wave emission from a vlf plasma-waveguide antenna system

8/7/2019 Wave emission from a VLF plasma-waveguide antenna system

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Radiophll,ie# an d Quantum E lectronic,, Vol. 39, No. 2, 1996

W A V E E M I S S I O N F R O M A V L F P L A S M A - W A V E G U I D E A N T E N N AS Y S T E M U N D E R I O N O S P H E R I C C O N D I T I O N S

T . M . Z a b o r o n k o v a , I . G . K o n d r a t ' e v ,a n d A . V . K u d r i n U D C 5 3 3 . 9 5 1W e s tu d y a V LF p la sma - w a veg u id e a n ten n a sy s t em h a v in g th e fo r m o ] a f i e ld - a l ig n ed q u a s icy l in -drica l enc han cem ent o f p las ma densi ty , w hich re laxes gradually to the background magn etop lasm awith d is tan ce fr om the g iven source . A mod el enabl ing one to ca lcu la te bo th the to ta l rad ia tedpow er and the power d is tr ibu t ion over the spatia l spectru m o f rad ia ted waves i s proposed. I t i ssh o w n th a t t h i s p la sma a n ten n a i s u se fu l f o r in c rea s ing th e p o w er g o in g to th e lo n g -w a ve p a r to f th e sp a tia l sp ec t ru m o f w h i s t l e r w a ves e zc i ted in th e a mb ien t p la sma . C o n cre te e s t ima te s fo rterrestr ia l ionospheric condi t ions are g iven .

1 . I N T R O D U C T I O NI n t h i s p a p e r , w e c o n t i n u e t h e i n v e s t i g a t io n s p e r f o r m e d in [ 1- 4] a n d c o n s i d er t h e e x c i t a t i o n o f V L F

w a v e s b y a r ti f ic i al p l a s m a - w a v e g u i d e r a d i a t i n g s y s t e m s in t h e i o n o s p h e r e . S u c h s y s t e m s , w h i c h a r e f o r m e di n a s e l f- c o n s i s t e n t w a y i n t h e m a g n e t o p l a s m a n e a r t h e r a d i a t o r s [ 5 -8 ] , s e e m t o b e p r o m i s i n g f or e ff ic i en tc o n t r o l o f V L F w a v e c h a r a c t e r i s t i c s . W e r e s t r i c t o u r s e lv e s t o c o n s i d e r i n g o n l y t h e f r e q u e n c i e s

WLH < w


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II

s

o qs qc qF i g . 1 . R e f r a c t i v e i n d e x s u r f a c e in th e w h i s t l e r f r e q u e n c y r a n g e ( 1 ) .

s h o w t h a t t h e f o r m a t i o n o f a p l a s m a d u c t w i t h i n c r e a s e d d e n s i t y n e a r t h e r a d ia t o r l e a d s to a n o t i c e a b l ei n c r ea s e i n t h e t o t a l r a d i a te d p o w e r i n t h e r e g i o n (1 ) . W h e n a l o o p a n t e n n a w i t h r i n g e l ec tr i ca l c u r r e n t isu s e d a s t h e r a d i a t o r, t h e m a j o r p o r t i on o f t hi s p o w e r is s p e n t f or th e w a v e g u i d e d q u a s i l oc a l i z ed ( i m p r o p e r )m o d e s , w h i c h a r e t h e n r e - e mi t t e d f r o m t h e w a v e g u i d e e n d s t o th e a m b i e n t p l a s m a m e d i u m [2, 3 ]. O fc o u r se , t h e s t r u c t u r e o f t h e r a d i a te d f i el d i n t he p l a s m a e n v i r o n m e n t is s t r o n g l y d e p e n d e n t o n t h e m o d ec o m p o s i t i o n a s w e l l a s o n t h e a m p l i t u d e a n d p h a s e r e l a t i on s hi p s b e t w e e n t h e m o d e s a t t he w a v e g u i d eo u t p u t [ 4] . O b v i o us l y , t h e s e f ac t o r s a r e d e t er m i n e d, i n t u r n , b y t h e c o n d i t i o n s o f m o d e e x c i t at i o n a n d t h ec h a r a ct e r o f m o d e t r a n s po r t a t io n i n t h e d u c t . T h e s t u d y o f t h e i n f l ue n c e o f th e s e b a s i c fa c t o r s o n t h er a d i a t e d p o w e r d i s t r i b u t i o n o v e r t h e s p a t i a l s p e c t r u m o f w a v e s e x c i t e d b y a p l a s m a - w a v e g n i d e a n t e n n as y s t e m i n t h e i o no s p h e ri c p l a s m a i s t h e m a i n g o a l o f t h i s p a p e r .2. B A S I C E Q U A T I O N S

C o n s i d e r a n e m i t t in g s y s t e m w h i c h c o n si s ts o f a c y h n dr i c a l p l a s m a w a v e g u i d e a l i g n ed w i t h a n e x t e r na lm a g n e t i c f i el d ] ~ 0 - - H 0 7-o a n d a n e l e c t r o m a g n e t i c s o u r c e i n s i d e o f i t w i t h a g i v e n t i m e - h a r m o n i c ( ,~ e x p( i to t ) )r i n g e l e c t r ic a l c u r r e n t ,

