66

Г л а в а 3

НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ И МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА

3.1. Число и вектор Фробениуса Число и вектор Фробениуса используются в балансовых эко-

номических моделях и, в частности, в модели международной тор-говли. Так, равновесный вектор национального дохода в модели международной торговли является вектором Фробениуса структур-ной матрицы международного обмена. Кроме того, один из крите-риев продуктивности матрицы формулируется в терминах числа Фробениуса.

Квадратная матрица A называется неотрицательной: 0,A ≥ ес-ли ее элементы неотрицательны. Если все элементы матрицы A по-ложительны, то она называется положительной, 0.A > Вектор xr называется положительным (неотрицательным), если все его ком-поненты 0ix > (соответственно, 0ix ≥ ).

Теорема Фробениуса−Перрона. Для любой неотрицатель-ной матрицы 0A ≥ существует собственное значение 0Aλ ≥ (называемое числом Фробениуса) такое, что Aλ λ≥ для лю-бого собственного значения λ матрицы .A Кроме того, су-ществует неотрицательный собственный вектор 0,Ax ≥

r со-ответствующий собственному значению Aλ и называемый вектором Фробениуса. Причем, если 0,A > то 0Aλ > и

0.Ax >r

Примеры

1. Найти число Aλ и вектор Axr Фробениуса матрицы 2 3

.3 2

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

67

Р е ш е н и е . Матрица A имеет два собственных значения: число Фробениу-

са 5,Aλ = которому соответствует собственный вектор ( )1,1 TAx t=r

(он является вектором Фробениуса для t > 0) и собственное значе-ние 2 1λ = − с собственным вектором ( )1,1 Tx t= −

r (t ≠ 0). Очевидно, что выполняется неравенство 2 .Aλ λ>

2. Пусть 0x >r − собственный вектор матрицы 0.A ≥ Доказать, что вектор xr является вектором Фробениуса.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Поскольку матрицы A и TA неотрица-тельны и имеют одни и те же собственные значения, то Aλ число Фробениуса для .TA Пусть Apr − вектор Фробениуса матрицы ,TA т.е. T

A A AA p pλ=r r или .T TA A Ap A pλ=r r Вектор Apr называется левым век-

тором Фробениуса матрицы .A По условию 0x >r и .Ax xα=r r Умножим это равенство слева на

вектор .TApr Учитывая, что ,T T

A A Ap A pλ=r r имеем T TA A Ap Ax p xλ=r r r r или

.T TA A Ap x p xα λ=r r r r Поскольку 0T

Ap x >r r (хотя бы одно из неотрицатель-ных слагаемых в сумме T

Ap xr r положительно), то .Aλ α= А это и означает, что xr есть вектор Фробениуса.

3. Известно, что сумма элементов любой строки (любого столбца) положительной матрицы A равна .α Найти число Фробе-ниуса матрицы A.

Р е ш е н и е . Пусть сумма элементов любой строки матрицы A равна .α Это

можно записать в виде матричного равенства

11 1

1

1 1.

1 1

n

n nn

a a

a a

αα

α

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

K

K K K K K K

K

Следовательно, положительный вектор ( )1, ,1K является соб- ственным вектором матрицы A, принадлежащей собственному зна-чению .α Поэтому оно является числом Фробениуса матрицы A.

68

Упражнения

95. Проверьте, что вектор ( )1; 2; 3 T является собственным для мат-

рицы 0 1 12 1 2 .6 0 3

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Найдите ее число Фробениуса ,Aλ вектор

Фробениуса .Axr

96. Для данной матрицы A найдите число Фробениуса Aλ :

а) 1 2 47 0 0 ;2 2 3

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

б) 2 1 11 4 1 ;2 0 3

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

в) 1 3 03 1 0 .0 0 9

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

97. Найдите число и вектор Фробениуса данной матрицы:

а) 3 1 00 3 1 ;0 0 3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

б) 1 1 01 1 0 ;0 0 0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

в) 2 4 00 1 0 ;2 3 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

г) 2 4 00 1 4 .2 3 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

3.2. Балансовые модели Леонтьева и продуктивность

Балансовые модели и продуктивные матрицы давно и прочно вошли в общепризнанный традиционный инструментарий эконо-мического моделирования. Модель Леонтьева позволяет рассчиты-вать объемы валового выпуска по объему конечного потребления и наоборот. Понятия продуктивности и ее запаса позволяют оцени-вать границы производственных возможностей сложившихся или планируемых технологий. Модель равновесных цен позволяет, зная величины норм добавленной стоимости, прогнозировать цены на

69

продукцию отраслей. Она также позволяет прогнозировать измене-ние цен и инфляцию, являющиеся следствием изменения цены в отдельных отраслях.

