vistas auxiliares, distancias y angulos1.doc

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL DE

SISTEMAS Y DE ARQUITECTURA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

Tema:

Vistas Auxiliares, Distancias

y Ángulos

Curso:

Geometría Descriptiva

Profesor:

Ing. Marco Guzmán Vigo

Responsables:

Ascencio Ramos, Juan Fernando

Campos Guerra, Juan Ramón

Huamán González, Hitha

Obando Díaz, Ramiro

Reyes Wong, Stephanie Vanessa

Lambayeque, Marzo del 2007

Geometría Descriptiva Vistas Auxiliares, Distancias y Ángulos

UNIVERSIDAD NACIONAL “PEDRO RUIZ GALLO”

LAMBAYEQUE

INTRODUCCIÓN

En el presente trabajo se pretende estudiar de manera sistemática los

cambios de planos utilizando las vistas auxiliares, los ángulos y las

distancias.

Consideramos las vistas auxiliares incluidas en el tema de ángulos y

distancias, ya que sin este tema de cambio de plano, no se podría

realizar ningún tema que en posterior se van a tratar.

En el presente trabajo se pretende dar a conocer en forma secuencial

y precisa todo lo relacionado con los cambios de plano ya que su

importancia es de vital importancia en la explicación de los casos de

los demás temas y su importancia en la aplicación de los temas

posteriores.

Es importante resaltar que en el trabajo se dan a conocer diversos

casos relacionados las mínimas distancias así como algunos ejercicios

de aplicación.

El Grupo

VISTAS AUXILIARES: CAMBIO DE PLANOS


1. Generalidades: Un objeto o figura cualquiera en el espacio y referidas

a los planos horizontal y frontal de proyección, no siempre puede

aparecer en su verdadera magnitud o en una de las formas que

nosotros quisiéramos que fuesen presentadas a nuestra vista para su

estudio. Por lo tanto, para lograr que un objeto se halle en posición

favorable o conveniente existen en forma general dos procedimientos:

a. Cambio de Posición del Observador, manteniendo fijo, el objeto,

de manera que se puede lograr una posición favorable al observar

la figura;

b. Cambio de Posición del Objeto, manteniendo fija la posición del

observador hasta lograr la posición deseada.

Evidentemente estos procedimientos, no pueden ser ejecutados en

forma arbitraria, sino para ser factible el estudio de estas posiciones,

existen reglas determinadas y normas que la reglan, y es esto lo que

determina los siguientes métodos:

1-a: Objeto fijo y Observador variable: Cambio de Planos.

1-b: Objeto variable y Observador fijo: Método de Giros.

En el presente capítulo, sólo estudiaremos el Método 1-a o sea el

correspondiente al Cambio de Planos. En muchos textos, a éste método

se le conoce con el nombre de Vistas Auxiliares e inician su estudio

directamente al empezar los primeros conceptos sobre la materia del

Curso. Por las razones explicadas en el Prólogo, nosotros iniciamos

recién su estudio. Cabe aclarar que en ningún texto se menciona la

palabra “cambio de planos” y solamente se concretan a expresar el de

“Vista Auxiliar”. Que comprenda bien el estudiante que al decir:

“Efectuamos un cambio de plano”, ello equivale a decir “obtenemos

una vista auxiliar”. Las dos cosas son la misma cuestión.

CAMBIO DE PLANOS

Para obtener una vista auxiliar de un objeto cualquiera 0, se puede

cambiar cualquiera de los tres planos de proyección todas las veces

que fuese necesario. Analicemos esto.


2. Cambio del plano horizontal de proyección:

Consideremos un objeto cualquiera en el espacio tal como 0, cuyas

proyecciones horizontal y frontal con respecto al sistema H-F son OH y

OF

HF

H'

OF

OH

Objeto O

FH

H'

F F

H H

mH

m

mH'

mF

aH

nHH

F'

Si nosotros efectuamos el Cambio de Plano Horizontal de proyección,

significa que del sistema H-F vamos a pasar a otro nuevo sistema H’-F

y en él observaremos lo siguiente:

La proyección frontal del objeto 0F permanece invariable.

La proyección horizontal del objeto 0H ha cambiado a una nueva

posición OH’.

Los alejamientos de los puntos del objeto 0 no varían.

Por ser el sistema H’-F también ortogonal, todas las propiedades

y características de sus proyecciones no varían.

Hemos analizado lo que sucede con un objeto cualquiera al efectuar el

cambio del plano horizontal. Veamos ahora, que es lo que sucede al

particularizar estos principios con respecto a puntos, rectas y planos en

el espacio.

2-a: Vistas Auxiliares de Puntos:

Sea el punto m cuyas proyecciones horizontal y frontal son mH y mF en

el sistema ortogonal H-F.


Mediante un Cambio del plano Horizontal de proyección, obtenemos el

nuevo sistema H’–F y en el cual las nuevas proyecciones horizontal y

frontal vienen a ser mH’ y mf

OH

Objeto O

FH

H'

F

H H

mH

m

mH'

mF

aH

nHH

F'

mH

FH'

mF

mH'

mH

FH

F

H

mH

m

mH'

HF

H'F

aH'

bH'

nH

mH

HF'

HF

nH

mH

nH'

H

F'

FH'

mF

mH'

mH

FH

Depurado del punto m:

Sea mH y mF las proyecciones de m en el sistema H-F.

Tracemos el nuevo eje H’-F que representa el cambio del plano

horizontal (éste eje se traza en cualquier posición).

La proyección frontal mF no cambia de posición.

Por la proyección frontal del punto, trazamos una referencia

perpendicular al nuevo eje.


Como el alejamiento del punto no ha variado, medimos su valor

en la referencia trazada y a partir del nuevo eje; en esta forma

se ubica la posición de la nueva proyección horizontal mH’ del

punto. En esta forma, hemos obtenido una vista auxiliar del

punto m cambiando el plano horizontal de proyección.

2-b: Vistas Auxiliares de Rectas:

Una recta queda definida por dos puntos cualesquiera; por lo tanto,

para encontrar las nuevas proyecciones de la vista auxiliar de una

recta ab mediante un cambio de planos, basta con encontrar las

nuevas proyecciones de sus dos puntos y unirlos respectivamente para

determinar la vista buscada.

Aplicación: Se da la recta ab. Encontrar las nuevas proyecciones de

una vista auxiliar cambiando el plano horizontal de proyección.

HF

H'F

aH

aF

bF

bH

aH'

bH'

HF

H' aF

bF

bH'aH'

bH

aH

cH'

cF

cH

FnH

nHH

aH

Procedimiento:

Se escoge el nuevo eje H’-F en la posición deseada.

Como las proyecciones frontales de los puntos a y b no varían,

por ellas se trazan las referencias.

En las referencias trazadas, y a partir del eje H’-F se miden los

alejamientos de los puntos en cuestión, determinando en esta


forma las nuevas proyecciones horizontales aH’ y bH’ de los

puntos.

Las nuevas proyecciones horizontales se unen, determinando así

la nueva proyección horizontal de la recta en la vista auxiliar

buscada.

2-c: Vistas Auxiliares de Planos:

Para determinar un plano cualquiera, basta con tomar tres puntos de él

y no situados en línea recta. Por esta razón para encontrar las nuevas

proyecciones de una Vista Auxiliar de un plano cualquiera tal como

abc, basta con tomar tres puntos de dicho plano, encontrar las

proyecciones de ellos en el nuevo sistema y unirlos ordenadamente.

Aplicación: Se da el plano abc. Efectuar un cambio de plano horizontal

y encontrar las nuevas proyecciones de la vista auxiliar.

aH

aF

HF

H' aF

bF

bH'aH'

bH

aH

cH'

cF

cH

HF

F

OF

F

Procedimiento:

Trazamos el nuevo eje H’-F en la posición deseada.


Por las proyecciones de los puntos del plano, trazamos las

referencias perpendiculares el nuevo eje.

A partir del nuevo eje, medimos las correspondientes a los

alejamientos de los puntos, los que nos van a definir las nuevas

proyecciones horizontales aH’ , bH’ y cH’.

Uniendo ordenadamente dichas proyecciones, se obtendrá

finalmente las proyecciones del plano dado en su vista auxiliar

buscada.

3. Cambio del plano frontal de proyección:

Consideraremos un objeto cualquiera tal como 0, que referidas al

sistema ortogonal H-F tiene como proyecciones horizontal y frontal 0H

y 0F.

aF

bF

bH

aH

HF

F

H

OH

OF

Objeto O

F'

H sH

a

aH

aF

F

FH

Al efectuar el Cambio del Plano Frontal de proyección, significa que del

sistema H-F tendremos que pasar a otro sistema H-F’; entonces

observaremos lo siguiente:

La proyección horizontal 0H del objeto no cambia.

La proyección frontal 0F del objeto ha cambiado a una nueva

posición que es 0F’.

Las cotas de los puntos del objeto 0 no se alteran.


Como el sistema H-F’ también es ortogonal, todas las

características y propiedades de sus proyecciones no han

variado en lo sustancial.

En una forma semejante a lo que vimos al tratar sobre cambio del

plano horizontal referentes al objeto 0, analizaremos ahora lo que

sucede al particularizar estos principios y aplicarlos en puntos, rectas y

planos.

3-a: Vistas Auxiliares de Puntos:

Tomemos el punto a con proyecciones aH y aF horizontal y frontal en el

sistema ortogonal H-F.

Mediante el Cambio del plano frontal de proyección, obtenemos el

nuevo sistema H-F’, en el cual las nuevas proyecciones horizontal y

frontal del punto son aH y aF’.

HF

mF'

nF'

bH

aH mH

F'H

a

aH

aF

aF'

F'

H

F

FH

aF'

aH

aF

F'H

FH

HF

F'

mF'

nF'

bH

F'H

aF'

F'

H

aF'

aH

aF

F'H

FH

Depurado del punto a:


Sean aH y aF las proyecciones de a en el sistema H-F.

Tracemos el nuevo eje H-F’ que va a representar el cambio del

plano frontal (éste eje es trazado en posición cualquiera).

Por la proyección horizontal aH del punto, trazamos una

referencia perpendicular al nuevo eje.

