wavelet rendi pradila h s fix

8/16/2019 Wavelet Rendi Pradila h s Fix

http://slidepdf.com/reader/full/wavelet-rendi-pradila-h-s-fix 1/18

MAKALAH RESUME SEISMOLOGI

“Introduction of Wavelet”

Dosen Pengampu: Sukir Maryanto, Ph. D.

Disusun Oleh:

Rendi Pradila Hab Sari (11!"!#!!111!1$%

PRODI GEOFISIKA-JURUSAN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS BRAWIJAYA

2013



KATA PENGANTAR

&ssalamualaikum 'arrahmatullahi 'abarrokatuh.

Pui syukur kita panatkan kehadirat &llah S') yang telah memberikan rahmat serta

hidayahnya sehingga Makalah tentang * Introduction of Wavelet + ini dapat Penulis selesaikan

sesuai dengan adal yang telah ditentukan. Shalaat serta salam semoga senantiasa ter-urahkan

kepada unungan kita, abi Muhammad S&', sebaik/baik hamba &llah, pemimpin orang yang

bertaka, dan pemilik kasih sayang di antara manusia. Shalaat dan salam semoga ter-urah pula

pada segenap keluarganya, para sahabatnya, dan pengikut setianya sampai akhir aman.

Makalah ini adalah makalah yang disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Seismologioleh mahasisa prodi 0eoisika urusan 2isika 2M3P& 4ni5ersitas 6raiaya dengan dosen

pengampu bapak Sukir Maryanto, Ph. D. Didalamnya membahas tentang pengenalan a5elet

dalam metode seismik yang diambil dari presentasi Barak Hr!"#$ berudul sama yang

disampaikan pada seminar 'a5elet bersama Dr% Ha&"# Ha'-(r) Selain itu beberapa kutipan, kami

ambil pula dari beberapa urnal dan makalah. Semoga dengan hadirnya makalah resume ini dapat

memberikan manaat serta syaa7at bagi siapapun yang memba-anya. &amiin.

Malang, 8! Desember 8!19

Penulis



BAB I

PENDAHULUAN

1)1 La#ar B*'aka+&

&nalisis 2ourier adalah analisis gelombang yang mengekspansikan sinyal atau ungsi ke

dalam gelombang sinus (atau eponensial kompleks, yang eki5alen% yang terbukti sangat

berharga dalam metematika, sains dan teknik, terutama untuk enomena periodik, tak gayut

aktu, atau stasioner. Seperti halnya )ransormasi 2ourier, )ransormasi 'a5elet digunakan uga

untuk menganalisis sinyal ataupun data. )ransormasi 'a5elet (TW % adalah suatu alat untuk

memilah/milah data, ungsi atau operator ke dalam komponen rekuensi yang berbeda/beda,

kemudian mempelaari setiap komponen dengan suatu resolusi yang -o-ok dengan skalanya.Dalam beberapa dekade terakhir, perkembangan transormasi a5elet banyak digunakan

untuk aplikasi nyata karena mampu menggambarkan proses nonstasioner se-ara lebih baik. ;ika

dibandingkan dengan transormasi ourier, penggunaan a5elet auh lebih sederhana, karena

a5elet mampu menganalisis data stasioner maupun nonstasioner. )ranormasi a5elet

merupakan perbaikan dari transormasi 2ourier. )ransormasi 2ourier hanya dapat menangkap

inormasi apakah suatu sinyal memiliki rekuensi tertentu ataukah tidak, tapi tidak dapat

menangkap dimana rekuensi itu teradi. Sebagai ilustrasi seperti pada konser musik. )rasormasi

8 2ourier hanya bisa mengatakan apakah suatu <nada7 tertentu mun-ul, tapi tidak dapat

mengatakan kapan nada itu mun-ul dan berapa kali.

Dalam analisis data yang nonstasioner, transormasi ourier kehilangan lokalisasi pada

domain aktu. &nalisis dari sinyal seperti itu mungkin dilakukan dengan penggeseran data.

