Десятый международный научный семинар "Дискретная математика и ее приложения"

Мехмат МГУ, 4 февраля, 2010 г.

Новый правильный многогранник

Сергей Александрович Лавренченко(С. А. Л.)

lawrencenko.ru

L. Carroll, The mathematical recreations of Lewis Carroll: pillow problems and tangled tale (4 ed.), Mineola: Dover, 2003.

Еще в XIX-м веке Льюис Кэрролл писал:

«Правильные многогранники вызывающе малочисленны, и было бы безнадежным делом искать какие-либо связанные с ними вопросы, которые не были бы уже исчерпывающе проанализированы…»

Однако при этом он добавлял: « Но, кажется, еще есть возможность изобрести другие такие многогранники…»

Один такой многогранник удалось построить.

Итак, что же такое правильный многогранник?

Что касается 2-мерных многогранников в евклидовом n-мерном пространстве, примем такое определение.

Определение. Правильным многогранником будем называть многогранник, полная группа симметрий которого вершинно-, реберно-, гранево- или флагово-транзитивна.

В зависимости от степени транзитивности, многогранник будет называться, соответственно, вершинно-правильным, реберно-правильным, гранево-правильным или флагово-правильным.

Абстрактный Тороидальный Гексадекаэдр ATH

(Abstract Toroidal Hexadecahedron)

— комбинаторно-топологический объект — правильная триангуляция тора с 8 вершинами и 16 гранями.

Свойства:

■ Каждая грань ATH — треугольник и степень каждой вершины равна 6.

■ Граф G (ATH) изоморфен 1-скелету 4-мерного гипероктаэдра, т.е. полному 4-дольному графу K_{2,2,2,2}.

K_{2,2,2} — граф обычного 3-мерного октаэдра.

K_{2,2,2,2} — граф 4-мерного гипероктаэдра.

K_{2,2,2,…,2} — граф n-мерного гипероктаэдра.

n раз

4-мерный гипероктаэдр, также называемый гексадекахороном, ограничен 16-ю правильными тетраэдрами. У него 32 треугольные грани, 24 ребра и 8 вершин. Его 24 ребра ограничивают 6 квадратов, лежащих в 6 координатных плоскостях. Его восемь вершин следующие: (±1, 0, 0, 0), (0, ±1, 0, 0), (0, 0, ±1, 0), (0, 0, 0, ±1). Все вершины соединены ребрами, кроме противолежащих пар.

Все автоморфизмы триангуляции ATH найдены при помощи компьютера:

С. А. Л., Перечисление в явном виде всех автоморфизмов неприводимых триангу- ляций тора и всех укладок на тор помечен ных графов этих триангуляций. Харьков, 1987. – 57 с., Деп. в УкрНИИНТИ 01.10.87,

№ 2779 – Ук87. α_1 = id (тождественный) α_2 = (35) (47) α_3 = (28) (34) (57)

α_4 = (28) (37) (45) α_5 = (12) (47) (68) α_6 = (12) (35) (68)α_7 = (1268) (3457) α_8 = (1268) (3754) α_9 = (13246587)α_10 = (13876524) α_11 = (13) (27) (48) (56) α_12 = (1365) (2784)α_13 = (14) (23) (58) (67) α_14 = (1467) (2385) α_15 = (14256783)α_16 = (14836725) α_17 = (1563) (2487) α_18 = (15) (24) (36) (78) α_19 = (15846327) α_20 = (15276384) α_21 = (16) (34) (57)α_22 = (16) (37) (45) α_23 = (16) (28) α_24 = (16) (28) (35) (47) α_25 = (17856423) α_26 = (17236485) α_27 = (1764) (2583)α_28 = (17) (25) (38) (46) α_29 = (1862) (3457) α_30 = (1862) (3754)α_31 = (18) (26) (47) α_32 = (18) (26) (35)

Группу Aut (АТH) можно определить и без компьютера.

Эта группа вершинно- транзитивная, потому что в ней есть единый циклический сдвиг всех вершин: α_20 = (15276384). Подгруппа Shift = <α_20> ≈ Z_8.

С другой стороны, стабилизатор каждой вершины есть подгруппа

изоморфная Z_2 × Z_2.

Например, стабилизатор вершины 8, есть подгруппа

Stab = <α_2, α_22> ≈ Z_2 × Z_2,

порожденная 2-мя инволюциями α_2 = (35)(47) и α_22 = (16)(37)(45).

Таким образом, группа Aut (АТH) может быть порождена так:

Aut (АТH) = <α_2, α_22, α_20>

= (Z_2 × Z_2) Z_8,

где Z_2 × Z_2 и Z_8 — как указаны на предыдущем слайде, причем произведение на Z_8 не является прямым.

