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SESION 13. COMPUERTAS LOGICAS

M Sc HUBERT ARTEAGA MIÑANO

FACULTAD DE INGENIERIA

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA AGROINDUSTRIAL

Y COMERCIO EXTERIOR

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CAPACIDAD

• Aplica los procesos lógicos utilizados por los dispositivos eléctricos yelectrónicos.

CONTENIDOS

• Compuertas lógicas:

• Tablas de verdad de las compuertas Not, Or, And, Nor, Nand

• Algebra de Boole

PRODUCTO

• Informes

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A diferencia del Álgebra normal, las variables booleanas toman únicamentedos valores comúnmente denominados "falso" y "verdadero", que puedenrelacionarse a los dos únicos estados de los circuitos de interrupción, circuito"abierto " y "cerrado". Los símbolos 0 y 1 se usan para expresar los dosposibles valores de las variables booleanas.Si, A =1 usualmente significa que A es verdaderaSi, A = 0 significa que A es falsa.

ALGEBRA DE BOOLE

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Operadores LógicosLas variables booleanas pueden manipularse por medio de operadores similaresa los del álgebra normal comúnmente llamados "operadores lógicos".

Operador lógico "AND"Está definido para dos o más argumentos booleanos, y puede ser relacionado conel término "CONDICIÓN", la representación más común para AND es.F(AB) = A B = AB = AU B = A&B“F” es una función de las variables booleanas A y B. Los primeros dos símbolosson los más empleados y no indican A por B sino "A and B".El operador AND es verdadero si y solo si todas sus variables son verdaderas.En otras palabras, es "CONDICIÓN" de que A y B sean ambas verdaderas para queF (AB) sea verdadera.

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Una variable booleana puede tomar únicamente los valores de "0" o "1« LOGICOS.Entonces para una función de m variables booleanas existen 2m posiblescombinaciones de estos valores. De aquí que una forma sencilla de expresar elcomportamiento de un operador lógico sea por medio de una TABLA DE VERDAD,que consiste de un listado de todas las posibles combinaciones de las variables deentrada a un operador y el valor de la operación o salida para cada combinación.

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El operador AND puede relacionarse con dos o más interruptores conectados en seriecon una lámpara. Esta encenderá solamente cuando ambos interruptores esténcerrados.

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Al símbolo de un operador lógico usualmente se le llama "COMPUERTA", estetérmino proviene de los antiguos sistemas de interrupción, se decía que elcontacto de un relevador, era similar a una compuerta que al abrirse o cerrarsepermite el paso de señales eléctricas.

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0perador lógico "OR"Está definido para dos o más argumentos booleanos y puede ser relacionado con eltérmino "ALTERNATIVA". La representación más común para el operador OR es:F(AB) = A + B= A U B = A V B El primer símbolo es el más empleado, el signo (+) no

significa más sino OR.El operador "OR" es verdadero con solo y que una de sus variables sea verdadera.En otras palabras existe la ALTERNATIVA de que alguna de las variables seaverdadera para que el operador sea verdadero.

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El operador OR puede relacionarse con dos o más interruptores conectados enparalelo con una lámpara. Esta encenderá con solo que uno de los interruptoreseste cerrado.

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Operador lógico "NOT"Está definido para un solo argumento booleano y su función consiste en cambiarel valor de una variable booleana por su complemento. También se le conocecomo inversor o complementador. La representación más común para el operador

NOT es:F (A) = = A*La tabla de verdad para un operador NOT es la siguiente:

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El operador NOT puede relacionarse con un interruptor conectado en paralelo a unalámpara que se muestra en la figura 3.7a) la lámpara encendería cuando elinterruptor este abierto.

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Operador lógico EX-OR (Exclusive-OR)Está definido para dos o más argumentos booleanos. La representación deloperador EX-OR es: F(AB)=A B El operador EX-OR es verdadero para un númeroimpar de variables verdaderas.

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La compuerta EX-OR puede relacionarse con dos interruptores de un polo, dostiros conectados como se muestra en la figura 3.9 a).

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Operador lógico "NAND"Está definido para una o más argumentos booleanos. El operador NAND, es lafunción complemento del AND, su representación es la siguiente:

El operador NAND es falso si y solo si sus argumentos son verdaderos

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El operador NAND puede relacionarse con un par de interruptores conectados enparalelo a una lámpara, como se muestra en la figura. 3.11.

