winterlogik - uni-frankfurt.deafuhrman/downloads/winter... · 2018. 2. 6. · goethe-universit¨at...
TRANSCRIPT
-
WINTERLOGIK2017-18
André Fuhrmann
Goethe-Universität Frankfurt am Main
-
Frankfurt am Main im Februar 2018
© A. Fuhrmann
-
Goethe-Universität
Frankfurt
am
Main
InstitutfürPhilosophie
Logik
imW
inter20017-18
Einführung
And
réFuh
rmann
00einfueh
rung171017.0948
Vorlesu
ng
Di12–14undMi10–12,HZ6
Spre
chstunde
Prof.
Dr.
André
Fuhrm
ann
I.G.Farben
,Zim
mer
2.557
nach
Voranmeldung
Fra
genzurVorlesu
ng
Auch
sehrgerneper
Email:
fuhrm
ann(at)em
.uni-frankfurt.de
oder
über
dasOLAT-Forum.
2
“Die
Philosophie
istheu
tebesten-
fallsdort
wodie
Mathem
atikbei
den
Babyloniern
war.”
Kurt
Gödel
(1906-1978)
3
Dank
Dank
StudentenundTutoren,die
seit2006diese
Vorlesungin
Frankfurt
begleitet
haben
,bin
ichsehrzu
Dan
kverpflichtet.
Von
den
Tutorenmöchte
ichinsbesonderenen
-nen
:KatayunBahremand,MariaBätzing,SerkanGören,Dominik
Kauß,Tim
König,
MatthiasHoch,Melvin
Keilbar,
Katrin
Öchsner,Clemen
sRosenbaum,Sophie
Sieben
-list
undAlexander
Umstadt.
Dankenmöchte
ichauch
meinen
Kollegen
Manfred
Kupffer
undEdeZim
mermann,
die
ander
Frankfurter
Konzeptioneiner
Logik
fürPhilosophen
undKognitiveLin-
guisteneinen
wichtigen
Anteilhatten
&haben
.
Schließlich
seiauch
ErnaMamane†undMariaNicolosi
fürdie
organisatorischeBe-
treu
ungder
Winterlogik
gedankt.
AF
imW
inter2016-17
4
-
??
??
•Logik
ist(w
ieEthik,oder
Metaphysik,oder
Sprachphilosophie,oder
PolitischePhi-
losophie,oder
Ästhetik,oder
...)
eineigen
ständiges
Geb
ietin
der
Philosophie.
•W
iedie
meisten
anderen
philosophischen
Geb
iete,stehtes
inBeziehungen
zubes-
timmtenNachbardisziplinen
:Linguistik,Inform
atik,Mathem
atiku.a.
•W
iein
den
meisten
anderen
philosophischen
Gebieten,setzen
gültige
Forschungsleistungen
inder
Logik
heute
einen
hohen
GradanSpezialisierungvo-
raus.
—Um
solches
Spezialw
issengehtes
indieserEinführungnicht.
•In
den
meisten
philosophischen
Gebietenwerden
heu
telogischeMittel(“form
ale
Methoden
”)verw
endet.Daskannggf.
meh
r(T
heoretischePhilosophie)oder
weniger
(PraktischePhilosophie,Ästhetik,Philosophiegeschichte)der
Fallsein.
•Wer
ganzoh
nelogischeMitteldasteht,dem
bleibteingroßer
Teilder
modernen
Philosophie
dauerhaft
verschlossen
.
•Wer
sich
einwen
igmit
Logik
vertrautmacht,der
wirdnichtnurdie
Theorien
an-
derer
besserverstehen
,sondernauch
anseinen
eigen
enmitmeh
rPhantasieund
Erfolg
basteln.
5
??
•Ein
(verbreitetes)Mißverständnis:EineEinführungin
die
Logik
dientnichtdazu
“logisch
den
ken
”zu
lernen
.Wen
nSie
hiersitzen
,dannkönnen
Sie
dasschon(m
ehr
oder
wen
iger).
Wen
nSie
hierfertig
sind,dannwerden
Sie
esnichtbesserkönnen
als
zuvor–jeden
fallsin
keinem
praktischen
Sinne.
·Vgl:
EineEthik-V
orlesungmachtau
sniemandem
einen
besserenMen
schen
,oder?Sie
lernen
dort
Theorien
kennen
.Obsiedanach
handelnkönnen
oder
wollen,stehtau
feinem
anderen
Blatt
·Vgl:
Ein
Ästhetik-Sem
inarmachtauskeinem
Banauseneinen
geschmackvo
llen
Ken
ner.Auch
dort
lernen
sienurTheorien
kennen
.Obsiediese
dannrichtig
anwen
den
können
,undobsiesich
zuden
theoretischau
sgezeichneten
Werken
tatsächlich
hingezogen
fühlen,dasbleibtoffen.
SchwerlichsindGrundsätzeundAnleitungen,selbst
wennwirsieaufgeschlossenen
Gem
ütesaufnehmen,je
mächtiggenug,
unsgeradew
egszum
Handelnzu
führen,
wennwirnichtunsere
Seele
durchErfahrungzu
dem
Wandel
üben
undausbilden,zu
dem
wirsieanhaltenwollen:anderenfalls
wirdsie,
wennsiezurtätigenBew
ährung
schreiten
soll,
ohneZweifelin
die
Klemmegeraten.
Montaigne,
Essais
(1595),Über
geistigeÜbung
6
??
•In
dieserVorlesunglernen
Sie
auch
“nur”
Beschreibungsm
ittelundTheorien
ken-
nen.Um
deren
folgerichtigeAnwendungmüssen
Sie
sich
dannin
jedem
Fallerneu
tbem
ühen
(üben
!).
•Diese
Vorlesungführt
beispielhaft
vor,
welchen
Ansprüchen
strenges
Argumentieren
–au
chin
der
Philosophie!–genügen
muß.WasdiesenAnsprüchen
nichtgen
ügt,
dürfen
Sie
kritisieren
.Wer
hinterdiesenAnsprüchen
zurückbleiben
möchte,sollte
bessernichtPhilosophie
studieren.
7
??
•In
dieserVorlesunggehtes
um
die
Teile
der
Logik,die
Philosophen
(aber
auch
Lin-
guisten)kennen
müssen
,um
sich
mitmodernen
philosophischen
(undauch
linguis-
tischen
)Theorien
kompetentzu
befassen
.
·Diese,fürunsrelevantenTeile
der
Logik
gehen
einerseitsoft
über
den
früher
geleh
rten
Kanondeu
tlichhinaus.
·Andererseitsenthieltder
klassischeKanonvieles,
was
m.E.entbeh
rlichist(z.B.
die
Einübungin
bestimmte
Kalkülarten
).
•W
irwerden
Logik
hieralseinuniverselles
Beschreibungsm
ittelkennen
lernen
,in
dem
sich
Folgerungsverhältnisse
sicher
undrelativschnellfeststellenlassen
.
•Wen
nSie
sich
alsPhilosophmit
Logik
beschäftigen
,erschließen
Sie
sich
einen
wichtigen
undrasantsich
entw
ickelnden
Zugangzu
philosophischen
Problemen
.
•Die
logischeAufbereitungphilosophischer
Problemeerzeugtspannen
deQuerverbin-
dungen
zuanderen
Fächern.(L
ogik
istso
etwaswie
einelinguafranca
vielerDiszi-
plinen
.)
•Logik
istschließlich
auch
selbst
alsgem
einsamer
Kernallervernünftigen
Theorieb
il-
dungeinspannen
des
philosophisches
Them
a.
8
-
Literatur
Literatur
...wirdim
Prinzipnichtben
ötigt,daeinSkriptzu
rVerfügungsteht(s.u.).Spezielle
Literaturwirdgelegentlichin
der
VLangegeb
en.
Gute
leichte
Kost
(Deutsch
)
•Beckermann,Einführungin
die
Logik
•vonKutscheraundBreitko
pfEinführungin
die
moderneLogik
•Strobach,Einführungin
die
Logik
VierKlassiker(d
erM
ath
ematischenLogik)
•Kleen
e,Introductionto
Metamathem
atics
•Men
delson,Introductionto
Mathem
aticalLogic
•Shoen
field,Mathem
aticalLogic
•Smullya
n,First-O
rder
Logic
9
Literatur
Auch
gut
•Andrews,
AnIntroductionto
Mathem
aticalLogic
andTypeTheory
•Ebbinghaus,
Flum
&Thomas,
Einführungin
die
mathem
atischeLogik
•Fried
richsdorf,Einführungin
die
klassischeundintensionale
Logik
SpeziellfürLinguistenbzw.In
form
atiker
•Dow
ty,Wall&
PetersIntroductionto
MontagueSem
antics
•Fitting,First-O
rder
Logic
andAutomatedTheorem
Proving
•Makinson,Sets,
Logic
andMathsforComputing
•Schöning,Logik
fürInform
atiker
Mengenth
eore
tischerHinterg
rund
•Halm
os,
NaiveSet
Theory
(auch
dt.
als
NaiveMen
genlehre)
•Hamilton,Numbers,SetsandAxioms
10
Literatur
Viele
dieserBücher
sindteuer
oder
vergriffen
oder
beides.Wen
nSie
sich
nureines
leistenkönnen
oder
möchten,em
pfehle
ich:
Dover
Publications.
Ca.10Euro
(neu
/gebrauchtab1,94+
3,00Euro)
bei
einem
bekan
ntenAnbieterim
Internet.
11
Literatur
Ferner
empfehle
ichals
Einführungs-
undBegleitlektüre:
•Graham
Priest,Logic:A
VeryShort
Introduction,
Oxford
University
Press
2000—
EUR
6,99.
12
-
Literatur
DasSkript
•...wirdnach
jeder
Vorlesungjeweils
aktualisiertaufder
OLAT-Seite
der
Vorlesung
abgelegt.
•Ein
vollständiges,“altes”Skriptausdem
Winter2016-17finden
Sie
dort
eben
falls
(undaufmeiner
HomepagefürStudenten).
Währendeiner
Vorlesungsreihearbeite
ichan
dem
Skript;“k
lausurrelevan
t”istim
mer
nurdasjeweils
aktuelle
Skript.
•Eben
fallsaufder
OLAT-Seite:die
Dateisymbol.pdfmiteiner
Tabelle
der
meisten
inder
Vorlesungverwen
deten
logischen
Symbole,
und
•eineBesprechungeiniger
Leh
rbücher
der
Logik
indeutscher
Sprache.
13
Literatur
OLAT
OLAT
istdie
Internet-Lernplattform
der
Universität.
