workshop of applied mechanics - informace | Čvut...

11th Workshop of Applied

Mechanics

Proceedings

February 12, 2010

Department of Mechanics, Biomechanics and Mechatronics

Faculty of Mechanical Engineering

Czech Technical University in Prague

Editors

ing. Marek Stefan, Ph.D.prof. Michael Valasek, DrSc

Organized by the Department of Mechanics, Biomechanics and Mechatronics, Faculty ofMechanical Engineering, Czech Technical University in Prague

Foreword

The 11th Workshop of Applied Mechanics was held on the Czech Technical University inPrague, Faculty of Mechanical Engineering on 12th February, 2010. The purpose of thismeeting was to inform about the latest results and the ongoing research of especially, butnot only, the youngest fellows of the Department of Mechanics, Biomechanics and Mecha-tronics.

Organizing Committee

Symposium Organization

Czech Technical University in PragueFaculty of Mechanical Engineering

Department of Mechanics, Biomechanics, and Mechatronics

prof. Michael Valasek, DrSc Organizing Committee Chiefing. Marek Stefan, Ph.D. Program and Section Chairing. prof. ing. Milan Ruzicka, CSc Board memberdoc. ing. Tomas Mares, Ph.D. Board memberdoc. RNDr. Matej Daniel, Ph.D. Board member

http://www.cvut.cz

http://www.fs.cvut.cz

mailto:[email protected]

mailto:[email protected]

Contents

Foreword 1

Symposium organization 2

Contents 3

Original research 1Determination of Elastic Properties Based on Microstructures Parameters (J. Had) 2Unidirectional Composites with Collagen and Gelatine Fibers (D. Hruskova at al.) 5Active Vibration Suppression of Composite Beam (T. Kasparkova at al.) . . . . . 8Kinematical Solution by Structural Approximation with Relaxation (P. Kukula at

al.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Unava materialu v podmınkach frettingu (J. Kuzelka at al.) . . . . . . . . . . . . 15Modeling and Stability of Wave-based Control (O. Marek et al.) . . . . . . . . . . 20FE Simulation of Dental composites: Effect of Residual Stress on Macroscopic

Response (O. Prejzek at al.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Dynamic Nanoindentation of Bovine Intervertebral En Plate (J. Sepitka at al.) . . 30

Preliminary scientific reviews 31Tensegrity Structures in Engineering: Preliminary Review (V. Finotto at al.) . . . 32Aktivnı rızenı vozidla ve smyku - prehled problematiky (J. Krivohlavy at al.) . . 38Pevnostnı problematika lepenych spoju: kriticka reserse (Z. Padovec) . . . . . . . 41Optimalizace mechatronickych systemu z hlediska struktury rızenı - prehled prob-

lematiky (P. Svatos at al.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Original research

ISBN 978-80-01-04567-1 11thWAM, 12.2.2010, CTU in Prague

2

11thWAM, 12.2.2010, CTU in Prague ISBN 978-80-01-04567-1

∑=

�

�

��(

*�� "��

�� '�!��

�� εσ ⋅�6#�!.�

��

��

�� "��

� �� '��

��

�� '��

�� "��

��,��

!�� "� ��"��

��77°�� 8�

��8,��

��

��

�� -�� "��

� �� %� � ��

!��

��

��

�� "�� $�9$&� � �� +� � ��

��-�� "��

� ��

��

��' �� (�

9�� 9 � � � �

� .� � :4(*� 5�

��

� �

� � �

( ( (.� :4(*� 5

� � �

-��

� �

9� � �

( ( (.� :4(*� 5

; ; ;

<�� 9� � � �

= .� = :4(*� 5=�

��(,�-��' ��

��

�"��"�� "� ��

��

�� "� ��

�� 4>�5 � �� 4+��

�� 5�� 4>-5�� "��4��

�� 5�"��?�� '��

�� !�� 2 � ��+��

�� "��"�� +��

��

��

�( �2 �(

�9�/;<�1 )80 2�@ �

��/;<�1 @ (@ �

;9��/;<�1 20 @0 (�(

ν9��/*1 0 �@ 0 � 0�8

��9�/�<�1 2)00 8A00 BA�(*�<C�!>�>��4�� 5�*�D)�B(2 �(2�D

�2�*�<$E�>-��*�4��5��B00�(2D

�(�*�$��4>�� 5 �$$ ��"� ��

�� 2F

��2,��

�� +��<�� "��

�� '� �� <�� "��

�� *�� "��

�� "��

��

!�� "�� '��

��"� � �� "� � �� "� � � ��

"��"�� "�� 77° �� "� ��± 8@°�

��

"��77° ± 8@°

��#��

"��0�(7�� 0��0��

�� G< �� G<

�'�/;<�1 �@8�0)� �0(�7 2)8�)@) (AB�2B�

��/;<�1 (0�AA0 (0�7 B�)(8 B�@0)

�+�/;<�1 (2�(�7 (��2 7�2B( )�@28

;�+�/;<�1 * * (�B(0 *

;+'�/;<�1 ��)@8 2�( )�@2� *

;'��/;<�1 ��)2) 2�) @�A�@ *

ν+'�/(1 0�00B 0�00B 0�00) 0�02(

ν�'�/(1 0�00) 0�02@ 0�00@ 0�0B(

ν'+�/(1 0�(A� * 0�(A�

��!��

4"��"��77�@��5

3


�� "��

��"�� "��

��

�� !��

��'��

��

�'�� '��

�� *��

��

�� "�#�

� �� "�# � "�� ;�� $�� !+�� (0(H07H02AA � �� (0(H07H>0)7��"�#�"�� I�� -�� !+�� E��(�0@0B�

�� /(1 ��JK�L#� ��D��MN�# �O��>� ��<�6+�#,��

�� &��

�� $�� @ � E� � (A � 4200A5 � C--E�

(70(*(2(B

/21 �JK�L#� � �� D��MN�# � �� >� � O� � <�6+�# � ��, � ��

�� '�� - ��E��!��

��!��- �� C��<��(B ��C!!� �2B*�(� �

O��200A �� ?�� D��

/�1 ?�� P�-��M# �O��$��JK�L#� ��,�E��

�� *�� #��

��

�� <�� (B � � C� ��

!��!�� 2B*�(�O��200A �

�� ?D

4


Workshop of Applied Mechanics: Undirectional composites with collagen and gelatine fibers

D. Hrušková

1,2 , Z. Sucharda

2, K. Balík, M. Sochor

3

1Laboratory of Biomechanics, Department of Mechanics, Biomechanics and Mechatronics, Faculty of Mechanical

Engineering, Czech Technical University in Prague, Prague, Czech Republic 2Department of Composites and Carbon Materials, Institute of Rock Structure and Mechanics Academy of

Sciences of the Czech Republic, V Holešovičkách 41, 182 09, Prague, Czech Republic 3Division of Strength of Materials, Department of Mechanics, Biomechanics and Mechatronics, Faculty of

Mechanical Engineering, Czech Technical University in Prague, Prague, Czech Republicepartment

Abstract

This report is about the influence of nanofibers on mechanical

and physical properties of composites based on the biodegradable

materials. Results confirmed the positive influence of nanofibers

on the mechanical properties of composite. According to these

results, composites based on gelatine are suitable rather for low

load applications.

Keywords

nanofibers; gelatine; collagen; biocomposites.

Introduction

There are nowadays numerous available synthetic bone graft

materials, both single- and multi-phase (i.e., composite) materials

that combine the advantages exhibited by each component of the

material, with a structure and composition similar to that of

natural bone.

Bone is a natural composite involving two main components, i.e.

organic and inorganic materials. The organic portion of the bone

comprises cells as well as the fibrous and amorphous part of the

extracellular matrix (ECM). The fibrous part is formed by

collagen (COL) fibres and the amorphous part by various

glycoproteins or glycosaminoglycans that play important roles in

controlling the function of osteoblasts as well as bone tissue

mineralization [1-3]. The inorganic component comprises

minerals, particularly hydroxyapatite (HA) and calcium

phosphates. The minerals are indirectly bound to collagen

through non-collagenous proteins such as osteocalcin,

osteopontin or osteonectin, which make up approximately 3–5%

of the bone and provide active sites for biomineralization and

also for cellular attachment [1, 4, 5]. The inorganic component

comprises minerals, particularly hydroxyapatite (HA) and

calcium phosphates. Human bones do not have pure or

stoichiometric HA and contain other ions, mainly CO32− and

traces of Na+, Mg2+, Fe2+, Cl−, F−. Calcium-deficient HA is of

greater biological interest because the mineral portion of hard

tissue is primarily carbonate substituted calcium-deficient HA ,

which is chemically and compositionally similar to

tricalciumphosphate but structurally similar to stoichiometric

hydroxyapatite [10].

A bioinspired bone implant with the desired nanofibrous

and nanocrystalline structure can be prepared using collagen and

hydroxyapatite. Fibres are attractive guidance substrates, as they

can be bundled together and used as oriented scaffolds. The

fibrillar structure of collagen I (the most used) has long been

known to be important for cell attachment, proliferation, and

differentiated function in tissue culture. In native ECM, collagen

exists in a three-dimensional network structure composed of

multi-fibrils on the nanofiber scale (50–500 nm). Collagen, as a

natural extracellular matrix protein available in bone tissue has

excellent biocompatibility, biodegradability and non-toxicity,

which make it a prime and safe source of materials for use in a

variety of biomedical applications in the bone tissue engineering

area. Nanofibers can be manufactured by various methods e.g.,

the sol-gel method, the phase-separation technique or electro-

spinning. Electro-spinning has recently been introduced as the

most promising technique for manufacturing in vitro fibrous

scaffolds for tissue engineering applications with fiber diameter

ranging from a few microns to less than 100 nm. It has been

observed that cells proliferate intensively on nanofibres because

of the high surface area-to-volume [4, 5]. Collagen nanofibrous

matrices produced by the electro-spinning process were found to

be very effective as wound-healing accelerators in early-stage

wound healing [6], or were declared to be a good candidate for

wound dressing or for skin substitutes [7, 8]. The novel

electrospun nanofibrous collagen-glycosaminoglycan (GAG)

scaffold exhibited a uniform nanofibrous and porous structure

with a mean diameter of 260 nm, which is similar to that found in

native ECM [9].

The aims of this work are the preparation of bioinspired

composite materials composed of gelatin matrix, gelatin

nanofibers and hydroxyapaptite powder and verifying the

influence of nanofibers on the mechanical properties of the

composites.

Materials and methods

For verifying the nanofibers influence on the mechanical

properties two sets of each biocomposite have been prepared.

During the preparation were used the same materials in the same

concentration, but with different structure (homogenous gelatine

and collagen/gelatine and collagen nanofibers).

Type A: (GELHA) has been prepared by introduction of

hydroxyapaptite (HA) powder into porcine gelatin (GEL) matrix

and mixed by screw kneading machine at room temperature.

Mixture has been formed followed by drying at ambient

atmosphere, pressure and humidity. The same procedure was

5


aplicated on COLHA-the second type of composite, instead of

gellatine were used the collagen.

Type B: collagen and gellatin nanofibers loaded by HA have

been provided by ELMARCO s.r.o. (NF-GELHA, NF-COLHA).

Sixty four layers of NF-GELHA have been placed into the form

and pressed at 40°C under the pressure of 35 MPa for 5 minutes.

Sample from NF-COLHA were prepared from 96 layers, pressed

at 32°C under the pressure of 30 MPa for 10 minutes.

Dried samples of both types (A and B) were cut into rectangle-

shaped pieces for testing of mechanical properties. The ultimate

tensile strength (Rm) for both types of composites was

determined with Inspekt 100 HT material tester with respect to

ISO 527.

Differences in HA concentration in matrices has been analyzed

by Raman microscopy (Jobin Yvon, Labram HR, equipped with

confocal microscope Olympus, exciting source-laser 780 nm,

step 2 µm-Fig. 1)

Figure1. SEM image of COLLHA composite (magnification 10000x)

A basic material of the second type has been provided by

ELMARCO s.r.o. Gelatin nanofibers loaded by HA (NF-

GELHA) and has been prepared by followed procedure. Porcine

gelatin was dissolved in diluted acetic acid. Nanoparticles of

hydroxyapatite (20 wt.% to dry matter) were mixed into the

solution. Basis weights for gelatine and nHA mixture was app.6

gsm. Nanofibers had to be crosslinked (48 hours by

glutaraldehyde vapours) due to water solubility. Sixty four layers

of NF-GELHA have been placed into the form and pressed at

40°C under the pressure of 35 MPa for 5 minutes (Pracovní stroje

Teplice, Czech Republic, type HLV 5.1).

Figure 2. SEM image of NF-GELHA composite (magnification 10000x)

The ultimate tensile strength (Rm) for both types of composites

was determined with Inspekt 100 HT material tester (Hagewald

& Peschke, Germany) with respect to ISO 527.

Table 1: Results of the mechanical tests

The purpose of the mechanical testing was test the behaviour of

the composite and, with regard to the future potential application

in bone tissue engineering, to compare these results with the

properties of the human bone. The ultimate tensile strength (Rm)

for both types of composites was determined. The results (see

Table 1) indicate that tensile strength is comparable to that of

human bone. According to these values, the composite GELHA

is similar to cancellous bone and composite NF-GELHA show

tensile strength value similar to cancellous bone. Gelatine

nanofibres loaded with HA increased the tensile strength.

The behaviors of the both composite materials at mechanical tests

are similar, distinct brittle cracks appeared at specific load value.

Mapping of HA concentration in GELHA and NF-GELHA

shows us better HA dispersion in NF-GELHA composite than in

GELHA composite. This homogeneity can be connected and

probably influence the mechanical properties of both composites.

Conclusions

This study has investigated the influence of nanofibers on

mechanical properties of composites based on the biodegradable

materials. Results confirmed the positive influence of nanofibers

on the mechanical properties of composite. According to these

results, composites based on gelatine and collagen are suitable

rather for low load applications. Mechanical properties are one of

the many aspects for biocomposite evaluation. In vivo and in

vitro tests are subjects of the future research.

Material Tensile strength Rm [MPa]

Cortical bone 50-150 [1]

Cancellous bone 10-20 [1]

COLHA 25

GELHA 30

NF-COLHA 40

NF-GELHA 50

Lo

ad

(N

)

Alongation (µm)

Figure 3:. Tensile tests of NF-GELHA composites – dependence of the

load on the displacement

6


References

[1] Z. EVIS, M. SATO and T. J. WEBSTER, J. Biomed. Mater.

Res. 78A (2006) 500

[2] B. INANÇ, A.E. ELÇIN, Y.M. ELÇIN, Artif Organs. 31

(2007) 792

[3] C.K. HUANG, W. HUANG, P. ZUK, R. JARRAHY, G.H.

RUDKIN, K. ISHIDA, D.T. YAMAGUCHI, T.A. MILLER,

Plast Reconst Surg. 121 (2008) 411

[4] R. MURUGAN, S. RAMAKRISHNA and K.

PANDURANGA RAO, Mater. Lett. 60 (2006) 2844

[5] R. MURUGAN and S. RAMAKRISHNA, Comp Sci and

Technol. 65 (2005) 2386

[6] S. SINGH and S. S. RAY, J. Nanosci. Nanotechnol. 7 (2007)

2596

[7] E. LANDI, A. TAMPIERI, G. CELOTTI, L. VICHI and M.

SANDRI, Biomaterials 25 (2004) 1763

[8] P. LESNY, M. PRADNY, P. JENDELOVA, J.

MICHALEK, J. VACIK, E. SYKOVA, J Mater Sci: Mater

Med 17 (2006) 829

[9] J. A. MATTHEWS, G. E. WNEK, D. G. SIMPSON, and G.

L. BOWLIN, Biomacromolecules 3 (2002) 232

[10] K. S. RHO, L. JEONG, G. LEE, B.-M. SEO, Y. J. PARK,

S.D. HONG, S. ROH, J. J. CHO, W. H. PARK, B. MIN,

Biomaterials 27 (2006) 1452

7


Active vibration suppression of composite beam

T. Kašpárková, Z. Šika

Division of Mechanics and Mechatronics, Department of Mechanics, Biomechanics and Mechatronics, Faculty of Mechanical Engineering, Czech Technical University in Prague, Prague, Czech Republic

Abstract

The paper deals with the concept of active vibration suppression

of the composite beam using a low number of centralized

actuators. Usually a lot of piezoelectrics patches and fibres are

used for the active vibration suppression of the composite

structures. The processing starts from the optimization of the

sensor and actuator positioning taking into account special form

of actuation. The control law synthesis is realized by LQR

strategy. The development is applied to concrete composite

beam, which will be used for the practical control

implementation.

Keywords

Active damping, composite structures, vibration.

Introduction

The composite materials are used in a lot of industrial

departments. The planes, the bullet proof vests and some

construction in space are made from composite material. In last

time the parts of cutting or shaping machine are started

manufacture out of composite material too. They are very

popular because they have low weight, high strength and

possibilities of low temperature expansibility. The problem of

this material is lower damping. The solution of this problem is

adding of passive, semiactive or active elements to the basic

structure. Mostly they are piezoelectric patches or fibres [1] used

as active elements. Such concept typically introduces a lot of

elements from expensive materials and moreover they are some

problems with hight electric voltage, a lot of wire and high price.

This situation leads to the idea of a new concept of solution of the

problem, namely the use of only few linear drives and fibres

connecting the drives and the structure

Concept of active damping

The basic construction is four – corned, thin - walled beam.

His length is 180 cm and his section is 10x10 cm. This beam is

freely hung in the space. There are two linear drives in the middle

of each of the walls of the beam. There are two fibres between

each of the linear drives and appropriate places

on the beam (figure 1). All these elements are placed inside the

beam.

Figure 1. New concept

There are 16 sensors considered within this concept. They are

placed on the outside walls of the beam.

Sensors and actuators placement

The sensors are accelerometers. Five accelerometers measure in

the axis x, five accelerometers measure in the axis y and six

accelerometers measure in the axis z. The H2 Norm [2] is used

for the optimization of the sensor and actuating fibres placement.

The H2 Norm is developed from the state space form

(equation 1).

xCy

uBwBxAx

m

mrm

�=�+�+�=&

(1)

Where Am, Bm, and Cm are

ni

X

X

X

A

AdiagA

m

mim

.,,.........3,2,1

......

......

00

00

00

00

......

......

......

......

......

......

......

......

00

00

......

......

00

00

00

00

......

......

00

00

)(

=

��

�

�

��

�

=

=

(2)

[ ]mšmmm

mn

m

m

m CCCC

B

B

B

B LM

21

2

1

, =

��

�

�

��

�

= (3)

where Ami is the block 2x2 and it is represented in the matrix

Am with X and n is the number of modes. The matrix Bm has size

2nxs and it is the input matrix. The matrix Cm has size rx2n and it

is the output matrix. The matrix Br, is disturbing matrix. R is the

number of place for sensors and s is the number of place for

actuators. The H2 Norms of the ith mode with the kth sensor is

ii

mkimi

ik

CBG

� 2

22

2= (4)

8


and the H2 Norm of mode with set of sensors is

�=

�S

k

iki GG1

2

2

2

2(5)

The H2 placement index is

NiRkG

Gw

ik

ikik ...1,....1,

2

2

2 ===� (6)

where wki 80 is weight assigned and G is transfer function.

The sensor placement matrix is made up from sensor placement

indexes in this form

��

�

�

��

�

=�

nR

iR

nk

ik

n

i

n

i

Rk

Rk

2

2

2

2

22

22

12

12

2222222221

2121212211

2

�

�

�

�

�

�

�

�

��

L

L

L

L

L

L

L

L

LL

LLLLLL

LL

LL

(7)

where the ith row is set indexes of sensors for ith mode and the

kth column consist of indexes of the kth sensors for every modes.

The vector of sensor placement indexes is defined

as [ ]TsRssS �� L21= , where sk� is rms sum

kth sensor indexes over all modes

�=

=n

i

iksk

1

2�� (8)

The index sk� characterizes the importance of the kth sensor.

The places with the highest indexes are good for placing

the sensors.

The placement of actuators is more difficult. All fibres are

connected to the linear drives and to the inner surface of the

beam. The linear drives are on the middle of every beam side.

The fibres of linear drives set are connected to the beam in the

place between drives and further end of beam. It devides the

beam into the two parts for two sets of linear drives. The angles

between each fiber and the coordinate axes are very important for

actuator efficiency and for every drives are different. This angel

determine the force rate in axes x, y, z. The H2 Norm [2] is used

again to find optimum places for actuators. The form is little bit

different than for sensors. The first change is in the matrix Bm.

The angles between fibre and axes are had to reflect. The first

change is in equation 4. The H2 Norms of the ith mode with the

jth actuators is

ii

mimij

ij

CBG

� 2

22

2= (9)

Similarly the next equations are

�=

�R

k

iji GG1

2

2

2

2(10)

NiSjG

Gw

ij

ijij ...1,....1,

2

2

2 ===� (11)

��

�

�

��

�

=�

nS

iS

nj

ij

n

i

n

i

Sj

Sj

2

2

2

2

22

22

12

12

2222222221

2121212211

2

�

�

�

�

�

�

�

�

��

L

L

L

L

L

L

L

L

LL

LLLLLL

LL

LL

(12)

The equation 12 is the actuator placement matrix. Their ith row is

set indexes of actuators for ith mode and the jth column consist

of indexes of the jth actuators for every modes. The vector of

actuator placement indexes is defined as

[ ]TaSaaa �� L21= , where aj� is rms sum jth

actuator indexes over all modes

�=

=n

i

ijaj

1

2�� (13)

The index aj� characterizes the importance of the jth actuator.

The places with the highest indexes are good for connecting

fibres.

Control

The appropriate concept of actuation and the optimum placement

must be complemented by the efficient control law. The state

space feedback control [3] is used here. The state space definition

of the system is necessary for the control synthesis. The state

space feedback define the control input in equation 14

xKu ��= (14)

where K is the gain of feedback control. From equations 1 and 14

follow

wBuKBAx rmm �+��= )(& (15)

The LQR [4] is method of state space feedback control. This

method is used to finding the gain K. The gain K is determined as

minimization of quadratic cost function J in equation 16

( )��

��+��=0

2

1dtuRuxQxJ TT

(16)

9


where Q and R represent weights on the different states and control channels. The matrix Q have to be symmetric semi-positive definite and R have to be symmetric positive definite. The matrix Q [5] is

HHQ T= (17)

where H is the vector of weight of the state. The dimension of matrix H is 1x16 and R=0.001 for all actuators in this paper. The gain matrix is calculated with P from Riccati equation

01 =�++ � PBRPBQPAPAT

mm

T(18)

The gain K is

PBRKT

m

1�= (19)

Results

The final results are composed from the results of the placement and the results of the control. The results of placement are optimum places for sensors and fibres. The essential of the results pf the control is the gain matrix K. The final results are in the figures 2, 3, 4. They are transfer functions of controlled and uncontrolled system

Figure 2. Response characteristic in x-axis sensor . Blue line is uncontrolled system and the green line is controlled system

Figure 3. Response characteristic in y-axis sensor. Blue line is uncontrolled system and the green line is controlled system

Figure 4. Response characteristic in z-axis sensor. Blue line is uncontrolled system and the green line is controlled system

Conclusion

The paper presents the new concept of active vibration suppression of composite beam. A few centralized linear drives with the fibres connecting the drives and the structure are used as actuation system. 16 one-axis accelerometers are connected to the beam serving as a sensors. This conception contain only a few actuators. This is their main advantage with respect to the concept with distributed piezoelectric actuators. The appropriate placing of fibre connection is very important for the concept. The control law synthesis is realized by LQR strategy.

