЛАВА 8 ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИ ФИЛЬТРАЦИИ

ФЛЮИДОВ

811 Основа модели фильтрации к вертикальной скважине

Для самого начала рассмотрим самый простой случай движения флюида

в однородном бесконечном пласте начиная с начального постоянного давления

119927119946

В начальный момент t = 0 однотипно с началом первого цикла

эксплуатации у пласта коллектора начальное равномерное давление - 119927119946

ΔP(r t = 0) = 0 P(r t = 0) = Pi (8111)

Введем в рассмотрение граничное условие когда границы отсутствует

это сопоставимо что пласт-коллектор характеризуется бесконечной

протяженностью

0

05

1

15

2

25

-3 -2 -1 0 1 2 3

LO

G (

dP

) LO

G(P

`)

LOG(dt)

Билогарифмический график

LOG (P(t)-P(tp))

37

ΔP(r rarr infin t) = 0 P(r rarr infin t) = Pi (8112)

Второе граничное условие на радиусе скважины будет зависить от

условий на поверхности ствола (r = rw) Введем в рассмотрение единичную

вертикальную скважину радиусом 119953119960 которая полностью вскрывает

однородный изотропный коллектор с коэффициентом проницаемости k и

эффективной мощностью h добывает однородную малосжимаемую жидкость

вязкостью μ при стандартных условиях с дебитом Q м3 В условиях пласта объем

добываемого флюида составит Qsf = Qb (где b ndash объемный коэффициент

жидкости)

(119903120597119875

120597119903)119903=119903119908

=119902119861120583

2120587119896ℎ (8113)

Одной из удобных моделей моделировании фильтрации к скважине

является модель линейного источника которая является предельным случаем

скважины нулевого радиуса

119897119894119898 (119903120597119875

120597119903)119903rarr0

=119902119861120583

2120587119896ℎ (8114)

На практике прибегают к упрощению постановки задачи путем ввода

безразмерных переменных При решении задачи относительно новых

переменных позволяют интегрировать остальные параметры и в конечном счете

задача сводится к решению уникального набора уравнений которые легко

разрешаются аналитическим методом раз Физический смысл ввода

безразмерных параметров заключается в исключении из основного уравнения

параметров пьезопроводности пласта-коллектора с целью поиска обобщенного

решения с помощью которого переходя на изначальные размерные параметры

удается получить решение для определенного пласта и определить параметры

пьезопроводности и проводимости (Houzeacute O 2008)

119903119863 =119903

119903119908 (8115)

119905119863 =000036119896119905

1205931205831198881199051199031199082 (8116)

38

119875119863 =2120587119896ℎ

119902119861120583∆119875 (8117)

Далее вводим безразмерные параметры переходим к общей задаче

120597119875119863120597119905119863

=1

119903119863[120597

120597119903119863(119903119863

120597119875119863120597119903119863

)] (8118)

119875119863(119903119863 119905119863 = 0) = 0 (8119)

119875119863(119903119863 rarr infin 119905119863) = 0 (81110)

119897119894119898 (119903119863120597119875119863120597119903119863

)119903119863rarr0

= minus1 (81111)

Решая данное дифференциальное уравнение удобно применить

интегральные преобразования Принято при решении уравнения

пьезопроводности пользоваться особой формой линейных интегральных

преобразований являющиеся преобразованиями Лапласа Далее применяем к

уравнению (120597119875119863

120597119905119863=

1

119903119863[120597

120597119903119863(119903119863

120597119875119863

120597119903119863)] (811) преобразования Лапласа

s119875119863 =1

119903119863[120597

120597119903119863(119903119863

120597119875119863

120597119903119863)] (81112)13

Трансформанта Лапласа

119875119863 (119904 119903119863) = int 119875119863(119905119863

infin

119905119863

119903119863) exp(minus119904119905119863) 119889119905119863 (81113)

где s mdash это число достаточно велико чтобы мог существовать интеграл

действительная часть которого положительна Функция обозначенная чертой

сверху является образом (изображением) функции или результатом

интегрального преобразования Лапласа где подынтегральной функцией

является прообразом (оригиналом) Решение уравнения(811s119875119863 =

1

119903119863[120597

120597119903119863(119903119863

120597119875119863

120597119903119863)] (81112)13) можно представить через модифицированное

уравнение Бесселя нулевого порядка которое можно записать в следующем

виде

119875119863 (119904 119903119863) = 119860(119904)1198680(119903119863radic119904) + 119861(119904)1198700(119903119863radic119904) (81114)

39

1198680 и 1198700 являются модифицированными функциями Бесселя нулевого

порядка Значения коэффициентов A и B в уравнении определяются с помощью

подстановки граничных условий в уравнение Осуществляем подстановку

граничных условий из внешнего ГУ А(s)=0 B(s)= 1

119904 В итоге получаем

изображение решения для линейного источника в виде

119875119863 (119904 119903119863) =1

1199041198700(119903119863radic119904) (81115)

Для нахождения образа функции выполняем обратное преобразование

Лапласа полученного уравнения Данную операция можно выполнить с

помощью таблиц преобразований Лапласа (из таблиц в работах (Churchill RV

1972) и (Abramowitz M 1972))

119871minus1 (1198700(119903119863radic119904)) =1

2119905exp(minus

1198962

4119905) (81116)

Обобщаем выводим решение для линейного источника с безразмерными

параметрами

119875119863(119905119863 119903119863) = minus119864119894 (minus1199031198632

4119905119863) 119864119894(119909) = minus int

119890minus119910

119910119889119910

infin

minus119909

(811 14)

Где 119864119894(119909)-интегральная показательная функция Далее выполняем

обратное преобразование переходим на размерные величины

∆P(t 119903) = minusqBμ

2πkh119864119894 (minus

r2

4 lowast 000036120594t) (811 15)

Полученное решение уравнения в каждой точке и на каждом промежутке

времени удовлетворяет задаче фильтрации для скважины линейного источника

находящаяся в эксплуатируемом фонде скважин вскрывающая интервалом

перфорации эффективную мощность однородного бесконечного пласта-

коллектор Одним из выводов из решения уравнения пьезопроводности гласит

что поля релаксации перепада давления мгновенно перераспределяются по

пласту-коллектору Также стоить отметить существующее решение на дальнем

расстоянии от скважины 119903119894119899119907 вблизи которого перепад давления столь мал что

40

этим можно пренебречь Исходя из этого предположения можно определить

радиус исследования 119903119894119899119907 который характеризует размер области исследования

результат интерпретации которых зависят от свойства пласта и флюидов в

скважине [11]

При рассмотрении полей давления в пласте с бесконечной

протяженностью во время запуска скважины в работу на основании полученного

ранее решения уравнения (рис 8111) В первоначальный момент времени 1199051 =

0 забойное давление в скважине равно текущему пластовому давлению через

некоторый отрезок времени в интервале - 1199052 вокруг точки скважины

формируется так называемая laquoворонка депрессииraquo которая может

характеризовать неустановившийся режим течения При движение по временной

шкале воронка депрессии будет распространяться на более дальние расстояния

от скважины пока не достигнет определенной границы (119903119894119899119907=119903119908 +radic120594t) Если

рассматривать зеркально противоположный пример при остановке скважины

воронка депрессии будет становиться меньше и будет уменьшаться пока

значение давления в скважине не достигнет пластового и останется стабильным

Понятие радиального режима для течения флюидов в пласте является

основополагающим для интерпретации гидродинамических исследований Это

режим характеризует обстановку при которой скорость фильтрации и поля

давления имеют радиальную симметрию и линии тока в пласте направлены к

круговому цилиндру по радиусу от периферии пласта к скважине (Рис 1)

41

Рис 8111 Линии тока для вертикальной скважины при радиальной

фильтрации [6]

Решение линейного источника может достичь радиального режима с

определенного времени 119905119909 такую характерную зависимость можно проследить

на билогарифмическом графике (рис 8111) этот режим характеризуется

стабилизацией производной давления С помощью данного графика

проницаемость пласта вычисляется по формуле

119896ℎ = 119902119861μ lowast05

2120587∆Pстаб (81119)

При рассмотрения кейса решения уравнения пьезопроводности в случае

вертикальной скважины в цилиндрическом пласте-коллектора изменится гу на

г

р

а

н

и

ц

е

ц

и

л

и

н

(120597Δ119875

120597119903)119903=119903119890

= 0 (81120)

Аналогично ранее описанному алгоритму решению уравнения

пьезпроводности получим изображение депрессии

∆P (119904) =qBμ

2πkhlowast

lowast

1198680 (119903radic119904120594)1198701 (119903119890radic

119904120594)+ 1198681 (119903119890radic

119904120594)1198700 (119903radic

119904120594)

119903119908radic119904120594119904 [1198681 (119903119890radic

119904120594)1198701 (119903119908radic

119904120594)minus 1198681 (119903119908radic

119904120594)1198701(119903119890radic

119904120594]

(81121)

42

Аналитическое преобразование данного уравнения принимают

следующий вид (Van Everdingen AF and HurstW W 1953)

∆P(t 119903) =qBμ

2πkh

2

1199031198902 minus 119903119908

2(120594119905 minus

1199032

4) minus

1199031198902

1199031198902 minus 119903119908

2119897119899r

119903119908minus

1

(41199031198902 minus 119903119908

2)2lowast

lowast (31199031198904 minus 4119903119890

4119897119899119903119890119903119908minus 2119903119890

2 minus 1) +

+120587sum11986912 (120573119899

119903119890119903119908) [1198691(120573119899)1198840 (120573119899

r119903119908) minus 1198841(120573119899)1198690 (120573119899

r119903119908)]

120573119899 [11986912 (120573119899

r119890119903119908) minus 1198691

2(120573119899)]

infin

119899=1

119890119909119901 (minus1205731198992 120594119905

1199031199082) (81122)

1205731 1205732 и тдndash решения уравнений

1198841(120573119899)1198691 (120573119899r119890119903119908) minus 1198691(120573119899)1198841 (120573119899

r119890119903119908) = 0 (81123)

В поставленной формулировке задачи для выведенного уравнения

решения невозможно сходу подобрать обратное преобразование Лапласа с

помощью табличных значений (аналитической функции) (Abramowitz M 1972)

Однако можно выполнить найти решение выполнив его численно Для решения

задач нестационарной фильтрации флюидов применимы алгоритмы численного

обращения основанные на стохастических подходах (Stehfest H 1970) которые

предполагают что можно рассчитывать приближенное значение оригинала pa(T)

по найденному изображению p(s) в определённый момент времени t = T [13]

119901119886(119879) =1198971198992

119879sum119881119894

119873

119894=1

(119904)119904=1

1198971198992119879 (81124)

119881119894 = (minus1)(1198732)+119894

sum1198961198732(2119896)

[(1198732)

minus 119896] 119896 (119896 minus 1) (119894 minus 119896) (2119896 minus 119894)

min(1198941198732)

119896=(119894+1)2

(81125)

812 Приток к вертикальной скважине с трещиной ГРП

Ранее было выведены решения задачи фильтрации для вертикальных

скважин Метод источников который был применен также используется для

случаев скважин с более сложной геометрией ННС (наклоннонаправленных

43

скважин) ВС ГРП (вертикальный с гидроразрывом пласта) ГС ГРП

(горизонтальных с гидроразрывом пласт)

Функция Грина и метод источников применяется для решения двух- и

трёхмерных задач неустановившейся фильтрации Под источником понимается

некоторая точка поверхность или объем из области которых флюид отбирается

из пласта-коллектора или закачивается Строго говоря отбор жидкости должен

ассоциироваться со стоком а закачка с источником Под физической основой

источник можно сопоставить со скважиной бесконечно малого диаметра в

которую мгновенно закачивается конечное количество флюида[16]

Функции Грина и метод источников тесно связаны между собой Функция

Грина определяется для дифференциального уравнения со специальными

граничными условиями (заданный расход или давление) и соответствует

решению для мгновенного точечного источника С другой стороны функции

источников представляют собой решения данного дифференциального

уравнения с указанными граничными условиями и геометрией источника

Фундаментальное решение функции Грина (G (M Mrsquo τndasht)) для

неустановившегося потока флюида в пористой среде может соотнесено с

давлением в точке M (x y z) в определенный момент времени t которое

обусловлавливает мгновенный точечный источник единичной интенсивности

который создан в точке Mrsquo(xrsquo yrsquo zrsquo) во временя τ lt t Необходимо чтобы

функция Грина удовлетворяла уравнению пьезопроводности

120597119866

120597119905= 120594nabla2119866 81161

120597119875

120597120591= 120594nabla2119875 8122

int nabla2119891(119872)119889119872 =119863

int120597119891

120597119899Г

119889Г 8123

Используем свойства функции Грина можем применить терему Грина

(8123) с учетом (8122) (Gringarten AC and Ramey HJ 1973) получим

44

∆119875(119872 119905) =1

120593119888int int

Г119908(119872119908

prime 120591)119866(119872119872119908prime 119905 minus 120591

119905

0)119889119872119908

prime 119889120591 =

1

120593119888int 119905

0(120591)119878(119872119872119908

prime 119905 minus 120591)119889120591 8123

119878(119872119872119908prime 119905 minus 120591) = int 119866(119872119872119908

prime 119905 minus 120591)119889119872119908prime

Г119908 8124

где Г119908 ndash граница ствола скважины = minus119896

120583

120597119875

120597119899 ndash объём потока который

проходит через точку на поверхности внутренней границы 119872119908prime Применяем

интегрирование правой части данного уравнения (724) получаем

распределение точечных источников по площади длине и объему источника

Для разных конфигураций системы laquoисточник-пластraquo можно подобрать

табличные базовые функции соответствующих мгновенных источников (The

Society of Petroleum Engineers 2014)

В практике нефтегазовой отрасли практически на многих добывающих

скважинах проводиться МУН (метод увеличения нефтеотдачи) Одним из

распространенных методов интенсификации флюида является гидравлический

разрыв пласта (ГРП) который заключается в формировании высокопроводимой

трещины в продуктивном интервале пласте для увеличения притока флюида к

скважине

Поставим задачу решения уравнения фильтрации флюида к вертикальной

скважине с трещиной ГРП Из условий скважина полностью вскрывает пласт

эффективной мощностью h кровля и подошва пласта ограничена

непроницаемыми ровными горизонтальными границами Трещина ГРП

расположена симметрично относительно нормали ствола скважины полудлина

трещины - xf ширина - wf (wf ltlt xf) коэффициент проницаемости трещины kf

индекс laquofraquo характеризует трещину ГРП В горизонтальном направлении пласт

бесконечный (рис 8121 ndash 8122) Течение потока к трещине выражается

двумерным стоком флюида

45

Рис 8121 Вертикальная трещина (вид сбоку)

Рис 8122 Течение флюида к вертикальной трещине (вид сверху)

В ходе решения задачи стоит рассмотреть два типа течения

1) поток в трещине

2) поток в пласте с трещиной

1) Переходя к безразмерным переменным (8115-8117) запишем

уравнение пьезопроводности (8118) и граничные условия (8119-81110)

119901119891119863(119909119863 119905119863) =2120587119896ℎ (119901119894 minus 119901119891(119909 119905))

119902119908120583 (8125)

119905119863 =119896119905

1206011205831198881199051199091198912 (8126)

119909119863 =119909

119909119891 (8126)

119902119891119863(119909prime 120591) =

2119902119891(119909prime120591)

119902119908119909119891 (8127)

1198892119901119891119863(119909119863)

1198891199091198632

=120587

119865119862119863119902119891119863(119909119863) (8128)

119889119901119891119863

119889119909119863 119909119863=0=

120587

119865119862119863 (8129)

46

119889119901119891119863119889119909119863 119909119863=1

= 0 (81210)

Перепад значений давления между забойным давлением и в точке

трещины с координатой 119909119863 можно записать

119901119908119863 minus 119901119891119863(119909119863) =120587

119865119862119863[119909119863 minusint int 119902119891119863(119909

primeprime)119889119909primeprime119889119909prime119909prime

0

119909119863

0

] (81211)

2) Течение добываемого флюида из пласта-коллектора в трещину

можно рассмотреть как наличие нестационарного источника жидкости qf(xt) в

самой трещине Используя метод источников который был рассмотрен ранее

безразмерное давление в любой произвольной точке пласта

119901119863(119905119863 119909119863 minus 119909119908119863 119910119863 minus 119910119908119863) = int int 119902119891119863(120591 119909prime minus 119909119908119863)119866(120591 119909

prime 119909119863 minus1

minus1

1199051198630

119909119908119863 119910119863 minus 119910119908119863)119889119909prime119889120591 (81212)

(119909119908119863 119910119908119863) - безразмерные координаты точки забоя скважины в

горизонтальной плоскости (xy) ось 119909 направлена вдоль трещины

Записывается условие непрерывности давления в пласте и в трещине

119901119891119863(119905119863 119909119863) = 119901119863(119905119863 119909119863 0) (81213)