Y f f ) = r X 0 5 ( p - b ) 6 ( z) . ( 2 )H e r e p , ~ , a n d z a r e t h e c y l i n dr i c al c o o r d in a t e s a n d 5 ( { ) is t h e D i r a c d e l t a f u c ti o n . I t i s a s s u m e d t h a t t h ep l a s m a d e n s i t y N ( p , z ) i n t h e d u c t r e l a x e s g r a d u al l y t o t h e b a c k g r o u n d v a l u e N w i t h d i s t a n ce f r o m t h es o u r c e ( s e e F i g . 2 ). S i n c e o u r f u r t h e r a n a l y s i s i s b a s e d o n t h e r e s u l t s r e p o r t e d i n o u r p r e v i o u s p a p e r s [2 --4 1,w e s h a ll r e ca l l s o m e o f t h e n e c e s sa r y d a t a g i v e n t he r e.

F i r s t o f a ll , w e r e c al l t h a t f o r d e s c r i pt i o n o f t h e f i e ld i n t h e p l a s m a d u c t w e c a n m a k e u s e o f t h ew e l l - k n o w n m e t h o d o f c ro s s -s e ct i o ns d e v e l o p e d f or s hi e l d e d a n d o p e n i s o t ro p i c d i el e ct r ic w a v e g u i d e s [ 12 ,1 3] . T h i s m e t h o d is g e n e r a li z e d t o t h e c a s e o f o p e n g u i d i ng s y s t e m s w i t h g y r o t r op i c f il li ngi n [ 3] . A c c o r d i n gt o [ 3 ], c o m p l e x f ie ld a m p h t u d e s ~ ( p , z ) ,/ ~ ( p , z ) i n a d u c t w i t h i n c r e a s e d p l a s m a d e n s i t y ( N > N ) , w h e r et h e e x i s t e nc e o f o n l y q u a s i l o c a l iz e d m o d e s [ 1 4] i n t h e r a n g e ( I ) is a l l o w e d, c a n b e r e p r e s en t e d i n t h e f o r m *

~(p ,z) = ~ dr(z)E~. + ~ f d . . .( z ,q) E . ,, .(q)dq,~( p ,z ) = E d . ,(z)H~ + E f d . ,~(z ,q) Ho,a(q)dq. ( 3 )

~ v s,ct r.,t

* He r e i n a f t e r we g i v e e x p r e s s i o n s r e l a t e d t o t h e h a l f - s p a c e z > 0 , s i n c e t h e f i e l d e x c i t e d b y t h e c u r r e n t ( 2 ) i s s y mme t r i c w i t hr e s p e c t to th e s o u rc e p la n e ( z = 0 ) .

1 4 6


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Fig. 2. Structu re o f the p lasma dens ity iso lines: Nz > N2 > N3.T h e q u a n t i t i e s ] ~, ,~ a n d / ~ , , . , a n d ] ~ a n d / I ~ g i v e n i n ( 3 ) d e s c r i b e t r a n s v e r s e d i s t r i bu t i o n s o f t h e f i el ds

o f c o n t i n u o u s w a v e s , w h i c h i ni t ia ll ya r e n o t c o n f i ne d b y t h e d u c t , a n d o f t he f ie ld s o f q u as i l o c M iz e d m o d e sc o n f i n e d b y t h e d u c t , r e s p ec t i v el y , a s a p p li e d to a c o m p a r i s o n w a v e g u i d e c o r r e s po n d i n g t o t h e c r o s s s e c t io nz = c o n s t . S i n c e t h e l at t e r m o d e s a r e l e a k y, t h e ir p r o p a g a t i o n c o n s t a n ts p = p,, ( p _, , = - p v ) a r e c o m p l e x

9 I Ie v e n i n t h e a b s e n c e o f l o s s e s i n t h e m e d i u m : p v = p ~ - t p ~ . T h e s y m b o l s ~ a n d ~ h a v e t h e m e a n i n ga r V I i G t

-~ t~ (+)E ( . . . I + E ( . . . I , E ( . . . ) =a r t ' ~ ' - - -M t ,= l s , a s= ( - ) c t o

H e r e , M i s t h e t o t a l n u m b e r o f m o d e s a n d t h e p l us a n d m i n u s s i gn s i n d i c a t e t h e p r o p a g a t i o n d i r e c ti o n sr e l a t i v e t o t h e O Z a x i s, w h i c h ca n b e e i t h e r p o s i t iv e ( v > 0 , s = ( + ) ) o r n e g a t i v e ( v < 0 , s = ( - ) ) . T h ei n d i c e s c t d e n o t e t h e " o r d i n a r y " ( c t = o ) o r " e x t r a o r d i n a r y " ( c t = e ) w a v e . I t i s w e l l k n o w n [ 1 5 ] t h a t i n t h eh o m o g e n e o u s b a c k g r o u n d p l a s m a d e s c r ib e d b y a d i e le c tr ic t e n s o r o f th e g e n e r a l f o r m

~ - { 9 0 )0 0 ,7

C 4 )

t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e l o n g i t u d i n a l a n d t r a n sv e r s e c o m p o n e n t s o f t h e w a v e v e c t o r o f t h e s e w a v e s isg i v e n b y

