НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО -МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

ИЗДАЕТСЯ С ЯНВАРЯ 1 9 7 0 ГОДА

В номере:

2 К 50-летию «Кванта»4 Рассказ о кванте. Я.Смородинский13 Кривые дракона. Н.Васильев, В.Гутенмахер21 Вычисления без вычислений. А.Мигдал29 Эволюционные процессы и обыкновенные

дифференциальные уравнения. В.Арнольд

З А Д А Ч Н И К « К В А Н Т А »

38 Избранные задачи по математике и физике40 Источник с «отрицательным» внутренним

сопротивлением. А.Зильберман

Н А Ш И И Н Т Е Р В Ь Ю

43 Беседа с Андреем Николаевичем Колмогоровым

«КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

46 Избранные задачи47 Про умножение. А.Савин50 Как однажды Жак-звонарь головой сломал

фонарь... А.Буздин, С.Кротов

К О Н К У Р С И М Е Н И А . П . С А В И Н А

53 Избранные задачи

Ш К О Л А В « К В А Н Т Е »

54 Об одном стихотворении А.С.Пушкина.А.Кикоин

55 За какое время сливаются капли? А.Варламов57 Лунный тормоз. Л.Асламазов

Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т А Т И В

59 Парадокс Вавилова. В.Фабрикант

Л А Б О Р А Т О Р И Я « К В А Н Т А »

62 Наблюдения над туманом. А.Боровой

Наши наблюдения (12)Вниманию наших читателей (42)

Н А О Б Л О Ж К Е

I, II К юбилею «Кванта»

III Из нашего архива

IV Прогулки с физикой

УЧРЕДИТЕЛИ

Российская академия наук

Математический институт

им. В.А.Стеклова РАН

Физический институт

им. П.Н.Лебедева РАН

Ю№120

20

ЯНВАРЬ

ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР

А.А.Гайфуллин

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ

Н.Н.Андреев, Л.К.Белопухов,М.Н.Бондаров, Ю.М.Брук,

А.А.Варламов, С.Д.Варламов,А.П.Веселов, А.Н.Виленкин, В.И.Голубев,

Н.П.Долбилин, С.А.Дориченко,В.Н.Дубровский, А.А.Заславский,

А.Я.Канель-Белов, П.А.Кожевников(заместитель главного редактора),

С.П.Коновалов, К.П.Кохась, А.А.Леонович,Ю.П.Лысов, А.Б.Минеев, В.В.Произволов ,

В.Ю.Протасов, А.М.Райгородский,Н.Х.Розов, А.Б.Сосинский,А.Л.Стасенко, В.Г.Сурдин,

В.М.Тихомиров, В.А.Тихомирова,А.В.Устинов, А.И.Черноуцан

(заместитель главного редактора)

РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ

А.В.Анджанс, М.И.Башмаков, В.И.Берник,А.А.Боровой, В.В.Козлов,

Н.Н.Константинов, Г.Л.Коткин,С.П.Новиков, А.Л.Семенов,С.К.Смирнов, А.Р.Хохлов

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ19 7 0 ГОДА

ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР

И.К.Кикоин

ПЕРВЫЙ ЗАМЕСТИТЕЛЬГЛАВНОГО РЕДАКТОРА

А.Н.Колмогоров

Л.А.Арцимович, М.И.Башмаков, В.Г.Болтянский,И.Н.Бронштейн, Н.Б.Васильев, И.Ф.Гинзбург,

В.Г.Зубов, П.Л.Капица, В.А.Кириллин,Г.И.Косоуров, В.А.Лешковцев, В.П.Лишевский,

А.И. Маркушевич, М.Д.Миллионщиков,Н.А.Патрикеева, Н.Х.Розов, А.П.Савин,И.Ш.Слободецкий, М.Л.Смолянский,

Я.А.Смородинский, В.А.Фабрикант, Я.Е.Шнайдер

ДОРОГИЕ ЧИТАТЕЛИ!

Номер, который вы держите в руках, несовсем обычен – он посвящен 50-летнемуюбилею нашего журнала. На страницах это-го номера вы найдете статьи, авторы кото-рых сотрудничали с «Квантом» в разныегоды и много для него сделали.

Первый номер «Кванта» вышел в 1970году, но создание физико-математическогожурнала для школьников задумывалось не-сколькими годами раньше. Идею созданиятакого журнала первым высказал академикП.Л.Капица в 1964 году, а затем она обсуж-далась теми, кто в 60-х годах организовывалфизико-математические школы-интернатыпри крупнейших университетах, всесоюз-ные олимпиады, летние школы, заочнуюматематическую школу. Это были не толькоакадемики, профессора ведущих вузов, учи-теля, но и молодые энтузиасты – ученые,аспиранты и студенты, для которых работасо школьниками и популяризация научныхзнаний стали подлинным призванием и вто-рой профессией.

Главным редактором нового журнала сталвыдающийся физик, академик Исаак Кон-стантинович Кикоин, первым заместителемглавного редактора – один из величайшихматематиков ХХ века, академик Андрей Ни-колаевич Колмогоров. Оба они руководилижурналом до последних дней своей жизни.Нужно сказать, что и Исаак Константино-вич, и Андрей Николаевич не только сфор-мулировали основные цели журнала, но ивнимательно следили за большинством мате-риалов, предлагавшихся для публикации, анередко участвовали и в их непосредствен-ном редактировании.

И.К.Кикоин говорил, что такого цветного,массового, рассчитанного на широкую ауди-торию «научного журнала для школьников»не было не только в России, но и в мире.Поэтому особенно трудной, новаторской,творческой была работа по изданию журна-ла в первые годы и десятилетия его жизни –перед глазами не было образцов, на которыеможно было бы опереться. Да, была оченькачественная, яркая российская и советскаянаучно-популярная литература по физике иматематике, но журнала не было.

Каким должен быть новый журнал? Накакой круг читателей он должен быть наце-лен? Какая доля материалов должна бытьадресована младшим школьникам, учени-кам физико-математических школ, учите-лям, студентам? Каким должен быть уро-вень изложения, характер оформления? Го-рячие споры не затихали в редакции и назаседаниях редколлегии. В результате твор-ческих дискуссий и напряженной работыбольшого коллектива единомышленниковжурнал постепенно менялся, возникали но-вые рубрики, вырабатывался свой, «кван-товский» стиль оформления.

Журнал быстро стал очень популярным –в 70-е и 80-е годы его тираж достигал сотентысяч. Он был известен и за рубежом: появи-лись переводы на японский, греческий, вСША более 10 лет издавался собрат нашегожурнала под именем «Квантум», две треть-их содержания которого составляли перево-ды статей из «Кванта». Большим событиемстало создание в 80-е годы на базе журналасерии научно-популярных книг «Библио-течка «Квант», очень востребованной чита-телями.

Менялся формат журнала, периодичностьи форма его издания. Некоторое время под-писчики получали в год не 12, а 6 номеровжурнала увеличенного формата, но с каж-дым номером они получали и приложение –либо книгу из Библиотечки «Квант», либотематический сборник материалов со стра-ниц журнала. При этом стиль и уровеньжурнала все время поддерживались на неиз-менном уровне. Несомненно, это заслугаредколлегии, редсовета и редакции, но от-ветственность лежала в первую очередь наглавных редакторах журнала (И.К.Кикоин,Ю.А.Осипьян, С.С.Кротов, В.В.Козлов,А.Л.Семенов, А.А.Гайфуллин), на их пер-вых заместителях (А.Н.Колмогоров, С.П.Но-виков), на заместителях главного редакторапо математике (Ю.П.Соловьев, В.М.Тихо-миров, Н.П.Долбилин, П.А.Кожевников) ипо физике (Л.Г.Асламазов, А.А.Варламов,А.И.Черноуцан).

За 50 лет неизбежны серьезные переме-ны – рядом с нами сейчас нет многих из тех,кто создавал и развивал «Квант». Вспомним

К 50-летию «КВАНТА»

3К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 1

хотя бы некоторых из тех, кто так многосделал для журнала.

Иосиф Шаевич Слободецкий и НиколайБорисович Васильев благодаря своему вы-сокому профессионализму, энтузиазму иэнергии определили в первые годы каче-ственный уровень работы редакции и ред-коллегии. Крупные ученые и педагогиВ.И.Арнольд, В.Г.Болтянский, Н.Я.Вилен-кин, М.И.Каганов, А.К.Кикоин, А.И.Мар-кушевич, А.Б.Мигдал, Я.А.Смородинский,В.А.Фабрикант, И.Ф.Шарыгин, активныеавторы журнала К.Ю.Богданов, А.А.Боро-вой, Е.Я.Гик, В.Л. Гутенмахер, А.А.Егоров,А.В.Жуков, А.Р.Зильберман, С.М.Козел,Г.И.Косоуров, Г.Л.Коткин, С.С.Кротов,В.В.Можаев, В.В.Произволов, Е.М.Раббот,А.П.Савин, В.А.Сендеров, Ю.П.Соловьев,А.Б.Сосинский, А.В.Спивак и другие рас-сказывали на страницах журнала об инте-ресных фактах и проблемах математики ифизики, о новостях современной науки.

С глубокой благодарностью мы вспомина-ем сотрудников редакции: В.Н.Березина,В.Н.Боровишки, И.Н.Бронштейна, М.Н.Да-нилычеву, С.А.Дориченко, Л.В.Кардасевич,А.И.Климанова, И.Н.Клумову, В.А.Леш-ковцева, Л.Г.Макар-Лиманова, Т.М.Мака-рову, Л.А.Панюшкину, Т.С.Петрову,М.Л.Смолянского, Л.В.Чернову, Ю.А.Ши-хановича и многих других.

Хочется вспомнить, что среди тех, ктооформлял журнал, были замечательные ху-дожники с мировым именем: Ю.А.Ващенко,

М.М.Златковский, Д.А.Крымов, Э.В.Наза-ров, Л.А.Тишков, П.И.Чернуский.

Но и сегодняшний состав редколлегии иредакции содержит имена тех, кто прошелвместе с «Квантом» значительную часть 50-летнего пути, что обеспечивает необходимуюпреемственность и сохранение лучших тра-диций. Назовем наших «ветеранов» (в ка-вычках – потому что они еще и сейчасмолодые духом, энергичные люди). В созда-нии журнала и подготовке его первых номе-ров участвовали Ю.М.Брук, Н.Х.Розов,большую часть пути с журналом А.А.Варла-мов (живя и работая 30 лет в Италии, оностается активным членом редколлегии иавтором журнала), С.Д.Варламов, А.Н.Ви-ленкин, В.И.Голубев, В.Н.Дубровский,С.П.Коновалов, А.Ю.Котова, А.А.Леонович,Ю.П.Лысов, Е.В.Морозова, А.Л.Стасенко,В.Г.Сурдин, В.А.Тихомирова.

Свой полувековой юбилей журнал встре-чает в принципиально новых условиях. Бу-мажный тираж «Кванта», впрочем как идругих журналов, заметно упал. В то жевремя электронная версия каждого номера«Кванта» размещается в интернете.

Мы уверены, что у «Кванта» есть уни-кальный потенциал, достаточный для того,чтобы способствовать повышению уровняфизико-математического образования и об-щенаучной культуры в нашей стране.

Редакционная коллегия журнала «Квант»

Исаак Константинович Кикоин Андрей Николаевич Колмогоров

Рассказ о квантеЯ.СМОРОДИНСКИЙ

ВЭТОЙ СТАТЬЕ РЕЧЬ ИДЕТ ОБ ОЧЕНЬсложном и вместе с тем фундаменталь-

ном понятии, играющем огромную роль всовременной физике. Именно поэтому ста-тья несколько трудна для понимания. Ноне рассказать в первом номере журнала окванте как физическом понятии мы немогли, так как наш журнал называется«Квант».

Две самые короткие формулысовременной физики

Современная квантовая физика роди-лась 14 декабря 1900 года. В этот день назаседании Берлинского физического об-щества выступил с докладом Макс Планк.В его докладе впервые появилась новаямировая постоянная, обозначенная буквойh и названная элементарным квантом дей-ствия. Элементарным она была названапотому, что определяла самую малую энер-гию, которую может нести с собой электро-магнитное излучение.

Слово «квант» происходит от латинско-го слова quantum, означающего «столько»(например, quantum placet означает«столько, сколько хочется»), h называюттеперь постоянной Планка, и ее наиболееточное значение равно

346,6262 10 Дж сh -= ◊ ◊ (система СИ)

или 276,6262 10 эрг сh -= ◊ ◊

(система СГС).

Вместо h физики чаще пользуются другойвеличиной, которая в 2 раз меньше. Еетакже называют постоянной Планка и обо-значают

341,05459 10 Дж с.2

h -= = ◊ ◊ℏ

Формула Планка записывается так:E h= .

Здесь Е – наименьшая порция света (илирадиоволн, или рентгеновских лучей, илилюбого другого электромагнитного излу-чения), которую может испустить или по-глотить атом, молекула или кристалл призаданной частоте излучения . Для види-мого света частота определяет «цвет» све-та. Синему цвету соответствует бо’ льшаячастота, красному – меньшая. Частотаколебаний излучения связана с длинойволны соотношением

с= ,

где с – скорость света, которая в пустотеравна 8

3 10 м с◊ (точнее 299792,5 км с ).Таким образом, постоянная Планка связы-вает наименьшую энергию излучения с егочастотой, показывая, что отношение Е к есть всегда величина постоянная.

Формула Планка вместе с формулойЭйнштейна 2E mc= , связывающей массу иэнергию, – две самые короткие и самыезнаменитые формулы современной физи-ки. Попробуем понять, что привело План-ка к необходимости квантовой гипотезы ипочему формула Планка оказалась стольважной.

С чего все началось?

Если пропустить свет через призму, тона экране, поставленном за ней, возникнетразноцветный спектр. (Его впервые на-блюдал Ньютон.) Позже узнали, что спектрдает не только солнечный свет, но и излу-чение от любого нагретого тела. Чем вышетемпература тела, тем больше в спектресиних лучей. Не очень нагретое тело (гра-дусов до 500 по шкале Цельсия) – красно-го цвета, сильно нагретое (градусов до1000) – белого. Постепенно перед исследо-вателями встали два вопроса: как зависитспектр тела от его температуры и какраспределяется энергия вдоль спектра?Опубликовано в «Кванте» №1 за 1970 год.

5К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 1Р А С С К А З О К В А Н Т Е 5

Если к разным местам спектра прило-жить термометры, то можно измерить,какая доля энергии приходится на каждыйучасток спектра. Еще лучше взять не тер-мометры, а прямо калориметры. Измерен-ные количества теплоты, которые падают,скажем, на полоску спектра шириной в1 см, и будут теми величинами, которыенам нужны. Геометрическая длина спект-ра зависит от расстояния до экрана, поэто-му обычно измеряют энергию, упавшую нена 1 см, а на участок спектра, соответству-ющий определенной частоте излучения или определенной длине волны .

Отношение величины энергии, сосредо-точенной в узкой полоске спектра на уча-стке частот в промежутке от до + ,к величине называют спектральнойплотностью энергии или просто спект-ральной функцией и обозначают ( )f .

Какой вид имеет спектральная функция( )f ? Ясно, что она зависит от температу-

ры тела. Вообще говоря, ( )f разная и уразных тел. Как же определить вид спек-тральной функции? Это была труднаязадача, и чтобы рассказать о том, как онарешалась, придется начать издалека. Носначала – еще несколько слов о спектраль-ной функции.

Спектральная функция

Спектральная функция ( )f – это, ве-роятно, самое трудное, что нужно понятьв этой статье. Спектр, который мы видимна экране, тянется непрерывной полоской,и в нем представлены все частоты. Неимеет смысла спрашивать, какую энергиюможно сопоставить в спектре точно данной

частоте . Когда из источника течет вода,нельзя спросить, сколько воды вытечет вкакой-то определенный момент времени,например ровно в 12 часов дня. Точно вэтот момент вытекает объем воды, равныйнулю. Для того чтобы вытекло какое-токоличество воды, надо, чтобы прошел хотябы небольшой промежуток времени. Мож-но спросить, сколько воды вытечет за времяот 12.00 до 12.01. Можно спросить, скольковытечет воды за любой интервал времени

t от 12 часов до 12 часов + t  минут.Если вода течет более или менее равномер-но и за 1 минуту вытекает 3

смg воды, тоза время t вытечет ( ) 3смg t t .

Мы написали не g, a ( )g t , так как вразное время (в час дня, в два часа дня ит.д.) вода может течь по-разному. Это,например, означает, что количество воды,вытекающее за 1 минуту в 12.15 дня, иколичество воды, вытекающее за 1 минутув 12.30, относятся как ( ) ( )15 : 30g g , еслиза начало отсчета времени взять полдень –12.00.

При подсчете количества воды мы стал-киваемся с новой величиной, которая опи-сывает интенсивность непрерывного про-цесса, g есть отношение количества воды,вытекающего за интервал времени t , к

этому интервалу, когда он взят очень ма-леньким.

Спектральная функция имеет аналогич-ный смысл; она определяет отношениеколичества энергии в полоске спектра кширине этой полоски, когда ширина по-лоски взята очень маленькой. Ширина приэтом измеряется, как было уже сказано, не

Схема спектра видимого света. Слева фиолетовый конец спектра, справа красный. Наверхудлины волн в ангстремах, внизу частоты в обратных секундах. Количества энергии, падающиена выделенные четыре полоски спектра, относятся, как значения спектральной функции –

15 15 15 150,120 10 : 0,096 10 : 0,080 10 : 0,067 10f f f f

К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 16

в длинах волн, а в частотах.

Частицы или волны?

С самого начала механика встречалась сзадачами, которые можно было разбить надва совершенно разных класса. Движениематериальных точек и твердых тел описы-валось уравнениями Ньютона. Из этихуравнений можно было определять траек-тории движения тел, например планетСолнечной системы, и описывать, как про-исходит движение вдоль траекторий. Нобыли и другие объекты. Движение воды вканалах, распространение звука в возду-хе, изгиб железной балки – все эти задачиотносились к механике сплошных сред, иими занимались гидродинамика, аэроди-намика, теория упругости и другие разде-лы механики.

Сплошная среда и система материаль-ных точек представлялись совершенноразными физическими объектами. Если,решая задачу о течении воды, и выделялимысленно небольшой объем жидкости, тоэтот объем никак не связывали с молеку-лами жидкости (о молекулах вообще уз-нали через много лет после того, какбыли написаны уравнения гидродина-мики).

Волны в воде или в воздухе (например,те, которые называют звуком) и планеты,движущиеся вокруг Солнца, имели, каза-лось, мало общего. Все было ясно, воттолько в оптике оставался нерешеннымвопрос: что такое свет? Поток мельчай-ших частиц, как это думал Ньютон –сторонник корпускулярной теории, илиэто волны в какой-то среде, мировом эфи-ре, как думал Гюйгенс – создатель волно-вой оптики? Популярность каждой из те-орий в разное время была различной, ноникто не мог найти решающего аргументав пользу одной из них: свет в однихявлениях вел себя, как поток корпускул,в других – как волны. Сейчас мы хорошознаем, что в этом нет противоречия –поверить в это стало возможным лишьблагодаря квантовой теории. В прошломже веке противоречие казалось неразре-шимым. Свет должен был быть либо вол-ной, либо частицей. Это утверждение выг-

лядело логически безупречным.

Степень свободы

Разница между системой материальныхчастиц и сплошной средой выступает оченьчетко, если посмотреть, каким числом ко-ординат задается состояние системы.

Положение каждой точки в простран-стве задается тремя числами – тремя коор-динатами. Говорят, что материальная точ-ка имеет три степени свободы. Если всистему входит N материальных точек, тоговорят, что она имеет 3N степеней сво-боды.

Такое же рассуждение можно провести идля скоростей. Скорость одной точки опи-сывается тремя числами – тремя компо-нентами вектора скорости. Скорости Nточек требуют для своего описания 3Nчисел.

Сколько чисел надо задать, чтобы опи-сать состояние поверхности моря? Стро-го говоря, для каждой точки поверхностинадо задать три числа – вектор скоростиводы в данной точке; следовательно, чи-сел будет бесконечно много. Поверхностьморя представляется нам как система сбесконечно большим числом степеней сво-боды. Даже тот факт, что вода состоитиз молекул, а потому число степеней сво-боды можно определить, сосчитав моле-кулы, не облегчает задачу: молекул на-столько много, что практически число сте-пеней свободы остается бесконечно боль-шим. В действительности же нас не инте-ресует движение каждой молекулы. Ког-да по морю бегут волны, например отидущего корабля, то мы можем описатькартину распределения волн, используясравнительно немного чисел. Мы можемзадавать величину амплитуды и фазыкаждой волны; волн хотя и много, но всеже меньше, чем молекул. Кроме того,картина, в основном, повторяется со вре-менем: волны более или менее одинако-вые.

В каждой волне движется много моле-кул, движение носит коллективный ха-рактер, и мы можем говорить о коллек-тивных степенях свободы на поверхностиморя, в отличие от индивидуальных сте-

7К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 1Р А С С К А З О К В А Н Т Е 7

пеней свободы, скажем, отдельной моле-кулы воды.

Такое же коллективное описание можноиспользовать, рассказывая о свойствахсвета. В частности, мы так и делаем, когдапытаемся описать распределение энергиипо спектру.

Свет – волновой процесс, и его описаниепроще всего выглядит с позиций волновойтеории. Конечно, подобное описание светасовсем непохоже на описание системы то-чек. Здесь нет даже намека на какие-тостепени свободы – волны и частицы совер-шенно непохожи друг на друга. Но это все-таки не совсем так. У волн и частиц естьобщие свойства. Это, прежде всего, те,которые проявляются, когда мы начинаемизучать тепловые явления и думать, какраспределяется между волнами и частица-ми тепловая энергия.

Температура и теплоемкость

Рассмотрим газ, находящийся в нагре-том сосуде. Мы знаем, что температурагаза и стенок сосуда должна быть одинако-вой. Если это вначале было не так, тотепло будет до тех пор перетекать от болеетеплого тела к более холодному, покатемпературы не станут равными, т.е. покане установится тепловое равновесие меж-ду стенками сосуда и находящимся в немгазом.

Температура газа связана с кинетической

энергией его атомов (мы будем для просто-ты говорить об одноатомном газе). Один изсамых первых выводов кинетической тео-рии газа состоял в том, что каждый атом

газа обладает энергией 3

2kT , по

1

2kT

на каждую степень свободы, а полная

энергия газа равна 3

2NkT, где N – число

частиц в газе (3N – полное число степенейсвободы). Здесь k – постоянная Больцмана

( 231,38 10 Дж Кk -= ◊ ); она играет рольпереводного коэффициента от градусов нашкале Кельвина к джоулям. Дальше вкинетической теории газов показывалось,что если есть колебания, то на каждуюколебательную степень свободы приходит-ся энергия kT, вдвое большая, чем настепень свободы, отвечающую поступа-тельному движению. Эти утверждения,доказанные и проверенные, относились кгазу. Естественно, возник вопрос: а чтоможно сказать об энергии излучения?

Представим себе, что у нас есть сосуд,как говорили раньше – «полость», в кото-ром нет газа. Однако в таком сосуде всегдабудет электромагнитное поле. Электро-магнитные волны излучаются и поглоща-ются стенками, и эта энергия как-то будетраспределена по спектру. Если стенки со-суда имеют какую-то фиксированную тем-пературу, то распределение энергии бу-дет, очевидно, различным при разных тем-пературах. Мы можем изучить поле внут-ри сосуда, сделав в нем маленькое отвер-стие и выпустив пучок света.

Когда впервые начали обсуждать свой-ства такой полости, то заметили, что еслисвет снаружи попадает в отверстие, то он,очень много раз отразившись от стенок и«заблудившись», почти не будет иметьшансов выйти наружу. Отверстие погло-щает весь падающий на него свет, поэтомутело и назвали «черным», а свет, которыйвыходит из отверстия, назвали «излучени-ем черного тела» (так что «черное тело»светится!).

Представьте теперь, что «черное тело»нагревают. Тогда можно задать вопрос:какое количество тепловой энергии перей-

Сосуд с газом. Атомы сталкиваются со стенка-ми, и в результате устанавливается тепловоеравновесие между газом и сосудом – газприобретает температуру стенок. Число ато-мов при столкновениях не меняется. Чтобыизмерить температуру газа, можно выпуститьнебольшую его порцию через маленькое от-верстие

К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 18

дет в свет? Ответ на него был дан в концеXIX века и состоял в том, что свет, заклю-ченный внутри «черного тела», долженнаходиться в тепловом равновесии со стен-ками сосуда. Это равновесие устанавлива-ется и поддерживается процессами излуче-ния и поглощения световых волн нагреты-ми стенками (сколько излучают, столькоже поглощают обратно), а количество энер-гии и ее спектральная плотность полнос-тью определяются только одним парамет-ром – температурой. Никакого разговора очисле степеней свободы (как это было вслучае газа) здесь как будто и нет.