Acknowledgements

The authors appreciate the kind support of the grant "Research of new principle of mechanical and biomechanical systems with a intelligent behaviour" (GD101/08/H068)

References [1] Kašpárková, T., Šika Z, tlumení kompozitových struktur -

pLehled problematiky, 10th Workshop on Applied

Mechanics, Proceeding, 2009,. [2] Gawronski, W. K., Advanced Structural Dynamics and

Active Control of Structures, Mechanical Engineering

Series, Springer, 2004 [3] Kejval, J., Tlumení vibrací stroj4 poloaktivním

dynamickým hlti6em. DisertaMní práce, NVUT, Praha, 2001

[4] Šika, Z., Aktivní a poloaktivní sni7ování

mechanického kmitání stroj4. HabilitaMní práce, NVUT, Praha, 2004

[5] G. E. Stavroulakis, G. Foutsitzi, E. Hadjigeorgiou, D. Marinova, C. C. Baniotopoulos, Design and robust optimal control of smart beams with application on vibrations suppression, Advances in Engineering Software, 36, 2005, 806-813.

10


Kinematical Solut ion by Structu ral App roximation w ith Relaxation

P. Kukula and M. Valášek

Department of Mechanics, Biomechanics and Mechatronics, Division of Mechanics and Mechatronics, Faculty of Mechanical Engineering, Czech Technical University in Prague, Prague, Czech Republic

Abstract The paper deals with the new method for positional kinematical solution of mechanisms with loops. The method is based on the concept of structural approximation, i.e. the structure of the mechanism being solved is simplified in such a way that the mechanism with simplified structure is analytically solvable. The analytical solution is the basis of the iteration. This method has been successfully applied for the inverse kinematical solution of non-simple serial robots and the forward kinematical solution of parallel mechanisms and robots. This paper extends this method with the concept of relaxed iterations, which improves the iteration process and the convergence. The concept of the method is demonstrated on the Hexapod example.

Keywords

Structural approximation; relaxation; hexapod.

Introdu ction In previous papers [1, 2, 3] there was shown a new method for the solution of the positional kinematical problem for the analyticall y non-solvable (so called non-simple) mechanical systems (mechanisms). This method is based on the concept of a structural approximation, i.e. the structure of the mechanism being solved is simpli fied in such a way that the mechanism with simpli fied structure is analytically solvable. The analytical solution is the basis of the iteration. This method has been successfull y applied for the forward kinematical solution of non-simple parallel robots such as SlidingStar (planar parallel redundant mechanism), hexapod (3R3R configuration). The method of structural approximation is faster and more robust than the traditional Newton method. However, in some cases the convergence slows down unbearably or even collapses. For this reason, the several approaches for improving the convergence were studied. The most promising is the concept of relaxed iterations. The concept of the method is demonstrated on the Hexapod example. Method of Structural Approximation The kinematical structure is described by the coordinates s. These coordinates are constrained by the kinematical constraints [5] 0sf =)( (1) These equations are not analytically solvable. But they can be split into the simple part fS that is analyticall y solvable and the non-simple part fNS that is causing the non-solvabilit y. 0sfsfsf =+= )()()( NSS (2)

Because the part fS is analyticall y solvable it can be developed an iteration scheme )()( sfsf NSS −= (3)

))((11 iNSSi sffs −

+ = (4)

The method of structural approximation for solving the forward kinematical problem of a hexapod was presented in [1]. Each point on a triangular platform is computed as an intersection of three spherical surfaces. Two of their centres are the points of a base plate. The third one is an approximated point. It is moved from a base plate to the approximated position using an approximation vector which is determined by a position of the platform as (see Fig. 1):

( ) ( ) ( ) ( )( )iB

iB

iA

iappA 3111

.1 rrrr −+=+ (5)

This formula is the basis of the iteration. The rest two points of the platform are computed in the same way.

Figure 1. The first sub-step of an iteration step. However, the approach was slightly modified because it has shown that the approximation of one point is suff icient for the mechanism being analyticall y solvable. The rest points are still computed as an intersection of three spherical spheres, but their centers are different – some of them are already known points of the platform. The process is clearly explained in Fig. 2 and Fig. 3.

Figure 2. The second sub-step of an iteration step.

rA2

rA3

rB1 ≡ rB1

rB2

rB3

rA1 ≡ rA1

rA2

rA3

rA1app.

rB1 ≡ rB1

rB2 ≡ rB4

rB3 ≡ rB6

rA1 ≡ rA1

11


Figure 3. The third sub-step of an iteration step. Therefore, it is necessary to compute three intersections of spherical spheres in one iteration step. As one of these intersection computations is the smallest part of whole process, there is a demand to reduce their number as much as possible. A sample convergence process is shown in Fig. 4. In this case, the structural approximation method needs 30 iteration steps which means 90 calculations of the intersections.

Figure 4. The convergence process without relaxation. Concept of Relaxed Iterations As the initial iteration can be very different from the solved position, the approximation vector computed according to (5) can be very rough estimation. Therefore, it has shown that it is suff icient to include the previous iteration directly in iteration scheme, i.e. to implement the so-called relaxation parameter λ in the following way:

( ) ( ) ( ) ( )111

11 1 ++ +−= i

Bi

Bi

B rrr λλ (6)

The value of the relaxation parameter λ can vary from zero (no iteration) to one (full iteration step). As the computations of the points rB2, rB5 are not the structural approximation, but only a simple analytical solution, only one relaxation parameter is needed. The choice of the relaxation parameter is not obvious. The several approaches were designed and tested. Fixed and constant relaxation parameter The simplest way to implement the concept of relaxed iteration is the fixed relaxation parameter which is constant during whole iteration process. Even this elementary measure can safe the convergence of an iteration process. The most common choice is λ = 0,5. However, the fixed relaxation parameter can unbearably

slow down the convergence speed. The big advantage is the fact that this approach does not need any additional calculations. There is an example of the iteration process in the Fig. 5. This approach requires 18 steps with 54 calculations of a sphere intersection.

Figure 5. The convergence process with fixed relaxation parameter. Controlled relaxation parameter The method of controlled relaxation varies the value of the relaxation parameter in every iteration step. The best value of λ is chosen to maximalize a contribution of each step, i.e. to minimize the gauge of the current position’s error. Several solutions with various relaxation parameters are computed in each iteration step and compared according to the norm of errors of this partial solution. Subsequently, the particular solution is chosen. The norm of error has to be designed to express the measure of a difference between partial solution and an unknown final solution. Because, the calculation of the norm requires additional computation time in every sub-step, the norm has to be as simple as possible. The following formula seems to fulfil the late requirements:

613

221

111

L

L

L

norm

AB

AB

AB

−−−−−−

=rr

rr

rr

, (7)

where Li are length of the legs. The point rB1 has to be computed only once, since the rest two points of the platform has to be evaluated as many times as many relaxation parameters we want to test. The good choice is: λ = [0.25, 0.5, 0.75, 1]. The example in Fig. 6 requires 7 iteration steps with 63 calculation intersection. When more relaxation parameters are tested, λ = [0.1, 0.2, 0.3, …, 1], the convergence process is very fast, see Fig. 7. It requires only 4 iterations, but 84 calculation intersection. The rougher choice of λ-vector to be tested (Fig. 6) requires 28 calculations of the norm, but the bigger λ-vector requires 40 such calculations (Fig. 7). The size of the λ-vector has to designed to fulfil both of these contradictory requirements – accuracy and computational speed. Controlled relaxation parameter with reduced computation

As several test confirmed, the dependence of the norm on the relaxation parameter has only one minimum. See an example in Fig. 8. Thanks to this, the algorithm can be slightly modified to reduce the number of necessary calculations. If the norm for partial relaxation parameter is bigger then the previous one, the previous one was the minimum and thus the best choice. If the

rA2 ≡ rA3

rA3

rB1 ≡ rB1

rB2

rB3

rA1 ≡ rA1

12


norm is always smaller, the λ = 1 is the best choice (Fig. 9). The example of this approach is in Fig. 10 (compare with Fig. 8).

Figure 6. The convergence process with controlled relaxation parameter, λ = [0.25, 0.5, 0.75, 1].

Figure 7. The convergence process with controlled relaxation parameter, λ = [0.1, 0.2, 0.3, …, 1].

Figure 8. The dependence of error norm on relaxation parameter. This approach reduces the number of intersection calculation from 84 to 72 or from 63 to 53 in case of rougher λ-vector. Also the number of norm calculation is reduced from 40 to 34 or from 28 to 23. Estimated relaxation parameter Based on previous approaches, the idea of estimated relaxation parameter was tested. The concept is based on statistically most

suitable relaxation parameter for each iteration step – first, second, etc. The biggest advantage is the fact that this approach requires the same number of calculations (three) of an intersection in every iteration step and does not require any additional calculation, as error norm. However, the results are inconsistent. The statistically chosen parameter can never be absolutely convenient. This could be criti cal and can cause a convergence failure. Nevertheless, the accurate choice of the relaxation parameter can significantly improve the convergence.

Figure 9. The dependence of error norm on relaxation parameter (minimum at λ = 1).

Figure 10. The dependence of the error norm on relaxation parameter – reduced computation. Summary In the following table there is a summary of the number of iteration steps and the number of required calculations for each method of relaxation parameter choice.

Number of steps

Method of Relaxation Number of Steps

Number of Partial

Calculations without relaxation 30 90 Fixed 18 54 Estimated 6 18

7 63 + 28 Controlled 4 84 + 40 7 53 + 23 Controlled & Reduced 4 72 + 34

Table 1. Number of iteration steps and Number of calculations.

13


The algorithm with the estimated relaxation parameter seems to be the most powerful one. However, such estimation is not easy and results of more detailed tests are inconsistent. The main problem is the fact that on a given trajectory there are some points easily solvable without any relaxation and on the other hand some points very diff icult to solve. A fixed estimation is no more possible. Considering all contrary demands, the controlled relaxation with λ = [0.5, 1] is the most profitable approach. Unfortunately, in this case the reduced computation is not possible, because it needs a relaxation vector with 3 elements, at least. Nowadays, a combination with other approaches to improve the convergence is studied.

Figure 11. The convergence process with estimated relaxation parameter. Conclusions The paper summarized a new procedure for the solution of the positional kinematical solution of the parallel kinematical structures by structural approximation. The concept of relaxed iteration method was presented and the choice of accurate relaxation parameter was discussed. Several approaches for suitable choice were presented and the results were shown on an example of hexapod. Acknowledgments The authors appreciate the kind support by GACR project 101/08/H068. References [1] Kukula, P., Valášek, M.: Kinematical Solution of Hexapod

by Structural Approximation, 10th Workshop on Applied

Mechanics Proceeding, CTU in Prague, 2009, ISBN 978-80-01-04332-5.

[2] Kukula, P., Valášek, M.: Kinematical Solution by Structural Approximation, Computational Kinematics: Proceedings of the 5th International Workshop on Computational Kinematics, Springer, 2009, ISBN 978-3-642-01946-3.

[3] Kukula, P., Valášek, M.: Forward Kinematical Solution of HexaSphere by Structural Approximation, Engineering Mechanics 2009 - CDROM, Ústav teoretické a aplikované mechaniky AV ČR, Praha, 2009, ISBN 978-80-86246-35-2.

[4] Kálný, R. Valášek, M.: Continuous path control of non-simple robots, Robotersysteme 7: 65-72 (1991).

[5] Stejskal, V., Valášek, M.: Kinematics and Dynamics of Machinery, Marcel Dekker, New York, 1996Rektorys, K.: Handbook of Applied Mathematics, SNTL, Praha 1989 (in Czech).

[6] Raghavan M., Roth B.: Solving Polynomial Systems for the Kinematic Analysis and Synthesis of Mechanisms and Robot Manipulators, Transactions of the ASME, Journal of Vibration and Acoustics, Vol. 117, No. 3B, pp. 71-79, June 1995.

[7] Nielsen J., Roth B.: On the Kinematics Analysis of Robotic Mechanisms, The International Journal of Robotics Research, Vol. 18., No. 12, December 1999, pp. 1147-1160, Sage Publications, Inc.

[8] Nielsen J., Roth B.: Formulation and Solution for the Direct and Inverse Kinematics Problems for Mechanisms and Mechatronics Systems, Computational Methods in Mechanical Systems – Mechanism Analysis, Synthesis and Optimization, Vol. 161, pp. 33-52, Springer Verlag Berlin, 1998.

[9] Dhingra A. K., Almandi A. N., Kohli D.: A Gröbner-Sylvestr Hybrid Method for Closed-Form Displacement Analysis of Mechanisms, Journal of Mechanical Design, December 2000, Vol. 122, pp. 431-438, ASME

[10] Tae-Young Lee, Jae-Kyung Shim: Forward kinematics of the general 6-6 Steward platform using algebraic elimination, Mechanism and Machine Theory, Vol. 36, pp. 1073-1085, Elsevier Science Ltd., 2001.

[11] Lee E., Mavroidis, C.: An Elimination Procedure for Solving the Geometric Design of Spatial 3R Manipulators, Vol. 128, Journal of Mechanical Design, Vol. 126, pp. 142-145, ASME 2006.

14


Únava

J1Odbor pružnosti a pevnosti, Ústav m

Abstrakt

V tomto článku jsou stručně shrnuty dosav

poznatky týkající se poškození v podmínkách f

věnována pozornost návrhu a předběžným vý

zařízení pro frettingové únavové zkoušky. V po

pak zhodnoceny možnosti použití zařízení DANT

Q-450 využívající metody korelace obrazu p

relativních skluzů kontaktního rozhraní př

zkouškách.

Klíčová slova

kontakt, únava, fretting, experiment

Abstrakt v angličtině

The current knowledge in field of fretting fa

summarised in this paper. There is also disc

design of fretting fatigue test machine as wel

numerical results of its model. Possibilit

DANTEC DYNAMICS Q-450 measuring syste

image correlation method for contact slipping m

discussed in the last section.

Klíčová slova v angličtině

contact, fatigue, fretting, experiment

Úvod

V součastné době je stále převážná většina sezapříčiněna únavou materiálu, tedy jeho postupdegradací. Tato degradace probíhá na úrovni případně materiálových zrn u polykrystalickýchpohledu makroměřítka do značné míry nahodtěchto důvodů je použití fyzikálních modelůzahrnovali samotnou podstatu degradace, velmnemožné. Téměř výhradně se tedy pofenomenologické, které v sobě nezahrnují popouze vypozorované vztahy mezi jednotlivmajícími na degradaci zásadní vliv.

Únavový život konstrukce popřípadě její součáněkolika stádií a to do stadia iniciace defekkonečného lomu součásti. Zatímco poslední uvehlediska života součásti velmi zanedbatelné, představují jeho převážnou část. Tato stadia mpřípadu představovat značně rozdílné poměrživota součásti.

Za místo iniciace únavové trhliny lze považovatvrub je charakteristické, že v jeho blízkokoncentraci napětí respektive lokálního nárůstuZ tohoto hlediska lze za vrub považovat také kdvou dotýkajících se těles. U geometrickéhogradient pole napětí dán jeho tvarem, je situacdvou těles značně složitější. Na iniciaci a násnemá vliv pouze geometrie kontaktních potribologické poměry v kontaktním rozhraní (psoučástí, vliv maziva, atd.), velikosti vzájemný

materiálu v podmínkách frettingu

J. Kuželka1, J. Jurenka1, M. Španiel1

mechaniky, biomechaniky a mechatroniky, FakultPraha, Česká republika

avadní přístupy a

frettingu. Dále je

výsledkům modelu

poslední části jsou

NTEC DYNAMICS

pro vyhodnocení

při frettingových

fatigue are briefly

iscussed suggested

well as preliminary

ilities of use of

stem using digital

measurements are

selhání konstrukcí tupnou a nevratnou ni velikosti atomů, ch materiálů a má z odilý charakter. Z lů, jež by v sobě lmi omezené ne-li používají modely podstatu jevu, ale tlivými veličinami

části lze shrnout do ektu, jeho růstu a vedené stadium je z , první dvě stadia mohou případ od ěrné délky celého

at obecně vrub. Pro kosti dochází ke ůstu jeho gradientu. kontaktní rozhraní

ého vrubu, kde je ace v případě styku ásledný růst trhlin povrchů, ale také (povrchová úprava ných posuvů obou

ploch a v některých případech vrstvě.

V dalším textu bude věnováv podmínkách frettingu. Tedyk relativnímu pohybu těles v posuvům kontaktních ploch. přírubová spojení, prameny ocelopatek turbín, čepové spoje, spo

Faktory mající zásadní vliv frettingu Únava materiálu v podmínkách podílí se na ní celá řada faktorůpopsat, studovat a i predikovatkteré na něj mají rozhodující potažmo napětí v blízkosti kpoměry v kontaktním rozhraníkontaktních ploch. Tyto tři provázány a navíc jsou proměnnje možné analyzovat jak pounumericky metodou kosofistikovanějších modelů třevýpočetní techniky (např. užití uABAQUS). Velikosti skluzů pakontaktních ploch, tření mezi npoměrech.

Obr. 1 Závislost únavové životnosskluzů.

V závislosti na velikosti relativnrozdělit kontaktní podmínky naznačeno na Obr. 1. V první posuvům a ani k žádnému oděideálních podmínek vzhledem oblasti dochází k relativním sklrozhraní vlivem poklesu kontakdochází k iniciaci a případnémtrhlin. Oděr kontaktních povrchůje nejméně příznivá vzhledkontaktujících součástí. Ve tře

lta Strojní ČVUT v Praze,

h také zbytková pnutí v povrchové

vána pozornost únavě materiálu dy v podmínkách kdy nedochází

kontaktu, ale pouze k lokálním . V praxi se jedná například o celových lan, stromečkové závěsy pojení náboje a hřídele, atd.

v na poškození v podmínkách

ch frettingu je značně komplexní a orů. Aby bylo možné tento proces at, je nutné omezit se na faktory, í vliv. Jedná se o pole deformací

kontaktních ploch, tribologické ní a velikosti relativních skluzů ři klíčové faktory jsou navzájem ěnné v čase. Pole deformací a napětí oužitím analytických vztahů, tak konečných prvků. Zahrnutí tření již však vyžaduje využití tí uživatelských subrutin programu ů pak závisí na konkrétní geometrii

nimi, míře jejich oděru a silových

osti a oděru na velikosti kontaktních

ivních skluzů kontaktních ploch lze do tří oblastí [1], [2], jak je í oblasti nedochází ke vzájemným oděru materiálu. Zde je dosaženo m k únavové životnosti. V druhé kluzům pouze na části kontaktního aktních tlaků. V těchto částech pak ému následnému šíření únavových chů je lokální a mírný. Tato oblast edem k únavovému poškození třetí oblasti dochází k relativnímu

15


posuvu celých kontaktních ploch. Pro tuto ovysoká míra oděru materiálu a zvýšení únavovéoblasti částečných skluzů. To je dáno jednlokalizací špiček napětí v důsledku relativně veskluzů, jejich redistribucí v důsledku oděru mneposlední řadě také vydřením vrstvy materiáluk iniciaci trhlin.

Hodnocení poškození v podmínkách fretModely užívané k predikci životnosti v podmhodnotí jak etapu iniciace trhliny, tak etapu šíření. Je třeba poznamenat, že samotná inicinemusí znamenat dosažení mezního stavu. Roetapa šíření krátkých, někdy i dlouhých trhlin. Pro etapu šíření dlouhých trhlin byl v předchozířídící skript komerčního programu ABAQUS možné simulovat šíření trhlin ve 2D rovinnýchgeometrie vystavených obecnému zatížení. Kšíření je možné použít J-integrálu. V rámci tohtaké implementována alternativní úprava zohledňující vliv lineárního členu rozvoje napčele trhliny označovaného jako T-napětí. Ke stanovení počtu cyklů iniciace trhlinypoužívána multiaxiální kritéria ve spojení vzdálenosti [3], [4]. Tato teorie vychází zfyzikální proces vedoucí k poškození materiálv omezeném objemu materiálu. Tento charakteristickým rozměrem, který je považovánkonstantu. Složky tenzoru napětí, případně depracují multiaxiální kritéria jsou vyhodnocovánobjemu. Mezi používaná multiaxiální kriteMcDiarmid, Fatemi-Socie, Smith-Watson-TCrossland atd [5]. Další možností hodnocení iniciace trhlin je en[6], který je však značně náročný na experimentv některých případech dává lepší výsledky, nežna multiaxiálních kritériích. Ve spojení s předchozími přístupy je také možpřípadech i nutné uvažovat oděr kontaktních Modely oděru materiálu dávají do vztahu kontaskluzy a koeficient tření. Zařízení pro únavové zkoušky v podmínkVe spolupráci s Ústavem částí a mechanisnavrženo experimentální zařízení pro plánzkoušky za podmínek frettingu. Toto zařízení vytzv. „dog bone“ zkušebních těles, na které jsoupřitlačovány třecí kameny.

Obr. 2 Model experimentálního zařízení pro zkoufrettingu; vlevo válcový kámen; vpravo kámen s patka

P

Q Q

oblast je typická vé životnosti oproti dnak proměnlivou

ě velkých relativních ě materiálu [1] a v

lu, ve které dochází

ettingu dmínkách frettingu u jejího stabilního iciace trhliny ještě

Rozhodující je tedy

zích letech vyvinut S jehož pomocí je ch tělesech obecné K predikci směru tohoto skriptu byla Parisova vztahu apěťové funkce na

ny jsou nejčastěji í s teorií kritické z předpokladu, že

iálu probíhá pouze objem je dán

án za materiálovou ě deformací, s nimiž

vány právě v tomto iteria patří např.: Topper, Findley,

nergetický přístup ntální měření avšak ež přístup založený

ožné a v některých h povrchů [7], [8]. ntaktní tlak, lokální

nkách frettigu nismů strojů bylo lánované únavové vychází z koncepce ou během zkoušky

oušky za podmínek kami.

Výhodou této koncepce je mzatěžovacím stroji (Amsler, HaČVUT v Praze) a možnost snadtěles a měnit tak kontaktní podvznik únavového poškození. Zákpřípravku byly optimalizovány kinematické poměry v kontaktu Byly vytvořeny rovinné modzkoumány různé varianty zatípřítlak kamene na vzoABAQUSu/Standard) a poté ně(dynamický výpočet v ABAQUSkámen uložen na tuhém rameni silou P přes tyč (2). Při dynampružiny fixován a tím je dostěžován míjivou tahovou siloumodelech je v interakci zkuvažováno Couloumbovo tření sVýsledky byly hodnoceny v oblkameny. V prvním kroku byla akumulovanými kontaktními sklV těchto místech pak byly vytlaků, skluzů a smykových napět

Obr. 3 - Akumulované skluzy v konkterých je zkoumán časový průběh k

�

��

��

��

��

��

��

��

��

� �

��

� �

��

�

��

��

��

��

��

��

�

��

��

��

��

!�

��"��

��#�$��%

&��

��

��

��

�

��

��

��

'��

��

$��

��

��

��

P

možnost použití na standardním Hackert jež jsou k dispozici na FS adné modifikace tvaru zkušebních odmínky a posoudit jejich vliv na ákladní tuhostní a silové parametry y výpočtově s ohledem na silové a tu zkušebního tělesa a kamenů. odely (Obr. 2) na kterých byly atížení. Rovinné modely simulují zorek (statický výpočet v několik period cyklického zatížení USu/Explicit). V obou modelech je ni (nosníkový prvek (1)) a přitlačen amickém výpočtu je koncový bod osaženo předpětí. Vzorek je za-

ou Q s frekvencí 100 Hz. V obou zkušebního tělesa a “kamenů”

ř í se součinitelem f = 0,5. blasti kontaktu zkušebního tělesa s a vytipována místa s maximálními skluzy, jak je naznačeno na Obr. 3. vyhodnoceny průběhy kontaktních pětí v závislosti na čase Obr. 4.

ontaktní oblasti s vyznačenými body, ve ěh kontaktních tlaků, smyků a skluzů

��

��

�(�)��

�(�)��

�(�)�*��

��

+��

��

��

+��

��

��

16


Obr. 4 Průběhy smykových napětí (nahoře), kontakt

skluzů (uprostřed) v závislosti na čase ve vybraných b

Zkušební měření systémem DANTEC DYNPro verifikaci a návrh nových fenomenolo

poškozování v podmínkách frettingu je

z experimentálních měření. Poměrně značným

snímání posuvů resp. deformací v bezpro

kontaktního rozhraní. Řešením by mohlo být

z metod optického snímání.