Основные сведения Балансовый анализ отвечает на следующий макроэкономиче-

ский вопрос: каким должен быть валовой объем производства каж-дой из n отраслей, чтобы удовлетворить все потребности в выпус-каемом продукте.

Пусть весь производственный сектор разбит на n отраслей, ка-ждая из которых производит однородный продукт. Рассмотрим матрицу Леонтьева

( ) ,ijA a=

где ijij

j

xa

x= − стоимость продукции отрасли ,i затрачиваемой на

производство 1 руб. продукции отрасли ,j ijx − объем продукции отрасли ,i используемой в отрасли ,j jx − валовой выпуск отрасли

.j Обозначим

( )1 2, , , Tnx x x x=

rK − вектор валового выпуска всех отраслей,

( )1 2, , , Tnd d d d=

rK − вектор конечного потребления.

Тогда уравнения межотраслевого баланса (уравнение Леонтье-ва) в матричной форме имеют вид:

.x Ax d= +rr r

Зная матрицу Леонтьева A и объемы конечного потребления ,dr

найдем планируемые объемы валового выпуска xr всех отраслей народного хозяйства. Если матрица ( )E A− невырождена, то из уравнения межотраслевого баланса получим

( ) 1 .x E A d−= −rr

Матрица ( ) 1H E A −= − называется матрицей коэффициентов полных затрат. Таким образом, основной результат балансового анализа можно представить в виде матричного равенства:

,x Hd=rr

где dr

− вектор конечного потребления, xr − вектор валового выпуска.

70

Двойственной к модели Леонтьева является модель равновес-ных цен, описываемая равенством

T ,p A p v= +ur ur r

где ( )T1,…, np p p= −

urвектор цен ( ip −цена единицы продукции i -ой

отрасли), ( )T1,…, nv v v= −

rвектор норм добавленной стоимости.

Матрица 0A ≥ называется продуктивной, если для любого век-тора 0y ≥r существует решение 0x ≥r уравнения Леонтьева

.x Ax y= +r r r

Уравнение Леонтьева можно записать следующим образом: ( ) ,E A x y− =

r r

где E – единичная матрица. Если матрица ( ) 1E A −− существует, то

( ) 1 .x E A y−= −r r

Первый критерий продуктивности. Матрица 0A ≥ продук-тивна тогда и только тогда, когда матрица ( ) 1E A −− существует и неотрицательна.

Второй критерий продуктивности. Неотрицательная квад-ратная матрица A продуктивна тогда и только тогда, когда ее число Фробениуса меньше единицы.

Следствие. Если для неотрицательной матрицы A и некото-рого положительного вектора y∗r уравнение *x Ax y= +

r r r имеет не-отрицательное решение ,x∗r то матрица A продуктивна.

Пусть 0A ≥ – продуктивная матрица. Запасом продуктивности матрицы A назовем такое число 0,α > что все матрицы ,Aλ где 1 1 ,λ α< < + продуктивны, а матрица ( )1 Aα+ непродуктивна.

Примеры

1. Пусть в двухотраслевой модели дана матрица Леонтьева 0,05 0,400,15 0,10

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

и вектор конечного потребления ( )75; 30 .Td =r

а) Найти соответствующие объемы валового выпуска каждой

отрасли.

71

б) Пусть надо удвоить выпуск конечного продукта первой от-расли. На сколько процентов должны измениться объемы валового выпуска каждой отрасли?