Если в сосуде, в котором установилось

тепловое равновесие, есть маленькое от-верстие, то световые волны будут выхо-дить из него. Количество энергии, выходя-щее из отверстия «черного тела», опреде-ляется законом Стефана – Больцмана.Согласно этому закону количество энер-гии, излученное «черным телом» с едини-цы поверхности отверстия в единицу вре-мени, пропорционально четвертой степениабсолютной температуры и не зависит отприроды тела:

4T=

( ( )8 2 45,67 10 Дж м с К

-= ◊ ◊ ◊ – постоян-

ная Стефана–Больцмана ).Закон Стефана–Больцмана был хорошо

проверен экспериментально. Опыты под-твердили, что к излучению можно приме-

нять те же понятия энергии и температу-ры, которые используются при описаниитепловых свойств газа в кинетическойтеории.

Формула Винаи формула Рэлея–Джинса

Теперь пора вернуться к вопросу, кото-рый был поставлен в начале статьи: какполучить из теории спектральную функ-цию, которая описывает распределениеэнергии излучения по спектру, и как оназависит от температуры?

Прежде всего этот вопрос попробовалирешить по аналогии, но аналогия с газомне помогла. Число степеней свободы свето-вого потока, как их ни считай, бесконечновелико, и если на каждую степень свободывыделить по одинаковой порции энергии,скажем по kT (световым волнам разумносопоставить колебательные степени), тообщая энергия будет бесконечной прилюбой конечной температуре. Рассужде-ние «по аналогии» приводит нас к абсурд-ному выводу, что вся тепловая энергиястенок (а за ними и всего остального)должна перейти в электромагнитные вол-ны, так что температура всех предметовдолжна стремиться к абсолютному нулю.Если бы это было так, то любой предмет вкомнате излучал бы свет (видимый илиневидимый). Но мы знаем, что этого неслучается.

Точные физические измерения говорят,что при каждой температуре тело излучаетволны в сравнительно узком интервалеспектра. Максимальная энергия излуче-ния сосредоточена вблизи длины волны,которая определяется так называемым за-коном Вина:

maxb

T= .

Этот закон был открыт в 1893 году. Посто-янная Вина 20,29 10 м Кb -= ◊ ◊ была опре-делена из опыта, но ее происхождениеоставалось неясным. Мы увидим дальше,что она связана с постоянной Планка (также, как и постоянная Стефана–Больц-мана).

Закон Вина показывает, что с нагревани-

Сосуд с излучением («черное тело»). Волныили лучи света много раз отражаются от сте-нок, при этом они поглощаются стенками иизлучаются вновь; в результате устанавливает-ся тепловое равновесие между излучением истенками. Свет, выходящий из маленького от-верстия в таком сосуде, будет иметь спектр«черного тела»

9К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 1Р А С С К А З О К В А Н Т Е 9

ем тела максимум спектра смещается всторону меньших длин волн, т.е. в сторонубо’ льших частот (этот закон часто так иназывают законом смещения).

Итак, закон Стефана–Больцмана гово-рит о полной энергии излучения, а законВина – о положении максимума в спектре.Другими словами, известно, где спект-ральная кривая имеет максимум и каковаплощадь под кривой. Настала очередьобсудить более подробно форму этойкривой.

К началу XX века существовали двеформулы, с помощью которых пыталисьописать форму кривой распределения энер-гии по спектру. Одну из них предложилидва англичанина – это формула Рэлея–Джинса 1

( )2

3

8f kT

c= .

Сравнение с опытом показало, что форму-ла Рэлея–Джинса правильно описываетспектр только для самых малых частот(слева от максимума кривой).

Если посмотреть на эту формулу с точкизрения числа степеней свободы, то можнодать ей красивое объяснение. ФормулаРэлея–Джинса имеет такой вид, как будтоучасток спектра содержит 2 3

8 c сте-пеней свободы, на каждую из которыхприходится тепловая энергия kT. Однакоэта эффектная интерпретация порочна.Число степеней свободы быстро растет,если переходить ко все большим частотамв ультрафиолетовую часть спектра (на-право от максимума кривой). Это значит,что чем больше частота, тем больше энер-гии содержит спектр, т.е. и по этой форму-ле все тела должны излучать электромаг-нитные волны с бесконечно большой час-тотой.

Этот странный вывод носил драматичес-кое название «ультрафиолетовой катаст-рофы», так как демонстрировал полныйпровал попыток объяснить свойства спек-тра, оставаясь в рамках понятий класси-ческой физики.

Другую формулу предложил уже извест-

ный нам Вин в 1890 году:

( ) 3a

Tf A e-

= .

(Правда, он писал эту формулу несколькоиначе, выражая частоту через длину вол-ны.) В формуле Вина А и а – некоторыепостоянные, связанные, как мы это уви-дим в дальнейшем, с постоянной Планка.Формула Вина описывала ультрафиоле-товую часть спектра, но была беспомощна,когда речь заходила о длинноволновой егочасти.

Итак, перед работами Планка физикизнали уже довольно много: площадь подкривой распределения энергии по спект-ру, положение максимума и форму кривойв «начале» и в «конце». Оставалось сде-лать последний смелый шаг. Он-то и при-вел к рождению новой физики.

Формула Планка

Сейчас трудно восстанавливать ход мыс-лей физиков, живших много лет томуназад. По-видимому, Планк просто искалкакую-нибудь формулу, которая объеди-нила бы вместе все, что было известно оспектре «черного тела». Пробуя разныеподходы, он в конце концов пришел квыводу, что надо рассматривать свойстваатомов, из которых состоит стенка и кото-рые излучают свет. Гипотеза Планка со-стояла в том, что излучающие атомы могутиметь не любую энергию, а только энер-гию, равную целому числу h , где –частота колебаний атома. Отсюда уже по-лучилось, что атом может излучать светтолько квантами (хотя эту связь фактичес-ки поняли несколько позже).

Планк записал свою формулу так:

( ) ( )f n h= ◊ ,

где ( )n – это число квантов, равное2

3

8 1

1h

kTc

e -

, а h – энергия кванта. Пос-

ледняя формула может показаться не со-всем точной, так как из нее ( )n получа-ется не целым. В этом ничего страшногонет, так как формула дает среднее числоквантов. Например, если в каком-то объе-

1 Рэлей дал ее первым в 1900 году. Джинсвывел формулу немного позже.

К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 110

ме половину времени есть один квант, аполовину времени квантов нет совсем, тосреднее число квантов равно 1 2 .

Формула Планка отличается от форму-лы Рэлея–Джинса тем, что ее нельзя объяс-нить с точки зрения степеней свободы.Если считать, что каждый квант имеет тристепени свободы, то число степеней свобо-ды системы, равное ( )3n , оказываетсяфункцией температуры: число степенейсвободы растет с повышением температу-ры. Вывод абсурдный с точки зрения ста-рых представлений о свойствах частиц. Ноименно в этом нарушении привычной ло-гики и лежал выход из тупика. Ведь коли-чество излучающих частиц может и небыть строго определенным числом; ономожет изменяться с изменением условий.Это особенно стало ясно, когда было от-крыто рождение пар: электрон – позит-рон, протон – антипротон и т.д.

В тот вечер, когда Планк делал свойдоклад, никто не думал о рождении новойфизики. На формулу посмотрели с прак-тической стороны и сразу же (в ночь последоклада) сравнили график, даваемый но-вой формулой, с кривыми, полученнымииз опыта. Оказалось, что формула Планкахорошо описывает весь спектр.

Для той части спектра, где велико,можно вычеркнуть единицу в знаменателеформулы, по которой вычисляется числоквантов ( )n – эта единица мала по срав-

нению с первым членом. Тогда формулаПланка превратится в формулу Вина. Изсопоставления двух выражений можнозаключить, что коэффициенты в формулеВина равны

3

8 hA

c= и

ha

k= .

Планк, сравнивая свою формулу сформулой Вина, определил первое зна-чение постоянной h. Он получил, что

346,55 10 Дж сh -= ◊ ◊ . Даже удивительно,как мало отличается значение h, вычис-ленное Планком, от современного, кото-рое приведено выше.

При малых значениях в формулеПланка можно произвести следующуюзамену:

1h

kTh

ekT

ª + (если 1h

kT≪ ).

Тогда получится в точности формула Рэ-лея–Джинса. Используя формулу План-ка, можно получить и закон Стефана–Больцмана. Постоянная этого закона выражается через h формулой

5 4

2 3

2

15

k

c h= .

Явление фотоэффекта

В рассуждениях Планка квант сам посебе не появлялся – речь шла о системах,состоящих из большого числа квантов, дляизлучения которых применялись методыстатистики. Но еще в 1887 году Герцембыло открыто явление (изученное подроб-но Столетовым), в котором квантовыесвойства света проявлялись очень четко.Речь идет о фотоэффекте – вылете элект-ронов из куска металла при освещении егосветом. На этом эффекте построены мно-гие приборы: телевизор, осциллограф,фотоэкспонометр и т.д.

Фотоэффект обнаруживает закономер-ность, которая выглядела парадоксальнойдля физики прошлого века. Энергия элек-тронов, которые вырываются из металла,не зависит от интенсивности света. Еслиувеличивать интенсивность света, то воз-растает число вырванных электронов, энер-гия же их остается неизменной. Для того

Распределение энергии по спектру «черноготела»: 1 – кривая, соответствующая формулеРэлея–Джинса; 2 – графическое изображениеформулы Планка; 3 – кривая, которую даетформула Вина

11К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 1Р А С С К А З О К В А Н Т Е 11

чтобы увеличить энергию вылетающихэлектронов, необходимо увеличить часто-ту падающего света. Такое поведение со-всем непохоже, например, на то, как выле-тают электроны из катода радиолампы –чем выше температура катода, тем большеэнергия вылетающих электронов. Этотэффект называют термоэмиссией. В немне замечали ничего парадоксального. Афотоэффект был непонятен.

Сейчас мы знаем, что электрон не можетпостепенно поглощать и накапливать энер-гию, как это думали раньше, а можетпоглощать ее только квантами. Энергияже кванта определяется частотой. Отсюдаследовало объяснение фотоэффекта, кото-рое дал Эйнштейн в 1905 году. Все деталитеории стали ясны много позднее, когдабыла создана квантовая теория металлов.

В начале XX века было хорошо извес-тно, что, для того чтобы вырвать элект-рон из металла, надо затратить опреде-ленную энергию; она называется рабо-той выхода. Так, для вольфрама эта ра-бота равна примерно 4,6 электронвольта( 191 эВ 1,6 10 Дж-= ◊ ), для цезия – око-

ло 2 эВ, для платины – около 6 эВ.Остальные металлы имеют промежуточ-ные значения работы выхода. Рассужде-ния Эйнштейна сводились к следующе-му. Если частота света такова, что энер-гия кванта h меньше работы выхода А,то электрон вообще не может быть выр-ван из металла. Если же энергия квантабольше А, то избыток энергии уходит накинетическую энергию электрона W. Ска-занное можно записать в виде формулы,которая носит имя Эйнштейна:

W h A= - .

После фотоэффекта квантовый харак-тер поглощения и излучения был открыт вочень многих явлениях. В наиболее общемвиде он сформулирован в известном соот-ношении Нильса Бора: II Ih E E= - .Смысл его состоит в том, что если излуча-ющая система переходит из состояния сэнергией IIE в состояние с энергией IE , тоона излучает квант с энергией h . Есте-ственно, что если система, находясь всостоянии с энергией IE , поглотит квант

h , то она перейдет из состояния IE всостояние IIE .

Второе открытие кванта

Открытие Планка состояло в том, что онпостулировал дискретный (квантовый)характер излучения и поглощения. Одна-ко сам Планк не высказал никаких сообра-жений о том, как же ведет себя испущен-ное излучение. Лишь Эйнштейн (в упомя-нутой выше работе о фотоэффекте) дока-зал, что из гипотезы Планка и теорииотносительности следует реальное суще-ствование кванта, т.е. что свет не толькопоглощается или излучается квантами, ночто он сам состоит из квантов.

Излучая квант, тело теряет свою энер-гию, которая передается свету. Значит,свет, согласно теории относительности,уносит и массу тела.

Массу кванта можно получить, скомби-нировав две формулы: E h= и 2E mc= .Из них

2

hm

c= .

Лучше говорить, как это принято, чтоквант имеет импульс p = mc, т.е.

.

Импульс, конечно, вектор: он направлентуда, куда летит квант. Энергия квантасвязана с его импульсом соотношением

Е = ср.Таким соотношением описываются части-цы, у которых равна нулю масса покоя.Если масса покоя 0 0m π , то энергия иимпульс частицы связаны в теории относи-тельности формулой

2 2 20E c p m c= + .

Благодаря Эйнштейну квант стал в одинряд с частицами; только он не имеет массыпокоя, а потому обречен всегда летать соскоростью света.

Комптон-эффект

Во всем предыдущем оставался еще одинпункт, не проверенный опытом. Если квантобладает и энергией и импульсом, то вы-полняются ли для него законы сохране-

К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 112

ния энергии и импульса так же, как длядругих частиц? И хотя в положительномответе на этот вопрос никто не сомневал-ся, все же прямая экспериментальная про-верка законов сохранения была бы оченьполезной.

Такая проверка была осуществлена в1925 году Артуром Комптоном, которыйизучал, как рассеиваются кванты света,когда они падают на покоящийся элект-рон. Комптон обнаружил, во-первых, чтоэлектрон испытывает отдачу, т.е. элект-рон получает от кванта импульс, а во-вторых, что квант теряет энергию и егочастота уменьшается. Качественно карти-на была похожей на столкновение частиц.Но Комптон показал и больше – что энер-гия и импульс электрона и кванта в концесоударения как раз такие, какие получа-ются из уравнений, описывающих законы

сохранения.

Заключение

Таким образом, начав с изучения свето-вых волн, физики постепенно пришли кмеханике квантов, очень напоминающеймеханику Ньютона, только с теми обобще-ниями, которые принесла с собой теорияотносительности.

Рождение новой науки всегда происхо-дило так, что в ней причудливо переплета-лись разные, в прошлом далеко стоящиедруг от друга факты и выявлялись связи,не замечаемые ранее. Термодинамика, ки-нетическая теория газов, электродинами-ка, оптика и, наконец, теория относитель-ности – вот тот фундамент, на котором изформулы Планка выросло здание совре-менной физики.

Как дерево спасает от дождя

...кажется, дождик собирается, кажет-ся, дождик собирается...

А.Милн

Зададимся чрезвычайно простым вопро-сом: каким образом дерево укрывает от дож-дя? Конечно, о пальме, листом которойможно укрыть стадо слонов, речь не идет. Новедь от дождя можно спрятаться и под елью,и под березой. Что же происходит при этом?

Не спешите с ответом, который напраши-вается сам собой, – что капли задерживают-ся на листьях. Ведь больше двух-трех капе-лек на листе не удержится. Не думайте, чтокапли испаряются с листьев во время дож-дя, – влажность столь велика при дожде, чтодаже выстиранное белье не сохнет.

Как же маленькие листья, а тем болеееловые или сосновые иглы, спасают от дож-дя? Или мы обманули себя, спрятавшись поддерево, когда «...разыгралась непогода: мол-

ния так и сверкала, а дождь лил как изведра» (Г.X.Андерсен)?

Как показывает житейский опыт, березаили ель – и не хуже, чем пальма – действи-тельно спасает от дождя. И вот каким обра-зом.

Капля, упав на лист (или иголку), съезжа-ет, как по канатной дороге, на самую удален-ную от ствола часть листа – острие. С остриякапля срывается и... падает на следующийлист, расположенный ниже. В дождливуюпогоду в лесу можно услышать «...множе-ство различных оттенков стука дождевыхкапель, падающих с листа на листок» (Мар-сель Эме), и увидеть, как «...бежала с ча-шечки на чашечку грозой одуренная влага»(Б.Пастернак).

Скатываясь с листа (иголки), капля уда-ляется от ствола на три-четыре сантиметра.А встретив на пути десять, двадцать листьев(игл), она будет отброшена на значительноерасстояние. Как будто просто прокатиласьпо крыше.

Вот и все.E.Гурович

НАШИ НАБЛЮДЕНИЯ

Опубликовано в «Кванте» №7 за 1991 год и«Кванте» №4 за 1992 год.

13К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 1

Кривые драконаН.ВАСИЛЬЕВ, В.ГУТЕНМАХЕР

Что такое кривая и ломаная дракона

Возьмите длинную полоску бумаги, сло-жите ее пополам и еще раз пополам. Сло-женную полоску положите ребром на столи разверните так, чтобы угол при каждомсгибе был равен 90 (рис.1). Если смотретьсверху, то видна ломаная линия, изобра-женная на рисунках 2,а или б.

При трех складываниях полоски попо-лам уже получаются существенно различ-ные ломаные (рис.2,в или г) в зависимо-сти от того, как складывается полоска.Если полоску складывать четыре раза ибольше, а затем разворачивать ее сгибы допрямых углов, можно получить многоразличных ломаных. На рисунке 3 пока-зана одна из ломаных, получающихся припяти складываниях пополам.

Практически вам не удастся сложитьполоску бумаги больше семи раз – ведьуже при восьмом складывании получи-лось бы 2

8 = 256 слоев! Однако мы скоро

научимся рисовать довольно длинные та-кие ломаные, обходясь без полоски. Нарисунке 4 изображена одна из ломаных,которая получилась бы, если бы мы скла-дывали полоску 12 раз. Она состоит из2

12= 4096 звеньев.

Легко убедиться в том, что если склады-вать полоску более трех раз, то после разво-рачивания некоторые ее углы обязательнобудут «касаться» друг друга (рис.2,г и

рис.3). Из-за многочисленных таких каса-ний на длинных ломаных местами получа-ется сетка. Чтобы разобраться, как идетломаная, можно закруглить у нее углы (так,как показано на рисунке 3 цветной линией).Если проделать это для ломаной, изобра-женной на рисунке 4, то получится замысло-ватая линия. Этот рисунок и подсказаламериканскому физику Джону Хейвею(Heighway) название «кривые дракона».Тот, кто когда-нибудь видел дракона, мог быподтвердить, что он выглядит именно так.

Как рисовать длинныеломаные дракона?

Мы будем называть любую ломаную,полученную из бумажки, сложенной по-

Опубликовано в «Кванте» № 2 за 1970 год.

Рис. 1

Рис. 2

Соответственно:

К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 114

полам n раз, разворачиванием сгибов до90 , ломаной дракона ранга n. Выясним,как устроены ломаные дракона и как ихрисовать для достаточно больших n.

Первый способ. Ломаная дракона рангаn состоит из 2

n звеньев и соответственно

имеет 2n– 1 вершин (не считая концов).

Таким образом, у нее есть средняя верши-на (при n > 0), поскольку число вершиннечетно. На рисунках 2 и 3 у каждойломаной средняя вершина отмечена зеле-ным кружочком. Можно подметить, чтокаждая из этих ломаных состоит из двуходинаковых кусков, получающихся другиз друга поворотом на 90 . Оказывается,это общая закономерность.

Теорема 1. Если продолжить любуюломаную дракона ранга n с концом вточке О точно такой же ломаной, полу-

Рис. 3

Рис. 4. Такая ломаная («Главная ломаная дракона») получается, если, начиная с отрезка, каждыйраз поворачивать предыдущую ломаную в одну и ту же сторону. На рисунке 3 изображеноначало этой ломаной (32 звена), на этом рисунке – 4096 звеньев. Если ломаную продолжатьтаким же образом дальше, то она будет медленно обходить вокруг своего начала, делая одинполный оборот за 8 «удвоений». Красные точки лежат на логарифмической спирали. Для тех,кто знаком с полярной системой координат, мы можем написать ее уравнение: = logar, где r,

– полярные координаты, a = 22

15К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 1

ченной из данной поворотом на 90 вокругточки О, то получится ломаная драконаранга п + 1, и обратно, любая ломанаядракона ранга п + 1 получается из неко-торой ломаной ранга n этим способом.

В самом деле, допустим, мы хотим сложитьполоску n + 1 раз пополам. Сложим ее сначалаодин раз пополам. Тогда две ее половинкисовпадут и при дальнейших складываниях бу-дут сгибаться пополам совершенно одинаково(рис.5). Теперь развернем на 90 последние nсгибов полоски. Получим две совпадающиеломаные дракона ранга n; остается развести ихна 90 – и мы получим ломаную дракона рангаn + 1 (рис.6). Подумайте, как из этих сообра-жений вывести оба утверждения теоремы 1.

Пользуясь теоремой 1, легко рисоватьдлинные ломаные дракона.

Поскольку любая ломаная дракона идетпо линиям квадратной сетки, ее удобнорисовать на клетчатой бумаге.

Возьмем любую короткую ломаную дра-кона (например, просто отрезок). Усло-вимся, что одна из ее крайних точек –начало, а другая – конец. Продолжим еетакой же ломаной, повернутой относитель-но ее конца на 90 по (или против) часовойстрелке. Полученную новую ломаную та-ким же способом продолжаем от конца; такпроделываем столько раз, сколько захо-чется и сколько сможем. Это автоматическии быстро можно делать, если под рукой естькалька или, еще лучше, слегка прозрачнаяклетчатая бумага. (Подумайте, как!)

Очевидно, точно так же мы можем сразурисовать и кривые дракона: нужно толькокаждый раз закруглять средний сгиб.

Замечательное свойство всех кривыхдракона заключается в том, что они самисебя не пересекают, или, что то жесамое, ломаные дракона никогда не про-ходят по одному и тому же отрезкудважды. Таким образом, хотя ломанаядракона может дважды проходить черезодну и ту же точку (вершину сетки), ноболее двух раз она в одну и ту же точку непопадает.

Из теоремы 1 сразу не видно, как дока-зать, что ломаные дракона не проходятдважды по одному и тому же отрезку, –наоборот, чем более длинные и запутан-ные ломаные или кривые рисуешь, темболее удивительно, как удачно их «высту-пы» и «впадины» подходят друг к другу(см. кривую дракона «Паровоз» на рисун-ке 15).

Однако нетрудно это доказать (см. зада-чу 9), используя другую теорему об «уд-воении» ломаных дракона, которая, кста-ти, дает еще один способ рисовать длин-ные ломаные.

Второй способ. На рисунке 7 вершинычерных ломаных дракона соединены крас-ными отрезками через одну. Мы видим,что красные отрезки снова составляютломаные дракона. Оказывается, это тожеобщая закономерность.

Чтобы точно ее сформулировать, заме-тим еще, что каждый красный отрезокявляется гипотенузой равнобедренногопрямоугольного треугольника, катетыкоторого – звенья исходной ломаной (нарисунке треугольники слегка закрашены),причем каждые два соседних таких треу-гольника получаются друг из друга пово-ротом на 90 вокруг их общей вершины;другими словами, если идти вдоль крас-

К Р И В Ы Е Д Р А К О Н А 15

Рис. 5

Рис. 6

Рис. 7

К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 116

ной ломаной дракона, то эти треугольни-ки будут встречаться поочередно то спра-ва, то слева.

Теорема 2. Если на каждом звене лома-ной дракона ранга n, как на гипотенузе,построить прямоугольный равнобедрен-ный треугольник, причем так, чтобы длядвух соседних звеньев эти треугольникиполучались один из другого поворотом на90 относительно общей вершины, токатеты построенных треугольников со-ставляют ломаную дракона ранга n + 1.И наоборот, каждую ломаную ранга n + 1можно получить этим способом из неко-торой ломаной ранга п.

В самом деле, проследим за последним скла-дыванием полоски пополам. Для удобства мыбудем ссылаться на условный рисунок 8. Мыхотим сложить полоску пополам n + 1 раз.Сложим ее сначала n раз и посмотрим на нее впрофиль (красная линия). Затем сложим еееще раз пополам и развернем этот последнийсгиб на 90 (черная линия). Теперь бумажкаидет от сгибов А к сгибам В и обратно не погипотенузе, а по катетам равнобедренного пря-моугольного треугольника ABC. Развернемтеперь все остальные сгибы до 90 (на рисун-ке 9 показано, как разворачивается отдельныйсгиб). Тогда катеты прямоугольных треуголь-ников образуют ломаную дракона ранга n + 1,а гипотенузы – ранга n.

Пользуясь этими соображениями, легко до-казать оба утверждения теоремы 2. Вы можетепопробовать дать другое доказательство: выве-сти теорему 2 из теоремы 1.

С помощью теоремы 2 из каждой лома-ной дракона ранга n можно получить дверазные ломаные ранга n + 1: все зависитот того, по какую сторону от первого звенадостроить треугольник.

