f- 150 cm -f---r---ll ¡ �t--��,�

8-21 Un entramado simple de dos barras está cargado y apo­yado como se indica en la figura PS-21. Determinar las fuerzasresistentes y el momento interiores que transmite la sección aa

de la barra ABC.

10 kN

Figura P8-19

a

Cable (

·�- e , •. --;;, .. ···:t.'.

� 45 cm-4-40 cm_¡_ 50 cm�.

1000 N! figura P8-21

10cm

. &·20* Un entramado simple de tres barras está cargado y apo­'yácto como se indica en la figura P8-20. Determinar las fuerzas r.esistentes y el momento interiores que transmite la

; ISección bb de la barra DEF.

8-22 Un entramado simple de tres barras está cargado y apo­yado como se indica en la figura P8-22. Determinar las fuerzasresistentes y el momento interiores que transmite la

,·,�·e:

e

Cable

(

400mm

Figura P8-20

1500 N

L1oomm

a. Sección aa de la barra DF.

b. Sección bb de la barra ABCD.

�400mm4 I O a

200 mm a

-�-----J.. - • . � .... &-? -"

' 'F

.J!�i � 1

" 1 l I JJ. 5kN; SkN A

' 1 ' 1 1

�400 mm 1

, ,¡, 400 mm__,¡ 150 mm 200mm

Figura P8-22

FUERZAS CORTANTES Y MOMENTOS HECT ORES EN VIGAS

iembro estructural o un componente de máquina destinado principal­. �nte a soportar fuerzas que se ejerzan perpendicularmente al eje del miem­

. Ét.�.- recibe el nomb;re de viga. La diferencia principal entre una viga y un"'rrt{�mbro cargado axialmente o un árbol sometido a torsión (apartado 8.2) es la

· -.cción de la carga aplicada. En general, la longitud de la viga es grande fren­fas dimensiones de su sección recta. A la línea oue une los centroides de las'ones rectas de una viga se le suele dar el nombre de eje centroidal o longi­. · al de la viga. Una viga puede ser recta o curva, segun sea la forma de suentroidal. En la construcción de edificios, muchas vigas se hallan en posi-

339

. ,\.•

�1 _'f'RZ�,;;; !i\, TERIORES F'J 'viiE:\\BR.OS ¡::;·¡ R: 'C Ti_; RI\L ES

(a)

(b)

M

R�(t.; >. -4kisc

(e)

Figura 8-8

(a)

No uniforme

(b)

e,

(e)

figura 8-9

ción horizontal, si bien también se encuentran vigas verticales e inclinadas en otras aplicaciones. La principal deformación que sufre una viga es por flexión. Algunas vigas están cargadas puramente a flexión, mientras que otras se ha­llan sometidas a cargas flectoras en combinación con cargas axiales, cortantes y torsoras. La mayoría de los miembros multifuerza del apartado 8.3 eran vigas de este tipo. Los miembros esbeltos sometidos a cargas axiales compresivas se denominan columnas. Los miembros esbeltos sometidos a cargas axiales com­presivas combinadas con cargas que originan flexión reciben el nombre de co­lumnas flectantes. En este apartado, sólo se van a considerar vigas esbeltas con cargas transversales en un plano (llamado plano de flexión). Tales cargas sólo originarán una fuerza cortante V, y un momento flector M, que transmitirá una sección recta cualquiera de la viga.

Antes de proceder al análisis de la fuerza cortante Vr y del momento flector Mr que transmiten las secciones de la viga, hay que decir unas palabras acerca de los apoyos de las vigas, las cargas de las mismas y su clasificación.

Los tres tipos de apoyo que se utilizan corrientemente para las vigas son: los apoyos por rodillo, los apoyos por pasador y los apoyos fijos.

l. El apoyo por rodillo (fig. 8-Sa) resiste el movimiento de la viga en la direc­ción perpendicular a su eje. Luego, la reacción en un apoyo de rodillo deuna viga horizontal es una fuerza vertical. La viga puede girar librementeen torno al apoyo de rodillo.

2. El apoyo por pasador (v. fig. 8-8b) resiste el movimiento de la viga en cual­quier dirección del plano de carga. La reacción del apoyo de pasador deuna viga horizontal se suele representar mediante las componentes hori­zontal y vertical de la fuerza. La viga puede girar libremente en torno alapoyo de pasador.

3. El apoyo fijo (v. fig. 8-Sc) impide tanto la rotación de la viga como su mo­vimiento en cualquier dirección del plano de carga. La reacción del apoyofijo puede representarse mediante dos componentes de fuerza y un mo­mento.

Las vigas se clasifican según el tipo de carga que soportan. Las vigas pue-

"

den estar sometidas a cargas concentradas, cargas distribuidas, o a pares (mo-mentas concentrados) que actúen solos o en una combinación cualquiera. }

L

2,

3.

Las cargas aplicadas a una porción muy-pequeña de la longitud de una viga se llaman cargas concentradas. Una carga concentrada (v. fig. 8-9a)

puede idealizarse mediante una fuerza discreta que se ejerce sobre un punto concreto de la viga. Las cargas que se ejercen a lo largo de una longitud finita de viga se deno-

. minan cargas distribuidas. La distribución (v. fig. 8-9b) puede ser unifor­me o no. El peso de la viga constituye un ejemplo de carga distribuida uniformemente. El momento concentrado (v. fig. 8-9c) es un par creado por dos fuerzas de igual módulo y dirección pero de sentidos opuestos aplicadas a la viga en una sección particular. En la figura 8-9c se muestran las dos formas de re­presentación del par.

Las vigas también se clasifican atendiendo al tipo de apoyo que utilizan.

·¡. La viga apoyada en pasadores, rodillos o superficies lisas en sus extremos(v. fig. 8-lOa) se dice que está simplemente apoyada.

·.,!

·�

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)

a ¡) n

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le

2-

)S

i

-!

! i

f

2. La viga simplemente apoyada que se prolongue más allá de sus apoyos enuno o ambos extremos (v. fig. 8-lOb) se dice que es una viga sobresaliente.

3. La viga que está fija por un extremo y libre por el otro (v. fig. 8-lOc) se diceque es una viga en voladizo o ménsula.

4. La viga que está fija por un extremo y simplemente apoyada en el otro (v.fig. 8-lOd) se dice que es una viga soportada.

5. La viga que tiene más de dos apoyos simples (v. fig. 8-lOe) se denominaviga continua.

6. La viga que esté o bien fija (sin rotación) o bien ligada (rotación limitada)se dice que está empotrada.

Las vigas también pueden clasificarse en estáticamente determinadas (isos­táticas) y estáticamente indeterminadas (hiperestáticas). Cuando se puedan obtener las reacciones de los apoyos a partir de las ecuaciones de la Estática so­lamente, la viga es estáticamente determinada. Si las fuerzas aplicadas a la viga están limitadas a un plano (p. ej., el plano xy), se dispone de tres ecuaciones de equilibrio para determinar las reacciones de los apoyos. Las ecuaciones son

í.F = O X

í.F = O y

donde A es un punto cualquiera del plano de carga (plano xy). Así pues, se po­drán determinar tres componentes de las reacciones, como máximo. Si las fuer­zas aplicadas y las reacciones de los apoyos son siempre perpendiculares al eje longitudinal de la viga, la ecuación IF x = O se cumple automáticamente. Para que esa viga sea estáticamente determinada, sólo podrán haber dos fuerzas reactivas incógnitas, ya que el número de ecuaciones de equilibrio de que se dispone se ha reducido a dos, cuales son

í.F = Oy y

Son ejemplos de vigas estáticamente determinadas las vigas simples, las sobre­salientes y las ménsulas.

Cuando la viga tenga más apoyos de los necesarios para mantener el equi­librio, las ecuaciones de equilibrio no son suficientes para determinar las reac­ciones de los apoyos. De dichas vigas se dice que son estáticamente inde­terminadas (o hiperestáticas) y para determinar las reacciones de los apoyos se ha de echar mano entonces de las propiedades que relacionan la carga con la deformación de la viga, además de las ecuaciones de equilibrio. Entre los ejem­plos de vigas estáticamente indeterminadas se pueden citar la viga en voladizo soportada, la viga continua y la viga empotrada. En este libro sólo se tratarán las vigas estáticamente determinadas (o isostáticas). Las vigas hiperestáticas se tratarán en cursos posteriores que traten la Mecánica de materiales .

Los esfuerzos y deformaciones de las vigas son funciones de las fuerzas in­teriores. Las fuerzas interiores que transmiten las secciones rectas de una viga son las fuerzas y momentos que se necesitan para resistir ias fuerzas exteriores y mantener el equilibrio. Considérese la viga representada en la figura 8-lla,

que está sometida a una carga distribuida uniformemente w, dos cargas con­centradas P1 y P2

y reacciones de los apoyos en sus extremos. Las reacciones de los apoyos pueden determinarse utilizando las ecuaciones de equilibrio y un diagrama de sólido libre de toda la viga. Las fuerzas interiores transmitidas por una sección recta arbitraria (p. ej., la sección aa) de la viga pueden determi-

]41 ---- ----------------

8.4 FUERZAS CORT NHES Y MOMENTOS FLEC-lORES EN VICAS

w

w

w

(a)

(b)

(e)

{d)

(e)

(f)

Figura B-10

p

p

lp

,...:Jl.i:.: .�·

342

FUERZAS INTERIORES EN MiE!'viBROS

ESTRUCTURALES

(al

(b)

Figura 8-11

narse haciendo pasar un plano por la sección que separe la viga en dos partes. Como la viga total está en equilibrio, cada una de las partes separadas por la sección aa deberá también estar en equilibrio bajo la acción de las fuerzas inte­riores.

Cuando se aplica la ecuación de equilibrio 2.Fy

= O al diagrama de sólido li­bre de la figura 8-llb, el resultado se podrá escribir en la forma

R-wx-P1

= V,

o sea

donde Va es la resultante de las fuerzas transversales exteriores que se ejercen sobre la parte de la viga situada a uno u otro lado de la sección. Esta fuerza re­sultante V

ª es la llamada fuerza cortante transversal en la sección. Según se ve

en la figura 8-llb, la fuerza cortante Va tiene igual módulo y dirección, pero sentido opuesto, que la fuerza cortante resistente Vr. Como estas fuerzas cor­tantes son siempre de igual módulo, frecuentemente se tratan como si fueran idénticas. Por razón de sencillez, de ahora en adelante se utilizará el símbolo V para representar tanto la fuerza cortante transversal Va cómo la fuerza cortante resistente V,.

Cuando se aplica la ecuación de equilibrio LMzA = O al diagrama de sólido libre de la figura 8-llb, el resultado se puede escribir en la forma

o sea

donde Ma es la suma algebraica de los momentos respecto a un eje en la sección perpendicular al plano de flexión (plano xy), de las fuerzas exteriores que se ejercen sobre la parte de viga situada a uno u otro lado de la sección. Al mo­mento Ma se le da el nombre de momento flector, o simplemente momento, en la sección. Según se ve en la figura 8-1 lb, el momento flector M

a tiene igual mó­

dulo y dirección, pero sentido opuesto, que el momento resistente M,. Como estos momentos son siempre de igual módulo, frecuentemente se tratan como si fueran idénticos. Por razón de sencillez, de ahora en adelante se utilizará el símbolo M para representar tanto al momento flector Ma como al momento re­sistente M,,.

En el diagrama de sólido libre no se representan normalmente él momento flector Mª ni la fuerza transversal Va . Lo corriente es representar individual-· mente cada fuerza exterior como se indica en la figura 8-1 la. Las variaciones de V, y M, a lo largo de la viga se pueden expresar mediante ecuaciones o re­presentarse gráficamente por medio de diagramas de fuerza cortante y de mo­mento flector que se verán más adelante, en el apartado 8-5.