Р е ш е н и е . а) Находим последовательно

0,95 0,40,

0,15 0,90E A

−⎛ ⎞− = ⎜ ⎟−⎝ ⎠

( ) 1 0,90 0,401 .0,15 0,950,795

H E A − ⎛ ⎞= − = ⎜ ⎟

⎝ ⎠ Вектор валового выпуска находится по формуле:

0,90 0,40 75 1001 .0,15 0,95 30 500,795

x Hd ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

rr

Таким образом, валовой выпуск первой отрасли равен 100, вто-

рой − 50. б) Решение в этом случае отличается лишь тем, что изменяется

вектор ( )150; 30 .Td =

r

Поэтому 0,90 0,40 150 184,91 .0,15 0,95 30 64,20,795

x Hd ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

rr

Таким образом, объем валового выпуска первой отрасли дол-

жен увеличиться примерно на 85%, второй отрасли − на 28,4%. 2. В трехотраслевой балансовой модели дана матрица Ле-

онтьева 0,1 0,1 0,20,3 0,2 0,20,2 0,3 0,2

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

и вектор норм добавленной стоимости по каждой отрасли ( )4;10; 4 .v =r а) Найти равновесные цены; б) Пусть произошло увеличение нормы добавленной стоимо-

сти первой отрасли на 1,11. На сколько процентов возрастут равновесные цены каждой отрасли?

72

Р е ш е н и е . а) Для нахождения равновесных цен воспользуемся формулой

,Tp H v=r r

где H − матрица полных затрат. Находим

( )

1

10,9 0,1 0, 20,3 0,8 0, 20, 2 0,3 0,8

0,58 0, 28 0, 251 0,14 0,68 0, 29 .

0, 4440,18 0, 24 0,69

H E A

−

−

− −⎛ ⎞⎜ ⎟= − = − − =⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Поэтому 0,58 0,14 0,18 4 10

1 0,28 0,68 0,24 10 20 .0,444

0,25 0,29 0,69 4 15p

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

r

б) Изменив вектор нормы добавленной стоимости, находим равновесные цены в этом случае

0,58 0,14 0,18 5,11 11,451 0,28 0,68 0,24 10 20,7 .

0,4440,25 0,29 0,69 4 15,625

p⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

r

Таким образом, продукция первой отрасли подорожала на 14,5%, второй − на 3,5%, третьей − на 4,17%. Нетрудно также, зная объемы выпуска каждой отрасли, подсчитать инфляцию, вызван-ную этим повышением цен.

3. Исследовать на продуктивность матрицу 0,2 0,6

.0,9 0,3

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Р е ш е н и е . Имеем:

0,8 0,6.

0,9 0,7E A

−⎛ ⎞− = ⎜ ⎟−⎝ ⎠

73

( ) 1 0,7 0,6 35 301 .0,9 0,8 45 400,02

E A − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Эта матрица неотрицательна, следовательно, A продуктивна

ввиду первого критерия продуктивности.

4. Показать продуктивность матрицы 0,1 0 0,60,2 0,7 0 .0,4 0,2 0,3

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Р е ш е н и е . Сумма элементов каждого столбца меньше единицы, значит, 1.Aλ < Значит, A продуктивна ввиду второго критерия продуктив-

ности. 5. Выяснить, при каких значениях 0a > матрица

1 2 02 1 07 6 9

À a⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

будет продуктивной. Является ли матрица A продуктивной при 0,1?a = Р е ш е н и е . Характеристический многочлен матрицы A будет

2 02 07 6 9

a aA E a a

a a a

λλ λ

λ

−− = − =

−

( ) ( )( ) ( )( )2 2 2 29 4 9 2 3 ,a a a a a aλ λ λ λ λ= − − − = − − −

а характеристическое уравнение: ( )( )2 29 2 3 0.a a aλ λ λ− − − = Корни этого уравнения (собственные значения):

1 2 39 , 3 , .a a aλ λ λ= = = − Для продуктивности матрицы ,A согласно второму критерию,

необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие 9 1,a < т.е.

74

1 .9

a < Например, при 110

a = получим продуктивную матрицу

0,1 0,2 00,2 0,1 0 .0,7 0,6 0,9

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

6. Доказать, что запас продуктивности α матрицы A можно найти по формуле 1 1.Aα λ−= −

Р е ш е н и е . Если 0,μ > то ,A Aμλ μλ= поскольку ( ) ( )Spec Spec .A Aμ μ= ⋅

Тогда для 1 1Aα λ−= − имеем ( ) ( ) 11 1 1,A A AAαλ α λ λ λ−+ = + = = т.е. мат-

рица ( )1 Aα+ непродуктивна. Если 1 ,λ α< + то матрица Aλ про-дуктивна.