=ekurangan dari pendekatan itu adalah kompleksitas komputasi pada algoritma dekomposisi

(>aharo5 dan 2austo, 8!!8%. ;ika )ransormasi 2ourier hanya memberikan inormasi tentang

frekuensi suatu sinyal, maka transormasi a5elet memberikan inormasi tentang kombinasi

skala dan frekuensi. Selain itu, )ransormasi 2ourier berdasarkan pada basis sin/-os yang bersiat periodik dan kontinu, sehingga sulit bagi kita ika ingin melakukan perubahan hanya

pada posisi tertentu (pasti akan mempengaruhi posisi/posisi lainnya%

=euntungan menggunakan metode a5elet adalah se-ara otomatis memisahkan tren dari

data dan menunukkan komponen musiman datanya. Hal tersebut yang membedakannya dengan



metode transormasi ourier yang tidak bisa menganalisis rekuensi dan aktu se-ara bersamaan.

Dalam makalah ini akan dibahas mengenai pengertian a5elet se-ara umum, kemudian uga

akan diperkenalkan transormasi a5elet, dekomposisi a5elet serta -ara menganalisisnya untuk

a5elet 1D. sementara untuk 8D akan diperkenalkan piramida a5elet.

1)2 R,a+ Maa'a.

Dari makalah ini, rumusan masalah yang akan dibahas antara lain:a% &pa yang dimaksud dengan a5elet? b% &pa yang dimaksud dengan transormasi a5elet? =enapa kita harus menggunakan

transormasi a5elet?-% &pa komponen dasar dari a5elet?d% &pa -ontoh dari a5elet?

e% &pa keuntungan menggunakan transormasi a5elet?

1)3 T/a+

)uuan dibuatnya makalah ini adalah untuk mengenalkan pemba-a pada a5elet,

bagaimana transormasi, analisis dan dekomposisinya, keuntungannya dan -ontoh aplikasinya.

1) Ma+aa#

Setelah memba-a makalah ini diharapkan pemba-a dapat mengetahui tentang pengertian

a5elet, transormasi, analisis dan dekomposisinya, keuntungannya dan -ontoh aplikasinya.



BAB II

PEMBAHASAN

2)1 Tra+(r,a" F(r"*r

6agaimana transormasi 2ourier bekera? )ransormasi 2ourier mendekomposisi sinyal

ke bentuk ungsi eksponensial dari rekuensi yang berbeda/beda. @aranya adalah dengan

dideinisikan ke dalam dua persamaan berikut:

Dalam persamaan tersebut, t adalah aktu dan adalah rekuensi. merupakan notasi

sinyal dalam ruang aktu dan A adalah notasi untuk sinyal dalam domain rekuensi.

Persamaan (1% disebut )ransormasi 2ourier dari (t% sedangkan persamaan (8% disebut 3n5ers

)ransormasi 2ourier dari A(%, yakni (t%. Persamaan (1% dapat uga ditulis sebagai :@os(8Bt%CSin(8Bt%.........................................(9%

)ransormasi 2ourier dapat menangkap inormasi apakah suatu sinyal memiliki

rekuensi tertentu ataukah tidak, tapi tidak dapat menangkap dimana rekuensi itu teradi.

Ga,ar 0) N("* a+& ,+4' 5a6a 5*k#r, F(r"*r

Misalnya kita punya dua sinyal yang berbeda. Misalkan pula keduanya mempunyai

komponen spektral yang sama. =atakan sinyal pertama mempunyai rekuensi mun-ul

bersamaan, dan yang satu lagi mempunyai rekuensi mun-ul bergantian. )ransormasi



2ourier keduanya sama sebagaimana ditunukkan pada gambar 1 dan gambar 8. @ontoh:

rekuensi pada sinyal mun-ul )ransormasi 2ouriernya bersamaan.

