VII. Quelques méthodes d'interprétation et de transformations rapides des anomalies

VII.1 Problématique du prolongement, de la dérivation et de la réduction des champs de potentiel

VII.2 Rappels sur le domaine de Fourier à 1 et 2 variables

VII.3 Expression des principales transformations des champs de potentiel dans le domaine de Fourier

VII.4 Opérateurs de prolongement et de dérivation

VII.5 Réduction au pôle et à l’équateur, et signaux analytiques

VII.6 Transformation en couche équivalente

MODULE - METHODES POTENTIELLES

VII.4 Expressions de l’opérateur de prolongement vers le haut

Expressions via domaine de Fourier(passant d’un plan à l’altitude a vers un plan à l’altitude a+h) :

uhkhh eekP 2)(ˆ

Interprétation 2D (données sur un profil, TF à 1D)

uk 2

Interprétation 3D (données sur une carte, TF à 2D)

2222 vuk 2222)(ˆ vuhhkh

h eeekP

avec

avec

),(),( yxfPyxf ahha 2/32222

1),(

hyx

hyxPh

Idem : le prolongement de la carte fa pour obtenir la carte fa+h s’obtient par un produit de convolution

')'()'()()( dxxxPxfxfPxf haahha

NB : le prolongement du profil fa pour obtenir le profil fa+h s’obtient par un produit de convolution

)(

1)2(ˆ)(

222

hx

hdueuPxP uhi

hh

)()(ˆ)( kFkPkF ahha

SR

dSrn

Un

U

rdr

r

UU

11

4

1

4

1 32

Superposition de 3 termes sources :- source volumique monopolaire, proportionnelle à la divergence de U- source surfacique monopolaire, proportionnelle au gradient de U- source surfacique dipolaire, proportionnelle à U

),()(.,.,)()(

),,(

2),,( 2/3222

yxzUPddhyx

zUhhzyxU h

VII.4 Expressions de l’opérateur de prolongement vers le haut (passant d’un plan à l’altitude a=-z vers un plan à l’altitude a+h=-z+h

Expressions via identités de Green :

• Seconde Identité de Green (U et V de classe C2 sur un domaine assez régulier R, dont S est la surface fermée avec sa normale n) :

• Troisième Identité de Green (U de classe C2 sur un domaine assez régulier R, dont S est la surface fermée avec sa normale n) :

SR

dSn

UV

n

VUrdUVVU 322

'

1

rV

S

dSrrn

UU'

11

4

1

Ref.: Richard J. Blakely 1996, Cambridge Univ. Press. (p. 38-40)

SR

dSrn

Un

U

rdr

r

UU

11

4

1

4

1 32

Superposition de 3 termes sources :- source volumique monopolaire, proportionnelle à la divergence de U- source surfacique monopolaire, proportionnelle au gradient de U- source surfacique dipolaire, proportionnelle à U

'

1)',','(2)',','(

S

s dSrn

JJU

VII.4 Expressions de l’opérateur de prolongement vers le haut (cas de surfaces quelconques)

Expressions via sources surfaciques :

• Troisième Identité de Green (U de classe C2 sur un domaine assez régulier R, dont S est la surface fermée avec sa normale n) :

S

dSrn

JU1

Source surfacique dipolaire :

où le terme source surfacique J vaut -U/2 si la surface est horizontale (ordre zero),il faut lui ajouter la contribution du gradient de U si la surface est irrégulière (ordres >0) :

Ref.: Bhattacharyya & Chan 1977, Geophysics 42, 1411; Ciminale & Loddo 1989, Computer&Geosciences 15, 889

2

),,(),,(0

SUJ

'

001

1

2

1)',','()',','(

S

dSrn

JJJ

VII.4 Expressions de l’opérateur de prolongement vers le haut

Application :

Ref.: Paul et al. 1966, Geophysics 31, 940

Une ligne d’iso-potentiel est droite

Partie inférieure des iso-potentiel est droite

Intersection = point singulier des sources (coin, et segment supérieur d’un bord)