Para interpretar correctamente los resultados obtenidos de las ecuaciones o los diagramas de fuerza cortante y momento flector, será necesario un conve-

-�

nio de signos. El representado en l a figura 8-12 se utiliza mucho en ingeniería.Obsérvese en la figura 8-12b que el momento flector en una viga horizontal espositivo en las secciones en las que la parte superior de la v iga se halla someti­da a compresión y la inferior a tracción. Los signos de los términos en Vr y Mr

de las acuaciones anteriores concuerdan con este convenio.Como M y V varían con x, serán funciones de x y se podrán obtener ecua­

. ciones para M y V a partir de los diagramas de sólido libre de porciones de laviga. En el problema ejemplo 8-4 se ilustra el procedimiento.

PROBLEMA EJEMPLO 8.4

Una viga está cargada y apoyada según se indica en la figura 8-13a. Escribir lasecuaciones de la fuerza cortante V y el momento flector M para toda sección delintervalo 0,6 m < x < 2,4 m de la viga sometida a la carga distribuida que se in­dica.SOLUCIÓN

En la figura 8-13b se ha representado el diagrama de sólido libre de una porciónde viga comprendida ente su extremo izquierdo y una sección arbitraria bajo lacarga distribuida. Obsérvese que se representan positivos la fuerza cortante re­sistente V y el momento resistente M. En general, no es posible decir sin cálculosi la fuerza cortante o el momento son positivos o negativos en una sección par­ticular. Por esta razón, V y M se representarán positivos en los diagramas de só­lido libre y las ecuaciones que resulten darán sus valores con el signo algebraicocorrecto.

La'reacción en el apoyo A se determina utilizando un diagrama de sólido li­bre de la viga entera y sumando momentos respecto al apoyo B. Así pues,

RA(3)-10(3,9)-17(1,8)(1,5)-10(0,6) = Ode donde

RA = 30,3 kNDe la definición de V o de la ecuación de equilibrio LF

y = O,

V= 30,3-10-17(x-0,6) = - 17x+30,5kNDe la definición de M o de la ecuación de equilibrio 1M0 = O,

M = 30,3x - lO(x + 0,9) � 17(x - 0,.6{ X c-20,6}

= - 8,5x2 + 30,Sx - 12,06 m · kN

Resp.

Resp._Las ecuaciones de Vy M en los otros intervalos se pueden determinar de maneraanáloga.

3438.4 FUERZAS CORTANTES Y

MOMENTOS FLECTORES EN VIGA.S

a

G4�Jl!lm F. cortante +

(a)

,ti)¡(& a

Momento+

a

dlil� a

F. cortante -

a

1

'�)!(�-ª

Momento-

(b)Figura 8-12

rOkN 17 kN/m

(a)

y

30 kN (b)

Figura 8-13

! lOkN

En los problemas 8-23 a 8-29, las vigas están cargadas y apoya­das según se indica en las figuras adjuntas. Escribir las ecuacio­nes de la fuerza cortante V y el momento flector M ( utilizar los ejes de coordenadas que se indican) para toda sección de los tramos de viga que se especifican. ·

8-23* En el tramo O< x < 3 m de la viga representada en la fi­gura PS-23.

Figura P8-23

8-24* En el tramo O< x < 3 m de la viga representada en la fi­gura PS-24.

3 kN

·*----3 m---*­

figura Pl:l-24

8-25 En el tramo O< x < J,5 m de la viga representada en lafigura PS-25.

y

Figur,1 Pl:i-25

8-26 En el tramo O< x < 4 m de la viga representada en la fi­gura PS-26.

�---·

40 kN 30 kN/m

Figura P8-26

8-.27* En el tramo 3 < x < 6 m de la viga representada: en la fi­gura PS-27.

Figura P8-27

8°28* En el tramo O< x < 4 m de la viga representada en la figura PS-28.

1 18 kN/m 36 kN

Figura P8-28

8-29 En el tramo 2,4 < x < 6 m. de la viga representada enlafigura PS-29.

y

4,17 kN/m

figura P8-29

• 1

•'/

·.¡

¡. . 1

1 r.

8-30 Una viga está cargada y apoyada como se indica en lafigura PS-30. Utilizando los ejes de coordenadas que se indi­can,. escribir las ecuaciones de la fuerza cortante Vy el momen­to flector M en las secciones de la viga

a. En el tramo O < x < 3 m.b. En el tramo 3 < x < 6 m.

y 6 kN/m

figura P8-30

8-31 * Una viga está cargada y apoyada como se indica en·lafigura P8-31. Utilizando los ejes de coordenadas que se indi-

. can, éscribir las ecuaciones de la fuerza cortante V y el momen­to flector M en las secciones de la viga

a. En €1 tramo .O < x < 3,6 m.b. En el tramo 3,6 < x < 4;8 m. .. c. Utilizar los resultados de los apartados a y b para determi­

nar los módulos y situaciones de la máxima fuerza cortanteV máx y del máximo momento flector Mmáx en la porciónde viga comprendida entré los apoyos .

20 kN 16,7 kN/m

Figura P8-31

8-32* Una viga está cargada y apoyada como se indica en lafigura PS-32. Utilizando los ejes de coordenadas que se indi­can, escribir las ecuaciones de la fuerza cortante V y el momen­to flector M en las secciones de la viga

á. En el tramo O < x < 2 m. b. En el tramo2<x<4m.c. En el tramo 4 < x < 8 m.d. Utilizar los resultados de los apartados a, b y e para deter­

minar los módulos y situaciones de la máxima fuerzacortante Vmáx y del máximo momento flector Mmáx en la vi­ga.

y ... 30 kN.

1

,-.,[2m-l2m--,).-l<--4m--� Figura P8-32

8-33 Una viga está cargada y apoyada como se indica en lafigura P8-33. Utilizando los ejes de coordenadas que se indi­can, escribir las ecuaciones de la fuerza cortante V y el momen­to flector M en las secciones de la viga

a. En el tramo O< x < 1,8 m.b. En el tramo 1,8 < x < 3,6 m . c. Utilizar los resultados de los apartados a y b para determi­

nar los módulos y situaciones de la máxima fuerza cortanteV máx y del máximo momento flector Mmáx en la viga.

y lOOkN/m

Figura P8-33

8-34 Una viga está cargada y apoyada como se indica en lafigura P8-34. Utilizando los ejes de coordenadas que se indi­can, escribir las ecuaciones de la fuerza cortante Vy el momen­to flector M en las secciones de la viga

· a. En el tramo O < x < 2 m.b. En el tramo 2 < x < 6 m.c. En el tramo 6 < x < 9 m.

y

1

3 kN

l4 kN/m

Figura P8-34

346

FUERZAS INTÉRIORES EN ,'v\lE,'viBROS ESTRUCTURALES

wdx

y

�(4 M+dM

!) V+dV

Figura 8-14

8.5 DIAGRAMAS DE FUERZÁ CORTANTE Y DE MOMENTO FLECTOR

Los diagramas de fuerza cortante y de momento flector se utilizan para pro­porcionar una representación gráfica de la variación de la fuerza cortante V y del momento flector M a lo largo de la viga. En el diagrama de fuerza cortante, se representa gráficamente la fuerza cortante transversal V en función de la po­sición a lo largo de la viga. En el diagrama de momento, se representa gráfica­mente el momento flector M en función de la posición a lo largo de la viga. En tales diagramas, se establecen fácilmente los valores máximos de la fuerza cor­tante y el momento flector, así como las posiciones en que tienen lugar.

Los diagramas de fuerza cortante y de momento flector se pueden dibujar calculando los valores de estas magnitudes en diversas secciones a lo largo de la viga y representando gráficamente un número de puntos suficiente para tra­zar una curva lisa. Este procedimiento resulta un tanto lento ya que no se pue­de escribir una expresión elemental de la fuerza cortante V o del momento flector M que sea aplicable a toda la viga, a menos que la carga esté distribuida uniformemente o varíe a lo largo de la viga obedeciendo a una ecuación cono­cida. En aquel caso, será necesario dividir la viga en tramos limitados por los cambios bruscos de carga.

Los diagramas de fuerza cortante y de momento flector se pueden también establecer directamente a partir de un diagrama de sólido libre (diagrama de cargas) de la viga, utilizando varias relaciones matemáticas sencillas que exis­tan entre las cargas distribuidas y las fuerzas cortantes y entre las fuerzas cor­tantes y los · momentos. Estas relaciones pueden desarollarse a partir del diagrama de sólido libre de una longitud elemental de la viga, según se indica en la figura 8-14. En este diagrama, se considera positivo el sentido hacia arri­ba para la carga aplicada w y las fuerzas cortantes y los momentos seguirán el convenio de signos establecido en el apartado 8.4. Como la viga está en equi­librio, el elemento también deberá estarlo y al aplicarle la ecuación de equili­brio I.F

y = O, se' tiene

de donde

V+wdx-(V+dV) =0

dV. = w dx o sea w dV

dx (8-1)

Esta última ecuación nos indica que, en toda sección de la viga, la pendiente del diagrama de fuerza cortante es igual a la intensidad de carga. Cuando se conozca w en función de x, se podrá integrar la ecuación entre límites definidos y será:

(8-2)

Así pues, la variación de fuerza cortante entre las secciones en x1 y x2 es igual al área encerrada bajo el diagrama de carga entre las dos secciones, si no hay fuerzas concentradas en el tramo x1 < x < x2 .

de

Di

p

e F

tr

e 1-

:o la o­:>S

�n :le is­)r­lel lea Ti­l el ui­ili-

3-1)

�nte o seidos

8-2)

gual ,hay

Aplicando la ecuación de equilibrio LM0 = O al elemento representado en la figura 8-14, se tiene

de donde

� dx k,M0 = M + V dx + w dx 2

- ( M + dM) - O

(dx) 2 dM = Vdx+w--2

Dividiendo por dx y pasando al límite, se tiene

o sea dM = V dx (8-3)

Esta ecuación nos.indica que, en toda sección de la viga, la pendiente del diagrama de momento es igual a la fuerza cortante. Integrando la ecuación en-tre lúnites definidos, se tiene

Jx, .

JM2 .•

V dx = dM = M2

- M1

x, M 1

(8-4)

Así pues, el cambio de momento entre las secciones en x1 y x2 es igual al área encerrada bajo el diagrama de fuerza cortante entre dichas secciones, si no hay pares aplicados en el tramo x1 < x < x2•

Obsérvese que las ecuaciones se han deducido tomando hacia la derecha el semieje x positivo, hacia arriba las cargas aplicadas positivas y los signos de la fuerza cortante y el momento según se indican en la figura 8-12. Si se cambiara una o más de estas hipótesis, podría ser necesario alterar los signos algebraicos de la ecuación.

Las relaciones que se acaban de desarrollar proporcionan otro medio de di­bujar los diagramas de fuerza cortante y de momento flector y de calcular los valores de la fuerza cortante y el momento en distintas secciones de la viga. El método consiste en dibujar el diagrama de fuerza cortante a partir del diagra­ma de carga y el diagrama de momento a partir del diagrama de fuerza cortan­te aplicando las ecuaciones de 8-1 a 8-4. Este último método, aun cuando pueda no dar una curva precisa, proporciona la información de la fuerza cortante y el momento que suele necesitarse para proyectar vigas y es más rápido que el pri­mer método.