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Operador lógico "NOR"Está definido para uno o más argumentos booleanos. El operador NOR es la funcióncomplemento del OR, su representación es la siguiente:

El operador NOR es verdadero si y solo si todo sus argumentos son falsos

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El operador NOR puede relacionarse a un par, de interruptores conectados enparalelo a una lámpara, Figura3.14.

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Operador lógico Coincidence.El operador lógico Concidence es la función complemento del EX-OR, también se leconoce como EX-NOR. Su representación es la siguiente:F(AB)= AΘBEl Coincidence es falso para un número impar de variables verdaderas

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Expresiones BooleanasLa aplicación de los operadores básicos a una o más variables o constantes formalo que se conoce como Expresiones Booleanas. Las expresiones booleanas mássimples consisten en una sola variable o constante, por ejemplo, A, B, 1, etc.

La formación de expresiones más complicadas se llevan a cabo combinandoexpresiones simples por medio de AND’S. OR'S y NOT'S, por ejemplo:

Los paréntesis se usan para indicar el orden en que se deben ejecutar Lasoperaciones booleanas. Cuando no existen paréntesis, en el inciso b) debeejecutarse primero la complementación, después el AND y por ultimo el OR.Cada expresión corresponde a un circuito de compuertas lógicas, como se muestraen el ejemplo 3.1.

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Ejemplo 3.1

La evaluación de una expresión se hace sustituyendo los valores de 0 y 1 para cadavariable. Una tabla de verdad es un método útil para este propósito, puesto quemuestra todas las posibles combinaciones de los valores de las variables y su salida.

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Ejemplo 3.2

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1. Encuentre el circuito para las siguientes funciones booleanas

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Propiedades fundamentales del Álgebra BooleanaLas siguientes proposiciones son las elementales en el álgebra booleana, algunasde ellas no son correctas para el álgebra normal.

La comprobación de estas proposiciones se ve obvia por simple inspección sinembargo pueden verificarse usando tablas de verdad o por medio de susequivalentes eléctricos.

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Leyes fundamentalesLey asociativa:

Ley distributiva:

Ley conmutativa:

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Aparentemente la última ecuación es incorrecta con respecto al, álgebra normal.Puede probarse mediante una tabla de verdad o empleando los postuladosanteriormente descritos:

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Teorema de D'MORGANPara obtener el complemento o inverso de una expresión booleana se aplica elteorema de "D'MORGAN" en su forma más general establece que paracomplementar una función booleana expresada por medio de AND, OR y NOT, esnecesario:1.- Reemplazar todos los operadores AND por OR.2.- Reemplazar todos los operadores OR por AND.3.- Reemplazar todas las variables por su complemento.Aplicando el teorema de D'MORGAN para dos argumentos tenemos:

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Ejemplo 3.3 Complemente la siguiente función:

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LAS OPERACIONES DEL ÁLGEBRA DE BOOLE

En el Álgebra de Boole hay dos operaciones, denotadas con los símbolos + y . peroque ¡¡no tienen nada que ver con las operaciones que todos conocemos de suma

y producto!!. ¡¡¡No hay que confundirlas!!!!. El + y . el del Algebra de Boole seaplican a bits, es decir, a números que sólo pueden ser el ’0’ ó el ’1’.

La operación +Esta operación se define de la siguiente

manera:0 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 11 + 1 = 1

Las tres primeras operaciones nos resultan obvias, son igualesque la suma que conocemos, sin embargo la expresión 1+1=1nos puede resultar chocante. ¿¿Pero no me habían dicho todala vida que 1+1=2??, nos podemos estar preguntando. Sí, perohay que recordar que aquí estamos utilizando otra operación

que NO ES LA SUMA, la denotamos con el mismo símbolo ’+’, ¡¡pero no es una suma normal!! ¡¡Hay que cambiar el “chip”!! ¡¡Ahora estamos con Algebra de Boole!!

P d l á i i i i l i fij ió l

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Pasado el pánico inicial, si nos fijamos en esta nueva operación, notamos losiguiente: El resultado siempre es igual a ’1’ cuando alguno de los bits sumandoses igual a ’1’. O lo que es lo mismo, El resultado de esta suma sólo da ’0’ si losdos bits que estamos sumando son iguales a cero. En caso contrario valdrá ’1’.

