witten morse
TRANSCRIPT
7/29/2019 Witten Morse
http://slidepdf.com/reader/full/witten-morse 1/15
20/3/2011 1
ΤΠΕΡΤΜΜΕΣΡΙΑ ΚΑΙ ΘΕΧΡΙΑ
MORSE
(WITTEN 1982).
EDWARD WITTEN
(born August 26, 1951)
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ
ΦΥΣΙΚΟΣMScΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ
7/29/2019 Witten Morse
http://slidepdf.com/reader/full/witten-morse 2/15
20/3/2011 2
ΜΙΑ ΠΑΡΟΤΙΑΗ ΒΑΙΜΕΝΗ ΣΟ
ΑΡΘΡΟ ΣΟΤ WITTEN:
“SUPERSYMMETRY AND MORSE
THEORY”
ΣΟ ΠΕΡΙOΔΙΚΟ:
J. DIFFERENTIAL GEOMETRY 17 (1982)
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ
7/29/2019 Witten Morse
http://slidepdf.com/reader/full/witten-morse 3/15
20/3/2011 3
ΤΠΕΡΤΜΜΕΣΡΙΑ ΚΑΙ ΘΕΧΡΙΑ MORSE (WITTEN 1982).
ε άε βαληή εωξία εδίνπ ν ρώξνο Hilbert κνξεί λα γξαθεί
ζαλ ην επύ άξνζκα (direct sum) ηωλ ρώξωλ α , διαδή:
: ν ρώξνο ηωλ «κννλώλ» αηαζηάζεωλ : ν ρώξνο ηωλ «θεξκνλώλ» αηαζηάζεωλ
Οπίουμε:
• Σνπο Εξκηαλνύο ηειεζηέο , νπ αενλίνπλ ην
ρώξν ζην ρώξν α αληίζηξνθα.• Σνλ ηειεζηή , ν ννίνο δαξίλε ην ρώξν αό ην ρώξν
(α κεηξάε ηνλ αξκό ηωλ θεξκνλίωλ modulo 2)
iQ 1, 2,...i N ,
( 1) F
( 1) ( 1) F n F I
'cont d
Ιδόηηεο:
{( 1) , } 0 F
iQ
2(( 1) ) F I
(( 1) ) ( 1) F F
(involution),
(Εξκηαλόο).
Η δξάζ ηνπ ηειεζηή ζην ρώξν είλα:( 1) F
( 1) F
( 1) F
,
,
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ
7/29/2019 Witten Morse
http://slidepdf.com/reader/full/witten-morse 4/15
20/3/2011 4'cont d
Ο ζρέζεο (3) α (4) ξέε λα γελεπνύλ ζε κα βαληή εωξίαεδίνπ (αλαιινίωην ζε Lorentz).
Πεξνξόκαζηε ζε ρωξόρξνλν 2 δαζηάζεωλ, νόηε έρνπκε έλα κόλν
ηειεζηή νξκήο P. Έρνπκε:
2
1Q H P 2
2Q H P
1 2 2 1 0Q Q Q Q
(5)Jacobi
[ , ] [ , ] 0i iQ H Q P (6)
2 2
1 2
1( )
2 H Q Q
2 2
1 2
1( )
2 P Q Q [ , ( 1) ] [ , ( 1) ] 0 F F H P
(7)
(8) (9)
Μ αξληέο δνηκέο ελέξγεαο
,
,
ηλ αινύζηεξ «έδνζ» ηο ΤΚΜ, ααηνύκε λα ζρύνπλ:
{( 1) , } 0 F
iQ (1)
[ , ] 0iQ H (2)
2 ,iQ H i (3)
{ , } 0,i jQ Q i j (4)
,
,
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ
7/29/2019 Witten Morse
http://slidepdf.com/reader/full/witten-morse 5/15
5
'cont d
Η ζνπδαόηεξ εξώηζ γα κα πεξζπκκεηξή βαληνκραλή