Следовательно уравнение (81211) принимает вид

119901119908119863 minusint int119902119891119863(120591 119909prime)119866(120591 119909prime 119909119863 0)119889119909

prime119889120591

1

minus1

119905119863

0

=120587

119865119862119863[119909119863 minusint int 119902119891119863(119905119863 119909

primeprime)119889119909primeprime119889119909prime119909prime

0

119909119863

0

] (81214)

Применяем преобразование Лапласа

119908119863(119904) minus int 119891119863(119904 119909prime)(119904 119909prime 119909119863 0)119889119909

prime =1

minus1

120587

119865119862119863[119909119863

119904minus

int int 119891119863(119904 119909primeprime)119889119909primeprime119889119909prime

119909prime

0

1199091198630

] (81215)

int 119891119863(119904 119909prime)119889119909prime

1

minus1

=1

119904 (81216)

47

Получили изображения Лапласа соответствующих функций ndash

оригиналов Решение системы производится путём дискретного разбиения

трещины по длине на 2n сегментов и записи данной системы в следующем виде

для каждого дискретного сегмента (рис 723)

Рис 8123 Схема разбиения трещины на сегменты

119908119863(119904) minussum119891119863119894

119899

119894=1

int (119904 119909prime d119909 (119895 minus1

2) 0) 119889119909prime

d119909119863119894

d119909119863(119894minus1)

+ int (119904 119909prime d119909 (119895 minus1

2) 0) 119889119909prime

d119909119863(minus119894+1)

d119909119863(minus119894)

+120587

119865119862119863[119889119909119863 ∙ 119895

119904minus (119889119909119863)

2sumsum119891119863119896

119894

119896=1

119895

119894=1

] (81217)

119889119909119863 ∙sum 119891119863119894

119899

119894=1

=1

2119904 (81218)

Изображение давления в любой точке пласта можно найти по формуле

119863(119904 119909119863 119910119863) = sum 119891119863119894 int (119904 119909prime 119909119863 119910119863)119889119909119863∙119894

119889119909119863(119894minus1)119889119909prime +119899

119894=1

int (119904 119909prime 119909119863 119910119863)119889119909119863∙(minus119894+1)

119889119909119863∙(minus119894)119889119909prime (81219)

Где 119891119863119894 ndash изображение функции мощности источников в каждом n

сегменте [17]

48

813 Основа модели фильтрации к горизонтальной скважине с МГРП

Задача притока добываемого флюида к горизонтальной скважине с

многостадийным гидроразрывом пласта (МГРП) схематично можно

представить как несколько одинаковых трещин соединенных общим

горизонтальным стволом Каждая трещина пресекает ствол горизонтальной

скважины в центре и является симметричной относительно ствола ((119909119908119863119895 119910119908119863119895)

Рис 8131 Схематическое изображение ГС с МГРП

Каждая трещина ГРП будет иметь равную полудлину 119909119891 и безразмерную

проводимость 119865119862119863 В модели существует предположение что течение флюида

внутри трещины является одномерным Следовательно поток флюида к

горизонтальному стволу скважины с n трещинами будет равен алгебраической

сумме потоков флюида от каждой трещины

119876 = sum 119876119895(119905)119899119895=1 = 119888119900119899119904119905 (8131)

Как ранее для общения задачи вводим безразмерные переменные

давление в точке пересечения скважины с j трещины - 119901119908119863119895 безразмерный дебит

- 119902119863119895 =119876119895

119876

Из условий бесконечной проводимости для горизонтального ствола

119901119908119863119895 = 119901119908119863 119895 = 1 119899 8132

Возмущение давление которое создается трещиной k в точке пересечения

119895 трещины со скважиной ndash 119901(120591)119863119895119896 equiv 119901119863(120591 119909119908119863119896 119910119908119863119896 119909119908119863119895 119910119908119863119895) применяя

принцип суперпозиции

119901119908119863(119905119863) = sum int 119902119863119895 ∙ 119901prime119863119895119896(119905119863 minus 120591)119889120591 8133

1199051198630

119899119895=1

49

Суммарный поток флюида от всех трещин будет фиксирован

sum 119902119863119895119899119895=1 = 1 и с преобразованием Лапласа - sum 119863119895

119899119895=1 =

1

119904 8134

Преобразование Лапласа для 734 р119908119863119895 = sum 119904119863119895119863119895119896119899119896=1 8135

119863119895119896 = int 119891119863(119904 |119909119908119863119896 minus 119909prime|)(119904 119909119908119863119896 minus 119909prime 119909119908119863119895 119910119908119863119896 119910119908119863119895)119889119909

prime

119909119908119863119896+1

119909119908119863119896minus1

8136

119863119895119896 =sum119891119863119894 int (119904 119909119908119863119896 minus 119909prime 119909119908119863119895 119910119908119863119896 119910119908119863119895)119889119909prime

119889119909119863∙119894

119889119909119863(119894minus1)

119899

119894=1

+ int (119904 119909119908119863119896 minus 119909prime 119909119908119863119895 119910119908119863119896 119910119908119863119895)119889119909prime

minus(119894minus1)∙119889119909119863

minus119894∙119889119909119863

8137

Мощность источников 119891119863(119904 |119909119908119863119896 minus 119909prime|) вычисляется из (81217-

81218) где 119889119909119863 =1

119899 ndash безразмерная длина каждого n сегмента 119891119863119894 -

безразмерная скорость течения через i элемент

Система уравнений (8134-8137) записывается в виде [8]

А = 8138

= (

1199081198631198631⋮119863119899

) 8139

А = (

1 minus119904 ∙ 11986311 ⋯ minus119904 ∙ 1198631119899⋮ ⋮ ⋱ ⋮

1 minus119904 ∙ 1198631198991 hellip minus119904 ∙ 1198631198991198990 1 hellip 1

) 81310

= (

0⋮01 119904frasl

) 81311

50

Для вычисления матричных элементов 119863119895119896 необходима информация о

мощности потока в из всех 119899 трещин ГРП Если считать что каждая трещина ГРП

делится на 2119898 сегментов (рис 8123) тогда система (81310) будет содержать

(1 + 2119898 times 119899) количество уравнений относительно следующих неизвестных

119908119863 11989111986311 hellip 119891119863(2119898)1 hellip 1198911198631119899 hellip 119891119863(2119898)119899 где в 119891119863119894119895 ndash течение через i-й

сегмент в j-й трещине Пользуясь упрощенным подходом можем переписать в

следующем виде[19]

forall119895 isin 1hellip119899 forall119896 = 1hellip119898 ∶ 119891119863119895119896 = 119863119895 ∙ 119891119863119896 81312

При определении мощности источников используется допущение что на

распределение мощности источников внутри каждой из трещин соседние

трещины оказывают слабое влияние Можно предположить что распределения

мощности потока в трещинах симметричны относительно точки пересения со

стволом скважины Элементы матрицы А в (81310) получают по формуле

(8137)

119863119895119896 =sum119891119863119894 int (119904 119909119908119863119896 plusmn 119909prime 119909119908119863119895 119910119908119863119896 119910119908119863119895)119889119909

prime

119889119909119863∙119894

119889119909119863(119894minus1)

81313

119899

119894=1

где функция (hellip ) определяется по табличным формулам в зависимости

от граничных условий и типа зоны дренирования

Для решения СУ используется выражение матрицы в виде произведения

дву нижней треугольной и верхней треугольной (LU-декомпозиция) (Ортега

Дж 1991) Так называемое LU-разложение (LU-декомпозиция) mdash

представление выражение определенной матрицы в виде произведения двух

матриц A = LU где L mdash нижняя треугольная матрица а U mdash верхняя

треугольная матрица [15]

Ниже представлены применяемые в данной работе функции источников

в пространстве Лапласа

Таблица 8131 Функции линейных стоков

51

Тип условий на

границах

Функции линейных стоков

119899119899119899119899 =

=120587

2119909119890119863coshradic1199041198631 + coshradic1199041198632

radic119904 sinhradic119904119910119890119863

+ 2sumcos119896120587119909119863119909119890119863

cos 119896120587(119909119908119863 minus 119909prime)

119909119890119863

cosh 1205981198961198631 + cosh 1205981198961198632120598119896 sinh 120598119896119910119890119863

infin

119896=1

0 17

119888119888119888119888

=120587

119909119890119863sumsin119896120587

119909119863119909119890119863

sin 119896120587|119909119908119863 minus 119909prime|

119909119890119863

cosh 1205981198961198631 minus cosh 1205981198961198632120598119896 sinh 120598119896119910119890119863

infin

119896=1

0 18

119888119899119888119899 =

=120587

2119909119890119863coshradic1199041198631 minus coshradic1199041198632

radic119904 sinhradic119904119910119890119863

+ 2sumcos119896120587119909119863119909119890119863

cos 119896120587(119909119908119863 minus 119909prime)

119909119890119863

cosh 1205981198961198631 minus cosh 1205981198961198632120598119896 sinh 120598119896119910119890119863

infin

119896=1

0 19

Где 119909119890119863 =119909119890

119909119891 119910119890119863 =

119910119890

119909119891 1198631 = 119910119890119863 minus |119910119863 minus 119910119908119863| 1198632 = 119910119890119863 minus (119910119863 + 119910119908119863) 120598119896 =

radic119904 + 11989621205872 1199091198901198632frasl 119909119890 ndash размер площади дренирования по оси x 119910119890 ndash размер

площади дренирования по y 119899 значает границу отсутствия перетока 119888

означает границу постоянного давления

82 РЕАЛИЗАЦИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ИССЛЕДОВАНИЙ

В настоящей работе реализовано решение задачи фильтрации о

нестационарном притоке флюида к скважине при постоянном заданном дебите

для скважин с разным типом заканчивания (вертикальная скважина и

горизонтальная скважина с трещинами МГРП) Математическая модель описана

для задач (Главы 811-813) реализована на языке программирования VBA

Входные параметры приведены на рис 821 Параметры границ задаются

в виде прямоугольника (рис823) Параметры скважины флюида и пласта

задаются при помощи априорной информации Проницаемость рассматривается

как распределение полученных ранее (главе 3)

y

x

y

x

y

52

В ходе решения задачи строится график - кривая стабилизации давления

зависимость изменения забойного давления от времени (рис823)

Рис 821 Входные параметры для модели

Рис 822 Расположение горизонтальной скважины в границах

53

Рис 823 Кривая стабилизация давления

На следующем этапе по последней точке определяется значения kmodel В

зависимости от длительности исследования будь то 50 часов 100 часов и более

будет зависеть погрешность результата определения свойств пласта по

отношению к истинным параметрам (рис 821) К тому же от времени

исследования будут зависеть Capex на проведения исследования

Рассчитанное значение модельное kmodel затем сравнивается с исходным

заданным значением kist В результате получаем отношение модельного значения

kmodel после проведения ГДИ к kist в зависимости от длительности ГДИС (рис

822)

Рис 821 График производной забойного давления

54

Рис 822 Отношение kmodel kist для скважины 11РО

Полученные по проницаемости параметры умножаются на эффективную

мощность пласта-коллектора и затем рассчитанное распределение

интерполируется с другими параметрами в скважинах в точку проектной

По результатам моделирования распределения свойств пласта будут

изменяться уменьшение дисперсии при увеличении длительности исследования

(рис823) Идеальным исследованием считается исследование с длительностью

достаточной для достижения производной давления на билогарифмическом

графике радиального режима течения что указывает на достоверность

параметров по результатам ГДИ (проницаемость и пластовое давление) Чем

ближе длительность исследования к идеальному ГДИ тем ниже

неопределенность в параметрах и тем ближе распределение к идеальному

Моделирование разной длительности исследования проводиться для N ndash

распределений (рис2)

Результаты смоделированного ГДИ позволяют снизить неопределенности

(сузить распределение) в свойствах пласта в точке проектной скважины Для

интерполяции в точку проектной скважины используется метод сплайн ndash

интерполяции [18]

tk model 10 20 30 40 50 60 70 80

50 2288169 1501385 1150108 0948723 0808706 0717031 0640296 0581876

100 1496394 0948581 0717744 0581513 0484438 0414342 0361937 0319311

150 1107448 0689761 0503907 0394864 0322636 0269636 0233048 0203542

200 0949817 0580742 0417822 0318936 0259364 021555 0186095 0163468

250 0818194 0486803 0338246 0259062 0206736 0173204 014824 0129707

300 0705787 0408828 0281063 0211366 0169381 0142083 012167 0106692

350 0627933 0351884 023841 017996 0144702 0119968 0103063 0090319

400 0562852 0307024 0207063 0155316 0124788 010441 0089458 0078395

450 0510211 0272553 0183196 013788 0110431 009172 0079061 0069165

500 0463384 0245037 0164854 0123914 0099043 0082679 007078 0061913

55

Рис823 Изменение распределения в зависимости от времени исследования ГДИ

На рис 824 показано распределение значений проницаемости с учетом

разной длительности исследований ГДИ

Полученное распределение kh в проектной скважине до ГДИ

характеризовалось большей дисперсией по сравнению с распределением после

проведенного ГДИ на скважине

Рис 824 Распределение kh на проектной скважине

ГЛАВА 9 РАСЧЕТ ЭКОНОМИЧЕСКОГО ЭФФЕКТА

ЦЕННОСТИ ИНФОРМАЦИИ

Ожидаемая прибыль запланированной к бурению скважины до проведения

ГДИ рассчитывается с учётом исходного распределения после ГДИ

0

001

002

003

004

005

006

007

008

009

1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800

Пл

отн

ость

вероятн

ости

Пластовое давление атм

Распределения пластового давления

Время длительности ГДИ 50 часовВремя длительности ГДИ 100 часовВремя длительности ГДИ 150 часовВремя длительности ГДИ 200 часов (идеальное исследование)

56

рассчитывается для каждого дискретного варианта исхода из N-возможных и для

разных времен длительности исследования t

На первом этапе расчёта прибыли по методу Монте-Карло определяются

значения проницаемости и пластового давления с вероятностями распределения

равными 10 50 90 и оценивается запускное значение дебита скважины По

соседним скважинам определяются темпы падения дебита скважины

усредненный темп падения используется для проектной скважины

Произведение запускного значения дебита и усредненного темпа падения

характеризует профиль добычи проектной скважины На основе профиля

добычи оценивается NPV проектного бурения который учитывает

операционные затраты и капитальные расходы проекта При оценке NPV после

запланированного исследования в капитальных затратах учитываются расходы

на проведение ГДИ стоимость интерпретации исследования инструментальные

замеры

Ожидаемая ценность EMVwi после проведения ГДИ рассчитывается как

сумма отдельно взятых N - исходов умноженных на соответствующие

вероятности исходов (91)

119864119872119881119908119894 (119905119894) = 1198641198721198811199081198941(119905119894) lowast 1198751 + 1198641198721198811199081198942(119905119894) lowast 1198752 +⋯

+ 119864119872119881119908119894119873(119905119894) lowast 119875119899 =sum119864119872119881119908119894119895(119905119894)

119873

119895=1

(91)

Чистый дисконтированный доход рассчитывается по формуле (92) где

CF ndash денежный поток r ndash ставка дисконтирования I ndash сумма инвестиционных

вложений Непосредственно CF (денежный поток) будет определяться

количеством добываемого флюида [18]

119873119875119881 = sum119862119865119905

(1 + 119903)119905minussum

119868119905(1 + 119903)119905

(92)

Инвестиционные вложения включают операционные затраты ndash Opex

повседневные затраты компании для ведения бизнеса производства товаров и

57

услуг и капитальные затраты - Capex расходы на приобретение или обновление

необоротных активов При проведении ГДИС затраты на спускподъём

оборудования интерпретацию исследования инженером и потеря в прибыли

связанные с остановкой скважины учитываются в Capex

91 EMV БЕЗ УЧЕТА ПРОВЕДЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ

Дебит ndash это ограниченный объем добытой жидкости через скважину за

определенное время Оценки производительности скважин и расчет добычи

скважины проводятся на основе запускного дебита скважины и усредненного

темпа падения дебита на соседних скважинах на протяжении 25 лет В основном

темпы падения строятся исходя из истории эксплуатации на месторождении

анализируется весь набор данных на заданный пласт

Запускной дебит может быть рассчитан по следующим формулам в

зависимости от типа скважины [9]

1) Вертикальная скважина c ГРП

119902 =2120587119896ℎ(119875119894minus119875119908)

120583119861(119897119899119877119890119877119908minus075+119878)

119878 = 1198971198992119903119908

119909119891 (911)

2) Горизонтальная скважина с МГРП

119902 = 2120587kℎ ( 119875119894 minus119875119898

2+119875119908

2) + 119898119876119863 (912)

119876119863 =2120587kℎ(119875119894minus119875119908)

120583119861(119897119899119877119890119877119908minus075+119878)

(913)

С помощью расчёта запускных дебитов а также анализа работы

окружающих скважин были получены результаты темпов падения на рисунке

911 изображены темпы падения с вероятностью Р50 нефти и жидкости за 25 лет

для определенной скважины Также построена гистограмма с накопленной

добычей (рис 911)