¿Y para qué nos sirve esta operación tan extraña? Veamos un ejemplo.Imaginemos que hay una sala grande a la que se puede acceder a través de dospuertas. En el techo hay una única lámpara y existen dos interruptores de luz,uno al lado de cada puerta de entrada. Como es lógico, la luz se enciende cuandoalgunos de los dos interruptores (o los dos) se activan. Esto lo podemos expresarmediante una ecuación booleana. Para denotar el estado de uno de los

interruptores utilizaremos la variable booleana A, que puede valer ’0’ (Interruptor apagado) ó ’1’ (interruptor activado). Para el otro interruptorusaremos la variable B. Y para el estado de la luz, ’0’ (apagada) y ’1’ encendida,usaremos la variable F.El estado en el que se encuentra la luz, en función de cómo estén losinterruptores viene dado por la ecuación booleana:

que indica que F=1 (Luz encendida) si alguno de los interruptores está a ’1’ (activado).

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La operación .

Esta operación se define así:

En este caso, la operación es más intutitiva, puesto que esigual que el producto de números Reales. Si nos fijamos,vemos que el resultado sólo vale ’1’ cuando los dos bits estána ’1’, o visto de otra manera, el resultado es ’0’ cuando algunode los dos bits es ’0’.

Vamos a ver un ejemplo. Imaginemos una caja de seguridad de un banco quesólo se abre cuando se han introducido dos llaves diferentes, una la tiene eldirector y la otra el jefe de seguridad. Si sólo se introduce una de ellas, la caja nose abrirá. Modelaremos el problema así. Utilizaremos la variable A para referirnosa una de las llaves (’0’ no introducida, ’1’ introducida) y la variable B para la otra

llave. Con la variable F expresamos el estado de la caja de seguridad (’0’ cerrada y’1’ abierta). El estado de la caja lo podemos expresar con la ecuación:

que indica que la caja se abrirá (F=1) sólo siA=1 (una llave introducida) y B=1 (la otra llaveintroducida). En cualquier otro caso, F=0, y portanto la caja no se abrirá.

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Si A es una variable booleana se cumple que:

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ALGEBRA DE BOOLE

Una estructura matemática, como es el algebra de Boole, se construye a partir de

un conjunto de elementos sobre los que se definen unos operadores quepermiten realizar operaciones en ellos, estableciendo unos postulados o axiomas que relacionan tanto al conjunto de elementos como al conjunto de operadores.En cualquier estructura matemática, los postulados son las hipótesis iniciales quela definen y que no se demuestran. Estos postulados son el punto de partida paradeducir los teoremas y propiedades de dicha estructura.

Se pueden utilizar diferentes conjuntos de postulados para definir un algebra deBoole, aunque uno de los mas utilizados es el propuesto por Huntington en 1904.Para la construcción de un algebra de Boole, se parte de una estructura algebraica(B, +,.), formada por un conjunto de elementos B y dos operaciones definidas enel mismo, denominadas + y . (suma y producto). Se dice que es un algebra deBoole si cumple los siguientes axiomas, también conocidos como postulados de

Huntington:

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Postulado IEl conjunto B es cerrado con respecto a las dos operaciones.Es decir, se cumple que ∀ , ∈ :

+ ∈

. ∈ Postulado IIExiste un elemento identidad en las dos operacionesEn la operación + el elemento identidad es el 0 y en la operación . es el 1,cumpliéndose que ∀ ∈ :

+ 0 =

. 1 = Postulado IIILas dos operaciones cumplen la propiedad conmutativaEs decir, se cumple que ∀ , ∈ :

+ = + . = .

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Postulado IVCada operación es distributiva con respecto a la otraEs decir, se cumple que ∀ , , ∈ :

. + = . + (. )

+ . = + . ( + ) Postulado VExiste un elemento complementarioSe cumple que ∀ ∈ existe otro elemento de B llamado “complementario de a”que se representa por (la línea horizontal indica complemento o negación de a),siendo:

+ = 1 . = 0

Postulado VI. Numero de elementosEn el conjunto B existen al menos dos elementos diferentes, cumpliéndose que∀ , ∈ :

≠

Se debe tener en cuenta la generalidad de este postulado, que solo establece elnumero mínimo de elementos de B, no precisando ni su numero total, ni el tipo deestos.