Таким образом,

|Aut (АТH)| = |Shift| ∙ |Stab| : |Shift ∩ Stab| = 8 ∙ 4 : 1 = 32.

БипирамидальныйТороидальный Гексадекаэдр BTH —

геометрическая модель ATH в

E³

С. А. Л., Все неприводимые триангуляции тора реализуются в E3 в виде многогранников, манускрипт, Мехмат МГУ (1983).

Эта работа была выполнена под руко- водством профессора И. Х. Сабитова и заняла 2-е место в конкурсе научных студенческих работ за 1983 год, Мехмат МГУ.

Экватор у BTH

ЛавренченкоLawrencenko

労Rou (по-японски, читается «Ло»)

Lao (по-китайски, читается «Лао»)

Теорема (С. А. Л.):

В евклидовом 4-мерном пространстве существует 2-мерный многогранник с 8 вершинами и 16 треугольными гранями без самопересечений, который одновременно вершинно-правильный и гранево-правильный.

Этот многогранник будет называться правильным тороидальным гексадекаэдром И обозначаться RTH (Regular Toroidal Hexadecahedron).

Доказательство:

Вершинная транзитивность группы Aut (ATH) была показана выше.

Чтобы показать ее транзитивность на гранях, достаточно ограничиться гранями, инцидентными какой-нибудь одной вершине, скажем, вершине 8.

Непосредственной проверкой можно убедиться, что любую грань, инцидентную вершине 8, можно перевести в любую такую грань комбинациями автоморфизмов α_2, α_22, α_20 (образующих группы).

Реализуем теперь триангуляцию ATH в E^4 геометрически (без самопересечений).

На рисунке справа — экватор BTH переложен из 2-пространства в 3-пространство в геометрически симметричном виде, как 2-мерный подкомплекс октаэдра. Затем к координатам каждой вершины добавили четвертую координату w = 0, тем самым поместив экватор уже в 4-пространство. Две остающиеся вершины, 1 и 6, располагаются на четвертой координатной оси Ow и имеют координаты (0, 0, 0, 1) и (0, 0, 0, -1), соответственно.

1 (0, 0, 0, 1) — северный полюс 6 (0, 0, 0, -1) — южный полюс

ATH реализовывается как подкомплекс 2-мерного скелета 4-мерного гипероктаэдра в 4-мерном евклидовом пространстве. Его восемь вершин: (±1, 0, 0, 0), (0, ±1, 0, 0), (0, 0, ±1, 0), (0, 0, 0, ±1).

1 (0, 0, 0, 1) и 6 (0, 0, 0, -1)

Вспомним, что Aut (АТГ) порож- дается тремя автоморфизмами: α_2 = (35) (47), α_22 = (16) (37) (45), α_20 = (15276384) и соответственно представима в 4-пространстве

дискретной группой движений, порожденной следующими ортогональными матрицами:A_2 = A_22 = A_20 = ║ 1 0 0 0║ ║ 1 0 0 0║ ║ 0 0 1 0║ ║ 0 -1 0 0║ ║ 0 0 -1 0║ ║ 1 0 0 0║ ║ 0 0 -1 0║ ║ 0 -1 0 0║ ║ 0 0 0 1║ ║ 0 0 0 1║ ║ 0 0 0 -1║ ║ 0 -1 0 0║

Таким образом, группа Aut (ATH) точно представима в 4-мерном пространстве дискретной группой движений, порожденной этими тремя ортогональными матрицами, т.е. группой Sym (RTH).

Таким образом, группа Sym (RTH) вершинно- и гранево-транзитивна, как и группа Aut (ATH). Теорема доказана.

Открытые вопросы

■ Существуют ли другие правильные 2-мерные многогранники, кроме RTH, в (евклидовом) пространстве размерности 4 ?

■ А в пространствах высших размерностей?

■ Существуют ли в 3-мерном пространстве правильные многогранники топологических типов, отличных от сферы? Гипотеза: Нет.

Существуют ли другие правильные 2-мерныемногогранники, кроме RTH, в пространствах размерностей ≥ 4 ?

В частности, реализуется ли правильная триангуляция тора с полным графом K_7 в виде правильного многогранника в евклидовом пространстве высшей размерности?

«В огромном саду геометрии каждый найдет букет себе по вкусу.» (Давид Гильберт)

Построенный многогранник RTH вершинно- и гранево-правильный.

Таким образом, он более правильный, чем полуправильные многогранники.

Потому что у полуправильных многогранников уже два или более классов конгруэнтности граней.

Например, у Архимедовых многогранников два таких класса.

RTH же имеет только один такой класс.

Однако RTH менее правильный, чем флагово-правильные Платоновы многогранники, потому что группа Aut (ATH) не является реберно-транзитивной.

Спасибо за внимание.