58

Рис 931 Темпы падения для скважины

Рис 911 Гистограмма распределения добычи нефти

для скважины 716 до ГДИ

Геологические риски и неопределенности определяют необходимость

создания вероятностной оценки дебитов запасов профилей добычи

Вероятностная оценка по границам возможной минимальной и максимальной

эффективности поможет минимизировать инвестиционные риски проекта

Модуль вероятностной оценки дебитов запасов профилей добычи

основан на теории вероятностей и математической статистики [12] По

многочисленным входным параметрам задаются диапазоны ожидаемых

величин и тип распределения - по проницаемости эффективной

нефтенасыщенной толщины пласта пластовому давлению Источник

информации ndash фактические параметры полученные с карт и распределение с

59

ошибкой их построения Чем меньше неопределенностей тем меньше дисперсия

и разброс ожидаемых параметров в возможных диапазонах

Следующим этапом переходим к расчету экономических параметров

(NPV) по найденным значениям добычи за 25 лет На рисунке изображена

гистограмма NPV и указаны количественные оценки накопленной добычи и NPV

для вероятностей P10 P50 P90 (табл 911)

Рис 04 Гистограмма распределения NPV для скважины 716 до ГДИ

Таблица 921 Показатели добычи и NPV

Вероятность Накопленная добыча нефти тыст NPV млнруб

P10 1937 3012

P50 1128 1547

P90 597 585

60

С помощью выполненных расчетов (табл 911) ожидаемая ценность

проекта бурения скважины без проведения исследований (EMVwoi) составляет

16011 млн рублей

92 EMV БЕЗ УЧЕТА ПРОВЕДЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ

Расчет экономических параметров в случае модерирования исследований

проводится аналогичным образом Для расчета добычных показателей

планируемой скважины рассчитывается также по формулам 911-913 В этом

случае значения проницаемости и пластового давления задаются с помощью

уточнённые параметров после ГДИ с меньшей дисперсией

На рисунке 921 представлено распределение значений пластового

давления умноженного на эффективную нефтенасыщенную толщину после

ГДИ длительностью 150 часов

Рис 921 Гистограмма распределения NPV для скважины после ГДИ длительностью

150 часов

Расчет экономических параметров помимо операционных затрат (OPEX)

в случае моделирования ГДИ будет включать еще Capex ndash это затраты

проведенного исследования (инструментальные замеры спускоподъёмные

операции) который в свою очередь будут зависят от длительности проведения

исследований Также будут включены затраты на работу интерпретатора

исследований которые уже не будут зависеть от длительности В написанном

61

модуле также учитывается потеря прибыли на время остановки скважины

количественно потери будут определяться длительностью остановки скважины

на проведения ГДИ

62

ГЛАВА 10 РЕЗУЛЬТАТЫ

Реализованный модуль в данной работе позволяет определить

необходимость проведения гидродинамического исследования и выдать

рекомендации по продолжительности исследования составить ранжированный

список скважин по эффективности проведения исследований

В таблице 101 представлены результаты экономических параметров и

расчет VOI На графике (рис 101) построенным в осях VOI в зависимости от

времени исследования можно оценить экстремум функции как оптимальное

время для проведения исследования По представленным результатам

целесообразно провести ГДИ на скважине 3 длительностью от 150 часов так как

ценность полученной информации будет наибольшей

Таблица 101 VOI при проведении ГДИ на скважине 3

Продолжительность ГДИ

EMV1 EMV

2 VOI

Целесообразность исследования

50 16116 16111 005 + 100 16135 16111 024 + 150 16198 16111 087 +

200 16127 16111 016 +

250 16033 16111 -078 - 300 16021 16111 -09 -

В случае горизонтальных скважин также был произведен анализ

ценности информации рассчитаны параметры VOI от длительности по времени

Однако для выхода на радиальный режим для случаев горизонтальных стволов

скважин на рассматриваемом месторождении N необходимо более 500 часов что

существенно увеличивает капитальные затраты При расчете большой

длительности на проведения ГДИ обычно скважину не останавливают так как

эти исследования являются крайне затратными В таблице 202 указаны расчёты

при проведении исследования на горизонтальной скважине 5

63

Рис 101 Зависимость VOI от длительности ГДИ

Таблица 102 VOI при проведении ГДИ на скважине 5

Продолжительность ГДИ

EMV2 EMV

1 VOI

Целесообразность исследования

50 1603 1611 -078 - 100 1606 1611 -054 - 150 161 1611 -013 - 250 1612 1611 012 - 350 1611 1611 -006 - 500 1614 1611 024 +

Таблица 103 Ранжированный список скважин-кандидатов для проведения ГДИС

Скважина VOI (t=50) VOI (t=100) VOI (t=150) VOI (t=200) VOI (t=250) VOI (t=300)

3 005 024 087 016 -034 -078 1 003 015 036 073 -021 -064 4 002 012 024 054 -011 -057 2 001 009 011 031 042 -03

Модуль автоматически перебирает выбранный список скважин для

бурения проектной скважины и ранжирует их по ценности информации

проведенных исследований также предлагает наиболее оптимальное время

исследований исходя из экономических параметров (таблица 103)

Апробация и оптимизация инструмента оценки необходимости

проведения гидродинамического исследования проводится на одном из активно

-15

-1

-05

0

05

1

15

0 50 100 150 200 250 300 350

VO

I м

лнр

уб

Длительность ГДИ ч

VOI (Проведение ГДИ нецелесообразно)

VOI (Проведение ГДИ целесообразно)

64

разбуриваемых месторождений В данной работе проводилась аналитика для

бурения 10 проектных скважин По результатам моделирования ГДИ на

скважинах вблизи проектной была проведена оценка ценности информации от

запланированного исследования На рис102 представлена зависимость

определенного VOI от длительности ГДИ если график расположен выше нуля

(VOI gt 0) исследование экономически обосновано проводить Определив

экстремум функции определяется оптимальная длительность исследования

Приводя пример в рассчитанном кейсе для бурения скважины X наиболее

выгодно провести исследования в 3 скважине длительностью 150 часов

Рис 102 Зависимость VOI от длительности ГДИ в скважинах 1234

-1

-05

0

05

1

0 100 200 300 400

VO

I

Длительнось ГДИ

Скв 3 Скв 1 Скв 4 Скв 2

65

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

По результатам магистерской диссертации был реализован инструмент для

оптимального планирования гидродинамических исследований на этапе бурения

проектных скважин с помощью метода VOI

Предложенный в данной работе метод позволяет определить не только

необходимость проведения гидродинамического исследования но и выдать

рекомендации по оптимальной продолжительности исследования

Смоделировав исследования ГДИ на нескольких соседних от проектных

скважин инструмент позволяет ранжировать скважины ndash кандидаты для

гидродинамических исследования по величине ценности информации VOI

В процессе реализации предложенной методики работы было выполнено

следующее

1 Автоматический анализ данных по ранее проведенным

исследованиям определение геологической неопределенности

интересующих параметров (пластовое давление проницаемость) по

всему эксплуатационному фонду скважин на месторождении N

2 Модуль сплайн-интерполяция на языке программирования Python с

помощью которого интерполируются значения параметров

решается задача о нестационарном притоке к скважине с помощью

языка программирования VBA в котором учитываются результаты

моделирования синтетического ГДИ

3 Расчёт плановых показателей добычи на основе распределений Рпл

и kh до проведения исследования и после него в зависимости от

времени исследований

4 Экономический анализ эффективности проведения исследований на

основе методики VOI по результатам которого выполняется

ранжирование скважин по информативности исследований

66

По результатам расчёта на месторождении N выяснили что для бурения

скважины X наиболее эффективно останавливать на ГДИ скважину 3 с

длительностью исследования 150 часов

В заключении реализованный модуль позволяет оценить

целесообразность проведения ГДИ и самое важное экономическое обоснования

планируемых исследований

Возможности реализованного модуля

Автоматизированный анализ геологической неопределённостей по

фильтрационным-емкостным свойствам и пластовому давлению в

зоне планируемого бурения

Экономическое обоснование по проведению гидродинамических

исследований в зоне бурения проектных скважин

Определение оптимальной длительности ГДИС

Ранжирование скважин по информативности проведения

исследований

Экономическое обоснование затрат на ГДИС и последующими

решениями по оптимальному планированию ГДИС на основе

ценности информации

67

ОХРАНА ТРУДА

Преобладающее время по написанию выпускной квалификационной

работы проводилось за персональным компьютером

Согласно рекомендованной инструкцией по охране труда во время работы

на компьютере ТОИ Р-45-084-01 и также при его эксплуатации могут возникнуть

негативное влияние на работника следующие вредные производственные и

опасные факторы

повышенные уровень электромагнитного воздействия

высокая степень статического электричества

низкий уровень ионизации воздуха

нагрузки которые связанны с продолжительным временем сидячим

положением

повышенная нагрузка на органы зрения

болевые симптомы в позвоночнике и пояснице в связи

продолжительным сидячим положением а также венозная

недостаточность и стресс

Для рационального выбора организации рабочего процесса необходимо

минимизировать опасное воздействие на здоровье работающего а также

выполнить все требования эргономики и обезопасить свое рабочее место

Требования к минимизации нагрузки на органы зрения

Высокая нагрузка на органы зрения приводит к ухудшению зрения

возникновению близорукости и других заболеваний что также провоцирует

мигрень и головные боли повышается раздражительность нервное состояние

которое может привести к стрессу

Для избежание негативного воздействия на органы зрения необходимо

уделить особое внимание освещению как помещения так же и рабочих мест так

как степень освещенности напрямую зависит от интенсивности зрительного

напряжения Основное освещение следует размещать сплошными или

прерывистыми линиями светильников которые могут располагаться сбоку от

68

рабочих мест а также параллельно линии зрения рабочего при линейном

расположении мониторов компьютера Если же ПК расположены по всему

периметру помещения тогда линию светильников или ламп следует

расположить локализовано над каждым рабочим местом

Безопасная и рекомендуемая норма освещенности для работника в системе

освещения составляет mdash 150 minus 200 лк По правилам допускается расположение

ламп локального освещения Персональное освещение не должно

способствовать возникновению бликов на поверхности самого экрана а также

освещенность экрана не должна превышать 300 лк Безопасным считается

освещение рабочих мест люминесцентными лампами ЛБ белого света которые

должны использоваться в помещениях с нормальными условиями труда

Экран должен характеризоваться освещенностью не более 300 лк Яркость

ламп основного освещения в части зон углов излучения 50 minus 90∘ в продольной и

поперечной с вертикалью плоскостях может составлять менее 200кдм также

защитный угол светильников может составлять более 40∘

В виде источников света особенно при условии искусственного освещения

следует применять люминесцентные лампы ЛБ (белый свет) и ЛТБ (тепло-

белый) с характеристиками мощностью 40Вт или 80Вт обладающие высокой

световой отдачей (до 120лмВт и более) у которых продолжительный срок

службы (до 10000ч)

В лампах локального освещения допускается использование ламп

накаливания также галогенных Не допускается использование светильников без

рассеивателей и экранных решеток

Организация рабочего места в связи с активностью оператора

Сфера работы оператора ЭВМ характеризуется пониженной мышечной

активностью а также длительным напряжением мышц в статике особенно шеи

рук спины и ног что может привести к утомлению Состояние утомления

существенно возрастает особенно при неоптимальной высоте рабочего стола и

сидения у которого отсутствует опорная спинка или подлокотник а также

острых углах наклона головы нерациональным и неудобном размещении

69

видеотерминала документов и клавиатуры неудобном угле наклона

поверхности экрана отсутствии подставки для ног

Сиденье должно быть удобным и обеспечивать поддержание правильной

рабочей позы которое будет позволять изменять положение с целью

уменьшение напряжения мышц шейно-плечевой области Лучший способ - это

когда рабочее кресло оборудовано подъемно-поворотным которое регулируется

по высоте и по углам наклона спинки причем регулировка каждого параметра

должна быть независимой

Рабочее место работника следует обеспечить подставкой для ног (п 93 и

105 СанПиН 222241340-03) Поверхность подставки обязательно должна

быть рельефной и характеризоваться высотой переднего края 10 мм

Требования пожаробезопасности

Согласно ГОСТ 121004-91 следует помнить о существующих мерах

предосторожности и опасных факторах огонь пламя и дым также высокая

температура токсичные продукты горения и их термическое разложение

сниженная концентрация кислорода Противопожарную защиту обеспечивают

следующими мерами

Использование средств пожаротушения наличие сигнализации и

устройств тушения в помещениях которые способны ограничивать

распространение пожара наличие специальных средств индивидуальной

защиты

Противопожарные перегородки и отсеки устройства автоматического

отключения систем

Специальная планировка эвакуационных выходов

Системы оповещения людей по громкоговорителю

Технические средства для эвакуации людей

Присутствие огнетушащих веществ

70

Система вентиляции здания должна содержать оборудования и устройства

которые обеспечивают автоматическое отключение при пожаре и

огнедымозадерживающими устройствами Система электропитания

персонального компьютера должна иметь блокировку которая отключает его в

случае пожара

71

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1 Байков ВА Бакиров НК Яковлев АА Математическая геология

учебное пособие ndash Москва-Ижевск 2012 ndash 228с

2 Гуляев Д Н Кокурина В В Кременецкий М И и др Формирование

системы промыслового мониторинга на основе долговременных иссле-

дований стационарными датчиками на приеме насоса Нефтяное хозяй-

ствоraquo 12 2009 С 41ndash44

3 Демьянов В В Савельева Е А Геостатистика теория и практика

учебное пособие ndash Москва 2010 ndash 327с

4 Каневский МФ Демьянов ВВ Савельева ЕА и др Элементарное

введение в геостатистику Москва ВИНИТИ 1999 ndash 136с

5 Каневская Р Д Математическое моделирование разработки месторож-

дений нефти и газа с применением гидравлического разрыва пласта М

Недра-Бизнесцентр 1999 ndash 212 с

6 Кременецкий М И Ипатов А И Гуляев ДН Информационное

обеспечение и технологии гидродинамического моделирования нефтяных

и газовых залежей [Книга] - Москва-Ижевск Ижевский институт

компьютерных исследований 2011 ndash 896с

7 Леонтьев Н Е Основы теории фильтрации [Книга] - Москва ЦПИ при

механико-математическом факультете МГУ 2009 ndash 88с

8 Ортега Дж Введение в параллельные и векторные методы решения

линейных систем [Книга] - Москва Мир 1991 ndash245с

9 Abramowitz M IA Stegun Handbook of Mathematical Functions [Книга] -

New York Dover Publications Inc ndash 1972

10 Churchill RV Operational Mathematics [Книга] - New York McGraw-Hill

Book Co Inc ndash 1972

11 Gringarten AC and Ramey HJ The Use of Source and Greenrsquos Functions in

72

SolvingUnsteady-Flow Problems in Reservoirs [Книга] - SPEJ 1973 ndash245с

12 Houzeacute O Viturat D Fjaere O-S Dynamic data analysis [Книга] - Kappa

2008

13 Joshi SD Horizontal Well Technolog [Книга] - Tulsa Oklahoma Penwell

Published Compan 1991

14 Stehfest H NumericalInversionof LaplaceTransforms [Книга] -

Communicationsofthe ACM 1970

15 The Society of Petroleum Engineers Введение в нефтяной инжиниринг

[Книга] - Москва-Ижевск Институт компьютерных исследований 2014

16 Van Everdingen AF and HurstW W The Application of the Laplace

Transformation to Flow Problems in Reservoirs [Книга] - AIME 1953

17 Stehfest H NumericalInversionof LaplaceTransforms

Communicationsofthe ACM 1970

18 Gringarten AC and Ramey HJ The Use of Source and Greenrsquos Functions in

SolvingUnsteady-Flow Problems in Reservoirs бм SPEJ 1973

19 Jan R Williams Susan F Haka Mark S Bettner Joseph V Carcello

Financial amp Managerial Accounting 2008

13

6 Расчёт ожидаемой прибыли проектной скважины с учётом

проведения исследования ГДИ (EMVwi) (глава 92)

При проектировании скважины значения проницаемости и пластового

давления определяются по имеющимся картам распределения свойств В свою

очередь построение карт основывается на результатах проведения

гидродинамических исследований По причине наличия погрешностей при

построении карт распределения свойств и погрешностей в результатах

гидродинамических исследований значения проницаемости и пластового

давления с карт зачастую не являются аналогичными результатам ГДИ

На первом этапе инструмент оценивает распределение параметров

основываясь на определении отношения (έ) значений проницаемости и

пластового давления определенных по результатам ГДИ к значениям

определенным по картам пластового давления и проницаемости (рис1)

Параметр έ характеризует отклонения результатов исследований от карт и таким

образом описывает неопределенность в параметре Определив параметр έ для

каждого имеющегося гидродинамического исследования оценивается

распределение отклонений έ для каждого параметра (проницаемости и

пластового давления) Разработка методологии проводилась на существующем

месторождении в результате параметр έ для проницаемости имел

логнормальное для пластового деления нормальное распределение (рис31)