Como la cota del punto tampoco ha variado, medimos su valor

en la referencia trazada y a partir del nuevo eje.

En esta forma se ubica la posición de la nueva proyección frontal a F’ del

punto. En esta forma se obtiene una vista auxiliar del punto a

cambiando el plano frontal de proyección.

3-b: Vistas Auxiliares de Rectas:

Se da la recta mn. Efectuar un cambio del plano frontal de proyección y

determinar las nuevas proyecciones de la vista auxiliar

correspondiente.

HF

HF'

nH

mH

nF

mF

mF'

nF'

HF

F' H

mH

nH

mF

nF

nF'

mF'

sHsF'

sF

bH

cH

mH

sH

mH

sF'

mF'wF'

nF'

F'H

HF

zH

xH

sH

vH

zF

aF'

aH

aF

F'H

FH

Procedimiento:

Tomemos un nuevo eje H-F’ en una cierta posición que va a

representar el cambio del plano frontal.

Por las proyecciones horizontales mH y nH que no varían,

trazamos referencias perpendiculares al nuevo eje H-F’.

Sobre dichas referencias, se miden las cotas de los puntos m y n

respectivamente que también permanecen invariables en su


magnitud. En esta forma quedan determinadas las nuevas

proyecciones mF’ y nF’ de los puntos de la recta.

Uniendo estas proyecciones tendremos las nuevas proyecciones

de la recta mn en su vista auxiliar buscada.

3-c: Vistas Auxiliares de Planos:

Dado un plano mns, determinar la Vista Auxiliar al efectuar un cambio

del plano frontal de proyección.

nH

mH

nF

mF

HF

F' H

mH

nH

mF

nF

nF'

mF'

sHsF'

sF

mF'wF'

nF' xH

sH

vH

Procedimiento:

Se determina la nueva posición del eje H-F’ (en el lugar que se

desee).

Por las proyecciones horizontales de los puntos que no varían

(por mH, nH y sH) trazamos líneas de referencia y

perpendiculares al nuevo eje.

Sobre estas referencias, se miden las cotas de los puntos en

cuestión (que tampoco han variado en magnitud), determinando

de esta manera las nuevas proyecciones frontales mF’, nF’ y sF’.

Se unen ordenadamente las nuevas proyecciones halladas que

van a determinar las correspondiente a la vista auxiliar buscada.

Notas Complementarias:


1. Se puede obtener de un objeto, todas las vistas auxiliares deseadas,

efectuando para ello también todos los cambios de planos que

fuesen necesarios.

2. Los cambios de planos hay que efectuarlos en forma sucesiva,

según las necesidades del caso.

3. El cambio del plano horizontal o frontal de proyección a un nuevo

sistema, involucra tácitamente también el cambio del plano lateral

de proyección; por esa razón al trazar el nuevo eje H-F’ o H’-F,

automáticamente se puede considerar (aunque no sea necesario

trazarlo) el nuevo eje F-P que será perpendicular a los ejes

principales.

4. La nomenclatura empleada por nosotros para los cambios de planos

será la Comilla sobre la letra indicativa del nombre del plano

cambiado una vez; cuando el plano se le cambia dos veces,

emplearemos Dos Comillas sobre él. Ejemplo:

a) .Sistema original de planos de proyección : H-F.

b) .Sistema cambiado el plano frontal : H-F’

c) .Sistema cambiado el plano frontal dos veces : H-F’’

d) .Sistema cambiado el plano horizontal : H’-F

e) .Sistema cambiado plano horizontal dos veces : H’’-F

5. Para conocimiento de los estudiantes, es necesario mencionar que

algunos autores emplean distinta nomenclatura para indicar los

planos cambiados: así por ejemplo, designan con números el plano

cambiado. Así tenemos que:

a) .Se cambia el plano horizontal : F-1: primer cambio.

b) .Se cambia el plano frontal : 1-2: segundo cambio.

c) .Se cambia el plano frontal : H-1: primer cambio.

d) .Se cambia el plano horizontal : 1-2: segundo cambio.

Sobre la forma de emplear los signos o letras en la nomenclatura de

los cambios, se deja al alumno en completa libertad, para que a su

criterio emplee el que crea conveniente, aparte por supuesto del

que nosotros emplearemos. Esto lo hacemos para que pueda

comprender en diferentes textos la nomenclatura empleada.


PROBLEMAS PARTICULARES DE APLICACIÓN DE LOS

CAMBIOS DE PLANOS.

Los cambios de planos prestan una gran utilidad en la resolución de

numerosos problemas de carácter general, ya que ayudan a

determinar verdaderas magnitudes, posiciones que son favorables

para la interpretación de figuras, en fin; son muchas las formas de

aplicación. Pero evidentemente, todos estos procesos generales se

apoyan en otros particulares y que son los que a continuación

vamos a estudiar, considerando el siguiente orden de soluciones:

1. Transformación de rectas cualquiera, a otras que sean paralelas

al los planos de proyección: empleo de un solo cambio de planos

(una vista auxiliar).

2. Transformación de rectas cualquiera a otras que sean

perpendiculares a los planos de proyección: empleo de dos

cambio de planos (dos vistas auxiliares).

3. Transformar un plano cualquiera a otro que sea perpendicular a

los planos de proyección: empleo de un solo cambio de planos

(una vista auxiliar).

4. Transformar un plano cualquiera a otro que sea paralelo a los

planos de proyección: empleo de dos cambios (dos vistas

auxiliares).

5. Pendiente de una recta y pendiente de un plano.

1. Transformar una recta cualquiera a otras que sean paralelas a

los planos de proyección: empleo de un solo cambio.

Una recta cualquiera, se transforma a otra de posición paralela a

cualquiera de los planos de proyección, con la finalidad principal de

hallar su verdadera magnitud. A estos tipos de problemas también se le

conoce con el nombre de: Determinar la verdadera magnitud de una

recta.


Por lo tanto, en base a esto, podemos decir que una recta cualquiera

puede transformarse a Horizontal, Frontal o a de Perfil.

1-a: Transformar una recta cualquiera a Horizontal:

Para transformar una recta cualquiera a horizontal, se efectúa un cambio

del plano horizontal, colocando el nuevo eje H’-F paralela a la proyección

frontal de la recta y en seguida se determinan las nuevas proyecciones

horizontales de los puntos que faltan, en el nuevo sistema.

Aplicación: Dado la recta ab, transformarla a horizontal.

HF

aF

bF

bH

aH

aH'

bH'

H'F

HF

nH

nF

HF'

nF'

Procedimiento:

Efectuamos el cambio del plano horizontal de proyección,

colocando el nuevo eje H’-F paralelo a la proyección frontal aFbF de

la recta.

Se determina las nuevas proyecciones horizontales aH’ y bH’ de los

puntos de la recta, empleando el procedimiento ya conocido y

explicado en el capítulo anterior.

La proyección horizontal de la recta en el nuevo sistema

representa la verdadera magnitud del segmento de recta ab.

aH’ bH’ = verdadera magnitud de ab.

En algunos textos, esta verdadera magnitud (proyección horizontal en

este caso) se le designa con las iniciales de T.L. (Trae Lenght=longitud

verdadera).


1-b: Transformar una recta cualquiera a Frontal:

Para transformar una recta dada a frontal, se efectúa un cambio del

plano frontal, colocando el nuevo eje H-F’ paralela a la proyección

horizontal de la recta; luego se encuentra las nuevas proyecciones

frontales de los puntos que componen la recta.

Aplicación:

Se da una recta mn. Transformarla a frontal.

bF

bH

HF

nH

mH

mF

nF

HF'

nF'

mF'

HF

mF

mH

nH'

mH'

H' F

Procedimiento:

Se efectúa el cambio del plano frontal de proyección, colocando el

nuevo eje H-F’ paralelo a la proyección horizontal mHnH de la recta.

Determinamos las nuevas proyecciones frontales mF’nF’ de los

puntos de la recta.

La proyección frontal de la recta en este nuevo sistema,

representa la verdadera magnitud del segmento de recta mn:

mF’ nF’ = verdadera magnitud de mn.

1-c: Transformar una recta cualquiera a Perfil:


Para transformar una recta dada en otra que sea de perfil, se puede

efectuar indistintamente: o un cambio del plano horizontal, o un cambio

del plano frontal. En cualquiera de esas formas, el nuevo eje H’-F

(cambiando el plano horizontal) ó H-F’ (cambiando el plano frontal), debe

colocarse perpendicularmente a la proyección respectiva. Luego se

procederá a encontrar las proyecciones que falten, mediante el proceso

ya conocido.

Aplicación: Transformar a de perfil, la recta mn.

bF

HF

nF

nH

mF

mH

nH'

mH'

H' F

HF

nF

nHHF'

mF'

nF'

H''F'

nH''mH''

vH

F'H

vF'

mF

Procedimiento:

Efectuamos un cambio del plano horizontal de proyección,

colocando el nuevo eje H’-F perpendicular a la proyección frontal

mFnF de la recta dada.

Se encuentra las nuevas proyecciones horizontales mH’ y nH’ de los

puntos de la recta, para definirla completamente.

Para encontrar la verdadera magnitud del segmento de recta mn

en este nuevo sistema de planos de proyección, habrá necesidad

de determinar su proyección de perfil.


2. Transformar una recta cualquiera a otras que sean

perpendiculares a los planos de proyección: empleo de dos

cambios.

Una recta dada, puede ser transformada a otra de posición perpendicular

a uno de los planos de proyección. A este tipo de problema también se le

conoce con el nombre de: Transformar una recta cualquiera a otra de

punta.

Por esta razón, una recta cualquiera, puede ser transformada a Vertical,

Normal o a paralela al eje H-F, en sus sistemas correspondientes.

2-a: Transformar una recta dada a de Punta Vertical:

Para efectuar esta transformación, es necesario emplear dos cambios de

planos sucesivos:

En el primer cambio de planos, la recta dada se transforma a una de

posición frontal, cambiando el plano frontal de proyección.

En el segundo cambio, la recta ya frontal (primer cambio) se transforma

finalmente a Vertical.

Aplicación:

Transformar la recta mn a una de posición vertical.