εωξία είλα ην αηά όζνλ πάξρε (ή όρ) κα αηάζηαζ ζην ρώξν
Hilbert ννία λα «εξαϋλώνεηαι» αό ηνπο πεξζπκκεηξνύο ηειεζηέο
iQ , γα ηλ ννία διαδή λα έρνπκε:
0i
Q (10)
Αλ κα ηέηνα αηάζηαζ πάξρε, ηόηε αό ηλ (7) βιένπκε όη α έρε
πνρξεωηά μδενική ενέπγεια. Εθ’ όζνλ όκωο ν δνηκέο ελέξγεαο είλα
κ αξληέο, κα αηάζηαζ κε κδελή ελέξγεα α αληζηνρεί ζηλ
καηάζηαζ «κενού» ηνπ ζπζηήκαηνο. Λέκε ηόηε όη πεξζπκκεηξία είλα
μ-ζαζμέν ( unbroken Susy)Αλ ν ηειεζηέο δελ εμαϋιώλνπλ ην ελό, ιέκε όη πεξζπκκεηξία
είλα «αυθόπμηα ζαζμέν» (spondaneously broken)i
Q
Σώξα:: 0i K Q
0 H
0 P
Μνξνύκε ινόλ λα εξγαζνύκε ζηνλ πόρωξν νπ εξέρε ηο αηα-
ζηάζεο ν ννίεο «εμαϋιώλνληα» αό ηνλ ηειεζηή P:0 0 0
0
Σν πεξζπκκεηξό κνληέιν
α αλννεί ηο εμζώζεο:
2
iQ H
i{ , } 0
i j
Q Q i j , ,
(11) (12)20/3/2011
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ
7/29/2019 Witten Morse
http://slidepdf.com/reader/full/witten-morse 6/15
3/20/2011 Γιάννης Φιορεντίνος 6
ην paper κε ηίηιν Dynamical Breaking of Supersymmetry, Nuclear
Physics B 188 (1981), pages 513-555, o Edward Witten πνιόγζε
ηνλ δείη ( 1) F tr κεηαμύ άιιωλ ζηο εξηώζεο:
Τεξζπκκεηξήο εωξίαο 4 ζε 4-δαζηάζεο,
Τεξζπκκεηξώλ κ- Αβειαλώλ εωξώλ βακίδαο είζο ζηο4-δαζηάζεοα έδεμε όη είλα δάθνξνο ηνπ κδελόο. Έηζ ζηο δύν αξαάλω
εξηώζεο πεξζπκκεηξία είλα κα κ-ζαζκέλ ζπκκεηξία.
Είζο ζηα papers E. Witten, Nuclear PhysicsB
202 (1982) αToroidal Compactification without vector structure, 1997 , o Witten
πνιόγζε ην δείη ζε κα «ααξή» (ρωξίο διαδή ηλ
αξνπζία ύιο) πεξζπκκεηξή εωξία Yang-Mills α ηνλ βξήε
κ κδελό. Έηζ «ααξή» SYM εωξία (ρωξίο ύι) δελ ζάε
ηλ πεξζπκκεηξία.
( 1) F tr
'cont d
ΣΗΜΕΙΩΣΗ:
7/29/2019 Witten Morse
http://slidepdf.com/reader/full/witten-morse 7/15
20/3/2011 7
η ζπλέρεα εωξνύκε:
• Μ: Ρκάλα νιιαιόηηα, δάζηαζο
• : Εμωηεξή αξάγωγνο , : ζππγήο ηο
• , : Ο ρώξνο ηωλ
d d d
pV 0,1, 2,..., p n p forms
Είζο ηνπο πεξζπκκεηξνύο ηειεζηέο:
1Q d d 2 ( )Q i d d (14 )a (14 )b
Κα ηνλ ηειεζηή Η:
(δξα ζηα ) H dd d d
(14 )c
ύκθωλα κε ην ιήκκα Poincare είλα:2 2
0d d
, νόηε:2 2
1 2Q Q H 1 2 1 2 2 1{ , } 0Q Q Q Q Q Q (15 )a (15 )b
νπ ανξίνπλ ηλ πεξζπκκεηξή άιγεβξα.