Обратите внимание на то, что когда мыпереходим от ломаной ранга n к ломанойранга n + 1 по теореме 1, то ломанаяполучается вдвое длиннее, а длина каждо-го звена не меняется; если же мы пользу-емся для «удвоения» теоремой 2, то длина

ломаной увеличивается в раз, а длина

звена уменьшается в раз.Потренируйтесь теперь в рисовании ло-

маных дракона с помощью теоремы 2.

Слова

Свойство, о котором идет речь в теоре-ме 2, можно объяснить совсем просто,если посмотреть на ломаные дракона (или,если угодно, на способы складывания бу-мажки) несколько с иной точки зрения.

Пусть по ломаной дракона ползет чере-паха (рис.10). Каждый раз, когда онадоползает до вершины, ей приходитсяповорачивать на 90 налево или направо.С точки зрения черепахи, ее путь будетопределяться последовательностью пово-ротов. Например, для ломаной на рисун-ке 2,а (начало в красной точке) эта после-довательность будет выглядеть так: нале-во, налево, направо.

Будем поворот направо обозначать бук-вой R (right), поворот налево – буквойL (left). Тогда вся ломаная запишетсятаким «словом»:

LLR

Рис. 8

Рис. 9 Рис. 10

17К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 1

(«словом» во многих разделах математи-ки и логики называют просто любую пос-ледовательность букв). Точно так же мож-но записать словом из букв L и R любуюломаную дракона.

Чтобы получить из ломаной а ломануюб (см. рис.2), нужно бумажку сложитьеще один раз «налево» (см. рис.2,б и 11).При этом между каждыми двумя верши-нами ломаной а возникнет еще по одномуповороту, причем на рисунке 11 хорошовидно, что эти новые повороты будутчередоваться; таким образом, получим

L L RL R L R

т. е. слово, являющееся записью ломаной в.При еще одном сгибе налево мы получилибы ломаную, характеризуемую словом

L L R L L R RL R L R L R L R

Начертите эту ломаную. Это – Главнаяломаная дракона ранга 4. Если хотите,закруглите у нее углы, как это предложилХейвей.

Если вы проделаете над последним по-лученным словом ту же операцию еще раз(снова начав последовательность череду-ющихся букв с L), то получите слово из 31буквы – запись Главной ломаной драконаранга 5, изображенной на рисунке 3.

Разумеется, последовательность чере-дующихся букв можно начинать не с L, ас R – при этом получатся другие ломаные.

Легко видеть, что наш способ изготовле-ния слова для ломаной ранга n + 1 из словадля ломаной ранга n в точности соответ-ствует геометрическому способу удвое-ния, о котором идет речь в теореме 2(новым буквам соответствуют достраива-емые треугольники). Вообще всю «тео-рию» ломаных дракона можно было бы

К Р И В Ы Е Д Р А К О Н А 17

строить не геометрически – с помощьюповоротов, достраивания треугольников ит.п., а «алгебраически»– с помощью опе-раций над словами из двух букв L и R,«записями» ломаных дракона.1

Читатель сможет частично проделатьэтот путь и познакомиться с целым рядоминтересных закономерностей, которымиобладают слова – записи кривых дракона,решая нижеследующие задачи.

Задачи

1. Какой длины надо взять полоску, чтобы,сложив ее пополам 30 раз, получить расстоя-ние между соседними сгибами равным 1 см?Больше или меньше расстояния от Земли доЛуны?

2. Как изменится ломаная дракона, еслиполоску бумаги положить на стол другимребром? Как изменится при этом слово, запи-сывающее ломаную?

3. а) Сколько существует различных (неподобных друг другу) ломаных дракона ран-га 4? Нарисуйте их все. Напишите соответ-ствующие им слова из букв L и R.

б) Сколько существует различных ломаныхранга n?

4. Допустим, что черепаха проползла поломаной дракона и прочла слово из букв L иR. Какое слово она прочтет, если проползет поэтой ломаной в обратном направлении?

5. Пусть s – некоторое слово из букв L и R.Обозначим через s– слово, которое получитсяиз s, если переставить в нем буквы в обратномпорядке и потом поменять L на R и R на L.(Например, если s = LLR, то s– = LRR.)

Пусть s и t – некоторые слова из букв L и R.Будем обозначать через st слово, получающе-еся, если слова s и t написать рядом.

Докажите, что:а) Для любых слов s и t

.б) Если sn+1 – слово, соответствующее лома-

ной дракона ранга n + 1, то

,

LLRLLRR,

LLRLLRRLLLRRLRR.

Рис. 11

1 Именно такой способ изложения избралиматематики Кнут и Дэвис, по рукописи кото-рых «Number representations and dragon curves»(Ch.Davis, D.E.Knuth) авторы статьи впервыепознакомились с кривыми дракона. Из этойрукописи заимствован и ряд рисунков длин-ных кривых дракона.

К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 118

где sn – некоторое слово, соответствующееломаной дракона ранга n, а х – слово, состо-ящее из одной буквы.

в) Если sn – слово, соответствующее лома-ной дракона, то sn отличается от s– n толькоодной средней буквой.

г) Слово, записывающее ломаную драконаранга n, можно и притом единственным обра-зом построить, если задать произвольно nбукв, которые должны стоять в этом слове наместах с номерами 2k, где k = 0, 1, 2,..., n – 1;после этого, чтобы найти, какая буква стоит наm-м месте, нужно представить m в видеm = 2k (2l + 1), где k и l целые; если l четно, тона m-м месте стоит та же буква, что и на 2k-м,если l нечетно – противоположная.

д) Два слова и задают одинаковыепо форме (подобные) ломаные дракона в томи только в том случае, если после вычеркива-ния средней буквы эти слова либо совпадают,либо одно получается из другого заменой L наR и R на L. (Например, слова LLRLLRR,LLRRLRR, RRLRRLL, RRLLRLL задаютодинаковые ломаные.)

6. Пусть мы имеем ломаную дракона рангаn. Из нее можно получить две ломаные драко-на ранга n + 1, пользуясь либо теоремой 1(принимая за точку О тот или другой конецломаной), либо теоремой 2 (достраивая треу-гольники в ту или другую сторону). Будут лив обоих случаях получаться те же самые двеломаные дракона ранга n + 1 или, вообщеговоря, другие? Как получать их слова изслова данной ломаной ранга n?

7. На плоскости даны две точки А и В.Начертим квадрат с центром в середине отрез-ка АВ, одна из сторон которого равна 2АВ ипараллельна отрезку АВ. Докажите, что лю-бая ломаная дракона с концами в точках А иВ лежит внутри этого квадрата. Докажите, чтодля любой точки М внутри этого квадрата илюбого положительного числа можно найтитакую ломаную дракона с концами А и В,которая проходит от точки М на расстояниименьше (говоря математическим языком,«объединение всех ломаных дракона с конца-ми в точках А и В всюду плотно в этомквадрате»).

8. Пусть черепаха ползет по плоскости източки А с постоянной скоростью – вначале понаправлению АВ, а затем через каждые 15минут поворачивает на 90 . Докажите, чтовернуться в А черепаха может лишь черезцелое число часов и лишь по направлению,перпендикулярному к АВ.

9. Докажите, что ломаная дракона никогдане проходит по одному и тому же отрезкуболее одного раза.

10. Докажите, что если ломаную драконаповернуть вокруг ее начала О на 90 , 180 ,270 , то из полученных четырех ломаных(включая исходную) никакие две не имеютобщего отрезка.

11. Рассмотрим множество ломаных , об-ладающих такими свойствами: имеет 2n

звеньев равной длины, и если ее разбить на 2k

кусков по 2n–k звеньев в каждом куске, то двасоседних куска получаются один из другогоповоротом вокруг общей вершины на 90 (длялюбого k). Докажите, что это множество ло-маных в точности совпадает с множествомломаных дракона ранга n.

12. Введем на клетчатой бумаге системукоординат, направив оси по линиям сетки ивзяв за единицу масштаба сторону клетки.Будем рисовать Главную ломаную драконатак, чтобы первыми тремя ее вершинами былиточки (0;0), (0;1), (1;1). Пользуясь теоре-мой 1, можно продолжать эту ломаную сколь-ко угодно раз: мы будем получать последова-тельно ломаные ранга 1, 2, 3,... Можно пред-ставить себе, что мы нарисовали их все иполучили бесконечную ломаную дракона(Главную ломаную дракона ранга ). Ее пер-вые 2n звеньев образуют ломаную ранга n.

Докажите, что:а) Конец такой ломаной ранга n будет нахо-

диться в точке

(красные точки на рисунке 4).б) Слово, являющееся записью этой лома-

ной, можно быстро написать так. Сначалазаписываем чередующиеся буквы L и R, ос-тавляя между ними промежутки для пропу-щенных букв: L_R_L_R_L_R_L_R..., а затемпоступаем следующим образом. Пальцем ле-вой руки укажем на первую букву, а правойрукой запишем ее в первый промежуток, затемлевой рукой укажем на вторую букву, а пра-вой вставим ее во второй промежуток, левойна третью... и так последовательно по всембуквам (не пропуская вновь вставленных), аправой вносим каждую указанную букву впервый свободный промежуток:

LLRLLRRLLLRRLRRLLLRL...

в) Если, как в задаче 10, выпу-стить из одной точки четыре Глав-ные ломаные дракона ранга , топо каждому отрезку сетки прой-дет ровно одно звено одной изэтих ломаных (рис.12). (Это –трудная теорема; ее впервые до-казал Д.Э.Кнут.)

Еще несколько красивых кри-вых дракона изображены нарисунках 13–15.

а) б)

Рис. 13. Эта кривая получается, если, начиная с отрезка, повторять процесс «удвоения» 12 раз,причем чередовать повороты по и против часовой стрелки. Чтобы лучше показать, как идет этакривая, мы поворачиваем каждый раз не на 90 , а на 95 (черная линия); если уменьшить углыдо 90 , то получится кривая дракона, которая изображена на рисунке цветной линией; оназаполняет равномерным узором равнобедренный прямоугольный треугольник

Рис. 12

а) б)

К Р И В Ы Е Д Р А К О Н А 19

К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 120

Ответы и указания

1. Меньше: 230 см = 10243 см = (1,024)3 . 109 см . 109 см = 10700 км, а до Луны примерно

384000 км.2. Ломаная заменится зеркально симмет-

ричной. В записывающем ее слове каждаябуква изменится на противоположную: R наL, a L на R.

3. б) 2n–2 (при n 2); сравните с задачей 5,г, д.

4. Черепаха прочтет слово, которое получа-ется из исходного слова, если записать егобуквы в обратном порядке, а затем всюдупоменять L на R, a R на L. Это утверждениеверно для любой ломаной. Для ломаных дра-кона новое слово из старого получается совсемпросто – надо только заменить в исходномслове среднюю букву на противоположную(см. задачу 5).

5. Используйте теоремы 1, 2 и задачу 3.6. Вообще говоря, другие (например, для

ломаной RRLLRLLLRRLRRLL).7. Используйте теорему 2.9. Можно провести индукцию по n (рангу

ломаной), доказав с помощью задачи 8, чтодостраиваемые согласно теореме 2 треуголь-ники не могут прилегать друг к другу катета-ми.

10. То, что две соседние ломаные (получаю-щиеся друг из друга поворотом на 90 ) неимеют общего отрезка, вытекает из теоремы 1и задачи 9. Чтобы строго доказать, что двесимметричные друг другу относительно точкиО ломаные не могут иметь общего отрезка,можно использовать теорему Жордана: «замк-нутая несамопересекающаяся линия делитплоскость на две такие области – внутреннююи внешнюю, что любая линия, один конецкоторой лежит во внешней области, а другойво внутренней, пересекает данную линию»;при этом, поскольку наши ломаные драконаприходят в некоторые вершины по два раза,удобнее перейти к кривым дракона.

12. а) Проверьте, пользуясь теоремой 1(индукция по n).

б) Сравните с задачей 7.

Рис. 14. Эта кривая дракона ранга 12 имеетспециальное название «Папа, мама и сын».Найдите ее середину. Можете ли вы себепредставить, что кривая разбивается этой точ-кой на два совершенно одинаковых куска,получающихся друг из друга поворотом на90 ? Чтобы поверить в это, придется, вероят-но, пройтись по кривой цветным карандашомот начала до середины

Рис. 15. Здесь одна из двух половин кривой(она называется «Паровоз») нарисована цвет-ной, чтобы показать, как эти две кривые«сцепляются» между собой. Одна половинапосле поворота ее вокруг средней точки на90 совпадет с другой

Если математика – это искусство из-бегать вычислений, то теоретическаяфизика – это искусство вычислять безматематики.

ВЫСКАЗЫВАНИЕ, ПРИВЕДЕННОЕ В КА-честве эпиграфа, возникло в результа-

те споров физиков и математиков и нужда-ется в разъяснении. Даже самые простыевычисления в физике не обходятся безматематики. Однако на первой, самой важ-ной стадии работы физика-теоретика, ког-да устанавливается физическая картина

явления, математика отступает на заднийплан и играет только подсобную роль. Нопрежде чем говорить о связи физики иматематики, следует пояснить, что такоетеоретическая физика.

Как работают физики?

Экспериментаторы и теоретики. Су-ществует два типа физиков – экспери-ментаторы и теоретики, причем эти двепрофессии почти никогда не совмещают-ся в одном лице. Физики-эксперимента-

Вычисления без вычисленийА.МИГДАЛ

Опубликовано в «Кванте» №8 за 1979 год.

К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 122

торы исследуют соотношения между фи-зическими величинами, или, говоря бо-лее торжественно, открывают законы при-роды, пользуясь экспериментальными ус-тановками, т.е. производя измерения фи-зических величин с помощью приборов.Для этого надо глубоко понять изучае-мые явления, чтобы знать, что и как из-мерять. Физики-теоретики изучают при-роду, пользуясь только бумагой и каран-дашом, т.е. выводя новые соотношениямежду наблюдаемыми величинами, опи-раясь на найденные ранее эксперимен-тально и теоретически законы природы.Причина разделения этих двух профес-сий не только в том, что каждая из нихтребует своих специальных знаний: зна-ния методов измерения – в одном случаеи владения математическим аппаратом –в другом. Главная причина в том, что этипрофессии соответствуют различным ха-рактерам мышления и различным фор-мам интуиции. Интуиция, т.е. способностьподсознательно находить правильныйпуть, играет важнейшую роль, особеннона первых стадиях работы. К сожале-нию, дар интуиции возникает не сразу, ав результате упорной работы, как награ-да за решение многих научных задач.

Поскольку теоретическая физика имеетдело с более отвлеченными понятиями,чем физика экспериментальная, физику-теоретику требуется более абстрактнаяформа интуиции, близкая иногда к инту-иции математика. В прошлом веке, когдафизика еще не была так специализирова-на, многие физики совмещали обе про-фессии. Так, Максвелл, который полу-чил теоретически уравнения, описываю-щие все электромагнитные явления, за-нимался и экспериментами. Герц, кото-рый обнаружил экспериментально элект-ромагнитные волны, был одновременно ихорошим теоретиком. И все-таки в каж-дом случае можно указать, какая из про-фессий главная: для Максвелла это –теоретическая физика, а для Герца – фи-зика экспериментальная.

В XX веке одним из самых замечатель-ных примеров «универсального» физика– и теоретика, и экспериментатора – был

Энрико Ферми. Наряду со многими други-ми работами Ферми создал теорию радио-активного распада и вместе с физикамисвоей группы открыл экспериментальноискусственную радиоактивность элемен-тов, возникающую при бомбардировкенейтронами.

Еще одним примером выдающегося тео-ретика, тесно связанного с экспериментом,был академик Г.И.Будкер, у которого тео-ретическая физика совмещалась с замеча-тельными инженерными идеями. Он руко-водил теоретической разработкой и прак-тическим осуществлением ускорителя навстречных пучках заряженных частиц вНовосибирском Академгородке.

Однако это – редкие исключения, имолодой человек, интересующийся физи-кой, должен решить для себя, какую издвух профессий он выбирает.

В дальнейшем речь пойдет о работефизиков-теоретиков.

Физика и математика. Итак, задачафизика-теоретика – получать соотноше-ния между наблюдаемыми величинами спомощью математических выкладок. Неозначает ли это, что теоретическая физикапредставляет собой нечто вроде приклад-ной математики? Такая точка зрения со-вершенно неверна. И по характеру задач,и по методам подхода к задачам математи-ка и теоретическая физика категорическиотличаются.

В математике важнейшую роль играютматематическая строгость, т.е. логическаябезупречность всех выводов, вытекающихиз принятых аксиом, и исследование всехлогически возможных соотношений. Зада-ча физики – воссоздать по возможноститочную картину мира без строгих «правилигры», используя все известные экспери-ментальные и теоретические факты, а так-же основанные на интуиции догадки, кото-рые в дальнейшем будут проверены наопыте. Так, математик исследует все логи-чески возможные типы геометрий, физикже выясняет, какие геометрические соот-ношения осуществляются в нашем мире.

Математик, даже если он занимаетсяприкладными задачами, т.е. задачами,пришедшими не из математики, берется за

23К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 1

решение только тех задач, которые нетребуют дополнительных недоказанныхпредположений. Физик же, как правило,имеет дело с задачами, в которых имею-щихся исходных данных недостаточно длярешения, и искусство состоит в том, чтобыугадать, какие недостающие соотношенияреализуются в природе. Именно для этихдогадок требуется не математическая, афизическая интуиция.

Убедительность в физике достигаетсяполучением одного и того же результата изразных исходных предпосылок. При этомприходится вводить лишние, логически ненеобходимые аксиомы, каждая из кото-рых сама по себе не абсолютно достоверна.Единственное условие состоит в том, что-бы уметь оценивать степень убедительнос-ти того или иного предположения и яснопонимать, какие предположения требуютдальнейшей проверки.

Если какая-либо область физики достиг-нет такого развития, что все ее результатыможно будет вывести из нескольких строгоустановленных экспериментально аксиом,то эта область перестанет быть частьюразвивающейся физической науки и пе-рейдет в раздел прикладной математикиили техники. Так произошло с классичес-кой механикой.

Разумеется, очень полезно анализиро-вать структуру физической теории, т.е.выяснять, из каких исходных предпосы-лок получаются те или иные результаты.Однако центр тяжести в таком аксиомати-ческом подходе – не в общности и матема-тической строгости выводов, а в правиль-ном выборе исходных предположений и воценке того, какие из них наиболее досто-верно подтверждены опытом. А для этоготребуется интуиция физика. В тех случа-ях, когда эту работу проделывает матема-тик, он обязательно, хотя бы на время,делается физиком-теоретиком. Иначе онрискует оказаться, по выражению польско-го сатирика Леца, в положении эскимоса,который вырабатывает для жителей Конгоправила поведения во время жары.

Итак, математика и физика – науки сразными задачами и с разными методамиподхода к задачам. В математике досто-

верность результатов достигается логи-ческой строгостью и анализом всех логи-чески возможных решений. В физике рас-сматриваются только те решения, кото-рые могут осуществляться в природе, идостоверность достигается многократнойпроверкой сделанных предположений. Ма-тематическая строгость в физике пред-ставляет собой невозможную и ненужнуюроскошь. Добиваться в физике математи-ческой строгости так же не нужно, кактребовать от бригадиров лесоповала, что-бы они на работе разговаривали стихами.Но вместе с тем физик-теоретик долженсвободно владеть математическим аппа-ратом, т.е. знать и уметь использовать всете математические методы, которые могутоказаться полезными при решении физи-ческих задач.

Качественный анализ

Попробуем показать на простых приме-рах, как работают физики-теоретики напервой, самой важной стадии работы, ког-да делается качественный анализ постав-ленной задачи. Как мы увидим, на этойстадии работы почти без всяких вычисле-ний получаются грубые соотношения меж-ду входящими в задачу величинами. Сле-дующая стадия работы – получение точ-ных количественных соотношений с помо-щью математического аппарата теории –целиком опирается на первую стадию, вовремя которой проясняется физическаякартина явления и возникает проект ожида-емого решения. Не имея такого предполо-жительного проекта, нельзя приступать кпоискам точного решения. Действительно,доказать удается только те утверждения,которые были заранее угаданы. Из этогоправила почти не бывает исключений.

Одним из главных элементов качествен-ного анализа является решение задачи наупрощенных моделях, в которых отброше-но все несущественное. Усложнять решен-ную задачу несравненно проще, чем зано-во решать сложную.

В некоторых несложных случаях многоепроясняет простой размерный анализ вхо-дящих в задачу величин и возможныхсоотношений между ними.

В Ы Ч И С Л Е Н И Я Б Е З В Ы Ч И С Л Е Н И Й 23

К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 124

Размерные оценки. Для иллюстрациидокажем теорему Пифагора, пользуясьсоображениями размерности. Из размер-ности следует, что площадь S прямоуголь-ного треугольника можно записать какпроизведение квадрата гипотенузы на не-которую функцию одного из острых уг-лов: 2S c f . Аналогичным образомможно представить площади двух подоб-ных прямоугольных треугольников, кото-рые получатся, если опустить высоту изпрямого угла. Для этих треугольниковроль гипотенузы играют катеты исходноготреугольника. Поэтому

2 2 2c f a f b f .

Сократив на f , получим теорему Пи-фагора.

В качестве другого примера рассмотримзадачу о нахождении периода колебанийгрузика на пружине. Прежде всего выяс-ним, какие величины могут входить ввыражение для периода. Поскольку силы,действующие на грузик, – это сила тяже-сти и сила упругости, естественно предпо-ложить, что период колебаний зависит отускорения свободного падения g и массы mгрузика и от жесткости пружины k. Разу-меется, такие величины, как температураи вязкость воздуха, не войдут в задачу,если мы пренебрегаем затуханием колеба-ний. (Чтобы упростить задачу, надо знать,чем можно пренебречь!) Из величин g, mи k можно составить только одну комбина-

цию, имеющую размерность времени, аименно m k . Период Т равен

.

Ускорение g не вошло в ответ. Безраз-мерная константа С не может быть най-дена из размерных соображений; можнотолько сказать, что она не очень великаи не очень мала – она порядка единицы.Действительно, значение С должно бытьнайдено из решения ненаписанного намиуравнения движения грузика. А безраз-мерные коэффициенты, возникающие изрешений уравнений, встречающихся в фи-зике, как правило, оказываются порядкаединицы.1 Точное вычисление дает для Сзначение 2 . Таким образом, мы без вы-числений, пользуясь только размерныманализом, нашли примерную величину пе-риода колебаний грузика на пружине.

Пример обобщения – осциллятор. Вовсех областях физики встречаются задачи,связанные с колебаниями систем околоположения равновесия. Для пониманиямногих явлений, а следовательно, для ка-чественного анализа этих явлений нужнознать общие свойства таких систем. Систе-мы, совершающие колебания около поло-жения равновесия, независимо от их уст-ройства называют осцилляторами. Про-стейшие примеры осцилляторов – грузикна пружине, математический маятник.Более сложный пример – натянутая стру-на; у нее может быть много типов колеба-ний: колебания с пучностью посередине(основной тон), с одним узлом, двумяузлами и т.д. (обертоны). Таким образом,струна – это набор осцилляторов разныхчастот. Аналогичный пример – столб воз-духа в органной трубе; его можно заста-вить колебаться с наинизшей частотой (ос-новной тон) или с более высокой частотой,когда в некоторых точках воздушного стол-ба частицы воздуха будут неподвижны(аналог узлов в колебаниях струны). Об-

1 Это утверждение нельзя доказать в общемвиде, но оно практически всегда справедливо,и этим фактом широко пользуются при всехоценках.

25К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 1

щее свойство всех осцилляторов состоит вследующем: независимо от конкретногоустройства осциллирующей (т.е колеблю-щейся около положения равновесия) сис-темы, энергия системы в любой моментвремени может быть записана в виде

2 2

2 2

q qE

¢= + , (1)

где q – величина, характеризующая откло-нение от положения равновесия, а q –скорость изменения величины q во време-ни (т.е. q q t , где t – малый про-межуток времени). Слагаемое 2

2q– это потенциальная энергия осциллятора;коэффициент называют жесткостьюосциллятора. Слагаемое 2

2K q – этокинетическая энергия осциллятора; коэф-фициент называют массой осциллятора.(Вспомните, как записывается энергияпростейшего осциллятора – грузика напружине, и вам станет понятно, почему называют жесткостью, а – массой ос-циллятора.)

Как бы ни был конкретно устроен осцил-лятор, его угловая частота колебаний

2 T выражается следующим обра-зом через жесткость и массу :

.

Введение «обобщенного» осциллятора,координата которого – не обязательно рас-стояние от положения равновесия, а можетиметь любой смысл, лишь бы энергияимела такую же структуру, как Е в выра-жении (1), позволяет делать выводы оповедении колеблющейся системы без рас-смотрения физической природы происхо-дящих в ней процессов.

Для пояснения приведем еще один при-мер осциллятора, не похожий на все при-веденные выше примеры. Допустим, име-ется катушка индуктивностью L из хоро-шо проводящей проволоки, концы кото-рой присоединяют к конденсатору емкос-тью С, имеющему заряд 0Q . В цепи возни-кают электромагнитные колебания. Есликатушка сделана из сверхпроводника, ко-лебания практически не будут затухать.