Los diagramas completos de fuerza cortante y de momento indicarían los valores de la fuerza cortante y el momento en cada sección en donde cambie bruscamente la carga y en las secciones en las que aquéllos sean máximos o mínimos (valores máximos negativos). También se localizarían las secciones en las que son cero la fuerza cortante o el momento. Cuando se conozcan todas las cargas y reacciones, la fuerza cortante y el momento flector en los extremos de la viga se podrán determinar por simple inspección. En el extremo libre de una viga, la fuerza cortante y el momento flector valdrán cero a menos que enél se aplique una fuerza, un par o ambas cosas; en este caso, la fuerza cortante es igual a la fuerza y el momento flector es igual al momento del par. En un

147

8.5 DIAGRAMAS DE FUERZA

CORTANTE Y DE, iOMENTO FLECTOR

1--l-b ·---�

·-- --------- --

FUERZAS INTERIORES EN �.\!Etv\BROS

ESTRUCTURALES

6 kN

o

1 5 kN/m I

�0,9 m-4-o,9 m--,!---1,8 m-----,1

+

�o

+

� 2º

E o A �

(a)

10 kN/m

Mo

o l) 5 kN/m Vo

(b)

9

15 (e)

9,53

1,73

(d)

figura lF!5

extremo simplemente apoyado o con apoyo por pasador, la fuerza cortante debe ser igual a la reacción en el extremo y el momento debe ser nulo. En un extremo empotrado o fijo, las reacciones son de igual valor que la fuerza cor­tante y el momento flector.

Una vez establecido un punto de arranque para el diagrama de fuerza cor­tante, se podrá esquematizar dicho diagrama inmediatamente debajo del diagrama de carga utilizando la definición de fuerza cortante y el hecho de que

� la pendiente del diagrama de fuerza C�!tante puede obtenerse del diagrama de carga. Tomando los sentidos positivos hacia arriba y hacia la derecha, una car­ga distribuida positiva (que se ejerce hacia arriba) dará lugar a una pendiente

· positiva en el diagrama de fuerza cortante; y una carga negativa daría una pen­diente negativa. Una fuerza concentrada dará lugar a un cambio brusco defuerza cortante. El cambio de fuerza cortante entre dos secciones dadas vienedado por el área encerrada bajo el diagrama de carga entre dichas secciones. Elcambio de fuerza cortante en una carga concentrada es igual a ésta.

Inmediatamente debajo del diagrama de fuerza cortante se puede dibujarel diagrama de momento. La pendiente en todo punto de este último vienedada por la fuerza cortante en el punto correspondiente del diagrama de fuer­za cortante; una fuerza cortante positiva representa una pendiente positiva, silos sentidos positivos son hacia arriba y haciala derecha y una fuerza cortantenegativa representaría una pendiente negativa. El cambio de momento entredos secciones dadas viene medido por el área encerrada bajo el diagrama defuerza cortante entre dichas secciones. Un par aplicado a la viga haría que elmomento variara bruscamente en una cantidad igual al momento del par.

En los problemas ejemplo 8-5 y 8-6 se ilustra la construcción de los diagra­mas de fuerza cortante y de momento flector, directamente a partir del diagra­ma de carga, utilizando las ecuaciones de 8-1 a 8-4.

. PROBLEMA EJEMPI.O 8.5

Una viga está cargada y apoyada según se indica en la figura 8-15a. Dibujar los diagramas completos de fuerza cortante y momento flector de dicha viga.

SOLUCIÓN

En la figura 8-15b se ha representado el diagrama de sólido libre, o diagrama de carga, de la viga. Se calculan las reacciones en D a partir de las ecuaciones de equilibrio. No es necesario calcular las reacciones de una viga en voladizo para dibujar los diagramas de fuerza cortante y de momento flector a partir del diagrama de carga, pero las reacciones proporcionan una comprobación conve­niente. De la ecuación de equilibrio Lf

y = O,

V O = 5(1,8)- 6 - 10(1,8) = - 15 kN

De la ecuación de equilibrio IM0 = O,

M0 = 5(1,8)(2,7) + 0,975 - 6(1,8)- 10(1,8)(0,9) = - 1,725 m · kN

Los diagramas de fuerza cortante y momento flector se pueden dibujar di­rectamente a partir del diagrama de carga sin escribir las ecuaciones de la fuerza

cortante y del momento flector. El diagrama de fuerza cortante de la figura 8-lSc se dibuja directamente debajo del diagrama de carga. La fuerza cortante en el ex­tremo izquierdo de la viga es nula. La pendiente del diagrama de fuerza cortante es igual a la carga w; por tanto, la pendiente del diagrama entre A y C será de + 5 kN / m. La variación de fuerza cortante entre A y C es igual al área encerrada bajo el diagrama de carga; así pues,

V e = V A+ éi V = O+ 5(1,8) = 9 kN

En C hay aplicada una carga concentrada P; por tanto, la fuerza cortante cambia bruscamente en el módulo de la carga y en el sentido de ésta. Así pues,

Entre C' y D hay aplicada una carga uniforme w. Como la pendiente del diagra­ma de fuerza cortante es igual a la carga w, la pendiente del diagrama entre C' y D será - 10 kN / m. La variación de fuerza cortante entre C' y D es igual al área encerrada bajo el diagrama de carga; así pues,

VD = V C' '+- éi V = 3 + (- 10)(1,8) = - 15 kN

Esta fuerza cortante es igual a la reacción en D, lo que constituye una compro­bación.

Se dibuj¡t el diagrama de momento flector directamente debajo del de fuerza cortante, según se indica en la figura 8-15d. El momento en el extremo izquierdo de la viga es nulo. La pendiente del diagrama de momento es igual a la fuerza cortante V; por tanto, la pendiente del diagrama crece uniformemente desde O en A hasta 4,5 kN en B, donde hay aplicado un momento concentrado C. La va­riación de momento de A a B es igual al área encerrada bajo el diagrama de fuer­za cortante; así pues,

1MB = M A+ éiM = O+ i4,5)(0,9) = 2,03 m · kN

En el intervalo AB de la viga,

dM -V= Sx

dx -(a)

porque la carga distribuida sobre la viga es positiva (hacia arriba) y vale 5 kN / m. Así pues,

M = 2,5x2 + C 1 = 2,5x2 (b)

ya que C1 = O a causa de la condición de contorno M = O en x = O. Las ecuaciones a y b muestran que una carga distribuida constante da lugar a una distribución lineal de fuerza cortante y a una distribución cuadrática de momento en el tramo AB de la viga. El grado (2°) de la ecuación del momento entre A y B se ha indi­cado en el diagrama de momento flector. En B, el momento cambia bruscamente en una cantidad igual al momento ( + 0,975 m · kN) del par aplicado a la viga en B. Este momento no aparece en el diagrama de fuerza cortante, por lo que, cuan­do se dibuje el diagrama de momento utilizando la información que da eldiagrama de fuerza cortante, habrá que arbitrar algún procedimiento que re­cuerde su presencia en la viga. Así pues,

M8, = M

8 + C = 2,025 + 0,975 3 m · kN

349 ---- -- - - -- -----8.5 DIAGRAMAS DE FUERZA

CORTANTE Y DE MOMENTO FLECTOR

De B' a C, la pendiente del diagrama de momento crece uniformemente de 4,5 kN en B' a 9 kN en C. De nuevo, la variación del momento entre B' y Ces igual al área encerrada bajo el diagrama de fuerza cortante; así pues,

1Me

= MB' + 6M = 3 + 2(4,5 + 9)(0,9) = 9,08 m · kN

La pendiente del diagrama de momento cambia bruscamente en C de + 9 kN a + 3 kN. Después, disminuye uniformemente de + 3 kN en Ca - 15 kN en D. Lapendiente del diagrama de momento es nula en el punto E, que se halla 0,3 m ala derecha del punto C. De las áreas encerradas bajo el diagrama de fuerza cor­tante se deduce que los momentos en E y D son

1ME

= Me+ .6.M = 9,08 + 2(3)(0,3) = 9,53 m · kN

1 M0

= ME

+ AM -= 9,53 + ;¡_(- 15)(1,5) = - 1,72 m · kN

El momento es igual, salvo el redondeo, a la reacción en D, lo que constituye una comprobación.

. . PROBLEMA EJEMPLO 8.6

Una viga está cargada y apoyada según se indica en la figura 8-16a. Dibujar los diagramas completos de fuerza cortante y de momento flector de la viga.

SOLUCIÓN

En la figura 8-16b se ha representado el diagrama de sólido libre, o diagrama de carga, de la viga. Se calculart las reacciones en B, C y E utilizando las ecuaciones de equilibrio de la viga entera . Corno el pasador en D no transmite momento, la aplicación de la ecuación de equilibrio LM0 = O a la porción derecha de la viga da RE -= 50 kN. Conocida RE, la ecuación de equilibrio 'I.M8 =Oda Re-= -35 kN. Por último, la ecuación de equilibrio LF

y =Oda R8 = 215 kN.

\ 80 kN/m

3.Sü

Pasador

-----2 m __ __,,,__, m J_, ,s m ----

(a)

80 kN/m

-.: _·

.· ·;. ;. 4

.0 kN/m 40 kN/m

.____;c_JJ l H H � �- ,-o),..;,-�.,,...�-·�-

40 kN/m

Figura 8-16

>:(

.

.

(e)

(d)

J_' l.i

- ,;, ,:

Conocidas las reacciones R8, Re y RE, los diagramas de fuerza cortante y de momento flector se pueden deducir directamente del diagrama de carga, según se indica en la figura 8-16c. La fuerza cortante en el extremo izquierdo de la viga es nula. La pendiente del diagrama de fuerza cortante es igual a la carga w; por tanto, la pendiente del diagrama entre A y B será - 80 kN / m. La variación de fuerza cortante de A a B es igual al área encerrada bajo el diagrama de carga; así pues,

V8

= VA

+óV = 0+(-80)(1,5) = -120kN

La fuerza_éortante varía bruscamente en el apoyo S: Así,

La pendiente del diagrama de fuerza cortante entre B y C es -40 kN / m. La va­riación de fuerza cortante de B' a C es igual al área encerrada bajo el diagrama de carga; así_ pues,

ve

= VB

,+óV = 95+(-40)(2) = +15kN

La fuerza cortante cambia bruscamente en el apoyo C. Así,

V C' = V e+ Re

= 15 + (-35) = -20 kN

Entre C y E, la viga no está cargada; por tanto, la pendiente del diagrama de fuer­za cortante será nula y

V E = V C' + ó V = - 20 + (0)(2,5) = - 20 kN

La fuerza cortante cambia bruscamente en el apoyo E. Así,

V E

' = V E+ RE = - 20 + 50 = 30 kN

La pendiente del diagrama de fuerza cortante disminuye uniformemente desde O en E hasta -40 kN / m en F. Así pues, teniendo en cuenta el área encerrada bajo el diagrama de carga,

La fuerza cortante en el extremo derecho de la v_iga debe ser nula por ser un ex­tremo libre. Si la fuerza cortante calculada no fuese nula en F, sería señal de ha­ber cometido algún error.

El diagrama de momento flector, representado en la figura 8-16d, se dibuja directamente debajo del diagrama de fuerza cortante. El momento en el extremo izquierdo de la viga es nulo. La pendiente del diagrama de momento flector es igual a la fuerza cortante V; por tanto, la pendiente del diagrama de momento disminuirá uniformemente desde O en A a -120 kN en el apoyo B. La variación de momento de A a B es igual al área encerrada bajo el diagrama de fuerza cor­tante; así pues,

M8

= MA

+fiM = 0+�(-120)(1,5) = -90m·k:N

En el apoyo B, la pendiente del diagrama de momento cambia bruscamente de -120 kN a+ 95 kN; después disminuye uniformemente de+ 95 kN en el apo­yo B a + 15 kN en el apoyo C. Atendiendo al área encerrada bajo el diagrama de fuerza cortante, el momento en C resulta ser

351

8.5 DIAGRAMl\S DE FUERZA CORTANTE Y DE MOMENTO FLECTOR

¡

. ¡

1 !