Распределения свойств пласта в точках существующих скважин до

проведения гидродинамического исследования определяется путем

произведения распределений έ на значение параметра пласта с актуальной карты

[1]

14

Рис31 Распределения отклонений значений проницаемости и пластового давления по

результатам ГДИ от значений с карт

На следующем этапе инструмент интерполирует исходные распределения

в точках действующих скважин в точку проектной скважины Для интерполяции

используется метод сплайн ndash интерполяции который оценивает значения

используя математические функции В результате интерполяции для проектной

скважины определяются распределения проницаемости и пластового давления

до проведения гидродинамического исследования

Возможные реализации проницаемости и пластового давления имеют

широкие исходные распределения и являются непрерывными величинами по

этой причине перед моделированием ГДИ исходные распределения в точках

существующих скважин разбиваются на N-количество дискретных исходов

(рис32) Количество исходов (N) определяется на основе точности

погрешности результатов ГДИ Точность результатов ГДИ определяется

экспертным образом Вероятности исходов определяются на основе данных

вероятностного моделирования путем деления всего диапазона исходов

значений N - дискретных исходов и определение количества реализаций

которые можно отнести к каждому исходу При моделировании 100 значений

проницаемости если скважина в 20 реализациях попала в первое распределение

вероятность должна быть определена 20

0

02

04

06

08

1

12

14

00 10 20

Пл

отн

ость

ве

ро

ятн

ости

έ = (Рпл по ГДИ) (Рпл с карт)

Распределение έ значений проницаемости

0

02

04

06

08

1

12

14

00 05 10 15 20

Пл

отн

ость

ве

ро

ятн

ости

έ = (119896 по ГДИ) (119896 с карт)

Распределение έ значений пластового давления

15

Рис 32 Разбиение исходного распределения пластового давления на дискретные

значения

Для оценки распределений свойств пласта в точке проектной скважины

после проведения гидродинамического исследования необходимо создать

синтетическое ГДИ Моделирование запланированного ГДИ проводится путём

решения задачи о нестационарном притоке к скважине с постоянным дебитом на

основе исходных распределений свойств пласта

Уравнением описывающим процессы происходящие при исследованиях

ГДИ является уравнение пьезопроводности Данное уравнение (31) описывает

неустановившееся однофазное одномерное течение флюида в пористой среде и

выражает связь между пластовым давлением временем и расстоянием от

скважины до точки наблюдения Решение уравнения пьезопроводности (32) для

простого случая работы вертикальной скважины в бесконечном пласте позволяет

получить модель характеризующую перераспределение давления в пласте

1

120594

120597120549119875

120597119905=1

119903

120597

120597119903(119903120597120549119875

120597119903) (31)

∆119875(119905 119903) = minus9205119902119861120583

119896ℎ119864119894 (minus

1199032

000036120594119905) (32)

где (q ndash дебит скважины м3сут B ndash объёмный коэффициент 120583 ndash

вязкость жидкости cпз k ndash проницаемость мД h ndash мощность пласта

м r ndash радиус м χ ndash пьезопроводность мД(спзатм-1) t ndash время ч)

16

Ожидаемая прибыль запланированной к бурению скважины до проведения

ГДИ рассчитывается с учётом исходного распределения после ГДИ

рассчитывается для каждого дискретного варианта исхода из N-возможных и для

разных времен длительности исследования t

На первом этапе расчёта прибыли по методу Монте-Карло определяются

значения проницаемости и пластового давления с вероятностями распределения

равными 10 50 90 и оценивается запускное значение дебита скважины По

соседним скважинам определяются темпы падения дебита скважины

усредненный темп падения используется для проектной скважины

Произведение запускного значения дебита и усредненного темпа падения

характеризует профиль добычи проектной скважины На основе профиля

добычи оценивается NPV проектного бурения который учитывает

операционные затраты и капитальные расходы проекта При оценке NPV после

запланированного исследования в капитальных затратах учитываются расходы

на проведение ГДИ стоимость интерпретации исследования инструментальные

замеры

Ожидаемая ценность EMVwi после проведения ГДИ рассчитывается как

сумма отдельно взятых N - исходов умноженных на соответствующие

вероятности исходов (33)

119864119872119881119908119894 (119905119894) = 1198641198721198811199081198941(119905119894) lowast 1198751 + 1198641198721198811199081198942(119905119894) lowast 1198752 +⋯

+ 119864119872119881119908119894119873(119905119894) lowast 119875119899 =sum119864119872119881119908119894_119895(119905119894)

119873

119895=1

(33)

По результатам моделирования ГДИ на скважине вблизи проектной

проводится оценка ценности информации от запланированного исследования

Реализуется построение зависимости VOI от длительности ГДИ где график

расположен выше нуля (VOI gt 0) следует что исследование экономически

обосновано проводить По результату работы модуля выполняется

17

ранжирование скважин с оптимальным временем проведения ГДИ на основе

ценности информации

ГЛАВА 4 МЕТОДЫ ИНТЕРПОЛЯЦИИ

Определения параметров пласта в области с отсутствующими прямыми

измерениями осуществляются с помощью пространственной интерполяции

Одним из основных методов построения карт параметров пласта является

сплайн-интерполяция

Для построения распределения свойств пласта в определённой зоне

используют ограниченное значение количественных измерений интересующего

параметра Z в точках (Xi Yi) Данные точки определяются как точки выборки

(точки наблюдений) Цель пространственной интерполяции ndash получить значения

пространственной переменной Z на площади где отсутствуют исследования с

минимально погрешностью Необходимо интерполировать из точек Z(xi) в

определенную точку Z(x) на основе анализа имеющихся в базе значений (Рис 42)

Рис 42 Интерполяция в точку Z(x)

Подход интерполяции напрямую опирается на измеренные значения в

точках и интерполируются с помощью подбора математической функции

определяя слаженность результирующей формы [4]

В данной работе был реализован метод сплайн-интерполяции

Сплайн-функцией 119904(119909) 119909 isin [119886 119887] называется функция которая в

каждом частичном отрезке [119909119894minus1 119909119894] является полином некоторой степени и

имеет на заданном [119886 119887] производную до некоторого порядка Под степенью

18

сплайна подразумевают максимальную степень полинома по каждому из

отрезков [119909119894minus1 119909119894] а под дефектом сплайна ndash разность между соответствующей

степенью сплайна и порядком наивысшей производной на заданном отрезке

[119886 119887]

Интерполяция сплайнами является кусочно-полиномиальной

интерполяцией Основная теория сплайн-интерполяции заключается том что на

каждом шаге интерполяции (разбиваемом промежутке между узлами)

осуществляется аппроксимация в форме определенной полиномиальной

зависимости Для каждого шага итерации осуществляется подборка полинома

таким образов чтобы выполнялись граничные условия на концах отрезка

Условия для сплайна полинома степени n должны обеспечивать непрерывность

производных порядка степени (n-1) Наиболее распространённые и имеющие

широкую практическую применимость являются кубические сплайны

41 КУБИЧЕСКИЙ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ СПЛАЙН

Кубическим интерполяционным сплайном 119904(119909) называется функция

которая удовлетворяет следующим условиям

1 На каждом определенном отрезке [119909119894minus1 119909119894] 119904(119909) является полином

третьей степени то есть

119904(119909) = 1198860(119894)1199093 + 1198861

(119894)1199092 + 1198862

(119894)119909 + 1198863

(119894) 119909 isin [119909119894minus1 119909119894] (411)

2 119904(119909) isin 119862[119886119887]2

3 119904(119909119894) = 119891119894 119894 = 0 1hellip 119899

4 119904primeprime(119886) = 119904primeprime(119887) = 0

Коэффициенты 1198860 1198861

1198862 1198863

рассчитываются независимо от каждого

промежутка интерполирования [14]Рассмотрим как строится кубический

сплайн Обозначим через 119898119894 = 119904primeprime(119909119894) 119894 = 0hellip 119899 minus

величина называемая моментом

19

119904primeprime(119909) - линейная функция и для каждого отрезка она совпадает с

интерполяционной функцией полинома Лагранжа первой степени

Проинтегрировав получившееся равенство определяется из условия 3

искомые константы находятся в виде сплайна 119904(119909) на частичном отрезке

[119909119894minus1 119909119894]

119904(119909) = 119898119894minus1

(119909119894 minus 119909)3

6ℎ+119898119894

(119909 minus 119909119894minus1)3

6ℎ+ (

119891119894 minus 119891119894minus1ℎ

minus (119898119894 minus119898119894minus1)ℎ

6) (119909 minus 119909119894)

+ 119891119894 minus119898119894

ℎ2

6 (412)

Определяем моменты 119898119894 119894 = 0hellip 119899 с помощью условий 2 3 4

выводим систему следующего вида

1198980 = 0ℎ

6119898119894minus1 +

2

3ℎ119898119894 +

ℎ

6119898119894+1 =

119891119894minus1 minus 2119891119894 + 119891119894+1ℎ

119894 = 1hellip 119899 minus 1 (413)

119898119899 = 0

Запишем следующие вектора

119898 =

(

11989801198981

⋮119898119899minus1119898119899 )

minus (119899 + 1) minus мерный (414)

119892 =

(

1198910 minus 21198911 + 1198912ℎ⋮

119891119899minus2 minus 2119891119899minus1 + 119891119899ℎ )

minus (119899 + 1) minus мерный (415)

и матрицу

20

119860 =

(

1 0 0 01

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ 0

01

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ

⋯0 0 0 00 0 0 00 0 0 0

⋮ ⋱ ⋮

0 0 0 00 0 0 00 0 0 0

⋯

1

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ 0

01

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ

0 0 0 1 )

minus (119899 + 1) times 6(119899 + 1)

minus мерную (416)

Сходимся в необходимости решить следующую систему (417)

119860119898 = 119892 (417)

Данная система представляет собой систему с трёхдиагональной

матрицей и с диагональным преобладанием Для необходимости её решения

потребуется применить метод прогонки который возможен для систем

следующего вида

1198980 = 11989611198981 + 1198920119886119894119898119894minus1 + 119887119894119898119894 + 119888119894119898119894+1 = 119892119894 119894 = 1hellip 119899 minus 1

119898119899 = 1198962119898119899minus1 + 119892119899 (418)

где

119886119894120572119894 + 119887119894 ne 0 119894 = 1hellip 119899

1 minus 1198962120572119899 ne 0 (419)

где 120572119894 в свою очередь - это

1205721 = 1198961

120572119894+1 = minus119888119894

119886119894120572119894 + 119887119894 119894 = 1hellip 119899 minus 1 (4110)

Следующая методика прогонки представлена в двух частях прямой хода

и обратный хода Прямой ход выявляет следующие величины

21

1205721 = 11989611205731 = 1198920

120572119894+1 = minus119888119894

119886119894120572119894 + 119887119894 119894 = 1hellip 119899 minus 1 (4111)

120573119894+1 = minus119892119894 minus 119886119894120573119894119886119894120572119894 + 119887119894

119894 = 1hellip 119899 minus 1

Далее следует обратный ход в порядке уменьшения индексов определяет

искомые параметры

119898119899 =

119892119899 + 11989621205731198991 minus 1198962120572119899

119898119894 = 120572119894+1119898119894+1 + 120573119894+1 119894 = 119899 minus 1hellip 0

(4112)

Сплайн 119904(119909)математически определён формулой представленной выше

42 КУБИЧЕСКИЙ СГЛАЖИВАЮЩИЙ СПЛАЙН

Метаматематическая модель кубического сглаживающего сплайна

заключается в том что в узлах 119909119894119894=0119899 sub [119886 119887] определенные значения функции

119891(119909) могут быть заданы с погрешностью 119891119894=0119899

В таких моделях с дефектом 1

кубический интерполяционный сплайн будет реализован с достаточно большой

погрешностью вследствие построения с неточными значениями В большинстве

случае реализуют построение кубического сглаживающего сплайна в котором

решается следующая экстремальная задачи

119906 =119894119899119891

119906 isin 11988222[119886 119887]

120567(119906) (421)

где 11988222[119886 119887] ndash пространство Соболева вещественных функций с нормой

1199062 = int(|119906(119909)|2 + |119906primeprime(119909)|2)119889119909

119887

119886

(422)

а функционал

22

120567(119906) = int |119906primeprime(119909)|2 119889119909

119887

119886

+sum119901119894(119906(119909119894) minus 119891119894)2

119899

119894=0

119901119894 gt 0 119894 = 0hellip 119899 (423)

строго неотрицательный выпуклый полунепрерывный снизу

вследствие слабой сходимости

Однозначно решение данной задачи существует и является единственным

решением Введем единственное решение 1199060(119909) также обозначим значения

119910119894119894=0119899 следующим образом

119910119894 = 1199060(119909119894) 119894 = 0hellip119899 (424)

Можем построить кубический интерполяционный сплайн 119904(119909 119910)

119904(119909119894 119910) = 119910119894 Данное полученное решения является равным 1199060

Оценим вид интерполяционного сглаживающего сплайна

Введём в рассмотрение отображение 119866(119910) ℝ119899+1 rarr ℝ

119866(119910) = 120567(119904(middot 119910 )) = int |119904primeprime(119909)|2 119889119909

119887

119886

+sum119901119894(119904(119909119894) minus 119891119894)2

119899

119894=0

=

sum int |119904primeprime(119909)|2 119889119909

119909119894

119909119894minus1

119899

119894=1

+sum119901119894(119904(119909119894) minus 119891119894)2 (425)

119899

119894=0

Получаем исходную экстремальную задачу эквивалентную поиску

min119910isin ℝ119899+1

119866(119910) (426)

Исходя из того что 119904(119909 119910) ndash является кубическим интерполяционным

сплайном запишем

119904primeprime(119909119894 119910) = 119898119894 119894 = 0hellip119899 (426)

1198980 = 0119898119899 = 0 (427)

Вводим (119899 minus 1) times (119899 minus 1)-мерную матрицу

23

119860 =

(

2

3ℎ

1

6ℎ 0 0

1

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ 0

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

0

0

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

01

6ℎ

2

3ℎ

1

6ℎ

0 01

6ℎ

2

3ℎ)

(428)

(119899 minus 1)-мерный вектор

119898 = (

1198981

⋮119898119899minus1

) (429)

(119899 minus 1) times (119899 + 1)-мерную матрицу

119867 =

(

1

ℎminus1

2ℎ

1

ℎ0 ⋯ 0 0 0 0

⋯

0 0 0 0 ⋯ 01

ℎminus1

2ℎ

1

ℎ)

(4210)

невырожденную (119899 + 1) times (119899 + 1)-мерную матрицу

119875 = (1199010

⋱119901119899

) (4211)

и (119899 + 1)-мерный вектор

119891 = (1198910⋮119891119899

) (4212)

получаем следующую систему уравнений в которой вычисляем моменты

119898

(119860 + 119867119875minus1119867lowast)119898 = 119867119891 (4213)

Данная система решается методом Гаусса Затем можем выразить

119910 = minus119875minus1119867lowast119898 + 119891 (4214)

(4214) - точку глобального минимума для заданного отображения 119866(119910)

В итоге получаем форму сглаживающего сплайна

24

119904(119909) = 119898119894minus1

(119909119894 minus 119909)3

6ℎ+119898119894

(119909 minus 119909119894minus1)3

6ℎ+ (119910119894minus1 minus

ℎ2

6119898119894minus1)

119909119894 minus 119909

ℎ

+ (119910119894 minusℎ2

6119898119894)

119909 minus 119909119894minus1ℎ

(4215)

119909 isin [119909119894minus1 119909119894] 119894 = 1hellip119899 (4216)

ГЛАВА 5 ОСНОВЫ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО

ИССЛЕДОВАНИЯ СКВАЖИН

Основой ГДИС являются решение нестационарной задачи фильтрации

Рис 51 а) б) формирование радиальной воронки депрессии после пуска

добывающей и нагнетательной скважины в) г) расформирование радиальной

воронки депрессии после остановки добывающей и нагнетательной скважины

Tmdash время прошедшее после пуска скважины tmdash время прошедшее после

остановки скважины[6]

флюидов в порово-упругой среде Они основываются на изучение процессов

формирования и релаксации полей давления в пласте и в скважине в

зависимости от типа воздействия (закачка или отбор флюида) (рис51) Арсенал

технологий исключительно разнообразен и включает самые различные методы с

различной продолжительностью и интенсивность воздействия на пласт Каждая

технология представляет совокупность циклов (базовых элементов)

Определение каждого из них ndash регистрация разницы давления во времени после

изменения дебита скважины на заданной глубине Продолжительностью цикла

25

обуславливается решаемой задачей глубинностью условием и объектом

исследования

Гидродинамические исследования предполагают синхронные измерения

давления и расхода на фиксированной глубине при переходных режимах

эксплуатации скважины Основными элементами технологий ГДИС стабильно

работающих скважин являются способы предполагающие регистрацию

изменения давления во времени

после пуска скважины на стабильный режим отбора или закачки

(кривая стабилизации давления (КСД) -пуск) или при переходе с

одного стабильного режима на другой (КСД-режим)