DANTEC DYNAMICS Q-450 je optický měř

využívá k měření metody digitální korelace obr

je založena na rozpoznávání posuvů částí povrch

během zatěžování. Pro dosažení přesných vý

zajistit stochastickou a dostatečně jemnou povrc

V součastné době je tento systém používán př

vysoce poddajných materiálů z oblasti biomech

velikosti posuvů v řádech desetin až jednotek m

při standardních mechanických zkouškách kov

dochází k posuvům v řádu desítek až stovek m

nutné tento systém nejprve testovat a zjistit zda

takováto měření použít.

Obr. 5 Schéma měřeného vzorku

Testování bylo provedeno na duralovém zk

(model rybinového spoje) Obr. 5. Byla prove

měření s rozdílnou konfigurací měřicího zaříze

odlišnou povrchovou texturou. V prvním měř

černo bílá textura bez úplného krytí pův

Rozlišení snímků bylo přibližně 86 µm/pixel. V

byla použita textura s úplným krytím a rozl

pohybovalo kolem 22 µm/pixel. Velikost zatí

případech 5,5 kN.

Numerická simulace experimentu Aby bylo možné získat představu o přesnosti zís

byl experiment simulován pomocí MKP. M

vyhodnocení výsledků bylo provedeno v program

S ohledem na symetrii byla vytvořena pouze č

modelu. V oblasti kontaktního rozhraní mezi pe

síť řádově hustší než ve zbylé části modelu jak

��

�

��

��

��

��

��

*��

*��

'��

��

$�� %

&��

+��

aktních tlaků (dole) a

bodech 1 a 2.

YNAMICS Q-450

logických modelů

nutné vycházet

č ým problémem je

rostřední blízkosti

být použití některé

ěřicí systém, který

brazu. Tato metoda

rchu měřené oblasti

výsledků je nutné

rchovou texturu.

převážně k měření

chaniky. Jedná se o

milimetrů. Jelikož

ovových materiálů

mikrometrů, bylo

da je možné ho pro

zkušebním vzorku

vedena celkem dvě

řízení a kvalitativně

ěření byla použita

ůvodního povrchu.

Ve druhém měření

ozlišení snímků se

atížení byla v obou

získaných výsledků,

Model, výpočet i

ramu ABAQUS.

čtvrtina geometrie

perem a drážkou je

k je patrné z Obr. 6.

Mezi těmito rozdílnými sítěm

Kontakt mezi drážkou a pe

s koeficientem f = 0,5. Jako ma

s modulem pružnosti v tahu E

poměrem ν = 0,3.

Obr. 6 – Síť numerického modelu

Porovnání experimentálníc

K vyhodnocení pole posuvů by

korelaci snímků Istra 4D, kter

Pole posuvů bylo hodnoceno ja

Je třeba konstatovat, že ani j

dostatečná pro měření kovovýc

deformací vykazují značné neh

fyzikální opodstatnění a jsou ted

měření. Pole posuvů je v

nehomogenní oproti výsledkům

mají spojitý charakter. Aby

kvantifikovat, byly vyhodnoce

směru zatížení mezi kontrolním

následně byly porovnány s num

úsečkami je stejná vzdálenost 2m

Obr. 7 Pole posuvů ve směru z

vyhodnocení posuvů resp. deformac

Pole posuvů resp. deformací m

vyhodnoceno na základě změř

úsečkách. Nejprve byly stanoven

zatížení a následně pak polo

zatížení. Z nejistot odpovídajíc

relativní chyby prodloužení a d

Je třeba říci, že tyto chyby jsou

tím, že prodloužení oblastí mezi

jako je nejistota určení polohy. D

získané hodnoty deformací v

ilustrováno na Obr. 8 a Obr. 9

regresní polynom druhého stu

funkcí pak byla kontrolována te

ke kořeni vrubu. Zatímco u pr

vůbec patrná a výsledky jsou

druhého měření jsou výsledky p

výsledky získané numericky jsou

+��

��

��

1 2

těmi je definována „tie“ vazba.

perem je modelován se třením

ateriál modelu je uvažován hliník

E = 0,7e5 MPa a Poissonovým

ích a numerických výsledků

byl použit komerční software pro

terý je součástí měřicího systému.

jak kvantitativně, tak kvalitativně.

jedna z konfigurací měření není

ých materiálů, neboť získaná pole

ehomogenity, které nemají žádné

tedy zřejmě zapříčiněny nepřesností

případě prvního měření také

ům z měření druhého, kde posuvy již

bylo možné přesnost výsledků

ceny posuvy resp. deformace ve

ími úsečkami L1 až L5 (Obr. 7) a

umerickými výsledky. Mezi těmito

2mm.

zatěžování s vyznačením úseček pro

ací

í mezi kontrolními úsečkami bylo

ěřených poloh bodů ležících na

veny polohy odpovídající nulovému

olohy odpovídající maximálnímu

jících určení polohy byly odvozeny

deformací oblastí mezi úsečkami.

u značně veliké, což je zapříčiněno

zi úsečkami je řádově stejně veliké,

. Dále je třeba podotknout, že takto

vykazují značný rozptyl, jak je

9. Těmito hodnotami je proložen

stupně. Pomocí těchto regresních

tendence růstu deformací směrem

prvního měření tato tendence není

ou jen stěží interpretovatelné, u

poměrně uspokojivé. Odpovídající

ou znázorněny na Obr. 11.

3 4 5

17


Obr. 8 Poměrné deformace mezi kontrolními úsečkami pro první měření

Obr. 9 Poměrné deformace mezi kontrolními úsečkami pro druhé měření

Obr. 10 Poměrné deformace mezi kontrolními úsečkami L1 a L5.

Porovnání experimentálních dat druhého měření a vypočtených hodnot.

Dále je na Obr. 12 a na Obr. 10 uvedeno srovnání

experimentálních dat s numerickými výsledky. Jsou porovnávány

poměrné deformace ve směru zatížení mezi kontrolními

úsečkami L1 a L5. Z uvedených grafů je patrné, že u druhého

měření došlo ke značnému zpřesnění výsledků a v tomto případě

je shoda s výpočtem velmi dobrá. Také je třeba říci, že relativní

chyba deformace naměřené v tomto úseku je pro první měření

90% a pro druhé 30%, což značí trojnásobné zpřesnění, je však

nutné mít na zřeteli, že je hodnocen poměrně dlouhý úsek.

Obr. 11 Vypočtené poměrné deformace mezi kontrolními úsečkami

Obr. 12 Poměrné deformace mezi kontrolními úsečkami L1 a L5.

Porovnání experimentálních dat prvního měření a vypočtených hodnot.

Závěr

V součastné době jsou poměrně dobře zmapovány postupy a

přístupy k hodnocení únavového poškození v podmínkách

frettingu. Jedná se zejména o multiaxiální kriteria s vazbou na

teorii kritické vzdálenosti, energetické metody a modely oděru

povrchu.

Byl vytvořen numerický model pro simulaci plánovaných

únavových zkoušek a byly provedeny výpočty jak statické, tak

dynamické. Bylo navrženo experimentální zařízení pro únavové

zkoušky za podmínek frettingu. Mezi jeho přednosti patří

možnost použití na standardních zatěžovacích strojích a možnost

snadnou výměnou zkušebních těles měnit kontaktní podmínky a

posoudit jejich vliv na vznik únavového poškození. Tuhostní a

silové parametry tohoto zařízení byly optimalizovány pomocí

��

��

��

��

�

��

��

� * � � * �

��,�

-��.��

&��.�.��-� � .��

��/� /� ��/� /*

��/* /� ��/� /�

��/� /� &� �0)�1��/� /�2

&� �0)�1��/� /*2 &� �0)�1��/* /�2

&� �0)�1��/� /�2 &� �0)�1��/� /�2

�

��

��

��

��

��

��

��

� * � � * �

��,�

-��.��

&��.�.��-� � .��

��/� /� ��/� /*

��/* /� ��/� /�

��/� /� &� �0)�1��/� /�2

&� �0)�1��/� /*2 &� �0)�1��/* /�2

&� �0)�1��/� /�2 &� �0)�1��/� /�2

��*

��

��

��

��3

��

��4

� * � � * �

��,�

-��.��/

��

/��

&��.�.��-� � .��

�5��+�� 6��-.��

��

��*

��

��

��

��3

��

��4

��

��

� * � � * �

��,�

-��.��

&��.�.��-� � .��

�� /� /� �� /� /* �� /* /�

�� /� /� �� /� /�

��

��

��

�

��

� * � � * �

��,�

-��.��/

��

/��

&��.�.��-� � .��

�5��+�� 6��-.��

18


zmíněného numerického modelu s ohledem na silové a

kinematické poměry v kontaktu.

Testování systému DANTEC DYNAMICS Q-450 ukazuje, že

jeho stávající konfigurace pro měření na kovových materiálech

není vhodná. Získané výsledky však naznačují, že zvýšením

rozlišení a použitím lepší kontrastní textury povrchu měřeného

tělesa bude možné dosáhnout dostatečné přesnosti pro měření

relativních skluzů v kontaktní oblasti při frettingových

únavových zkouškách. Pomocí standardních přídavných

optických členů (telekonvertor, mezikroužky) je možné

dosáhnout rozlišení až 3 µm/pixel což je přibližně sedminásobné

zlepšení oproti druhému měření.

Poděkování

Tato práce vznikla za podpory grantu GACR No. 101/09/1709.

s

Použitá literatura

[1] Madge J.J., Leen S.B., McColl I.R., Shipway P.H.:

Contact-evolution based prediction of fretting fatigue life:

Effect of slip amplitude. Wear 262 (2007) 1159–1170

[2] Vingsbo O., Soderberg S.: On fretting wears, Wear 126

(1988) 131-147.

[3] Araujo J.A., Susmel L., Taylor D., Ferro J.C.T., Mamiya

E.N.: On the use of the Theory of Critical Distances and the

Modified Wohler Curve Method to estimate fretting fatigue

strength of cylindrical contacts. International Journal of

Fatigue 29 (2007) 95–107

[4] Bhattacharya B., Ellingwood B.: Continuum damage

mechanics analysis of fatigue crack initiation. Int. J. Fatigue

Vol. 20, No. 9, pp. 631–639, 1998

[5] Navarro C., Munoz S., Domínguez J.: On the use of

multiaxial fatigue criteria for fretting fatigue life

assessment., International Journal of Fatigue 30 (2008) 32–

44

[6] Vidner J., Leidich E.: Enhanced Ruitz criterion for the

evaluation of crack initiation in contact subjected to fretting

fatigue, International Journal of Fatigue 29 (2007) 2040-

2049

[7] Madge J.J., Leen S.B., Shipway P.H.: The critical role of

fretting wear in the analysis of fretting fatigue, Wear 263

(2007) 542–551

[8] McColl I.R., Ding K., Leen S.B.: Finite element simulation

and experimental validation of fretting wear, Wear 256 (11-

12) (2004) 1114-1

19


Modeling and Stability of Wave-based Control

O. Marek1 and M. Valasek1

1Division of Mechanics and Mechatronics, Department of Mechanics, Biomechanics and Mechatronics, Faculty of Mechanical Engineering, Czech Technical University in Prague, Prague, Czech Republic

Abstract The wave-based control enables very efficiently control the motion of flexible mechanical systems. It is based on the sending and receiving waves to and from the continuum. However, the analysis and proof of stability of such control is still missing. The paper deals with the description of the model of wave-based control and the analysis of its stability.

Keywords

Flexible mechanical system; lumped masses; wave-based control;

stability.

Introduction

The wave-based control of flexible mechanical systems has been

recently developed [1-3]. It is based on the sending and receiving

waves to and from the continuum. The received wave is then

reflected back into the continua that finishes the desired motion.

This approach has been successfully applied for the control of

motion of 1D chain of lumped masses [1-3] and for the motion of

2D planar flexible bodies [4]. However, the analysis and proof of

stability of such control is still missing. This paper deals with the

stability analysis of the wave-based control.

Wave-based control The chain of flexible lumped masses in Fig. 1 is modelled

artificially as the wave-based model in Fig. 2.

Figure 1. Model of 1D system with lumped masses

It is launched the wave A0(t) where x0(t)=A0(t) is initially

prescribed as control action. The launched wave A0(t) and the

reflected wave B0(t) do not exist physically and therefore it is

necessary to compute them by some means from the measured

real values that are the real motions of the masses in the chain.

The reflected wave B0(t) is sensed from the force connection

between the actuator x0(t) and the first lumped mass in the chain

x1(t).

Figure 2. Wave model of mass system with n DOFs

For determination of the launched wave A0 and reflected wave

B0 it is necessary to know the position of the actuator x0 and the

position of the first mass in the chain x1.

Figure 3 Scheme of computations of the waves a0 and b0

Example of wave-based control of the system from Fig. 1 is in

Fig. 4.

Figure 4 Example of launched and relfecred waves a0 and b0

Extension of the wave-based control The straightforward extension of the wave-based control from the

chain of flexible lumped masses towards general flexible bodies

works correctly only for pure translation or only for pure rotation

[4]. Therefore the concept of wave-based control has been

extended by the usage of discretized cascade control. The

standard wave-based control is applied each time interval T that

enables to correct the motion based on the measurement of real

position of the flexible body. This scheme is also robust against

disturbances.

L/2

L

ta0

b0

x0=a0+b0

t1

a0=L/2-b0(2t1-t)

0

0

G

+ - +

-

b0

a0

x1(t) x0(t)

m2 mn

G

m1

G1(s) X0(s)

G2(s) Gn(s)

R(s)

H1(s) Hn(s)

A0 A1 A2

An

Bn B2 B1 B0

+ -

H2(s)

20


Figure 5 Discretized cascade wave-based control

An example of application of this control approach to the

motion control of flexible bodies is in Fig. 6.

position

time

desired position

x0

a0

b0

T T T

position

time

desired position

x0

a0

b0

T T T

Figure 6 Discretized cascade wave-based control of flexible body

Wave-based model of flexible mechanical system The correspondence between Fig. 1 and Fig. 2 is that the position

of particular masses in Fig. 1 is described by the equation

according to the Fig. 2

� � � � � �sBsAsX iii � (1)

where Ai and Bi are the variables between the blocks Gi and

between the blocks Hi, s is the Laplace operator. The values Ai(t)

and Bi(t) physically do not exist. It does exist only their sum that

is equal to the position of certain mass xi(t)=Ai(t)+Bi(t). The

transfer functions between the particular lumped masses is given

by the nature of the mechanical system

)()(

)(,1

1 sFsX

sXkk

k

k�

�

(2)

This is given by the particular values of mi, bi, ki of the

mechanical structure in Fig. 3. According to Fig. 2 it recursively

holds

� � � �

� � � � 1,,0),(

1,,0),(

11

11

�

�

��

��

nisBsHsB

nisAsGsA

iii

iii

�

�

(3)

And at the end of the wave-based model it holds

)()()( sAsRsB nn (4)

Then it is defined

nksA

sBsP

k

kk ,,1,0,

)(

)()( �

(5)

Combining the equations (3)-(4) with (5) it is derived the

recursive computation formula of Pk(s)

1,,1,0),()()()(

)()(

111 �

�� nksHsPsGsP

sRsP

kkkk

n

� (6)

Then combining the equations (1) and (5) it gives

))(1)(()()()( sPsAsBsAsX kkkkk � � (7)

And substituting from (3)

nk

sPsGsGsGsAsX kkk

,,1

)),(1)(()()()()( 210

�

�

�

(8)

Dividing the formulas (8) and using (6)

)()()(1

))(1)((

)(1

))(1)((

)(

)(

11 sHsPsG

sPsG

sP

sPsG

sX

sX

kkk

kk

k

kk

k

k

�

�

�

�

��

(9)

Finally the comparison of the formula (9), that describes the

relationship inside the replacement model from Fig. 2, with the

formula (2), that describes the real physical system from Fig. 1

and Fig. 3, enables to derive the particular formulas of Gk(s),

Hk(s) and R(s) in order to model the particular physical system

(2) to be investigated. But the description (9) has still several

degrees of freedom how to formulate the Gk(s), Hk(s), Pk(s) and

R(s) for the particular physical system (2). These degrees of

freedom can be determined by the additional choice of the

relationship between Gk(s), Hk(s), Pk(s) for each k and

subsequently for R(s).

For example it is further used the choice of Pk(s) for k=2,…, n

with the exception of k=1 where it is set instead

)()( 11 sHsG (10)

And the expression for G1(s) is chosen and thus given. The

equality of the equation (9) using (10) and (2) for k=1 gives

)()()()(1

))(1)((

)(

)(10

111

11

0

1 sFsGsPsG

sPsG

sX

sX

�

�

(11)

Hence

))()(1)((

)()()(

1101

1101 sGsFsG

sGsFsP

�

�

(12)

with the chosen G1(s). And further Pk(s) is chosen for k=2,…, n.

Based on that the formulas of Gk(s), Hk(s) and R(s) can be

recursively computed from the equality of (9) and (2)

)(1

))(1)(()(

)(

)(

1

1,

1 sP

sPsGsF

sX

sX

k

kkkk

k

k

�

�

� �

�

(13)

with the given Fk,k-1(s) and known Pk-1(s) from the previous step.

It is derived

Wave-based control with horizont T

Flexible bodyDesired position +

T

21


nksP

sPsFsG

k

kkkk ,,2,

)(1

))(1)(()( 11,

� �

� ��

(14)

nksPsG

sPsH

kk

kk ,,2,

)()(

)()( 1

� �

(15)

For k=n from (6) it follows R(s)=Pn(s) that is again chosen. This

means that the particular expressions for Gk(s), Hk(s), Pk(s) and

R(s) can be very varying, however the measurable values at the

physical system in Fig. 2 and Fig. 3 are kept the same and

described by the equation (2).

Model of wave-based control The system in Fig. 1 is controlled according to Fig. 2 in such way

that it is launched the wave A0(t) where x0(t)=A0(t) is initially

prescribed as control action. The launched wave A0(t) and the

reflected wave B0(t) do not exist physically and therefore it is

necessary to compute them by some means from the measured

real values that are the real motions of the masses in the chain.

The reflected wave B0(t) is sensed from the force connection

between the actuator x0(t) and the first lumped mass in the chain

x1(t) (Fig. 4). For determination of the launched wave A0 and

reflected wave B0 it is necessary to know the position of the

actuator x0 and the position of the first mass in the chain x1. The

computation of the reflected wave B0 is following. Using the

equation (1) for k=1,2

� � � � � �sBsAsX 000 � (16)

� � � � � �sBsAsX 111 �

(17)

Let in (10) it is chosen G1(s)=G(s). Then from (3)

)()()( 01 sAsGsA

(18)

)()()( 10 sBsGsB (19)

And substituting (18)-(19) into (16)-(17)

))()()()(()(

)()()()()()(

010

10000

sAsGsXsGsX

sBsGsXsBsXsA

��

� �

(20)

))()()()(()()()( 0110 sAsGsXsGsBsGsB �

(21)

Besides that it is also valid

)()()( 000 sAsXsB � (22)

The schematic representation how to compute the waves A0 and

B0 is in Fig. 4. The actuator moves by the value x0(t). The

position of the first mass x1(t) is measured. Based on the choice

of G(s) it is computed from (20)-(21) the launched wave A0(t)

and the reflected wave B0(t). During the motion the control action

of the actuator is prescribed x0(t)=A0(t)+B0(t). The result is the

complete removal of residual vibrations [1-4].

The traditional control of the chain of flexible lumped masses is

the actuator action x0(t) propagated through the masses resulting

into the motion of the mass k

� � � � � � � � )()( 010100 sXsFsFsXsFsX kkK (23)

Because the transfer functions Fk0(s) include generally the poles

therefore the response of the lumped masses xk(t) is usually

unsatisfactory vibratory.

The wave-based control acts in such way that the actuator

action x0(t)=A0(t) propagates through the masses the launched

wave A0(t) resulting into the motion of the mass k

))(1)(()()()()( 210 sPsGsGsGsAsX kkk � �

(24)

After subsequent substitution of the formulas (14) from k=k to

k=1

))(1)(()(

)()()()()(

000

021100

sPsFsA

sFsFsFsAsX

k

kk

�

�

(25)

Stability analysis According to (6) and (10)

)()()()()()()( 1111110 sGsPsGsHsPsGsP (26)

and using (12)

)()(1

)(1

)())()(1)((

)()()(1)(1

110

2

1

1

1101

110

10

sGsF

sG

sGsGsFsG

sGsFsGsP

�

�

�

��

(27)

Finally the response of the position of the mass k to the wave-

based control is

)()(1

)(1)()()(

)()(1

)(1)()(

))(1)(()()(

110

2

11010

110

2

100

000

sGsF

sGsFsFsA

sGsF

sGsFsA

sPsFsAsX

k

k

kk

�

�

�

�

�

(28)

The control command is A0(s), therefore the stability is given by

the transfer function of the wave-based control

)()(1

)(1)()(

)()(1

)(1)(

)(

)(

)(

)(

110

2

1101

110

2

10

00

sGsF

sGsFsF

sGsF

sGsF

sA

sX

sX

sX

k

kkk

�

�

�

�

(29)

where the transfer matrix G1(s) can be selected. The choice is

done as follows with some parameters N��]��Z

22

2

12

)(Z[Z

NZ

��

sssG (30)

22


Re

Im

[-1,0]

-G1(jZ)

Figure 6 Nyquist plot of -G1(s)

The stability of the transfer function is investigated by the

Nyquist method. The Nyquist method works with the properties

of the open and the closed feedback loop. The transfer function

(29) can be described as the equivalent control scheme in Fig. 7.

Figure 7 Equivalent control scheme

The Nyquist theorem states that if the plot of the polar diagram of

the transfer function of the open loop does not enclose the point

[-1,0] in the complex plane then the closed loop system is stable

(under the condition that the open loop system has no unstable

poles). Because the transfer functions F10(s) and -G1(s) have no

unstable poles the theorem can be directly applied. The decisive

value is the product -F10(s)G1(s) that must not enclose [-1,0].

Undamped lumped mass chain In this case (Fig. 8) the transfer function F10(s) for s=jZ acquires

only real values however in the whole interval <-�,+�>. The

transfer function G1(s) acquires the real value only for Z=0 and

Z=�. Then the product -F10(s)G1(s) never crosses the real axis

and therefore cannot enclose the point [-1,0]. Therefore the wave-

based control is stable for any undamped lumped mass chain

using the chosen transfer function G1(s) from the equation (30).

Damped lumped mass chain In this case (Fig. 9) the proof is not so easy. Nevertheless if the

transfer function F10(s) enclose the point [-1,0] for certain

frequency Z then it is always possible to select suitable [��Z and

N in the equation (30) that the product -F10(s)G1(s) is within the

unit circle and does not enclose the point [-1,0]. Therefore for

any damped lumped mass chain it is possible to choose

stabilizing transfer function G1(s) within wave-based control.

Thus the wave-based control for damped lumped masses chain

can be achieved under large conditions of suppression of largest

resonance in the lumped masses chain by the appropriate choice

of damping transfer function G1(s).

Besides that based on some literature references and simulation

investigation a hypothesis could be formulated that the transfer

function F10(s) always passes only by fourth and third quadrant

(Fig. 9). If this is true then again the wave-based control is stable

for any damped lumped mass chain using the chosen transfer

function G1(s) from the equation (30).

Nevertheless the wave-based control can be done stable for

any lumped mass chain using the proper choice of the transfer

function G1(s) from the equation (30).