Hierfinden
Sie
wichtigeInfor-
mationdazu:
http://okapi.uni-frankfurt.de/index.php?title=E-Learning
Undso
kommen
Sie
aufdie
Anmeldeseite
vonOLAT:
https://olat-ce.server.uni-frankfurt.de/olat/auth/RepositoryEntry/
5383127071?1
(Klicken
Sie
einfach
einmalaufdie
Zeilenin
farbiger
Schreibmaschinen
schrift!Wen
nSie
mit
dem
Internet
verbunden
sind,dannmüßte
sich
jetztdie
gen
annte
Seite
inIhrem
Browseröffnen
.)
Sie
melden
sich
anmit
Ihrem
HRZ-N
utzern
amenundPasswort.
14
Literatur
OLAT
bietet
•Anmeldungzu
den
Tutorien
•Diskussionsforum
zurVorlesung
•Dow
nload-B
ereich
fürSkripte
u.ä.
•Kalender
•Bekanntm
achungen
undeiniges
meh
r.
Haben
Sie
Schwierigkeiten
mit
der
Anmeldungoder
andereFragen
zuOLAT,so
wen-
den
Sie
sich
bitte
anIhrenTutor.
15
TeilnahmeundSch
eine
TeilnahmeundSch
eine
Grundsätzlich
kannjeder
Interessierteander
Vorlesungteilneh
men
.
•Teilnahmeschein:MöchtenSie
sich
die
(bloße)
Teilnahmebescheinigen
lassen
,fertigen
Sie
bitte
einen
Laufzettelan
,aufdem
Sie
sich
nach
jederVLdie
Teil-
nahmevo
nmir
bestätigen
lassen
.(T
eilnahmescheinewerden
nurausgestellt,wen
nmindestens75%
der
VLen
nachweislichbesuchtwurden
.)
•Leistu
ngssch
ein:MöchtenSie
einen
Leistungsscheinerwerben
,dannmüssen
Sie
(erfolgreich)an
der
Klausurteilneh
men
.
·L3-Studentenkönnen
zwischen
dieser,
“Großen
”Logik
undder
“Kleinen
”Logik
wählen.
·ZurKlausurmelden
Sie
sich
bitte
soan,wie
esgleichbeschrieb
enwird.
·ZurVLwerden
Tutorien
angeb
oten.
16
-
Die
Tutorien
Die
Tutorien
...beginnen
erst
abMontag,dem
30.Okt.
Näch
steW
och
eSamstag,28.10,ab12Uhr:
Bitte
rufenSie
die
Seite
dieserVer-
anstaltungim
OLAT
aufundschreiben
Sie
sich
verbindlich
ineinTutorium
Ihrer
Wahlein!
Jed
esTutorium
istfürmaxim
al20Teilnehmer
geöffnet.
Eines
der
Tutorien
am
Mittw
och
istfürLinguistenreserviert
undwirdso
angezeigt.
Diese
können
sich,fallsgew
ünscht,auch
inanderen
Tutorien
einschreiben
.
17
Die
Vorlesung
Die
Vorlesung
•...isteinschließlich
der
Tutorien
offen
füralleStudentenmit
Philosophie
imNeb
en-,Bei-,oder
Anwendungsfach;
•...istPflichtfüralleStudentender
Philosophie
imHauptfach;
•...istPflichtfüralleStudentender
Kognitiven
Linguistikim
Hauptfach.
•L3-Studentenkönnen
zwischer
dieser,
Großen
Logik
undeiner
Kleinen
Logik
(Dr.
Seitz)wählen.
Ichbin
Ihnen
dankbar,
...
•wen
nSie
pünktlichko
mmen
,
•wen
nSie
nichtvor
der
Zeitgeh
en,
•wen
nSie
nichtzw
ischen
durchden
Saalverlassen
,
•wen
nSie
Fragen
anmichrichten
undprivate
Unterhaltungen
aufspäterverschieben
.
18
Ach
tung!
Ach
tung!
Die
Vorlesunggehterst
inder
nächsten
Wocheweiter.
Morgen
,am
Mittw
och,findet
keineVorlesungstatt!
19
Die
Klausur
Die
Klausur
Term
in
Die
Klausurfindet
imFeb
ruarstatt.
AnmeldungzurKlausu
r
Sie
studierenPHIL
OSOPHIE
IMHAUPT-oderNEBENFACH
(BA
oder
MA
mod)?
Dannmelden
Sie
sich
bitte
soan,wie
[HIE
R]beschrieb
en.
Bitte
beachtenSie,daßSie
daselektronischeAnmeldeverfahrennurnutzen
können
,wennSie
zuvo
rIhrenAntragaufZulassungzu
rPrüfunggestellthaben
.(D
amitwird
sozusagen
einCP-K
onto
fürSie
eröffnet.)
20
-
Die
Klausur
Sie
studierenPHIL
OSOPHIE
FÜR
DASLEHRAM
T?
Dannneh
men
Sie
ander
PrüfungohneAnmeldungteil.Die
Ergeb
nisse
teilen
wir
Ihrem
Prüfungsamtmit.
Sie
studierenLIN
GUIS
TIK
oder
PHIL
OSOPHIE
als
ANW
ENDUNGS-oder
BEIF
ACH
oder
einFach,in
dasSie
einephilosophischeVeranstaltungeinbringen
können
?
Bitte
melden
Sie
sich
nichtbei
der
PHILPROM
an!Wenden
Sie
sich
andasfürSie
zuständigePrüfungsamtbzw
.die
StudienberatungfürIhrHauptfach.Nim
mtIhr
PrüfungsamtkeineAnmeldungen
entgegen
,schreiben
Sie
die
Klausureinfach
ohne
Anmeldungmit.Nach
der
BenotungholenSie
sich
inmeinem
Sekretariateinen
Leis-
tungsnachweis(”Schein”)ab,den
Sie
Ihrem
Prüfungsamtvo
rlegen.W
irgeben
keineNotenauto
matischanIh
rPrü
fungsa
mtweiter.
21
Die
Klausur
Rück
trittvonderKlausu
r
Jed
eran
gem
eldeteKandidatkannbis
zueinerW
och
evorder
Klausur,
d.h.bis
zum
XXX,12Uhr,
vondieserzurücktreten
.Diesgeschiehtschriftlich
(per
Email)
dort
(undnurdort!),woSie
sich
angem
eldet
haben
.Wer
aufdiese
Weise
vonder
Klausurzu
rücktritt,
kanndasModulin
einem
der
kom
men
den
Sem
esterwiederholen.
Wen
nSie
aneiner
Klausur,
fürdie
Sie
angem
eldet
sind,nichtteilneh
men
,so
giltdie
Klausurals
nichtbestanden.
22
Die
Klausur
Wiederh
olungderKlausu
r
Zum
Wiederholungstermin
(wirdnoch
bekan
ntgegeb
en)kannan
treten
,wer
den
Erst-
term
innichtwahrgen
ommen
hat,
weil
–es
eineÜberschneidungmitan
deren
Prüfungsterminen
gab(N
achweis!,Haupt-
fach
gehtin
der
Regel
vor!),oder
–er
durchKrankheitverhindertwar
(Attest!),oder
–in
der
Erstprüfungleider
keineau
sreichen
deLeistungerbrachtwurde.
Nachweise
bzw
.Atteste
schickenSie
bitte
andaszuständigePrüfungsamt(undnur
dorthin!),welches
dannüber
die
ZulassungzurNachklausurentscheidet.Unabhängig
davon
teilen
Sie
meinem
Sekrariat(Fr.
Nicolosi)bitte
mit,obSie
ander
Nachklausur
teilneh
men
möchten. V
IELVERGNÜGEN
UND
VIE
LERFOLG!
Diese
Folienfinden
Sie
inOLAT/Vorlesungsfolien
.
23
Goethe-Universität
Frankfurt
am
Main
InstitutfürPhilosophie
Logik
imW
inter2017-18
Sprachen
And
réFuh
rmann
01sprach
en171025.0943
-
ZurEinführung
ZurEinführung
Worum
gehtes
inder
Logik?
·Wasistdaszentrale
Them
a,
·die
zentrale
Frage,
um
die
alles
kreist?
“THEBEST
WAYTO
DISCOVERWHAT
LOGIC
ISABOUT”
ISSIM
PLY
BYDOING
LOGIC.”
ArthurPrior(Form
alLogic,195
5)
2
ZurEinführung
Logik
als
TheoriedesFolgern
s
Arg
umentiere
n:VonPrämissenzu
Konklusionen
übergeh
en.
Zum
Beispielso:
AnFreitagenmitprimen
Datenfälltder
Markt
Heute
istFreitag,
der
11.
11istprim
Also
Heute
fälltder
Markt
Gute
Argumente
überzeugen
,weil
•die
Prämissenwah
rsindund
•der
ÜbergangzurKonklusionzw
ingendist.
(D.h.,es
wäre
unvernünftig,die
Prämissenzu
akzeptieren
unddie
Konklusion
abzu
lehnen
.)
•Die
Prämissenprüfen...–oftnurem
pirisch
möglich.
•Den
Übergangprüfen...
Prüfen,obdie
Konklusionausden
Prämissenzw
ingendfolgt.
3
ZurEinführung
Folgeru
ngen:Zwingende(“logische”)Übergängevo
nAussagen
(Prämissen)zu
wei-
terenAussagen
(Konklusionen
).(W
orinbestehtder
Zwang?–Später.)
PRÄM
ISSEN⇒
KONKLUSIO
N
Die
zentrale
Frage:
Was
istlogisches
Schließen
(Folgern)?
Gen
auwelcheÜbergänge
vonPrämissenzu
Konklusionen
haben
die
Eigen
schaft,
einen
gültigen
Schlußdarzustellen?
4
Zwei
(?)
Theorien
des
Folgerns
Zwei
(?)Theo
rien
des
Folgerns
Semantisch
Beispiel1:
Aus
Aufdem
EiistgrüneSoße
und
GrüneSoßeen
thältÖl
folgtAufdem
EiistÖl
Den
n,wie
kön
nte
eineSituation,in
der
das
Eiin
grüner
Soßeliegtnichtzu
gleicheine
Situationsein,in
der
esin
Ölliegt–gegeb
en,daßgrüneSoßenuneinmalÖlenthält?
Der
Schlußistzw
ingen
dweilwir
wissen,wasdie
Sätzebedeutenundunsdiese
Be-
deu
tungen
etwaso
vorstellenmüssen
:
5
-
Zwei
(?)
Theorien
des
Folgerns
Schwarz:Die
Situationen
,in
den
endaeinEiliegt.
Grün:Die
Situationen,in
denen
etwasin
grüner
Soßeliegt.
Rot:
Die
Situationen
,in
den
enetwas(u.a.)
inÖlliegt.