7. Найти запас продуктивности матрицы 0,2 0,6

.0,9 0,3

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Р е ш е н и е . Найдем собственные значения матрицы 10A , которые являются

корнями ее характеристического многочлена 2 5 48 :λ λ− −

1,25 217

2±

=λ . Значит,

5 217 0,9865520A

±= =λ и 1 1 1,0136.

0,98655A− = =λ

Тогда на основании предыдущей задачи

220 1 1,3637 10 0,0014.5 217

−= − = × ≈+

α

Запас продуктивности матрицы A равен 0,015. Мы видим, что матрица A находится где-то «на пределе» продуктивности.

75

Упражнения

98. Дана балансовая таблица в двухотраслевой модели

Потребители Производители

I II Потребление Валовой

выпуск

I 15 60 25 100 II 25 5 20 50

Постройте структурную матрицу и рассчитать валовой выпуск на новый вариант потребления: ( )20, 25 .d =

r

99. Предположим, что в предыдущей задаче мы хотим оценить загрязнение окружающей среды с помощью введения отрасли III, «выпуск» которой состоит в производстве загрязняющих веществ (на единицу объема выпуска каждой отрасли) соглас-но следующей таблице

Потребители Производители

I II Потребление Валовой

выпуск

I 5 60 35 100 II 25 5 20 50 III 50 10 – 60

Рассчитайте выпуск загрязняющих веществ, соответствующий варианту потребления ( )45,15 .d =

r

100. Приведите пример продуктивной матрицы A, для которой од-на из отраслей нерентабельна.

101. В двухотраслевой модели дана матрица Леонтьева A и вектор

конечного потребления :dr

0,4 0,2

,0,3 0,15

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

( )90; 45 .Td =r

а) Найдите соответствующие объемы валового выпуска каж-дой отрасли.

б) Пусть надо удвоить выпуск конечного продукта второй отрасли. На сколько процентов должны измениться объе-мы валового выпуска каждой отрасли?

76

102. Для трехотраслевой балансовой модели дана матрица Леонть-ева A и вектор норм добавленной стоимости по каждой от-

расли :vr 0,2 0,1 0,20,1 0,3 0,2 ,0,2 0,2 0,3

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

( )10; 2; 6 .v =r

а) Найдите равновесные цены. б) Пусть произошло увеличение нормы добавленной стоимо-

сти первой отрасли на 1,1. На сколько процентов возрастут равновесные цены каждой отрасли?

103. Используя первый критерий продуктивности матрицы, иссле-дуйте на продуктивность матрицу :A

а) 0,5 0,6

;0,4 0,5

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

б) 0,5 0,2 0,30,3 0,5 0,2 ;0,2 0,4 0,5

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

в) 0,3 0,5 0,10,5 0,2 0,3 .0,2 0,4 0,5

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

104. Используя второй критерий продуктивности, установите про-дуктивность матрицы :A

а) 0,1 0 0,50,3 0,8 0,2 ;0,5 0,1 0,2

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

б) 0,1 0,3 0,50,3 0,4 0,2 .0,7 0,1 0,1

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

105. Выясните, при каких значениях 0a > матрица A продуктив-на:

1 2 43 2 5 ?0 0 6

A a⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

106. Найдите с точностью до 10-4 запас продуктивности α матри-цы :A

а) 0,5 0,6

;0,4 0,5

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

б) 0,1 0,2

.0,2 0,1

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

77

Г л а в а 4

РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ

4.1. Разностные уравнения Основная область применения разностных уравнений – при-

ближенное решение дифференциальных уравнений. Кроме того, их можно использовать для нахождения общего члена последователь-ности, заданной рекуррентным соотношением.

Основные понятия Уравнение вида

1( ; ; ;...; ) 0,n n n kF n x x x+ + = где k – фиксированное, а n – произвольное натуральные числа,

1; ;...;n n n kx x x+ + − члены некоторой неизвестной числовой последова-тельности, называется разностным уравнением порядка k .

Решить разностное уравнение означает найти все последова-тельности( )nx , удовлетворяющие этому уравнению.

Общим решением разностного уравнения k -го порядка называ-ется его решение 1 2( , , ,..., ),n kx n C C Cϕ= зависящее от k независи-мых произвольных постоянных 1 2, , , kC C CK . Количество k посто-янных равно порядку разностного уравнения, а независимость означает, что ни одно из постоянных нельзя выразить через другие.

Если в общем решении разностного уравнения произвольным постоянным придать конкретные числовые значения, то полученное решение называется частным решением разностного уравнения.

