visualisation scientifique - imag→maillage volumique td’un volume parallèlépipèdique p...

Visualisation Scientifique

Nicolas SZAFRAN

UJF

2010/2011

Nicolas SZAFRAN (UJF) Visu. Scient. - M2 IMSN/IICAO 2010/2011 1 / 242

Plan

1 Introduction

2 Types de donnees

3 Visualisation de donnees surfaciques

4 Visualisation de donnees volumiques

5 Visualisation de champs de vecteurs

6 Simplification de donnees


Introduction

Plan

1 IntroductionQu’est ce que la visu. scientifiquePlace de la Visualisation Scientifique dans un processus d’etudeD’autres exemples

2 Types de donnees






Introduction Qu’est ce que la visu. scientifique

Plan




Qu’est ce que la visu. scientifique




but : permettre a un expert d’apprehender de maniere synthetique etpertinente un important volume de donnees sous forme d’images.





a partir de donnees de mesures reelles ou simulees, fournir des outilspour la creation d’images (par ordinateur) afin de comprendre lephenomene dont proviennent ces mesures, et eventuellement validerou non les modeles (et les modifier si necessaire)





a partir de donnees de mesures reelles ou simulees, fournir des outilspour la creation d’images (par ordinateur) afin de comprendre lephenomene dont proviennent ces mesures, et eventuellement validerou non les modeles (et les modifier si necessaire)

domaine de recherche qui s’est developpe parallelement a celui del’informatique, la modelisation geometrique, et utilise par differentessciences de l’ingenieur : cela mene a un tres grand nombre demethodes de visualisation (pratiquement une differente parapplication)


Introduction Place de la Visualisation Scientifique dans un processus d’etude

Plan




En general, la VS (Visualisation Scientifique) s’inscrit dans un processusd’etude :




comme outil pour visualiser des donnees





et eventuellement modifier ou ameliorer un modele





et eventuellement modifier ou ameliorer un modele

→ illustration a travers quelques exemples.



Exemple : conception d’une voiture de course




Exemple de simulation d’ecoulement d’air (FLUENT / Williams F1)




A) A partir de la definition CAOd’une voiture et de donneesphysiques,




A) A partir de la definition CAOd’une voiture et de donneesphysiques,B) simuler l’ecoulement de l’airautour de la voiture,





C) visualiser l’ecoulement de l’air autour de la voiture ainsi que la pressionsur sa surface,





C) visualiser l’ecoulement de l’air autour de la voiture ainsi que la pressionsur sa surface,D) afficher sur un ecran graphique,





C) visualiser l’ecoulement de l’air autour de la voiture ainsi que la pressionsur sa surface,D) afficher sur un ecran graphique,afin de valider ou non l’etude CAO (et eventuellement la modifier)



Exemple : conception de voiture

A) Donnees C.A.O de la voiture :




A) Donnees C.A.O de la voiture :ensemble de surfaces B-splines/NURBS




A) Donnees C.A.O de la voiture :ensemble de surfaces B-splines/NURBS→ maillage surfaciqueM de la surface S de la voiture +




A) Donnees C.A.O de la voiture :ensemble de surfaces B-splines/NURBS→ maillage surfaciqueM de la surface S de la voiture +→ maillage volumique T d’un volume parallelepipedique P contenant lasurface S de la voiture





+ donnees physiques :





+ donnees physiques :– caracteristiques de l’air (pression, temperature, vitesse, ...)





+ donnees physiques :– caracteristiques de l’air (pression, temperature, vitesse, ...)– caracteristiques du materiau de la surface.



Exemple : conception de voitureSimulation numerique

B) Simulation numerique :




B) Simulation numerique :mise en equation des lois physiques d’ecoulement d’air autour d’unesurface rigide : domaine de dynamique des fluides




B) Simulation numerique :mise en equation des lois physiques d’ecoulement d’air autour d’unesurface rigide : domaine de dynamique des fluides→ equations de Navier-Stokes : relations entre




B) Simulation numerique :mise en equation des lois physiques d’ecoulement d’air autour d’unesurface rigide : domaine de dynamique des fluides→ equations de Navier-Stokes : relations entre

– vecteur−→V = (Vx ,Vy ,Vz) (vitesse du fluide - l’air),

– scalaire p (pression),– constante ρ (densite du fluide),– constante µ (viscosite dynamique),

– vecteur−→F = (Fx ,Fy ,Fz) (forces exterieures).




ρ[

∂−→V

∂t+ (−→V∇) · −→V

]

= −∇p + µ∇2−→V +−→F

div−→V = 0




ρ[

∂−→V

∂t+ (−→V∇) · −→V

]

= −∇p + µ∇2−→V +−→F

div−→V = 0

avec conditions de bord :{−→

V |S = 0−→V |δP = V0

V0 vitesse de l’air / repere de l’avion




→ discretisation des equations suivant la tetraedrisation T :




→ discretisation des equations suivant la tetraedrisation T :en chaque sommet Xi = (xi , yi , zi) de T , calculer :





un vecteur vitesse Vi = (vxi , vyi , vzi )

un scalaire pression pi .







Utilisation des relations de voisinage entre sommets etdiscretisation des equations :







Utilisation des relations de voisinage entre sommets etdiscretisation des equations :→ systemes d’equations lineaires.







Utilisation des relations de voisinage entre sommets etdiscretisation des equations :→ systemes d’equations lineaires.→ resolution de grands systemes lineaires creux avec methodes iterativesadaptees



Exemple : conception de voitureVisualisation




Donnees avant visualisation : la tetraedrisation T avec en chaque sommetXi de T :





le vecteur vitesse Vi





le vecteur vitesse Vi

la valeur scalaire pi de la pression en ce point.




C-1) Visualisation des trainees autour de la voiture :Calcul de la trajectoire de particules au voisinage de la voiture, particulessoumises au champ de vitesse V (tel que cela est fait en soufflerie)




C-1) Visualisation des trainees autour de la voiture :Calcul de la trajectoire de particules au voisinage de la voiture, particulessoumises au champ de vitesse V (tel que cela est fait en soufflerie)→ calcul de lignes de flux (streamlines) suivant le champ de vecteurs V :





retrouver un champ de vecteurs V continu (i.e. fonction de R3 dans

R3 interpolant les donnees : V (Xi) = Vi) : probleme d’interpolation





retrouver un champ de vecteurs V continu (i.e. fonction de R3 dans

R3 interpolant les donnees : V (Xi) = Vi) : probleme d’interpolation

choisir des points dans le volume d’etude, et pour chaque point R0

representant une particule, determiner sa trajectoire R suivant uneligne de flux : resolution d’une EDO




C-2) Visualisation de la pression sur la surface S de la voiture :




C-2) Visualisation de la pression sur la surface S de la voiture :Representation des donnees scalaires sur une surface particuliere a l’aidede couleurs (representation surface-on-surface) :




C-2) Visualisation de la pression sur la surface S de la voiture :Representation des donnees scalaires sur une surface particuliere a l’aidede couleurs (representation surface-on-surface) :calcul de courbes isovaleur (methode de contouring)




D - Affichage sur un ecran graphique




D - Affichage sur un ecran graphiquetechniques d’affichage de donnees 3D sur un ecran 2D



La boucle d’etude

Processus (boucle) d’etude



La boucle d’etude

définition CAOModèle :

de la voiture+ données physiques

(A)




La boucle d’etude

Simulation numériquede l’écoulement

résolution d’EDPde l’air :



(B)

(A)




La boucle d’etude

Visu. des trainéeset de la pression :

méthode de contouringcalcul de streamlines +





(C)(B)

(A)




La boucle d’etude




résolution d’EDP

Affichage sur un écran

de l’air :

graphique :définition CAOModèle :

outils graphiques /de la voiture+ données physiques synthèse d’image

(D)

(C)(B)

(A)




La boucle d’etude





graphique :définition CAOModèle :

outils graphiques /de la voiture+ données physiques synthèse d’image

Affichage sur un écran

(D)

(C)(B)

(A)



Introduction D’autres exemples

Plan




Imagerie medicale

Imagerie medicale 3D : procedes radiographiques par coupes 2Dsuccessives (IRM, positon, ...)



Imagerie medicale

Donnees : ensemble de coupes 2D



Imagerie medicale

Donnees : ensemble de coupes 2Dchaque coupe 2D Ck : image formee de pixels Pi ,j



Imagerie medicale

Visualisation d’un ensemble de coupes 2D formant une grille 3D uniforme

Xi ,j ,k = (xi , yj , zk),Fi ,j ,k



Imagerie medicale



Xi ,j ,k = (xi , yj , zk) position d’un point dans l’espace



Imagerie medicale



Xi ,j ,k = (xi , yj , zk) position d’un point dans l’espaceFi ,j ,k intensite (valeur du pixel) correspondant au materiau organique enXi ,j ,k (vide, os, muscle, vaisseau, ...)



Imagerie medicale



Xi ,j ,k = (xi , yj , zk) position d’un point dans l’espaceFi ,j ,k intensite (valeur du pixel) correspondant au materiau organique enXi ,j ,k (vide, os, muscle, vaisseau, ...)Differentes techniques possibles, par exemple :



Imagerie medicale

A) Affichage de certaines coupes (slicing)

Representation par slicing



Imagerie medicale

B) Extraction de surfaces/volumes representant un organe particulier

Representation par extraction d’isosurface (Marching Tetrahedra)



Imagerie medicale

C) Rendu volumique : image 2D du volume 3-D obtenu

Representation par rendu volumique

→ techniques similaires au lancer de rayons



Imagerie medicale

Acquisition par scannerensemble d’images 2D

(slices)

Affichage sur écran /impression

extraction de coupes particulières /reconstruction d’objets 3D /

rendu volumique




Representation de donnees sur le globe terrestre




Donnees de la forme : (Pi ;Fi) avec




Donnees de la forme : (Pi ;Fi) avecPi point du globe terrestre (∼ sphere)




Donnees de la forme : (Pi ;Fi) avecPi point du globe terrestre (∼ sphere)Fi donnee associee au point Pi (profondeur/altitude)




Donnees de la forme : (Pi ;Fi) avecPi point du globe terrestre (∼ sphere)Fi donnee associee au point Pi (profondeur/altitude)

Representation de donnees terrestres




1) A partir de donnees quelconques Pi ,Fi ,

−180 +180+90

−90




1) A partir de donnees quelconques Pi ,Fi ,calculer des donnees Fi ,j sur une grille reguliere (αi , βj )avec αi longitude et βj latitude

−180 +180+90

−90




1) A partir de donnees quelconques Pi ,Fi ,calculer des donnees Fi ,j sur une grille reguliere (αi , βj )avec αi longitude et βj latitude→ passage de donnees quelconques a des donnees de type grille

−180 +180+90

−90




1) A partir de donnees quelconques Pi ,Fi ,calculer des donnees Fi ,j sur une grille reguliere (αi , βj )avec αi longitude et βj latitude→ passage de donnees quelconques a des donnees de type grille

−180 +180+90

−90

Interpolation de donnees quelconques suivant une grille reguliere




2) Donnee Fi ,j → couleur ci ,j




2) Donnee Fi ,j → couleur ci ,j

→ image bitmap

Image des profondeurs/altitudes




3) Visualisation sur une sphere→ affichage 3-D d’une sphere avec texture.

Representation sphere 3D avec texture




Ensemble de donnéessur le globe terrestre

interpolation des données suivant une grille régulièrecalcul d’une image

Affichage d’une sphèreavec texture

Processus d’etude



Representation de champ de vecteurs




Donnees :Points Pi = (xi , yi ) du plan + vecteurs associes Vi = (Vxi ,Vyi)




Donnees :Points Pi = (xi , yi ) du plan + vecteurs associes Vi = (Vxi ,Vyi)→ representation des donnees telles quelles




Deformer une image avec le champ de vecteurs : methode LIC





Image initiale





Image initiale Image deformee




Champ de vecteur +image

calcul de l’image déformée (méthode LIC)

Affichage

calcul du champ de vecteur sur une grille 2D /

Processus d’etude


Types de donnees

Plan

1 Introduction

2 Types de donneesExemplesTypes de donnees et structures de donnees dedieesPassage a des donnees de type grille reguliere






Types de donnees Exemples

Plan




Scanner medical

0.000 0.000 0.000 100.001 0.000 0.000 11

......