после остановки скважины стабильно или циклически работавшей

в режиме отбора (кривая восстановления давления КВД) или

закачки (кривая падения давления - КПД)

Решение прямой задачи ГДИС состоит в оценке изменения давления на

забое скважины при заданном изменении дебита и для конкретной модели

скважины и пласта

К наиболее часто используемым моделям относится скважина со скин-

фактором в однородном изотропном пласте при радиальном режиме течения

При пуске скважины с постоянным расходом QАТ[м3с]=const (расход

соответствует условиям атмосферы) изменение давления РС [Па] во времени

tРАБ[с] прошедшем с момента пуска описывается асимптотической

формулой точность которой повышается с увеличением tРАБ

РАБRRРАБ

ПРС

OАТCПЛ tt

r

χ

επ

BQPP

lnln

252ln

4 2

_

(51) επ

BQ OАТR

4

2

_

252ln

ПРС

RRr

χ

kh

k

S

CПРС err _

Другие обозначения принятые в данных формулах PПЛ [Па] ndash первоначальное

пластовое давление [Пас] - динамическая вязкость фильтрующегося флюида Во[безразм]

26

ndash объемный коэффициент флюида [м3Па с] ndash гидропроводность пласта [м2с] ndash

пьезопроводность пласта k [м2] ndash проницаемость пласта КП [в долях]ndash пористость пласта h[м]

ndashэффективная работающая толщина пласта s[безразм] ndash интегральный скин-фактор rС_ПР [м]

ndashприведенный радиус скважины rС[м] ndashрадиус скважины [Па-1] ndash интегральная

сжимаемость пористой среды

При остановке скважины работавшей с постоянным расходом QАТ[м3с] =const в

течение времени tРАБ[с] изменение давления РС[Па] во времени tОСТ[с] прошедшем с

момента остановки описывается асимптотическими формулами (для больших значений tОСТ)

ОСТ

ОСТРАБRПЛ

ОСТ

ОСТРАБОАТПЛC

t

tP

t

tВQPP

tln

tln

4

(52

)

ОСТРАБ

ОСТРАБRR

ОСТРАБ

ОСТРАБ

ПРС

ОАТНАЧC

t

t

t

t

r

ВQPP

t

tln

t

tln

252ln

4 2

_

(53

)

где PНАЧ [Па] ndash давление в момент остановки скважины (tОСТ =0)

Следует обратить внимание что соотношения (51) и (53) оперируют с

разностью текущего и начального давления цикла (в первом случае в качестве

начального выступает пластовое давление а во втором ndash давление в момент

остановки скважины) В отличие от этого соотношение (52) оперирует с

абсолютной величиной давления

С математической точки зрения названные способы представления

данных идентичны Но каждый из них оптимален для решения конкретной

задачи интерпретации гидродинамических исследований Уравнения (51) и (53)

позволяют выделить влияние скин-фактора Основная цель использования

формулы (52) оценка абсолютной величины пластового давления

Абсолютная величина тангенса угла наклона асимптоты () для всех без

рассмотренных зависимостей одинаков и определяется величиной

гидропроводности пласта

Рис52 иллюстрируют поведение давления во времени при запуске

скважины в зависимости от дебита в цикле исследований (а) проницаемости

пласта (б) и скин-фактора (в) Основной недостаток подобного представления

27

результатов в низкой наглядности В частности очень трудно различить

особенности влияния основных информативных факторов ГДИС ndash

фильтрационных свойств пласта (проницаемости) и характеристик

совершенства вскрытия (скин-фактора)

Рис52 особенности поведения давление при пуске скважины (КСД)

а) Влияние расхода Q=QАТВо-расход PС ndashдавление РПЛ- начальное

пластовое давление tРАБ=0 момент пуска скважины (Q1ltQ2ltQ3)

б) Влияние проницаемости Q-расход PС ndashдавление РПЛ- начальное

пластовое давление tРАБ=0 момент пуска скважины (k1gtk2ltk3)

в) Влияние проницаемости скин-фактора Q-расход PС ndashдавление РПЛ-

начальное пластовое давление tРАБ=0 момент пуска скважины (s3gts2lts1)

В ГДИС используются специальные способы представления данных

позволяющие сделать их интерпретацию более наглядной

Рис53 иллюстрирует основные способы представления результатов

ГДИС для исследования добывающей скважины включающей цикл I запуска с

постоянным расходом (КСД-пуск) и цикл II остановки (КВД)

PCQ

PCQ

t=to

Q

PC (k=k1)

PC (k=k3)

PC (k=k2)

PC=PПЛ tРАБ

Q1

PC=PПЛ

t=to

Q2

Q3

PC (Q=Q1)

PC (Q=Q2)

PC (Q=Q3)

PCQPC=PПЛ

Q

PC (s=s1)

PC (s=s2)

PC (s=s3)

а)

б)

в)

tРАБ

tРАБ

28

Рис53 Основные способы представления результатов ГДИС для

диагностики радиального режима течения при пуске в работу со стабильным

расходом добывающей (I) и нагнетательной (II) скважины а) давление как

функция времени в декартовых координатах б) приращение давления как

функция времени в декартовых координатах в) приращение давления как

функция логарифма времени г) логарифм приращения давления и логарифм

логарифмической производной как функция логарифма времени

Базовым способом представления результатов ГДИС является график

полной (по всем циклам исследования) кривой изменения давления во времени

в процессе ГДИС в декартовых координатах (рис53а)

Графики в декартовых координатах зависимости приращения давления от

времени по отдельным циклам позволяют унифицировать результаты измерения

давления по циклам его роста (КВД) и падения (КСД - пуск) Приращение

вычисляется как модуль разности текущего давления (Р) и начального давления

PС

P=Рпл

a)

I

II

ln(tРАБtОСТ)(tРАБ +tОСТ)

IIбtРАБ

РНАЧI

РНАЧII

P=РНАЧI-PС

ln(tРАБ)

P

lnPlnPP

P

Iв)

Iг)

Iд)

P

lnPlnPP

P

IIв)

IIг)

IIд)

tОСТ

P=PС-РНАЧII

tРАБ

ln(tРАБ)

ln(tРАБ+tОСТ)tОСТ

ln(tРАБtОСТ)(tРАБ +tОСТ)

tОСТ

PС

29

(РНАЧ) в цикле Р= Р-РНАЧ Величина Р монотонно увеличивается во

времени вне зависимости от соотношения дебитов в цикле исследования и

предшествующем цикле[6]

График зависимости приращения давления от логарифма текущего

времени laquolntРАБraquo используется для представления результатов КСД-пуск

(рис53Iв) Участок КСД соответствующий радиальному режиму в данном

масштабе аппроксимируется линейной асимптотой Эта особенность

радиального режима используется для его диагностики

Как следует из соотношения (52) наклон асимптоты определяется

гидропроводностью пласта а свободный член значением гидропроводности и

приведенного радиуса (то есть и скин-фактора)

Для цикла (КВД) вместо логарифмического масштаба времени

используется так называемый обобщенный логарифмический масштаб

вычисляемый на основе продолжительностей и расходов циклов работы

скважины предшествующих анализируемому (рис53IIв)

Как следует из соотношения (53) для цикла КВД после одиночного цикла

работы скважины данный масштаб вычисляется по формуле

ОСТРАБ

ОСТРАБP

tt

ttt

)(lnF

(54)

Во временном интервале радиального режима течения КВД

аппроксимируется линейной асимптотой Наклон асимптоты определяется

гидропроводностью пласта а свободный член значением гидропроводности и

приведенного радиуса (то есть и скин-фактора)

Масштаб Хорнера у которого радиального режима течения также является

логарифмическим (рис53II б)

Как следует из соотношения (52) для цикла КВД после одиночного цикла

работы скважины данный масштаб вычисляется по формуле

)ln()(lnОСТ

ОСТРАБ

Pt

tttF

(65)

30

Данный масштаб является инверсным по времени При увеличении

времени его значения падают Участок КВД соответствующий радиальному

режиму течения аппроксимируется линейной асимптотой Наклон асимптоты

определяется гидропроводностью пласта а свободный член значением

пластового давления

Двойной логарифмический масштаб для цикла laquoКСД-пускraquo предполагает

представление логарифма приращения давления laquoln(P)raquo и логарифма

логарифмической производной ln(P) от логарифма времени (рис62Iд)

Логарифмическая производная в этом случае вычисляется по формуле

)ln( P

PP

(66)

Для цикла laquoКВДraquo двойной логарифмический масштаб предполагает

представление параметров laquoln(P)raquo и ln(P) от обобщенного логарифмического

времени соотношение (69)- рис62IIд

)( PF

PP

P

(67)

Данный масштаб является универсальным используется для диагностики

не только радиального но и линейного и других не радиальных режимов течения

для всех типов циклов ГДИС

Следует подчеркнуть что соотношения (51)-(54) выведены для двух

цикличной технологии исследования и при увеличении числа циклов должны

быть модифицированы Но описанный выше принцип масштабирования

результатов ГДИС является универсальным

31

Рис 54 Билогарифмический график КВД [5]

На основе интерпретации результатов исследования ГДИС определяются

параметры энергетического состояния скважины (пластовое давление

депрессия продуктивность динамика их изменения) фильтрационные

параметра пласта (гидропроводность подвижность пьезопроводность

проницаемость) зональность их распространения по площади

В настоящей магистерской диссертации была реализован метод

математического моделирования с целью получения информации о

проницаемости и пластовом давлении в точках исследуемых скважинах

погрешностью полученных параметров на основе качества исследования

(наличие на билогарифмическом радиального режима) связанным со временем

исследования

ГЛАВА 6 ТЕОРИЯ ФИЛЬТРАЦИИ В УПРУГОЙ ПОРИСТОЙ

СРЕДЕ

Основа теории фильтрации основана на изучении движения

(просачивания) жидкости через пористую среду Особенности процессов

фильтрации зависят от упругих свойств среды и насыщающих их флюидов

Для постановки задачи фильтрации жидкости в упругой среде прибегают

к краевой или начально-краевой задаче с соответствующими граничными

условиями Для нахождения математического выражения фильтрации флюидов

в пористой среде решают систему дифференциальных уравнений в частных

производных

Векторы скорости и плотности фильтрующейся жидкости могут быть

представлены в следующем виде - (119909 119910 119911 119905) и плотностью жидкости

120646 (119909 119910 119911 119905) Одной из важных характеристик поровой среды является пористость

32

ndash это относительный объем порового пространства в материале именно этот

параметр определяет количество флюида которое содержится или может

содержаться в определенном объеме пористой среды [7]

Теория фильтрации флюидов опираются на фундаментальный закон

сохранения массы в соответствии с которым изменения массы жидкости в

любом произвольном объеме V внутри замкнутой поверхности происходит за

счет изменение притока и оттока жидкости через границу объема (уравнение

неразрывности) [12]

Поток жидкости через произвольную однозначно определенную

замкнутую поверхность Γ в пористой среде с коэффициентом пористости - φ

заполненной флюидом с вязкостью μ (рис 61)

Рисунок 61 Замкнутая поверхность Γ в пористой среде (The Society of Petroleum Engineers

2014)

Скорость поступление массы объемом V через поверхность Г равна

скорости изменения данной массы в этой области (The Society of Petroleum

Engineers 2014)

119889119872119892

119889119905=

119889

119889119905∭ 120588120593119889119881 =∭

120597

120597119905(120588120593)119889119881

119881119881 6 1

Масса поступающая в определенный объем пористой среды через

дифференциальный элемент поверхности dΓ за промежуток времени Δt со

скоростью равна minus120646 lowast Отличие массы поступившей в определенную

поверхность и массой покинувшей эту поверхность за изменение времени Δt

равна

33

∆119872119892 = minus∆119905∯ 120588 lowast 119889Г Г

6 2

Скорость притока флюида в объем области V через поверхность Γ

lim∆119905rarr0

119889119872119892∆119905

=119889119872119892119889119905

= ∯120588 lowast 119889Г

Г

6 3

Приравняем правые части уравнения (119889119872119892

119889119905=

119889

119889119905∭ 120588120593119889119881 =

119881

∭120597

120597119905(120588120593)119889119881

119881 ) и ( lim

∆119905rarr0

119889119872119892

∆119905=

119889119872119892

119889119905= ∯ 120588 lowast 119889Г

Г 63) если функции

входящие в эти уравнения являются достаточно гладкими то применяем теорему

Остроградского ndash Гаусса к правой части уравнения ( lim∆119905rarr0

119889119872119892

∆119905=

119889119872119892

119889119905=

∯ 120588 lowast 119889Г Г

63) получаем

∭ [120597

120597119905(120588120593) + nabla120588] 119889119881

119881=0 (64)

Интеграл может быть приравнен к нулю тогда когда сама функция под

знаком интеграла равна нулю исходя из этого утверждения можем получить

120597

120597119905(120588120593) + nabla120588 = 0 (65)

Полученное уравнение (65) можем переписать через поля давления по

причине отсутствия непосредственного замера скорости и плотности потока при

гидродинамическом исследовании скважины (ГДИС) Для пересчета в

характеристики давления потока воспользуемся законом фильтрации Дарси и

уравнение состояния [2]

Уравнение состояния которое связывает плотность и давление

с = minus1

119881

120597119881

120597119875 с =

1

120588

120597120588

120597119875 сρ

120597119875

120597119905=120597120588

120597119905 0 6

c ndash сжимаемость жидкости отрицательный знак отражает условие что

при положительном коэффициенте сжимаемости будет происходить сжатие

флюида (давление растет объем уменьшается) Различают общую сжимаемость

с119957 и сжимаемость пористой среды с119943

с119891 =1

120593

120597120593

120597119875 6 7

34

с119905 = с119891 + 119888 6 8

Исторически уравнение баланса было получено экспериментально Анри

Дарси По закону Дарси вектор скорости фильтрации выражается через вязкость

флюида micro и тензор проницаемости k Знак минус в правой части также имеет

физически явный смысл в отсутствии сил действующих на массу жидкость

начинает движение из областей в повышенным давление в область с меньшим

давлением

= minus119896

120583nabla119875 6 9

При рассмотрении первого слагаемого уравнения 120597120597119905(120588120593) + nabla120588 = 0

(65 и с = minus1

119881

120597119881

120597119875 с =

1

120588

120597120588

120597119875 сρ

120597119875

120597119905=

120597120588

120597119905 06 выполним подстановку

120597

120597119905(120588120593) = 120593

120597120588

120597119905+ 120588

120597120593

120597119905= 120593сρ

120597119875

120597119905+ 120588

120597120593

120597119905= 120593сρ

120597119875

120597119905+ 120588

120597120593

120597119875

120597119875

120597119905=

= 120593сρ120597119875

120597119905+ 120588с119891120593

120597119875

120597119905= 120588с119905120593

120597119875

120597119905 6 10

Далее перезапишем уравнение 120597120597119905(120588120593) + nabla120588 = 0 (65 с учетом

данного выражения и подставим вектор скорости из уравнения закона Дарси

с119905120593120597119875

120597119905= nabla(

119896

120583nabla119875)

1

120594

120597119875

120597119905= nabla2119875 120594 =

119896

с119905120593120583 6 11

Где 120594 ndash коэффициент пьезопроводности с119905120593120597119875

120597119905= nabla(

119896

120583nabla119875)

1

120594

120597119875

120597119905= nabla2119875 120594 =

119896

с119905120593120583 611 определяется как уравнение пьезопроводности - основным

уравнением которое описывает процессы возникающие при гидродинамических

исследованиях

Данное уравнение пьезопроводности (611) может быть перезаписано

относительно радиальных координатах

1

120594

120597Δ119875

120597119905=1

119903

120597

120597119903(119903120597Δ119875

120597119903) 6 12

где 120607119927 = 119875119894 minus 119875 119875119894 minus начальное пластовое давление

35

Уравнение пьезопроводности решается практически во всех

аналитических моделях и выражается в них в радиальных формулах

Однозначно определенным объектом такого радиального решения служит

нагнетательная или добывающая скважина Выбранная система координат

наилучшим способом описывает моделирование радиального потока

относительно скважины

ГЛАВА 7 МОДЕЛИРОВАНИЕ ИССЛЕДОВАНИЙ

Уравнением описывающим процессы происходящие при исследованиях

ГДИ является уравнение пьезопроводности Данное уравнение (71) описывает

неустановившееся однофазное одномерное течение флюида в пористой среде и

выражает связь между пластовым давлением временем и расстоянием от

скважины до точки наблюдения Решение уравнения пьезопроводности (72) для

простого случая работы вертикальной скважины в бесконечном пласте позволяет

получить модель характеризующую перераспределение давления в пласте

1

120594

120597120549119875

120597119905=1

119903

120597

120597119903(119903120597120549119875

120597119903) (71)

∆119875(119905 119903) = minus9205119902119861120583

119896ℎ119864119894 (minus

1199032

000036120594119905) (72)