Dari sini dapat dilihat baha )ransormasi ourier tidak sesuai bila digunakan terhadap sinyal

yang non stasioner. (=risnaati, tanpa tahun%

2)2 Wa7*'*#

3stilah a5elet pertama kali digunakan tahun 1"!" yang tertulis dalam thesis milik

&lred Haar. 6entuk teoritis a5elet dikemukakan oleh ;ean Morlet (dkk% di Marseille

Theoretical Physics Center.

'a5elet merupakan ungsi basis yang diisolasi dengan menga-u pada lokasi spasial

atau aktu, dan rekuensi atau angka gelombang. Setiap a5elet memiliki karakteristik

lokasi dan skala (&robone, tanpa tahun%. 6asis a5elet berasal dari sebuah ungsi penskalaan

atau dikatakan uga sebuah scaling function. Scaling function memiliki siat yaitu dapat



disusun dari seumlah salinan dirinya yang telah didilasikan, ditranslasikan dan diskalakan.

Menurut Sydney (1""E%, Wavelet merupakan gelombang mini (small wave yang mempunyai

kemampuan mengelompokkan energi -itra dan terkonsentrasi pada sekelompok ke-il

koeisien, sedangkan kelompok koeisien lainnya hanya mengan/dung sedikit energi yang

dapat dihilangkan tanpa mengurangi nilai inormasinya. (dari Sutarno, 8!1!%

'a5elet dibagi menadi 8 berdasarkan ruang dan aktu yaitu a5elet 1D ('aktu% dan

8D (Ruang%. Pengertian aktu di sini adalah untuk gelombang 1D, kita memulai point

shifting dari sumber menuu akhir, sedangkan pengertian ruang di dalam a5elet 8D, point

shifting /nya 8 dimensi.

A8 Wa7*'*# Fa,"'"*

Wavelet merupakan keluarga ungsi yang dihasilkan oleh wavelet basis y( !%disebut mother wavelet . Dua operasi utama yang mendasari wavelet adalah:

1% penggeseran, misalnya y( !/1%, y( !/8%, y(!"#%, dan

8% penyekalaan, misalnya y(8 !%, y( !% dan y(8 $!%.

=ombinasi kedua operasi inilah menghasilkan keluarga wavelet . Se-ara umum, keluarga

wavelet sering dinyatakan dengan ormula:

dengan:a%# F RG a B ! (R bilangan nyata%,a adalah paremeter penyekalaan (dilatasi%,# adalah perameter penggeseran posisi (translasi% pada sumbu , dan a adalah normalisasi

energi yang sama dengan energy induk. Wavelet induk diskalakan dan digeser melalui

pemisahan menurut rekuensi menadi seumlah sub/sub bagian. 4ntuk mendapatkan

sinyal kembali dilakukan proses rekonstruksi wavelet . 6eberapa -ontoh keluarga wavelet

adalah &aar% 'au#echies% Symlets% Coiflets, dan lain sebagainya (Iihat gb. 9%. (sutarno,

8!1!%



Ga,ar 3 9(+#(. k*'ar&a !a7*'*#

@iri/-iri 'a5elet Haar memiliki scaling function dengan koeisien -! -1 1.

Sedangkan 'a5elet Daube-hies dengan koeisien (D6% memiliki scaling function

dengan koeisien -! (1CJ9%K, -1 (9CJ9%K, -8 (9/J9%K, -9 (1/J9%K.6agian dari keluarga a5elet ini adalah Mother a5elet, 2ather a5elet dan

Daughter a5elet. 2ather a5elet merupakan sebuah ungsi skala, mother a5elet

merupakan ungsi dari a5elet itu sendiri sedangkan daughter a5elet merupakan

turunan dari mother a5elet. Se-ara umum ather a5elet dinyatakan sebagai:

Dari persamaan ather a5elet tersebut, a5elet yang pertama (mother a5elet%

dapat dibentuk sebagai persamaan:

Dari persamaan di atas, dapat dibentuk a5elet berikutnya, dan

seterusnya% dengan -ara memampatkan dan meregangkan serta menggeser/geser mother

a5elet.