Энергия такой системы состоит из двухслагаемых: энергии магнитного поля в

катушке и энергии электрического поля вконденсаторе. Энергия электрического поляконденсатора пропорциональна квадратузаряда Q, который в данный момент нахо-дится на обкладке конденсатора:

212Q

C. Энергия магнитного поля

катушки пропорциональна квадрату силытока I, текущего в данный момент покатушке: 2

2K LI . Но сила тока равнаскорости изменения заряда конденсаторасо временем: I Q . Таким образом, энер-гия магнитного поля катушки 2

2K LQ .Следовательно, энергия системы в любоймомент времени равна

221 1

2 2 2

QE LQ .

Наша система – осциллятор; роль коорди-наты осциллятора играет заряд Q, потен-циальная энергия осциллятора – энергияконденсатора, кинетическая – энергиямагнитного поля катушки. Из записи энер-гии видно, что жесткость этого осциллято-ра – величина 1 C , а роль массы играетиндуктивность L. Сразу можем записатьчастоту колебаний:

1

LC.

Такой осциллятор называется электричес-ким колебательным контуром.

Как угадать решение? Приведем при-мер того, как проясняются некоторые чер-ты решения, прежде чем будет построенаппарат для точного решения задачи, дотого как найдены уравнения, на основекоторых задача будет решаться. Это заод-но и пример более сложного анализа раз-мерностей, чем в случае осциллятора.

Одна из труднейших и неразрешенныхзадач теоретической физики – связь грави-тационных и электромагнитных явлений.Если такая связь существует, то в резуль-тате решения каких-то еще не найденныхуравнений будет получено безразмерное

В Ы Ч И С Л Е Н И Я Б Е З В Ы Ч И С Л Е Н И Й 25

К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 126

число2, дающее соотношение между грави-тационной постоянной G и величинами,характеризующими электромагнитные яв-ления, такими как скорость света с, зарядэлектрона е и его масса m. Если существен-ны квантовые явления, то в задачу можетвойти еще постоянная Планка h. Знаяразмерности величин G, с, е, m, h, нетруд-но убедиться, что из этих величин можносоставить только две независимые безраз-мерные комбинации:

2e

cℏ;

2

c

Gm

ℏ

(напомним, что h = h (2 )).Первая из этих комбинаций характеризу-

ет взаимодействие электрона с электромаг-нитным полем (безразмерный «заряд» элек-трона) и называется постоянной тонкойструктуры. Подстановка численных значе-ний дает 1 137 , . Может литакое большое число, как , возникнуть врезультате решения каких-либо разумныхуравнений? Безразмерные числа, возника-ющие в результате решения физическихзадач, как мы уже говорили, имеют поря-док нескольких единиц или долей единицы.Поэтому мы вправе ожидать, что величина

войдет в задачу в такой форме, чтобы врезультате получилось число порядка 1.Пока мы применяли здравый смысл. Те-перь должен быть сделан небольшой ин-туитивный логический скачок. Правдопо-добно, что в теорию войдет комбинация

ln 1∼ .

Ясно, что знание такого соотношенияоблегчает поиски решения. Именно в та-кой форме входит величина в существу-ющие сейчас теоретические попытки реше-ния задачи о связи электродинамики сгравитацией.

Предельное упрощение

Основная идея квантовой механики.Попробуем показать на другом примере,

как, предельно упрощая задачу, можноопределить главные черты явления. Этотпример пояснит, что такое качественныйподход к задаче.

Согласно квантовой механике энергияэлектрона в атоме может принимать толь-ко дискретные значения. Возможные зна-чения энергий электрона в атоме водородадаются выражением

4

2 2

1

2n

meE

nℏ (2)

(физики, как правило, не пользуются сис-темой единиц СИ). Разности значений nEдля двух разных n (n = 1, 2, 3,...) опреде-ляют с большой точностью частоты наблю-даемых на опыте спектральных линий.Основная идея квантовой механики состо-ит в том, что каждая частица (в данномслучае – электрон) характеризуется некимволновым процессом с длиной волны

2

mv

ℏ,

где m – масса частицы, v – ее скорость.Дискретные значения энергии электронаполучаются из того условия, что на длинеорбиты, по которой движется электрон,должно укладываться целое число волн.Если радиус орбиты r, то n-му состояниюэлектрона соответствует условие 2 r n(n = 1, 2,...), или nmv n rℏ . Отсюданетрудно найти кинетическую энергию вn-ом состоянии:

2 2 2

22 2

nn

mv nW

mr

ℏ.

Полная энергия электрона складываетсяиз кинетической энергии и потенциальнойэнергии в поле ядра, которая отрицатель-на и равна 2U Ze r . Полная энергияэлектрона в атоме водорода равна

.

В нашем выводе мы предполагаем, чторадиус орбиты r имеет фиксированноезначение. Согласно квантовой механикерадиусы орбит «разбросаны» в окрестно-сти классически устойчивой орбиты. Вкачестве оценки радиуса можно взять зна-чение r, которое соответствует минимуму

2 Для того чтобы соотношение между раз-личными физическими величинами не зависе-ло от выбора единиц, оно должно быть записа-но в виде безразмерной комбинации.

27К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 1

энергии E r .Чтобы найти минимум E r , поступим

следующим образом. Перепишем выраже-ние для E r в таком виде:

2E Ax Bx .

Мы ввели такие обозначения: 1x r ,, 2B e . Видно, что при

1 0x и 2x B A значение Е равно нулю.Внутри интервала ]x1; x2[ E отрицательно.Где-то внутри этого интервала лежит ми-нимум Е. Будем для оценки считать, что

minE соответствует значение х в серединеинтервала, т.е. . Соответствен-но, 1 2r x A B , т.е.

2 2

2n

nr

me

ℏ.

(Отметим, что при n = 1 это выражениедает верную оценку для радиуса атома внаинизшем состоянии.) Подставив это зна-чение nr в выражение для nE r , получим

4

2 2

1

2n

meE

nℏ,

т.е. выражение, совпадающее с (2)!В действительности электрон может с

разной вероятностью находиться на лю-бом расстоянии от ядра. Наше упрощениесостояло в предположении, что это рассто-яние определенное, равное r, и находитсяиз условия минимальности энергии. Разу-меется, мы действовали грубо. Поэтомунельзя доверять числовому множителювпереди этой формулы, хотя он случайнополучился правильным. Но всему осталь-ному можно доверять! И множителю

4 2me ℏ , и, что особенно важно, зависимо-сти от «квантового числа» n.

Точное решение потребовало бы знанияосновного уравнения квантовой механики

(уравнение Шредингера) и очень сложной(по школьным понятиям) математики. То,что мы получили, и есть качественноерешение, когда результат находится с точ-ностью до неизвестного числового множи-теля, но характер зависимости от парамет-ров задачи передается точно. Качествен-ное решение чрезвычайно облегчает полу-чение точного решения, поскольку выяс-няются главные черты явления. Болеетого, если есть качественное решение, аточного не удается получить аналитичес-ки, можно без особых потерь в пониманиизадачи найти его с помощью вычислитель-ных машин.

Еще одно обобщение – квантовые ос-цилляторы. Не сложнее решается задача оквантовании осциллятора. При этом намне существенно, как реализован осцилля-тор – представляет ли он груз, колеблю-щийся на пружине, или электрическийколебательный контур.

Обозначим через q обобщенную коорди-нату осциллятора. Запишем энергию ос-циллятора:

.

Можно себе представить, что осциллятор –это некая «частица» с массой , колеблю-щаяся на пружине с жесткостью . Длятого чтобы сформулировать для этого объек-та основную идею квантовой механики,введем длину волны волнового процесса,связанного с нашей частицей:

2

q

ℏ.

В знаменателе стоит произведение «мас-сы» на ее скорость. Так как скоростьизменяется при движении частицы, то идлина волны тоже меняется – она мини-мальна вблизи положения равновесия ирастет в тех областях, где скорость части-цы мала.

Пусть частица движется в области от0q до 0q . (Подчеркнем, что 02q – не

размах колебаний осциллятора, а та об-ласть, в которой «дрожит» его координа-та.) Для того чтобы образовалась стоячаяволна, на «длине» 02q должно уклады-

В Ы Ч И С Л Е Н И Я Б Е З В Ы Ч И С Л Е Н И Й 27

К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 128

ваться целое число полуволн: 02q1 2n (n = 0, 1, 2,…). В качестве

оценки скорости возьмем значение скоро-сти при 0q q , т.е.

02q ℏ

01 2n qℏ . Подставляя это значе-ние в выражение для кинетической энер-гии, находим

22 2

20

1

8n

nW

q

ℏ

.

Для полной энергии получаем2 2 2

0

0 20

1

8 2n

n qE q

q

ℏ.

При малых значениях 0q энергия великаиз-за первого слагаемого, а при больших0q – из-за второго. Примерное значение0q , дающее наименьшую энергию, полу-

чится, если приравнять оба слагаемых. Изэтого условия находим

2

0

1

2

nq

ℏ.

Подставляя в выражение для энергии,получаем

1 12 2nE n nℏ ℏ

(n = 0, 1, 2,…).

Величина представляет собойчастоту колебаний классического осцил-лятора.

При точном расчете для энергии получа-ется выражение

1

2nE nℏ .

Таким образом, мы ошиблись в числовоммножителе ( 2 вместо 1), а также вчисленном значении энергии в самом низ-

шем состоянии, т.е. при n = 0 (2ℏ вместо

1

2ℏ ). Но все остальное получилось точ-

но! Теперь, когда результат получен, сле-дует задуматься над тем, что мы использо-вали для его получения и что вытекает изполученных нами выражений для энергииосциллятора и для величины 2

0q .Прежде всего, мы применили к нашему

осциллятору, не интересуясь тем, как он

устроен, принципы квантовой механики,установленные первоначально примени-тельно к электронам. Конечно, естествен-но ожидать, что общие принципы должныбыть такими же и для других частиц,массы которых отличаются от массы элек-трона. Действительно, такое обобщение сбольшой точностью подтвердилось опы-том. Но почему эти же принципы можноприменять и к такому объекту, как колеба-тельный контур, где роль «координаты»играет заряд на обкладках конденсатора?Здесь мы подошли к важному предполо-жению, которое широко использовалось ииспользуется в теоретической физике XXвека. Если две системы имеют энергию,одинаково зависящую от координат и ско-ростей, то такие системы обладают одина-ковыми свойствами, несмотря на то, что«координаты» и «скорости» могут иметьсовершенно разный смысл в этих систе-мах.

Не было ни одного примера, где бы этопредположение противоречило опыту.Поэтому мы вправе считать, что решилизадачу о применении квантовой механикисразу для всех возможных осцилляторов.

Теперь подумаем, что означают получен-ные нами результаты. Как они переходятв формулы классической механики? Преж-де всего, мы получили, что энергия изме-няется не непрерывно, а порциями величи-ны ℏ . Правда, величина ℏ очень мала, идля обычных макроскопических осцилля-торов эта скачкообразность изменения энер-гии практически не наблюдается. Впро-чем, есть такие особые макроскопическиесистемы, где скачкообразность играет оп-ределяющую роль (например, лазеры).Правильность полученного нами выраже-ния для энергии осциллятора проверена сбольшой точностью для многих видов ос-цилляторов.

Есть еще одно важное свойство кванто-вого осциллятора, которое тоже нами по-лучено. Когда энергия минимальна, клас-сический осциллятор находится в покое вположении равновесия; между тем кванто-вый осциллятор в наинизшем энергетичес-

(Продолжение см. на с. 37)

Эволюционные процессыи обыкновенные

дифференциальныеуравнения

В.АРНОЛЬД

Уравнение было очень сложное, нопрофессор с присущей ему скромнос-тью назвал его обыкновенным.

Из газетного интервью с математиком

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ –одно из основных орудий математи-

ческого естествознания. Изобрел их ИсаакНьютон (1642–1727). Задачи, по суще-ству приводящие к дифференциальнымуравнениям, появлялись и до Ньютона.Однако решать их умели лишь такие ге-нии, как президент французской Акаде-мии наук X.Гюйгенс (1629–1695) и учи-тель Ньютона, математик и богослов, про-поведник английского короля И.Барроу(1630–1677). После Ньютона их решаютлюбые студенты и даже школьники.

Ньютон считал свое изобретение настоль-ко важным, что зашифровал его в видеанаграммы1 , смысл которой в современ-

ных терминах можно вольно передать так:«полезно» решать дифференциальныеуравнения (так как ими выражаются зако-ны природы).

В другой, более длинной анаграммеНьютон зашифровал также и придуман-ный им рецепт решения всех уравнений, втом числе и дифференциальных.

Теория дифференциальных уравненийперерабатывает вопросы естествознания вгеометрические задачи о кривых, опреде-ленных векторными полями (см. ниже),подобно тому, как декартов метод коорди-нат превращает вопросы об алгебраичес-ких уравнениях в задачи о линиях и поверх-ностях.

Состояния процесса

Чтобы изучить какой-либо процесс, нуж-но прежде всего уметь описывать множе-ство всевозможных состояний этого про-цесса. Посмотрим, как это делается, напримерах.

1. Движение точки по прямой. Опытпоказывает, что для определения движе-

Опубликовано в «Кванте» №2 за 1986 год.

1 6accdael3eff7i3l9n4o4qrr4s9tl2vx. Расшиф-ровка: data aequatione quotcunque fluentesquantitates invuolvente fluxiones invenire etvice versa, т.е. «по данному уравнению, содер-жащему сколько-нибудь функций, найти про-изводную и обратно». Эта анаграмма содер-жится в знаменитом «втором письме» Ньютонасекретарю Королевского общества (английс-кой академии наук) Ольденбургу от 24 октября1676 года. Письмо предназначалось Лейбницу(1646–1716) и содержало сообщение об изоб-ретении математического анализа. Перепискус Лейбницем, жившим в Германии, Ньютон велчерез Ольденбурга (которого впоследствии зак-лючили в Тауэр за связь с иностранцами).

Рис. 1. Движение по прямой

К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 130

ния материальной точки по прямой в от-сутствие внешних сил достаточно задать вначальный момент ее скорость и положе-ние на прямой. Поэтому множество всех еесостояний математик отождествляет с ко-ординатной плоскостью ;s v : каждой точ-ке на этой плоскости отвечает материаль-ная точка, движущаяся со скоростью v изанимающая положение с координатой s, иобратно – каждому состоянию отвечаетсвоя точка плоскости (рис.1).

2. Колебания маятника. Состояние плос-кого маятника тоже описывается двумяпараметрами, например углом отклонения

от вертикали и угловой скоростью маятника (рис.2). Стало быть, множе-

ством состояний маятника снова будетплоскость? Не совсем. Дело в том, что приизменении угла на 2 маятник возвра-щается в прежнее положение. Поэтомумножество состояний здесь – цилиндри-ческая поверхность (см. рис.2).

3. Положение возов на двух дорогах.Города А к В соединены двумя непересека-ющимися дорогами, на каждой из которыхнаходится воз; нас интересует их взаимноерасположение. Положение воза на первойдороге (рис.3) можно определить числом –

долей расстояния от А до В (по первойдороге), заключенной между А и возом;аналогично, воз на второй дороге опреде-ляется такой же долей по второй дороге.Поэтому интересующее нас множество со-стояний описывается точками ;x y еди-ничного квадрата (0 1x , 0 1y ).

Множества состояний процесса в теориидифференциальных уравнений называютфазовыми пространствами. Итак, каж-дая точка фазового пространства (фазо-вая точка) изображает состояние процес-са. А само течение конкретного процессаизображается линией в фазовом простран-стве; эти линии называются фазовымитраекториями.

Введение фазового пространства про-цесса геометризует теорию – вопросы оходе процесса превращаются в вопросы оповедении фазовых траекторий. Получа-ющиеся геометрические задачи могут бытьтрудными. Однако бывает и так, что ужеодно введение фазового пространства по-зволяет решить трудную задачу.

Задача (Н.Н.Константинов). Из городаА в город В ведут две непересекающиесядороги. Известно, что две машины, выез-жающие по разным дорогам из А в В исвязанные веревкой некоторой длины,меньшей 2l, смогли проехать из А в В, непорвав веревки. Могут ли разминуться,не коснувшись, два круглых воза с сеномрадиуса l, центры которых движутся поэтим дорогам навстречу друг другу?

Фазовым пространством здесь служитединичный квадрат. Начальное положе-ние машин (в городе А) соответствуетлевому нижнему углу квадрата, а движе-ние машин из А в В изображается кривой,ведущей в противоположный угол (см.рис.3). Точно так же начальное положениевозов соответствует правому нижнему углуквадрата, а движение возов изображаетсякривой, ведущей в противоположный уголквадрата (левый верхний). Но всякие двекривые в квадрате, соединяющие разныепары противоположных вершин, пересе-каются. Поэтому, как бы ни двигалисьвозы, наступит момент, когда пара возовзаймет положение, в котором была в неко-торый момент времени пара машин. В этот

Рис. 2. Колебания маятника

Рис. 3. Задача о двух возах на двух дорогах

31К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 1

момент расстояние между центрами возовбудет меньше 2l. Итак, разминуться неудается.

В рассмотренной задаче не участвовалидифференциальные уравнения, но ходрассуждений близок к тому, чем мы будемзаниматься дальше: описание хода процес-са как линии подходящего фазового про-странства часто оказывается чрезвычайнополезным.

Общая схема теории дифференциаль-ных уравнений такова. Поскольку началь-ное состояние рассматриваемых нами про-цессов определяет их будущий ход, оноопределяет и скорость изменения состоя-ния, т.е. скорость движения фазовой точ-ки. Зависимость скорости движения фазо-вой точки от ее положения (или локальныйзакон эволюции процесса) как раз и выра-жается, по Ньютону, дифференциальнымуравнением. Геометрически это уравнениеизображается векторами, приложеннымик каждой фазовой точке и указывающими,куда и с какой скоростью из этой точкивыходить. Вместе все эти векторы состав-ляют векторное поле фазовой скорости(см. например, рисунки 5, 11 ниже). Тео-рия дифференциальных уравнений долж-на по векторному полю описывать ходпроцесса, т.е. находить траектории движе-ния фазовых точек, отвечать на вопросы охарактере их движения (например, натакие вопросы: будут ли траектории огра-ничены? возвращаются ли они к исходнойточке?). Значение этих вопросов для изу-чения процесса очевидно.

Уравнение математического маятника

Согласно законам механики угловое ус-корение маятника пропорционально мо-

менту силы тяжести(рис.4):

sinI mglɺɺ ,

где m – масса, l – длина, – угол отклонения;

точка сверху означаетпроизводную по време-ни t (здесь и всюдуниже), две точки – вто-рую производную,

2I ml – момент инерции. Знак минус вуравнении объясняется тем, что моментстремится уменьшить отклонение. Послесокращений получим sinkɺɺ , гдеk g l. Коэффициент k можно сделатьравным 1 подходящим выбором масштабавремени (поделив t на k ). Тогда уравне-ние математического маятника примет вид

sinɺɺ . (1)

Фазовым пространством маятника являет-ся цилиндр ; , где ɺ – угловаяскорость. Мы можем записать уравнение(1) в виде системы

, sinɺ ɺ , (2)

в которую входят только первые произ-водные неизвестных и . Эта системавыражает локальный закон эволюции со-стояния маятника: скорость изменениявыражена через само состояние.

Решить уравнение (1) (или систему (2)),оказывается, не так легко. Если ограни-читься небольшими углами (малые ко-лебания), то sin . Поэтому при ма-лых пользуются вместо (1) приближен-ным уравнением ɺɺ . Оно называетсяуравнением малых колебаний маятника.Его решения sinC t вам известныиз курса физики: при малых углах откло-нения плоский математический маятниксовершает гармонические (синусоидаль-ные) периодические колебания. Вопрос отом, насколько меняется этот вывод припереходе к «истинному» уравнению маят-ника (1), нуждается в специальном иссле-довании.

Воспользуемся фазовым пространствомсистемы (2) – цилиндром ; . В каждойточке фазового пространства построимвектор фазовой скорости, т.е. вектор скоординатами ; ; sinɺ ɺ – геомет-рический эквивалент закона природы (1).Полученная картина – поле фазовой ско-рости – изображена на рисунке 5 (длянаглядности мы разрезали цилиндр пообразующей и развернули его).

На этой картине можно разглядеть сле-дующее. В двух точках фазовая скоростьравна нулю. Точке А отвечает нижнее(устойчивое) положение равновесия, точ-

Рис. 4. Математи-ческий маятник

ЭВОЛЮЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ И ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 31

К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 132

ке В – верхнее (неустойчивое) положениеравновесия. При малых значениях , ɺ

видно, что точки фазового пространстваперемещаются по замкнутым кривым, по-хожим на окружности (малые колебания),при увеличении замкнутые кривые уве-личиваются и растягиваются в подобиеэллипсов (колебания большой амплиту-ды).2 Особую роль играют траектории,помеченные красными стрелками: упав-ший из положения неустойчивого равнове-сия маятник совершает полный оборот ивновь замирает в верхнем положении. Этатраектория отделяет колебания от (нерав-номерных) вращений, которые совершаетмаятник, если его скорость при 0 пре-вышает в наших безразмерных единицахчисло 2.

Караси (нормальное размножение)

В большом пруду разводят карасей.Караси не мешают друг другу, корма им

хватает. Как будет меняться число карасейx t с течением времени t? Скоростьприроста карасей при этих условиях ока-зывается пропорциональной количествуособей; поэтому можно написать

, 0x kx kɺ . (3)

Это уравнение называется дифференци-альным уравнением нормального илимальтузианского размножения.3 (Напом-ним, что xɺ обозначает производную повремени.)

Теорема существования. Любая функ-ция вида ktx Ce , где С – постоянная,является решением уравнения (3).

Доказательство: подставьте в уравне-ние.

Из доказанной теоремы следуетТеорема единственности. Других реше-

ний у уравнения (3) нет.Доказательство. Любую функцию мож-

но записать в виде ktx t C t e . Тогдаktx Ce kxɺɺ . Поэтому для выполнения

равенства x kxɺ необходимо и достаточ-но, чтобы 0Cɺ , т.е. чтобы С было кон-стантой.

Графики решений уравнения называют-ся интегральными кривыми. Эти кривыележат в пространстве–времени, т.е. наплоскости с координатами ;t x . Для вы-черчивания интегральных кривых полез-на заготовка, которая называется полемнаправлений уравнения и состоит из ма-леньких отрезочков, приложенных в каж-дой точке пространства–времени под уг-лом к оси времени, тангенс которого равенправой части уравнения (kx для уравне-ния (3); рис.6). Интегральная кривая в

2 Замкнутость фазовых траекторий означаетпериодичность колебаний (трение мы не учи-тываем). Замкнутость вытекает из следующейтеоремы Гюйгенса («закон сохранения энер-гии»): 2 2 cosE ɺ при движении не меня-ется. Доказательство: . Дока-зательство самого Гюйгенса было, конечно,иным: он не знал анализа. Однако не следуетнедооценивать силу методов предшественни-ков Ньютона. Гюйгенс или Барроу нашли бы,скажем, значение предела

0

sin tg tg sinlim

arcsin arctg arctg arcsinx

x x

x x

мгновенно из геометрических соображений(редко кто из современных математиков справ-ляется с вычислением этого предела за час).

3 В некоторых случаях скорость размноже-ния оказывается пропорциональной не числуособей, а числу пар. Такое аномальное размно-жение гораздо медленнее обычного при малойплотности населения (например, китам неко-торых видов трудно найти пару). Напротив,при больших х размножение со скоростью,пропорциональной 2x , приводит к «взрыву» законечное время: график x t имеет вертикаль-ную асимптоту (почему?). Эта ситуация реа-лизуется в уравнениях химической кинети-ки, где скорость реакции пропорциональнаколичеству каждого из реагентов.

Рис. 5. Поле фазовой скорости математическо-го маятника

33К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 1

каждой своей точке касается соответству-ющего отрезка и, обратно, кривая, всюдукасающаяся наших отрезков, будет графи-ком решения (в этом и состоит геометри-ческий смысл дифференциального урав-нения).

Мы только что доказали, что через каж-дую точку пространства–времени про-ходит ровно одна интегральная кривая

ktx Ce уравнения (3). Эта формула вы-ражает закон нормального размножения:для удвоения количества карасей всегдатребуется одно и то же время независимоот их количества. Период удвоения насе-ления Земли в настоящее время около 40лет. Следовательно, число живущих сей-час людей больше числа умерших за 1000лет и было бы больше числа всех когда-либо умерших людей, если бы скоростьприроста не менялась. Время существова-ния человечества получается тогда поряд-ка 2000 лет; следовательно, скорость при-роста населения раньше была меньше.