......

0.499 0.000 0.000 90.000 0.001 0.000 7

......

......

0.234 0.177 0.113 2030...

......

...

Donnees : (position) xi ,j ,k , yi ,j ,k, zi ,j ,k + (intensite) Fi ,j ,k

avec 0 ≤ i < M, 0 ≤ j < N et 0 ≤ j < P



Exemples

Forage Well log data1.100 4.000 0.000 01.100 4.000 10.000 16

......

......

1.100 4.000 1000.000 1350.000 10.00 0.000 750.000 10.00 20.000 8

......

......

Donnees : (position) xi ,j , yi ,j , zi ,j + (indice de materiau) Ki ,j

avec 0 ≤ i < N et 0 ≤ j ≤ Mi

(en general (xi ,j , yi ,j) = Pi point de forage numero i)



Soufflerie

2.756 8.568 9.756 (-2.7,6.3,5.9)2.865 8.732 9.559 (-2.9,6.5,6.9)

......

......

Donnees : (position) xi , yi , zi + (vitesse) (Vxi ,Vyi ,Vzi)avec 0 ≤ i < N



Donnees bathymetriques/altimetriques

−180◦00′ −90◦00′ 2776 m−180◦00′ −89◦58′ 2774 m−180◦00′ −89◦56′ 2770 m

......

...−180◦00′ +89◦58′ -4110 m−180◦00′ +90◦00′ -4117 m−178◦58′ −90◦00′ 2776 m

......

...+180◦ +90◦00′ -4117 m

Donnees : (longitude,latitude) αi ,j , βi ,j + (altitude) hi ,j

avec 0 ≤ i < M et 0 ≤ j < N



Structure 3-D

Donnees : Maillage tetraedrique- liste de points 3D Pi + donnees associees Vi

- liste de tetraedres Tj = [j1, j2, j3, j4] indices des 4 sommets



S.I.G. - Cartographie

Donnees : liste de contours, routes, voies d’eau, voies ferrees, noms, . . .



E.G.G

Donnees : positions du crane Pi = (Xi ,Yi ,Zi ) + Vi ,j voltages associes auxtemps ti ,j


Types de donnees Types de donnees et structures de donnees dediees

Plan




Donnees dispersees / Scattered data

Donnees de la forme Di avec 0 ≤ i < NPas de relations entre les differents points de donnees



Donnees dispersees / Scattered data

Donnees de la forme Di avec 0 ≤ i < NPas de relations entre les differents points de donnees

→ structure de donnees : liste/tableau des donnees



Donnees structurees / Maillage

Donnees de la forme Di avec 0 ≤ i < N




Donnees de la forme Di avec 0 ≤ i < N+ relations d’adjacence entre certains points / elements du maillage




Donnees de la forme Di avec 0 ≤ i < N+ relations d’adjacence entre certains points / elements du maillage

Exemple : triangulation




Structure 1-D : donnees agencees suivant des listes lineaires (chaınes)





structure de donnees : liste/tableau de chaınes 1-D





structure de donnees : liste/tableau de chaınes 1-D

chaque chaıne : liste/tableau de donnees




Maillage 2-D : donnees agencees suivant des polygones (convexes)





donnees surfaciques





donnees surfaciques

polygone : triangle, quadrangle, . . .





donnees surfaciques


structure la plus utilisee : triangulation (faces=triangles)





donnees surfaciques



permet d’approcher tout domaine,





donnees surfaciques



permet d’approcher tout domaine,→ structures de donnees simples,




Triangulation Quadrangulation

Maillage quelconque Maillage hybride 3-4



Donnees structurees / MaillageStructures de donnees pour triangulation

Structure de donnee 1 :





liste des sommets avec pour chaque sommet






ses coordonnees (x , y)







liste des faces avec pour chaque face








la liste des sommets ordonnes (S1, S2, S3)




Structure de donnee 1 : exemple





1

3 4

5

2

1

2

3





1

3 4

5

2

1

2

3

Sommet x y

1 0 22 2 23 0 04 2 05 4 1Sommets





1

3 4

5

2

1

2

3

Sommet x y

1 0 22 2 23 0 04 2 05 4 1Sommets

Face S1 S2 S3

1 1 3 22 4 2 33 4 5 2

Faces




Structure de donnee 1 - Fichier OFF (logiciel Geomview)





0

2 3

4

1

1

2

3





0

2 3

4

1

1

2

3

Exemple de fichier :





0

2 3

4

1

1

2

3


OFF5 3 0

0 2 02 2 00 0 02 0 04 1 0

3 0 2 13 3 1 23 3 4 1





0

2 3

4

1

1

2

3


OFF5 3 0

0 2 02 2 00 0 02 0 04 1 0

3 0 2 13 3 1 23 3 4 1

! : indicage des sommets a partir de 0.




Structure de donnee 1





(+) structure de donnees simple





(+) structure de donnees simple(-) certaines operations de parcours difficiles a implementer(par exemple passer d’une face a une face voisine)





(+) structure de donnees simple(-) certaines operations de parcours difficiles a implementer(par exemple passer d’une face a une face voisine)

→ enrichir la structure avec d’autres relations entre elements








la liste des sommets ordonnes (S1, S2, S3)








la liste des sommets ordonnes (S1, S2, S3)la liste des faces adjacentes (F1, F2, F3)








la liste des sommets ordonnes (S1, S2, S3)la liste des faces adjacentes (F1, F2, F3)F1 : face adjacente suivante l’arete [S1, S2]F2 : face adjacente suivante l’arete [S2, S3]F3 : face adjacente suivante l’arete [S3, S1]








la liste des sommets ordonnes (S1, S2, S3)la liste des faces adjacentes (F1, F2, F3)F1 : face adjacente suivante l’arete [S1, S2]F2 : face adjacente suivante l’arete [S2, S3]F3 : face adjacente suivante l’arete [S3, S1]Fj = ∅ si face absente (cas arete externe)





1

3 4

5

2

1

2

3

Maillage





1

3 4

5

2

1

2

3

Maillage

Sommet x y

1 0 22 2 23 0 04 2 05 4 1Sommets





1

3 4

5

2

1

2

3

Maillage

Sommet x y

1 0 22 2 23 0 04 2 05 4 1Sommets

Face S1 S2 S3 F1 F2 F3

1 1 3 2 ∅ 2 ∅2 4 2 3 3 1 ∅3 4 5 2 ∅ ∅ 2

Faces




Maillage 3D : donnees agencees suivant des polyedres (convexes)





donnees volumiques





donnees volumiques

polyedre : tetraedre, pentaedre (prisme a base triangulaire), hexaedre(prisme a base quadrangulaire), . . .

Tetraedre Pentaedre Hexaedre





donnees volumiques

polyedre : tetraedre, pentaedre (prisme a base triangulaire), hexaedre(prisme a base quadrangulaire), . . .

Tetraedre Pentaedre Hexaedre

structure la plus utilisee : tetraedrisation (cellules=tetraedres)




Exemple de maillage tetraedrique




Exemple de maillage hexaedrique




Maillage 3D : structures de donnees





similaires aux maillages 2D






exemple maillage tetraedre :







liste/tableau des sommets







liste/tableau des sommetsliste/tableau des tetraedres, avec pour chaque cellule (tetraedre)liste/tableau des 4 sommets



Donnees grille

Donnees de la forme Di ,j (grille 2D) ou Di ,j ,k (grille 3D)



Donnees grille


Maillage regulier a base de quadrangles/rectangles (2D) ou a base dehexaedres



Donnees grille



Grille 2D non uniforme Grille 2D uniforme Grille 3D uniforme



Donnees grille



Grille 2D non uniforme Grille 2D uniforme Grille 3D uniforme

→ structure : tableau 2D/3D des donnees(+ tableau / liste pour chaque ordonnee)



Donnees grille

Exemple :



Donnees grille

Exemple :

−180 +180+90

−90



Donnees grille

Exemple :

−180 +180+90

−90

M = 15αmin = −180αmax = +180(discretisation longitude)



Donnees grille

Exemple :

−180 +180+90

−90


N = 10βmin = −180βmax = +180(discretisation latitude)



Donnees grille

Exemple :

−180 +180+90

−90


N = 10βmin = −180βmax = +180(discretisation latitude)

tableau de 10× 15valeurs


Types de donnees Passage a des donnees de type grille reguliere

Plan




Interet

En general, exploitation (en termes d’algorithmes) plus facile pour desdonnees de type grille reguliere.



Interet


données éparses données maillées

données grille régulière



Interet


données éparses données maillées

données grille régulière

possibilite de passer a des donnees maillees



Principe



Principe

A partir de donnees dispersees ou structurees,



Principe

A partir de donnees dispersees ou structurees,definir une grille reguliere couvrant le domaine des donnees



Principe

A partir de donnees dispersees ou structurees,definir une grille reguliere couvrant le domaine des donneeset calculer les valeurs correspondantes en chaque point



Principe


Donnees dispersees Donnees structurees



Principe


Donnees dispersees Donnees structureesvers grille reguliere vers grille reguliere



Principe


Donnees dispersees Donnees structureesvers grille reguliere vers grille reguliere

→ methode d’interpolation/extrapolation



Calcul d’une grille reguliere a partir d’un maillage

Exemple d’un maillage 2-D : donnees





Hypothese : le domaine de la triangulation couvre la grille.





triangulation :– liste de points Pk = (xk , yk) + valeurs zk associees– liste de triangles Tm = (m1,m2,m3)






triangulation :– liste de points Pk = (xk , yk) + valeurs zk associees– liste de triangles Tm = (m1,m2,m3)

grille de points :– R = [xmin, xmax ]× [ymin, ymax ],– entiers M et N (nb. intervalles en x et y)





Exemple d’un maillage 2-D : resultats




Exemple d’un maillage 2-D : resultats

valeurs vi ,j aux points Gi ,j



Calcul d’une grille reguliere a partir d’un maillage 2-D

algorithme simple :




algorithme simple :

– pour chaque point Gi ,j de la grille reguliere finale




algorithme simple :


– trouver le triangle Tl le contenant




algorithme simple :


– trouver le triangle Tl le contenant

– calculer la valeur zi ,j correspondante a Gi ,j par rapport a Tl




coordonnees barycentriques (u, v ,w)d’un point G dans T = [P1,P2,P3] :





{u P1 + v P2 + w P3 = Gi ,j

u + v + w = 1





{u P1 + v P2 + w P3 = Gi ,j

u + v + w = 1

→ resolution d’un systeme lin. 3× 3





{u P1 + v P2 + w P3 = Gi ,j

u + v + w = 1

→ resolution d’un systeme lin. 3× 3→ G ∈ T ⇐⇒ u, v ,w ≥ 0





{u P1 + v P2 + w P3 = Gi ,j

u + v + w = 1

→ resolution d’un systeme lin. 3× 3→ G ∈ T ⇐⇒ u, v ,w ≥ 0⇒ valeur z du point G par rapport a T :

z = u z1 + v z2 + w z3



Calcul d’une grille reguliere a partir de donnees dispersees

methode 1 :




methode 1 :

– effectuer un maillage des donnees (par ex. Delaunay)




methode 1 :

– effectuer un maillage des donnees (par ex. Delaunay)

– utiliser la methode precedente




methode 2 :




methode 2 :

– calculer une fonction f interpolant les donnees




methode 2 :


– pour chaque point G de la grille, calculer la valeur f (G ) correspondante




methode 2 :


– pour chaque point G de la grille, calculer la valeur f (G ) correspondante

→ methodes d’interpolation



Interpolation de donnees dispersees

Exemples des splines radiales




Exemples des splines radialesDonnees : Pi = (xi , yi ) et valeur zi associee (1 ≤ i ≤ n ≤ 500)