F

bFH' aF

cFF

nF

nH

HF

nF

mF

mH

nHH

F'

mF'

nF'

H''F'

nH''mH''

FH

aH

aF

aH'bH'

F'' H'

aF''bF''

vF'

sF'kF'

H'F

Procedimiento:

Mediante un primer cambio del plano frontal, transformamos la

recta mn en frontal: colocando el nuevo eje H-F’ paralelo a la

proyección horizontal mHnH de la recta.

Se determina las nuevas proyecciones frontales mF’ y nF’ de los

puntos de la recta.

Mediante un segundo cambio, esta vez del plano horizontal de

proyección, se transforma la frontal anterior en vertical, colocando

para esto, el nuevo eje H’’-F’ perpendicular a la proyección frontal

mF’ nF’.

Determinamos las nuevas proyecciones horizontales mH’’ nH’’ (que

se confunden en un sólo punto) y en esta forma final, la recta

queda transformada en vertical.

2-b: Transformar una recta dada a una de Punta Normal:

Para llevar a cabo esto, se deberá emplear dos cambios de planos de

proyección:


Un primer cambio de plano horizontal, mediante el cual la recta dada se

transforma en horizontal.

En el segundo cambio, la recta que ya es horizontal (primer cambio) se

transforma a Normal. En este paso, el plano es cambiado a normal.

Aplicación:

Dado la recta ab, transformarlo en Normal.

FH

aH

bH

bF

aF

aH'bH'

F'' H'

aF''bF''

HF

H

F'

F'H''

sH

sF

sF'

sH''

H'F

Procedimiento:

Se efectúa un cambio del plano horizontal, colocando el nuevo eje

H’-F paralelo a la proyección frontal aFbF de la recta dada.

Determinamos las nuevas proyecciones horizontales aH’ y bH’ de

los puntos de la recta.

Empleando un segundo cambio de plano: el frontal, se transforma

la horizontal anterior en normal, colocando para esto el nuevo eje

H’-F’’ perpendicular a la proyección horizontal aH’ bH’.

Determinamos las nuevas proyecciones frontales aF’’ bF’’ (que se

confunde en un punto) y en esta forma, queda ya convertida la

recta dada en una de punta normal.

2-c: Transformar una recta cualquiera en una que sea paralela al

eje H-F (perpendicular al plano lateral):

Una recta paralela al eje H-F es a la vez paralela a los dos planos de

proyección, o sea que es simultáneamente horizontal y frontal; por lo


tanto para que una recta cualquiera sea paralela al eje H-F se emplea el

siguiente proceso:

La recta dada se transforma primero en horizontal; mediante el

cambio del plano horizontal de proyección.

Con un segundo cambio de plano, esta vez del frontal, se lleva la

horizontal anterior a una posición frontal. Efectuado estos dos

cambios, la recta dada ya ha sido llevada a paralela al eje H-F.

Observación: Otra forma alternativa de transformación es la que a

continuación anotamos: primero, la recta dada se puede transformar a

frontal y en seguida esta frontal, llevarla a una posición horizontal.

El resultado final viene a ser el mismo que el anterior.

Aplicación: Transformar la recta st cualquiera a una que sea paralela al

eje H-F.aF F

aH

bH

bF

aF

bH'

HF

H

F'

F'H''

sH

tH

tF

sF

tF'

sF'

sH''

tH''

HF

bH'

aH'mH'

cH'

FH'

F

Procedimiento:

Cambiamos primeramente el plano frontal, para transformar la

recta st en una frontal.

Con un segundo cambio, esta vez del plano horizontal de

proyección, transformamos la frontal en una horizontal.


En esta forma la recta dada ya es paralela al eje H-F.

3. Transformación de planos cualquiera a otros que sean

perpendiculares a los planos de proyección: empleo de un sólo

cambio (una vista auxiliar).

Generalidades: Analicemos aquí, las razones que nos han de llevar a la

explicación posterior de los procedimientos empleados:

a. Para que un plano cualquiera sea perpendicular a uno de los planos

de proyección, basta que tenga una recta perpendicular a ellos.

b. Teóricamente, para que una recta cualquiera de un plano sea

perpendicular a uno de los planos de proyección, se debe emplear

dos cambios de planos.

c. Esto quiere decir, que para hacer que un plano cualquiera sea

transformado a uno que sea perpendicular a uno de los planos de

proyección, basta con tomar una recta cualquiera de él y llevarla a

una posición de punta. Pero para que una recta cualquiera se lleve a

una posición de punta, se debe efectuar necesariamente dos

cambios: uno para llevarla a paralela y segundo para llevarla a

perpendicular.

d. Si por el contrario, en vez de tomar una recta cualquiera en el plano,

tomamos una recta paralela a uno de los planos de proyección, es

claro que obviaremos un cambio.

e. Por todo lo analizado anteriormente, podremos deducir el

procedimiento general para resolver estos problemas:

Procedimiento General:

En el plano cualquiera, se toma una recta que sea paralela a uno

de los planos de proyección.

Esta recta paralela tomada, se transforma a una que sea

perpendicular a los planos de proyección.

En esta forma el plano que contiene a la recta tomada, queda

transformado a un plano de canto, que puede ser vertical o

normal, según las circunstancias necesarias.

3-a: Transformar un plano cualquiera tal como abc a uno de

posición de canto Vertical.


tH

tF

tF'

HF

bH

aH

aF

bF

bH'

aH'mH'

cH

cF

cH'

mH

mF

FH'

HF

sH

sF

nF

nH

wH

wF

H

Procedimiento:

En el plano cualquiera abc, tomamos una recta frontal tal como

am y que pasa por el punto a: trazando aHmH paralela al eje H-F y

luego determinamos su proyección frontal con el método general.

Con una cambio del plano horizontal de proyección, la frontal am

la transformamos en una recta de punta vertical: la proyección aH’

mH’ viene a ser de canto.

Se determina las nuevas proyecciones horizontales de los puntos

del plano b y c: estas son bH’ y cH’.

Como el plano dado en este momento ya es de canto vertical, las

proyecciones horizontales referidas al eje H’-F deben todas

confundirse en una recta (bH’ aH’ cH’) que viene a ser su proyección

horizontal.

3-b: Trasformar un plano cualquiera mns a una posición de canto

Normal.


nFbH

aH

aF

bF

cH

cF

cH'

mH

mF

FH'

HF

sH

sF

mH

mF

sF'

mF'wF'

nF

nF'

nH

wH

wF

F'H

HF

Procedimiento:

En el plano dado mns se traza una recta horizontal tal como nw y

que pase por el punto m: trazamos mFwF paralelo al eje H–F,

determinando en seguida su proyección horizontal, aplicando el

método conocido.

Se efectúa un cambio del plano frontal, con el objeto de que la

recta nw quede trasformada en una de punto normal: así es que la

proyección mF, wF, es un punto.

Se encuentra las nuevas proyecciones frontales de los puntos n y

s del plano dado: nF, y sF,.

Como el plano dado ya ha sido trasformado a normal, todas las

proyecciones frontales de sus puntos referidas al nuevo sistema H-

F’ se confunden en una sola recta (nF, mF

, sF,) que es su proyección

frontal.

3-c: Trasformar un plano cualquiera svz a uno que sea paralelo al

eje H–F(de canto de perfil).

Un plano paralelo al eje H – F viene a ser perpendicular al plano lateral

de proyección por lo tanto: para que un plano cualquiera se trasforme a


paralelo a dicho eje, basta con trasformar una recta con él, a una que

sea perpendicular al plano de perfil.

Aplicación: Transformar el plano svz a paralelo el eje H–F.

nF'

HF

H'F

zH

xH

sH

vH

zF

vF

xF

sF

sH'

vH'zH'

xH'

mH''

nH''

Procedimiento:

Tomamos en el plano dado, una recta frontal tal como xv y que

pase por el punto v: trazando xHvH paralelo al eje H–F.

Determinamos la proyección frontal xFvF mediante el

procedimiento general.

Con un cambio del plano horizontal de proyección, se trasforma la

recta xv en horizontal: trazamos el nuevo eje F-H’ paralela a la

proyección xFvF.

Se determina las nuevas proyecciones horizontales xH’ y vH’, de la

recta xv (debe ser paralela al eje F–H’).

Se encuentra con el mismo procedimiento, las proyecciones

horizontales de los otros puntos del plano, o sea zH’, y sH’.


Como la recta sv en el nuevo sistema es paralela al eje F–H’,

significa esto que el plano que lo contiene también es paralelo al

mismo eje. Con esto queda resuelto el problema planteado.

4. Transformación de planos cualquiera a otros que sean paralelos

a los planos de proyección: verdadera magnitud de un plano.-

empleo de dos cambios: dos vistas auxiliares.

Un plano cualquiera puede ser trasformado a otro que sea paralelo al

plano horizontal, frontal o lateral de proyección.

Para conseguir esto, es necesario emplear forzosamente dos cambios de

planos de proyección. El método generalizado es el siguiente:

a) Mediante un primer cambio de plano apropiado, se

trasforma el plano dado, a uno que sea de canto vertical o normal.

b) Con el empleo de un segundo cambio, el plano anterior ya

de canto (vertical o normal) se trasforma a uno que sea paralelo a los

planos de proyección: a paralelo a plano horizontal de proyección, ya

paralelo al plano frontal de proyección o paralelo al plano lateral.

c) Siendo ya el plano paralelo a los planos de proyección se

tendrá trasformado él, a su verdadera magnitud.

4-a: Transformar un plano cualquiera mns a paralelo horizontal

de proyección.


HF

mH

nH

sH

mF

nF

sF

sF'

nF'

F' H

F'H''

mH''

sH''

nH''

wH

wF

mF'wF'wH''

Procedimiento:

En el plano mns se toma una recta horizontal mw y que pasa por

el punto m: mFwF paralela al eje H-F, y se halla su proyección

horizontal en seguida.

Con un cambio del plano frontal de proyección, se transforma la

recta mw en normal: trazamos el nuevo eje H-F’ perpendicular a

la proyección mHwH. En esta forma, el plano dado queda

convertido a uno de canto normal: proyección del plano nF’mF’sF’

será una recta.

Mediante un segundo cambio de plano, esta vez del plano

horizontal de proyección, se transforma el plano mns en paralelo

al plano horizontal de proyección: se traza el nuevo eje F’-H’

paralelo a la proyección frontal del plano normal nF’ mF’ sF’.