Замечания

1. Наши рассуждения основывались на уга-дывании решений ktx Ce . Найти эти реше-ния можно следующим более систематическимобразом. Тангенс угла наклона интегральнойкривой уравнения x v xɺ к оси t равен v x .Значит, тангенс угла наклона к оси х равен

1 v x . Вдоль интегральной кривой (если онанигде не параллельна оси t) можно выразить tв виде функции от x. Обозначая производнуюпо х штрихом, получим 1t v x . Значит, tесть первообразная от 1 v . Это позволяет вы-разить t через х, а затем и х через t. (Разуме-ется, прямые пространства–времени, где

0v x , приходится выкидывать, чтобы неделить на ноль.) При v x kx получаем

, ln constkt x , ktx Ce .2. Теорема единственности, утверждающая,

что не совпадающие интегральные кривые непересекаются, – чрезвычайно удивительныйфакт, противоречащий наглядной очевидностии физическому опыту. Например, интеграль-ные кривые уравнения (3) при k = 1, проходя-щие через точки 0;0 и 0;1 при 5t , наглаз неразличимы, а при 30t между нимине умещаются и атомы. Тем не менее, матема-тики считают их непересекающимися и при

1010t .3. В физической литературе последнего вре-

мени подвергается сомнению данный Ньюто-ном в 1684 году вывод законов Кеплера из(указанного ему Гуком в письме от 6 января1680 г.) закона всемирного тяготения: этотвывод неявно использует не доказываемуюНьютоном теорему единственности для урав-нения движения. В действительности, однако,единственность следует из существования ре-шения, зависимость которого от начальнойточки выражается дифференцируемой функ-цией. Доказательство единственности в этомслучае аналогично приведенному выше дляуравнения размножения, нужное же решениеНьютон предъявил. В письме Галлею о своейдискуссии с Гуком Ньютон дал описание раз-ницы между подходами математиков (Ньюто-на) и физиков (Гука) к естествознанию, оста-ющееся актуальным и сегодня: «Математики,которые все открывают и устанавливают ипроделывают всю работу, должны довольство-ваться ролью сухих вычислителей и чернора-бочих; другой, который всего лишь все схваты-вает и на все претендует, присваивает себе всеизобретения как своих последователей, так исвоих предшественников». В обязанности Гукакак куратора Королевского общества входилодоказывать опытами на еженедельных заседа-ниях общества по 2 или 3 новых закона приро-ды, что он и делал в течение 40 лет. Доказыва-емые законы могли быть открыты и другими,но Гук насчитывал до 500 законов, открытых

Рис. 6. Поле направлений уравнения нормаль-ного размножения x kxɺ и решение, прохо-дящее через начальную точку

0 0;t x

ЭВОЛЮЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ И ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 33

К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 134

лично им. Естественно, он не все успевалобосновывать математически.

Вернемся, однако, к нашим карасям.Через некоторое время карасей станет стольмного, что им не будет хватать корма и имстанет тесно; дальнейший прирост уже небудет удовлетворять уравнению (3).

Караси при нехватке пищи(логистическая кривая)

Если наш пруд с карасями невелик илиесли число карасей в большом пруду силь-но возросло, конкуренция из-за пищи при-водит к уменьшению скорости прироста.Простейшее предположение состоит в том,что коэффициент k зависит от числа кара-сей линейно, т.е. k a bx (при не слиш-ком больших х всякую гладкую функциюможно аппроксимировать линейной). Мыприходим, таким образом, к уравнениюразмножения с учетом конкуренции:x a bx xɺ . Коэффициенты а и b мож-но превратить в единицы выбором масшта-бов t и x. Мы получаем так называемоелогистическое уравнение

1x x xɺ . (4)

Поле направлений уравнения (4) в про-странстве–времени показано на рисунке7,а, а на рисунке 7,б, показаны графики

решений. S-образные интегральные кри-вые в полосе 0 < х < 1 называютсялогистическими кривыми. Мы видим, что

1) процесс имеет два положения равно-весия: х = 0 и х = 1;

2) между прямыми х = 0 и х = 1 поленаправлено вверх от 0 к 1, а при x > 1 –вниз к 1.

Таким образом, положение равновесия 0неустойчиво (раз появившееся населениекарасей начинает расти), а положение рав-новесия 1 устойчиво (меньшее населениерастет, большее – убывает). Каким бы нибыло начальное число карасей х > 0, стечением времени процесс выходит к устой-чивому состоянию равновесия х = 1. Укаждого пруда, таким образом (при неиз-менных прочих условиях), имеется свое«правильное» число карасей, и любая по-пуляция карасей будет к этому числу стре-миться.

Ловля карасей

До сих пор мы рассматривали свобод-ную популяцию карасей, развивающуюсяпо своим внутренним законам. Предполо-жим теперь, что мы карасей вылавливаем(скажем, колхозный пруд регулярно снаб-жает местный рыбный магазин живойрыбой). Предположим, что скорость отло-ва постоянна. Мы приходим к дифферен-циальному уравнению отлова

1x x x cɺ . (5)

Величина c характеризует разрешаемуюскорость отлова и называется квотой.

На рисунке 8 показаны три разновидно-сти графиков решений уравнения (5) притрех разных с.

Мы видим (рис.8,a), что при не слиш-ком большой скорости отлова (0 1 4c )существуют два положения равновесия(х = А и х = В). Нижнее положениеравновесия А неустойчиво. Если по каким-либо причинам (перелов, болезни) в неко-торый момент величина популяции х опу-стится ниже А, то в дальнейшем вся попу-ляция за конечное время исчезнет. Верх-нее положение равновесия В устойчивое –это стационарный режим, на который вы-ходит популяция при постоянном отлове с.

Рис. 7. Поле направлений и графики решенийлогистического уравнения 1x x xɺ . Реше-ния х = 1 и х = 0 отвечают положениям устой-чивого и неустойчивого равновесия

35К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 1

Естественно, равновесное население пру-да, в котором производится отлов, мень-ше, чем в пруду, в котором лов не ведется.

Если 1 4c (рис.8,в), то равновесийнет и все караси будут отловлены за конеч-ное время (завышенный план по продажеживой рыбы в магазине приведет к еегибели; исторический пример такого рода –истребление стеллеровой коровы).

При 1 4c (рис.8,б) имеется одно неус-тойчивое состояние равновесия (A = B == 1/2). Отлов с такой скоростью при доста-точно большой начальной популяции мате-матически возможен в течение сколь угоднодлительного времени, однако сколь угодномалое колебание численности установив-шейся равновесной популяции вниз (см.точку F) приводит к полному отлову кара-сей за конечное время (план отлова 1 4cдля магазина «Рыба» тоже не годится).

Таким образом, хотя теоретически допу-стимы любые квоты вплоть до максималь-ной ( 1 4c ), максимальная квота 1 4cприводит к неустойчивости и недопусти-ма.4 Более того, практически недопустимыи близкие к 1 4 квоты, так как при нихопасный порог А близок к установившему-ся режиму В (небольшие случайные от-клонения отбрасывают популяцию нижепорога А, после чего она погибает).

Рис. 8. Решения уравнения отлова 1x x x cɺ при разных значениях квоты отлова с. При 1 4cлюбая популяция стремится к устойчивому равновесию х = В, при 1 4c положение равновесиянеустойчиво, при 1 4c любая популяция вымирает

Оказывается, что все же можно так орга-низовать отлов, чтобы устойчиво получатьулов со скоростью 1 4c . Посмотрим,как это делается.

Введение обратной связи

Фиксируем вместо абсолютной скоростиотлова относительную, т.е. фиксируемотлавливаемую за единицу времени долюналичной популяции:

1x x x pxɺ . (6)

На рисунке 9 показано пространство –время для уравнения (6) (при р < 1) играфики некоторых решений. Видно, чтонижнее, неустойчивое положение равнове-сия теперь в точке х = 0, второе положениеравновесия В устойчиво при любом р (еслитолько 0 < p < 1).

После некоторого периода установленияпопуляция карасей выходит на стационар-

4 Важный для экономики вывод математи-ческой экологии: стремление максимизироватьприбыль, доход или количество продукциичревато возникновением неустойчивости сис-темы.

Рис. 9. Решения уравнения отлова с относи-тельной квотой 1x x x pxɺ при р < 1.Любая популяция стремится к устойчивомузначению х = В

ЭВОЛЮЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ И ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 35

К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 136

ный режим х = В. Абсолютная скоростьулова устанавливается при этом равнойс = рВ. (Это – ордината точки пересеченияграфиков функций 1v x x и v px .)Исследуем поведение этой величины приизменении р. При малых относительныхвыловах (малых р) установившаяся ско-рость отлова тоже мала; при 1p онатоже стремится к нулю (перелов). Наи-большее значение абсолютной скорости сравно наибольшей ординате графика фун-кции 1v x x . Она достигается, когда

прямая v = px про-ходит через верши-ну параболы (т.е.при 1 2p ), и

1 4c (рис.10).Выберем 1 2p

(т.е. назначим от-носительную кво-ту так, чтобы уста-новившаяся попу-ляция составлялаполовину необлав-ливаемой). Мы до-стигли, как и былообещано, макси-

мально возможной стационарной скоростиотлавливания 1 4c , причем система ос-тается устойчивой (возвращается к уста-новившемуся состоянию при малых откло-нениях популяции от установившейся).5

Караси и щуки

В нашем пруду с карасями завелисьщуки. Если бы щук не было, караси раз-множались бы по экспоненте, со скорос-тью x kxɺ (пруд большой). Но теперьследует учесть карасей, съеденных щука-ми, и мы предположим, что число встречкарасей со щуками пропорционально какчислу карасей х, так и числу щук у, тогдадля скорости изменения числа карасейполучим уравнение x kx axyɺ . Что ка-сается щук, то без карасей они вымирают:y lyɺ , в присутствии же карасей начи-нают размножаться со скоростью, пропор-

циональной числу съеденных карасей:y ly bxyɺ . Мы приходим, таким обра-зом, к системе дифференциальных урав-нений простейшей модели системы «хищ-ник–жертва»:

,

.

x kx axy

y ly bxy

ɺ

ɺ (7)

Эта модель называется моделью Лотка–Вольтерра.

Фазовым пространством этой системыслужит угол 0x , 0y . Нарисуем нанем поле фазовой скорости системы(рис.11), т.е. к каждой точке ;x y прило-жим вектор

;kx axy ly bxy .

У этого поля есть особая точка (к нейприложен нулевой вектор), а именно точ-ка ;l b k a ; она отвечает равновесномуколичеству карасей и щук, когда приросткарасей уравновешивается деятельностьющук, а прирост щук – их естественнойсмертностью.

Если начальное число щук меньше0y k a (точка А на рисунке), то коли-

чество карасей и щук растет, пока раз-множившиеся щуки не начнут съедатьбольше карасей, чем их рождается (точ-ка В), затем число карасей начнет убы-вать, а число щук продолжает расти,пока нехватка пищи не приведет и щук квымиранию (точка С); затем число щукуменьшится настолько, что караси снованачнут размножаться (точка D); начав-шееся размножение карасей приведет к

5 Но для этого планирование должно бытьгибким: план уменьшается при неурожае иувеличивается при благоприятных условиях.

Рис. 10. Нахождение оп-тимального устойчивогорежима отлова с отно-сительной квотой

Рис. 11. Поле фазовой скорости в модели «хищ-ник–жертва»

37К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 1

тому, что со временем и щуки начнутразмножаться.

Но вернемся ли мы к точке А? Инымисловами, будет ли процесс колебания по-вторяться периодически? Ответ на этотвопрос может зависеть от выбора началь-ной точки А (а также от значения парамет-ров системы).

Задачи для самостоятельного решения

1. Найдите уравнение логистической кривой.2. Являются ли интегральные кривые уравне-

ний (5) и (6) растянутыми логистическими кри-выми?

3. Докажите, что интегральные кривые уравне-ний (5) и (6), расположенные вне полосы междуА и В, имеют вертикальные асимптоты.

4. Могут ли пересекаться не совпадающиеинтегральные кривые логистического уравнения?

5. Докажите, что период Т колебания маятника(1) растет с амплитудой.

ЭВОЛЮЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ И ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 37

ком состоянии совершает колебания (ихназывают «нулевые колебания»). Кине-тическая и потенциальная энергия этихколебаний порядка ℏ . При этом среднеезначение координаты осциллятора равнонулю, а среднее значение квадрата коор-динаты дается приведенной выше форму-лой для 2

0q . Это замечательное свойствоквантовых осцилляторов хорошо прове-рено на опыте и играет важную роль всовременной физике.

Если рассмотреть звуковые колебания втвердом теле как набор квантовых осцил-ляторов, то мы получим, что при абсолют-ном нуле температуры атомы твердоготела не неподвижны, а совершают нуле-вые колебания. И этот факт был подтвер-жден опытами по рассеянию света принизких температурах! Если мы будем рас-сматривать электромагнитные волны, ко-торые могут распространяться в пустомпространстве, как набор осцилляторов, томы придем к заключению, что в пустоте,даже когда в ней нет ни частиц, ни кван-тов, должны происходить нулевые колеба-ния электромагнитного поля. И эти коле-бания также были обнаружены на опыте!Но это уже более сложный вопрос, кото-

рый требует подробного обсуждения.Понимание возникает в процессе рабо-

ты. Мы ввели без объяснения нескольконепонятных слов: квантование, волновойпроцесс, связанный с частицей, квантовыйосциллятор и т.д. И начали действовать,не очень их понимая. Тем не менее мынашли, как зависит энергия атома водоро-да от квантового числа n; узнали, чтоквантовый осциллятор в наинизшем энер-гетическом состоянии колеблется, и дажестали применять результаты квантованияосциллятора к такому объекту, как колеба-ния электромагнитного поля в пустоте. Ив результате этих действий возникло хотябы частичное понимание.

Итак, понимание возникает в процессеработы. Ведь если бы мы попыталисьдобиться полного понимания до того, какначали наши простые вычисления, ничегобы не получилось. Понимание возникаетне скачком, а по мере продвижения вработе. И наоборот, работа продвигаетсяпо мере углубления понимания.

Для того чтобы достичь более глубокогопонимания, надо самому решать задачи вданной области физики. Пассивное изуче-ние дает только слабое представление о техкрасотах, которые открываются при само-стоятельной работе.

6. Приближенно сосчитайте период колебаниямаятника малой амплитуды а.

7. Найдите предел периода колебаний маятни-ка при стремлении амплитуды к .

8. Докажите, что период колебания маятникаравен производной площади, ограниченной фазо-вой траекторией 2

2 cos Eɺ по энергии Е.9. Частицы массы 1 начинают двигаться с

нулевой скоростью одновременно изо всех точекоси х под действием силового поля sinF x .Через какое время частицы начнут сталкиваться?

Решения можно найти в следующих книгах:1. В.И.Арнольд. Обыкновенные дифферен-

циальные уравнения. – М.: Наука, 1984.2. В.И.Арнольд. Математические методы клас-

сической механики. – М.: Наука, 1974.

(Начало см. на с. 21)

Ответы

1. 1i ix e e . 2. Нет. 4. Нет.

6. 2

2 1 ...16

aT . 7. . 9. 2 .

З А Д А Ч Н И К « К В А Н Т А »

Избранные задачипо математике и физике

M1. В стране Анчурии, где правит прези-дент Мирафлорес, приблизилось времяновых президентских выборов. В странеровно 20 миллионов избирателей, из кото-рых только один процент (регулярнаяармия Анчурии) поддерживает Мирафло-реса. Мирафлорес, естественно, хочет бытьизбранным, но, с другой стороны, он хочет,чтобы выборы казались демократически-ми. «Демократическим голосованием»Мирафлорес называет вот что: все избира-тели разбиваются на несколько равныхгрупп, затем каждая из этих групп вновьразбивается на некоторое количество рав-ных групп, затем эти последние группыснова разбиваются на равные группы и такдалее; в самых мелких группах выбираютпредставителя группы – выборщика, затемвыборщики выбирают представителей дляголосования в еще большей группе и такдалее; наконец, представители самых боль-ших групп выбирают президента. Мираф-лорес делит избирателей на группы, как онхочет, и инструктирует своих сторонни-ков, как им голосовать. Сможет ли он такорганизовать «демократические выборы»,чтобы его избрали президентом? (Приравенстве голосов побеждает оппозиция.)

XXXII Московская математическаяолимпиада

M233*. В концах отрезка пишутся двеединицы. Посередине между ними пишет-ся их сумма – число 2. Затем посерединемежду каждыми двумя соседними из напи-санных чисел снова пишется их сумма итак далее – 1973 раза. Сколько раз будетнаписано число 1973?

Г.Гальперин

M365. а) Сумма нескольких чисел равна1. Может ли сумма их кубов быть большеединицы?б) Тот же вопрос для чисел, каждое изкоторых меньше единицы.

в) Может ли случиться, что ряд

1 2 3a a a+ + +… сходится, а ряд3 3 31 2 3a a a+ + +… , образованный кубами его

членов, расходится?(Напомним, что ряд 1 2 3x x x+ + +… на-зывается сходящимся, если последователь-ность чисел 1 2n nS x x x= + + +… имеетпредел.)

M413*. Для каких положительных чисел aверно следующее утверждение: для любойфункции f, определенной на отрезке [ ]0;1 ,непрерывной в каждой точке этого отрезкаи такой, что ( ) ( )0 1 0f f= = , уравнение

( ) ( ) 0f x a f x+ - = имеет решение?а) Выясните сначала этот вопрос для слу-чая 1 2a = .б) Докажите, что для 1a n= , где n –натуральное число, сформулированноеутверждение верно.в) Докажите, что для остальных положи-тельных a оно не верно.

И.Яглом

M600. Два велосипедиста едут по двумпересекающимся окружностям. Каждыйедет по своей окружности с постояннойскоростью. Выехав одновременно из од-ной из точек пересечения окружностей исделав по одному обороту, велосипедистывновь встретились в этой точке. Докажите,что на плоскости, в которой лежат окруж-ности, существует такая неподвижная точ-ка, расстояния от которой до велосипеди-стов все время одинаковы, если они едут:а) в одном направлении (против часовойстрелки); б) в разных направлениях.

Н.Васильев, И.Шарыгин

M818. Пусть какие-то k вершин правильно-го n-угольника закрашены красным цветом(остальные вершины – черные). Будем на-зывать множество закрашенных вершин рав-номерным, если при любом m количествакрасных вершин в любых двух наборах из m

З А Д А Ч Н И К « К В А Н Т А » 39

последовательных вер-шин n-угольника со-впадают или отлича-ются на 1 (на рисун-ке 1 приведен примерравномерного множе-ства для n = 8, k = 5).а) Постройте равно-мерные множества для

n = 12, k = 5; n = 17, k = 7.Докажите, что равномерное множествосуществует и единственно (с точностью доповоротов n-угольника), б) если n делитсяна k; в) для любых n и k (k n£ ).

М.Концевич

М942. Числа 1, 2, , 2 1, 2n n-… разбиты надве группы по n чисел в каждой. Пусть

1 2 na a a< < <… – числа первой группы впорядке возрастания, 1 2 nb b b> > >… –числа второй группы в порядке убывания.Докажите, что

21 1 2 2 n na b a b a b n- + - + + - =… .

В.Произволов

М1000. В дугу AB вписана ломаная AMB,состоящая из двух отрезков, причем AM >> MB. Докажите, что основание перпен-

дикуляра KH, опущенного из середины Kдуги AB на отрезок AM, делит ломануюпополам: AH = HM + MB (рис.2).

Архимед

М1069. В некотором городе разрешаютсятолько парные обмены квартир (если двесемьи обмениваются квартирами, то в тотже день не участвуют в других обменах).Докажите, что любой сложный обмен квар-тирами нескольких семей можно осуще-ствить за два дня.(Предполагается, что и до, и после обменакаждая семья живет в отдельной квартире.)

Н.Константинов, А.Шнирельман

М1397*. По контуру каждой грани выпук-лого многогранника ползает муравей (та-ким образом, муравьев столько же, сколько

граней), и все они движутся, обходя своюгрань по часовой стрелке. Известно, что ихскорости в любой момент времени не мень-ше 1 мм ч . Докажите, что рано или позднокакие-то два муравья столкнутся.

А.Клячко

Ф12. Два одинаковых тяжелых стальныхшарика вращаются на легких стержняхдлиной l и 2l вокруг точек 1O и 2O ,расстояние между которыми равно 3l(рис.3). В начальный момент шарики на-ходятся в точках А и В, имея скорости v и

2v соответственно. Сколько раз столкнут-ся шарики за время t? За какое времяшарики столкнутся k раз? Удары шариковсчитать абсолютно упругими.

Г.Коткин

Ф49. U-образная трубка заполнена водой.Из одного колена воздух удален, давлениевоздуха в другом колене при температуре20 C∞ равно атмосферному. Оба концатрубки запаяны. Разность между уровня-ми воды в коленах равна 15 м. Какойбудет разность уровней воды в коленах,если трубку нагреть до 100 C∞ ?

Б.Буховцев

Ф51. Фотографировать тигра с расстоя-ния менее 20 метров опасно. Какой размерможет иметь камера-обскура с отверстиемдиаметром 1 мм, чтобы тигр на фотогра-фии был полосатым? Расстояние междуполосами на шкуре тигра равно 20 см.

А.Стасенко

Ф54. Что пока-жет амперметр всхеме, изобра-женной на рисун-ке 4? Сопротив-ление ампермет-ра очень мало.

А.Зильберман

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 140

Рис. 1

Рис. 5

Опубликовано в «Кванте» №7 за 1982 год.

Ф65. Пластины плоского конденсаторазаряжены до потенциалов + и - отно-сительно земли. Емкость конденсатора,образованного пластинами, равна С, аемкости конденсаторов, которые образуюткаждая пластина с землей, равны 1C . Восколько раз изменится напряженность элек-трического поля между пластинами, еслиодну из них заземлить?

Л.Асламазов

Ф137. Инфракрасное излучение опреде-ленной длины волны поглощается мета-ном ( 4CH ). При нормальных условияхслой чистого метана толщиной 1 см погло-щает 98% энергии излучения. Во сколькораз ослабится такое излучение при про-хождении по вертикали атмосферы Зем-ли? При расчете массовое содержаниеметана в атмосфере принять равным

61,4 10

-◊ .С.Козел

Ф139. Футболист ударил по мячу, сооб-щив ему скорость v под углом к горизон-ту, и попал в ближний нижний угол ворот.Если бы футболист ударил по мячу в томже месте футбольного поля и мяч полетелбы под тем же углом к горизонту, но соскоростью, на 5% большей скорости v, тоон попал бы в верхнюю штангу ворот.Найдите скорость, с которой начинает дви-гаться мяч, если высота ворот h = 2 м, аугол 30= ∞ .

И.Слободецкий

Ф154. Оцените, сколько капелек водыимеется в 3

1 м тумана, если видимостьсоставляет 10 м и туман оседает через 2 ч.Высота слоя тумана 200 м. Сила сопро-тивления воздуха, действующая на каплюводы радиусом R (м), движущуюся соскоростью v (м с ), равна 4,3Rv (Н).

П.Капица

Ф166. В расположенном горизонтальноцилиндре (рис.5) с одной стороны от зак-репленного поршня находится 1 моль иде-ального газа. В другой части цилиндра –вакуум. Пружина, расположенная междупоршнем и стенкой цилиндра, находится внедеформированном состоянии. Цилиндр

теплоизолирован от ок-ружающей среды. Пор-шень освобождают, ипосле установления рав-новесия объем, занима-емый газом, увеличива-

ется вдвое. Как изменятся температурагаза и его давление? Теплоемкости цилин-дра, поршня и пружины пренебрежимомалы.

Е.Бутиков, А.Быков, А.Кондратьев

ФК3.1 Предложите способ оценки энергиисвязи редколлегии «Кванта».

С.Кротов

1 Эта задача была опубликована в специаль-ном выпуске «Кванта» № 3 –1983, изданномв единственном экземпляре и посвященном75-летию И.К.Кикоина.

Источник с «отрицательным»внутренним сопротивлением

А.Зильберман

Много интересных вопросов возникает всвязи со свойствами источников, у кото-рых зависимость напряжения от тока от-личается от обычной зависимостиU rIE (здесь E – ЭДС, r – внутреннеесопротивление источника). Некоторые изэтих вопросов мы разберем на примерезадачи Ф727:

Зависимость напряжения от тока длянекоторого источника электрическойэнергии показана на рисунке 1. Построй-

З А Д А Ч Н И К « К В А Н Т А » 41

те график зависимости напряжения нанагрузке, на которую замкнут источник,от сопротивления нагрузки.