1 ~ q2 R( q) ,

, ] 1 / 2 (s )

w h e r e X e = - X o = 1 , p ~. = p + , ~ = - p - , a , I m p a < 0 , R e ]~ > 0 . t T h e p a t h o f i n t e g r a t i o n L t i n e x p r e s -s i o n s (3 ) g o e s i n t h e c o m p l e x p l a n e q f r o m p o i n t q = 0 t o i n f in i t y a lo n g t h e l i n e d e f i n e d b y t h e r e l a t i o nI m q = - R e q t a n 7 . T h e a n g l e 7 m u s t s a t i s f y t h e c o n d i t i o n s [ 2 , 3 ]

{ " ' ) } ( 0 )m a x a r c t a n ( p ~ / p ~ < 7 [ v lC v ' -

2

( 8 )

a r e s a t i s f i e d , where 79 = m a x i X / e + I g l , 2 e * / ~ , v < r , i < . . . < v" < . . . < v ~f ~ 't < 4 e + I#I, c o n f i . n ew eo u r se l ve s t o t h e z e r o o r d e r o f t h e p e r t u r b a t i o n t h e or y , w h i c h co r r es p o n d s t o u s i n g t h e a d i a b a t i c ( W K B )a p p r o x i m a t i o n [ 3 ] ,

d~,(z) = dv(zo) \ N,,(z)] e x p - i k o p , , ( r d e ,z o

d . , ~ ( z , q ) = d ., ~( zo , q ) e x p [ - i k o p . , ~ ( q ) ( z - Z o) ].( 9 )

H e r e , t h e t e n s o r c o m p o n e n t s g , ~ a n d ~ , g c o r r es p o f i d t o t h e p l a s m a d e ns i ti e s N ( 0 , z ) a n d N , r e sp e ct i ve l y,a n d N v is t h e n o r m o f t h e v t h q u a s il o c a li z e d m o d e

c g ~ , g c ~ ) r g c r )L ~ V '/',.y ( 1 0 )

T h e i n d e x ( T ) o f t h i s m o d e i n d i c a t e s t h a t t h e c o r r e s p o n d i n g v a l u e r e l a t e s t o th e s o - c a l l e d " t r a n s p o s e d "m e d i u m , i . e . , t h e m e d i u m w i t h a t r a n s p o s e d p e r m i t t iv i t y t e n s o r ~ (T ) ( t h e tr a n s i t i o n i n s u c h a m e d i u m i sr e a c h e d b y t h e s u b s t i t u t i o n / f r o --~ - 1 ~ o ) ; t h e p a t h o f i n t e g r a t i o n L -~ g o e s a t f ir s t a l o n g t h e r e a l a x i s p = R e pf or 0 _< p _ < P 0 = m a x { a , b } a n d t h e n g o e s t o i nf in it y ( p : o o ) a l o n g t h e l i n e p : R e p + i ( R e p - p 0 ) t a n 7 i nt h e c o m p l e x p l a n e p ( a is t h e l o c a l r a d i u s o f t h e w a v e g u i d e ) .

W i t h d i s t a nc e f r o m t h e s o u r c e , t h e a d i a b a t ic a p p r o x i m a t i o n ( 9) c e a se s t o b e s at is fi ed ,b e g i n n i n g f r o ma c e r t a i n c r o s s - se c t i o n z = Z cr < L . I f t h e p l a s m a d e n s i t y i n t h e d u c t i n t h e v i c i n i t y o f t h e c r o s s - se c t i o nz = z cr is c l o s e e n o u g h t o t h e b a c k g r o u n d v a l u e, t h e n t h e a m p l i t u d e s o f r e fl e ct e d w a v e s a r e o b v io u s l y s m a l l ,s o t h a t t h e y c a n b e n e g l e c t e d i n a f ir st a p p r o x i m a t i o n , i. e ., a p p r o x i m a t e l y w e c a n p u t d _ ~ ~ 0 a n d d _ ,, ~ 0i n ( 3 ) . B e a r i n g i n m i n d t h a t u n d e r t h e u s u a l c o n d i t io n N ( 0 , 0 ) > > N [7, 8 ] t h e m a j o r p a r t o f t h e e n e r g ye m i t t e d b y t h e c u r r e n t ( 1) g o e s t o t h e w a v e g u i d e d m o d e s , w e f i na ll y a r r i ve a t

~ ( p , z ) , . ~ ~ d~(O ) / ~ e x p - i k o p ~ , ( r 1 6 2\ N~ (~ ) )v = l 0

~ ( p , z ) ~.. ~ d r (O ) \ N v ( z ) ] H, , e x p - i k o p ~ ( r 1 6 2 ,v = l 0

( 1 1 )


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w h e r e t h e co ef fi ci en ts d r ( 0 ) c a n b e f o u n d b y a m e t h o d b a s e d o . t h e L o r e n t z l e m m a . A c c o r d i n g t o [2, 3 ],t h e y a r e g i v e n b y