Exemples des splines radialesDonnees : Pi = (xi , yi ) et valeur zi associee (1 ≤ i ≤ n ≤ 500)→ fonction f interpolante :

f (x , y) = f (P) =n∑

i=1

ci‖P − Pi‖3 + cn+1x + cn+2y + cn+3





f (x , y) = f (P) =n∑

i=1

ci‖P − Pi‖3 + cn+1x + cn+2y + cn+3

avec les conditions :





f (x , y) = f (P) =n∑

i=1

ci‖P − Pi‖3 + cn+1x + cn+2y + cn+3


f (Pi ) = zi 1 ≤ i ≤ n (interpolation)





f (x , y) = f (P) =n∑

i=1

ci‖P − Pi‖3 + cn+1x + cn+2y + cn+3


f (Pi ) = zi 1 ≤ i ≤ n (interpolation)∑n

i=1 cixi = 0∑n

i=1 ciyi = 0∑n

i=1 ci = 0

∣∣∣∣∣∣

(spline)





f (x , y) = f (P) =n∑

i=1

ci‖P − Pi‖3 + cn+1x + cn+2y + cn+3


f (Pi ) = zi 1 ≤ i ≤ n (interpolation)∑n

i=1 cixi = 0∑n

i=1 ciyi = 0∑n

i=1 ci = 0

∣∣∣∣∣∣

(spline)

→ systeme lineaire de dimension n + 3


Visualisation de donnees surfaciques

Plan

1 Introduction

2 Types de donnees

3 Visualisation de donnees surfaciquesGeneralitesCalcul de courbes iso-valeurs





Visualisation de donnees surfaciques Generalites

Plan




Cadre

Donnees surfaciques :

maillage/grille reguliere de points Pi

soit dans le plan S = R2 : Pi = (xi , yi )

soit sur une surface S ∈ R3 : Pi = (xi , yi , zi ) ∈ S

valeurs scalaires Fi , Fi valeur au point Pi

→ visualiser ces donnees



Exemple 1 : trace de courbes altimetriques sur une carte

geographique



Exemple 2 : representation de donnees sur la sphere



Techniques

A) representer le maillage / la grille de points avec les techniques habituellesde rendu 2D : rendu surfacique



Techniques


Rendu filaire



Techniques


Ombrage uniforme par face



Techniques


Ombrage ”lisse” (Phong)



Techniques


Visualisation mixte filaire/ombrage



Techniques

B) representer des courbes iso-valeurs



Techniques


Courbes isovaleur



Techniques


Visualisation mixte ombrage/courbes de niveau



Visualisation de fonctions analytiques

representer F : S → R avec S plan ou surface




representer F : S → R avec S plan ou surface→ discretiser la fonction suivant un maillage / une grille reguliere




representer F : S → R avec S plan ou surface→ discretiser la fonction suivant un maillage / une grille reguliere→ representer des donnees Pi ,Fi = F (Pi )




representer F : S → R avec S plan ou surface→ discretiser la fonction suivant un maillage / une grille reguliere→ representer des donnees Pi ,Fi = F (Pi )

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

Z

−2.0−1.5

−1.0−0.5

0.00.5

1.01.5

2.0

X−2

−1

0

1

2

Y

f (x , y) = exp(−(x − 1)2 − (y − 0.5)2) + exp(−(x + 1)2 − (y + 0.2)2)


Visualisation de donnees surfaciques Calcul de courbes iso-valeurs

Plan




Principe

Calcul des courbes de niveaux (isovaleur) d’une surface z = f (x , y)



Principe

Calcul des courbes de niveaux (isovaleur) d’une surface z = f (x , y)courbe iso-valeur = {surface z = f (x , y)} ∩ {plan z = v}



Principe

Calcul des courbes de niveaux (isovaleur) d’une surface z = f (x , y)courbe iso-valeur = {surface z = f (x , y)} ∩ {plan z = v}

Courbe iso-valeur ≡ courbe implicite {f (x , y) = v}



Principe



Principe

Donnees : maillage triangulaire plan avec sommets Pi = (xi , yi )



Principe


et valeurs associees zi

24

1816

25

27 22 24

25

2316

15

16

17

24

21



Principe


et valeurs associees zi

24

1816

25

27 22 24

25

2316

15

16

17

24

21

→ determiner une courbe isovaleur (lineaire par morceaux)



Triangulation prealableCas de donnees dispersees



Triangulation prealableCas de donnees dispersees

→ trianguler les donnees (par ex. Delaunay)



Triangulation prealableCas de maillages non triangulaires




→ trianguler les faces non triangulaires

Exemple des grilles regulieres ≡ maillages quadrangulaires




→ trianguler les faces non triangulaires

Exemple des grilles regulieres ≡ maillages quadrangulaires

→ decouper chaque rectangle en deux (differentes strategies possibles)



Algorithme



Algorithme


avec valeurs associees zi et une isovaleur v

24

1816

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27 22 24

25

2316

15

16

17

24

21



Algorithme


avec valeurs associees zi et une isovaleur v

24

1816

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27 22 24

25

2316

15

16

17

24

21

→ determiner une courbe isovaleur (lineaire par morceaux)



Algorithme

24

1816

25

27 22 24

25

2316

15

16

17

24

21



Algorithme

(A) - Marquage des sommets Pi avec une marque binaire :

24

1816

25

27 22 24

25

2316

15

16

17

24

21



Algorithme


si zi > v si zi ≤ v

24

1816

25

27 22 24

25

2316

15

16

17

24

21



Algorithme


si zi > v si zi ≤ v

24

1816

25

27 22 24

25

2316

15

16

17

24

21

→ partition des sommets en deux ensembles



Algorithme



Algorithme

(B) - Parcours des triangles et construction de la courbe iso-valeur



Algorithme


chaque triangle T = [S1,S2,S3]

S2S3

S1



Algorithme


chaque triangle T = [S1,S2,S3] → 8 marquages possibles



Algorithme



→ 2 config. possibles :



Algorithme



→ 2 config. possibles : meme signe / signes differents



Algorithme


config. meme signe



Algorithme


config. meme signe → pas d’intersection avec le plan z = v



Algorithme


config. meme signe → pas d’intersection avec le plan z = v

→ pas de partie de courbe isovaleur pour cette config.



Algorithme


config. signes differents



Algorithme


config. signes differents → intersection avec le plan z = v



Algorithme



AB A

B

→ partie de courbe isovaleur pour cette config. reduite a un segment [A,B ]



Algorithme



AB A

B

→ partie de courbe isovaleur pour cette config. reduite a un segment [A,B ]→ calcul de 2 intersections plan(z = v) ∩ arete[P ,Q]



Algorithme


calcul du point I = plan(z = v) ∩ arete[P ,Q] :



Algorithme



plan (z=v)

Q = (xQ,yQ,zQ)

P = (xP,yP,zP)I = (x,y,v)



Algorithme



plan (z=v)

Q = (xQ,yQ,zQ)


I = (1− λ)P + λQ



Algorithme



plan (z=v)

Q = (xQ,yQ,zQ)


I = (1− λ)P + λQ avec λ = (v − zP)/(zQ − zP)



Algorithme


pour chaque triangle : 0 ou 1 segment a calculer

24

1816

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27 22 24

25

2316

15

16

17

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21



Algorithme


pour chaque triangle : 0 ou 1 segment a calculer

24

1816

25

27 22 24

25

2316

15

16

17

24

21

ensemble des segments calcules : courbe isovaleur



Algorithme

(C) - Strategie de parcours des differents triangles

24

1816

25

27 22 24

25

2316

15

16

17

24

21



Algorithme

(C) - Strategie de parcours des differents triangles(C1) - sans ordre particulier

24

1816

25

27 22 24

25

2316

15

16

17

24

21



Algorithme

(C) - Strategie de parcours des differents triangles(C1) - sans ordre particulier

24

1816

25

27 22 24

25

2316

15

16

17

24

21

→ parcours de la courbe iso-valeur impossible (pas de relation de voisinageentre les differents segments)



Algorithme

(C) - Strategie de parcours des differents triangles

24

1816

25

27 22 24

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2316

15

16

17

24

21



Algorithme

(C) - Strategie de parcours des differents triangles(C2) - suivi de la courbe iso-valeur

24

1816

25

27 22 24

25

2316

15

16

17

24

21

0) Triangulation initiale : aucune face marquee



Algorithme


24

1816

25

27 22 24

25

2316

15

16

17

24

21

1) Marquer les faces non intersectees par la courbe isovaleur(faces sans changement de signe)



Algorithme


24

1816

25

27 22 24

25

2316

15

16

17

24

21

2) Rechercher les composantes ouvertes2-A) Trouver une face non marqueeavec changement de signe sur une arete externeLa marquer



Algorithme


24

1816

25

27 22 24

25

2316

15

16

17

24

21

2) Rechercher les composantes ouvertes2-B) Par voisinages successifs suivant les aretes intersectees,trouver les faces (avec changement de signe), les marqueret pour chacune calculer le segment de courbe correspondant



Algorithme


24

1816

25

27 22 24

25

2316

15

16

17

24

21

2) Rechercher les composantes ouvertes2-C) Jusqu’a trouver une autre face au bordavec changement de signe sur une arete externeLa marquer



Algorithme


24

1816

25

27 22 24

25

2316

15

16

17

24

21

F0

3) Rechercher les composantes fermees3-A) Trouver une face F0 non marquee avec changement de signe



Algorithme


24

1816

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27 22 24

25

2316

15

16

17

24

21

F0

3) Rechercher les composantes fermees3-B) Par voisinages successifs,trouver les faces avec changement de signeet les marquer



Algorithme


24

1816

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27 22 24

25

2316

15

16

17

24

21

F0

3) Rechercher les composantes fermees3-C) Jusqu’a revenir a la face F0



Algorithme


24

1816

25

27 22 24

25

2316

15

16

17

24

21

→ necessite d’avoir une structure de donnees adaptee avec les relationsd’adjacence entre faces.



AlgorithmeEcriture de l’algo. pour la strategie (C1)




Donnees :

triangulation Tvaleur v

Routine I = intersection arete plan(P ,Q,v)λ ← (v − zP)/(zQ − zP)I ← (1− λ) P + λ Q




Donnees :

triangulation Tvaleur v

Routine I = intersection arete plan(P ,Q,v)λ ← (v − zP)/(zQ − zP)I ← (1− λ) P + λ Q

Resultat :

courbe isovaleur C (liste de segments)




Calcul de la courbe isovaleur C

// Initialisation de CC ← Ø





// (A) Marquage des sommetspour tout sommet S de T fairesi zS < v alorsmarque(S) ← 0

sinonmarque(S) ← 1

fin sifin pour





// (B) Parcours des trianglespour tout triangle T de T faire// les trois sommets de T et leurs marquesS1 ← sommet1(T )S2 ← sommet2(T )S3 ← sommet3(T )m1 ← marque(S1)m2 ← marque(S2)m3 ← marque(S3)





// cas marque de S1 differente des marques de S2 et S3si m1 6= m2 et m1 6= m3 alors// calcul des deux intersectionsA ← intersection arete plan(S1,S2,v)B ← intersection arete plan(S1,S3,v)

C ← C ∪ {[A,B ]} // ajouter [A,B ] a Cfin si







// fin de traitement du triangle Tfin pour



Applications

Une courbe isovaleur Plusieurs courbes isovaleur



Applications

methodes utilisant le calcul de courbes isovaleur

−0.4

−0.2

−0.2

−0.2

00

0

0.2

0.2

0.2

0.4

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Ajout d’information



Applications


−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−2

0

2−0.5

0

0.5

Isolignes d’une surface 3D



Applications


2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Zone inter-courbes


Visualisation de donnees volumiques

Plan

1 Introduction

2 Types de donnees


4 Visualisation de donnees volumiquesGeneralitesSlicingCalcul de surfaces iso-valeursRendu volumique


6 Simplification de donneesNicolas SZAFRAN (UJF) Visu. Scient. - M2 IMSN/IICAO 2010/2011 105 / 242

Visualisation de donnees volumiques Generalites

Plan




Cadre

Donnees volumiques :

maillage/grille reguliere de points Pi de l’espace

valeurs scalaires Fi , Fi valeur au point Pi

→ visualiser ces donneesNicolas SZAFRAN (UJF) Visu. Scient. - M2 IMSN/IICAO 2010/2011 107 / 242