RZAS INTERIORES EN MIEMBROS

RUCTUR;\LES

En el apoyo C, la pendiente del diagrama de momento cambia bruscamente de+ 15 kN a - 20 kN; después se mantiene constantemente igual a -20 kN entre los apoyos C y E. Teniendo en cuenta el área encerrada bajo el diagrama de fuer­za cortante, el momento en E setá

ME= Mc+t.M = +20+(-20)(2,5) = -30m-kN

En el apoyo E, la pendiente del diagrama cambia bruscamente de - 20 kN a + 30 kN. Después disminuye parabólicamente desde+ 30 kN en el apoyo E a Oen el extremo F de la viga. Teniendo en cuenta el área encerrada bajo el diagramade fuerza cortante, el momento en F resulta ser

2MF

= ME+ /',.M = - 30 + 3(30)(1,5) = O

El momento en el extremo derecho de la viga ha de ser nulo porque se trata de un extremo libre. Si el momento en F calculado no hubiera resultado nulo, sería señal de que se había cometido algún error. Además,

Mo = Mc+�M = 20-20(1) = O

El momento en el gozne D debe ser nulo. Si no hubiera resultado nulo M0, sería señal de haber cometido algún error.

El Cálculo infinitesimal sugeriría que las posiciones de máxima fuerza cor­tante y máximo momento flector se encontrarían donde se cumpliera dV/dx = w= O y dM/dx = V= O, respectivamente. Ahora bien, las curvas representativas de las funciones w(x) y V(x) suelen no ser lisas o continuas y los valores máximos de V y M se presentan a menudo en puntos donde se han aplicado a la viga car­gas concentradas o pares y no donde w(x) = O o donde V(x) =O.Hay que com­probar ambas posibilidades.

Las secciones donde el momento flector es nulo, llamadas puntos de in­flexión, se pueden localizar igualando a cero la expresión de M. En dichas sec­ciones, el esfuerzo en la fibra es nulo y si hubiera que ayustar la viga, el ayuste debería hacerse en dicho punto de inflexión, si lo hubiere, o cerca de él.

. PROBLEMAS -

Eri. los problemas 8-35 a 8-50, las vigas están cargadas y apoya­das según se indica en la figura correspondiente. Dibujar los diagramas completos de fuerza cortante y de momento flector de la viga en cuestión.

8--35''' Viga de la figura P8-35.

25 kN 40 kN

lt---1,2 m>---, --Jlc---1,5 m --__....--1,35 m �

figura P8-3.5

8-36* Viga de la figura P8-36.

10 kN

l<-----4 m -�---

Figura Po-36

'

·j-¡ 1 1 i

l

1

8-37

_.{

8-38

' [

�-

8-37 Viga de la figura PS-37.

y

figura P8-37

8-38 Viga de la figura PS-38.

Figura PB-38

8-39* Viga de la figura PS-39.

y

Figura PB-39

8-40* Viga de la figura P8-40.

y

Figura PIHO

-:JL_. 7..

8-41 Viga de la figura P8-41.

y

Figura P8·41

8-42* Viga de la figura P8-42.

Figura PB-42

8-43 Viga de la figura P8-43.

Figura P8-43

8-44 * Viga de la figura PS-44.

Figura P8-44

353

.,

1

. ,l

:1 ; ll,.l Jíl u 'I "H

fl!

l '. ·f

,j '.' ti

,J).1 ·¡h 1 :J.'¡:¡ . l

Figura P8-45

8-46 Viga de la figura P8-46 .

Figura P8-46

3.4¡,t Viga de la figura P8-4?,

figura P8-47

8·48* Viga de la figura P8-48.

3 kN

Figura P8-49

8-50 Viga de la figura P8-50.

--->k--2 m . 2 m---*--

Figura P8-50

En las figuras de los problemas 8-51 a 8-56 se han representado diagramas de momento flector. Dibujar los diagramas de carga y de fuerza cortante de las vigas correspondientes.

8-51 Viga de la figura P8-51.

Figura P8-5 I

8-52 Viga de la figuraP8-52. · .

14

Figura P8-52

.. ¡ �« .·

8-53 Viga de la figura PS-53. 8-55 Viga de la figura PS-55.

Figura P8-53 Figura P8-55

8-54 Viga de la figura PS-54. 8-56 Viga de la figura PS-56.

+

22 22

7 e I

1,Sm�l mL2m-L1,Sm

Figura PS-54

8.6 CABLES FLEXIBLES

Los cables flexibles se utilizan como suspensión de puentes y teleféricos, líneas de transmisión de energía eléctrica y líneas telefónicas, vientos para antenas emisoras de radio y de televisión y para otras muchas aplicaciones en ingenie­ría. Se dice que un cable es perfectamente flexible cuando no ofrece ninguna resistencia a ser doblado. Los cables reales nunca son perfectamente flexibles; no obstante, la resistencia que ofrecen a ser doblados suele ser tan pequeña que al considerarlos perfectamente flexibles se introducen en su análisis errores to­talmente despreciables. Admitiendo que el cable no ofrece resistencia a ser do­blado, la fuerza interior resultante en cualquier sección recta del mismo deberá estar dirigida tangente al cable en dicha sección.

En las aplicaciones vistas anteriormente, se suponía que los cables eran miembros de dos fuerzas capaces dé transmitir fuerzas axiales solamente. Cuando al cable se apliquen fuerzas transversales, dejará de ser recto y se com­bará. Se llama flecha a la diferencia de elevación entre el punto más bajo del cable y un punto de sujeción. Cuando los puntos de sujeción no estén a igual altura, la flecha medida a partir de uno de ellos será diferente _de la medida a partir del otro. A la distancia horizontal entre los puntos de sujeción se le da el nombre de cuerda del cable.

Los cables flexibles pueden estar sometidos a una serie cte cargas concentra­das distintas, pueden estar sometidos a cargas distribuidas uniformemente so-

Figura P8-56

RZAS INTERIORES E,.' MIEMBROS �UCTURi\LES

bre la cuerda horizontal del cable o pueden estar distribuidas uniformemente a lo largo de éL Los pesos de las cabinas y su contenido en un teleférico cons­tituyen un ejemplo de cable sometido a una serie de cargas concentradas. El peso de la calzada de un puente colgante constituye un ejemplo de carga uni­formemente distribuida a lo largo de la cuerda horizontal del cable. El peso de un cable de sección constante, de una línea de transmisión, constituye un ejem­plo de carga uniformemente distribuida a lo largo del cable.

En el siguiente estudio de los cables se supondrá que son perfectamente flexibles e inextensibles. Las relaciones existentes entre su longitud, cuerda, flecha, tensión del cable y cargas a él aplicadas, se determinarán mediante con­sideraciones acerca de su equilibrio.

8.6.1 Cables sometidos a cargas concentradas

En la figura 8-17a se ha representado un cable sometido a cargas concentradas P1, P2 y P3 en puntos discretos de su longitud. El cable está anclado por sus ex­tremos A y B.en paredes rígidas. Cuando las cargas sean mucho mayores que el peso del cable, éste podrá despreciarse en el análisis y los segmentos del ca­ble se tratarán como si fueran barras rectas de dos fuerzas.

En el estudio que sigue se supondrán conocidas las cargas P1, P2 y P3, junto con las distancias x1 , x2, x3 y la cuerda a. Las incógnitas a determinar serán las distancias y1, y2 e y3. En la figura 8-17b puede verse un diagrama de sólido libre del cable. Como las distancias y1, y2 e y3 son incógnitas, no se conocen las pen­dientes de los segmentos de cable en sus extremos A y B; por tanto, las reaccio­nes en A y B se representarán mediante dos componentes cada una de ellas. Dado que intervienen cuatro incógnitas, las tres ecuaciones de equilibrio obte­nidas de este diagrama de sólido libre (fig. 8-l 7b) no son suficientes para deter­minar las reacciones en A y B. La información que se puede determinar es la siguiente:

De la ecuación de equilibrio LMA = O:

+�Bya-P 1x 1 -P2x2 -P3x3 O

1B

y=

ª<P 1x 1 +P2x2 +P3x3)

De la ecuación de equilibrio LFy

= O:

+ l Ay + B

y - p 1 - p 2 - p 3 = O

Ay

= p 1 + p 2 + p 3 -By

1 = p 1 + p 2 + p 3 - ;:¡(P 1 X l + p 2X2 + p 3X3)

De la ecuación de equilibrio LFx = b:

+�Bx -Ax = O

Bx = Ax

Anteriormente, al estudiar los entramados y máquinas, se obtenían ecua­ciones adicionales considerando el equilibrio de una porción de estructura. En

1 ¡ r t

ele tes fig lib

y S•

d

a

ua­En

1· � ¡·

(d)

Figura 8-17

el caso de un cable, si se desprecia su peso, las fuerzas interiores en los diferen­tes segmentos del cable se pueden representar en la forma que se indica en la figura 8-17 c. De esta serie de diagramas de sólido libre y de la ecuación de equi­librio Í.F x = O, se observa que

Esta ecuación indica que la componente horizontal de la fuerza de tensión es la misma en todo punto del cable e igual a la componente horizontal de la re­acción de los anclajes. La tensión máxima T será la del segmento que tenga ma­yor ángulo de inclinación e ya que en este segmento será mínimo cos 8. Dicho segmento deberá ser adyacente a uno de los puntos de anclaje. Las ecuaciones de equilibrio LFx = O y Í,f y= O aplicadas a los puntos de anclaje A y B dan

Ax

= T1 cos 8

1

Ay

= T 1 sen 8 1

Bx = T4 cos e4

BY

= T4

sen 84

.., .. _

.).J .

8.6 CA.BLES FLEXIBLES

J5U

FL ERZ/\S iNTERIORES EN MIEl\íBROS

ES fRUCTURALES

de donde

(a)

Si en un problema concreto se especifica la tensión máxima o la pendiente máxima, se podrán utilizar las ecuaciones a para determinar las componentes horizontales de las reacciones en los anclajes. Una vez conocida Ax o Bx, se po­drán determinar las restantes incógnitas T1, T2, T3, T4, y1, y2 e y3 utilizando los diagramas de sólido libre representados en la figura 8-17c. En el problema ejemplo 8-7 se ilustra el procedimiento.

Las componentes horizontales de las reacciones de los anclajes también se pueden determinar si se conoce la distancia vertical (desnivel) entre un anclaje y un punto cualquiera del cable. Por ejemplo, considérese el diagrama de sóli­do libre de la figura 8-17d, donde se supone conocida la distancia y0. La ecua­ción de equilibrio LM0 = O da

..

de donde

Por último, los problemas de este tipo se pueden resolver especificando la longitud del cable. En tal caso, la longitud de cada segmento se escribe en fun­ción de las distancias verticales yi, y2 e y3, de las distancias horizontales x1, x2,

x3 y de la cuerda a. La ecuación adicional que se nec_esita se obtiene entonces igualando la suma de las longitudes individuales de los segmentos a la longi­tud total L:

L = Jxr+yr+ J(xz-X ¡ ) 2 + (yz -y¡ ) 2

+ J(x3 -Xz) 2 + (yz -Y3 ) 2 + Jca-X3) 2 +y�

Como los términos de esta ecuación correspondientes a las. longitudes de los segmentos presentan raíces cuadradas de las distancias verticales incógnitas, la solución resulta muy engorrosa si se realizan los cálculos a mano. Para resol­ver los problemas de cables mediante esta formulación se recomienda utilizar un ordenador.

. PROBLEMA EJEMPLO 8.7

Un c�ble estás�ritetido-acargasc:6ncentriti:fa{de2.,5.kN.yl kN, según se indicaen la figura 8-18a. Si la máxima tensión que puede soportar el cable es de 5 kN, . determinar

a. Las reacciones de los apoyos Ax, Ay; Dx y Dy.

b. Las tensiones T1, T2 y T3 en los tres segmentos del cable. c. Las distancias verticales y8 e Ye respecto al nivel del apoyo A.

d. La longitud L del cable.