Рассмотрим линейное разностное уравнение порядка k с по-стоянными коэффициентами:

1 1 1 1 0... ,k n k k n k n n na x a x a x a x f+ − + − ++ + + + = (1)

где ( )0R 0, 0i ka a a∈ ≠ ≠ и { }nf −заданные числа и последователь-ность.

78

Составим соответствующее однородное уравнение:

1 1 1 1 0... 0.k n k k n k n na x a x a x a x+ − + − ++ + + + = (2)

Теорема 1 (об общем решении неоднородного уравнения). Общее решение nx линейного неоднородного разностного уравнения является суммой частного решения *

nx этого урав-нения и общего решения nx соответствующего ему однород-ного уравнения.

Теорема 2 (об общем решении однородного уравнения). Пусть 1 , , k

n nx x −K система, состоящая из k линейно независи-мых решений линейного однородного разностного уравнения. Тогда общее решение этого уравнения задается формулой:

11 .k

n n k nx C x C x= + +K

Множество решений линейного однородного разностного уравнения k-го порядка образует k-мерное линейное пространство, а любой набор 1 , , k

n nx xK из k линейно независимых решений (назы-ваемый фундаментальным набором) является его базисом. Призна-ком линейной независимости решений 1 , , k

n nx xK однородного урав-нения является неравенство нулю определителя Казоратти

(1) (2) ( )

(1) (2) ( )1 1 1

(1) (2) ( )

.

kn n n

kn n n

kn k n k n k

x x xx x x

x x x

+ + +

+ + +

Δ =

L

L

M M O M

L

Однородному уравнению (2) соответствует характеристиче-ское уравнение

11 1 0... 0.k k

k ka a a aλ λ λ−−+ + + + = (3)

Общее решение однородного разностного уравнения является, как правило, линейной комбинацией геометрических прогрессий, связанных с корнями характеристического уравнения.

Продемонстрируем сказанное на примере уравнения 2-го по-рядка

2 1 0,n n nax bx cx+ ++ + = 0, 0.a c≠ ≠ (4)

79

Составим характеристическое уравнение: 2 0.a b cλ λ+ + = (5)

Возможны три случая. 1. 2 4 0D b ac= − > , тогда уравнение (5) имеет пару различных

действительных корней 1 2,λ λ . В этом случае общее решение урав-нения (4) записывается в виде: 1 1 2 2

n nnx C Cλ λ= + .

2. 2 4 0D b ac= − = , тогда уравнение (5) имеет один действи-тельный двукратный кореньλ . В этом случае общее решение урав-нения (4) записывается в виде: ( )1 2 1 2

n n nnx C C n C C nλ λ λ= + = + .

3. 2 4 0D b ac= − < , тогда уравнение (5) имеет пару комплексно сопряженных корней 1,2 a ibλ = ± . Представим эти корни в тригоно-

метрической форме ( )1,2 cos sinr iλ ϕ ϕ= ± ⋅ , где 2 2r a b= + – мо-дуль, ϕ – аргумент. В этом случае общее решение уравнения (4) за-писывается в виде

( )1 2cos( ) sin( ) .nnx r C n C nϕ ϕ= +

Чтобы найти частное решение неоднородного линейного раз-ностного уравнения, используется метод неопределенных коэффи-циентов, основанный на поиске решения, «похожего» по виду на неоднородность nf из правой части уравнения (1). Более точно, справедлива следующая

Теорема (о частном решении). Если неоднородность разностного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид fn = ρn(pncosnϕ + qn sinnϕ), где pn, qn – многочлены степени ≤ d, то существует частное реше-ние xn

* = nm⋅ρn(rncosnϕ + snsinnϕ), где rn, sn – многочлены сте-пени ≤ d, а m – кратность корня ρ (cosϕ + isinϕ) характе- ристического уравнения.