Figure 8 Stability of the undamped mechanical system

Figure 9 Stability of damped mechanical system Conclusions Wave-based method was successfully extended for the control of the planar motion of 2D flexible bodies. This proposed solution also solves the robustness against external disturbance. The way towards stability analysis was open by the description of the model of wave-based control and transforming it into the equivalent control scheme. Acknowledgments The authors appreciates the kind support by the SGS project of CTU in Prague “Modeling, control and design of mechanical systems 2010”. References [1] O’Connor, W.J.. Wave-based Modelling and Control Of

Lumped, Multibody Flexible Systems, Multibody Dynamics

2005, ECCOMAS Thematic Conference, 2005.

[2] O’Connor, W.J., McKeown D.J., A New Approach to Modal

Analysis and Frequency Response of Uniform Chain

Systems, Multibody Dynamics 2007, ECCOMAS Thematic

Conference, 2007.

[3] O’Connor, W.J., Wave-echo Position Control of Flexible

Systems: Towards an Explanation and Theory, American

Control Conference, Boston, 2004.

[4] Marek, O., Valasek, M.. Wave-Based Control of Motion of

Flexible Bodies, Multibody Dynamics 2009, ECCOMAS

Thematic Conference, 2009.

[-1,0]

-G1(s)

F10(s)

[-1,0]

-G1(s)

F10(s)

F10

-G1

Fk1(1-G12) +

A0(s)

-

Xk(s)

23


FE Simulation of Dental Composites: Effect of Residual Stresses on Macroscopic Response

O.Prejzek

1 , M.Vural

2

1Division of Strength of Materials, Department of Mechanics, Biomechanics and Mechatronics, Faculty

of Mechanical Engineering, Czech Technical University in Prague, Prague, Czech Republic 2Department of Mechanical, Material and Aerospace Engineering, Armour College of Engineering,

Illinois Institute of Technology, Chicago, IL,USA

Abstract

Present study is largely motivated by recent experimental

results that show a significant discrepancy in the elastic

modulus of dental composites under uniaxial tension and

compression. We hypothesize that this discrepancy can

be related to shrinkage induced residual stresses as well

as the spatial distribution of the reinforcement phase. A

better understanding of residual stresses is also key to

design next generation dental composites with optimized

filler volume fraction and distribution.

This work adopts a two-step FE approach and focuses on

exploring the effect of curing shrinkage and subsequent

residual stress field on the macroscopic mechanical

response of dental composites. The first step mimics the

shrinkage of resin through thermal analogy for an elasto-

plastic resin. The next step involves superposing a

uniaxial stress field to analyze macroscopic elastic as

well as plastic behavior of dental composite. The effects

of particle volume fraction and distribution are also

discussed along with a critical analysis of the accuracy of

FE model.

Keywords

Dental Composite; Plasticity; Micromechanical Model.

Introduction

Dental composites of polymer resin and SiO2 particles

have become to be one of the most commonly used dental

restoration materials. They are preferred for better

aesthetic properties, and for their better resistance to

environment, compared to the traditional amalgam

restoration [1, 2]. However, clinical studies show that

their service life remains to be limited mainly by

secondary decay and fracture of the restoration, which is

partly attributed to relatively large curing shrinkage and

the interaction of resulting residual stresses with the harsh

mechanical and chemical environment in the mouth.

Therefore, realistic modeling of the physical process of

shrinkage becomes critical in analyzing the mechanical

response of dental composites.

Shrinkage of polymer resin during the light-curing

procedure has been observed from the very early times of

dental composites during experimental work, in the

clinical dental practice [3, 4], as well as during the work

with many other classes of polymer-based composite

materials [5,6]. In this study, the widely used term of

shrinkage will be used, although it is discussed and

questioned in [7]. The amount of resin shrinkage is

usually about 7-8%, which causes an overall shrinkage of

the composite material about 1% to 2% [8, 9]. This

shrinkage is caused by the changes in polymer chains

whose dependence on the degree of polymer conversion

is described in the literature in detail [10, 11, 12, 13]. If

the resin is subjected to mechanical constraints during the

curing process, it causes interior residual stresses (RS).

In particle reinforced dental composites, significantly

higher elastic modulus of the particle causes evolution of

a residual stress field in the resin after resin. Another

mechanical constraint is the interface between restoration

and tooth, so in the real dental practice, two different

fields of residual stress occur; microscopic and

macroscopic one. The macroscopic stress field, caused by

shrinkage of the composite and the constraint of tooth

boundary has been modeled, using finite element

simulation, e.g. in [14, 15, 16]. Residual stress field,

occuring in polymer resin, in interaction with a

reinforcement, has been studied for various classes of

composites in relation to their mechanical properties

[17,18] as well as the residual stress in the microstructure

of metal ceramic, after a change of temperature [19,20].

Influence of residual stresses on bond strength of dental

materials has been investigated experimentally in [21,

22]. In [23], comprehensive review of work on the

dependence of damage and residual stresses is presented.

For other classes, mainly fiber reinforced composites,

effect of residual stresses on strength and fatigue

behavior has been studied in [24, 25].

Experimental Results as Motivation

During experimental work on dental composite material

[26], significant difference between elastic moduli in

tension and compression has been observed ("Figure 1"),

while neither particles nor resin exhibit a discrepancy in

their respective elastic moduli under compression and

tension. However, it must be noted from "Figure 2" that

the resin has a lower yield strength in tension.

0

10

20

30

40

50

60

70

0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01

Strain

Str

es

s (

Mp

a)

Tension

Compression

Figure 1. Tensile and compressive stress-strain curve -

composite.

24


0

20

40

60

80

100

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05

Strain

Stress (MPa)

Compression

Tension

Figure 2. Tensile and compressive stress-strain curve – resin. This study is an attempt to simulate and explain this discrepancy by FE analysis, and investigate, investigates how the mechanical response is influenced by the residual stress field and by the arrangement as well as by the volume fraction of particles. The components of the composite material are polymer resin with elastic modulus of 2,6 GPa and hollow SiO2 particles with elastic modulus of 70 GPa. According to observations in [26], resin shows asymmetric yielding behavior with the initial yield stress of 20 MPa in tension and 50 MPa in compression, as can be seen in the Figure 2". Particles are considered to be perfectly linearly elastic. Numerical Model

Behavior of the composite has been simulated in software ABAQUS to develop an understanding of the origin of stiffness asymmetry. The process of shrinkage is simulated by a thermal analogy, where resin has been prescribed a thermal expansion coefficient (CTE), equal to the value of shrinkage strain, while CTE of SiO2 particles is zero. Model is exposed to a temperature field, which is decreased by 1K, between the initial and first step. After applying this field, shrinkage strain and stress field is observed. Then, an external far field displacement rate (compressive or tensile) boundary condition is applied, and the reaction forces at the boundary is measured. These data are later translated to uniaxial stress-strain behavior of composite to study its macroscopic response and its interaction with residual stress field. The distribution of particles in composite is modelled by three different arrays, inspired by crystallography ("Figure 3a-3c"), to study the effect of microstructure on the development of residual stresses and resulting difference between tensile and compressive stiffness.

Figure 3a. Cubic Array (50,8% of particles), FE model and spatial distribution

Figure 3 c. Body Centered Cubic (BCC) Array (71,9% of particles), FE model and spatial distribution

Figure 3 c. Bi-size Array (76,5% of particles), FE model and spatial distribution

Figure 4. Mesh of BCC model The computational specimen is then subjected to uniaxial stress deformation, where axial displacement is applied to the top surface of specimen while the axial displacement of the bottom surface is constrained. Displacement load is increased up to ∆l/l=0.6%, what is the point, where the composite material breaks under tensile load in the experiments ("Figure 1"). Displacement is prescribed in 12 steps, with the increase of ∆l/l by 0.05% in each. As mentioned above, resin shows asymmetric yield behavior in compression and tension, which in fact requires use of a pressure-dependent yield criterion. For polymer resins, the Drucker-Prager yield criterion [27] is the most proper. The Drucker-Prager yield surface is determined as a cone in the σ11-σ22 –σ33 space. Another possibility is to define the Drucker-Prager yield surface in the I1-√J2 plane, where I1= σ11-σ22 –σ33 is the first stress invariant and J2=(σ11-σ22)

2+(σ22-σ33)2+(σ11-

σ33)2+6(σ23

2 + σ312 + σ12

2) is the second invariant of the deviator of stress tensor. It can be expressed in the term of von Mises equivalent stress as J2= σ2

eff/3. The Drucker-Prager hardening has been defined in tensional branch, and the friction angle, as well as the dilatation angle of 28˚ was used. For later comparison of results, and to prevent numerical convergence problems, first series of simulations were run with the use of the von Mises material model, where the initial yield point is determined by σeff = 20 MPa. The lower, tensional, branch of the stress-strain curve was used for this early simulation.

25


Results

The linear contraction of the composite model, after introduction of the thermal field, simulating the linear shrinkage of the matrix of 7% was calculated, for each of the particle distribution models. The contraction of composite material varies between 1,5% and 2,5%, which correspods with the values, measured experimentally in [8,9] and depends on the particle distribution and volume, as well as on the linear shrinkage of resin. Figure 5. Contraction of composite depending on resin shrinkage, particle distribution and volume fraction

Distribution of residual stress after the introduction of

shrinkage ("Figure 6a-6c") shows, that significant part of

resin is exposed to tensional stress field, and only limited

areas are compressed, in the sense of negative values of

σ11,σ22,σ33. As shown in ("Figure 7a and 7b") those are

areas, where the negative strain is higher than the value

of shrinkage strain.

Figure 6a. Distribution of σ22 after curing. Selected stretched

regions of resin (BCC Array)

Figure 6b. Distribution of σ22 after curing. Selected compressed

regions of resin (BCC Array)

Figure 6c. Distribution of σ22 after curing. Selected moderately

stretched regions of resin (BCC Array)

Figure 7a. BCC Array-Areas with negative strain over the value of shrinkage-caused strain (7%) - ε11

Shrinkage

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0 2 4 6 8 10

Resin shrinkage [%]

Composite shrinkage [%]

Cubic-50,8%

BCC-71,9%

Bisize-76,5%

26


Figure 7b. BCC Array-Areas with negative stress σ11

The tensional nature of stresses in resin can be explained

by the difference of shrinkage of resin and of the

composite. Due to the shrinkage of resin, particles are

moved towards each other, and in the case of two

particles in resin, the contraction of their mutual distance

is equal to the amount of resins shrinkage. But in the real

composite, the shrinkage strain from the other side of

particle constraints that contraction and causes tensile

stress field in the resin.

After exposure to the thermal field, simulating

polymerization shrinkage of a realistic value of 7%, the

model is loaded by increasing external displacement.

Figures ("Figure 8a and 8b") show differences between

the response in compression and tension, and the

comparison with experimental results. By all models,

stiffness in tension is higher than in compression and the

difference is dependent on the particle distribution, when

it is growing with the volume fraction of particles, from

16,8% at the Cubic Array, over 30,5% at BCC Array, to

31,7% at Bi-size Array. Decrease of compressive

stiffness can be seen, while tensile stiffness is slightly

increased. It can be observed, that the tensile simulation

matches the experimental values closer then the

compressive one.

Cubic Array - von Mises - 7% Shrinkage

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Strain [%]

Stress [MPa]

No RS-Simulation

Compression-Simul.

Tension-Simulation

Compression-Exper.

Tension-Experiment

Figure 8a. Stress-strain curve –Cubic Array -Compression, tension and hypothetic simulation without RS. Simulation compared with experimental data.

BCC Array - von Mises - 7% Shrinkage

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Strain [%]

Stress [MPa]

No RS- Simulation

Compression-Simul.

Tension-Simulation.

Compression-Exper.

Tension-Experiment

Figure 8b. Stress-strain curve -BCC Array-Compression, tension and hypotetic simulation without RS. Simulation

compared with experimental data.

Bisize Array - von Mises - 7% Shrinkage

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Strain [%]

Stress [MPa]

No RS- Simulation

Compression-Simul.

Tension-Simulation

Compression-Exper.

Tension-Experiment

Figure 8c. Stress-strain curve –Bisize Array-Compression,

tension and hypothetic simulation without RS. Compared with experimental data.

As the reaction force by equal displacement load is

increased by 31.7% in tension, compared to compression,

mechanical work, performed by the displacement is

increased in the same way. In further work, emphasis

should be placed on the development of potential energy

in representative elements of resin, specially in the

compressed regions, where the change of stress and strain

is significantly higher than in the stretched regions, as can

be seen for the σ22-ε22 direction in figures ("Figure 9a and

9b"). Interesting phenomenon, observed at those graphs

is, that the resin points keep the initial slope of the σ22-

ε22, independently on the character of the shrinkage-based

pre-stressing, and the applied displacement load.

27


Stretched Points-∆S22/∆E22

0

5

10

15

20

25

30

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

∆Strain [%]

∆S

tre

ss

[M

Pa

]Compression

Tension

Hypothetic No-RS

C

Figure 9a. Tangential stiffness- stretched points of resin (BCC

Array).

Compressed Points-∆S22/∆E22

0

20

40

60

80

100

120

140

0 1 2 3 4 5 6

∆Strain [%]

∆S

tre

ss [

MP

a]

Compression

Tension

Hypothetic No-RS

Figure 9b. Tangential stiffness- compressed points of resin (BCC Array)

Moderately stretched Points-∆S22/∆E22

0

5

10

15

20

25

30

35

0 0,5 1 1,5

∆Strain [%]

∆S

tre

ss [

MP

a]

Compression

Tension

Hypothetic-No RS

Figure 9c: Tangential stiffness- moderately stretched points of resin (BCC Array)

Discussion

Results, presented above, are influenced by the

simplification of the plasticity simulation by the von

Mises model and by neglecting of the stress relaxation

during and after the curing process. Despite of that fact,

they show difference in the compressive and tensile

behavior, in the same sense as the experimental results.

Another observed fact is, that the results of tensile

simulation are closer to those of simulation without

applying of shrinkage than those of compressive

simulation. Results of the tensile simulation are closer to

those of tensile experiment as well, than those of

compressive simulation to compressive experiment.

These facts mean, that the difference of stiffness moduli

is caused by decreasing of the compressive modulus more

than by increasing of the tensile one. It also means, that

the model does not contain the mechanism which

decreases the compressive stiffness in a sufficient

amount.

Conclusions and Future Perspectives

Results of the FE simulation show the difference of tensile and compressive modulus in the same way as the experimental results. The quantitative value of the difference has not been reached, and it is on of the most important topics for future work. As mentioned above, presented model provides results, showing difference in the response on uni-axial displacement loading in compression and tension, although it does not contain two important features of the resin behavior, namely its pressure dependent yield behavior (Drucker-Prager) and the relaxation of stress during and after curing, which affects the distribution of residual stress and shrinkage strain field after curing. Future work should be concentrated on two main points. First focus should be on explaining the phenomenon of stiffness difference, which occurs in all models, even without the mentioned important features. Second branch of the work should be focused on the development of more accurate computational model, which will better capture the experimental results. Main suggestions for improving of the computational models are: 1. Implement the Drucker-Prager plasticity model, and ensure its convergence. 2. Implement a proper model of stress relaxation during and after the curing process, to provide more realistic residual stress and shrinkage strain field in the model. 3. Remesh the model with denser mesh without distorted elements in the highly compressed regions of resin, to provide more realistic results of the stress and strain development in those areas. 4. Consider the possibility of the use of another element-type than linear triangles. 5. Increase the number of unit cells in the array to minimize the effect of models geometric boundary on the simulation. 6. Increase the particle volume fraction up to 80 % ,what is the limit on particle amount in the real composite. Some of suggested improvements will increase the demand of computational resources, but there will not be a demand of many repeating simulations, as the methodology has been developed.

Acknowledgments

The first author wishes to express his deep gratitude to the GACR 101/08/H068 research project. References

[1] Roulet, J.-F., Benefits and disadvantages of tooth-

coloured alternatives to amalgam, Journal of

Dentistry 6, 1997, 459-473.

[2] Hickel, R., Dash, W., Janda, R., New direct

restorative materials, Int. Dent. J. 48, 1998, 9-22.

[3] Smith, F.F., Swartz, M.L., Lee, H.L., Physical

properties of four thermosetting dental restorative

resins, Jour. Dent. Research. 48, 1969, 526-535.

28


[4] Haas, S.S., Brauer, G.M., Dickson, G., Physical A

characterization of polymethylmathacrylate bone

cement, Jour. Bone Joint Surgery 57, 1975, 380-391.

[5] Harris, B., Shrinkage stresses in glass/resin

composites, Jour. Mat. Science 13, 1977, 173-177.

[6] Hahn, H.T., Residual stresses in polymer matrix

composite laminates, Jour. Comp. Mat. 10, 1976,

266-278.

[7] Versluis, A., Tantbirojn, D., Douglas, W.H., Do

dental composites always shrink toward the light?

Jour. Dent. Rest. 77, 1998, 1335-1445.

[8] Koplin, C, Jaeger, R., Hahn, P., Kinetic model for

the coupled volumetric and thermal behavior of

dental composites, Dental Materials 24, 2008, 1017-

1024.

[9] Atai, M., Watts, D.C., A new kinetic model for the

photopolymerization shrinkage-strain of dental

composites and resin-monomers, Dental Materials

22, 2006, 785-791.

[10] Dewaele, M., Truffier-Boutry, D., Devaux, J.,

Leloup, G., Volume contraction in photocured dental

resins: The shrinkage-conversion relationship

revisited, Dental Materials 22, 2006, 359-366.

[11] Alvarez-Gayosso, C., Barceló-Santana, F., Guerrero-

Ibarra, J., Sáez-Espínola, G., Canseco-Martinez,

M.A., Calculation of contraction rates due to

shrinkage in light-cured composites, Dental

Materials 20, 2004, 228-235.

[12] Stansbury, J.W., Trujillo-Lemon, M., Lu, H., Ding,

X., Lin, Y., Ge, J. Conversion dependent shrinkage

stress and strain in dental resins and composites,

Dental Materials 21, 2005, 56-67.

[13] Calheiros, F.C., Daronch, M.M., Rueggeberg, F.A.,

Braga, R.R., Degree of conversion and mechanical

propertien of BisGMA:TEGDMA composite as a

function of applied radiant exposure, Journal of

Biomedical Materials Research Part B: Applied

Biomaterials 83, 2007, 503-509.

[14] Li, J., Li., H., Fok S.-J., A mathematical analysis of

shrinkage stress development in dental composite

restorations during resin polymerization, Dental

Materials 24, 2008, 923-931.

[15] Barink, M., Van der Mark, P.C.P, Fennis, W.N.M.,

Kuijs, R.H., Kreulen, C.M., Verdenschot, N.: A

three-dimensional finite element model of the

polymerization process in dental restorations,

Biomaterials 24, 2003, 1427-1435.

[16] Magne, P., Efficient 3D finite element analysis of

dental restorative procedures using micro-CT data,

Dental Materials 23, 2007, 539-548.

[17] Metehri, B., Serier, B., Bachir-Boudiadjra, B.,

Belhouari, M., Mecirdi, M.A., Numerical analysis of

the residual stresses in polymer matrix composites,

Materials and Design 30, 2009, 2332-2338.

[18] Fiedler, B., Hojo, M., Ochiai, S., The influence of

thermal residual stresses on the transverse strength

of CFRP using FEM, Composites: Part A 33, 2002,

1323-1326.

[19] Saouma, V.E., Chang, S.-Y., Sbaizero, O.,

Numerical simulation of thermal residual stresses in

Mo- and FeAl-toughened Al2O3, Composites: Part B

37, 2006, 550-555.

[20] Sbaizero, O., Pezzotti, G., Influence of residual and

bridging stresses on the R-curve of Mo- and FeAl-

toughened alumina, Journal of European Ceram.

Society 20, 2000, 1145-52.

[21] Yoshikawa, T., Sano, H.,Burrow, M.F.,Tagami, J.,

Pashley, D.H., Effect of dentin depth and cavity

configuration on bond strength, Jour. Dent.

Research. 78, 1999, 898-905.

[22] Sbaizero, O., Pezzotti, G., Effects of cavity

configuration on composite restoration, Oper. Dent.

29, 2004, 462-469.

[23] Sakaguchi, R.L., Bradley, D.W., Murchinson, C.F.,

Cure induced stresses and damage in particulate

reinforced polymer matrix composites: a review of

the scientific literature, Dental Materials 21, 2005,

43-46.

[24] Penn, L.S., Chou, R.C.T., Wang, A.S.D., Binieda,

W.The effect of matrix shrinkage on damage

accumulation in Composites, Journal of Composite

Materials 6, 1989, 570-586.

[25] Perreux, D., Lazuardi, D., The effects of residual

stress on the nonlinear behaviour of composite

laminates Part I. Experimental results and residual

stress assesments, Composites Science and

Technology 61, 2001, 167-175.

[26] Patki, A., Mechanical characterization of particle

reinforced dental composites, Master’s Thesis, IIT,

Chicago (July 2006).

[27] Drucker, D.C., Prager, W., Soil mechanics and

plastic analysis for limit design, Quarterly of Applied

Mechanics 10, 1952, 157-165.

29


Dynamic Nanoindentation of Bovine Intervertebral End Plate

��

��!�"��#$$%&��'��(��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

!"#��

��#�

��

$�� %��

��%��

�� & ��

�� %�� %��

�� $��%��

��%��

"��

��%��%��

'�� (�� %��

�� )�� *��+ ��%�� ,��&� ��

�� #�'��

�� -(./(-/ �� %�� (��

"��(01//23��

��0415�6/7-45�/8��%��

�� (�� )�� %��

��9/23%��

��.�://)��

��!;� ��!;; ��

�� %��

��

��

!��!/ ��</0!/=9 -�>/#

%��?�� "��@-A�

$��</��B��C��

@9A ��

�� (� ��

��D�� DB� <B� $��

�� !"��

%�� $��

%��@4A��

@.A� �� %��

��?��%��

�� %

��

��!/04�/47-�-8<"��%��

��

��%��%��

��

�� 3��

�� %� ��

��%��

��(��

��

E��@��.A��%��

��!; ��-�59)��

�� )�%� ��%��

��

��.�://)��

��$�� !�� F�� $��G:4/.-9-�

��@-A ?�� H�I��"��<��G �� 8�

-.64�-.1: -559#�

@9A B��C��E��J�G��

4:�:-49�:-6. 9//6#�

@:A E��I��I��

��9��3F�C$� 9//4#�

@4A I��&�� K�� K�G ��

��11�-:-5/-�-�: 9//6#�

@.A E��<�L��)�&��H*��$��!��G��

��!��"��-/G6-�-�8 9//5#�M��

��(��9//%��

30

Preliminary Scientific Reviews


Tensegr ity Struc tu res in Eng ineer ing : Preli minary Rev iew

V. Finotto and M. Valá#HN

Department of Mechanics, Biomechanics and Mechatronics, Faculty of Mechanical Engineering, Czech Technical University in Prague, Prague, Czech Republic

Abstract

The last decade witnessed a dramatic, multidisciplinary increase in the research of tensegrity structures, which nowadays are emerging as the structural systems of the future. In aerospace engineering they are regarded as promising controllable structures in applications such as robots, space telescopes, flight simulators, antennas. In civil engineering, tensegrity structures have been mainly proposed for domes and bridges. In mathematics these structures led to important results in the rigidity and stability of frameworks and in biology, tensegrity structures have been identified as the structural mechanism through which cells organize, interact, and function. This article shows why tensegrity has become an interesting and promising concept for engineering and the most important contributions in this field.