B8 Wa7*'*# Tra+(r,

)ransormasi merupakan proses pengubahan data atau sinyal ke dalam bentuk lainagar lebih mudah dianalisis, seperti transormasi fourier yang mengubah sinyal ke dalam

beberapa gelombang sinus atau cosinus dengan rekuensi yang berbeda, sedangkan

transormasi wavelet (wavelet transform% mengubah sinyal ke dalam berbagai bentuk



wavelet basis (mother wavelet % dengan berbagai pergeseran dan penyekalaan (=adir,

1""E dari Sutarno, 8!1!%.)ransormasi wavelet merupakan pengubahan sinyal ke dalam berbagai wavelet

basis dengan berbagai pergeseran dan penyekalaan, oleh karena itu koeisien wavelet dari

beberapa skala atau resolusi dapat dihitung dari koeisien wavelet pada resolusi tinggi berikutnya. Hal ini memungkinkan mengimplementasikan transormasi wavelet

menggunakan struktur pohon yang dikenal sebagai algoritma pyramid (pyramid

algorithm.)ransormasi wavelet merupakan suatu proses pengubahan data dalam bentuk lain

agar lebih mudah dianalisis. Proses transormasi wavelet dapat dilakukan dengan

kon5olusi atau dengan proses pererataan dan pengurangan se-ara berulang. Proses ini

banyak digunakan pada proses dekomposisi, deteksi, pengenalan (recognition,

pengambilan kembali -itra (image retrieval, dan lainnya yang masih dalam penelitian

(>hang dkk., 8!! dari Sutarno, 8!1!%.&da berbagai enis transormasi wavelet% akan tetapi pada bagian ini lebih

menitikberatkan pada transormasi diantaranya Continyu Wavelet Transform dan

transormasi 'iscrete Wavelet Transform (D')% 1/dimensi (1/D%, dan transormasi

wavelet 8/dimensi (8/D%. )ransormasi wavelet 1/D membagi sinyal menadi dua bagian,

rekuensi tinggi dan rekuensi rendah berturut/turut dengan tapis lolos/rendah (low"pass

filter % dan tapis lolostinggi (high"pass filter %. 2rekuensi rendah dibagi kembali menadi

rekuensi tinggi dan rendah. Proses diulang sampai sinyal tidak dapat didekomposisi lagi

atau sampai pada le5el yang memungkinkan. Sinyal asli dapat dipulihkan kembali

melalui rekonstruksi dari sinyal yang telah didekomposisi dengan menerapkan Inverse

'iscrete Wavelet Transform (3D')%. (sutarno, 8!1!%

a CWT (Continu Wavelet Transform

@ara kera transormasi ini adalah dengan menghitung kon5olusi sebuah sinyal

dengan sebuah endela modulasi pada setiap aktu dengan tiap skala yangdiinginkan. ;endela modulasi yang mempunyai skala leksibel inilah yang biasa

disebut induk a5elet atau ungsi dasar a5elet. (ReLa, 8!19%4ntuk langkah/langkah transormasinya dapat diperlihatkan pada gambar (% di

baah ini.



Ga,ar 'a+&ka.-'a+&ka. #ra+(r,a" !a7*'*# k(+#"+ :9WT8

Pada @'), skala dan rekuensi yang lebih tinggi berkorespondensi dengan

a5elet yang paling renggang. 'a5elet yang lebih renggang merupakan sinyal

kasaran utama yang diukur oleh koeisien a5elet (0ambar %. (HuritL, tanpa

tahun%

Ga,ar ;) H+&a+ #"+&&" r*+6a.+a ka'a 6*+&a+ r*k*+"

Pada gambar diatas, diketahui baha: untuk skala rendah, sinyal a5elet

mengalami pemampatan dan dia berkorespondensi dengan rekuensi yang tinggi,

sedangkan untuk skala tinggi, perubahannya kasar dan lambat sebagai bukti dia

berkorespondensi dengan rekuensi yang rendah.