1

J :i

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Z·

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L F'

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- ---- 3,6 m ----- 3 _m �

------r------�-----

I Ve YB

1 kN 2,5 kN

2,5 kN

2,5 kN

Figura 8-18

SOLUCIÓN

(a)

(b)

(e)

a. En la figura 8-18b se ha representado un diagrama de sólido libre para elcable. De la ecuación de equilibrio LM

v = O,

1 A

y =

l0,2 [2,5(6,6) + 1(3)] = 1,912 kN Resp.

La tensión máxima de 5 kN tendráJugar eri::-eltramo AB del cable. Así pues, del diagrama de sólido libre en el punto A del cable (fig. 8-18c),

Además,

A = JT2 -A2 = Js2 -19122 = 462kNX 1 y ' '

Ay 1 912

e¡

= tan- 1 - = tan- 1 -'- = 22 48º

Ax 4,62 '

Resp.

359 8.6 CABLES> FLEXIBLES

·360f!JERZ.\S L'-.JTERIORES EN MÍE,V\J3RCJ:;·ESTRUCTURA.L.ES

· . Volviendo al diagrama de _sólido libre· del cable entero, representado en la· figura 8-18b se obtiene, de la ecuación dé equilibrio LFx = O,

D x = Ax = 4,62 kN Resp.

De la ecuación de equilibrio L F Y

= O,

Dy:: 2,5+1-Ay = 3,5-1,912 = l,588kN Resp.

b. Para determinar las tensiones T2 y T3 se pueden utilizar los diagramas desólido libre en los puntos By C (fig. 8-18c). De las ecuaciones de equilibrioLfx

= O y'I.Fy=O,En el punto B:

T2x = T

2 cos 02 = T¡ cos 8

1 = 5 cos22,48° =Ax = 4,62kN

T zy = T 2 sen 02

;;:: 2,5 - T 1 sen e1 = 2,5 - 5 sen 22,48° = 0,588 kN

T = Jr2 + T2 = 14 622 + O 5882 = 4 66 kN Resp. -2 2x 2y ,..¡ ' ' • Tzy O 588 () = tan- 1 - = tan- 1 -'- = 7 253°

2 T2x

4,62 '

En el punto C:

T3x = T3COS83 = T2cose2

= 4,66cos7,253° =Ax = 4,62kN T

3Y = T

3sen8

3 = l+T2 sen8

2 = 1+4,66 sen7,253º = l,588kN

T = JT2 + y2 = 14 622 + 1 5882 = 4 89 kN Resp. 3 3x 3y ,..¡ • ' '

T3y 1 588 e = tan- 1 - = tan- 1 -'- = 18,969º 3 T

3x 4,62

Como comprobación, en el punto D:

T 3 = JD; + D� = J4,622 + 1,5882 = 4,885 = 4,89 kN Resp.

c. Conocidos los ángulos, las distancias verticales YB e Ye son

y8

= 3,6 tan 81

= 3,6 tan 22,48º = 1,490 m Ye = 3 tan 8

3 = 3 tan 18,969º = 1,031 m

Resp. Resp.

d. La longitud del cable se obtiene de las longitudes de los segmentos en la·forma

L = J3,62 + 1,4902 + J3,62 + ( 1,490- 1,031) 2 + J32 + 1,031 2

= 10,697 = 10,70 m Resp.

1 8·5

a.

b.

c.

e1

a

b (

).

:-J

·tJ t f

PROBLEMAS . . .

8-S7* Un cable soporta dos cargas verticales según se indi­ca en la figura P8-57. Si la tensión máxima del cable ha de ser10 kN, determinar

a. Las cqmponentes horizontal y vertical de las reacciones delos anclajes A y D.

b. Las distancias verticales YB e Ye·c. La longitud L del cable.

º'!': i--3 m ------ 4,5 m ___ _...,._

1::..=.c-=-------1'---- . ---,r--

YB Ye

le

1,5 kN 4,5 kN Figura P8-57

8-58* Un cable soporta dos cargas verticales según se indicaen la figura PS-58. La flecha en el punto B del cable es de 2 m.Determinar

a. Las componentes horizontal y vertical de las reacciones delos anclajes A y D.

b. Las tensiones en los tres segmentos del cable.c. La longitud L del cable.

5 m---,k)r�-4 mi

=-�---- - - - -1- - - . - - - - --""""''""'"'

2lmB le

6 kN 10 kN Figura P8-58

8-59 El cable soporta tres cargas verticales según se indica enla figura PS-59. La flecha en el punto C del cable es de 1,2 m.Determinar

a. Las componentes horizontal y vertical de las reacciones delos anclajes A y E.

b. Las tensiones en los cuatro segmentos del cable.c. La longitud L del cable.

8 kN le

10 kN Figura P8-59

9 kN.

8-6-0 Un cable soporta tres cargas verticales según se indicaen la figura PS-60. Si la tensión máxima del cable puede ser50 kN, determinar

a. Las componentes horizontal y vertical de las reacciones delos anclajes A y D.

b. Las distancias verticales YB, Ye e Yo·c. La longitud L del cable.

12 kN le

15 kN Figura P8-60

5 kN

8-61 * Resolver el problema 8-57 si la tensión máxima del ca­ble fuese 7,5 kN.

8-62* Resolver el problema 8-60 si la tensión máxima del ca­ble fuese 35 kN.

8-63 Un cable soporta dos cargas verticales según se indicaen la figura PS-63. Si la tensión máxima del cable es 5 kN, de­terminar

a. Las componentes horizontal y vertical de las reacciones enlos anclajes A y D.

b. Las distancias verticales YB e Ye·c. La longitud L del cable.

JG 1

1 kN Figura P8-63

a. Las componentes horizontal y vertical de las reacciones de=r.:.j los anclajes A y D.

b. Las tensiones en los tres segmentos del cable.c. La distancia vertical y8.

ci. La longitud L del cable.

� 2,4 m--->)l,._e --4,2 m __ .....,__ 2,4 m -j

-¡ --+ 1,.5 m,.

1 1 1

•·· YB J_j

B 5 kN 8-64 Un cable está cargado y anclado según se indica en la fi­gura P8-64. Determinar 10 kN

Figura P8-65 a. Las componentes horizontal y vertical de las reacciones de

los anclajes A y D.b. Las tensiones en los tres segmentos del cable.

8-66* Un cable está cargado y anclado según se indica en la fi­gura P8-66. Si la tensión máxima del cable es 40 kN, determinar

c. La distancia vertical Ye·d. La longitud L del cable.

A

l,S

fl !ª30 kN

a. Las componentes horizontal y vertical de las reacciones en los anclajes A y D.

b. Las distancias verticales y8 e Ye·c. La longitud L del cable.

; !- 7 m-,l!<-1,---13 m--_,,._--1 O m�

20 kN

L1• 16kN

I!

5 m -----s m--... H--5 m �

10 kN Figura P8-66

Figura P8-64 8-67 Resolver el problema 8-65 en el caso de que se invirtiera:el sentido de la carga de 3 kN en el p�nto C.

8-65* Un cable está cargado y anclado según se indica en la fi­. gura P8-65. La distancia vertical Ye es 1,2 m. Determinar

8-68 Resolver el problema 8-66 en el caso de que se invirtierael sentido de la carga de 15 kN en el punto B .

362

8.6.2 Cables con cargas uniformemente distribuidas a lo largo de la horizontal

En la figura·8-19a se ilustra un cable sometido a una carga W distribuida uni­formemente a lo largo de una distancia a. Dicho cable puede analizarse utili­zando los métodos estudiados en el apartado anterior; sin embargo, el proceso sería largo y engorroso a causa del gran número de cargas que intervienen. El cable puede también analizarse representando el gran número de cargas dis­cretas como si estuvieran distribuidas uniformemente w(x) = W/a a lo largo de la horizontal. Esta aproximación introducirá un error que será pequeño si el

:a

•

ú­

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!SO

El .is-de i el

--�1� ..... -----��--��������������������--

¡. tr

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A B

w kN/m I-------a/2------,¡

y

y

{a)

R

{b)

T�To ! Je

R

{e)

I w kN/m I �a/2----,¡

(d)

Figura 8-19

X

peso del cable es pequeño frente al peso que soporta. Las cargas en los cables de un puente colgante se aproximan mucho a este tipo de carga ya que el peso del cable suele ser pequeño frente al de la calzada que soporta. Este último está distribuido uniformemente a lo largo de la calzada.

Las ecuaciones que relacionan la longitud L, la cuerda a y la flecha h del ca­ble cuyos anclajes están a la misma altura, la tensión T del cable y la carga dis­tribuida w(x) a él aplicada, se pueden desarrollar a partir de consideraciones de equilibrio y del diagrama de sólido libre de una porción de cable corno la representada en la figura 8-19b. En este diagrama, el punto más bajo del cable (punto O) se toma como origen del sistema de coordenadas xy.

363 --·--- -------------- --

8.6 CABLES FLEXIBLES

ZAS i\!TERIORES El'< 'vllEMBROS

_JCTL' R -\LES

El segmento de cable representado en la figura 8-19b está sometido a tres fuerzas: la tensión T0 del cable en el punto O, la tensión T del cable en un pun­to C arbitrario situado a una distancia x del origen y la resultante R (R = wx) de la carga distribuida cuya recta soporte está localizada a una distancia x/2 del punto O. Como el segmento OC del cable está en equilibrio bajo la acción de estas tres fuerzas, ellas deberán ser cortcurrentes en un _EUnto D, según se indi­ca en la figura 8-19c. Las dos ecuaciones de equilibrio Lfx = O y LF

Y = O para

este sistema de fuerzas concurrentes da

+ � 'IF X

= T cos (} - To = o

+ j 'IF Y = T sen (} - R = O

TX

= T cos (} = To

T = T sen (} = R = wx y

(a)

(b)

La ecuación a dice que la componente horizontal Tx de la tensión Tes la misma para todos los puntos del cable e igual a la tensión TO en su punto más bajo. Resolviendo el sistema que constituyen las ecuaciones a y b, se obtiene

T = JT'b + w2x2

(} = tan-1 wx Ta

(8-5)

(8-6)

La ecuación 8-5 indica que la tensión es mínima en el punto más bajo del cable (donde x = O) y máxima en los anclajes (donde x = a/2). Así pues,

J w2a2

T máx = Tb + -4- (8-7)

La forma de la curva se puede determinar utilizando la ecuación 8-6, la cual da la pendiente. Así,

dy =

dx

Integrando la ecuación e se tiene

tan(}= wx To

(e)

La constante C se determina utilizando las condiciones de contorno resultan­tes de la elección de los ejes. En el sistema de coordenadas xy empleado, y es igual a cero cuando x es igual a cero; por tanto, C es igual a cero y la ecuación del cable cargado es

wx2 y = = kx2

2T0

(8-8)

La ecuación 8-8 indica que la forma del cable es una parábola cuyo vértice está en el punto más bajo del cable. Aplicando la condición de contorno y = h (fle­cha) cuando x = a/2, se obtiene una expresión de la tensión TO en función de la carga aplicada w, la cuerda a y la flecha h. Así,

·,.•. :.:.·•.,.·!.;:�

ji

�,;

if

Si en la I Tmáx en

Las diagrar ra 8-19,

De lae

De la1

Asíp1

Así¡

tres un­)de del

t de :-tdi­)ara

(a)

(b)

. sma :,ajo.

(8-5)

(8-6)

cable

(8-7)

:tcual

(e)

mltan­o, y es uación

(8-8)

ice está

= h (fle-1n de la

..