Keywords

Tensegrity structures, tensegrity concept, lightweight structures

1. Intr oducti on

Throughout history, it is possible to observe that the stiffness of most human engineering constructions is based on the pure compression of the structural elements. We are very used to looking at and building structures that rely primarily on compression for support [23]. The brick wall is the classic example: one brick is piled on top of the other. This is a "continuous compression" structure - where the compression created by gravity is carried from one brick to another, all the way to the ground. The bottom brick has to be compressively strong enough to carry all the bricks above it , and as a result heavy structures are obtained. However if we look into nature it is possible to find systems in which the compression is balanced by tension, in the universe for example, gravity forces balance inertial forces, exhibiting a harmony of both [4]. Another structure that can be seen as a balance between compression and tension is the human body, where is possible to see that body is in fact more like a balloon. A balloon is a classic tensegrity structure. The skin is the "tension member" - pulling in. The air is the "compression member" pushing out. The skin pulls in until it balances the air pushing out, and that determines the size of the balloon. Substitute a series of dowels for the air, and put rubber bands in place of the balloon "skin", and you have a classic tensegrity structure [24]. The word ³7HQVHJULW\´� GHULYHV� IURP� FROODSVLQJ� WKH� ZRUGV�"tension" and "integrity" and means that the integrity of these class of structures depends on the balance of tension within it. A quite intuitive description of a tensegrity was given by Fuller [17] in his patent:

³,VODQGV�RI�FRPSUHVVLRQ�LQVLGH�DQ�RFHDQ�RI�WHQVLRQ�´ Perhaps the most widely accepted definition of tensegrity is the one proposed by Pugh [35], which is the result of merging the definitions proposed by Fuller [17], Emmerich [13] and Snelson [39] in their respective patents:

³$� WHQVHJULW\� V\VWHP� LV� HVWDEOLVKHG� ZKHQ� D� VHW� RI�

discontinuous compression components interacts with a set of continuous tensile components to define a stable volume in VSDFH´� 3XJK¶V�GHILQLWLRQ�RQO\�Wakes into account two different kinds of elements: compressive and tensile, which can be regarded as struts and cables respectively, as shown in Fig. 1.

Fig.1: The regular tri-angular prism. It is the simplest tensegrity structure in R3 2. Assembling methods

The idea of putting together several basic tensegrity modules to build more complex structures has been also studied, for example for double layered tensegrity frameworks [21,22]. When assembling basic modules, care must be taken in how they are joined. Motro [29] analyzed three possible methods: ��node on node: This method joints a node from one module with a node from another module. Such a structure does not comply with the definition of tensegrity proposed by Pugh. Even though, this new structure leads to the concept of contiguous strut tensegrity grid proposed later by Wang [58,59].Some examples of this kind of structures are the Reciprocal prism (RP) and the Crystal-cell pyramid (CP). Skelton et al.[38] generalized this new kind of structures by defining a class k tensegrity framework as a tensegrity with a maximum of k compressive elements in each node [23]. ��node on cable: This method breaks the cable of one module to insert the node from another module, and therefore the structure REWDLQHG�VWLOO�FRPSOLHV�ZLWK�3XJK¶V�GHILQLWLRQ��([DPSOHV�RI�VXFK�

structures are the needle tower, shown in Fig. 2 [23]. �� cable on cable: This method binds two cables from different modules to create a new node without any compressive element [23].

Cables Struts

32


Fig.2: Needle Tower

3. General benefits of tensegrity structures

Static and dynamic analysis of tensegrity frameworks have experienced a fast development over the last few decades due to its benefits over traditional approaches in several fields such as civil engineering, architecture [16], geometry, art and even biology. Skelton et al. [37] summarizes these benefits as: ��Efficiency: It has been shown [2] that structural material is only needed in the loads paths, so tensegrity structures, by carefully placing the compressive elements, are capable of increasing the resistance/weight ratio of traditional structures. Tensegrity are also energetically efficient since their members store energy in the form of tension or compression; the overall power needed to actuate such structures would be small since it is partially stored in the structure itself [27] [23]. ��Deployability: Stiff structures tend to have limited mobility, but, since compressive elements in tensegrity structures are disjoint, large displacements are allowed thus making it possible to create deployable structures than can be stored in small volumes. This is especially important in space applications such as deployable antennas and masts [19, 23, 55]. � Easily tunable: The existence of pre-stress in the elements of the tensegrity allow the designer to modify its stiffness. Therefore, the way the structure behaves when external forces are applied as well as its natural oscillation frequency [7, 23, 28], can be easily modified. ��Easily modeled: Due to the tensegrity design rules, whichever the external force applied to its elements, they only carry axial forces (either tension or compression). The model used to characterize its behavior is more reliable since it does not take into account bending phenomena [23]. �� Redundant: Tensegrity can be seen as a special class of structures whose elements may simultaneously work as sensors, actuators and load-carrying elements. So, it is possible to have multiple elements capable of dealing with a given task, and, in the case one of them fails, other element can play its role and allow the whole structure to continue working [23]. This is the principle of smart structures, and particularly, of smart sensors [50]. �� Scalability: The main mathematical properties of tensegrity structures, not considering physical material limitations, are given by its geometry, so they are applicable from small to large scale [5,23].

��Biology inspired: Ingber [24, 25] proposed that a tensegrity model could be used to explain how basic elements combine to form more complex structures (self-assembly). In the human body this model can be applied for both, the macro and micro scale. Vogel [57] also showed that the tensegrity model can be applied to the muscle-skeleton structures of some land animals [23]. 4. Tensegrity structures in engineering

Tensegrity structures found the largest audience among engineers, who proposed various applications ranging from passive to actively controlled structures. Emmerich [14] identified a key feature of tensegrity structures namely their self-tensioning property [40]. Calladine [5] was the first to rigorously investigate this property. He classifies tensegrity structures, which can be modelled as frames, pointing out a very interesting fact: configurations of the tensegrity type have been predicted theoretically as far back as in 1864 [10,40]. ,Q�KLV�SDSHU�µ¶2Q�WKH Calculation of the Equilibrium and Stiffness RI� )UDPHV¶¶�� -� Clerk Maxwell defines a frame as:µ¶D� V\VWHP� RI�lines connectiQJ�D�QXPEHU�RI�SRLQWV¶¶�DQG�D�VWLII�IUDPH�DV�µ¶RQH�LQ which the distance between any two points cannot be altered without altering the length of one or more of the connecting lines RI� WKH� IUDPH¶¶�+H� VKRZV� WKDW� D� IUDPH� KDYLQJ� M� MRLQWV (points) requires in general 3j-6 members (lines) to render it stiff. He points out that a simply stiff frame is statically determinate, i.e. the force in every member of the frame sustaining any arbitrary external loading can be calculated from the equations of equilibrium. Calladine notes that some tensegrity structures (modeled as frames) have fewer members than are necessary to VDWLVI\�0D[ZHOO¶V�UXOH��KHQFH they should not be stiff. However they are not mechanisms as one might expect [40]. Maxwell anticipated such exceptions to KLV� UXOH�� VWDWLQJ�� ³,Q�those cases where stiffness can be produced with a smaller number of lines, certain conditions must be fulfilled, rendering the case of a maximum or minimum value of one or more of its lines [40]. The stiffness of the frame is of an inferior order, as a small disturbing force may produce a displacement infinite in comparison to LWVHOI´ [5]��7KH�FRQGLWLRQV�XQGHU�ZKLFK�0D[ZHOO¶V�rule is violated also permit at least one state of self-stress in the frame, which is statically indeterminate. Calladine classifies tensegrity structures, idealized as frames, as statically and kinematically indeterminate with infinitesimal mechanisms. Calladine notes that in general the existence of an infinitesimal mechanism in a frame satisfying Maxwell¶V rule implies a corresponding state of self-stress. He shows that in the absence of prestress the mechanism thus obtained has zero stiffness. If the assembly is prestressed, the stiffness of the infinitesimal mode is proportional to the level of prestress. Since linear algebra is used for this analysis, these conclusions are valid only for small displacements [40]. &DOODGLQH¶V�SLRQHHULQJ�ZRUN�ZDV�FRQWLQXHG�E\ Pellegrino, Tarnai, and Hanaor who investigated tensegrity structures as members of the pin-jointed structures class. Tarnai [53] established conditions for statical and kinematical indeterminacy of certain pin-jointed cylindrical structures. Pellegrino and Calladine [33] developed matrix based methods which allow for the identification of selfstress states and modes of inextensional deformation, for the segregation of these modes into rigid body modes and internal mechanisms, and for detecting when a state of selfstress imparts first order stiffness to an inextensional mode. Hanaor [20] classifies pin-jointed skeletal structures composed of bars and cables in two major classes: not prestressable and prestressable.

33


7KH� ³QRW� SUHVWUHVVDEOH¶¶ class contains statically determinate structures and PHFKDQLVPV�� 7KH� ³SUHVWUHVVDEOH¶¶� FODVV� FRQWDLQV�two subclasses [40]. The first is the subclass of statically indeterminate and kinematically determinate structures (e.g. space trusses). In such a structure prestress is achieved by means of lack of fi t. The second subclass is that of statically and kinematically indeterminate structures with infinitesimal mechanisms, which depend on prestress for their geometric integrity [40]. Following the work of Calladine, Hanaor places tensegrity structures in this last subclass. His work is limited to small displacement, linear static analysis. Initially, for Hanaor the bars in a tensegrity structure are discontinuous [20], but in a later paper devoted to formfinding and static load response of double layer tensegrity grids [8], he acknowledges that the generalization of the tensegrity concept might include bars connected at the joints, struts, cables, and bars. Rene M otro made a big step forward in tensegrity structures research by initiating dynamics research as well as static and dynamic experimental analysis. In a paper published in 1986 [28], M otro and his coworkers reported dynamics and nonlinear statics experimental results obtained using a tensegrity structure composed of 3 bars and 9 tendons. They used harmonic analysis to identify linear PRGHOV�RI�WKLV�VWUXFWXUH¶V�G\Qamics. In the same paper nonlinear static analysis experimental results are reported. 0RWUR¶V� ODERUDWRU\� KDV� VLQFH� SURGXFHG� UHOHYDQW� SXEOLFDWLRQV various aspects of these structures statics [56], [26] to active control [12]. M otro [30] defines tensegrity structures as systems composed of two sets of elements: a continuous set of cables, and a discontinuous set of rectili near bars [40]. The whole defines a reticulated space structure in state of self-stress such as tension is exclusively carried out by cables and compression by struts. Hence he GRHV� QRW� GHSDUW� PXFK� IURP� )XOOHU¶V� LQLWLDO� GHILQLWLRQ��M otro remarks that some structures are very close to this definition but they don't fi t exactly all the conditions [30]. In some cases the rectili near components are replaced by rigid bodies, in others the rectili near members are touching each other E\� HQGV�� ,Q�0RWUR¶V� YLHZ�� HYHQ� LI� WKH\� ZHUH� LQVSLUHG by the tensegrity concept, the so-FDOOHG� ³WHQVHJULF� GRPHV¶¶ RU� ³FDEOH-GRPHV¶¶� GR� QRW� VWULFWO\� EHORQJ� WR� WKH� WHQVHJULty systems class [40]. I. J. Oppenheim and W. O. Willi ams approached tensegrity structures from a slightly enlarged perspective, introducing more sophisticated models in which damping effects are considered. Their work focuses on nonlinear statics and dynamics analytic investigations, searching for closed form solutions/formulas. In their papers [31,32], WHQVHJULW\� VWUXFWXUHV� µ¶RI� JUHDWHVW� LQWHUHVW¶¶�are defined as form-finding, under-constrained structural systems, prestressable while displaying an infinitesimal flexure even though the constituent elements are not deformable [40]. They made important theoretical contributions, proving that, due to the existence of infinitesimal mechanisms, these structures are inherently lightly damped: if only linear kinetic tendon damping is considered the energy rate of decay of such a system is lower than the exponential rate, characteristic of a linearly damped system. On the other hand linear kinetic damping at the joints results in exponential rate of decay, hence indicating a way to improve their damping characteristics [40]. These results were later confirmed using more sophisticated models by Sultan et al. [47]. The next big step for tensegrity structures was made possible by advances in modern control which enabled the introduction of control theory in these structures research. Skelton and Sultan initiated controllable tensegrity structures research in mid 1990s

at Purdue University [36,41,43], identifying some of their advantages for controls applications. For example tensegrity structures are flexible structures whose mechanics can be accurately enough described using ordinary differential equations, unlike classical fl exible structures whose dynamics description necessitates partially differential equations [40]. This fact facilit ates the use of modern control theory, built around O.D.E. based models. Additionally tensegrity structures lend themselves naturally to integrated structure and control system design [41], since some of their members can act as actuators or/and sensors while also serving as load carrying elements [40]. A signif icant contribution was the development of a deployment methodology for tensegrity structures which uses equilibrium manifolds and has important practical advantages [43], [42], [48]. For this PHWKRGRORJ\¶V�application a method for discovering equilibrium manifolds was necessary and it was also developed [44], [46], [49]. These manifolds have been used for deployment strategies in which the tendons lengths are controlled such that the state space trajectory of the system is close enough to an equilibrium manifold. The resulting control strategies have the advantage of being both fault tolerant and optimal with respect to various performance measures (i.e. time of deployment, energy consumption, etc.). The methodology was later expanded by other researchers and implemented on experimental f aciliti es at U.C. San Diego [34]. The field of controllable tensegrity structures quickly expanded through various contributions. In the area of deployable tensegrity structures Tibert and Pellegrino [54] proposed the use of telescopic struts for deployment control for spacecraft antennas applications. Sultan et al. [45] designed a nonlinear tracking controller for an aircraft simulator in which the motion base is a tendon controlled tensegrity structure. Sultan et al. [44] developed a peak-to-peak controller using LM Is techniques for an adaptive space telescope. Other areas have been explored for tensegrity applications, like sensors [50], robots, [1], antennas [12]. The field of civil engineering has recently tried a great challenge building a tensegrity bridge in Australia. The bridge is call ed Kurilpa Bridge, and is a multiple-mast, cable-stay structure based on principles of tensegrity producing a synergy between balanced tension and compression components to create a light structure that is incredibly strong. The bridge is 470m long with a main span of 120m and features two large viewing and relaxation platforms, two rest areas, and a continuous all-weather canopy for the entire length of the bridge. [3]. A canopy is supported by a secondary tensegrity structure. It is estimated that 550 tons of structural steel including 6.8 km of spiral strand cable are incorporated into the bridge, as can be seen in Fig 3.

Fig.3: Kurilpa Bridge

34


Despite the growing number of theoretical contributions, the field of controllable tensegrity structures faces many obstacles on its path to large scale, cost effective practical implementations, especially due to the complexity of these structures actuation [40,52]. 5. Tensegrity Frameworks in Mathematics

,QVSLUHG� E\� 6QHOVRQ¶V� WHQVHJULW\� VWUXFWXUHV�� VHYHUDO mathematicians (Whiteley, Connelly, Roth) extended the concept to a class of mathematical objects they called tensegrity frameworks. They define a tensegrity framework as an ordered finite collection of points in Euclidean space, with certain pairs of these points, called cables, constrained not to get further apart, certain pairs, called struts, constrained not to get closer together, and certain pairs, call ed bars, constrained to stay the same GLVWDQFH�DSDUW�¶¶�[9,10]. This definition allows for rigid to rigid connections at a vertex as well as for networks composed of tendons only (e.g. spider webs) [10]. The definition includes only rectili near, one dimensional elements (bars, struts, and cables). In their work the details of the material properties and the member loads are not important, the approaches used being independent of them [8]. A very important result derived by Connelly and co-workers is a hierarchical classification of frameworks with respect to rigidity properties as follows: first-order rigidity implies prestress stabilit y implies second-order rigidity implies rigidity, with none of these implications being reversible. A tensegrity framework is infinitesimally rigid if the only smooth motion of the vertices, such that the first derivative of each member length is consistent with the constraints, has its derivative at time zero equal to that of the restriction of a congruent motion of Euclidean space [40]. A tensegrity framework is prestress stable if it has a proper strict self-stress (meaning that the stress in each cable is condition on the bars) such that a certain energy function, defined in terms of the stress and defined for all configurations has a local minimum at the given configuration, and this minimum is a strict local minimum up to congruence of the whole framework [40]. A tensegrity framework is second order rigid if every smooth motion of the vertices, which does not violate any member constraint in the first and second derivative has its first derivative trivial (its first derivative is the derivative of a one parameter family of congruent motions) [40]. Lastly a tensegrity framework is rigid if each continuous motion of the points satisfying all the constraints is the restriction of the ambient Euclidean space. (see [9] for details). Another useful concept is that of superstable frameworks, introduced in order to satisfy the observation that some frames are stable in plane but unstable in 3D space. A superstable framework does not loose its rigidity if the dimension of the space is increased and it is defined as a tensegrity framework in which any comparable configuration of vertices either violates one of the distance constraints or else is congruent to the original [10]. Connelly and co-workers used group and representation theory which led to a complete catalogue of tensegrity frameworks with prescribed symmetries [10]. 6. Tensegrity Structures in Cell Biology

The tensegrity concept was further exploited and expanded by biologists and bio-medical engineers (Ingber, Stamenovic, Canadas, Wendling) who started to advocate for a model of the cytoskeleton based on tensegrity structures. Such a model is strongly motivated by the VWULNLQJ�UHVHPEODQFH�EHWZHHQ�WKH�FHOO¶V�cytoskeleton and a tensegrity structure: like a tensegrity structure, the F\WRVNHOHWRQ�LV�FRPSRVHG�RI�³KDUG´�HOHPHQWV (microtubules),

DQG�³VRIW´�HOHPHQWV��PLFURILODPHQWV�DQG intermediate fi laments) intertwined in a network balanced through internal forces and cellular adhesions. Past approaches to understanding cell mechanics focused on the contributions of membranes, the viscous cytoplasm, and the individual biopolymers that are found within the cytoskeleton. Advanced models of the continuum type include a two-compartment model comprised of an elastic cortical membrane and a viscous or viscoelastic cytoplasm [18]. Although useful for the quantification of cell viscoelastic parameters, these models do not take into account the existence of the internal cytoskeleton and its known role in bearing both static [60] and dynamic [15] mechanical loads within cells. The cellular tensegrity model assumes that contractile microfi laments and intermediate fi laments carry a stabilizing tensile stress �³SUHVWUHVV´� within the cytoskeleton that is balanced by internal microtubules and by extracellular adhesions [40]. Thus, this model differs from continuum models of the cell in that it proposes a critical stabilizing role for cytoskeletal prestress in cell mechanics, and it predicts that specific molecular elements within the cytoskeleton elements will bear either tension or compression. M athematical formulations of tensegrity models, starting from first principles, have shown qualit ative and quantitative consistencies with static experimental results in various cell types [11,60,61]. For example, in living airway smooth muscle cells sti ffness increases nearly in proportion as the level of cytoskeleton contractile stress is raised, a feature which is consistent with a priori predictions of the tensegrity model. Recently advances have been made in using cellular tensegrity models to explain the dynamics of the cell. Cañadas [6] used a tensegrity structure with viscoelastic elements as a model of the cytoskeleton to analyze creep behavior of cells. Sultan et al. [51] showed that quantitative and qualit ative frequency response agreement between a cellular tensegrity model and experimental results on cells is possible [40]. 7. Conclusions

Tensegrity structures slowly but surely established themselves as structural systems of major research interest in as disparate fields as engineering, mathematics, and biology, enabling signif icant advances in controllable structures, frameworks theory, and cell mechanics. We hope this article serve as a comprehensive reference for the study of such fascinating structures as tensegrity are, and will help and encourage new researchers to understand and contribute in this area. 8. References

[1]Aldrich, J. B., Skelton, R. E., and Kreutz-Delgado K., Control

Synthesis for a Class of Light and Agil e Robotic Tensegrity Structures, Proceedings American Control Conference, vol. 6, 2003, 5245-5251.

[2] Bendsoe, M ., Kikuchi, N., Generating optimal topologies in structural design using a homogenization method, Journal of Computer M ethods in Applied Mechanics and Engineering 71, 1988, 197±224.

[3] Beattie, P., Schwarten, R., Tank Street Bridge design

unveiled. M inisterial media statements of Queensland government, 2008.

[4]Burkhardt, R., A practical guide to tensegrity design.

Cambridge University Press, 2005.

35


[5]Calladine, C. R., Buckminster Fuller's Tensegrity Structures and Clerk M axwell 's Rules for the Construction of Stiff Frames, International Journal of Solids and Structures, vol. 14, 1978, 161- 172.

[6]Cañadas, P. V., et al., A Cellular Tensegrity M odel to Analyze

the Structural Viscoelasticity of the Cytoskeleton, Journal of Theoretical Biology, vol. 218, 2002, 155-173.

[7] Chan, W., Arbelaez, D., Bossens, F., Skelton, R., Active vibration control of a three-stage tensegrity structure. In: SPIE 11th Annual International Symposium on Smart Structures and Materials. San Diego, 2004.

[8]Connelly, R., Whiteley, W., The Stabilit y of Tensegrity Frameworks, International Journal of Space Structures, vol. 7 (2), 1992, 153-163.

[9]Connelly, R., Whiteley, W., Second-Order Rigidity and Prestress Stabilit y for Tensegrity Frameworks, SIAM Journal of Discrete Mathematics, vol. 9 (3), 1996, 453-491.

[10] Connelly, R., Back, A., M athematics and Tensegrity,

American Scientist, vol. 86 (2), 1998, 453-491.

[11] Coughlin M . F., Stamenovic, D., A Tensegrity Structure with Buckling Compression Elements: Application to Cell M echanics, ASM E Journal of Applied M echanics, vol. 64, 1997, 480-486.

[12] Djouadi, S., M otro, R., Pons, J. C., Crosnier, B., Active Control of Tensegrity Systems, ASCE Journal of Aerospace Engineering, vol. 11 (2), 1998, 37-44.

[13] Emmerich, D.,Constructions de reseaux autotendantes.patent no. 1.377.290, 1963.

[14] Emmerich, D.G., Emmerich on Self-tensioning Structures, International Journal of Space Structures, vol. 11 (1 and 2), 1996, 29-36.

[15] Fabry B., M aksym G. N., Butler J. P., Glogauer M., Navajas D., Fredberg J.J., Scaling the M icrorheology of Living Cells, Phys. Rev. Lett., vol. 87, 2001, 148102.

[16] Fu, F., Structural behavior and design methods of tensegrity domes. Journal of Constructional Steel Research 61 (1), 2005, 23±35.

[17] Fuller, R., Tensile-integrity structures. United States Patent 3063521, 1962.

[18] Fung Y. C., L iu S. Q., Elementary M echanics of the Endothelium of Blood Vessels, ASM E Journal of Biomechanical Engineering, vol. 115, 1993, 1-12.

[19] Furuya, H., Concept of deployable tensegrity structures in space applications. Journal of Space Structures 7 (2), 1992, 143±151.

[20] Hanaor, A., Prestressed Pin-jointed Structures - Flexibility Analysis and Prestress Design, Computers and Structures, vol. 28 (6), 1988, 757-769.

[21] Hanaor, A., Aspects of design of double layer tensegrity domes. Journal of Space Structures 7 (2), 1992, 101±113.

[22] Hanaor, A., Geometrically rigid double-layer tensegrity grids. Journal of Space Structures 9 (4), 1994, 227±238.

[23] Hernandez S., Tensegrity frameworks: Static analysis review. M echanism and machine theory CODEN MHMTAS, vol. 43, no7, 2008, 859-881.

[24] Ingber, D., Cellular tensegrity: defining new rules for biological design that govern the cytoskeleton. Journal of Cell Science 104, 1993, 613± 627.

[25] Ingber, D., Architecture of li fe. Scientific American 52, 1998, 48±57.

[26] Kebiche, K., Kazi-Aoual M . N, M otro R., Geometrical Nonlinear Analysis of Tensegrity Systems, Journal of Engineering Structures, vol. 21, 1999, 864-876.

[27] Levin, S., The tensegrity-truss as a model for spinal mechanics: Biotensegrity. Journal of M echanics in M edicine and Biology 2 (3), 2002.

[28] M otro, R., Najari, S., Jouanna, P., Static and Dynamic Analysis of Tensegrity Systems, Proceedings of ASCE Intl. Symposium on Shells and Spatial Structures, Computational Aspects, 1986, 270-279.

[29] M otro, R., Tensegrity systems: the state of the art. Journal of Space Structures 7 (2), 1992, 75±83.

