portgasdhadi.files.wordpress.com · web viewone of the most difficult steps a student of...

TugasArtikanlah tex dibawah ini kedalam bahasa indonesia ! PREFACE

One of the most difficult steps a student of mathematics must make is the one into that (blissful) state known as “mathematical maturity”. This is a step which is accomplished by making the transition from solving problems in a fairly concrete setting in which there is a well-known method or an algorithm for each problem type (as in most calculus course, for example) to writing proofs and producing counterexamples involving more abstract objects and concepts, an activity for which is expected just to “happen”, perhapsduring the summer between the sophomore and junior years; however it is not clear what summertime activities one could recommend to ensure such a result. My recant teaching experience suggests that this transition is not an easy one for most students and generally cannot be successfully made without some concerted effort and guidance. Two things which seem to inhibit a smooth transition are a lack of knowledge of some fundamental mathematical ideas-logic, sets, functions-and a lack of experience in two important mathematical activities-finding examples of objects with specified properties and writing proofs. This book is an attempt to provide an opportunity to gain exposure to these activities while learning some of the necessary fundamental ideas.I have tried to keep the book as short as possible to achieve these goals; thus some interesting topics are left out and others are treated only in the exercises. I have also tried to take a developmental point of view so that the book starts out in a fairly simple, informal manner and gradually becomes more formal and abstract. This means that while it is possible to cover the first chapter rather rapidly, one should not expect to maintain this speed throughout the book; indeed, I have found that some sections in Chapter 2 can easily take more than a week to cover with any degree of thoroughness.

The transitional process begins with an informal introduction to logic, including a careful consideration of quantifiers and discussion of basic proof forms. The objective here is to obtain a firm foundation on which to build the proof-writing skills which will be developed later on. The first mathematical objects encountered in any detail are sets. This provides a familiar setting in which students can write simple proofs, test conjectures and produce counterexamples. The next topic, relation, is probably not as familiar as the topic of sets, and here the students get their first taste of trying to understand the definition of a new concept (e.g., equivalence relation, strict partial order) well enough to provide examples and proofs. Functions are presented as special relation and functional composition is emphasized. Chapter 2 concludes with binary operations and equivalence relations induced by functions, a foreshadowing of the fundamental theorem of group homomorphisms. Several forms of mathematical induction are presented in chapter 3, and since the students should have acquired a working knowledge of implications, propositional funtions and sets by this time, there is some chance that their understanding of induction will be more than an algorithmic one. These first three chapters form what I think should be the core of the course; in fact, with some difficulty I have been restrained from calling it “What Every Mathematics Student Should Know”. As time permits (and it sometimes actually does), any of the last three chapters may be studied independently of one another in accordance with the interests and needs of the class. Each is reasonably self-contained and chapters 5 (Groups) and 6 (Cardinality) do not require any previous knowledge and have tha advantage of presenting material which is the new to the students. Chapter 4 (Continuity Carefully Considered) probably should not be attempted by students who have not had a year of calculus. It begins with a development of the real number system, including algebraic order and metric properties. Extensive use is made of sequences in examining the concepts of limits, continuity and uniform continuity. In chapter 5, cosets are discussed in some detail (as examples

of partitions) and their connection to homomorphisms is explored. In chapter 6 much use is made of one-to-one correspondences. The properties of finite and infinite sets are distinguished and cardinal numbers are discussed. In each of these “application” chapters no attempt has been made to give a comprehensive view of the subject being considered; rather, a small area has been examined in sufficient depth so that some non-trivial results can be shown (e.g., intermediate value theorem, fundamental theorem of group homomorphisms, the uncountability of R ¿ .

One final comment: In days gone by I thought that if I could organize the material to be presented in a cogent fashion, develop the students interest in it and provide good examples and answers to their questions, I would be a good teacher and they would learn a lot of mathematics. That is, I thought that what I did was the important part of the educational process. Now I have come to believe that what I do is not nearly so important as what I can get the students to do. This means that it is impossible to overemphasize the importance of having the students do exercises. I have provided a wide selection of exercises, many of which are presented as conjectures to be verified or shown incorrect. A somewhat unusual sort exercise which appears throughout the last five chapters of the book is the “Believe It or Not” exercise. In these exercises a conjecture is given, along with a proof and a counterexample. Of course, at least one must be incorrect (sometimes all three are), and the student’s task is to sort things out and put them right by determining the true state of affairs and giving (if necessary) a correct proof of counterexample and pointing out the errors in the ones given.I am not sure if it is possible to teach someone how to write proof, any more than it is possible to teach them how to write poetry or compose a symphony. However, I do think that it is possible to help someone learn how to write proofs and I hope that this book is useful in accomplishing this important task.

I am grateful to the many students who, over the years, labored through the large number of iterations of this material. In many cases they have inspired the interesting, but incorrect, parts of the “Believe It or Not” exercises. I want to thank the reviewers whose helpful comments have improved the exposition and helped root out unclear passages.Barbara Bohannon, Hofstra University;Richard E. Chandler, North Carolina State University;Harvey Charlton, North Carolina State University;Charles Clever, South Dakota State University;Peter Colwell, Iowa State University;Gary D. Crown, Wichita State University;Bruce Edwards, University of Florida;Robert O. Gamble, Winthrop College;John I. Gimbel, University of Alaska;Stephen Pennell, University of Lowell.Of course any inaccuracies and opaqueness remaining are mine. I am also indebted to the staff at McGraw-Hill who have made the production of this book a pleasure.

David C. KurtzA FEW WORDS FOR THE READER

Many students have difficulty when they are first asked to prove theorems in mathematics. Part of this difficulty may come from an unfamiliarity with the mathematical objects involved (vectors, bases, linear transformations, groups, homomorphisms, and so forth), but a major part of the difficulty seems to be due to an imprecise knowledge of the fundamentals of mathematics: logic, sets, relations and functions. This book attempts to address this problem by giving a concise account

of a minimal amount of this material as a vehicle for gaining practice in proving theorems. The key word here is practice. As you no doubt have observed, learning how to write out a correct proof yourself is quite a bit different from watching someone else write out a proof and understanding that his or her proof is correct. Mathematics is not a spectator sport. Practice and involvement are essential. If anything is to be gained from this book, the reader must become actively engaged in working his or her way through it. This means marking up the pages with questions about unclear passages (should there be any!), doing the examples and then checking the results, working all the exercises and, above all, approaching the subject matter with a questioning mind intent upon gaining a thorough understanding of it.A passive approach is doomed to failure. A pencil and paper should be at hand before you start reading. Of course, this means that you won’t be able to read 20 pages a night; 3 pages would be a more reasonable goal, especially further along in the book where the level of abstraction is somewhat higher and more is expected of you. But as in anything where a considerable effort is required, the rewards are equally great; the satisfaction of writing a proof which you know is correct is hard to match. So pick up your pencil (or pen or whatever it is yuo use) and proceed at a deliberate pace throught the following pages, knowing that mastery of their contents will lead to mathematical pleasures unknown to the uninitiated.

Translatenya :PENDAHULUAN

Salah satu langkah yang paling sulit untuk seorang mahasiswa matematika adalah harus membuat suatu tingkat yang dikenal sebagai "kematangan matematis".Ini adalah langkah yang kita lakukan dengan

membuat transisi dari pemecahan masalah dengan pengaturan yang cukup konkret di mana ada metode yang terkenal atau algoritma untuk setiap jenis masalah (contohnya, seperti dalam kebanyakan kursus kalkulus) tapi menulis bukti dan memproduksi sanggahan melibatkan lebih banyak objek abstrak dan konsep-konsep, suatu aktivitas dimana tidak ada algoritma yang didefinisikan dengan baik.Sering transisi ini adalah sesuatu yang diharapkan hanya untuk "terjadi". Mungkin selama musim panas antara tahun kedua dan tahun yang lebih muda; namun, tidak jelas apa kegiatan musim panas yang bisa merekomendasikan untuk memastikan hasil tersebut.Pengalaman mengajar saya baru-baru ini menunjukkan bahwa transisi ini tidak mudah bagi sebagian besar siswa dan umumnya tidak dapat berhasil dibuat tanpa upaya terpadu dan bimbingan.Dua hal yang tampaknya menghambat kelancaran transisi adalah kurangnya pengetahuan beberapa logika matematika ide-fundamental, himpunan, fungsi-dan kurangnya pengalaman dalam dua kegiatan penting matematika-menemukan contoh objek dengan sifat tertentu dan menulis bukti. Buku ini merupakan upaya untuk memberikan kesempatan untuk mendapatkan eksposur untuk kegiatan ini sambil belajar beberapa ide dasar yang diperlukan. Saya telah mencoba untuk membuat buku ini sesingkat mungkin untuk mencapai tujuan ini, dengan demikian beberapa topik menarik akan ditinggalkan dan yang lainnya diperlukan hanya dalam latihan. Saya juga telah mencoba untuk mengembangkan sudut pandang, sehingga buku dimulai dengan cukup simpel, dengan cara yang informal(tidak baku) dan secara bertahap menjadi lebih formal dan abstrak. Ini berarti bahwa sementara itu adalah mungkin untuk menutup bab pertama agak cepat, orang tidak seharusnya berharap untuk mempertahankan kecepatan ini di seluruh buku. Saya telah menemukan bahwa beberapa bagian dalam bab 2 dengan mudah dapat diambil lebih dari seminggu untuk menutupi dengan tingkat ketelitian.Proses transisi dimulai dengan pengenalan informal dalam hal logika, termasuk pertimbangan cermat quantifiers dan diskusi tentang