Essiehtso
aus,
als
folgertenwir
aufgrundsemantischenW
issens(W
issenüber
Be-
deu
tungen
).Danach
müßte
eineTheoriedes
FolgernseinesemantischeTheoriesein.
6
Zwei
(?)
Theorien
des
Folgerns
Synta
ktisch
Beispiel2:
Aus
Jeder
Fechen
heimer
istFrankfurter
und
Jeder
Frankfurter
isteinEintracht-Freund
folgtJeder
Fechen
heimer
isteinEintracht-Freund
•Offenbarwieder
eingü
ltiger
Schluß(w
ennauch
kein
gutesArgument).
•W
irkönntenunsdie
Inklusionsverhältnisse
(Fechen
heimer/Frankfurter/Eintracht-
Freund)vorstellen
...oder
•folgen
des
beobachten:Wen
nBsp.2gü
ltig
ist,dannau
ch
Beispiel3:
Aus
Jeder
Abgeordneter
istgewählt
und
Jeder
Gew
ählteistdem
okratischlegitimiert
folgtJeder
Abgeordneteistdem
okratischlegitimiert
und...
7
Zwei
(?)
Theorien
des
Folgerns
Beispiel4:
Aus
Jeder
LuchsisteinHund
und
Jeder
HundisteinSäugetier
folgtJeder
LuchsisteinSäugetier
Den
njeder
Schlußder
Form
Aus
Jedes
AisteinB
und
jedes
BisteinC
folgtjedes
AisteinC
istzw
ingen
d.(U
nddaBsp.2vo
ndieserallgem
eingü
ltigen
Form
ist,
istauch
2gü
ltig.)
8
Zwei
(?)
Theorien
des
Folgerns
Wir
haben
soeb
eneinewichtigeEinsichtin
die
Naturlogisch
guter(“gü
ltiger”)
Schlüssegew
onnen
:
•WenneinSchlußgü
ltig
ist,dannistjeder
Schlußvonder
gleichen
Form
ebenso
gültig!
Daseröffnet
die
Möglichkeit
einen
“Katalog”gültiger
Schlußform
enau
fzustellen.1
Nunistaber
die
Form
eines
Argumenteseinrein
synta
ktischerAsp
ekt.
(GeeigneteMaschinen
–die
keineBed
eutungen
kennt–
können
Form
enerkennen
,oft
besserals
wir.)
Alsoreichtrein
syntaktischeInform
ationau
s,um
gültigeArgumente
erkennen
.
•Jetzt
siehtes
soaus,
als
obeineTheoriedes
FolgernskeinesemantischePerspektive
bräuchte;siekannrein
syntaktischverfahren.
1Sch
on
die
frühesten
logisch
enTheo
riesind
von
dieserArt,zB
Aristoteles’
Syllogistik.
Dazu
später
meh
rin
einem
Exkurs.
9
-
Zwei
(?)
Theorien
des
Folgerns
Verdacht:
Esscheintmindestenszw
eiTheorien
des
logischen
Folgernszu
geben
:
•Folgernau
fgrundsemantischen
Gehalts;
•Folgernau
fgrundsyntaktischer
Form
.
—Hoffen
tlichstim
men
die
beiden
Theorien
letztlichüberein!
10
Zwei
(?)
Theorien
des
Folgerns
Spra
cheals
Medium
desFolgern
s
Zwei
Aspekte
jeder
Sprache:
•“Konstruieren”:Form
,Grammatik,Synta
x.
•“Interpretieren
”:Bed
eutung,Inhalt,Semantik.
Dersy
nta
ktischeAsp
ekt
BasisEinfachsteZeichen
(Grundzeichen
),möglicherweise
verschieden
erArten
(syntaktischer
Kategorien
).
Sch
ritt
Regelnzu
rKonstruktionneu
erZeichen
ausgegeb
enen
Zeichen
.
Resu
ltatDasUniversum
möglicher
Zeichen
(der
betrachtetenSprache).
11
Zwei
(?)
Theorien
des
Folgerns
DersemantischeAsp
ekt
BasisEinfachste“O
bjekte”(B
edeu
tungen),
aufdie
sich
Zeichen
der
betra-
chtetenSprachebeziehen
können
.
Sch
ritt
Operationen
undRegelnzu
rKonstruktionneu
erObjekte
ausgegeb
enen
Objekten.
(Z.B.Bed.von“Peter”+
Bed.vo
n“gehen”>
Bed
.von“Peter
geht”.)
Resu
ltatDasUniversum
möglicher
Objekte
(aufdie
mansich
inder
betrachteten
Sprachebeziehen
kann).
Bem
erkung.
Sem
antikistalsoeineau
f-eine-Sprache-bezogen
eOntologie*–einere-
duktive
Theorieeines
Universumssolcher
Gegen
stände,
aufdie
sich
die
betrachtete
Spracheüberhauptbeziehen
kann.
*Lehre
vondem
,wases
gibt.
12
Zwei
(?)
Theorien
des
Folgerns
EinigeBeispiele
•Rauch-oder
Klopfzeichen
•Spracheder
Autofahrer(H
andzeichen
,Blinken
,Hupen
)
•Morse-Alphabet
•Ziffernsystem
e(arabisch,römisch)
•Programmiersprachen
(Lochkarten
,...,Pascal,Prolog,C,etc.)
•Schachnotation
•NatürlicheSprachen
•Teile
natürlicher
Sprachen
(zB
gesprochen
eSpracheder
Arithmetik)
“Einsum
einsverm
ehrt,ergibtzw
ei.”
•Formalisierte
Teile
natürlicher
Sprachen
(symbolischeSpracheder
Arithmetik)
“1+1=2.”
13
-
Zwei
(?)
Theorien
des
Folgerns
Ausb
lick
Wir
werden
sowoh
lsyntaktischeals
auch
semantischeTheorien
des
logischen
Folgerns
betrachten:
–Folgernaufgrundsyntaktischer
Muster;
–FolgernaufgrundvonBed
eutungszusammen
hängen.
Dannwerden
wir
zeigen
,wie
diese
beiden
Theorietypen
manchmal(d.h.im
Erfolgs-
fall)verblüffen
dexaktzusammen
passen
,d.h.im
Grundedasselbebeschreiben
:
•Die
syntaktischeunddie
semantischeTheorielogischen
Folgernszeichnet
die
glei-
chen
Schlüsseals
logisch
“gelungene”
aus.
14
Zwei
(?)
Theorien
des
Folgerns
Bevor
wir
diestun,solltenwir
unsaber
vergew
issern,wovon
wir
sprechen
(Folgernin
einer
Sprache).W
irmüssen
fragen:
•Was
istdie
Synta
xeiner
Sprache?
•W
ieläßtsich
die
Syntaxeiner
Spracheexaktan
geb
en?
Undnatürlich
•Was
istdie
Semantikeiner
Sprache?
•W
ieläßtsich
die
Sem
antikeiner
Spracheexaktangeb
en?
15
Zwei
(?)
Theorien
des
Folgerns
Die
Antw
ortenaufdiese
Fragen
werden
notw
endigerweise
soallgemeinausfallen
,wie
esder
Allgem
einheitsanspruch
der
Logik
erfordert.
(Logisches
Folgernsollja
immer
funktionieren,gleichgü
ltig
worüber
Sie
geradesprechen
.)
Achtung:“Allgem
ein”heißthiernichtnur
abstrakt
)-:,
sondernauch
einfach
(-:,
d.h.einigen
wen
igen
Bedingungen
gehorchen
d.Diese
Bed
ingungen
werden
wir
inder
Regel
rechtabstrakt
form
ulieren
—weshalb
eswichtigfürdasVerständnis
ist,sich
stetseinfacheBeispiele
vorAugen
zuhalten.
InsbesonderesolltenSie
sich
immer
klarunddeu
tlichvorAugen
führen,daß
–obwohllogischeNotationaufdem
Papierzu
nächst
frem
dartig
aussieht,
–logischeNotation(durchAbstraktion)einfach
nurStrukturenhervorheb
t,mit
den
enSie
als
Sprecher
einer
(konkreten)Spracheschonvöllig
vertrautsind.
16
Beispiel:
Ein
Hüpfspiel
Beispiel:Ein
Hüpfspiel
17
-
Beispiel:
Ein
Hüpfspiel
Zwei
Kinder,Xaver
undYara,hüpfenvo
neinem
Feldzu
einem
anderen
.Das
Spielfeldisteinzw
eifach
geteiltes
Quadrat,bestehtalso
(einfacher
als
aufdem
Photo)
ausvierTeilfeldern:
Währenddie
Kinder
hin
undher
hüpfen,schreibtsich
einJungeam
Randedes
Feldes
etwas
auf:
Xa1−
b1Yb1−
a2
Yb1−
b2Ya2−
b2
...
18
Beispiel:
Ein
Hüpfspiel
Wir
beobachten:
◦Am
AnfangstehtXaver
untenlinksundYarastehtau
fdem
Feldrechts
neb
enihm.
◦Xaver
hüpft
aufdasFeldvonYara.Daraufhin
hüpft
Yaravondiesem
Feldaufdas
Feldlinksoben
◦Der
Jungeschautzu
undnotiert:
Xa1−
b1Yb1−
a2.
Wir
verm
uten,daßer
aufschreibt,was
ergeradegesehen
hat.
Aber
woraufachteter
undin
welcher
Sprachemachter
seineNotizen?
Nach
weitererBeobachtungundetwas
Überlegungübersetzen
wir
so:
Xa1−
b1bed
eutet:
Xaver
(X)hüpft
(−)vonFelda1nach
Feldb1
–wob
eidie
Felder
durcheinKoordinatensystem
bezeichnet
werden
:
19
Beispiel:
Ein
Hüpfspiel
Xa1−
b1Yb1−
a2
/Yb1−
b2Ya2−
b2/
...
Logiker
(undeinigeLinguisten)würden
die
Syntaxder
Spracheetwaso
beschreiben
.
Basis:
Gru
ndzeichen(L
exikon)1,2,a,b,X
,Y,−
,mit
folgen
den
Sorten
Lin
(Linienzeichen)1,2
Rei
(Reihen
zeichen
)a,b
Nam
(Eigennamen)X,Y
Hüpfzeichen−
Sch
ritt:Form
ationsregeln
(Grammatik)
1.WennxeinLin
undyeinRei
ist,dannistxyeinFeldzeichen
(Pos).
2.WennxundyPossind,dannistx−
yeinHandlungszeichen
.
3.WennxeinHandlungszeichen
ist,dannsindXxundYxSätze.