Se determina las nuevas proyecciones horizontales de los puntos

del plano, o sea nH’’ mH’’ sH’’.

En este nuevo sistema H’’-F’ el plano dado se verá en verdadera

magnitud (proyección horizontal sombreada).

4-b: Transformar un plano cualquiera abc a uno que sea paralelo

frontal de proyección.


HF

cH

cF

aH

aF

bH

bF

sH

sFH'

F

H' F''aH'

bH'

cH'sH'

bF''

aF''

sF''cF''

Procedimiento:

Tomamos en el plano abc una recta frontal cs y que pase por el

punto c: de modo que se traza cHsH paralela al eje H-F, hallando

después su respectiva proyección frontal cFsF.

Mediante cambio del plano horizontal de proyección,

transformamos la recta cs en vertical: para esto, trazamos el

nuevo eje F-H’ perpendicular a la proyección cFsF. En esta forma,

el plano abc queda transformado en uno de canto vertical: la

proyección horizontal de este plano aH’bH’cH’ es una recta.

Efectuamos el segundo cambio: el del plano frontal de

proyección: se transforma el plano abc en paralelo al plano

frontal de proyección: para ello, trazamos el nuevo eje H’-F’’

paralelo a la proyección horizontal bH’cH’aH’ del plano vertical.

Determinamos las nuevas proyecciones frontales de los puntos

del plano: o sea aF’’bF’’cF’’.

En el nuevo sistema H’-F’’ el plano dado se verá en verdadera

magnitud (proyección frontal sombreada).

4-c: Transformar un plano dado svz en uno que sea paralelo al

plano lateral de proyección.


cF''

HF

sH

sF

vH

vF

zH

zF

zH''

F'H

F'

H''

kH

kF

vF'

zF'

sF'kF'

sH''

vH''

Procedimiento:

Con un primer cambio de plano, transformamos el plano dado svz

en uno de canto normal: para ello, nos damos la recta sk

horizontal del plano y que pase por el punto s, y se le transforma

en normal, obteniendo en el sistema nuevo H-F’ la proyección

frontal zF’sF’vF’ del plano dado como una recta.

En el segundo cambio de plano, se cambia el horizontal de

proyección, colocando el nuevo eje F’-H’’ perpendicular a la

proyección frontal del plano normal.

Se determina las nuevas proyecciones horizontales zH” , sH” y vH” de

los puntos del plano dado y todas ellas se van a confundir en una

recta.

En el sistema final F’-H”, el plano dado resulta perpendicular a él,

o sea que es paralelo al plano lateral. Para hallar la verdadera

magnitud de este plano, deberá previamente encontrarse la

proyección de perfil, trazando el eje F’-P perpendicularmente al

eje F’-H’ y luego proceder en la forma conocida.

Nota aclaratoria.- Es necesario que el estudiante comprenda que para

determinar la verdadera magnitud de un plano cualquiera es casi

corriente y general, emplear los métodos explicados en 4-a y 4-b. El


método 4–c por lo general, no se emplea en forma directa con esta

finalidad, ya que, como podrá verse es necesario efectuar el trabajo

adicional de encontrar su proyección lateral, lo cual significa que ya no

justifica su empleo. Pero en fin, ha sido necesario explicar su proceso,

para tener idea de todo.

DISTANCIAS

Medir una distancia, significa evaluar una longitud dentro de dos puntos que

se encuentren aislados, en rectas o planos. Para nuestro caso, evaluaremos

las distancias en los siguientes casos:

1.-Distancia entre dos puntos.

2.-Distancia entre un punto y una recta.


3.-Distancia entre dos rectas paralelas.

4.-Distancia entre dos pianos paralelos.

5.-Distancia entre dos rectas que se cruzan.

1. Distancia Entre Dos Puntos:

Para encontrar la distancia entre dos puntos, basta con determinar la

verdadera magnitud del segmento que los une, esta operación la

efectuamos mediante un simple cambio de planos.

Procedimiento:

Unimos los puntos a y b mediante un segmento de recta.

Mediante un cambio de planos horizontal, se lleva a verdadera

magnitud el segmento ab (transformado a horizontal).

En el nuevo sistema, la longitud de la proyección aH,bH, es la que

determina la verdadera magnitud del segmento dado.

FH'

bH'

aH'

aH

bH

bF

aF

FH

FH

2. Distancia Entre Un Punto Y Una Recta

La distancia entre un punto y una recta viene dado por la longitud del


segmento perpendicular entre el punto y La recta dada.

Aplicación: Hallar la distancia entre el punto a y la recta mn.

Procedimiento:

El punto a y la recta mn determinan un plano.

Se lleva a verdadera magnitud el plano mn.

En la verdadera magnitud se traza desde el punto a una

perpendicular a la recta mn y que la corta en el ponto b

La magnitud del segmento ab es la que mide la distancia existente

entre el punto y la recta dadas.

A la escala correspondiente del dibujo, se mide el segmento

representativo de la distancia buscada.

aH

HF

nF

nH

mH

mF

aH

aFFH'

H'F'

aH'

mH'

nH'

nF'

mF'

aF'

bF'

aH3. Distancia Entre Dos Rectas Paralelas:


Siendo el segmento representativo de la distancia entre las dos rectas

perpendicular a ellas, bastará colocar las dos rectas dadas en posición

perpendicular a uno de los planos de proyección y en ella se tendrá el valor

de la distancia buscada.

Aplicación: Determinar el valor de la distancia existente entre las rectas

paralelas ab y cd.

FH'

bH'

aH

bH

bF

aF

F'H'

F'

cF'dF'

aF'bF'

F'H'

F H'

dH'

dF

dH

cH'

cF

cH

bH'

aH'

bF

aF

bH

aH

FH

bH'

cF'dF'

aF'bF' b


Procedimiento:

Mediante dos cambios de planos, llevamos las rectas dadas a una

posición de punta normal.

En el nuevo sistema, la distancia existente entre las proyecciones

frontales de las rectas; (que en este caso son dos puntos) nos

determina el segmento que representa la magnitud buscada.

La siguiente figura que se analiza en forma espacial, nos visualiza la

posición final de las dos rectas dadas, al haber efectuado los dos cambios

de planos: o sea que el sistema que figura en ella es el H´-F’.

F'H'

F'

H'dH'

bH' aH'

cH'

cF'dF'

aF'bF' b a

cd

4.- Distancia Entre Dos Planos Paralelos

La distancia entre dos planos paralelos viene dado por la porción de

perpendicular a los planos y comprendido entre ellos.

Por tales razones, para encontrar la verdadera magnitud de la distancia

entre dos planos paralelos, basta con efectuar un cambio de planos para


llevarlos a una posición de canto (vertical o normal) y en la proyección

respectiva medir el valor representativo de la magnitud buscada.

Aplicación:

Encontrar la verdadera magnitud de la distancia existente entre los planos

paralelos abc y mns.

Procedimiento:

Mediante un cambio de planos, transformo los planos dados en

verticales.

En distancia existente entre las proyecciones de los planos ya

transformado en verticales (proyecciones horizontales son rectas) nos

medirá el valor de la magnitud buscada.


F'

H'dH'

bH' aH'

cH'

b a

cd

HF

nH

mHaH

bH

aF

bF

mF

nF

F

aH'

bH'

mH'

nH'

H'

sH

sF

cH'

cF

cH

sH'

bH

En la siguiente Figura señalamos una visualización espacial del problema

planteado. En dicho croquis se ha considerado como ya efectuado el cambio

de planos para obtener el sistema final H-F y en el cual, los planos dados

abc y mns son ya verticales y por tal razón sus proyecciones horizontales

son dos rectas paralelas cuya distancia mide la existente entre ellas.


H'

F

aF

cF

bF

nF

sF

sH'

mH'cH' bH'

nH'

mb

aH'

a

c

n

s

5.-Distancia Entre Dos Rectas Que Se Cruzan:

Dos rectas, decimos que se cruzan cuando no siendo coplanares, tampoco

son paralelas, o sea que permanecen en el espacio sin cortarse entre si en

ningún comento.

Para encontrar la mínima distancia entre dos rectas que se cruzan, pódenos

emplear dos procedimientos: el Método de las rectas y el Método de los

planos. Analicemos cada método en forma exhaustiva.

Mínima Distancia entre Dos rectas que se Cruzan:. Método de las

Rectas:

Para encontrar el segmento o representativo de la menor distancia

existente entre dos rectas que se cruzan, bastará con que' una de las rectas

sea perpendicular a uno de los planos de proyección, pues, en este caso la

proyección de la recta en dicho plano es un Punto y la distancia a la

proyección de la otra recta .determinará el valor de


Aplicación:

Determinar la mínima distancia existente entre las rectas del espacio ab y

mn que se cruzan.

Procedimiento:

Mediante un primer cambio de planos, transformamos la recta ab en

frontal. Se determina también las nuevas proyecciones

correspondientes de la otra recta mn. En este primer cambio se pasa

del sistema H-F al sistema H-F`.

Ver Fig. 7 y 7-a

Con un. segundo cambio de planos, se transforma la Frontal anterior

en una recta de punta vertical. También determinamos la nueva

proyección correspondiente la recta mn. El sistema final de

proyección es H-F’.

Tenemos ahora la recta ab transformada en vertical (aH.,,bH.., es un

punto) y la proyección horizontal de la recta mn es mH, nH (sin

ninguna característica espacial).

De la proyección horizontal de la recta ab (que es un punto) trazamos

una perpendicular a la proyección horizontal de la recta mn. La

longitud de esta perpendicular nos determina (en verdadera

magnitud) el valor de la menor distancia entre las rectas dadas. Ver

Fig. 7 y 7-b.