bentuk dasar bukti.Tujuan di sini adalah untuk mendapatkan landasan yang kuat untuk membangun keterampilan menulis bukti yang akan dikembangkan di kemudian hari. Objek matematika yang pertama kali dibahas secara rinci adalah himpunan. Hal ini menyediakan pengaturan akrab di mana siswa dapat menulis bukti sederhana, dugaan tes(hipotesis) dan menghasilkan sanggahan. Topik berikutnya adalah relasi, relasi ini mungkin tidak familiar sebagai topik himpunan, dan di sini para siswa mendapatkan rasa pertama mereka mencoba untuk memahami definisi dari konsep baru (misalnya relasi ekivalen, urutan parsial ketat) dengan cukup baik untuk memberikan contoh dan bukti . Fungsi-fungsi disajikan sebagai relasi khusus dan komposisi fungsional lebih ditekankan. Bab 2 diakhiri dengan operasi biner dan hubungan kesetaraan yang disebabkan oleh fungsi, bayangan dari teorema dasar kelompok homomorphisms . Beberapa bentuk induksi matematika disajikan dalam bab 3 dan sejak siswa harus mendapatkan pengetahuan tentang implikasi, fungsi proporsional dan himpunan pada saat ini, ada beberapa kemungkinan bahwa pemahaman induksi mereka akan lebih dari satu algoritma.Tiga bab pertama membentuk apa yang saya pikir harus menjadi inti pelajaran, bahkan, dengan beberapa kesulitan saya telah menahan diri dari panggilan itu "apa yang setiap mahasiswa matematika harus tahu". Jika waktu mengizinkan (dan kadang-kadang itu terjadi), salah satu dari tiga bab terakhir ini dapat dipelajari secara mandiri satu sama lain sesuai dengan kepentingan dan kebutuhan kelas. Masing-masing cukup mandiri dan bab 5 (kelompok) dan 6 (kardinalitas) tidak memerlukan pengetahuan sebelumnya dan memiliki keuntungan menyajikan materi yang baru untuk para siswa. Bab 4 (Pertimbangan Kecermatan yang Berkesinambungan) mungkin tidak harus dicoba oleh mahasiswa yang tidak memiliki satu tahun kalkulus. Ini dimulai dengan pengembangan sistem bilangan real, termasuk ketertiban dan sifat aljabar metrik. Penggunaan ekstensif digunakan dari urutan dalam memeriksa konsep

limit, kontinuitas dan kontinuitas yang seragam. Dalam bab 5, operasi antar himpunan dibahas dalam beberapa detail (sebagai contoh partisi) dan koneksi mereka untuk homomorphisms dieksplorasi (digali lebih jauh). Dalam bab 6 banyak penggunaan yang terbuat dari satu-ke-satu korespondensi(korespondensi satu-satu). Properti himpunanterbatas dan tidak terbatas yang dibedakan dan nomor kardinal yang dibahas. Masing-masing bab "penerapan" tidak ada usaha yang telah dibuat untuk memberikan pandangan yang komprehensif tentang subjek yang dipertimbangkan, melainkan sebuah daerah kecil telah diteliti secara cukup mendalam sehingga beberapa non-sepele hasilnya dapat ditampilkan (misalnya teorema antar nilai, teorema dasar homomorphisms kelompok, bilangan real tak hingga).Satu komentar terakhir: di hari-hari berlalu saya berpikir bahwa jika saya bisa mengatur materi yang akan disajikan secara meyakinkan, mengembangkan minat siswa di dalamnya dan memberikan contoh yang baik dan jawaban atas pertanyaan mereka, saya akan menjadi guru yang baik dan mereka akan belajar banyak dari matematika. Artinya, saya berpikir bahwa apa yang saya lakukan adalah bagian penting dari proses pendidikan.Sekarang saya telah datang untuk percaya bahwa apa yang saya lakukan adalah tidak terlalu penting karena apa saya bisa mendapati siswa untuk melakukan. Ini berarti bahwa adalah mustahil untuk terlalu menekankan pentingnya memiliki siswa yang mau melakukan latihan. Saya telah menyediakan berbagai pilihan latihan, banyak yang disajikan sebagai dugaan harus diverifikasi atau ditampilkan salah. Semacam agak tidak biasa dari latihan yang muncul di seluruh lima bab terakhir dari buku ini adalah latihan "Percaya atau tidak". Dalam latihan dugaan diberikan, bersama dengan bukti dan menyangkal pernyataan tersebut. Tentu saja, setidaknya seseorang harus benar (kadang-kadang semua tiga orang) dan tugas siswa adalah untuk memilah hal-hal yang keluar dan menempatkan mereka tepat dengan menentukan keadaan urusan sebenarnya dan memberikan (jika perlu) suatu bukti benar atau menyangkal dan menunjuk keluar dalam

kesalahan yang diberikan.Saya tidak yakin apakah itu adalah mungkin untuk mengajar seseorang bagaimana menulis bukti-bukti, lebih dari itu adalah mungkin untuk mengajar mereka bagaimana menulis puisi atau menulis simfoni. Namun, saya berpikir bahwa adalah mungkin untuk membantu seseorang belajar bagaimana menulis bukti-bukti dan saya berharap bahwa buku ini berguna dalam menyelesaikan tugas penting.Saya berterima kasih kepada banyak siswa yang, selama bertahun-tahun, bekerja melalui sejumlah besar bahan iterasi. Dalam banyak kasus, mereka telah mengilhami bagian yang menarik, namun tidak tepat, dari latihan "Percaya atau Tidak". Saya ingin mengucapkan terima kasih kepada para pengulas yang membantu berkomentar sehingga meningkatkan eksposisi dan membantu membasmi bagian yang tidak jelas.Barbara Bohannon, Universitas Hofstra;Richard E. Chandler, Universitas Carolina Utara;Harvey Charlton, Universitas Carolina Utara;Charles Clever, Universitas Dakota Selatan;Peter Colwell, Universitas Iowa;Gary D. Crown, Universitas Wichita;Bruce Edwards, Universitas Florida;Robert O. Gamble, Sekolah Tinggi Winthrop;John I. Gimbel, Universitas Alaska;Stephen Pennell, Universitas Lowell.

Tentu saja setiap ketidaktepatan dan kekaburan yang tersisa adalah milik saya. Saya juga berhutang budi kepada staf di McGraw-Hill yang telah membuat produksi buku ini menyenangkan.David C. Kurtz