# 'WT ('iscrete Wavelet Transform 'iscrete Wavelet Transform (DWT% adalah salah satu transormasi wavelet yang

merepresentasikan sinyal dalam domain aktu dan rekuensi. DWT memiliki

keunggulan di antaranya mudah diimplementasikan dan eisien dalam hal aktu

komputasi. &nalisis sinyal dengan DWT dilakukan pada rekuensi yang berbeda

dengan resolusi yang berbeda pula dengan mendekomposisi sinyal menadi



komponen detail dan komponen aproksimasi. Pada transormasi ini teradi filterisasi

dan down sampling , yaitu pengurangan koeesien pada ungsi genap (0ambar $%.

:a8 :8

Ga,ar < :a8 K(,5(+*+ a5r(k",a" :Ska'a #"+&&"= k(,5(+*+ "+a' *r-r*k*+"

r*+6a. :LPF88= k(,5(+*+ D*#a"' :Ska'a r*+6a.= r*k*+" #"+&&" :HPF8) :8 Pr(*

"'#*r"a" 6a+ 6(!+ a,5'"+&)

Dibandingkan dengan @'), transormasi D') dianggap relati lebih mudah

pengimplementasiannya. Prinsip dasar dari D') adalah bagaimana -ara

mendapatkan representasi aktu dan skala dari sebuah sinyal menggunakan tekhnik

pemilteran digital dan operasi sub/sampling (ReLa, 8!19%. D') biasanya digunakan

untuk menghitung koeisien a5elet di segala skala yang memungkinkan. D') ini

uga menghasilkan umlah data yang sangat besar. 4ntuk menaksirkan sinyal hasil

transormasi ini dibentuk ilter Io Pass dan High Pass. =eluaran dari High/pass danIo/pass ini bisa dilihat pada bentuk persamaan di baah ini:

Prosesnya adalah sebagai berikut: Pada tahap pertama, sinyal (S% dileatkan pada

rangkaian high pass ilter dan lo pass ilter, kemudian setengah dari masing/masing

keluaran diambil sebagai sampel melalui operasi sub/sampling. Proses ini disebut

sebagai proses dekomposisi satu tingkat. =eluaran dari lo pass ilter digunakansebagai masukan diproses dekomposisi tingkat berikutnya. Proses ini diulang sampai

tingkat proses dekomposisi yang diinginkan. 0abungan dari keluaran/keluaran high

pass ilter dan lo pass yang terakhir, disebut sebagai koeisien a5elet, yang berisi

inormasi sinyal hasil transormasi yang telah terkompresi (0ambar #%.



Ga,ar >) Pr(* M'#"-'*7*' 6*4(,5("#"(+

Pada transormasi D') terdapat proses pengembalian kembali komponen/

komponen yang telah kita gunakan. Invers 'iscrete Wavelet Transform (IDWT%

merupakan kebalikan dari transformasi wavelet diskrit (DWT%. Pada transormasi inidilakukan proses rekonstruksi sinyal, yaitu mengembalikan komponen rekuensi

menadi komponen sinyal semula. )ransormasi dilakukan dengan proses up

sampling dan pemilteran dengan koeisien ilter in5ers. Sehingga dalam satu sistem

transormasi wavelet menggunakan empat ma-am ilter, yaitu low pass filter dan high

pass filter dekomposisi, dan low pass filter dan high pass filter rekonstruksi.