Techniques

A) ne representer que certaines donnees suivant des plans de coupe : slicing



Techniques


Donnees IRM - vue des slices en 2D



Techniques


Donnees IRM - vue des slices en 3D



Techniques

B) extraire des surfaces iso-valeur



Techniques

B) extraire des surfaces iso-valeur

Donnees IRM - extraction d’isosurface



Techniques

C) representer l’ensemble des donnees par des methodes specifiques : renduvolumique



Techniques

C) representer l’ensemble des donnees par des methodes specifiques : renduvolumique

Donnees IRM - rendu volumique




representer F : R3 → R





→ discretiser la fonction suivant un maillage volumique / une grille 3Dreguliere





→ discretiser la fonction suivant un maillage volumique / une grille 3Dreguliere→ representer des donnees (xi , yi , zi),Fi = F (xi , yi , zi )


Visualisation de donnees volumiques Slicing

Plan




Presentation

Cadre : Visualisation de donnees volumiques de type grilleDonnees reparties suivant une grille reguliere uniforme :– points Pi ,j ,k = (xi = x0 + i∆x , yj = y0 + j∆y , zk = z0 + k∆z)– valeurs associees Fi ,j ,k

avec 1 ≤ i ≤ M, 1 ≤ j ≤ N, 1 ≤ k ≤ P

Slicing : trace des donnees correspondant a des plans (coupes) particuliers



Exemple : visualisation d’une caracteristique d’un flux 3D



Principe

Fixer une des coordonnees (x , y ou z) en fixant une des 3 indices i , j ou k



Principe


i = i0 fixe → donnees surfaciques (Pj ,k ;Fj ,k)



Principe


i = i0 fixe → donnees surfaciques (Pj ,k ;Fj ,k)j = j0 fixe → donnees surfaciques (Pi ,k ;Fi ,k)



Principe


i = i0 fixe → donnees surfaciques (Pj ,k ;Fj ,k)j = j0 fixe → donnees surfaciques (Pi ,k ;Fi ,k)k = k0 fixe → donnees surfaciques (Pi ,j ;Fi ,j)



Principe


i = i0 fixe → donnees surfaciques (Pj ,k ;Fj ,k)j = j0 fixe → donnees surfaciques (Pi ,k ;Fi ,k)k = k0 fixe → donnees surfaciques (Pi ,j ;Fi ,j)

Representer ces donnees surfaciques


Visualisation de donnees volumiques Calcul de surfaces iso-valeurs

Plan




Principe

Donnees quelconques : Xi = (xi , yi , zi);Fi



Principe


Trouver une surface iso-valeur

Sv = {X ∈ R3,F (X ) = v}

ou F est un interpolant des donnees.



Principe



Sv = {X ∈ R3,F (X ) = v}


Equivalent 3D des courbes iso-valeurs→ methodes similaires



Principe



Sv = {X ∈ R3,F (X ) = v}


Equivalent 3D des courbes iso-valeurs→ methodes similairesXi = (xi , yi , zi) ∈ R

3 + Fi ∈ R ≡ Pi = (xi , yi , zi ,Fi) ∈ R4



Principe



Sv = {X ∈ R3,F (X ) = v}


Equivalent 3D des courbes iso-valeurs→ methodes similairesXi = (xi , yi , zi) ∈ R

3 + Fi ∈ R ≡ Pi = (xi , yi , zi ,Fi) ∈ R4

Sv ≡ {(x , y , z ,w) ∈ R4, F (x , y , z) = w}

︸︷︷︸

hypersurface de R4

∩{(x , y , z ,w) ∈ R4, w = v}

︸︷︷︸

hyperplan de R4



Exemples d’application




representation de surface implicite




image medicale - extraction du volume d’un organe specifique a partir decoupes issues d’un examen radiologiques (IRM, ...)



Marching Tetrahedra

Extraction d’une surface isovaleur dans une tetraedrisationMethode similaire a l’algorithme d’extraction de courbe isovaleur dans unetriangulation.



Marching Tetrahedra


Donnees : Tetraedrisation T avec

sommets Pi = (xi , yi , zi ) et donnees scalaires associees Fi

tetraedres Tk = [k1, k2, k3, k4] (kj indices des sommets)

+ valeur reelle v



Marching Tetrahedra


Donnees : Tetraedrisation T avec

sommets Pi = (xi , yi , zi ) et donnees scalaires associees Fi

tetraedres Tk = [k1, k2, k3, k4] (kj indices des sommets)

+ valeur reelle v

Resultat : Surface S sous forme d’un ensemble de triangles



Algorithme



Algorithme

1 parcourir l’ensemble des tetraedreset pour chaque tetraedre :



Algorithme


tester s’il intersecte la surface isovaleur (deux sommets de signedifferents)



Algorithme


tester s’il intersecte la surface isovaleur (deux sommets de signedifferents)si oui, calculer l’intersection tetraedre ∩ surface isovaleur sous forme detriangle(s)



Algorithme


tester s’il intersecte la surface isovaleur (deux sommets de signedifferents)si oui, calculer l’intersection tetraedre ∩ surface isovaleur sous forme detriangle(s)

2 → liste de triangles ≡ surface isovaleur



Algorithme - traitement d’un tetraedre




Tetraedre T = [S1,S2,S3,S4] avec valeur Fi associee a Si

S2 S3

S4

S1





S2 S3

S4

S1

chaque sommet Si : si Fi > v si Fi ≤ v





S2 S3

S4

S1

chaque sommet Si : si Fi > v si Fi ≤ v→ 16 configurations possibles




Les 16 configurations possibles




Les 16 configurations possibles

2 config. avec 4 sommets de meme signe

8 config. avec 1 sommet de signe different des trois autres

6 config. avec 2 sommets d’un signe et 2 sommets de l’autre




sommets de meme signe

C

D

A

B




sommets de meme signe

C

D

A

B

→ pas d’intersection avec la surface isovaleur




sommet A de signe different des sommets B,C et D

C

D

A

B





C

D

A

B

I

K

J

→ intersection des 3 aretes [A,B ], [A,C ] et [A,D] avec la surface isovaleur





C

D

A

B

I

K

J

→ intersection des 3 aretes [A,B ], [A,C ] et [A,D] avec la surface isovaleur→ un triangle [I , J,K ]





8 configurations → 4 cas :






sommet S1 de signe different des sommets S2,S3 et S4




sommets A, C d’un signe et sommets B, D de l’autre signe

C

D

A

B C

D

A

B





C

D

A

B

J

I

KL

C

D

A

B

J

I

KL

→ intersection des 4 aretes [A,B ], [A,D], [C ,B ] et [C ,D] avec la surfaceisovaleur





C

D

A

B

J

I

KL

C

D

A

B

J

I

KL

→ intersection des 4 aretes [A,B ], [A,D], [C ,B ] et [C ,D] avec la surfaceisovaleur→ OU deux triangles [I , J,K ] et [L, J,K ] utilisation de cette configuration





C

D

A

B

J

I

KL

C

D

A

B

J

I

KL

→ intersection des 4 aretes [A,B ], [A,D], [C ,B ] et [C ,D] avec la surfaceisovaleur→ OU deux triangles [I , J,K ] et [L, J,K ] utilisation de cette configuration→ OU deux triangles [I , J,L] et [I ,K ,L]






sommets S1, S2 d’un signe et sommets S3, S4 de l’autre signe



Algorithme



Algorithme

Donnees :

tetraedrisation T avec sommets Sk et valeurs associees Fk

valeur v

Routine I = intersection arete hyperplan(P ,Q,FP,FQ ,v)// calcul de l’intersection de l’arete [P ,Q] avec la surface isovaleur Sv

// FP : valeur associee au sommet P// FQ : valeur associee au sommet Qλ ← (v − FP)/(FQ − FP)I ← (1− λ) P + λ Q



Algorithme

Donnees :

tetraedrisation T avec sommets Sk et valeurs associees Fk

valeur v

Routine I = intersection arete hyperplan(P ,Q,FP,FQ ,v)// calcul de l’intersection de l’arete [P ,Q] avec la surface isovaleur Sv

// FP : valeur associee au sommet P// FQ : valeur associee au sommet Qλ ← (v − FP)/(FQ − FP)I ← (1− λ) P + λ Q

Resultat :

surface isovaleur S (liste de triangles)



Algorithme

Routine m = marque(P ,F ,v)

// calcul de la marque du sommet P de valeur associee Fsi F < v alorsm ← 0

sinonm ← 1

fin si



Algorithme

Calcul de la surface isovaleur S

// Initialisation de SS ← Ø

// Parcours des tetraedrespour tout tetraedre T de T fairetraitement tetraedre(T )

fin pour



Algorithme

Routine traitement tetraedre(T )

// les quatres sommets de T, leurs valeurs et marquesS1 ← sommet1(T ), F1 ← valeur1(T )S2 ← sommet2(T ), F2 ← valeur2(T )S3 ← sommet3(T ), F3 ← valeur3(T )S4 ← sommet4(T ), F4 ← valeur4(T )m1 ← marque(S1,F1,v)m2 ← marque(S2,F2,v)m3 ← marque(S3,F3,v)m4 ← marque(S4,F4,v)



Algorithme

Routine traitement tetraedre(T ) // suite

// cas marque de S1 differente des marques de S2, S3, S4si m1 6= m2 et m1 6= m3 et m1 6= m4 alors// calcul des trois intersectionsI ← intersection arete hyperplan(S1,S2,F1,F2,v)J ← intersection arete hyperplan(S1,S3,F1,F3,v)K ← intersection arete hyperplan(S1,S4,F1,F4,v)

S ← S ∪ {[I , J,K ]} // ajouter [I , J,K ] a Sfin si



Algorithme






Algorithme


// cas marques de S1 et S2 differentes des marques de S3 et S4si m1 = m2 et m2 6= m3 et m3 = m4 alors// calcul des quatre intersectionsI ← intersection arete hyperplan(S1,S3,F1,F3,v)J ← intersection arete hyperplan(S1,S4,F1,F4,v)K ← intersection arete hyperplan(S2,S3,F2,F3,v)L ← intersection arete hyperplan(S2,S4,F2,F4,v)

S ← S ∪ {[I , J,K ]} // ajouter [I , J,K ] a SS ← S ∪ {[L, J,K ]} // ajouter [L, J,K ] a S

fin si



Algorithme




fin si



Algorithme

Routine traitement tetraedre(T ) // suite et fin



fin si



Tetraedrisation prealableCas de donnees dispersees




donnees Xi = (xi , yi , zi ) + Fi





A) Tetraedrisation des points Xi (par ex. Delaunay)





A) Tetraedrisation des points Xi (par ex. Delaunay)

B) Utilisation de l’algo. Marching Tetrahedra



Tetraedrisation prealableCas de donnees regulieres




donnees Xi ,j ,k = (xi , yj , zk) + Fi ,j ,k,points disposes suivant une grille reguliere (de preference uniforme)





Xi ,j ,k sommets de parallelepipedes/cubes = paves






A) Decomposition de chaque pave en un ensemble de tetraedres avecune coherence entre paves adjacents






A) Decomposition de chaque pave en un ensemble de tetraedres avecune coherence entre paves adjacents

B) Utilisation de l’algo. Marching Tetrahedra



Le probleme de decomposition d’un pave

Pave Pi ,j ,k = [xi , xi+1]× [yj , yj+1]× [zk , zk+1]





8 sommets :A = Xi ,j ,k

B = Xi ,j ,k+1

C = Xi ,j+1,k

D = Xi ,j+1,k+1

E = Xi+1,j ,k

F = Xi+1,j ,k+1

G = Xi+1,j+1,k

H = Xi+1,j+1,k+1

C

B

F

G H

A

E

D





8 sommets :A = Xi ,j ,k

B = Xi ,j ,k+1

C = Xi ,j+1,k

D = Xi ,j+1,k+1

E = Xi+1,j ,k

F = Xi+1,j ,k+1

G = Xi+1,j+1,k

H = Xi+1,j+1,k+1

C

B

F

G H

A

E

D

→ plusieurs possibilites pour decouper un hexaedre en tetraedres




1) Decomposition en 5 tetraedres

B

F

G H

A

E

DC





B

F

G H

A

E

DC C

B

F

G H

A

E

D

→ 5 tetraedres :