p forms
'cont d
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ
7/29/2019 Witten Morse
http://slidepdf.com/reader/full/witten-morse 8/15
20/3/2011 8
Η νκνηκία ( parity) p ανξίε ην αλ έρνπκε κνόλν ή θεξκόλν:
• p = άξηνο κνόλν
• p = εξηηόο θεξκόλν
Θεωξνύκε η ιεία α ξαγκαηή ζπλάξηζ h α η κεηαβιηή
.t R
Mέζω ηωλ ζρέζεωλ:
ht ht
t d e de
ht ht
t d e d e ,(16 )a (16 )b
Οξίνπκε ηνπο λένπο πεξζπκκεηξνύο ηειεζηέο:
1t t t Q d d , 2 ( )t t t Q i d d (17) (18)
Όκωο:2 2 0t t d d
2 2
1 2t t t Q Q H
1 2
{ , } 0t t
Q Q t (19)
'cont d ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ
7/29/2019 Witten Morse
http://slidepdf.com/reader/full/witten-morse 9/15
20/3/2011 9
Η λέα Υακιηνλαλή είλα:t t t t t H d d d d
(20)
ύκθωλα ηώξα κε ηλ εωξία Hodge: dimker p p B (21)
Η ζππγία κε ηνλ όξν άλε ην θάζκα ηνπ λα εμαξηάηα αό
ην t, ν κδελνί όκωο ρώξν (null spaces) ηνπ α ηνπ ηαπηί-
νληα, νόηε:
ht e t H
t H H
( ) dim ker ( ) dim ker p p p p B t t B (22)
Αξκόο κδελώλ δνηκώλ αξκό κδελώλ δνηκώλt H H p B
Η δέα ηνπ Witten ήηαλ, κειεηώληαο ην θάζκα ηνπ γα κεγάια
t (όνπ αινπζηεύεηα αξεηά), λα έζε έλα άλω θξάγκα ζηνλ α-
ξκό (Betti), ζε ζρέζ κε ηα ξίζκα ζκεία ηο h.
t H
p B
'cont d ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ
7/29/2019 Witten Morse
http://slidepdf.com/reader/full/witten-morse 10/15
20/3/2011 10
ε άε ζκείν p ηο Ρκάλαο νιιαιόηηαο Μ, ειέγνπκε
κα νξναλνλή βάζ αό εθαηόκελα αλύζκαηα ( )k a p
Θεωξνύκε ηα ζαλ ηειεζηέο α ζπκβνιίνπκε κε ηνπο
ζππγείο ηειεζηέο .
( )k a p ( )k a p
( )k a p
Σειεζηήο δκνπξγίαο( )k a p
Σειεζηήο αηαζηξνθήοΦεξκνλίνπ
Η Υακιηνλαλή γξάθεηα:t H
( )ht ht
t t t t t H d d d d e dd d d e
2
2 2
,( ) [ , ]i j
ii j
D hdd d d t dh t a a
D D j
2 2( ) ( )( ) ( )ij
i j
h hdh gradh
όνπ:
(23)
'cont d
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ
7/29/2019 Witten Morse
http://slidepdf.com/reader/full/witten-morse 11/15
20/3/2011 11
t H V
dd d d
22 2
,
[ , ] ( )i j
ii j
D hV t a a t gradh
D D j
(24)
t H Σειεζηήο ηύνπ Schrodinger
(V είλα ν όξνο ηο
«δπλακήο ελέξγεαο»)
Γα κεγάια t 2 2( )V t gradh (25)
Ο όξνο ηόηε γίλεηα νιύ κεγάινο νδγώληαο ζε ιύζεο κδε-
λώλ δναηαζηάζεωλ. Απηό ανηξέεηα ζηλ εξνρή ηωλ ξίζ-
κωλ ζκείωλ , όνπ ν ζπληειεζηήο ηνπ κδελίεηα.
V
( 0)dh 2t
Γα κεγάια ινόλ t ν δνζπλαξηήζεο ηνπ ζπγεληξώλνληα,
αηά άνν ηξόν, νληά ζηα ξίζκα ζκεία ηο ht H
'cont d ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ
7/29/2019 Witten Morse
http://slidepdf.com/reader/full/witten-morse 12/15
12
Μνξνύκε λα αλαιύζνπκε ηλ αζπκηωηή ζπκεξθνξά ηωλ δνηκώλ,
αλαηύζζνληαο ζε δπλάκεο ηνπ , γύξω αό ηα ξίζκα ζκεία ηο h.1
t
Η ζπλάξηζ h, ( κ-εθπιζκέλ ζπλάξηζ Morse) δαέηε ηο δόηηεο:
• Όια ηα ξίζκα ζκεία ηο είλα ανκνλωκέλα.
• Όια ηα ξίζκα ζκεία ηο είλα κ-εθπιζκέλα.