HF

mH

mF

F'

F'

H'

HnH

nF

aH

aF

bH

bF

aF'

bF'

nF'

mF'aH'

mH'

aH'bH'

F'

Fig. 7

F'

F'H

aF

aF'

bF'

nF'

mF'

HF'

F'

H

aH

bH

mH

nH

mF'

nF'aF'

bF'

n

bm

a

F'H'

F'

aF'mF'

bF' nF'

Fig. 7-a


HbH

nH

n

b

F'H'

H'

F'

mH'aH'bH'

nH'

aF'mF'

bF'nF'

m

nb

a

cF'

Fig. 7-b

Mínima Distancia entra dos rectas que se Cruzan: Método de los

Planos:

Para encontrar el valor da la mínima distancia entre las .rectas que se

cruzan mediante este procedimiento, se hace pasar por una de las rectas,

un plano paralelo a la otra recta. La distancia existente entre la recta y el

piano paralelo trazado, es la minina distancia entre las dos rectas que se

cruzan.

Aplicación:

Encontrar la mínima distancia entre las rectas que se cruzan ab y cd

mediante el método da los planos.

Procedimiento:

Por la recta cd hacemos pasar un plano paralelo a la recta ab: (el

plano es cde).

Mediante un cambio de plano frontal, transfórmanos el plano cde en

normal. Se halla la nueva proyección respectiva de la recta ab.


En el nuevo sistema H-F’ la distancia existente entre las proyecciones

frontales cF,dF,eF, del plano y aF, bF, de la recta representa el

segmento de mínima distancia. Ver Fig. 8

bH'

nH'

HF

bH

aH

bF

aF

cH

cF

F'H

dH

eH

dF

eF

eF'cF'

dF'

bF'aF'

Nota: También puede resolverse al problema transformando la recta en

una posición de punta normal (primer método) o transformando el plano

auxiliar a uno de canto vertical (segundo método). En ambos casos el

procedimiento seguido es análogo.

SEGMENTOS DE MÍNIMAS DISTANCIA


Conceptos Generales

Entre dos rectas, cualesquiera que se crucen, o entre rectas o planos, o

entre planos y planos siempre existe la posibilidad de encontrar entre ellas

ciertas distancias que cumplan con ciertas condiciones necesarias a

nosotros para la resolución de problemas

Pero hay veces en las que solo se necesitan el valor en si de dicha distancia,

sino que no es exigible tener que determinar el segmento representativo de

la distancia buscada.

Así por ejemplo, para aclarar conceptos, supondremos que tenemos dos

rectas ab y cd que se cruzan; cabe entonces plantear dos necesidades

Determinar el valor de la mínima distancia entre dos dichas líneas o rectas

Determinar el segmento que representa esa misma distancia

En el primer caso, sencillamente nos limitamos encontrar mediante el

ejemplo de vistas auxiliares cual es el valor de esas mínimas distancias

entre dos rectas dadas

En el segundo caso, que es casi completo, ya no solamente nos limitamos a

determinar la mínima distancia, sino que tenemos que hallar un segmento

de recta cuyos extremos se encuentren en las rectas dadas y cuyo valor

viene a ser también el de mínima distancia.

Perpendicular Común Entre Dos Rectas Que Se Cruzan

Concepto general

Supongamos que tengamos dos rectas cualesquiera que se cruzan tal como


ab y cd

m3

m2

m1n3

n2

n1

b

a

d

c

l3

l2

l1 a

d

m

n90º

90º

Tomemos en las rectas ab y cd respectivamente, los puntos m1 y n1 cuya

longitud vienes a ser L1

En igual forma podemos tomar en el. Mismo orden de rectas:

-los puntos m2 y n2 cuya longitud tiene el valor de L2

-los puntos m3 y n3 cuya longitud tiene el valor de L3

Así sucesivamente, podemos repetir esta operación todas las veces que

deseemos, y en todas ellas evidentemente se va a tener:

L1 ≠ L2 ≠ L3 ≠ L4 ≠ L5…………………………. ≠ Ln

Esto nos hace pensar que de todas esas longitudes Ln, forzosamente

existirá, una que sea la mayor de todas .a esa longitud es la que

llamaremos perpendicular común o segmentos de mínima distancias entre

dos rectas que se cruzan

Las características de esta perpendicular común, es que ella es

perpendicular simultáneamente a las dos rectas que se cruzan ya demás se


apoya en ellas.

m3

n3

n2

n1

b

d

c

l3

l2

b

d

a

d

m

n90º

90º

Perpendicularcomún: gP

PRIMER CASO

Determinar la perpendicular común entre las dos rectas ab y cd que se

cruzan, siendo las dos rectas paralelas al plano frontal de proyección

aH

aF

cF

cF

dF aF

mFnF

bF

cHnH

dH

aHmHbH

FH

Análisis:

Como las dos rectas ab y cd son paralelas al plano frontal de proyección, o

sea una recta de punta normal y entonces su proyección frontal es un


punto. Conociendo ya su característica de la perpendicular común, podemos

entonces encontrarla en el depurado

Procedimiento:

Donde las proyecciones frontales aFbF y cFdF de las rectas se corten,

se encontraran las proyecciones frontales de los puntos mF y nF que

pertenecen ala perpendicular común.

Consideremos que el punto m se encuentra en la recta ab y que el

punto n en la recta cd

Llevando líneas de referencia hasta cortar a la proyecciones

horizontales de las rectas, encontraremos mH y nH

La perpendicular común es el segmento mn que cumple con las

condiciones necesarias

SEGUNDO CASO

Encontrar la perpendicular común a las rectas ab y cd que se cruzan, siendo

las dos rectas paralelas al plano horizontal de proyección


dF

mFnF

aF cF

nH

aH

sFtF

sHtH

bH

dH

aH

cH

bFaF

dFcF

cF

aF

mFnF

cHnH

aHmH

HF

HF

Análisis:

Como las rectas dadas son perpendiculares al plano horizontal de

proyección, significa esto que una recta perpendicular a dicho plano

horizontal y por lo tanto será una recta de punta vertical’ y por ende , su

proyección horizontal será un punto. Esta propiedad nos permite explicar el

procedimiento seguido

Procedimiento:

Donde las proyecciones horizontales aHbH y cHdH de las retas se

corten, hallaremos las proyecciones horizontales de los puntos sH y

tH de la perpendicular común

Consideremos que el punto s se encuentra en la recta ab y que el

punto t esta en la recta cd

Trazamos una referencia hasta cortar a la proyecciones frontales de

las rectas, se encontraran sF y tF


La perpendicular común hallada es el segmento st

TERCER CASO:

Determinación de la perpendicular común a dos rectas ab y cd que se

cruzan, cuando una de ellas es perpendicular al plano horizontal de

proyección.

En este caso supondremos la recta ab cualesquiera y la recta cd que es

perpendicular al plano horizontal.

vF

zFsFtF

mF

sHmH

zHvH

tH

dF

mFnF

bF

aF cF

mHcHdH

nH

bH

aH

sFtF

sHtH

bH

dH

bF

dF

HF

HF

Análisis:

Consideremos que la perpendicular común buscada es la recta mn: el

punto m en la recta cd y el punto n en la recta ab

Como la recta mn es perpendicular a la recta cd y esta es una recta

vertical, quiere decir que mn deberá ser paralela al plano horizontal


de proyección. Esto esto quiere decir, que el segmento mn severa en

verdadera magnitud. Habiendo comprendido perfectamente todas

estas razones, podemos hacer reseña para ver como encontraremos

las proyecciones de la perpendicular común

Procedimiento:

Como el punto m pertenece la recta cd (que es vertical), entonces

mH se encuentra confundido con la proyección cHdH.

Siendo mn perpendicular a la recta ab y paralela al plano horizontal

de proyección, podemos trazar por mH una perpendicular a la

proyección aHbH y donde corte, quedara determinado nH (puesto

que el punto n pertenece a la recta ab)

Con una referencia trazada por nH hasta la proyección frontal aFbF

quedara definido nF

Como hemos visto anteriormente que mn es una horizontal por nF

trazaremos paralelas al eje H-F, donde corta a cFdF quedara ubicado

mF

En esta forma quedara definida las dos proyecciones de la

perpendicular común mn a las dos rectas dadas

CUARTO CASO

Trazar la perpendicular comuna dos rectas que se cruzan mn y st, siendo

una de ellas perpendicular al plano frontal de proyección. Consideremos que

la recta mn es de posición cualquiera y que la recta st es perpendicular al

plano frontal de proyección


vF

zFsFtF

nF

mF

sHmH

zHvH

nH

tH

dF

mFnF

bF

cF

mHcHdH

nH

bH

HF

Análisis:

En forma análoga a cuando vimos el caso de que una de las rectas dadas

sea perpendicular al plano horizontal de proyección, podemos resumir el

problema a los siguientes pasos:

La perpendicular común como es perpendicular a una recta de punta

normal, deberá ser una recta paralela al plano frontal de proyección

(una frontal)

Llamemos a la perpendicular común rectas vz: punto v en recta mn y

el punto z en recta st

La perpendicular común se vera en verdadera magnitud en la

proyección frontal

Procedimiento:

Si z pertenece a la recta st (que es una normal) se tendrá que zF se

confunde con sFtF

Como vz es perpendicular a la recta mn paralela al plano frontal de


proyección, por zF trazamos una perpendicular a mFnF y donde la

corte estará ubicado vF (sabemos que v pertenece a la recta mn)

Con una referencia hasta mHnH situados vH

Por vH trazamos una paralela al eje H-F y donde corte a la proyección

sHtH se encantara zH

con esto queda completamente determinado las dos proyecciones de

la perpendicular común vHzH y vFzF

QUINTO CASO: Método General De Las Rectas:

Encontrar la perpendicular común a dos rectas cualesquiera ab y cd


H''F'

mH'' dH'' cH''aH''

nH''

bH''bF'

mF'

nF'

aF'

cF'

HF`

FH

cF

cH

mH

dH

bH

nH

aH

mF

nF

dF

aF dF'

Procedimiento:

Se transforma una de las rectas o perpendicular a uno de los planos

de proyección (de punto vertical o normal). Y se encuentra las nuevas

proyecciones de la otra recta.

En el nuevo sistema de planos de proyección, se determina la

perpendicular común pedida (aplicando el tercer o cuarto caso).

Obteniendo así los puntos determinantes de la perpendicular común,

los regresamos al sistema original de planos de proyección y queda

solucionado el problema.

Depurado:

Se ha transformado la recta cd a una de punta vertical obteniendo

cH dH un punto y la nueva proyección de la otra recta ab


En este sistema F’H determinados las proyecciones horizontal y

frontal de la perpendicular común mn (aplicar el procedimiento del

tercer caso).