(8-9)

Si en la ecuación 8-7 se sustituye la 8-9, se obtiene la tensión máxima del cable Tmáx en función de la carga aplicada w, la cuerda a y la flecha h. Así,

Tmáx =

w2a4 w2a2--+--64h2 4

= wa Ja2 + ( 4h) 2 8h (8-1 O)

Las ecuaciones 8-9 y 8-10 se pueden también determinar utilizando el diagrama de sólido libre de la mitad derecha del cable representado en la figu-ra 8-19d. De la ecuación de equilibrio Í:M8 = O:

+ �MB = ia (�)-T0(h) = O

De la ecuación de equilibrio LF x = O:

D� la ecuación de equilibrioÍ:fy = O:

Así pues,

� wa +¡ "-'F = B -- = O y y 2

wa2To=

-8h

B = wa y 2

Tmáx = B = JB;+B; = (�)2

+(T)2

= wa Ja2 + ( 4h) 2

8h

(8-9)

(8-10)

En toda curva, la longitud dL de un arco elemental se puede obtener de la ecuación

dL = J(dx) 2 + (dy) 2 = J1+(��)2

dx

Así pues, según las ecuaciones 8-8 y 8-9 para el cable,

y= kx2 = (2;0

)x2 = (��)x2

dy = 2kx =

(Sh)x dx � a2

J fa/2

L = dL = 2 J1 + 4.k2x2 dx cuerda O

[ 1

]� = xJI + 4k2x2 + Zk 1n (2kx +JI+ 4k2x2)

0

= iJI + k2a2 + ik

ln (ka+ J1 + k2a2)

(d)

3fí5

8.6 CABLES FLEXIBU:5

1 j 1 11

¡

ll 1.:1 'J1

366

FUERZAS INTERIORES EN MIEMBROS

ESTRUCTURALES

Por último, sustituyendo k = 4h/a2 se tiene

1 a2 1 ,---.....,. L = -,Ja2 + 16h2 + - In -(4h + ,Ja2 + 16h2)2 8h a (8-11)

Cuando los anclajes están a diferente altura, según se indica en la figura 8-20, no se conoce la situación del punto más bajo del cable (origen del sistemade coordenadas xy), por lo que habrá que determinarla. La ecuación del cablecargado (ec. 8-8) sigue siendo válida ya que el diagrama de sólido libre (fig.8-19b) utilizado en su desarrollo sería el mismo para un cable que tuviera susanclajes a diferente altura, como el representado en la figura 8-20. Si se conocenlas flechas hA y hB del cable respecto a los anclajes A y B, se podrá utilizar laecuación 8-8 para localizar el origen del sistema de coordenadas. Así, de laecuación 8-8,

y= kx2

k = J_ = hB hA xz xj = x2

A

Como xA = xB -a, la ecuación e se puede poner en la forma

que lleva a la ecuación cuadrática

Despejando x8 se tiene

Además, como x A = x8 - a,

(e)

(8-12)

(8-13)

La distancia horizontal entre el anclaje A y el origen O del sistema de coorde­nadas se ha señala,do den la figura 8-20. En el anclaje A, xA = - d. Así pues,

. JhBhA-hA d = h -h a

B A

La tensión TO del cable se puede hallar utilizando la ecuación 8-8. Así,

((H4)

(:ll-15)

..

:)

e-

4)

15)

Figura 8-20

La ecuación 8-5 indica que la tensión del cable varía desde un valor mínimoTO en el punto más bajo del cable hasta un valor máximo en el anclaje más ele­vado (más distante). Sustituyendo en la ecuación 8-5 los valores de xA y x8 yutilizando la ecuación 8-15, se encuentra que las tensiones del cable en los an­clajes son

(8-16a)

(8-16b)

donde dA = ¡xA¡ y d8 = lx8 ¡.

La longitud de la curva entre el punto más bajo O y un anclaje se puede de-terminar utilizando la ecuación d. Así, para el anclaje B,

fdB L08 =

0 JI + 4k2x2 dx

= ['!:.J¡ + 4k2x2 + J_ ln (2 kx + JI + 4k2x2)]

ª8

2 4k o

= d; Ji + 4k2d� + 4

1k ln( 2kd

8 +JI+ 4k2d§)

Por último, haciendo la sustitución k = h8ld§ se tiene

. 1 d§ 1 ( . )L

oB = 2 Jd� + 4hj + 4h ln d 2hB + Jd§ + 4h§ · B B

Análogamente,

(8-17)

(8-18)

La longitud total L del cable es la suma de las longitudes LoA y L08 de los arcosmedidas desde el origen a cada anclaje.

PROBLEMA EJEMPLO 8.8

Un cable soporta una carga uniformemente distribuida de 5 kN / m a lo largo de la horizontal, según se indica en la figura 8-21a. Determinar

a. La mínima tensión del cable.b. La tensión del cable en los anclajes y el ángulo que forma con la horizontal.c. La longitud L del cable.

w= 5 kN/m

�������240m�������

(a)

Figura 8-21

SOLUCIÓN

y

600 kN

(b)

Los apartados a y b del problema se resolverán utilizando el diagrama de sólido libre representado en la figura 8-21b. Como los anclajes están a la misma altura, el punto más bajo del cable se hallará en el punto medio de la cuerda. Así,

W = w(i) = 5(120) = 600 kN

a. De la ecuación de equilibrio LM8 = O:

+ � MB = w( X;)- T o(h

B) = 600(60)- T 0(36) = O

TO= 1000 kN

b. De la ecuación de equilibrio Lfx = O:

De la ecuación de equilibrioLFy = O:

+ j LF = B - W = B - 600 = Oy y y

TA ;:;; T B = T máx ;:;; JB; + B;

Bx

= 1000 kN

By

= 600 kN

Resp.

= J (1000) 2 + (600) 2 = 1166 kN Resp.

- -1 By - - l 600 - 30 96 - 31 Oº Resp. ax

- tan If - tan 1000 - , - , X

., -/

..

c.

-El éá pasa losa 45 rt

a. b. c ..

y.

i'

c. La longitud del éable se determina mediante la ecuación 8�11. Así,.

.

1 a2 1 ���-L = 2Ja2 + 16h2 + 8h ln a (4h + Ja2 + 16h2)

"' �J (240) 2 + 16(36)2

+ <:�¿)

2 ln 2!0 [ 4(36) + J (240) 2 + 16(36)2 J

= 253,7 = 254. m Resp.

PROBLEMA EJEMPLO 8.9

El cable representado en _la figura 8-22a soporta una tubería de conducción que pasa sobre un río. El anclaje en el punto medio del río está 25 m por encima de los anclajes situados a uno y otro lado. Los puntos más bajos del cable se hallan 45 m por debajo del anclaje central. Determinar a. La tensión mínima del cable.b. La tensión máxima del cable.c. La longitud L del cable.

(a)

SOLUCIÓN

y

Figura 8-22

900 kN

(b)

El punto más bajo del cable (que será el origen del sistema de coordenadas xy) se puede localizar utilizando la ecuación 8-14. Así,

�.

1: .

.369

){ZAS .lNTERIORES EN MIEMBROSRUCTURALES

·' Conocida la distanciad, sepuede utilizar el-diagrama de sólido libre de la figura8·22�pa.ra resolver los apartados a y b del problema. La distancia del origen decoordenadas al anclaje B es

xB

= a-d = 300-120 = 180 m

W = w(xB) = 5(180) = 900 kN

a. De la ecuación de equilibrio LM8 = O:

+ � MB = _ w( X;)- T o<hB

) = 900(90)-T 0(45) = O

TO

= T mín = 1800 kN

b. De la ecuación de equilibrio 2:Fx = O:

De la ecuación de equilibrio LFy

= O:

+j LF = B - W = B -900 = Oy y y

TA

= TB

= Tmáx = JB;+B�

Bx

= 1800 kN

By

= 900 kN

�-----

= J (1800) 2 + (900) 2 = 2010 kN

Res p.

Resp.

c. La longitud del cable se determina utilizando las ecuaciones 8·17 y 8·18.Así,

L08

= �Jd� -4h� + :: 1n dl ( 2h8 + Jd� +4h�)B B

= �J (180) 2 + 4(45)2

+ (l(��) 2

ln 1�0 [ 2(45) + J ( 180) 2 + 4(45)2 ]

= 187,24 m

Análogamente,

L0A

= �Jd� +4h� + :: In; ( 2hA + Jd� +4h�) A A

� �J(l20) 2�4(20)2

2

+ <¡��) In 1;0 [ 2(20) + J ( 120) 2 + 4(20)2 ]

= 122,19 m

Por tanto,

(8-18)

L = 2(L0A + L0B) = 2(122,19 + 187,24) = 618,9 = 619 m Resp.

· 1i

8-69*

una cwuniforr Deterrr

a. Lab. La

8-70*

portargún lc ser de12kN

ª· L;b'. .L.

8-71

presEtudl: el pc

a. Ib. I

c. l

8-'

la Letea.

b

�P·

PROBLEMAS - .

8-69* Un cable cuyos anclajes están a la misma altura tieneuna cuerda de 180 m y una flecha de 18 m. Soporta una cargauniformemente distribuida de 12,5 kN / m según la horizontal.Determinar

a. La tensión máxima del cable.b. La longitud del cable.

8-70* Un cable cuyos anclajes están a la misma altura debe so­portar una carga uniformemente distribuida de 1,50 kN / m se­gún la horizontal. La flecha del cable en su punto medio ha deser de 4 m. Si la tensión máxima del cable no puede superar los12 kN, determinar

a. La cuerda máxima permisible.b. La longitud que deberá tener el cable.

8-71 La carga que.soporta cada cable del puente colgante re­

presentado en la figura P8-71 es de 33 kN por metro de longi­tud horizontal. La cuerda del puente es de 300 m y la flecha en

. el punto medio es de 30 m. Determinar

a. Lit. tensión del_ cable en su punto medio.b. La tensión del cable en los anclajes y el ángulo que forma

con la horizontal.c. La longitud del cable.

Figura P8··71

8-72 La cuerda central del puente colgante representado enla figura P8-72 es de 500 m. La flecha en su centro es de 50 m.Los cables pueden resistir una tensión máxima de 5000 kN. De­terminar

a. La carga por metro horizontal de calzada que puede resis­tir.

b. La longitud del cable en la cuerda central.

Figura P8-72

8-73* Un cable con anclajes a la misma altura soporta una car­ga uniformemente distribuida de 8,3 kN / m según la horizon­tal. Si la tensión máxima del cable es de 500 kN y la flecha ensu punto medio es de 12 m, determinar

a. La separación horizontal de los anclajes.b. La longitud del cable.

8-74"' Un cable con anclajes a la misma altura tiene una cuer­da de 400 m. El cable soporta una carga uniformemente distri­buida de 6 kN / m según la horizontal. La tensión máxima delcable es de 5000 kN. Determinar

a. El ángulo que forma el cable con la horizontal en un anclaje.b. La flecha del cable en su punto medio.c. La longitud del cable.

8-75 Un cable cuyos anclajes están a la misma altura tiemuna cuerda de 180 m. La longitud del cable es de 189 m. Si 1,tensión máxima del cable debida a una carga uniformemenbdistribuida w según la horizontal es de 1800 kN, determinar

a. La flecha del cable en su punto medio.b. El ángulo que forma el cable con la horizontal en lo

anclajes.c. El valor de la carga distribuida w.

8-76 El anclaje izquierdo del cable representado en la figurP8-76 está 10 m por debajo del anclaje derecho. El punto rn2bajo del cable está 13 rn por debajo del anclaje derecho. Si jtensión máxima del cable debida a una carga w uniformemen•distribuida según la horizontal es de 400 kN, determinar

a. El ángulo que forma el cable con la horizontal en el ancladerecho.

b. El valor de la carga distribuida w.

c. La longitud del cable.

Figura P8-76

8· 77* Un cable soporta una carga uniformemente distribu de 8,3 kN por metro de longitud horizontal. Los anclajes es separados 150 m y el anclaje izquierdo está 9 m por debajo

:ho. El punto más bajo del cable está 7,5 m por debajo del tje izquierdo. Determinar

,a tensión rrúnima del cable. ,a tensión. máxima del cable. n ángulo que forma el cable con la horizontal en el anclaje lerecho. -ª longitud del cable.

i* El anclaje derecho de un cable está situado 45 m por de:..

del anclaje izquierdo. La separación horizontal entre ellos e 250 m. El punto más bajo del cable está 15 m poi' debajo anclaje derecho. Si la tensión máxima del cable debida a carga w uniformemente distribuida según la horizontal es ;so kN, determinar

El ángulo que forma el cable con la horizontal en el anclaje derecho. El valor de la carga distribuida w.