Примеры 1. Решить линейное однородное разностное уравнение: а) 2 14 5 0;n n nx x x+ ++ − = б) 2 12 4 0;n n nx x x+ +− + = в) 2 16 0.n n nx x x+ ++ + =

80

Р е ш е н и е . а ) Характеристическое уравнение 2 4 5 0λ λ+ − = имеет кор-

ни: 1 21, 5λ λ= = − . Поэтому общее решение исходного уравнения имеет вид 1 2 ( 5) .n

nx C C= + − б) Характеристическое уравнение 2 2 4 0λ λ− + = имеет два

комплексно сопряженных корня 1 1 3iλ = + и 2 1 3iλ = − , которые

могут быть записаны в виде 1 2 cos sin3 3

iπ πλ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

,

2 2 cos sin3 3

iπ πλ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

, следовательно, общее решение имеет вид

1 22 cos sin .3 3

nn

n nx C Cπ π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

в) Характеристическое уравнение 2 6 9 0λ λ+ + = имеет един-ственный действительный корень 3λ = − . Следовательно, общим решением исходного уравнения является 1 2( 3) ( ).n

nx C nC= − +

2. Найти частное решение разностного уравнения:

( )22 12 3 5 ( 1) 4 .n

n n nx x x π π+ +− − = − − ⋅

Р е ш е н и е . Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:

* .nnx A π= ⋅ Постоянную A находим подстановкой в заданное урав-

нение: ( ) ( )2 22 3 5 ( 1) 4 ,n nA π π π π π− − ⋅ = − − ⋅

( ) ( )2 2( 1) 4 5 ( 1) 4 ,A π π− − = − − 5.A =

Следовательно, * 5 nnx π= ⋅ −частное решение исходного уравнения.

3. Решить линейное неоднородное разностное уравнение: а) 2 12 3 64 5 ;n

n n nx x x+ ++ − = ⋅ б) 2 18 64 49 3 ;n

n n nx x x+ +− + = ⋅ в) 2 18 16 9 3.n n nx x x n+ +− + = + Р е ш е н и е . а) Будем искать частное решение в виде * 5 .n

nx A= ⋅ Подставляя это выражение в наше уравнение, получим A(25 + 10 – 3)5n = 64⋅5n. Следовательно, A = 2, а значит, * 2 5 .n

nx = ⋅

81

Решая характеристическое уравнение λ2 +2λ − 3 = 0, находим λ1 = 1, λ2 = −3. Таким образом, общее решение уравнения имеет вид:

xn = 2⋅5n + С1 + С2(−3)n. б) Характеристическое уравнение 2 8 64 0λ λ− + = имеет корни

1 4 4 3iλ = + = 8 cos sin3 3

iπ π⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

, 2 4 4 3 8 cos sin3 3

i iπ πλ ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Значит, общее решение nx однородного уравнения записывается

так: 1 28 cos sin .3 3

nn

n nx C Cπ π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

Частное решение неоднородного

уравнения будем искать в виде * 3 .nnx A= ⋅ Постоянную A находим

подстановкой в исходное уравнение 9 8 3 64 49A A A− ⋅ + = , 1A = . Частное решение имеет вид * 3 .n

nx = Таким образом, получаем об-щее решение исходного уравнения:

1 28 cos sin 3 .3 3

n nn

n nx C Cπ π⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

в) Характеристическое уравнение 2 8 16 0λ λ− + = имеет корни 1 2 4λ λ= = . Значит, общее решение соответствующего однородного

уравнения 2 18 16 0n n nx x x+ +− + = записывается в виде

1 24 4 .n nnx C C n= + ⋅ Частное решение неоднородного уравнения бу-

дем искать в виде * .nx An B= + Постоянные A и B находим подста-новкой в заданное уравнение:

( )9 6 9 9 3An A B n+ − + = + , 9 9

6 9 3A

A B=⎧

⎨− + =⎩,

11

AB=⎧

⎨ =⎩.

Частное решение имеет вид * 1.nx n= + Таким образом, получа-ем общее решение исходного уравнения 1 24 4 1.n n

nx C C n n= + ⋅ + +

Упражнения

107. Решите линейное однородное разностное уравнение: а) 2 12 3 0;n n nx x x+ ++ − = б) 2 19 6 0;n n nx x x+ ++ + = в) 2 16 13 0.n n nx x x+ +− + =

82

108. Найдите частное решение уравнения: а) 2 17 10 18 3 ;n

n n nx x x+ +− + = ⋅ б) 12 1 6 2 ;n

n n nx x x ++ +− − =

в) 2 14 4 5;n n nx x x+ +− + = г) 2 12 3 4 .nn n nx x x π −+ +− − = ⋅

109. Признак арифметической прогрессии. Проверьте, что реше-

нием задачи Коши 2 1

1 2

2,

n n nx x xx a x a d

+ ++ =⎧⎨ = = +⎩

является арифметическая

прогрессия ( )1 , 1,2,...nx a d n n= + − = 110. Признак геометрической прогрессии. Проверьте, что решени-

ем задачи Коши 2

2 1

1 2,n n nx x x

x b x bq+ +⎧ ⋅ =

⎨= =⎩

для положительных чисел

,b q является геометрическая прогрессия 1, 1,2,...nnx a q n−= ⋅ =

111. Докажите, что задача Коши ( )2 1, ,n n nx f x x+ += где ( ),f x y – заданная функция, 1 1 2 2,x a x a= = (начальные условия) имеет единственное решение.