Trazando referencias perpendiculares al eje H-F por las proyecciones

frontales nP y nF obtendremos mH y nH

Referencias finales perpendiculares al eje de H-F y tenemos nF y mF.

En esta forma queda completamente determinado las proyecciones

de la perpendicular común buscada.

SEXTO CASO: Método Del Plano:

Determinaron de la perpendicular común a las rectas ab y cd

Procedimiento:

Mediante dos cambio de planos, transformamos las rectas dadas en

paralelas a uno de los planos de proyección (se pueden transformar a

frontales u horizontales) en forma simultanea

En este nuevo sistema de planos de proyección, se determina

directamente la perpendicular común (podemos aplicar los métodos

del primer o segundo caso)

Al haber obtenido ya los puntos que determinan la perpendicular

común, regresamos al sistema original de planos de proyección para

dar por solucionado el problema

Depurado:

Mediante cambio de planos frontal primero y cambio del plano

horizontal después hemos transformad las rectas ab y cd en

horizontales (paralelas al plano horizontal de proyección)


Como las dos rectas son paralelas al plano horizontal de proyección,

determinamos en este caso nuevo sistema F’-H’’ las proyecciones de

la perpendicular común: segmento st

En seguida, por la proyecciones tF’ y sF’ trazamos referencias

perpendiculares al eje al eje H-F’ para obtener tH y sH

Finalmente trazamos líneas de referencias perpendiculares al eje H-F

para determinar tF y sF

La perpendicular común a las rectas ab y cd es elñ segmento st

2-b: Segmento Mínimo Horizontal Entre Dos Rectas Que Se Cruzan:

Generalidades: Consideremos dos rectas ab y cd que se cruzan y el plano

H. existen infinidad de rectas que se apoyan en las rectas dadas y que sean

paralelas al plano H. Todas ellas tendrán un cierto valor como longitud.

cHbHnH

n''H

n'''H

mH

m''H

m'''H

dH

d

n'H

m'H

a

aH

b c

m'

m'''

m''

m

n

n''

n'

n'''

H

Dentro de todos estos segmentos horizontales que se pueden determinar

dentro de las rectas dadas, lógicamente ha de existir uno, cuya longitud sea

la menor de todas. Veamos entonces como podemos definirla.

Aplicación: Determina el segmento mínimo horizontal entre dos rectas ab y

cd que se cruzan.


Procedimiento seguido:

Primeramente mediante un cambio del plano frontal, se hace que las

proyecciones frontales de las rectas ab y cd sean paralelas.

Consideremos que el segmento buscado sea el mn. Como mn debe

ser horizontal, su proyección frontal debe ser paralela al eje H-F’ y

entonces mF’nF’ debe estar comprendida entre las proyecciones

frontales de las dos rectas y su verdadera magnitud deberá verse en

proyección horizontal.

Según esto, quiere decir que debemos buscar una posición de mF’nF’

cuya longitud sea la más corta. Esta posición buscada nos dará

evidentemente cuando mHnH//H-F’; o sea que los alejamientos de m y

n según el eje H-F’ deberán ser iguales.

Por lo tanto, efectuaremos un nuevo Cambio de Planos, esta vez del

plano horizontal de proyección, de modo que el nuevo eje H-F’ sea

perpendicular al eje anterior H-F’.

Las proyecciones horizontales de los puntos m y n para que tengan

igual alejamiento, se encontrarán en la intersección de bH’’aH’’ y

cH’’dH’’; o sea que en esta forma encontramos las proyecciones mH’’ y

nH’’.

Con una referencia perpendicular al eje H’’-F’’ hasta cortar a las

proyecciones frontales respectivas de las rectas se obtiene mF’ y nF’.

Líneas de referencia perpendiculares al eje H-F’ para terminar mH y

nH. A continuación aplicando el procedimiento general, debemos

obtener mF y nF.

Es importante tener en cuenta que este trabajo debe hacerse con

mucha precisión, para obtener las proyecciones de la perpendicular

común con sus proyecciones paralelas a sus respectivos ejes en cada

cambio de planos efectuados.

2-c: Segmento Mínimo De Pendiente O Gradiente Dada Entre Dos

Rectas Que Se Cruzan:

Así como hemos vito que existe un segmento horizontal de longitud

mínima entre dos rectas que se cruzan, también existe un Segmento

Mínimo, pero con una inclinación dada, y esta inclinación puede ser dado

en valores de ángulos o en porcentaje. Veamos entonces, como podemos

resolver este tipo de problema.


2-d: Segmento mínimo de pendiente o gradiente dada entre un

punto y un plano:

Se da un plano abc y un punto cualquiera p exterior a él. Determinar el

segmento más corto entre el punto y el plano y que tenga una pendiente o

gradiente dada.

aH''

αbF'aF'

sF'cF'

pF'

H

F'

FH

cH

cF

sF

bF

pF

aF

sH

pH

bH

aH

Auxiliar // H-F'

Procedimiento:

Mediante una vista auxiliar obtenida del cambio de plano frontal de

proyección, transformamos el plano en uno de canto normal.

Se determina las nuevas proyecciones del punto dado.

En el nuevo sistema H-F’, por el punto dado, trazamos una recta

frontal que haga con el plano horizontal, la pendiente o gradiente

dad.

Se determina la intersección de la recta trazada y el plano; punto que

le llamamos s.


El segmento pedido será ps.

Se encuentra las proyecciones del segmento hallado en el sistema H-

F.

2-e: Segmento Horizontal de longitud L dada, entre dos rectas que

se cruzan:

Encontrar las proyecciones de un segmento de longitud L determinada,

entre las rectas ab y cd que se cruzan. El segmento pedido debe ser

horizontal.

Circunferencia de radio L

Plano Auxiliar

L

d

a

n

c

k

z

m

x

b

Procedimiento:

Por el punto c hacemos pasar un plano auxiliar paralelo al plano

horizontal de proyección: plano P

Por el punto b pasamos la recta bw paralela a la recta cd

determinando el plano abw paralelo a la recta cd.

Hallamos la intersección del plano abw con el plano auxiliar P que

viene a ser la recta horizontal vz.

Con centro en el punto c y en el plano P, trazamos una circunferencia

cuyo radio será el valor dado L.

La circunferencia trazada cortará a la recta vz en el punto k. (si la

circunferencia corta a la recta, habrá dos soluciones; si es tangente,

una solución y si no la corta, no habrá ninguna solución.


Por el punto k trazamos la recta kx paralela a la recta cd, la que corta

en el punto m a la recta ab.

Los puntos k y c determinan el radio de la circunferencia igual a L.

Por el punto m trazamos cd en un segundo punto n.

El segmento horizontal de longitud L pedido es mn.

Depurado:

En el depurado, se ha seguido con la misma nomenclatura, el proceso

explicado en el espacio.

El alumno deberá ejecutarlo para comprobar su veracidad.

ESTUDIO DE ANGULOS EN GENERAL

1.- Angulo Formando Por Dos Líneas Que Se Cortan:

Consideremos dos rectas ab y cs que se cortan en el punto m. Estas dos

líneas formaran entre si, cuatro ángulos: dos ángulos iguales y opuestos por

el vértice.

Generalmente, para efectos prácticos, se acostumbra hallar uno de esos

ángulos formados y que generalmente es el agudo.


b

a

dc

F'H

bH

bF

cF

cH

aF

aH

FH

Procedimiento general:

Para determinar el ángulo que forman dos rectas que se cortan, basta con

encontrar la verdadera magnitud del plano que las contiene y en ella (en la

proyección correspondiente) se podrá leer el valor verdadero del ángulo

buscado.

Aplicación: Determinar el valor del ángulo formado por las rectas ab y bc

que se cortan en el punto b.

Procedimiento:

Las rectas ab y bc forman un plano.

Determinamos la verdadera magnitud del plano que contiene a las

rectas dadas: para eso lo transformamos en horizontal, aplicando

procedimientos ya conocidos.

En el nuevo sistema de proyección, como el plano dado ya es

paralelo al plano horizontal, en su proyección horizontal se vera en

verdadera magnitud el ángulo buscado.

Por lo tanto tendremos que:

Angulo entre ab y bc : cH’’bH’’aH’’ = Angulo

2.- Angulo Entre Dos Rectas Que Se Cruzan:


Para que dos rectas formen un determinado ángulo no necesariamente

deben cortarse; también dos rectas que se cruzan pueden formar un ángulo.

Aplicación: Determinar el ángulo formado por las rectas mn y st que se

cruzan en el espacio.

aH''

bH''

cH''

H''F'

cF'

aF'

bF'

F'H

bH

bF

cF

cH

aF

aH

FH


a.- Se tienen las rectas mn y st que se cruzan en el espacio.

b.- Por un punto cualquiera de una de las rectas, se traza una paralela a la

otra recta (en nuestro caso, por el punto n hemos trazado la recta nw // st).

c.- Determinamos el ángulo formado por las rectas que se cortan mn y nw

(aplicación método del caso 1).


t

sw

mn

sH

nH

tH

mH

HF

sF

tF

mF

nF

3.- Angulo Formado Entre Una Recta Y Un Plano:

Una recta cualquiera mn y un plano también cualquiera P siempre formaran

un ángulo, aun cuando estos dos elementos no tuviesen algún punto en

común.

En términos generales: el ángulo formado entre una recta y un plano

cualquiera P, es el formado por la recta y su proyección sobre dicho plano.

aH''

bH''

cH''

n

nP

mP

m

Ø

Ø


Para determinar el valor del ángulo formado entre una recta y un plano

podemos emplear cualquiera de estos dos métodos:

Metodo1: El De Las Vistas Auxiliares: Cambio De Planos:

Consideremos el plano P paralelo al plano horizontal de proyección y la

recta ab paralela al plano frontal de proyección. En dicho conjunto nosotros

podemos observar lo siguiente:

bF

aF

wF

w

ba

aH

bH

m ØF

Ø

a.- La recta ab forma el ángulo Φ con el plano F.

b.- El valor del ángulo que forma la recta ab con el plano P viene dado por el

ángulo que forman la recta ab con su proyección en el plano P que es aw.

c.- Como la recta ab es paralela al plano frontal de proyección, el valor del

ángulo Φ, también se vera en verdadera magnitud en proyección frontal o

sea: Φ = ΦF

d.- Ahora bien, el valor del ángulo ΦF viene dado por el que forman las

proyecciones aFbF y aFwF.

e.- Pero aFwF no viene a ser otra cosa que la proyección frontal del plano P.