La longitud del cable.

8-80 El cable representado en la figura PS-80 soporta unacarga uniformemente distribuida de 25 kN por metro 'según lahorizontal. El anclaje izquierdo del cable está situado 50 m pordebajo del anclaje derecho. El ángulo que forma el cable con lahorizontal en el anclaje izquierdo es de 10º. Determinar

a. La tensión del cable en el anclaje izquierdo.b. La tensión del cable en el anclaje derecho.c. El ángulo que forma el cable con la horizontal en el anclaje

derecho.d. La longitud del cable.

9 El anclaje izquierdo del cable representado en la figura ·79 está situado 12 m por debajo del anclaje derecho. El cablerrorizontal en el anclaje izquierdo. Si la tensión máxima del,le debida a una carga w uniformemente distribuida según1.orizontal es de 2000 kN, determinar

)72

El ángulo que forma el cable con la horizontal en el anclaje derecho. El valor de la carga distribuida w.

La longitud del cable.

8.6.3

1<---------150 m------­

Figura P8-80

Cables con cargas uniformemente distribuidas a lo largo de su longitud

En los dos apartados anteriores, el peso del cable era pequeñ9 frente a las car­gas que debía soportar. En el caso de líneas de transmisión de energía eléctrica, líneas telefónicas y vientos de antenas emisoras de radio y televisión, el peso del cable es la única carga importante que se aplica. En estas aplicaciones, el peso está distribuido uniformemente a lo largo del cable. Cuando los anclajes están a igual altura y la flecha es pequeña (cable tenso), la curva que forma el cable puede considerarse, sin error sensible, que es una parábola, ya que una sarga distribuida uniformemente a lo largo del cable no difiere gran cosa de la misma carga distribuida .uniformemente según la horizontal. Cuando la flecha sea relativamente grande (h/a > 0,10), no habrá que utilizar las fórmulas para­bólicas del apartado anterior.

En la figura 8-23a se ha representado un cable uniforme que tiene un peso por unidad de longitud w. Utilizando consideraciones acerca de su equilibrio y el diagrama de sólido libre de una porción del cable representado en la figura 8-23b, se pueden desarrollar ecuaciones que expresen las relaciones entre su

·I

i.

'f i.

..

1

longitu por otr toma o

El s fuerzai to arbi1 la carg daxd1 El áng el segr dichas 8-23c.fuerza

La ec1 punte punte

La ec (done pord

SE

da la

Reco

de d,

Sust

ded

Des

31 punto más bajo del cable está 7,5 m por debajo del :¡uierdo. Determinar

isión mínima del cable. 1Sión máxima del cable. �ulo que forma el cable con la horizontal en el anclaje ho. 1gitud del cable.

. anclaje derecho de un cable está situado 45 m por de­mclaje izquierdo. La separación horizontal entre ellos I m. El punto más bajo del cable está 15 m por debajo tje derecho. Si la tensión máxima del cable debida a a w uniformemente distribuida según la horizontal es \J", determinar

gulo que forma el cable con la horizontal en el anclaje :ho. lor de la carga distribuida w.ngitud del cable.

n anclaje izquierdo del cable representado en la figura tá situado 12 m por debajo del anclaje derecho. El cable ontal en el anclaje izquierdo. Si la tensión máxima del !bida a una carga w uniformemente distribuida según:mtal es de 2000 kN, determinar

1gulo que forma el cable con la horizontal en el anclaje :cho. alor de la carga distribuida w.

ongitud del cable.

B i

- � -�-·

':t-r .: A :12 m

-� m 1 1 1 1 r-r-1 ______ _L__L

· �bJ,a5ff,;-,-<fit-t1reuzvi<---------120 m-------41

Figura P8-79

8-80 El cable representado en la figura P8-80 soporta unacarga uniformemente distribuida de 25 kN por metro según lahorizontal. El anclaje izquierdo del cable está situado 50 m pordebajo del anclaje derecho. El ángulo que forma el cable con lahorizontal en el anclaje izquierdo es de 10º. Determinar

a. La tensión del cable en el anclaje izquierdo.b. La tensión del cable en el anclaje derecho.c. El ángulo que forma el cable con la horizontal en el anclaje

derecho.d. La longitud del cable.

B

1<--------lSOm-------�

figura P8-80

·,rr

-· . �

SOm

8.6.3 Cables con cargas uniformemente distribuidas a lo largo de su longitud

En los dos apartados anteriores, el peso del cable era pequeño frente a las car­gas que debía soportar. En el caso de líneas de transmisión de energía eléctrica, líneas telefónicas y vientos de antenas emisoras de radio y televisión, el peso del cable es la única carga importante que se aplica. En estas aplicaciones, el peso está distribuido uniformemente a lo largo del cable. Cuando los anclajes están a igual altura y la flecha es pequeña (cable tenso), la curva que forma el cable puede considerarse, sin error sensible, que es una parábola, ya que una c:arga distribuida uniformemente a lo largo del cable no difiere gran cosa de la misma carga distribuida unif9rmemente según la horizontal. Cuando la flecha sea relativamente grande (h/a > 0,10), no habrá qU:e utilizar las fórmulas para­bólicas del apartado anterior.

En la figura 8-23a se ha representado un cable uniforme que tiene un peso por unidad de longitud w. Utilizando consideraciones acerca de su equilibrio y el diagrama de sólido libre de una porción del cable representado en la figura 8-23b, se pueden desarrollar ecuaciones que expresen las relaciones entre su

..

. 'í

longitud L,

por otra. Er toma como

El segm fuerzas: la 1to arbitrari, la carga diE da x del pu El ángulo e el segment­dichas fuei 8-23c. Lasfuerzas cor

La ecuacié punto cua punto máE

La ecuacié (dondes= por deterr

Se pue da la pene

Recordan

de donde

Sustituye

de dondE

Despejan

1

r-

:l,

,O

�1 �s el la

la 1a a-

so io ra su

•

- - -.

longitud L, su cuerda a y su flecha h, por una parte, y su tensión T y su peso wpor otra. En el diagrama mencionado, el punto más bajo del cable (punto O) se toma como origen del sistema de coordenadas xy.

El segmento de cable representádo en la figura 8-23b está sometido a tres fuerzas: la tensión T0 del cable en el punto O, la tensión T del cable en un pun­to arbitrario C, situado a una distancias del origen y la resultante R (R = ws) de la carga distribuida, cuya recta soporte está situada a una distancia desconoci­da x del punto O. El peso actúa en el centroide de la curva que forma el cable. El ángulo que la tensión T forma con la horizontal se representa por e. Como el segmento OC del cable está en equilibrio bajo la acción "de estas tres fuerzas, dichas fuerzas deberán concurrir en un _I)unto D, según se indica en la figura 8-23c. Las dos ecuaciones de equilibrio LFx = O y LF

Y = O de este sistema de

fuerzas concurrentes dan:

+ � LFx

= T cos O-T0

= O

+ j LF y = T sen e - R = O

Tx = T cos e = r O T = T sen e= R = WS

y

(a)

(b)

La ecuación a indica que la componente horizontal Tx de la tensión T en un punto cualquiera del cable es siempre la misma e igual a la tensión TO en el punto más bajo del cable. Despejando T y () de las ecuaciones a y b, se tiene:

T = [Tb + w2s2] 112 (8-19)

(8-20)

La ecuación 8-19 indica que la tensión es mínima en el punto más bajo del cable (dondes= O) y máxima en los anclajes (dondes toma su valor máximo). Queda por determinar la distancia s.

Se puede determinar la forma de la curva utilizando la ecuación 8-20 que da la pendiente. Así,

Recordando la relación

de donde

dy = tan e= ws

dx T0

(ds)2 = (dx)2+ (dy)2

Sustituyendo la ecuación d en la e, se tiene

de donde

Despejando dx se tiene

[(;;)2 -1] 112 = ;;

(T 0

/w) dx dx = ������­

[ (T olw) 2 + s2) 112

(e)

(d)

(e)

373 11.6 CABLES FLEXIBLES

. . a . j -··-- .:._ . y .,_,,.,,.;_-ú;,:,.,

o�HHP" X

wN/m

(a)

J�T

To�--------=-�l'f'--��--'--��x

(b)

'ºT°'(e)

Figura 8-23

374

FUERZA.S iNTERIC)RES EN MIEMBROS

ESTRUCTURALES

Integrando la ecuación e se tiene

La constante de integración C puede determinarse sustituyendo la condición de contorno s = O cuando x = O. Así,

por tanto, ( T ) s + [ (T /w) 2 + s2] 112

X = ___!}_ ln ----,,0,------W (T 0/w)

(8-21)

La ecuación 8-21 también puede expresarse en forma exponencial en la forma

Despejando·s se tiene

Conocida la distancias en función de x, la ecuación 8-19 da

T = TO

[ 1 + senh2 (wx/T 0)] 112 = TO

cosh (wx/T 0)

(8-22)

(8-23)

Análogamente, se puede sustituir la ecuación 8-22 en la ecuación e para obte­ner

que integrada da

dy = senh(wx) dx - T0

Sustituyendo la condición de contorno y = O en x = O, se tiene

. C =-C:)Así pues,

La ecuación 8-24 es la ecuación cartesiana de una catenaria.

(8-24)

-¡ :¡

l

La tensión Ten un punto arbitrario del cable se puede exprésar en función de TO y de la coordenada y del punto despejando cosh(wx/T 0) de la ecuación 8-24 y sustituyendo el resultado en la ecuación 8-23. Finalmente resulta

T = T 0+wy (8-25)

La ecuación 8-24 puede utilizarse también para determinar T0 si se conocen las dos coordenadas de un punto del cable. Por ejemplo, las coordenadas de un anclaje de un cable de cuerda a y flecha h cuyos anclajes est�n a igual altura son x = a/2 e y = h. Así,

h =.:·( T º) [cosh ( .!!!!!:..)- 1]···. w 2T0 (8-26)

Lamentablemente, TO no puede despejarse directamente de la ecuación 8-26; por tanto, los valores de TO habrán de obtenerse por aproximaciones sucesivas, métodos iterativos, soluciones numéricas, gráficos o tablas.

PROBLEMA EJEMPLO 8.10

Un cable cuyos anclajes están a la misma altura tiene una cuerda de 240 m. El cable pesa 83 N / m y la flecha en su punto medio es de 60 m. Determinar a. La tensión del cable en su punto medio.b. La tensión del cable en un anclaje.c. La longitud del cable.

SOLUCIÓN

a. La tensión del cable en su punto medio puede determinarse utilizando laecuación 8-26. Así,

h = (:) [ cosh ( 2�:)- 1 J60 = (:�)[cosh 8���

0) _ 1J

En la tabla siguiente puede verse una solución de la anterior ecuación por aproximaciones sucesivas. Se ha utilizado la ecuación 8-9 correspondiente a un cable parabólico para obtener una primera estimación. Así:

To

9960 10500

11000 10750

TO= wa2/8h = 83(240)2/8(60) = 9960 N.

To h 9960 cos --

-

To 83

120 1,5431 126,5 1,4862 132,5 1,4387

129,5 1,4608

- cosh---1 T º[ 9960

J 83 T0

65,172 61,504 58,130 59,673

h % Error

60 + 8,6260 +2,560 -3,160 -0,5

375

8.6 CABLES FLEXIBLES

�UERZAS INTERIORrS F:'\! MiEMBROSESTRUCTURALES

b.

c.