Ga,ar ? Pr(* r*k(+#rk" 5a6a #ra+(r,a" DWT :IDWT@ Invers Discrete Wavelet

Transform8



Ga,ar :a8 5r(* DWT 6a+ :8 5r(* "+7*r 6ar" DWT ,*+&&+aka+ 6a#a !a7*'*#

62)

98 Wa7*'*# A+a'"

&nalisis a5elet merupakan sebuah tekhnik penendelaan 5ariable (5ariable

indoing te-hniue% dan mengiinkan penggunaan inter5al aktu yang panang dimana

kita menginginkan inormasi rekuensi rendah yang lebih tepat, dan daerahK ilayah yang

lebih pendek dimana kita menginginkan komponen/komponen rekuensi yang lebih

tinggi (ReLa, 8!19%

&nalisis wavelet mampu menunukkan inormasi sinyal yang tidak dimiliki oleh

analisis sinyal yang lain, seperti ke-enderungan, titik yang putus, dan kemiripan. =arena

kemampuannya melihat data dari berbagai sisi, wavelet mampu menyederhanakan dan

mengurangi noise tanpa memperlihatkan penurunan mutu. Di baah ini terdapat gambar

1! dimana ketika inter5al aktu gelombangnya panang maka rekuensinya

gelombangnya pasti rendah, sedangkan ika aktu gelombangnya lebih pendek, maka

rekuensinya tinggi.



Ga,ar 10 a+a'"" !a7*'*# *r6aarka+ !ak# 5a+/a+& &*'(,a+& 6*+&a+

r*k*+"

=euntungan utama dari analisis a5elet ini adalah untuk menganalisis area lokal

pada sinyal yang lebih besar. @ontohnya menganalisis area lo-al seperti pada gambar di

baah ini:

Ga,ar 11 K*+#+&a+ 6ar" a+a'"" !a7*'*# a6a'a. +#k ,*+&a+a'"" ar*a '(4a'

6" "+a' a+& '*". *ar :&a,ar '"+&kara+8



Ga,ar 12 P*r*6aa+ a+#ara k(*""*+ F(r"*r 6a+ k(*""*+ !a7*'*#= 5a6a

k(*""*+ F(r"*r #"6ak "a ,*+6*#*k" "+a' '(ka' ak"a# **k 6"k(+#"+ "+a' :k"r"8=

*6a+&ka+ 5a6a !a7*'*# "a #*r6*#*k" :ka+a+8)

D8 Wa7*'*# 2D

)ransormasi wavelet 8/dimensi (8/D% merupakan generalisasi transormasi

wavelet satu/dimensi. Persamaan umum untuk transormasi a5elet 8D ditunukkan pada

rumus berikut:

( ) ( )a

# y

a# !

a##a

y ! y ! y !

−−Ψ=Ψ ,1, ,,

D') untuk 8D pada -itra !(m%n% dapat digambarkan sama dengan implementasi

D') 1/D, untuk setiap dimensi m dan n se-ara terpisah dan membagi -itra ke dalam sub/

sub bidang rekuensi, sehingga menghasilkan struktur piramid. ;enis/enis piramida yang

sering digunakan adalah :

/ 0aussian,/ Iapla-ian/ 'a5elet

Pada gambar 19 diperlihatkan gambar piramida dan -omparisonnya.



Ga,ar 13 J*+"-/*+" 5"ra,"6a 2D

E8 9(+#(. Wa7*'*# 1D 6a+ 2D

Ga,ar 1 Wa7*'*# 1D



Ga,ar 1; Wa7*'*# 2D



BAB III

DAFTAR PUSTAKA

&robone, Nri-. )anpa tahun. PP): 3ntrodu-tion o 'a5elet. )anpa tempat: )anpa penerbit

HuritL, 6arak. )anpa tahun. Introduction of Wavelet . Disampaikan pada presentasi a5elet

bersama Dr7 Hagit Hal/or

=risnaati. )anpa tahun. T)*S+,M)SI +,-I ')* T)*S+,M)SI W)/0T P)')

CIT). )anpa tempat: tanpa penerbit

ReLa, @andra. 8!19. Teknik Potensi 'iferensial pada Transformator 'aya Tiga +asa dengan

Menggunakan Transformasi Wavelet . 4ni5ersitas Pendidikan 3ndonesia

Sutarno. 8!1!. )nalisis Per#andingan Transformasi Wavelet pada Pengenalan Citra Wa$ah.

;4R&I 0NNR3@. ol. o.8

wavelet rendi pradila h s fix

Documents