(q ndash дебит скважины м3сут B ndash объёмный коэффициент 120583 ndash

вязкость жидкости cпз k ndash проницаемость мД h ndash мощность пласта

м r ndash радиус м χ ndash пьезопроводность мД(спзатм-1) t ndash время ч)

Инструмент позволяет моделировать исследование ГДИ для случаев с

разным закачиванием скважин (вертикальная скважина вертикальная скважина

с гидравлическим разрывом пласта (ГРП) горизонтальная скважина

горизонтальная скважина с многостадийным ГРП) На первом этапе по заданным

свойствам пласта и флюида моделируется ГДИ описывающая изменение

забойного давления в скважине [1]

36

На следующем этапе моделирования строится билогарифмический график

(рис71) по которому специалисты ГДИ определяют свойства пласта Таким

образом создав синтетическое ГДИ можно предсказать как будет выглядеть

билогарифмический график исследования КВД (кривая восстановления

давления) характеризующего остановку скважины

Моделирование исследования ГДИ проводится для N ndash исходов (рис71) и

для разного времени длительности исследования t (50-100-150hellipчасов) в

результате чего инструмент определяет свойства пласта (проницаемость и

пластовое давление) по результатам исследования зависящих от времени

длительности ГДИ

Рис71 Результаты моделирования исследования ГДИ

ГЛАВА 8 ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИ ФИЛЬТРАЦИИ

ФЛЮИДОВ

811 Основа модели фильтрации к вертикальной скважине

Для самого начала рассмотрим самый простой случай движения флюида

в однородном бесконечном пласте начиная с начального постоянного давления

119927119946

В начальный момент t = 0 однотипно с началом первого цикла

эксплуатации у пласта коллектора начальное равномерное давление - 119927119946

ΔP(r t = 0) = 0 P(r t = 0) = Pi (8111)

Введем в рассмотрение граничное условие когда границы отсутствует

это сопоставимо что пласт-коллектор характеризуется бесконечной

протяженностью

0

05

1

15

2

25

-3 -2 -1 0 1 2 3

LO

G (

dP

) LO

G(P

`)

LOG(dt)

Билогарифмический график

LOG (P(t)-P(tp))

37

ΔP(r rarr infin t) = 0 P(r rarr infin t) = Pi (8112)

Второе граничное условие на радиусе скважины будет зависить от

условий на поверхности ствола (r = rw) Введем в рассмотрение единичную

вертикальную скважину радиусом 119953119960 которая полностью вскрывает

однородный изотропный коллектор с коэффициентом проницаемости k и

эффективной мощностью h добывает однородную малосжимаемую жидкость

вязкостью μ при стандартных условиях с дебитом Q м3 В условиях пласта объем

добываемого флюида составит Qsf = Qb (где b ndash объемный коэффициент

жидкости)

(119903120597119875

120597119903)119903=119903119908

=119902119861120583

2120587119896ℎ (8113)

Одной из удобных моделей моделировании фильтрации к скважине

является модель линейного источника которая является предельным случаем

скважины нулевого радиуса

119897119894119898 (119903120597119875

120597119903)119903rarr0

=119902119861120583

2120587119896ℎ (8114)

На практике прибегают к упрощению постановки задачи путем ввода

безразмерных переменных При решении задачи относительно новых

переменных позволяют интегрировать остальные параметры и в конечном счете

задача сводится к решению уникального набора уравнений которые легко

разрешаются аналитическим методом раз Физический смысл ввода

безразмерных параметров заключается в исключении из основного уравнения

параметров пьезопроводности пласта-коллектора с целью поиска обобщенного

решения с помощью которого переходя на изначальные размерные параметры

удается получить решение для определенного пласта и определить параметры

пьезопроводности и проводимости (Houzeacute O 2008)

119903119863 =119903

119903119908 (8115)

119905119863 =000036119896119905

1205931205831198881199051199031199082 (8116)

38

119875119863 =2120587119896ℎ

119902119861120583∆119875 (8117)

Далее вводим безразмерные параметры переходим к общей задаче

120597119875119863120597119905119863

=1

119903119863[120597

120597119903119863(119903119863

120597119875119863120597119903119863

)] (8118)

119875119863(119903119863 119905119863 = 0) = 0 (8119)

119875119863(119903119863 rarr infin 119905119863) = 0 (81110)

119897119894119898 (119903119863120597119875119863120597119903119863

)119903119863rarr0

= minus1 (81111)

Решая данное дифференциальное уравнение удобно применить

интегральные преобразования Принято при решении уравнения

пьезопроводности пользоваться особой формой линейных интегральных

преобразований являющиеся преобразованиями Лапласа Далее применяем к

уравнению (120597119875119863

120597119905119863=

1

119903119863[120597

120597119903119863(119903119863

120597119875119863

120597119903119863)] (811) преобразования Лапласа

s119875119863 =1

119903119863[120597

120597119903119863(119903119863

120597119875119863

120597119903119863)] (81112)13

Трансформанта Лапласа

119875119863 (119904 119903119863) = int 119875119863(119905119863

infin

119905119863

119903119863) exp(minus119904119905119863) 119889119905119863 (81113)

где s mdash это число достаточно велико чтобы мог существовать интеграл

действительная часть которого положительна Функция обозначенная чертой

сверху является образом (изображением) функции или результатом

интегрального преобразования Лапласа где подынтегральной функцией

является прообразом (оригиналом) Решение уравнения(811s119875119863 =

1

119903119863[120597

120597119903119863(119903119863

120597119875119863

120597119903119863)] (81112)13) можно представить через модифицированное

уравнение Бесселя нулевого порядка которое можно записать в следующем

виде

119875119863 (119904 119903119863) = 119860(119904)1198680(119903119863radic119904) + 119861(119904)1198700(119903119863radic119904) (81114)

39

1198680 и 1198700 являются модифицированными функциями Бесселя нулевого

порядка Значения коэффициентов A и B в уравнении определяются с помощью

подстановки граничных условий в уравнение Осуществляем подстановку

граничных условий из внешнего ГУ А(s)=0 B(s)= 1

119904 В итоге получаем

изображение решения для линейного источника в виде

119875119863 (119904 119903119863) =1

1199041198700(119903119863radic119904) (81115)

Для нахождения образа функции выполняем обратное преобразование

Лапласа полученного уравнения Данную операция можно выполнить с

помощью таблиц преобразований Лапласа (из таблиц в работах (Churchill RV

1972) и (Abramowitz M 1972))

119871minus1 (1198700(119903119863radic119904)) =1

2119905exp(minus

1198962

4119905) (81116)

Обобщаем выводим решение для линейного источника с безразмерными

параметрами

119875119863(119905119863 119903119863) = minus119864119894 (minus1199031198632

4119905119863) 119864119894(119909) = minus int

119890minus119910

119910119889119910

infin

minus119909

(811 14)

Где 119864119894(119909)-интегральная показательная функция Далее выполняем

обратное преобразование переходим на размерные величины

∆P(t 119903) = minusqBμ

2πkh119864119894 (minus

r2

4 lowast 000036120594t) (811 15)

Полученное решение уравнения в каждой точке и на каждом промежутке

времени удовлетворяет задаче фильтрации для скважины линейного источника

находящаяся в эксплуатируемом фонде скважин вскрывающая интервалом

перфорации эффективную мощность однородного бесконечного пласта-

коллектор Одним из выводов из решения уравнения пьезопроводности гласит

что поля релаксации перепада давления мгновенно перераспределяются по

пласту-коллектору Также стоить отметить существующее решение на дальнем

расстоянии от скважины 119903119894119899119907 вблизи которого перепад давления столь мал что

40

этим можно пренебречь Исходя из этого предположения можно определить

радиус исследования 119903119894119899119907 который характеризует размер области исследования

результат интерпретации которых зависят от свойства пласта и флюидов в

скважине [11]

При рассмотрении полей давления в пласте с бесконечной

протяженностью во время запуска скважины в работу на основании полученного

ранее решения уравнения (рис 8111) В первоначальный момент времени 1199051 =

0 забойное давление в скважине равно текущему пластовому давлению через

некоторый отрезок времени в интервале - 1199052 вокруг точки скважины

формируется так называемая laquoворонка депрессииraquo которая может

характеризовать неустановившийся режим течения При движение по временной

шкале воронка депрессии будет распространяться на более дальние расстояния

от скважины пока не достигнет определенной границы (119903119894119899119907=119903119908 +radic120594t) Если

рассматривать зеркально противоположный пример при остановке скважины

воронка депрессии будет становиться меньше и будет уменьшаться пока

значение давления в скважине не достигнет пластового и останется стабильным

Понятие радиального режима для течения флюидов в пласте является

основополагающим для интерпретации гидродинамических исследований Это

режим характеризует обстановку при которой скорость фильтрации и поля

давления имеют радиальную симметрию и линии тока в пласте направлены к

круговому цилиндру по радиусу от периферии пласта к скважине (Рис 1)

41

Рис 8111 Линии тока для вертикальной скважины при радиальной

фильтрации [6]

Решение линейного источника может достичь радиального режима с

определенного времени 119905119909 такую характерную зависимость можно проследить

на билогарифмическом графике (рис 8111) этот режим характеризуется

стабилизацией производной давления С помощью данного графика

проницаемость пласта вычисляется по формуле

119896ℎ = 119902119861μ lowast05

2120587∆Pстаб (81119)

При рассмотрения кейса решения уравнения пьезопроводности в случае

вертикальной скважины в цилиндрическом пласте-коллектора изменится гу на

г

р

а

н

и

ц

е

ц

и

л

и

н

(120597Δ119875

120597119903)119903=119903119890

= 0 (81120)

Аналогично ранее описанному алгоритму решению уравнения

пьезпроводности получим изображение депрессии

∆P (119904) =qBμ

2πkhlowast

lowast

1198680 (119903radic119904120594)1198701 (119903119890radic

119904120594)+ 1198681 (119903119890radic

119904120594)1198700 (119903radic

119904120594)

119903119908radic119904120594119904 [1198681 (119903119890radic

119904120594)1198701 (119903119908radic

119904120594)minus 1198681 (119903119908radic

119904120594)1198701(119903119890radic

119904120594]

(81121)

42

Аналитическое преобразование данного уравнения принимают

следующий вид (Van Everdingen AF and HurstW W 1953)

∆P(t 119903) =qBμ

2πkh

2

1199031198902 minus 119903119908

2(120594119905 minus

1199032

4) minus

1199031198902

1199031198902 minus 119903119908

2119897119899r

119903119908minus

1

(41199031198902 minus 119903119908

2)2lowast

lowast (31199031198904 minus 4119903119890

4119897119899119903119890119903119908minus 2119903119890

2 minus 1) +

+120587sum11986912 (120573119899

119903119890119903119908) [1198691(120573119899)1198840 (120573119899

r119903119908) minus 1198841(120573119899)1198690 (120573119899

r119903119908)]

120573119899 [11986912 (120573119899

r119890119903119908) minus 1198691

2(120573119899)]

infin

119899=1

119890119909119901 (minus1205731198992 120594119905

1199031199082) (81122)

1205731 1205732 и тдndash решения уравнений

1198841(120573119899)1198691 (120573119899r119890119903119908) minus 1198691(120573119899)1198841 (120573119899

r119890119903119908) = 0 (81123)

В поставленной формулировке задачи для выведенного уравнения

решения невозможно сходу подобрать обратное преобразование Лапласа с

помощью табличных значений (аналитической функции) (Abramowitz M 1972)

Однако можно выполнить найти решение выполнив его численно Для решения

задач нестационарной фильтрации флюидов применимы алгоритмы численного

обращения основанные на стохастических подходах (Stehfest H 1970) которые

предполагают что можно рассчитывать приближенное значение оригинала pa(T)

по найденному изображению p(s) в определённый момент времени t = T [13]

119901119886(119879) =1198971198992

119879sum119881119894

119873

119894=1

(119904)119904=1

1198971198992119879 (81124)

119881119894 = (minus1)(1198732)+119894

sum1198961198732(2119896)

[(1198732)

minus 119896] 119896 (119896 minus 1) (119894 minus 119896) (2119896 minus 119894)

min(1198941198732)

119896=(119894+1)2

(81125)

812 Приток к вертикальной скважине с трещиной ГРП

Ранее было выведены решения задачи фильтрации для вертикальных

скважин Метод источников который был применен также используется для

случаев скважин с более сложной геометрией ННС (наклоннонаправленных

43

скважин) ВС ГРП (вертикальный с гидроразрывом пласта) ГС ГРП

(горизонтальных с гидроразрывом пласт)

Функция Грина и метод источников применяется для решения двух- и

трёхмерных задач неустановившейся фильтрации Под источником понимается

некоторая точка поверхность или объем из области которых флюид отбирается

из пласта-коллектора или закачивается Строго говоря отбор жидкости должен

ассоциироваться со стоком а закачка с источником Под физической основой

источник можно сопоставить со скважиной бесконечно малого диаметра в

которую мгновенно закачивается конечное количество флюида[16]

Функции Грина и метод источников тесно связаны между собой Функция

Грина определяется для дифференциального уравнения со специальными

граничными условиями (заданный расход или давление) и соответствует

решению для мгновенного точечного источника С другой стороны функции

источников представляют собой решения данного дифференциального

уравнения с указанными граничными условиями и геометрией источника

Фундаментальное решение функции Грина (G (M Mrsquo τndasht)) для

неустановившегося потока флюида в пористой среде может соотнесено с

давлением в точке M (x y z) в определенный момент времени t которое

обусловлавливает мгновенный точечный источник единичной интенсивности

который создан в точке Mrsquo(xrsquo yrsquo zrsquo) во временя τ lt t Необходимо чтобы

функция Грина удовлетворяла уравнению пьезопроводности

120597119866

120597119905= 120594nabla2119866 81161

120597119875

120597120591= 120594nabla2119875 8122

int nabla2119891(119872)119889119872 =119863

int120597119891

120597119899Г

119889Г 8123

Используем свойства функции Грина можем применить терему Грина

(8123) с учетом (8122) (Gringarten AC and Ramey HJ 1973) получим

44

∆119875(119872 119905) =1

120593119888int int

Г119908(119872119908

prime 120591)119866(119872119872119908prime 119905 minus 120591

119905

0)119889119872119908

prime 119889120591 =

1

120593119888int 119905

0(120591)119878(119872119872119908

prime 119905 minus 120591)119889120591 8123

119878(119872119872119908prime 119905 minus 120591) = int 119866(119872119872119908

prime 119905 minus 120591)119889119872119908prime

Г119908 8124

где Г119908 ndash граница ствола скважины = minus119896

120583

120597119875

120597119899 ndash объём потока который

проходит через точку на поверхности внутренней границы 119872119908prime Применяем

интегрирование правой части данного уравнения (724) получаем

распределение точечных источников по площади длине и объему источника

Для разных конфигураций системы laquoисточник-пластraquo можно подобрать

табличные базовые функции соответствующих мгновенных источников (The

Society of Petroleum Engineers 2014)

В практике нефтегазовой отрасли практически на многих добывающих

скважинах проводиться МУН (метод увеличения нефтеотдачи) Одним из

распространенных методов интенсификации флюида является гидравлический

разрыв пласта (ГРП) который заключается в формировании высокопроводимой

трещины в продуктивном интервале пласте для увеличения притока флюида к

скважине

Поставим задачу решения уравнения фильтрации флюида к вертикальной

скважине с трещиной ГРП Из условий скважина полностью вскрывает пласт

эффективной мощностью h кровля и подошва пласта ограничена

непроницаемыми ровными горизонтальными границами Трещина ГРП

расположена симметрично относительно нормали ствола скважины полудлина

трещины - xf ширина - wf (wf ltlt xf) коэффициент проницаемости трещины kf

индекс laquofraquo характеризует трещину ГРП В горизонтальном направлении пласт

бесконечный (рис 8121 ndash 8122) Течение потока к трещине выражается

двумерным стоком флюида

45

Рис 8121 Вертикальная трещина (вид сбоку)

Рис 8122 Течение флюида к вертикальной трещине (вид сверху)

В ходе решения задачи стоит рассмотреть два типа течения

1) поток в трещине

2) поток в пласте с трещиной

1) Переходя к безразмерным переменным (8115-8117) запишем

уравнение пьезопроводности (8118) и граничные условия (8119-81110)

119901119891119863(119909119863 119905119863) =2120587119896ℎ (119901119894 minus 119901119891(119909 119905))

119902119908120583 (8125)

119905119863 =119896119905

1206011205831198881199051199091198912 (8126)

119909119863 =119909

119909119891 (8126)

119902119891119863(119909prime 120591) =

2119902119891(119909prime120591)

119902119908119909119891 (8127)

1198892119901119891119863(119909119863)

1198891199091198632

=120587

119865119862119863119902119891119863(119909119863) (8128)

119889119901119891119863

119889119909119863 119909119863=0=

120587

119865119862119863 (8129)

46

119889119901119891119863119889119909119863 119909119863=1

= 0 (81210)

Перепад значений давления между забойным давлением и в точке

трещины с координатой 119909119863 можно записать

119901119908119863 minus 119901119891119863(119909119863) =120587

119865119862119863[119909119863 minusint int 119902119891119863(119909

primeprime)119889119909primeprime119889119909prime119909prime

0

119909119863

0

] (81211)