Así pues,TO= 10 750N Resp.

La tensión del cable en su punto medio se puede también determinarutilizando el método de Newton-Raphson que se ofrece en el apéndice D.Se escribe primeramente la ecuación 8-26 en la forma

Aplicando el método de Newton-Raphson

Tomando el valor inicial (T 0)0 = 9960

n (To)n f(To)n f'(T o)n Ón

o 9960 429,276 -0,6321 679,12671 10 639 33,097 -0,5390 61,40002 10 700 -0,22 -0,5318 -0,4137

De aquí resulta

T0

= 10700N Resp.

y ello nos da una idea del grado de aproximación de este método.

Conocida la tensión en el punto medio, se puede utilizar la ecuación 8-25para determinar la tensión en un anclaje. Así,

T 8

= Tmáx = To+ wh = 10 750 + 83(60) = 15 730 N Resp.

La longitud s de cable entre el punto más bajo y un anclaje se puede deter­minar mediante la ecuación 8-22. Así,

Por tanto

_s = (1:) senh (;:)10 750 nh 83(120) s

8 = � se 10 750 = 137,9 m

L = 2s8

= 2(137,9) = 275,8 = 276 m

"

Resp.

. li··

1 8,fde las pei

a.

b.

c.

..

Los resultados equivalentes que se obtienen utilizando las ecuaciones pa­. rabólicas son

3T, , , -�--- ----------·-·-

8.6 CABLES FLEXIBLES

1 [ ( a )2] 112 T8 = 2wa 1 + 4h

1 [ ( 240 )2]

1/2 = 2(83)(240) 1 + 4(60) = 14 086 N

La longitud del cable se determina mediante la ecuación 8-11. Así,

l.¡ a2 1 L = 2 a2 +16h2 +g¡;ln;¡(4h+Ja2+16h2)

= �J(240)2+ 16(60)2

+ c:�°d/ ln 2!

0 [ 4(60) + J (240) 2 + 16(60)2]

= 275,4 = 275 m Resp.

En la tabla siguiente se resumen los resultados que se obtienen utilizando las ecuaciones para el cable parabólico y de catenaria.

Magnitud Catenaria Parabólico

To 10750 9960 Tmáx 15 730 14 086 L 276 275

PROBLEMAS

8,81 * En la figura P8-81 se representa un tramo de una línea de conducción de energía eléctrica. Antes de amarrar la línea a las torres, se la sometió a una fuerza horizonal de 15 kN. El peso de la. línea es de 25 N / m. Determinar

a. La máxima tensión del cable.b. La flecha en el punto medio del tramo.c. La longitud del cabJ.'e.

,.._ ____ 300 m --�--

Figura P8-81

8-82* Un remolcador tira de una barcaza según se indica en lafigura P8-82. El peso del cable, teniendo en cuenta el empuje de Arquímedes que el agua le ejerce es de 120 N / m. La compo­nente horizontal de la fuerza que el cable ejerce sobre la barca­za es de 40 kN. Determinar

a. La tensión máxima del cable.h. La flecha del cable en su punto más bajo.c. La longitud del cable.

IE------200 m---.;,i

--""":... ________ _

Figura P8-82

·83 Un cable flexible con anclajes a la misma altura tienena cuerda de 120 m. Sila longitud del cable es.150 m, deter­ti.nar la flecha en su punto medio.

-84 Un cable flexible con anclajes a la misma altura tienema cuerda de 300 m. Si la flecha en su punto medio es de 80n, determinar la longitud del cable.

�-85 * Un cable flexible con anclajes a la misma altura tiene ma cuerda de 270 m. El cable pesa 12,5 N / m y su longitud es 300 m. Determinar

a. La flecha en el punto medio entre anclajes.b. La máxima tensión del cable.

8-86* Un cable flexible con anclajes a la misma altura tieneuna cuerda de 250 m. El cable pesa 12 N / m. Si la flecha en elpunto medio entre anclajes es de 50 m, determinar

a. La longitud del cable.b. La tensión máxima del cable.

8-87 Un cable con anclajes a la misma altura tiene una cuer­da de 165 m. El cable pesa 67 N / m y la flecha en su punto me­dio es de 30 m. Determinar

a. La tensión del cable en el punto medio de la cuerda.b. La tensión del cable en un anclaje.c. La longitud del cable.

8-88 Un cable con anclajes a la misma altura tiene una cuer­da de 300 m. El cable pesa 75 N / m y la flecha en el punto me­dio,de la cu�rda es de 75 m. Determinar

a. La tensión del cable en el punto medio de su cuerda.b. La tensión del cable en un anclaje.c. La longitud del cable.

8-89* El cable flexible representado en la figura P8�89 pesa 83N / m. El cable es horizontal en el anclaje de la izquierda. Deter�minar

a. La tensión del cable en el anclaje A.

b. La tensión del cable en el anclaje B.

c. La longitud del cable.

370

B

1<------ 60 m ----­

figura P8-89

i1 60 m

8-90* El cable flexible utilizado para sujetar el globo represen­tado en la figura P8-90 pesa 7,0 N / m y tiene una longitud de100 m. El globo ejerce sobre el extremo B del cable una fuerzaascensional vertical de 2000 N. Determinar

a. La fuerza que ejerce el viento sobre el cable.b. La altura h a que se encuentra el globo.c. La distancia horizontal d entre el anclaje A y el globo.

f viento

� �

----d---­

Figura PB-90

..

h

l 8-91

{ ca pe:

{ lado,

a. Lb. Lc. L

8-9

Si l.

1 a.

1 b.

ic.

d. :1

f{ ;f

1 1

..

8-91 Un cable de una línea de conducción de energía eléctri­ca pesa 42 N / m y está sujeto a dos torres situadas a uno y otrolado de un valle según se indica en la figura PS-91. Determinar

a. La tensión del cable en su punto más bajo.b. La tensión máxima del cable.c. La longitud del cable.

8-93 Para estabilizar .una torre de televisión de 300 m de al­tura Se utilizan tres pares de cables flexibles separados, cadauno, 120º. En la figura PS-93 se representan la torre y un par decables. El peso de los cables es de 50 N / m. La componente ho­rizontal de la fuerza que ejerce cada cable es de 30 kN. En el an­claje A, el ángulo que forma el cable AC con el suelo ha de ser de 40º. Determinar

a. La tensión máxima del cable AC.

b. La distancia horizontal d entre la torre y el anclaje A.

c. La longitud del cable AC.

figura P8-91

8-92 El cable representado en la figura PS-92 pesa 30 N / m.Si la flecha del cable es de 200 m, determinar

a. La tensión del cable en su punto más bajo.b. La tensión del cable en el anclaje A.

c. La tensión del cable en el anclaje B.

d. La longitud del cable.

Figura P8·92

J_m

f. "

RESUMEN

Cuando un miembro estructural o un componente de una máquina está some­tido a un sistema de cargas exteriores se desarrolla, dentro del miembro, un sistema de fuerzas resistentes interiores que equilibra a las fuerzas exteriores. La resultante de las fuerzas interiores en un plano concreto del interior de un cuerpo se puede determinar suponiendo que dicho plano separa al cuerpo en dos partes. Como el cuerpo está en equilibrio, cada una de sus partes también deberá estarlo bajó la acción de las fuerzas interiores que se desarrollan en el plano. La distribución en este plano de las fuerzas interiores se puede repre-

Figura P8-93

379

..,

X

y

Figura P8-98

99* Una viga está cargada y apoyada según se indica en la ;ura PS-99.

Determinar la fuerza cortante Vy el momento flector M en nna sección recta situada a 3 m del extremo izquierdo de la viga. Dibujar los diagramas completos de fuerza cortante y de momento flector de la viga.

y 8,3 kN/m

8-100 Una viga está cargada y apoyada según se indica en lafigura PS-100.

a. Determinar la fuerza cortante V y el momento flector M enuna sección recta situada a 1,75 m del extremo derecho dela viga.

b. Dibujar los diagramas completos de fuerza cortante y demomento flector de la viga.

382

í 300 N/m 600 N/m

·",·��2 m--4-1 m+l m�2 m

·,1"f'"'·figura P8-100

8-101 Una viga está cargada y apoyada según se indica en lafigura P8-101.

a. Utilizando los ejes de coordenadas que se indican, escribirlas ecuaciones para la fuerza cortante V y el momento flec­tor M en una sección cualquiera del tramo de viga O < x < 3m.

b. Dibujar los diagramas completos de fuerza cortante y demomento flector de la viga.

4 kN/m

-----3 m-----,J<f--

Figura P8-1 01

8-102*El cable representado en la figura P8-102 pesa 35kN / m. Determinar la tensión máxima del cable y la flecha hA si

a. La longitud del cable es 33 m.b. La longitud del cable es 45 m.c. La longitud del cable es 60 m.

�k�h -�'�¡_, -3:m __,¡

figura P8-1 02

8-103 El aguilón CB y el cable flexible AB soportan un bloqueW que pesa 2,5 kN según se indica en la figura P8-103. El agui­lón pesa 1,25 kN y el cable 42 N /m. Determinar la tensiónmáxima del cable, su longitud L y la flecha h en su punto me­dio. Supóngase que el peso del cable está distribuido unifor­memente según la horizontal.

Figura P8-103

..

C8-l04 El una carga tentes intE ciones en sentidos i tivos en l.

C8-1 < aplic¡ zasn la sec 30m

f [

..

Problemas para resolver con ordenador

C8-104 El gancho representado en la figura P8-104a soporta una carga de 10 kN. Representar gráficamente las fuerzas resis­tentes internas P y V y el m9mento M que transmiten las sec­ciones en función del ángulo fJ (O :,; e S: 150º ). (Utilícense los sentidos indicados en la figura P8-104b para los sentidos posi­tivos en las gráficas).

P M

10 kN

(a)

�.V ·.

� 10 kN

(b) Figura P8-1 04

C8-105 A los mangos de los alicates de la figura P8-105 se aplican fuerzas de 100 N. Representar gráficamente·las fuer­zas resistentes interiores P y Vy el momento M que transmite la sección aa del mango, en función de la distancia d (20 :,; d :,; 30mm).

Figura P8-105

-------------------- ---------··-·-·-·----·--

C8-1 Of> El rodillo que se apoya sobre la viga de la figura P8-106 soporta una carga de 2500 N. a. Demostrar que el máximo momento flector de la viga tiene

lugar en su contacto con el rodillo.b. Representar gráficamente el máximo momento flector de la

. viga IMlmáx' en función de la posición b del rodillo (OS: b:,;

8m).

2500 N Figura P8-106

C8-107 Un carrito que rueda sobre una viga soporta una cargade 17,5 kN según se indica en la figura P8-107. a. Demostrar que el máximo momento flector de la viga tiene

lugar en su contacto con la rueda más próxima al punto medio de la viga.

b. Representar gráficamente el máximo momento flector de laviga IMlmáx' en función de la posición b del carrito (1:,; b:,;

5,7m).

17,5 kN

figura P8-l 07

383

t l '

¡' g

C8-108 Un cable de una línea de conducción eléctrica que pesa 30 N / m está sujeto a dos torres situadas a uno y otro lado de un valle, según se indica en la figura PS-108.

a. Representar gráfica:i;nente la flecha h8 del cable en funciónde su longitud L (605 $L::;; 630 m).

b: Representar gráficamente la _tensión máxima T máx del cable en función de,5u longitud L (605'$ L::;; 630 m).

Figura P8-108

384

C8-109 Un cable de una línea de conducción eléctrica que pesa 42 N / m está sujeto a dos torres situadas a uno y otro lado de un valle, según se indica en la figura PS-109. Las especifica­ciones del proyecto exigen que la máxima tensión del cable sea inferior a 60 kN y que la mínima distancia sobre la superficie del río sea al menos 22,5 m. Determinar la mínima altura per­misible de la torre B.

Figura P8--W9

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