BEBERAPA KATA UNTUK PEMBACABanyak siswa mengalami kesulitan ketika mereka pertama kali diminta untuk membuktikan teorema dalam matematika. Bagian dari kesulitan ini mungkin berasal dari ketidakbiasaan dengan objek matematika yang terlibat (vektor, basis, transformasi linear, kelompok, hpmomorphisms, dan benteng), tetapi merupakan bagian utama dari kesulitan tampaknya karena pengetahuan tidak tepat dasar-dasar matematika; logika, set, fungsi relasi. Buku ini mencoba untuk mengatasi masalah ini dengan memberikan rekening ringkas dari jumlah minimal bahan ini diperlukan untuk kemajuan lebih lanjut dalam matematika dan kemudian menggunakan bahan ini sebagai kendaraan untuk mendapatkan praktek di teorema membuktikan. Kata kuncinya di sini adalah praktek. Ketika Anda tidak diragukan lagi telah mengamati, belajar bagaimana menulis sebuah bukti yang benar diri sendiri adalah agak sedikit berbeda dari menonton orang lain menulis sebuah yang benar dan pemahaman bahwa bukti nya benar. Matematika bukan olahraga penonton. Praktek dan keterlibatan sangat penting. Jika sesuatu harus halus dari buku ini, pembaca harus menjadi aktif terlibat dalam bekerja dengan cara-nya melalui itu. Ini berarti menandai halaman dengan pertanyaan-pertanyaan tentang bagian-bagian tidak jelas (harus ada!), Melakukan contoh dan kemudian memeriksa hasilnya, bekerja semua latihan dan, di atas semua, mendekati subjek dengan niat pikiran yang mempertanyakan pada mendapatkan melalui pemahaman tentang itu. Pendekatan pasif adalah ditakdirkan untuk gagal. Sebuah pensil dan kertas harus di tangan sebelum Anda mulai membaca. Tentu saja, ini berarti bahwa Anda tidak akan dapat membaca 20 halaman malam; 3 halaman akan menjadi tujuan yang lebih masuk akal, terutama lebih

lanjut sepanjang dalam buku mana tingkat abstraksi agak lebih tinggi dan lebih diharapkan dari Anda. Tapi seperti dalam apapun dimana usaha yang cukup besar diperlukan, imbalan sama-sama besar, kepuasan menggeliat bukti yang Anda tahu adalah benar sulit untuk mencocokkan. Jadi ambil pensil Anda (atau pena apa pun yang Anda gunakan) dan dilanjutkan pada kecepatan yang disengaja melalui halaman berikut, mengetahui bahwa penguasaan isinya akan menyebabkan kesenangan matematika dikenal oleh belum tahu.

Logika Suatu cabang ilmu yang mempelajari penurunan – penurunan kesimpulan yang sahih / valid dan tidak sahih / unvalidKalimat : kumpulan dari 2 kata atau lebih yang memiliki makna Pertanyaan : apakah anda sudah makan ? x Perintah : jadilah orang yang baik ! x Ajakan : marilah jadi orang yang normal x

: saya orang yang normal sedangkan anda tidak √ Larangan : janganlah menjadi orang yang tidak normal x

Pernyataan :pernyataan

pernyataan

Baju saya berwarna coklat ( tertutup ) Wajah dia ganteng ( terbuka )

Contoh :o Jumlah sudut – sudut dalam suatu persegi panjang adalah 3600

Stetmen itu benar bila tidak menyalahi dengan kebenaran sebelumnya yang sudah disepakati ( teori koherensi ) Korespodensi ( stetmen itu benar bila stetmem itu nyata / sesuai kenyataan )

Teori tertutup : dalam suatu kalimat matematika hanya ada benar atau salah-b + a + b = a-b + b + a = a ( komutatif )( -b + b ) + a= a ( asosiatif )0 + a =a ( invers ( + ) ) a = a ( identitas (+ ) )

adalah suatu pernyataan yang sudah terlihat jelas yang tidak perlu di buktikan contoh : perpotongan 2 buah garis adalah sebuah titikLatihan 2.12. Andi berbohong pada hari senin, selasa, dan rabu, sedangkan pada hari – hari yang lain berkata benar. Teman karibnya si Badu berbohong pada hari kamis, jumat, dan sabtu sedangkan pada hari yang lain ia berkata benar. Pada suatu hari Andi berkatan: “ kemarin adalah hari dimana saya berbohong “Badu lalu menimpali “ kemarin adalah hari dimana saya berbohong juga “a. Pada hari – hari apakah mereka berdua dapat menyatakan hal itub. Jika mereka berdua sama – sama menyatakan bahwa hari kemarin adalah hari dimana mereka berkata benar, pada hari – hari apakah mereka berdua dapat menyatakan hal tersebut3. Pada suatu rumah makan Andi seorang supir sedang duduk mengelilingi meja berbentuk persegi dengan tiga orang temanya. Ketiga temanya Andi tersebut bekerja sebagai kelasi, pilot, dan markonis tentukan pekerjaan Budi jika : Andi duduk disebelah kiri candra. Budi duduk disebelah kanan klasi dan Dani yang duduk berhadapan dengan candra bukanlah seorang pilot4. Ada tiga orang siswa yaitu Toni, Didi, dan Hori ditentukan bahwa :a. Toni tidak pernah berbohong. Didi kadang – kadang berbohong, sedangkan Hori selalu berbohongb. Mereka memakai kaus Hijau, Kuning dan merah

aksioma

c. Siswa yang memakai kaus kuning menyatakan bahwa siswa yang memakai kaus merah adalah Horid. Seswa yang memakai kaus merah menyatakan bahwa dirinya Didie. Siswa terahir yang memakai kaus hijau menyatakan bahwa siswa yang berkaus merah adalah toniBerdasarkan keterangan diatas tentukan warna kaus yang dipakai para siswaJawab :2. Dik :

Andi berbohong pada hari : senin, selasa, dan rabu Badu berbohong pada hari : kamis, jumat, dan sabtu Pada hari lain mereka berkata jujur Andi berkata “ kemarin adalah hari dimana saya berbohong “ Badu berkata “ kemarin adalah hari dimana saya berbohong juga “Dit :a. Hari apa mereka berdua dapat menyatakan hal tersebut ?b. Jika mereka menyatakan bahwa kemarin adalah hari dimana mereka berkata benar. Pada hari apa saja mereka dapat menyatakan hal tersebutJawab :a. Pada hari kamisb. Pada hari selasa, rabu, jumat, sabtu3. Dik :A. Andi seorang supirB. Duduk mengelilingi meja persegi dengan tiga orang temanyaC. Tiga temanya bekerja sebagai : klasi, pilot, dan markanisD. Andi duduk disebelah kiri candra E. Budi duduk di sebelah kanan klasiF. Dani duduk berhadapan dengan candraG. Candra bukan pilotDit : tentukan pekerjaan Budi

Jawab : Dani ( markanis ) Andi ( sopir ) Budi ( pilot )

Candra ( klasi )4. Dik :A. Tiga orang siswa : Toni, Didi, dan HoriB. - Toni tidak pernah berbohong - Didi kadang – kadang berbohong- Hori selalu berbohong

c. Mereka memakai kaus : Hijau, kuning, dan merahd. Siswa yang memakai kaus kuning menyatakan bahwa siswa yang memakai kaus merah adalah Horie. Siswa yang memakai kaus merah menyatakan bahwa dirinya Didif. Siswa terakhir yang memakai kaus hijau menyatakan bahwa yang berkaus merah adalah ToniDit : tentukan kaus yang dipakai para siswaJawab:

Siswa yang memakai kaus kuning adalah Toni Siswa yang memakai kaus merah adalah Hori Siswa yang memakai kaus Hijau adalah Didi

Konjungsi :Dan, Namun, Tapi, . . .“ p ∧ q “Konjungsi adalah dua buah proposisi akan bernilai benar bila kedua proposisi bernilai benar dan selainya salah

p q p ∧ qBBSSBSBS

BSSS

Disjungsi :Atau, . . .“ p ∨ q “Disjungsi adalah dua buah proposisi akan bernilai salah bila kedua proposisi bernilai salah dan selainya benar

p q p ∨ qBBSSBSBS

BBBS

( TERMASUK INCLUSIVE )Contoh Exclusive“ kau pilih aku atau selingkuhanmu ““ dan / atau “ termasuk disjungsiImplikasi :Jika . . . maka . . . “ p → q “Jika hari ini cerah maka abang datang

Hari ini cerah dan abang datang √ Hari ini cerah dan abang tidak datang x Hari ini hujan dan abang datang √ Hari ini hujan dan abang tidak datang √

Jadi :Implikasi adalah dua buah proposisi bernilai salah bila proposisi pertama benar dan proposisi ke dua Salah dan selainya benarP q p → qBBSS

BSBSBSBB

Biimplikasi :. . . jika dan hanya jika . . .“ p ↔ q “Kambing hidup jika dan hanya jika bernafas

Kambing hidup dan dia bernafas √ Kambing hidup dan dia bernafas x Kambing mati tapi bernafas x Kambng mati dan dia tidak bernafas √

Jadi :Biimplikasi adalah dua buah proposisi bernilai bernar bila proposisinya sama dan selainya salahp q p ↔ qBBSS