B

F

G H

A

E

DC C

B

F

G H

A

E

D

→ 5 tetraedres : [ACDG ]





B

F

G H

A

E

DC C

B

F

G H

A

E

D

→ 5 tetraedres : [ACDG ] - [DFGH]





B

F

G H

A

E

DC C

B

F

G H

A

E

D

→ 5 tetraedres : [ACDG ] - [DFGH] - [ADFG ]





B

F

G H

A

E

DC C

B

F

G H

A

E

D

→ 5 tetraedres : [ACDG ] - [DFGH] - [ADFG ] - [AEFG ]





B

F

G H

A

E

DC C

B

F

G H

A

E

D

→ 5 tetraedres : [ACDG ] - [DFGH] - [ADFG ] - [AEFG ] - [ABDF ]





B

F

G H

A

E

DC

→ 5 tetraedres : [ACDG ] - [DFGH] - [ADFG ] - [AEFG ] - [ABDF ]Avantage : decomposition minimale (en nb de tetraedres)





→ 5 tetraedres : [ACDG ] - [DFGH] - [ADFG ] - [AEFG ] - [ABDF ]Avantage : decomposition minimale (en nb de tetraedres)Inconvenient : mauvais raccord des tetraedres issus d’hexaedres voisins





→ 5 tetraedres : [ACDG ] - [DFGH] - [ADFG ] - [AEFG ] - [ABDF ]Avantage : decomposition minimale (en nb de tetraedres)Inconvenient : mauvais raccord des tetraedres issus d’hexaedres voisins→ utiliser la decomposition ”symetrique”




2) Decomposition en 5 tetraedres - ”miroir” du cas 1)





B

F

G H

A

E

DC

Decomposition 1





B

F

G H

A

E

DC

B

F

G H

A

E

DC

Decomposition 1 Decomposition 2





B

F

G H

A

E

DC





B

F

G H

A

E

DC C

B

F

G H

A

E

D

→ 5 tetraedres :





B

F

G H

A

E

DC C

B

F

G H

A

E

D

→ 5 tetraedres : [CEGH]





B

F

G H

A

E

DC C

B

F

G H

A

E

D

→ 5 tetraedres : [CEGH] - [BCDH]





B

F

G H

A

E

DC C

B

F

G H

A

E

D

→ 5 tetraedres : [CEGH] - [BCDH] - [BCEH]





B

F

G H

A

E

DC C

B

F

G H

A

E

D

→ 5 tetraedres : [CEGH] - [BCDH] - [BCEH] - [ABCE ]





B

F

G H

A

E

DC C

B

F

G H

A

E

D

→ 5 tetraedres : [CEGH] - [BCDH] - [BCEH] - [ABCE ] - [BEFH]




Utilisation combinee des decompositions 1) et 2)

→ 5 tetraedres : [CEGH] - [BCDH] - [BCEH] - [ABCE ] - [BEFH]utilisation de la decomposition 1) pour un hexaedreet de la decomposition 2) pour un hexaedre adjacent





→ 5 tetraedres : [CEGH] - [BCDH] - [BCEH] - [ABCE ] - [BEFH]utilisation de la decomposition 1) pour un hexaedreet de la decomposition 2) pour un hexaedre adjacent→ bons raccords entre tetraedres issus d’hexaedres adjacents





Combinaison des decompositions 1) et 2) pour un pave Pi ,j ,k :






decomposition 1) si i + j + k impair






decomposition 1) si i + j + k impair

decomposition 2) si i + j + k pair





C

B

F

G H

A

E

D





C

B

F

G H

A

E

D C

B

F

G H

A

E

D

→ 6 tetraedres :





C

B

F

G H

A

E

D C

B

F

G H

A

E

D

→ 6 tetraedres : [CDEG ]





C

B

F

G H

A

E

D C

B

F

G H

A

E

D

→ 6 tetraedres : [CDEG ] - [DFGH]





C

B

F

G H

A

E

D C

B

F

G H

A

E

D

→ 6 tetraedres : [CDEG ] - [DFGH] - [DEFG ]





C

B

F

G H

A

E

D C

B

F

G H

A

E

D

→ 6 tetraedres : [CDEG ] - [DFGH] - [DEFG ] - [BCDE ]





C

B

F

G H

A

E

D C

B

F

G H

A

E

D

→ 6 tetraedres : [CDEG ] - [DFGH] - [DEFG ] - [BCDE ] - [BDEF ]





C

B

F

G H

A

E

D C

B

F

G H

A

E

D

→ 6 tetraedres : [CDEG ] - [DFGH] - [DEFG ] - [BCDE ] - [BDEF ] - [ABCE ]





C

B

F

G H

A

E

D

→ 6 tetraedres : [CDEG ] - [DFGH] - [DEFG ] - [BCDE ] - [BDEF ] - [ABCE ]Inconvenient : decomposition non minimale (en nb de tetraedres)





→ 6 tetraedres : [CDEG ] - [DFGH] - [DEFG ] - [BCDE ] - [BDEF ] - [ABCE ]Inconvenient : decomposition non minimale (en nb de tetraedres)Avantage : bon raccord des tetraedres issus d’hexaedres voisins



Algorithme

pour tout pave Pi ,j ,k fairedecomposer Pi ,j ,k en tetraedrestraiter les differents tetraedres

fin pour



Algorithme


fin pour

pour l’ensemble des paves, on utilisera :



Algorithme


fin pour


SOIT la combinaison des decompositions 1) et 2)



Algorithme


fin pour


SOIT la combinaison des decompositions 1) et 2)

SOIT la decomposition 3)



Marching Cube, l’algorithme initial

Algorithme initial : Lorensen-Cline - 1987





Determiner une isosurface a partir d’une grille de points regulieres.






A l’epoque, puissance des ordinateurs limitee






A l’epoque, puissance des ordinateurs limitee→ algo. specifique pour eviter de passer en revue l’ensemble des paves enutilisant les relations de voisinages entre cubes intersectant la surfaceiso-valeur






A l’epoque, puissance des ordinateurs limitee→ algo. specifique pour eviter de passer en revue l’ensemble des paves enutilisant les relations de voisinages entre cubes intersectant la surfaceiso-valeur→ pas de decomposition explicite en tetraedres.




Hypothese : l’isosurface a calculer existe (et est connexe)




Hypothese : l’isosurface a calculer existe (et est connexe)Algorithme :




Hypothese : l’isosurface a calculer existe (et est connexe)Algorithme :donnees :– grille (xi )1≤i≤M , (yj )1≤j≤N , (zk)1≤k≤p : 3 tableaux de valeurs– valeurs Fi ,j ,k correspondantes sous forme d’un tableau





1 trouver un pave intersecte par l’isosurface (pave avec changement designe parmi les 8 sommets)






2 a partir de ce pave et par voisinages successifs, determiner l’ensemblede paves intersectes par l’isosurface






2 a partir de ce pave et par voisinages successifs, determiner l’ensemblede paves intersectes par l’isosurface

3 pour chaque pave intersecte, determiner une liste de triangles




Dans l’algorithme initial, pas de tetraedrisation explicite des paves




Dans l’algorithme initial, pas de tetraedrisation explicite des paves→ prise en compte des differentes config. suivant les signes des 8 sommets




Dans l’algorithme initial, pas de tetraedrisation explicite des paves→ prise en compte des differentes config. suivant les signes des 8 sommets→ 82 = 256 config. differentes pour les signes




Dans l’algorithme initial, pas de tetraedrisation explicite des paves→ prise en compte des differentes config. suivant les signes des 8 sommets→ 82 = 256 config. differentes pour les signes→ 15 config. par symetrie/rotation (dont 1 sans changement de signe)




Une config. → un ou plusieurs triangles de l’iso-surface




Une config. → un ou plusieurs triangles de l’iso-surface→ pb de raccord entres triangles issus de pave voisins(cf. decomposition d’un pave en tetraedres)




Une config. → un ou plusieurs triangles de l’iso-surface→ pb de raccord entres triangles issus de pave voisins(cf. decomposition d’un pave en tetraedres)

→ avoir des configurations compatibles pour assurer une coherence de latriangulation entre deux paves adjacents.


Visualisation de donnees volumiques Rendu volumique

Plan




Donnees de type grille reguliere uniforme

point Xi ,j ,k = (x0 + i∆x , y0 + j∆y , z0 + k∆z) + scalaire Fi ,j ,k





Idee de la methode : visualisation du volume avec une technique derendu simulant une visualisation par radiographie (rayons X, . . .)






volume a visualiser ≡materiau heterogene de transparence T et couleur C(dependant des donnees F )







choix de C et T par l’utilisateur :

suivant la repartition des donnees Fi ,j,k

pour mettre en evidence certaines parties du volume







choix de C et T par l’utilisateur :

suivant la repartition des donnees Fi ,j,k

pour mettre en evidence certaines parties du volume

en chaque point Xi ,j ,k : voxel Vi ,j ,k

parallelepipede centre en Xi ,j,k ,de dimensions ∆x ×∆y ×∆z

de couleur Ci ,j,k = C (Fi ,j,k) et transparence Ti ,j,k = T (Fi ,j,k)



Creation d’une image du volume




Volume à visualiser

Donnees initiales : Vi ,j ,k ,Ci ,j ,k ,Ti ,j ,k




Volume à visualiser

Observateur


Definition d’une ”camera” (observateur+projection)




Image Volume à visualiser

Observateur


Definition d’une ”camera” (observateur+projection)Calcul d’une image bitmap :





Observateur


Definition d’une ”camera” (observateur+projection)Calcul d’une image bitmap :pour chaque pixel de l’image :– simulation du parcours d’un rayon a travers le volume



Cas simple



Cas simple

Direction de vue = (1, 0, 0) (// axe Ox et sens positif)



Cas simple

Direction de vue = (1, 0, 0) (// axe Ox et sens positif)Projection orthographique : ”observateur a l’infini”



Cas simple

Pour chaque pixel

considerer la suite de N voxels Vi ,

et determiner la couleur d’un rayon traversant ces N pixels.