20
Beispiel:
Ein
Hüpfspiel
Soistdie
Hüpfspielnotationvollständig
&richtigbeschrieb
en.D.h.wen
nwed
erwir
noch
der
Jungesich
irren,dann
•entsprichtalles,was
der
Jungehinschreibt,
diesenRegeln,und
•die
Regelngenerierenalle
Ausdrücke,
welcheder
Jungejemals
hinschreiben
könnte.
Niemandverw
endet
tatsächlich
einesolcheNotation.Aber
jelänger
die
Hüpfsequen
zensind,die
manaufzeichnen
oder
jeko
mplizierterdie
Spielregelnsind,
die
manangeb
enmöchte,um
sonützlicher
wirdeinesolcheNotation!
DasnächsteBeispielführt
einesehrnützliche“Hüpfnotation”vo
r...
21
-
Beispiel:
Syn
taxder
Sch
ach
notation
Beispiel:Syn
taxder
Sch
ach
notation
22
Beispiel:
Syn
taxder
Sch
ach
notation
23
Beispiel:
Syn
taxder
Sch
ach
notation
Schachpartienbestehen
oft
auslangen
Zugsequen
zen.Die
Regelnsinddeu
tlichko
m-
plizierterals
bei
den
meisten
Hüpfspielen.Dalohntes,sich
eineeigen
eNotation
auszuden
ken.
Hieristeintypischer
Partieanfangin
einer
solchen
Notation:
1.Bd2–
d4Sg1
–f3
2.Bc2–c4Be7–e6
3.Lc1–g
5Lf1–e7
4.Sb1–
c3usw
.
Wie
die
Hüpfnotation,so
istdie
Schachnotationnichts
anderes
als
einekleineSprache
–im
Prinzipnichtan
dersals
jedean
dereSprache.
Beobachtungen:
·FortlaufendnummerierteZeilen:Eskommtoff
enbaraufdie
Reihen
folgean
.
·Jed
eZeile
istvo
nder
Form
n.B
1,B
2.
·Jed
esB
iistvonder
Form
FP1−P2.
·Jed
esPiistvonder
Form
Kleinbuchstabe
Ẑahl.
24
Beispiel:
Syn
taxder
Sch
ach
notation
Wen
nwir
unsden
Fortgangder
Partieansehen
,dannstellenwir
fest,daßes
offenbar
vierArten
vonGrundzeichen
(Lexikon)gibt:
Basis: Linienzeichen
(Lin)a,
b,c,
d,e,
f,g,
h
Reihen
zeichen
(Rei)1,
2,3,
4,5,
6,7,
8
Figurenzeichen
(Fig)(B
),S,L,T,D,K
das“Hüpfzeichen
”−
Sch
ritt
(Grammatik):
Die
Grundzeichen
können
kombiniert
werden
zuweiteren
wichtigen
Zeichen
gruppen
:
Positionen
(Pos):
Wen
nm∈Lin
undn∈Rei,dannmn∈Pos
(zB
d1).
Aktionen
(Akt):Wen
np∈Pos,dann−p∈Akt(zB−d3).
Agenten(A
g):
Wen
nF∈Fig
undp∈Pos,dannFp∈Ag(zB
Dd1).
Zug(Z
g):
Wen
nx∈Agundy∈Akt,dannxy∈Zg(zB
Dd1-d3).
(Konvention:W
irkönnen
vereinbaren,dasFigurenzeichen
B(fürBauer)nichthinzu
-schreiben
.)
25
-
Beispiel:
Syn
taxder
Sch
ach
notation
Schließlich
können
wir
die
syntaktischen
Kategorien
defi
nieren,au
fdie
esunsletztlich
ankommt:
WasisteinZugpaar?—
Ein
ZugpaaristeinPaarvo
naufeinanderfolgenden
Zügen.
Was
isteinePartie?—
EinePartieisteine(endliche)
FolgevonZugpaaren.
DreiBeobachtungen.
1.Aufder
Basisdes
Lexikonsvo
nGrundzeichen
gen
eriert
diese
Grammatikalle
Zeilen(Züge)
unseresBeispiels
–undviele
weitere.
2.DasZeichen
S(fürSpringer),beispielsweise,bestimmt,fürsich
betrachtet,
keine
bestimmte
Figuraufdem
Brett.Esgibt(anfangs)
vierSpringer,zw
eiweiße
undzw
eischwarze.
(Dasistandersals
bei
der
Hüpfnotation,woX
undY
ein-
deu
tig“Figuren”bezeichnen
.)Deshalb
müssen
wir
immer
ausdrücken
können
,um
welchen
Ses
sich
handelnsoll.Dastunwir,indem
wir
dasFelddes
Springers
angeb
en(unterder
Annahme–wieder
andersals
imHüpfspiel!
–,daßkeinezw
eiFigurensich
einFeldteilen
können
!).
26
Beispiel:
Syn
taxder
Sch
ach
notation
3.Die
syntaktischeAnalyse
lehntsich
hierandie
umgangssprachlicheParaphrase
an.Sg1−
f3istin
etwa2kurz
für
Springeraufg1ziehtnach
f3.
NADJ
VADV
NP
VP
(=Ag)
(=Akt)
Die
syntaktischeAnalyse
eines
Zugskönnen
wir
als
einen
Baum
darstellen
:
Zug
/Agen
t/
Fig
∖ Pos /Linie
∖Reihe
∖Aktion
/ −∖ Pos /
Linie
∖Reihe
2Die
Sach
eisteinwen
igkomplizierter,
daSwie
wie
einPrädikatfunktioniert
undSf3
einesoge-
nannte
Ken
nzeichnungist.
Davonsp
ätermeh
r.
27
Beispiel:
Syn
taxder
Sch
ach
notation
Alsoz.B.:
Sf3−
d4
/Sf3
/ S∖ f3 / f
∖ 3
∖ −d4 / −∖ d4 / d
∖ 4Tatsächlich
istdie
Darstellungeines
Ausdrucksals
Baum
indem
·alleKnotenregelgerechterzeugtsindund
·alleBlätter
ausdem
Lexikonstammen
einBew
eisdafür,
daßder
Ausdruck
“gut”
ist!
Syntaxistim
KernBaumkonstruktion.
Manchesagen,daßdasauch
fürdie
Logik
gilt:
“LOGIC
ISAT
ROOTSALLABOUT
TREES.”
(RaymondSmullya
n)
28
Beispiel:
Syn
taxder
Sch
ach
notation
DENKPAUSE:
Zeichnen
Sie
den
Konstruktionsbaum
fürLc1–g
5!
Hiernoch
einmaldie
Vorlage:
Zug
/Agen
t/
Fig
∖ Pos /Linie
∖Reihe
∖Aktion
/ −∖ Pos /
Linie
∖Reihe
29
-
Beispiel:
Syn
taxder
Sch
ach
notation
Die
wichtigstePunkte
•Prämissen,Konklusion,logisches
Folgern
•Syntax:Form
eines
Ausdrucks
•Sem
antik:Bed
eutungeines
Ausdrucks
•Syntaktischer
Aufbaueiner
Sprache
Basis:
Grundbausteine(L
exikon)
Regelnder
Zusammen
setzung(G
rammatik)
•Zusammen
setzungals
Baum
dargestellt(K
noten,Blätter)
30
Beispiel:
Syn
taxundSem
antikdes
Zeh
nersystem
s
Beispiel:Syn
taxundSem
antikdes
Zeh
nersystem
s
Synta
x
•Grundzeichen
(Ziffern):
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
•Idee:Jed
eVerkn
üpfungvonZiffernisteinZahlzeichen
.
Definition1.EsseiZ0={1
,2,3,4,5,6,7,8,9,0}die
Men
geder
Grundzahlzeichen
.Dannsolldie
MengeZ
der
Zahlzeichen
die
folgenden
Bedingungen
erfüllen
:FüralleZeichen
xundy,
1.wennx∈Z0,dannx∈Z;
2.wennx∈Z
undy∈Z,dannxy∈Z;
3.Z
istdie
kleinsteMen
ge,
welchedie
Bed
ingungen
1–2erfüllt.
(Konvention:Zahlzeichen
der
Form
0xschreiben
wir
sohin:x.Diese
Konvention
dürfen
Sie
beliebig
oft
anwenden!Also:0020→
020→
20,oder
auch
000→
00→
0.)
Über
Mengen
unddasZeichen∈
(lies:
istin)erfahrenSie
bald
meh
r.
31
Beispiel:
Syn
taxundSem
antikdes
Zeh
nersystem
s
Manbeachte
...
(a)den
Unterschiedzw
ischen
Konstanten,0,1,2,...,undVariablen
,xundy;
(b)die
Bindungder
Variablendurchdie
Wendung“fürallex...”
(“Quantor”
genannt);
(c)die
abschließen
deBedingung3:“...die
kleinsteMen
ge,
welche...”
Ad(a)(K
onstantenundVariablen
).Den
Unterschiedzw
ischen
Konstantenund(verschieden
enArten
von)Variablen
exakt
zuerklärenistnichtso
ganzeinfach.W
ireignen
unshierden
Unterschieddurchintu-
itiven
Gebrauch
an.(A
ugustinus:
“WasistZeit?
Solangeniemanddanach
fragt,
weiß
iches.”)
Idee:Konstantenbezeichnen
fest
bestimmte
Gegen
stände;
Variablenbezeichnen
unbestimmtbeliebigeGegen
stände(m
eist
einer
bestimmtenArt).
EineKonstante
ist
wie
einreservierter
Sitz;
aufeineVariable
kannsich
jeder
setzen
.W
ichtigistjedoch,
... 32
Beispiel:
Syn
taxundSem
antikdes
Zeh
nersystem
s
Ad(b)(V
ariablen
bindung).
...daßim
mer
deu
tlichist,wie
der
Geb
rauch
vonVariablenzu
verstehen
sei.
Für
einen
Ausdruck
wie
wen
nx∈Z0,dannx∈Z
istdasnichtso
ohneweiteresklar.
Was
füreinx??
Sprechen
wir
hier
·über
alles,wofürxsteh
enkönnte,d.h.über
allex,
·über
höchsten
soder
mindestenseinx,
·über
die
meisten
x,oder
·über
einbestimmtesx,daswir
zuvo
rschonerwähnthaben??
Manvergleiche
x+
y=
y+
x
ineinem
Arithmetik-Leh
rbuch.Hierden
kenwir
unsim
mer
gleich
diejenigeVariablen-
Bindunghinzu
,welchedie
Allgem
einheitau
sdrückt:
fürallexundy...(D
ieserKon-
ventionwerden
wir
unsim
folgen
den
oftbed
ienen
.)W
ieauch
immer,obexplizitoder
durchKonvention,die
Verwen
dungvonVariablenohneAngabeihrerBindung(durch
einen
“Quantor”)ergibtkeinesinnvolleAussage.