BSBSBSSB

Negasi / ingkaran“ ˜ / ¬ “¬ B ≡ S¬ S ≡ B¬ Benar ≡ Tidak benar ≡ Salah / tidak benar bahwa benar¬ Salah ≡ Tisak salah ≡ Benar / tidak benar bahwa salahHarimaumemakan dagingP p ( x )¬ p ( x ) : harimau tidak makan daging

p q p ∧ q p ∨ q ¬ (p ∧ q ) ¬ (p ∨ q ) ¬ p ¬ q ¬ p ∨ ¬ q ¬p ∧ ¬ qBBSSBSBS

BSSSBBBS

SBBBSSSB

SSBBSBSB

SBBBSBSB

≡≡

¬ (p ∧ q ) ≡ ¬ p ∨ ¬ q¬ (p ∨ q ) ≡ ¬p ∧ ¬ q

a. 3 + 5 > 7b. Tidaklah tepat bila 3 + 5 > 7c. 3 + 5 ≤ 7d. X2 – 3x + 2 = 0 bukanlah sebuah persamaan kuadrat

¬ p ≢ p

e. Tidak benar bahwa x2 – 3x + 2 = 0 bukan sebuah persamaan kuadratf. X2 – 3x + 2 =0 merupakan persamaan kuadrat¬ a ≡ b a ≡ ¬ ca ≡ ¬ b ¬ a ≡ c

∴b ≡ cd ≡ ¬ ed ≡ ¬ f∴e ≡ f

1. ¬ p ∧ q2. ( ¬ p ) ∧ q3. ¬ ( p ∧ q )Cara membacanya ( 3 ) tidak benar bahwa harimau makan daging dan kucing makan rumput( 1 & 2 ) tidak benar bahwa harimau makan daging, dan kucing makan rumput

Latihan 3. 15. a. 3+2=6↔4+2=5

S ↔S=B

b. 3+2=5→4+2=5S →S=Sc. 3+2=5atau jakarta ibukotadi AcehB S=B

d. jika x2 ¿4 maka x=2B→S=Se. jika x=−2maka x2 ¿4B →B=Bf. jika 3 x+4=2dan x∈B ,maka x=−1B S→S=B

S→S=B

6. Dik : p = 10 habisdibagi 5 ( B ) q = 8 adalahbilangan prima ( S )jawab :a. Tidakbanarbahwa 10 habisdibagi 5( ∽B ¿=Sb. Tidakbenarbahwa 8 adalahbilangan prima

( S )=Bc. 10 habisdibagi 5 dan 8 adalahbilangan primaB∧S=Sd. 10 habisdibagi 5 atau 8 adalahbilangan primaB∨S=Be. Tidakbenarbahwa 10 habisdibagidantidakbenarbahwa 8 adalahbilangan prima

S∧B=Sf. Tidakbenarbahwa 10 habisdibagi 5 dan 8 adalahbilangan primaS∧S=Sg. 10 habisdibagi 5 dantidakbenarbahwa 8 adalahbilangan prima

B∧B=Bh. 10 habisdibagi 5 maka 8 adalahbilangan primaB→ S=Si. 10 habisdibagi 5 jikadanhanyajika 8 adalahbilangan primaB↔ S=Sj. 10 habisdibagi 5 atautidakbenarbahwa 8 adalahbilangan prima makatidakbenarB∨B →bahwa 10 habisdibagi 5 atau 8 adalahbilangan primaS∨S=S7. Dik : a. Lisa gadiscantik ( a ) b. Lisa gadiscerdas ( b )jawab : a. a∧∼ bb. ∼a∧∼bc. ∼a∧ bd. a∧be. ∼ (a∧b )f. a→∼bg. ∼a→∼b

8. a. p q ∼ p ∼q p→q ∼ p∨q

BBSSBSBS

SSBBSBSB

BSBBBSBBb.

p q r ∼q p∧q q∧∼q r∧q (q∧∼q→r∧ q) p∧q→(q∧∼q→r∧q)BBBBSSSS

BBSSBBSS

BSBSBSBS

SSBBSSBB

BBSSSSSS

SSSSSSSS

BSSSBSSS

BBBBBBBB

BBBBBBBB

c. p q r ∼ p ∼q ∼ p→r p→∼q (∼ p→r )∨( p→∼q)∼( (∼ p→r )∨ ( p→∼q ))∼( (∼ p→r )∨ ( p→∼q ))∧rBBBBSSSS

BBSSBBSS

BSBSBSBS

SSSSBBBB

SSBBSSBB

BBBBBSBS

SSBBBBBB

BBBBBBBB

SSSSSSSS

SSSSSSSS

Negasiimplikasip q p→q ∼( p→q) ∼ p ∼q p∧(∼ q)BBSS

BSBSBSBB

SBSSSSBB

SBSBSBSS

∼ ( p→q )≡ p∧∼q

p→q≡∼ ( p∧∼q )

Negasibiimplikasip↔q≡ ( p→q )∧ (q→ p )∼ ( p↔q )≡∼ ( ( p→q )∧ (q→ p ) )

≡∼ ( p→q )∨∼ (q→ p )

Catatan : → operasi dalam logika→sama dengan≡

Implikasi invers konverskontrapositif

Konvers ;berlakupadaimplikasisaja≡

≢≡

Exercises 1.31. a b c d e f g hp q ∼ p ∼q p∧∼q p →q

∼(∼ p∨q) q→∼ p ∼ p∨q ∼( p→q) p→∼q ∼ p→∼q∼ p∨q

BBSSBSBS

SSBBSBSB

SBSSBSBB

SBSSSBBB

BSBBSBSS

SBBBBBSB

BSBB≡

p→q≡ p∨q

∼ ( p↔q )≡ ( p∧∼q )∨ (q∧∼ p )

→↔

⟹⟺

p q p→q ∼ p→∼q q→ p ∼q→∼ pBBSSBSBS

BSBBBBSB

BBSBBSBB

≡≡Jadi:a≡ cc ≡ fa≡ fb≡ d

2.p q r ∼ p ∼q q∨ r p∧(q∨r ) p∧q p∧r ( p∧q )∨( p∧r ) q∧ r p∨(q∧r )BBBBSSSS

BBSSBBSS

BSBSBSBS

SSSSBBBB

SSBBSSBB

BBBSBBBS

BBBSSSSS

BBSSSSSS

BSBSSSSS

BBBSSSSS

BSSSBSSS

BBBBBSSS≡

≡

≡

≡4. a. The contrapositive of ∼ p→q is ∼q→ pb. The cinverse of ∼q→ pis p→∼qc. The inverse of the converse of q→∼ p is p→∼qd. The negation of p→ qis p∧qe. The converse of ∼ p∧q is q∧∼ p5. a. 2+1=4→3+2=5S→B=Bb. Red is white ↔green is blueS↔S=Bc. 2+1=3∧3+1=5→4 is odd( B∧S )→ S=B S → S = Bd. 4 is odd →5is oddS→B=B

p∨q p∨r ( p∨q )∧( p∨r ) p↔q p→q q→ p ( p→q )∧(q→ p) ∼q→∼ pBBBBBBSS

BBBBBSBS

BBBBBSSS

BBSSSSBB

BBSSBBBB

BBBBSSBB

BBSSSSBB

BBSSBBBB

e. 4 is odd →5is evenS→S=Bf. 5 is odd →4 is odd

B→ S=S

9. p, ∼q∧r (B )1. p→qB→ S=S2. q→ pS→B=B3. p→ (q∨ r )B→ ( S∨B )B→ B=B4. p↔qB↔ S=S5. p↔rB↔ B=B6. ( p∨q )→ p( B∨S )→ BB→ B=B7. ( p∧q )→q( B∧S )→ SS→S=B10. a. p q ∼ p ∼q p∨q ∼ p∧∼q ∼(∼ p∧∼ q)BBSS

BSBSSSBB

SBSBBBBS

SSSBBBBS

≡b. p q p qBBSSBSBS

SBBBc. p p p p

BBSSSBBB

SSBBd. p q p q q p ( p q ) ( q p ) p∧q

B B S S B B

A B

BSSSBS

BBBBBB

SSSSSS

≡

QUIS P Q p∨q p∧q p→q p↔qBBSS

BSBSBBBS

BSSSBSBB

BSSBNILAIA

Quantor1. Semua harimau memakan daging = ∀x p ( x )2. Beberapa harimau memakan daging = ∃x p ( x )

Quantor universal berlaku untuk seluruh anggota domain ∀ = semua, setiap, tiap – tiap, seluruh, dst . . .Quantor eksistensial berlaku untuk sebagian anggota domain∃ = ada, beberapa, sebagian, dst . . .