1 2 N

Suite de voxelsObservateur Pixel



Cas simple : calcul de la couleur du rayon sortant




1 N


i




RN : couleur du rayon entrant dans la suite de voxels (couleur du fond)

1 N


i




RN : couleur du rayon entrant dans la suite de voxels (couleur du fond)Ri : couleur du rayon entrant dans le voxel Vi

(i.e. sortant du voxel Vi+1)

1 N


i i+1





(i.e. sortant du voxel Vi+1)R0 : couleur finale du rayon sortant de la suite de voxel

1 N


i





(i.e. sortant du voxel Vi+1)R0 : couleur finale du rayon sortant de la suite de voxel→ couleur du pixel de l’image finale : R0

1 N


i




Modele utilise pour le rayon





Voxel Vi de transparence ti et couleur Ci :






transmission du rayon entrant : ti Ri+1







emission du voxel traverse : Ii = (1− ti)Ci







emission du voxel traverse : Ii = (1− ti)Ci

⇒ Ri = tiRi+1 + (1− ti )Ci




Calcul de R0 par recurrence :





R0 = (1− t1)C1 + t1R1





R0 = (1− t1)C1 + t1R1

= (1− t1)C1 + (1− t2)t1C2 + t1t2R2





R0 = (1− t1)C1 + t1R1

= (1− t1)C1 + (1− t2)t1C2 + t1t2R2

= (1− t1)C1 + (1− t2)t1C2 + (1− t3)t1t2C3

+ t1t2t3R3





R0 = (1− t1)C1 + t1R1

= (1− t1)C1 + (1− t2)t1C2 + t1t2R2

= (1− t1)C1 + (1− t2)t1C2 + (1− t3)t1t2C3

+ t1t2t3R3

= (1− t1)C1 + (1− t2)t1C2 + (1− t3)t1t2C3

+ · · ·+ (1− tn)t1t2 . . . tn−1CN

+ t1t2 . . . tN−1tNRN





R0 = (1− t1)C1 + t1R1

= (1− t1)C1 + (1− t2)t1C2 + t1t2R2

= (1− t1)C1 + (1− t2)t1C2 + (1− t3)t1t2C3

+ t1t2t3R3

= (1− t1)C1 + (1− t2)t1C2 + (1− t3)t1t2C3

+ · · ·+ (1− tn)t1t2 . . . tn−1CN

+ t1t2 . . . tN−1tNRN

=N∑

i=1

(1− ti )Ci

i−1∏

j=1

tj

+ RN

N∏

j=1

tj




τi transparence cumulee des voxels V1, V2, . . . , Vi :





τi =i∏

j=1

tj (par convention0∏

j=1

tj = τ0 = 1)





τi =i∏

j=1


j=1

tj = τ0 = 1)

R0 =N∑

i=1

[(1− ti)Ciτi−1] + RNτN





τi =i∏

j=1


j=1

tj = τ0 = 1)

R0 =N∑

i=1


suite τi ց :





τi =i∏

j=1


j=1

tj = τ0 = 1)

R0 =N∑

i=1


suite τi ց :fixer un seuil τs (proche de 0), et RN = 0 (couleur de fond noir)





τi =i∏

j=1


j=1

tj = τ0 = 1)

R0 =N∑

i=1


suite τi ց :fixer un seuil τs (proche de 0), et RN = 0 (couleur de fond noir)si τi ≤ τs (τs seuil) pour i ≥ k





τi =i∏

j=1


j=1

tj = τ0 = 1)

R0 =N∑

i=1


suite τi ց :fixer un seuil τs (proche de 0), et RN = 0 (couleur de fond noir)si τi ≤ τs (τs seuil) pour i ≥ k

⇒ R0 ≃k∑

i=1

[(1− ti )Ciτi−1]




Algorithme de calcul de R0 :





R ← 0i ← 1τ ← 1





R ← 0i ← 1τ ← 1tant que i ≤ N et τ ≥ τs faire





R ← 0i ← 1τ ← 1tant que i ≤ N et τ ≥ τs faireR ← R + (1− ti )Ciττ ← τ tii ← i + 1

fin tant que






fin tant quecouleur pixel ← R







Calcul des pixels de l’image de taille L× H → algo. en O(N × L× H)



Choix des fonctions C et T

Rendu final dependant du choix des fonctions couleur C et transparence Tdes differents voxels.Choix fait en general par l’utilisateur en fonction du resultat attendu.




Exemple - imagerie medicale :donnees scanners : valeurs reelles Fi ,j ,k entre 0 et 1




Exemple - imagerie medicale :donnees scanners : valeurs reelles Fi ,j ,k entre 0 et 1→ histogramme des valeurs / visu. slice 2D

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 12

4

6

8

10

12

14

16

Coupe

Histogramme

Extérieur/ Tissumou

Oscavité/air

Histogramme et correspondance avec les differents materiauxNicolas SZAFRAN (UJF) Visu. Scient. - M2 IMSN/IICAO 2010/2011 164 / 242



→ classes de valeurs,classe ≡ materiau particulier→ definition des fonctions Tet C suivant les classes afind’avoir un rendu particulier.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 12

4

6

8

10

12

14

16

Histogramme

Extérieur/ Tissumou

Oscavité/air

1

0

Transparence

Fonction transparence




Exemple : definition d’une fonction transparence afin de ne visualiser quela boite cranienne.




Exemple : definition d’une fonction transparence afin de ne visualiser quela boite cranienne.

→ definition des fonctions C et T :

couleur C = F (niveaux de gris)

transparence

T =

1 si F < 0.4

5− 10F si 0.4 ≥ F ≥ 0.5

0 si F > 0.5

→ en general, images peucontrastees / differents volumes peuapparents Image finale



Ombrage

simuler la reflexion de la lumiere sur des surfaces entre milieux de naturedifferente afin d’obtenir un effet d’ombrage

Milieu 1 Milieu 2

Surface



Ombrage


1) definir une fonction B variantfortement au passage entre deuxmilieux differents.

SurfaceB = c

Milieu 1 Milieu 2B < cB > c



Ombrage


2) calculer le gradient Gde la fonction B

SurfaceB = c


=

X

G

∆B(X)



Ombrage


3) fixer une direction d’eclairement

L = (Lx ,Ly ,Lz)

SurfaceB = c


=

X

L

G

∆B(X)



Ombrage


4) calculer l’angle θentre L et G

SurfaceB = c


=

X

L

G

∆B(X)

θ



Ombrage


5) definir un facteur d’eclairementϕ(θ)modele souvent utilise :

ϕ(θ) = | cos(θ)| = < L · G >

‖L‖‖G‖

θ petit ⇐⇒ illumination forteθ grand ⇐⇒ illumination faible

SurfaceB = c


=

X

L

G

∆B(X)

θ



Algorithme initial

R ← 0i ← 1τ ← 1tant que i ≤ N et τ ≥ τs faire

R ← R + (1− ti )Ciττ ← τ tii ← i + 1




Algorithme modifie

R ← 0i ← 1τ ← 1tant que i ≤ N et τ ≥ τs faireϕi ← phi(i)R ← R + (1− ti )Ciτϕi

τ ← τ tii ← i + 1




Ombrage

Exemple 1

transparence

T =

1 si F < 0.4

5− 10F si 0.4 ≥ F ≥ 0.5

0 si F > 0.5

fonction B = T

fonction ϕ(θ) = | cos(θ)|Image finale



Ombrage

Exemple 2Modification de la fonctiontransparence afin de visualiser lestissus mous(T = 0, 98 pour cette classe) :

T =

1 si F < 0.2

0, 98 si 0.2 < F < 0.4

4, 9 − 9, 8F si 0.4 ≥ F ≥ 0.5

0 si F > 0.5

Image finale



Remarques



Remarques

Optimisations possibles des algos presentes(notamment parallelisation envisageable)



Remarques


Generalisation du cas simple pour des directions de vue quelconques



Remarques


Generalisation du cas simple pour des directions de vue quelconques

Autres modeles de rendu possibles, plus complexes et plus proches deceux utilises en rendu realiste.


Visualisation de champs de vecteurs

Plan

1 Introduction

2 Types de donnees



5 Visualisation de champs de vecteursLe cadreCalcul de lignes de flux (streamlines)Methode LIC



Visualisation de champs de vecteurs Le cadre

Plan




visualisation d’un champ de vecteurs (Xi ,Vi )1≤i≤n :




SOIT dans le plan : Xi = (xi , yi ) + Vi = (vxi , vyi )




SOIT dans le plan : Xi = (xi , yi ) + Vi = (vxi , vyi )SOIT dans l’espace : Xi = (xi , yi , zi ) + Vi = (vxi , vyi , vzi)





pour chaque point Xi , donnee d’un vecteur Vi (vitesse, force, ...) issude phenomenes naturels (reels ou simules)






differentes methodes de visualisation






differentes methodes de visualisation

domaines d’application : aeronautique, nautisme, meteo, hydraulique,electro-magnetisme, ...



Visualisation hedgehog (”herisson”)




Visualiser les donnees en tracant pour chaque point Xi ,le vecteur Vi correspondant





70 80 90 100 110 120 130

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

Exemple en dimension 2



Visualisation des lignes de flux (streamline)




Visualiser les courbes σ dont le champ de vecteurs V forment les vecteursvitesse (tangentes)




Visualiser les courbes σ dont le champ de vecteurs V forment les vecteursvitesse (tangentes)→ courbes appelees lignes de champ ou lignes de flux (streamline)



Methode L.I.C. (Line Integral Convolution)




Visualiser une image deformee par le champ de vecteurs




Visualiser une image deformee par le champ de vecteurs

Image initiale Image deformee


Visualisation de champs de vecteurs Calcul de lignes de flux (streamlines)

Plan




Definition



Definition

Champ de vecteurs V : Rd → R

d (d = 2 ou 3)



Definition


d (d = 2 ou 3)→ streamline : courbe σ : R→ R

d : σ′(t) = V (σ(t)),∀t

Exemple de streamlines en 2D



Definition


d (d = 2 ou 3)→ streamline : courbe σ : R→ R

d : σ′(t) = V (σ(t)),∀t→ determination d’une courbe particuliere en fixant une condition initiale(par ex. σ(t0) = X0) puis resolution d’une equa. diff. ordinaire (EDO)

Exemple de streamlines en 2D



Methode



Methode

a) Donnees discretes (Xi ,Vi)



Methode

a) Donnees discretes (Xi ,Vi)→ determiner un champ V interpolant les donnees



Methode

a) Donnees discretes (Xi ,Vi)→ determiner un champ V interpolant les donnees→ calcul de d interpolants de R

d dans R



Methode


d dans R

b) calcul d’une streamline σ par resolution de l’EDO suivante :

{

σ′(t) = V (σ(t)),∀tσ(t0) = X0

(∗)



Methode


d dans R


{

σ′(t) = V (σ(t)),∀tσ(t0) = X0

(∗)

En general, resolution analytique exacte de l’EDO impossible



Methode


d dans R


{

σ′(t) = V (σ(t)),∀tσ(t0) = X0

(∗)

En general, resolution analytique exacte de l’EDO impossible→ resolution par methode numerique classique d’EDO



Resolution de l’EDO

{

σ′(t) = V (σ(t)),∀tσ(t0) = X0

(∗)




{

σ′(t) = V (σ(t)),∀tσ(t0) = X0

(∗)

→ calcul de maniere approchee des valeurs de σ(t) pourt0 < t1 < · · · < tN avec hi = ti+1 − ti→ valeur approchee Si ≃ σ(ti ) → courbe C ≃ {Si , 0 < i < N}




{

σ′(t) = V (σ(t)),∀tσ(t0) = X0

(∗)

→ calcul de maniere approchee des valeurs de σ(t) pourt0 < t1 < · · · < tN avec hi = ti+1 − ti→ valeur approchee Si ≃ σ(ti ) → courbe C ≃ {Si , 0 < i < N}

→ differentes methodes



Resolution de l’EDO : (a) Euler explicite

{

S0 = X0

Si+1 = Si + hiV (Si) 0 ≤ i < N(EE )




{

S0 = X0

Si+1 = Si + hiV (Si) 0 ≤ i < N(EE )

σ de classe C1 :




{

S0 = X0

Si+1 = Si + hiV (Si) 0 ≤ i < N(EE )

σ de classe C1 :

σ(ti + hi) = σ(ti ) + hiσ′(ti ) + o(hi )




{

S0 = X0

Si+1 = Si + hiV (Si) 0 ≤ i < N(EE )

σ de classe C1 :


⇒ Si+1 ≃ σ(ti+1) ≃ σ(ti ) + hV (σ(ti)) ≃ Si + hV (Si)




{

S0 = X0

Si+1 = Si + hiV (Si) 0 ≤ i < N(EE )

σ de classe C1 :


⇒ Si+1 ≃ σ(ti+1) ≃ σ(ti ) + hV (σ(ti)) ≃ Si + hV (Si)

Schema d’integration d’ordre 1 (peu precis)pouvant diverger dans certains cas (si mauvais choix des pas hi)



Resolution de l’EDO : (b) Heun (Runge-Kutta d’ordre 2)

S0 = X0

p1 = V (Si)

p2 = V (Si + hip1)

Si+1 = Si + hi(p1 + p2)/2

0 ≤ i < N




S0 = X0

p1 = V (Si)

p2 = V (Si + hip1)

Si+1 = Si + hi(p1 + p2)/2

0 ≤ i < N

σ de classe C2 :




S0 = X0

p1 = V (Si)

p2 = V (Si + hip1)

Si+1 = Si + hi(p1 + p2)/2

0 ≤ i < N

σ de classe C2 :

V (σ(ti ) + hiV (σ(ti))) = V (σ(ti)) + hiV (σ(ti))V′(σ(ti )) + o(hi )




S0 = X0

p1 = V (Si)

p2 = V (Si + hip1)

Si+1 = Si + hi(p1 + p2)/2

0 ≤ i < N

σ de classe C2 :

V (σ(ti ) + hiV (σ(ti))) = V (σ(ti)) + hiV (σ(ti))V′(σ(ti )) + o(hi )

⇒ σ(ti+1) = σ(ti + hi ) = σ(ti) + hiσ′(ti ) + h2

i σ′′(ti )/2 + o(h2

i )




or σ′(t) = V (σ(t)) et σ′′(t) = σ′(t)V ′(σ(t)) = V (σ(t))V ′(σ(t))




or σ′(t) = V (σ(t)) et σ′′(t) = σ′(t)V ′(σ(t)) = V (σ(t))V ′(σ(t))d’ou σ(ti + hi) =

σ(ti ) + hiV (σ(ti ))/2 + hi [V (σ(ti )) + hiV (σ(ti ))V′(σ(ti ))]/2 + o(h2

i )

≃ Si + hip1/2 + hip2/2




or σ′(t) = V (σ(t)) et σ′′(t) = σ′(t)V ′(σ(t)) = V (σ(t))V ′(σ(t))d’ou σ(ti + hi) =

σ(ti ) + hiV (σ(ti ))/2 + hi [V (σ(ti )) + hiV (σ(ti ))V′(σ(ti ))]/2 + o(h2

i )

≃ Si + hip1/2 + hip2/2

Schema d’ordre 2



Resolution de l’EDO : (c) Runge-Kutta (d’ordre 4)

Schema habituellement utilise en integration car

precis (ordre 4)

stable numeriquement.