33
-
Beispiel:
Syn
taxundSem
antikdes
Zeh
nersystem
s
Ad(c).
(“die
kleinsteMen
ge,welche...”)
Die
Abschlußklausel3istwichtig,den
nalleindurch
1.wennx∈Z0,dannx∈Z,und
2.wennx∈Z
undy∈Z,dannxy∈Z,
wirdkeinebestimmte
Men
gedefi
niert.
Anmerkung.Das
war
übrigensau
chschonso
bei
den
Defi
nitionen
vonPosition,
Aktion,Zug,etc.
bei
der
Hüpf-undder
Schachnotation.Stren
ggenommen
,hätten
wir
auch
dahinzu
fügen
müssen
:Die
Mengeder
Positionen
etc.
ist,die
kleinsteMen
ge,
welche...
DENKPAUSE:
Warum
nicht?
·Finden
Sie
zunächst
zwei
Mengen,die
1–2erfüllen
!
·Überlegen
Sie
sich
sodann,warum
esunen
dlich
viele
Men
gen
gibt,welchedie
Bedingungen
erfüllen
!
34
Beispiel:
Syn
taxundSem
antikdes
Zeh
nersystem
s
Alleindurch
1.wennx∈Z0,dannx∈Z,und
2.wennx∈Z
undy∈Z,dannxy∈Z,
wirdalsokeinebestimmte
Men
gedefi
niert.
(Wir
können
die
Men
geder
Zahlzeichen
beliebig
mit“Fremdlingen
”anreichern,oh
ne
1oder
2zu
verletzen.)
Aber
woh
erwissenwir
den
n,daßdurchdie
weitere
Bed
ingung,
3.Z
istdie
kleinsteMen
ge,
welchedie
Bed
ingungen
1–2erfüllt,
genaueineMengebestimmtwird?Könnte
esnichtsein,daßwir
einPhantom
definiert
haben,daßdie
Definitionwitzlos,
weilleer
oder
garwidersprüchlich
ist?
(Vgl.
“Sei
Maxdie
größte
natürlicheZahl...”)
Hiergiltes
Überzeugungsarbeitzu
leisten,d.h.einen
Bew
eiszu
liefern...
35
Beispiel:
Syn
taxundSem
antikdes
Zeh
nersystem
s
Bed
ingung3der
Defi
nitionfordert:
•Die
Men
geder
Zahlen,Z,seidie
kleinsteMenge,
welchedie
Bedingungen
1–2
erfüllt.
Damithierüberhauptetwas
definiert
wird,setzen
wir
offenbarzw
eierleivo
raus:
(a)EsgibtmindestenseineMen
ge,
welchedie
Bed
ingungen
erfüllt;und
(b)Esgibthöchsten
seinekleinsteMenge,
welchedie
Bed
ingungen
erfüllt.
Dassiehtschrecklich
subtilaus,
istab
ereigentlichganzeinfach.
(a)(...
mindestens...)
isttrivial:
Wir
bauen
einfach
ausden
Zifferndurch
VerknüpfungeineMen
geau
f.(D
akönnen
wir
dannauch
noch
Fremdlingehinein-
stecken
–HauptsacheBedingungen
1und2sinderfüllt.)
36
Beispiel:
Syn
taxundSem
antikdes
Zeh
nersystem
s
Um
(b)(...
höchsten
...)
zubew
eisen,wagen
wir
einmaleineHypothese:
(1)Sei
Fdie
Familie
aller
Men
gen
,die
die
Bed
ingungen
1.wennx∈Z0,dannx∈Z,und
2.wennx∈Z
undy∈Z,dannxy∈Z,
erfüllen
(alsoauch
solchemitFremdlingen
neb
enden
Zahlzeichen
.)
(2)Sei
M=
⋂ F,der
Schnittvo
nF
(=der
gemeinsameKernallerMen
gen
inF.)
(3)Beobachtung:M
selbst
erfülltdie
Bedingungen
1–2.(Ü
bung!)
Hypothese:
Mistdie
kleinsteMen
ge,
welchedie
Bed
ingungen
erfüllt.
(4)Angen
ommen
,die
Hypotheseistfalsch.Danngäbees
eineMen
geN∈F,welche
inM
echtenthalten
ist(N
⊂M
).
(5)Danngäbees
also
einx∈
M,welches
nichtin
Nist.
Aber
xwäre
dannin
allen
Men
gen
inF
enthalten
,alsoauch
inN
–W
iderspruch.
(6)Alsokanndie
Hypothesenichtfalsch
sein.M
=⋂ F
isttatsächlich
die
kleinste
Menge,
welchedie
Bedingungen
1–2erfüllt.
QED
—quod
eratdem
onstrandum.
InBildern...
37
-
Beispiel:
Syn
taxundSem
antikdes
Zeh
nersystem
s
38
Beispiel:
Syn
taxundSem
antikdes
Zeh
nersystem
s
39
Beispiel:
Syn
taxundSem
antikdes
Zeh
nersystem
s
40
Beispiel:
Syn
taxundSem
antikdes
Zeh
nersystem
s
41
-
Beispiel:
Syn
taxundSem
antikdes
Zeh
nersystem
s
DreiBem
erkungen
1.DasisteinBew
eisdurchre
ductioadabsu
rdum
(=Rückführungaufetwas
Unmögliches):
Wir
neh
men
dasGegenteilvon
dem
an,waswir
bew
eisenwollen(Z
iel),undzeigen
,daßunsdannsichereZusatzannahmen
ineinen
Widerspruch
verstricken.Schem
a-
tisch:
Zielfalsch
(?)
(sichere)
Zusatzannahmen
· · ·W
iderspruch
Ziel(!)
42
Beispiel:
Syn
taxundSem
antikdes
Zeh
nersystem
s
2.W
irsagten
“EsseiM
der
Schnittaller
Men
gen
inF”
Offenbarsetzen
wir
hierdie
Existen
zundEinzigkeitdes
Schnitteseiner
(nichtleeren)
Men
genfamilie
voraus.
AlleArgumente
beruhen
eben
immer
aufgew
issenVoraus-
setzungen
.Die
hierbem
ühtenVoraussetzu
ngen
sindTeilder
Men
genlehre.Diese
könntenwir
hinterfragen
.Dannwäre
unserGegen
standnichtlänger
Logik
(bisher
eigentlich:abstrakte
Syntax),sondernMen
gen
lehre.Auch
interessant...
Allgem
eingilt:Wen
nim
mer
wir
etwas
untersuchen
,dannbed
ienen
wir
unsth
eo-
retischerM
ittel,die
damitselbst
nichtautomatischzu
mUntersuchungsgegen
stand
werden
müssen
(undes
imselben
Atemzu
gauch
garnichtwerden
können
).In
der
Logik
istdie
sogen
annte
naiveMen
gen
lehre
norm
alerw
eise
einsolches
Mittel,nicht
Gegen
standder
Untersuchung.
43
Beispiel:
Syn
taxundSem
antikdes
Zeh
nersystem
s
3.Ein
wen
igM
engenlehre
brauchtmanoffenbar,
um
schonsehreinfacheFra-
gen
bezüglich
der
Syntaxsehreinfacher
Sprachen
klarunddeu
tlichbeantw
ortenzu
können
.Men
gen
lehre
isteinechtesElemen
tarhandwerkszeug—
auch
fürPhilosophen
!Dasmüssen
wir
unsalsoeinmaletwas
genauer
ansehen
...
44
Goethe-Universität
Frankfurt
am
Main
InstitutfürPhilosophie
Logik
imW
inter2017-18
Mengen
And
réFuh
rmann
02men
gen
171107.1158
-
Elemen
tareszu
elem
entarenGrundbeg
riffen
Elemen
tareszu
elem
entarenGrundbeg
riffen
Mengen
HiersindeinigeObjekte
(“Elemente”): ♣♦♥♠
(1)
Diese
Objekte
können
wir
zueinem
neu
enObjektzu
sammen
fassen
.EineArt
der
Zusammenfassung,nennen
wir
Menge:
{♣,♦,♥,♠}
(2)
Wir
haben
hierdie
Elemente
einfach
explizitangegeb
en.Aber
dieselbeMengekönnen
wir
auch
durcheineBeschreibungangeb
en;z.B.so:
{x:xisteineSpielkartenfarbe}
(3)
Zwei
Mengesindgleich,wen
nsiedieselben
Objekte
enthalten
.1
1KeineEntitätohneIden
tität!
2
Elemen
tareszu
elem
entarenGrundbeg
riffen
Men
gen
fassen
Objekte
zueinem
neu
enObjektzu
sammen
.Wen
n
M={♣
,♦}undN
={♥
,♠},
DannsindM
undN
Objekte,die
wir
eben
fallszu
einer
Men
gezu
sammen
fassen
können
:L={M
,N},
d.h.L={{♣,♦},{♥
,♠}}
.
Hieristdie
Men
geA,die
nurau
sdem
Objekt♠
besteht:
A={♠}
Undhieristdie
Men
geB,die
nurau
sder
Men
geA
besteht:
B={A}={{♠}}
DasObjekt♠
istnichtdasselbeObjektwie
die
Men
geA.Daher
sindauch
AundB
verschieden
eObjekte
(Men
gen
):
♠�={♠}�={{♠}}
!
Oder,wie
einKommilitoneeinmaltreff
endbem
erkte:Ein
Sack
istkeineBanane,
und
alsoisteinSack,in
dem
eineBananeist,auch
keinSack,in
dem
einSack
miteiner
Bananeist...
3
Elemen
tareszu
elem
entarenGrundbeg
riffen
{B}�=
B
{{B}}�={B}
4
Elemen
tareszu
elem
entarenGrundbeg
riffen
Wir
können
die
vierObjekte
auch
anderszu
einem
neu
enObjektzu
sammen
fassen
;z.B.zu
einer
Folge:
〈♣,♦,♥,♠〉
(4)
BeachtenSie
die
spitzenKlammern!(M
anchmalbenutzen
wir
aber
auch
rundeKlam-
mernfürFolgen
.Jenach
Lust
undLaune–niemals
jedoch
geschweifteKlammern:
die
sindfürMen
gen
reserviert.)
(4)istnichtdieselbeFolgewie
z.B.
〈♦,♥,♠,♣〉
(5)
Mit(5)können
Sie
zBdie
Reihen
folgeder
Wertigkeitder
Karten
richtigangeb
en;mit
(4)nicht.
(4)istauch
nichtdieselbeFolgewie 〈♣
,♦,♦,♥,♠〉
(6)
(6)könnte
zBdie
Reihenfolgeder
Karten
aufIhrerHandsein:Sie
haben
zwei
Karos.