Подключим к источнику резистор с со-противлением R. Напряжение на нагрузкесвязано с током простым соотношением:

нU RI . На том же рисунке, где изобра-жена зависимость U I напряжения ис-точника от тока через него, нарисуем пря-мую нU RI . Точка пересечения графикаU I и прямой нU RI даст нам искомыеток и напряжение. Для обычного источни-ка, у которого напряжение на зажимах темменьше, чем больше ток, никаких проблембольше не возникает – точка пересеченияодна и результат определяется однознач-но. А вот для необычного источника, укоторого на некотором участке напряже-ние растет с ростом тока, есть областьзначений R, при которых точек пересече-ния целых три. Понятно, что ток не можетиметь одновременно три значения; значит,с этой областью нужно разбираться от-дельно – удобный графический способнахождения тока в цепи тут явно не подхо-дит.

Подключим к источнику сначала резис-тор с очень большим сопротивлением, азатем будем постепенно сопротивлениеуменьшать. Первоначальный ток в цепибудет очень малым, и при уменьшениисопротивления он будет возрастать. На

рисунке 2 такому режиму соответствуетучасток ab, на котором значения U и I Uменяются от aU = 20 В, aI = 0 до

bU 10 В, bI 120 мА. Каждая точкаэтого участка соответствует устойчивому

состоянию (малые изменения тока в цепиприводят к изменениям напряжения, кото-рые стремятся компенсировать изменениятока; это характерно для всех «нормаль-ных» цепей). При дальнейшем уменьше-нии R режим меняется скачком от bU , bIдо cU 22 В, cI 260 мА, а затем – снова«устойчивый» режим (справа от точки с покривой U I ).

Если мы начнем с малых сопротивленийрезистора, то при увеличении R мы дойдемдо точки d (рис.3), затем – скачок от

dU 23 В, dI 210 мА до eU 8 В,

eI 80 мА и снова по кривой U I до

точки а.

А что если взять резистор, сопротив-ление которого лежит в области 80 Ом << R < 100 Ом (значению R 80 Ом со-ответствуют точки b и с на рисунке 2,значению R 100 Ом – точки е и d нарисунке 3), и подключить его к источни-ку? Каковы будут напряжение и ток вцепи? Чтобы ответить на этот вопрос,надо знать такие параметры цепи, какиндуктивность проводов, емкость междувыводами резистора. Если, например, ин-дуктивность проводов большая (длинныепровода), а емкость между проводамималенькая, то в момент подключения ре-зистора к источнику ток будет малым(влияние индуктивности), а затем будетнарастать – режим в цепи будет уста-навливаться в соответствии с рисунком 2.Если велика емкость между подключае-мыми к источнику проводами, а индук-тивность проводов маленькая, то в пер-вый момент ток будет большим и станет

Рис. 2

Рис. 3

К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 142

уменьшаться (по мере зарядки емкос-ти) – случай, соответствующий рисун-ку 3.

Интересно отметить, что, используя по-добные источники, можно получить не-затухающие колебания в цепи. Правда,для этого нужен второй источник. Уобычного источника, напряжение на ко-тором падает с ростом потребляемоготока, можно определить величину внут-реннего сопротивления по отношениюизменений напряжения на выходе к из-

менениям тока: U

rI

. В нашем слу-

чае на некотором участке – на участке

bd зависимости U I – внутреннее со-противление источника получается отри-цательным. При этом участок bd настоль-ко крут, что даже полное сопротивление

цепи r R оказывается отрицательным.Отсюда и неустойчивость «средней» точ-ки, и другие «странности» (в том чис-ле – возможность получения незатухаю-щих колебаний: «отрицательное» сопро-тивление может компенсировать потерив колебательной системе; естественно, всеэто происходит без нарушения законасохранения энергии – за счет энергииисточника).

Как же удается получить всю кривуюзависимости U I , если как при уменьше-нии, так и при увеличении сопротивлениянагрузки из кривой «выпадает» участокbd? При помощи маленькой хитрости:возьмем второй источник, его «минус»подключим к «плюсу» нашего источника,а нагрузку R включим между оставшими-ся выводами. Это позволит нам при той жевеличине тока подобрать резистор с боль-шим, чем R, сопротивлением так, чтобыполное сопротивление в цепи было всюдуположительным. (На графике такая пря-мая уже не выходит из начала координати пересекает кривую U I только в однойточке.)

Зависимость, подобная приведенной вусловии этой задачи, – вовсе не редкость.Она может возникнуть, например, припопытке сделать стабилизатор напряже-ния, у которого выходное напряжение не

меняется при изменении тока нагрузки.Чаще всего этого достигают путем компен-сации уменьшения напряжения (компен-сационный стабилизатор). Стоит тольконемного ошибиться – сразу в какой-тообласти наступит перекомпенсация, и на-пряжение начнет увеличиваться с ростомпотребляемого тока. (Радиолюбители зна-ют, что стабилизаторы часто склонны ксамовозбуждению; причины этого явле-ния мы обсудили выше.)

Н А Ш И И Н Т Е Р В Ь Ю

Опубликовано в «Кванте» №4 за 1983 год(к 80-летию А.Н.Колмогорова).

Мы находимся в старом деревянном домев деревне Комаровка под Москвой, где Ан-дрей Николаевич обычно проводит конецнедели. Светлая, скромно обставленная ком-ната. В одном из углов старый, но качествен-ный проигрыватель со специальными полка-ми для пластинок. Стены заставлены стелла-жами с книгами. В середине комнаты боль-шой стол с множеством книг, оттисков ста-тей, рукописей, художественных альбомов.Андрей Николаевич сидит у окна за неболь-шим письменным столом. Рядом с пишущеймашинкой и аккуратно сложенными испи-санными листами бумаги стоит магнитофон,на который записывается наша беседа. Сте-нограмму этой беседы мы и предлагаем ва-шему вниманию.

– Андрей Николаевич, часто приходитсяслышать о возрастающей специализациинауки. В то же время известно, что вызанимались такими далекими друг от другаобластями математики, как теория вероят-ностей и алгебраическая топология, мате-матическая логика и теория динамическихсистем. В чем, по-вашему, будущее на-уки – в универсальности или специализа-ции?

– Математика велика. Один человек не всостоянии изучить все ее разветвления. Вэтом смысле специализация неизбежна. Но вто же время математика – единая наука. Всеновые и новые связи возникают между ееразделами, иногда самым непредвиденнымобразом. Одни разделы служат инструмен-тами для других разделов. Поэтому замыка-ние математиков в слишком узких пределах,должно быть, гибельно для нашей науки.Положение облегчается тем, что работа вобласти математики, в принципе, коллектив-на. Должно быть некоторое количество мате-матиков, которые понимают взаимные связимежду самыми различными областями мате-матики. С другой стороны, можно работатьс большим успехом и в какой-нибудь совсемузкой ветви математики. Но в этом случае

надо еще, хотя бы в общих чертах, пониматьсвязи между своей специальной областьюисследования с областями смежными, пони-мать, что, по существу, научная работа вматематике – коллективная работа.

– Что вы можете сказать о соотношениии связях прикладной и чистой математики?

– Прежде всего, нужно заметить, что саморазличие между прикладной и чистой мате-матикой чрезвычайно условно. Вопросы,которые, казалось бы, принадлежат к чистойматематике и не имеют применений, оченьчасто совершенно неожиданно оказываютсяважными для разных приложений. С другойстороны, занимаясь прикладной математи-кой, ученый почти неизбежно наталкиваетсяна смежные вопросы, решающиеся теми жеметодами, привлекающие его своей логичес-кой красотой, но, собственно говоря, непос-редственных приложений уже не получаю-щие. Вероятно, в практической работе мате-матика нужно проявлять должную широту.Несомненно, что математики должны, это ихдолг, заниматься всеми теми вопросами, ко-торые настоятельно навязываются вопроса-ми практики. Если смежные вопросы, пустьсразу применений не имеющие, являютсяпривлекательными хотя бы в силу красоты иестественности возникающих задач, ими,конечно, тоже нужно заниматься.

Беседа с АндреемНиколаевичемКолмогоровым

К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 144

– Норберт Винер пишет в своей автобио-графической книге, что перестал занимать-ся функциональным анализом, когда по-чувствовал, что «Колмогоров наступаетмне на пятки». А как вы относитесь кконкуренции в математике?

– Заявление Винера мне не совсем понят-но. В функциональном анализе я сделалнемного. Самая интересная моя работа пофункциональному анализу называется «Спи-раль Винера и некоторые другие интересныекривые в гильбертовом пространстве».

Что касается конкуренции, то конкурен-ция может быть дружеской, тогда она малоотличается от сотрудничества. Тесное содру-жество, когда два математика одновременнои параллельно думают над одной и той жепроблемой, порой бывает очень продуктив-ным. Но при этом иногда бывает и так, чтоучастие одного из сотрудников практическиоказывается излишним и тогда ему разумнобез обиды отойти в сторону.

– Всегда ли математика была вашимосновным увлечением? Когда вы оконча-тельно выбрали математику как профес-сию?

– Нет, как это часто бывает, пути моегоразвития были более извилистыми. С ран-него детства было известно, что я умеюхорошо считать и что меня интересуютматематические задачи арифметическогохарактера; я сравнительно рано познако-мился и с началами алгебры. Но все этоотносится к очень раннему возрасту. Не-сколько позднее, в средних классах школы,победили уже совсем другие увлечения – вчастности, историей. Возврат к математикепроизошел в самых последних классах сред-ней школы. Когда я кончил среднюю шко-лу, то долго колебался в выборе дальнейше-го пути. В первые студенческие годы, кромематематики, я занимался самым серьезнымобразом в семинаре по древнерусской исто-рии профессора С.В.Бахрушина. Не бро-сал мысль о технической карьере, почему-то меня увлекала металлургия, и, парал-лельно с университетом, я поступил наметаллургическое отделение Химико-тех-нологического института имени Менделее-ва и некоторое время там проучился. Окон-чательный выбор математики как профес-сии, собственно говоря, произошел, когда яначал получать первые самостоятельные

научные результаты, т.е. лет с восемнадца-ти-девятнадцати.

– Когда обычно проявляются способно-сти к математике? Всегда ли, как у вас, враннем возрасте?

– Я довольно много преподавал в среднейшколе. У меня сложилось такое впечатление,что интерес к математике в средних классах,в возрасте двенадцати-тринадцати лет, частооказывается временным и совсем проходит кстаршим классам. Особенно часто это бываету девочек. С теми школьниками, которыеувлечены математикой в возрасте 13–14–15лет, по-моему, стоит работать. При умеломкультивировании их способности постепенноразвиваются и, как правило, уже не теряют-ся. Бывает, конечно, и очень много исключе-ний. Разумеется, серьезный интерес к мате-матике может проявиться и позже.

– Какие математики старшего поколенияоказали на вас наибольшее влияние?

– В студенческие годы я был ученикомНиколая Николаевича Лузина. Кроме негобольшое влияние оказали на меня ВячеславВасильевич Степанов, Александр Яковле-вич Хинчин, Павел Сергеевич Александрови другие математики их поколения.

– Что вам хотелось бы сказать о своихучениках и кого из них вы хотели быупомянуть?

– Мне повезло на талантливых учеников.Многие из них, начав работу вместе со мнойв какой-нибудь области, потом переходилина новую тематику и уже совершенно незави-симо от меня получали замечательные ре-зультаты. Выделить из них наиболее заслу-живающих упоминания было бы трудно.

Скажу только в виде шутки, что в настоя-щее время один из моих учеников управляетземной атмосферой, а другой – океанами.

– Андрей Николаевич, каков ваш режимдня?

– Естественно, в течение моей достаточнодлинной жизни режим дня в разные еепериоды был различным. Опишу, пожалуй,только тот режим дня, который мы с ПавломСергеевичем Александровым установили длясебя на те 3–4 дня в неделю, которые мыпроводили за городом, под Москвой, в де-ревне Комаровка.

День начинался в 7 часов утра. Первый часбыл посвящен гимнастике, пробежке. В 8часов мы завтракали и принимались за рабо-

ту за столом – с пишущей машинкой или безнее. В час или два часа дня был полдник,состоящий из молока или кефира с хлебом.После полдника мы еще немного работали,но обычно отправлялись на большую про-гулку пешком или – зимой – на лыжах, до 4часов дня. Потом на полчаса мы укладыва-лись спать. В 5 часов был обед. После обедамы иногда еще занимались работой, обыч-но – второстепенной: переписывание или томуподобное. Вечер посвящался чтению, музы-ке, приему гостей. Перед сном мы любилиеще делать небольшую прогулку. Укладыва-лись спать около 10 часов.

Но, конечно, когда работаешь и начинаетполучаться решение какой-либо важной про-блемы, все отступает на задний план, ника-кого распорядка дня уже не бывает.

– Вы, как и многие математики, любитесерьезную музыку. Расскажите, почему.

– Ваше замечание о многих математиках,увлекающихся серьезной музыкой, мне ка-жется правильным. Если прийти в концер-тный зал, особенно в Малый зал Московс-кой консерватории, то вы там увидите не-пропорционально много математиков. По-видимому, между математическим творче-ством и настоящим интересом к музыкеимеются какие-то глубокие связи. Но выяс-нить и объяснить эти связи мне представля-ется довольно трудным. Замечу, впрочем,что мой друг Павел Сергеевич Александроврассказывал, что у него каждое направле-ние математической мысли, тема для твор-ческих размышлений связывались с тем илииным конкретным музыкальным произве-дением.

Среди любимых композиторов назову, впервую очередь, Моцарта, Шумана, ну и,конечно, величайших музыкантов – Баха,Бетховена.

– Лингвисты и литературоведы обратиливнимание на ваши публикации по стихове-дению. Что вы можете сказать об этом –менее обычном – сочетании: математика ипоэзия?

– Мне хотелось бы разделить этот вопросна два, так как мое увлечение поэзией имееттакой же непроизвольный, стихийный ха-

рактер, как и у людей, не занимающихсятеоретическим исследованием стиха. Люби-мые мои поэты – это Тютчев, Пушкин, Блок.Что же касается моих научных работ пометрике и ритмике русского стиха, то онидействительно обратили на себя вниманиеспециалистов-литературоведов, но все-такиэто довольно специальная область исследо-вания, интересоваться которой совершенноне обязательно всякому.

– Занимаетесь ли вы спортом? Каким?– Состязательным спортом я никогда не

занимался. Если не ошибаюсь, я только трираза в жизни участвовал в гонке на 10километров на лыжах.

Но я всегда очень любил большие прогул-ки пешком и на лыжах, совершал длинныепутешествия на байдарке или на лодке. Оченьлюблю плавание, походы в горах. Во всехэтих занятиях я ценю не только их пользудля здоровья, но ту радость общения сприродой, которую они приносят.

Всегда любил купание в морском прибое.В солнечные мартовские дни люблю делатьбольшие лыжные пробеги в одних шортах.Во время таких мартовских лыжных пробе-гов люблю выкупаться посреди сияющих насолнце сугробов в только что вскрывшейсяото льда речке. Впрочем, я не советую обя-зательно подражать мне во всем этом –можно просто записаться в какую-нибудьпривлекающую вас спортивную секцию.

– Андрей Николаевич, что бы вы хотелипожелать нашим читателям?

– Я сам являюсь ученым, и, конечно, впервую очередь, я желаю нашим читателямвнести тот или иной вклад в науку, большойили хотя бы маленький. Замечу, впрочем,что в случае если все наши читатели приня-лись бы писать самостоятельные научныеработы, то научные журналы не выдержалибы такого натиска. Поэтому я выскажу иболее скромное пожелание – чтобы школь-ное увлечение математикой пригодилось вами в дальнейшей жизни. В «Кванте» мы какраз стараемся вам показать, как разнообраз-ны приложения математической науки.

Беседовал А.Сосинский

Н А Ш И И Н Т Е Р В Ь Ю 45

Избранные задачи

Иллю

страции Д

.Гриш

уковой

1. Число БАОБАБ делится на 101.Какое это число?

А.Савин

2. Каждая грань кубика разделенана 4 квадрата. Каждый квадрат окра-шен в один из трех цветов – синий,желтый или красный – так, что квад-раты, имеющие общую сторону, окра-шены в разные цвета. Сколько можетбыть синих квадратов?

В.Произволов

3. Известно, что любой дурак считаетсебя умным, зато всех остальных —дураками. Среди умных могут бытьтакие, кто считает себя дураком, затопро всех остальных точно знает, ктоумный, а кто дурак (как и тот умный,который считает себя умным). Опросы

жителей Страны Чудаков позволилиточно определить, кто из них умный, акто дурак. Есть ли в этой стране хотьодин умный?

А.Жуков

4. На рисунке показаны два шести-угольника, каждый из которых Раксвоими клешнями пытается разделитьпрямой линией на две части одинако-вой площади. Ему удалось разделитьпервый шестиугольник, проведя пря-мую линию через центры двух прямо-угольников, однако второй шести-угольник этим способом делится не на2, а на 3 части. Тем не менее, егоможно разделить и на 2 части. Помо-гите Раку это сделать.

И.Акулич

«КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

« К В А Н Т » Д Л Я М Л А Д Ш И Х Ш К О Л Ь Н И К О В 47

КОМУ КАК, А МНЕ ТАБЛИЦА УМНОЖЕ-ния давалась с трудом. Конечно,

«дважды два – четыре» и «пятью пять –двадцать пять» запомнились легко, а вот«семью восемь» или «девятью шесть» ни-как не укладывались в голове. «Трудные»произведения я вычислял примерно так:«пятью восемь – сорок, да дважды во-семь – шестнадцать, значит, всего пятьде-сят шесть». Но учитель требовал беглыхответов, и таблицу приходилось «долбить»наизусть. Это знакомо не только мне одно-му – недаром сотни лет школяры разныхстран, каждый на своем языке, называлиее «долбица умножения». (Между про-чим, среди моих учеников – студентовфизтеха – встречаются такие, кто знает еевесьма нетвердо.)

В конце концов таблицу я выучил. Впос-ледствии выяснилось, что это было нужноне учителю, а мне самому: с ее помощьюоказалось возможным перемножать лю-бые числа, причем довольно быстро.

Так я прожил много лет в полной уверен-ности, что без таблицы умножения числабыстро не перемножить. Эту уверенностьподкрепляло то, что я узнавал о способахумножения в Индии, Китае, в Европеэпохи Возрождения...

И вот однажды я наткнулся на «русскийкрестьянский способ умножения», кото-рый был распространен в России два сто-летия назад, и с изумлением обнаружил,что русские крестьяне умели перемножатьчисла без помощи таблицы умножения!Им достаточно было уметь умножать иделить на два, а также складывать числа.

Вот как они это делали.Напишем одно из чисел слева, второе –

справа на одной строчке. Левое числобудем делить, правое – умножать на два,

а результаты записывать в стол-бик так, как показано на ри-сунке 1. Если в какой-то мо-мент придется делить на дванечетное число, остаток отбро-сим. Когда от левого числаостанется единица, вычеркнемвсе те строки, в которых слевастоят четные числа. Все, что осталосьсправа, сложим. Полученное число – про-изведение тех двух чисел, с которых мыначали!

Сначала я, конечно, не поверил прочи-танному и честно перемножил 13 и 17 попредложенному рецепту. Получился пра-вильный ответ: 221. Я поме-нял числа местами и перемно-жил их снова. Ответ не изме-нился – опять 221 (рис.2).

Я отказывался верить своимглазам: уж слишком это похо-дило на фокус вроде извест-ных примеров неправильныхдействий, дающих верные ре-зультаты, – таких, как изображенное нарисунке 3 «сокращение» дробей.

Но метод оказался абсолютно правиль-ным!

Прежде чем читать дальше, попробуйтетаким способом перемножить несколькопар чисел, чтобы освоиться с ним и набратьнекоторый запас уверенности в его справед-ливости. Посчитали? А теперь я покажу,что это действительно способ умножения,всегда дающий верный результат.

В двух предыдущих номерах нашегожурнала были опубликованы статьи И.Яг-лома «Системы счисления» и «Две игры соспичками», в которых подробно рассказы-

Про умножениеА.САВИН

Опубликовано в «Кванте» №2 за 1992 год.

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 148

валось, в частности, и о двоичной системесчисления. Всякое число в ней записыва-ется с помощью нулей и единиц:

232 100000= , 213 1101= , 217 10001= .Маленький «хвостик» – цифра 2, припи-санная к числу,– показывает, что это чис-ло записано в двоичной системе счисле-ния. Расшифровываются эти записи так:

5 4 3232 100000 1 2 0 2 0 2= = ◊ + ◊ + ◊ +

+ 2 10 2 0 2 0◊ + ◊ + ,

3 2 1213 1101 1 2 1 2 0 2 1= = ◊ + ◊ + ◊ + ,

4 3 2 1217 10001 1 2 0 2 0 2 0 2 1= = ◊ + ◊ + ◊ + ◊ + .

Запишем под каждой цифрой двоичногопредставления числа 13 левую колонкучисел, получившуюся при умножении рус-ским крестьянским способом. То же самоепроделаем и с числом 17 (рис.4). Заметили

закономерность? Да, да! Если в двоичнойзаписи числа на некотором месте стоит 1, топод ним оказывается нечетное число, а если0 – то четное. Попробуйте доказать это.

А я переформулирую теперь правилоумножения по-крестьянски. В правом стол-бце записываются числа, равные второмусомножителю, умноженному на 2 в степе-ни на единицу меньшей, чем номер строч-ки, в которую мы записываем это число.Затем результаты умножаются на 1, есличисло слева в той же строке нечетно, и наноль, если четно. Для наглядности я пред-лагаю добавить еще один столбец, посере-дине, и записывать в него остаток отделения на 2 числа, стоящего слева в тойже строке (рис.5). Таким образом, приумножении по-крестьянски происходит,по сути, перемножение построчно средне-го и правого столбцов, а затем сложение

полученных результатов. В примере стринадцатью и семнадцатью получаем:

2 317 1 1 17 0 2 17 1 2 17 1 2◊ ◊ + ◊ ◊ + ◊ ◊ + ◊ ◊ =

= ( )2 317 1 0 2 1 2 1 2+ ◊ + ◊ + ◊ =

217 1101 17 13= ◊ = ◊

или

13 1 1 13 0 2◊ ◊ + ◊ ◊ +2 3 4

13 0 2 13 0 2 13 1 2+ ◊ ◊ + ◊ ◊ + ◊ ◊ =

= ( )2 3 413 1 0 2 0 2 0 2 1 2+ ◊ + ◊ + ◊ + ◊ =

= 213 10001 13 17◊ = ◊ .

Выходит, русский крестьянский способумножения основан на представлении од-ного из сомножителей в двоичной системесчисления? Не правда ли, просто и краси-во?

А как будет работать такой способ умно-жения с большими числами, скажем таки-ми: 567 и 3984? Посмотрим. На рисунке 6справа приведено привычное нам «таблич-

ное» умножение. Там приходится склады-вать меньше чисел, но каждое из нихполучено куда более сложным способом,чем в левом варианте на этом же рисунке.Получается, что, выигрывая в простотевычислений, мы проигрываем во времени,так что привычное умножение, пожалуй,лучше...

«Нет! – скажут те, кто до сих пор не владах с таблицей умножения.– Ведь прикрестьянском методе не нужно зубритьтаблицу, а это кое-что значит!» В пользутаблицы умножения я приведу такой до-

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

« К В А Н Т » Д Л Я М Л А Д Ш И Х Ш К О Л Ь Н И К О В 49

вод: пожалуй, накладно будет хватать бу-магу и ручку, чтобы подсчитать, сколькостоят 8 пирожков по 70 копеек за штуку,или лезть для этого в сумку за тетрадью, наобложке которой помещена «таблица Пи-фагора» (рис.7).

Она действительно такая древняя – бо-лее двух тысяч лет назад пифагорейцыумножали числа с ее помощью. (Недавноташкентский математик А.Азамов заметиллюбопытное ее свойство: если четыре чис-ла этой таблицы расположены в вершинахквадрата, центр которого – тоже числотаблицы Пифагора, то число в центреквадрата равно среднему арифметическо-му чисел в его вершинах. Так, для чисел,выделенных на рисунке 7, имеем:

( )42 25 48 63 32 4= + + + .)За долгие тысячелетия развития матема-

тики было придумано множество способовумножения чисел. Итальянский матема-тик конца XV – начала XVI веков ЛукаПачиоли в своем трактате об арифметикеприводит 8 различных способов умноже-ния. Вот два из них, на мой взгляд,наиболее интересные.

В первом, который носит название «ма-ленький замок» (рис.8), цифры верхнегочисла, начиная со старшей, поочередноумножаются на нижнее число и записыва-ются в столбик с добавлением нужногочисла нулей, а затем результаты склады-ваются. Преимущество этого метода пе-

ред обычным в том, что уже с самогоначала определяются цифры старшихразрядов, а это бывает важно при прики-дочных расчетах.