Resolution de l’EDO : (c) Runge-Kutta (d’ordre 4)

Schema habituellement utilise en integration car

precis (ordre 4)

stable numeriquement.

S0 = X0

p1 = V (Si)

p2 = V (Si + hip1/2)

p3 = V (Si + hip2/2)

p4 = V (Si + hip3)

Si+1 = Si + hi(p1 + 2p2 + 2p3 + p4)/6

0 ≤ i < N



Choix des pas d’integration

Choix des valeurs hi :





SOIT fait a priori (choisir hi = h assez petit)





SOIT fait a priori (choisir hi = h assez petit)

SOIT recalcule a chaque pas en estimant une erreur d’integration(ex. methode Runge-Kunta adaptatif)



Algorithme de calcul numerique d’une streamline




Donnees :

champ de vecteurs : fonction V : R2 → R

2

point X0 ∈ R2

intervalle de temps [t0, tF ]

nb d’intervalles N




Donnees :


2

point X0 ∈ R2



Resultat :

suite de N + 1 points Si de R2 (0 ≤ i ≤ N)

(approximation de la streamline σ)




Donnees :


2

point X0 ∈ R2



Resultat :

suite de N + 1 points Si de R2 (0 ≤ i ≤ N)

(approximation de la streamline σ)

Utilisation du schema Runge-Kutta (ordre 4) a pas h




h ← (tF − t0)/Nt ← t0X ← X0

S0 ← X0




h ← (tF − t0)/Nt ← t0X ← X0

S0 ← X0

pour i de 1 a N faire




h ← (tF − t0)/Nt ← t0X ← X0

S0 ← X0

pour i de 1 a N fairep1 ← V (X )p2 ← V (X + h p1/2)p3 ← V (X + h p2/2)p4 ← V (X + h p3)X ← X + h (p1 + 2p2 + 2p3 + p4)/6




h ← (tF − t0)/Nt ← t0X ← X0

S0 ← X0

pour i de 1 a N fairep1 ← V (X )p2 ← V (X + h p1/2)p3 ← V (X + h p2/2)p4 ← V (X + h p3)X ← X + h (p1 + 2p2 + 2p3 + p4)/6t ← t + hti ← tSi ← X




h ← (tF − t0)/Nt ← t0X ← X0

S0 ← X0


fin pour




h ← (tF − t0)/Nt ← t0X ← X0

S0 ← X0


fin pour

Remarque : algorithme fonctionnant aussi pour tF < t0 (h < 0)



Visualisation des streamlines

streamline : courbe discretisee (ti ,Si )





visualisation des courbes telle quelle






animation avec particules virtuelles suivant les lignes de champ






animation avec particules virtuelles suivant les lignes de champ

combinaison possible avec des methodes de slicing / iso-surface afind’obtenir plus d’informations sur le phenomene etudie


Visualisation de champs de vecteurs Methode LIC

Plan




Presentation



Presentation

Idee : deformer une image (2D)a l’aide d’une brosse virtuelle suivant les streamlines d’un champ de vecteurafin de melanger les couleurs des pixels



Presentation


Exemple avec un champ de vecteurs circulaire :



Presentation


Exemple avec un champ de vecteurs circulaire :

Image initiale Image deformee par le champ de vecteurs



Principe



Principe

Methode utilisee principalement en dimension 2.



Principe

Methode utilisee principalement en dimension 2.Donnees :



Principe


grille uniforme de points Xi ,j = (xi , yj )



Principe



champ de vecteurs associe Vi ,j



Principe




fonction de ”melange” ϕ (noyau de convolution)



Principe





image bitmap I (niveaux de gris ou couleur)de memes dimensions que la grille



Principe





image bitmap I (niveaux de gris ou couleur)de memes dimensions que la grille

Resultat :

image bitmap F (niveaux de gris ou couleur)



Principe



Principe

Pixel initial de I



Principe

et correspondant au noyauϕpassant par le pixel Partie de la streamline

Pixel initial de I



Principe

Pixels q(k) de I correspondantsà la streamline


Pixel initial de I



Principe

Pixel final obtenupar convolution des pixels q(k)

Pixels q(k) de I correspondantsà la streamline


Pixel initial de I



Convolution avec un noyau




pixel p d’une image ≡ point (x , y) du plan




pixel p d’une image ≡ point (x , y) du planimage initiale I ≡ fonction I (x , y)




pixel p d’une image ≡ point (x , y) du planimage initiale I ≡ fonction I (x , y)image finale F ≡ fonction F (x , y)





σ streamline passant par p + noyau(fonction σ(t), σ(t0) = p) (fonction ϕ(t))





σ streamline passant par p + noyau(fonction σ(t), σ(t0) = p) (fonction ϕ(t))

→ F (x , y) =1

Z

∫ t0+b

t0+a

ϕ(s − t0)I (σ(s))ds

avec Z =

∫ t0+b

t0+a

ϕ(s − t0)ds =

∫ b

a

ϕ(s)ds




ϕ noyau de convolution :definit la maniere dont les pixels sont melanges




ϕ noyau de convolution :definit la maniere dont les pixels sont melanges

t

k

0−R Rt

k

0−R R

t

k

0−R Rt

k

0−R R

0 0

00

Exemples de noyau de convolution

En pratique t = 0, −a = b = R > 0



Algorithme



Algorithme

pour tout pixel (x , y) de l’image finale faire



Algorithme

pour tout pixel (x , y) de l’image finale faire(a) determiner σ sur [t0 + a, t0 + b] = [−R ,+R ]



Algorithme

pour tout pixel (x , y) de l’image finale faire(a) determiner σ sur [t0 + a, t0 + b] = [−R ,+R ](b) calculer F (x , y) par integration numerique



Algorithme

pour tout pixel (x , y) de l’image finale faire(a) determiner σ sur [t0 + a, t0 + b] = [−R ,+R ](b) calculer F (x , y) par integration numerique

fin pour



Detail de l’algorithme




Donnees :




Donnees :

image I (i , j) de dimensions L× H: matrice de dimension L× H de scalaires (niveaux de gris)ou triplets (R,G,B)




Donnees :


noyau de convolution ϕ :fonction definie sur un intervalle [a, b]




Donnees :



champ de vecteurs V :[xmin, xmax ]× [ymin, ymax ] = D −→ R

2




Donnees :



champ de vecteurs V :[xmin, xmax ]× [ymin, ymax ] = D −→ R

2

Resultat :

image F (i , j) de dimensions L×H




Correspondance entre le domaine de l’image I (indices (i , j) des pixels)et le domaine D (points (x , y) du plan)





xmin xmax

ymax

ymin

1 Lj1

H

i

Champ de vecteurs Image





i =

[

(H − 1)ymax − y

ymax − ymin

]

+ 1 ⇐⇒ y = ymax − i − 1

H − 1(ymax − ymin)





i =

[

(H − 1)ymax − y

ymax − ymin

]

+ 1 ⇐⇒ y = ymax − i − 1


j =

[

(L− 1)x − xmin

ymax − ymin

]

+ 1 ⇐⇒ x = xmin +j − 1

L− 1(xmax − xmin)





i =

[

(H − 1)ymax − y

ymax − ymin

]

+ 1 ⇐⇒ y = ymax − i − 1


j =

[

(L− 1)x − xmin

ymax − ymin

]

+ 1 ⇐⇒ x = xmin +j − 1

L− 1(xmax − xmin)

de preference avec le meme ratio :L− 1

H − 1=

ymax − ymin

xmax − xmin




pour tout pixel (i , j) faire




pour tout pixel (i , j) faireX = (x , y) point correspondant au pixel (i , j)




pour tout pixel (i , j) faireX = (x , y) point correspondant au pixel (i , j)(a) determiner les points Xk de la streamline passant par X et

correspondant a l’intervalle [a, b] du noyau





correspondant a l’intervalle [a, b] du noyausi Xk est hors du domaine D alors

remplacer Xk par le point le plus proche dans Dfin si







(b) calculer F (i , j) par integration numerique

F (i , j) ≃ h

Z

∑

k

ϕ(tk)I (Xk)

avec I (Xk) valeur du pixel correspondant a Xk ,







(b) calculer F (i , j) par integration numerique

F (i , j) ≃ h

Z

∑

k

ϕ(tk)I (Xk)

avec I (Xk) valeur du pixel correspondant a Xk ,fin pour



Remarques



Remarques

algo couteux en temps : O(L H N)



Remarques


versions optimisees pour reduire les temps de calculs :par exemple FastLIC



Remarques


versions optimisees pour reduire les temps de calculs :par exemple FastLIC

extensions en 3D


Simplification de donnees

Plan

1 Introduction

2 Types de donnees




6 Simplification de donneesLe cadreSimplification de courbesSimplification de maillages surfaciques


Simplification de donnees Le cadre

Plan




Donnees massives



Donnees massives

→ reduction de leur taille :



Donnees massives


visualisation a differentes echelles,



Donnees massives



reduction de la taille de calcul numerique,



Donnees massives




compression de donnees,



Donnees massives




compression de donnees,

. . .



Exemples



Exemples

Simplification de lignes polygonales

19863 pts 1732 pts 156 pts 21 pts



Exemples

Simplification de maillages surfaciques

1000000 triangles 20000 triangles 1000 triangles


Simplification de donnees Simplification de courbes

Plan




Introduction

Lignes brisees/contours 2D (polygones ouverts/fermes) utilises dans denombreuses applications (par exemple elements de cartes vectorielles).



Introduction

Lignes brisees/contours 2D (polygones ouverts/fermes) utilises dans denombreuses applications (par exemple elements de cartes vectorielles).

En visualisation, necessite ou non d’avoir la description de objet avec unniveau de detail important.



Exemple

Ligne brisee a differents niveaux de simplificationset representee a differentes echelles :



Exemple


202 points 55 points 14 points 8 points

Echelle 1/1



Exemple



Echelle 1/1

Echelle 1/4



Exemple



Echelle 1/1

Echelle 1/4

Echelle 1/10



Algorithme par sous-echantillonnage




Idee : simplifier la liste de points en prenant un sous-echantillon.