Daswäre
danneinean
dereHandalsdie
in(4)dargestellte.
5
-
Elemen
tareszu
elem
entarenGrundbeg
riffen
Allgem
einsagen
wir,daßzw
eiFolgen
S=
(s1,s
2,...,s
n)undT
=(t
1,t
2,...,t
m)
gleich
sind,wen
nsiedieselben
Objekte
aufdieselbeWeise
anordnen
,also
s 1=
t 1,s 2
=t 2,...,s n
=t m
.
(Natürlichkönnen
auch
Mengen
Elemente
vonFolgen
sein.)
Men
gen
unterscheiden
also
gröber
als
Folgen:
{♣,♦}={♦
,♣}={♦
,♦,♣}
〈♣,♦〉�=
〈♦,♣〉�=
〈♦,♦
,♣〉
Men
gen
sindim
Gegensatz
zuFolgen
kommutativ(linke
Gleichung)undidem
potent
(rechte
Gleichung).
6
Elemen
tareszu
elem
entarenGrundbeg
riffen
Elementb
eziehung,Enth
altensein
WennxeinElementder
MengeM
ist,dannschreiben
wir
x∈M
undlesen:
xistin
M.
AlsozB
:♣∈{♣
,♦,♥}
♦∈{♣
,♦,♥}
♥∈{♣
,♦,♥}
Wir
sagen
auch
manchmalxseiin
M“enthalten
”.Aber
eigentlichwollen
wir
die
Red
evom
Enthalten
sein
füreinVerhältnis
zwischen
zwei
Men
genundnichtfüreines
zwischen
Men
genundihrenElemen
tenreservieren.
7
Elemen
tareszu
elem
entarenGrundbeg
riffen
Wen
njedes
Elementin
Mzu
gleichauch
inN
ist,dannsagen
wir,daßM
inN
ent-
haltenistoder
daßM
einTeiloder
eineTeilmengevonN
ist.
Dasschreiben
wir
so:
M⊆
N.
Daßalles,
was
inM
ist,auch
inN
ist,schließtnatürlichau
chden
Grenzfallein,daß
MundN
gleichsind.DiesenFallschließen
wir
aus,
wen
nwir
sagen
,daßM
inN
ech
tenth
altenist.
Dasschreiben
unddefinierenwir
so:
M⊂
Ngdw
M⊆
NundM�=
N
HiersindeinigeBeispiele:
{♥,♠}⊆{♦
,♠,♥}
{♦,♠
,♥}⊇{♥
,♠}
{♠,♥}⊂{♦
,♠,♥}
{♦,♠
,♥}⊃{♥
,♠}
♠∈{♦
,♠,♥}
{♠}⊆{♦
,♠,♥}
{♦,♠
,♥}⊆{♦
,♠,♥}
Die
ersten
zwei
Beispiele
zeigen
,daßSie
dasSymbol
auch
einfach
umdrehen
können
.Sie
beh
auptendanndie
Inklusionin
umgedrehterRichtung–istja
klar.
8
Elemen
tareszu
elem
entarenGrundbeg
riffen
DENKPAUSE:
Welcheder
dreiMen
gen
istdie
kleinste?
a={♦}
b={♣
,♦}
c={♦
,♠}?
(Antw
ort)
Warum?
9
-
Elemen
tareszu
elem
entarenGrundbeg
riffen
Die
“Grö
ße”vonM
engen
Erste
Frage:Welcheder
dreiMen
gen
istdie
kleinste?
a={♦}
b={♣
,♦}
c={♦
,♠}?
Natürlicha.Warum?—
Zwei
möglicheAntw
orten:
•Weilawen
iger
Elemen
tehatalsbundc.
•Weilain
bundin
cechten
thalten
ist.
Zweite
Frage:Welcheder
dreiMengen
istdie
größte?
n={x
:xisteinenatürlicheZahl}
g={x
:xisteinegeradenatürlicheZahl}
p={x
:xisteinePrimzahl}?
Natürlich(?)n.Warum?
10
Elemen
tareszu
elem
entarenGrundbeg
riffen
—Zwei
möglicheAntw
orten
:
•WeilnmehrElemen
tehatalsgundp.
•Weilgundpin
nechten
thalten
sind.
Die
ersteAntw
ort
wäre
jetztfalsch!–AlledreiMen
gen
sind,was
die
Anzahlder
Ele-
mente
betrifft,
gleich
groß!
n:
01
23
45
67
...
g:
02
46
810
1214
...
p:
23
57
1113
1719
...
•AlledreiMengen
haben
unendlich
viele
Elemente.
•Die
Elemente
können
Sie
abzählen:“D
asistdie
erstenatürliche/gerade/prime
Zahl;dasistdie
zweite
...;dasistdie
dritte....”
•Die
dreiMengensindalso
abzählbarunendlich
.
11
Elemen
tareszu
elem
entarenGrundbeg
riffen
Frage:Gleichviele
natürliche,
geradeundprimeZahlen?W
iekanndassein?Nur
die
Hälfte
der
natürlichen
Zahlensinddoch
gerade,
undnoch
wen
iger
sindprim!W
iekönnen
dadie
dreiMen
gen
gleichgroßsein?
Antwort:Naja,wen
nwir
über
endlicheMengen
sprächen,dannhätten
Sie
recht.
Aber
mitunen
dlichen
Mengen
verhältes
sich
anders.
•Eineunen
dlicheMen
geN
kanndurchauseineechte
Teilm
engeM
haben
,die
genügen
dviele
Elemente
enthält,um
jedem
Elementin
der
Obermen
geN
eines
aus
Mandie
Seite
zustellen.Wen
ndiese
Art
vollständiger
undeindeu
tiger
Paarung
möglich
ist,dannsinddie
beiden
Mengen
gleichgroß.
•Gen
audaswollenwir
unter“gleichgroß”verstehen
:
Mengen
sindgenaudanngleichgro
ß,wen
nzw
ischen
ihnen
eine1:1-Paarung
möglich
ist.
12
Elemen
tareszu
elem
entarenGrundbeg
riffen
DaßunendlicheMengen
gleichgroßeechte
Teilm
engen
haben,kannmangeradezuals
die
wesentlicheEigen
schaft
unen
dlicher
Men
gen
ansehen
(Ded
ekind):
•EineMen
geistunendlich
gdw
siegleich
große(im
1:1-Sinn)echte
Teilm
engen
enthält.
Merke:Wen
nnichtandersangegeb
en,dannistbei
Wen
dungen
wie
“Mistdie
kleinste/größte
Mengeso,daß...”
immer
aneinen
Vergleichder
relevantenMen
gen
imSinneder
Inklusionsverhältnisse,
nichtder
Mächtigkeit(=
Anzahlder
Elemente)ged
acht.
•“M
istkleiner
als
N”:(m
eist)M
istin
Nenthalten
.
•“M
istkleiner
als
N”:(seltener)M
enthältwen
iger
Elemente
als
N.
13
-
Elemen
tareszu
elem
entarenGrundbeg
riffen
Relationen
Betrachtenwir
noch
einmaldie
natürlichen
,die
geraden
unddie
primen
Zahlen:
n:
0,1,
2,
3,4,
5,
6,7,
...
g:
0,
2,4,
6,8,
10,
12,
14,
...
p:
2,
3,5,
7,11
,13
,17,
19,
...
Wen
nwir
diese
“Matrix”senkrechtlesen,dannkönnen
wir
zBbeobachten,daß0
über
0undauch
über
2steht,so
wie
5über
10undauch
über
13steht.
Wir
stellen
hiereineim
mer
wiederkehrendeBeziehung,die
Relation
xsteht(unmittelbar)
über
y,kürzer
xRy(oder
Rxy)
fest.Diese
Relationpaart
Zahlenin
einer
bestim
mtenReihen
folge.
Also
0mit
0,0mit
2(nicht2mit0!),1mit2(nicht2mit
1!),2mit3(...!)
usw
.
MaW
eineRelationisteigentlichnichts
anderes
als
eineM
engevonPaare
n.Und
Paare
sindnatürlichFolgen,die
ausnurzw
eiGlied
ernbestehen
.Also
R={〈0,0〉,〈0,2〉,〈1,2〉,〈2,3〉,〈2,4〉,〈4,5〉,...}
14
Elemen
tareszu
elem
entarenGrundbeg
riffen
Diese
Men
geR
vonPaarenkönntenwir
auch
sobeschreiben:
R={〈x,y〉:
xsteht(unmittelbar)
über
y}
(Bitte
störenSie
sich
nichtdaran,daßwir
den
Buchstaben
Rsowoh
lverw
enden
,um
anzu
deu
ten,daßzw
eiElemente
inder
Relationzu
einander
steh
en—
0R2oder
R02
—alsauch,um
die
Men
geallersolchen
Paare
zubezeichnen
—R
={...}.)
Daswarnuneinezw
eistelligeRelation;Rxy.Natürlichgibtes
auch
dreistellige,
vier-
stellige,
usw
.Relationen
.
HieristeinBeispielfüreinedre
istelligeRelation:
S={〈x,y,z〉:
xsteht(unmittelbar)
über
y,undysteht(unmittelbar)
über
z}
Alsoin
unserem
Beispiel
n:
0,1,
2,3,
4,5,
6,7,
...
g:
0,
2,4,
6,8,
10,
12,
14,
...
p:
2,
3,5,
7,11
,13
,17
,19
,. ..
haben
wir
S={〈0,0,2〉,〈1,2,3〉,〈2,4,5〉,〈3,6,7〉,〈4,8,11〉,〈5,10,13〉,...}
15
Elemen
tareszu
elem
entarenGrundbeg
riffen
Ganzallgem
einbetrachtet,sindRelationen
alsonichts
als
MengenvonFolgen:
{〈−〉,〈−〉,...,〈−〉,〈−〉}.
DENKPAUSE:
Defi
nierenSie
die
dreistelligeRelation
S={〈x,y,z〉:
xstehtunmittelbarüber
y,undystehtunmittelbarüber
z}
mitHilfe
der
zweistelligen
Relation
U={〈x,y〉:
xstehtunmittelbaruntery}.
Also
Sxyzgdw
...;oder
S={〈xyz〉:
...}
16
Elemen
tareszu
elem
entarenGrundbeg
riffen
[Antw
ort:
Sxyzgdw
UzyundUyx,bzw
.S={〈xyz〉:
UzyundUyx}.]