A :kumpulanmahasiswa I bB :mahasiswasenangmencontek Beberapamahasiswa I b senangmencontekk

Semuamahasiswa yang senangmencontekmerupakanmahasiswa I bContoh1. ∀ x ( x>x ) (di bacasemua x termasukbilangan real x lebihbesardari x )

x∈ R2. ∃ x ¿2 = x ) ( di bacabeberapa x termasukbilangan real x2samadengan x )Jawab :1. Ambil x = 1 ∈R, 1 > 1 ( salah )2. Ambil x = 1 ∈R, 12 = 1 ( benar ) ( asalkanada 1 buktisaja yang menyatakanbenarmakapernyataanyabenar )Negasinya1. Ada harimau yang tidakmakandaging (∃ x∼ p ( x ) ¿2. Semuaharimautidakmakandaging (∀ x∼ p(x )¿

Negasidaricontoh yang diatas1. ∃ x ( x≤ x) : 1 ≤ 12. ∀ x¿2≠ x¿: x = 1Contoh :Missal didefinisikan q ( x, y ) sebagai “ x = y + 2 “ tentukannilaikebenarandari Q ( 1, 2 )Kuantortersarang

Missal x dan y adalah orang L ( x, y ) = x mencintai y

o ∃ y L (x , y )=x mencintai beberapa yo ∀ x (∃ y L ( x , y ) )=semua xmencintai beberapa yo ∀ y (∃ x L ( x , y ) )=beberapa xmenciintai semua yo ∃ x ∀ y L (x , y )=beberapa x mencintai semua yo ∀ x ∀ y L ( x , y )=semua xmencintai semua yo ∃ y ∀ x L (x , y )=semua x mencintaibeberapa y

∀ x ∀ y p ( x )≡∀ y ∀ x p ( x )∃ x ∃ y p ( x )≡∃ y ∃ x p ( x )∀ x ( p ( x )∧ q ( x ) )≡∀ x p ( x )∧q ( x )∃ x ( p (x )∨q ( x ) ) ≡∃ x p (x )∨q (x)

∼ (∀ x p ( x ) )≡∃ x∼ p ( x )

∼(∃ x p ( x ))≡∀ x∼ p(x )

Contoh :Ada x ∈B ,∋ x∈bilangan ganjil atau x∈bilangan genapAda x ∈B ,∋ x∈bilangan ganji atau ada x∈B∋ x∈bilangan ganjil

Exercises 1. 61. a. ∃ x (4=x+2 ) (T )b. ∀ x ( 4=x+2 )(F )c. ∀ x p ( x ) ( F )d. ∀ x p ( x ) ( F )e. ∃ x p ( x )f. (∃ x p ( x ) ) ( F )g. ∀ x p ( x ) ( F )h. ∀ x p ( x ) (T )i. ∃ x p ( x ) (T )j. ∃ x p ( x )∧q ( x )

k. ∃ x p ( x )∨q ( x )l. ∀ x p ( x )m. ∃ x p ( x ) (T )n. ∃ x p ( x )(T )o. ∀ x p ( x ) ( F )p. ∀ x p ( x ) ( F )q. (∃ x p ( x ) ) ( F )r. ∃ x p ( x ) (T )s. ∀ x p ( x ) ( F )

2. a. (∃ x (4=x+2 ) ) ≡∀ x ( 4≠ x+2 )For all integer x such that 4 ≠ x+2b. (∀ x ( 4=x+2 )) ≡∃ x ( 4≠ x+2 )There exist an integerx ,4≠ x+2c. (∀ x p ( x ) )≡ p ( x )Some equilateral triangles is not equiangulard. (∀ x p ( x ) )≡∃ x p ( x )Some students dislike logice. (∃ x p ( x ) ) ≡∀ x p ( x )All students like logicf. ( (∃ x p ( x )) )≡∃ x p ( x )Some men is an islandg. (∀ x p ( x ) )≡∃ x p ( x )Someone who understands logic dislike it h. (∀ x p ( x ) )≡∃ x p ( x )Several person hasn’t a motheri. (∃ x p ( x ) ) ≡∀ x p ( x )All the integers there are some which aren’t primesj. (∃ x p ( x )∧q ( x ) ) ≡∀ x p ( x )∨∼ q ( x )All integers are odd or not divisible by 3k. ∼¿All integers are odd and not divisible by 3l. (∀ x p ( x ) )≡∃ x p ( x )Some cyclic groups aren’t abelianm. (∃ x p ( x ) ) ≡∀ x p ( x )

All of the letters in banana are consonant n. (∃ x p ( x ) ) ≡∀ x p ( x )All day next month is not a Friday o. (∀ x p ( x ) )≡∃ x p ( x )Some solutions of x2 – 4 = 0 are negativep. (∀ x p ( x ) )≡∃ x p ( x )Some solutions of x2– 4 = 0 are negativeq. ( ∃ x p ( x ) ) ≡∃ x p (x )Some solutions of x2– 4 = 0 are positiver. (∃ x p ( x ) ) ≡∀ x p ( x )All candidates won’t be the winners. (∀ x p ( x ) )≡∃ x p ( x )Some elements in set A is not an element of set B3. a. ¿ For all x in natural numbers are even ( F ) There exists an x in natural numbers is odd ( T )

b. (∀ x∈D , p ( x )∨q ( x ) ) ≡∃ x∈D , p ( x )∧∼ q ( x ) Every x in natural numbers is even or divisible by 3 ( F ) There exists an x in natural numbers is odd and not divisible by 3 ( T )

c. ∼ (∀ x∈D , p ( x ) →q (x ) ) ≡∃ x∈D , p ( x )∧∼q ( x ) For all x in natural numbers if x are even then x are divisible by 3 ( F ) There exists an x in natural numbers x is even and x is not divisible by 3 ( T )d. ∼ (∀ x∈D , p ( x )∨r ( x ) )≡∃ x∈D , p ( x )∧∼q ( x ) For all x in natural numbers x are even or x are divisible by 4 ( F ) There exists an x in natural numbers x is odd and x is not divisible by 4 ( T )

e. ∼ (∀ x∈D , p ( x )∧q ( x ) ) ≡∃ x∈D , p ( x )∨∼ q ( x ) For all x in natural numbers x are even and x are divisible by 3 ( F ) There exists an x in natural numbers x is odd or x is not divisible by 3 ( T )

f. ∼ (∃ x∈D∋ r ( x ) ) ≡∀ x∈D∋ r ( x ) There exists an x in natural numbers such that x is divisible by 3 ( T )

For all x in natural numbers such that x are not divisible by 3 ( F )g. (∃ x∈D∋ p (x )∧q ( x ) ) ≡∀ x∈D∋ p ( x )∨∼ q ( x )

There exists an x in natural numbers such that x is even and x is divisible by 3 ( T ) For all x in natural numbers such that x are odd or x are not divisible by 3 ( F )

h. ∼ (∃ x∈D∋ p (x )∧q ( x ) ) ≡∀ x∈D∋ p ( x )∧∼q ( x ) There exists an x in natural numbers such that if x is even then x is divisible by 3 ( T ) For all x in natural numbers such that x are even and x are not divisible by 3 ( F )

i. ∼¿ There exists an x in natural numbers such that if x is divisible by 3 then ( x + 1 ) is divisible by 3 ( F ) For all in natural numbers such that x are divisible by 3 and ( x + 1 ) are not divisible by 3 ( T )

j. ∼¿ There exists an x in natural numbers if x is divisible by 4 then x are even ( T ) For all x in natural numbers such that x are even and ( x + 1 ) are not divisible by 3, or ( x + 1 ) are divisible by 3 and x is odd ( F )

k. ∼ (∀ x∈D ,r (x ) → p ( x ) ) ≡∃ x∈D ,r ( x )∧∼ p ( x ) For all x in natural numbers if x are divisible by 4 then x are even ( T ) There exists an x in natural numbers x is divisible by 4 and x is odd ( F )

l. ∼ (∀ x∈D , p ( x ) → q (x ) ) ≡∃ x∈D , p ( x )∧q ( x ) For all x in natural numbers if x are even then x are not divisible by 3 ( F ) There exists an x in natural numbers x is even and x divisible by 3 ( T )

m. ∼¿ For all x in natural numbers if x are even then ( x + 2 ) are even ( T )

There exists an x in natural numbers x is even and ( x + 2 ) is odd ( F )n. ∼¿

For all x in natural numbers if x are divisible by 4 then ( x + 4 ) are divisible by 4 ( T ) There exists an x in natural numbers if x is divisible by 4 and ( x + 4 ) is not divisible by 4 ( F )

o. ∼ (∀ x∈D ,q ( x )→q ( x+1 ) ) ≡∃ x∈D ,q ( x )∧∼q (x+1) For all x in natural numbers if x are divisible by 3 then ( x + 1 ) are divisible by 3 ( F ) There exists in natural numbers x is divisible by 3 and ( x + 1 ) is not divisible by 3 ( T )