[30] M otro R., Structural M orphology of Tensegrity Systems, International Journal of Space Structures, vol. 11 (1 and 2), 1996, 25-32.

[31] Oppenheim, I. J., Williams, W. O., Vibration and Damping in Tensegrity Structures, ASCE Journal of Aerospace Engineering, vol. 14 (3), 2001, 85-91.

[32] Oppenheim I. J., Willi ams W. O., Vibration of an Elastic Tensegrity Structure, European Journal of M echanics A/Solids, vol. 20 (6), 2001, 1023-1031.

[33] Pellegrino, S., Call adine, C. R., M atrix Analysis of Statically and Kinematically Indetermined Frameworks, International Journal of Solids and Structures, vol. 22 (4), 1986, 409-428.

[34] Pinaud, J. P., M asic, M ., Skelton, R. E., Path Planning for the Deployment of Tensegrity Structures, Proceedings of SPIE International Symposium on Smart Structures and M aterials, 2003.

[35] Pugh, A., An introduction to tensegrity. University of California Press. 1976.

[36] Skelton R. E., Sultan C., Controllable Tensegrity, a New Class of Smart Structures, Proceedings SPIE Intl. Symposium on Smart Structures and Materials, vol. 3039, 1997, 166-177.

[37] Skelton, R., Helton, J., Adhikari, R., Pinaud, J., Chan, W., An introduction to the mechanics of tensegrity structures. In: Proceedings of the 40th IEEE conference on Decision and control, 2001, 4254±4258

[38] Skelton, R., Helton, J., Adhikari, R., Pinaud, J., Chan, W., An introduction to the mechanics of tensegrity structures. CRC Press, Ch. 17, 2002.

[39] Snelson, K., Continuous tension, discontinuous compression structures. United States Patent 3169611, 1965.

36


[40] Sultan, C., Tensegrity structures research evolution Proceedings of the 45th IEEE Conference on Decision & Control Manchester Grand Hyatt Hotel San Diego, CA, USA, 2006.

[41] Sultan, C., Skelton, R. E., Integrated Design of Controllable Tensegrity Structures, Proceedings ASME Intl. MechanicalEngineering Congress and Exposition, vol. 54, 1997, 27-37.

[42] Sultan, C., Skelton R. E., Tendon Control Deployment of Tensegrity Structures, Proceedings of SPIE Intl. Symposium on Smart Structures and Materials, 1998.

[43] Sultan, C., Modeling, Design and Analysis of Tensegrity Structures with Applications, Ph.D. Dissertation, Purdue University, West Lafayette, IN, USA, 1999.

[44] Sultan C., Corless, M., Skelton, R. E., Peak to Peak Control of an Adaptive Tensegrity Space Telescope, Proceedings of SPIE Symposium on Smart Structures and Materials, vol. 3667, 1999, 190-201.

[45] Sultan, C., Corless, M., Skelton, R. E., Tensegrity Flight Simulator, AIAA Journal of Guidance, Control, and Dynamics, vol. 23, 2000, 1055-1064.

[46] Sultan, C., Corless, M., Skelton, R. E., The Prestressability Problem of Tensegrity Structures. Some Analytical Solutions, International Journal of Solids and Structures, vol. 38-39, 2001, 5223-5252.

[47] Sultan, C., Corless, M., Skelton, R. E., Linear Dynamics of Tensegrity Structures, Journal of Engineering Structures, vol. 26 (6), 2002, 671-685.

[48] Sultan, C., Skelton, R. E., Deployment of Tensegrity

Structures, International Journal of Solids and Structures, vol. 40 (18), 2003, 4637-4657.

[49] Sultan, C., Skelton R. E., Tensegrity Structures Prestressability Investigation, International Journal of Space Structures, vol. 18 (1), 2003, 15-30.

[50] Sultan C., Skelton R. E., A Force and Torque Tensegrity Sensor, Sensors and Actuators Journal: A. Physical, vol. 112/2-3, 2004, 220-231.

[51] Sultan, C., Ingber D. E., Stamenovic, D., A Computational Tensegrity Model Explains Dynamic Rheological Behaviors of Living Cells, Annals of Biomedical Engineering, vol. 32 (4), 2004, 520-530.

[52] Sultan, C., Tensegrity: From Avant-garde Art to Next

Generation Controllable Structures, Proceedings of the World Conference on Structural Control, 2006.

[53] Tarnai, T., Simultaneous Static and Kinematic Indeterminacy of Space Trusses with Cyclic Symmetry, International Journal of Solids and Structures, vol. 16 (4), 1980, 347-359.

[54] Tibert, G., Pellegrino, S., Deployable Tensegrity Reflectors

for Small Satellites, AIAA Journal of Spacecraft and Rockets, vol. 39 (5), 2002, 701-709.

[55] Tibert, A., Deployable tensegrity structures for space applications. Ph.D. thesis, Royal institute of technology, 2003.

[56] Vassart, N., Motro, R., Multiparametered Formfinding Method: Application to Tensegrity Systems, International Journal of Space Structures, vol. 14 (2), 1999, 147-154.\

[57] Vogel, S., &DWV¶3DZs and Catapults: Mechanical worlds of nature and people. WW Norton & Company, 1998.

[58] Wang, B.B., Cable-strut systems: Part i - tensegrity. Journal of Constructional Steel Research 45 (3), 1998, 281±289.

[59] Wang, B.B., Cable-strut systems: Part ii - cable-strut. Journal of Constructional Steel Research 45 (3), 1998, 291±299.

[60] Wang, N., et al., Mechanical Behavior in Living Cells Consistent with the Tensegrity Model, Proceedings Nat. Acad. Science USA, vol. 98, 2001, 7765-7770.

[61] Wendling, S., Oddou, C., Isabey, D., Stiffening Linear Response of a Cellular Tensegrity Model, Journal of Theoretical Biology, vol. 196, 1999, 309-325.

37


Workshop of Applied Mechanics:

$NWLYQt �t]HQt�YR]LGOD�YH�VP\NX�± S�HKOHG�SUREOHPDWLN\

-�.�LYRKODYê, M.9DOiãHN

Division of mechanics and Mechatronics, Department of Mechanics, Biomechanics and Mechatronics, Faculty of Mechanical Engineering, Czech Technical University in Prague, Prague, Czech Republic

Abstract 7DWR� SUiFH� VH� ]DEêYi� S�HKOHGHP� SUREOHPDWLN\� QiYUKX metody XUþHQt�VWDELOQtFK�SRGPtQek pro SU$MH]G�YR]LGOD�]DWiþNRu smykem D�MHKR��t]HQtP��3�HKOHGHP�PRGHO$�YR]LGOD�D�PRGHO$�SQHXPDWLN\.

Keywords

QHOLQHiUQt�PRGHO�SQHXPDWLN\��URYLQQê�QHOLQHiUQt�PRGHO�YR]LGOD� 000�GLDJUDP��0LOOLNHQRYD�PRPHQWRYi�PHWRGD��VWDFLRQiUQt�SU$MH]G� smyk vozidla, skluz pneumatiky

Abstract in English

This study is an attempt to review of problems design a method determining steady state conditions for control of vehicle drifting in a curve. Review of vehicle models and tire models.

Keywords in English

non-linear tire model, planar non-linear vehicle model, MMM diagram, 0LOOLNHQ�V�PRPHQW�PHWKRG��stationary vehicle drifting, YHKLFOH�V�VLGHVOLS� tire slip

ÒYRG

�t]HQt�SU$MH]GX�]DWiþNRX�YR]LGOD�VP\NHP�MH�REODVW��t]HQt��NWHUi�v DXWRPRWLYH� DSOLNDFtFK GRVXG� QHQt� QLNWHUDN� LQWHQ]LYQ��UR]YtMHQD�� '$YRGHP� MH� Y\VRNi� PtUD� QHVWDELOLW\� D� H[WUpPQt�QHOLQHDULWD�WDNRYpKR�V\VWpPX��3RNXG�E\�VH�SRGD�LOR�QDMtW�]S$VRE��NWHUêP� O]H� XUþLW� VWDELOQt� VWDY\� YR]LGOD�� NWHUp� VH� QDFKi]t� MLå�v REODVWL� VP\NX�� PRKOR� E\� WRWR� �t]HQt� YR]LGOR� QDYpVW� SUiY�� GR�W�FKWR� VWDY$� D� WtP� KR� VWDELOL]RYDW� -LQêP PRåQêP� XSODWQ�QtP�WRKRWR�S�tVWXSX�MH�L�PRåQRVW�]iP�UQpKR Y\YROiQt�VP\NX��NWHUê�E\�byl GiOH�XGUåRYiQ�D NRQWURORYiQ� 1iYUK�UHJXOiWRUX�SUR�WDNRYp�SRXåLWt�VH�RStUi�]HMPpQD�R�Y\WYR�HQt�QHOLQHiUQtKR� PRGHOX� YR]LGOD� D� PRGHOX� SQHXPDWLN\�� MHå� MVRX�VFKRSQ\� VSUiYQ�� SRSVDW� SUiY�� QHOLQHiUQt� VWDY\� YR]LGOD�� ýDVWR�Y\XåtYDQi� YROED� MHGQRVWRSpKR� PRGHOX� YR]LGOD� VSROHþQ��s OLQHiUQtP� PRGHOHP� SQHXPDWLN\� MH� N QiYUKX� WRKRWR� �t]HQt�QHYKRGQi� -HOLNRå�MVRX�YR]LGOD�]SUDYLGOD�RVD]HQD�Y�WãtP�PQRåVWYtP�VHQ]RU$�D� SRþHW� DNWLYQtFK� SUYN$� MH� WDNp� Y�Wãt�� tGLFt� V\VWpP� EXGH� W\SX�0,02�� 3UR� WHQWR� V\VWpP� MH� QXWQp� QDYUKQRXW� UHJXODþQt� VP\þN\�PH]L�MHGQRWOLYêPL�DNWXiWRU\�D�VHQ]RU\� 1HMY�WãtP� SUREOpPHP� MH�� MDNêP� ]S$VREHP�� D� MHVWOL� Y$EHF� O]H�stanovit stabLOQt�VWDY\�SRSLVXMtFt�YR]LGOR�YH�VP\NX� PriY��]S$VRE�LGHQWLILNDFH�� VSROHþQ�� V QiYUKHP� �t]HQt�� EXGH� S�HGP�WHP�EXGRXFtKR�]iMPX� 3UiFH�VH�VHVWiYi�]H þW\� þiVWt��NWHUp�VH�Y�QXMt�PRGHO$P�YR]LGOD�D�SQHXPDWLN\��]S$VRE$P�LGHQWLILNDFH�VWDELOQtFK�VWDY$�D�VWDYRYêFK�SURP�QQêFK� YR]LGOD� a nakonec PRåQRVWHP� �t]HQt� WUDMHNWRULH�YR]LGOD��þL�MHKR�VWDELOL]DFH� 1iYUK�WYRUE\�PRGHOX�YR]LGOD�D�SQHXPDWLN\

V REODVWL� PRGHORYiQt� YR]LGHO� SUR� MHMLFK� G\QDPLNX� MH� PRåQp�v OLWHUDWX�H� QDMtW� Q�NROLN� S�tVWXS$�� MHQå� VH� OLãt� SRGOH� ]S$VREX�

jejiFK�DSOLNDFH��1HMþDVW�Mãt�D�QHMMHGQRGXããt�PRGHO�YR]LGOD�MH�W]Y��MHGQRVWRSê�OLQHiUQt�PRGHO��MHQå�V GRVWDWHþQRX�S�HVQRVWt�Y\KRYXMH�S�tSDG$P��HãtFtFK�URYLQQê�SRK\E�YR]LGOD�Y QLåãtFK�U\FKORVWHFK�D�s DEVHQFt�SUXGNêFK�PDQpYU$��7HQWR�PRGHO�MH�SRXåLW�Y þOiQNX�[4]. 9\ããt�PRGHO�MH�GYRXVWRSê�QHOLQHiUQt�URYLQQê�PRdel (2EUi]HN�1), MHQå� MH�VFKRSHQ�SRVN\WQRXW� LQIRUPDFH�R�VWDYHFK�QD� MHGQRWOLYêFK�NROHFK� D� SURWR� MH� YKRGQê� SUR� PRGHO\� XUþHQp� N �t]HQt�VWDELOL]DþQtFK�V\VWpP$��MDNR�QDS�� v [1]. 'YRXVWRSê�QHOLQHiUQt� SURVWRURYê�PRGHO�� MH�YKRGQê�Y S�tSDGHFK� NG\� MDNR� DNþQt� þOHQ� GR� �t]HQt� YVWXSXMt� DNWLYQt� WOXPLþH�� þL�VWDELOL]iWRU\, NWHUp� GRNiåRX Y\OHSãLW� RYODGDWHOQRVW� YR]LGOD ]PtUQ�QtP� MHKR� QiNORQ$� Y ]DWiþNiFK� 7RPXWR� WpPDWX� VH� Y�QXMH�þOiQHN� [6]. 3URVWRURYê WDNp� poskytuje informace R� ]P�QiFK�v UR]ORåHQt� ]DWtåHQt� QD� MHGQRWOLYi� NROD� S�L� G\QDPLFNêFK�PDQpYUHFK��3UiY��]P�QD�UR]ORåHQt�Y ]DWtåHQt�MHGQRWOLYêFK�NRO�Pi�velkê�Yê]QDP�SUR�XUþHQt�ERþQtFK�VLO D�SURWR�MH�WHQWR�PRGHO�QXWQê�SUR�SRW�HE\�EXGRXFtKR��HãHQt��t]HQt�YR]LGOD�Ye smyku.

2EUi]HN�1. 'YRXVWRSê�QHOLQHiUQt�URYLQQê�PRGHO�YR]LGOD -DNR� QHOLQHiUQt� PRGHO� SQHXPDWLN\�� NWHUê� MH� SRW�HEQê� N XUþHQt�ERþQtFK�VLO�S�L�VP\NX��MH�Y OLWHUDWX�H�PLPR�MLQp�XYiG�Q 3DFHMN$Y�model pneumatiky [4], þi model TMeasy a daOãt. 3�HV� H[LVWHQFL�PQRKD� PRGHO$� SQHXPDWLN� SRSVDQêFK� Y OLWHUDWX�H� VH� MHYt� MDNR�SUDYG�SRGREQ��QHMS�HVQ�Mãt��SRXåtW�QDP��HQp�KRGQRW\�] UHiOQêFK�WHVW$� SQHXPDWLN�� 7tPWR� ]S$VREHP� Y\WYR�HQi� /RRN-up tabulka GiYi�YHOPL�S�HVQp�KRGQRW\�ERþQt�VtO\�SQHXPDWLN\�YH�VP\NX�

Stabilita a ovladatelnost vozidla =HMPpQD� XUþHQt� PtU\� VWDELOLW\� YR]LGOD� MH� G$OHåLWp� V ohledem na PRåQRVW� �t]HQt� MHKR pohybu. Z GRVWXSQêFK� ]GURM$� MH� ]�HMPp�� åH�]HMPpQD� REODVW�� NG\� VH� SQHXPDWLN\� YR]LGOD� QDFKi]HMt� Y oblasti VNOX]X�� MH� SRYDåRYiQD� ]D� REODVW� VWULNWQ�� QHVWDELOQt�� =S$VRE� MDN�W\WR� REODVWL� LGHQWLILNRYDW� QDEt]t þOiQN\� [3] a [5]. 3UYQt� S�tVWXS�VSRþtYi�YH�Y\WYR�HQt�Ii]RYpKR�GLDJUDPX��MHå�MH�WYR�HQ�N�LYNDPL��NWHUp�XUþXMt�VWDELOQt�D�QHVWDELOQt�REODVWL�YR]LGOD�SUR�U$]Qp�KRGQRW\�VWDYRYêFK� SDUDPHWU$�� 9R]LGOR� MH� SUR� S�HGHP� GHILQRYDQRX�U\FKORVW�D�SRþiWHþQt�SRGPtQN\��\DZ-UDWH�D�~KHO�VP�URYp�~FK\ON\�Ú��SRQHFKiQ�YROQpPX�SRhybu. Pokud vozidlo konverguje k bodu URYQRYiK\��MH�YR]LGOR�VWDELOQt��1HYêKRGRX�WRKRWR�S�tVWXSX�MH��åH�SRK\E� YR]LGOD� MH� SRQHFKiQ� EH]� ]iVDK$� �LGLþH� D� FHOê� GLDJUDP� je SURYHGHQ� SUR� MHGQX� NRQVWDQWQt� U\FKORVW�� 7HG\� GLDJUDP�

38


QHUHVSHNWXMH�]P�Q\�U\FKORVWL�E�KHP�PDQpYUX��Tento diagram je ]REUD]HQ�QD�REUi]NX2EUi]HN�2��'UXKêP�GLJUDPHP, z NWHUpKR�MH�PRåQR� SRVRXGLW� RYODGDWHOQRVW� D� VWDELOLWX� YR]LGOD, je MMD (Miliken Moment Diagram). Tento GLDJUDP�MH�Y\WYR�HQ�PHWRGRX�popsanou v Princip QDYUKRYDQp�PHWRG\�MH�QiVOHGXMtFt��1XFHQêP�WHVWHP� VH� ]tVNDMt� KRGQRW\� UHDNþQtFK� VLO� YR]LGOD� Y XVWiOHQêFK�VWDYHFK�� SRSVDQêFK� ~KOHP� VP�URYp� ~FK\ON\� D� ~KOHP� �t]HQt��Z W�FKWR� KRGQRW� VH� XUþt� KRGQRW\� ERþQtKR� ]U\FKOHQt� D� VWiþLYpKR�momentu. Z WDNWR� XUþHQêFK� VWDYRYêFK� ERG$� VH� Y\WYR�t� 00'��+UDQLFH� WRKRWR� GLDJUDPX� WYR�t� OLPLW\� ERþQtFK� VLO� QD�SQHXPDWLNiFK��

2EUi]HN�2��)i]RYê�GLDJUDP�~KOX�VP�URYp�~FK\ON\�D�MHMt�~KORYp�U\FKORVWL�pro nulovou hodnRWX�~KOX��t]HQt [3] Z GLDJUDPX� O]H� WHG\�VQDGQR�XUþLW, MDN�GDOHNR�VH�S�L� MDNpP�VWDYX�QDFKi]tPH� RG� KUDQLFH� S�LOQDYRVWL�� 9\OHSãHQtP� PRåQRVWL�Y\KRGQRFHQt� VNXWHþQpKR�PDQpYUX� V RKOHGHP� QD� VWDELOLWX� QDEt]t�þOiQHN� [6]. 'R� GLDJUDPX� VH� Y\NUHVOt� GDWD� ] SURYHGHQpKR�G\QDPLFNpKR� PDQpYUX�� NWHUi� Y WRPWR� GLDJUDPX� Y\WYR�t� N�LYNX��2GVWXS�N�LYN\�RG�KUDQLFH�GLDJUDPX� MH�SDN�PRåQR�SRYDåRYDW�]D�PtUX�VWDELOLW\��8UþXMH�WDNp��MDN�VH�YR]LGOR�S�LEOtåLOR�VYêP�OLPLW$P�ovladatelnosti a stabiliW\�� 7DNWR� Y\WYR�HQê� GLDJUDP� MH� ]REUD]HQ�QD�REUi]NX�2EUi]HN�3.

2EUi]HN�3. Milliken Moment Diagram s G\QDPLFNRX�WUDMHNWRULt�[5] 1HYêKRGRX� MH� RS�W� NRQVWDQWQt� U\FKORVW� SUR� FHOê� GLDJUDP� L�Y\NUHVOHQê�PDQpYU�

7\WR� ]S$VRE\� KRGQRFHQt� VWDELOLW\� D� RYODGDWHOQRVWL� MVRX� YãDN�]DORåHQ\� SRX]H� QD� KRGQRFHQt� U\FKORVWL� VWiþHQt� YR]LGOD�� QHER vHOLNRVWL�VWiþLYpKR�PRPHQWX��1HQt�WHG\�Y\ORXþHQR��åH�YKRGQêP��t]HQtP�E\�E\OR�PRåQR�GRViKQRXW�VWDELOQtKR�SRK\EX�YR]LGOD�

IGHQWLILNDFH�VWDYRYêFK�SURP�QQêFK

3UR� �t]HQt� SRK\EX� YR]LGOD� VPHNHP� MH� ]DSRW�HEt� ]QiW� GRVWDWHþQ��S�HVQ�� VWDY�YR]LGOD�SRSVDQê�GYRMLFt�VWDYRYêFK�SURP�QQêFK�D� WR�~KOHP�VP�URYp�~FK\ON\�D�U\FKORVW�VWiþHQt�YR]LGOD�ñ6 . ýOiQHN�[1] XYiGt� VWDQRYHQt� ~KOX� VP�URYp� ~FK\ON\� SRPRFt VWDYRYpKR�pozorovatele a Kalmanova filtru. Rovnice (1), je rovnice OLQHiUQtKR�VWDYRYpKR�SR]RURYDWHOH�

TÜ = #TÜ + $Q + -K>O :U F %TÜ F &Q; (1)

Pro ryFKOHMãt�SRK\E�YR]LGOD�D�SUXGNp�]P�Q\�VP�UX�VH�YãDk tento pozorovatel ukazuje, v SRURYQiQt�V QDP��HQêPL�KRGQRWDPL��MDNR�QHS�tOLã�YKRGQê��/HSãt�YêVOHGN\�SRGiYi�DGDSWLYQt�VWDYRYê�pozorovatel. 1LFPpQ��QHMOHSãt�SUR�WRWR�MH�.DOPDQ$Y�ILOWU.

=DMtPDYê�QiYUK�XUþHQt�UHiOQêFK�VWDYRYêFK�SURP�QQêFK�P��HQtP��MH�]PtQ�Q�Y þOiQNX�[4]. 3�HVQê�RGKDG�VWDYRYêFK�SURP�QQêFK�SRSLVXMtFtFK��t]HQê�V\VWpP��O]H�GRViKQRXW�LQWHJUDFt�V\VWpPX�*36��*OREDO�3RVLWLRQLQJ�6\VWpP��Y kombinaci s INS �,QHUWLDO�1DYLJDWLRQ�6\VWpP��.RPELQDFH�W�FKWR�GYRX�V\VWpP$�XPRå�XMH�S�HVQp�XUþHQt�~KOX�VP�URYp ~FK\ON\�D�U\FKORVWL�VWiþHQt�vozidla ñ6 ��%RKXåHO�MH�]GH�WDWR�P\ãOHQND�SRX]H�NRQVWDWRYiQD��D�SRGSR�HQD�WHVW\�QD�UHiOQpP�YR]LGOH��D�QHQt�XYHGHQ�S�HVQê�]S$VRE�LPSOHPHQWDFH�V\VWpP$�D�]S$VRE�XUþHQt�VWDYRYêFK�SURP�QQêFK�

1iYUK��t]HQt

3UREOpP�QiYUKX��t]HQt�P$åHPH�Y ]iVDG��UR]G�OLW�GR�GYRX�VNXSLQ��3UYQt� VNXSLQRX� �tGtFtFK� PHWRG�� MVRX� �t]HQt� QDYUåHQi� SUR� �t]HQt�SRK\EX� YR]LGOD� SR� SRåDGRYDQp� WUDMHNWRULL�� W]Y�� Trajectory tracking control problem. 3RåDGDYNHP� MH�� DE\� VH� Q�MDNê�refeUHQþQt� ERG�� ]YROHQê� QD� YR]LGOH� SRK\ERYDO� FR� QHMEOtåH�QDYUåHQp� WUDMHNWRULH�� =S�WQi� YD]ED� SDN� REVDKXMH� LQIRUPDFH� R�UR]GtOX� UHIHUHQþQtKR� ERGX� RG� WpWR� GUiK\� - error feedback, 2EUi]HN�4��1iYUK�WDNRYpKR��t]HQt�MH�S�HGP�WHP�þOiQNX�[2].