1 E ( r ) (h z ) [ ~ =o. (12)d r (O )= IVy (z )2 ~b _ ~ ,~ ,_ ,T o s i m p l i f y d e s c r i p t i o n o f t h e f i el d ~ ( p , z) , / ~ ( p ,z ) ( w i t h o u t l o s s o f t h e p h y s i c a l m e a n i n g ) , i t i s

co n v en i en t t o ap p ro x im a te t h e p l a sm a d en s i t y p ro f i le i n each c ro ss sec t i o n z = c o n s t b y t h e m o d e l l aw. ~ ( p , z ) : N + ( . ~ - N ) [ I - U ( p - a ) ] ( 1 3 )

w i t h t h e c o r r e s p o n d i n g l o c a l p a r a m e t e r s N = N ( z ) a n d a = a ( z ) ( U ( ~ ) i s a H e a v i s i d e f u n c t i o n ) . A sm e n t i o n e d a b o v e , th i s a p p r o x i m a t i o n p e r m i t s a n a l y t i ca l r e p r e s e n t a t io n o f th e q u a n t i t i e s E ~, a n d / t ~ , i n ( 1 1 ).F o r c a l c u l a ti o n s i n t h e d o m a i n p < a , i t s e e m s r e a s o n a b l e t o u s e t h e f o l l o w i n g r i g o r o u s e x p r es s i o ns :

rn=l2

m.~.l

2

1 7 ~ - - - - 12

-*=1

a n d i n t h e d o m a i n p > a , t h e a p p r o x i m a t e e x pr e s si o n sE v , p ~ p n l + C ( ~ , )K I ( s p ) ,E ~ ,,~ ~ i C ( ~ ) K I ( s P ) ,H v , p .~ . - i p C ( ~ ' ) K l ( s P ) ,H ~ , ~'~ - n l C ( ~') K I ( s P ) ,

( 1 4 )

w h e r e

n . = ~ ( p , ~ ) , ~ = ~ ( p , N ) , ( 1 6)nm(p,N)--~ p'+q~(p,N)+---~ / p g ,

J . ( e ) a n d K . ( e ) a r e B e s s d a n d M a c d o n a l d h m c t i o n s , r e s p e c t i v e l y ( f o r m o r e de t a i l s , s e e [ 4 ] ) . The r e la t ionsfo r q , ~ ( p , N ) a r e o b t a i n e d f r o m ( 5 ) i f q i s e x p r e s s ed t h r o u g h p :q ~ ( p , N ) = [~ " - g ' + ~ ,7 - ( ,7 + ~ ) p ' + ( - 1 ) "~ O ( p , N ) ] / 2 ~ ,

( 1 7 )


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T h e f o r m u l a s fo r n m ( p , N ) a n d q , n ( p , N ) a r e f o u n d f r o m e x p r e ss i o n s ( 16 ) a n d ( 1 7 ) b y r e p l a c e m e n t o f t , g , a n db y t h e q u a n t i t i e s g , ~ , a n d f / c o r r e s p o n d i n g t o a h o m o g e n eo u s p la s m a w i t h d e n s it y N . N o t e t h a t w e g iv e

o n l y t h e e x p r e s s io n s f o r t r a n s v e r s e f ie l d c o m p o n e n t s , s i n c e i t is e x a c t l y t h e s e e x p r e s s i o n s t h a t a r e r e q u i r e df o r f u r t h e r c a l c u l a t i o n s . W e e m p h a s i z e t h a t t h e s e c o m p o n e n t s a x e t a k e n f o r p = P v , a n d t h e p r o p a g a t i o nc o n s t a n t s p ~ , t h e m s e l v e s a r e f o u n d b y s o l v i n g t h e a p p r o x i m a t e d i s p e r s i o n e q u a t i o n w h i c h i s v a l i d i n t h ef r e q u e n c y r a n g e (1 ) [ ~ , l - n l ] i l l - h iJ ( Q , ) + : K ( S ) J ( Q 1 ) - J ( Q , ) K ( S ) , (18)n 2 f i l ~ 2 - f i tw h e r e J l ( Q m )J ( Q , n ) = Q , , J o ( Q , ~ ) '

K I ( s )K(S)- S K o ( S )( s ee [4, 1 6] ). W i t h i n t h e f r a m e w o r k o f t h e a p p r o x i m a t i o n s w h i c h w e u s e h e r e, t h e c o ef fi ci en ts B ~ ) a n d C ( v)a r e g i v e n b y

B ~ ~') = ( fi 2 - n l ) J I ( Q ~ ) K I ( S ) p = p ,B ~" ) = ( n , - f i l ) J l ( Q i ) K , ( S ) ip = p . ,C ( ' ) : ( ~ 2 - f i ,) J l ( Q 1 ) J I ( Q 2 ) p = p .

( 1 9 )

T h e a b o v e f o r m u l a s f o r t h e f i e l d i n t h e d u c t p e r m i t o n e t o c a l c u l a t e t h e p a r a m - t e r s o f t h e r a d i a t i o nf r o m t h e d u c t e n d t o t h e e n v i r o n m e n t . T h e y w i l l b e d i s c u s s e d i n w h a t f o ll ow s .3 . R A D I A T E D P O W E R D I S T R I B U T I O N O V E R T H E S P A T I A L S P E C T R U M