Penarikankesimpulan Semuasingamenyeramkan“ xadalahsinga “ = p ( x )“ xitumenyeramkan “ = q ( x )

∀ x p ( x )→q(x ) Beberapasingatidakminum kopi“ xadalahsinga “ = p ( x )“ xtidakminum kopi “ = r ( x )

∃ x ( p (x )∧∼r ( x ) )

JadiBeberapa yang menyeramkantidakminum kopi

∀ x ( p ( x )→q ( x ) )∃ x ¿

1. p (a ) →q (a )2. p (a )∧∼q ( a )3. p (a )4. ∼q ( a )5. q ( a )6. q ( a )∧∼r (a )

1. AdditionP∴ p∨q

2. Simplifyp∧q∴ p3. KonjungsiPQ∴ p∧q4. Disjunctive syllogismp∨q∼ p∴q5. Modus ponenspp→q∴q6. Modus tollens∼qp→q∴∼ p7. Hipotetical syllogismp→qq→r∴ p→r8. Universal instantiation∀ p ( x )∴ p (a )9. Eksistensial instantiation∃ x p ( x )∴ p (c )10.Universal generalizationp (a )∴∀ x p ( x )11.Eksistensial generalizationp (c )∴∃ x p(x)

∃ x ¿

Show that ( p∨ (∼ p∧q ) )≡∼ p∧∼ qwithout usingtable of truth

∼ ( p∨ (∼ p∧q ) )∼ p∧ (∼ p∧q )∼ p∧ ( p∨∼q )

(∼ p∧ p )∨ (∼ p∧∼q ) ≡∼ p∧∼q

1. It is not sunny and it is cold2. We swim only if it is sunny3. If we do not swim, then we will be canoe4. If we canoe then we will be home earlyJawab“ it is sunny “ = “ sunny ““ it is cold “ = “ cold ““ we swim “ = “ canoe ““ we get home early “ = “ early “

1. ∼ sunny∧ cold2. swim→sunny3. ∼ swim→canoe4. canoe→early5. ∴ sunny……..simplify 16. cold ……………… simplify 17. swim ………… M.T 5 & 28. canoe……………. M.P 7 & 39. early……………...M.P 8 & 41. Semuamerakitu kaya akanwarna2. Tidakadaburungbesar yang hiduppadadahan3. Burung yang hiduptidak di dahanmemilikisedikitwarnaKesimpulanyaburungmerakitukecilSemuamerakitu “ p ( x ) “Kaya akanwarna “ q ( x ) “Tidaskadaburungbesar “ r ( x ) “ Yang hiduppadadahan “ s ( x ) “Burung yang hidup “ t ( x ) “1. ∀ x¿

2. ∃ x (r ( x)∧ s ( x ) )≡∀ x ¿3. ∀ x ( s ( x )→ q ( x ) )

∴∀ x ( p ( x )→ r ( x ) )4. ∀ x (r ( x )→ s ( x ) )∀ x ( s ( x )→ q ( x ) )

∴¿5. ∀ x¿∀ x (r ( x )→ q ( x ) )

∴¿

1. Sayamungkinbermimpiatauberhalusinasi2. Sayatidaksedangbermimpi3. JikasayabarhalusinasimakasayaakanmalihatgajahberbikiniTentukankesimpulan yang bias dibuatdariketigapernyataanberikutSayamungkinbermimpi “ p “Berhalusinasi “ q “ Melihatgajahberbikin “ r “

1. p∨q2. ∼ p3. q→r4. p∨q∼ pq5. qq→rr6. qrq∧ r

Saya berhalusinasi dan saya melihat gajah berbikin∃ x ( p (x )∧q ( x ) )1. ∃ x p ( x )∧∃ x q ( x ) premis √2. ∃ x p ( x ) simp 1 √3. p (c ) EI 2 √4. ∃ x q ( x ) simp 1 √5. q ( c ) EI 4 X6. p (c )∧ q (c ) conj 3 & 5 X7. ∃ x ¿ EG 6 √Identify the error or errors from argument above

KarenabelumtentuP ( x ) = q ( x ) Contoh :Ada x, sehingga x bilangan prima dangenap( B )∃ x p ( x )p (3 ) (B )

∃ x q ( x )q (3 ) ( S )

a = 1 dan b = 1a = ba . a = b .aa2 = a .b a2 – b2 = a . b – b2

(a+b )(a−b)(a−b)

= (a−b ) b(a−b)

: a – b berapapun tidak bias di bagi dengan 0a + b = b1 +1 = 12 = 1(salah)

Semuamahasiswa TI ( TeknikInformatika ) mengambilmatakuliahpengantardasarmatematika Tatangmengambilmatakuliahpengantardasarmatematika

∴Tatang merupakan mahasiswa TI

PernyataannyasalahKarena yang mengambilmatakuliahpengantardasarmatematikabukanhanyamahasiswa TIPembuktianlangsungAnalisa = kemampuanuntiukmelihatdarikomponen – komponenpenyusunsesuatuSintesa = kebalikandarianalisasepertikemampuaninformasiingindijadikanapaInduktif = mencaripola, melihatpola( dihindariolehmatematika )Deduktif = suatukonsepmendasarikonsepsebelumnyaAbduktif = harus transit duluketempat lainContoh :p→q p harus ke q dulu baru ke r

q→r∴ p→r

Pembuktianlangsung1. Genap + genap = genap2n + 2m = 2 ( m + n )= 2 k, k ∈B2. Ganjil + ganjil = genap( 2n + 1 ) + ( 2m + 1 ) = 2m + 2n + 2 = 2 ( m + n + 1 ) = 2 l, l ∈B3. Genap + genap = ganjil2n + ( 2m +1 ) = 2m + 2n + 1 = 2 ( m + n ) + 1 = 2p + 1 , p ∈B4. Genap x genap = genap2n x 2m = 4mn= 2 ( 2mn )= 2 b, b ∈B5. Ganjil x ganjil = ganjil( 2n + 1 ) x ( 2m + 1 ) = 4mn + 2m + 2n + 1 = 2 ( 2mn + m + n ) + 1 = 2 c + 1, c ∈B6. Ganjil x genap = genap( 2n + 1 ) x 2m = 4mn + 2m = 2 ( 2mn + 2m ) = 2 d, d ∈B

2 x 3 = 3 + 3 ( 3sebanyak 2 )3 x 2 = 2 + 2 + 2 ( 2sebanyak 3 )+ x + = +a x b = b + b + b + . . . + b ( sebanyak a )positif ab+ x - = -a x – b = ( -b ) + ( -b ) + ( -b ) + . . . + ( -b ) ( sebanyak a )negative ab- x - = ?( -a ) x ( -b ) = ?---------( -a ) x 0 = 0 Berapapun di kali 0 hasilnya 0( -a ) x ( b + ( -b )) = 0( -a ) x b + ( -a ) x ( -b ) = 0-ab + ? = 0-ab + ab = 0Tugas1. ganjjil

ganjil=ganjil

(2 n+1 )(2m+1 )

=2( nm )+1

= 2a + 1, a∈B2. genapgenap

=genap (kontra example)

2n2m

=2( nm ) = 2z, z∈B3. genap−genap=genap2n – 2m = 2 ( n – m ) = 2y, y∈B4. genap−ganjil=ganjil2n – 2m = 2 ( n – m ) + 1= 2x, x∈B5. ganjil−ganjil=genap2n + 1 – 2m + 1 = 2 ( n – m ) 1 – 1

= 2s, s∈B6. ganjil−genap=genap2n + 1 – 2m = 2 ( n – m ) + 1 = 2m + 1, m∈ B

7. ( ganjil+genap )2=genap X genap=genap(2n+1+2m+1 )2

(2n+2 m+2 )2

(2 (n+m+1 ) )2

(2d )2

2d X 2e4 de2 (2de )2f , f ∈B8. ( genap+genap )2=genap X genap=genap(2n+2 m )2

(2 (n+m ) )2

(2q )2

2g X 2h4 gh2 (2gh )2 i , i∈B9. ( ganjil : ganjil )2=ganjil X ganjil=ganjil

( 2n+12m+1 )

2

(2(mn )+1)