Funktionen
Bestimmte
(zweistellige)
Relationen
verdienen
besondereBeachtung.Dassindsolche
Relationen
,die
ihre
linke
Koordinate
immer
mitgenaueiner
rechtenKoordinaten
paaren.Eineso
“eindeu
tige”
RelationR
erfülltdie
Bed
ingung
(Fun)
wen
nRxyundRxz,danny=
z
Die
Bed
ingungschließtfolgen
des
Bildaus:
17
-
Elemen
tareszu
elem
entarenGrundbeg
riffen
(Fun)
wen
nRxyundRxz,danny=
z
Wen
nwir
zBmitder
RelationU,“xstehtunmittelbaruntery”,die
geraden
(x)und
die
natürlichen
(y)in
Beziehungsetzen
,dannstellenwir
fest,daßU
die
Bed
ingung
(Fun)erfüllt.
Die
RelationU
bildet
die
geraden
Zahlenaufdie
natürlichen
Zahlenab
;d.h.siegibtjeder
geraden
Zahlxgenaueinenatürlicheyandie
Hand.(Indiesem
SinnezähltU
die
geraden
Zahlenab,sieindiziert
siemit
den
natürlichen
Zahlen–
beginnen
dmit0.)
•SolcheeindeutigabbildendenRelationen
nenntmanFunktionenoder
einfach
Abbildungen.
•EineFunktionistim
mer
darstellbarals
eineMengevonPaaren,welchedie
o.g.Be-
dingung(Fun)erfüllt.
18
Elemen
tareszu
elem
entarenGrundbeg
riffen
EineFunktionfbildet
Arg
umente
auseiner
Men
geA
(zB
die
geraden
Z.)in
Werte
auseiner
möglicherweise
anderen
MengeB
(zB
die
nat.
Z.)ab
.Dasdeu
tenwir
soan:
f:A−→
B.
Weitere
Beispiele
vonFunktionen
:
(1)
u:Mengeder
Anko
mmenden
−→{E
U,n
EU}.
Bildet
jeden
Anko
mmen
den
xaufdie
Eigenschaft
EU-B
ürger
oder
nichtEU-B
ürger
zusein
ab(zB
bei
der
Paßko
ntrolleam
Flughafen).
Oder
(2)
v:Mengeder
Medaillen−→
Men
geder
Teilneh
mer
amWettbew
erb.
FürjedeMed
aille
mbesagtv(m
)=
N.N
.,daß
mvonN.N
.gew
onnen
wurde.
Oder
(3)
w:Men
geder
Kleinbuchstaben
−→Mengeder
Großbuchstaben.
D.h.,w(a)=
A,w(b)=
B,w(c)=
C,u.s.w
.(ohne‘ß’).
Diese
Beispiele
illustrieren
(unternorm
alenAnnahmen
)dreiTypen
von
Funktionen
... 19
Elemen
tareszu
elem
entarenGrundbeg
riffen
Esseif:A−→
BeineFunktion(m
itArgumentbereich
AundWertebereich
B).
•fis
surjektivgdw:
Fürallebin
Bgibtes
einain
Aso,daßf(a)=
b.(Jed
esElementin
BistWerteines
Elementesin
Aunterf;B
kannausA
unterf
erzeugtwerden
.)
•fistinjektivgdw:
Füralleaunda′in
A:Wenna�=
a′ ,dannf(a)�=
f(a
′ ).
(Distinkte
Argumente
erhalten
unterfdistinkte
Werte;fallsb=
f(a),dannläßt
sich
beindeu
tigunterfnach
Azurückverfolgen
.)
•fistbijektivgdw:
fistsurjektivundinjektiv.
(Jed
esElementin
BistWertunterfgenaueines
Argumentesin
A;die
Zuordnung
istin
beideRichtungen
eindeu
tig(“ein-eindeu
tig”).)
(Funktionen
solcher
Art
nen
nen
wir
auch
Surjektionen
,Injektionen
bzw
.Bijektionen
.)
20
Elemen
tareszu
elem
entarenGrundbeg
riffen
21
-
Elemen
tareszu
elem
entarenGrundbeg
riffen
Wen
neineFunktionf:A−→
Bbijektivist,
danngibtes
eineFunktiong:B−→
Aderart,daß(fürallea∈A,b∈B) g(b)=
agdw
f(a)=
b
(undumgekeh
rt).
D.h.gkehrt
fum,weshalb
gauch
die
Umkehrfunktionvonf
gen
anntundmitf−1notiertwird.
22
Elemen
tareszu
elem
entarenGrundbeg
riffen
Schreiben
wir
ffürdie
Funktion,welchedie
geraden
Zahlenau
fdie
natürlichen
ab-
bildet
(die
geraden
Zahlen“abzählt”),dannsiehtdasso
aus:
f(0)=
0f(2)=
1f(4)=
2f(6)=
3f(8)=
4usw
.
ImBild(f
vonuntennach
oben):
Offen
sichtlichistfinjektivundsurjektiv,alsobijektiv(ein-eindeu
tig).
Die
Umkehrungvon
f(hier:
vonob
ennachunten)gibtzu
jeder
Positionin
der
Abzählungdie
dazu
gehörigegeradeZahlan.
23
Elemen
tareszu
elem
entarenGrundbeg
riffen
...undum
noch
einmaldara
ufzurü
ckzukommen:
n=
{0,
1,2,
3,4,
5,6,
7,...}
g=
{2,
4,6,
8,10
,12
,14,
16,
...}
p=
{3,
5,7,
11,
13,
17,
19,
23,
...}
Wan
nzw
eiMen
gen
die
gleicheAnzahlvonElementenenthalten
,d.h.gleichgroß
(“mächtig”)sind,können
wir
jetztau
chso
beschreiben
:
•Zwei
Mengen
sindgenaudanngleichmäch
tig,wen
nes
einebijektive(=
injektive
undsurjektive)Abbildung)zw
ischen
ihnen
gibt.
Offensichtlichgibtes
zwischen
NundbestimmtenTeilm
engen
vonN
(wie
goder
p)
eineBijektion.Deshalb
istN
nach
der
Dedekind’schen
Defi
nitioneineunen
dlich
große
Menge:
EineMen
geistunendlich
gdw
siesich
bijektivau
feineechte
Teilm
engeabbilden
läßt.
24
Elemen
tareszu
elem
entarenGrundbeg
riffen
DENKPAUSE:
Finden
Sie
jeeinBeispielfüreinesurjektive,eineinjektive
undeinebijektive
Abbil-
dung!(L
egen
Sie
erst
AundB
fest
undbeschreiben
Sie
dann,was
ftut!)
25
-
Men
gen
operationen
Men
gen
operationen
•MitZahlenkönnen
Sie
operieren:Sie
können
addieren,subtrahieren,multiplizieren
,poten
zieren
undvielesmeh
r.
•MitMen
gen
können
Sie
dasauch.Nurhaben
diese
Operationen
hiernatürlicheine
ganzeigeneBedeutung.
•Sie
können
Mengen
vere
inigen(“addieren”):
{♣,♦}∪
{♥,♠}={♣
,♠,♦
,♥}
(Aufdie
Reihen
folgekommtes
bei
Men
gen
,wie
wir
wissen,nichtan.)
Allgem
einer:
M∪N
={x
:x∈M
oder
x∈N}
Def.∪
26
Men
gen
operationen
•Sie
können
diejenigen
Elemente
ausMen
gen
herausfischen
,die
den
Men
gen
gemein-
sam
sind.Dasnenntmanschneiden:
{♦,♣}∩
{♠,♦}={♦}
Allgem
einer:
M∩N
={x
:x∈M
undx∈N}
Def.∩
•Dasallesgehtau
chin
großem
Stil(V
ereinigungundSchnitteiner
Men
gen
familie):
⋃ {M
1,M
2,...,M
n}=
M1∪M
2∪···∪
Mn
⋂ {M
1,M
2,...,M
n}=
M1∩M
2∩···∩
Mn
•Diese
zwei
Defi
nitionen
decken
nurden
endlichen
(n!)
Fallab.Aber
sielassen
sich
leichtzu
munen
dlichen
Fallerweitern.Sei
FeinebeliebigeMengevonMengen.
Dann
⋃ F={x
:xistin
mindestenseiner
der
Men
gen
inF}
27
Men
gen
operationen
[Aufgabe:(a)Defi
nierensieden
Schnitt⋂ F
vonF.(b)Überzeugen
Sie
sich
davon
,daßausIhrerDefi
nitiondie
richtigeDefinitionvonM∩N
folgt.]
•Sie
können
Mengen
subtrahiere
n:
{♣,♦
,♥}−
{♦}={♣
,♥}
Allgem
einer:
M−
N={x
:x∈M
undx/∈N}
Def.−
◦Im
Kontextlegen
wir
meist
eineMen
geU
als
dasUniversum
(Grundmen
ge,
Be-
reich)der
jeweils
inBetrachtkom
men
den
Objekte
fest.Soschreiben
wir
dannein-
facher
NfürU−
N
undnen
nen
Ndie
Komplementä
rmengevonN
(inU).
(Nergänzt
(“komplementiert”)N
zum
Universum
U,d.h.N∪N
=U.)
28
Men
gen
operationen
•Sie
können
Pro
dukte
vonMen
gen
bilden
,d.h.“m
ultiplizieren
”.Dazu
bilden
sie
einfach
die
Mengealler
Paare,wobei
der
einePartner
immer
ausder
einen
Menge,
der
andereausder
anderen
Men
gekommt.
Aber,Achtung!,wie
Sie
jetztwissen,
kommtes
bei
Paaren(2er-Folgen!)
aufdie
Reihenfolgean–an
dersalsbeim
Multi-
plizieren
zweier
Zahlen.
{♣,♠}×
{♦,♥}={〈♣,♦〉,〈♣
,♥〉,〈♠
,♦〉,〈♠
,♥〉}
Allgem
einer:
M×
N={〈x,y〉:
x∈M
undy∈N}
Def.×
Übrigen
s:Wen
nm
undndie
Anzahlder
Elemente
inM
bzw
.N
sind,dannenthält
M×N
genaum·n
Elemente.(E
shatalso
doch
einwen
igmit
Multiplikationzu
tun.)
29
-
Men
gen
operationen
DENKPAUSE:
M×
N={〈x,y〉:
x∈M
undy∈N}
“Klar,
bei
Folgen
kommtes
aufdie
Reihenfolgean.Deshalb
istnatürlich
{♣,♠}×
{♦,♥}
nichtgleich
{♠,♣}×
{♦,♥}”,
sagte
neulich
jemandin
der
U-B
ahn.—
Stimmtdas?
(Zwei
Wegezu
einer
Antw
ort:einschnellerWeg
undeinlangsamer
Weg.Suchen
Sie
erst
den
schnellen!)
30
Men
gen
operationen
DENKPAUSE:
M×
N={〈x,y〉:
x∈M
undy∈N}
“Klar,
bei
Folgen
kommtes
aufdie
Reihen
folgean
...
