ya-fu peng february, 2009w3.uch.edu.tw/ee_yf/ppt/ch3.pdf · 2009-06-01 · n n 1 1 0 0 1 + 1 + + +...

Control System(1)

控制系統

‧清雲科技大學電機工程系

• Ya-Fu Peng• February, 2009

1

Control Systems

Control System(1) 2

內容

簡介

頻域模型

時域模型時域模型

時間響應

互聯子系統之簡化

穩定度

穩態誤差

Control System(1)

Chapter 3 Modeling in the Time Domain

頻域技巧(古典方法)

優點：迅速提供穩定度和暫態響應的訊息

缺點：應用範圍受限，只能應用於線性、非時變系統或類似的系統

狀態空間法(或稱現代、時域法)

優點：不論MIMO或SISO系統都可使用，亦可結合電腦進行模擬，並觀察系統響應

缺點：並不如古典方法一樣直接；須透過一些計算，才能看出系統的實際意義

3

Control System(1)

線性組合：n個變數的線性組合，以總合S表示：

線性獨立：ㄧ組變數若為線性獨立，則沒有任一變數可表為其他變數之線性組合。

系統變數：在一系統中反應輸入或初始條件之變數。

)1( nixi K=

1111 xkxkxkS nnnn +++= −− L

一般狀態空間表示式

4

Chapter 3

Control System(1)

狀態變數：系統變數的最小線性獨立組合，使得在時其值和輸入均為已知下，能在時決定所有的系統變數值則稱此最小組合為狀態變數。

狀態向量：由狀態變數組成之向量。

狀態空間：由狀態變數為軸所組成之n維空間

狀態方程式：ㄧ組n個變數組成的n個ㄧ階微分方程式。其中n個可解出變數為狀態變數。

輸出方程式：系統輸出變數的代數方程式，它是狀態變數和輸入的線性組合。

0t0tt ≥

5

Chapter 3

Control System(1)

優點：不論MIMO或SISO系系統統都可使用，亦可結合電腦進行模擬，並觀察響應

缺點：並不如古典方法一樣直接；須透過一些計算，才能看出系統的實際意義

ㄧ系統在狀態空間時的狀態空間表示式：

0tt ≥狀態方程式

輸出方程式DuCxyBuAxx

+=+=&

其中 x為狀態向量；為狀態向量對時間之微分；y為輸出向量；u為輸入或控制向量；A為系統矩陣；B為輸入矩陣；C為輸出矩陣；D為前饋矩陣

x&

6

Chapter 3

Control System(1)

)(12121111 tubxaxadtdx

++=

[ ] )(12

121 tudx

xccy +⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

)(22221212 tubxaxadtdx

++=

)(12211 tudxcxcy ++=

)(2

1

2

1

2221

1211

2

1 tubb

xx

aaaa

xx

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡&

&

21, xx 為狀態變數

Ex:

Sol:

7

Chapter 3

Control System(1)

Ex: 為輸出，求狀態空間表示式)(tiR

8

Chapter 3

Control System(1)

Sol:藉著所有能量儲存元件的微分方程式，選出狀態變數如L和C

選取與為狀態變數)(tvC )(tiL

LCC

LCLRC ivRdtdvCiv

Riii +−=⇒+−=+−= 11

)()( tvvdtdiLtvvv CLCL +−=⇒+−=

CR vRi 1=

9

Chapter 3

Control System(1)

)(10

01

11

tvLi

v

L

CRCiv

L

C

L

C

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡&

&

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

L

CR i

vR

i 01

LCC

LCC i

Cv

RCdtdviv

RdtdvC 111 +−=⇒+−=

)(11)( tvL

vLdt

ditvvdtdiL CLCL +−=⇒+−=

狀態空間表示式：

10

Chapter 3

Control System(1)

ubyadtdya

dtyda

dtyd

n

n

nn

n

0011

1

1 =++++ −−

− L

轉移函數到狀態空間的轉換

n階微分方程式以狀態空間表示式表示

n

n

nn

n

n dtydx

dtydx

dtydx

dtd

dtdyx

dtdyxyx

==

⇒

==

==

−

−

&

MM

&

&

1

1

2

2

22

11

11

Chapter 3

Control System(1)