T h e t o t a l ( i n t e g r a l ) r a d i a t e d p o w e r P ~ o f t h e r i n g c u r r e n t ( 2 ) i n th e p r e s e n c e o f t h e a b o v e p l a s m a -w a v e g u i d e d u c t c a n b e c a l c u l a t e d u s i n g t h e g e n e r a l f o r m u l a s [ 2 , 3 ] f o r t h e c a s e o f a n i n f i n i te p l a s m a c o l u m n .O n e h a s o n l y t o s u b s t i t u t e t h e p l a s m a w a v e g u i de p a r a m e t e r s t h a t c o r re s p o n d to t h e i m m e d i a t e v i c i n i ty oft h e r a d i a t o r i n t h e a p p r o p r i a t e f o r m u l a s . O b v i o u sl y , s e e k i n g t h e d i f fe r e n ti a l r a d i a t i v e c h a r a c t e r i s t i c s o f su c hs y s t em s , a n d t h e d i s t r i b u ti o n o f r a d i a t e d p o w e r o v e r t h e s p a t i a l s p e c t r u m o f w a v e s e x c it e d i n t h e p l a s m ae n v i r o n m e n t i n p a r t i c u l a r , r e q u i r e s c o n s i d e r i n g a s e p a r a t e p r o b l e m o f m o d e r e - e m i s s i o n f r o m t h e e n d s o f t h ep l a s m a d u c t .

F o r t h i s p u r p o s e , w e m a k e u s e o f t h e H u y g e n s e l e c t r o d y n a m i c p r i n c ip l e a n d a s s i g n , i n t h e c r o s s - se c t i o nz -- z , < Z~ r, wh er e th e r ep r ese n ta t io n o f th e f i e ld E , /~ in th e f o r m ( 1 1 ) i s s t i l l v a l id , t h e f i c t i t i o u s e l ec t r i ca n d m a g n e t i c c u r r e n t s

7 . = 4 - ; t o , 6 ( ~ - ~ . ) , 3 - 7 = 4 ~ t o , 6 ( z - ~ . ) . ( 2 0 )

N e x t , u s i n g t h e g e n e r a l e q u a t i o n s g i v e n in C l l, w e a r ri v e a t t h e e x p r e s s i o n f o r t h e r a d i a t e d p o w e r o f a s s i g n e dc u r r e n ts i n a h o m o g e n e o u s p l a s m a w i t h d e n s i t y N

w h e r e

P - 4 , , ~ , 7 f [ , I . ~ _ , . g ~ . . ~ 1 ~ i ~ d e , ( 2 1 )


7/10

[ [ r l q s l i g q z ~ q z + q 2 _

f ~ ,m (: . ) exp(ik6 ~e ~ ') d~ ',= zo q= -4- ~oq u + Zope(q) , q = (q2z 4- q~)1/2, d e = dq . dq u. (22)

E x p r e s s i o n ( 2 1) , w h i c h is a s p e c t r a l r e p r e s e n t a t i o n o f t h e p o w e r P r a d i a t e d f r o m t h e d u c t e n d , i s c o n v e n ie n tf o r f u r t h e r c a l c u l a ti o n s . B y v i r t u e o f t h e s y m m e t r y o f t h e p r o b l e m i n q u e s t io n , t h e t o t a l r a d i a t e d p o w e r P ~i s eq u a l t o d o u b l e t h e p o we r P co r re sp o n d in g to t h e cu r ren t s g iv en b y (2 0 ) .Fo r n u m er i ca l ca l cu l a t i o n s , b e fo r eh an d w e m u s t f i n d , u s in g t h e eq u a t i o n s g iv en i n t h e p re v io u s sec t i o no f th i s p a p e r , t h e f u n c t i o n s ( 2 2 ) in t h e i n t e g r a n d o f ( 2 1 ), a n d o n l y t h e n c a n w e p e r f o r m t h e i n t e g r a t i o ni t se l f . I t i s ea s i ly seen t h a t t h e i n t eg ra l o f (2 1 ) i s co n v e rg en t . Fo l l owin g [1 ], we d iv id e t h e e n t i re d o m a in o fi n t eg ra t i o n i n to t h ree p a r t s d e f i n ed b y t h e i n eq u a l i t i e s

~ . q s < _ q < q c , (23)II__!I. q ~ ~ _ q < oo.

By ca l cu l a t i o n o f sep a ra t e i n t eg ra l s i n t h e ab o v e l imi t s , we f i n d t h e p a r t i a l r ad i a t ed p o wers P w , P I , a n dP Q , w h i c h g o t o t h e l o n g - w a v e p a r t (I_-),i n t e r me d i a t e p a r t ( ~ ) , a n d s h o r t -w a v e p a r t ( I I I ) c o r r e s p o n d i n gt o e l e ct r os t at i c w a v e s , r e s p e c uv e l y , i n t h e s p a t ia l s p e c t r u m . A l o n g w i t h t h e p a r t i a l p o w e r s P w , P I , a n dP Q , w e a l s o u s e t h e n o r m a l i z e d q u a n t i t ie s ~ w = P w / P , ~ z = P z / P , a n d ~ Q = P Q / P . I t i s a p p a r e n t t h a t~ w + ~ z + ~ Q = I. A l t h o u g h t h e p a r t i t io n i n g ( 2 3 ) i s p u r e c o n v e n ti o n a l , t h i s p r o c e d u r e is p h y s i ca l l y r e l ev a n tt o t h e p r o b l e m i n q u e s t i on .