112. Числа Фибоначчи. Найдите общий член последовательности

2 1 1 2, 1.n n nx x x x x+ += + = = 113. Докажите, что если (1)

nx и (2)nx − решения линейного неодно-

родного разностного уравнения (1), то их разность (1) (2)n nx x−

является решением соответствующего однородного уравнения (2).

114. Докажите, что если определитель Казоратти двух последова-тельностей (1)

nx и (2)nx отличен от 0, то они линейно независимы.

4.2. Модели экономической динамики с дискретным временем

На разностных уравнениях базируются некоторые модели эко-номической динамики с дискретным временем: модель Самуэльсо-на-Хикса, паутинная модель рынка, задача об определении текущей стоимости купонной облигации.

Модель Самуэльсона–Хикса Модель делового цикла Самуэльсона-Хикса предполагает пря-

мую пропорциональность объемов инвестирования приросту на-ционального дохода (принцип акселерации), т.е.

83

( )1 2 ,t t tI V X X− −= −

где коэффициент 0V > − фактор акселерации, tI − величина инве-стиций в период t, 1 2, t tX X− − −величины национального дохода со-ответственно в ( 1)t − -ом и ( 2)t − -ом периодах. Предполагается так-же, что спрос на данном этапе tC зависит от величины националь-ного дохода на предыдущем этапе 1tX − линейным образом

1 .t tC aX b−= + Условие равенства спроса и предложения имеет вид .t t tX I C= + Тогда приходим к уравнению Хикса

( ) 1 2 .t t tX a V X VX b− −= + − +

Стационарная последовательность *tX c const= = является ре-

шением уравнения Хикса только при 1(1 ) ;c b a −= − множитель

( ) 11 a −− называется мультипликатором Кейнса (одномерный ана-лог матрицы полных затрат).

Пример 1. Рассмотреть уравнение Хикса при условии, что 1 ; 52

a V b= = = . Какова динамика роста национального дохода?

Р е ш е н и е .

Уравнение принимает вид: 1 21 52t t tX X X− −− + = . Его частным

решением будет стационарное решение *12

5 10.1tX = =−

Корни ха-

рактеристического уравнения 2 1 02

− + =λ λ равны

1,21 1 cos sin

2 4 42i iπ πλ ± ⎛ ⎞= = ±⎜ ⎟

⎝ ⎠. Таким образом, общим решением

соответствующего однородного уравнения является

1 cos sin1 24 42t

t t tX Ñ Ñπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠. Следовательно, общим решени-

ем уравнения будет 110 cos sin .1 24 42t

t t tX Ñ Ñπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ Значит,

динамика роста носит колебательный характер с убывающей ам-плитудой.

84

Упражнения

115. Проверьте, что если стационарная последовательность *tX c=

является решением уравнения Хикса, то 1(1 ) .c b a −= −

116. Найдите национальный доход tX и мультипликатор Кейнса

( ) 11 a −− для модели Самуэльсона-Хикса при данных значени-ях параметров , , :a V b a) a = 0,5; V = 0,5; b = 8; б) a = 0,11; V = 0,89; b = 8,9; в) a = 0,75; V = 0,25; b = 4.

117. Исследуйте уравнение Хикса при 1 , 0.2

a b= = В зависимости

от фактора акселерации V опишите возможные типы динамики: а) 0,01;V = б) 1;V = в) 3.V =

Паутинная модель рынка Рассмотрим паутинную модель рынка. При этом предположим,

что спрос и предложение задаются линейными функциями, но при этом спрос зависит от цены в данный момент времени, а предложе-ние зависит от цены на предыдущем этапе, т.е.

t td a bp= − (функция спроса),

1t ts m np −= + (функция предложения),

где a, b, m, n − положительные действительные числа. Таким обра-зом, считая t ts d= , получаем линейное разностное уравнение

1t ta bp m np −− = + первого порядка с постоянными коэффициентами.