2EUi]HN�4. Trajectory tracking control [2]

V þOiQNX� MH� WDNp� SRSViQ� ]S$VRE� RGVWUDQ�Qt� VLQJXODULW\�� NG\� VH�UHIHUHQþQt�ERG�QDFKi]t�S�tPR�QD�SRåDGRYDQp�WUDVH�D�WHG\�]S�WQi�YD]ED�MH�QXORYi��1DYUåHQp��t]HQt�MH�UREXVWQt�D�VWDELOQt� Pro tento GUXK��t]HQt�VH SRXåtYi QHOLQHiUQt�]S�WQRYD]HEQt��t]HQt�a K\EULGQt�NRQWUROQt�V\VWpP\.

'UXKRX�VNXSLQRX��tGtFtFK�PHWRG��MVRX��t]HQt�QDYUåHQi�SUR��t]HQt�VWDELOLW\�YR]LGOD�� 7HG\� �t]HQt� YR]LGOD� QDFKi]HMtFtKR� VH�na limitu RYODGDWHOQRVWL�� NG\� ~NROHP� �t]HQt� MH� YR]LGOR� VWDELOL]RYDW� D�]DFKRYDW� MHKR� GDOãt� �LGLWHOQRVW� 7RPXWR� SUREOpPX� VH� Y�QXMt�þOiQN\� [1,4,6]. 1DYUKRYDQi� �t]HQt� MVRX� �t]HQt� sliding mode control a S�HVQi� linearizace. 1iP\� IRUPXORYDQê� SUREOpP�EXGH�Y\åDGRYDW� QiYUK� �t]HQt�� NWHUp� SURYHGH� VWDELOL]DFL� YR]LGOD� YH�VP\NX�QD�XUþLWp�WUDMHNWRULL� ZiY�U

Kriticki� UHãHUãH� V WpPDWHP� DNWLYQt� �t]HQt� YR]LGOD� ]DWiþNRX�smykem E\OD�Y\WYR�HQD� z 5 þOiQN$. Vzhledem k YHONpPX�SRþWX��HãHQêFK� SUREOpP$� EXGH� YKRGQp� GiOH� VH� WtPWR� S�HKOHGHP�]DEêYDW��6QDKRX�E\OR�S�HGHYãtP�QDOp]W�Q�NWHUp�PHWRGy k XUþHQt�PtU\� RYODGDWHOQRVWL� D� VWDELOLW\� YR]LGOD� Y OLPLWQtFK� VLWXDFtFK��1HSRGD�LOR�VH�YãDN�QDOp]W�åiGQRX�PHWRGX��NWHUi�E\�Eyla VFKRSQi�

39


SRSVDW� VWDY� YR]LGOD�� NWHUp� VH� QDOp]i� YH� VP\NX D� WHG\� XUþLW� ]GD�H[LVWXMt�L�VWDY\��S�L�NWHUêFK�VH�YR]LGOR�YH�VP\NX�FKRYi�QHXWUiOQ�. =DMtPDYp� MVRX� URYQ�å�SRXåLWp�PHWRG\� �t]HQt��9R]LGOR�YH�VP\NX�

S�HGVWDYXMH� H[WUpPQ�� QHOLQHiUQt� D� NRPSOH[Qt� SUREOpP�� MHKRå�

�t]HQt� EXGH� WDNp�S�HGP�WHP�]NRXPiQt� 0\ãOHQND� �t]HQt� YR]LGOD�ve smyku WDNp�QHE\OD�Y åiGQpP�þOiQNX�QDOH]HQD� Literatura [1] Taeyoung Chung, Kyongsu Yi,: Side Slip Angle Based

Control Treshold of Vehicle Stability Control System, Journal of Mechanical Science and Technology±Vol. 19, No. 4, 2005

[2] Egerstedt M., Hu X., Stotsky A.: Control of Mobile Platforms Using a Virtual Vehicle Approach, IEEE Transactions on Automatic Control-Vol. 46, No. 11, November 2001

[3] Anton T. van Zanten,: Evolution of electronic control systems for improving the vehicle dynamic behavior, In Proceedings of the International Symposium on Advanced Vehicle Control (AVEC), Tokyo 2002

[4] Yih P., Ryu J., Gardes J. C.,: Modification of Vehicle Handling Characteristics via Steer-by-Wire, Journal of dynamics systems, measurement and control-Vol. 126, Issue 2, 2003

[5] Hoffman R. C., Stein J. L., Louca L. S., Huh K.,: Using the Milliken Moment Method and dynamic simulation to evaluate vehicle stability and controllability, International journal Vehicle Design-9RO��1RV��ò��

[6] Williams E. D., Haddad M. W., Nonlinear Control of Roll Moment Distribution to Influence Vehicle Yaw Characteristic, IEEE Transaction on control systems technology, Vol. 3, No. 1, 1995

[7] William F. Milliken, Douglas L. Milliken.: Race Car Dynamics. SAE 1995

40


Pevno stn í prob lematika lepenýc h spo jů: kr i t ická rešerše

Z. Padovec 1

1Odbor pružnosti a pevnosti, Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky, Fakulta strojní, České vysoké učení technické v Praze, Česká republika

Abstract

The article deals with strength problems of bonded joints and review is gathered from open literature or from conference proceedings. It includes period 1970 – 2010 in which bonding technology was intensively investigated from theoretical point of view as well as experimental one. This interest was given by the widespread application of composite materials primarily in aircraft industry. Individual articles describe analytical, numerical and experimental methods of stress-strain and fracture mechanics approaches of flat and tubular bonded joints.

Keywords

Bonded joints; analytical methods; numerical methods.

Úvod

Rozšířené použití lepených spojů se v poslední době děje především z důvodů široké aplikace tohoto způsobu spojování například v dopravě (letectví, kolejová vozidla…) a kosmonautice. Hlubší porozumění enviromentálním vlivům na degradaci spoje, zahrnutí principů lomové mechaniky do výpočtu a porozumění chování spoje při cyklickém zatížení postupně odstraňuje počáteční nedůvěru v tento druh spojovací technologie. Pro posuzování tuhosti a pevnosti lepených spojů je v současné době k dispozici celá řada postupů. Těmi jsou myšleny analytické metody, pomocí nichž se zjišťuje průběh smykového nebo normálového (odlupového) napětí ve vrstvě lepidla a vhodné kritérium porušení, nebo metody numerické. Jak tyto metody rozdělujeme, je patrno ze schématu na Obr. 1 [6,9].

Obr. 1 Přehled typů lepených spojů a jeji ch zatížení Analytické metody Analytické metody umožňují pomocí výpočetní techniky rychlé a jednoduché vyřešení problému pro jednoduché spoje (spoje ploché zatížené tahem, tlakem příp. ohybem a trubkové spoje zatížené tahem, tlakem nebo krutem – viz Obr. 2).

Obr. 2 Přehled metod řešení lepených spojů

Analyticky lze určit i teplotní napětí ve spoji [11,12]. Tahem zatížený plochý lepený spoj je vidět na Obr. 3.

Obr. 3 Deformace zatíženého jednoduchého spoje s tuhými a elastickými adherendy [9]

Obr. 4 Ukázka nezatíženého spoje, zatíženého změnou teploty a zatíženého tahem [11] Lepený spoj je náchylný nejen na teplotní změny (viz. Obr. 4), ale i na změny vlhkosti. Existují jednoduché analytické metody, které do výpočtu napětí zahrnují i vliv absorbované vlhkosti a změny teploty [17]. Ploché spoje Nejprve se zaměříme na klasická analytická řešení plochých spojů dle Volkersena a Goland-Reissnera [39,10], která však mají ji stá omezení [9]:

• Nezahrnují napětí v lepidle ve směru tloušťky ani napětí na rozhraní lepidlo-adherend, které je důležité znát, pokud se spoj poruší v blízkosti povrchu

• Maximální smykové napětí vznikne na konci přeplátování, což odporuje okrajové podmínce volného povrchu (viz Obr. 5)

41


• Adherendy jsou uvažovány jako tenké nosníky, což ignoruje napětí po jejich tloušťce a normálové deformace. Smykové napětí v adherendech je důležité především pro adherendy poddajné ve smyku, jakými jsou například kompozity

Obr. 5 Průběh smykového napětí v lepidle v případě nedodržení a dodržení okrajové podmínky volného povrchu [9]

Na tato omezení se zaměřil y některé další analýzy, například vliv tloušťky lepidla na napětí ve spoji je podrobně popsán v [29], kde byly nalezeny dva antisymetricky položené body na rozhraní lepidlo-adherend, kde je smykové napětí maximální (viz Obr. 6). Vliv smykových a normálových deformací adherendů je popsán v [7]. Jedná se o vylepšení klasických analýz, které neuvažovaly smykovou deformaci adherendu. Na obrázku 7 je vidět, že vylepšené řešení [7] lépe odpovídá experimentálním výsledkům než řešení klasická, obzvláště tehdy, pokud jsou adherendem kompozitní materiály.

Obr. 6 Srovnání skutečné poruchy lepeného spoje s vypočtenými body maximálního smykového napětí

Obr. 7 Porovnání normovaného smykového napětí v lepidle vypočteného dle klasické a vylepšené analýzy s experimentem [7] Mezi další lineární analýzy patří například [36], která uvažuje kompozitní adherendy a umožňuje určit smykové a normálové napětí jak v lepidle, tak i v horním a spodním adherendu. S nárůstem použití kompozitních materiálů byla vyvinuta i analýza, která počítá nejen s anizotropními vlastnostmi kompozitu, ale i s laminátovou konstrukcí (anizotropní vlastnosti každé laminy, její tloušťka a orientaci vláken v lamině) [31]. Jelikož se nepoužívají jen jednoduché nebo dvojité přeplátované spoje, ale i spoje stupňovité (viz Obr. 8), existuje i metoda, jak spočítat napětí v takovémto spoji [13].

Obr. 8 Stupňovitý lepený spoj Kromě těchto lineárních elastických řešení existují i analýzy, které uvažují buď lepidlo nebo lepidlo i adherendy jako nelineární materiál a počítají s plastickou deformací. Lit. [18] uvažuje nelineární pouze lepidlo. Model se může přizpůsobit nelineární napěťové odezvě lepidla a dá se použít pro různé typy zatížení. V [14] lze najít analytické řešení jednoduše přeplátovaného spoje, dvojitě přeplátovaného spoje a stupňovitého spoje. Pro popis plastického chování materiálu je použita Ramberg-Osgoodova aproximace

n

EE=

+

0

0

σσσασε (1)

kde α=3/7 a σ0 a n jsou materiálové konstanty. Kromě čistě elastického nebo čistě plastického modelu existuje i řešení

42


používající elasto-plastický model lepidla [15]. Porovnání různých modelů lepidla je vidět na Obr. 9.

Obr. 9 Křivka napětí-deformace pro lepidlo a některé matematické modely Jelikož je současným trendem používat čím dál tím tlustší vrstvy lepidla, bylo nutné vyvinout analýzu, která toto lépe postihne. V tomto případě bude totiž napětí ve střední rovině jiné, než napětí na rozhraní lepidlo-adherend. V článku [24] je lineární teorie posuvů rozšířena na vyšší teorii posuvů pro napěťovou analýzu tlustých vrstev lepidla (i když i pomocí lineární teorie lze řešit tlusté vrstvy lepidla). Analytický postup je zde porovnán s numerickými MKP výsledky, na kterých je vidět, že výsledky získané pomocí vyšší teorie posuvů lépe korelují s výsledky získanými pomocí MKP, než výsledky z klasické lineární teorie posuvů. Vliv tloušťky lepidla, popis různých typů smykových zkoušek, rozměry vzorků a poruchy lepeného spoje jsou popsány v [33]. Dalším přístupem může být například analýza [37], která modeluje vrstvu lepidla jako dvě vrstvy pružin, spojené smykovou vrstvou (tři parametry). Rozdíl proti dvouparametrickému modelu je ten, že tento model postihuje nulové smykové napětí na volných koncích, což dvouparametrický model nepostihuje. Pro představu jsou oba modely ukázány na Obr. 10.

Obr. 10 a), b) dvouparametrický model lepené vrstvy, c), d) tříparametrický model lepené vrstvy [37] Kromě možnosti modelovat lepený spoj pomocí vrstev pružin, je zde i možnost modelovat jej jako pryžový, kde adherendy jsou vyrobeny z tvrdé pryže a vrstva lepidla z pryže měkké [4]. Jak bylo zmíněno v úvodu, kromě klasických přístupů napětí-deformace existují i přístupy lomové mechaniky, kde už se například počítá s delaminací adherendu (viz Obr. 11) [30], nebo je popsaná metodika, jak předpovídat porušení kompozitního jednoduchého přeplátovaného spoje, která uvažuje, jak poruchu v lepidle, tak v kompozitním adherendu [20]. Šíření trhliny v lepidle je podrobně popsáno v [5]. Článek rozebírá především vliv zatěžovací frekvence (0,1-10 Hz) na šíření únavové trhliny a metodiku její predikce dle zatěžovací frekvence a její shodu s

experimentem. V případě použití adherednů z uhlíkem vyztuženého polymeru převládá kohezivní porucha lepidla. Při použití ocelových adherednů dochází k porušení na rozhraní lepidlo-adherend. Pro oba typy adherendů se ukázalo, že změna zatěžovací frekvence nemá vliv na povrch trhliny. Tvar zkušebního vzorku je vidět na Obr. 12.

Obr. 11 Jednoduchý přeplátovaný spoj s delaminační trhlinou [30]

Obr. 12 Dvojitý krakorcovitý nosníkový vzorek s trhlinou v lepidle [5] Existuje i nelineární kritérium porušení lepeného spoje, které je uvedeno v [18]. Jedná se vlastně o vylepšení Volkersenovy analýzy, ale počítá se zde navíc s multili neárním mechanickým chováním lepidla, aby bylo možno stanovit průměrný průběh smykového napětí po délce spoje. Nelinearita lepidla je zde modelována pomocí tří-lineárního modelu chování materiálu (ten se skládá z bili neární a plastické části). V následující tabulce je vidět, jaké je kritérium porušení pro daný model lepeného spoje, kde: τ je smykové napětí, τr je mez kluzu ve smyku, σ je odlupové napětí, σr je mez pevnosti v tahu, γ je zkos, γp je porucha při dosažení meze plasticity ve zkosu, εe je redukovaná poměrná deformace dle von Misese, εr je poměrná deformace v tahu, při které dojde k poruše a GY (global yielding) je dosažení meze kluzu v celé oblasti [10].

MODEL KRITÉRIUM PORUŠENÍ

VOLKERSEN [39] ττττ>ττττr

GOLAND-REISNER [10] ττττ>ττττr nebo σσσσ>σσσσr

HART-SMITH [15] γγγγ>γγγγp nebo GY

BIGWOOD-CROCOMBE [8]

εεεεe>εεεεr nebo GY

Tab. 1 Kritéria porušení pro některé z uvedených analýz [10] Publikace [35] analyzuje lepený jednoduchý zkosený spoj s libovolným úhlem sklonu, zatížený čistým ohybem. Úloha je řešena jako 2D elastický problém v rovinné napjatosti. Adhehrend i lepidlo jsou uvažovány jako elastické a izotropní. Adherendy nemusí být ze stejného materiálu (mohou mít různé

43


moduly pružnosti). Schéma spoje a jeho zatížení je vidět na Obr. 13.

Obr. 13 Jednoduchý zkosený spoj a jeho zatížení ohybovým napětím Trubkové spoje Trubkové spoje můžeme rozdělit dle způsobu zatížení na namáhané krutem a na namáhané tahem ve směru osy. Namáhání trubkových spojů je vidět na Obr. 14 a 15.

Obr. 14 Trubkový spoj namáhaný tahem [26]

Obr. 15 Trubkový spoj zatížený krouticím momentem [27] Trubkové spoje zatížené osovým tahem jsou řešeny v analýzách [26,32]. V článku [32] je uveden postup výpočtu pomocí principu minima komplementární energie. V tomto řešení jsou splněny všechny okrajové podmínky pro napětí i všechny podmínky spojitosti napětí na rozhraní povrchu lepidla a adherendů. Výsledky analýzy obdržíme v uzavřené formě. Trubkový spoj zatížený krouticím momentem je popsán v [3] opět jako řešení v uzavřené formě. Pro takto zatížený trubkový spoj existuje i nelineární varianta postupu prezentovaná v [27], kde se počítá s nelineárním chováním lepidla. I v tomto případě najdeme analýzy, které se zabývají predikcí pevnosti trubkového lepeného spoje zatíženého krouticím momentem [28]. Řada publikovaných článků se zabývá experimentálními studiemi únosnosti lepeného trubkového spoje v krutu [19,23], statickými a dynamickými zkouškami [22], optimalizací spoje [16] a konkrétním použitím trubkového spoje na hnací hřídel [21]. Numerické metody Mezi nejběžnější numerické metody používané v současné době na modelování lepených spojů patří MKP. Ta umožňuje modelovat lepené spoje dvěma způsoby. V prvním případě použijeme klasické objemové prvky, kdy je tenká vrstva lepidla síťována několika elementy po tloušťce. Druhý způsob je použití kohezivních prvků, kdy tenká vrstva lepidla je po tloušťce vyjádřena jedním speciálním prvkem, který umožňuje řešit i poškození a porušení spoje. Princip výpočtů stavu přenos-separace u kohezivních prvků spočívá v elastických výpočtech

nominálních napětí a relativních posuvů mezi horním a dolním povrchem kohezivních prvků. Jak vypadají deformační módy kohezivního prvku je lépe patrno z obrázku 16.

Obr. 16 Deformační módy kohezivních prvků [1]

Na obrázku 15 a 16 je znázorněn průběh závislosti mezi nominálním napětím ti a relativním posuvem δi ve stavu nepoškozeného lepeného spoje a spoje po iniciaci poškození.

Dosažení maximální hodnoty nominálního napětí 0it odpovídá

iniciaci poškození v lepeném spoji . Z důvodu nárůstu poškození dochází ke ztrátě tuhosti spoje, která vede až k separaci. Tento jev může být definován lineárně (Obr. 18), exponenciálně (Obr. 19) nebo tabulárně dle předem zadaných bodů [1].

Obr. 17 Průběh chování přenos-separace kohezivního prvku [1]

Obr. 18 Exponenciální průběh degradace kohezivního prvku [1] Mezi další numerické metody patří diferenční metoda integrální identity, převzatá z analýz materiálů s řízenými vlastnostmi (functionally graded materials), která je publikována pod názvem „Higher-Order Theory of Functionally Graded Materials“ (HOTFGM) [2,7]. Pokud je tato teorie porovnána s analytickými metodami a MKP, ukazuje se, že je to užitečný nástroj k řešení lepených spojů. Samotná HOTFGM stojí někde mezi MKP a

44


analytickými metodami. Podobně jako MKP, HOTFGM je založena na diskretizované geometrii , ale vykazuje podstatně menší závislost síťování, neboť rovnice kontinuity a pole jsou splněny jakožto zprůměrované hodnoty na povrchu respektive v objemu diskrétního prvku. Také formulace úlohy pro HOTFGM nezávisí na nodech a variačním principu, ale je to v podstatě semi-analytická metoda, založená na elastickém principu. Podobně jako v MKP záleží přesnost řešení na jemnosti sítě, tzn. čím jemnější síť, tím menší chyba řešení. HOTFGM byla původně vyvinuta pouze pro materiály s řízenými vlastnostmi, nicméně může být použita pro jakýkoliv homogenní nebo heterogenní materiál. Jak vypadá model a jeho geometrie, který je vytvořený pomocí HOTFGM, je vidět na Obr. 19. Materiál je rozdělen na libovolný počet buněk a každá tato buňka obsahuje čtyři dílčí buňky.

Obr. 19 HOTFGM model a geometrie [7] Každá z dílčích buněk může být z jiného materiálu, což vytváří heterogenní konfiguraci. Zatížení je obecně zadáno ve formě časově závislých teplotních a mechanických okrajových podmínek, které jsou umístěny na volný povrch. Pole posuvů v dílčí buňce (β,γ) (q,r)-té buňky je aproximováno rozvojem druhého řádu v lokálních souřadnicích x2

β a x3γ (podrobněji

uvedeno v [2,7]). Systém rovnic vzniká zadáním průměrných napětí a posuvů na různých styčných plochách uvnitř materiálu. Rovnice rovnováhy jsou splněny jako zprůměrované hodnoty a výsledkem je soustava 40.Nq.Nr algebraických rovnic, které se dají symbolicky zapsat jako

KU=f+g (2) kde matice tuhosti K obsahuje informace o geometrii a termomechanických vlastnostech každé dílčí buňky (β,γ) uvnitř buněk, které tvoří model. Vektor posuvů U obsahuje neznámé koeficienty, které popisují pole posuvů každé dílčí buňky, vektor mechanických sil f obsahuje informace o zadaných okrajových podmínkách a vektor neelastických sil g obsahuje informace o neelastických efektech. Nq a Nr je celkový počet buněk obsažených v modelu ve směru x2 respektive x3. HOTFGM umožňuje řešení i když dochází k neelastickému chování materiálu a to pomocí visko-plastického modelu.

Aplikací teorie [25] na HOTFGM byla vyvinuta metoda na multiaxiální napěťovou analýzu lepených spojů s kompozitními adherendy [38]. Oproti ostatním metodám je tato metoda schopna lépe postihnout obecnější případy jako je například různá geometrie spoje (např. tzv. T-spoje), lineární nebo nelineární lepidlo, nesymetrické a nevyvážené laminátové adherendy a různé typy zatížení a okrajových podmínek. Adherendy jsou modelovány jako desky při obecném cylindrickém ohybu, s rovnoměrnou deformací v příčném směru. Ortotropní lamináty vycházejí z klasické laminační teorie, deformace a rotace jsou velmi malé. Vrstva lepidla je modelována jako souvislé rozložená vrstva lineárních tahových/tlakových a smykových pružin pomocí vztahů pro tah a separaci adherendů. Nelineární chování lepidla je řešeno vyjádřením sekantového modulu pružnosti. Ukázka použití HOTFGM na analýzu lepeného spoje je vidět na obrázku 21.

Obr. 21 Mřížka dílčích buněk HOTFGM pro zdvojený lepený spoj zatížený jednoosým tahem [7]

Závěr Bylo shromážděno a prostudováno 39 prací, které se zabývají zadanou problematikou. Nejvíce pozornosti je věnováno jednoduchým plochým lepeným spojům zatíženým tahem (případně tahem/tlakem). Zajímavou aplikací je práce [35], která se zabývá čistým ohybem jednoduchého zkoseného spoje. Zahrnutím environmentálních vlivů (teplota, vlhkost) se zabývá článek [17]. Články se především zabývají výpočtem dle klasické laminační teorie, která nerespektuje zákon o sdružených smykových napětích (volný povrch). Tento problém je možné zohlednit zahrnutím normálové a smykové deformace ve směru tloušťky lepeného spoje. V oblasti trubkových spojů se práce zabývají spoji namáhanými na tah (tah/tlak) a krut, z nichž některé jsou orientovány aplikačně na problematiku hřídelů. Z numerických metod je nejrozšířenějším nástrojem MKP, ale v poslední době se rozpracovává diferenční metoda integrální identity převzatá z analýz materiálů s řízenými vlastnostmi. Poděkování Tento příspěvek vznikl za podpory grantu GAČR 101/08/H068. Literatura [1] Abaqus, Inc. ABAQUS/Standard version 6.7.3, Users

Manual. [2] Aboudi, J., Pindera, M.-J., Arnold, S.M.: Higher-Order

Theory for Functionally Graded Materials, Composites: Part B, Vol. 30, No. 8, 1999, pp. 777-832.

[3] Adams, R.D., Peppiat, N.A.: Stress Analysis of Adhesive Bonded Tubular Lap Joints, Journal of Adhesion, Vol. 9, 1977, pp. 1-18.