Source = Marche inclinée

VII.4 Expressions de l’opérateur de prolongement vertical

Application :

Fig.: Thomas Ridsdill-Smith, PhD Sept. 2000, Univ. Western Australia, pp. 179

Uncorrected aeromagnetic data from the Edge Hills survey. The northern portion of the survey was drape flown whereas the southern portion was flown at a constant barometric altitude. Histogram equalized shaded image(Inc=30°, Az=30°, N up, cell-size 250m)

VII.5 Opérateurs de réduction au pôle et signaux analytiques

 

• Potentiel Newtonien et anomalie gravimétrique dans le domaine de Fourier et dans le domaine spatial :

  

Le long d’un profil (source à 2D = ligne ou cylindre, de masse linéique ) :

Sur une carte (source à 3D = point ou sphère, de masse , en kg) :       

  

)log()log(2)( 22 zxrrU

2/3222

1)(

zyx

z

rzrg z

2/1222 )(

11)(

zyxrrU

222)log(2)(

zx

zr

zrg z

k

e zk

2

k

e zk

2

zke2

zke2

TF

uvukDD 2)(2

2

1/222

3

où

/kg/mGalm1067,6/kg/sm1067,6 262311

 • Potentiel magnétique et anomalie magnétique du champ total dans le domaine

de Fourier et dans le domaine spatial :   Le long d’un profil (source à 2D = ligne ou cylindre de dipôles d’aimantation

linéique )

Sur une carte (source à 3D = point ou sphère, de dipôles d’aimantation , en A/m ) :    

      

zkfmm ekmC 2

)log('.21

.)(23

rmCr

mCrV mD

mD

mmm ˆ

VfrT .ˆ)(

zkmm emC 2TF

)sgn(2

kimmk

kmkmim xz

D

yyxxzm

)sgn(2

kiffk

kfkfif xz

D

yyxxzf

mmm ˆ''

où

Réduction au pôle = Passage de quelconque à0)ˆ,ˆ( fm zfm ˆˆˆ 11

H/m104

70

mC

VII.5 Opérateurs de réduction au pôle et signaux analytiques

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0°

15°

30°

45°

60°

75°

90°

VII.5 Opérateurs de réduction au pôle et signaux analytiques

2

)(

yx kkik

k

Anomalie à l’équateur (I=0°)

Anomalie au pôle (I=90°)

où ),,(ˆˆ 00 fm

VII.5 Opératieurs de réduction au pôle et signaux analytiques

Inclinaisons I et Inclinaisons Apparentes I’ pour des profils magnétiques

anomaliel' de axel' à laireperpendicu profildu azimuth avec cos

'

tgitgi

 • Enveloppe du signal analytique déterminé à partir de dérivations dans le

domaine de Fourier ou dans le domaine spatial :   Le long d’un profil (source à 2D = ligne ou cylindre de dipôles d’aimantation

linéique )

Sur une carte (source à 3D = point ou sphère, de dipôles d’aimantation , en A/m ) :    

      

zkfmm ekmC 2

mmm ˆ

rmfCrT m

1..ˆ)( TF

mmm ˆ''

Signal analytique = Dérivation et ajout d’une partie imaginaire utilisant la transformée de Hilbert

Signal Analytique

zrTyrTxrTrT zyx ˆ)(ˆ)(ˆ)()(

zrTiyrTxrTrTA zyxD

ˆ)(ˆ)(ˆ)()(ˆ3

)()()(2

rTirTrTa zxD

zk

fmm ekmC 2 )sgn(1 kki

k

ykxkzki yx ˆˆˆ

VII.5 Opérateurs de réduction au pôle et signaux analytiques

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

VII.5 Opérateurs de réduction au pôle et signaux analytiques

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Enveloppe du Signal analytique sans dérivation

Enveloppe du Signal analytique avec dérivation