I n w h a t f o l l o ws w e g i v e s e l e ct e d r e s u l ts o f th e n u m e r i c a l c a l c u la t i on s . T h e y s h o w t h e i n f l u e n c e o ft h e p l a s m a d u c t o n t h e d i s t r i bu t i o n o f r a d i a te d p o w e r o v e r t h e s p a t ia l s p e c t r u m . T h e c a l c u la t i o n s w e r ep e r f o r m e d f or t h e m o d e l d i s t ri b u t io n o f p l a s m a i n t h e d u c t ( F i g .3 ) a n d t h e f o ll o w i n g g i v e n p a r a m e t e r s o ft h e p l a s m a e n v i r o n m e n t u n d e r t e r re st ri ali o n o s p he r i c c o n d i ti o n s : N = 1 0 6 c m - 3 ( w p = 5 . 6 4 . 1 0 7 s e c- 1 ) ,H 0 = 0 . 5 0 e ( W H = 8 . 7 8 . 1 0 6 s e c - 1 ) ; t h e c h o s e n r a d i u s o f t h e r a d i a t o r a n d f r e q u en c y o f t h e r a d i at e d s i g na lw e r e b = 2 . 5 m a n d w = 1 . 8 8 9 1 0 s s e c - 1. T o m a k e t h e ca l c u l at i on s e as ie r, w e u s e d a n a p p r o x i m a t i o n o ft h e f o r m o f ( 1 3 ) f or t h e p l a s m a d e n s i t y i n t h e d u c t , N ( p , z ). F i r s t , w e d e t e r m i n e d t h e l o c a l v a l u e s o f a ( z )a n d N ( z ) f o r a f e w s p e c i a l l y s e l e c t e d c r o s s s e c t i o n s z = z l ( s e e ( 1 3 ) ) t o m a k e t h e s i m p l i f i e d d i s t r i b u t i o n o fp l a s m a i n t h e d u c t ( 1 3 ) c l o s e t o t h e a c t u a l f i el d d i s t r i b u t i o n N ( p , z ) s h o w n i n F i g . 3 . N e x t , u s i n g t h e v a l u e so f a ( z l ) a n d - ~ ( zi ) t h u s o b t a i n e d , w e c o n s t ru c t e d a n a p p r o x i m a t i o n o f t h e f un c t i o n s a ( z ) a n d N ( z ) f or a llp o i n t s z i n t h e i n t e r v a l [0 , z ,] .

P r i m a r y a t t e n ti o n i s g i v e n t o t h e a n a l y s i s o f t h e b e h a v i o r o f ~ w , ~ r, a n d ~ Q u n d e r t h e c o n d i t i o n so f s e q u e n t i a l r e l a x a t i o n , or , l o n g i t u d i n a l s t r e t c h i n g o f t h e d i s t r i b u t i o n I V ( p , z ) s h o w n i n F i g . 3 . I n t h ec a l c ul a t i on s , t h i s e f f ec t i s m a n i f e s t e d b y a c h a n g e i n z, w i t h i n t h e l i m i t s o f 3 . 5 k m < z , < 6 k m . I t a p p e a r st h a t w i t h i n t h e f r a m e w o r k o f t h i s m o d e l , f or t h e c h o s e n p a r a m e te r s , t h e t ot a l r a d i a t ed p o w e r P r. d e p e n d so n l y s l i g ht l y o n t h e l e n g t h o f t h e p l a s m a d u c t . T h e t o t a l r a d i a ti o n r e s i st a n c e R r . = = 2 P r . / I I o [~ f o r t h ep l a s m a d e n s i t y a t th e d u c t c e n t e r A t ( 0 ,0 ) = 5 9 1 0 7 c m - 3 ( s e e F i g . 3 ) a m o u n t s t o R s = 0 . 1 2 f~. T h e m a i np a r t o f t h e t o t a l r a d i a te d p o w e r g o e s t o t h e f ir st s ix (u = 1 , . . . , 6 ) q u a s i po l a r i z ed w a v e g n i d e d m o d e s , a n dt h e r a d i a t io n r e s i s ta n c e i n t h es e m o d e s R I - e = 0 . 1 0 f/. H e n c e , w e c o n f i ne o u r s e lv e s t o t a k i n g o n l y t h e s es i x m o d e s i n t o a c c o u n t a n d a s s u m e t h a t / / s ~ R I - 6 . N o t e t h a t R s e x c e e ds c on s i d e r ab l y t h e r a d i a ti o nr e s i s ta n c e R s , # o f t h e s a m e c u r r e n t ( 2 ) l o c a t e d in t h e b a c k g r o u n d m e d i u m : R s , # = 3 . 5 3 9 1 0 - 3 f l . T h ed e p e n d e n c e s o f ~ w , ~ z, a n d ~ Q o n t h e l e n g t h o f t h e p l a s m a d u c t a r e di s ti n ct l yo s c i l l a t o r yi n n a t u r e, a n d t h e~ ( m ~ x )q u an t i t i es ~ W a n d ~ x s i m u l t a n e o u s l y t a k e t h e m a x i m u m v a l u e s ~ w = 7 . 6 3 - 1 0 - 3 a n d ~ ( m ~ x ) = 5 . 1 4 . 1 0 - Io v e r t h e a b o v e r a n g e o f z ,; t h e q u a nt i t y ~ Q is e q u a l to 4 . 7 8 . 1 0 - I . M u l t i pl y i n g t h e s e v a l u e s b y t h e t o t a l