Второй способ носит не менее романти-ческое название: «ревность» (или «ре-шетчатое умножение»). Рисуется решет-ка, в которую затем вписывают результа-ты промежуточных вычислений (на са-мом деле – нужные числа из таблицыумножения). Эта решетка представляетсобой прямоугольник, разбитый на квад-ратики, каждый из которых разделендиагональю (рис.9). «Такая решетка на-

поминает решетчатые ставни-жалюзи,которые вешались на венецианские окна,мешая уличным прохожим видеть сидя-щих у окна дам и монахинь»,– пишетЛука Пачиоли.

Перемножим этим способом числа 567 и3984. Сверху таблицы запишем один со-множитель, а слева – другой. Затем в

Рис. 7

Рис. 8

Рис. 9

К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 150

каждой клетке запишем произведениецифр сомножителей, стоящих с ней водной горизонтали и в одной вертикали.Десятки записываются в левых нижнихтреугольниках, а единицы – в правыхверхних. После заполнения таблицы скла-дываются числа вдоль направлений про-веденных диагоналей, результат записы-вается справа и снизу от таблицы. Этотспособ хорош вычислительной просто-той: клетки решетки заполняются прямо

из таблицы умножения, а на долю вычис-лителя остается только сложение.

Остальные шесть способов, описанныеЛукой Пачиоли, как и первые два, основа-ны на таблице умножения. Существуетмножество других способов умножениячисел с применением таблицы, придуман-ных в разное время и в разных странах. Нодругого метода, кроме русского крестьян-ского, который обходился бы без нее,похоже, не существует.

Как однажды Жак-звонарьголовой сломал фонарь…

А.БУЗДИН, С.КРОТОВ

Опубликовано в «Кванте» №12 за 1987 год.

Если все краски радуги вместе смешать,то… получится черная грязь.

Вреднюга (из детского мультфильма)

НЕ БУДЕМ ЧЕРЕСЧУР СТРОГИМИ ПОотношению к выводу Вреднюги про

краски, а рассмотрим все по порядку,поскольку физически чистый эксперимент –это вещь достаточно тонкая...

Сколько существует на свете разныхцветов? Откуда вообще берутся разныецвета? Эти и многие другие вопросы из-давна занимали любознательных людей.Большой вклад в создание науки о цветевнес великий Ньютон. Он наблюдал раз-ложение солнечного (белого) света припрохождении его через стеклянную при-зму в так называемый спектр (от латинско-го spectrum). Получающиеся при этом цве-та в точности соответствуют цветам раду-ги. Призма позволила Ньютону получитьрадугу в «лабораторных» условиях. Вотони, цвета радуги: красный, оранжевый,желтый, зеленый, голубой, синий, фиоле-товый. Посмотрите еще раз на заглавиестатьи. Мы воспользовались шуточнойфразой, помогающей запомнить последо-вательность цветов в солнечном спектре

(как видите, и в нашей шутке есть доляправды). Наверняка кто-то из вас вспом-нит еще одно мнемоническое правило –фразу «каждый охотник желает знать, гдесидит фазан».

Именно благодаря опытам Ньютона вконце XVII века было установлено, чтобелый свет представляет собой смесь изразличных цветов. (В частности, Ньютонпоказал, что если разложенный в спектрбелый свет смешать, то опять получитсябелый свет.) Прошло много времени, покаученые осознали, что свет – это распрост-раняющиеся в пространстве колебаниясвязанных друг с другом электрических имагнитных полей, иначе говоря – электро-магнитные волны. Наиболее привычныйпример такого рода волн – радиоволны.Было доказано, что природа света и радио-волн – одна и та же, они отличаются лишьчастотой колебаний. Частота радиоволн втысячи раз более низкая, чем у световых.Каждому цвету отвечает определения час-тота колебаний. Если воспользоваться ана-логией с музыкальными инструментами,то красный цвет отвечает «басам», а фио-летовый – высоким нотам.

Скорость распространения электромаг-нитных волн с = 300000 км с. Она во мно-

« К В А Н Т » Д Л Я М Л А Д Ш И Х Ш К О Л Ь Н И К О В 51

го тысяч раз больше скорости звука, такчто радиослушатель, сидящий дома воВладивостоке около радиоприемника,слышит голос певца на концерте, транс-лируемом из Москвы, раньше, чем слу-шатель, сидящий в дальнем ряду концерт-ного зала.

Приведенное значение скорости света( 5

3 10 км сc = ◊ ) относится к вакууму. Прираспространении света в прозрачном ве-ществе скорость оказывается меньшей.Особый интерес представляет тот факт,что при прохождении через вещество светразных цветов распространяется с разны-ми скоростями. Это явление называетсядисперсией, и именно благодаря диспер-сии призма разлагает белый свет в цветнойспектр.

Итак, из белого света можно получитьвсе цвета радуги. А что означают разныецвета на картинках в этом журнале? Стоитвам прихватить с собой журнал в темнуюкомнату, как все цвета вообще пропадут,картинки станут просто серыми – сами посебе они не «светятся», какого бы цвета нибыли. Чтобы видеть их разноцветными, ихнеобходимо освещать. При этом падаю-щий на страницу свет частично поглощает-ся, частично рассеивается, а видим мыименно рассеянные световые лучи.

Очень важно, что разные вещества (всилу особенностей строения их молекул)обладают избирательностью к цвету – онипо-разному поглощают и рассеивают светразличных участков спектра. Охра потомунам и кажется желтой, что из падающегона нее белого света поглощаются почти вселучи, кроме желтого цвета. Или вспомни-те про… помидор. На разных стадияхсозревания он преимущественно рассеива-ет сначала зеленые лучи, потом – красные.В этом проявляются изменения молеку-лярного строения вещества помидора. Кста-ти, не случайно в химии цвет – важнаяхарактеристика вещества.

Пришло время оставить заботы земныеи... воспарить. Действительно, вряд линайдется человек, которого хоть раз вжизни не увлекла загадочная игра небес-ных красок. «Цвет небесный – синийцвет...»,– написал замечательный грузин-

ский поэт Нико Бараташвили. Но зада-димся вопросом – безупречна ли физичес-ки упомянутая строчка?

Обычно голубизну неба объясняют рас-сеянием света в атмосфере. Однако поче-му тогда ночное небо даже при полнойлуне не бывает голубым? Или почемуразные участки неба окрашены в синийцвет по-разному – одни более ярко, дру-гие менее ярко? А если обратиться кзаходу солнца? Внимательный физик, на-блюдавший заход солнца, отметил, чтосначала западная часть неба приобретаетжелтый или оранжевый оттенок; затем,когда солнце становится огненно-красным,свечение неба меняется от желто-оранже-вого до ярко-зеленого; наконец, примернодо высоты 25∞ над горизонтом небо окра-шивается в розовый цвет.

Поскольку причиной всех перечислен-ных цветовых коллизий является рассея-ние солнечного света в атмосфере, остано-вимся более подробно на этом процессе.

К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 152

Объяснение особенностей окраски небапринадлежит английскому физику У.Рэ-лею. В общих чертах суть дела такова.Цвет неба определяется зависимостью рас-сеяния света от частоты последнего. При-ходящая от солнца электромагнитная вол-на «раскачивает» электроны, входящие всостав молекул воздуха. Наиболее силь-ное воздействие на электроны оказываютлучи синей части спектра. Таким образом,из пришедшей световой волны электронымолекул воздуха «забирают» колебаниясиней части спектра. Но, придя в вынуж-денное колебательное движение, электро-ны отдают назад взятую у волны энергию.Однако отдают они эту энергию уже вовсех направлениях, а не только в направ-лении падения первоначальной волны отсолнца. Этот процесс и представляет собойрассеяние света.

Существенным для объяснения рассея-ния света в атмосфере является неравно-мерность распределения молекул воздухав атмосфере – постоянно имеющие местофлуктуации плотности воздуха. При рав-номерном распределении молекул в про-странстве рассеяние было бы совершенноиным – небо просто-напросто было бычерным.

Итак, сильнее всего молекулы воздухарассеивают синюю часть спектра, и поэто-му участки неба, которые мы видим врассеянном свете, кажутся нам голубы-ми.1 Чем сильнее удалены от солнца соот-ветствующие участки небосвода, тем менееяркими они будут нам казаться. Причинасостоит в том, что чем больший путь ватмосфере проходят солнечные лучи, темменьшая в них доля приходится на синююсоставляющую. Теперь, наверное, вам по-нятно, почему говорят «красно солныш-ко»? Прямые солнечные лучи по пути кнам «теряют» синюю составляющую, ипреимущественную долю приходящего к

наблюдателю излучения составляет имен-но красно-желтая часть спектра.

Очевидно, что дым, пыль и другие мел-кие частицы, содержащиеся в воздухе,существенным образом влияют на рассея-ние света в атмосфере. Известно, что послебольших извержений вулканов восходы изаходы солнца порой играют удивитель-ными красками – солнце и луна могутдаже стать синими. Приведем описаниепоследствий катастрофического изверже-ния вулкана Кракатау в 1883 году, кото-рое дает в своей книге «Занимательнаягеология» замечательный русский ученыйВ.А.Обручев: «Мелкий пепел затемнялсолнце в Японии и в других местах нарасстоянии свыше 3000 километров. Этотпепел, долго плававший в атмосфере, обус-ловил синеватый цвет солнца и луны вАфрике и на островах Тихого океана изамечательные красные зори в конце 1883года и в начале 1884 года, наблюдавшиесяпо всей земле».

Синяя окраска солнца и луны в данномслучае обуславливается рассеянием светана атмосферных аэрозолях размером 0,4–0,9 мкм, т.е. размером, сравнимым с дли-ной волны видимого света. Атмосферныеаэрозоли указанных размеров образуютсяпутем осаждения на твердых частицах дыма,пепла и т.д. при вулканических извержени-ях и крупных лесных пожарах. Именновследствие своего относительно большогоразмера они рассеивают свет красной частиспектра сильнее, чем синей. Это рассеяниесвязывают с именем немецкого ученого Ми.При наблюдении солнца и луны сквозьтакой аэрозоль они видятся синеватыми –красная составляющая белого света рассе-ивается, и до нас доходит только синийсвет. Итак, оттенки цветов, окрашивающихнебесный свод, обусловлены в конкретнойситуации комбинацией рэлеевского рассея-ния с рассеянием света на мелких частицах.

«Голубые горы, голубые дали, голубыегород» – все эти поэтические сочетанияслов обычно используют в качестве симво-лов первозданности, необыкновенной чис-тоты, загадочности. Самое удивительноесостоит в том, что и здесь не обошлось безфизики. Так, иногда над покрытой зеле-

1 Может возникнуть вопрос: почему голубы-ми, а не фиолетовыми? Дело в том, что надоеще принимать во внимание специфику вос-приятия цветов человеческим глазом и тотфакт, что в солнечном свете фиолетовых лучей«меньше», чем синих.

« К В А Н Т » Д Л Я М Л А Д Ш И Х Ш К О Л Ь Н И К О В 53

нью открытой местностью, не слишкомзагрязненной вследствие человеческой де-ятельности, возникает очень красивая та-инственная голубая дымка. В литературечасто упоминаются голубые горы Кавказа,а Голубые горы в Австралии знаменитыименно своей голубой дымкой. Голубойцвет «дымки» обусловлен рассеянием све-та на мельчайших частицах, размер кото-рых много меньше длины волны видимогосвета. Такими частицами могут быть орга-нические макромолекулы, испускаемые ра-стительностью, а также мельчайшие час-тицы, срываемые с острых частей расте-ний электрическим полем земли. Итак, вместах скопления мельчайших частиц воз-никает добавочный эффект рассеяния си-ней части спектра.

Завершая статью, предлагаем читателюсюжеты для самостоятельного рассмотре-ния.

1. Почему издалека новогодняя елка(скажем, стоящая на главной площадивашего города) в вечернее время кажетсякрасной, хотя она освещена огонькамиразного цвета?

2. Если вам доведется в новогоднююночь сидеть у костра, не забудьте поэкспе-риментировать и может быть блеснутьперед окружающими, задав им следую-щий вопрос. Почему внизу на фоне дере-вьев дым костра кажется синим, однаконад верхушками деревьев (на фоне светло-го неба) он выглядит желтым?

3. Капнув несколько капель молока встакан с водой, посмотрите сквозь него насветящуюся лампочку. Лампочка покажет-ся красновато-желтоватой. Если же по-смотреть на отраженный от стакана свет,он будет голубым. Объясните наблюдае-мое различие цветов.

КОНКУРС ИМЕНИ А .П .САВИНА

Избранные задачи

1. Число 1995 может быть представленов виде суммы нескольких последователь-ных натуральных чисел многими способа-ми: например, 997 + 998, 664 + 665 + 666,330 + 331 +332 + 333 + 334 + 335. В какомиз таких представлений наибольшее числослагаемых?

С.Дворянинов

2. Имеется неограниченный запас монетв 1, 2, 5, 10, 20, 50 копеек и в 1 рубль.Известно, что сумму в A копеек можноуплатить В монетами. Докажите, что сум-му в В рублей можно уплатить А монета-ми.

Д.Фомин

3. По поверхности стола перекатываюткубик, переворачивая его через ребра.Можно ли его перевернуть 12 раз так,чтобы он перевернулся по одному разу

через каждое ребро и в результате оказал-ся на прежнем месте?

С.Токарев

4. На полосу положили квадрат, сторонакоторого равна ширине полосы, притом

так, что его граница пересекла границуполосы в четырех точках (см. рисунок).Докажите, что две прямые, проходящиенакрест через эти точки, пересекаются подуглом 45∞ .

В.Произволов

Ш К О Л А В « К В А Н Т Е »

Об одномстихотворенииА.С.Пушкина

А.КИКОИН

СРЕДИ ПОЭТИЧЕСКИХ СОКРОВИЩ, ОС-тавленных нашим великим национальным

поэтом А.С.Пушкиным, есть стихотворение,прямо относящееся к физике, точнее – кмеханике. Называется это стихотворение«Движение». Оно небольшое по объему – внем всего 8 строк, но очень богатое посодержанию. В первых четырех строкахчитаем:

Движенья нет, сказал мудрец брадатый.Другой смолчал и стал пред ним ходить.Сильнее бы не мог он возразить;Хвалили все ответ замысловатый.

Здесь поэт рассказывает о легендарномспоре двух древнегреческих философов.«Мудрец брадатый» – это Зенон Элейский;его противник в споре – Диоген Синопский.Первый утверждал, что движение невозмож-но; второй стал молча «пред ним ходить»,как бы наглядно показывая несуразностьтакого утверждения.

А дальше А.С.Пушкин пишет:

Но, господа, забавный случай сейДругой пример на память мне приводит:Ведь каждый день пред нами

солнце ходит.Однако ж прав упрямый Галилей.

Этими словами поэт показывает, что дока-зательство Диогена вовсе не такое безупреч-ное, как казалось тем, кто хвалил «ответзамысловатый». В самом деле, ведь солнцеежедневно делает то же, что делал Диоген,маршируя перед Зеноном: оно «пред намиходит». В действительности же, как вслед заКоперником утверждал «упрямый Галилей»,солнце покоится, а движется (вращаетсявокруг своей оси) земля. Но никакого друго-

го доказательства Диоген дать не мог, поэто-му он и «смолчал».

Сейчас неправоту утверждения Зенонаможно доказать, не прибегая к методу Дио-гена. Попробуем это сделать. Прежде всего,постараемся представить себе, как Зенонпришел к выводу, очевидно несуразному,что «движенья нет».

Зенон, по-видимому, рассуждал следую-щим образом. Тело, двигаясь по некоторойтраектории, в любой момент времени можетбыть где-то застигнуто. Можно считать, чтов этом месте и в это мгновенье тело покоится,т.е. что его скорость равна нулю. Следова-тельно, движение есть лишь название, дан-ное множеству следующих одно за другимсостояний покоя. В каждом таком состояниипокоя перемещение тела, естественно, равнонулю. Складывая это непрерывное множе-ство нулей, Зенон, конечно, получал в итогеноль: «движенья нет»!

Так вот, ошибка Зенона как раз и состо-ит в том, что скорость тела в каждой точкетраектории он считал равной нулю. На са-мом деле в каждый момент времени движу-щееся тело обладает скоростью – так назы-ваемой мгновенной скоростью v. А раз онообладает скоростью, то за любой сколь угод-но малый промежуток времени t тело со-вершает малое перемещение s v t. Чис-ло таких малых перемещений, в пределе –бесконечно малых, за все время движенияt бесконечно велико. Но сумма бесконечнобольшого числа бесконечно малых слагае-мых равна не нулю, а вполне определеннойвеличине: s = vt (если скорость v одинако-ва во всех точках). Складывать нужно ненули, как это делал Зенон, а малые пере-мещения v t. На это впервые указал, спу-Опубликовано в «Кванте» №10 за 1984 год.

Ш К О Л А В « К В А Н Т Е » 55

стя почти 2000 лет после легендарного спо-ра, основоположник классической механи-ки Исаак Ньютон, создавший кроме тогоеще и замечательный математический аппа-рат дифференциального и интегральногоисчисления.

В заключение сделаем не очень существен-ное для темы нашей статьи замечание. Вдействительности очный спор Зенона с Дио-геном состояться не мог: Диоген (около 400–325 до н.э.) родился через 30 лет послесмерти Зенона (490–430)!

За какое времясливаются

капли?А.ВАРЛАМОВ

СИЖИВАЛИ ЛИ ВЫ КОГДА-НИБУДЬ ЗАтарелкой прозрачного куриного бульо-

на, покрытого пятнышками золотистогожира? Если у вас при этом не было аппетита,то вы наверняка пробовали гонять эти пят-нышки по тарелке, разрывая перегородкимежду ними или, наоборот, соединяя пят-нышки воедино, наблюдая, как неспешноони сливаются, принимая форму круга.Другое наблюдение из той же серии – за

слиянием капелек ртути из разбитого термо-метра (осторожно – занятие это небезопас-ное, поскольку ртуть очень ядовита). Прав-да, тут вы даже не успеете моргнуть глазом,как из двух капелек образуется одна.От чего же зависит время слияния жидких

капель? Прежде чем попытаться ответить наэтот вопрос, поговорим немного о причинеслияния капель – о поверхностном натяже-нии жидкости. Причем мы попробуем взгля-нуть на это явление с точки зрения энергети-ческой.Молекулы, расположенные в тонком слое

жидкости вблизи поверхности, находятся вособых условиях. Дело в том, что они имеютодинаковых с ними соседей только с однойстороны поверхности, в отличие от молекулвнутри жидкости, окруженных со всех сто-рон себе подобными. Взаимодействие моле-кул на не слишком малых расстояниях носитхарактер притяжения. Если потенциальнуюэнергию притяжения двух молекул, находя-

щихся на бесконечно большом расстояниидруг от друга, считать равной нулю, то применьших расстояниях эта энергия будет от-рицательной. По абсолютной же величине, впервом приближении, энергию каждой мо-лекулы можно считать пропорциональнойчислу ближайших соседей. Поэтому ясно,что у молекул в поверхностном слое (числососедей для которых меньше, чем в объеме)потенциальная энергия оказывается выше,чем у молекул внутри жидкости. (Еще однимфактором увеличения потенциальной энер-гии молекул в поверхностном слое являетсято, что по мере приближения к поверхностиконцентрация молекул падает.)Разумеется, молекулы жидкости не непод-

вижны, а находятся в непрерывном тепло-вом движении – одни молекулы уходят споверхности, другие, наоборот, попадают нанее. Но и в этом случае можно говорить оОпубликовано в «Кванте» №11 за 1990 год.

К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 156

некоторой средней добавочной потенциаль-ной энергии поверхностного слоя жидкости.А это означает, что, для того чтобы извлечьмолекулу на поверхность, внешним силамнеобходимо совершить некоторую положи-тельную работу. Избыток потенциальнойэнергии молекул, находящихся на участкеповерхности единичной площади, по сравне-нию с потенциальной энергией, которой об-ладали бы эти же молекулы в толще жидко-сти, называется коэффициентом поверхнос-тного натяжения . Он характеризуется тойработой, которую необходимо затратить наувеличение свободной поверхности жидко-сти на единицу площади. Конечно же, такоеопределение полностью эквивалентно из-вестному определению коэффициента по-верхностного натяжения как силы, действу-ющей на единицу длины границы жидкости.Известно, что из всех возможных состоя-

ний системы устойчивым является то, вкотором ее потенциальная энергия мини-мальна. В частности, и поверхность жидко-сти стремится принять такую форму, прикоторой ее поверхностная энергия в задан-ных условиях будет минимальной. Так, дляодной капли в условиях, когда силой тяже-сти можно пренебречь, энергетически наибо-лее выгодна сферическая форма. Для двухили нескольких касающихся друг друга ка-пель выгоднее слиться воедино – поверх-ность одного большого шара меньше, чемсуммарная поверхность нескольких малыхшаров с той же общей массой (проверьте этосамостоятельно), а следовательно, поверх-ностная энергия у одной большой каплибудет меньше.Теперь мы можем вернуться к поставлен-

ному в самом начале вопросу: от чего жезависит время слияния двух капель? Надэтим вопросом ученые начали задумыватьсядовольно давно. Тем более, что он вовсе непраздный, а имеет, как оказалось, большоепрактическое значение. В частности – дляпонимания физических процессов, происхо-дящих в порошковой металлургии, где спрес-сованные металлические зерна в процессетермической обработки «спекают» в веще-ства, обладающие уникальными свойствами.В 1944 году замечательный советский физикЯ.И.Френкель предложил простейшую мо-дель этого явления, в результате чего появи-лась его пионерская работа, заложившая

физические основы порошковой металлур-гии. Основная идея этой работы и позволитнам оценить время слияния жидких капель.Для этого проще всего воспользоваться энер-гетическими соображениями.Пусть две одинаковые капли в какой-то

момент приходят в соприкосновение. В местекасания образуется перешеек (см. рисунок),

который начинает постепенно расти и растетдо тех пор, пока слияние не завершится. Чтоже происходит с точки зрения энергии?Всего в «активе» у системы двух капель

имеется избыточная энергия пE , равнаяразности поверхностных энергий начально-го и конечного состояний, т.е. разности энер-гий двух отдельных капель радиусом 0r

каждая и одной общей капли радиусом r:2 2

п 08 4E r r .

Так как при слиянии капель их полныйобъем не меняется, справедливо равенство

3 30

4 42

3 3r r= ◊ ,

откуда получаем3

0 2r r .

Таким образом,

2 3 2п 04 2 2E r .

Согласно идее Френкеля, этот избытокэнергии должен быть израсходован на рабо-ту против сил вязкого трения, возникающихв процессе перемещения вещества капельпри их слиянии. Попробуем оценить величи-ну этой работы.Для определения силы вязкого трения

воспользуемся выражением, найденным всередине прошлого века английским ученымДж.Стоксом для шара радиусом R, движу-щегося в жидкости со скоростью v:

6F Rv .

Ш К О Л А В « К В А Н Т Е » 57

Вошедший в эту формулу (называемую те-перь формулой или законом Стокса) размер-ный коэффициент называется коэффици-ентом вязкости или просто вязкостью. Онхарактеризует способность жидкости затор-маживать относительное движение соседнихслоев.Понятно, что в нашем случае слияния

жидких капель сила вязкого трения такжеможет зависеть лишь от вязкости веществакапель, их линейных размеров и скоростипротекания процесса слияния. Поэтому дляоценки по порядку величины силы вязкоготрения вполне допустимо использовать фор-мулу Стокса. Только произведем в ней не-большую замену. А именно: вместо R подста-вим радиус наших капель 0r , вместо скоро-сти шара v – скорость процесса слияния,обозначив ее тоже через v, а под будемпонимать вязкость вещества капель. Тогдадля силы вязкого трения в нашем случаеполучим

06F r v .

Заметим, что масштаб перемещения массыжидкости при слиянии капель – того жепорядка, что и радиус капель: 0x r . По-этому работа сил вязкого трения будет равна

206A F x r v .

Из полученного выражения видно, что чем

быстрее сливаются капли, тем большая энер-гия на это требуется (из-за возрастания силвязкого трения). Но запас энергии у насограничен величиной пE . Этим и опреде-ляется искомое время слияния капель (такназываемое френкелевское время слияния).Оценивая скорость процесса как 0v r , изусловия пA E получаем

2 2 3 200 06 4 2 2

rr r ,

или

0r∼ .

Вот несколько примеров. Для капель водыс 0 1r ∼  см, 0,1 Н м∼ и 310 кг м с∼

соответствующее время составляет всеголишь 410 с∼ . А для значительно болеевязкого глицерина с 0,01 Н м∼ и

1 кг м с∼ время слияния уже 1∼  c.Таким образом, для различных жидкостей, взависимости от их вязкости и поверхностно-го натяжения, время процесса слияния ка-пель одного и того же радиуса может менять-ся в весьма широких пределах. Мало того,благодаря сильной зависимости вязкости оттемпературы (чего нельзя сказать о коэффи-циенте поверхностного натяжения), это вре-мя может существенно изменяться и дляодной и той же жидкости.