{♣,♠}×
{♦,♥}
�={♠
,♣}×
{♦,♥}”(??)
SchnellerWeg:{♣
,♠}={♠
,♣}und{♦
,♥}={♦
,♥}.
Der
Defi
nitionvon
M×
N(blätternSie
zurück!)
istes
gleichgü
ltig,wie
wir
die
Men
gen
MundN
hinschreiben
.
Langsamer
Weg:Bilden
Sie
die
jeweiligen
Produktm
engen
undüberzeugen
Sie
sich,
daßsiedieselben
Elemente
enthalten
.
Was
der
Mannin
der
U-B
ahnmeinte
war
dies:
{♣,♠}×
{♦,♥}
�={♦
,♥}×
{♣,♠}!
(Die
Men
gen
produktoperationistnichtkommutativ.)
31
Men
gen
operationen
•Schließlich
können
Sie
Men
gen
auch
potenziere
n.In
diesem
FallsammelnSie
ein-
fach
alleTeilm
engen,die
inder
betrachtetenMen
geenthalten
sindundsteckensie
zwischen
Men
gen
klammern.Also...
ErsterSchritt:Teilm
engen
bilden
∅⊆{♣
,♦,♥}
{♣}⊆{♣
,♦,♥}
{♦}⊆{♣
,♦,♥}
{♥}⊆{♣
,♦,♥}
{♣,♦}⊆{♣
,♦,♥}
{♣,♥}⊆{♣
,♦,♥}
{♦,♥}⊆{♣
,♦,♥}
{♣,♦
,♥}⊆{♣
,♦,♥}
ZweiterSchritt:Teilm
engen
einsammeln
℘({♣,♦
,♥})
={∅
,{♣},{♦},{♥},{♣
,♦},{♣
,♥},{♦
,♥},{♣
,♦,♥}}
32
Men
gen
operationen
Allgemeiner:
℘(M
)={N
:N⊆
M}
Def.℘
Übrigen
s:Wen
nm
die
Anzahlder
Elemente
inM
ist,danngibt2m
immer
die
An-
zahlder
Elemente
von℘(M
)an
—weshalb
manchestatt
℘(M
)au
ch2M
schreiben
.
DENKPAUSE:
Bilden
Sie
die
Potenzm
engevon{0
,1,2}!
33
-
Men
gen
operationen
Offen
sichtlicheFrage:Warum
istden
ndie
leereMen
gein
der
Potenzm
engejeder
Men
gemit
drin?
Offen
sichtlicheAntwort:Dasmußwohlander
Definitioneiner
Potenzm
engeliegen.
Schauen
wir
unsdiese
Defi
nition(℘(M
)={N
:N⊆
M})also
noch
einmalan
(mit
∅nunschon
fürN
eingesetzt):
∅∈℘(M
)gd
w∅⊆
M.
Um
hierweiterzukommen,fragen
wir
uns,
wasdie
rechte
Seite
eigentlichbed
eutet:
∅⊆
Mgdw
(fürallex)
wen
nx∈∅,
dannx∈M
.
Jetzt
istklar:∅⊆
Mkannnuruntereiner
Bedingungfalsch
werden
:
Esistnichtder
Fall,daß:(fürallex)wen
nx∈∅,
dannx∈M
,
d.h.es
gibteinx:x∈∅aber
x/∈M
.
Frage:
Kanndiese
Bed
ingungeintreff
en??
—Falls
nicht,dannkann∅⊆
Mnie
falsch
sein,fürbeliebiges
M.Undwasnichtfalsch
sein
kann,mußja
dannwohlwahrsein,
oder?
34
Exk
urs:Der
Satz
vonCantor
Exk
urs:Der
Satz
vonCantor
Mitdem
,waswir
bisher
über
Abzählbarkeit,Funktionen
undPoten
zmen
gen
gelernt
haben
,können
wir
schonzu
einem
interessantenResultat,
dem
Satz
vonCantor,
kom-
men
.
•WennM
eineMen
geist,dannsei|M|d
ieAnzahlder
Elemente
inM
.
•Erinnerung:|℘
(M)|=
2|M
| .ZB:|℘
(∅)|=
20=
1(Festlegungim
Grenzfall),|℘
({a})|=
21=
2usw
.
•FürjedenatürlicheZahlnistn<
2n.
•Fürjedeen
dlicheMen
gegibtes
einenatürlicheZahlnso,daßdie
MengenEle-
mente
enthält.Also:
•Fürjedeen
dlicheMengeM
gilt:|M|<
|℘(M
)|.Die
Anzahlunen
dlicher
Men
gen
(zB
N)läßtsich
nichtdurcheinenatürlicheZahl
angeb
en.Was
passiert
also
indiesem
Fall?
35
Exk
urs:Der
Satz
vonCantor
Georg
Cantor(1845-1918),
deu
tscher
Mathem
atikerundPhilosoph
CANTORSSATZ.Fürbeliebige(!)Men
gen
Mgilt:
|M|<
|℘(M
)|.
Bew
eis
Beobachtung:Fürjedes
xin
Mgibtes
dasElement
{x}in
℘(M
).(E
twasanspruchsvoller
form
uliert:
Die
Abbildungf:M−→
℘(M
)mitf(x)={x}istinjek-
tiv.)Alsowissenwir: |M|≤
|℘(M
)|.
Esbleibtzu
zeigen
:|M|�=
|℘(M
)|./...
36
Exk
urs:Der
Satz
vonCantor
Nehmen
wir
an–reductio
adabsurdum!–,
daß
(1)|M|=
|℘(M
)|.Danngibtes
fürjedes
Elementin
℘(M
)eines
inM
.D.h.
(2)es
gibteineFunktiong:M−→
℘(M
),die
surjektivist.
(Zum
Beispielso:
Hierhatadie
Eigenschaft
a/∈g(a)[={b}].)
Manbetrachte
nundie
Men
geN
={x∈M
:x/∈g(x)},d.h.
(3)x∈N
gdw
x∈M
undx/∈g(x).
(Nach
dieserDef.istim
Beispiela∈N.)
37
-
Exk
urs:Der
Satz
vonCantor
(3)x∈N
gdw
x∈M
undx/∈g(x).
Offensichtlichist
(4)N⊆
MundalsoN∈℘(M
).
Ausder
Surjektivität
vongund(4)folgt,
(5)daßes
einy∈M
gibt,so
daßN
=g(y).
Isty∈N
[=g(y)]?
Wen
nja
(y∈N),dann(nach
3⇒
)y/∈N.
Wen
nnein(y
/∈N),dann(nach
3⇐
undy∈M
)y∈N.
Entw
eder
istab
ery∈N
oder
y/∈N
–einedritteMöglichkeit
bestehtnicht.
Injedem
Fallerhalten
wir
einen
Widerspruch.Alsoistdie
Annahme
(1)|M|=
|℘(M
)|falsch;d.h.|M|<
|℘(M
)|—
QED.2
2Quod
eratdem
onstrandum,lat.
–waszu
bew
eisenwar.
38
Exk
urs:Der
Satz
vonCantor
Fürdie
Men
geN
der
natürlichen
Zahlenistnach
Cantors
Satz
die
Men
ge℘(N
)ein
einfaches
Beispieleiner
überabzählbarunen
dlichen
Men
ge.
AusCantors
Satz
ergibtsich
die
historischersteParadoxie
des
intuitiven
Men
genbe-
griffs:
Canto
rsPara
doxie
Kannes
eineMen
geU
aller
Men
gen
geb
en?Wen
nja,dannkannes
jeden
fallskeine
MengeM
geb
en,die
größer
(mächtiger)istals
U;d.h.
füralleM
:|M|≤
|U|.
Wen
nwir
aber
fürM
die
Menge℘(U
)einsetzen
,dannerhalten
wir
|℘(U
)|≤|U|.
DaswidersprichtCantors
Satz.Alsokannes
keineMen
geallerMen
gen
geben
.
Offenbargibtes
nichtzu
jeder
Eigen
schaft
(zB
eineMen
gezu
sein)eine
entsprechen
deMen
ge(die
Men
geder
Elemente,welchedie
Eigen
schaft
haben
).W
irwerden
gleicheineweitere
Paradoxie
kennen
lernen
,die
dasgleicheErgeb
nis
nahelegt
(die
RussellscheParadoxie).
39
Zusammen
fassung:EinigeGrundbeg
riffeder
naiven
Men
gen
lehre
Zusammen
fassung:EinigeGrundbeg
riffeder
naiven
Men
gen
lehre
Men
gen:“Ansammlungen”vo
nObjekten(E
lemen
ten).
Auch
Men
gen
selbst
können
Elemente
vonMen
gen
sein.
Ein
Elementxistin
der
Men
geA:x∈A.
EineMen
geA
istin
der
Men
geB
enthalten
:A⊆
B,d.h.A
istTeil(men
ge)
vonB.
WennA⊆
Baber
A�=
B,dan
nistA
inB
echtenthalten
,A⊂
B.
Schnitt:
A∩B
—alle
Elemente,die
AundB
gem
einsam
sind:
A∩B
:={x
:x∈A
undx∈B}.
Schnitteiner
Men
gen
familie
F:⋂ F
—alle
Elemente,die
allen
Men
gen
inF
gem
ein-
sam
sind.
Vereinigung(oder
“Summe”):
A∪B
oder
auch
⋃ F—
alleElemente,die
inA
oder
inB
(bzw
inmind.einer
der
Men
gen
inF)sind:
A∪B
:={x
:x∈A
oder
x∈B}.
40
Zusammen
fassung:EinigeGrundbeg
riffeder
naiven
Men
gen
lehre
Subtraktionbzw
.Komplemen
tärbildung:
A−
B(auch
A\B)—
alleElemente
inA,
die
nichtin
Bsind:
A−
B:={x
:x∈A
undx/∈B}.
Bzw
.B
—alle
Elemente
(des
“Universums”),die
nichtin
Bsind.
Potenzm
enge
vonA:℘(A
)—
Die
Men
ge(Fam
ilie)allerMen
gen
,die
Teilvo
nA
sind,
“angefangen”mit∅,
der
leeren
Men
ge:
℘(A
)={X
:X⊆
A}.
(Kartesisches)Produkt
A×B:Mengealler
Paare
(a,b),wob
eidie
ersteKoordinate,a,
ausder
MengeA
unddie
zweite
Koordinate,b,
ausder
MengeB
stammt:
A×
B={(a,b):a∈A
undb∈B}.
Natürlichlassen
sich
auch
Produkte
ausmeh
rals
zwei
Men
gen
bilden
.Diese
ergeb
endannMen
gen
ausTripeln,Quadrupeln,Quintupelnusw
.Z.B.:
A×
B×