2) Течение добываемого флюида из пласта-коллектора в трещину

можно рассмотреть как наличие нестационарного источника жидкости qf(xt) в

самой трещине Используя метод источников который был рассмотрен ранее

безразмерное давление в любой произвольной точке пласта

119901119863(119905119863 119909119863 minus 119909119908119863 119910119863 minus 119910119908119863) = int int 119902119891119863(120591 119909prime minus 119909119908119863)119866(120591 119909

prime 119909119863 minus1

minus1

1199051198630

119909119908119863 119910119863 minus 119910119908119863)119889119909prime119889120591 (81212)

(119909119908119863 119910119908119863) - безразмерные координаты точки забоя скважины в

горизонтальной плоскости (xy) ось 119909 направлена вдоль трещины

Записывается условие непрерывности давления в пласте и в трещине

119901119891119863(119905119863 119909119863) = 119901119863(119905119863 119909119863 0) (81213)

Следовательно уравнение (81211) принимает вид

119901119908119863 minusint int119902119891119863(120591 119909prime)119866(120591 119909prime 119909119863 0)119889119909

prime119889120591

1

minus1

119905119863

0

=120587

119865119862119863[119909119863 minusint int 119902119891119863(119905119863 119909

primeprime)119889119909primeprime119889119909prime119909prime

0

119909119863

0

] (81214)

Применяем преобразование Лапласа

119908119863(119904) minus int 119891119863(119904 119909prime)(119904 119909prime 119909119863 0)119889119909

prime =1

minus1

120587

119865119862119863[119909119863

119904minus

int int 119891119863(119904 119909primeprime)119889119909primeprime119889119909prime

119909prime

0

1199091198630

] (81215)

int 119891119863(119904 119909prime)119889119909prime

1

minus1

=1

119904 (81216)

47

Получили изображения Лапласа соответствующих функций ndash

оригиналов Решение системы производится путём дискретного разбиения

трещины по длине на 2n сегментов и записи данной системы в следующем виде

для каждого дискретного сегмента (рис 723)

Рис 8123 Схема разбиения трещины на сегменты

119908119863(119904) minussum119891119863119894

119899

119894=1

int (119904 119909prime d119909 (119895 minus1

2) 0) 119889119909prime

d119909119863119894

d119909119863(119894minus1)

+ int (119904 119909prime d119909 (119895 minus1

2) 0) 119889119909prime

d119909119863(minus119894+1)

d119909119863(minus119894)

+120587

119865119862119863[119889119909119863 ∙ 119895

119904minus (119889119909119863)

2sumsum119891119863119896

119894

119896=1

119895

119894=1

] (81217)

119889119909119863 ∙sum 119891119863119894

119899

119894=1

=1

2119904 (81218)

Изображение давления в любой точке пласта можно найти по формуле

119863(119904 119909119863 119910119863) = sum 119891119863119894 int (119904 119909prime 119909119863 119910119863)119889119909119863∙119894

119889119909119863(119894minus1)119889119909prime +119899

119894=1

int (119904 119909prime 119909119863 119910119863)119889119909119863∙(minus119894+1)

119889119909119863∙(minus119894)119889119909prime (81219)

Где 119891119863119894 ndash изображение функции мощности источников в каждом n

сегменте [17]

48

813 Основа модели фильтрации к горизонтальной скважине с МГРП

Задача притока добываемого флюида к горизонтальной скважине с

многостадийным гидроразрывом пласта (МГРП) схематично можно

представить как несколько одинаковых трещин соединенных общим

горизонтальным стволом Каждая трещина пресекает ствол горизонтальной

скважины в центре и является симметричной относительно ствола ((119909119908119863119895 119910119908119863119895)

Рис 8131 Схематическое изображение ГС с МГРП

Каждая трещина ГРП будет иметь равную полудлину 119909119891 и безразмерную

проводимость 119865119862119863 В модели существует предположение что течение флюида

внутри трещины является одномерным Следовательно поток флюида к

горизонтальному стволу скважины с n трещинами будет равен алгебраической

сумме потоков флюида от каждой трещины

119876 = sum 119876119895(119905)119899119895=1 = 119888119900119899119904119905 (8131)

Как ранее для общения задачи вводим безразмерные переменные

давление в точке пересечения скважины с j трещины - 119901119908119863119895 безразмерный дебит

- 119902119863119895 =119876119895

119876

Из условий бесконечной проводимости для горизонтального ствола

119901119908119863119895 = 119901119908119863 119895 = 1 119899 8132

Возмущение давление которое создается трещиной k в точке пересечения

119895 трещины со скважиной ndash 119901(120591)119863119895119896 equiv 119901119863(120591 119909119908119863119896 119910119908119863119896 119909119908119863119895 119910119908119863119895) применяя

принцип суперпозиции

119901119908119863(119905119863) = sum int 119902119863119895 ∙ 119901prime119863119895119896(119905119863 minus 120591)119889120591 8133

1199051198630

119899119895=1

49

Суммарный поток флюида от всех трещин будет фиксирован

sum 119902119863119895119899119895=1 = 1 и с преобразованием Лапласа - sum 119863119895

119899119895=1 =

1

119904 8134

Преобразование Лапласа для 734 р119908119863119895 = sum 119904119863119895119863119895119896119899119896=1 8135

119863119895119896 = int 119891119863(119904 |119909119908119863119896 minus 119909prime|)(119904 119909119908119863119896 minus 119909prime 119909119908119863119895 119910119908119863119896 119910119908119863119895)119889119909

prime

119909119908119863119896+1

119909119908119863119896minus1

8136

119863119895119896 =sum119891119863119894 int (119904 119909119908119863119896 minus 119909prime 119909119908119863119895 119910119908119863119896 119910119908119863119895)119889119909prime

119889119909119863∙119894

119889119909119863(119894minus1)

119899

119894=1

+ int (119904 119909119908119863119896 minus 119909prime 119909119908119863119895 119910119908119863119896 119910119908119863119895)119889119909prime

minus(119894minus1)∙119889119909119863

minus119894∙119889119909119863

8137

Мощность источников 119891119863(119904 |119909119908119863119896 minus 119909prime|) вычисляется из (81217-

81218) где 119889119909119863 =1

119899 ndash безразмерная длина каждого n сегмента 119891119863119894 -

безразмерная скорость течения через i элемент

Система уравнений (8134-8137) записывается в виде [8]

А = 8138

= (

1199081198631198631⋮119863119899

) 8139

А = (

1 minus119904 ∙ 11986311 ⋯ minus119904 ∙ 1198631119899⋮ ⋮ ⋱ ⋮

1 minus119904 ∙ 1198631198991 hellip minus119904 ∙ 1198631198991198990 1 hellip 1

) 81310

= (

0⋮01 119904frasl

) 81311

50

Для вычисления матричных элементов 119863119895119896 необходима информация о

мощности потока в из всех 119899 трещин ГРП Если считать что каждая трещина ГРП

делится на 2119898 сегментов (рис 8123) тогда система (81310) будет содержать

(1 + 2119898 times 119899) количество уравнений относительно следующих неизвестных

119908119863 11989111986311 hellip 119891119863(2119898)1 hellip 1198911198631119899 hellip 119891119863(2119898)119899 где в 119891119863119894119895 ndash течение через i-й

сегмент в j-й трещине Пользуясь упрощенным подходом можем переписать в

следующем виде[19]

forall119895 isin 1hellip119899 forall119896 = 1hellip119898 ∶ 119891119863119895119896 = 119863119895 ∙ 119891119863119896 81312

При определении мощности источников используется допущение что на

распределение мощности источников внутри каждой из трещин соседние

трещины оказывают слабое влияние Можно предположить что распределения

мощности потока в трещинах симметричны относительно точки пересения со

стволом скважины Элементы матрицы А в (81310) получают по формуле

(8137)

119863119895119896 =sum119891119863119894 int (119904 119909119908119863119896 plusmn 119909prime 119909119908119863119895 119910119908119863119896 119910119908119863119895)119889119909

prime

119889119909119863∙119894

119889119909119863(119894minus1)

81313

119899

119894=1

где функция (hellip ) определяется по табличным формулам в зависимости

от граничных условий и типа зоны дренирования

Для решения СУ используется выражение матрицы в виде произведения

дву нижней треугольной и верхней треугольной (LU-декомпозиция) (Ортега

Дж 1991) Так называемое LU-разложение (LU-декомпозиция) mdash

представление выражение определенной матрицы в виде произведения двух

матриц A = LU где L mdash нижняя треугольная матрица а U mdash верхняя

треугольная матрица [15]

Ниже представлены применяемые в данной работе функции источников

в пространстве Лапласа

Таблица 8131 Функции линейных стоков

51

Тип условий на

границах

Функции линейных стоков

119899119899119899119899 =

=120587

2119909119890119863coshradic1199041198631 + coshradic1199041198632

radic119904 sinhradic119904119910119890119863

+ 2sumcos119896120587119909119863119909119890119863

cos 119896120587(119909119908119863 minus 119909prime)

119909119890119863

cosh 1205981198961198631 + cosh 1205981198961198632120598119896 sinh 120598119896119910119890119863

infin

119896=1

0 17

119888119888119888119888

=120587

119909119890119863sumsin119896120587

119909119863119909119890119863

sin 119896120587|119909119908119863 minus 119909prime|

119909119890119863

cosh 1205981198961198631 minus cosh 1205981198961198632120598119896 sinh 120598119896119910119890119863

infin

119896=1

0 18

119888119899119888119899 =

=120587

2119909119890119863coshradic1199041198631 minus coshradic1199041198632

radic119904 sinhradic119904119910119890119863

+ 2sumcos119896120587119909119863119909119890119863

cos 119896120587(119909119908119863 minus 119909prime)

119909119890119863

cosh 1205981198961198631 minus cosh 1205981198961198632120598119896 sinh 120598119896119910119890119863

infin

119896=1

0 19

Где 119909119890119863 =119909119890

119909119891 119910119890119863 =

119910119890

119909119891 1198631 = 119910119890119863 minus |119910119863 minus 119910119908119863| 1198632 = 119910119890119863 minus (119910119863 + 119910119908119863) 120598119896 =

radic119904 + 11989621205872 1199091198901198632frasl 119909119890 ndash размер площади дренирования по оси x 119910119890 ndash размер

площади дренирования по y 119899 значает границу отсутствия перетока 119888

означает границу постоянного давления

82 РЕАЛИЗАЦИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ИССЛЕДОВАНИЙ

В настоящей работе реализовано решение задачи фильтрации о

нестационарном притоке флюида к скважине при постоянном заданном дебите

для скважин с разным типом заканчивания (вертикальная скважина и

горизонтальная скважина с трещинами МГРП) Математическая модель описана

для задач (Главы 811-813) реализована на языке программирования VBA

Входные параметры приведены на рис 821 Параметры границ задаются

в виде прямоугольника (рис823) Параметры скважины флюида и пласта

задаются при помощи априорной информации Проницаемость рассматривается

как распределение полученных ранее (главе 3)

y

x

y

x

y

52

В ходе решения задачи строится график - кривая стабилизации давления

зависимость изменения забойного давления от времени (рис823)

Рис 821 Входные параметры для модели

Рис 822 Расположение горизонтальной скважины в границах

53

Рис 823 Кривая стабилизация давления

На следующем этапе по последней точке определяется значения kmodel В

зависимости от длительности исследования будь то 50 часов 100 часов и более

будет зависеть погрешность результата определения свойств пласта по

отношению к истинным параметрам (рис 821) К тому же от времени

исследования будут зависеть Capex на проведения исследования

Рассчитанное значение модельное kmodel затем сравнивается с исходным

заданным значением kist В результате получаем отношение модельного значения

kmodel после проведения ГДИ к kist в зависимости от длительности ГДИС (рис

822)

Рис 821 График производной забойного давления

54

Рис 822 Отношение kmodel kist для скважины 11РО

Полученные по проницаемости параметры умножаются на эффективную

мощность пласта-коллектора и затем рассчитанное распределение

интерполируется с другими параметрами в скважинах в точку проектной

По результатам моделирования распределения свойств пласта будут

изменяться уменьшение дисперсии при увеличении длительности исследования

(рис823) Идеальным исследованием считается исследование с длительностью

достаточной для достижения производной давления на билогарифмическом

графике радиального режима течения что указывает на достоверность

параметров по результатам ГДИ (проницаемость и пластовое давление) Чем

ближе длительность исследования к идеальному ГДИ тем ниже

неопределенность в параметрах и тем ближе распределение к идеальному

Моделирование разной длительности исследования проводиться для N ndash

распределений (рис2)

Результаты смоделированного ГДИ позволяют снизить неопределенности

(сузить распределение) в свойствах пласта в точке проектной скважины Для

интерполяции в точку проектной скважины используется метод сплайн ndash

интерполяции [18]

tk model 10 20 30 40 50 60 70 80

50 2288169 1501385 1150108 0948723 0808706 0717031 0640296 0581876

100 1496394 0948581 0717744 0581513 0484438 0414342 0361937 0319311

150 1107448 0689761 0503907 0394864 0322636 0269636 0233048 0203542

200 0949817 0580742 0417822 0318936 0259364 021555 0186095 0163468

250 0818194 0486803 0338246 0259062 0206736 0173204 014824 0129707

300 0705787 0408828 0281063 0211366 0169381 0142083 012167 0106692

350 0627933 0351884 023841 017996 0144702 0119968 0103063 0090319

400 0562852 0307024 0207063 0155316 0124788 010441 0089458 0078395

450 0510211 0272553 0183196 013788 0110431 009172 0079061 0069165

500 0463384 0245037 0164854 0123914 0099043 0082679 007078 0061913

55

Рис823 Изменение распределения в зависимости от времени исследования ГДИ

На рис 824 показано распределение значений проницаемости с учетом

разной длительности исследований ГДИ

Полученное распределение kh в проектной скважине до ГДИ

характеризовалось большей дисперсией по сравнению с распределением после

проведенного ГДИ на скважине

Рис 824 Распределение kh на проектной скважине

ГЛАВА 9 РАСЧЕТ ЭКОНОМИЧЕСКОГО ЭФФЕКТА

ЦЕННОСТИ ИНФОРМАЦИИ

Ожидаемая прибыль запланированной к бурению скважины до проведения

ГДИ рассчитывается с учётом исходного распределения после ГДИ

0

001

002

003

004

005

006

007

008

009

1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800

Пл

отн

ость

вероятн

ости

Пластовое давление атм

Распределения пластового давления

Время длительности ГДИ 50 часовВремя длительности ГДИ 100 часовВремя длительности ГДИ 150 часовВремя длительности ГДИ 200 часов (идеальное исследование)

56

рассчитывается для каждого дискретного варианта исхода из N-возможных и для

разных времен длительности исследования t

На первом этапе расчёта прибыли по методу Монте-Карло определяются

значения проницаемости и пластового давления с вероятностями распределения

равными 10 50 90 и оценивается запускное значение дебита скважины По

соседним скважинам определяются темпы падения дебита скважины

усредненный темп падения используется для проектной скважины

Произведение запускного значения дебита и усредненного темпа падения

характеризует профиль добычи проектной скважины На основе профиля

добычи оценивается NPV проектного бурения который учитывает

операционные затраты и капитальные расходы проекта При оценке NPV после

запланированного исследования в капитальных затратах учитываются расходы

на проведение ГДИ стоимость интерпретации исследования инструментальные

замеры

Ожидаемая ценность EMVwi после проведения ГДИ рассчитывается как

сумма отдельно взятых N - исходов умноженных на соответствующие

вероятности исходов (91)

119864119872119881119908119894 (119905119894) = 1198641198721198811199081198941(119905119894) lowast 1198751 + 1198641198721198811199081198942(119905119894) lowast 1198752 +⋯

+ 119864119872119881119908119894119873(119905119894) lowast 119875119899 =sum119864119872119881119908119894119895(119905119894)

119873

119895=1

(91)

Чистый дисконтированный доход рассчитывается по формуле (92) где

CF ndash денежный поток r ndash ставка дисконтирования I ndash сумма инвестиционных

вложений Непосредственно CF (денежный поток) будет определяться

количеством добываемого флюида [18]

119873119875119881 = sum119862119865119905

(1 + 119903)119905minussum

119868119905(1 + 119903)119905

(92)

Инвестиционные вложения включают операционные затраты ndash Opex

повседневные затраты компании для ведения бизнеса производства товаров и

57

услуг и капитальные затраты - Capex расходы на приобретение или обновление

необоротных активов При проведении ГДИС затраты на спускподъём

оборудования интерпретацию исследования инженером и потеря в прибыли

связанные с остановкой скважины учитываются в Capex

91 EMV БЕЗ УЧЕТА ПРОВЕДЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ

Дебит ndash это ограниченный объем добытой жидкости через скважину за

определенное время Оценки производительности скважин и расчет добычи

скважины проводятся на основе запускного дебита скважины и усредненного

темпа падения дебита на соседних скважинах на протяжении 25 лет В основном

темпы падения строятся исходя из истории эксплуатации на месторождении

анализируется весь набор данных на заданный пласт

Запускной дебит может быть рассчитан по следующим формулам в

зависимости от типа скважины [9]