Лунный тормозЛ.АСЛАМАЗОВ

ИЗДАВНА ЛЮДИ СЧИТАЛИ, ЧТО МОРС-кие приливы связанны с Луной. Луна

притягивает воду Мирового океана, и втом месте океана, над которым находитсяЛуна, образуется водяной «горб». Горб «сто-ит» под Луной, а Земля вращается вокругсвоей оси; поднявшаяся вода «наползает»на берег – наступает прилив, вода отступа-ет – отлив. Казалось бы, такое объяснениевыглядит вполне естественно. Однако при-знать его удовлетворительным нельзя: из

него следует, что приливы должны наблю-даться один раз в сутки, а в действительно-сти они бывают каждые 12 часов, т.е. двараза в сутки.Первую теорию приливов, объясняющую

это явление, создал Ньютон вскоре послеоткрытия закона всемирного тяготения. Вокеане действительно образуются два горба:один – у ближайшей к Луне поверхностиводы, а другой – с противоположной сторо-ны Земли (рис. 1). Обсудим подробнее при-чину возникновения второго горба.

Опубликовано в «Кванте» №8 за 1987 год. Рис. 1

К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 158

Мы привыкли говорить, что Луна враща-ется вокруг Земли. На самом же деле иЛуна и Земля вращаются вокруг общегоцентра. Если бы этого вращения не было,то под действием силы притяжения Лунаупала бы на Землю (точнее, Земля и Лунаупали бы друг на друга – ведь Луна тожепритягивает Землю). Как же происходитэто вращение? Представим себе, что массыЗемли и Луны одинаковы. Тогда они будутдвигаться вокруг точки, которая лежит насередине отрезка, соединяющего их цент-ры. Теперь давайте мысленно «наращивать»массу Земли. Тогда центр вращения будетсмещаться в сторону Земли. Поскольку мас-са Земли гораздо больше массы Луны (в81 раз), то центр вращения С оказываетсялежащим внутри земного шара (но он обя-зательно смещен относительно центра Зем-ли О).Это вращение существенно влияет на кар-

тину приливов. Вода отступает от центравращения. (Нечто подобное происходит встакане воды, когда, размешивая воду лож-кой, вы приводите ее во вращение, – водаотходит от центра стакана и поднимается украев.) На дальней от Луны стороне Земли,

где наименьшая сила притяжения, образует-ся водяной горб.Конечно, приведенное нами объяснение

приливов является весьма упрощенным. Мыне принимали во внимание неравномерностьраспределения воды по поверхности Земли,не учитывали влияния сил притяжения кСолнцу и других факторов, способных суще-ственно изменить описанную картину. Одна-ко ответ на главный вопрос мы получили:притяжение к Луне и вращение Земли вокругобщего с Луной центра С приводят к образо-ванию двух приливных горбов в океане.А теперь самое время объяснить принцип

действия лунного тормоза. Оказывается, чтоводяные горбы находятся не на линии, со-единяющей центры Земли и Луны (как дляпростоты показано на рисунке 1), а не-сколько смещены в сторону (рис. 2). Про-исходит это по следующей причине. Земля,вращаясь вокруг своей оси, увлекает засобой и воду в океане (это происходит пото-му, что существует трение). В результатеэтого по мере поворота Земли в приливныегорбы должны вовлекаться все новые и но-вые массы воды. Деформация, однако, все-гда запаздывает по отношению к вызываю-

Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т А Т И В 59

щей ее силе (ведь сила создает ускорение, идолжно пройти какое-то время, чтобы час-тицы приобрели скорость и сместились назаметные расстояния). Поэтому точка мак-симального поднятия воды (вершина гор-ба) и точка на линии центров, где на водудействует максимальная сила притяжения кЛуне, не совпадают. Образование горба про-исходит с некоторым запаздыванием, и онсмещается в сторону вращения Земли. А втаком случае, как видно из рисунка 2, силапритяжения Луны к воде уже не проходитчерез центр собственного вращения Земли икак бы стремится «повернуть» ее в противо-положную сторону, иными словами – тор-мозит ее вращение. Длительность суток каж-додневно увеличивается!«Лунный тормоз» безотказно работает уже

многие миллионы лет. У окаменевших ко-раллов, живших в океане около 400 милли-онов лет назад, ученые обнаружили структу-ры, связанные с суточным и годичным рос-том кораллов. Структуры эти назвали суточ-

Рис. 2

ными и годичными кольцами. Когда кольцаподсчитали, то оказалось, что на каждый годприходится 395 суточных колец. Продолжи-тельность года, т.е. времени, за котороеЗемля совершает полный оборот вокруг Сол-нца, с тех пор, по-видимому, не изменилась.Значит, тогда – 400 миллионов лет назад –в сутках было только 22 часа!

Лунный тормоз продолжает работать исейчас, увеличивая длительность суток. Кчему это может привести в отдаленном буду-щем? В конце концов время обращенияЗемли вокруг своей оси может сравняться современем обращения Луны вокруг Земли, итогда торможение прекратится. Земля будетобращена к Луне всегда одной стороной,точно так же, как обращена к нам однойстороной Луна (попробуйте сами объяснить,почему это произошло). Длительность сутокна Земле увеличится, и в результате можетизмениться климат. Земля будет долго оста-ваться обращенной к Солнцу одной сторо-ной, а на другой стороне в это время будетгосподствовать долгая ночь. Горячий воздухс нагретой стороны с огромной скоростьюустремится к холодной, на Земле задуютсильные ветры, поднимутся песчаные бури...Но такой прогноз может и не сбыться –

ведь эти возможные времена столь далеки,что предсказать все изменения, которые про-изойдут в системе Земля–Луна–Солнце, про-сто невозможно. А если такая картина иокажется реальной, то люди обязательнопридумают, как предотвратить бедствие.

Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т А Т И В

ПарадоксВавилова

В.ФАБРИКАНТ

ВГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКЕ ЧАСТО Иплодотворно применяется понятие о пуч-

ке параллельных световых лучей, имеющемконечное поперечное сечение. Более того,

даже в теории такого волнового явления, какинтерференция, во многих случаях допусти-мо использование этого понятия. Во многихслучаях, но далеко не во всех. В книге«Микроструктура света» известного советс-кого физика С.И.Вавилова разобран весьмапоучительный в этом смысле оптическийпарадокс.Напомним коротко, как выглядит энергети-

ка интерференционной картины. Интерфе-ренция, как мы знаем, есть сложение колеба-ний. В нашем случае в волнах колеблютсязначения напряженностей электрического имагнитного полей. Эти напряженности в каж-Опубликовано в «Кванте» №2 за 1971 год.

К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 160

дой точке пространства в каждый моментвремени определяют энергию электромагнит-ного поля. Электромагнитная волна перено-сит энергию, и можно ввести понятие о плот-ности потока энергии. Так мы называем вели-чину, равную энергии поля, протекающей вединицу времени через единицу поверхности.Каждая волна характеризуется еще и фа-

зой. Если при сложении двух световых пуч-ков разность их фаз остается все время однойи той же, мы говорим, что имеем дело скогерентными пучками.В интерференционной картине, возникаю-

щей в результате сложения двух когерент-ных пучков, происходит пространственноеперераспределение световой энергии. В свет-лых полосах энергия больше, чем суммаэнергий складываемых пучков; в темныхполосах, наоборот, меньше. Избыток энер-гии в светлых полосах как раз компенсиру-ется недостатком ее в темных. Полная энер-гия, распределенная по всей интерференци-онной картине, точно равна сумме энергийдвух интерферирующих пучков.На рисунке 1 показана зависимость плот-

ности потока энергии в интерференционнойкартине от смещения по экрану, на котором

она наблюдается. Картина получена присложении двух когерентных световых пуч-ков равной энергии. Горизонтальная пунк-тирная линия изображает сумму плотностейпотоков энергий в складываемых пучках.Части кривой, идущие над этой прямой,соответствуют светлым интерференционнымполосам, а части кривой, лежащие под пун-ктирной прямой, – темным. Суммарная энер-гия, распределенная в интерференционнойкартине, изображается площадью под кри-вой. Эта площадь точно равна площади подпунктирной прямой. Требования строгогобухгалтера природы – закона сохраненияэнергии – выполняются неукоснительно.Перейдем теперь к парадоксу, рассказан-

ному С.И.Вавиловым. Представьте два со-

вершенно одинаковых когерентных резкоограниченных световых пучка шириной а

каждый, пересекающихся под малым углом. В области ABCD происходит интерфе-

ренция (рис.2).

Для наблюдения интерференционной кар-тины можно установить экран, перпендику-лярный плоскости чертежа и проходящийчерез точки А и С. Интерференционная

картина будет состоять из пря-молинейных чередующихсясветлых и темных полос, за-полняющих экран от точки Адо точки С (рис.3).Распределение плотности

потока энергии в интерферен-ционной картине соответству-ет графику на рисунке 1. Если

у обоих пучков одинаковые начальные фазысветовых колебаний, то разность фаз свето-вых волн первого и второго пучков в точках,лежащих на прямой BD, будет равна нулю.Она соответствует, таким образом, серединецентральной светлой полосы. В середине сосед-

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т А Т И В 61

ней, темной полосы разность фаз должна бытьравна , иными словами, световые колеба-ния в обоих пучках должны быть в противо-фазе. Разность фаз равна разности хода

L обеих волн до данного места, деленнойна длину волны и умноженной на 2 :

2L. (1)

Увеличению длины пути, проходимого вол-ной, на соответствует запаздывание фазына 2 . Из формулы (1) следует, что всередине ближайшей к центру интерферен-ционной картины темной полосы L долж-

но быть равно 2.

Подсчитаем разность хода в точке А. Па-раллельный пучок можно рассматривать какпоток плоских волн, перпендикулярных на-правлению световых лучей. Проведем черезточку D (см. рис.2) одну из волновых поверх-ностей (поверхностей равной фазы) первогопучка. На этой волновой поверхности лежатточки D и A . Пути, проходимые обоимипучками до точки D, одинаковы. Для тогочтобы попасть в точку А, волновая поверх-ность первого пучка, проходившая ранеечерез точку D, должна сместиться на отрезокA A , а волновая поверхность второго пучка,проходившая ранее также через точку D,должна сместиться на отрезок DA. В резуль-тате возникает разность хода

L DA A A

22 sin1 1 2sin tg sin

a

a . (2)

Ясно, что такая же разность хода, но собратным знаком будет в точке С. Начнемтеперь уменьшать угол . При достаточно

малом можно сделать L равным 4.

Тогда вся область АС будет заполнена однойсветлой интерференционной полосой. Сле-довательно, всюду энергия будет превышатьсумму энергий двух пересекающихся пуч-ков. Никакой компенсации за счет образова-ния темных полос нет, так как они вообщеотсутствуют! Можно получить и, так ска-зать, негативный результат, заставив пере-секаться пучки с начальной разностью фаз,равной . Тогда область АС будет заполнена

темной интерференционной полосой. В пер-вом случае непонятно, откуда берется допол-нительная энергия, во втором – неясно, кудаисчезает энергия.Оба случая явно противоречат закону со-

хранения энергии. Очевидно, в наших рас-суждениях есть какой-то дефект, приводя-щий к противоречию с одним из основныхзаконов природы. Чтобы понять, в чем здесьдело, запишем формулу (2) для указанного

случая, когда 4

L , и воспользуемся при

этом малостью угла ( sin для малых). Мы покажем ниже, что угол действи-

тельно очень мал. Тогда получим

2

22

4 2

aa , (3)

или12 a

. (4)

Возьмем а = 1 см, 55 10  см, тогда52,5 10 радиана. Из (4) мы видим, что

неприятности с законом сохранения энергиивозникают при угле между пучками порядкаотношения длины волны к величине попе-речного сечения пучка.Решение парадокса заключается в том, что

при таких малых углах уже нельзя пользо-ваться понятием идеального параллельногопучка конечного сечения. При любой попыт-ке реализовать такие пучки мы потерпимнеудачу. Благодаря явлению дифракции,ограничение размеров пучка с необходимос-тью приводит к превращению его в расходя-щийся пучок. Угол расхождения пучка опре-деляется как раз формулой (4). При этом,естественно, угол, под которым пересекают-ся пучки, можно определить лишь с точнос-тью до величины порядка угла расхожденияпересекающихся пучков.Если бы дифракция еще не была открыта,

мы на основании закона сохранения энергиии формулы (4) должны были бы не толькодогадаться о ее существовании, но и указатьна основную закономерность, управляющуювеличиной дифракционного угла. Это хоро-ший пример того, что закон сохранения вфизике всегда может служить надежнойпутеводной звездой.

Л А Б О Р А Т О Р И Я « К В А Н Т А »

Опубликовано в «Кванте» №12 за 1986 год.

Наблюдениянад туманом

А.БОРОВОЙ

ПРИСМАТРИВАЛИСЬ ЛИ ВЫ К ТОМУ, КАК ПО-является над рекой вечерний туман? Он возникает не

сразу, а сначала сгущается над водоворотами и переката-ми. Отдельные легкие облачка в лунном свете напомина-ют женские фигуры в белых одеждах. И начинаешьпонимать наших предков, создавших так много легенд орусалках.С описанием этого иногда удивительно красивого, а

чаще тревожного и загадочного природного явления мывстречаемся и на страницах произведений художествен-ной литературы. На полях этой и следующей страницприведено несколько прозаических и стихотворных ци-тат, в которых описывается туман. Постарайтесь дога-даться, кто их авторы.Как часто удается любоваться туманом, зависит от

особенностей местности. Например, для жителей Нью-фаундленда, острова, расположенного у берегов Канадыв месте, где теплое течение Гольфстрим сталкивается схолодным Лабрадорским течением, туманы – постоян-ные гости. Третью часть года, включая практически вселетние дни, остров покрыт густой дымкой. Наверное,даже самое красивое описание тумана вряд ли вызоветвосхищение у жителей Ньюфаундленда. Настоящая«страна туманов» – Англия, «туманный Альбион». Унас в стране особенно богаты туманными днями побере-жья северных морей – Балтийского, Охотского, а такжеКольский полуостров.Если там, где вы живете, природные туманы – редкость,

не забудьте, что у себя дома их можно видеть буквальнона каждом шагу. Белое облачко, появляющееся из носикакипящего чайника,– это туман. В обиходе мы называемего паром, но это неверно, поскольку пар воды представ-ляет собой бесцветный газ. Если быстро открыть бутылкус газированной водой, то над горлышком в первый моментпоявится дымок – это тоже туман. На улице в морозныйдень туман клубится над открытой водной поверхностью,над прорубями или полыньями, врывается в комнатучерез открытую форточку, возникает при дыхании (опять-таки мы привыкли говорить – «пар от дыхания»).Образование тумана связано с тем, что при понижении

температуры воздуха водяные пары, содержащиеся в

ТУМАНЪ м. (тьма, тймень) гус-той паръ, водяные пары въ низ-шихъ слояхъ воздуха, на поверх-ности земли’ ; омраченный парбмивоздухъ.

«Дитя, что ко мне ты так робкоприльнул?» –

«Родимый, лесной царь в глазамне сверкнул.

Он в темной короне, с густойбородой». –

«О нет, то белеет туман надводой».

Белая волокнистая пелена, затя-нувшая почти все болото, с каждойминутой приближалась к дому ...Вот белесые кольца показались собеих сторон дома и медленно сли-лись в плотный вал, и верхнийэтаж с крышей всплыл над нимточно волшебный корабль на вол-нах призрачного моря.

Лишь высших гор до половиныТуманы покрывают скат,Как бы воздушные руиныВолшебством созданных палат.

Внешность перемены была пора-зительна. Секунду назад мы мча-лись в ярких солнечных лучах, наднами было ясное небо, и далеко-далеко до самого горизонта морешумело и катило свои волны, а занами бешено гнался корабль, из-

К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 1 63

нем, в какой-то момент становятся насыщенными и придальнейшем охлаждении начинают конденсироваться. Ивыделяют избыток влаги в виде мельчайших капель нацентрах конденсации – пылинках, частицах дыма, ионахгаза и т. п. Когда капли появляются в воздухе, мыговорим о тумане. А капли на поверхности земли, налистьях и траве называем росой.Чтобы представить себе, насколько изменяется содер-

жание водяного пара в воздухе при изменении температу-ры, приведем такие цифры: масса насыщенного водяногопара в 31 м воздуха при 30 С составляет 30 г; приохлаждении воздуха до 10 С масса насыщенного парауменьшается до 310 г м ; значит, в каждом кубометревоздуха 20 г воды должны выделиться в виде капельтумана или росы.Размер капель, составляющих туман, вы можете опре-

делить следующим образом. Подержите в тумане стек-лышко, смазанное вазелином, а потом рассмотрите подмикроскопом оставшиеся на нем капли влаги. Микроскопнеобходим, поскольку даже самые крупные капли дости-гают размеров всего лишь в десятки микрон, их диаметрпочти в сто раз меньше толщины спички.Обычно туманы не долговечны. Мелкие капли сливают-

ся в более крупные и опускаются вниз – туман дождемвыпадает на землю. Но может случиться и так, что втеплом потоке воздуха капли тумана испарятся и туманрассеется.Все это можно наблюдать на простом опыте, для

которого потребуются кофейник, сковорода и небольшойкусок резиновой трубки. Плотно вставим трубку в носиккофейника, нальем в него воду и поставим на плиту.Когда вода закипит, из трубки начнет вырываться белаяструя водяного тумана. Поднесем (с помощью пинцета)конец трубки к холодной сковороде, стоящей на соседнейконфорке. Туман будет подниматься над ней и частичнооседать каплями на холодную поверхность металла. Ноесли сковороду разогреть – туман пропадет. В потокенагретого воздуха плотность водяного пара становитсяниже насыщенной, и капли воды не образуются (илииспаряются).«Граждане, рейс Москва – Воркута задерживается

вылетом на два часа». К сожалению, объявления такогорода нередко можно услышать в аэропорту. Чаще всегозадержка происходит как раз из-за тумана. Именно онмешает принимать самолеты, идущие на посадку, и меша-ет их взлету. Как с этим бороться?Сначала инженеры предложили почти очевидный спо-

соб, который так хорошо «работал» в опыте со сковоро-дой. Дело было во время войны. Английские летчикидолжны были отражать налеты фашистов. Но Англия –страна туманов, и летчик, вылетая с аэродрома, далеко небыл уверен, что ему удастся совершить посадку в яснуюпогоду. И вот на шести английских аэродромах вдоль всей

рыгая дым, пламя и чугунные ядра.И вдруг, во мгновение ока, солнцеточно загасили, небо исчезло, дажеверхушки мачт пропали из виду, ина глаза наши, словно их заволок-ло слезами, опустилась серая пеле-на. Сырая мгла стояла вокруг нас,как стена дождя. Волосы, одеж-да – все покрылось алмазными бле-стками.

Сегодня все вокруг заснуло,Как дымкой твердь заволокло,И в полумраке затонулоВоды игривое стекло.

Какое-то странное, упоительноесияние примешалось к блеску ме-сяца. Никогда еще не случалосьему видеть подобного. Серебря-ный туман пал на окрестность.Запах от цветущих яблонь и ноч-ных цветов лился по всей земле.

Сентябрь холодный бушевал,С деревьев ржавый лист

валился,День потухающий дымился,Сходила ночь, туман вставал.

Туча кружево в роще связала,Закурился пахучий туман.

Как грустна вечерняя земля!Как таинственны туманы над

болотами.

Ее глаза – как два тумана,Полуулыбка, полуплач...

К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 164

посадочной полосы запылали огромные фа-келы. Они подогревали воздух, капли тума-на испарялись, и видимость повышалась вомного раз – вплоть до километра.Но способ этот оказался дорогим и неэф-

фективным. Дело в том, что при сгораниинефть сама образует много водяных паров,они непрерывно пополняют «резервы» ту-мана, и факелам в основном приходилосьбороться самим с собой. В результате накаждом аэродроме за секунду сгорала це-лая бочка нефти. Если для небольших аэро-дромов это было уже достаточно накладно,то для современных взлетных полос потре-бовалась бы целая река нефти. От подогре-ва воздуха пришлось отказаться.

Более перспективным оказалось рассея-ние над аэродромом веществ, поглощаю-щих влагу, например тончайшего порошкахлористого кальция. Его частицы собираюткапли тумана в более крупные и выпадаютна землю дождем. Влажность воздуха пада-ет, и туман рассеивается.Раз речь зашла о туманах и самолетах, мы

хотели бы упомянуть еще о двух связываю-щих их фактах.Каждый из вас, наверное, не раз замечал

в небе белый след от летящего самолета.Это – туман, образующийся из паров воды,поставщиком которых служит сгорающеетопливо. Горячий выхлопной газ, насы-щенный водяными парами, попадает в хо-лодную атмосферу и образует туман.Куда более страшный «туманный след»

может тянуться за самолетом, потерпевшим

Журнал «Квант» зарегистрированв Комитете РФ по печати.

Рег. св-во ПИ №ФС77–54256

Тираж: 1-й завод 900 экз. Заказ №

Адрес редакции:

119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А,«Квант»

Тел.: +7 916 168-64-74Е-mail: math@kvant.ras.ru, phys@kvant.ras.ru

Отпечатанов соответствии с предоставленными

материаламив типографии ООО «ТДДС-СТОЛИЦА-8»

Телефон: +7 495 363-48-86,htpp: //capitalpress.ru

НОМЕР ПОДГОТОВИЛИ

Е.В.Бакаев, Е.М.Епифанов,А.Ю.Котова, С.Л.Кузнецов,

В.А.Тихомирова, А.И.Черноуцан

НОМЕР ОФОРМИЛИМ.Н.Голованова, Д.Н.Гришукова,

А.Е.Пацхверия, М.Н.Сумнина

ХУДОЖЕСТВЕННЫЙРЕДАКТОР

Е.В.Морозова

КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРУППА

М.Н.Грицук, Е.А.Митченко

КВАНТ 12+

аварию. Это – след из горю-чего, которое выброшено ввоздушный поток и распыле-но им в мельчайшие капли.Возникший огонь может рас-пространяться по такому сле-ду со скоростью в десяткиметров в секунду, так чтоникакие пожарные средстване сумеют подоспеть на по-мощь. В связи с этим возник-ла проблема введения в топ-ливо веществ, существенноуменьшающих горючесть об-разовавшегося тумана. И та-кие работы ведутся.

,

.

b%2 j"=…2, *%2%!/L C%“2!%, h“==*,` "%2 3 …, =,j%2%!= ,ƒ! *= K,2 ."= ,2 “ ,)2% "“ C%…, = 2 …= %L “2!=…,b j"=…2 , *%2%!/L C%“2!%, h“==*.

b%2 ="2%! “2=2 , $ ƒ…= …,2/L 3 …/L,j%2%!/L C,“= 2=* 3" ……%d 2%L K ƒ !/ “ ! ƒ…%L ", /,j%2%!= ,ƒ! *= K,2 ."= ,2 “ ,)2% "“ C%…, = 2 …= %L “2!=…,b j"=…2 , *%2%!/L C%“2!%, h“==*.

` "%2 ! …ƒ …2 $ ="…,L … ! “%" 2=,j%2%!/L C!% “% ,… …, 2%,o! “2="," “ K “, C=2, …%L ", L,j%2%!= 2? 2…% 3!/›,2 “2!=…, 3,o/2= “ C%… 2 2%, % %"%!,2“ b j"=…2 , *%2%!/L C%“2!%, h“==*.

` 2% ! =*2%!, “2=2 23 C!="," ,L,k, ="2%!= , …= “2 %“2="," ,L,)2%K =› 23C L = " ,! ", =q % = .%2 ,…%› / " % C%."= ,2 “ ,)2% "“ C%…, = 2 …= %L “2!=…,b j"=…2 , *%2%!/L C%“2!%, h“==*.

` 2% .3 %›…,* " 3K%*%L C!%“2!= ,,

o/2= 2“ "/ 3 =2 2 , “2!= ,,,j%2%!/ 2=* % =!3 2 ", 3,)2% “.% 3 %…= C!% ,2= 2 “2!=…, 3b j"=…2 , *%2%!/L C%“2!%, h“==*.

b%2 ="…/L ! =*2%! $ K% %L =*= ,*,n… C!=",2 (ƒ= 2% … 2! K3 … ),)2%K = %“ "“ 2% *% 2=* , "%2 2=*,o%“*% *3 %… “2 2%2 “= /L h“==*,j%2%!/L C% 3 , " K, “ " ", 3,j%2%!= C= ,*% 2/ 2 " “2!=…, 3,o/2= “ C%… 2 2%, % %"%!,2“ b j"=…2 , *%2%!/L C%“2!%, h“==*.

}2%2 =2 !,= K/ %C3K ,*%"=… " “C ,= …% "/C3“* &j"=…2=[, C%“" ? ……% 75- 2, h.j.j,*%,…=.