15 1


8/10

1 t 1 0 7 cn ( 3

: oz ,

F ig . 3 . P lasma den s i ty d i s t r i bu t i on i n the d uc t .p ( m , ~ )r a d i a t i o n r e s i s t a n c e , w e f i n d t h e p a r t i a l r a d i a t i o n r e s i s t a n c e s ""w = 7 . 6 3 . 1 0 -4 ~ , R (max) = 5 . 1 4 . 1 0 - 2 f /,

a n d R Q = 4 . 7 8 . 1 0 - 2 f / , w h i c h c o r r e s p o n d t o t h e a b o v e - s p e c i f ie d ( s ee ( 2 3 ) ) c h a r a c t e r i s t i c s e c t i o n s o f t h es p a t i a l s p e c t r u m . F o r c o m p a r i s o n , w e gi v e t h e p a r t i a l r a d i a t io n r e s i s ta n c e s Rw,~, RI ,~ , and RQ,~ w h e nt h e c u r r e n t ( 2 ) i s l o c a t e d i n t h e b a c k g r o u n d m e d i u m : Rw,~ = 1 . 8 0 . 1 0 - 5 f / , R x ,~ = 7 . 91 9 10 -4 f / , a n dRQ,~ = 2.72 91 0 - 3 fL A s a n e x a m p l e , F i g . 4 s h o w s t h e d e p e n d e n c e o f t h e p a r t i a l r a d i a t i o n r e s i s t a n c e R wn o r m a l i z e d t o Rw, ~ o n t h e l e n g t h o f t h e p l a s m a d u c t ( z , ) . T h e r e l a t e d d e p e n d e n c e fo r t h e r a t i o R I / R I , ~i s s i m i l a r a n d is t h e r e f o r e o m i t t e d h e r e . A t p o i n t s w h e r e R w t a k e s t h e m i n i m u m v a l ue s , v i r t u a l ly t h ee n t i r e p o w e r r e - e m i t t e d f r o m t h e w a v e g u i d e e n d s g o e s t o q u a s i e l e c t r o s t a t i c w a v es ; t h u s , ~ ( n~ x) ~ 1 a n dR(0m ~ ) ~ R ~ .A n a l y s i s o f t h e i n t e r m e d i a t e n u m e r i c a l c a l c u la t io n s g i ve s a p h y s i c a l in t e r p r e t a t i o n o f t h e r e s u l ts w h i c hw e o b t a i n e d ( F i g . 4 ) . I t a p p e a r s t h a t u n d e r t h e s e c o n d i t io n s t h e w a v e g u l d e d q u a s i lo c a l iz e d m o d e s , w h i c hg i v e t h e m a i n c o n t r i b u t i o n t o t h e t o t a l fi el d a t t h e w a v e g u i d e e n d , h a v e si m i l a r a m p l i t u d e s a n d t r a n s v e r s e

/w a v e n u m b e r s Q I ( p ~ ) f o r t h e l a r g e -s c a l e p a r t o f t h e f i el d d e s c r i b e d b y t h e f u n c t i o n s J ,~ ( Q 1 P )\( s e e Eq . (14 ) a nd Re f . [4 ] ) : Q I( p~ ) - QI (p~+I)


9/10

Rw/RW, f~, o

3O

2

10

I0 4 5 6 zs , kmFig. 4 . Depen dence o f the par t ia l rad ia t ion res is tance Rw on duc t l eng th .

t h e f u n c t i o n s J m ( Q 2 ap -) a r e s t r o n g l y d i f f e r e n t f r o m e a c h o t h e r : t, Q 2 ( p ~ , + I ) - - Q 2 ( p ~ ) "~ 7r. T h e r e f o r e , i f t h em o d e s a r e i n p h a s e f o r s o m e z , , t h e n t h e l a r g e- s c a le c o m p o n e n t s o f th e i r fi el ds a re s i m p l y s u m m e d u p a t t h ew a v e g u i d e e n d . T h i s i s e x a c t l y w h y t h e r a d i a t e d p o w e r is r e d i s t r i b u t e d t o t h e l o n g - w a v e p a r t o f t h e s p a t i a lspec t r~ lm . As a r esu l t , the m aYiraa o f R w a n d R I a re o b s e r v e d . A l s o , i t i s c l e a r f r o m t h e a b o v e t h a t t h ef o r m o f th e d e p e n d e n c e p r e s e n t e d i n F i g . 4 m u s t b e d e s c ri b e d a p p r o x i m a t e l y b y t h e f u n c t i o n

/ = ~ ~ e ~ - i k o p'(~)dr ,= 0

( 2 4 )

w h e r e . ~/ is t h e n u m b e r o f m o d e s w h i c h a r e t a k e n i n t o a c c o u n t ( w e r e c a l l t h a t A ;/ = 6 ) . M o r e o v e r , t h ec a l c u l a t i o n s s h o w t h a t t h e d e p e n d e n c e s p ~ ( z ) a l l o w t h e f o l l o w i n g a p p r o x i m a t i o n t o b e u s e d : p ~ ( z ) " " " ~(1 + vA) 7~ (z ) , where A i s a cons tan t . Bear ing th i s f ac t in m ind , we f ind , f rom (24) ,

/ ~ t ( 2 5 ). ~ s in ~ ( ~ _ ~ ) '

w h e r e ~$= / ~(~) d ( .