Пример 2. Найти последовательность цен pt в паутинной моде-ли рынка 1t ta bp m np −− = + при a = 11; b = 5; m = 2; n = 4; укажите равновесное состояние паутинной модели рынка, т.е. стационарное решение *

tp p const= = уравнения и опишите динамику цен. Р е ш е н и е . Уравнение принимает вид 11 – 5pt = 2 + 4 pt–1. Его частным ре-

шением будет стационарное решение * 1.p = Корень характеристи-ческого уравнения 4λ + 5 = 0 равен λ = –0,8. Таким образом, общим решением соответствующего однородного уравнения является pt = C(–0,8)t. Следовательно, общим решением уравнения будет

85

pt = C(–0,8)t +1. Значит, последовательность ( )tp приближается к равновесному состоянию * 1.p =

Упражнения

118. Найдите равновесное состояние паутинной модели рынка, т.е. стационарное решение *

tp p const= = уравнения 1t ta bp m np −− = + .

119. Найдите последовательность цен pt в паутинной модели рынка 1t ta bp m np −− = + при следующих значениях параметров

, , , :a b m n a) a = 5; b = 0,8; m = 1; n = 1,2; б) a = 10; b = 5; m = 1; n = 4; в) a = 13; b = 2; m = 1; n = 2.

120. Найдите общее решение уравнения 19 2 4 3t tp p −− = + и опи-шите динамику цен.

Задача об определении текущей стоимости купонной облигации Пусть F – номинальная стоимость купонной облигации (т.е.

денежная сумма, выплачиваемая эмитентом в момент погашения, совпадающего с концом последнего купонного периода), К – вели-чина купона (т.е. денежная сумма, выплачиваемая в конце каждого купонного периода), nX − текущая стоимость облигации в конце n-го купонного периода, k – число купонных периодов (лет, кварта-лов, месяцев, если купон, т.е. оговоренный процентный доход по облигации выплачивается регулярно в конце каждого года, или квартала, или месяца соответственно) на которое выпускается об-лигация. Пусть также r – процентная ставка за один купонный пе-риод, выраженная в частях (предполагается, что она неизменна в течение всего срока обращения облигации). Вышеперечисленные величины связаны между собой следующими соотношениями, представляющими собой задачу Коши:

( )1 1 ,.

n n

k

X K r XX F

+ + = +⎧⎨

=⎩

86

Пример 3. Найти текущую стоимость nX купонной облигации при F = 8; К = 0,75; k = 5; r = 0,25 и определить ее динамику.

Р е ш е н и е . Уравнение принимает вид Xn+1 + 0,75 = 1,25 Xn. Его частным

решением будет стационарное решение p* = K/r = 3 – текущая стоимость бесконечной ренты. Корень характеристического урав-нения λ – 1,25 = 0 равен λ = 1,25. Таким образом, общим решением соответствующего однородного уравнения является Xn = C(1,25)n. Следовательно, общим решением уравнения будет Xn = C(1,25)n + 3. Значит, последовательность Xn будет возрастающей, т.к. номиналь-ная стоимость облигации выше стоимости бесконечной ренты.

Упражнения

121. а) Найдите равновесное решение *tX p const= = задачи

Коши ( )1 1 ,.

n n

k

X K r XX F

+ + = +⎧⎨

=⎩

б) Проверьте, что значение p∗ совпадает с суммой, которую необходимо уплатить в настоящий момент, чтобы в течение бесконечно длительного времени получать сумму K через каждый промежуток времени t при процентной ставке r.

122. Найдите текущую стоимость nX купонной облигации при следующих значениях параметров , , ,F K k r (F – номинальная стоимость купонной облигации, К – величина купона, k – чис-ло купонных периодов, r – процентная ставка за один купон-ный период, выраженная в частях): a) F = 8; К = 0,75; k = 5; r = 0,25; б) F = 5; К = 0,8; k = 3; r = 0,2.

123. Решите задачу Коши ( )1 1n n

k

X K r XX F

+ + = +⎧⎨

=⎩, связанную с опре-

делением текущей стоимости nX купонной облигации. При каких условиях последовательность ( )nX является возрас-тающей?