Έζηω: Αξκόο ξίζκωλ ζκείωλ ηο h κε δείη p p M
Ολνκάνπκε: n-νζηή κξόηεξ δνηκή ηνπ ηειεζηή( ) ( )n
p t t H
Γα κεγάια t:( ) ( )
( ) ( )
2( ) ( ...)
n n p pn n
p p
B C t t A
t t (26)
'cont d
Ο αξκόο Betti = Αξκό ηωλ νπ είλα κδέλ p B ( ) ( )n
p t
Ο Αξκόο ηωλ κδελόκελωλ δελ είλα κεγαιύηεξνο αό
ηνλ αξκό ηωλ κδελόκελωλ (ζρέζ 26)
( ) ( )n p t
( )n
p A
Αξκόο κδελόκελωλ = (Αξκόο ξίζκωλ
ζκείωλ ηο h κε δείη p.)
( ) ( )n
p t p M Κα όωο α δνύκε αξαάηω:
20/3/2011 ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ
7/29/2019 Witten Morse
http://slidepdf.com/reader/full/witten-morse 13/15
20/3/2011 13
2 3
1
1( ) (0) [ ]
2
n
i i i
i
h h O
(27) γα άναi
ηλ εξνρή ινόλ ηνπ ξίζκνπ ζκείνπ Υακιηνλαλή ξνζεγγίεηα αό
ηλ έθξαζ:
2 2 2 2
2( [ , ])
i
i
i i
t i i
i
H t t a a
(28) , ή
( )t i i i
i
H H t K
22 2 2
2 ii
i i H t
[ , ] j j
j K a a
(29)
i
H Υακιηνλαλή ελόο αινύ αξκνλνύ ηαιαληωηή
'cont d
ηλ εξνρή ελόο ξίζκνπ ζκείνπ p, κνξνύκε λα εζάγνπκε Επιείδεεο ζπληεηαγκέλεο
ειέγνληαο λα είλα: α αλαηύζζνπκε η κεηξή κέρξ όξνποi
( ) 0i p 2
i
2 2 231 1 2 2 ...
( ) (0) [ ]2
n nih h O
Λήκκα ηνπ Morse ή
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ
7/29/2019 Witten Morse
http://slidepdf.com/reader/full/witten-morse 14/15
20/3/2011 14
Σώξα: [ , ] 0i i δξα ζην νκκάη ηο πκαηνζπ-
λάξηζο νπ βξίζεηα κξνζηά αό
ην
i H
p form
Ο δνηκέο ηνπ α είλα ην άξνζκα ηωλ δνηκώλ
ηνπ α απηώλ ηνπ «δνξωηνύ όξνπ»t H
i H i it K
Ο αληίζηνρεο δνηκέο είλα:
i H (1 2 )i it N κε 0,1, 2...i N
i K 1 , νόηε:
t H [ (1 2 ) ]i i i i
i
t N n 1in 0,1, 2...i N , ,
Αξκόο εηώλ in p
Γα ην κδελζκό ηωλ δνηκώλ ηνπ ααηνύκε λα είλα ,
α είζο ειέγνπκε λα είλα:0i N t H i
i in sign
(30)
'cont d ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ
7/29/2019 Witten Morse
http://slidepdf.com/reader/full/witten-morse 15/15
20/3/2011 15
Ο ηειεζηήο έρε κία αξβώο κδελή ιύζ, ζηλ εξνρή ηνπ
ξίζκνπ ζκείνπ, αλ απηό έρε δείη ίζν κε p.
Ο δναηαζηάζεο ηνπ κνξεί λα βξίζνληα ζηλ εξνρή ν-
νπδήνηε ξίζκνπ ζκείνπ. Γα άε ξίζκν ζκείν κε δείη p, έρνπκε κα κδελή δνη-
κή νπ αληζηνρεί ζε έλα .
Ο νιόο αξκόο ηωλ κδελώλ ζνύηα κε ηνλ αξ-
κό ηωλ ξίζκωλ ζκείωλ κε δείη p.
Αλ ν πνινγζκόο ήηαλ αξβήο:
Αξκόο κδελώλ =
Οξζκέλα αό ηα κδελά
κνξεί λα κλ
πθίζηαληα ιένλ
(Αζελείο αλζόηηεο Morse)
p p B M
t H
t H
p forms
p forms
p forms
p B
p form
1
2
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