0I t i s r e a d i l y s e e n t h a t e x p r e s s i o n ( 2 5 ) i n d e e d d e s c r i b e s q u a l i t a t i v e l y t h e d e p e n d e n c e o f R w o n t h e d u c tlen g th ( c f. F ig . 4 ) .I t i s s e e n f r o m t h e d a t a p r e s e n t e d h e r e t h a t t h e p a r t i a l r a d i a t i o n r e s i s t a n c e R w o f t h i s p l a s m a -w a v e g u i d e a n t e n n a s y s t e m c a n , a t t i m e s , e x c e e d c o n s i d e r a b l y t h e q u a n t i t y R w , ~ , w h i c h c o r r e sp o n d s t o t h e

tD(max)/Db a c k g r o u n d p l a s m a ~ . , LW / ~ w , ~ = 4 2 ) , a lt h o u g h th e re l a ti v e c o n t r i b u t io n o f t h e l o ng - w a v e p a r t o f t h e153


10/10

s p a t i al s p e c t r u m t o t h e t o t a l r a d i a t e d p o w e r is , a s p r ev i o u s l y , n e gl i gi b le , ( ~ , ~ x ) < ( I ) . A r i s e i n ~ w c a n , i np r i nc i p le , b e a c h i e v e d b y i n c r e a s i n g t h e d u c t r a d i u s i n th e v i c i ni t y o f t h e d u c t e n d z ~ _ z ,. S p ec i fi c al l y, f ft h e d u c t r a d i u s i s l a r g e e n o u g h ,

a ( z . ) > ( e + I g lt h e c o n t r i b u t i o n o f t h i s s e c t i o n w i ll e x c e e d t h e c o n t r i b u t i o n o f t h e i n t e r m e d i a t e p a r t o f t h e s p a t i a l s p e c t r u m ,

W > ~.I

4 . CONCLUSION

I t f o l l o w s f r o m t h i s a n a l y s i s t h a t t h i s p l a s m a - w a v e g n i d e V L F a n t e n n a s y s t e m i n d e e d c a n b e u s e d t oi n c re a s e b o t h t h e t o t a l r a d i a t e d p o w e r a n d t h e p o w e r g o in g t o t h e l o n g- w av e p a r t o f t h e s p a t i a l s p e c t r u m o fw h i s t l e r w a v es e x c i t e d i n t h e a m b i e n t p l a s m a . I n t h e c a s e o f a l o n g p l a s m a b o d y , t h e t o t a l r a d i a t e d p o w e ri s d e t e r m i n e d b y t h e l o c a l p l a s m a p a r a m e t e r s i n t h e i m m e d i a t e v i c i n i t y o f t h e s o u r c e . T h e r e s u l t a n t p o w e rd i s t r i b u t i o n o v e r t h e s p a t i a l s p e c t r u m i s g r e a t l y d e p e n d e n t o n t h e i n t e g r a t i n g p r o p e r t i e s o f t h e p l a s m a b o d ya s a w h o l e . W e a l so n o t e t h a t i n t h e c a s e o f a n a r t i f ic i a l p l a s m a , t h e s t r u c t u r e o f t h e t o t a l r a d i a t e d s i g n a l i sd e t e r m i n e d b y t h e f o r m a t i o n a n d s u b s e q u e n t r e l a x a t i o n o f t h e r e l a t e d p l a s m a b o d y . A l l t h i s o p e n s u p n e wo p p o r t u n i t i e s f o r t h e e f fe c t iv e c o n t r o l o f r a d i a t i o n c h a r a c t e r i st i c s .

I t i s a p p a r e n t t h a t a l t h o u g h a l l t h e p a r t i c u l a r r e s u l t s r e l a t e t o a r t i f i c i a l p l a s m a s , t h e a p p r o a c h i t s e l fa n d t h e g e n e r a l e x p r e s s i o n s a r e a p p l i c a b l e t o p l a s m a - w a v e g u i d e d u c t s e x i s t i n g u n d e r t h e n a t u r a l c o n d i t i o n so f te r r e s t r i a l s p a c e , s u c h a s t h e m a g n e t o s p h e r i c d u c t s o f p l a s m a d e n s it y , f o r e x a m p l e .

T h e w o r k o f t h e f ir st t w o a u t h o r s w a s s u p p o r t e d i n p a r t b y t h e R u s s ia n F o u n d a t i o n f o r F u n d a m e n t a lR e s e a r c h ( P r o j e c t c o d e s N o . 9 5 - 0 2 - 0 5 0 0 1 a n d N o . 9 4 - 0 2 - 0 5 4 4 7 - a , r e s p e c t i v e l y ) . T h e w o r k o f t h e t h i r da u t h o r ( A . V . K u d r i n ) w a s s u p p o r t e d b y t h e R u s s i a n F o u n d a t i o n f or F u n d a m e n t a l R e s e a r c h u n d e r G r a n tNo . 96 -02-18666 .R E F E R E NC E S

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wave emission from a vlf plasma-waveguide antenna system

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