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

n

nnn

x

xx

y

u

bx

xx

aaaax

xx

ML

MM

L

MOMMM

L

L

&

M

&

&

2

1

0

2

1

1210

2

1

0001

00

01000010

表示式：

12

Chapter 3

Control System(1)

rydtdy

dtyd

dtyd

dtyd 87654 2

2

3

3

4

4

=++++

Ex:試求狀態空間表示式

4

4

43

3

4

3

3

32

2

3

2

2

22

11

dtydx

dtydx

dtydx

dtydx

dtydx

dtd

dtdyx

dtdyxyx

==

=⇒=

==

==

&

&

&

&

Sol:

13

Chapter 3

Control System(1)

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

0001

8000

7654100001000010

xxxx

y

u

xxxx

xxxx

&

&

&

&

表示式：

14

Chapter 3

Control System(1)

2426924

23 +++ SSS)(sR )(sC

2426924

)()()( 23 +++==

ssssRsYsT

)(24)()24269( 23 sRsYsss =+++

ryyyy 2424269 =+++ &&&&&&

Ex:轉移函數→狀態空間表示式

yxyxyxLet &&& === 321 ,,:

Sol:

1 -L

15

Chapter 3

Control System(1)

rxxx

xxx

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⇒

2400

92624100010

3

2

1

3

2

1

&

&

&

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=⇒

3

2

1

001xxx

y

1

3213

32

21

2492624xy

rxxxxxxxx

=+−−−=

==

&

&

&

16

Chapter 3

Control System(1)

2426927

23

2

+++++sss

ss)(sR )(sY

)(sX24269

123 +++ sss 27

2 ++ ss)(sY)(sR

)()(

)()(

)()()(

sXsY

sRsX

sRsYsT ⋅==

Ex:轉換一個分子為多項式的轉移函數→狀態空間表示式

Sol:

17

Chapter 3

Control System(1)

242691

)()(

23 +++=

ssssRsX

)()()24269( 23 sRsXsss =+++

rxxxx =+++ 24269 &&&&&&xxxxxxLet &&& === 321 ,,:

rxxx

xxx

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

100

92624100010

3

2

1

3

2

1

&

&

&

18

Chapter 3

Control System(1)

)()27()( 2 sXsssY ++=

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

++=++=

3

2

1

321

172

7227)(

xxxxxx

xxxty &&&

分子的部分

1 -L

19

Chapter 3

Control System(1)

求轉移函數

)()()()()()(

sssssss

DUCXYBUAXX

+=+=

DuCxyBuAxx

+=+=&

狀態空間表示式到轉移函數的轉換

L

( ))()()(

)()(1 ssssss

- BUAIXBUXAI

−=⇒

=−

20

Chapter 3

Control System(1)

( ))()()(

)()(1 ssssss

- BUAIXBUXAI

−=⇒

=−

)(])([)()()()(

1

1

ssssss

-

-

UDBAICDUBUAICY

+−=

+−=

DBAICUY 1 +−== −)(

)()()( s

sssT

狀態空間表示式→轉移函數的公式

21

Chapter 3

Control System(1)

,00

10

321100010

u⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−= xx& [ ]x001=y

( ) DBAIC 1 +−== −ssUsYsT

)()()(

Ex:

Sol:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=−

32110

01

321100010

000000

ss

s

ss

ss AI

22

Chapter 3

Control System(1)

( )

123)12(

)3(11323

12)3(1

)12()3(3123

)(

23

2

2

2

2

2

1

+++

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−−+−+++

=

+++

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−++−−++

=−−

=− −

sssssssss

sss

ssssssssssss

ssadjs

T

AIAIAI

23

Chapter 3

Control System(1)

( ) [ ]

[ ]

123)23(10

00

10

1231323

00

10

123)12(

)3(11323

001

23

2

23

2

23

2

2

+++++

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++++++

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−−+−+++

=

sssss

ssssss

sssssssss

sss

sT

24

Chapter 3

ya-fu peng february, 2009w3.uch.edu.tw/ee_yf/ppt/ch3.pdf · 2009-06-01 · n n 1 1 0 0 1 + 1 + + +...

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