1) Вертикальная скважина c ГРП

119902 =2120587119896ℎ(119875119894minus119875119908)

120583119861(119897119899119877119890119877119908minus075+119878)

119878 = 1198971198992119903119908

119909119891 (911)

2) Горизонтальная скважина с МГРП

119902 = 2120587kℎ ( 119875119894 minus119875119898

2+119875119908

2) + 119898119876119863 (912)

119876119863 =2120587kℎ(119875119894minus119875119908)

120583119861(119897119899119877119890119877119908minus075+119878)

(913)

С помощью расчёта запускных дебитов а также анализа работы

окружающих скважин были получены результаты темпов падения на рисунке

911 изображены темпы падения с вероятностью Р50 нефти и жидкости за 25 лет

для определенной скважины Также построена гистограмма с накопленной

добычей (рис 911)

58

Рис 931 Темпы падения для скважины

Рис 911 Гистограмма распределения добычи нефти

для скважины 716 до ГДИ

Геологические риски и неопределенности определяют необходимость

создания вероятностной оценки дебитов запасов профилей добычи

Вероятностная оценка по границам возможной минимальной и максимальной

эффективности поможет минимизировать инвестиционные риски проекта

Модуль вероятностной оценки дебитов запасов профилей добычи

основан на теории вероятностей и математической статистики [12] По

многочисленным входным параметрам задаются диапазоны ожидаемых

величин и тип распределения - по проницаемости эффективной

нефтенасыщенной толщины пласта пластовому давлению Источник

информации ndash фактические параметры полученные с карт и распределение с

59

ошибкой их построения Чем меньше неопределенностей тем меньше дисперсия

и разброс ожидаемых параметров в возможных диапазонах

Следующим этапом переходим к расчету экономических параметров

(NPV) по найденным значениям добычи за 25 лет На рисунке изображена

гистограмма NPV и указаны количественные оценки накопленной добычи и NPV

для вероятностей P10 P50 P90 (табл 911)

Рис 04 Гистограмма распределения NPV для скважины 716 до ГДИ

Таблица 921 Показатели добычи и NPV

Вероятность Накопленная добыча нефти тыст NPV млнруб

P10 1937 3012

P50 1128 1547

P90 597 585

60

С помощью выполненных расчетов (табл 911) ожидаемая ценность

проекта бурения скважины без проведения исследований (EMVwoi) составляет

16011 млн рублей

92 EMV БЕЗ УЧЕТА ПРОВЕДЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ

Расчет экономических параметров в случае модерирования исследований

проводится аналогичным образом Для расчета добычных показателей

планируемой скважины рассчитывается также по формулам 911-913 В этом

случае значения проницаемости и пластового давления задаются с помощью

уточнённые параметров после ГДИ с меньшей дисперсией

На рисунке 921 представлено распределение значений пластового

давления умноженного на эффективную нефтенасыщенную толщину после

ГДИ длительностью 150 часов

Рис 921 Гистограмма распределения NPV для скважины после ГДИ длительностью

150 часов

Расчет экономических параметров помимо операционных затрат (OPEX)

в случае моделирования ГДИ будет включать еще Capex ndash это затраты

проведенного исследования (инструментальные замеры спускоподъёмные

операции) который в свою очередь будут зависят от длительности проведения

исследований Также будут включены затраты на работу интерпретатора

исследований которые уже не будут зависеть от длительности В написанном

61

модуле также учитывается потеря прибыли на время остановки скважины

количественно потери будут определяться длительностью остановки скважины

на проведения ГДИ

62

ГЛАВА 10 РЕЗУЛЬТАТЫ

Реализованный модуль в данной работе позволяет определить

необходимость проведения гидродинамического исследования и выдать

рекомендации по продолжительности исследования составить ранжированный

список скважин по эффективности проведения исследований

В таблице 101 представлены результаты экономических параметров и

расчет VOI На графике (рис 101) построенным в осях VOI в зависимости от

времени исследования можно оценить экстремум функции как оптимальное

время для проведения исследования По представленным результатам

целесообразно провести ГДИ на скважине 3 длительностью от 150 часов так как

ценность полученной информации будет наибольшей

Таблица 101 VOI при проведении ГДИ на скважине 3

Продолжительность ГДИ

EMV1 EMV

2 VOI

Целесообразность исследования

50 16116 16111 005 + 100 16135 16111 024 + 150 16198 16111 087 +

200 16127 16111 016 +

250 16033 16111 -078 - 300 16021 16111 -09 -

В случае горизонтальных скважин также был произведен анализ

ценности информации рассчитаны параметры VOI от длительности по времени

Однако для выхода на радиальный режим для случаев горизонтальных стволов

скважин на рассматриваемом месторождении N необходимо более 500 часов что

существенно увеличивает капитальные затраты При расчете большой

длительности на проведения ГДИ обычно скважину не останавливают так как

эти исследования являются крайне затратными В таблице 202 указаны расчёты

при проведении исследования на горизонтальной скважине 5

63

Рис 101 Зависимость VOI от длительности ГДИ

Таблица 102 VOI при проведении ГДИ на скважине 5

Продолжительность ГДИ

EMV2 EMV

1 VOI

Целесообразность исследования

50 1603 1611 -078 - 100 1606 1611 -054 - 150 161 1611 -013 - 250 1612 1611 012 - 350 1611 1611 -006 - 500 1614 1611 024 +

Таблица 103 Ранжированный список скважин-кандидатов для проведения ГДИС

Скважина VOI (t=50) VOI (t=100) VOI (t=150) VOI (t=200) VOI (t=250) VOI (t=300)

3 005 024 087 016 -034 -078 1 003 015 036 073 -021 -064 4 002 012 024 054 -011 -057 2 001 009 011 031 042 -03

Модуль автоматически перебирает выбранный список скважин для

бурения проектной скважины и ранжирует их по ценности информации

проведенных исследований также предлагает наиболее оптимальное время

исследований исходя из экономических параметров (таблица 103)

Апробация и оптимизация инструмента оценки необходимости

проведения гидродинамического исследования проводится на одном из активно

-15

-1

-05

0

05

1

15

0 50 100 150 200 250 300 350

VO

I м

лнр

уб

Длительность ГДИ ч

VOI (Проведение ГДИ нецелесообразно)

VOI (Проведение ГДИ целесообразно)

64

разбуриваемых месторождений В данной работе проводилась аналитика для

бурения 10 проектных скважин По результатам моделирования ГДИ на

скважинах вблизи проектной была проведена оценка ценности информации от

запланированного исследования На рис102 представлена зависимость

определенного VOI от длительности ГДИ если график расположен выше нуля

(VOI gt 0) исследование экономически обосновано проводить Определив

экстремум функции определяется оптимальная длительность исследования

Приводя пример в рассчитанном кейсе для бурения скважины X наиболее

выгодно провести исследования в 3 скважине длительностью 150 часов

Рис 102 Зависимость VOI от длительности ГДИ в скважинах 1234

-1

-05

0

05

1

0 100 200 300 400

VO

I

Длительнось ГДИ

Скв 3 Скв 1 Скв 4 Скв 2

65

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

По результатам магистерской диссертации был реализован инструмент для

оптимального планирования гидродинамических исследований на этапе бурения

проектных скважин с помощью метода VOI

Предложенный в данной работе метод позволяет определить не только

необходимость проведения гидродинамического исследования но и выдать

рекомендации по оптимальной продолжительности исследования

Смоделировав исследования ГДИ на нескольких соседних от проектных

скважин инструмент позволяет ранжировать скважины ndash кандидаты для

гидродинамических исследования по величине ценности информации VOI

В процессе реализации предложенной методики работы было выполнено

следующее

1 Автоматический анализ данных по ранее проведенным

исследованиям определение геологической неопределенности

интересующих параметров (пластовое давление проницаемость) по

всему эксплуатационному фонду скважин на месторождении N

2 Модуль сплайн-интерполяция на языке программирования Python с

помощью которого интерполируются значения параметров

решается задача о нестационарном притоке к скважине с помощью

языка программирования VBA в котором учитываются результаты

моделирования синтетического ГДИ

3 Расчёт плановых показателей добычи на основе распределений Рпл

и kh до проведения исследования и после него в зависимости от

времени исследований

4 Экономический анализ эффективности проведения исследований на

основе методики VOI по результатам которого выполняется

ранжирование скважин по информативности исследований

66

По результатам расчёта на месторождении N выяснили что для бурения

скважины X наиболее эффективно останавливать на ГДИ скважину 3 с

длительностью исследования 150 часов

В заключении реализованный модуль позволяет оценить

целесообразность проведения ГДИ и самое важное экономическое обоснования

планируемых исследований

Возможности реализованного модуля

Автоматизированный анализ геологической неопределённостей по

фильтрационным-емкостным свойствам и пластовому давлению в

зоне планируемого бурения

Экономическое обоснование по проведению гидродинамических

исследований в зоне бурения проектных скважин

Определение оптимальной длительности ГДИС

Ранжирование скважин по информативности проведения

исследований

Экономическое обоснование затрат на ГДИС и последующими

решениями по оптимальному планированию ГДИС на основе

ценности информации

67

ОХРАНА ТРУДА

Преобладающее время по написанию выпускной квалификационной

работы проводилось за персональным компьютером

Согласно рекомендованной инструкцией по охране труда во время работы

на компьютере ТОИ Р-45-084-01 и также при его эксплуатации могут возникнуть

негативное влияние на работника следующие вредные производственные и

опасные факторы

повышенные уровень электромагнитного воздействия

высокая степень статического электричества

низкий уровень ионизации воздуха

нагрузки которые связанны с продолжительным временем сидячим

положением

повышенная нагрузка на органы зрения

болевые симптомы в позвоночнике и пояснице в связи

продолжительным сидячим положением а также венозная

недостаточность и стресс

Для рационального выбора организации рабочего процесса необходимо

минимизировать опасное воздействие на здоровье работающего а также

выполнить все требования эргономики и обезопасить свое рабочее место

Требования к минимизации нагрузки на органы зрения

Высокая нагрузка на органы зрения приводит к ухудшению зрения

возникновению близорукости и других заболеваний что также провоцирует

мигрень и головные боли повышается раздражительность нервное состояние

которое может привести к стрессу

Для избежание негативного воздействия на органы зрения необходимо

уделить особое внимание освещению как помещения так же и рабочих мест так

как степень освещенности напрямую зависит от интенсивности зрительного

напряжения Основное освещение следует размещать сплошными или

прерывистыми линиями светильников которые могут располагаться сбоку от

68

рабочих мест а также параллельно линии зрения рабочего при линейном

расположении мониторов компьютера Если же ПК расположены по всему

периметру помещения тогда линию светильников или ламп следует

расположить локализовано над каждым рабочим местом

Безопасная и рекомендуемая норма освещенности для работника в системе

освещения составляет mdash 150 minus 200 лк По правилам допускается расположение

ламп локального освещения Персональное освещение не должно

способствовать возникновению бликов на поверхности самого экрана а также

освещенность экрана не должна превышать 300 лк Безопасным считается

освещение рабочих мест люминесцентными лампами ЛБ белого света которые

должны использоваться в помещениях с нормальными условиями труда

Экран должен характеризоваться освещенностью не более 300 лк Яркость

ламп основного освещения в части зон углов излучения 50 minus 90∘ в продольной и

поперечной с вертикалью плоскостях может составлять менее 200кдм также

защитный угол светильников может составлять более 40∘

В виде источников света особенно при условии искусственного освещения

следует применять люминесцентные лампы ЛБ (белый свет) и ЛТБ (тепло-

белый) с характеристиками мощностью 40Вт или 80Вт обладающие высокой

световой отдачей (до 120лмВт и более) у которых продолжительный срок

службы (до 10000ч)

В лампах локального освещения допускается использование ламп

накаливания также галогенных Не допускается использование светильников без

рассеивателей и экранных решеток

Организация рабочего места в связи с активностью оператора

Сфера работы оператора ЭВМ характеризуется пониженной мышечной

активностью а также длительным напряжением мышц в статике особенно шеи

рук спины и ног что может привести к утомлению Состояние утомления

существенно возрастает особенно при неоптимальной высоте рабочего стола и

сидения у которого отсутствует опорная спинка или подлокотник а также

острых углах наклона головы нерациональным и неудобном размещении

69

видеотерминала документов и клавиатуры неудобном угле наклона

поверхности экрана отсутствии подставки для ног

Сиденье должно быть удобным и обеспечивать поддержание правильной

рабочей позы которое будет позволять изменять положение с целью

уменьшение напряжения мышц шейно-плечевой области Лучший способ - это

когда рабочее кресло оборудовано подъемно-поворотным которое регулируется

по высоте и по углам наклона спинки причем регулировка каждого параметра

должна быть независимой

Рабочее место работника следует обеспечить подставкой для ног (п 93 и

105 СанПиН 222241340-03) Поверхность подставки обязательно должна

быть рельефной и характеризоваться высотой переднего края 10 мм

Требования пожаробезопасности

Согласно ГОСТ 121004-91 следует помнить о существующих мерах

предосторожности и опасных факторах огонь пламя и дым также высокая

температура токсичные продукты горения и их термическое разложение

сниженная концентрация кислорода Противопожарную защиту обеспечивают

следующими мерами

Использование средств пожаротушения наличие сигнализации и

устройств тушения в помещениях которые способны ограничивать

распространение пожара наличие специальных средств индивидуальной

защиты

Противопожарные перегородки и отсеки устройства автоматического

отключения систем

Специальная планировка эвакуационных выходов

Системы оповещения людей по громкоговорителю

Технические средства для эвакуации людей

Присутствие огнетушащих веществ

70

Система вентиляции здания должна содержать оборудования и устройства

которые обеспечивают автоматическое отключение при пожаре и

огнедымозадерживающими устройствами Система электропитания

персонального компьютера должна иметь блокировку которая отключает его в

случае пожара

71

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1 Байков ВА Бакиров НК Яковлев АА Математическая геология

учебное пособие ndash Москва-Ижевск 2012 ndash 228с

2 Гуляев Д Н Кокурина В В Кременецкий М И и др Формирование

системы промыслового мониторинга на основе долговременных иссле-

дований стационарными датчиками на приеме насоса Нефтяное хозяй-

ствоraquo 12 2009 С 41ndash44

3 Демьянов В В Савельева Е А Геостатистика теория и практика

учебное пособие ndash Москва 2010 ndash 327с

4 Каневский МФ Демьянов ВВ Савельева ЕА и др Элементарное

введение в геостатистику Москва ВИНИТИ 1999 ndash 136с

5 Каневская Р Д Математическое моделирование разработки месторож-

дений нефти и газа с применением гидравлического разрыва пласта М

Недра-Бизнесцентр 1999 ndash 212 с

6 Кременецкий М И Ипатов А И Гуляев ДН Информационное

обеспечение и технологии гидродинамического моделирования нефтяных

и газовых залежей [Книга] - Москва-Ижевск Ижевский институт

компьютерных исследований 2011 ndash 896с

7 Леонтьев Н Е Основы теории фильтрации [Книга] - Москва ЦПИ при

механико-математическом факультете МГУ 2009 ndash 88с

8 Ортега Дж Введение в параллельные и векторные методы решения

линейных систем [Книга] - Москва Мир 1991 ndash245с

9 Abramowitz M IA Stegun Handbook of Mathematical Functions [Книга] -

New York Dover Publications Inc ndash 1972

10 Churchill RV Operational Mathematics [Книга] - New York McGraw-Hill

Book Co Inc ndash 1972

11 Gringarten AC and Ramey HJ The Use of Source and Greenrsquos Functions in

72

SolvingUnsteady-Flow Problems in Reservoirs [Книга] - SPEJ 1973 ndash245с

12 Houzeacute O Viturat D Fjaere O-S Dynamic data analysis [Книга] - Kappa

2008

13 Joshi SD Horizontal Well Technolog [Книга] - Tulsa Oklahoma Penwell

Published Compan 1991

14 Stehfest H NumericalInversionof LaplaceTransforms [Книга] -

Communicationsofthe ACM 1970

15 The Society of Petroleum Engineers Введение в нефтяной инжиниринг

[Книга] - Москва-Ижевск Институт компьютерных исследований 2014

16 Van Everdingen AF and HurstW W The Application of the Laplace

Transformation to Flow Problems in Reservoirs [Книга] - AIME 1953

17 Stehfest H NumericalInversionof LaplaceTransforms

Communicationsofthe ACM 1970

18 Gringarten AC and Ramey HJ The Use of Source and Greenrsquos Functions in

SolvingUnsteady-Flow Problems in Reservoirs бм SPEJ 1973

19 Jan R Williams Susan F Haka Mark S Bettner Joseph V Carcello

Financial amp Managerial Accounting 2008