2

(2 j+1 )2

2 j+1 X 2k+14 jk+2 j+2k+12 (2 jk+ j+k )+12 l+1, l∈B10.ganjil2 X ganjil2=genap( ganjil X ganjil )−( ganjil X ganjil )( (2n+1 ) X (2m+1 ) ) – ( (2n+1 ) X (2 m+1 ))(4 nm+2n+2m+1 )−( 4nm+2n+2m+1 )(2 (2nm+n+m )+1 )−(2 (2nm+n+m )+1 )

2n+1 - 2m+1¿2 (n−m)¿2 c , c∈B

11.ganjil2−genap2=ganjil( ganjil X ganjil )−( genap X genap )( (2n+1 ) X (2m+1 ) )−( (2n ) X (2m ) )(4 nm+2n+2m+1 )−( 4nm )(2 (2nm+n+m )+1 )−(2 (2nm) )

2n+1 - 2m¿2 (n−m)+1¿2 p+1, p∈B12.tidak adabilangan prima genapselain2 (2 ,3 ,5 ,7 ,11 ,13 ,… )13.

iya , karena selain2tidak adabilangan genap lagi di bilangan prima (2 ,3 ,5 ,7 , 11,13 ,… )

Exercises 1. 82. Teorema : jika x, x∈B genap maka x – y ∈B genapa. Proof I :x, y ∈B ganjilmakadapatdinyatakan x = 2j + 1 dan y = 2k + 1, k, j ∈Bsehingga x –y = 2j + 1 – ( 2k + 1 ) = 2 ( j – k )misal j – k = ljadi x – y = 2l, l∈Bkesimpulanya x –y ∈B genap ( salah )c. Proof 3 :x, y ∈Bx – y∈B ganjilmakadapatdikatakan x –y = 2j + 1, j ∈Bkemungkinan Imisal y ∈B genap terbuktikemungkinan IImissal y ∈B ganjilberarti y = 2k + 1, k ∈Bsehingga x = x + y – y = ( x – y ) + y = ( 2j + 1 ) + 2k + 1 x = 2 ( j + k + 1 )missal j + k + 1 = l x = 2l, l∈Bdidapat x∈B genap

e. Proof 5 :x, y ∈B genapx - y∈B ganjilsehinggadapatdinyatakan x = 2j dan y = 2ksehingga x – y = 2j – 2k = 2 ( j – k )

missal j – k = ljadi x – y = 2l, l ∈Bkesimpulanya x – y∈B genap, tapi ini kontradiksi dengan asumsi bahwa x – y adalah ganjil ( benar ) ( bukti kontradiksi )g. Proof 7 :x, y ∈B genapsehinggadapatdinyatakan x = 2j dan y = 2ksehingga x – y = 2j – 2k = 2 ( j – k )missal ( j – k ) = l = 2l, l ∈BKesimpulanya x – y genap( benar ) ( buktilangsung )i. Proof 9 :x, y ∈Bx - y ganjilmakadapatdinyatakan x – y = 2j + 1, j ∈Bjika x ganjil, maka x = 2k + 1, k ∈Bkitamempunyaiy = x –x + yy = x – ( x – y ) = 2k + 1 – ( 2j + 1 ) = 2 ( k – j )missal k – j = ly = 2l, l ∈Bkesimpulan y genap ( kkontrapositive )

Contohpembuktian formalT = jika m, n ∈B genap maka m + n ∈B genapp q PembuktianlangsungM, n ∈B genapMakadapatdinyatakan m = 2k dan n = 2j, k, j ∈B sehingga m + n = 2k + 2 j = 2 ( k + j )Missal k + j =l jadi m + n = 2l ,l∈BKesimpulannya m + n ∈B genap proof Bukti contrapositive q→ pm, n ∈Bm + n ≠genap ( ganjil ) makadapatdikatakan m + n = 2k + 1, k ∈Bkemungkinan Imissal m ∈Bganjil terbuktikemungkinan IIberarti m = 2j, j ∈B

sehingga n = m – m + n = ( m + n ) – m = 2k +1 – 2j n= 2 ( k – j ) + 1n = 2 l + 1, l ∈B didapat n ∈Bganjil Buktitidaklangsungm, n ∈Bgenapm + n ∈Bganjilsehinggadapatdinyatakan m = 2k dan m + n = 2j + 1, k, j ∈Bkemudiandapatdinyatakann = n + m – m = ( m + n ) – m = 2j + 1 – 2k = 2 ( j - k) + 1missal l = j – k, l ∈Bn = 2l + 1dengan kata lain n ∈Bganjilhalinikontradiksidenganpersamaan / premim, n ∈B genap di atasberartipemisalan m + n ∈Bganjil Xbuktikanbahwatidakada x bilanganrasionalsehingga X2 = 2 -Kita pakaikontradiksiMissal x bilanganrasionalSehingga x dapatdinyatakandengana

b,b≠ 0 , fpb (a ,b )=1

Akibatnya x2 = a2 = 2b2a2 = 2b2 . . . ( 1 )didapat a bilangangenap. Dengan kata lain a = 2k, k ∈Bjadi, ( 2k )2 = 2b24k2 = 2b22k2 = b2 . . . ( 2 )Didapat b bilangangenap ( karena 2 genap FPB harus min. 2 )Jadiab memiliki FPB ( a, b ) ≥ 2Hal inikontradiksidenganpermisalan x bilanganrasionalKarena FPB ( a, b ) ≠ 1

Induksimatematik1 = 11 + 2 = 31 + 2 + 3 = 61 + 2 + 3 + 4 = 101 + 2 + 3 + . . . + 100 = ?1 + 2 + 3 + . . . + n =

n2 ( n + 1 )

n = 1 → 1 = 12( 1 + 1 )1 = 1n = k →1 + 2 + 3 + . . . + k =

k2 ( k + 1 ) asumsikan benar

akandibuktikanbahwabenaruntuk

n = k + 1→1 + 2 + 3 + . . . + k + k + 1 =k+1

2 ( k + 2 )

k2(k+1) + k + 1 = k+1

2 ( k + 2 )

(k+1 )( k2+1)

(k+1 )( k+22 )

( (k+1 )(k+2)2 )= k+1

2( k + 2 )Terbukti

1 = 12 + 3 + 4 = 93 + 4 + 5 + 6 + 7 = 254 + 5 + 6 + . . . + 10 = 495 + 6 + 7 + . . . + 13 = 81n→

bukti : n = 1 → ( 2 . 1 – 1 )2 = 1( 2 – 1 ) = 11 = 1Untuk n = k →( 2 . k – 1 )2 = k + ( k + 1 ) + . . . + ( 3k – 2 ) ( asumsikanbenar )Akan dibuktikanbahwauntuk n = k + 1n = k + 1 → ( 2k + 1 )2 = ( k + 1 ) + ( k + 2 ) + . . . + ( 3k – 2 ) + ( 3k – 1 ) + 3k + ( 3k + 1 )karenatidakada “ k “ maka( 2k + 1 )2 = ( 2k + 1 )2 – k + ( 3k – 1 ) + 3k + ( 3k + 1 )= 4k2 – 4k + 1 – k + 9k= 4k2 + 4k + 1( 2k + 1 )2 = ( 2k + 1 )2 ( terbukti )

( 2n – 1 )2 = n + ( n – 1 ) + . . . + ( 3n – 2 )

13 = 113 + 23 = 913 + 23 + 33 = 3613 + 23 + 33 + 43 = 100Rumusumum

n = 1 →[1(1+1)2 ]

2 = [22 ]

2

n = k → 13 + 23 + . . . + k3 = [ k (k+1)2 ]

2

n = k + 1 →13 + 23 + . . . + k3 + ( k + 1 )3 = [ k+1(k+2)2 ]

2

[ k (k+1)2 ]

2 + ( k + 1 )2 . ( k + 1 )( k + 1 )2( k2

22 +(k+1))( k + 1 )2 ( k2+4k+4

22 )( k + 1 )2 (k+2 )2

22

( 12

(k+1 ) (k+2 ))2( terebukti )

Jika x ≥ 0 ,maka∀ x∈N , (1+x )n≥ 1+xnUntuk n = 1 →1+x ≥1+x benarUntuk n = k → (1+n )k ≥1+xk asumsikanbenarAkan dibuktikanbahwan=k+1→ (1+x )k+1≥ 1+ xk+1