De todo lo expuesto anteriormente, podemos deducir el procedimiento

general que debemos seguir para encontrar el ángulo que forma una recta y

un plano, mediante este método de las Vistas auxiliares.

Problema: Encontrar el valor del ángulo que forman la recta ab con el

plano mns.


Mediante dos cambios de planos, se transforma el plano dado a

uno que sea paralelo al plano frontal de proyección.

Con un tercer cambio de plano, se transforma la recta mn en una

que sea paralela al plano frontal de proyección.

En este sistema final, el valor del ángulo buscado, viene dado por

el que forman la proyección frontal del plano y la proyección

frontal de la recta.

Explicación del depurado:

a) Con un primer cambio de plano frontal de proyección, se transforma

el plano mns a uno de canto normal; también se encuentra la nueva

proyección frontal de la recta ab.

b) Mediante un segundo cambio de planos, esta vez del horizontal,

transformamos el plano de canto normal a su verdadera magnitud;

también se encuentra la nueva proyección horizontal de la recta ab.

c) Empleando un tercer cambio nuevamente del plano frontal de

proyección, se transforma la recta ab a frontal, obteniendo su nueva

proyección frontal del plano mns.

d) En este ultimo sistema, como la recta ab se encuentra en verdadera

magnitud y el plano mns viene a tener una vista de canto horizontal,

obtenemos la verdadera magnitud del ángulo Φ en la proyección

frontal.

Método 2: El Del Angulo Complementario:


Consideremos el plano P y la recta mn cuyo valor del angulo que forman

entre si, debemos hallar empleando el procedimiento que a continuación se

detalla.F

s

m

n

P

ß

Ø

Procedimiento general:

Por un punto cualquiera de la recta mn, se traza una recta tal

como ms que sea perpendicular al plano P.

Las rectas mn y ms forman un ángulo β que es complementario

del ángulo Φ buscado.

Se determina el valor del ángulo β mediante procedimiento

conocido (ángulo entre dos rectas que se cortan).

Encontrado el valor del ángulo β, se determina el valor de su

complemento, que será el ángulo Φ buscado.

Aplicación: Hallar el ángulo formado por la recta mn y el plano abc (Plano

P) empleando el método del ángulo complementario.


Angulo Complementario

Ø

ß

FH

aH

mH

bH

nH

cHsH

H F'

aF

cF

bF

mF

nFsF

sF'

mF'

nF'

H''F'

sH''

mH''

Angulo Øentre la recta y el planonH''

Procedimiento:

Por el punto m trazamos la recta ms perpendicular al plano abc.

Se halla el valor del ángulo que forman las rectas mn y ms, y en el

nuevo sistema de proyección, tenemos determinado el ángulo.

Gráficamente también, se halla el ángulo Φ buscado, que no es

sino el complemento del ángulo.

4.- Angulo Entre Dos Planos: Ángulos Diedros

Definición.- Cuando dos planos tales como P y Q se cortan, dividen al

espacio en cuadri-espacios. Cada uno de estos es lo que se llama ángulo

diedro. Los ángulos diedros son iguales dos a dos.


RF

i

P

F

Ø2Ø2

Ø

Ø1

W

P

Medida del Angulo Diedro.- La medida del ángulo diedro viene dado por la medida de su ángulo plano, y este se mide sobre un plano W que es perpendicular a la línea de intersección i de los dos planos forman que forman el ángulo.

Corolario: Cuando dos planos cualesquiera tienen una posición de canto la verdadera magnitud del ángulo que ellos forman, se ve en la proyección horizontal o en la proyección frontal. Siempre se considerara como valor del ángulo formado, el ángulo agudo.


i

ØQH

PH

Q

P

H

F

P

Ø

iSR

RF SF

F

H

FDeterminación del valor del Angulo de dos planos:Para determinar el valor del ángulo formado entre dos planos cualesquiera, podemos emplear los siguientes métodos:

Método 4-a: De Las Vistas Auxiliares:

PRIMER CASO: Conociendo la recta de intersección de los dos planos.Determinar el valor del ángulo que forman los planos abc y acm conociendo la recta de intersección ac de ambos


Verdadera Magnitud del angulo

Ø

mH''

aH''cH''

bH''

H'' F'

cF'

mF'bF'

aF'

F'H

bH

aH

cH

mH

aF

bF

cF

mF

HF

Procedimiento:

Mediante dos cambios de planos, transformamos la recta de intersección de los planos a uno que sea de punta vertical, de manera que en el nuevo sistema H’’-F’ la proyección aH’’cH’ sea un punto.

Se determinan las nuevas proyecciones horizontales de los planos, que como ya son de canto verticales, sus proyección aH’’bH’’cH’’ y aH’’cH’’mH’’ son rectas.

En el sistema final de proyección H’’-F’, el ángulo que forman las proyecciones horizontales de los planos, definen la verdadera magnitud del ángulo θ buscado.

SEGUNDO CASO: Cuando no conocemos la recta de intersección de los planos.

Generalidades: Si nosotros tenemos dos plano P y Q, de modo que el plano P es paralelo al plano horizontal de proyección, observamos lo siguiente:


Q

Ø

PF

QF

Ø

P

H

F W

a) Los dos planos son perpendiculares al plano frontal de proyección, por lo tanto, sus proyecciones frontales PF y QF son rectas que forman entre si el ángulo θ que es el buscado.

Aplicación: Encontrar el valor del ángulo diedro que forman los planos abc y mns.

Procedimiento: Mediante dos cambios de planos de proyección, transformamos el

plano mns a su verdadera magnitud (o sea paralelo al plano horizontal de proyección).

Completamos las proyección horizontal y frontal de los dos planos en el sistema H’’-F’.

Empleando un tercer cambio de plano, transformamos el plano abc en uno de canto normal, de manera que en el nuevo sistema H’’-F’’’ las proyecciones frontales de los dos planos sean dos rectas

El ángulo θ que forman las proyecciones frontales de los dos planos en este último sistema, es la verdadera magnitud del ángulo buscado. Se considera siempre como valor buscado, el ángulo agudo.


Ø

aH''

sH'' bH''

aF''

nF'' mF''

cF''

sF''

nH''

dH''

cH''

mH''

bF'

cF'nF'

aF'

dF'

bF

sF

mF

aFwFnF

mH

cH nH

wH

sH

aH

bH

H''F'''

H'' F'F' HsF'

HF

Método 4-b: Del Angulo Suplementario:Sean los planos P y Q cualesquiera. Determinar el valor del angulo formado entre ellos.

Procedimiento: Se toma un punto cualquiera tal como e. Por el punto e trazamos dos rectas perpendiculares a cada uno de

los planos dados. Las dos rectas trazadas, forman entre si, un ángulo β que es

suplementario del ángulo θ que forman los dos planos dados. Por lo tanto, conociendo la magnitud del ángulo β podemos

conocer fácilmente el valor del ángulo θ buscado.

Aplicación: Determinar el ángulo que forman entre si, los planos mns y vzw. Empleando el método del ángulo suplementario.

Procedimiento: Se toma un punto e cualquiera en el espacio. Por el punto e se traza la recta ew perpendicular al plano dado

mns. Por el punto e trazamos la recta et perpendicular al plano dado

vzw. Las dos perpendiculares et y ew determinan un plano etw cuyas

rectas forman el ángulo suplementario del buscado.


Mediante cambio de planos, hallamos la verdadera magnitud de este plano o sea que lo transformamos a una vista auxiliar paralela al plano frontal de proyección.

En el nuevo sistema de proyección H’-F’’, obtenemos el verdadero valor del ángulo β (formado por las proyecciones frontales tF’’eF’’ y wF’’eF’’ de las rectas te y we).

Con una construcción geométrica simple, determinamos el valor real del ángulo θ (suplemento de β), que es el que realmente están formando los planos dados.

e

t

wQ

H

ß

Ø

NOTA COMPLEMENTARIA: Estudio del Plano Bisector de un Diedro.Definición: Plano bisector de un diedro, es el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de las caras del Diedro.

BSPlano Bisect.

w

Ø/2

Ø/2


Forma de determinarlo.- Para determinar el plano bisector del ángulo diedro de dos planos, basta con conocer la intersección i de los planos y luego tomar un punto cualquiera tal como w y que sea equidistante de las caras del diedro. Este punto deberá definirse por sus dos proyecciones en el momento que se encuentra la verdadera magnitud del ángulo θ. Hay que tener presente, que para poder hallar el plano bisector, se tendrá que encontrar el valor del ángulo θ empleando solo los métodos descritos.El método 4-b solo se emplea cuando se desea conocer el valor del ángulo formado por dos planos.

Ejercicios de Aplicación


1. Rs es la mínima distancia horizontal entre ab y cd . la perpendicular

común a las rectas ab y cd tiene 200% de pendiente descendente de

ab a cd . hallar las proyecciones que faltan.

/ // /

/ /

///

///

HF

H

AH

BH

DH

CH

CFAF

DF

BF

RF`

SH

SF

AF` CF`

RH

RF

BF`DF`

VM

F`

SF`

RF`1 SF`1

Solución:

La mínima distancia horizontal (rs) es la paralela a la proyección F´

La proyección F´se construye un triangulo Rf´1 Sf´1 Tf´1, teniendo en

cuenta que TF´SF´tienen pendiente 200%.

Por AF´se traza paralela a RF´1TF´1 y sobre la linea de referencia de

RH RF´1 se halla RF´.

RFSF // RF´1´SF´1 ; AFBF//CFDF.

2. Hallar en la recta CD un punto cuya mínima distancia a la recta AB

sea de 1.5 cm


Solución:

ab es el eje de un cilindro recto de radio 1.5 cm.


cd se intersecta con el cilindro en x (2 soluciones).