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TEOREMAS DEL ALGEBRA DE BOOLE

De los postulados anteriores se deducen un conjunto de propiedades del algebra

de Boole que se indican a continuación en forma de leyes y teoremas:1. Principio de DualidadSea E una igualdad entre dos expresiones booleanas y otra igualdad obtenida apartir de E intercambiando los operadores + y ., y los elementos de identidad 0 y1. Si E es una identidad (igualdad que se verifica para cualquier valor de susvariables), , denominada dual de E, también lo es.

Nota: El teorema del principio de dualidad es consecuencia de la simetría de lospostulados con respecto a las dos operaciones + y ., y a los dos elementos deidentidad 0 y 1. Cada axioma se define doblemente mediante dos expresionesduales entre si.En los siguientes teoremas se omiten las demostraciones de una de las dos partesduales, dado que es fácil su obtención aplicando el principio de dualidad.

2. Ley de Idempotencia

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2 0 / 1 1 / 2 0 1 4


O

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y pPara cualquier elemento a es un algebra de Boole, se verifica que: + = . = Identidad dual.

Demostración + = + . 1 = (Postulado II)= + . ( + )= (Postulado V)= + . = (Postulado IV)= + 0= (Postulado V)= (Postulado II)

La segunda expresión de este teorema se demuestra igualmente utilizando lospostulados duales, como ya se ha indicado en el principio de dualidad.. = . + 0 = (Postulado II)= . + (. )= (Postulado V)= . + = (Postulado IV)= . 1= (Postulado V)

= (Postulado II)Obsérvese como a partir de una de las expresiones ya demostradas de la ley deidempotencia, si se intercambian los operadores + y ., y los elementos deidentidad 0 y 1, se obtiene la demostración de la otra expresión dual de la ley deidempotencia.

3. Operaciones con elementos identidad

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2 0 / 1 1 / 2 0 1 4


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pPara cualquier elemento a en un algebra de Boole, se cumple que: + 1 = 1 . 0 = 0 (Identidad dual)Demostración:

+ 1 = + 1 . 1 = (Postulado II)= + 1 . ( + )= (Postulado V)= + 1. = (Postulado IV)= + = (Postulado II)= 1 (Postulado V)4. Teorema

El complemento de cada elemento es único.Demostración: si + = 1 . = 0 (aplicación del postulado V), entonces = = + 0 = (Postulado II)= + . )= (Hipótesis)= + . ( + )= (Postulado IV)= 1. ( + )= (Postulado V)

= + . ( + ) (Hipótesis)= . + = (Postulado IV)= 0 + )= (Postulado V)= (Postulado II)

5. Ley de involución

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2 0 / 1 1 / 2 0 1 4


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yPara todo elemento a en un algebra de Boole, se verifica que: = Demostración: Por el postulado V se sabe que + = 1 y . = 0, lo quepermite definir el complemento de a.

De dicho postulado se deduce que el complemento de es y de la mismamanera el complemento de es . Como el complemento es único, se deduceque =

6. Ley de AbsorciónPara cada par de elementos a y b de un algebra de Boole se verifica que:

+ . = . + = (Identidad dual)Demostración: + . ) = . 1 + (. ) (Postulado II)= . (1 + )= (Postulado IV)= . ( + 1)= (Postulado III)

= . 1 (Expresión de operaciones con elementos deidentidad )= (Postulado II)

En el algebra de Boole se verifica que:

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2 0 / 1 1 / 2 0 1 4


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g q + . = + . + = . (Identidad dual)Demostración: + . = + . + = (Postulado IV)

= 1. + = (Postulado V)= + (Postulado II)

En un algebra de Boole las operaciones + y . Son asociativas. Para toda terna deelementos a, b y c se verifica que: + + = + +

. . = . . (identidad dual)

7. Leyes de Morgan

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y gEn un algebra de Boole se verifica que:

+ + + + ⋯ = . . . ….. . . … = + + + + ⋯ (Identidad dual)

Teorema: El complemento de una función se obtiene intercambiando lasoperaciones + y ., y reemplazando cada variable por su complementario.

, , , , +, . = , , , , . , +

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