(1+x )k . (1+x )≥ (1+xk ) (1+x )≥ 1+xk+1

(1+x )k+1 ≥1+x+xk+xk+1 ≥1+xk+ 1

(1+x )k+1 ≥1+xk +1+x+xk ≥1+xk+ 1

(1+x )k+2 ≥1+xk +1

a≥ b+c+d+ea≥ b

∀ n∈N ,n2≤ nUntuk n = 1 →12≤ 1benar

13 + 23 + . . . + n3 = [n (n+1)2 ]

2

a≥ ba . c ≥b . c

Untuk n = k →k2≤k asumsikan benarAkan dibuktikanbahwa n = k + 1 → (k+1 )2≤ k+1

k 2+2k+1 ≤k+1k 2+2k ≤k

k 2≤k2+2k ≤k k 2≤k

KembalipadaasumsiawalterbuktiAsumsin2 ≤n ,n∈N benarAmbil n = 2, 2 ∈N , sehingga22 ≤24 ≤2 , kesimpulan salahAsumsiawalsalah

∀ n∈N ,n2−n+41merupakanbilangan primaAmbilcontoh 41 makahasilnya412, bilangan kuadrat bukan bilangan prima jadi salah, D = Deferensial( turunan )∀ n ,D x xn=nxn−1

Untuk n = 1 → Dx x=1. x1−1=1benarUntuk n = k → Dx xk=k . xk−1 asumsikanbenarAkan dibuktikanbahwaUntuk n = k + 1 → Dx xk +1=(k+1 ) xk

( uv )’ = u’ . v + v’ .u D x xk . x=k . xk−1 x+1 . xk

= k . xk+ xk= xk (k+1 )terbukti

Tunjukkanbahwa, jika n bilanganbulatpositifmaka n adalahbilanganganjiljikadanhanyajika 5n + 6Bilanganganjil p→q( →¿ n = ganjiln = 2k + 1, k∈Nsehinggadidapat 5n + 6= 5 ( 2k + 1 ) + 6= 10k + 1 misal 5k + 5 = l, l∈N= 2 ( 5k + 5 ) + 1= 2l + 1Kesimpulan 5n + 6 = 2l + 1 atau 5n + 6 ganjil( ←¿q→ pkontrapositifn = genapn = 2p, p∈Nsehinggadidapat 5n + 6 = 5( 2p ) + 6 = 10p + 6 = 2 ( 5p + 3 ) = 2qmissal 5p + 3 = q, q∈N

kesimpulan 5n + 6 = 2q atau 5n + 6 genaptunjukkanjikax∈Q maka 1

x∈Q

x∈QArtinya x dapatdinyatakandenganab

,b≠ 0 , a≠ 0 , a , b∈Z

(karenabila x=0=ab

→a=b .0→a=0)Sehingga1

x= 1

ab

=ba

, ba∈Q

Kesimpulanya1x∈Q

Tunjukkanbahwaterdapatbilangandaribilangan real a1 , a2 , a3 ,…an yang lebih dari atau samadengan ( ≥ ) rata – ratanyaDefinisi A =a1+a2+a3 ,…+an

nPakaikontradiksiAsumsikana1 , a2 , a3 ,…an< Aa1+a2+a3 ,…+an<n . A

Akibatnyaa1+a2+a3 ,…+an

n< AKotradiksidengandefinisiKesimpulanyaasumsisalah a1< A

a2< Aa3< A...an< A +

a1+a2+a3 ,…+an<A+A+¿ A ( sebanyak n )

Exercises 3. 21. a. ∀ n∈N ,12+22+…+n2=n (n+1 ) (2n+1 )6

n = 1 →( 1 (1+1 ) (2 (1 )+1 )6 )=6

6=1

n = k →12+22+…+k2=k (k+1 ) (2 k+1 )

6asumsikan benar

n = k + 1 →12+22+…+k2+k+12=k+1 (k+2 ) (2k+3 )

6k (k+1 ) (2 k+1 )

6+( k+1 )2

k (k+1 ) (2 k+1 )6

+( k+1 ) ( k+1 )

(k+1 )( k (2k+1 )6

+(k+1 ))(k+1 )( k (2k+1 )+6 ( k+1 )

6 )(k+1 )( 2k2+k+6k+6

6 )(k+1 )( 2k2+7k+6

6 )(k+1 )( ( k+2 ) (2k+3 )

6 )k+1 (k+2 )(2k+3)

6( terbukti )

c. ∀n∈N ,1+3+5+…+¿) = n2n = 1 →12=1 (basis stap )n = k →1+3+5+…+¿) = k 2asumsikan benarn = k + 1 →1+3+5+…+(2k−1 )+ (2k+1 ) = (k+1 )2

k 2+(2k+1 )=(k+1 )2

k . k+(2k+1 )k ¿

k (k+(2 k+1k ))

k ( k2+2k+1k )

k ( ( k+1 ) ( k+1 )k )

(k+1 )2 ( terbukti )d. ∀n∈N ,1+2−1+2−2+2−3+…+2−n≤ 2

1 + 12+ 1

22 +…+ 12n ≤ 2

Akan dibuktikanbahwa n + 1

1+ 12+ 1

22 +…+ 12n + 1

2n+1 ≤ 2

12+ 1

22 +… 12n +

12n+1 ≤1

12 (1+ 1

2+…+ 1

2n )≤ 2 . 12

1+ 12+…+ 1

2n ≤ 2

2 ≤ 2

j. ∀ n∈N ,2n>nn=1→21>1=21>1n=k →2k>k asumsikanbenar

2k>k2k+2k>k+2k>20+k k∈N2k+2k>k+20 k>0

2 .2k>1+k 2k>20

2k +1>1+k

Buktikanbahwa min ( a, min ( b, c ) ) = min ( min ( min ( a, b ), c ) untuk a, b, c ∈R

a<b<c min ¿¿ a<c<bmin ¿¿ b<a<c min ¿¿ b<c<amin ¿¿ c<a<bmin ¿¿ c<b<amin ¿¿Kesimpulanyaberdasarkanenamkasus yang mungkindidapatmin¿¿terbukti

12+ 1

6+ 1

12+ 1

20+…+ 1

9900= 99

100

12+ 1

6+ 1

12+…+ 1

n (n+1 )= n

n+1

Kita buktikan 1n (n+1 )

=1n− 1

n+1

n = 1 → 11(1+1)

=11− 1

(1+1)

12=1

1−1

212=2−1

212=1

21

n (n+1 )= 1

n− 1

( n+1 )1

(n2+n )=n−n+1

(n2+n )1

n2+n= 1

n2+1

n = k → 12+ 1

6+ 1

12+…+ 1

k (k+1 )= 1

k+1

n = k + 1 → 12+ 1

6+ 1

12+…+ 1

k (k+1 )+ 1

k+1 (k+2 )= 1

k+21

k+1+ 1

k+1 (k+2 )

= k (k+2 )(k+1 ) (k+2 )

+ 1( k+1 ) ( k+2 )

= k+1k+2

= k (k+2 )+1(k+1 ) (k+2 )

= k2+2k+1(k+1 ) (k+2 )

= (k+1 ) (k+1 )(k+1 ) (k+2 )

= k+1k+2

Teorema 3 = 4BuktiMissal a + b = c4a – 3a + 4b – 3b = 4c – 3c4a + 4b – 4c = 3a + 3b – 3c X ( karena 4 . 0 = 3. 0 ( 0 = 0 ) )4( a + b – c ) = 3( a + b + c ) X4 = 3

(1−12 )(1−1

3 )(1−14 )… (1− 1

2011)=?

(1−12 )(1−1

3 )…(1− 1n+1 )=( 1

n+1 )

n = k →(1−12 )(1−1

3 )…(1− 1k+1 )=( 1

k+1 )n = k + 1 → 1

k+1 ( 1k+2 )= 1

k+21

k+1 ( 1k+2 )= 1

k+21

k+1. k+1k+2

= 1k+2

1k+2

= 1k+2

Perpotongan garis dengan garisDua garis perpotongan menghasilkan 1 titik potongTitik : menandakan suatu tempat kedudukanGaris : suatu lintasan yang menghubungkan dua titik yang tak seletak1 garis = ∞ titikGaris hanya memiliki 1 dimensiKalkulator lidi 11 X 13 = 143

100 ratusan

40 3 satuan

puluhan

111 X 121 = 1343110000

3000

400 30 1

Ucapan terimakasih kepada : Allah swt Orangtua saudara Teman – teman yang membantuAtas bantuan dari mereka semualah maka tugas portofolio ini dapat diselesaikan dengan baik dan tepat pada waktunya

portgasdhadi.files.wordpress.com · web viewone of the most difficult steps a student of...

Documents