Solución xy

3. Hallar las vistas auxiliares f´y h´ del tetraedro cuyas proyecciones se muestran en h y f.

HF

HF`

FH`

AH VH

CH

BH

BF`

VF`

AF`

CF`

AF

VF

CF BF

Solución:

Medimos los alejamientos de las proyecciones de las aristas a,b,c y v

en H y las llevamos a través de las líneas de referencia al plano FH´.


Realizamos el mismo proceso con las cotas para ubicar las

proyecciones de las aristas a,b,c y v en F.

4. Hallar la menor distancia del punto x a la recta ab.

HF

AF

RF

BF

XF

AH

RH

XH

BH

HF'

BF'

RF'

AF'

XF'

XH''

BH''RH''AH''

F' H''

Solución:

Se determina la vista donde la recta dada se proyecte en VM, en esta vista

se observara la perpendicularidad del punto a la recta ; en la vista

adyacente la recta se proyecta como punto y la distancia del punto a la

recta en VM vendria a ser la menor distancia.

5. Determinar las vistas auxiliares F´y Del sólido cuyas proyecciones de

muestran en H y F.


H

F

HF`

F`H`

AF HF

DF GF

BF EF

CF FF

AH DH

HH GH EH FH

BH CH

HF`

GF`

EF`

FF`

AF`

DF`

BF'

CF`

AH`BH`

CH` DH`EH`

FH`GH`

HH`

Solución:

De la proyecciones en H y F , deducimos que se trata de un prisma de

caras regulares.

En el plano F´la cara ABEH se proyecta paralela a H-F´, ubicando las

aristas por sus cotas.

De igual modo para hallar la proyección en H´ tomamos los

alejamientos del plano H-F´que trasferimos a este plano.

6. Encontrar en valor del angulo diedro que forman los planos ABC y BCD.


Solución:

Como la recta BC es paralela al plano frontal de proyección, mediante

una vistas auxiliar la transformamos a una posición de punta vertical

(cambiamos el plano horizontal).

Se determina las nuevas proyecciones horizontales de las rectas que

forman los planos.

Como los planos han sido convertidos a verticales, el ángulo buscado

se vera en su verdadera magnitud en la proyección horizontal del

nuevo sistema; y es 120° el ángulo hallado.

7. Hallar un plano jkl que pasando por la recta jl forme un ángulo de 60°

con el triangulo frontal PQR.


H

F

YH PH

JH

LH

QH RH

RFLF

JF

QF

YF

PF

KF

KF`

KH`KH

Solución:

Prolongamos LJ intersectando el plano PQR en Y; trazamos desde L el lugar

geométrico de las rectas que hagan 60° con PQR (que viene a ser un cono

cuyas generatrices tienen la inclinación de 60° con respecto a su base ) el

que se proyecta en el plano F según una circunferencia .

Como la recta buscada debe ser perpendicular a la línea de intersección

entre el plano PQR y el plano buscado, a partir de Y trazamos rectas

tangentes a la directriz en la base del cono, obteniéndose K´y K que son los

puntos buscados. JLK es el plano contenido en LYK que pasando por JL forma

un ángulo de 60° con el plano frontal PQR.


Bibliografía

- www.google.com

- Héctor Chumbiray Calderón

Geometría Descriptiva

- Geometría Descriptiva

Nakamura

- Biblioteca de Consulta Microsoft ® Encarta ® 2005. © 1993-2004

Microsoft Corporation.

COMENTARIOS DEL TRABAJO

1. Alumno: Juan Ramón Campos Guerra


http://www.google.com/

Los planos auxiliares nos ayudan a hacer más fácil el desarrollo de la

mayoría de los ejercicios dados en todo el curso. Solamente tenemos que

tener presente las características sobre el cambio de planos y las diferentes

formas como de canto o hacerlas paralelas a los ejes en el caso de rectas

hará que en consecuencia nos salga la misma en verdadera magnitud.

Sobre distancias tenemos que tener presente que entre recta y punto ,

entre rectas (que se cortan o sean paralelas) o entre planos tenemos que

hallar una recta que una a estos con una línea perpendicular a ambas, con

distintos métodos como llevarlos de punta o de canto .pero hay que tener

presente que entre dos rectas cualquiera no e factible de encontrar esa

perpendicular común, sino que también puede encontrase una mínima

distancia para ciertos casos como en perpendicular común entre dos rectas

que se cruzan , segmento mínimo horizontal entre rectas que se cruzan, etc

y finalmente sobre ángulos tenemos que tener presente que para sacar los

ángulos requeridos por el problema debemos tener sea las rectas o los

plano en su verdadera magnitud para eso hacemos cambio de planos.

2. Alumna: Hitha Huamán Gonzáles

Este trabajo está básicamente enfocado en un amplio tema de la geometría

descriptiva “vistas auxiliares, distancias, ángulos”, exponiendo de forma

teórico-practico, los conceptos del tema dado y teniendo en cuenta los

conceptos básicos estudiados anteriormente y relacionados con: las

longitudes o magnitudes verdaderas, las vistas de punta de las rectas, las

vistas de canto de los planos, etc.

Estamos en condiciones de combinar estos conceptos y aplicarlos de

manera que nos permitan resolver problemas espaciales relacionados con la

medición real de distancias, incluyendo las mediciones en vistas auxiliares y

los de ángulos.

3. Alumno: Juan Fernando Ascencio Ramos

Me parece que el presente trabajo aborda temas muy amplios, tanto en su

parte teórica como en su parte aplicativa, uno de ellos es el de vistas

auxiliares (cambio de planos), que es una gran herramienta para poder

realizar diferentes ejercicios, que se podrían realizar de diversas maneras,


pero que sin embargo con la ayuda del cambio de plano, nos hacen mas

fácil el desarrollo del problema, ya que nos servirá para llevar a su

verdadera magnitud diferentes elementos, es decir que estarán en una

posición adecuada y correcta para hallar lo que se nos pida, sin que afecte

el desarrollo del problema.

En cuanto al tema de distancias es valido rescatar que nos sirve de manera

muy sencilla para medir la longitud, entre dos puntos, rectas, etc. Para lo

cual es necesario utilizar el tema de cambio de planos, para así obtener

también mínimas distancias y poder hacer una correcta medición.

En cuanto al tema de ángulos, es necesario tener en conocimiento las vistas

auxiliares, ya que en algunos problemas se nos presentan ángulos que no

están en sus verdaderas magnitudes, y para medirlos hay que usar

diferentes procedimientos, y uno de los principales, es el de cambio de

planos.

Para finalizar, en este trabajo destaco la suma importancia de las vistas

auxiliares en la geometría descriptiva y en el desarrollo del curso.

4. Alumna: Stephanie Reyes Wong

Me parece que el desarrollo del presente trabajo es amplio y completo

tratando de explicar de manera explicita, sencilla, resumida y clara los 3

temas de importancia vistas auxiliares, distancia y ángulos. Cada uno de

estos temas tiene una gran importancia en el desarrollo y estudio de la

geometría descriptiva.


Si hablamos de la importancia de vistas auxiliares debemos resaltar que es

uno de los procedimientos para lograr que un objeto se halle en posición

favorable al observar la figura, efectuando cambio de planos en forma

sucesiva, según las necesidades del caso manteniendo fijo el objeto (punto,

recta o plano) y así verlo en su verdadera magnitud.

Los cambios de planos prestan una gran utilidad en la solución de

numerosos problemas de carácter general, ya que como dije anteriormente

ayudan a determinar verdaderas magnitudes, posiciones que son favorables

para la interpretación de figuras.

Utilizando siempre como base en todos los casos los conocimientos

recopilados y estudiados anteriormente

Cuando hablamos de distancias debemos tener presente que en todos los

casos (entre dos puntos, un punto y una recta, entre dos rectas paralelas y

entre dos rectas que se cruzan) lo destacable es que para poder medir una

distancia en todos los casos es necesario efectuar lo aprendido

anteriormente: la aplicación de cambio de planos hasta llegar a determinar

la verdadera magnitud y en algunos casos es necesario trazar

perpendicularidades para poder obtener la distancia buscada

Si hablamos de ángulos debemos destacar la importancia que tienen los

temas anteriores para el desarrollo de este tema, ya que insistimos en

aplicar cambio de planos para encontrar una posición favorable y lograr

verlo en su verdadera magnitud y así poder determinar el ángulo buscado

Como vamos viendo cada tema de la geometría descriptiva va en cadena

cada una va abriendo paso para el estudio de otros temas y métodos mas

complejos, y darnos los conocimientos necesarios para el desarrollo de

múltiples y variados ejercicios

5. Alumno: Ramiro Obando Díaz

Bueno el tema de vistas auxiliares para mi es muy importante puesto a que

es una herramienta que nos facilita mucho el trabajo en varios aspectos de

la geometría descriptiva, es el medio mas sencillo para llegar a un fin, que

por otros métodos seria muy complicado.


Nos sirve por ejemplo para poder hallar posiciones especiales de rectas y

planos, para hallar la verdadera magnitud de rectas y planos, para hallar si

una recta es perpendicular, paralela con otra o con un plano, etc. Aunque a

veces el cambio de planos se hace muy tedioso cuando los cambio son

demasiados, pero básicamente es una herramienta muy útil.

Bueno el estudio de ángulos se basa básicamente para el estudio de la

aplicación de la ingeniería en el campo, como sabemos cuando ingeniero

trabaja lo hace en terrenos que no siempre son planos si no que tienes

curvaturas que forman ángulos.

Por ese motivo es que el estudio de los ángulos entre rectas entre planos,

es muy importante, ya que los métodos que son estudiados en este capitulo

van a hacer mas fácil el estudio de los ángulo en la realidad. Aquí aplicamos

el tema de Vistas auxiliares que como mencione en el anterior comentario

nos sirve como una herramienta que nos facilita mucho mas el desarrollo de

los problemas que se presentan.

Como sabemos el concepto de distancia es la longitud del segmento o

intervalo entre dos puntos, pues el desarrollo de este tema nos sirve

específicamente para eso para hallar la longitud del segmento que uno dos

puntos.

En la aplicación se usa para hallar la distancia entre dos rectas en sus

diferentes posiciones relativas como rectas que se cruzan, rectas paralelas

o rectas que se cortan.


vistas auxiliares, distancias y angulos1.doc

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