Donnees :





Donnees :

ligne brisee L avec n points : L = {P1,P2, . . . ,Pn}





Donnees :

ligne brisee L avec n points : L = {P1,P2, . . . ,Pn}taux de compression τ (reel > 1)





Donnees :


Resultat :





Donnees :


Resultat :

ligne brisee simplifiee LS = {P1,P2, . . . ,Pp}avec P i = P1+[(i−1)τ ] et p = [n/τ ]




Exemple :τ = 10 → LS = {P1 = P1,P2 = P11,P3 = P21,P4 = P31, . . .}




Exemple :τ = 10 → LS = {P1 = P1,P2 = P11,P3 = P21,P4 = P31, . . .}

Remarques :

(+) Algo. en O(n)

(-) Resultat mediocre si echantillonnage initial non ”regulier”



Algorithme par decimation




Idee : simplifier la liste en supprimant successivement les sommetsminimisant un certain critere geometrique.





Donnees :





Donnees :

ligne brisee L avec n points : L = {P1,P2, . . . ,Pn}fonction critere J

critere-seuil s

nb. minimal de points m





Donnees :


critere-seuil s


Resultat :





Donnees :


critere-seuil s


Resultat :

ligne brisee simplifiee LS avec p points (m ≤ p ≤ n)




Algo. :




Algo. :

LS ← Ltant que taille(LS) ≥ m

trouver le sommet Pi minimisant Jsi J(Pi ) > s alors finretirer Pi de LS

fin tant que




Exemple de critere :

Pi

Pi+1Pi−1α

J(Pi ) = |π − α|




Exemple de critere :

Pi

Pi+1Pi−1α

J(Pi ) = |π − α|

Remarques :

(-) Algo. en O(n2)

(+) Bon resultat avec critere(s) adapte(s)

(+) Amelioration de la complexite avec gestion adaptee de la liste dessommets



Algorithme de Douglas-Peuker




Idee : simplifier en remplacant localement un polygone par un segment





Donnees :





Donnees :

ligne brisee L avec n points : L = {P1,P2, . . . ,Pn}distance-seuil d





Donnees :


Resultat :





Donnees :


Resultat :

ligne brisee simplifiee LS avec p points (p ≤ n)



Algorithme de Douglas-Peuker - Principe




1) si n = 2 alors

P1

P2L




1) si n = 2 alorsLS = segment [P1,P2] = L

P1

P2LS




1) si n = 2 alorsLS = segment [P1,P2] = L→ pas de simplification

P1

P2LS




2) sinon

P1 Pn

L




2) sinonL avec au moins 2 segments

P1 Pn

L




2) sinonL avec au moins 2 segmentssimplifier si necessaire L suivant la distance d :

P1 Pn

L




2) sinonL avec au moins 2 segmentssimplifier si necessaire L suivant la distance d :→ points 2-1), 2-2) et 2.3)

P1 Pn

L




2.1)

P1 Pn

L




2.1) soit S le segment [P1,Pn] :

L

P1 Pn

S




2.1) soit S le segment [P1,Pn] :rechercher le point Pk le plus eloigne du segment S

Pk

P1

L

Pn

S




2.2)




2.2) si distance entre Pk et S est inferieur a d alors

Pk

P1 Pn

dL




2.2) si distance entre Pk et S est inferieur a d alorsLS est reduite a S = [P1,Pn]

LS




2.3)




2.3) sinon

L

Pk

P1 Pnd




2.3) sinonsimplifier la sous-liste ({P1, . . . ,Pk})

Pk

P1




2.3) sinonsimplifier la sous-liste ({P1, . . . ,Pk}) → L1

L1




2.3) sinonsimplifier la sous-liste ({P1, . . . ,Pk}) → L1simplifier la sous-liste ({Pk, . . . ,Pn})

Pk

Pn




2.3) sinonsimplifier la sous-liste ({P1, . . . ,Pk}) → L1simplifier la sous-liste ({Pk, . . . ,Pn}) → L2

L2




2.3) sinonsimplifier la sous-liste ({P1, . . . ,Pk}) → L1simplifier la sous-liste ({Pk, . . . ,Pn}) → L2LS concatenation de L1

L1




2.3) sinonsimplifier la sous-liste ({P1, . . . ,Pk}) → L1simplifier la sous-liste ({Pk, . . . ,Pn}) → L2LS concatenation de L1 et L2

L2L1




2.3) sinonsimplifier la sous-liste ({P1, . . . ,Pk}) → L1simplifier la sous-liste ({Pk, . . . ,Pn}) → L2LS concatenation de L1 et L2

LS



Algorithme de Douglas-Peuker - Algorithme




Routine LS = simplification douglas peuker(L,d)





n ← nb points(L)





n ← nb points(L)

// (1) n = 2 → pas de simplificationsi n ≤ 2 alors

LS ← L

fin si




Routine LS = simplification douglas peuker(L) // suite

// (2) n > 2 → simplification eventuelle suivant d






// (2.1) rechercher le point Pk le plus eloigne du segment [P1,Pn]// ainsi que la distance dmax correspondante






// (2.1) rechercher le point Pk le plus eloigne du segment [P1,Pn]// ainsi que la distance dmax correspondantedmax ← 0pour j de 2 a n − 1 faire

dj ← distance point segment(Pj ,[P1,Pn])si dmax < dj alors

dmax ← djk ← j

fin sifin pour





// (2.2) dmax ≤ d → simplification suivant le segment Ssi dmax ≤ d alors

LS ← {P1,Pn}




Routine LS = simplification douglas peuker(L) // suite et fin

// (2.3) dmax > d → decomposer le probleme en deuxsinon






// L1 sous-liste des points de L de P1 a Pk

L1 ← {P1,P2, . . . ,Pk}







L1 ← {P1,P2, . . . ,Pk}// L2 sous-liste des points de L de Pk a Pn

L2 ← {Pk ,Pk+1, . . . ,Pn}








L2 ← {Pk ,Pk+1, . . . ,Pn}LS1 ← simplification douglas peuker(L1, d)








L2 ← {Pk ,Pk+1, . . . ,Pn}LS1 ← simplification douglas peuker(L1, d)LS2 ← simplification douglas peuker(L2, d)








L2 ← {Pk ,Pk+1, . . . ,Pn}LS1 ← simplification douglas peuker(L1, d)LS2 ← simplification douglas peuker(L2, d)// concatenation de LS1 et LS2,// dernier point de LS1 egal au premier point de LS2 (egal a Pk)LS ← concatenation(LS1,LS2)

fin si



Algorithme de Douglas-Peuker - Distance point-segment

Calcul de la distance dj entre un point Pj et un segment [P1,Pn] :





A) si P1 = Pn alors

dj = distance(P1,Pj) = distance(Pn,Pj)





A) si P1 = Pn alors


B) si P1 6= Pn alors

dj = MinP∈[P1,Pn]

distance(P ,Pj)





A) si P1 = Pn alors


B) si P1 6= Pn alors

dj = MinP∈[P1,Pn]

distance(P ,Pj)

→ trois cas de figures a considerer




Cas P1 6= Pn

P1

Pn

Pj

h

l

l−ss

ba

Q PnP1

Pj

l

h

Q

a b

P1

Pn

Pj

l Q

h

ba

cas B1 cas B2 cas B3




Cas P1 6= Pn

P1

Pn

Pj

h

l

l−ss

ba

Q PnP1

Pj

l

h

Q

a b

P1

Pn

Pj

l Q

h

ba

cas B1 cas B2 cas B3

Q = projection de Pk sur la droite support du segment,l = distance(P1,Pn) h = distance(Q,Pk)a = distance(P1,Pk) s = distance signee(P1,Q)b = distance(Pn,Pk) l − s = distance signee(Q,Pn)




Cas P1 6= Pn

1 Calculer les distances l , a et b




Cas P1 6= Pn


2 Considerer [P1,Q,Pk ] et [Pn,Q,Pk ], triangles rectangles en Q :




Cas P1 6= Pn



{a2 = h2 + s2

b2 = h2 + (l − s)2

}

⇒ s =a2 − b2 + l2

2 l




Cas P1 6= Pn



{a2 = h2 + s2

b2 = h2 + (l − s)2

}

⇒ s =a2 − b2 + l2

2 l

⇒ dj =

h =√

a2 − s2 si 0 ≤ s ≤ l (cas B1)a si s < 0 (cas B2)b si s > l (cas B3)



Algorithme de Douglas-Peuker - Remarques

Remarques :




Remarques :

(-/+) Algo. en O(n2) dans le cas pire, O(n ln n) en general




Remarques :

(-/+) Algo. en O(n2) dans le cas pire, O(n ln n) en general

(+) Algo. simple et utilise pour l’affichage


Simplification de donnees Simplification de maillages surfaciques

Plan




Le cadre



Le cadre

De plus en plus, manipulation de maillages surfaciques volumineux (nbfaces > 106)



Le cadre


reconstruction de surfaces a partir de donnees scanner



Le cadre



maillages de modeles CAO



Le cadre




donnees geographiques



Le cadre





resultats de calcul elements finis



Le cadre






. . .



Le cadre






. . .

→ necessite de simplification de maillages



Methodes de decimation

Utiliser des operations elementaires de simplification de maillage :

1 par suppression d’un sommet






2 par suppression d’une arete






2 par suppression d’une arete

3 par suppression d’une face



Methodes de decimation par suppression de sommet



Methodes de decimation par suppression d’arete



Methodes de decimation par suppression de face




La plus simple : methode par suppression d’arete (edge collapse)

edgecollapse−→

←−vertexsplit





edgecollapse−→

←−vertexsplit

→ differentes strategies pour l’ordre de suppression des areteset pour le positionnement du nouveau sommet •





edgecollapse−→

←−vertexsplit

→ differentes strategies pour l’ordre de suppression des areteset pour le positionnement du nouveau sommet •Remarque : 1 face collapse ≡ 2 edge collapse



Methode par decimation d’aretes : Shortest Edge




A chaque etape :




A chaque etape :

supprimer l’arete de longueur minimale




A chaque etape :

supprimer l’arete de longueur minimale

positionner le nouveau sommet au milieu de l’arete supprimee



Methode par decimation d’aretes : QEM




Quadric Error Metric Garland - Heckbert 1997





Algorithme :





Algorithme :

1 initialisation :





Algorithme :

1 initialisation :

pour chaque sommet S , definir une fonction quadrique qS(x , y , z)telle que qS (S) = Min

XqS(X )





Algorithme :

1 initialisation :


XqS(X )

pour chaque arete A = [S1, S2], determiner le point ZA tel queqS1(ZA) + qS2(ZA) = Min

XqS1(X ) + qS2(X ) = vA





Algorithme :

1 initialisation :


XqS(X )


XqS1(X ) + qS2(X ) = vA

2 etape de suppression d’une arete :





Algorithme :

1 initialisation :


XqS(X )


XqS1(X ) + qS2(X ) = vA


trouver l’arete A0 = [S1, S2] tel que vA0 = MinA arete

vA





Algorithme :

1 initialisation :


XqS(X )


XqS1(X ) + qS2(X ) = vA



vA

creer le nouveau sommet S ′ = ZA0, avec la fonction quadrique associeeqS′ = qS1 + qS2





Algorithme :

1 initialisation :


XqS(X )


XqS1(X ) + qS2(X ) = vA



vA

creer le nouveau sommet S ′ = ZA0, avec la fonction quadrique associeeqS′ = qS1 + qS2

mettre a jour les aretes A issues de S ′ (point ZA et valeur vA associee)




Fonction qS :




Fonction qS :

pour une face F , considerer le plan ΠF contenant F

ΠF = {(x , y , z), fF (x , y , z) = ax+by+cz+d = 0 avec a2+b2+c2 = 1}




Fonction qS :



→ qF = f 2F fonction quadrique (degre 2) en x , y et z




Fonction qS :




pour un sommet initial S , considerer les faces contenant S




Fonction qS :




pour un sommet initial S , considerer les faces contenant S

→ qS =∑

F∋S

qF (qS (S) = 0)



Methode par decimation

IMPORTANT : a chaque etape, conserver la topologie du maillage




IMPORTANT : a chaque etape, conserver la topologie du maillage→ interdire certaines suppressions




IMPORTANT : a chaque etape, conserver la topologie du maillage→ interdire certaines suppressions

→ traiter les elements de bord de maniere particuliere


visualisation scientifique - imag→maillage volumique td’un volume parallèlépipèdique p...

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