[4] Adams, R.D. et al.: Rubber Model for Adhesive Lap Joints, Journal of Strain Analysis, Vol. 8, No. 1, 1973, pp. 52-57.

[5] Al-Ghamadi, A.H. et al.: Crack Growth in Adhesively Bonded Joints Subjected to Variable Frequency Fatique Loading, Journal of Adhesion, Vol. 79, 2003, pp. 1161-1182.

[6] Banea M. D., da Silva, L.F.M.: Adhesively Bonded Joints in Composite Materials: An Overview, Journal of Materials: Design and Application, Vol. 223, 2009, pp. 1-18.

45


[7] Bednarcyk, B. et al.: Analysis Tools for Adhesively Bonded Composites Joints, Part 1: Higher-Order Theory, AIAA Journal, Vol. 44, No. 1, 2006, pp. 171-180.

[8] Bigwood, D.A., Crocombe, A.D.: Non-Linear Adhesive Bonded Joint Design Analyses, International Journal of Adhesion and Adhesives, Vol. 10, No. 1, 1990, pp. 31-41.

[9] da Silva, L.F.M. et al.: Analytical Models of Adhesive Bonded Joints – Part 1: Literature Survey, International Journal of Adhesion and Adhesives, Vol. 29, 2009, pp. 319-330.

[10] da Silva, L.F.M. et al.: Analytical Models of Adhesive Bonded Joints – Part 2: Comparative Study, International Journal of Adhesion and Adhesives, Vol. 29, 2009, pp. 331-341.

[11] da Silva, L.F.M., Adams, R.D.: Adhesive Joints at High and Low Temperatures Using Similar and Disimilar Adherends and Dual Adhesives, International Journal of Adhesion and Adhesives, Vol. 27, 2007, pp.216-236.

[12] Deheeger, A. et al.: A Closed-Form Solution for the Thermal Stress Distribution in Rectangular Composites-Metal Bonded Joints, International Journal of Adhesion and Adhesives, Vol. 29, 2009, pp. 515-524.

[13] Erdogan, F., Ratwani, M.: Stress Distribution in Bonded Joints, Journal of Composite Materials, Vol. 5, 1971, pp. 378-392.

[14] Grimes, G.C., Greinmann, L.F.: Analysis of Discontinuities, Edge Effects, and Joints, Chapt. 10 in Composite Materials Vol. 8, Edit. by C. Chamis, Academic Press, New York, 1975, pp. 135-230.

[15] Hart-Smith, L.J.: Design of Adhesively Bonded Joints, Chapt. 7 in Joining Fibre-Reinforced Plastics Edit. by F.L. Matthews, Elsevier Applied Science, London, 1987, pp. 271-311.

[16] Hipol, P.J.: Analysis and Optimization of a Tubular Lap Joint Subjected to Torsion, Journal of Composite Materials, Vol. 18, 1984, pp. 298-311.

[17] Chamis, C.C., Murthy, P.L.N.: Simpli fied Procedures for Designing Adhesively Bonded Composite Joints, 44th Annual Conference, Composites Institute, The Society of Plastic Industry, Inc, February 6-9, 1989, Session 17E, pp. 1-6.

[18] Chataigner, S. et al.: Non-Linear Failure Criteria for a Double Lap Bonded Joint, International Journal of Adhesion and Adhesives, Vol. 30, 2010, pp. 10-20.

[19] Choi, J.H., Lee, D.G.: An Experimental Study of the Static Torque Capacity of the Adhesively-Bonded Tubular Single Lap Joint, Journal of Adhesion, Vol. 55, 1996, pp. 245-260.

[20] Kim, K.S. et al.: Failure Prediction and Strength Improvement of Uni-Directional Composite Single Lap Bonded Joints, Composite Structures, Vol. 82, 2008, 513-520.

[21] Kim, J.K., Lee, D.G., Cho, D.H.: Investigation of Adhesively Bonded Joints for Composite Propeller Shafts, Journal of Composite Materials, Vol. 35, No. 11, 2001, pp. 999-1021.

[22] Lee, S.W., Lee, D.G., Jeong, K.S.: Static and Dynamic Torque Characteristics of Composite Co-Cured Single

Lap Joint, Journal of Composite Materials, Vol. 31, No. 21, 1997, pp. 2188-2201.

[23] Lee, D.G., Choi, J.H.,: Torque Capacity of Co-Cured Tubular Lap Joints, Journal of Composite Materials, Vol. 31, No. 14, 1997, pp. 1381-1396.

[24] Luo, Q., Tong, L.: Linear and Higher Order Displacement Theories for Adhesively Bonded Jeroints, International Journal of Solid and Structures, Vol. 41, 2004, pp. 6351 – 6381.

[25] Mortensen, F., Thomsen, O.T.: Analysis of Adhesive Bonded Joints: A Unified Approach, Composite Science and Technology, Vol. 62, 2002, pp. 1011-1031.

[26] Nemes, O., Lachaud, F., Mojtabi, A.: Contribution to the Study of Cylindrical Adhesive Joining, International Journal of Adhesion and Adhesives, Vol. 26, 2006, pp. 474-480.

[27] Oh, J.H.: Nonlinear Analysis of Adhesively Bonded Tubular Single-Lap Joints for Composites in Torsion, Composites Science and Technology, Vol.67, 2007, pp. 1320-1329.

[28] Oh, J.H.: Strength Prediction of Tubular Composite Adhesive Joints under Torsion, Composites Science and Technology, Vol. 67, 2007, 1340-1347.

[29] Ojalvo, I.U., Eidinoff , H.L.: Bond Thickness Effect upon Stresses in Single-Lap Adhesive Joints, AIAA Journal, Vol. 16, No. 3, 1978, pp. 204-211.

[30] Qin, M., Dzenis, Y.A.: Analysis of Single Lap Adhesive Composite Joints with Delaminated Adherends, Composites: Part B, Vol. 34, 2003, pp. 167.173.

[31] Renton, J.W., Vinson, J.R.: On the Behavior of Bonded Joints in Composite Material Structures, Engineering Fracture Mechanics, Vol. 75, 1975, pp. 41-60.

[32] Shi, Y. P., Cheng, S.: Analysis of Adhesive-Bonded Cylindrical Lap Joints Subjected to Axial Load, Journal of Engineering Mechanics, Vol. 119, No. 3, 1992, pp. 584-602.

[33] Tomblin, J. et al.: Characterization of Bondline Thickness Effects in Adhesive Joints, Journal of Composites Technology and Research, Vol. 24, No. 2, 2002, pp. 80-92.

[34] Tsai, M.Y., Oplinger, D.W., Morton, J.: Improved Theoretical Solutions for Adhesive Lap Joints, International Journal of Solid Structures, Vol. 35, No. 12, 1998, pp. 1163-1184.

[35] Wah, T.: The Adhesive Scarf Joint in Pure Bending, International Journal of Mechanical Sciences, Vol. 18, 1976, pp. 223-228.

[36] Tsai, M.Y.: Stress Distribution in a Bonded Anisotropic Lap Joint, ASME Journal of Engineering Materials and Technology, Vol. 95, 1973, pp. 174-181.

[37] Wang, J., Zhang, C.: Three Parameter, Elastic Foundation Model for Analysis of Adhesively Bonded Joints, International Journal of Adhesion and Adhesives, Vol. 29, 2009, pp. 495-502.

[38] Zhang, J. et al.: Analysis Tools for Adhesively Bonded Composites Joints, Part 2: Unified Analytical Theory, AIAA Journal, Vol. 44, No. 8, 2006, pp. 1709-1719.

[39] Zhu, Y., Kedward, K.: Methods of Analysis and Failure Predictions for Adhesively Bonded Joints of Uniform and Variable Thickness, Final Report DOT/FAA/AR-05/12, U.S. Department of Transportation, 2005.

.

46


Works hop of App li ed Mechanics :

Opt imali zace mechatron ickýc h sys témů z hlediska struktu ry a řízení – přehled prob lematiky

P. Svatoš, Z. Šika

Division of Mechanics and Mechatronics, Department of Mechanics, Biomechanics and Mechatronics, Faculty of Mechanical Engineering, Czech Technical University in Prague, Prague, Czech Republic

Abstract Tento článek prezentuje výsledky, které byly dosaženy v průběhu zpracování kriti cké rešerše. Je zde uveden popis optimalizačních metod mechatronických systémů se zaměřením na metody pro společný návrh struktury a návrh řízení systému. Analýza problematiky této souhrnné optimalizace, možnosti jejího využití a matematické postupy, které jsou nutné pro její řešení. Článek také uvádí návrh regulátorů s pevným řádem v pojetí moderní teorie řízení a některé z možných strategií souhrnné optimalizace.

Keywords

souhrnná optimalizace; návrh struktury a řízení; inteligentní struktury; H intimity.

Abstract in English

The paper deals with optimization method problems of mechatronics systems with a view to methods for integrated structure and controller design. Analysis of simultaneous optimization problems, possibiliti es of utili ze and mathematical procedures, that are necessary for its solution. The paper also presented fixed-order controller design in modern theory control and choice descriptions of simultaneous optimization.

Keywords in English

Simultaneous Optimization; Design of Structure and Control; Smart Structures; H infinity.

Úvod

Rešerše byla zpracována s ohledem na téma disertační práce „Řízení pohybu a tlumení vibrací poddajných mechanismů“ . Mechatronické systémy se stávají stále více sofistikované, integrují do své struktury senzory a aktivní prvky, jako jsou např. aktuátory. Ty pak spolu s vhodnou řídicí strategií umožňují zlepšit chování a vlastnosti stroje.

U aktivních mechanických struktur se pro splnění požadavků na jejich vlastnosti a chování nemusíme při návrhu omezovat pouze na ladění parametrů konstrukčních prvků. Ale i volbu vhodného řízení můžeme přispět ke zlepšení vlastností a chování mechanismu. Požadavky mohou být kladeny nejen na dosažení určité polohy či přesnosti, ale také např. na potlačení vibrací, dosažení určité citli vosti či vlastní frekvence.

Návrh mechatronických systémů se stává z návrhu struktury a návrhu řízení. Obvykle jsou v návrhu pro oba případy použity optimalizační metody, tj. pro návrh struktury i pro návrh řízení. Existují dva různé přístupy tohoto návrhu: společný přístup, ve kterém jsou strukturní parametry navrhovány současně s parametry řízení a oddělený přístup, kdy je řízení navrženo na již předem optimalizovaný systém.

V mechatronických systémech mohou existovat složité závislosti mezi mechanickou strukturou a regulátorem, které mají vliv na celý systém. Tyto závislosti by měly být brány v úvahu v integrovaném návrhu. Integrovaný návrh je proces, ve kterém jsou strukturní a řídicí parametry optimalizovány simultánně (tzn. současně, společně) řešením globálního matematického optimalizačního problému. Je tedy uvažováno jejich vzájemné ovlivnění.

Článek se věnuje problematice souhrnné optimalizace systémů, ve které jsou společně hledány jak strukturální parametry, tak i parametry řízení. Dále je pozornost zaměřena na robustní metody řízení z hlediska maximalizace stabilit y a maximalizace požadovaných vlastností. Následující odstavec uvádí motivační příklad.

Motivační příklad Uvažujme systém tvořený mechanismem s paralelní kinema-tickou strukturou (Obrázek 1), která umožňuje pohyb platformy, a kontrolerem pro jeho řízení. Na čtvercové platformě mohou být dále umístěny aktuátory, které polohují s efektorem. Dále uvažujme poddajnost jednotlivých prvků mechanismu včetně poddajného vedení.

k4(l4- l04)

y(s4)/gy_4(s4)

Fm4 Fm4

s4 ks4xs4

xs4 P4

y(s4)

Gv4

Gp4

A4

Gp1

Obrázek 1. Schéma zjednodušeného poddajného modelu Sliding Star.

Vlastnosti a chování mechanismu je možné ovlivnit řadou navrhovaných parametrů. U struktury to budou obzvláště parametry ovlivňující tuhost, hmotnost, tlumení, polohu aktuátorů a návrh senzoriky. U řízení pak volba vhodného regulátoru a jeho zesílení.

Poddajné soustavy s vyšším počtem stupňů volnosti se vyznačují složitějšími matematickými modely s vysokým řádem soustavy, pro jejichž efektivní řízení je vhodné volit regulátory s pevným řádem.

47


Optimalizace z hlediska struktury a řízení Jak již bylo uvedeno v úvodu, za účelem plného využití potenciálu systému (může se jednat o mechanismus nebo jakýkoliv jiný systém) se provádí jeho optimalizace. Klasický návrhový postup spočívá v přístupu optimalizovat nejprve strukturu a poté separátně řízení. Vyvstává však otázka, zda by nebylo výhodné přistoupit k optimalizaci globální, ve které by se tento návrh realizoval společně.

Před samotným procesem optimalizace je nutné mít k dispozici parametrický model, který bude věrně reprezentovat skutečný systém. Dále je třeba vhodně zvolit typ regulátoru, který ve zpětnovazebním zapojení s modelem uzavře řídicí obvod.

Ucelený a komplexní pohled na modelování struktur a návrh jejich řízení představuje publikace [1]. První kapitoly jsou věnovány modelování struktur a různým způsobům jejich popisu. Jsou zde zastoupeny i modely s tuhými módy kmitu a poddajné struktury. V následujících kapitolách je popsána redukce modelu, modelování aktuátorů a způsob jejich vhodného umisťování.

Obecný přístup k simultánní optimalizační strategii je uveden v [2]. Je zde diskutována otázka, zda simultánní (současný, společný) tedy integrovaný přístup návrhu vždy přináší lepší výsledky než standardní postupný návrh. Úlohy je dají rozčlenit od dvou skupin: rozložitelné návrhové problémy (návrh integrované optimalizace může být matematicky rozložen pomocí optimalizační teorie) a nerozložitelné návrhové problémy (Obrázek 2).

Obrázek 2. Simultánní návrh (společný návrh struktury i řízení).

Autoři uvádí teoretický matematický postup k ověření, zda je cílová funkce rozložitelná či nikoliv. Dále je v článku uveden formální návrh cílových funkcí pro integrovaný návrh optimalizace (návrh strukturních a řídicích parametrů současně) a naproti tomu pro standardní postupný přístup (nejdříve optimalizace struktury následovaná návrhem řízení). Je uvedeno i vzájemné porovnání.

Na využití simultánní optimalizace je zaměřen článek [3], který ukazuje optimalizaci strukturních parametrů a parametrů řízení systému aktivního zavěšení vozu pomocí LMI (Linear Matrix Inequality). Pro řešení optimalizace je využito iterativní metody namísto složitých matematických metod vedoucích většinou na složitý nelineární a nekonvexní optimalizační problém. Je představen mechanický systém tvořený modelem čtvrtauta, pro který je sestaven stavový popis, a zpětnovazebním LMI regulátorem. Návrh regulátoru je tvořen soustavou lineárních maticových nerovnic, pro které je vytvořena optimalizace řešená např. vhodným toolboxem v prostředí MATLAB. V článku je využito metody Simulovaného žíhání. Pro jednotlivé parametry je zvolen omezující interval a proveden výpočet. Výsledky

ukazují, že po optimalizaci se síla do vozovky i vertikální zrychlení vozidla snížily.

Optimalizace modelu čtvrtauta je řešena také v článku [4], ale zde je využito genetických algoritmů a H∞ řízení. Podle autora tato kombinace poskytuje dostatečnou robustnost systému. Souhrnná optimalizace využívá cyklického chodu: přes podmínky a omezení k posouzení zda je současně dosaženo optimálních hodnot pro zlepšení dynamických charakteristik. Pro návrh regulátoru je zavedena výstupní zpětná vazba, kde jsou měřenými veličinami dynamická odchylka zavěšení a zrychlení automobilu. Je ukázán postup návrhu stabili zujícího H∞ regulátoru skrze cílovou funkci obsahující stavový popis rozšířené řízené soustavy. Norma H∞ je definována jako maximum singulární hodnoty. Dalším provedeným krokem je volba cílové funkce. Koeficienty vah pro dynamické zatížení pneumatiky, zrychlení auta a dynamickou výchylku zavěšení jsou voleny v závislosti na frekvenci. Navíc je uvažován filt r pro zlepšení frekvenční odezvy. Integrovaná optimalizace je založená na genetických algoritmech (Obrázek 3).

Obrázek 3. Proces simultánní optimalizace pomocí GA a H∞. Postup je pak následující: parametry systému jsou zakódovány, je vytvořena původní populace náhodně vybranými jedinci, dále je vypočítána cílová funkce. Následují genetické operace jako kombinování populací s reprodukcí, křížení a mutace. Proces končí, pokud jsou splněny omezující podmínky. Ve výsledcích jsou prezentovány hodnoty hmotností a tuhostí po optimalizaci a další závislosti optimalizovaného systému. Závěr je věnován porovnání výsledků: souhrnná optimalizace strukturních i řídicích parametrů (GA a H∞) a pouze řízení H∞ pro tlumení vibrací. Výsledky ukazují, že využití GA a H∞ vede k výraznému zlepšení jízdního pohodlí a dosahuje úrovně , která je uspokojivá a které není bez souhrnné optimalizace dosaženo.

Řízení – návrh regulátoru Vhodná volba regulátoru a jeho návrh jsou důležitými faktory ovlivňující výsledné chování systému. Pro maximalizaci stabilit y a maximalizaci požadovaných vlastností se pro řízení inteligentních konstrukcí převážně používá robustních řídicích metod moderní teorie řízení. V článcích se často vyskytuje

48


použití metody LQG nebo H∞. Velký prostor je dán návrhu kontrolerů typu LQG, H∞, H2 v [1].

Návrh regulátoru H∞ s pevným řádem pro poddajné struktury vychází ze zpětnovazebního zapojení modelu struktury (G) a regulátoru (K) podle následujícího Obrázku 4.

Obrázek 4. Uzavřený zpětnovazební obvod pro řízení H∞.

Základní stavový model je rozšířen o řízený výstupní signál z, což vede na rovnice

wDxCy

uDxCz

uBwBxAx

⋅+⋅=⋅+⋅=

+⋅+⋅= ⋅

212

121

21&

(1)

kde A je matice systému, B1 a B2 jsou matice vstupů systému, w je vnější vstupní signál, y je vektor výstupů systému, C1 a C2 jsou matice výstupů systému a D1 a D2 jsou matice vlivu vstupů na výstupy systému. Základem metody H∞ je určení regulátoru K takového, že norma přenosové funkce systému Gwz

( ) 211

221211 GKGIGGGwz−−+= (2)

bude minimální

( )∞

KGGwz , (3)

Výsledek vede na řešení Riccatiho algebraických rovnic.

Pro návrh regulátoru může být s výhodou použito výpočtového balíku HIFOO, prezentovaného v článku [5].

HIFOO (H-Infinity Fixed-Order Optimization) je výpočtový balík určený pro MATLAB. Je převážně určen (pro obvykle obtížný) návrh regulátoru s řádem nižším než je řád původní soustavy. Návrh vede na a řešení úloh, které obsahují nekonvexní a nehladké cílové funkce. Jejich řešením jsou složité optimalizační strategie v podobě stabili zace pevného řádu a vyřešení lokálních optimalizačních problémů.

Využívá se zde již dříve vyvinutých optimalizačních technik založených na hybridních algoritmech jako quasi-Newton updating, bundling and gradient sampling. Strategie je založena na dvoustupňovém přístupu, ve kterém se nejdříve minimalizuje “spectral abscisa“ (maximum reálných částí vlastních hodnot) s respektováním volných parametrů regulátoru a poté je lokálně minimalizována norma H∞. Tyto optimalizační techniky vyžadují použití gradientů. Podle autorů jsou gradienty vypočítávány v průběhu optimalizace a algoritmy neselhávají ani v případech nespojitostí těchto gradientů.

HIFOO je navíc volně dostupný kód pro MATLAB, který je možný lehce editovat a doplňovat o další vlastní funkce. Jeho

další využití je detailněji popsáno v článku [6] a rozšířeno o praktické příklady. Konkrétní případy návrhu H∞ regulátoru pevného řádu, které již byly popsány v literatuře, jsou zde řešeny znovu pomocí balíku HIFOO. Z výsledků vyplývá, že HIFOO se zdá být efektivní výpočetní metodou a vhodnou alternativou.

Závěr Tento článek se zabývá shrnutím poznatků z kriti cké rešerše, která je věnována metodám optimalizace systémů z hlediska struktury a řízení. Články zde uvedené mapují pouze část optimalizačních metod. Jsou zde popsány vybrané metody návrhu a způsoby jejich matematického řešení. Na základě prostudování vybraných článků bylo zjištěno, že ve většině případů se simultánní optimalizace omezuje pouze na návrh konstantního zesílení zpětné vazby spolu s návrhem několika málo strukturních parametrů (většinou zastoupených hmotností). Tomu odpovídaly i poměrně jednoduše navrhované cílové funkce vedoucí na globální optimalizační úlohu, která je většinou řešena známými optimalizačními algoritmy (nejčastěji genetické algoritmy nebo nelineární programování [7]). Tato skutečnost byla doložena i poměrně jednoduchými vzorovými příklady.

Články je nezabývají myšlenkou společné optimalizace, která by poskytovala účinný nástroj z oblasti robotiky pro návrh komplexního řešení jak struktury (hmotnost, tuhost, tlumení), tak i řízení (regulátor), umisťování aktuátorů a senzoriky.

Zůstává tak otevřený prostor pro metodu, která bude pokrývat návrh parametrů ze všech oblastí. Inspirující je obzvláště článek [5], který popisuje výpočtový balík HIFOO jako efektivní nástroj. Dalším krokem práce bude stavět na efektivních existujících optimalizačních algoritmech, zjistit nakolik využívají konkrétní formu optimalizace a jak konkrétně tyto návrhy a postupy spojit . Jak se změní, když přibudou naše další parametry a jak to ovlivní použití optimalizačních metod, bude předmětem dalšího výzkumu.

Použitá li teratura

[1] Gawronski, W. K.: Advanced Structural Dynamics and Active Control of Structures, Springer, 2004.

[2] Fu, K., Sun, D., Mill s, J. K.: Simultaneous mechanical structure and control system design: optimization and convex approaches, in Proc. IEEE Int. Symp. Intelli gent Control Vancouver, Canada, Oct. 2002, 756-762.

[3] Zhang, Y., Fang, Z., Wu, G.: Integrated Structure and Control Parameters Optimization for an Automotive Active Suspension System via LMIs, icmtma, vol. 1, 2009 International Conference on Measuring Technology and Mechatronics Automation, 2009, 804-807.

[4] Liu, X.: Simultaneous Optimization of Mechanical and Control Parameters for Active suspension System, Vehicle Power and Propulsion Conference (VPPC), 2008, 1-5.

[5] Burke J. V., Henrion, D., Lewis, A. S., Overton, M. L.: HIFOO - A MATLAB package for fixedorder controller design and H∞ optimization. In 5th IFAC Symposium on Robust Control Design, Toulouse, France, July 2006.

[6] Gumussoy, S., Overton, M. L.: Fixed-Order H-infinity Controller Design via HIFOO, a Specialized Nonsmooth Optimization Package, Proc. of American Control Conference, 2008, 750–275.

[7] Fang, L., Yin, Y. H., Chen, Z., N.: Robust simultaneous optimal design of structure and control for a wire bonding force control system, Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part C: Journal of Mechanical Engineering Science, Volume 221, Number 2 / 2007, 2007, 177-186

49

All contributions published within these proceedings can be freely copied but appropriatecredit should be given.

Editors: Marek Stefan, Michael Valasek11th Workshop of Applied MechanicsPublished by Czech Technical University in PragueCompiled by Faculty of Mechanical Engineering (CTU in Prague)Address: Department of Mechanics, Biomechanics and Mechatronics,Address: Technicka 4, Praha 6 - DejviceTel.: +420-224-357-584Printed: CD-ROM only1st edition, 54 pagesCopyright c© 2010

ISBN 978-80-01-04567-1

workshop of applied mechanics - informace | Čvut...

Documents